2011年全国高中数学联赛试题及解答
2011年全国高中数学联合竞赛
第一试
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．
1．设集合1234,,,Aaaaa，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为1,3,5,8B，则
集合 ．
2．函数21()1xfxx的值域为 ．
3．设为正实数，1122ab，234abab，则 ．
4．如果5533cossin7sincos，0,2，那么的取值范围是 ．
5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有
人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）
6．在四面体中，已知60ADBBDCCDA，3ADBD，2CD，则四面体的外接球
的半径为 ．
7．直线210xy与抛物线24yx交于,AB两点，C为抛物线上的一点，90ACB，则点C
的坐标为 ．
8．已知2003200161,2,,952nnnnaCn，则数列na中整数项的个数为 ．
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．设函数()lg1fxx，实数,abab满足12bfafb，106214lg2fab，求,ab
的值．
10．已知数列满足：1231atttR且，1
123211
21nnnnnntattanat
N．
（1）求数列na的通项公式；
（2）若0t，试比较与的大小．
11．作斜率为1
3的直线l与椭圆C：221364xy交于A、B两点（如图所示），且32,2P在直线l的
左上方．
（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；
（2）若60APB，求△PAB的面积．
加 试 一、（本题满分40分）如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD的中点．若BPADPA，证明：AQBCQB．
二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式
1110nnnfxxaxaxa
具有如下性质：
（1）011,,,naaa均为正整数；
（2）对任意正整数，及任意2kk个互不相同的正整数12,,,krrr，均有
21kfmfrfrfr．
三、（本题满分50分）设12,,,4naaan是给定的正实数，12naaa．对任意正实数，满足
1ji
kjaarijknaa的三元数组,,ijk的个数记为nfr．
证明：2
4nnfr． 四、（本题满分50分）设A是一个39的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的
一个13,19mnmn方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的
小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．
2011年全国高中数学联赛一试模拟试题(1)及详细解答
2011年全国高中数学联赛一试模拟试题(1)
一、填空题：(每题7分，共70分)
1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a, b, c)的个数是__________个.
2、过定点P(2, 1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，
则l的方程为_________________
3、若方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在[0, π2]上有两个不同的实数解x，则参数a的取值范围是___________
4、数列1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, „的第2011项是__________
5、在1, 2, 3, 4, 5的排列a1, a2, a3, a4, a5中，满足条件a1a3, a3a5的排列的个数是________
6、[x]表示不大于x的最大整数，则方程 12·[x2＋x]＝19x＋99的实数解x是 ．
7、设a1＝1，an+1＝2an＋n2，则通项公式an＝ ．
8、在△ABC中，∠A＝π3，sinB＝513，则cosC＝ ．
9、数(5＋24)2012（n∈N*）的个位数字是 ．
10、数799被2550除所得的余数是 ．
二、解答题：(20分＋30分＋30分，共80分)
11．(20分) 已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且(AB)2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB．
（Ⅰ）判断△ABC的形状，并求sinA＋sinB的取值范围；
（Ⅱ）若不等式a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，对任意的满足题意的a，b，c都成立，
求k的取值范围．
12、(30分) △ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、 F，M是EF上的一点，且 DM⊥EF，求证：DM平分∠BMC
高一班2011年全国高中数学联赛预赛备战训练
高一（2）班2011年全国高中数学联赛预赛备战训练
（满分：300分）
一．选择题（225110分）
1． 设集合ZxxxxA且,062，则集合A的非空真子集的个数为 （ ）
（A）13 （B） 14 （C） 15 （D） 16
2．在公差为4的正项等差数列中，3a与2的算术平均值等于3S与2的几何平均值，其中3S表示数列的前三项和，则10a为（ ）
（A）38 （B） 40 （C） 42 （D） 44
3．设函数,86)(2xxxf若,15164)(2xxcbxf则bc2的值等于（ ）
A．3 B．7 C．-3 D．-7
4．关于x的不等式02022aaxx任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值
的和是（ ）.
（A） 2 （B） 1 （C） 0 （D） 1
5.,,abc为互不相等的正数，222acbc，则下列关系中可能成立的是（ ）
A、abc； B、 bca； C、bac； D、acb；
6.设 11xfxx，又记11,,1,2,,kkfxfxfxffxkL
则2007fx（ ）
A、11xx； B、 11xx； C、x； D、1x；
7．若200634554x57x53x2x2xf，则21111f= ( )
A．－1 B． 1 C． 2005 D．2007
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
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2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）
1． 复数44(1i)(1i) ．
答案：－8
2． 已知直线10xmy是圆22:4450Cxyxy的一条对称轴，则实数
m .
答案：32
3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率
是 （结果用最简分数表示）．
答案：19145
4． 已知1cos45，则44sincos ．
答案：45
5． 已知向量a，b满足π2,,3abab，则以向量2ab与3ab表示的有向线段
为邻边的平行四边形的面积为 ．
答案：103
6． 设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前
n项和等于 ．
答案：1(848)7n
7． 设函数2()2fxx．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是 ．
答案：(0,2)
8． 设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中2,nannN*，
则[(2011)]ff ．
答案：6
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 ．
答案：43
10．已知m是正整数，且方程210100xmxm有整数解，则m所有可能的值
2011年全国高中数学联赛预赛试题
2011年全国高中数学联赛预赛试题
文昌中学数学组： 何立果
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．
1．已知P是△ABC所在平面上一点，满足23PAPBPCAB，则△ABP与△ABC的面积之比为_________．
2. 设数列{}na满足1231231,4,9,,4,5,...nnnnaaaaaaan，则2011a .
3. 不等式xaxaxcos1cossin22对一切Rx成立，则实数a的取值范围为 .
4. 已知定义在正整数集上的函数()fn满足以下条件：
(1) ()()()fmnfmfnmn，其中,mn为正整数；
(2) 6(3)f.
则(2011)f .
5. 方程
1220112011x
一共有 个解.
6.
设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体的棱长最大等于 .
7. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线2yx22x绕y轴旋转而构成的.请问能接触到杯底的球的半径最大是 .
8. 计算：111..._____sin45sin46sin46sin47sin89sin90.
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知二次函数2()yfxxbxc的图象过点（1，13），且函数y1()2fx是偶函数.
（1）求()fx的解析式；
（2）函数()yfx的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.
10．已知椭圆C：22142xy，过点P21(,)33而不过点Q(2,1)的动直线l交椭圆C于A、B两点.
（1）求∠AQB；
（2）记△QAB的面积为S，证明：3S．
2011年全国高中数学联赛山西赛区预赛试题
试卷第1页，总2页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
绝密★启用前
2011年全国高中数学联赛山西赛区预赛试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号 一 二 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人 得分
一、填空题
1．在集合 中，末位数字为1的元素个数为______.
2．椭圆
的焦点为 、 .若椭圆上的一点 使 ，则 的面积为______.
3．数列 满足 ，
，
.则其前100项的和 ______.
4．若 、 都是完全平方数，则正整数 的最小值是______.
5．函数 的最大值是______.
6．如图，在单位正方体 中， 、 、 分别是棱 、 、 的中点.则点 到 所在平面的距离为______.
7． ______.
8．若四位数 的四个数码满足 ，则称其为“好数”（如2011就是一个
试卷第2页，总2页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
2011年全国高中数学联合竞赛一试试题
1 2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．
1．设集合},,,{4321aaaaA，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{B，则集合A ．
2．函数11)(2xxxf的值域为 ．
3．设ba,为正实数，2211ba，32)(4)(abba，则balog ．
4．如果)cos(sin7sincos3355，)2,0[，那么的取值范围是 ．
6．在四面体ABCD中，已知60CDABDCADB，3BDAD，2CD，则四面体ABCD的外接球的半径为 ．
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(xxf，实数)(,baba满足)21()(bbfaf，2lg4)21610(baf，求ba,的值．
10．（本小题满分20分）已知数列}{na满足：tta(321R且)1t，121)1(2)32(11nnnnnntattatan(N)*．
（1）求数列}{na的通项公式；
（2）若0t，试比较1na与na的大小．
2 2009年全国高中数学联合竞赛加试
一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）
1． 如图，M，N分别为锐角三角形ABC（AB）的外接圆上弧BC、AC的中点．过点C作PCMN∥交圆于P点，I为ABC的内心，连接PI并延长交圆于T．
⑴求证：MPMTNPNT；
⑵在弧AB（不含点C）上任取一点Q（QA≠，T，B），记AQC，QCB△的内心分别为1I，2I，
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题答案及点评
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）
1． 复数44(1i)(1i) ．
答案：－8
基础题，送分题，高考难度
2． 已知直线10xmy是圆22:4450Cxyxy的一条对称轴，则实数
m .
答案：32
基础题，送分题，高考难度
3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率
是 （结果用最简分数表示）．
答案：19145
基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错
4． 已知1cos45，则44sincos ．
答案：45
计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度
5． 已知向量a，b满足π2,,3abab，则以向量2ab与3ab表示的有向线段
为邻边的平行四边形的面积为 ．
答案：103
可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案
6． 设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前
n项和等于 ．
答案：1(848)7n
高考难度级别，基础好的同学可以做出来 7． 设函数2()2fxx．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是 ．
答案：(0,2)
这是一道高考题
8． 设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中2,nannN*，
则[(2011)]ff
．
答案：6
这也是一道高考题
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 ．
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 1 页 共 4 页 2011年全国高中数学联赛江苏赛区
初赛参考答案与评分细则
一、填空题（本题满分70分，每小题7分）
1．复数 (1＋i)4＋(1－i)4＝ ．
答案：－8
2．已知直线l：x－my+1＝0是圆C：x2＋y2－4x＋4y－5＝0的一条对称轴，则实数
m＝ ．
答案：－32
3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）．
答案：19145
4．已知cos4＝15，则sin4＋cos4＝ ．
答案：45
5．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，＜a，b＞＝π3，则以向量2a＋b与3a－b表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为 ．
答案：103
6．设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前n项和等于 ．
答案：17(8n＋48)
7．设函数f(x)=|x2－2|．若f(a)= f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是 ．
答案：(0，2)
8．设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中an＝n2，n∈N*，
则f[ f(2011)]＝ ．
答案：6
9．一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 ．
答案：43
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 2 页 共 4 页 10．已知m是正整数，且方程2x－m10－x－m+10=0有整数解，则m所有可能的值是 ．
答案：3，14，30
数学北师大版高中选修1-22011年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
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参考资料 学习帮手 2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
一、填空题（共8题，每题10分，计80分）
1、2011是这样的一个四位数，它的各位数字之和为4；像这样各位数字之和为4的四位数总共有 个．
答案：20．
解：这种四位数1234xxxx的个数，就是不定方程12344xxxx满足条件11x，234,,0xxx的整解的个数；即12343yxxx的非负整解个数，其中111yx，易知这种解有413341620CC个，即总共有20个这样的四位数．
2、设数列na满足:121,2aa,且对于其中任意三个连续项11,,nnnaaa,都有:
11(1)(1)2nnnnanaan.则通项na ．答案：23n．
解：由条件得，112(1)(1)nnnnanana，所以，
11(1)()(1)()nnnnnaanaa，故1111nnnnaanaan，而211aa；
1132121112211231()1113nnnnnnnnnnaaaaaannnaaaaaaaaaannn
2(1)nn；于是12112()(1)1nnaannnn；
由此得，11221112()()()2(1)13nnnnnaaaaaaaann.
3、以抛物线2yx上的一点1,1M为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形MAB与MCD，则线段AB与CD的交点E的坐标为 ．答案：(1,2)．
解：设221122(,),(,)AxxBxx，则22121212111,111MAMBxxkxkxxx， word格式整理
2011年全国高中数学联赛模拟卷(2)(一试+二试,附详细解答)
2011模拟卷（2） 第 1 页 共 6页 2011年全国高中数学联赛模拟卷(2)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1. 函数1cossin1cossinxxxxy的值域是___________
2. 设a, b, c为RT△ACB的三边长, 点(m, n)在直线ax+by+c=0上. 则m2+n2的最小值是___________
3. 若Nn，且92422nn为正整数，则.________n
4. 掷6次骰子, 令第i次得到的数为ia, 若存在正整数k使得61kiia的概率mnp，其中nm,是互质的正整数. 则nm76loglog= .
5. 已知点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=lnx上，则PQ的最小值是_______
6. 已知多项式f (x)满足：222(3)2(35)61017()fxxfxxxxxR, 则(2011)f_________
7. 四面体OABC中, 已知∠AOB=450,∠AOC=∠BOC=300, 则二面角A－OC－B的平面角的余弦值是
__________
8. 设向量)cossin,cossin2(),,3(aaxx满足对任意Rx和θ∈[0, π2],
2||恒成立. 则实数a的取值范围是________________.
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
9．设数列{}na满足0aN,211nnnaaa.求证：当1200an时,naan0][. (其中[]x表示不超过x的最大整数)．
10. 过点)3,2(作动直线l交椭圆1422yx于两个不同的点QP,，过QP,作椭圆的切线，