弯曲内力剪力和弯矩
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工程力学第八章__直梁弯曲
作用面内的一条曲线。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
材料力学——4梁的弯曲内力
21
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
22
例题 2简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 由对称关系，可得： 1 FAy FBy ql 2 2.列剪力方程和弯矩方程
Q2 Q1– Q2=P
x
x
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
12
二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
34
35
27
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面 上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二 次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图 为斜直线。
材料力学-5
Q2=P(正剪力) ∑m2(F)= 0，-M2-P· a/2=0 M2= -Pa/2 (负弯矩)
§5–4
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q ( x)
剪力方程 弯矩方程
M M ( x)
2. 剪力图和弯矩图： 剪力图
Q Q( x) 的图线表示
m
P B
C
RB
16
§5–3 剪力与弯矩
求剪力和弯矩的工具——截面法
利用截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤 如下： （1） 计算支座反力，画出计算简图。 （2） 用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段， 取其中一段为研究对象，在截面上假设弯矩和内力。 （3）建立平衡方程，求解剪力和弯矩。
（4）画出研究对象的内力图。截面上的剪力和 弯矩均按正方向假设。
YO
x
Q(x)
M(x)
②写出内力方程
Q( x ) YO P
M ( x ) YO x M O P ( x L)
§5–4
Q(x)
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
P x
Q( x ) YO P
M ( x ) YO x M O P ( x L)
M(x)
x
–PL
③根据方程画内力图
M (x)-Q(x) x x qxdx 0 0 x q0 x 2 q0 x 2 M (x ) ( L 3x ) x dx 0 6L L M(x) qx q 1 0 ( L2 3x 2 ) 0 x 3 6L L 3 q0 x 2 (L x2 ) 6L
§5–4
a
F
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
§5–4
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q ( x)
剪力方程 弯矩方程
M M ( x)
2. 剪力图和弯矩图： 剪力图
Q Q( x) 的图线表示
m
P B
C
RB
16
§5–3 剪力与弯矩
求剪力和弯矩的工具——截面法
利用截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤 如下： （1） 计算支座反力，画出计算简图。 （2） 用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段， 取其中一段为研究对象，在截面上假设弯矩和内力。 （3）建立平衡方程，求解剪力和弯矩。
（4）画出研究对象的内力图。截面上的剪力和 弯矩均按正方向假设。
YO
x
Q(x)
M(x)
②写出内力方程
Q( x ) YO P
M ( x ) YO x M O P ( x L)
§5–4
Q(x)
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
P x
Q( x ) YO P
M ( x ) YO x M O P ( x L)
M(x)
x
–PL
③根据方程画内力图
M (x)-Q(x) x x qxdx 0 0 x q0 x 2 q0 x 2 M (x ) ( L 3x ) x dx 0 6L L M(x) qx q 1 0 ( L2 3x 2 ) 0 x 3 6L L 3 q0 x 2 (L x2 ) 6L
§5–4
a
F
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
第五章 --弯曲内力
⑵ 自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0 。
2020/5/24
×
例2 求图示梁1、2、3 截面的内力。
m1=2kN.m m2=14kN.m
1 A1
23 23
B
2m C 2m
FA
FB
m1 A 1
1
M1
FA Fs1
解：取整体，m0;
F A4m 1m 20 FAFB3kN
1－1截面
Fy 0; FAFs1 0
Fs1 3kN
m10; M1m10
M12kN.m
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×
m1=2kN.m m2=14kN.m
A
1 1
23 23
B
2m C 2m
FA
FB
m1 A FA
2
2 M2 Fs2
M3
3 3
B
Fs3
FB
2－2截面
Fy 0; FAFs2 0
Fs2 3kN
m2 0; M 2m 1R A20
M2 8k N.m 3－3截面
2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
2020/5/24
×
3. 工程实例
2020/5/24
×
二、平面弯曲
F1
q
F2
M
纵向对称面
杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯 曲后轴线弯成一条平面曲线，称为平面弯曲。在后几章中， 将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。
2020/5/24
×
三、简单静定梁
×
计算梁内力的步骤： ⒈ 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； ⒉ 将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象； ⒊ 画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；
材料力学第6章 弯曲内力
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6.1 梁的内力—剪力和弯矩
例题 6-2
（2）计算(jìsuàn)指定截面上的剪力和 弯矩
C截截面面C左（以侧梁的左力半：边为研究对象）：
FAy 2 kN () (+)
FSC Fy FAy 2kN
C截面左侧的力矩：
FAy * 2m (+)
M e 8kN m (-)
M C
M F 2m - M -4kN m O
19
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6.2 剪力图和弯矩图
例题 6-3
(2) 作剪力图(lìtú)和弯矩图
由剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图。
注意： 画图时应将剪力图、弯矩图与计算简图 对齐，并注明图名（FS图、M图）、 峰值点的值及正负号。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内
20
力
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6.2 剪力图和弯矩图
(plane bending)。当所有外力均作用在纵向对称面内时，梁只发生平面弯曲。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内力
6
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6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯 矩
梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法确定。
（1）截：在横截面m-m处假想地将梁分为两段
原来处于平衡状态的梁，被截出的任意段也处于平衡状态。
秦飞A编y 著《材料力学(cái lieào lìxué)》 第6章 弯
16
曲内力
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6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯矩 例题 6-2
截面B（以梁右半边为研究对象）：
B左截面
F 2kN (+)
FBy 4kN (-)
FSB左 F FBy -2kN
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质受力和变形的科学。
在工程学中，材料力学的应用非常广泛，其中弯曲内力是一个重要的研究对象。
弯曲内力是指在材料受到外力作用下，产生的弯曲应力和弯曲应变。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程设计和材料选用具有重要意义。
首先，我们来了解一下弯曲内力的产生原因。
在工程结构中，由于外力的作用，材料会产生弯曲变形，这时就会产生弯曲内力。
弯曲内力的大小和方向取决于外力的大小、作用点的位置以及材料的几何形状和材料性质。
在工程实践中，我们需要通过理论分析和实验测试来确定材料的弯曲内力，以便进行结构设计和材料选用。
其次，我们需要了解弯曲内力的计算方法。
在弯曲内力的计算中，我们通常采用弯矩和剪力图的方法。
弯矩图是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的弯矩大小和方向的图形，而剪力图则是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的剪力大小和方向的图形。
通过分析弯矩和剪力图，我们可以得到材料在不同位置上的弯曲内力大小和方向，从而进行合理的结构设计和材料选用。
此外，材料的弯曲内力还与材料的强度和刚度密切相关。
在工程设计中，我们需要根据材料的弯曲内力来选择合适的材料，以保证结构的安全性和稳定性。
一般来说，材料的抗弯强度和弯曲刚度越大，其受力性能越好，适用范围也越广。
因此，在工程实践中，我们需要充分考虑材料的强度和刚度对弯曲内力的影响，从而进行合理的材料选用和结构设计。
最后，我们需要注意弯曲内力对材料的影响。
在工程实践中，弯曲内力会对材料的疲劳寿命、变形性能和使用安全性产生重要影响。
因此，我们需要通过理论分析和实验测试来充分了解材料的弯曲内力特性，从而进行合理的结构设计和材料选用，以保证工程结构的安全可靠性。
总之，材料力学弯曲内力是工程设计和材料选用中的重要内容。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程实践具有重要意义。
通过深入研究材料的弯曲内力特性，我们可以更好地进行结构设计和材料选用，从而保证工程结构的安全可靠性。
剪力图和弯矩图(史上最全面)
RB
Pa l
YA
Y
0,
YA
P(l a) l
a
P B
P B
RB
11
②求内力——截面法
Y0, QYAP(lla) mC0, MYAx
m XA A
YA
x
m
∴ 弯曲构件内力
剪力 弯矩
Q A
C
1. 弯矩：M
YA
Q
构件受弯时，横截面上其作
MC
用面垂直于截面的内力偶矩。
P B
RB
M P
RB
a
12
2. 剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
M — 集中力偶
②悬臂梁 ③外伸梁
q(x)— 分布力
q — 均布力
P — 集中力
a
8
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
a
9
[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t =10mm，
钢的密度为： 7.8g/cm³，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。
解：
q — 均布力
a
10
§4–2 梁的剪力和弯矩
一、弯曲内力：
a
[举例]已知：如图，P，a，l。 A
求：距A端x处截面上内力。 l
解：①求外力
X 0, XA 0
XA A
mA 0 ,
1a
2b
如图（b）示。
y x
qL A
图（a）
Y qLQ1 0 Q1 qL
工程力学 第五章 弯曲内力(FS)
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
(Internal Forces in Beams) 二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P M
q
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。 RA 三、平面弯曲的概念：
NB
(Internal Forces in Beams) F1 q
A
a m l m x
F
B
F
x
0,
XA 0
Fa M A 0 , RB l F (l a ) Fy 0 , YA l
XA A
YA
F
B
RB
(Internal Forces in Beams) 求内力——截面法 F (l a ) Fy 0 , FS YA l m XA=0A F (l a ) M C 0 , M YA x l x m YA 1、 剪力(Shear force) FS x 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力. FS 2、弯矩(Bending moment )M M C 构件受弯时，横截面上其作用面垂直 YA 于截面的内力偶矩. M 剪力 C 弯曲构件内力 Fs 弯矩
m （受拉）
m
按变形：当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下 半部受压）时，横截面m-m 上的弯矩为负 注：横截面上的弯矩：
-
m
“左顺右逆”为正；反之为负 按受力：“上压下拉”为正，反之为负
（受压）
(Internal Forces in Beams) 例题2 图示梁的计算简图。已知 F1、F2，且 F2 > F1 ， 尺寸a、b、c和 l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处 的剪力和弯矩. RA F2 RB F1 a 解: (1)求支反力 R 和 R
剪力图和弯矩图(史上最全面)
1.25 1
q=2kN/m
+
x
_
1
26
§4–5 按叠加原理作弯矩图
一、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独
作用于结构而引起的内力的代数和。
Q ( P 1 P 2 P n ) Q 1 ( P 1 ) Q 2 ( P 2 ) Q n ( P n )
9
[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t =10mm，
钢的密度为： 7.8g/cm³，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。
解：
q — 均布力
10
§4–2 梁的剪力和弯矩
一、弯曲内力：
a
[举例]已知：如图，P，a，l。 A
求：距A端x处截面上内力。 l
Q Q(x) M M (x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
Q Q(x) 的图线表示
弯矩图
M M (x) 的图线表示
16
[例2] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
MO
YO YO
MO
L
P
解：①求支反力
Q(x) M(x)
x
YOP; M OPL ②写出内力方程
Q(x) M(x)
利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
38
三、 叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单
独作用于结构而引起的内力的代数和。
Q ( P 1 P 2 P n ) Q 1 ( P 1 ) Q 2 ( P 2 ) Q n ( P n )
M ( P 1 P 2 P n ) M 1 ( P 1 ) M 2 ( P 2 ) M n ( P n )
材料力学图文 (4)
a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
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（3）悬臂梁梁的一端固定，而另一端是自由的（图9－5d）。
§4.3剪力和弯矩
一、梁的内力——剪力和弯矩
梁在外力作用下各横截面上的内力仍然用截面法来分析。
设一简支梁跨中受一集中力F的作用处于平衡状态，梁在集中力F和A、B处支座反力作用下产生平面弯曲变形，现求距A端x处m-m横截面上的内力（图9－6a）。
3、剪力、弯矩
（1）求支反力
（2）截面法求内力
（3）剪力与弯矩的符号规定
例4—1，例4—2，例4—3。
第四章弯曲内力
§4.1弯曲的概念和实例
一、弯曲变形和平面弯曲变形的概念
杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向对称平面内受到力偶的作用时，杆件的轴线由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
弯曲变形是工程实际和日常生活中最常见的一种变形。例如房屋建筑楼面梁，受到楼面荷载、梁的自重和柱（或墙）的作用力，将发生弯曲变形（图9－1a、b），再如阳台的挑梁（图9－2a、b）、门窗过梁等构件也都是以弯曲变形为主。
工程中大多数梁的横截面都具有对称轴，例如图9－3为具有对称轴的各种截面形状。截面的对称轴与梁轴线所组成的平面称为纵向对称平面（图9－4）。如果梁上的外力和外力偶都作用在梁的纵向对称平面内，且各力都与梁的轴线垂直，则梁的轴线将在纵向对称平面内由直线弯成一条曲线。
解（1）求支座反力。
取整体为研究对象，设支座反力FYA、FYB方向向上，由平衡方程
，FYB×8m－10kN/m×4m×6m＋40kN·m－20kN×2m=0
，－FYA×8m＋10kN/m×4m×2m＋40kN·m＋20kN×6m=0
得 kN
kN
（2）求各截面的内力
1－1截面： kN
M1=FYA×2m=30kN×2m=60kN·m
线，这种弯曲变形又称为平面弯曲变形。平面弯曲是弯曲变形中最简单，也是最常见的。本章主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。
§4.2受弯杆件的简化
梁的结构形式很多，但按支座情况可以分为以下几种：
（1）简支梁梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座（图9－5a）；
（2）外伸梁其支座形式与简支梁相同，但梁的一端或两端伸出支座之外（图9－5b、c）；
2－2截面： kN－20kN=10kN
M2=FA×2m=30kN×2m=60kN·m
3－3截面： kN－20kN=10kN
M3=FYA×4m－F×2m=30kN×4m－20kN×2m=80kN·m
4－4截面： m=－30kN＋10kN/m×4m=10kN
M4=FYB×4m－q×4m×2m=30kN×4m－10kN/m×4m×2m=40kN·m
外力的正负号：将所求截面固定，另一端自由，外力使所考虑的梁段产生向下凸的变形时，取正号；反之取负号。可记为“下凸弯矩正”。
注意：以上两等式的左边都假设内力为正向，如果计算结果为正值，说明内力是正向的，如果计算结果是负值，说明内力是负向的。
[例4－2]简支梁的受荷载情况如图9－10所示，求1－1、2－2、3－3、4－4截面的内力。
1．计算支座反力
据静力平衡条件知：
，
2．用截面法分析内力
假想将梁沿m-m截面分为左、右两半部分，由于整体平衡，所以左、右半部分也处于平衡。取左半部为研究对象（图9－6b），由平衡条件 ， （O为m-m截面的形心）可判断m-m截面上必存在两种内力素：
1作用在纵向对称面内，与横截面相切的内力称为剪力。用FQ表示，常用单位是N或kN.
将梁沿1－1截面切开，取左半部为研究对象，其受力图见图9－9b。则
， kN
， kN·m
（3）求2－2截面的内力
将梁沿2－2截面切开，取右半部为研究对象，其受力图见图9－9c。则
，FQ2－2kN/m×2m=0
，－M2－2kN/m×2m×1m=0
kN
kN·m（符号表示实际方向与假设方向相反）
四、用简捷法计算剪力和弯矩
二、剪力和弯矩的正负号
为使从左半部、右半部梁求得同一截面上的内力FQ和M具有相同的正负号，并由正负号反映变形的情况，对剪力和弯矩的正负号作如下规定：
（1）剪力的正负号当截面上的剪力FQ使所考虑的研究对象有顺时针方向转动趋势时取正号；反之取负号（图9－7）。
（2）弯矩的正负号截面上的弯矩使所考虑的研究对象产生向下凸的变形时为正；反之为负（图9－8）
从截面法计算内力中可归纳出计算剪力和弯矩的规律。
1．计算剪力的规律
截面上剪力的大小＝该截面一侧（左侧或右侧）所有竖向外力的代数和
外力的正负号：外力对所求截面产生顺时针方向转动趋势时，取正号；反之取负号。可记为“顺转剪力正”。
2．计算弯矩的规律
截面上弯矩的大小＝该截面一侧（左侧或右侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和
2作用面与横截面垂直的内力偶矩称为弯矩。用M表示，常用单位为N·m或kN·m。
m-m截面上的剪力和弯矩，可利用左半部的平衡方程求得
，
，
如果取梁得右半部为研究对象（图9－6c），用同样方法亦可求得截面上的剪力和弯矩。但必须注意，分别以左半部和右半部为研究对象求出的剪力FQ和弯矩M数值是相等的，而方向和转向则是相反的，因为它们是作用力和反作用力的关系。
[例4－1]外伸梁受力如图9－9a所示，求1－1、2－2截面上的剪力和弯矩。
[解]（1）求支座反力
取整体为研究对象，设支座反力FYA、FYB的方向向上。由平衡方程得
，－8kN×2m＋FYB×4m－2kN/m×2m×5m=0
kN
，FYA－8kN＋FYB－2kN/m×2m=0
kN
（2）求1－1截面的内力
三、用截面法计算指定截面内力
用截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤和方法如下：
1．计算支座反力；
2．用假想的截面在欲求内力处将梁切成左、右两部分，取其中一部分为研究对象；
3．画研究对ห้องสมุดไป่ตู้的受力图。
画研究对象的受力图时，对于截面上未知的剪力和弯矩，均假设为正向。
4．建立平衡方程，求解剪力和弯矩。
计算出的内力值可能为正值或负值，当内力值为正值时，说明内力的实际方向与假设方向一致，内力为正剪力或正弯矩；当内力值为负值时，说明内力的实际方向与假设的方向相反，内力为负剪力或负弯矩。
课题
§4.1弯曲的概念和实例§4.2受弯杆件的简化
§4.3剪力和弯矩
需2课时
教学
目的
要求
掌握弯曲变形的概念及梁的基本形式，求梁的任意截面处的剪力、弯矩
教学
重点
求解梁的任意截面处的剪力、弯矩
教学
难点
求解梁的任意截面处的剪力、弯矩
编写日期
年月日
教学内容与教学过程
提示与补充
1、弯曲的概念及实例
2、梁的基本形式
§4.3剪力和弯矩
一、梁的内力——剪力和弯矩
梁在外力作用下各横截面上的内力仍然用截面法来分析。
设一简支梁跨中受一集中力F的作用处于平衡状态，梁在集中力F和A、B处支座反力作用下产生平面弯曲变形，现求距A端x处m-m横截面上的内力（图9－6a）。
3、剪力、弯矩
（1）求支反力
（2）截面法求内力
（3）剪力与弯矩的符号规定
例4—1，例4—2，例4—3。
第四章弯曲内力
§4.1弯曲的概念和实例
一、弯曲变形和平面弯曲变形的概念
杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向对称平面内受到力偶的作用时，杆件的轴线由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
弯曲变形是工程实际和日常生活中最常见的一种变形。例如房屋建筑楼面梁，受到楼面荷载、梁的自重和柱（或墙）的作用力，将发生弯曲变形（图9－1a、b），再如阳台的挑梁（图9－2a、b）、门窗过梁等构件也都是以弯曲变形为主。
工程中大多数梁的横截面都具有对称轴，例如图9－3为具有对称轴的各种截面形状。截面的对称轴与梁轴线所组成的平面称为纵向对称平面（图9－4）。如果梁上的外力和外力偶都作用在梁的纵向对称平面内，且各力都与梁的轴线垂直，则梁的轴线将在纵向对称平面内由直线弯成一条曲线。
解（1）求支座反力。
取整体为研究对象，设支座反力FYA、FYB方向向上，由平衡方程
，FYB×8m－10kN/m×4m×6m＋40kN·m－20kN×2m=0
，－FYA×8m＋10kN/m×4m×2m＋40kN·m＋20kN×6m=0
得 kN
kN
（2）求各截面的内力
1－1截面： kN
M1=FYA×2m=30kN×2m=60kN·m
线，这种弯曲变形又称为平面弯曲变形。平面弯曲是弯曲变形中最简单，也是最常见的。本章主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。
§4.2受弯杆件的简化
梁的结构形式很多，但按支座情况可以分为以下几种：
（1）简支梁梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座（图9－5a）；
（2）外伸梁其支座形式与简支梁相同，但梁的一端或两端伸出支座之外（图9－5b、c）；
2－2截面： kN－20kN=10kN
M2=FA×2m=30kN×2m=60kN·m
3－3截面： kN－20kN=10kN
M3=FYA×4m－F×2m=30kN×4m－20kN×2m=80kN·m
4－4截面： m=－30kN＋10kN/m×4m=10kN
M4=FYB×4m－q×4m×2m=30kN×4m－10kN/m×4m×2m=40kN·m
外力的正负号：将所求截面固定，另一端自由，外力使所考虑的梁段产生向下凸的变形时，取正号；反之取负号。可记为“下凸弯矩正”。
注意：以上两等式的左边都假设内力为正向，如果计算结果为正值，说明内力是正向的，如果计算结果是负值，说明内力是负向的。
[例4－2]简支梁的受荷载情况如图9－10所示，求1－1、2－2、3－3、4－4截面的内力。
1．计算支座反力
据静力平衡条件知：
，
2．用截面法分析内力
假想将梁沿m-m截面分为左、右两半部分，由于整体平衡，所以左、右半部分也处于平衡。取左半部为研究对象（图9－6b），由平衡条件 ， （O为m-m截面的形心）可判断m-m截面上必存在两种内力素：
1作用在纵向对称面内，与横截面相切的内力称为剪力。用FQ表示，常用单位是N或kN.
将梁沿1－1截面切开，取左半部为研究对象，其受力图见图9－9b。则
， kN
， kN·m
（3）求2－2截面的内力
将梁沿2－2截面切开，取右半部为研究对象，其受力图见图9－9c。则
，FQ2－2kN/m×2m=0
，－M2－2kN/m×2m×1m=0
kN
kN·m（符号表示实际方向与假设方向相反）
四、用简捷法计算剪力和弯矩
二、剪力和弯矩的正负号
为使从左半部、右半部梁求得同一截面上的内力FQ和M具有相同的正负号，并由正负号反映变形的情况，对剪力和弯矩的正负号作如下规定：
（1）剪力的正负号当截面上的剪力FQ使所考虑的研究对象有顺时针方向转动趋势时取正号；反之取负号（图9－7）。
（2）弯矩的正负号截面上的弯矩使所考虑的研究对象产生向下凸的变形时为正；反之为负（图9－8）
从截面法计算内力中可归纳出计算剪力和弯矩的规律。
1．计算剪力的规律
截面上剪力的大小＝该截面一侧（左侧或右侧）所有竖向外力的代数和
外力的正负号：外力对所求截面产生顺时针方向转动趋势时，取正号；反之取负号。可记为“顺转剪力正”。
2．计算弯矩的规律
截面上弯矩的大小＝该截面一侧（左侧或右侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和
2作用面与横截面垂直的内力偶矩称为弯矩。用M表示，常用单位为N·m或kN·m。
m-m截面上的剪力和弯矩，可利用左半部的平衡方程求得
，
，
如果取梁得右半部为研究对象（图9－6c），用同样方法亦可求得截面上的剪力和弯矩。但必须注意，分别以左半部和右半部为研究对象求出的剪力FQ和弯矩M数值是相等的，而方向和转向则是相反的，因为它们是作用力和反作用力的关系。
[例4－1]外伸梁受力如图9－9a所示，求1－1、2－2截面上的剪力和弯矩。
[解]（1）求支座反力
取整体为研究对象，设支座反力FYA、FYB的方向向上。由平衡方程得
，－8kN×2m＋FYB×4m－2kN/m×2m×5m=0
kN
，FYA－8kN＋FYB－2kN/m×2m=0
kN
（2）求1－1截面的内力
三、用截面法计算指定截面内力
用截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤和方法如下：
1．计算支座反力；
2．用假想的截面在欲求内力处将梁切成左、右两部分，取其中一部分为研究对象；
3．画研究对ห้องสมุดไป่ตู้的受力图。
画研究对象的受力图时，对于截面上未知的剪力和弯矩，均假设为正向。
4．建立平衡方程，求解剪力和弯矩。
计算出的内力值可能为正值或负值，当内力值为正值时，说明内力的实际方向与假设方向一致，内力为正剪力或正弯矩；当内力值为负值时，说明内力的实际方向与假设的方向相反，内力为负剪力或负弯矩。
课题
§4.1弯曲的概念和实例§4.2受弯杆件的简化
§4.3剪力和弯矩
需2课时
教学
目的
要求
掌握弯曲变形的概念及梁的基本形式，求梁的任意截面处的剪力、弯矩
教学
重点
求解梁的任意截面处的剪力、弯矩
教学
难点
求解梁的任意截面处的剪力、弯矩
编写日期
年月日
教学内容与教学过程
提示与补充
1、弯曲的概念及实例
2、梁的基本形式