四川省绵阳市南山中学2016-2017学年高二(下)入学数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高二（下）入学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=4，则其圆心和半径分别为（）A．（1，2），4 B．（1，﹣2），2 C．（﹣1，2），2 D．（1，﹣2），42．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2 B．±2 C．﹣2 D．03．南山中学实验学校2015级入学考试共设置60个试室，试室编号为001～060，现根据试室号，采用系统抽样的方法，抽取12个试室进行抽查，已抽看了007试室号，则下列可能被抽到的试室号是（）A．002 B．031 C．044 D．0604．执行如图程序中，若输出y的值为1，则输入x的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣15．根据下面框图，当输入x为8时，输出的y=（）A．1 B．2 C．5 D．106．过点（3，2）且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为（）A．B．C ．D ．7．在区间[0，2π]内任取一个实数x ，使得的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知具有线性相关的两个变量x ，y 之间的一组数据如表：且回归方程是=0.95x +2.6，则t=（ ） A ．4.7 B ．4.6 C ．4.5 D ．4.49．直线被圆（x ﹣1）2+y 2=1截得的线段的长为（ ） A．B ．C ．D ．10．方程=k （x ﹣3）+4有两个不同的解时，实数k 的取值范围是（ ）A ．（0，） B ．（，+∞） C ．（，） D ．（，]11．已知抛物线x 2=4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 中点到x 轴的最短距离为（ ）A ．B ．C ．1D ．212．已知圆M ：（x +）2+y 2=64，定点N （，0），点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP 上，且满足=2，•=0，则点G 的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.13．三维空间中点P （1，1，﹣1）关于XOY 平面对称点为 ．14．如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 ．15．双曲线8mx2﹣my2=8的一个焦点是（3，0），那么m的值为．16．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠FAB=，则C的离心率e=．三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知圆C：x2+y2﹣8y+14=0，直线l过点（1，1）（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）当l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|=2时，求直线l的方程．18．某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（1）求出第4组的频率；（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数；（3）如果从“优秀”和“良好”的学生中分别选出3人与2人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？19．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；临界值表供参考：（参考公式：K2=，其中n=a+c+b+d）．20．如图，设F（﹣c，0）是椭圆的左焦点，点P（﹣，0）是x轴上的一点，点M，N为椭圆的左、右顶点，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P作直线l交椭圆于A，B两点，试判定直线AF，BF的斜率之和k AF+k BF 是否为定值，并说明理由．2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高二（下）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=4，则其圆心和半径分别为（）A．（1，2），4 B．（1，﹣2），2 C．（﹣1，2），2 D．（1，﹣2），4【考点】圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【解答】解：圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心为（﹣1，2），半径为2．故选C．2．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2 B．±2 C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得1×4﹣a•a=0，解得a值排除重合可得．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A3．南山中学实验学校2015级入学考试共设置60个试室，试室编号为001～060，现根据试室号，采用系统抽样的方法，抽取12个试室进行抽查，已抽看了007试室号，则下列可能被抽到的试室号是（）A．002 B．031 C．044 D．060【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义确定样本间隔进行求解即可．【解答】解：样本间隔为60÷12=5，∵样本一个编号为007，则抽取的样本为：002，007，012，017，022，027，032，037，042，047，052，057∴可能被抽到的试室号是002，故选：A．4．执行如图程序中，若输出y的值为1，则输入x的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1【考点】茎叶图．【分析】模拟程序的运行可得程序的功能为计算并输出y=的值，根据输出y的值为1，分类讨论可得x的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能为计算并输出y=的值，若输出y的值为1，当x≥1时，1=x3，解得：x=1；当x＜1时，1=﹣x2+1，解得：x=0．综上，则输入x的值为1或0．故选：C．5．根据下面框图，当输入x为8时，输出的y=（）A．1 B．2 C．5 D．10【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x＜0，确定输出y的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=8x=5满足条件x≥0，x=2满足条件x≥0，x=﹣1不满足条件x≥0，y=2输出y的值为2．故选：B．6．过点（3，2）且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用椭圆经过的点，求解即可．【解答】解：椭圆3x2+8y2=24的焦点（，0），可得c=，设椭圆的方程为：，可得：，a2﹣b2=5，解得a=，b=，所求的椭圆方程为：．故选：C．7．在区间[0，2π]内任取一个实数x，使得的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据余弦函数的性质以及几何概型的定义求出满足条件的概率即可．【解答】解：由余弦函数的性质得：y=cosx在[0，]和[，2π]上时，cosx≥，故满足条件的概率是：p==，故选：B．8．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：且回归方程是=0.95x+2.6，则t=（）A．4.7 B．4.6 C．4.5 D．4.4【考点】线性回归方程．【分析】根据已知中的数据，求出数据样本中心点的坐标，代入回归直线方程，进而求出t．【解答】解：∵=（0+1+2+3+4）=2，=（2.2+4.3+t+4.8+6.7）=代入回归方程=0.95x+2.6，得t=4.5，故选：C．9．直线被圆（x﹣1）2+y2=1截得的线段的长为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理，即可求得弦长．【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心到直线的距离为=，∴直线被圆（x﹣1）2+y2=1所截得的弦长为2=．故选：D．10．方程=k（x﹣3）+4有两个不同的解时，实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，+∞） C．（，）D．（，]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】问题转化为半圆和过定点的直线有两个交点，数形结合可得．【解答】解：设y=，平方可得y2=9﹣x2，即x2+y2=9，其图形为半圆，圆心在原点，半径为3；又直线y=k（x﹣3）+4过定点（3，4），由数形结合可知：当直线y=k（x﹣3）+4与半圆y=有两个交点时，＜k≤故选：D11．已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（）A．B．C．1 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为S==根据抛物线的定义可知S=根据两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号求得S的最小值．【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2）抛物线准线y=﹣1，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：S==由抛物线定义=﹣1（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号）≥﹣1=2故选D．12．已知圆M：（x+）2+y2=64，定点N（，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G 在线段MP上，且满足=2，•=0，则点G的轨迹方程是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知得Q为PN的中点且GQ⊥PN，|GN|+|GM|=|MP|=8，从而得到G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=4，半焦距c=，由此能求出点G的轨迹方程．【解答】解：∵圆，定点，点P为圆M上的动点，∴M（﹣，0），PM=8，∵点Q在NP上，，=0，∴Q为PN的中点且GQ⊥PN，∴GQ为PN的中垂线，∴|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=8，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=4，半焦距c=，∴短半轴长b==3，∴点G的轨迹方程是=1．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.13．三维空间中点P（1，1，﹣1）关于XOY平面对称点为（1，1，1）．【考点】空间中的点的坐标．【分析】直接利用空间直角坐标系，求出点P（1，1，1）关于xoy平面的对称点的坐标即可．【解答】解：点P（1，1，﹣1）关于xoy平面的对称点，纵横坐标不变，竖坐标变为相反数，即所求的坐标（1，1，1），故答案为：（1，1，1）．14．如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】中位数是指一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或最中间两个数据的平均数，注意：和众数不同，中位数不一定在这组数据中）．故只须依据茎叶图写出甲乙两人比赛得分，即可找出中位数．【解答】解：由图可知甲的得分共有9个，中位数为28∴甲的中位数为28乙的得分共有9个，中位数为36∴乙的中位数为36则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64故答案为：64．15．双曲线8mx2﹣my2=8的一个焦点是（3，0），那么m的值为1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据题意，将方程化为标准方程，再利用c2=a2+b2，即可求得结论．【解答】解：把方程化为标准形式=1，∴a2=，b2=．∴c2=+=9，解得m=1．故答案为：1．16．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠FAB=，则C的离心率e=．【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图所示，设右焦点为F′，由椭圆的对称性与定义可得：BF′=AF=6，BF=2a﹣6．在△ABF中，由余弦定理可得：cos∠FAB==，解得a，在△OAF中，由余弦定理可得：c．【解答】解：如图所示，设右焦点为F′，由椭圆的对称性与定义可得：BF′=AF=6，BF=2a﹣6．在△ABF中，由余弦定理可得：cos∠FAB==，解得a=7，在△OAF中，由余弦定理可得：c2=62+52﹣2×6×5×=25，解得c=5．∴e=．故答案为：．三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知圆C：x2+y2﹣8y+14=0，直线l过点（1，1）（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）当l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|=2时，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）确定圆心与半径，利用直线l与圆C相切，分类讨论，即可求直线l的方程；（2）由，得d=1，分类讨论，即可求出直线l的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣8y+14=0，配方，得x2+（y﹣4）2=2，圆心C（0，4），半径，①当直线l的斜率不存在时，l：x=1，此时l不与圆相切．2分②若直线l的斜率，设l：y﹣1=k（x﹣1），由得k=7或﹣1，所以直线方程为7x﹣y﹣6=0或x+y﹣2=0（2）由，得d=1，①若当直线l的斜率不存在时，l：x=1，满足题意②若直线l的斜率存在，设l：y﹣1=k（x﹣1）由得，此时l：4x+3y﹣7=0x=1综上所述l方程为x=1或4x+3y﹣7=018．某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（1）求出第4组的频率；（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数；（3）如果从“优秀”和“良好”的学生中分别选出3人与2人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图能求出第4组的频率．（2）由频率分布直方图能估计样本的中位数．（3）从“优秀”和“良好”的学生中分别选出3人与2人，再从这5人中选2人，基本事件总数n==10，至少有一人是“优秀”的对立事件是两人都是良好，由此能求出至少有一人是“优秀”的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：第4组的频率为：p=1﹣（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.2．（2）由频率分布直方图得：[75，85）的频率为（0.01+0.07）×5=0.4，[85，90）的频率为：0.06×5=0.3，∴根据样本频率分布直方图估计样本的中位数为：85+=．（3）从“优秀”和“良好”的学生中分别选出3人与2人，再从这5人中选2人，基本事件总数n==10，至少有一人是“优秀”的对立事件是两人都是良好，∴至少有一人是“优秀”的概率p=1﹣=．19．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；临界值表供参考：（参考公式：K2=，其中n=a+c+b+d）．【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据列联表各数据之间的关系，填写列联表；（2）利用公式计算相关指数K2的值，比较与临界值的大小可得判断两变量有关的可靠性程度．【解答】解：（1）列联表补充如下：（2）K2的观测值K=≈8.333＞7.879，又P（K2≥7.789）=0.005=0.5%．∴我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系．20．如图，设F（﹣c，0）是椭圆的左焦点，点P（﹣，0）是x轴上的一点，点M，N为椭圆的左、右顶点，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P作直线l交椭圆于A，B两点，试判定直线AF，BF的斜率之和k AF+k BF 是否为定值，并说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由2a=8，﹣a=2（a﹣c），即可求得c的值，则b2=a2﹣c2，即可求得椭圆方程；（2）当直线斜率不存在时，k AF=k BF=0，当直线l的斜率不为0，代入椭圆方程由韦达定理及直线的斜率公式即可求得k AF+k BF=0为定值，【解答】解：（1）由2a=丨MN丨=8，则a=4，|PM|=2|MF|，则﹣a=2（a﹣c），即a2﹣3ac+2c2=0，整理得：c2﹣6c+8=0，解得：c=2或c=4（舍去），∴b2=a2﹣c2=12，椭圆的标准方程；（2）当直线l的斜率为0，显然k AF=k BF=0，则k AF+k BF=0，当直线l的斜率不为0，直线x=my﹣8，，整理得：（3m2+4）y2﹣48my+144=0，则△=（﹣48m）2﹣4×144（3m2+4）=576（m2﹣4）＞0，解得：m＞2或m＜﹣2，设A（x A，y A），B（x B，y B），则y1+y2=，y1y2=，则k AF+k BF=+=+，==，由2my A y B﹣6（y A+y B）=2m×﹣6×=0，∴k AF+k BF=0．2017年4月15日。
四川省绵阳市南山中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文答案 精品
答案一、 选择题：1—5.ACABB 6—10.DCDBC 11.A 12.C 二、 填空题：13.2 14.4②③ 三、解答题：17. 解：若命题p 为真，因为函数的对称轴为x ＝m ，则m ≤2. -----------------------2分若命题q 为真，当m ＝0时原不等式为－8x ＋4>0，显然不成立． 当m ≠0时，则有⇒1<m <4.---------------------------------4分因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以命题p ，q 一真一假．---------------------------------5分①当p 真q 假时，则：，解得：1m ≤ ----------------------------------7分②解得：2＜m ＜ 4----------------------------------9分 所以，实数m的取值范围是(](),12,4-∞--------------------------------------------10分 18.解：(1)若商品降低x 元，则一个星期多卖的商品为kx 2件.由已知条件，得k ·22＝24，解得k ＝6. ---------------------------1分 因为一个星期的商品销售利润为f (x )，则：f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21].--------4分(2) 根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)．令()0f x '=,解得:212x x ==或，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：∴当x ＝12时，f (x )取得极大值；当2x =时，()f x 取得极小值 --------------7分 ∵f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，()28664f =↗↘∴当x=12时，()max 11664f x = ---------------------------------9分 所以，定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.------------10分 19. 解：（1）由题知：x e x g =')(,则e g =')1(，∴曲线在点()1,e 处切线的斜率为(1)e k g '== ------------------------1分所以，切线方程为)1(-=-x e e y ，即ex y =. ------------------------------3分(2)由题知：)()(x H x G ≤，即)4541(12+-≤++x e mx x x ， 令)4541()(+-=x e x xϕ，则)141()(+-='x e x x ϕ， 令0)(='x ϕ解得4=x ，∴)(x ϕ在)4,(-∞单增；),4(+∞单减， 又∵0)(=x ϕ有唯一零点5=x 所以，可作出函数)(x ϕ的示意图， --------------------------------------------------7分要满足)(1)(2x mx x x m ϕ≤++=对]5,0[∈x 恒成立，只需⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0)5(02m m 对称轴解得526-≤m .即实数m 的取值范围是26,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ -----------------------------------------10分法二：令)1()4541()(2++-+-=mx x x e x xϕ，则m x x e x x --+-='2)141()(ϕ， 令)()(x x n ϕ'=，则243)(--⋅='x e x n x ， 令)()(x n x r '=，则42)(x e x r x -⋅='，∴)(x r 在)2,0[单增，]5,2(单减；024)2(2<-=e r ，故0)(<x r 对]5,0[∈x 恒成立. ∴)(x n 在]5,0[∈x 单减，--------------------------------------------------------------6分 又∵)()(x H x G ≤对]5,0[∈x 恒成立，令1=x 得2-≤e m∴01)0(>-=m n ，无论)(x n 在]5,0[∈x 有无零点，∴)(x ϕ在]5,0[∈x 上的最小值只可能为)0(ϕ或)5(ϕ，----------------------------6分要0)1()4541()(2≥++-+-=mx x x e x xϕ恒成立， ∴)0(≥ϕ且)5(≥ϕ，-------------------------------------------------------------8分 ∴526-≤m .即实数m 的取值范围是26,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦-----------------------------------10分20.解：(1)由题知：22cos ,2cos ρθρρθ==即 因为222,cos x y x ρρθ=+= 所以，曲线C的直角坐标方程为2220x y x +-=------------------------------------------5分(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)代入x 2＋y 2－2x ＝0，得018352=++t t .---------------7分设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则：121218t t t t +=-⋅=-------------------8分 由参数t 的几何意义即知：|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18-----------------------------------10分21.解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，-----------------------3分作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象（如右图）．由图象可知，不等式的解集为{x|x≤－或x≥}．---------------------------5分(2)f(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|x－1－x＋a|＝|a－1|.∴f(x)min＝|a－1| -----------------------------------------------------------------------8分∴对于∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，-----------------------------------9分∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．--------------------------------------10分。
《解析》四川省绵阳市南山中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，）D．（，0）3．在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）与点B（2，1，﹣1）间的距离为（）A．B．3 C．D．4．双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（）A．B．C．D．6．若封闭曲线x2+y2+2mx+2=0的面积不小于4π，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．[﹣，]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]7．动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线8．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y﹣2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y+2）2=19．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，若△M NF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．10．已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．[1，）D．（﹣，）11．定义：以原双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线为原双曲线的共轭双曲线，已知双曲线的共轭双曲线为C，过点A（4，4）能做m条直线与C只有一个公共点，设这m条直线与双曲线C的渐近线围成的区域为G，如果点P、Q在区域G内（包括边界）则的最大值为（）A．10 B．C．17 D．12．抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2，若P为抛物线C上的动点，则的最小值为（）A．﹣2 B．2 C．D．3二、填空题过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|=．14．如果实数x，y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值是．15．已知程序框图，则输出的i=．16．如图，F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是．三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）直线l经过两直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点，且与直线l1：x+y ﹣6=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．18．（10分）已知圆C过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心在直线x+y﹣2=0．（1）求圆C的方程；（2）求过点N（3，2）且与圆C相切的直线方程．19．（10分）设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为（2，0），离心率为．（1）求这个椭圆的方程；（2）若这个椭圆左焦点为F1，右焦点为F2，过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF2的面积．20．（10分）在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=﹣2py（p＞0）与直线y=kx+m （m＜0）（其中m、p为常数）交于P、Q两点．（1）当k=0时，求P、Q两点的坐标；（2）试问y轴上是否存在点M，无论k怎么变化，总存在以原点为圆心的圆与直线MP、MQ都相切，若存在求出M的坐标，若不存在说明理由．2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】由题意可得，直线的斜率tanα=﹣，再由0°≤α＜180°，可得α的值．【解答】解：由于直线l：x+y+3=0的倾斜角为α，则直线的斜率tanα=﹣，再由0°≤α＜180°，可得α=120°，故选C．【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，根据三角函数的值求角，属于基础题．2．抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，）D．（，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2，∴焦点坐标为：（1，0）．故选B．【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．3．在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）与点B（2，1，﹣1）间的距离为（）A．B．3 C．D．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：空间直角坐标系中的点A（1，0，1）与点B（2，1，﹣1）之间的距离：=，故选：C．【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．4．双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的标准方程．【分析】在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解．【解答】解：双曲线的渐近线方程为：，整理，得4y2=5x2，解得y=±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．5．直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（）A．B．C．D．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由题意可得3（1﹣2a）﹣2=0，解方程可得．【解答】解：∵直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，∴3（1﹣2a）﹣2=0，∴，故选：B．【点评】本题考查直线的一般式方程和直线的垂直关系，属基础题．6．若封闭曲线x2+y2+2mx+2=0的面积不小于4π，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．[﹣，]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【考点】圆的一般方程．【分析】求出圆的标准方程，求出圆的半径即可．【解答】解：圆的标准方程为（x+m）2+y2=m2﹣2，则圆的半径R=，（m2﹣2＞0），若封闭曲线x2+y2+2mx+2=0的面积不小于4π，则πR2=π（m2﹣2）≥4π，即m2﹣2≥4，m2≥6，解得m≤﹣或m≥，故选：A【点评】本题主要考查圆的一般方程的应用，利用配方法求出圆的半径是解决本题的关键．7．动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线【考点】轨迹方程．【分析】根据双曲线的定义：动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时为双曲线；距离当等于两定点距离时为两条射线；距离当大于两定点的距离时无轨迹．【解答】解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|，点P的轨迹为一条射线故选D．【点评】本题考查双曲线的定义中的条件：小于两定点间的距离时为双曲线．8．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y﹣2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y+2）2=1【考点】圆的标准方程．【分析】根据平面直角坐标系内点P关于直线y=x对称的点对称点P'的坐标公式，可得圆心坐标，即可得出圆的方程．【解答】解：∵点P（x，y）关于直线y=x对称的点为P'（y，x），∴（1，2）关于直线y=x对称的点为（2，1），∴圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．故选：A．【点评】本题考查圆的方程，考查了平面直角坐标系内点关于直线对称的公式的知识，属于基础题．9．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，若△M NF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c代入椭圆，解得y=±．由于△MNF2为等腰直角三角形，可得=2c，由离心率公式化简整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c代入椭圆方程，解得y=±，∵△MNF2为等腰直角三角形，∴=2c，即a2﹣c2=2ac，由e=，化为e2+2e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=﹣1+．故选C．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质：离心率、等腰直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．[1，）D．（﹣，）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】画出图象，当直线l经过点A，C时，求出m的值；当直线l与曲线相切时，求出m．即可．【解答】解：画出图象，当直线l经过点A，C时，m=1，此时直线l与曲线y=有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m=．因此当时，直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点．故选C．【点评】正确求出直线与切线相切时的m的值及其数形结合等是解题的关键．11．定义：以原双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线为原双曲线的共轭双曲线，已知双曲线的共轭双曲线为C，过点A（4，4）能做m条直线与C只有一个公共点，设这m条直线与双曲线C的渐近线围成的区域为G，如果点P、Q在区域G内（包括边界）则的最大值为（）A．10 B．C．17 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出共轭双曲线方程，判断A的位置关系，求出m，画出图形，判断PQ的位置，求解即可．【解答】解：双曲线的共轭双曲线为C为x2﹣=1，画出双曲线图形，可知A在双曲线内部，与双曲线只有一点公共点，则m=2，区域G如图：显然当PQ分别与区域的EF重合时，则取得最大值．双曲线的渐近线方程为：y=±2x，则EA的方程为：y﹣4=﹣2（x﹣4），AF的方程为：y﹣4=2（x﹣4）．由可得E（3，6）．由可得F（1，﹣2）．则的最大值为：=2．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及线性规划，考查转化思想以及计算能力．12．抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2，若P为抛物线C上的动点，则的最小值为（）A．﹣2 B．2 C．D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程，表示出，然后根据点在抛物线上将y消去，求关于x 的二次函数的最小值即可；【解答】解：因为=OA•cos=2×=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x，设⊙M的半径为r，则=2，所以⊙M的方程为（x﹣2）2+y2=4设P（x，y）（x≥0），则=x2﹣3x+2+y2=x2+x+2，所以当x=0时，有最小值为2故选：B【点评】本题主要考查了圆的方程和抛物线方程，以及向量数量积的最值，属于中档题．二、填空题（2014秋•邯郸期末）过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|=8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+，求得答案．【解答】解：抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程y2=4x得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2=6根据抛物线的定义可知|AB |=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=6+2=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB |值，从而解决问题．14．如果实数x ，y 满足（x +2）2+y 2=3，则的最大值是 ．【考点】圆的标准方程．【分析】设=k ，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案【解答】解：设=k ，则y=kx 表示经过原点的直线，k 为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值， 如图示：从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC 的正切值．易得|OC |=2，|CE |=r=，可由勾股定理求得|OE |=1，于是可得到k=tan ∠EOC==，即为的最大值．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题．15．已知程序框图，则输出的i=9．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的S，i的值，当满足S≥100时，退出执行循环体，输出i的值为9．【解答】解：S=1，i=3不满足S≥100，执行循环体，S=3，i=5不满足S≥100，执行循环体，S=15，i=7不满足S≥100，执行循环体，S=105，i=9满足S≥100，退出执行循环体，输出i的值为9．故答案为：9．【点评】本题考察程序框图和算法，属于基础题．16．如图，F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意可求得直线F1B的方程，与双曲线C的方程联立，利用韦达定理可求得PQ的中点坐标，从而可得线段PQ的垂直平分线的方程，继而可求得M 点的坐标，从而可求得C的离心率．【解答】解：依题意F1（﹣c，0），B（0，b），∴直线F1B的方程为：y﹣b=x，与双曲线C的渐近线方程联立得：b2x2﹣a2=0，整理得：b2x2﹣2a2cx﹣a2c2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为上面方程的两根，由韦达定理得：x1+x2=，y1+y2=（x1+x2）+2b=，∴PQ的中点N（，），又直线MN的斜率k=﹣（与直线F1B垂直），∴直线MN的方程为：y﹣=﹣（x﹣），令y=0得M点的横坐标x=c+=．∵|MF2|=|F1F2|，∴﹣c=2c．∴c2=3b2=3（c2﹣a2），∴c2=a2，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查直线与双曲线相交，考查韦达定理的应用，考查综合分析与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2014秋•绵阳期末）直线l经过两直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点，且与直线l1：x+y﹣6=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；点到直线的距离公式．【分析】（1）联立方程组求得两直线的交点坐标，由直线l1：x+y﹣6=0的斜率求得直线l的斜率，然后代入直线的点斜式方程得答案；（2）直接由点到直线的距离公式求得a的值．【解答】解：（1）由，解得．即两直线的交点为（1，6），∵直线l1：x+y﹣6=0的斜率为﹣1，∴直线l的斜率为﹣1，∴直线l的方程为y﹣6=﹣（x﹣1），即x+y﹣7=0；（2）由题意知，，整理得：|a﹣6|=1．解得：a=7或a=5．【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．18．（10分）（2016秋•涪城区校级期中）已知圆C过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心在直线x+y﹣2=0．（1）求圆C的方程；（2）求过点N（3，2）且与圆C相切的直线方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出圆心坐标、半径，即可求圆C的方程；（2）分类讨论，利用d=r，即可求过点N（3，2）且与圆C相切的直线方程．【解答】解：（1）由题意知，圆心在线段AB的中垂线上，又Qk AB=﹣1，且线段AB的中点坐标为（0，0），则AB的中垂线方程为y=x．联立得圆心坐标为（1，1），半径．所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）当直线斜率存在时，设直线方程为y﹣2=k（x﹣3）与圆相切，由d=r得，解得．所以直线方程为3x+4y﹣17=0．又因为过圆外一点作圆的切线有两条，则另一条方程为x=3也符合题意，综上，圆的切方程为3x+4y﹣17=0和x=3．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19．（10分）（2015秋•宝安区期末）设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为（2，0），离心率为．（1）求这个椭圆的方程；（2）若这个椭圆左焦点为F1，右焦点为F2，过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF2的面积．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设椭圆的方程为，有条件求得a 和c，从而求得b，进而得到椭圆的方程．（2）把直线AB的方程代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系，求出|y1=+=+﹣y2|的值，利用S△ABF2求得结果．【解答】解：（1）设椭圆的方程为，由题意，a=2， =，∴c=，b=1，∴椭圆的方程为．（2）左焦点F 1（﹣，0），右焦点F 2（，0），设A （x 1，y 1 ）， B （x 2，y 2），则直线AB 的方程为 y=x +．由，消x 得 5y 2﹣2y ﹣1=0．∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣，∴|y 1﹣y 2|==．∴S △ABF2=+=+===．【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，利用 S △ABF2=+ 是解题的难点．20．（10分）（2016秋•涪城区校级期中）在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2=﹣2py （p ＞0）与直线y=kx +m （m ＜0）（其中m 、p 为常数）交于P 、Q 两点． （1）当k=0时，求P 、Q 两点的坐标；（2）试问y 轴上是否存在点M ，无论k 怎么变化，总存在以原点为圆心的圆与直线MP 、MQ 都相切，若存在求出M 的坐标，若不存在说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）联立方程，解得即可，（2）假设存在点M（0，y0）满足条件，由已知直线MP、MQ的倾斜角互为补角，根据斜率的关系得到2km1m2+（m﹣y0）（x1+x2）=0，再由韦达定理，代入计算即可．【解答】解：（1）当k=0时，直线为y=m（m＜0），联立，解得，所以；（2）假设存在点M（0，y0）满足条件，由已知直线MP、MQ的倾斜角互为补角，即k MP=﹣k MQ，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以，又y1=kx1+m，且y2=kx2+m，所以2km1m2+（m﹣y0）（x1+x2）=0①又由消y得x2+2pkx+2pm=0，由韦达定理：，代入①得2k•2pm+（m﹣y0）（﹣2pk）=0。
2016-2017年四川省绵阳市三台县塔山中学高二(下)4月月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年四川省绵阳市三台县塔山中学高二（下）4月月考数学试卷一、选择题1．（3分）设命题p：对∀x∈R+，e x＞lnx，则￢p为（）A．∃x0∈R+，＜lnx0B．∀x∈R+，e^x＜lnxC．∃x0∈R+，≤lnx0D．∀x∈R+，e^x≤lnx2．（3分）已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；②已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q为真命题”；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是（）A．①②③B．②④C．②D．④3．（3分）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，B＝{x|1＜2x＜4}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0≤x＜2} 4．（3分）若集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|x2﹣1≤0}，则M∩N＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|0＜x≤1} 5．（3分）设集合A＝{x|≤0}，B＝{x||x|＜1}，则A∪B＝（）A．[﹣，1）B．（﹣1，1）∪（1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣，2）6．（3分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题p且q 为真，则a取值范围为（）A．a≤﹣2或a＝1B．a≤﹣2或1≤a≤2C．a≥1D．﹣2a≤a≤17．（3分）设x＞0，y＞0且x+4y＝40，则lgx+lgy的最大值是（）A．40B．10C．4D．28．（3分）设函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（x）＝x2+2x•f′（1），则f′（0）等于（）A．0B．﹣4C．﹣2D．29．（3分）函数f（x）＝x2﹣lnx的递减区间为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）10．（3分）已知x，y满足，z＝2x+y的最大值为m，若正数a，b满足a+b＝m，则的最小值为（）A．9B．C．D．11．（3分）已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）12．（3分）函数f（x）的定义域为R，f（1）＝3，对任意x∈R，都有f（x）+f'（x）＜2，则不等式e x•f（x）＞2e x+e的解集为（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＜﹣1或0＜x＜1}二、填空题13．（3分）命题“∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，则a的取值范围是．14．（3分）已知p：x≥a，q：|x﹣1|＜1，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．15．（3分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的取值范围是．16．（3分）已知直线y＝kx+1与曲线y＝x3+ax+b切于点（1，3），则a，b的值分别为．三、解答题17．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实根；命题q：对任意x∈[﹣1，1]，不等式a2﹣3a﹣x+1≤0恒成立，若“p∧q”是假命题，“¬q”也是假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知f（x）＝x2+ax+b，a，b∈R，若f（x）＞0的解集为{x|x＜0或x＞2}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式f（x）＜m2﹣1．19．（14分）某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示．但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值大？最大日产值为多少？20．已知f（x）＝ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x＝1处的切线方程是y＝x﹣2．（1）求y＝f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）的单调递增区间．2016-2017学年四川省绵阳市三台县塔山中学高二（下）4月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）设命题p：对∀x∈R+，e x＞lnx，则￢p为（）A．∃x0∈R+，＜lnx0B．∀x∈R+，e^x＜lnxC．∃x0∈R+，≤lnx0D．∀x∈R+，e^x≤lnx【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：对∀x∈R+，e x＞lnx，则￢p为：∃x0∈R+，≤lnx0．故选：C．2．（3分）已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；②已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q为真命题”；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是（）A．①②③B．②④C．②D．④【解答】解：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，因此不正确；②已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则p与q都为假命题，∴￢p，￢q都为真命题，∴“￢p∧￢q为真命题”，正确；③“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，不正确；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”是假命题，因其逆否命题为假命题，因此不正确．综上可得：其中所有真命题的序号是②．故选：C．3．（3分）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，B＝{x|1＜2x＜4}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0≤x＜2}【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1＜2x＜4}＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{x|1≤x＜2}．故选：C．4．（3分）若集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|x2﹣1≤0}，则M∩N＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|0＜x≤1}【解答】解：集合M＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，集合N＝{x|x2﹣1≤0}＝{x|﹣1≤x≤1}，则M∩N＝{x|0＜x≤1}．故选：D．5．（3分）设集合A＝{x|≤0}，B＝{x||x|＜1}，则A∪B＝（）A．[﹣，1）B．（﹣1，1）∪（1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣，2）【解答】解：A＝{x|≤0}＝{x|﹣≤x＜2}，B＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}＝（01，2）．故选：C．6．（3分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题p且q 为真，则a取值范围为（）A．a≤﹣2或a＝1B．a≤﹣2或1≤a≤2C．a≥1D．﹣2a≤a≤1【解答】解：p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，只要（x2﹣a）min≥0，x∈[1，2]，又y＝x2﹣a，x∈[1，2]的最小值为1﹣a，所以1﹣a≥0，a≤1．q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，所以△＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，a≤﹣2或a≥1，由p且q为真可知p和q为均真，所以a≤﹣2或a＝1，故选：A．7．（3分）设x＞0，y＞0且x+4y＝40，则lgx+lgy的最大值是（）A．40B．10C．4D．2【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+4y＝40，∴40，化为：xy≤100，当且仅当x＝4y＝20时取等号．则lgx+lgy＝lg（xy）≤lg100＝2，因此其最大值是2．故选：D．8．（3分）设函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（x）＝x2+2x•f′（1），则f′（0）等于（）A．0B．﹣4C．﹣2D．2【解答】解：∵f（x）＝x2+2x•f'（1），∴f′（x）＝2x+2f′（1）∴f′（1）＝2+2f′（1）解得f′（1）＝﹣2∴f′（x）＝2x﹣4∴f′（0）＝﹣4故选：B．9．（3分）函数f（x）＝x2﹣lnx的递减区间为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝x﹣＝，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故函数f（x）在（0，1）递减，故选：B．10．（3分）已知x，y满足，z＝2x+y的最大值为m，若正数a，b满足a+b＝m，则的最小值为（）A．9B．C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A（3，0）时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z＝2x+y得z＝2×3＝6．即m＝6．则a+b＝6，∴＝（）（a+b）＝（1+4++）≥（5+2）＝，当且仅当a ＝2，b＝4取等号，故选：B．11．（3分）已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选：D．12．（3分）函数f（x）的定义域为R，f（1）＝3，对任意x∈R，都有f（x）+f'（x）＜2，则不等式e x•f（x）＞2e x+e的解集为（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＜﹣1或0＜x＜1}【解答】解：令g（x）＝e x f（x）﹣2e x﹣e，则g′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣2e x＝e x[f（x）+f′（x）﹣2]，∵f（x）+f′（x）＜2，∴f（x）+f′（x）﹣2＜0，∴g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减，又f（1）＝3，∴g（1）＝ef（1）﹣2e﹣e＝0，故当x＜1时，g（x）＞g（1），即e x f（x）﹣2e x﹣e＞0，整理得e x f（x）＞2e x+e，∴e x f（x）＞2e x+e的解集为{x|x＜1}．故选：A．二、填空题13．（3分）命题“∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪[3，+∞）．【解答】解：命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，即“∃x∈R，ax2﹣2ax+3≤0成立”是真命题①．当a＝0时，①不成立，当a≠0 时，要使①成立，必须a＜0或，∴a＜0或a≥3故答案为：（﹣∞，0）∪[3，+∞）．14．（3分）已知p：x≥a，q：|x﹣1|＜1，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是a≤0．【解答】解：由|x﹣1|＜1得﹣1＜x﹣1＜1得0＜x＜2，若p是q的必要不充分条件，则a≤0，故答案为：a≤015．（3分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的取值范围是[3，9]．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：由图易得目标函数z＝2x+y在（1，1）处取得最小值3在（3，3）处取最大值9故Z＝2x+y的取值范围为：[3，9]故答案为：[3，9]16．（3分）已知直线y＝kx+1与曲线y＝x3+ax+b切于点（1，3），则a，b的值分别为﹣1和3．【解答】解：把（1，3）代入直线y＝kx+1中，得到k＝2，求导得：y′＝3x2+a，所以y′|x＝1＝3+a＝2，解得a＝﹣1，把（1，3）及a＝﹣1代入曲线方程得：1﹣1+b＝3，则b的值为3．故答案为：﹣1和3．三、解答题17．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实根；命题q：对任意x∈[﹣1，1]，不等式a2﹣3a﹣x+1≤0恒成立，若“p∧q”是假命题，“¬q”也是假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若p真，则△＝a2﹣4×1≥0，∴a≤﹣2或a≥2．若q真，则由对任意x∈[﹣1，1]，不等式x﹣1≥a2﹣3a恒成立，∴（x﹣1）min≥a2﹣3a即a2﹣3a≤﹣2 解得1≤a≤2，即q为真命题时，a的取值范围是[1，2]．∵“p∧q”是假命题，“¬q”也是假命题，则p是假命题，q是真命题∴，∴1≤a＜2，∴实数a的取值范围为[1，2）．18．（12分）已知f（x）＝x2+ax+b，a，b∈R，若f（x）＞0的解集为{x|x＜0或x＞2}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式f（x）＜m2﹣1．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意可知，方程x2+ax+b＝0两根分别为0，2，…（2分）将两根代入方程得∴．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知不等式f（x）＜m2﹣1为x2﹣2x＜m2﹣1，即[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]＜0，…（6分）∴当m＝0时，1﹣m＝1+m，不等式的解集为Φ；…（8分）当m＞0时，1﹣m＜1+m，不等式的解集为{x|1﹣m＜x＜1+m}；…（10分）当m＜0时，1+m＜1﹣m，不等式的解集为{x|1+m＜x＜1﹣m}．…（12分）（如上，没有“综上所述…”，不扣分）19．（14分）某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示．但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值大？最大日产值为多少？【解答】解：设该厂每天安排生产甲产品x吨，乙产品y吨，日产值为z，可得z＝8x+12y，其中x、y满足约束条件作出可行域，如右图所示将直线l：z＝8x+12y进行平移，由图可知当直线l经过可行域上的点M时，直线在y轴上的截距最大，目标函数z同时达到最大值解方程组，得M（5，7）∴z的最大值为z max＝8×5+12×7＝124答：该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨，可得日产值为z的最大值为124万元．20．已知f（x）＝ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x＝1处的切线方程是y＝x﹣2．（1）求y＝f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）＝ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），则c＝1，f'（x）＝4ax3+2bx，k＝f'（1）＝4a+2b＝1（4分）切点为（1，﹣1），则f（x）＝ax4+bx2+c的图象经过点（1，﹣1），得a+b+c＝﹣1，得a ＝，b ＝﹣f（x ）＝﹣2+1（8分）（2）f'（x）＝10x3﹣9x＞0，﹣＜x＜0，或x ＞单调递增区间为（﹣，0），（，+∞）（12分）第11页（共11页）。
2016届四川省绵阳南山中学高三下三诊考试数学(文)试题(解析版)
2016届四川省绵阳南山中学高三下三诊考试数学（文）试题一、选择题1．已知集合{0,1,2}A =,{,3,4}B m =.若}2{=B A ,则实数m =（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C【解析】试题分析：若}2{=B A ,那么B ∈2，则2=m ，故选C. 【考点】集合的运算2．复平面内,复数2z i i =+,则复数z 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B【解析】试题分析：i i i z +-==12，复数z 在复平面内的点是()1,1-，为第二象限，故选B.【考点】复数3．下列函数中,在定义域内是奇函数,且在区间(-1,1)内仅有一个零点的函数是（ ） A.sin y x = B.2log ||y x =C.212y x =-D.1y x= 【答案】A【解析】试题分析：x y 2log =是偶函数，212-=x y 也是偶函数，xy 1=是奇函数，但在区间)1,1(-内没有零点，并且在定义域内没有零点，只有x y sin =是奇函数，且在区间)1,1(-内只有一个零点，当0=x 时，0=y ，满足条件，故选A. 【考点】函数的性质4．为了得到sin 2y x =的图象,只需将cos 2y x =的图象沿x 轴( )A.向左平移4π个单位B.向右平移4π个单位 C.向左平移2π个单位 D.向右平移2π个单位【答案】B【解析】试题分析：根据诱导公式，)22sin(2cos π+==x x y ，所以为了得到sin 2y x=的图象,只需将cos 2y x =的图象沿x 轴向右平移4π个单位长度，故选B. 【考点】三角函数的图像变换【方法点睛】对于三角函数的图像变换：如果变换前后两个函数是同名三角函数，只需考虑变换，“左＋右－”是相对于自变量x 来说，如果变换之前是x ω，向左或向右平移ϕ个单位，注意要提出ω，即变换为()ϕω±x ，如果是横向伸缩，如果是伸长或缩短到原来的ω倍，那x 要变为x ω1，如果是纵向变换，就是“上＋下－”，向上或向下平移h 个单位，变换为()h x f y ±=，纵向伸长或缩短到原来的A 倍，就变换为()x Af y =，如果前后两个函数不同名，就要先根据诱导公式化为同名三角函数，再变换.5．执行如图所示的程序框图,如果输入的3x t ==,则输出的M 等于（ ）A.3B.113C.196D.376【答案】C【解析】试题分析：第一次进入循环得到3=M 32311=-=x ，332≥否，第二次进入循环，311323=+=M ,21231-=-=x ，321≥-否，第三次进入循环，61921311=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=M ,321=+=x ，33≥是，推出循环，输出值是619，故选C. 【考点】循环结构6．若(),(),22x x x xe e e ef xg x --+-==则下列等式不正确的是（ ） A.2(2)2()1f x g x =+ B.22()()1f x g x -=C.22()()(2)f x g x f x += D.()()()()()f x y f x f y g x g y +=- 【答案】D 【解析】试题分析：22(22xx e e x f -+=），21221)(22222xx x x e e e e x g --+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+,即()12)2(2+=x g x f ，A 正确；1)()(22=-x g x f ,B 成立；)2(2)()(2222x f e e x g x f xx =+=+-，C 成立；x xy yx x yyx yxy x y yxe e e e e e e ee e ee e ef (x )f (y )g (x )g (y )222222--------++--++-=⨯-⨯==，()2yx y x e e y x f --++=+，显然不等，所以D 不正确，故选D.【考点】指数运算7．已知点A 为抛物线C:x 2=4y 上的动点(不含原点),过点A 的切线交x 轴于点B,设抛物线C 的焦点为F,则∠ABF 一定是( ) A.钝角 B.锐角C.直角D.上述三种情况都可能 【答案】C【解析】试题分析：由y x 42=可得，241x y =，所以x y 21='，设⎪⎪⎭⎫⎝⎛4,200x x A ，则过A 的切线方程为：()0020214x x x x y -=-，令0=y ，可得021x x =所以⎪⎭⎫⎝⎛0,210x B ，()10，F ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4,2120x x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,210x ，所以0=⋅,即090=∠ABF ,故选C.【考点】1.抛物线的几何性质；2.向量数量积.8．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,其俯视图如下所示：则下列命题中正确的是( )A.四棱锥四个侧面中不存在两组侧面互相垂直B.四棱锥的四个侧面可能全是直角三角形C.若该四棱锥的左视图为直角三角形,则体积为43D.若该四棱锥的正视图为正方形,则四棱锥的侧面积为6+俯视图【答案】C【解析】试题分析：⊥EF 底面ABCD ,底面是正方形，所以BC AB ⊥,EF AB ⊥,那么⊥AB 平面BCF ,所以平面⊥ABF 平面BCF ,同理平面⊥DCF 平面BCF ,所以存在两组侧面互相垂直，A 不正确；ABF ∆，DCF ∆是直角三角形，若BCF ∆是直角三角形，那就是等腰直角三角形，090,2=∠==BFC FC BF ,这样6==DF AF ,2=AD ,这样ADF ∆不是直角三角形，故B 不正确；左视图若是直角三角形，那么090,2=∠==BFC FC BF ，1=FE ,3412231=⨯⨯⨯=-ABCD F V ,C 不正确；若正视图是正方形，那么2=FE ,5==CF BF ,3==DF AF ,这样四棱锥的侧视图的面积就是()2252213252222212++=-⨯+⨯⨯+⨯=S ,D 不正确，故选C.【考点】1.三视图；2.几何体的体积和表面积. 9．已知0<a<b,函数1()2f x x=+,则对于任意12,[,]x x a b ∈且12x x ≠,使1212()()()()g x g x f b f a x x -≤≤-恒成立的函数g(x)可以是（ ）A.21()1g x x =-+ B.()ln 2g x x x =+ C.1()2g x x =-- D.1()(2)x g x e x=+ 【答案】B【解析】试题分析：由于对于任意[]b a x x ,,21∈且21x x ≠，使()()()()a f x x x g x g b f ≤--≤2121恒成立，则对于任意[]b a x ,∈，恒有()()()a f x g b f ≤'≤，由于b a <<0，函数xx f 12)(+=在[]b a ,上单调减函数，则只需使()()x f x g ='即可，若()xx g 12+='，那么可能的()x x x g ln 2+=，故选B. 【考点】导数的应用【思路点睛】导数的应用问题，属于中档题型，问题的关键是弄明白()()2121x x x g x g --表示什么，如何转化，表示曲线上任两点连线的斜率，曲线存在在某点处的切线斜率等于曲线两点连线的斜率，转化为()()()a f x g b f ≤'≤，也就是说()x g '满足单调递减函数就可以，而()x f 本身就是单调递减函数，所以令()()x f x g ='就可以，得到选项. 10．如图,曲线Γ在顶点为O 的角α的内部,A 、B 是曲线Γ上任意相异两点,且α≥∠AOB,我们把满足条件的最小角叫做曲线Γ相对于点O 的“确界角”.已知O 为坐标原点,曲线C的方程为2(0)232(0)x y x x x ≤=-+>⎩,那么它相对于点O 的“确界角”等于（ ）A.3π B.23π C.512π D.712π 【答案】D【解析】试题分析：如图得到函数的图像，当0≤x 时，曲线的渐近线是x y 33-=，与y 轴正半轴的夹角是3π，当0>x 时，设过原点的直线与曲线切于点()232,0200+-x x x A ，那么需满足，解得10=x ，即1=OA k ,切线与y 轴正半轴的夹角是4π，那么曲线相对于原点的“确界角”等于πππ12743=+，故选D.【考点】1.函数图像的应用；2.导数.【思路点睛】本题是函数图像的应用问题，属于中档题型，本题的两个关键，一个是审题清楚，能读懂题，二是正确画图，通过图像确定曲线相对于原点的“确界角”是哪两条直线的夹角，弄清这两点，就好入手答题了，问题的重点是求过原点的曲线的切线，对于求曲线的切线问题，首先要设切点，根据导数的几何意义，先求出切点，就好求切线了，弄清楚这三步，问题就迎刃而解了.二、填空题 11．34log log 2+=________. 【答案】0【解析】试题分析：原式=02121-=+,故填：0. 【考点】对数12．在边长为2的菱形ABCD 中,∠ABC=3π,点P 是线段BD 上的一点,则AC AP ⋅等于 . 【答案】2【解析】试题分析：+=,+=,所以()()⋅+⋅+⋅+=+⋅+=⋅2()202424120cos 22202=+-=⋅+-=+⋅+⨯⨯+=AC BP BC AB BP ，故填：2.【考点】向量数量积13．已知由不等式组401x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩所确定的平面区域为Ω,则能够覆盖区域Ω的最小圆的方程为 .【答案】22(1)(2)1x y -+-= 【解析】试题分析：如图，画出可行域，可行域为等腰直角三角形，所以三角形的外接圆的圆心在斜边中点，半径是斜边的一半，即以点()2,1为圆心，半径为1的圆，所以填：22(1)(2)1x y -+-=. 【考点】1.线性规划；2.圆的方程.14．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.MN ABC DA【答案】300【解析】试题分析：由条件，15=∠MAD ,所以075=∠NMA ,45=∠CMA ,00604515=+=∠MAC ,所以0000754560180=--=∠ACM ,045=∠ACB ,这样在ACB ∆中，2200=AC ,在ACM ∆中，060sin 45sin MCAC =，解得3200=MC ,MNC ∆中，30023320060sin 0=⨯==MC MN ，故填：300. 【考点】解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.15．设1122(,),(,)M x y N x y 为两个不同的点,直线l:ax+by+c=0,1122ax by cax by cδ++=++.有下列命题：①不论δ为何值,点N 都不在直线l 上； ②若直线l 垂直平分线段MN,则δ=1；③若δ=-1,则直线l 经过线段MN 的中点；④若δ>1,则点M 、N 在直线l 的同侧且l 与线段MN 的延长线相交. 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）. 【答案】①③④【解析】试题分析：①因为cby ax cby ax ++++=2211δ中，022≠++c by ax ，所以点()22,y x N 不在直线l 上，本选项正确； ②当0≠b 时，根据1=δ，得到12211=++++=c by ax c by ax δ，化简得abx x y y -=--1212，即直线MN 的斜率为a b -，又直线l 的斜率为ab-，①知点N 不在直线l 上，得到直线MN 与直线l 平行，当0=b 时，根据1=δ，得到12211=++++=cby ax cby ax δ，化简得：21x x =，直线MN 与直线l 的斜率不存在，都与y 轴平行，①知点N 不在直线l 上，得到直线MN 与直线l 平行，综上，当1=δ时，直线MN 与直线l 平行，本选项错误；③当1-=δ时，1-2211=++++=cby ax cby ax δ，化简得：0222121=++⋅++⋅c y y b x x a ，而线段MN 的中点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ，所以直线l 经过线段MN 的中点，本选项正确；④当1>δ时，12211>++++=cby ax cby ax δ，即()()02211>++++c by ax c by ax ，所以点N M ,在直线l 的同侧，且c by ax c by ax ++>++2211，得到点N M ,到直线l 的距离不等，所以延长线于直线l 相交，本选项正确，所以命题正确的是①③④，故填：①③④.【考点】1.命题；2.直线.【方法点睛】主要考察了直线的相关问题，属于中档题型，问题是涉及比较新颖，所以需正确转化每个选项与题干的关系，问题的出发点就是条件1122ax by cax by cδ++=++的变形，每一次等价变形就是对每一个题干的正确理解，并且能正确转化为直线的相关性质的几何意义，设计的比较巧妙，但考察的还是基础问题.三、解答题16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足3548a a a +=+. （Ⅰ）求7S 的值；（Ⅱ）若12a =且31,,k k a a S +成等比数列,求正整数k 的值. 【答案】（Ⅰ）567=S ;(Ⅱ)2=k .【解析】试题分析：（Ⅰ）运用等差数列的性质，4532a a a =+计算4a ，然后再根据()4717727a a a S =+⨯=，代入即可求得结果；（Ⅱ）根据1a 和4a ，求得等差数列的公差，进而求得等差数列的通项公式，和前n 项和公式，根据所给三项成等比数列，得到k k S a a ⋅=+321，整理为关于k 的方程，求得正整数k 的值. 试题解析：(Ⅰ)因为在等差数列{}n a 中有3544a a a a +=+，48a ∴=. 所以174747()7275622a a a S a +⨯====. (Ⅱ)由(Ⅰ)知48a =，且12a =，所以2n a n =， 于是2(22)2n n n S n n +==+，所以2k S k k =+.又3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，由已知可得213k ka a S +=，即22(22)6()k k k +=+， 整理得220k k --=，*k N ∈.解得1k =-(舍去)或2k =.故2k =.【考点】1.等差数列的性质；2.等比数列的性质. 17．设关于x 的方程2440x mx n ++=.（Ⅰ）若m ∈{1,2,3}，n ∈{0,1,2}，求方程有实根的概率；（Ⅱ）若m 、n ∈{-2,-1,1,2}，求当方程有实根时，两根异号的概率. 【答案】（Ⅰ）98=P ；（Ⅱ）21=P .【解析】试题分析：（Ⅰ）所有m 与n 的组合情况有933=⨯种，其中满足方程有实根，需要0≥∆，计算其中满足条件的情况种数，根据古典概型计算概率；（Ⅱ）若方程有实根，需满足0≥∆，所以首先计算满足0≥∆的情况种数，若两根异号，还需满足0421<=n x x ，计算有实根的条件下，满足0<n 的情况种数，再根据古典概型计算概率.试题解析：方程有实根016162≥-=∆n m ，即n m ≥2， （Ⅰ）m 与n 的所有可能结果为9种. 为使2m n ≥，则当m=3时，n=0，1，2； 当m=2时，n=0，1，2； 当m=1时，n=0，1. 共有8种结果. 方程有实根的概率98=P (Ⅱ)由条件知，在2m n ≥的条件下，求n<0的概率. 当m=-2时，n=-2，-1，1， 2； 当m=-1时，n=-1，1； 当m=1时，n=-1，1；当m=2时，n=-2，-1，1，2. 共有12种结果. ……9分其中使n 为负数的，只的6种情况，故所求概率等于61122p == 【考点】1.古典概型；2.二次方程. 18．已知函数12sin sin 2)(2-+=x x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）设20()cos()cos()sin 266x f ππααα=+-+，求0sin 2x 的值.【答案】(Ⅰ)Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++,83,8-ππππ;(Ⅱ)167.【解析】试题分析：(Ⅰ)首先化简函数，用到的公式包括x x 2cos sin 2-12=，和辅助角公式，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-42sin 22cos 2sin πx x x ，最后根据三角函数的性质得到不等式222,242k x k πππππ-+<-<+即求得函数的单调递增区间；（Ⅱ）根据上一问的计算结果x x x f cos sin 2-=⎪⎭⎫⎝⎛，然后根据两角和和差的余弦公式计算等号右边的式子，得到43cos sin 00=-x x ，最后两边平方即可求得结果.试题解析：(Ⅰ)()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-由222,242k x k πππππ-+<-<+得388k x k ππππ-+<<+ 3(,),,()88x k k k Z f x ππππ∈-++∈单増(Ⅱ)2220031())cos sin sin 2444x f x πααα=-=-+2233(sin cos )44αα=+= 003sin cos 4x x ∴-=00072sin cos sin 216x x x ==【考点】1.三角函数的恒等变形；2.辅助角公式；3.三角函数的性质.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14AA =.C 1B 1A 1CBA（Ⅰ ）过BC 的截面交1A A 于P 点,若PBC ∆为等边三角形,求出点P 的位置；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，求四棱锥11P BCC B -与三棱柱111ABC A B C -的体积比.【答案】(Ⅰ) P 为1AA 的中点;(Ⅱ)31：. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据等边三角形，可计算PB 的长度，进而计算PA 是长度，可求得点P 的位置，(Ⅱ)四棱锥11B BCC P -的体积计算，其中点P 到底面的距离等于点A 到BC 的距离，根据等腰直角三角形的计算公式，得到点到线的距离就是斜边的一半，最后分别计算体积，得到体积比. 试题解析：(Ⅰ)22===BC PB PC ,()222222=-=PA即P 为1AA 的中点时， PBC ∆为等边三角形 (Ⅱ)1118=4=33P BCC B V -⨯1111=224=82ABC A C B V -⨯⨯⨯11P BCC B V -111:1:3ABC AC B V -= PC 1B 1A 1CBA【考点】1.平面；2.几何体的体积.20．已知离心率为2的椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>经过点(0,-1),且F 1、F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,不经过F 1的斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果直线AF 1、l 、BF 1的斜率依次成等差数列,求k 的取值范围,并证明AB 的中垂线过定点.【答案】（Ⅰ）1222=+y x ；（Ⅱ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈,2222, k ，直线过定点），（021-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件22=a c ，1=b 和椭圆的性质222c b a +=，得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l 的方程：m k m kx y ≠+=,，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并且0>∆，用坐标表示k k k BF AF 211=+，结合根与系数的关系，得到kk m 21+=，最后代入0>∆得到k 的取值范围；根据以上所求关系得到线段AB的中点，并且设出直线AB 的方程，经过整理得到)21(1+-=x k y ，得到定点. 试题解析：（Ⅰ）由条件知222112c b a a =-=（），且b=1，解得a 2=2， 椭圆C 的方程为2212x y +=. （Ⅱ）令直线l 的方程为()y kx m m k =+≠，代入椭圆方程2212x y +=得:222(12)42(1)0k x kmx m +++-=. 由>0∆得2222168(12)(1)0k m k m -+->，解之得2212m k <+.令A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则122412kmx x k-+=+. 由条件得112FAF B k k k +=，即121212121222()(2)01111y y kx m kx mk k m k x x x x x x +++=⇒+=⇒-++=++++. 因为m k ≠，1220x x ++=，即24120,122km m k k k-+=∴=++. 将12m k k=+代入2212m k <+中，得22211()12,(,)()2222k k k k k +<+⇔>∴∈-∞-+∞U .. 由上知，1212x x +=-，于是得AB 中点坐标为(1,)m k --， 中垂线方程为:1(1)y m k x k -+=-+.将12m k k=+代入得:11()(1)2y k k x k k -++=-+， 整理得:11()2y x k =-+.故AB 的中垂线过定点1(,0)2-.【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.【思路点睛】本题第二问考察是否过定点问题，一般考察直线过定点问题，首先是设直线，斜率存在时设b kx y +=，然后通过方程发现b k ,的等量关系，代入后即得到直线所过定点，或是通过特殊情况先发现定点，然后通过条件证明点B A ,和定点，三点共线；而本题所采用就是第一种方法，根据直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，和将本题所给的三个斜率成等差数列的等式转化为坐标的关系，就会得到b k ,的等量关系和中点坐标，最后代入中垂线方程，问题就迎刃而解了. 21．函数21()ln 22f x x ax x =--. （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a >-，对任意的a 有()0((0,1])f x b x -<∈恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递增区间：⎪⎭⎫⎝⎛310，；单调递减区间：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31；（Ⅱ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，23-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）第一步求函数的导数，注意定义域，通分后解导数大于零和导数小于零的不等式，得到不等式的结果就是函数的单调增和减区间；（Ⅱ）将问题转化为()ma xx f b >，将函数max )(x f 转化为max )(a h ，根据单调性得到x x x h a h ln 221)1()(2+-=-<，再令x x x x g ln 221)(2+-=，根据导数求函数的最大值，根据恒成立的关系求得b 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）2321()(0)x x f x x x +-'=->， 10,()0,()3x f x f x ⎛⎫'∈> ⎪⎝⎭时，单增。
2015-2016年四川省绵阳市南山中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
（理科）
一、填空题：本大题共 12 小题．每小题 4 分，共 48 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4 分）命题“若 p 则 q”的逆命题是（ ）
A．若 q 则 p
B．若￢p 则￢q C．若￢q 则￢p D．若 p 则￢q
D．（0，1）∪（1，+∞）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分，把答案填在题中横线上
13．（3 分）若 x，y 满足约束条件
．则 的最大值为
．
14．（3 分）求值 dx＝
．
15．（3 分）在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，并且
使这两个自然数的和最小：
．
16．（3 分）已知曲线 y＝x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线 y＝ax2+（a+2）x+1
18．（10 分）设命题 p：实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2＜0，其中 a＞0，命题 q：实数 x
满足
．
（1）若 a＝1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
19．（10 分）已知曲线 C： + ＝1，直线 l：
（t 为参数）
A．最小值 和最大值 1
B．最小值 和最大值 1
C．最小值 和最大值
D．最小值 1
10．（4 分）函数 f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数 f′（x）在（a，b） 内的图象如图所示，则函数 f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（ ）
A．1 个
四川省绵阳市南山中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，）D．（，0）3．在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）与点B（2，1，﹣1）间的距离为（）A．B．3 C．D．4．双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（）A．B．C．D．6．若封闭曲线x2+y2+2mx+2=0的面积不小于4π，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．[﹣，]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]7．动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线8．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y﹣2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y+2）2=19．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，若△M NF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．10．已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．[1，）D．（﹣，）11．定义：以原双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线为原双曲线的共轭双曲线，已知双曲线的共轭双曲线为C，过点A（4，4）能做m条直线与C只有一个公共点，设这m条直线与双曲线C的渐近线围成的区域为G，如果点P、Q在区域G内（包括边界）则的最大值为（）A．10 B．C．17 D．12．抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2，若P为抛物线C上的动点，则的最小值为（）A．﹣2 B．2 C．D．3二、填空题过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|=．14．如果实数x，y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值是．15．已知程序框图，则输出的i=．16．如图，F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是．三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）直线l经过两直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点，且与直线l1：x+y ﹣6=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．18．（10分）已知圆C过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心在直线x+y﹣2=0．（1）求圆C的方程；（2）求过点N（3，2）且与圆C相切的直线方程．19．（10分）设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为（2，0），离心率为．（1）求这个椭圆的方程；（2）若这个椭圆左焦点为F1，右焦点为F2，过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF2的面积．20．（10分）在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=﹣2py（p＞0）与直线y=kx+m （m＜0）（其中m、p为常数）交于P、Q两点．（1）当k=0时，求P、Q两点的坐标；（2）试问y轴上是否存在点M，无论k怎么变化，总存在以原点为圆心的圆与直线MP、MQ都相切，若存在求出M的坐标，若不存在说明理由．2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】由题意可得，直线的斜率tanα=﹣，再由0°≤α＜180°，可得α的值．【解答】解：由于直线l：x+y+3=0的倾斜角为α，则直线的斜率tanα=﹣，再由0°≤α＜180°，可得α=120°，故选C．【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，根据三角函数的值求角，属于基础题．2．抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，）D．（，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2，∴焦点坐标为：（1，0）．故选B．【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．3．在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）与点B（2，1，﹣1）间的距离为（）A．B．3 C．D．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：空间直角坐标系中的点A（1，0，1）与点B（2，1，﹣1）之间的距离：=，故选：C．【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．4．双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的标准方程．【分析】在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解．【解答】解：双曲线的渐近线方程为：，整理，得4y2=5x2，解得y=±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．5．直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（）A．B．C．D．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由题意可得3（1﹣2a）﹣2=0，解方程可得．【解答】解：∵直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，∴3（1﹣2a）﹣2=0，∴，故选：B．【点评】本题考查直线的一般式方程和直线的垂直关系，属基础题．6．若封闭曲线x2+y2+2mx+2=0的面积不小于4π，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．[﹣，]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【考点】圆的一般方程．【分析】求出圆的标准方程，求出圆的半径即可．【解答】解：圆的标准方程为（x+m）2+y2=m2﹣2，则圆的半径R=，（m2﹣2＞0），若封闭曲线x2+y2+2mx+2=0的面积不小于4π，则πR2=π（m2﹣2）≥4π，即m2﹣2≥4，m2≥6，解得m≤﹣或m≥，故选：A【点评】本题主要考查圆的一般方程的应用，利用配方法求出圆的半径是解决本题的关键．7．动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线【考点】轨迹方程．【分析】根据双曲线的定义：动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时为双曲线；距离当等于两定点距离时为两条射线；距离当大于两定点的距离时无轨迹．【解答】解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|，点P的轨迹为一条射线故选D．【点评】本题考查双曲线的定义中的条件：小于两定点间的距离时为双曲线．8．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y﹣2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y+2）2=1【考点】圆的标准方程．【分析】根据平面直角坐标系内点P关于直线y=x对称的点对称点P'的坐标公式，可得圆心坐标，即可得出圆的方程．【解答】解：∵点P（x，y）关于直线y=x对称的点为P'（y，x），∴（1，2）关于直线y=x对称的点为（2，1），∴圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．故选：A．【点评】本题考查圆的方程，考查了平面直角坐标系内点关于直线对称的公式的知识，属于基础题．9．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，若△M NF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c代入椭圆，解得y=±．由于△MNF2为等腰直角三角形，可得=2c，由离心率公式化简整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c代入椭圆方程，解得y=±，∵△MNF2为等腰直角三角形，∴=2c，即a2﹣c2=2ac，由e=，化为e2+2e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=﹣1+．故选C．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质：离心率、等腰直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．[1，）D．（﹣，）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】画出图象，当直线l经过点A，C时，求出m的值；当直线l与曲线相切时，求出m．即可．【解答】解：画出图象，当直线l经过点A，C时，m=1，此时直线l与曲线y=有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m=．因此当时，直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点．故选C．【点评】正确求出直线与切线相切时的m的值及其数形结合等是解题的关键．11．定义：以原双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线为原双曲线的共轭双曲线，已知双曲线的共轭双曲线为C，过点A（4，4）能做m条直线与C只有一个公共点，设这m条直线与双曲线C的渐近线围成的区域为G，如果点P、Q在区域G内（包括边界）则的最大值为（）A．10 B．C．17 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出共轭双曲线方程，判断A的位置关系，求出m，画出图形，判断PQ的位置，求解即可．【解答】解：双曲线的共轭双曲线为C为x2﹣=1，画出双曲线图形，可知A在双曲线内部，与双曲线只有一点公共点，则m=2，区域G如图：显然当PQ分别与区域的EF重合时，则取得最大值．双曲线的渐近线方程为：y=±2x，则EA的方程为：y﹣4=﹣2（x﹣4），AF的方程为：y﹣4=2（x﹣4）．由可得E（3，6）．由可得F（1，﹣2）．则的最大值为：=2．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及线性规划，考查转化思想以及计算能力．12．抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2，若P为抛物线C上的动点，则的最小值为（）A．﹣2 B．2 C．D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程，表示出，然后根据点在抛物线上将y消去，求关于x 的二次函数的最小值即可；【解答】解：因为=OA•cos=2×=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x，设⊙M的半径为r，则=2，所以⊙M的方程为（x﹣2）2+y2=4设P（x，y）（x≥0），则=x2﹣3x+2+y2=x2+x+2，所以当x=0时，有最小值为2故选：B【点评】本题主要考查了圆的方程和抛物线方程，以及向量数量积的最值，属于中档题．二、填空题（2014秋•邯郸期末）过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|=8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+，求得答案．【解答】解：抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程y2=4x得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2=6根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=6+2=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．14．如果实数x，y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值是．【考点】圆的标准方程．【分析】设=k，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，如图示：从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=r=，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到k=tan∠EOC==，即为的最大值．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题．15．已知程序框图，则输出的i=9．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的S，i的值，当满足S≥100时，退出执行循环体，输出i的值为9．【解答】解：S=1，i=3不满足S≥100，执行循环体，S=3，i=5不满足S≥100，执行循环体，S=15，i=7不满足S≥100，执行循环体，S=105，i=9满足S≥100，退出执行循环体，输出i的值为9．故答案为：9．【点评】本题考察程序框图和算法，属于基础题．16．如图，F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意可求得直线F1B的方程，与双曲线C的方程联立，利用韦达定理可求得PQ的中点坐标，从而可得线段PQ的垂直平分线的方程，继而可求得M 点的坐标，从而可求得C的离心率．【解答】解：依题意F1（﹣c，0），B（0，b），∴直线F1B的方程为：y﹣b=x，与双曲线C的渐近线方程联立得：b2x2﹣a2=0，整理得：b2x2﹣2a2cx﹣a2c2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为上面方程的两根，由韦达定理得：x1+x2=，y1+y2=（x1+x2）+2b=，∴PQ的中点N（，），又直线MN的斜率k=﹣（与直线F1B垂直），∴直线MN的方程为：y﹣=﹣（x﹣），令y=0得M点的横坐标x=c+=．∵|MF2|=|F1F2|，∴﹣c=2c．∴c2=3b2=3（c2﹣a2），∴c2=a2，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查直线与双曲线相交，考查韦达定理的应用，考查综合分析与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2014秋•绵阳期末）直线l经过两直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点，且与直线l1：x+y﹣6=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；点到直线的距离公式．【分析】（1）联立方程组求得两直线的交点坐标，由直线l1：x+y﹣6=0的斜率求得直线l的斜率，然后代入直线的点斜式方程得答案；（2）直接由点到直线的距离公式求得a的值．【解答】解：（1）由，解得．即两直线的交点为（1，6），∵直线l1：x+y﹣6=0的斜率为﹣1，∴直线l的斜率为﹣1，∴直线l的方程为y﹣6=﹣（x﹣1），即x+y﹣7=0；（2）由题意知，，整理得：|a﹣6|=1．解得：a=7或a=5．【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．18．（10分）（2016秋•涪城区校级期中）已知圆C过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心在直线x+y﹣2=0．（1）求圆C的方程；（2）求过点N（3，2）且与圆C相切的直线方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出圆心坐标、半径，即可求圆C的方程；（2）分类讨论，利用d=r，即可求过点N（3，2）且与圆C相切的直线方程．【解答】解：（1）由题意知，圆心在线段AB的中垂线上，又Qk AB=﹣1，且线段AB的中点坐标为（0，0），则AB的中垂线方程为y=x．联立得圆心坐标为（1，1），半径．所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）当直线斜率存在时，设直线方程为y﹣2=k（x﹣3）与圆相切，由d=r得，解得．所以直线方程为3x+4y﹣17=0．又因为过圆外一点作圆的切线有两条，则另一条方程为x=3也符合题意，综上，圆的切方程为3x+4y﹣17=0和x=3．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19．（10分）（2015秋•宝安区期末）设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为（2，0），离心率为．（1）求这个椭圆的方程；（2）若这个椭圆左焦点为F1，右焦点为F2，过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF2的面积．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设椭圆的方程为，有条件求得a 和c，从而求得b，进而得到椭圆的方程．（2）把直线AB的方程代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系，求出|y1=+=+﹣y2|的值，利用S△ABF2求得结果．【解答】解：（1）设椭圆的方程为，由题意，a=2，=，∴c=，b=1，∴椭圆的方程为．（2）左焦点F1（﹣，0），右焦点F2（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AB的方程为y=x+．由，消x得5y2﹣2y﹣1=0．∴y1+y2=，y1y2=﹣，∴|y1﹣y2|==．=+=+∴S△ABF2===．【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，利用S△=+是解题的难点．ABF220．（10分）（2016秋•涪城区校级期中）在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=﹣2py（p＞0）与直线y=kx+m（m＜0）（其中m、p为常数）交于P、Q两点．（1）当k=0时，求P、Q两点的坐标；（2）试问y轴上是否存在点M，无论k怎么变化，总存在以原点为圆心的圆与直线MP、MQ都相切，若存在求出M的坐标，若不存在说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）联立方程，解得即可，（2）假设存在点M（0，y0）满足条件，由已知直线MP、MQ的倾斜角互为补角，根据斜率的关系得到2km1m2+（m﹣y0）（x1+x2）=0，再由韦达定理，代入计算即可．【解答】解：（1）当k=0时，直线为y=m（m＜0），联立，解得，所以；（2）假设存在点M（0，y0）满足条件，由已知直线MP、MQ的倾斜角互为补角，即k MP=﹣k MQ，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以，又y1=kx1+m，且y2=kx2+m，所以2km1m2+（m﹣y0）（x1+x2）=0①又由消y得x2+2pkx+2pm=0，由韦达定理：，代入①得2k•2pm+（m﹣y0）（﹣2pk）=0。
四川省绵阳南山中学2015-2016学年高二4月月考文科数学试题 含答案
2016年4月绵阳南山中学2016年春季高2017届4月月考理科数学试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分,其中试题卷由第Ⅰ卷(选择题)组成，共4页；答题卷即第Ⅱ卷(非选择题）共4页.满分100分。
考试结束后将答题卡和答题卷一并交回.第Ⅰ卷(选择题，共48分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
一．选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分;每小题只有唯一符合题目要求的答案)1。
下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( ）．A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2D．a3＞b32.函数46y x x=-+-的最小值为( )A．2B2C．4D．63.不等式xx52x22--的解集是+<+A。
}1<{->xx x或5≥x5{-≤x x或B。
}1C. }51≤-xx1{≤x D。
}5<{<-x4.给出以下四个命题：①若0≤ab,则0≤a或0≤b；②若b a >，则22bm am >;③在△ABC 中,若B A sin sin =,则B A =；④在一元二次方程02=++c bx ax 中，若042<-ac b ，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 5。
圆)sin cos 2θθρ+=（的圆心的极坐标是( ）A 。
⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π C 。
⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D 。
⎪⎭⎫⎝⎛4,2π6.给出四个命题： （1）1222++x x 的最小值为2； （2)xx 432--的最大值为2－4错误!；(3）x xlg 10log +的最小值为2; (4）xx 22sin 4sin +的最小值为4。
《解析》四川省宜宾市南溪二中2016-2017学年高二下学期入学数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年四川省宜宾市南溪二中高二（下）入学数学试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共5×12=60分）1．椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．2．将一个总数为A、B、C三层，其个体数之比为5：3：2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取（）个个体．A．20 B．30 C．40 D．503．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.54．“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（）A．（2，1），4 B．（2，﹣1），2 C．（﹣2，1），2 D．（﹣2，﹣1），2 6．已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣17．在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙，则下列判断正确的是（）A．甲＜乙，甲比乙成绩稳定B．甲＞乙，甲比乙成绩稳定C．甲＜乙，乙比甲成绩稳定D．甲＞乙，乙比甲成绩稳定8．设双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程为3x+2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．19．内江市某镇2009年至2015年中，每年的人口总数y（单位：万）的数据如下表：若t与y之间具有线性相关关系，则其线性回归直线=t+一定过点（）A．（3，9） B．（9，3） C．（6，14）D．（4，11）10．椭圆4x2+5y2=1的左、右焦点为F，F′，过F′的直线与椭圆交于M，N，则△MNF的周长为（）A．2 B．4 C．D．411．若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是（）A．6 B．7 C．8 D．912．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣8=0 B．x+2y﹣8=0 C．x﹣2y﹣8=0 D．2x﹣y﹣8=0二、填空题：（每小题5分，共5×4=20分）13．阅读如图所示的程序框图输出的S是．14．将一颗骰子先后抛掷2次，以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=9的内部的概率为．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．16．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有两个公共点，则b的取值范围是．三、解答题：（共6小题，共70分）17．已知直线l1经过点A（m，1），B（﹣1，m），直线l2经过点P（1，2），Q（﹣5，0）．（1）若l1∥l2，求m的值；（2）若l1⊥l2，求m的值．18．设平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣1，2），C（﹣4，1）．（1）求直线BC的一般式方程；（2）求△ABC的外接圆的标准方程．19．从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如图：（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（Ⅱ）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取3人，该3人中成绩在[130，150]的有几人？（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的3人中，随机抽取2人，求分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率．20．已知命题p：x2﹣8x﹣20≤0，命题q：[x﹣（1+m）]•[x﹣（1﹣m）]≤0（m ＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．21．如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（2）求过点（3，0），且斜率为的直线被C所截线段的长度．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．2016-2017学年四川省宜宾市南溪二中高二（下）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共5×12=60分）1．椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，则c==2；则椭圆的离心率为e==，故选D．2．将一个总数为A、B、C三层，其个体数之比为5：3：2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取（）个个体．A．20 B．30 C．40 D．50【考点】B3：分层抽样方法．【分析】因为分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，又A、B、C三层的个体数之比已知，根据条件列出结果．【解答】解：∵A、B、C三层，个体数之比为5：3：2．又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层抽样应从C中抽取100×=20．故选：A．3．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【考点】B7：频率分布表．【分析】从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率．【解答】解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，样本数据落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122共有四个，∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为=0.4，故选C4．“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断．【解答】解：若（2x﹣1）x=0 则x=0或x=．即（2x﹣1）x=0推不出x=0．反之，若x=0，则（2x﹣1）x=0，即x=0推出（2x﹣1）x=0所以“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的必要不充分条件．故选B5．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（）A．（2，1），4 B．（2，﹣1），2 C．（﹣2，1），2 D．（﹣2，﹣1），2【考点】J1：圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程，直接写出圆心与半径即可．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为：（2，﹣1），2．故选：B．6．已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线垂直的性质求解．【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，∴a（2a﹣1）﹣a=0，解得a=0或a=1．故选：C．7．在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙，则下列判断正确的是（）A．甲＜乙，甲比乙成绩稳定B．甲＞乙，甲比乙成绩稳定C．甲＜乙，乙比甲成绩稳定D．甲＞乙，乙比甲成绩稳定【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】由茎叶图知分别求出两组数据的平均数和方差，由此能求出结果．【解答】解：由茎叶图知：=（76+77+88+90+94）=85，= [（76﹣85）2+（77﹣85）2+（88﹣85）2+（90﹣85）2+（94﹣85）2]=52，=（75+86+88+88+93）=86，= [（75﹣86）2+（86﹣86）2+（88﹣86）2+（88﹣86）2+（93﹣86）2]=35.6，∴甲＜乙，乙比甲成绩稳定．故选：C．8．设双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程为3x+2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的渐近线方程代入即可求得a的值．【解答】解：由双曲线﹣=1焦点在x轴上，则双曲线渐近线方程y=±x，即ay±bx=0，由b=3，则a=2，∴a的值为2，故选C．9．内江市某镇2009年至2015年中，每年的人口总数y（单位：万）的数据如下表：若t与y之间具有线性相关关系，则其线性回归直线=t+一定过点（）A．（3，9） B．（9，3） C．（6，14）D．（4，11）【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出横坐标和纵坐标的平均数，写出样本中心点，可得结论．【解答】解：=（0+1+2+3+4+5+6）=3，=（8+8+8+9+9+10+11）=9，∴线性回归直线=t+一定过点（3，9），故选：A．10．椭圆4x2+5y2=1的左、右焦点为F，F′，过F′的直线与椭圆交于M，N，则△MNF的周长为（）A．2 B．4 C．D．4【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义可知|FM|+|F′M|和|FN|+|F′N|的值，进而把四段距离相加即可求得答案．【解答】解：椭圆4x2+5y2=1可得a=，利用椭圆的定义可知，|FM|+|F′M|=2a=1，|FN|+|F′N|=2a=1，∴△MNF2的周长为|FM|+|F′M|+|FN|+|F′N|=1+1=2．故选：A．11．若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1，抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，可得x M=9，则M到y轴的距离是：9．故选：D．12．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣8=0 B．x+2y﹣8=0 C．x﹣2y﹣8=0 D．2x﹣y﹣8=0【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】斜率设为k，则直线l的方程为y﹣2=k（x﹣4），代入椭圆的方程化简，利用韦达定理x1+x2，求出斜率，即可求解直线l的方程．【解答】解：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y﹣2=k（x﹣4），即kx﹣y+2﹣4k=0，代入椭圆的方程化简得（1+4k2）x2+（16k﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20=0，∴x1+x2==8，解得k=﹣，故直线l的方程为x+2y﹣8=0，故选：B．二、填空题：（每小题5分，共5×4=20分）13．阅读如图所示的程序框图输出的S是30．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，i=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=5，i=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=14，i=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=30，i=5，满足退出循环的条件；故输出的结果为：30，故答案为：30．14．将一颗骰子先后抛掷2次，以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=9的内部的概率为．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件总数为36，满足条件的事件可以通过列举得到事件数，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件总数为36，满足条件的事件有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共有4种结果，记点（x，y）在圆x2+y2=9的内部记为事件A，∴P（A）==，即点（x，y）在圆x2+y2=9的内部的概率，故答案为15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．【解答】解：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：16．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有两个公共点，则b的取值范围是1﹣2＜b≤﹣1．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】曲线方程变形后，表示圆心为（2，3），半径为2的下半圆，如图所示，根据直线y=x+b与圆有2个公共点，【解答】解：曲线方程变形为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，表示圆心A为（2，3），半径为2的下半圆，根据题意画出图形，如图所示，当直线y=x+b过B（4，3）时，将B坐标代入直线方程得：3=4+b，即b=﹣1；当直线y=x+b与半圆相切时，圆心A到直线的距离d=r，即=2，即b﹣1=2（不合题意舍去）或b﹣1=﹣2，解得：b=1﹣2，则直线与曲线有两个公共点时b的范围为1﹣2＜b≤﹣1．故答案为：1﹣2＜b≤﹣1三、解答题：（共6小题，共70分）17．已知直线l1经过点A（m，1），B（﹣1，m），直线l2经过点P（1，2），Q（﹣5，0）．（1）若l1∥l2，求m的值；（2）若l1⊥l2，求m的值．【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系；II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由两点式求出l1的斜率．（1）再由两点求斜率的到l2的斜率，由斜率相等求得m的值；（2）由两直线的斜率乘积等于﹣1得答案．【解答】解：∵直线l1经过点A（m，1），B（﹣1，m），∴直线l1的斜率为：直线l2经过点P（1，2），Q（﹣5，0），∴直线l2的斜率为．（1）若l1∥l2，则=，∴m=（2）若l1⊥l2，则=﹣1，∴m=﹣2．18．设平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣1，2），C（﹣4，1）．（1）求直线BC的一般式方程；（2）求△ABC的外接圆的标准方程．【考点】IK：待定系数法求直线方程；J1：圆的标准方程．【分析】（1）根据A（﹣1，1），B（﹣1，2），可知直线BC的斜率不存在，即可得出一般式方程；（2）根据k AC=0，直线AB的斜率不存在，可得AB⊥AC．利用直角三角形的外接圆的性质即可得出．【解答】解：（1）∵A（﹣1，1），B（﹣1，2），∴直线BC的一般式方程为：x+1=0；（2）∵k AC=0，直线AB的斜率不存在，∴AB⊥AC．∴△ABC是直角三角形．线段BC的中点，为△ABC外接圆的圆心．外接圆的半径r===．∴△ABC的外接圆的标准方程为： +=．19．从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如图：（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（Ⅱ）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取3人，该3人中成绩在[130，150]的有几人？（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的3人中，随机抽取2人，求分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率．【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据平均数是频率分布直方图各个小矩形的面积×底边中点横坐标之和，求出本次考试的平均分；（Ⅱ）利用频数=频率×样本数，求出分数在[30，50）和[130，150]的学生人数，再按照分层抽样的方法按比例求出3人中成绩在[130，150]的有几人？（III）由（II）知，抽取的3人中分数在[30，50）的有2人，分数在[130，150]的有1人，问题为古典概型．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92．（Ⅱ）样本中分数在[30，50）和[130，150]的学生人数分别为6人和3人，所以抽取的3人中成绩在[130，150]的有=1人．（III）由（II）知，抽取的3人中分数在[30，50）的有2人，记为a，b，分数在[130，150]的有1人，记为c，从中随机抽取2人，总的情形有（a，b），（a，c），（b，c）三种．而分数在[30，50）和[130，150]各1人的情形为（a，c），（b，c）两种，故所求的概率为：P=．20．已知命题p：x2﹣8x﹣20≤0，命题q：[x﹣（1+m）]•[x﹣（1﹣m）]≤0（m ＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p：x2﹣8x﹣20≤0，得﹣2≤x≤10．由于p是q的充分不必要条件，可得[﹣2，10]⊊[1﹣m，1+m]．即可得出．【解答】解：由p：x2﹣8x﹣20≤0，得﹣2≤x≤10，∵p是q的充分不必要条件，∴[﹣2，10]⊊[1﹣m，1+m]．则，或，解得m≥9．故实数m的取值范围为[9，+∞）．21．如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（2）求过点（3，0），且斜率为的直线被C所截线段的长度．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），则|MD|=|PD|，解得：，代入x'2+y'2=25，整理得：；（2）设直线方程为：，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=﹣8，弦长公式：丨AB丨=•，即可求得直线被C所截线段的长度．【解答】解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），由|MD |=|PD |，解得：∵P 在圆上，∴x'2+y'2=25，即，整理得：，即C 的方程为：；…（2）过点（3，0），斜率为k=，的直线方程为：，…设直线与C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线方程代入C 的方程，得，整理得：x 2﹣3x ﹣8=0…∴由韦达定理可知：x 1+x 2=3，x 1•x 2=﹣8，…∴线段AB 的长度为，线段AB 的长度丨AB 丨=…22．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的一个长轴顶点为A （2，0），离心率为，直线y=k （x ﹣1）与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当△AMN 的面积为时，求k 的值．【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线y=k （x ﹣1）与椭圆C 联立，消元可得（1+2k 2）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣4=0，从而可求|MN |，A （2，0）到直线y=k （x ﹣1）的距离，利用△AMN 的面积为，可求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．2017年5月26日。
精品：【全国百强校】四川省绵阳南山中学2015-2016学年高二下学期期中考试文数试题(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“若p 则q ”的逆命题是（ ）A.若q 则pB.若p ⌝则q ⌝C.若q ⌝则p ⌝D.若p 则q ⌝ 【答案】A 【解析】2.设命题:P 2,2,nn N n P ⌝∃∈>则为（ ）A.2,2n n N n ∀∈>B.2,2nn N n ∃∈≤ C.2,2n n N n ∀∈≤ D.2,2nn N n ∃∈= 【答案】C 【解析】试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题P 的否命题应该为2,2n n N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C. 考点：原命题与否命题.3.已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）A.53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πB.543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪C.523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πD.⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π， 【答案】D 【解析】试题分析：极坐标)3,5(π的直角坐标为），（32525，而），（32525的极坐标又可为），（325ππ+k ，观察选项可知D 正确，此时1-=k ．所以本题正确选项为D.考点：极坐标与直角坐标. 4.设R x ∈，则“21≥x ”是“0122≥-+x x ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】考点：充分条件与必要条件.5.已知12,(0,1)a a ∈记1212,1M a a N a a =⋅=+-则M N 与的大小关系是（ ）A. M N <B. M N =C. M N >D.不确定 【答案】C 【解析】试题分析：利用求差法可比较代数式的大小，)1)(1(1212121--=+--=-a a a a a a N M ，因为)1,0(,21∈a a ，所以0)1)(1(21>--a a ，也即N M >，所以本题正确选项为C.考点：代数式大小比较.6.曲线1323+-=x x y 在点(1,1)-处的切线方程为（ ）A.43-=x yB.23+-=x yC.34+-=x yD.54-=x y 【答案】B 【解析】试题分析：函数的导函数为x x y 632-='，由导数的性质可知曲线在点(1,1)-处切线的斜率为3-=k ，再由点斜式可求得切线方程为23)1(31+-=⇒--=+x y x y ，故本题的正确选项为B. 考点：导数的运用.7.函数()()xe x xf 3-=的单调递增区间是（ ）A.()2,∞-B.(0,3)C.(1,4)D.()+∞,2 【答案】D 【解析】：考点：导数的运用. 8.函数xxy ln =的最大值为（ ） A.2e B.1-e C.e D.310 【答案】B 【解析】试题分析：原函数的导函数为2ln 1x x y -='，令导函数为零0ln 12=-='xxy ，可求得极值点e x =，当e x >时，0ln 12<-='x x y ，原函数为减函数，当e x <<0时，0ln 12>-='xxy ，原函数为增函数，所以e x =为原函数的极大值点，同时也为最大值点，可求得最大值为1-e ，故本题的正确选项为B. 考点：导函数的运用.9.已知实数,x y 满足221x y +=，则代数式(1)(1)xy xy -+有（ ） A.最小值21和最大值1 B.最小值1C.最小值21和最大值43 D.最小值43和最大值1 【答案】D 【解析】试题分析：由已知条件可假设)2,0[,sin ,cos π∈==t t y t x ，则2)(1)1)(1(xy xy xy -=-+，因为t t t t xy 2sin 41)2sin 21()cos (sin )(2222===，由)2,0[π∈t 可知]41,0[2sin 41)(22∈=t xy ，所以有]43,0[)1)(1(∈-+xy xy ．故本题的正确选项为D.考点：参数法的运用.【思路点睛】观察代数式2)(1)1)(1(xy xy xy -=-+，只要求得xy 的取值范围即可求得(1)(1)xy xy -+最值，因为),(y x 在圆上，所以可用参数法求得xy 的取值范围，同样也可令x k y k xy =⇒=即反比例函数xky =与圆221x y +=有交点，并在存在交点时求得k 的取值范围，便可求得(1)(1)xy xy -+的范围． 10.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在 开区间),(b a 内有极小值点（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A 【解析】考点：函数的极值点.11.已知函数32()f x x ax bx c =-+++的一个极值点是1x =，则93a b +的最小值是（ ）A.10B.C.D.【答案】C 【解析】试题分析：函数的导函数为b ax x x f ++-='23)(2，函数存在极值点1x =，由导函数性质可知该点为导函数的零点，所以有32=+b a ，则363333392322≥+=+=+-a a b aba，当且仅当23,43==b a 时，不等式可取等号，所以本题的正确选项为C.考点：函数的极值点，重要不等式.【思路点睛】根据导函数的性质，函数的极值点，为导函数的零点，所以可先求得导函数，由导函数的零点便可确定b a ,的关系32=+b a ，因为273333922==⋅=⋅+ba baba，所以考虑利用重要不等式来求得93a b +的最小值，再利用重要不等式求最值时，一定要注意，不等式能否取到等号．12.设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0,f -=当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使 得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A.(1,0)(1,)-⋃+∞B.(,1)(0,1)-∞-⋃C.(,1)(1,0)-∞-⋃-D.(0,1)(1,)⋃+∞ 【答案】B 【解析】【思路点睛】若直接解不等式()0f x >，因不知道)(x f 的单调性，所以较难求解，根据条件'()()0xf x f x -<可构造一个新函数xx f x g )()(=，这样结合)(x f 为奇函数便可得到)(x g 的单调区间及零点，从而得到)(x g 函数值分别为正数与负数的区间，进而便可求得()0f x >的取值范围．第Ⅱ卷（非选择题共52分）二、填空题（本大题共4小题，每题3分，满分12分．）13.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x ，则x y 的最大值为 ．【答案】3 【解析】试题分析：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x 所表示的可行域的顶点为)2,2(),3,1(),1,1(，因为目标函数kx y =为过原点的直线，且目标函数总是在可行域的顶点处取得最值，将可行域的三个顶点为分别代入目标函数可求得k 的值为31或，所以最大值为3. 考点：线性约束. 14.已知()()31323f x x xf '=+，则()1f '= ． 【答案】5- 【解析】试题分析：由已知得)2(3)(2f x x f '+='，令2=x ，2-)2()2(34)2(='⇒'+='f f f ，所以有6)(2-='x x f ，则5)1(-='f .考点：导函数的运用.15.函数()3231f x ax x x =+-+在R 上是减函数，则a 的取值范围是 ．【答案】3-≤a 【解析】考点：导函数的运用.【方法点睛】本题主要考察导函数与函数的单调性，以及不等式恒成立证明。
四川省绵阳市南山中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(文科) 含解析
2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．直线l:x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．抛物线y2=4x的焦点坐标为()A．(0，1）B．（1，0）C．(0，）D．（，0）3．在空间直角坐标系中,点A(1，0，1）与点B（2，1,﹣1)间的距离为（）A．B．3 C．D．4．双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（）A．B．C．D．6．若封闭曲线x2+y2+2mx+2=0的面积不小于4π，则实数m的取值范围为（）A．(﹣∞，﹣]∪[，+∞) B．［﹣，]C．（﹣∞,﹣2]∪［2,+∞）D．［﹣2，2]7．动点P到点M(1，0）与点N(3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（) A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线8．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y﹣2）2=1 C．(x+2)2+（y﹣1)2=1 D．（x﹣1）2+（y+2)2=19．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点,若△M NF2为等腰直角三角形,则该椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．10．已知直线l:y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．(﹣1，1) C．[1，) D．(﹣,）11．定义：以原双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线为原双曲线的共轭双曲线，已知双曲线的共轭双曲线为C，过点A(4，4)能做m条直线与C只有一个公共点，设这m条直线与双曲线C的渐近线围成的区域为G，如果点P、Q在区域G内（包括边界）则的最大值为()A．10 B．C．17 D．12．抛物线C：y2=2px(p＞0）的准线为l，焦点为F,圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切,过原点O作倾斜角为的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且｜AO｜=|BO｜=2，若P为抛物线C上的动点，则的最小值为（）A．﹣2 B．2 C．D．3二、填空题过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB｜=．14．如果实数x,y满足（x+2）2+y2=3,则的最大值是．15．已知程序框图，则输出的i=．16．如图,F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M,若|MF2|=｜F1F2|,则C的离心率是．三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分)直线l经过两直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点,且与直线l1：x+y ﹣6=0平行．(1）求直线l的方程；(2）若点P（a，1）到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．18．（10分）已知圆C过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心在直线x+y﹣2=0．(1）求圆C的方程;（2）求过点N（3,2)且与圆C相切的直线方程．19．（10分)设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为（2，0)，离心率为．（1）求这个椭圆的方程;(2）若这个椭圆左焦点为F1，右焦点为F2,过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B 两点，求△ABF2的面积．20．（10分)在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=﹣2py（p＞0）与直线y=kx+m （m＜0）（其中m、p为常数）交于P、Q两点．（1）当k=0时,求P、Q两点的坐标；（2)试问y轴上是否存在点M，无论k怎么变化，总存在以原点为圆心的圆与直线MP、MQ都相切，若存在求出M的坐标，若不存在说明理由．2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高二(上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题4分，共48分。