卷积的物理意义

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实验报告信号卷积实验

一、实验目的1. 理解卷积的概念及其物理意义。

2. 掌握卷积运算的原理和方法。

3. 通过实验加深对卷积运算在实际应用中的理解。

二、实验原理1. 卷积的定义：卷积是一种线性运算，它描述了两个信号在时域上的相互作用。

对于两个连续时间信号f(t)和g(t)，它们的卷积定义为：F(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ其中，F(t)是卷积结果，f(τ)是信号f(t)的任意时刻的值，g(t-τ)是信号g(t)在时刻t-τ的值。

2. 卷积的性质：卷积具有交换律、结合律和分配律等性质。

其中，交换律是指f(t)和g(t)的卷积与g(t)和f(t)的卷积相等；结合律是指三个信号f(t)、g(t)和h(t)的卷积可以分别进行两两卷积后再进行一次卷积；分配律是指一个信号与两个信号的卷积等于该信号分别与两个信号卷积后的和。

三、实验内容1. 实验一：连续时间信号卷积实验（1）选用信号：选取两个连续时间信号f(t)和g(t)，其中f(t)为矩形脉冲信号，g(t)为指数衰减信号。

（2）卷积计算：根据卷积的定义，计算f(t)和g(t)的卷积F(t)。

（3）结果分析：观察F(t)的波形，分析卷积结果的物理意义。

2. 实验二：离散时间信号卷积实验（1）选用信号：选取两个离散时间信号f[n]和g[n]，其中f[n]为单位阶跃信号，g[n]为矩形脉冲信号。

（2）卷积计算：根据离散时间信号卷积的定义，计算f[n]和g[n]的卷积F[n]。

（3）结果分析：观察F[n]的波形，分析卷积结果的物理意义。

3. 实验三：MATLAB仿真实验（1）选用信号：选取两个连续时间信号f(t)和g(t)，其中f(t)为正弦信号，g(t)为余弦信号。

（2）MATLAB编程：利用MATLAB的信号处理工具箱，编写程序实现f(t)和g(t)的卷积运算。

（3）结果分析：观察MATLAB仿真得到的卷积结果，分析其物理意义。

四、实验结果与分析1. 实验一：连续时间信号卷积实验（1）实验结果：通过计算得到f(t)和g(t)的卷积F(t)的波形。

信息光学基础1-3卷积

03. 数学基础3：卷积
学习目标： – 了解卷积运算的定义. – 熟练掌握卷积运算. – 了解卷积的物理意义.
2016/10/8
– 01 卷积的定义 – 02 卷积的物理意义 – 03 卷积的性质 – 04 卷积的matlab实现
为什么要引入卷积运算？
物
成像系统
像
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
3）线性/分配律
a、b ——任意常数
[af (x, y) bh(x, y)] g(x, y) af (x, y) g(x, y) bh(x, y) g(x, y)
f (x, y) [ah(x, y) bg(x, y)] af (x, y) h(x, y) bf (x, y) g(x, y)
卷积结果
y (t )
15 8 9 8
3 -1 0 1
2
2
t 2
卷积的两个效应
展宽效应：卷积非零值范围等于被卷积两函数的非零值范围之和。
平滑效应
卷积运算实例1: 计算rect(x)*rect(x)
解：1.用哑元画出二个 rect()
2.将rect()折叠后不变;
rect() 1
2 y2 l / 2
[ (x+d/2) - (x-d/2)]
卷积的运算实例2
1） rect( x ) rect( x )
a
a
2）设有两函数分别为 f (x) (x)step(x) ，
h(x) rect( x 1) 求：g(x)=f (x) h(x) 。 2
f1( ) f2(t ) 2
1 0.5
-1 0 t 1 1 t 1

信号与系统常用卷积

信号与系统常用卷积
卷积是信号与系统领域中的一种重要运算。

它是将两个信号进行数学操作的方法，通常用符号 "*" 表示。

卷积运算可以以离散形式和连续形式进行。

离散卷积是指对离散时间信号进行卷积运算。

设有两个离散时间序列\[x[n]\]和\[h[n]\]，卷积运算的结果\[y[n]\]可以表示为：
\[y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k]\]
连续卷积是指对连续时间信号进行卷积运算。

设有两个连续时间信号\[x(t)\]和\[h(t)\]，卷积运算的结果\[y(t)\]可以表示为：
\[y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)d\tau\]
卷积运算的物理意义是对信号的相乘后再积分求和。

它在信号处理与系统分析中有广泛应用。

例如，卷积可以用于系统的响应预测、信号的滤波和信号的特征提取等。

在实际应用中，卷积运算可以通过离散求和或积分的方式进行计算。

计算机程序中常用的卷积算法包括直接法、快速卷积法（如快速傅里叶变换法）和卷积定理等。

总之，卷积是信号与系统分析中一种常用的运算方法，通过对信号的相乘与积分求和，可以得到新的信号。

在信号处理和系统分析中有广泛应用，为进一步深入研究相关领域奠定了基础。

卷积到底是什么？今天让你彻底明白

卷积到底是什么？今天让你彻底明白读本科期间，信号与系统里面经常讲到卷积(convolution)，自动控制原理里面也会经常有提到卷积。

硕士期间又学了线性系统理论与数字信号处理，里面也是各种大把大把卷积的概念。

至于最近大火的深度学习，更有专门的卷积神经网络(Convolutional Neural Network, CNN)，在图像领域取得了非常好的实际效果，已经把传统的图像处理的方法快干趴下了。

啰啰嗦嗦说了这么多卷积，惭愧的是，好像一直以来对卷积的物理意义并不是那么清晰。

一是上学时候只是简单考试，没有仔细思考过具体前后的来龙去脉。

二是本身天资比较愚钝，理解能力没有到位。

三则工作以后也没有做过强相关的工作，没有机会得以加深理解。

趁着年前稍微有点时间，查阅了一些相关资料，力争将卷积的前世今生能搞明白。

奥本海姆教授的巨作首先选取知乎上对卷积物理意义解答排名最靠前的回答。

不推荐用“反转/翻转/反褶/对称”等解释卷积。

好好的信号为什么要翻转？导致学生难以理解卷积的物理意义。

这个其实非常简单的概念，国内的大多数教材却没有讲透。

直接看图，不信看不懂。

以离散信号为例，连续信号同理。

已知x[0] = a, x[1] = b, x[2]=c已知y[0] = i, y[1] = j, y[2]=k下面通过演示求x[n] * y[n]的过程，揭示卷积的物理意义。

第一步，x[n]乘以y[0]并平移到位置0：第二步，x[n]乘以y[1]并平移到位置1第三步，x[n]乘以y[2]并平移到位置2：最后，把上面三个图叠加，就得到了x[n] * y[n]：简单吧？无非是平移（没有反褶！）、叠加。

从这里，可以看到卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。

重复一遍，这就是卷积的意义：加权叠加。

对于线性时不变系统，如果知道该系统的单位响应，那么将单位响应和输入信号求卷积，就相当于把输入信号的各个时间点的单位响应加权叠加，就直接得到了输出信号。

信号的卷积实验报告

一、实验目的1. 理解信号卷积的概念及其物理意义。

2. 掌握信号卷积的计算方法，包括连续卷积和离散卷积。

3. 分析卷积运算在信号处理中的应用，如信号滤波、信号重构等。

二、实验原理1. 信号卷积的概念信号卷积是指两个信号x(t)和h(t)的乘积在时间域上的积分。

卷积运算可以描述信号之间的相互作用和影响，对于信号处理、通信系统、控制系统等领域具有重要的应用。

2. 卷积的数学表示（1）连续卷积设x(t)和h(t)为两个连续信号，它们的卷积y(t)可以表示为：y(t) = ∫[x(τ)h(t-τ)]dτ（2）离散卷积设x[n]和h[n]为两个离散信号，它们的卷积y[n]可以表示为：y[n] = ∑[x[k]h[n-k]]3. 卷积的性质（1）交换律：x(t) h(t) = h(t) x(t)（2）结合律：(x(t) h(t)) g(t) = x(t) (h(t) g(t))（3）分配律：x(t) (h(t) + g(t)) = x(t) h(t) + x(t) g(t)（4）卷积的导数：d/dt(x(t) h(t)) = x(t) d/dt(h(t))三、实验仪器与设备1. 双踪示波器2. 信号源3. 信号处理模块4. 计算机5. MATLAB软件四、实验内容与步骤1. 连续信号卷积实验（1）选择两个连续信号，如方波信号和三角波信号。

（2）利用示波器观察两个信号的波形。

（3）通过计算机计算两个信号的卷积，并观察卷积结果的波形。

2. 离散信号卷积实验（1）选择两个离散信号，如单位阶跃信号和单位冲激信号。

（2）利用示波器观察两个信号的波形。

（3）通过计算机计算两个信号的卷积，并观察卷积结果的波形。

3. 卷积运算在信号处理中的应用实验（1）信号滤波：选择一个信号，如含噪声的信号，通过卷积运算实现滤波操作，去除噪声。

（2）信号重构：选择一个信号，如被压缩的信号，通过卷积运算实现信号重构，恢复原始信号。

五、实验结果与分析1. 连续信号卷积实验结果通过实验，我们可以观察到连续信号卷积的结果。

信号与系统信号的时域分解与卷积积分

28
三、卷积的性质及卷积计算
(2) (t-t0 ) 是卷积的延迟器
y(t) f (t) (t t0 )=f (t t0 )
物理意义
f (t)
有用推论
(t t0 )
f (t t0 )
f (t t1) (t t2 ) f (t t1 t2 )
若：f1(t) f2 (t) y(t) 则： f1(t t1) f2(t t2) y(t t1 t2)
s 平面和z平面的对应关系
×
衰减振荡信号
j
×虚指数信号 ×
增长振荡信号
指数×衰减信号
×
直流信号
×
指数增长信号
jIm[z]
z esT rej r eT , T
× 虚指数信号
衰减振荡信号
×
×
× 指×数增长
指数衰减信号直流 Re[z]
增长振荡信号
× 2
温故知新，上讲回顾
信号波形的翻转、展缩与平移
)
f3 (t
)]d
f1( )
f2 (t
)d
f1 (
)
f3 (t
)d
f1(t) f2 (t) f1(t) f3 (t)
物理意义：两个LTI系统并联，其总的单位冲激响应等
于各个子系统的单位冲激响应之和。也可通过交换律/
线性系统性质证明
f1 (t )
f2 (t) f3 (t)
f1(t) [ f2 (t) f3 (t)]
f1(t) f2 (t ) f3 (t) yzs (t) f1 (t) [ f2 (t) f3 (t)]
表明:两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激响应等于各个子系统单位冲激响应的卷积。

傅里叶卷积

傅里叶卷积
卷积：
卷积可以理解为一种运算，只是这种运算比较复杂。

可以看到卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。

卷积的应用：
卷积是一种积分运算，用来求两个曲线重叠区域面积。

可以看作加权求和，可以用来消除噪声、特征增强。

把一个点的像素值用它周围的点的像素值的加权平均代替。

卷积运算的的一个通俗例子：
卷积是使用两个大小不同的矩阵进行一种数学运算。

假设需要对高速公路上的跑车进行位置追踪，这也是卷积神经网络图像处理的一个非常重要的应用。

摄像头接收到的信号被计算为x(t)，表示跑车在路上时刻t的位置。

但是往往实际上的处理没那么简单，因为自然界无时无刻存在着各种影响，比如摄像头传感器的滞后。

因此为了得到跑车位置的实时数据，采用的方法就是对测量结果进行均值化处理。

但是对于一个运动中的目标，时间越久的位置则越不可靠，而时间离计算时越短的位置则与真实值的相关性越高。

因此可以对不同的时间段赋予不同的权重，即通过一个权值定义来计算。

卷积的定义和证明

卷积的定义和证明卷积是一种数学运算方法，用于处理信号和系统。

它被广泛应用于图像处理、语音处理、信号处理等领域。

本文将介绍卷积的定义和证明。

一、卷积的定义假设有两个函数f和g，它们的卷积定义为：$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^\infty f(t-\tau)g(\tau)d\tau$$其中，t表示时间，∈R，τ表示卷积核或滤波器的延迟时间。

卷积核或滤波器可以看作是g函数，它的作用是对f函数进行滤波或卷积运算。

卷积的结果是一个新的函数，称为卷积函数。

卷积函数的物理意义是：在t时刻，输入f和g的卷积值就是f 时刻和g时刻的“重叠部分”的积分。

因此，卷积运算可以理解为对函数f进行滤波和融合，从而得到更有用的信息。

二、卷积的证明要证明卷积的定义，首先需要理解积分的基本性质和变量代换法则。

假设有函数h(t)=f(t-τ)g(τ)，那么卷积的定义可以表示为：$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^\infty h(t) d\tau$$步骤1：将函数h(t)按照时间τ进行反转，并将τ替换为t-τ，得到：$$h(-\tau)=f(-\tau+t)g(-\tau)=f(t-\tau)g(\tau)=h(\tau)$$步骤2：将h(t)拆分成两个部分，一个是h(t)当τ≥0时的值，一个是h(t)当τ<0时的值，即：$$h(t)=\begin{cases} h(\tau), & \tau \geq 0 \\ 0, & \tau < 0\end{cases}$$步骤3：将卷积积分转化为关于h(t)的积分，得到：$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^\infty h(t) d\tau=\int_{0}^\infty h(t) d\tau$$步骤4：将h(t)表示成两个部分，即：$$h(t)=h(t)\cdot u(\tau)+h(t)\cdot u(-\tau)$$其中，u(\tau)表示单位阶跃函数。

幽默的卷积解释

最幽默的解释卷积的物理意义(2012-04-11 20:28:35)转载▼分类：模拟电路标签：杂谈最幽默的解释卷积的物理意义谈起卷积分当然要先说说冲击函数—-这个倒立的小蝌蚪，卷积其实就是为它诞生的。

”冲击函数”是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。

古人曰：”说一堆大道理不如举一个好例子”，冲量这一物理现象很能说明”冲击函数”。

在t时间内对一物体作用F的力，我们可以让作用时间t很小，作用力F很大，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。

于是在用t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积嘛！于是”卷积”这个数学怪物就这样诞生了。

说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯，一个能瘦到无限小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。

但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。

最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。

于是，他们为它量身定做了一套运作规律。

于是，妈呀！你我都感觉眩晕的卷积分产生了。

例子：有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。

有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：既然扬不了善名，出恶名也成啊。

怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政长官——县令。

无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也没有！第二天如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天……每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：这三十个大板子怎么不好使捏？……想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题：——人（系统！）挨板子（脉冲！）以后，会有什么表现（输出！）？——费话，疼呗！——我问的是：会有什么表现？——看疼到啥程度。

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卷积的物理意义卷积是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。

因为是对模拟信号论述的,所以常常带有繁琐的算术推倒,很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了,那么卷积究竟物理意义怎么样呢?卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)使用离散数列来理解卷积会更形象一点,我们把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2) and so on; 这是系统响应出来的信号。

同理,x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on;其实我们如果没有学过信号与系统,就常识来讲,系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关,也跟之前若干时刻的输入有关,因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程(这种过程可以是递减,削弱,或其他)对现在时刻系统输出的影响,那么显然,我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。

假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时,此种响应未改变,则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和(与序列的和不一样)。

但常常系统中不是这样的,因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化,那么怎么表述这种变化呢,就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述,表述为x(m)×h(m-n),具体表达式不用多管,只要记着有大概这种关系,引入这个函数就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少,然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值,再通过累加和运算,才得到真实的系统响应。

再拓展点,某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的,也可能是再加上前前时刻,前前前时刻,前前前前时刻,等等,那么怎么约束这个范围呢,就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m的范围来约束的。

即说白了,就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的ﻪ“残留影响”有关。

当考虑这些因素后,就可以描述成一个系统响应了,而这些因素通过一个表达式(卷积)即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。

对于非数学系学生来说,只要懂怎么用卷积就可以了,研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。

卷积本身不过就是一种数学运算而已。

就跟“蝶形运算”一样,怎么证明,这是数学系的人的工作。

在信号与系统里,f(t)的零状态响应y(t)可用f(t)与其单位冲激响应h(t)的卷积积分求解得,即y(t)=f(t)*h(t)。

学过信号与系统的都应该知道,时域的卷积等于频域的乘积,即有ﻪY(s)=F(s)×H(s)。

(s=jw,拉氏变换后等到的函数其实就是信号的频域表达式)有一点你必须明白,在通信系统里,我们关心的以及要研究的是信号的频域,不是时域,原因是因为信号的频率是携带有信息的量。

所以,我们需要的是Y(s)这个表达式,但是实际上,我们往往不能很容易的得到F(s)和H(s)这两个表达式,但是能直接的很容易的得到f(t)和h(t),所以为了找到Y(s)和y(t)的对应关系,就要用到卷积运算。

复频域s=jw,当中的j是复数单位,所以使用的是复频域。

通俗的解释方法是,因为系统中有电感X=jwL、电容X=1/jwC,物理意义是,系统H(s)对不同的频率分量有不同的衰减,即这种衰减是发生在频域的,所以为了与时域区别,引入复数的运算。

但是在复频域ﻪ计算的形式仍然满足欧姆定理、KCL、KVL、叠加法。

负的频率之所以会出现负的频率,这只是数学运算的结果,只存在于数学运算中,实际中不会有负的频率。

卷积的过程就是相当于把信号分解为无穷多的冲击信号,然后进行冲击响应的叠加。

以下我们举四个现实生活的例子来理解卷积的物理意义:例1:有一个七品县令,喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖,而且有个惯例:如果没犯大罪,只打一板,释放回家,以示爱民如子。

有一个无赖,想出人头地却没啥指望,心想:既然扬不了善名,出恶名也成啊。

怎么出恶名?炒作呗!怎么炒作?找名人呀!他自然想到了他的行政长官——县令。

无赖于是光天化日之下,站在县衙门前撒了一泡尿,后果是可想而知地,自然被请进大堂挨了一板子,然后昂首挺胸回家,躺了一天,嘿!身上啥事也没有!第二天如法炮制,全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面,第三天、第四天......每天去县衙门领一个板子回来,还喜气洋洋地,坚持一个月之久!这无赖的名气已ﻪ经和衙门口的臭气一样,传遍八方了!县令大人噤着鼻子,呆呆地盯着案子上的惊堂木,拧着眉头思考一个问题:这三十个大板子怎么不好使捏?......想当初,本老爷金榜题名时,数学可是得了满分,今天好歹要解决这个问题:——人(系统!)挨板子(脉冲!)以后,会有什么表现(输出!)?——费话,疼呗!——我问的是:会有什么表现?——看疼到啥程度。

像这无赖的体格,每天挨一个板子啥事都不会有,连哼一下都不可能,你也看到他那得意洋洋的嘴脸了(输出0);如果一次连揍他十个板子,他可能会皱皱眉头,咬咬牙,硬挺着不哼(输出1);揍到二十个板子,他会疼得脸部扭曲,象猪似地哼哼(输出3);揍到三十个板子,他可能会象驴似地嚎叫,一把鼻涕一把泪地求你饶他一命(输出5);揍到四十个板子,他会大小便失禁,勉强哼出声来(输出1);揍到五十个板子,他连哼一下都不可能(输出0)——死啦!县令铺开坐标纸,以打板子的个数作为X轴,以哼哼的程度(输出)为Y轴,绘制了一条曲线:——呜呼呀!这曲线象一座高山,弄不懂弄不懂。

为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命呀?——呵呵,你打一次的时间间隔(Δτ=24小时)太长了,所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索,没有叠加,始终是一个常数;如果缩短打板子的时间间隔(建议Δτ=0.5秒),那他的痛苦程度可就迅速叠加了;等到这无赖挨三十个大板(t=30)时,痛苦程度达到了他能喊叫的极限,会收到最好的惩戒效果,ﻪ再多打就显示不出您的仁慈了。

——还是不太明白,时间间隔小,为什么痛苦程度会叠加呢?——这与人(线性时不变系统)对板子(脉冲、输入、激励)的响应有关。

什么是响应?人挨一个板子后,疼痛的感觉会在一天(假设的,因人而异)内慢慢消失(衰减),而不可能突然消失。

这样一来,只要打板子的时间间隔很小,每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减,都会对最终的痛苦程度有不同的贡献:t个大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ个大板子引起的痛苦*衰减系数)[衰减系数是(t-τ)的函数,仔细品味]数学表达为:y(t)=∫T(τ)H(t-τ)——拿人的痛苦来说卷积的事,太残忍了。

除了人以外,其他事物也符合这条规律吗?——呵呵,县令大人毕竟仁慈。

其实除人之外,很多事情也遵循此道。

好好想一想,铁丝为什么弯曲一次不折,快速弯曲多次却会轻易折掉呢?——恩,一时还弄不清,容本官慢慢想来——但有一点是明确地——来人啊,将撒尿的那个无赖抓来,狠打40大板!例2:张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员,他没有学过"信号与系统"这门课程。

一天,他拿到了一个产品,开发人员告诉他,产品有一个输入端,有一个输出端,有限的输入信号只会产生有限的输出。

然后,经理让张三测试当输入sin(t)(t<1秒)信号的时候(有信号发生器),该产品输出什么样的波形。

张三照做了,花了一个波形图。

"很好!"经理说。

然后经理给了张三一叠A4纸: "这里有几千种信号,都用公式说明了,输入信号的持续时间也是确定的。

你分别测试以下我们产品的输出波形是什么吧!"这下张三懵了,他在心理想"上帝,帮帮我把,我怎么画出这些波形图呢?"于是上帝出现了: "张三,你只要做一次测试,就能用数学的方法,画出所有输入波形对应的输出波形"。

上帝接着说:"给产品一个脉冲信号,能量是1焦耳,输出的波形图画出来!"张三照办了,"然后呢?"上帝又说,"对于某个输入波形,你想象把它微分成无数个小的脉冲,输入给产品,叠加出来的结果就是你的输出波形。

你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品,每个产生一个小的输出,你画出时序图的时候,输入信号的波形好像是反过来进入系统的。

"张三领悟了:" 哦,输出的结果就积分出来啦!感谢上帝。

这个方法叫什么名字呢?"上帝说:"叫卷积!"从此,张三的工作轻松多了。

每次经理让他测试一些信号的输出结果,张三都只需要在A4纸上做微积分就是提交任务了!张三愉快地工作着,直到有一天,平静的生活被打破。

经理拿来了一个小的电子设备,接到示波器上面,对张三说:ﻪ"看,这个小设备产生的波形根本没法用一个简单的函数来说明,而且,它连续不断的发出信号!不过幸好,这个连续信号是每隔一段时间就重复一次的。

张三,你来测试以下,连到我们的设备上,会产生什么输出波形!"张三摆摆手:"输入信号是无限时长的,难道我要测试无限长的时间才能得到一个稳定的,重复的波形输出吗?"经理怒了:"反正你给我搞定,否则炒鱿鱼!"张三心想:"这次输入信号连公式都给出出来,一个很混乱的波形;时间又是无限长的,卷积也不行了,怎么办呢?"及时地,上帝又出现了:"把混乱的时间域信号映射到另外一个数学域上面,计算完成以后再映射回来""宇宙的每一个原子都在旋转和震荡,你可以把时间信号看成若干个震荡叠加的效果,也就是若干个可以确定的,有固定频率特性的东西。

""我给你一个数学函数f,时间域无限的输入信号在f域有限的。

时间域波形混乱的输入信号在f域是整齐的容易看清楚的。

这样你就可以计算了""同时,时间域的卷积在f域是简单的相乘关系,我可以证明给你看看""计算完有限的程序以后,取f(-1)反变换回时间域,你就得到了一个输出波形,剩下的就是你的数学计算了!"张三谢过了上帝,保住了他的工作。

后来他知道了,f域的变换有一个名字,叫做傅利叶,什么什么... ...再后来,公司开发了一种新的电子产品,输出信号是无限时间长度的。

这次,张三开始学拉普拉斯了......例3:比如说你的老板命令你干活,你却到楼下打台球去了,后来被老板发现,他非常气愤,扇了你一巴掌(注意,这就是输入信号,脉冲),于是你的脸上会渐渐地(贱贱地)鼓起来一个包,你的脸就是一个系统,而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应,好,这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。

下面还需要一些假设来保证论证的严谨:假定你的脸是线性时不变系统,也就是说,无论什么时候老板打你一巴掌,打在你脸的同一位置(这似乎要求你的脸足够光滑,如果你说你长了很多青春痘,甚至整个脸皮处处连续处处不可导,那难度太大了,我就无话可说了哈哈),你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来,并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。