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《状元之路》高考数学理新课标A一轮总复习课件第7章立体几何-4

s立体几何■考点调查360。

・第四节直线、平面平行的判定及其性质课前学案基础诊断夯基固本基础自测矚莎梳理1・直线与平面平行(1)判定定理:(2)性质定理:2 •平面与平面平行(1)判定定理:(2)两平面平行的性质定理:答案:U]外[2\l(^a；a(Za；a//1③交线BJa// a；tzU0；aPl0 = b⑤相交[6]a C CI；6C Q!；« A6 = P； a// B;b///3⑦相交⑧交线⑨&〃二a；0Gy二b1个转化——三种平行关系间的转化性质定理i 判定定理判定定理I线线平行「线面平行面面平行I性质定理性质定理I判定定理2个注意点——证明平行问题应注意的两个问题(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行.(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行.1.下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是（）A.—个平面内的一条直线平行于另一个平面B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：由面面平行的定义可知，-平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故£）正确.答案：D2.已知直线山b,平面％则以下三个命题：①若a〃b, bUa,贝ija〃a ②若a〃b, a/7a,贝!jb〃a ③若a//a, b〃a,贝lja//b.其中真命题的个数是（）A・0个B・1个C・2个D・3个解析：对于命题①，若a〃b, bUa,则应有a//a或aUa,所以①不正确；对于命题②，若a〃b, a〃a,则应有b//a或bUot,因此②也不正确；对于命题③，若a〃a, b//a,则应有a〃b或a与b相交或a与b 异面，因此③也不正确.答案：力3.若一直线上有相异三个点A, B, C到平面a的距离相等, 那么直线1与平面（X的位置关系是（）A・l〃a B・1丄aC. 1与a相交且不垂直D・l〃a或lUa解析：由于1上有三个相异点到平面a的距离相等，则1与a 可以平行，lUa时也成立.答案：D4.平面a〃平面卩，aCa, bcp,则直线a, b的位置关系是解析：由a〃卩可知，a, b的位置关系是平行或异面. 答案：平行或异面5・在正方体ABCD-AiBiCQi中,E是DD】的中点，则BD］与平面ACE的位置关系为_________解析：如图.连接AC, BD交于O点，连接OE,因为OE〃BDi，而OEU平面ACE, BD&平面ACE,所以BD】〃平面ACE.答案：平行L ___ _【例1］如图，直三棱柱ABC —AiBiCi中，D, E分别是AB,BBi的中点.(1)证明：BCi〃平面AiCD；(2)设AAi = AC=CB = 2, AB = 2^2,求三棱锥C—AQE 的体积.B解析：（1）证明：连接AC】交AiC于点F,则F为AC】中点. 又D是AB的中点，连接DF,则BG〃DF.因为DFU平面AiCD, BC&平面A]CD,所以BCi 〃平面AiCD.B(2)因为ABC—AibCi是直三棱柱，所以AAi丄CD.由已知AC=CB, D为AB的中点，所以CD丄AB•又AAi AAB = A,于是CD 丄平面ABBiAi・由AAi = AC=CB = 2, AB = 2辺得ZACB=90°, CD = \[i,= DE=^/3, AiE = 3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE丄A1D・所以Vc_A[ DE = ? X ㊁ X & X 书 X 迈=1 •»名师点拨判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；⑵利用线面平行的判定定理(Ma, bUa, a〃b=>a〃a)；⑶利用面面平行的性质(a//p, aCa=>a/7p)；(4)利用面面平行的性质(a〃卩,a<ia, a<ip, a〃a=>a〃卩).通关特训1如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB〃CD, ZDAB = 90°, PA丄底面ABCD,且PA = AD=DC= | AB=1, M 是PB的中点.(1)求证：AM = CM；(2)若N是PC的中点，求证：DN〃平面AMC・证明：（1）T在直角梯形ABCD中，AD=DC = |AB=1, •••AC = Q BC=dABC 丄AC,又PA丄平面ABCD, BCU平面ABCD,ABC丄PA,又PAAAC = A, ABC丄平面PAC,ABC 丄PC.在7?rAPAB中，M为PB的中点，则AM = |PB,在7?rAPBC中，M为PB的中点，则CM=|P B,.•- AM = CM ・(2)如图，连接DB交AC于点F,VDC^|AB, ADF=|FB・取PM的中点G,连接DG, FM,则DG〃FM, 又DGQ平面AMC, FMU平面AMC, ADG 〃平面AMC.连接GN,则GN//MC, GNG平面AMC, MCU 平面AMC.「•GN〃平面AMC,又GNQDG = G, •••平面DNG〃平面AMC,又DNU平面DNG, •••DN〃平面AMC.【例2】如图，在三棱柱ABGAiDCi中，E, F, G, H分别是AB, AC, Alb，A1C1的中点，求证：(1)B, C, H, G四点共面；(2)平面EFA［〃平面BCHG.BB证明：(1)VG日是厶ABC］的中位线, 又AGH^BC, AB, C, H, G四点共面.(2)TE、F分别为AB、AC的中点,•••EF〃BC,•••EFQ平面BCHG, BCU平面BCHG,AEF〃平面BCHG.TAiG 緬EB,•••四边形A|EBG是平行四边形，•••A]E〃GB ・••• AiEG平面BCHG, GB U平面BCHG. •••AiE 〃平面BCHG.VAiEnEF=E, •••平面EFAi 〃平面BCHG.A名师点拨判定面面平行的四种方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用).(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).通关特训2如图，四棱柱ABCD —A1B1CQ ］的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，AQ 丄底面ABCD, AB=AA!= A /2・ (1) 证明：平面AjBD 〃平面CDiBi ；(2) 求三棱柱ABD —AiBQi 的体积.AB解析：(l)iiE明：由题设知，BB]統DDi，•••四边形BB]D]D是平行四边形，又BDQ平面CDiBi，EQiU平面CDiBp •••BD〃平面CDiBi・TAiDi 統Bi© 統BC,•••四边形AiBCDi是平行四边形，•••AiB〃DiC ・又AiB评面CDiB], DiCU平面CDiB], 平面CDiBi・XVBDnA1B = B,•••平面AiBD〃平面CD J B J.(2) V AiO丄平面ABCD,・•・A|O是三棱柱ABD —AiBQ]的高. XVAO = ^AC=1, AA I=3，.•・AiO=#AAf—OA2=1.又s△曲述,=1 ‘•：V ABD-A I B]D]=S^ABD X A]O= 1.E【例3】如图所示，四边形ABCD为矩形，DA丄平面ABE, AE = EB = BC = 2, BF丄平面ACE于点F,且点F在线段CE上.(1)求证：AE丄BE；(2)设点M在线段AB上，且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN〃平面ADE.E解析：（1）证明：由DA 丄平面ABE 及AD/7BC,得BC 丄平面 ABE,又AEU 平面ABE,所以AE 丄BC,因为BF 丄平面ACE, AEU 平面ACE, 所以BF 丄AE,XBCnBF=B, BC, BFU 平面 BCE,所以AE 丄平面BCE.因为BEU 平面BCE,故AE 丄BE.CBA(2)在ZkABE 中，过点M 作MG 〃AE 交BE 于点G,在厶BEC 中,过点G 作GN 〃BC 交CE 于点N,连接MN,则由爭=BE =W =3, 得 CN=|cE.因为MG 〃AE, AEU 平面ADE, MGQ 平面ADE,所以MG 〃平面ADE,CB又GN〃BC, BC//AD, ADU平面ADE, GNG平面ADE,所以GN〃平面ADE,又MGAGN=G,所以平面MGN〃平面ADE,因为MNC平面MGN,所以MN〃平面ADE.故当点N为线段CE上靠近C的一个三等分点时，MN〃平面ADE.•名师点拨空间平行的探索性问题求解方法(1)对命题条件的探索常釆用以下三种方法：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.通关特训3如图所示，在正方体ABCD —AiB]C]Di中，0为底面ABCD的中心，P是DDi的中点，设Q是CCi上的点，则当点Q 在什么位置时，平面DiBQ〃平面PAO?A B解析：当Q为CCi的中点时，平面DiBQ〃平面PAO.证明如下：TQ为CC|的中点，P为DDi的中点，QB // PA ・VP, O分别为DD1，DB的中点，•••DiB〃P O.又VDiBC平面PAO, POU平面PAO, QBG平面PAO, PAU平面PAO,平面PAO, QB〃平面PAO,XD1BnQB=B, DjB, QBC平面DiBQ, •••平面DiBQ〃平面PAO.word部分:请做：旬主园地备考泰餐word部分:请做：开卷速查（8十三）点此进入该wo rd板块。

2022年高考数学强基计划讲义专题10：数列与极限【解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

2022年高考数学尖子生强基计划专题10数列与极限一、真题特点分析：【2020武大6】两个半径为r 实心球体，它们的球心相距d .设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为()V d ，则3()limd V d d→+∞=（）A.π8B.π6C.πD.4π3二、知识要点拓展一．数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a ，那么就说数列{}n a 以a 为极限.注：a 不一定是{}n a 中的项.二．几个常用的极限：（1）lim n C C →∞=（C 为常数）;（2）1lim0n n→∞=（3）lim 0n n q →∞=（1q ＜）.（4）∞→n lim k k an b acn d c+=+（*k N ∈，a b c d R ∈、、、且0c ≠）（5）1lim 01n nn nn a b a b a b a b a b →∞⎧>-⎪==⎨+⎪-<⎩，，，三．数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ，当lim n n a a →∞=,lim n n b b →∞=时：lim()n n n a b a b→∞+=+lim()n n n a b a b →∞⋅=⋅limn n na ab b →∞=（0b ≠）四．无穷等比数列：若无穷等比数列11,,,1n a aq aq q -< 有，其所有项的和（各项的和）为：1lim 1n n a S S q→∞==-．五．常见的数列极限可以归纳为两大类:第一类是两个关于自然数n 的多项式的商的极限:)0,0,,(.0;,*01110111lim ≠≠∈⎪⎩⎪⎨⎧>==++++++++----∞→l k l l l l k k k k n b a N l k k l k l b ab n b n b n b a n a n a n a 时，当时当当l k >时,上述极限不存在.第二类是关于n 的指数式的极限:⎩⎨⎧=<=∞→时，当时；当111||,0lim q q q nn 当1||>q 或1-=q 时,上述极限不存在.一．特殊数列的极限：11nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11nn a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）1lim 0(0,a n a a n →∞=>是常数）；（2）lim 0(0)!n n a a n →∞=>；（3）lim 0kn n n a→∞=（1a ＞，k 为常数）；（4）1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．下面证明第四个公式证明：令11nM n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取自然对数得到1ln ln 1M n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1x n =，得ln(1)ln x M x+=，由洛比达法则得00ln(1)1limlim()11x x x x x →→+==+，即0lim ln 1x M →=所以：lim ln 1n M →∞=，则lim n M e →∞=，即1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．另外，数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是单调递增的，理由如下：由11(1n n G A n ++≤+个正实数的几何平均数≤它们的算术平均数）有1111111111n n n n n n ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭===++++，所以111111n n n n +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭。

2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第7章 7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

教材改编题
1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是
A.四棱台
√C.四棱柱
B.四棱锥 D.三棱柱
由几何体的结构特征知，盛水部分的几何体是四棱柱.
教材改编题
2.下列说法正确的是 A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等 C.正方形的直观图是正方形
√D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第七章立体几何与空间向量
§7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
考试要求
1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.
第
二部分
探究核心题型
题型一基本立体图形
命题点1 结构特征例1 (多选)下列说法中不正确的是
√A.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何
体是圆台
√B.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 √C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D.棱台的各侧棱延长后必交于一点
由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A错误；由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误；底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确.
则该圆锥的体积是
A. 3π

新教材2023年高中数学第四章数列章末整合提升课件新人教A版选择性必修第二册

[解析] Sn＝1＋2x＋3x2＋4x3＋…＋nxn－1，① xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn，② 由①－②，得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn，
当 x≠1 时，(1－x)Sn＝11－－xxn－nxn ＝1－xn－1n－xnx＋nxn＋1＝1－（1＋1n－）xxn＋nxn＋1， ∴Sn＝1－（1（＋1n－）x）xn＋2 nxn＋1；
∴bn＝32＋(n－1)×12＝1＋n2， Sn＝2b2nb－n 1＝21＋＋nn，当 n＝1 时，a1＝S1＝32，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝21＋＋nn－1＋n n＝－n（n1＋1），显然对于 n ＝1 不成立，
∴an＝2－3，n（n＝n1＋1 1），n≥2.
[规律方法] 已知某条件式，证明关于an(或Sn)的某个表达式成等差 (或等比)数列，问题本身就给出了条件式的变形方向，可依据等差(等比) 数列定义，结合an＝Sn－Sn－1(n≥2)对条件式变形构造新数列求解．
典例1 已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列 {an}的通项公式．
[解析] 由an＋1－an＝3n－n，得an－an－1＝3n－1－(n－1)， an－1－an－2＝3n－2－(n－2)， ……
a3－a2＝32－2，a2－a1＝3－1.
当 n≥2 时，以上 n－1 个等式两端分别相加，得(an－an－1)＋(an－1－ an－2)＋…＋(a2－a1)
典例7 求数列 214，418，6116，…，2n＋2n1＋1，…的前 n 项和 Sn. [分析] 此数列的通项公式为 an＝2n＋2n1＋1，而数列{2n}是一个等差数列，数列2n1＋1是一个等比数列，故采用分组求和法．
[解析] Sn＝214＋418＋6116＋…＋2n＋2n1＋1

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第13讲怎样求最值(衡中内参)2021年版

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第十三讲怎样求最值在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点： 1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．注：数学中最大值、最小值问题，运用到社会实践、生活实际中所体现出来的就是最优化思想，所谓最优，就是我们所期望的目标量能达到最大或最小．一次函数、反比例函数并无最值，但当自变量取值范围有条件限制的，最值在图象的端点处取得；定义在全体实数上的二次函数最值在抛物线的顶点处取-得．即：对于c bx ax y ++=2（0≠a ）(1)若a>0，则当a bx 2-=时，a b ac y 442-=最小值；(2)若a<0，则当abx 2-=时， a b ac y 442-=最大值．【例题求解】【例1】设a 、b 为实数，那么b a b ab a 222--++的最小值是．思路点拨将原式整理成关于a 的二次多项式从配方法入手；亦可引入参数设t b a b ab a =--++222，将等式整理成关于a 的二次方程0)2()1(22=--+-+t b b a b a ，利用判别式求最小值．【例2】若32211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) A ．3 B ．1459 C ．29D ．6 思路点拨设k z y x =-=+=-32211，则222z y x ++可用只含k 的代数式表示，通过配方求最小值．【例3】设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，2221x x +有最小值，并求这个最小值．思路点拨由韦达定理知2221x x +是关于m 的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m 的取值范围，从判别式入手．注：定义在某一区间的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形： (1)当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值；(2)当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．【例4】甲、乙两个蔬菜基地，分别向A 、B 、C 三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A 提供45吨，向B 提供75吨，向C 提供40吨．甲基地可安排60吨，乙基地可安排100吨．甲、乙与A 、B 、C 的距离千米数如表，设运费为1元／(千米·吨)．问如何安排使总运费最低?求出最小的总运费值．思路点拨设乙基地向A 提供x 吨，向B 提供y 吨，这样总运费就可用含x ，y 的代数式表示；因为1000≤+≤y x 0，450≤≤x ，所以问题转化为在约束条件下求多元函数的最值．【例5】某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为[500)1(41+-x ]元．(1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y (元)表示为使用天数x (天)的函数； (2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废?思路点拨在解本题时可能要用到以下数学知识点：对于确定的正常数a 、b 以及在正实数范围内取值的变量x ，一定有b a xb ax b x x a 22=≥+，即当且仅当b x x a =时，bxx a +有最小值ba 2．注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：(1)02≥a ； (2)ab b a 222≥+；（3）若0>a ，0>b ，则ab b a 2≥+； (4)若0>a ，0>b ，0>x ，则bab x x a 2≥+．以上各式等号当且仅当b a = (或bxx a =)时成立．学历训练1．当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值为．2．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为、米．3．已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，6222=++c b a ，则a 的最大值为．4．已知x 、y 、z 为三个非负实数，且满足523=++z y x ，2=-+z y x ，若z y x s -+=2，则s 的最大值与最小值的和为( ) A ．21 B ．85C ．1D ．365．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB =4，S △COD =9，则四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD 的最小值为( )A ．2lB ．25C ．26D ．366．正实数x 、y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为( )A ．21 B ．85C ．1D ．45E ．27．启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x (万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且107107102++-=x x y ，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：(1)试写出年利润S (万元)与广告费x (万元)的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元? (2)把(1)中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：项目 A B C D E F 每股(万元) 5 2 6 4 6 8 收益(万元)0．550．40．60．50．9l如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的，收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目．8．某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这作物品种每亩地所需职工数每亩地预计产值蔬菜 21 1100元烟叶 31 750元小麦41 600元请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多．9．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为l0m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm ，面积为sm 2． (1)求s 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为45m 2的花圃，AB 的长是多少米?(3)能围成面积比45m 2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．10．设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为．11．若抛物线1)1(2----=k x k x y 与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，则△ABC 的面积最小值为12．已知实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，则t 的最大值为，最小值为．13．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距102km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．14．销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150m，为了使该商品的销售金额最大，那么m 的值应该确定为．15．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出辆车(直接填写答案)； (2)x 的代数式填空：16．甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p (万元)和q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式x p 51=，x q 53=．今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得多大的利润? 链接17．如图，城市A 位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半．问该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低?18．设1x ，2x ，…n x 是整数，并满足：（1）21≤≤-i x ，n i ,2,1=；（2）1921=+++n x x x ；（3）9922221=+++n x x x ．求33231n x x x +++ 的最大值和最小值．未租出的车辆数租出的车辆数所有未租出的车辆每月的维护费租出的车每辆的月收益参考答案教学反思1 、要主动学习、虚心请教，不得偷懒。

2020学年高考数学理一轮复习精选新题和好题归纳总结讲义：第7章立体几何第1讲 Word版含解析

第七章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图[考纲解读] 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2.能画出简单空间几何体的三视图，并能根据三视图识别几何体，会用斜二测画法画出它们的直观图．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的重点内容之一．预测2020年会一如既往的进行考查，以三视图和直观图的联系与转化为主要命题方向，考查题型有：①根据三视图还原几何体；②根据几何体求体积．试题以客观题形式呈现，难度一般不大，属中档题.1．多面体的结构特征2．旋转体的结构特征3．直观图(1)画法：常用□01斜二测画法(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴与y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴(或y′轴)□02垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍□03平行于坐标轴．平行于x 轴和z轴的线段在直观图中保持原长度□04不变，平行于y轴的线段的长度在直观图中变为原来的□05一半．4．三视图(1)几何体的三视图包括□01正视图、□02侧视图、□03俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：□04正侧一样高，□05正俯一样长，□06侧俯一样宽；看不到的线画虚线．1．概念辨析(1)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．()(2)棱台各侧棱的延长线交于一点．()(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱答案 A(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()答案 A解析由斜二测画法的原理可知．(3)已知三棱锥的正(主)视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧(左)视图可能为()答案 B解析由正(主)侧(左)一样高，侧(左)俯一样宽，易知侧(左)视图的底边长应当是正三角形的高，侧(左)视图的高应同正(主)视图的高，故选B.(4)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是________．答案五棱柱三棱柱题型一空间几何体的结构特征下列结论正确的个数是________．(1)有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；(3)有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；(4)直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；(5)若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．答案0解析(1)(2)(3)(4)的反例见下面四个图．(5)平行于轴的连线才是母线．识别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定．(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可．(2018·青岛模拟)以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③错误．题型二空间几何体的直观图(2018·桂林模拟)已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2B.38a 2C.68a 2D.616a 2 答案 D解析如图(1)所示的是△ABC 的实际图形，图(2)是△ABC 的直观图．由图(2)可知A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图(2)中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.故选D.条件探究若将举例说明条件变为“△ABC 的直观图△A 1B 1C 1是边长为a 的正三角形”，则△ABC 的面积是多少？解在△A 1D 1C 1中，由正弦定理a sin45°＝xsin120°，得x ＝62a ，∴S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.用斜二测画法画直观图的技巧(1)在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中仍然与x ′轴或y ′轴平行．(2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线． (3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点，然后用平滑曲线连接．(2018·福州调研)已知等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．答案 22解析如图所示，作出等腰梯形ABCD 的直观图．因为OE ＝(2)2－1＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ＝24，则直观图A ′B ′C ′D ′的面积S ′＝1＋32×24＝22. 题型三空间几何体的三视图角度1 已知几何体识别三视图1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析观察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选A.角度2已知三视图还原几何体2．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217 B．2 5 C．3 D．2答案 B解析根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽、圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为42＋22＝25，故选B.角度3已知三视图中的部分视图，判断其他视图3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()答案 C解析A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图．三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．1．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是()答案 C解析由直观图和俯视图知，正视图中点D1的射影是B1，侧棱BB1是看不见的，在正视图中用虚线表示，所以正视图是选项C中的图形．故选C.2．(2018·河北衡水中学调研)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E 为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()答案 C解析如图所示，过点A，E，C1的截面为AEC1F，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形．3．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．3 2 B．2 3 C．2 2 D．2答案 B解析在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故SD＝22＋22＋22＝2 3.故选B.。

2025年北师大版高中数学必修第一册课件 3.3.2指数函数的图像和性质(第3课时)

+ ≥ , + ≤ ⇒ 2+a
∈ , 5
1 1+a
课堂小结
1．核心要点
2．数学素养
合理归类，培养运算能力.
+−
=

−

+=
, 在 , 上是增函数，最大值是 =
.所以， >

.

用换
元法
求指
数型
函数
最值
环节三
值域与集合问题
例13. =
=
< < ，B= = , < ≤ , 则 ∩
解： B= = , < ≤ =
∩ = ,
<≤
例14. = + ， = + ，对任意 ∈ , ，都存
在 ∈ , ，使得 = ，求a的取值范围。
解析：从集合的角度理解，的值域包含的值域。
在 , 上， ∈ + , + ⊆ , ∋
1
1 1
1≤t≤5，∴ ≤y≤ ，故所求函数的值域为 ,
32
5
32 5
．
复合方式二内指外二次
内层指数
例7.已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，
求函数f(x)的值域．
解：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，
∴y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
外层二次
当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，∴当a>1时，y≥2.
解析：函数是R上的增函数，在指定范围
内，单调增，所以，值域是 ,

【高考数学】第七章数列、数学归纳法全章课件教师用书

第1节　等差数列与等比数列考试要求　1.理解等差数列、等比数列的概念；2.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；3.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．知识梳理1.等差数列的定义(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_______，通常用字母_____表示.(2)等差中项：如果___________________，那么A 叫做a 与b 的等差中项.公差d a ，A ，b 成等差数列a1＋(n－1)d3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋____________ (n ，m ∈N *).(2)若{a n}为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则_________________.特别地，当k ＋l ＝2m (k ，l ，m ∈N *)时，则________________.(3)若{a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d.(n －m )d a k ＋a l ＝a m ＋a n a k ＋a l ＝2a m5.等比数列的定义(1)定义：一般地，如果一个数列从第_____项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母_____表示(q ≠0).(2)等比中项：如果____________________，那么G 叫做a 与b 的等比中项.公比q 2a ，G ，b 成等比数列a1·q n－1 na17.等比数列的常用性质a m·q n－m(1)通项公式的推广：a n＝__________(n，m∈N*).(2)若{a n}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k·a l＝a m·a n.特别地，当k＋l＝2m(k，l，m∈N*)时，则____________.(3)若{a n}为等比数列，S n为前n项和，则S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等比数列，公比为q n(当公比q＝－1，n不能取正偶数).[常用结论与易错提醒]1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n＋1－a n＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{a n}不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.3.由a n＋1＝qa n，q≠0，并不能立即断言{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.4.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( )(2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )(3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )(4)数列{a n}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.( )解析　(1)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(2)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.(3)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2.在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于( )A.－1B.0C.1D.6解析　由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B.答案　B3.公比不为1的等比数列{a n}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1a m＝9，则m的值为( )A.8B.9C.10D.11解析　由题意得，2a5a6＝18，∴a5a6＝9，∴a1a m＝a5a6＝9，∴m＝10，故选C.答案　C4.(2018·北京卷)设{a n}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{a n}的通项公式为________.解析　设等差数列的公差为d，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝6＋5d＝36，∴d＝6，∴a n ＝3＋(n－1)·6＝6n－3.答案　a n＝6n－35.(2019·嘉兴检测)各项均为实数的等比数列{a n}，若a1＝1，a5＝9，则a3＝________，公比q＝________.6.(2019·北京延庆区模拟)在等差数列{a n}中，若a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则数列{a n}的公差等于________，其前n项和S n的最大值为________.答案　－3　57(2)设数列{a n}首项为a1，公比为q(q≠1)，答案　(1)B　(2)32规律方法　(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，a n，d，n，S n；等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，a n，q，n，S n.已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)等差数列的基本量为a1，d；等比数列的基本量为a1，q.在运算过程中，常用基本量去表示未知量和已知量.答案　(1)C　(2)B答案　(1)B　(2)B规律方法　利用等差、等比数列的性质可简化运算.答案　(1)8　(2)－14　4将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){b n}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：考点四　等差数列最值问题【例4】 (1)(一题多解)设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，S3＝S11，当S n最大时，n的值是( )A.5B.6C.7D.8(2)已知等差数列16，14，12，…的前n项和为S n，且S n>0，则n的最大值为________.解析　(1)法一　由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时S n最大.法二　由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故S n＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时S n最大.(2)等差数列的首项为a1＝16，公差d＝－2，由S n>0，即－n2＋17n>0，解得0<n<17，又n∈N*，∴n的最大值为16.答案　(1)C　(2)16规律方法　求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和S n＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.答案　(1)B　(2)A本节内容结束第2节　数列的通项公式考试要求　会求简单数列的通项公式.知识梳理4.递推公式法：如果数列{a n}的第n项与它前一项(或前几项)的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.数列的递推公式包含两个部分，一是递推关系，二是初始条件.此类型一般用累加(乘)法、叠代法、或构造新数列解决.5.由f(a n，S n)＝0，求a n.一般用转化法，即项a n和S n互化.[常用结论与易错提醒]1.由S n＝f(n)求a n时，需检验n＝1的情况.2.由递推公式求通项公式时，注意构造新数列.3.由f(a n，S n)＝0求a n时，注意利用变量n.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)给出数列的前几项，写出的通项公式可能不唯一.( )(2)a n＝S n＋1－S n(n∈N*).( )(3)利用递推公式和初始项的值，应该能推出数列的其余各项.( )(4)若数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n＋1，则a n＝2n.( )答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×2.设数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a8的值为( )A.15B.16C.49D.64解析　当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.答案　A答案　C4.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝________.解析　a1＝1，a2＝6＝1＋5＝1＋5×(2－1)，a3＝11＝1＋5×2＝1＋5×(3－1)，a4＝16＝1＋5×3＝1＋5×(4－1)，∴a n＝1＋5×(n－1)＝5n－4.答案　5n－45.在数列{a n}中，a1＝2，且对任意的m，n∈N*有a m＋n＝a m·a n，则a6＝________.答案　646.(2019·北京朝阳区一模)等比数列{a n}满足如下条件：①a1>0；②数列{a n}的前n项和S n<1.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式________.。

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