9.4菱形(2)
菱形判定
检测反馈： 4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O， DE∥AC，CE∥BD．请判断四边形OCED 的形状，并说明理由.
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苏科版 八年级数学(下)
§9.4 矩形、菱形、正方形 ——菱形的判定
复习巩固： 菱形的性质
对称性 边
既是轴对称图形，又是中心对 称图形． 四边相等，对边平行.
对角相等. 对角线互相垂直且平分. 每条对角线平分一组对角.
角
对角线
合作探究： 一 个四边形满足什么条件，它就是菱形 呢？ 定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
B
O
D
C
菱形的判别方法有哪些？ 判别方法1： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 判别方法2： 四条边相等的四边形是菱形. 判别方法3：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
个性展示： 例1 如图，矩形ABCD(AD>AB)，对角线AC 的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、 F.分别连结AF和CE. (1)说明四边形AFCE是菱形； (2)若AB=4cm，BC=8cm，求BF的长.
D C
合作探究：
四边形的对角线满足什么条件，它就是 菱形呢？ 两条对角线互相垂直的四边形是菱形吗？ 不是，四边形可能是“筝形”.
A A B D B C
D
C
合作探究：
两条对角线互相垂直的平行四边形，它 是菱形吗？说明理由.
A B O D
C
菱形的判别方法3： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
在□ABCD中 ∵AC⊥BD ∴□ABCD是菱形
A
在□ABCD中 ∵AB=BC ∴□ABCD是菱形
B
D
C
菱形呢？
四条边相等的四边形是菱形.请你说 明理由.
9.4.4菱形的判定
9.4.4菱形的判定知识点菱形的判定1．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，则得到的四边形ABCD 是菱形，这样作图的依据是()A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有()A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠23．如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是________(写出一个即可)．4．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，平移边CD到EF，当BF＝________时，四边形ABFE为菱形．第1题第2题第3题第4题5．如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形．6．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于点E.求证：四边形OCED是菱形．7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线分别与边AD，BC交于点E，F，连接AF，CE，四边形AFCE是菱形吗？为什么？【能力提升】8．如图所示，在▱ABCD中，AE是∠DAB的平分线，EF∥AD交AB于点F，若AB＝9，CE ＝4，AE＝8，则DF的长为() A．4 B．8 C．6 D．99．2017·铜山区二模如图，用完全相同的两个矩形纸片交叉叠合得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是________．第8题10．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，并且DE＝DF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．11．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线分别与AD，BC交于点E，F.(1)求证：AE＝CF；(2)连接AF，CE，试判断四边形AFCE的形状，并说明理由．12．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：(1)∠BOD＝∠C；(2)四边形OBCD是菱形．13．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝2，E是AD边的中点，M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形．(2)填空：①当AM的长为________时，四边形AMDN是矩形；②当AM的长为________时，四边形AMDN是菱形．。
9.4矩形、菱形、正方形
1ODC BA9．4矩形、菱形、正方形一、知识梳理1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2．矩形的性质：（1）矩形既是中心对称图形（对角线交点），矩形又是轴对称图形（两条对称轴） （2）矩形的两组对边分别平行且相等 （3）矩形的四个角都是直角；（4） 矩形的对角线相等且会互相平分。
3、矩形中的基本图形（1）两对全等的等腰三角形 （2）四个全等的直角三角形. 二、题型分类全解【例题1】已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且 AC ＝2AB ． 求证：△AOB 是等边三角形．【例题2】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ， AB=4，∠AOB=60°，求对角线AC 的长三、测试1、矩形的定义中有两个条件:一是____________,二是_________________。
2、下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）A 、对角线相等B 、 四个角都相等C 、对角线垂直D 、是轴对称图形 3、矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 把矩形分成( )对全等等腰三角形,( )个全等的直角三角形。
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）84、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对边相等C ．对角相等D ．对角线互相平分2ODC B A5．下面说法中正确的是 （ ）A ．平行四边形的两条对角线的长度相等B ．有一个角是直角的四边形是矩形C ．矩形的两条对角线互相垂直D ．矩形的对角线相等且互相平分6．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形：每一个矩形最少有 条对称轴；矩形对称中心是 的交点．7．如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AB 中点，过点E 作直线EF 交对边CD 于点F ，若S AEFD :S BCFE =2:1，则DF : FC=（ ）A ．5:1B ．5:2C ．4:1D ．3:18．矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠BOC =2 ∠AOB ，如果对角线AC=10cm ，则AD=______cm.9．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，求AB 的长。
苏科版数学八年级下册 9.4矩形菱形正方形大题综合练习(含答案解析)
苏科版数学八年级下册9.4矩形菱形正方形大题综合练习1.如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E.（1）证明△BCM≌△CAN；（2）∠AEM=________°；（3）求证DE平分∠AEC；（4）试猜想AE，CE，DE之间的数量关系并证明.【答案】（1）证明：如图1中，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠ADC=60°，∴△ACD，△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，在△BCM和△CAN中，{BC=AC∠B=∠ACNBM=CN，∴△BCM≌△CAN（2）60（3）证明：如图2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．∵∠AEM=60°，∴∠AEC=120°，∵∠DGE=∠H=90°，∴∠GEH+∠GDH=180°，∴∠GDH=∠ADC=60°，∴∠ADG=∠CDH ，在△DGA 和△DHC 中，{∠DGA =∠H =90∘∠ADG =∠CDH DA =DC，∴△DGA ≌△DHC ，∴DG=DH ，∵DG ⊥AN ，DH ⊥MC ，∴∠DEG=∠DEH ．∴DE 平分∠AEC ．（4）证明：结论：EA+EC=ED ．理由如下：如图2中，由（3）可知，∠GED=60°，在Rt △DEG 中，∵∠EDG=30°，∴DE=2EG ，易知△DEG ≌△DEH ，∴EG=EH ，∴EA+EC=EG+AG+EH-CH ，∵△DGA ≌△DHC ，∴GA=CH ，∴EA+EC=2EG=DE ，∴EA+EC=ED.【解析】【解答】解：（2）如图1中，∵△BCM ≌△CAN ，∴∠BCM=∠CAN ，∴AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．故答案为60．【分析】(1)连接AC，因为∠ADC=60°，利用菱形四边相等的性质，可知△ADC为等边三角形，所以AC=BC ,又因为菱形的对角线平分一组对角，所以∠ACN=60°=∠B，因为BM=CN，所以△BCM≌△CAN；（2）因为∠AEM=∠CEN，对顶角相等，由全等可知∠AEM=∠CEN=∠B=60°；（3）过点D做AE、CM两边的垂线，利用角角边可得到△DHC≌△DGA，可得DH=DG，再用角平分线的性质，到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；（4）由全等可知EA+EC=2EG，又因为在Rt△中30°的角所对的边等于斜边的一半，所以EA +EC=DE.2.综合：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．①求证：四边形AFF'D是菱形；②求四边形AFF'D的两条对角线的长．【答案】（1）C（2）解：如图2中，①证明：∵AD=5，S□ABCD=15，∴AE=3．又∵在图2中，EF=4，∴在Rt△AEF中，AF═5．∴AF=AD=5，又∵AF∥DF'，AF=DF，∴四边形AFF'D是平行四边形．∴四边形AFF'D是菱形．②解：连接AF'，DF，在Rt△DE'F中，∵E'F=E'E﹣EF=5﹣4=1，DE'=3，∴DF═√E′D2+E′F2= √10．在Rt△AEF'中，∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9，AE=3，∴AF'═√AE2+EF′2= √32+92=3 √10【解析】【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∵BE=CE′，∴AD∥EE′，AD=EE′，∴四边形AEE′D是平行四边形，∵∠AEE′=90°，∴四边形AEE′D是矩形，故选C．【分析】（1）根据矩形的判定方法即可判定；（2）①通过计算证明AF=AD=5，证明四边形AFF′D是平行四边形即可；②连接AF'，DF，分别利用勾股定理计算即可；3.如图，正方形ABCD中，AB=4，P是CD边上的动点（P点不与C、D重合），过点P作直线与BC的延长线交于点E，与AD交于点F，且CP=CE，连接DE、BP、BF，设CP═x，△PBF 的面积为S1，△PDE的面积为S2．（1）求证：BP⊥DE．（2）求S1﹣S2关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（3）分别求当∠PBF=30°和∠PBF=45°时，S1﹣S2的值．【答案】（1）解：如图1中，延长BP交DE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，∵CP=CE，∴△BCP≌△DCE，∴∠BCP=∠CDE，∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，∴∠CDE+∠DPM=90°，∴∠DMP=90°，∴BP⊥DE．（2）解：由题意S1﹣S2= 12（4+x）•x﹣12•（4﹣x）•x=x2（0＜x＜4）．（3）解：①如图2中，当∠PBF=30°时，∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，∴∠PFD=∠DPF=45°，∴DF=DP，∵AD=CD，∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，∴△BAF≌△BCP，∴∠ABF=∠CBP=30°，∴x=PC=BC•tan30°= 4√3，3∴S1﹣S2=x2= 16．3②如图3中，当∠PBF=45°时，在CB上截取CN=CP，理解PN．由①可知△ABF≌△BCP，∴∠ABF=∠CBP，∵∠PBF=45°，∴∠CBP=22.5°，∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°，∴∠NBP=∠NPB=22.5°，∴BN=PN= √2x，∴√2x+x=4，∴x=4 √2﹣4，∴S1﹣S2=（4 √2﹣4）2=48﹣32 √2．【解析】【分析】（1）首先延长BP交DE于M．然后依据SAS可证明△BCP≌△DCE，依据全等三角形的性质可得到∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°；（2）根据题意可得到S1-S2=S△PBE-S△PDE，然后依据三角形的面积公式列出函数关系式即可；（3）分当∠PBF=30°和∠PBF=45°两种情形分别求出PC 的长，最后再利用（2）中结论进行计算即可.4.如图，在矩形ABCD 中，BC ＞AB ，∠BAD 的平分线AF 与BD ，BC 分别交于点E ，F ，点O 是BD 的中点，直线OK ∥AF ，交AD 于点K ，交BC 于点G ．（1）求证：△DOK ≌△BOG ；（2）探究线段AB 、AK 、BG 三者之间的关系，并证明你的结论；（3）若KD=KG ，BC=2 √2 ﹣1，求KD 的长度．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠KDO=∠GBO ，∠DKO=BGO ．∵点O 是BD 的中点；∴DO=BO ．在△DOK 和△BOG 中， {∠KDO =∠GBO∠DKO =∠BGO DO =BO∴△DOK ≌△BOG （AAS ）．（2）解：AB+AK=BG ；证明如下：∵四边形ABCD 是矩形；∴∠BAD=∠ABC=90°，AD ∥BC ．又∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF=∠BFA=45°．∴AB=BF ．∵OK ∥AF ，AK ∥FG ，∴四边形AFGK 是平行四边形．∴AK=FG ．∵BG=BF+FG ；∴BG=AB+AK ．（3）解：∵四边形AFGK 是平行四边形．∴AK=FG ，AF=KG又∵△DOK ≌△BOG ，且KD=KG ，∴AF=KG=KD=BG ．设AB=a ，则AF=KG=KD=BG= √2 a ．∴AK=2 √2 ﹣1﹣ √2 a ，FG=BG ﹣BF= √2 a ﹣a ．∴2 √2﹣1﹣√2a= √2a﹣a．解得a=1．∴KD= √2a= √2．【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，得到∠KDO=∠GBO，∠DKO=BGO，DO=BO，得到△DOK≌△BOG（AAS）；（2）四边形ABCD是矩形，得到∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC，又AF平分∠BAD，得到∠BAF=∠BFA=45°，AB=BF，由OK∥AF，AK∥FG，得到四边形AFGK 是平行四边形，得到AK=FG，BG=BF+FG，即BG=AB+AK；（3）四边形AFGK是平行四边形，得到AK=FG，AF=KG，又△DOK≌△BOG，且KD=KG，得到AF=KG=KD=BG，设AB=a，则AF=KG=KD=BG=√2a，得到AK=2√2﹣1-√2a，FG=BG﹣BF=√2a﹣a，解得a=1，得到KD=√2a=√2．5.综合题（1）感知：如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．易知BE=DG．（2）探究：如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．（3）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD的延长线上．若AE=3ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为________ ．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD，即∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，{CB=CD∠BCE=∠DCGCE=CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG．（2）∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F，∵∠A=∠F，∴∠BCD=∠ECG，∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD，即∠BCE=∠DCG，∴△BCE≌△DCG．，∴BE=DG．（3）20【解析】【解答】解：应用：∵四边形ABCD是菱形，S△EBC=8，∴S△AEB+S△EDC=8，∵AE=3DE，∴S△AEB=3S△EDC，∴S△EDC=6，S△EDC=2，∵△BCE≌△DCG，∴S△DGC=S△EBC=8，∴S△ECG=8+2=10，∴菱形CEFG的面积=2•S△EGC=20，故答案为20．【分析】感知：根据正方形的性质，得到BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，得到∠BCE=∠DCG，得到△BCE≌△DCG，BE=DG；探究：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，得到BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F，由∠A=∠F，得到∠BCE=∠DCG，△BCE≌△DCG，BE=DG；应用：由四边形ABCD是菱形，△EBC的面积为8，AE=3DE，得到S△AEB=3S△EDC，得到S△EDC=6，S△EDC=2，由△BCE≌△DCG，得到S△DGC=S△EBC=8，S△ECG=8+2=10，所以菱形CEFG的面积=2•S△EGC=20.6.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE．点M是线段DE 数y=23上的一个动点．（1）求b的值；（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．【答案】（1）解：y=23x+b中，令x=0，解得y=b，则D的坐标是（0，b），OD=b，∵OD=BE，∴BE=b，则E的坐标是（3，4﹣b），把E的坐标代入y=23x+b得4﹣b=﹣2+b，解得：b=3（2）解：S四边形OAED= 12（OD+AE）•OA= 12×（3+1）×3=6，∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，∴S△ODM=1.5．设M的横坐标是a，则12×3a=1.5，解得：a=1，把x=a=1代入y=﹣23x+3得y=﹣23× 43+3= 73．则M的坐标是（1，73）（3）解：当四边形OMDN是菱形时，如图（1），M的纵坐标是32，把y= 32代入y=﹣23x+3，得﹣23x+3= 32，解得：x= 94，则M的坐标是（94，32），则N的坐标是（﹣94，32）；当四边形OMND是菱形时，如图（2）OM=OD=3，设M的横坐标是m，则纵坐标是﹣23m+3，则m2+（﹣23m+3）2=9，解得：m= 3613或0（舍去）．则M的坐标是（3613，1513）．则DM的中点是（1813，2713）．则N的坐标是（3613，5413）．故N的坐标是（﹣94，32）或（3613，5413）．【解析】【分析】（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD的长度即可求得，OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；（3）分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN 是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N的坐标．7.如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．（1）若DG=6，求AE的长；（2）若DG=2，求证：四边形EFGH是正方形．【答案】（1）解：∵AD=6，AH=2∴DH=AD﹣AH=4∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°∴在Rt△DHG中，HG2=DH2+DG2在Rt△AEH中，HE2=AH2+AE2∵四边形EFGH是菱形∴HG=HE∴DH2+DG2=AH2+AE2即42+62=22+AE2∴AE= =4（2）证明：∵AH=2，DG=2，∴AH=DG，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△DHG和Rt△AEH中，，∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL），∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG2=DH2+DG2，HE2=AH2+AE2，再根据菱形的性质，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2，最后计算AE的长；（2）先根据已知条件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到∠DHG=∠AEH，因为∠AEH+∠AHE=90°，∠DHG+∠AHE=90°，可得菱形的一个角为90°，进而判定该菱形为正方形．8.如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD 于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．（1）AM=________，AP=________．（用含t的代数式表示）（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC等于．【答案】（1）8﹣2t；2+t（2）解：∵四边形ANCP为平行四边形时，CN=AP，∴6﹣t=8﹣（6﹣t），解得t=2（3）解：①存在时刻t=1，使四边形AQMK为菱形．理由如下：∵NP⊥AD，QP=PK，∴当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，∴6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），解得t=1，②要使四边形AQMK为正方形．∵∠ADC=90°，∴∠CAD=45°．∴四边形AQMK为正方形，则CD=AD，∵AD=8，∴CD=8，∴AC=8 √2．【解析】【解答】解：（1）如图1．∵DM=2t，∴AM=AD﹣DM=8﹣2t．∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，NP⊥AD于点P，∴四边形CNPD为矩形，∴DP=CN=BC﹣BN=6﹣t，∴AP=AD﹣DP=8﹣（6﹣t）=2+t；故答案为：8﹣2t，2+t．【分析】（1）由DM=2t，根据AM=AD﹣DM即可求出AM=8﹣2t；先证明四边形CNPD为矩形，得出DP=CN=6﹣t，则AP=AD﹣DP=2+t；（2）根据四边形ANCP为平行四边形时，可得6﹣t=8﹣（6﹣t），解方程即可；（3）①由NP⊥AD，QP=PK，可得当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，列出方程6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），求解即可，②要使四边形AQMK为正方形，由∠ADC=90°，可得∠CAD=45°，所以四边形AQMK为正方形，则CD=AD，由AD=8，可得CD=8，利用勾股定理求得AC即可．9.已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=2和x=4上，O为坐标原点，直线x=2分别与x轴和OC边交于D、E，直线x=4分别与x轴和AB边的交于点F、G．（1）如图，在点A、C移动的过程中，若点B在x轴上，①直线AC是否会经过一个定点，若是，请直接写出定点的坐标；若否，请说明理由．②▱OABC是否可以形成矩形？如果可以，请求出矩形OABC的面积；若否，请说明理由．③四边形AECG是否可以形成菱形？如果可以，请求出菱形AECG的面积；若否，请说明理由．（2）在点A 、C 移动的过程中，若点B 不在x 轴上，且当▱OABC 为正方形时，直接写出点C 的坐标．【答案】（1）解：①是，经过定点（3，0）．理由如下：如图1中，连接AC 交OB 于K ．∵四边形OABC 是平行四边形，∴OK=KB ，BC ∥OA ，BC=OA ，∴∠CBF=∠AOD ，在△DOA 和△FBC 中，{∠ODA =∠CFB =90°∠AOD =∠CBF OA =BC，∴△DOA ≌△FBC ，∴OD=FB=2，∴OB=6，∵OK=KB ，∴OK=3，∴K （3，0），∴直线AC 经过定点K （3，0）．②可以．利用如下：当∠OCB=90°时，四边形OABC 是矩形，由（1）可知△DOA ≌△FBC ，∴OD=BF=2，∵∠OCF+∠FCB=90°，∠FCB+∠CBF=90°，∴∠OCF=∠CBF，∵∠CFO=∠CFB，∴△CFO∽△BFC，∴CFBF = OFCF，∴CF2= 4CF，∴CF=2 √2，∴S矩形OABC=2•S△OBC=2× 12× 6×2√2=12 √2．③可以．理由如下：如图3中，易知当OE=EC=AE时，四边形AECG是菱形．由（1）可知，△DOA≌△FBC，∴AD=CF，∵DE= 12CF，设DE=x，则AD=CF=2x，OE=AE=3x，在Rt△ADE中，∵OE2=OD2+DE2，∴9x2=x2+4，∴x= √22，∴AE= 3√22，∴S菱形AECG=AE•DF= 3√22×2=3 √2（2）解：如图4中，当四边形OABC是正方形时，易证△DOA≌△FCO，∴OD=CF=2，∴点C坐标（4，2），根据对称性C′（4，﹣2）时，也满足条件．综上所述，点C坐标为（4，2）或（4，﹣2）【解析】【分析】（1）①是，经过定点（3，0）．如图1中，连接AC交OB于K，只要证明OD=FB=2，推出OB=6，即可解决问题．②当∠OCB=90°时，四边形OABC是矩形，由（1）可知△DOA≌△FBC，推出OD=BF=2，由△CFO∽△BFC，可得CFBF = OFCF，由此即可解决问题．③可以．如图3中，易知当OE=EC=AE时，四边形AECG是菱形．由（1）可知，△DOA≌△FBC，推出AD=CF，易知DE= 12CF，设DE=x，则AD=CF=2x，OE=AE=3x，在Rt△ADE中，根据OE2=OD2+DE2，列出方程即可解决问题．（2）如图4中，当四边形OABC是正方形时，易证△DOA≌△FCO，推出OD=CF=2，推出点C坐标（4，2），根据对称性C′（4，﹣2）时，也满足条件．10.如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6）、E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH为正方形（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标（3）如图2，点Q为对角线BO上一动点，D为边OA上一点，DQ⊥CQ，点Q从点B出发，沿BO方向移动．若移动的路径长为3，直接写出CD的中点M移动的路径长为________．【答案】（1）证明：如图1中，∵E（0，2），H（﹣2，6），∴OE=AH=2，∵四边形ABCO是正方形，∴∠HAE=∠EOF=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴EH=EF，在Rt△AHE和Rt△OEF中，{AH=EOHE=EF，∴Rt△AHE≌△Rt△OEF，∴∠AEH=∠EFO，∵∠EFO+∠FEO=90°，∴∠AEH+∠FEO=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形（2）解：如图1中，连接GE、FH交于点K．∵F（﹣5，0），E（0，2），∴OF=5，OE=2，EA=4，∵HE=EF，∴52+22=42+AH2，∴AH= √13，∴H（﹣√13，6），∵四边形EFGH是菱形，∴HK=KF，KE=KG，设G（m，n），则有m+02= −5−√132，n+22= 6+02，∴m=﹣5﹣√13，n=4，∴G（﹣5﹣√13，4）（3）3√22【解析】【解答】（3）解：如图2中，如图2中，作MN⊥CO于M．∵MN∥OD，CM=MD，∴CN=ON，∴MN垂直平分线段CO，∴点M在线段OC的垂直平分线上运动，如图3中，易知当点Q与B重合时，点M与BD的中点N重合，当BQ=3时，作EQ⊥BC于E，延长EQ交OA于F，延长OM交BC于H，连接NM（线段MN的长即为点M的运动轨迹的长），∵QC=QD，∠CEQ=∠QFD，易证∠ECQ=∠FQD，∴△EQC≌△FDQ，∴EQ=DF=BE= 3√22，CE=OF=6﹣3√22，∴DO=6﹣3 √2，∵CM=DM，∠CMH=∠OMD，∠CHM=∠DOM，∴△HMC≌△OMD，∴OM=HM，CH=OD=6﹣3 √2，BH=3 √2，∵ON=NB，∴MN= 12BH= 3√22，∴点M的运动的路径的长为3√22．故答案为3√2．2【分析】（1）只要证明Rt△AHE≌△Rt△OEF，推出∠AEH=∠EFO，由∠EFO+∠FEO=90°，推出∠AEH+∠FEO=90°，推出∠HEF=90°，即可解决问题．（2）如图1中，连接GE、FH交于点K．首先求出点H的坐标，设G（m，n），根据中点坐标公式，列出方程组即可解决问题．（3）如图2中，作MN⊥CO于M．由MN∥OD，CM=MD，推出CN=ON，推出MN 垂直平分线段CO，推出点M在线段OC的垂直平分线上运动，如图3中，易知当点Q与B 重合时，点M与BD的中点N重合，当BQ=3时，作EQ⊥BC于E，延长EQ交OA于F，延长OM交BC于H，连接NM（线段MN的长即为点M的运动轨迹的长），想办法求出BH 的长，即可利用三角形的中位线定理解决问题．11.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB, AC上的一动点,且满足BP=AQ,D 是BC的中点.（1）求证:△PDQ是等腰直角三角形.（2）当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.【答案】（1）证明：连接AD.∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,∵∠BDP+∠ADP=90°,∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,∴△PDQ为等腰直角三角形（2）解：当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:由(1)知△ABD为等腰直角三角形,当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,∴四边形APDQ为矩形,AB,∴四边形APDQ为正方形又∵DP=AP= 12【解析】【分析】连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，则△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形；若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AB，得到P点是AB的中点．12.如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．【答案】（1）解：在等边三角形ABC中，∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30°.又∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°.∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°（2）解：由(1)知，∠EAF＝90°，由F为AB的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA.在等边三角形ABC中，CF＝AD.在等边三角形ADE中，AD＝EA.∴CF＝EA.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵∠CFA＝90°，∴四边形AFCE为矩形．【解析】【分析】根据等边三角形三线合一的特点，易求得∠DAC=30°，则∠CAE=∠DAE-∠DAC．先证明四边形AECF是平行四边形，然后根据∠CFA=∠FAE=90°，由矩形的定义判定四边形AFCE是矩形.13.如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？【答案】（1）解：四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD=BD=AB，BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．∴∠DBE=∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD=BA∠DBE=∠ABCBE=BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE=AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF．同理可证：AD=EF，∴四边形ADEF平行四边形（2）解：∵四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形（3）解：当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．理由如下：若∠BAC=60°，则∠DAF=360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣60°﹣60°﹣60°=180°．此时，点A、D、E、F四点共线，∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在【解析】【分析】可先证明△DBE≌△ABC ，又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；若四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；根据∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，A，D，E，F为顶点的四边形就不存在.14.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；（2）证明：如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．【答案】（1）证明：如图2中，∵AM=ME．AD=DB，∴DM∥BE，∴∠GDN+∠DNE=180°，∵∠GDN=∠AEB，∴∠AEB+∠DNE=180°，∴AE∥DN，∴四边形DMEN是平行四边形，∵DM== BE，EM== AE，AE=BE，∴DM=EM，∴四边形DMEN是菱形（2）证明：如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．由（1）可知四边形EMDF是菱形，∴∠AEB=∠MDF，DM=DF，∴∠GDN=∠AEB，∴∠MDF=∠GDN，∴∠MDG=∠FDN，∵∠DFN=∠AEB=∠MCE+∠CME，∠GMD=∠EMD+∠CME，、在Rt△ACE中，∵AM=ME，∴CM=ME，∴∠MCE=∠CEM=∠EMD，∴∠DMG=∠DFN，∴△DMG≌△DFN，∴DG=DN【解析】【分析】（1）如图2中，首先证明四边形DMEN是平行四边形，再证明ME=MD 即可证明．（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．只要证明△DMG≌△DFN即可．15.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，分别延长OB，OD到点E，F，使BE=DF，顺次连接A、E、C、F各点．（1）求证：∠FAD=∠EAB．（2）若∠ADC=130°，要使四边形AECF是正方形，求∠FAD的度数．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AD=AB，∠ADB=∠ABD，∴∠ADF=∠ABE，在△FAD与△EAB中，∴△FAD≌△EAB（SAS），∴∠FAD=∠EAB；（2）解：∵四边形AECF对角线互相垂直平分，∴只要∠EAF=90°即得四边形BFDE是正方形，∵∠ADC=130°，∴∠DAB=180°﹣130°=50°∴∠FAD+∠EAB=40°，∵∠FAD=∠EAB，∴∠FAD= ×40°=20°【解析】【分析】（1）由题意易证∠ADF=∠ABE，又因为DF=EB，AD=AB，于是可△FAD≌△EAB，；（2）由已知可得四边形AECF对角线互相垂直平分，只要∠EAF=90°即得四边形AECF是正方形，由∠FAD=∠EAB，再证得∠DAB=50°，可得∠FAD+∠EAB=40°，于是∠FAD= 1×40°=20°．216.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD 为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：________，②BC，DC，CF之间的数量关系为：________；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请直接写出GE的长．【答案】（1）垂直；BC=CF+CD（2）解：CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．理由如下：∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，{AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABD=∠ACF，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴∠ABD=180°﹣45°=135°，∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，∴CF⊥BC．∵CD=DB+BC，DB=CF，∴CD=CF+BC ．（3）解：过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于N ，如图3所示：∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴BC= √2 AB=2 √2 ，AH= 12 BC= √2 ，∴CD= 14 BC= √22 ，CH= 12 BC= √2 ，∴DH= 3√22 ，由（2）证得BC ⊥CF ，CF=BD= 5√22 ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD=DE ，∠ADE=90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，∴四边形CMEN 是矩形，∴NE=CM ，EM=CN ，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM ，在△ADH 与△DEM 中， {∠ADH =∠DEM∠AHD =∠DMEAD =DE， ∴△ADH ≌△DEM （AAS ），∴EM=DH= 3√22 ，DM=AH= √2 ，∴CN=EM= 3√22 ，EN=CM= 3√22 ，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，∴CG=BC=2 √2 ，∴GN=CG ﹣CN= √22 ， ∴EG= √GN 2+EN 2 = (√22)(3√22)= √5 ． 【解析】【解答】解：（1）①正方形ADEF 中，AD=AF ，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF ，在△DAB 与△FAC 中， {AD =AF∠BAD =∠CAFAB =AC，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠B=∠ACF ，∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC ⊥CF ；故答案为：垂直；②△DAB ≌△FAC ，∴CF=BD ，∵BC=BD+CD ，∴BC=CF+CD ；故答案为：BC=CF+CD ；【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质得到CF=BD ，∠ACF=∠ABD ，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC= √2 AB=2 √2 ，AH= 12 BC= √2 ，求得DH= 3√22 ，根据正方形的性质得到AD=DE ，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM ，EM=CN ，由角的性质得到∠ADH=∠DEM ，根据全等三角形的性质得到EM=DH= 3√22 ，DM=AH= √2 ，等量代换得到CN=EM= 3√22 ，EN=CM= 3√22，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=2 √2 ，根据勾股定理即可得到结论．17.如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO=CO ，BO=DO ，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形．（2）DF ⊥AC ，若∠ADF ：∠FDC=3：2，则∠BDF 的度数是多少？【答案】（1）证明：∵AO=CO ，BO=DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO=OD，∴∠ODC=∠DCO=54°，∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，【解析】根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．18.如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE=PA，PE交CD于F．（1）求证：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC=65°，则∠CPE=________度．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，{AB＝BC∠ABP＝∠CBPPB＝PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴∠PAE=∠PEA，∴∠CPB=∠AEP，∵∠AEP+∠PEB=180°，∴∠PEB+∠PCB=180°，∴∠ABC+∠EPC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠EPC=90°（3）115°【解析】【解答】（3）∠EPC=115°，理由：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，{AB＝BC∠ABP＝∠CBPPB＝PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠DCP，∴∠PAE=∠PEA，∴∠CPB=∠AEP，∵∠AEP+∠PEB=180°，∴∠PEB+∠PCB=180°，∴∠ABC+∠EPC=180°．∴∠CPE=180°-∠ABC=180°-65°=115°【分析】（1）根据正方形的性质得到△ABP≌△CBP，得到对应边相等，得到PC=PE；（2）由（1）知△ABP≌△CBP，得到对应边对应角相等，根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补，求出∠CPE的度数；（3）根据菱形的性质，得到△ABP≌△CBP，得到得到对应边对应角相等，根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补，求出∠CPE的度数.19.实践探究，解决问题如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ACD．（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，且AB=4，AD=8，则S阴影=________；（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴影和S平行四边形ABCD 之间满足的关系式为________；（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴影和S四边形ABCD之间还满足（2）中的关系式吗？若满足，请予以证明，若不满足，说明理由．解决问题：（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和（即S1+S2+S3+S4的值）．【答案】（1）16（2）S阴影=12S平行四边形ABCD（3）解：满足（2）中的关系式，理由如下：连接BD，由图1得S△EBD= 12 S△ABD同理S△BDF= 12S△BDC∴S四边形EBFD=S△EBD+S△BDF= 12S四边形ABCD（4）解：设四边形的空白区域分别为a，b，c，d 由上述性质可以得出：a+S2+S3= 12S△ACD①，c+S1+S4= 12S△ACB②，b+S2+S1= 12S△ABD③，d+S4+S3= 12S△ACD④，①+②+③+④得，a+S2+S3+c+S1+S4+b+S2+S1+d+S4+S3=S四边形ABCD⑤而S四边形ABCD=a+b+c+d+S1+S2+S3+S4+S阴影⑥所以联立⑤⑥得S1+S2+S3+S4=S阴影=20平方米．【解析】【解答】解：（1）∵E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，且AB=4，AD=8，∴S阴影= 12×8×4=16，故答案为：16；（2）∵E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，∴S阴影= 12S平行四边形ABCD；故答案为：S阴影= 12S平行四边形ABCD；【分析】（1）由矩形的性质容易得出结果；（2）由平行四边形的性质容易得出结果；（3）连接BD，由题意得出S△EBD= 12 S△ABD同理S△BDF= 12S△BDC，即可得出结论；（4）设四边形的空白区域分别为a，b，c，d，由（3）可以得出：a+S2+S3= 12S△ACD①，c+S1+S4= 12S△ACB②，b+S2+S1= 12S△ABD③，d+S4+S3= 12S△ACD④，进一步得出结论即可．20.如图，E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，如图所示：∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE= 12BC=5．【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出对边平行且相等，结合已知，可证出AECF是平行四边形；（2）利用菱形的邻边相等的性质，可证出BE=AE=CE= 12BC=5.。
菱形的判定方法
四条边相等的四边形是菱形.
A
在四边形ABCD中
∵AB=AD=BC=CD B
D
∴四边形ABCD是菱形
C
活动： 我们知道，当平移一个平行四边形成菱形时 ，它的两条对角线互相垂直，反过来，对角线互 垂直的平行四边形是菱形吗？
A
B
O
D
C
菱形的判别方法3：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.A在□ABCD中
拓展与延伸：
将两张等宽的矩形纸片重叠在一起(如 图)，你知道重叠的部分即四边形ABCD是 什么图形？
A
D
B C
作业:
F.分别连结AF和CE.
(1)说明四边形AFCE是菱形；
(2)若AB=4cm，BC=8cm，求BF的长.
A
E
D
O
B
F
C
例题选讲：
例2 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD， BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点. 四边 形BCDE是菱形吗？为什么？
D
C
A
E
B
练习：
1.在四边形ABCD中，AB//DC，AD//BC.请再 添加一个条件，使四边形ABCD是菱形.你添 加的条件是____A_B__=_A_D____.(写出一种即可)
9.4.4 菱形的判别方法
数学问题：
一 个四边形满足什么条件，它就是菱形 呢？ 定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
在□ABCD中
∵AB=BC
B
D
∴□ABCD是菱形
C
活动：
我们知道，菱形的四条边相等，反过来， 四边相等的四边形是菱形吗？
四条边相等的四边形是菱形.请你说 明理由.
A
苏科版八年级数学下册9.4.3菱形的性质课件
操作
如图，BO是等腰△ABC的底边AC上的 中线，画出△ABC关于点O对称的图形.
A
B
O
D
C
四边形ABCD是平行四边形吗？
它与一般的平行四边形有什么不同？
9.4 矩形、菱形、正方形(3)
仔细看一看
上面的图片中有你熟悉的图形吗?
平行四边形
一组邻 边相等
菱形
1. 菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
A
B
D
C
思考： 菱形具有哪些性质?
菱形具有平行四边形的所有性质. 那么菱形还有哪些特殊的性质?
合作探究
请你从对称性、边、角、对角线四 个方面进行考虑，你能发现菱形有什么 特有的性质吗？请讨论总结.
A
B
O
D
C
菱形的对角线互相垂直，. 并且每一条对 角线平分一组对角.
菱形的性质2：
菱形的对角线互相垂直，每一条对角 线平分一组对角．
A
B
O
D
C
菱形的性质：
从边看: 菱形的四边都相等； 从角看： 菱形的对角相等；
从对角线看：菱形的两条对角线互相垂直 且平分；（每一条对角线平分 一组对角）
从对称性看：菱形既是轴对称图形，又是 中心对称图形．
是12cm和16cm，求菱形的周长和面积。
分析： S菱形ABCD 4SAOB
D
4 1 OA OB A
O
C
2
4 1 1 AC 1 BD B
22
2
S菱形ABCD
1 2
AC BD
你有什么发现？
D
A
O
E B
S菱形ABCD AB DE
9.4菱形的性质
★自学中的遗留问题是哪些？在小组交流时一定要大胆的提问。
★用几何语言表述矩形的定义和性质。
★
要求：
导学案上错误的部分记得用红色笔订正，补充哦
一．自主先学
◆学法指导：课前参照学习任务独学学案，完成自主学习部分内容。没弄明白的地方用红笔打上“？”以待“小组合作”时讨论解决。
（一）预习任务
1.预习课本第78,79页所有内容。（★按要求完成课本“思考”“交流”）
二．小组合作
1．菱形是的平行四边形。在对称性方面，菱形与一般平行四边形相比较，相同之处是：二者都是_____对称图形．不同之处是：只有_______是_______对称图形，它有条对称轴。
2．下面性质中，矩形不一定具有的是（）．
（A）对角线相等（B）四条边相等（C）是轴对称图形（D）对角线垂直．
3.例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为a、b, AC、BD相交于点O.(1)用含a、b的代数式表示菱形ABCD的面积S；（2）若a=3cm，b=4cm菱形ABCD的面积和周长边形的定义：。
（2）平行四边形的性质：，，
（3）平行四边形的判定条件：
★的四边形是平行四边形。（定义）
★的四边形是平行四边形。
★的四边形是平行四边形。
2.新知
（1）菱形的定义：
（2）菱形的性质：
★菱形是特殊的平行四边形。它对称图形；
★菱形的
★菱形的对角
★菱形的对角线且
四．小结反思
1.我的错误：
2.我的收获：
五．检测反馈（5分钟）
第79页，第1题
4.知识运用
（1）在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且垂足E、F分别为BC、CD的中点，那么∠EAF =（）．
9.4 菱形的性质与判定习题课 (学案)
9.4 矩形、菱形、正方形——菱形的性质与判定习题课（学案）主备人：李婷婷 审核人：朱国华 班级 姓名 学号 【基础练习】 1、菱形具有平行四边形不具有的性质是 ( )A ．对边相等B ．对角线互相平分C ．对角相等D ．对角线互相垂直2、下列条件中，不能判定四边形ABCD 为菱形的是 ( )A ．AC ⊥BD ，AC 与BD 互相平分B ．AB ＝BC ，AD ＝CD ，且AC ⊥BDC ． AB ＝BC ＝CD ＝DA D ．AB ＝CD ，AD ＝BC ，AC ⊥BD3、如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，∠DHO =30°，则∠CAD 的度数是 ( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°4、将矩形纸片ABCD ，按如图所示的方式折叠，点A 、点C 恰好落在对角线BD 上，得到菱形BEDF ，若BC ＝3，则AB 的长为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．325、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若AC ＝6，则四边形CODE的周长 cm ．6、已知，菱形的周长为20㎝，其中一条对角线的长为6㎝，那么它的另一条对角线的长为 cm ;该菱形的面积为 cm 2．7、如图，将两条宽度都是为1的纸条重叠在一起，则四边形ABCD 是 形，若∠ABC=45°，四边形ABCD 的面积为 ．8、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ．求△BDE 的周长．9、已知：如图，在□ABCD 中，点E 为BC 边上的一点，连结AE 、BD 且AE ＝AB ，∠AEB ＝2∠ADB ， AB C E D O A B C D A B C D FE 第4题 第3题 第5题 A B C ED O 第7题求证：四边形ABCD 是菱形．【拓展提升】10、如图，点A 是∠NOM 边OM 上一点，AE ∥ON ，(1)在图中作∠NOM 的角平分线OB ，交AE 于点B ；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)中，过点A 画OB 的垂线，垂足为点D ，交ON 于点C ，连接CB ，将图形补充完整，并证明四边形OABC 是菱形．11、已知：如图，□ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠ADC ＝60°，将□ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D ′处，折痕交CD 边于点E ．（1）求证：四边形BCED ′是菱形．（2）若点P 是直线l 上的一个动点，请计算PD ′+PB 的最小值.A OE N M 完成时间家长签字A D CE B。
9.4菱形判定教案
沭阳如东实验学校初二数学教学设计 9.4菱形的判定 主备人：殷佳佳 审核人：孟庆栋 日期：2014-3-28 教学目标： 1. 掌握菱形的判别条件并能应用于菱形的判定 2. 在操作和观察、分析过程中发展主动探究习惯和初步的审美意识 3. 进一步了解和体会说理的基本方法 教学重点：菱形的判定定理的综合应用 教学难点：菱形的判定定理的综合应用 作业布置：课本84页9,10，
一、复习巩固： 菱形的性质：边： 角： 对角线： 对称性： 二、合作探究： 1、一 个四边形满足什么条件，它就是菱形呢？ 定义法： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 几何语言： 在□ABCD中 ∵AB=BC ∴□ABCD是菱形 2、四边形的边满足什么条件，它就是菱形呢？ 定理： 几何语言： 3、四边形的对角线满足什么条件，它就是菱形呢？ 定理： 几何语言： 归纳总结：菱形的判别方法有哪些？
三、个性展示： 1、如图，矩形ABCD(AD>AB)，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、 F.分别连结AF和CE.
(1)说明四边形AFCE是菱形； (2)若AB=4cm，BC=8cm，求BF的长.
A B C D E
F O 2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点. 四边形BCDE是菱形吗？为什么？
四、整合提升： 1、将两张等宽的矩形纸片重叠在一起(如图)，你知道重叠的部分即四边形是 什么图形？
五、这节课你学到了什么？ 六、反馈训练： 1、在四边形ABCD中，AB//DC，AD//BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是菱形.你添加的条件是_____________.(写出一种即可) 2、下列关于菱形的说法中正确的是( ) A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的对角线相等且互相平分 3、如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点A，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是？
菱形的性质
§9.4.3菱形的性质学习目标：1．理解菱形的定义，探索菱形的特征；2．能简单运用菱形的特征解决问题. 学习重点：菱形的性质；学习难点：菱形性质和直角三角形的知识的综合应用． 教学过程：Ⅰ．创设情境，引入课题如图，BO 是等腰三角形ABC 的底边AC 上的中线，画出△ABC 关于点O 对称的图形．思考：图中的四边形有什么特点？归纳： 的平行四边形．．．．．叫做菱形．菱形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质．另外它还具有哪些特殊性质？（1） 图中有哪些相等的线段相等？哪些角相等？ （2） 菱形的对角线有什么特殊的位置关系？ 归纳：1.菱形既是 对称图形又是 对称图形；2.菱形的 都相等；3.菱形的对角线 ，且 . 尝试练习：①在菱形ABCD 中，若AD ＝5，OA ＝3，则AC ＝ ，BD ＝ ，菱形周长＝ ；若∠ADC ＝60°，则∠OAB ＝ °．②设菱形的对角线AC ＝a ,BD ＝b ，用含a 、b 的代数式表示菱形的面积为 ． 一般地：对角线互相垂直的四边形的面积等于 ． ③菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ） A ．对角线相等 B ．对角线互相平分 C ．对角相等 D ．对角线互相垂直④菱形的两条对角线长分别为10cm 和24cm ，则它的周长是________，面积是________.（请画草图说明）Ⅱ.例题讲解，熟练应用1. 如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且CE ＝CF ，求证：AE ＝AF .FD CBA E2.在菱形ABCD 中，∠B ∶∠BAD ＝1∶2，周长为20cm ，试求菱形ABCD 的对角线AC 和BD 的长.归纳：有一个内角为60°的菱形，短的对角线等于 ；长的对角线等于 ． 拓展1：如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB .①求∠ABD 的度数；②若菱形的边长为2，求菱形面积.拓展2：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且∠B ＝∠F AE ＝60°∠BAE ＝20°（1）说明△AEF 是等边三角形；（2）求∠CEF 的度数.思考 1：假设点E 和点F 能在边BC 和CD 上滑动，且保持∠EAF ＝60°，上诉结论是否成立？2：在滑动的过程中，四边形AECF 的面积是否会发生变化？课时训练一、选择题1. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的（ ）A ．对角线平分一组对角B .对角相等C .对角线互相平分D .对边平行且相等 2. 已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ）A ．20B . 14C . 28D . 24 3. 已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B . 24 cm 2C . 48 cm 2D . 96 cm 2 4. 已知菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，AC ＝4，则该菱形的面积是 （ ）A ．16 3B . 16C . 8 3D . 8E D C B A5. 在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 的度数为 （ ） A ．60° B ．65° C ．70° D ．80°6. 如图，菱形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△CDE 沿CE 折叠后，点A 和点D 恰好重合．若AB ＝4，则菱形ABCD 的面积为 （ ） A ．2 3 B . 4 3 C . 8 2 D . 8 3 二、填空题7. 如图所示，在菱形ABCD 中，两条对角线AC ＝6，BD ＝8，则：①此菱形的边长为 ；周长为 ．②此菱形的面积为 ；菱形的高为 ． ③此菱形对角线的交点O 到AB 的距离为 ．8． 己知：如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为 ． 9． 如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，则S 菱形ABCD = cm 2．10．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为 cm ．11．如图所示，已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为12cm ，16cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是 ．12．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝120°，M 为DC 的中点，点N 在AC 上．（1）若DC ＝NC ，则∠NDC ＝ °；（2）若N 是AC 上动点，则DN ＋MN13．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠．恰好得到菱形AECF ．若AD ＝3，则菱形AECF 的面积为 ．第5题第6题第7题 第8题 第9题第10题第11题 第12题 第13题三、解答题14．如图，已知四边形ABCD 是菱形，点E 、F 分别是边CD ，AD 的中点．求证：AE ＝CF ．15．如图，菱形ABCD 中，CE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F . 请你猜猜CE 和CF 的关系，并证明你的猜想.16．已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合）， 以AD 为边作菱形ADEF （A 、D 、E 、F 按逆时针排列），使∠DAF ＝60°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在边BC 上时，求证：①BD ＝CF ；②AC ＝CF ＋CD ；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC ＝CF ＋CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系．17．已知，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）． 以AD 为边作菱形ADEF ，使∠DAF ＝60°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在边BC 上时，①求证：∠ADB ＝∠AFC ；②请直接判断结论∠AFC ＝∠ACB ＋∠DAC 是否成立；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC ＝∠ACB ＋∠DAC 是否成立？请写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形， 并直接写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的等量关系．图1 图2 图3AB C DEFAB C D EFDBA图1 图2 图3AB C DEF AB C D EFDBA。
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在□ABCD中 ∵AC⊥BD，
∴ □ ABCD是菱形
菱形的判别方法
一组邻边相等的平行四边形是菱形. 四边都相等的四边形是菱形． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
明辨是非
⒈对角线互相垂直的四边形是菱形． ⒉对角线互相垂直的平行四边形是菱 形． ⒊对角线相等的平行四边形是菱形．
⒋对角线互相垂直平分的四边形是菱 形．
几何语言： ∵AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形
合作学习
当平移一个平行四边形活动框架的一边，使这个平行 四边形成菱形时，它的两条对角线互相垂直。反过来， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
在□ABCD中，AC⊥BD， □ABCD是 菱形吗？为什么？
B
A
D
C
菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边 形是菱形．
A F D
B
E
C
一展身手
在□ABCD中，E、G、F、H分别是AD、 AB、BC和CD边上的点，且EF⊥GH， AE=CF，DH=BG，试说明EGFH是菱形．
A G O B F C H E D
课堂小结：
1、一组邻边相等的 平行四边形 是菱形. 2、四边相等的 四边形 是菱形. 平行四边形 3、对角线互相垂直的 是菱形.
明辨是非
• 下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ） A、对角线垂直 B、两对角线相等 C、两对线互相平分 D、两对角线互相垂直平分
例题精讲
1、平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交 于点O，OA=3，OB=4，AB=5， （1）AC，BD互相垂直吗？为什么？ （2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
9.4菱形(2)
菱形的定义：
菱形的判 定定理1
有一组邻边相等的 平行四边形是菱形.
A 符号语言： B C D
∵四边形ABCD是平行四边形
且AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
合作学习
1、命题“菱形的四条边相等”的逆命题是什么？ 逆命题：四边相等的四边形是菱形。
真命题
A D
请大家自己进行证明
B
C
菱形的判定定理1：四边都相等的四边形是菱形．
例题精讲
2、在四边形ABCD中，AD∥BC，对角 线AC的垂直平分线与边AD、BC相交于 点E、F．四边形AFCE是菱形吗？
A 1 O B 2 F C E D
一展身手
已知：如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD四 条边的中点，四边形EFGH是菱形吗？证明你的 结论。
A E B H D G
F
C
一展身手
作业：书P84 9 10
课外思考
小明在布置教室时，把两种宽度相同但颜色不 同的彩带粘贴在一起，发现重叠部分是一个菱 形（如图），他任意转动，发现重叠部分仍是 一个菱形，你知道这是为什么吗？
ADA B源自DFB E C C
课外思考
如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在 AB上，且AE=AC，EF∥BC，分别交AC、AD 于点F、G，CE交AD于点O．求证：四边形 CDEG是菱形． A
如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点 E、F分别是AB、AC的中点．当△ABC满足 什么条件时，四边形AEDF是菱形？请说明 A 理由．
E
F
B
D
C
一展身手
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且
AD∥BC，AD=BC.请补充一个条件:
四边形ABCD为菱形.
A
O
使
D
B
C
一展身手
如图，□ABCD中，AE平分∠BAD 交BC于E，BF平分∠ABC交AD于F， 求证：四边形ABEF是菱形．
E B
G O D
F C