复合函数的单调性、定义域与值域

复合函数的单调性

设单调函数)

(x

f

y=为外层函数，)

(x

g

y=为内层函数

(1) 若)

(x

f

y=增，)

(x

g

y=增，则))

(

(x

g

f

y=增.

(2) 若)

(x

f

y=增，)

(x

g

y=减，则))

(

(x

g

f

y=减.

(3) 若)

(x

f

y=减，)

(x

g

y=减，则))

(

(x

g

f

y=增.

(4) 若)

(x

f

y=减，)

(x

g

y=增，则))

(

(x

g

f

y=减.

结论：同曾异减

例1. 求函数2

2

2

)

(-+

=x

x

x

f的单调区间.

外层函数：t

y2

=

内层函数：2

2-

+

=x

x

t

内层函数的单调增区间：]

,

2

1

[+∞

-

∈

x

内层函数的单调减区间：]

2

1

,

[-

-∞

∈

x

由于外层函数为增函数

所以，复合函数的增区间为：]

,

2

1

[+∞

-

∈

x

复合函数的减区间为：]

2

1

,

[-

-∞

∈

x

在本例题的讲解的开始就求出内层函数的单调区间，因为在复合函数的单

调性的问题

中很多基础薄弱的同学在此处会出现思维混乱，并且这样可以避免接下来

涉及到定义域

而学生又容易忽略的情况.

例2.求函数)2

(

log

)

(2

2

-

+

=x

x

x

f的单调区间.

解题过程：

外层函数：t

y

2

log

=

内层函数：2

2-

+

=x

x

t

2

2>

-

+

=x

x

t

由图知：

内层函数的单调增区间：[

∈

x

内层函数的单调减区间：]2

,

[-

-∞

∈

x

由于外层函数为增函数

所以，复合函数的增区间为：]

,1[+∞

∈

x

复合函数的减区间为：]2

,

[-

-∞

∈

x

例3.求函数x

y cos

=的单调区间

解题过程：

外层函数：t

y=

内层函数：x

t cos

=

cos≥

=x

t

由图知：

内层函数的单调增区间：]

2,

2

2

[π

π

π

k

k

x+

-

∈

内层函数的单调减区间：]

2

2

,

2[π

π

πk

k

x+

∈

由于外层函数为增函数

所以，复合函数的增区间为：]

2,

2

2

[π

π

π

k

k

x+

-

∈

复合函数的减区间为：]

2

2

,

2[π

π

πk

k

x+

∈

复合函数的定义域

函数的概念：设是,A B非空数集，如果按某个确定的对应关系f，

使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数()

f x和它

对应，那么就称:f A B

→为集合A到集合B的函数，记作：

(),

y f x x A

=∈。其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

与x的值相对应的y的值叫做函数值.

（另一说法：设

()

u g x

=是A到B的函数，()

y f u

=是'B到'C上

的函数，且B'B

?，当u取遍B中的元素时，y取遍C，那么(())

y f g x

=

就是A到C上的函数。此函数称为由外函数()

y f x

=和内函数()

u g x

=

复合而成的复合函数。）

若)

(u

f

y=，又)

(x

g

u=，且)

(x

g值域与)

(u

f定义域的交集不空，

则函数)]

(

[x

g

f

y=叫x的复合函数，其中)

(u

f

y=叫外层函数，

)

(x

g

u=叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替

换成另一个函数所得的新函数.

例如: 2

()35,()1

f x x

g x x

=+=+；复合函数(())

f g x即把()

f x里

面的x换成()

g x，22

(())3()53(1)538

f g x g x x x

=+=++=+

问：函数()

f x和函数(5)

f x+所表示的定义域是否相同？为什么？（不

相同；原因：定义域是

求x的取值范围，这里x和5

x+所属范围相同，导致它们定义域的范围就

]

(3,5

-，求函数(32)

f x-的定义域；

解：由题意得

35

x

-<≤

325

x

<-≤

137

x

-<≤

17

33

x

∴-<≤

所以函数(32)

f x-的定义域为

17

,

33

??

-

?

??

.

例2已知)

(x

f的定义域为]3

0(，，求)

2

(2x

x

f+定义域。

解因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即

?

?

?

≤

≤

-

>

-

<

?

??

?

?

?

≤

+

>

+

?

≤

+

<

1

3

2

3

2

2

3

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

，或

即2

3-

<

≤

-x或1

0≤

故)

2

(2x

x

f+的定义域为[)(]1,0

2

,3

-

-

例3若函数()x

f2

3-的定义域为[]2,1-，求函数()x f的定义域

解:由题意得

23

x

∴-≤≤

639

x

∴-≤≤

42311

x

∴-≤+≤

所以函数()

f x的定义域为：[]

4,11

-

例4已知)1

(+

x

f的定义域为)3

2

[，

-，求()2-x

f的定义域。

解由)1

(+

x

f的定义域为)3

2

[，

-得3

2<

≤

-x，故4

1

1<

+

≤

-x

即得()x

f定义域为)4

1

[，

-，从而得到4

2

1<

-

≤

-x，所以6

1<

≤x

故得函数()2-x

f的定义域为[)6,1

例5已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a ,求函数

()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域

解: ?

??+≤≤+-≤≤-???

?≤-≤≤+≤m b x m a m

b x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0

m b m b +<-，又m b m a +<-

要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即

2

0a

b m -≤<，这时函数()x h 的定义域为],[m b m a -+ 复合函数的值域

关键是由里向外，逐层解决。 求函数的值域。 解

析

函

数

是

由

函

数

复合而成的。由u 的定义域

得：。由，或y>1，故所给函数的

值域为

。

求下列函数的值域：

⑴2

23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2

23y x x =+- [1,2]x ∈

⑶31

1x y x -=+ ⑷311

x y x -=+ (5)x ≥

⑸

y =

⑹ 22

594

1

x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++

⑻2y x x =- ⑼

y =

⑽

4y =

⑾y x =已知函数222()1

x ax b

f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

（1）{|4}y y ≥- （2）[0,5]y ∈ （3）{|3}y y ≠ （4）

7[,3)3

y ∈

（5）[3,2)y ∈- （6）1{|5}2

y y y ≠≠且 （7）{|4}y y ≥ （8）y R ∈

（9）[0,3]y ∈ （10）[1,4]y ∈ （11）1{|}2

y y ≤

2,2a b =±=