6.4数列求和与数列的综合应用-2021届高三数学(新高考)一轮复习课件(共77张PPT)
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高考数学总复习第六章数列6.4数列求和课件理新人教A
又∵S8=8a1+ 2 d=32,整理得 2a1+7d=8, 联立①②,解得 d=2,a1=-3,
56
②
关闭
∴ C S10=10a1+ 2 d=60,故选 C.
解析 答案
90
-10知识梳理 考点自测
1
2
3
4
5
5.(2017全国Ⅱ,理15)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则
∑ S= ������ =1 k
-6知识梳理 考点自测
1
2
3
4
5
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)当 n≥2
1 时, 2 ������ -1
=
1 1 − . ������-1 ������+1
(
)
(2)利用倒序相加法可求得 sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.( ) (3)若Sn=a+2a2+3a3+…+nan,则当a≠0,且a≠1时,Sn的值可用错位 相减法求得.( ) (4)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1 的正整数).( )
������
1
.
关闭
设等差数列的首项为 a1,公差为 d,由题意可知 得
������1 + 2������ = 3, 4������1 +
4×3 2
������ = 10,
1 1
解
������ (������ -1) ������ (1+������ ) 1 2 ������1 = 1, 所以 Sn=na1+ 2 d= 2 .所以������ = ������ (������ +1)=2 ������ = 1. ������ ������ 1 ������ =1 S k
6.4 数列求和、数列的综合应用(讲解部分) 高考数学(课标版,理科)复习课件
n 1
Sn n
=1,
又
S1 1
=5,所以数列
Sn n
是首项为5,公差为1的等差数列.
(2)由(1)可知
Sn n
=5+(n-1)=n+4,所以Sn=n2+4n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2-4(n-1)=2n+3.
又a1=5符合上式,所以an=2n+3(n∈N*),
e-x -1 e-x 1
=
1-ex 1 e
x
=-f(x),
∴函数f(x)=
ex -1 ex 1
为奇函数.
g(x)+g(2-x)=f(x-1)+1+f(2-x-1)+1=f(x-1)+f(1-x)+2,由f(x)= ex -1 为奇函数,知
ex 1
f(x-1)+f(1-x)=0,
∴g(x)+g(2-x)=2.
D.11
解析
由2an+1+an=3,得an+1-1=-
1 2
(an-1),又a3=
13 4
,∴a2-1=-2(a3-1)=-
9 2
,a1-1=-2(a2
-1)=9.∴{an-1}是首项为9,公比为-
1 2
的等比数列,则an-1=9· -
1 2
n-1
,an=1+9·
-
1 2
n
-1
,则Sn=n+9·11----1212n
考向突破
考向一 数列与函数的综合应用
例1
(2018江西南昌莲塘一中质量检测,16)函数f(x)=
ex -1 ex 1
Sn n
=1,
又
S1 1
=5,所以数列
Sn n
是首项为5,公差为1的等差数列.
(2)由(1)可知
Sn n
=5+(n-1)=n+4,所以Sn=n2+4n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2-4(n-1)=2n+3.
又a1=5符合上式,所以an=2n+3(n∈N*),
e-x -1 e-x 1
=
1-ex 1 e
x
=-f(x),
∴函数f(x)=
ex -1 ex 1
为奇函数.
g(x)+g(2-x)=f(x-1)+1+f(2-x-1)+1=f(x-1)+f(1-x)+2,由f(x)= ex -1 为奇函数,知
ex 1
f(x-1)+f(1-x)=0,
∴g(x)+g(2-x)=2.
D.11
解析
由2an+1+an=3,得an+1-1=-
1 2
(an-1),又a3=
13 4
,∴a2-1=-2(a3-1)=-
9 2
,a1-1=-2(a2
-1)=9.∴{an-1}是首项为9,公比为-
1 2
的等比数列,则an-1=9· -
1 2
n-1
,an=1+9·
-
1 2
n
-1
,则Sn=n+9·11----1212n
考向突破
考向一 数列与函数的综合应用
例1
(2018江西南昌莲塘一中质量检测,16)函数f(x)=
ex -1 ex 1
精选高考数学一轮复习第六章数列6.4数列求和、数列的综合应用新名师一等奖公开课教学课件
高考数学 (浙江专用)
第六章 数列
§6.4 数列求和、数列的综合应用
五年高考
考点一 数列的求和
1.(2017课标全国Ⅰ理,12,5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大 家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面 数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21, 再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为 2的整数幂.那么该款软件的激活码是 ( ) A.440 B.330 C.220 D.110
+1
2
1-
22
,
1 2n1
2n 1 2 n1
2n
易错警示 “错位相减法”求和的关键在于:
1.明确右边求和的是n项还是(n-1)项;
2.式子合并化简.
6.(2017天津理,18,13分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且 公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*).
解析 本题考查等差数列及等比数列的通项公式,数列求和.考查运算求解能力. (1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10. 解得d=2. 所以an=2n-1. (2)设等比数列{bn}的公比为q. 因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9. 解得q2=3. 所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1. 从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1= 3 n . 1
第六章 数列
§6.4 数列求和、数列的综合应用
五年高考
考点一 数列的求和
1.(2017课标全国Ⅰ理,12,5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大 家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面 数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21, 再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为 2的整数幂.那么该款软件的激活码是 ( ) A.440 B.330 C.220 D.110
+1
2
1-
22
,
1 2n1
2n 1 2 n1
2n
易错警示 “错位相减法”求和的关键在于:
1.明确右边求和的是n项还是(n-1)项;
2.式子合并化简.
6.(2017天津理,18,13分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且 公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*).
解析 本题考查等差数列及等比数列的通项公式,数列求和.考查运算求解能力. (1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10. 解得d=2. 所以an=2n-1. (2)设等比数列{bn}的公比为q. 因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9. 解得q2=3. 所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1. 从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1= 3 n . 1
高考数学大一轮复习第六章数列6.4数列求和课件文新人教版
a1＝9， 或d＝29.
故bann＝ ＝22nn－－1 1，
或abnn＝ ＝199·292nn＋－17.9，
(2) 当 d>1 时，记 cn＝abnn，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，
2n－1 故 cn＝ 2n－1 ，于是 Tn＝1＋32＋252＋273＋294＋…＋22nn－－11，
(2)设 bn＝ana1n＋1，求数列{bn}的前 n 项和. 解答 由an＝2n＋1可知 bn＝ana1n＋1＝(2n＋1)1(2n＋3)＝122n1＋1－2n1＋3. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝1231－15＋15－71＋…＋2n1＋1－2n1＋3
引申探究 本例(2)中，求数列{bn}的前n项和Tn. 解答
思维升华
分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法 (求2)通{a项n}的公前式n为项和an＝. bcnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比 数列或等差数列，可采用分组求和法求和. 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差， 从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.
等于 答案 解析
A.2 016
B.2 017
C.2 018
D.2 019
an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1) ＝1－n＋1 1＝n＋n 1. 令n＋n 1＝22 001178，得 n＝2 017.
3.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100
2021-2022年新高考版高三数学课件(新课标)6.4 数列求和、数列的综合应用(试题部分)
(1)求使an<0的n的最大值;
(2)求Sn.
解析(1)由已知得an=f(n)=2n-3n-1,
则f'(n)=2nln2-3,n∈N*,
当f'(n)>0,即n≥3时,f(n)单调递增,
当f'(n)<0,即1≤n≤2时,f(n)单调递减.
又∵an<0,即2n-3n-1<0,
当n=2时,22-6-1<0,当n=3时,23-9-1=-2<0,当n=4时,24-12-1>0.∴使an<0的n的最大值为3.
又∵b3=a2=4,∴bn=b3·qn-3=4·2n-3=2n-1.
(2)由(1)可知,an·bn=(3n-2)·2n-1,
∴Tn=1×20+4×21+7×22+…+(3n-5)·2n-2+(3n-2)·2n-1,
2Tn=1×21+4×22+7×23+…+(3n-5)·2n-1+(3n-2)·2n,
A.1B. C. D.
答案B
3.设f(x)= ,求S=f +f +…+ 的值.
解析∵f(x)= ,∴f(1-x)= = = ,
∴f(x)+f(1-x)=1,
∵S=f +f +…+f
=f +f +…+f ,
∴2S=f +f +…+f +f +f +…+f =1×2001=2001,∴S= .
4.已知等差数列{an}满足(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)=2n(n+1)(n∈N*).
(2)求Sn.
解析(1)由已知得an=f(n)=2n-3n-1,
则f'(n)=2nln2-3,n∈N*,
当f'(n)>0,即n≥3时,f(n)单调递增,
当f'(n)<0,即1≤n≤2时,f(n)单调递减.
又∵an<0,即2n-3n-1<0,
当n=2时,22-6-1<0,当n=3时,23-9-1=-2<0,当n=4时,24-12-1>0.∴使an<0的n的最大值为3.
又∵b3=a2=4,∴bn=b3·qn-3=4·2n-3=2n-1.
(2)由(1)可知,an·bn=(3n-2)·2n-1,
∴Tn=1×20+4×21+7×22+…+(3n-5)·2n-2+(3n-2)·2n-1,
2Tn=1×21+4×22+7×23+…+(3n-5)·2n-1+(3n-2)·2n,
A.1B. C. D.
答案B
3.设f(x)= ,求S=f +f +…+ 的值.
解析∵f(x)= ,∴f(1-x)= = = ,
∴f(x)+f(1-x)=1,
∵S=f +f +…+f
=f +f +…+f ,
∴2S=f +f +…+f +f +f +…+f =1×2001=2001,∴S= .
4.已知等差数列{an}满足(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)=2n(n+1)(n∈N*).
高考数学 专题六 数列 4 数列求和、数列的综合应用课件 理
12/10/2021
考向突破
考向一 数列与函数的综合应用
例1
(2018江西南昌莲塘一中质量检测,16)函数f(x)=
e e
x x
,g1 (x)=f(x-1)+
1
1,an=g
1 n
+g
2 n
+ g
3 n
+ …+g
2,nnn∈ 1N *,则数列{an}的通项公式为
.
12/10/2021
解析 由题意知f(x)的定义域为R,
所以bn=(2n+3)2n,
所以Tn=5×2+7×22+9×23+…+(2n+3)2n, ①
2Tn=5×22+7×23+9×24+…+(2n+1)2n+(2n+3)2n+1, ②
12/10/2021
所以②-①得 Tn=(2n+3)2n+1-10-(23+24+…+2n+1) =(2n+3)2n+1-10- 2 3 (1 2 n1 )
高考理数（课标专用）
6.4 数列求和、数列的综合应用
12/10/2021
考点清单
考向基础
考点一 数列求和
1.公式法
直接用等差、等比数列的求和公式求解.
2.倒序相加法
在数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项和相等或可构成能求和的 新数列,可用倒序相加法求此数列的前n项和.如① 等差数列 的前n
项和就是用此方法推导的.
12/10/2021
考向二 数列与不等式的综合应用
例2
数列{an}中,a1=
考向突破
考向一 数列与函数的综合应用
例1
(2018江西南昌莲塘一中质量检测,16)函数f(x)=
e e
x x
,g1 (x)=f(x-1)+
1
1,an=g
1 n
+g
2 n
+ g
3 n
+ …+g
2,nnn∈ 1N *,则数列{an}的通项公式为
.
12/10/2021
解析 由题意知f(x)的定义域为R,
所以bn=(2n+3)2n,
所以Tn=5×2+7×22+9×23+…+(2n+3)2n, ①
2Tn=5×22+7×23+9×24+…+(2n+1)2n+(2n+3)2n+1, ②
12/10/2021
所以②-①得 Tn=(2n+3)2n+1-10-(23+24+…+2n+1) =(2n+3)2n+1-10- 2 3 (1 2 n1 )
高考理数（课标专用）
6.4 数列求和、数列的综合应用
12/10/2021
考点清单
考向基础
考点一 数列求和
1.公式法
直接用等差、等比数列的求和公式求解.
2.倒序相加法
在数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项和相等或可构成能求和的 新数列,可用倒序相加法求此数列的前n项和.如① 等差数列 的前n
项和就是用此方法推导的.
12/10/2021
考向二 数列与不等式的综合应用
例2
数列{an}中,a1=
6.4数列求和课件(共37张PPT)高考数学(文科)一轮复习基础过关
(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差数列或等比数列,可采用分组求和法求
{an}的前n项和;
,为奇数,
(2)通项公式为 an=
的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等
,为偶数
差数列,可采用分组求和法求和.
即an=2an-1+2,可得an+2=2(an-1+2),显然an-1+2≠0.
(1+d)2=1+4d,解得d=2或d=0(舍去),
所以an=2n-1,n∈N*;
设等比数列{bn}的公比为q,因为b1=a1+c1=2,所以bn=2qn-1,又因为
=2×4-1+9=16,所以q3=
b4=a4+c4
4
n,n∈N*.
=8,解得q=2,所以b
=2
n
1
(2)由(1)可得cn=bn-an=2n-(2n-1),则Sn=c1+c2+…+cn=2-1+22-3+…+2n-(2n-1)
证明 (1)由题意,得
得
1
2+1 = + ,
2
两式相加,
1
2+1 = + ,
2
3
an+1+bn+1=4(an+bn),
1
3
∵a1=1,b1= ,∴a1+b1= ,
2
2
3
3
∴{an+bn}是首项为2,公比为4的等比数列.
两式相减,得
数列.
1
1
1
1
an+1-bn+1=4(an-bn),∵a1-b1=2,∴{an-bn}是首项为2,公比为4的等比
{an}的前n项和;
,为奇数,
(2)通项公式为 an=
的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等
,为偶数
差数列,可采用分组求和法求和.
即an=2an-1+2,可得an+2=2(an-1+2),显然an-1+2≠0.
(1+d)2=1+4d,解得d=2或d=0(舍去),
所以an=2n-1,n∈N*;
设等比数列{bn}的公比为q,因为b1=a1+c1=2,所以bn=2qn-1,又因为
=2×4-1+9=16,所以q3=
b4=a4+c4
4
n,n∈N*.
=8,解得q=2,所以b
=2
n
1
(2)由(1)可得cn=bn-an=2n-(2n-1),则Sn=c1+c2+…+cn=2-1+22-3+…+2n-(2n-1)
证明 (1)由题意,得
得
1
2+1 = + ,
2
两式相加,
1
2+1 = + ,
2
3
an+1+bn+1=4(an+bn),
1
3
∵a1=1,b1= ,∴a1+b1= ,
2
2
3
3
∴{an+bn}是首项为2,公比为4的等比数列.
两式相减,得
数列.
1
1
1
1
an+1-bn+1=4(an-bn),∵a1-b1=2,∴{an-bn}是首项为2,公比为4的等比
高考数学一轮复习第六章数列6.4数列求和市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
等比数列求和方法.
2.非基本数列求和惯用方法
(1)倒序相加法:假如一个数列{an}前n项中与首末两端等“距离”
两项和相等,那么求这个数列前n项和即可用倒序相加法,如等差数
列前n项和公式即是用此法推导.
2/28
-3知识梳理
考点自测
(2)分组求和法:一个数列通项公式是由若干个等差数列或等比数
列或可求和数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相
2.在写出“Sn”与“qSn”表示式时,应尤其注意将两式“错项对齐”,方
便下一步准确写出“Sn-qSn”表示式.
15/28
-16考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练2已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项
为2等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
1 1
1
+1
.(
)
关闭
)
答案
6/28
-7知识梳理
1
考点自测
2
3
4
5
2.若数列{an}通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}前n项和为(
A.2n+n2-1
B.2n+1+n2-1
C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2
)
关闭
2(1-2 )
Sn=
1-2
+
(1+2-1)
2
=2n+1-2+n2.
得Tn=(3n-4)2n+2+16.
所以,数列{a2nbn}前n项和为(3n-4)2n+2+16.
2.非基本数列求和惯用方法
(1)倒序相加法:假如一个数列{an}前n项中与首末两端等“距离”
两项和相等,那么求这个数列前n项和即可用倒序相加法,如等差数
列前n项和公式即是用此法推导.
2/28
-3知识梳理
考点自测
(2)分组求和法:一个数列通项公式是由若干个等差数列或等比数
列或可求和数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相
2.在写出“Sn”与“qSn”表示式时,应尤其注意将两式“错项对齐”,方
便下一步准确写出“Sn-qSn”表示式.
15/28
-16考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练2已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项
为2等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
1 1
1
+1
.(
)
关闭
)
答案
6/28
-7知识梳理
1
考点自测
2
3
4
5
2.若数列{an}通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}前n项和为(
A.2n+n2-1
B.2n+1+n2-1
C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2
)
关闭
2(1-2 )
Sn=
1-2
+
(1+2-1)
2
=2n+1-2+n2.
得Tn=(3n-4)2n+2+16.
所以,数列{a2nbn}前n项和为(3n-4)2n+2+16.