(完整版)八年级上专题讲义： 旋转模型与方法
第 1 页 共 6 页 专题讲义 旋转模型与方法
模型特点：
【引例】已知：如图1, 在△ABC和△ADE中，AB = AC，AD = AE，且∠CAB = ∠EAD=α，
（1）求证： CE = BD；求CE 与BD的夹角。
（2）当点C、E、D在一条直线时, 上述结论是否成立?
（3）如图，上述结论是否成立?若成立请说明理由?
模型应用：构造旋转模型解决“对补型”，寻找“等线段，共端点”
【例1】如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠BAD=60°，求证：AC=BC+CD.
【例2】如图，等腰Rt△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，F为BC上的点，且ED⊥DF。
（1）求证：DE = DF；
（2）若E为AC延长线上一点，F为CB延长线上的点，且ED⊥DF。则（1）的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
ECDBA1ECDBAEDCBA图二 图一 图三
FEDCBAMFEDCBA
第 2 页 共 6 页 【例3】如图， 已知△ABC中，∠B=300，现将△ABC绕点A顺时针旋转角度α至△ADE，直
线BC与直线DE交于点F，连结AF
1）若α=600（如图1），则∠AFB= ；若α=900（如图2），则∠AFB= ，
2）若00＜α＜1200（如图3），则∠AFB= （用α表示）
3）若1200＜α＜1800（如图4），则∠AFB与α的数量关系是 ，并给予证明.
〖练〗如图，任意△ABC，分别以AB、AC为腰，以A为顶角的顶点向△ABC的两侧作等腰△ABM，等腰△ACN，且∠ANC=∠ABM，MC与NB的延长线交于点O.
（1）如图1，若∠ANC=∠ABM=30°，则∠O= ；
（2）如图2，若∠ANC=∠ABM=45°，则∠O= ；
（3）如图3，若∠ANC=∠ABM=)900(，猜想∠O的度数（用含的式子表示），并证明你的结论.
图1 图2 图3
图1FEDCBA图2FEDCBA图3FEDCBA图4FEDCBA NMOACBNMOACBNMOACB
第 3 页 共 6 页
【例4】如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BD为斜边AC上的中线，E为DC上的一点，AG⊥BE于G，BD交AG于点F.
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）若点E在DC的延长线上，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请画出图形，并给予证明；若不成立，请说明理由.
手牵手模型
【例5】（1）如图1，△ABC和△ECD都是等边三角形；写出你认为正确的结论，并证明。
①___________________；②______________________；③________________________；
④___________________；⑤______________________；⑥________________________；
（2）在（1）中，将△ECD绕C点任意旋转一个角度得如图2，结论仍然成立的有：______________________________
练习：如图，等边△ABC和等边△CDE，
（1）求证：BD＝AE。
（2）若等边△CDE绕点C旋转到BC、EC在一条直线上时（1）中结论成立吗，请给予证明。
（3）旋转到如图位置时，若M为BD中点，N为AE中点，求证：①△CMN为等边三角形；② FG∥BC。
GFEDCBA图图GFCEDBACEDBA
第 4 页 共 6 页
【例6】如图1，已知△ABC是等边三角形，D,E分别式AB，BC上的点，且BD=CE，AE,CD交于点F。
（1）求证：△ACE≌△CBD；
（2）过A作AG⊥CD于G，求证：AF=2FG；
（3）如图2，若BF⊥AF，求AFCF的值。
【例7】如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP-DE的值；
（3）如图3，已知点F坐标为（-2，-2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m-n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
第 5 页 共 6 页 FECBAFECBA同步练习:
1.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N，
求证：（1）BD=CE，（2）BD⊥CE.
（3）当△ABC绕A点沿顺时针方向旋转如图，（1）（2）（3）位置时，上述结论是否成立？请说明理由。
2.如图，AF是经过等腰Rt△ABC的锐角顶点A的直线，若B、C
两点在直线AF的同侧，分别过B、C两点做CE⊥AF于E，
BF⊥AF于F。
（1）求证：CE – BF = AE。
（2）如图，若B、C两点在直线AF的异侧，分别过B、C两点做CE⊥AF于E，BF⊥AF于F。求证：CE + BF = AE。
3.如图，△ABC中，AB=AC,若点D在BC边上，DE⊥AB、DF⊥AC、CG⊥AB，求证：DE+DF=CG,若点D在BC的延长线上，DE、DF、CG三者之间的关系又怎样？试证明。
NMEDCBANEDCBA1EDCBA23EDCBAFGEDCBAFGEDCBA
第 6 页 共 6 页 FEDCBAHG
4.如图,B是线段AC上一点, 分别以AB、BC为边在线段AC的
同侧作等边△ABD与等边△BCE. 连AE、DC交于F点, AE
交BD于G, DC交BE于H.
(1) 求证：AE＝DC；
(2) 求证：AG＝DH, CH＝EG；
(3) 连结GH, 求证：GH∥AC；
(4) 连结BF, 求证：BF平分∠AFC.
5.在等边△OAB中，G、H分别从O、A出发，以等速沿OA、AB运动，连OH、BG交于F；
（1）试判断∠BFH的大小是否变化；
（2）连AF，当G、H运动到AF⊥BG时，求BF:OF的值。
FEDCAHGB
中考数学 专题22 图形的旋转(知识点串讲)(解析版)
中考数学复习资料
专题22 图形的旋转
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 旋转的基础
旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转.点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如图形上的点P经过旋转变化点P，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.
如图所示，AOB是AOB绕定点O逆时针旋转45得到的，其中点A与点A叫作对应点，线段OB与线段OB叫作对应线段，OAB与OAB叫作对应角，点O叫作旋转中心，AOA（或BOB）的度数叫中考数学复习资料
作旋转的角度.
【注意】
1.图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.
2.旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
旋转的特征：
➢ 对应点到旋转中心的距离相等；
➢ 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
➢ 旋转前、后的图形全等.
旋转作图的步骤方法：
➢ 确定旋转中心、旋转方向、旋转角；
➢ 找出图形上的关键点；
➢ 连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点；
➢ 按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形.
平移、旋转、轴对称之间的联系：
变化后不改变图形的大小和形状，对应线段相等、对应角相等。
平移、旋转、轴对称之间的区别：
1） 变化方式不同：
平移：将一个图形沿某个方向移动一定距离。
旋转：将一个图形绕一个顶点沿某个方向转一定角度。
轴对称：将一个图形沿一条直线对折。
2） 对应线段、对应角之间的关系不同
平移： 变化前后对应线段平行（或在一条直线上），对应点连线平行（或在一条直线上），对应角的两边平行（或在一条直线上）、方向一致。
旋转： 变化前后任意一对对应点与旋转中心的连线所称的角都是旋转角。
轴对称：对应线段或延长线如果相交，那么交点在对称轴上。
3）确定条件不同 B'A'45°ABO中考数学复习资料
旋转的应用-半角模型教案鲁教版(五四制)数学八年级上册
《旋转的应用—半角模型》教学设计
【教学目标】
结合数学课程标准和学科德育一体化要求，围绕“目标—--评价—--教学”一致性原则，确定本课教学目标如下：
半角模型的特点，掌握用旋转的方法解决半角问题的一般思路和方法。
2．在解决问题的过程中体会旋转的作用，归纳总结解决半角模型问题的基本方法。
3. 通过讨论交流、合作探究等活动，积累数学活动经验，培养数学学科的严谨思维和理性精神。
【教学重点】
明确半角模型的特点，掌握用旋转的方法解决半角问题的一般思路和方法。
【教学难点】
在解决问题的过程中体会旋转的作用，归纳总结解决半角模型问题的基本方法。
【教学过程】
情境引入
之前,我们学习过图形的变换主要有哪些形式?平移、旋转和轴对称。其中旋转式我们解决几何问题的一大利器。今天我们就来探究如何利用旋转来解决半角模型问题（板书课题）。
教学目标
1、认识半角模型，能在复杂的图形当中找到半角模型；
2、会利用旋转的知识解决半角模型的相关问题。
知识回顾
△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，将△ABD经过逆时针旋转后到△ACP位置，则旋转中是 ，旋转角等于 °AD与AP的夹角是 °△ADP是 三角形。
设计意图：同学们通过这道题的练习，熟悉旋转的性质，为后续的探究夯实基础。
典例探究
在正方形ABCD中，E、F分别是CB、DC上的点，且∠EAF=45°，探究BE、FD、EF三条线段的数量关系。
（1） 大胆猜测，独立思考，找出解决问题的方法。
（2） 小组讨论，各抒己见，让思维撞击出火花。
（3） 集体讨论，质疑问难，探讨解决问题的方案。
（4） 几何画板演示旋转的意义所在，教师语言要注意引导半角模型的特点。
设计意图：教育本质是一棵树摇动另一棵树,一朵云推动另一朵云,一个灵魂唤醒另一个灵魂。通过个人探究、小组讨论和集体讨论，激发学生对问题的深入思考。几何画板的动态演示直观的展示了旋转的过程中，变与不变的量，变与不变的关系，加深学生对利用旋转解半角模型题目的认知。
初二数学培优专题 (1)——共点“手拉手”模型(又称旋转“一拖二”模型)(答案详解)
初二数学培优专题（1）
1
共点手拉手模型（又称旋转“一拖二”模型） ——兼谈最值、轨迹问题 特点——公共点是等腰三角形顶角的顶点
如图，若连接BB’、CC’，易证明△ABB’≌△ACC’（SAS）。
这就是传说中的“旋转一拖二”，又称为“手拉手模型”。
典型问题：
【例1】（成都高新区2017-2018八年级上期27题）
初二数学培优专题（1）
2
【例2】（成都金牛区2017-2018八年上期27题）
如图，在△ABC 中,∠B=45°，AB
=22，
232BC，等腰直角∆ADE 中，∠DAE=90°，
且点D 是边 BC 上一点。
(1)（3 分）求 AC 的长；
(2)（4 分）如图 1，当点 E 恰在 AC 上时,求点 E 到 BC 的距离；
(3)（3 分）如图 2, 当点 D 从点 B 向点 C 运动时，求点 E 到 BC 的距离的最大值。
图1
初二数学培优专题（1）
3
【例3】（2017届初二上期七中联盟半期）
已知：ABC△
是等腰直角三角形，动点P
在斜边AB
所在的直线上，以PC
为直角边作等腰直角三角形
PCQ
，其中90PCQ
∠
，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P
在线段AB
上，且2AC，1
2PA
，则：
①线段PB
________，PC
________；
②猜想：222
,,PQPAPB
三者之间的数量关系为_______________________；
（2）如图②，若点P
在AB
的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足4PA
PB
,求PQ
AC的值．（提示：请利用备用图进行探求）
图① 图② 备用图
QC
BP
AQ
C
BP
AC
BA初二数学培优专题（1）
4
【例4】如图,已知30MON ,B为OM上一点,BAON 于A,四边形ABCD为正方
形,P为射线BM上一动点,连结CP,将CP绕点C顺时针方向旋转90 得CE,连结BE,
旋转两种解题模型(学生版)-初中数学
1旋转两种解题模型
目录
解题知识必备
压轴题型讲练
题型一：奔驰模型
题型二：费马点模型压轴能力测评
模型一：奔驰模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类题型，
提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题模型二：费马点模型
2最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所
以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。
题型一：奔驰模型
一．选择题(共1小题)
1.(2020秋•顺平县期中)如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，将ΔABP绕
点B顺时针旋转60°到ΔCBQ位置．连接PQ，则以下结论错误的是()
A.∠QPB=60°B.∠PQC=90°C.∠APB=150°D.∠APC=135°
二．填空题(共4小题)
2.(2023秋•北屯市校级期中)如图，在平面直角坐标系中，已知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0,
6)，点B在第一象限，∠OAB的平分线交x轴于点P，把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO
与AB重合，得到ΔABD，连接DP．则DP=，D点坐标为．
3.(2023秋•
长宁区校级期中)已知在ΔABC中，∠ACB=90°，AB=20，sinB=5
5(如图)，把ΔABC绕
着点C按顺时针方向旋转α°(0
三角形，那么点A与点B′的距离为．
34.(2022秋•新抚区期中)如图，正方形ABCD中，将边AB绕着点A旋转，当点B落在边CD的垂直平分
线上的点E处时，∠BED的度数为．
5.(2021秋•盘龙区校级期中)如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为
边在ΔABC外作ΔBQC≅ΔBPA，连接PQ，则以下结论中正确有(填序号)
①ΔBPQ是等边三角形②ΔPCQ是直角三角形③∠APB=150°④∠APC=135°
2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)全等三角形基本模型(4大模型)(解析版)
全等三角形基本模型（4大模型）
模型一：平移型
模型二：翻折型
模型三：旋转型
模型四：一线三垂直型
【类型一：平移型】
【典例1】如图 已知点E、C在线段BF上 𝐵𝐸=𝐶𝐹 𝐴𝐵∥𝐷𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐹 .求证： .
【解答】证明： ∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸∴∠𝐵=∠𝐷𝐸𝐹∵𝐵𝐸=𝐶𝐹
∴𝐵𝐸+𝐸𝐶=𝐶𝐹+𝐸𝐶 即 𝐵𝐶=𝐸𝐹 .
∴在 △𝐴𝐵𝐶 和 △𝐷𝐸𝐹 中 {∠𝐵=∠𝐷𝐸𝐹𝐵𝐶=𝐸𝐹∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐹
∴△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹(𝐴𝑆𝐴) .
【变式1-1】如图 已知Rt△ABC与Rt△DEF中 △A＝△D＝90° 点B、F、C、E在同一直线上 且AB＝DE BF＝CE 求证：△B＝△E．
【解答】证明：∵𝐵𝐹=𝐶𝐸 𝐵𝐹+𝐹𝐶=𝐵𝐶 𝐶𝐸+𝐶𝐹=𝐸𝐹
∴𝐵𝐶=𝐸𝐹
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶和𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐹中
∵{𝐵𝐶=𝐸𝐹𝐴𝐵=𝐷𝐸
∴𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶≌𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐹(𝐻𝐿)
∴∠𝐵=∠𝐸．
【变式1-2】如图 点A、B、C、D在一条直线上 EA//FB EC//FD EA=FB．求证：AB=CD．
【解答】证明：∵𝐸𝐴∥𝐹𝐵
∴∠𝐴=∠𝐹𝐵𝐷
∵𝐸𝐶∥𝐹𝐷
∴∠𝐷=∠𝐸𝐶𝐴
在△𝐸𝐴𝐶和△𝐹𝐵𝐷中
{∠𝐸𝐶𝐴=∠𝐷∠𝐴=∠𝐹𝐵𝐷𝐴𝐸=𝐵𝐹
∴△𝐸𝐴𝐶≌△𝐹𝐵𝐷(𝐴𝐴𝑆)
∴𝐴𝐶=𝐵𝐷
∴𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐵𝐶+𝐶𝐷
∴𝐴𝐵=𝐶𝐷．
【变式1-3】如图 点B C E F在同一直线上 𝐵𝐸=𝐶𝐹 𝐴𝐶⊥𝐵𝐶 𝐷𝐹⊥𝐸𝐹 垂足分别为C F 𝐴𝐵=𝐷𝐸．求证：𝐴𝐶=𝐷𝐹．
初二数学图形的平移和旋转教案
一、复习预习
(1)平移的概念 （2）平移的特点 (3)平移的基本性质
火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动的，那么在运动的过程中这些物体的形状、大小、位置等因素中,哪些没有发生改变? 哪些发生了变化?这种运动就叫做什么？为解决这一问题，我们讲今天的内容。
二、知识讲解
知识点1 平移、旋转和轴对称的区别和联系
（1）区别。
①三者概念的区别：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转；在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠。如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称。
②三者运动方式不同：平移是将图形沿某个方向移动一定的距离。旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。
③对应线段、对应角之间的关系不同：平移变换前后图形的对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连的线段平行且相等；对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。轴对称的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上：对应点的连线被对称轴垂直平分。旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋转角。
④三者作图所需的条件不同：平移要有平移的方向和平移的距离，旋转要有旋转中心、旋转方向和旋转角：轴对称要有对称轴。 （2）联系。
①它们都在平面内进行图形变换
②它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，因此变换前后的两个图形全等。
③都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。
知识点2 组合图案的形成
（1）确定图案中的“基本图案”。
（2）发现该图案各组成部分之间的内在联系。
（3）探索该图案的形成过程：运用平移、旋转、轴对称分析各个组成部分如何通过“基本图案”演变成“形”的。
要用运动的观点、整体的思想分析“组合图案”的形成过程。
完整版)初中数学——最全：初中数学几何模型
完整版)初中数学——最全：初中数学几何模型
几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察。掌握几何模型能够为考试节省不少时间。下面是常用的各大模型，一定要认真掌握哦~
全等变换
平移：平行等线段（平行四边形）
对称：角平分线或垂直或半角
旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转
对称全等模型
以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型
通过翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称。
旋转全等模型
半角：有一个角含1/2角及相邻线段
自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等
共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等
中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
旋转半角模型
旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型
构造方法：
遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角
遇等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180度，造中心对称
共旋转模型
旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变形
模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转
两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
三角形全等之手拉手模型-倍长中线-截长补短法-旋转-寻找三角形全等与方法归纳总结
.. 一、手拉手模型
要点一：手拉手模型
特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的
顶点为公共顶点
结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°
（3）OA平分∠BOC
变形：
例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明
（1）DBCABE
(2)DCAE
(3)AE与DC之间的夹角为60
(4)DFBAGB
(5)CFBEGB
(6)BH平分AHC
(7)ACGF//
..
变式精练1：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，
证明（1）DBCABE
（2）DCAE
（3）AE与DC之间的夹角为60
（4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC
变式精练2：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，
证明（1）DBCABE
(2）DCAE
(3）AE与DC之间的夹角为60
(4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC
例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CEAG,,二者相交于点H
问：（1）CDEADG是否成立？
（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分AHE？
例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结CEAG,,二者相交于点H
问：（1）CDEADG是否成立？
（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分AHE？
.. 例4：两个等腰三角形ABD与BCE，其中BDAB,,EBCBCBEABD,连结AE与CD，
问：（1）DBCABE是否成立？
（2）AE是否与CD相等？
（3）AE与CD之间的夹角为多少度？
（4）HB是否平分AHC？
二、倍长与中点有关的线段
倍长中线类
☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
部编数学八年级上册全等变化模型一8字全等模型(解析版)含答案
全等变化模型一 8字全等模型
【模型展示】
【模型条件】如图，直线21ll∥，OMON
【模型结论】DNOBMODNOBMOCDOABO△，△△，△△△
.HGOEFONHOMEO△，△△△
【模型解析】从变化方式的角度分析，8字全等模型可以看成是两个全等三
角形绕三角形的一个顶点旋转180°而得；
从图形的结构分析，8字全等模型是由两条平行线和平行线间
的中点组成的.
【知识链接】三线八角，对顶角相等
【模型总结】①当两条平行线间出现中点时，一般都会形成全等；
②在运用和求证线段中点时，可以尝试构造8字全等来解决。
③倍长中线是8字全等最常见的运用，在三角形中线问题经常
采用此方法处理。
.【模型巩固】
【例1-1】如图，BD是ABCD的中线，6AB，4BC，求中线BD的取值范围．
【解答】解：如图所示，延长BD到E，使DEBD，连接AE，
BDQ是ABCD的中线，
ADCD\，
在ADED和CDBD中，
ADCDADECDBBDEDìïÐÐíïî，
()ADECDBSAS\DD，
AEBC\，
在ABED中，有ABAEBEABAE-<<+，
即2210BD<<，
15BD\<<．
【例1-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM＝CM，F是
BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，
求∠E的度数．
【分析】先证明△AMC≌△BMD，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．再证△BFG≌△CFE
可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠CEF．
【解答】解：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，
∴∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，
在△BMD和△AMC
中，，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
如图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．
∵△BMD≌△AMC
∴BD＝AC，
又∵CE＝AC，
∴BD＝CE，
(完整版)初中数学——最全：初中数学几何模型
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最全：初中数学几何模型
几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，小编整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~
全等变换
平移：平行等线段（平行四边形）
对称：角平分线或垂直或半角
旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转
对称全等模型
说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型
说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 2 / 27
旋转全等模型
半角：有一个角含1/2角及相邻线段
自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等
共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等
中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
旋转半角模型
说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型
构造方法：
遇60度旋60度，造等边三角形； 遇90度旋90度，造等腰直角
遇等腰旋顶点，造旋转全等； 遇中点旋180度，造中心对称
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共旋转模型
说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
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模型变形
说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 5 / 27
中点旋转：
说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。