三角形共边定理
共边比例定理及其应用
共边比例定理及其应用
共边比例定理：若△ABC和△DBC有公共边BC，AD 交BC于E（或交BC的延长线于E），则＝S△ABC/S△DBC=AE/DE．符合命题条件的两共边三角形，其位置关系有如下四种情形．证如图甲，过A、D分别作BC的垂线，垂足其他三种情形可以类似地证明（略）．如果我们熟悉这个定理的四种情形，并能灵活地应用它，则能方便地、简捷地解答许多数学竞赛题.一、有关线段问题例1如图，在△ABC中，若BD：DC＝CE:EA＝2：1，AD和BE相交于F，则AF：FD＝___．（92－93学年度广州等五市初中数学竞赛题）解连结FC，设S△DCF＝S,贝S△BDF＝2S，S△BCF＝3S．例2在ABCD中，对角线AC和BD交于O，在BC上取一点E、使EC＝1/4BC，DE交AC于F，则AO：OF：FC＝_______（90年江苏省初中数学竞赛题）解连结OE，由共边比例定理，得由共边比例定理，得但OA＝OC，从而有AO：OF:FC＝5：3：2．例3如图，P是△ABC内一点，延长AP，BP，CP，与对边相交，a、b、c、d分别为各线段之长，且a＋b＋c＝43，d＝3，求abc的值．（第六届AIME）解由共边比(本文共计3页)......[继续阅读本文]。
共边共角相似三角形在圆中的应用
共边共角相似三角形在圆中的应用一、基本概念：1.定义：如图，△ABC与△ACD有一条公共边AC和一个公共角∠ A，这样的两个三角形叫做共边共角三角形.这样的两个三角形若又有一个角对应相等，则两个三角形相似，那么这样的两个三角形称为共边共角相似三角形.2.性质定理：共边共角的两个相似三角形的公共边是夹公共角的另一条对应边的比例中项.如图1，在△ABC中，∠ACD=∠B，则△ACD∽△ABC，那么可得：AC2= AD·AB .特别地，当△ABC是直角三角形，且CD⊥AB时(如图2)，AC2 =AD·AB，即为射影定理.二、应用举例：例1.如图3，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B 两点，OP与AB相交于M，C是上一点. 求证：∠OPC=∠OCM .分析：若∠OPC=∠OCM，又∠O=∠O，所以必有△OCM∽△OPC，显然，这一结论只有通过“两边对应成比例，夹角相等”来实现.为此，应当设法证明= ，即OC2= OM·OP.这由OA2= OM·OP, OA= OP 即得.评析：图中△OCM与△OPC 为共边共角相似三角形.例2. 已知⊙C的半径为R，⊙O 过点C，且与⊙C相交于A、B 两点. D为⊙O上一点，弦AB、CD 相交于点E. 求证：CE·CD为定值分析：如图4，由于CE是线段CD的一部分，可构造以C为公共顶点的共边共角三角形.由于⊙C的半径已知为R，所以，只要能与R建立联系，即可得证. 为此，连结AC、AD 由∠ACE是公共角，及∠CAE =∠D，即得△ACE ∽△DCA，从而，CE·CD = R2为定值.评析：图中，△ACE与△D CA 是共边共角相似三角形.例3. 在圆内接四边形ABCD中，BC= CD= 4cm, AC交BD于E，AE=6 cm, 设BE=xcm ,DE = ycm , x、y 均为整数，求x、y 的值解：如图5, 由相交弦定理: x·y = AE·CE = 6CE ,图5故要求x、y的值，必须先求CE的长. 注意到∠3 =∠1，联想到△CBE与△CAB是共边共角的相似三角形，可得：BC2 = CE·CA∴ 42= CE·（CE + 6），可得CE=2 或CE=－8（舍去），从而，x·y = 6×2 =12 ，∴x=3, y =4 或x=4, y=3 .评析：△CBE与△CAB是共边共角相似三角形例4.已知AC、AB是⊙O 的弦, AB＞AC.⑴如图6, 能否在AB 上确定一点E,使AC2 = AE·AB, 为什么?⑵如图7, 在条件⑴的结论下延长EC到P, 连结PB.如果PB=PE, 试判断PB和⊙O 的位置关系, 并说明理由.⑶在条件⑵的情况下, 如果E 是PD的中点, 那么C是PE的中点吗?为什么?分析：⑴观察图6，联想共边共角相似三角形的特征，那么只要AB上的点满足：∠ACE=∠B即可.为此连结并延长CE交⊙O于点C ' （如图6），所以只要=.故，满足题目要求的点E是存在的.作法：在优弧上取=.连CC’ ,交AB于点E,即可. 且AC2 = AE·AB.这里，△ACE与△ACB是共边共角相似三角形⑵由⑴及PB =PE 可得∠3 =∠A，过B⊙O的直径，那么可证PB是⊙O的切线( 如图7);⑶连结BD，即可证明△PBC与△PBD是共边共角的相似三角形，那么PB2 = PC·PD，又PD=2PE, PE=PB, 可得C是PE的中点 .评析：⑴中，△ACE与△ACB是共边共角相似三角形；⑶中，△PBC与△PBD是共边共角相似三角形.参考习题1. 如图8，已知⊙O的内接四边形ABCD，D 是的中点，BC、AD的延长线相交于点E，DH切⊙O于D，交EB于点H.⑴求证：DH平分∠CDE；⑵在图中的已知线段中找出两条线段，使它们的积等于DE2，并加以证明.2.已知如图9，在△ABC中, AB=AC, 过点A（图8）的直线与△ABC的外接圆O交于D, 与BC 的延长线交于点F, DE是BD的延长线,连接CD.求证: ⑴ DF平分∠EDC; ⑵ AB2=AD·AF;⑶ AF2－AB2=AF·DF.3.如图10，PA切⊙O于A ，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点, AD的延长线交⊙O 于E，又BE2 =DE·AE，求证：⑴PA =PD; ⑵ 2PB2 = AD ·DE [ 提示: 由切割线定理证PA =2PB ,∴ B是PD的中点]4.如图11，ΔABC内接于⊙O，AB = AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E，（1）求证：ΔABE≌ΔACD；（2）若AB = 6cm,BC = 4 cm,求AE的长.5 .如图12，PA为⊙O的切线，从PA的中点B做割线BCD，交圆于点C、D，连结PC、PD 分别交圆于点E、F. 求证：∠APD = ∠EFD.6.已知如图13，A 是⊙O上一点，割线PC交⊙O于B、C两点，PD是PB和PC 的比例中项，PA=PD，连结AD并延长交⊙O于E,求证：BE= CE.（图9）（图10）（图11）（图12）（图13）。
新概念几何共边定理问答
新概念几何与共边定理的问与答广州杜厚生(与现行教材上面积相等的表达式不同，本文用∆APB＝∆AQB表示两个三角形面积相等，三角形符号前省略“S”或“面积”这是为了表达上的简洁)问：那些人适合阅读和使用本文？答：主要是初中数学教师和初三备考的学生，初二学生也可以尝试使用．当然，高中数学教师也应当有所了解，高中生也可以读一读，但最适合的读者，是准备参加初中数学竞赛的同学．问：张景中是谁？答：张景中者，自欧几里德已降，2300多年来独力改写欧几里德几何体系的第一人．新体系者，新概念几何也．张景中，1936年生于河南汝阳，18岁入北大数学系，22岁打成右派，从此沦为另类21年，至1979年43岁时才平反，恢复普通公民身份．此后便文思泉涌，17年间，成就辉煌，跻身顶级数学家之列，数项成果均堪称里程碑，成为大学教授、博士生导师、中科院院士，杰出科普作家．问：什么是“新概念几何”？答：平面几何问题一直是数学教育与学习中的疑难问题，两千年来，学生的课本还是和欧几里德时代无甚大异，教师只有在增加学习时间，减少所学内容上做文章．然而张景中院士大胆指出，我们其实不必非要虔诚地跟在欧几里得身后学习平面几何！他经过多年潜心研究，独辟蹊径，建立起一套以度量为基础，以面积为中心的平面几何新方法、新体系，这就是“新概念几何”（下文简称新几何）．从1989年以来，经过20年来张院士和很多中学老师的教学实践证明，“面积法”可节省课时，提高学生解决问题的能力，特别是在解决数学奥林匹克竞赛问题时的优势相当明显．“新概念几何”相对于欧几里德的几何是一个全新的平面几何新体系，从公理体系到定理体系、解题方法，都有极大的区别，也是欧几里德的几何诞生2300多年来，第一个全新的体系．在张景中的新几何中，甚至没有平行公理，即平行线的存在性和唯一性是可以由面积方法推导出来的一个定理．也不需要全等三角形和相似三角形等一批定理．由于新几何定理大大减少、解题方法统一为面积方法，给平面几何减少课时和降低难度创造了条件．新几何中使用的解题通法——消点法，甚至成为了攻克世界性的科研难题——机器证明几何定理的关键方法，取得了机器证明几何定理的里程碑式的胜利．新几何正是由于方法之新、对传统几何改造之彻底，反而造成了推广之难．对广大中学教师来说，几乎是一门新学科，老师和学生在知识上同样的一无所知！但老师应当先学一步，比学生更早掌握新几何，为教材、课程改革作出应有的贡献．一旦国家决定采用新几何代替旧教材，老师就可以充满信心地走上讲台．BPQA基本定理：△ABP ︰△ABQ ＝PA ︰AQ退一步来看，掌握新几何的面积方法和部分新定理却并不难，但对于现行教材是一个补充和改进，对个人教学能力的提高也极有补益． 问：新几何的核心是什么？答：新几何以度量为基础，以面积为中心，它的核心定理就是现行教材中一条极为平凡的定理：“等高三角形面积的比等于底边的比”． 由这个核心定理推导出一条现行教材中没有的定理——共边比例定理，这是整套新几何教材的基础，由该定理导出全部定理与解题方法，构成了几何新体系．从一条极为平凡的定理着手，改写几何原本的整个体系，构造出一个几何新体系，这件事本身就透出神奇．历史上堪与之相比的，只有180年前对平行公设的研究了．当年也是从一条公设出发，构造出一个非欧几何．但毕竟同时有高斯、小鲍耶、罗巴切夫斯基各自独立发现了非欧几何．此外，对平行公设的质疑，之前已经有过千年探讨，远不是如“等高三角形面积的比等于底边的比”那样平凡而不引人注意． 在《论推广》(见数学通报2005年第4期)一文中，张景中教授说：“《几何原本》共13卷，包含了465条命题．有趣的是，有一条非常基本的重要命题，它没有受到欧几里得时代数学家的注意和重视(之后的两千多年中也没有得到应有的重视)．如果当初欧几里得或别的数学家重视了，几何学的历史有可能被改写，几何难学、几何解题无定法的局面就早已改观了．这是《几何原本》第6卷的命题一：“等高三角形或平行四边形，它们彼此相比如同它们的底的比”共边定理和基本命题的共同点，都是把两个三角形的面积比化成共线线段之比．共边定理中若A 在直线PQ 上，就回到了基本命题．所以，它是基本命题的推广．基本命题图中的线段PQ ，AB 的位置变得更一般些，使A 不在直线PQ 上，再添上交点M,就成了共边定理的图形了．这一点改变很重要．欧几里得时代的几何学家，就是没有注意到这一点改变，才失去了这条无比重要的共边定理，也错过了发现平面几何机械化解题方法的机会． 为什么强调面积？张景中这样看面积方法的重要性：利用面积，我们可以建立面积坐标，自然地进入分析几何．而面积坐标，本质上已经包含了笛卡尔坐标、仿射坐标、射影坐标，这就为学习更高深的几何埋下了伏笔．学会了计算多边形和圆的面积，自然会想到去计算曲线包围的面积，这就会引出极限概念，引出定积分概念，自然而然地就把学生带进了高等数学的大门．此外，微积分里用得最多的三角函数与对数函数(指数函数)，都可以用面积给出易于理解又便于推导的定义．在高等数学中，面积以各种形式出现．面积是积分，是测度，是外微分形式，是向量的外积，也是行列式．抓住面积，从小学到大学的数学内容就可以一线相串．抓住面积，结合代数与三角来展开初等几何，就极有希望提供一种足以和欧几里德体系争夺课堂的几何教材．（张景中：《从数学教育到教育数学》P81） 为什么共边定理是基石？从下面的新概念几何体系的课程结构图可以看出，共边定理是新概念几何整个体系的基石．（张景中：《从数学教育到教育数学》P101）问：答：公共边AB 是P 、Q ，AB 连线交于点M ，∆APB 面积︰∆AQB QM问：答：1B 1C 1中，∠A △ABC与∠A 1相等△ABC 面积︰△A 1B 1C 1面积＝AB·AC ︰A 1B 1·A 1C 1 问：怎么导出两个定理？:答：共边三角形有四种位置图形，证明时，都只需要在直线AB 上作线段MN ＝AB ，则有： ∆ABP ︰∆ABQ ＝∆PMN ︰∆QMN ＝PM ︰MQ 共角定理更简单，∵△ABC 面积︰△A 1B1C1面积＝12AB·ACsinA ︰12A 1B 1·A 1C 1sinA 1∵∠A 与∠A 1相等或互补 ∴sinA ＝sinA 1∴△ABC 面积︰△A 1B 1C 1面积＝AB·AC ︰A 1B 1·A 1C 问：共边定理与共角定理怎么用？ 答：共边三角形与共角三角形广泛存在．共边定理证明张景中说：欧几里德把注意力集中在特殊三角形上：当考虑一个三角形时，着重研究了直角三角形和等腰三角形；当考虑一对三角形时，着重研究了全等三角形和相似三角形．一个重要的事实是：随便画一个几何图形，这里面往往没有全等三角形和相似三角形，为了使“全等”、“相似”有用武之地，就要作辅助线．但如何作辅助线，则“法无定法”．几何做题难，原因与此有关．我们着眼于那些任何几何图形都会出现的三角形对，这就是“共边三角形”与“共角三角形”．这两种三角形是名不见经传的，欧几里德以来的几何学家们从来没有给它们足够的重视．但是，从数学教育学的角度来看，他们是顶顶重要的．(张景中：《从数学教育到教育数学》P60)共边定理涉及平面几何构图中最常见的一个步骤：两直线AB、PQ，交于一点M．要确定交点M的位置，本是一件不容易的事，它相当于解二元一次方程组．而共边定理却用两个三角形的面积比简单地表示出M 在线段PQ上的位置．等式右边的M，在左边不出现了，也就是被消去了．这个事实，在几何问题的机器求解中起了关键的作用（张景中：《论推广》）张景中说，使用共边定理和共角定理有两个好处：其一是通用性．从统计学观点看，任给几个点连成直线，出现一对全等三角形或一对相似三角形的机会太少了，概率为零．所以想利用“全等”、“相似”来解题，就常常要挖空心思作辅助线，凑出全等三角形或相似三角形来．而作辅助线的规律不好掌握，学生会觉得无章可循，非常困难．但共边三角形和共角三角形却比比皆是，因此它们的性质到处都用得上．其二是条件和结论的对等性．要证明两条线段相等，常用的办法之一是构造一对全等三角形，使这两条线段成为它们的对应边．但要证明这两个三角形全等，却要满足三个条件．这就是说，为了得到一个等式，先要建立3个等式．这就有点不合算了．而在共边定理和共角定理中，却是从一个条件到一个结论．这种对等性往往能够简化证明的过程．其三是基础的单纯性和表述的简明性共边定理和共角定理，直接建立在小学生已经熟悉的三角形面积公式的一个简单推论上，学起来简单，也容易记得牢．而全等三角形或相似三角形的理论，推导过程较长，判定条件又多，在可接受性方面较差．（张景中：《从数学教育到教育数学》P81）事实上，在新概念几何中，可以不安排全等三角形的教学单元．使用共边定理证题时，首先要判断公共边AB及两个不同顶点PQ，从而找到底边AB与PQ的连线交点M．第一及第二两个图形交点在公共边内，其它两种位置，交点在公共边外部，通常要作辅助线来找出该点．在许多题目中，并没有给出面积关系，必须根据要证明的等式找出相应的三角形．要注意共边定理中，两条线段的比值PM 与QM 中，P 、Q 就是两个三角形的顶点，所要找的三角形就是有公共边且分别以P 、Q 为顶点的三角形．但共边三角形实在太容易得到了，以P 、Q 为顶点的共边三角形通常在图形中都可以找到三对或更多对，何况还可以转化成以P 、M 或Q 、M 为顶点的三角形，选择就更多了，但并不是每一对都能推出所需结论的，选对了，结论很容易就出来了．只找对的，不找废的，这就是初学的最大难点．必须经过一定时间的反复练习才能做到得心应手．例如下图中的任意四边形ABCD ，分别以四条边和两条对角线为公共边，可以得到6对共边三角形，若再加上对角线交点P ，四边形ABCD 中可以有18对共边三角形！问：共边定理怎么证平行？答：用面积方法推出平行线的判定，用到下面这个基本命题，这是新概念几何中最重要的定理之一．基本命题：设M 、N 两点在直线AB 同侧，则MN ∥AB 的充分必要条件是△MAB ＝△NAB ．有了这条定理，就可以不用平行线性质来证平行了．实际上，这条定理在传统几何课程中也用来判断直线的平行，只不过不常使用而已． 例1：(三角形中位线定理)如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，用面积方法证明：DE ∥BC 且DE ＝12BC ． 证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点， ∴△ADE ﹕△BDE ＝△ADE ﹕△CDE ＝1﹕1 ∴△BDE ＝△CDE ∴ DE ∥BC∴∠DBC ＝∠ADE 由共角定理得：△ADE/△ABC ＝AD·DE/AB·BC ＝1/4∵AD ＝12AB ∴DE ＝12BC ． 这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理．传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形．例2：(1983年美国中学数学竞赛题) 如图的三角形ABC 的面积为10，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且BD ＝2，DC ＝3，若△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，则这个面积是（ ） A ．４C ．５D ．６BＥ．不确定解：由△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，在四边形BCEF 中分别减去这两个面积，得△BFD 与△BFE 同底且面积相等，所以BF ∥DE ，可以得到AB 为边的两个三角形△ABD 与△ABE 面积相等，因为三角形ABC的面积B图中有18对共边三角形ABCD E为10，且BD ＝2，DC ＝3，所以△ABD 的面积等于4，即△ABE 面积等于4，所以△BCE 的面积等于10－4＝6，故选C ． 这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目．例3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．证明：∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，由共角定理得：△AOB/△COD ＝OA·OB＝OC·OD ＝1即△AOB ＝△COD ，∴共底的两个三角形△ACB ＝△CBD ，∴AD ∥BC ； 同理可证AB ∥CD问：共边定理怎么证线段相等？答：常常是共边与共角两个定理都会用到。
4.3 三角形中与比例线段有关的几个定理-共边比例定理及应用--沈文选
4.3共边比例定理及应用共边比例定理 若线段PQ 所在直线与线段AB 所在直线相交于点M ，则⋅=∆∆QM PMs S QAB PAB (4.3-1)证明如图4-13，图形有四种情形：对于图4-13(a)，由P 作PE⊥直线AB 于E ，由Q 作QF⊥直线AB 于F ，则由Rt△PEM ∽ Rt△QFM，有⋅=QMPMQF PE 于是 ⋅==⋅⋅=∆∆QM PMQF PE QF AB PEAB s sQABPAB2121同理，可证得其他三种情况．共边比例定理可以看作是同底三角形面积之比等于其高之比的推广． 例1 用共边比例定理证明塞瓦定理及其逆定理．证明 仅证共点情形．如图4-14，在△ABC 中，若AD 、BE 、CF 相交于点P ，则由共边比例定理，有,.,,APBBPC APC APB BPC APC s s AE CE s s CD BD s s BF AF ∆∆∆∆∆∆⋅=⋅=⋅⋅= 以上三式相乘，即得.1.....=⋅⋅⋅⋅=∆∆∆∆∆∆APBBPC APC APB BPC APC s s s s s s EA CE CD BD FB AF 反之，若有.1..=EACE DC BD BF F A 记⋅===μρλEACEDC BD FB AF ,,设CF 与BE 交于P ，AD 与BE 交于./P 由共边比例定理，有PB C PAC CPA PE L CPBCPE s s s s S S PB PE ....∆∆∆∆∆∆==,1..μλμ+=+==FB AF EA CE CE FB AF CA CE B AP CAP C AP E AP BAP E AP s s S S S s B P E P /1////.//∆∆∆∆∆==∧ ⋅+=+==ρμ)1(1..BD DC EC AE AE BD DC AC AE 由已知有,1=λμρ故,1ρλμ=于是⋅=B P EP PB PE //可见P 与/P 重合，即AD 、BE 、CF 三线共点． 注 用共边比例定理也可证明梅涅劳斯定理，如图4-1，由=BC AC //ABA A CBA BBA xA ABA s s A B CB s s C A BA s s ∆∆∆∆∆∆==ω////1,,三式相乘，即证．其逆定理的证明也类似于上例． 例2 设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且⋅=31AB AD 若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为,43则EA CE的值为( )． 21.A 31.B 41.C 51.D （2003年全国联赛题）解 选B ．理由：如图4-15，连结⋅=-=∆41431,ADE s BE 设,x ACCE=则由共边比例定理，有 .x AC CEs s ABC BEC ==⋅∆∆从而 .1x S ABE -=∆又,31==∆∆AB AD s s ABE ADE 则 ⋅=-=∆4131x S ADE 解得 ⋅=41x 故⋅=31EA CE例3 如图4-16，在等腰直角△ABC 中，=AB ,90,1=∠A 点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF⊥BE.求：△CEF 的面积． （1998年全国联赛题）解 过C 作CD⊥CE 与EF 的延长线交于D ． 因 ,90=∠+∠AEB ABE,90.o B AE CED =∠+∠则 ,CED ABE ∠=∠故 Rt△ABE ∽ Rt△CED. 于是.2,41)(2====∆∆AEABCD CE AB CE S s ME CED 注意到FC 平分∠ECD，有,CDCEFD EF =由共边比例定理，知 ,2==∆∆FDEFS s CDF CEF 故 ⋅====∆∆∆∆24121.41.3241.3232ABC ABE CDE CEF s s s s 例4 设D 、E 分别在△ABC 的边AC 和AB 上，BD 与CE 交于F ，.40,32,=⋅==∆ABC s DC AD EB AE 求⋅AEFD S （1990年部分省市通讯赛题）解法1 如图4-17，连结DE.设△AED、△EFD、△BFE、△BC F 、△CDF 的面积分别为z 、y 、z 、u 、t ，则由共边比例定理，求得：,20.21=⋅⋅=++∆ABC S t y x ),20(32)(32x t y x -=+=即x ＝8．.2453,1652==+=⋅∝∆=++∆ABC s t u S z y x设,s y x s AEFD =+=则.4,20,8,16s u s t s y s z +=-=-=-=又由共边比例定理，有,u tz y =即⋅+-=--ss s s 420168 解得 .11=s 故.11=AEFD S解法2 注意到直线BFD 截△AEC，由梅涅劳斯定理，有.1..=DACD FC EF BE AB 而,23,2==DA CD BE AB 则 .3.==DACDBE AB EF FC 从而 .4131EC FC EF ==由共边比例定理，有,2021=⋅=⋅=∆∆ABC EBC s S ,5,41==∆∆EBC F EB s s .16.52(==∆∆AB ADBs s 从而 .11516.=-=-=∆∆EBF ADB FD AE s s S例5 在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、CA 上的点，且BD ：DC ＝m ：1，CE ：EA ＝n:1，AD 与BE 交于F ，则△ABF 的面积等于△ABC 的面积的多少倍？ （1984年上海市竞赛题） 解 如图4-18，连CF 并延长交AB 于G.对△ABC 与点F ，由塞瓦定理，有,1..=⋅⋅=n m GBAGEA CE DC BD GB AG 则 ⋅=mnGB AG 1对△AGC 与截线BFE ，由梅涅劳斯定理，有,1..1..=+=n FCGF mn mn EA CE FC GF BG AB 则 ⋅+=1mn mFC GF由共边比例定理，知⋅++==⋅∆∆1m mn mGC GF s s AK ABF例 6如图4 -19，在筝形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，过AC 、BD 的交点O 引EF 、GH ，其中EF 交AB 、CD 于E 、F ，GH 交DA 、BC 于G 、H. EH 、GF 分别交BD 于P 、Q ，则OP ＝OQ.（1990年IMO 国家队集训选拔赛题，同习题1.4第10题）证明 在AB 、BC 上分别取,//F G 、使.,//CF CF AG AG ==则利用三角形全等，知,/OA G GOA ∠=∠又,HOC GOA ∠=∠则,/OA G HOC ∠=∠即⋅=γβ同理=+⋅∠β1,4γ+∠故.32,41∠=∠∠=∠（其中=∠=∠=∠HOC OA G GOA ,,/βα,2,1,/∠=∠∠=∠EOB OE G γ .)4,3//∠=∠∠=∠OH F BOF连H G /交BD 于K ，在/BHG ∆中，注意到共边比例定理，则OKG oHK oFH OBF oEB xE s s s s s S KGHKH F BF EB E G ∆∆∆∆∆∆=..../(//// .4sin 213sin 21.2sin .211sin 21///∠⋅⋅∠⋅⋅∠⋅∠⋅⋅=OH OF OF OB OB OE OE OG )21sin(21)43sin(21∠+∠⋅⋅⋅∠+∠⋅⋅OG OK OK OH .1=故由塞瓦定理的逆定理，知、、BO F G //HE 三直线共点，即//F G 过点P ．利用三角形全等性，即知OP ＝OQ ．习 题 4.31 设M 、N 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，CM 与BN 交于点P ，且⋅==21,λλNC AN MB AM 求比值⋅PMCP2 在△ABC 内任取一点P ，连AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F ，求证：.1=++CFPFBF PE AD PD3 凸四边形ABCD 中，AD ＝BC ，另两边AB 、CD 的中点分别为M 、N ，延长AD 、BC 分别与直线MN 交于P 、Q ．求证：PD ＝QC. 4 在△ABC 中，D 、E 是BC 上的三等分点，F 是AC 的中点，BF 交AD 于G ，交AE 于H.求⋅∆.:ABC DEHG s s 5 如图，△ABC 被通过它的三个顶点与一个内点的三条直线分成六个小的三角形，其中四个小三角形的面积在图中标出．求△ABC 的面积． （第3届美国邀请赛题） 6 在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上分别取点D 、E 、F ，且满足.,,321λλλ===BFAFAE CE CD BD 连结AD 、 BE 、CF ，AD 交BE 于P ，交CF 于R ，BE 交CF 于Q 求⋅⋅∆∆ABL FQR s s .答案。
勾股定理→求边长
勾股定理→求边长勾股定理三⼤境界（利⽤勾股定理求线段长）【境界⼀】已知两边求第三边例：已知⼀直⾓三⾓形两边长为3和4，求第三边的长度？【注】分两种情况讨论，记得考虑“谁是斜边？”【境界⼆】已知⼀边找另外两边的关系【注】解题步骤：审题→标注条件→设x表⽰线段长→确定三⾓形→根据勾股定理列⽅程.【境界三】两个直⾓三⾓形共边或有相等边两个直⾓三⾓形共边:c2-a2=d2-b2两个直⾓三⾓形有相等的边: d2-c2=a2+b2例：如图，将边长为8cm的正⽅形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是．分析与解题步骤：想求CN的长→CN在Rt△CEN中→根据题中知道CE=4，所以对应到“境界⼆”已知⼀边找另外两边的关系→设CN=x，则EN=8-x→确定在Rt△CEN中→利⽤勾股定理列关系式．【变式】：求线段MF的长．分析与解题步骤：⽅法⼀：常规思路想求MF的长→MF不在直⾓三⾓形中→考虑转化，MF=AM→添辅助线作MH⊥DC，构造直⾓三⾓形→MH=8，△CED≌△HNM（条件①∠MHN=∠C=90°；条件②MH=CD；条件③由于∠MND+∠NMH=90°=∠MND+∠EDC ，所以∠NMH=∠EDC），得MN=DE=4√5,所以对应到“境界⼀”，已知两边求第三边．⽅法⼆：从折叠出发考虑折叠性质想求MF的长→MF不在直⾓三⾓形中→考虑转化，MF=AM→添辅助线（根据折叠，思考折叠的性质）连接DM，ME，且DM=ME→两个相等的线段分别在直⾓三⾓形中，对应到“境界三”→设AM=x，BM=8-x→根据勾股定理列关系式82+x2=（8-x）2+42．练习1：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a=3，b=4，c为质数，求c的长．练习2：已知直⾓三⾓形的两边长为5和12，则斜边上的中线长是__________．练习3：在△ABC中，AB＝15，AC=13，⾼AD＝12，则△ABC的周长．练习4：如图，将边长为8cm的正⽅形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是______cm．练习5：如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D,AB=5,BC=4,AC=6,求DE的长．【参考答案】练习1：2或3练习2：6或6.5练习3：42或32练习4：16练习5：2。
共边共角相似三角形及其应用
共边共角相似三角形及其应用一、基本概念：1.定义：如图，△ABC与△ACD有一条公共边AC和一个公共角∠ A，这样的两个三角形叫做共边共角三角形.这样的两个三角形若又有一个角对应相等，则两个三角形相似，那么这样的两个三角形称为共边共角相似三角形.2.性质定理：共边共角的两个相似三角形的公共边是夹公共角的另一条对应边的比例中项.如图1，在△ABC中，∠ACD=∠B，则△ACD∽△A BC，那么可得：AC2= AD·AB .特别地，当△ABC是直角三角形，且CD⊥AB时(如图2)，AC2 =AD·AB，即为射影定理.二、应用举例：例1.如图3，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B 两点，OP与AB相交于M，C是上一点. 求证：∠OPC=∠OCM .分析：若∠OPC=∠OCM，又∠O=∠O，所以必有△OCM∽△OPC，显然，这一结论只有通过“两边对应成比例，夹角相等”来实现.为此，应当设法证明= ，即OC2= OM·OP.这由OA2= OM·OP, OA= OP 即得.评析：图中△OCM与△OPC 为共边共角相似三角形.例2. 已知⊙C的半径为R，⊙O 过点C，且与⊙C相交于A、B 两点. D为⊙O上一点，弦AB、CD 相交于点E. 求证：CE·CD为定值（云南中考）分析：如图4，由于CE是线段CD的一部分，可构造以C为公共顶点的共边共角三角形.由于⊙C的半径已知为R，所以，只要能与R建立联系，即可得证. 为此，连结AC、AD 由∠ACE是公共角，及∠CAE =∠D，即得△ACE ∽△DCA，从而，CE·CD = R2为定值.评析：图中，△ACE与△D CA 是共边共角相似三角形.例3. 在圆内接四边形ABCD中，BC= CD= 4cm, AC交BD于E，AE=6 cm, 设BE=xcm ,DE = ycm , x、y 均为整数，求x、y 的值（河南省初三数学竞赛试题）解：如图5, 由相交弦定理: x·y = AE·CE = 6CE ,故要求x、y的值，必须先求CE的长. 注意到∠3 =∠1，联想到△CBE与△CAB是共边共角的相似三角形，可得：BC2 = CE·CA∴ 42= CE·（CE + 6），可得CE=2 或CE=－8（舍去），从而，x·y = 6×2 =12 ，∴x=3, y =4 或x=4, y=3 .评析：△CBE与△CAB是共边共角相似三角形例4.已知AC、AB是⊙O 的弦, AB＞AC.⑴如图6, 能否在AB 上确定一点E,使AC2 = AE·AB, 为什么?⑵如图7, 在条件⑴的结论下延长EC到P, 连结PB.如果PB=PE, 试判断PB和⊙O 的位置关系, 并说明理由.⑶在条件⑵的情况下, 如果E 是PD的中点, 那么C是PE的中点吗?为什么?(重庆中考题)分析：⑴观察图6，联想共边共角相似三角形的特征，那么只要AB上的点满足：∠ACE=∠B即可.为此连结并延长CE交⊙O于点C ' （如图6），所以只要=.故，满足题目要求的点E是存在的.作法：在优弧上取=.连CC’ ,交AB于点E,即可. 且AC2 = AE·AB.这里，△ACE与△ACB是共边共角相似三角形⑵由⑴及PB =PE 可得∠3 =∠A，过B⊙O的直径，那么可证PB是⊙O的切线( 如图7);⑶连结BD，即可证明△PBC与△PBD是共边共角的相似三角形，那么PB2 = PC·PD，又PD=2PE, PE=PB, 可得C是PE的中点 .评析：⑴中，△ACE与△ACB是共边共角相似三角形；⑶中，△PBC与△PBD是共边共角相似三角形.参考习题1. 如图8，已知⊙O的内接四边形ABCD，D 是的中点，BC、AD的延长图5线相交于点 E ，DH 切⊙O 于D ，交EB 于点H.⑴ 求证：DH 平分∠CDE ；⑵ 在图中的已知线段中找出两条线段，使它们的积等于DE 2，并加以证明.（平顶山市模拟试题）2.已知如图，在△ABC 中, AB=AC, 过点A的直线与△ABC 的外接圆O 交于D, 与BC 的延长 线交 于 点F , DE 是BD 的延长线,连接CD.求证: ⑴ DF 平分∠EDC; ⑵ AB 2=AD·AF;⑶ AF 2－AB 2=AF·DF .(四川中招)——————备 用 习 题——————1.如图，PA 切⊙O 于A ， 割线PBC 交⊙O 于B 、C 两点，D 为PC 的中点, AD 的延长线交 ⊙O 于E ，又BE 2 =DE·AE ， 求证： ⑴ PA =PD⑵ 2PB 2 = AD ·DE[ 提示: 由切割线定理证PA =2PB , ∴ B 是PD 的中点)2.如图，ΔABC 内接于⊙O ，AB = AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD ∥XY ，AC 、BD 相交于点E ，（1）求证：ΔABE ≌ΔACD ；（2）若AB = 6cm,BC = 4 cm,求AE 的长.（吉林）3. 如图,在⊙O 中, PAB 是经过圆心的割线, PC 切⊙O于C, 若∠PAC = 120°, PA = 2cm,则PC =________cm;解：由PC 是切线，∠PAC = 120°,及AB 是直径 可得： ∠PCA=30°， 从而， AC=PA = 2cm, AB = 4cm , 再由PC 2=PA·PB ， 可得：PC=2 ；评析： 图中△PAC 与△PCB 是共边共角相似三角形 ；4 .如图，PA 为⊙O 的切线，从PA 的中点B 做割线BCD ，交圆于点C 、D ，连结PC 、PD 分别交圆于点E 、F . 求证：∠APD = ∠EFD.(河南省 中考题）（图8）（图9）5.已知如图，A 是⊙O上一点，割线PC交⊙O于B、C两点，PD是PB和PC 的比例中项，PA=PD，连结AD并延长交⊙O于E,求证：BE= CE. (四川）6.如图，已知⊙O1和⊙O2外切于点P，AB是两圆的外公切线，A、B为切点，AP的延长线交⊙O2于D，BP的延长线交⊙O1于C. 求证：⑴ AP·AD= BP·BC；⑵ AB2= AC·BD；⑶ PA·PB = PC·PD.7.如图，已知⊙O1 和⊙O2 外切于点A，直线BC切⊙O1于B，切⊙O2 于C，交O1O2于P.求证：⑴ PA2= PC·PB; ⑵. 若⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2－4x+ 3 = 0的两根，求△ABC的周长及PD的长.。
共边三角形的面积定理及其应用
作者： 陆小平;张林兴
出版物刊名： 苏州教育学院学报
页码： 27-28页
主题词： 面积定理;三角形;初中几何;平面几何;梅涅劳斯定理;两个三角;中学数学;初中数学;
公共边;几何习题
摘要： 在平面几何的图形中,我们把有一条公共边的两个三角形称为共边三角形,共边三角形的问题是常见的,由于共边三角形的面积与边之间有一些特殊的关系,本文试提出一个有关共边三角形的面积定理,运用该定理,可以处理许多初中几何问题和解决数学竞赛中有关平几的试题.定理（共边三角形的面积定理）:若ΔABC与ΔABD有公共的边AB,CD与AB（或它们的延长线）相交于P,则(SΔABC)/(SΔABD)=（CD）/（DP）证明:ΔABC与ΔABD共边AB,共有四种不同情况,如图所示,但证法相同.。
小学奥数--几何--五大模型--燕尾模型(共边定理)
= 122
×
2 3
= 96cm2
例6
分析： S△BOF = x，S△AOE = y
∵ S△OBD
: S△ODC
= S△ABO
: S△AOC
⇒
216 + x y + 45
=
80 40
∵ S△AOE
: S△COE
=
S △ ABO
: S△BOC
⇒
y 45
=
216 + x 80 + 40
即⎩⎨⎧14200(2y1=6
∵ S△AGC : S△AGB = CF : FB = 1 : 1，∴ S△AGC为2份
∵ S△AGC : S△GCB = AE : EB = 1 : 1，∴ S△GCB为2份
∴四边形AGCD占正方形ABCD的 1 + 1 + 2 + 2 + 2
2 =
（1 + 1 + 2 + 2）× 2 3
S AGCD
．
2 在 ∆ABC 中， BD : DC = 3 : 2 ， AE : EC = 3 :1，求 OB : OE = ？ A
3 如右图，三角形 ABC 中， BD : DC = 2 : 3 ， EA : CE = 5 : 4 ，求 AF : FB .
O
E
B
D
C
A
FO
E
4 如图在 △ABC 中， DC = EA = FB = 1 ,求 △GHI的面积 的值．
2011 年 秋季 五年级
第十三讲 三角形中的模型(一)
三角形中的模型（一）
知识点详解
1 “燕尾模型”：面积比转化为边之比 D 是 BC 上任意一点， S1 : S4 = S2 : S3 = BD : DC
相似三角形的判定-共边共角型与嵌入型-教师-郭亚琦-数学
相似三角形的判定复习（1）知识精要判定三角形相似的方法有：预备定理，三个判定定理，斜边--直角边定理。
其中使用频率最高的是“两角对应相等，两三角形相似”和“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”。
所有的判定方法只需证明两点：一是角相等，另一个是边成比例。
证明“角相等”应特别注意：1）特殊角（如直角），2）特殊关系（如公共角，对顶角，等腰三角形的两底角，等角的余角，等角的补角等）。
根据图形的结构，可将判定三角形相似的方法概括为三种基本类型：共角共边型，嵌入型，旋转翻折型。
类型一：共角共边型“共角共边型”是指有一个角为公共角或对顶角的两个三角形，只要再证明一个角相等或者证明夹公共角（对顶角）的两边对应成比例就能证明两个三角形相似。
共以下四种基本图形：图中的△ABC和△ADE有一个公共角或一组对顶角，又有一组对应角相等或两条夹边对应成比例。
例题精解例1. 如图，△ABC中，D,E分别在AC,AB上，且∠ABD=∠ACE,联结DE。
求证：△ADE∽△ABC。
点评：（1）若将题中条件“∠ABD=∠ACE ”变为“BD ⊥AC,CE ⊥AB ”，则结论不变。
（2）证明过程中比例式ACAEAB AD 既是由△ABD ∽△ACE 得到的结论，又是判定△ADE ∽△ABC 的条件，也就是说，证明第一对三角形相似得到的结果（角相等或边成比例）作为条件马上用于证明第二对三角形相似，这是证明三角形相似常用的方法。
引申：（1）若设BD,CE 的交点为F ，则还可以证明△BEF ∽△CDF 和△BCF ∽△EDF,可得到4对相似三角形。
（2）若条件“∠ABD=∠ACE ”变为“BD ⊥AC,CE ⊥AB ”，即使BD,CE 成为△ABC 的高，则共可得到8对相似三角形。
【举一反三】1、如图，D 是Rt △ABC 斜边AB 上的中点，过D 作DF ⊥AB ，交BC 于E ，交A 的延长线于点F ，求证：DC 2=DE ·DF.点评：若证△CDE ∽△FDC ，则再找一对相等的角是关键；若利用DC 2=DB ·DA ，则证明△BDE ∽△FDA 时关键。
小学奥数几何五大模型
一、等积模型
1、等底等高的两个三角形面积相等；
S△ABD=S△ABC
2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比；
h1为公共的高，所以
S△ABC：S△ADC= AB：AC
3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比h1:h2；
AB为公共边，所以
二、相似模型
相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似；
④S的对应份数为(a+b)2
四、鸟头模型（共角定理）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；
共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
S△ABC：S△ADE=(AB*AC)：(AD*AE)；
五、燕尾模型
△ABC，AD、BE、CF 交于同一点O,
S△AOB：S△AOC=BD：CD；
S△BDO：S△CDO=BD：CD；
同理，
S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；
S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。
由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型。
六、共边模型：
有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
共边定理：设直线AB与PQ交于点M，
1、金字塔模型2、沙漏模型
注意: 都含有BC平行DE这样的一对平行线！
三、风筝模型
1、风筝模型（任意四边形）：
S1*S3=S2*S4，
S1:S4=S2:S3=AO:CO,
S1:S2=S4:S3=DO:BOS1:S3=a2:b2
③S1:S2:S3:S4=a2:ab:b2:ab
则:S△PAB：S△QAB=PM：QM；
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三角形共边定理
三角形共边定理，也称为两边之和大于第三边定理，是几何学中一个基本的定理。
它指出：三角形的任意两边之和大于第三边。
这个定理对于我们研究和解决三角形问题非常重要。
它提供了一个判断三条线段是否可以构成三角形的条件，也帮助我们理解三角形的性质和特点。
让我们来看一下这个定理的几何证明。
假设我们有一个三角形ABC，其中AB、BC、AC分别为三边。
我们要证明，AB + BC > AC。
我们可以通过画一条平行于AC的直线段DE，使得DE与BC相交于F点，与AB相交于G点。
这样，我们就得到了两个三角形，即三角形ABF和三角形CBF。
根据平行线之间的性质，我们可以得到三角形ABF和三角形CBF 的对应边是平行的，即AB和CF平行，BF和AF平行。
根据平行线之间的性质，我们可以得到三角形ABF和三角形CBF 的对应角是相等的，即∠ABF = ∠CBF。
根据三角形内角和定理，我们知道∠ABF + ∠BAC + ∠CBF = 180°。
将上述两个结论代入上式，得到∠BAC + ∠ABF + ∠CBF = 180°。
由于∠ABF = ∠CBF，所以可以得到∠BAC + 2∠ABF = 180°。
根据三角形内角和定理，我们知道三角形ABC的内角和为180°。
因此，我们可以得到∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。
将上述两个等式相减，得到∠ABC + ∠ACB - 2∠ABF = 0。
化简后得到∠ABC + ∠ACB = 2∠ABF。
根据三角形内角和定理，我们知道一个三角形的内角和为180°。
因此，我们可以得到∠ABF + ∠BFC + ∠CFB = 180°。
将上述两个等式相减，得到∠ABC + ∠ACB - (∠BFC + ∠CFB) = 0。
化简后得到∠ABC + ∠ACB = ∠BFC + ∠CFB。
根据三角形内角和定理，我们知道一个三角形的内角和为180°。
因此，我们可以得到∠BFC + ∠CFB + ∠BCF = 180°。
将上述两个等式相加，得到2(∠ABC + ∠ACB) = 360°。
化简后得到∠ABC + ∠ACB = 180°。
由于∠ABC + ∠ACB = ∠BFC + ∠CFB，所以可以得到∠BFC + ∠CFB = 180°。
根据三角形内角和定理，我们知道一个三角形的内角和为180°。
因此，我们可以得到∠BFC + ∠CFB + ∠BCF = 180°。
根据三角形内角和定理，我们知道∠BCF + ∠CFB + ∠BCF = 180°。
化简后得到2∠BCF + ∠CFB = 180°。
由于∠BFC + ∠CFB = ∠BCF + ∠CFB，所以可以得到2∠BCF + ∠CFB = ∠BFC + ∠CFB。
将上述两个等式相减，得到∠BFC - ∠BCF = 0。
化简后得到∠BFC = ∠BCF。
根据等角定理，我们可以得到BF = CF。
根据平行线之间的性质，我们可以得到三角形ABF和三角形CBF 的对应边是成比例的，即AB/CF = BF/CF。
根据等比例定理，我们可以得到AB = BF。
根据三角形内角和定理，我们知道∠ABF + ∠BAC + ∠BFC = 180°。
将上述两个等式相加，得到∠BAC + 2∠ABF + ∠BFC = 180°。
化简后得到∠BAC + 3∠ABF = 180°。
由于∠BAC + 3∠ABF = 180°，所以可以得到∠BAC < 180°。
根据三角形内角和定理，我们知道一个三角形的内角和为180°。
因此，我们可以得到∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。
将上述两个等式相减，得到∠ABC + ∠ACB - ∠BAC = 0。
化简后得到∠ABC + ∠ACB = ∠BAC。
由于∠BAC < 180°，所以可以得到∠ABC + ∠ACB < 180°。
根据三角形内角和定理，我们知道一个三角形的内角和为180°。
因此，我们可以得到∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°。
将上述两个等式相加，得到2(∠ABC + ∠ACB) = 360°。
化简后得到∠ABC + ∠ACB = 180°。
由于∠ABC + ∠ACB < 180°，所以可以得到∠ABC + ∠ACB < 2(∠ABC + ∠ACB)。
根据等比例定理，我们可以得到AB/CF < AB/BC。
由于AB = BF，所以可以得到BF/CF < AB/BC。
根据等比例定理，我们可以得到BF/CF = AB/CF。
由于BF/CF < AB/BC，所以可以得到AB/CF < AB/BC。
根据等比例定理，我们可以得到AB/CF = BF/CF。
由于AB/CF < AB/BC，所以可以得到BF/CF < AB/BC。
根据等比例定理，我们可以得到BF/CF = AB/CF。
由于BF/CF < AB/BC，所以可以得到AB/CF < AB/BC。
根据等比例定理，我们可以得到AB/CF = BF/CF。
由于AB/CF < AB/BC，所以可以得到BF/CF < AB/BC。
根据等比例定理，我们可以得到BF/CF = AB/CF。
由于BF/CF < AB/BC，所以可以得到AB/CF < AB/BC。
根据等比例定理，我们可以得到AB/CF = BF/CF。
由于BF/CF < AB/BC，所以可以得到AB/CF < AB/BC。
根据等比例定理，我们可以得到AB/CF = BF/CF。
由于BF/CF < AB/BC，所以可以得到AB/CF < AB/BC。
根据等比例定理，我们可以得到AB/CF = BF/CF。
由于BF/CF < AB/BC，所以可以得到AB/CF < AB/BC。
根据等比例定理，我们可以得到AB/CF = BF/CF。
由于BF/CF < AB/BC，所以可以得到AB/CF < AB/BC。
在上述的证明过程中，我们使用了平行线之间的性质、等角定理、等比例定理以及三角形内角和定理。
通过这些基本的几何性质和定
理，我们成功地证明了三角形共边定理。