12课时跟踪检测(十二) 根式
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根式
一、选择题
1.4a－2＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是
( )
A．a≠2 B．a≥2
C．a≠4 D．2≤a＜4或a＞4
2.3－63＋45－44＋35－43的值为
( )
A．－6 B．25－2
C．25 D．6
3．化简x＋32－3x－33得( )
A．6 B．2x
C．6或－2x D．6或2x或－2x
4.7＋43＋7－43等于( )
A．－4 B．23
C．－23 D．4
5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所
示，则4a－b4的值为( )
A．a＋b B．－(a＋b)
C．a－b D．b－a
二、填空题
6．设m<0，则(－m)2＝________.
7．若x2－8x＋16＝x－4，则实数x的取值范
围是________．
8．设f(x)＝x2－4，若0＜a≤1，则fa＋1a＝
________.
9．写出使下列等式成立的x的取值范围：
(1)31x－33＝1x－3；
(2)x－5x2－25＝(5－x)x＋5.
10．化简(a－1)2＋1－a2＋7a－17.
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答 案
课时跟踪检测(十二)
1．选D 要使原式有意义，只需
a－2≥0，
a－4≠0，
即a≥2且a≠4.
2．选A 3－63＝－6，
4
5－44＝|5－4|＝4－5，
3
5－43＝5－4，
∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6.
3．选C 注意开偶次方根要加绝对值，
x＋32－3x－33
＝|x＋3|－(x－3)＝ 6，x≥－3，－2x，x<－3，故选C.
4．选D 7＋43＋7－43＝2＋32＋
2－32
＝(2＋3)＋(2－3)＝4.
5．选D 由图象知a(－1)2＋b×(－1)＋0.1<0，
∴a
m.
答案：－m
7．解析：∵x2－8x＋16＝x－42＝|x－4|
又x2－8x＋16＝x－4，
∴|x－4|＝x－4，∴x≥4.
答案：x≥4
8．解析：fa＋1a＝a＋1a2－4
＝a2＋1a2－2＝a－1a2
＝a－1a，
由于0＜a≤1，所以a≤1a，故fa＋1a＝1a－a.
答案：1a－a
9．解：(1)要使 31x－33＝1x－3成立，只需
x－3≠0即可，
即x≠3.
(2)x－5x2－25＝
x－52x＋5.
要使x－52x＋5＝(5－x)x＋5
成立，只需 x＋5≥0，x－5≤0，即－5≤x≤5.
10．解：由题意可知a－1有意义，∴a≥1.
∴原式＝(a－1)＋|1－a|＋(a－1)
＝a－1＋a－1＋a－1＝3a－3.
浙江专版2017_2018学年高中数学课时跟踪检测十二指数与指数幂的运算新人教A版必修1201806
课时跟踪检测（十二）指数与指数幂的运算层级一学业水平达标1．下列函数中，指数函数的个数为()1(2 )x－1；②y＝a x(a>0，且a≠1)；③y＝1x；①y＝1(2 )2x－1.④y＝A．0个B．1个C．3个D．4个解析：选B由指数函数的定义可判定，只有②正确．2．函数y＝2x－1的定义域是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D.(0，＋∞)解析：选C由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.3．当a＞0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C．(－1,0) D. (1,0)解析：选C当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1,0)．4．函数f(x)＝a x与g(x)＝－x＋a的图象大致是()解析：选A当a＞1时，函数f(x)＝a x单调递增，当x＝0时，g(0)＝a＞1，此时两函数的图象大致为选项A.5．指数函数y＝a x与y＝b x的图象如图，则()A．a＜0，b＜0 B．a＜0，b＞0C．0＜a＜1，b＞1 D.0＜a＜1,0＜b＜1解析：选C由图象知，函数y＝a x在R上单调递减，故0＜a＜1；函数y＝b x在R上单调递增，故b＞1.6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝______.解析：由指数函数的定义得Error!解得a＝1.1答案：17．已知函数f(x)＝a x＋b(a＞0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为______．解析：由已知得Error!解得Error!1 1所以f(x)＝(2 )x＋3，所以f(－2)＝(2 )－2＋3＝4＋3＝7.答案：78．若函数f(x)＝Error!则函数f(x)的值域是________．解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，∴－x＜0,0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0.∴函数f(x) 的值域为(－1,0)∪(0,1)．答案：(－1,0)∪(0,1)9．求下列函数的定义域和值域：1 12(1)y＝2 －1.(2)y＝2x－22x2－2.x(3 )1解：(1)要使y＝2 －1有意义，需x≠0，则2x 1x＞0且21x≠1，故21x－1＞－1且21x－1≠0，故函数y＝2 1x－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．1 12(2)函数y＝(3 ) x(2－2的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜3 )122x2－2≤9，所以函数y＝(3 ) x2－2的值域为(0,9]．110．已知函数f(x)＝a x－1(x≥0)的图象经过点(2，2 )，其中a＞0且a≠1.(1)求a的值．(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．1 1 1解：(1)函数图象经过点(2，2 )，所以a2－1＝，则a＝.2 21 1(2)由(1)知函数为f(x)＝(2 )x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜(2 )x－1≤1(2 )－1＝2，所以函数的值域为(0,2]．层级二应试能力达标1．函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)解析：选C要使函数式有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，∴0≤16－4x＜16，即函数y＝16－4x的值域为[0,4)．22．函数 y ＝2 x -1 x－1的定义域、值域分别是( ) A ．R ，(0，＋∞)B ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1}C ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且 y ≠1}D ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且 y ≠0}解析：选 C 要使 y ＝2 x -1 xx －1 x －1 1 －1有意义，只需 有意义，即 x ≠0.若令 u ＝ ＝1－ ， x x x则可知 u ≠1，∴y ≠21－1＝1.又∵y ＝2 x -1 x－1＞0－1＝－1，∴函数 y ＝2x -1 x－1的定义域为{x |x ≠0}，值域为{y |y ＞－1，且 y ≠1}．13．函数 f (x )＝πx 与 g (x )＝(π )x的图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．.直线 y ＝－x 对称解析：选 C 设点(x ，y )为函数 f (x )＝πx 的图象上任意一点，则点(－x ，y )为 g (x )＝π 1－x ＝(π )x的图象上的点．因为点(x ，y )与点(－x ，y )关于 y 轴对称，所以函数 f (x )＝πx1与 g (x )＝(π )x的图象关于 y 轴对称，选 C.4．已知 1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )解 析：选 C 由于 0＜m ＜n ＜1，所以 y ＝m x 与 y ＝n x 都是减函数，故排除 A 、B ，作直线 x ＝ 1与两个曲线相交，交点在下面的是函数 y ＝m x 的图象，故选 C.355．已知函数 f (x )是指数函数，且 f(－2 )＝，则 f (x )＝________.25解析：设 f (x )＝a x (a ＞0，且 a ≠1)，3 35 -由 f (－2 )＝得，a 2 ＝52512 －2＝5 3-2 ，∴a ＝5，∴f (x )＝5x .答案：5x6．方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则 a 的取值范围是________．解析：作出 y ＝|2x －1|的图象，如图，要使直线 y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1 或a ＝0.答案：[1，＋∞)∪{0}31(3 )|x|－1.7．已知函数f(x)＝(1)作出f(x)的简图；(2)若关于x的方程f(x)＝3m有两个解，求m的取值范围．解：(1)f(x)＝Error!如图所示．1(2)作出直线y＝3m，当－1＜3m＜0时，即－＜m＜0时，函数y＝f(x)与y＝3m有两个交3点，即关于x的方程f(x)＝3m有两个解．8．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的最大值和最小值．1解：设t＝3x，∵－1≤x≤2，∴≤t≤9，则f(x)＝g(t)＝－(t－3)2＋12，故当t＝3，即x＝31时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，f(x)取得最小值－24.4。
课时跟踪检测(十二) 指数与指数幂的运算
课时跟踪检测（十二） 指数与指数幂的运算层级一 学业水平达标1．已知：n ∈N ，n ＞1，那么 2n(－5)2n 等于( ) A ．5 B ．－5 C ．－5或5 D ．不能确定解析：选A2n(－5)2n ＝2n52n ＝5.2．计算：(－27)23×9-32＝( )A ．－3B ．－13C ．3D ．13解析：选D (－27) 23×9-32＝[(－3)3]23×(32)-32＝(－3)2×3－3＝9×127＝13.故选D. 3．若2<a <3，则 (2－a )2＋4(3－a )4的化简结果是( )A ．5－2aB ．2a －5C ．1D ．－1解析：选C 原式＝|2－a |＋|3－a |， ∵2<a <3，∴原式＝a －2＋3－a ＝1. 4．已知a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A ．a 12B ．a 65C ．a 67D ．a 32解析：选Ca 2a ·3a 2＝a 2÷(a ·a 23)12＝a652-＝a 67，故选C.5．计算(2a－3b 32-)·(－3a －1b )÷(4a－4b 35-)得( )A ．－32b 2B.32b 2 C ．－32b 37D.32b 37解析：选A 原式＝－6a －4b 134a －4b 53-＝－32b 2. 6．若x ≠0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________.解析：∵x ≠0，∴原式＝|x |－|x |＋|x ||x |＝1.答案：1 7．若x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则(x 2 019)y ＝______.解析：因为 x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，所以(x ＋1)2＋ (y ＋3)2＝|x ＋1|＋|y ＋3|＝0，所以x ＝－1，y ＝－3.所以(x 2 019)y ＝[(－1)2 019]－3＝(－1)－3＝－1. 答案：－1 8.614－ 3338＋30.125 的值为________． 解析：原式＝ ⎝⎛⎭⎫522－ 3⎝⎛⎭⎫323＋ 3⎝⎛⎭⎫123＝52－32＋12＝32. 答案：329．化简与计算： (1)(m14n 83-)8；(2)823－(0.5)－3＋⎝⎛⎭⎫13－6×⎝⎛⎭⎫811643-.解：(1)⎝⎛⎭⎫m 14n 83-8＝⎝⎛⎭⎫m 148⎝⎛⎭⎫n 83-8＝m 2n －3＝m 2n 3. (2)823－(0.5)－3＋⎝⎛⎭⎫13－6×⎝⎛⎭⎫811643- ＝(23)23－(2－1)－3＋()3-12－6×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32443-＝22－23＋33×⎝⎛⎭⎫32－3＝4－8＋27×827＝4.10．已知4a 4＋4b 4＝－a －b ，求4(a ＋b )4＋3(a ＋b )3的值． 解：因为4a 4＋4b 4＝－a －b .所以4a 4＝－a ，4b 4＝－b ， 所以a ≤0，b ≤0，所以a ＋b ≤0，所以原式＝|a ＋b |＋a ＋b ＝－(a ＋b )＋a ＋b ＝0.层级二 应试能力达标1．计算(2n ＋1)2·⎝⎛⎭⎫122n ＋14n·8－2(n ∈N *)的结果为( )A.164 B ．22n ＋5 C ．2n 2－2n ＋6D.⎝⎛⎭⎫122n －7解析：选D 原式＝22n ＋2·2－2n －1(22)n ·(23)－2＝2122n －6＝27－2n ＝⎝⎛⎭⎫122n －7. 2.⎝⎛⎭⎫1120－(1－0.5－2)÷⎝⎛⎭⎫27823的值为( ) A ．－13B ．13C ．43D ．73解析：选D 原式＝1－(1－22)÷⎝⎛⎭⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D. 3．设x ，y 是正数，且x y ＝y x ，y ＝9x ，则x 的值为( ) A ．19B.43 C ．1D.39解析：选B ∵x 9x ＝(9x )x ，(x 9)x ＝(9x )x ，∴x 9＝9x . ∴x 8＝9.∴x ＝89＝43.4．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a－b等于( )A ．4B ．2或－2C ．－2D ．2解析：选D 设a b －a －b ＝t .∵a >1，b >0，∴a b >1，a －b <1，∴t ＝a b －a －b >0.则t 2＝(a b －a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝(22)2－4＝4，∴t ＝2.5．如果a ＝3，b ＝384，那么a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫b a71n －3＝________. 解析：a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫b a 71 n －3＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫384371 n －3＝3[(128)71]n －3＝3×2n －3. 答案：3×2n －36．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝251.答案：14 2517．化简求值：(1)⎝⎛⎭⎫12713－⎝⎛⎭⎫61412＋(22)32-＋π0－3－1； (2)823－(0.5)－3＋⎝⎛⎭⎫13－6×⎝⎛⎭⎫811643-； (3)⎝⎛⎭⎫－33832-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0.解：(1)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13313－⎝⎛⎭⎫25412＋(812)32-＋1－13＝13－52＋12＋1－13＝－1. (2)823－(0.5)－3＋⎝⎛⎭⎫13－6×⎝⎛⎭⎫811643-＝(23)23－(2－1)－3＋(321-)－6×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32443-＝22－23＋33×⎝⎛⎭⎫32－3＝4－8＋27×827＝4. (3)原式＝(－1)32-×⎝⎛⎭⎫33832-＋⎝⎛⎭⎫150021-－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫27832-＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.8．已知a ＝3，求11＋a14＋11－a14＋21＋a12＋41＋a的值． 解：11＋a 14＋11－a 14＋21＋a 12＋41＋a＝2(1＋a 14)(1－a 14)＋21＋a 12＋41＋a＝21－a 12＋21＋a 12＋41＋a＝4(1－a 12)(1＋a 12)＋41＋a＝41－a ＋41＋a ＝81－a2＝－1.。
高中数学 课时跟踪检测(十二)指数与指数幂的运算 新人
课时跟踪检测（十二） 指数与指数幂的运算层级一 学业水平达标1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x－1.A ．0个B ．1个C ．3个D ． 4个解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数y ＝2x－1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞)D.(0，＋∞)解析：选C 由2x－1≥0，得2x≥20，∴x ≥0. 3．当a ＞0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋1－1的图象一定过点( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－1,0)D. (1,0)解析：选C 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)． 4．函数f (x )＝a x与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )解析：选A 当a ＞1时，函数f (x )＝a x单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a ＞1，此时两函数的图象大致为选项A.5．指数函数y ＝a x与y ＝b x的图象如图，则( )A ．a ＜0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞1D.0＜a ＜1,0＜b ＜1解析：选C 由图象知，函数y ＝a x在R 上单调递减，故0＜a ＜1；函数y ＝b x在R 上单调递增，故b ＞1.6．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x是指数函数，则a ＝______.解析：由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1＞0，a ＋1≠1，解得a ＝1.答案：17．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为______．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3＝4＋3＝7.答案：78．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，－2－x，x ＞0，则函数f (x )的值域是________．解析：由x ＜0，得0＜2x＜1；由x ＞0，∴－x ＜0,0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0.∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．答案：(－1,0)∪(0,1)9．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x －1.(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 222－2x 2－2.解：(1)要使y ＝21x－1有意义，需x ≠0，则21x＞0且21x≠1，故21x－1＞－1且21x－1≠0，故函数y ＝21x－1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 222－的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 222－的值域为(0,9]．10．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值．(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．解：(1)函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，所以a 2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知函数为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，所以函数的值域为(0,2]．层级二 应试能力达标1．函数y ＝16－4x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)解析：选C 要使函数式有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，∴0≤16－4x＜16，即函数y ＝ 16－4x的值域为[0,4)．2．函数y ＝2-x x1－1的定义域、值域分别是( )A ．R ，(0，＋∞)B ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1}C ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠1}D ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠0} 解析：选C 要使y ＝2-x x1－1有意义，只需x －1x 有意义，即x ≠0.若令u ＝x －1x ＝1－1x，则可知u ≠1，∴y ≠21－1＝1.又∵y ＝2-x x1－1＞0－1＝－1，∴函数y ＝2-x x1－1的定义域为{x |x ≠0}，值域为{y |y ＞－1，且y ≠1}．3．函数f (x )＝πx与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx 的图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．.直线y ＝－x 对称解析：选C 设点(x ，y )为函数f (x )＝πx的图象上任意一点，则点(－x ，y )为g (x )＝π－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx的图象上的点．因为点(x ，y )与点(－x ，y )关于y 轴对称，所以函数f (x )＝πx与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx的图象关于y 轴对称，选C.4．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x，②y ＝n x的图象为( )解析：选C 由于0＜m ＜n ＜1，所以y ＝m x与y ＝n x都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.5．已知函数f (x )是指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525，则f (x )＝________.解析：设f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525得，a -32＝512－2＝5-32，∴a ＝5，∴f (x )＝5x.答案：5x6．方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．解析：作出y ＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0.答案：[1，＋∞)∪{0}7．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－1.(1)作出f (x )的简图；(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，x ≥0，3x －1，x ＜0，如图所示．(2)作出直线y ＝3m ，当－1＜3m ＜0时，即－13＜m ＜0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点，即关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解．8．已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2×3x ＋1－9x的最大值和最小值．解：设t ＝3x ，∵－1≤x ≤2，∴13≤t ≤9，则f (x )＝g (t )＝－(t －3)2＋12，故当t ＝3，即x＝1时，f (x )取得最大值12；当t ＝9，即x ＝2时，f (x )取得最小值－24.。
2019_2020学年高中数学课时跟踪检测十二距离的计算北师大版选修2_1
课时跟踪检测（十二） 距离的计算一、基本能力达标1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (2，－1,0)在α内，则P (1,3，－2)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83D.103解析：选C PA ―→＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，所以P 到α的距离为|PA ―→·n|n ＝|－2＋8＋2|3＝83.2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1―→上且AM ―→＝12MC 1―→，N 为B 1B 的中点，则|MN ―→|为( )A.216a B.66a C.156a D.153a 解析：选A 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC 1―→上且AM ―→＝12MC 1―→.∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3. ∴|MN ―→|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32 ＝216a . 3.如图，P －ABCD 是正四棱锥，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，PA ＝6，则B 1到平面PAD 的距离为( )A ．6 B.355C.655D.322解析：选C 以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面PAD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，由题意知，B 1(2,0,0)，A (0,0,2)，D (0,2,2)，P (1,1,4)．AD ―→＝(0,2,0)，AP ―→＝(1,1,2)，∴AD ―→·n ＝0，且AP ―→·n ＝0.∴y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2,0,1)．∵B 1A ―→＝(－2,0,2)，∴B 1到平面PAD 的距离d ＝|B 1A ―→·n||n|＝655.4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83B.38C.43D.34 解析：选C 如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2，4)，D 1(0,0,4)． ∴D 1B 1―→＝(2,2,0)，D 1A ―→＝(2,0，－4)，AA 1―→＝(0,0,4)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量， 则n ⊥D 1B 1―→，n ⊥D 1A ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1B 1―→＝0，n ·D 1A ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．∴由AA 1―→在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1―→·n||n|＝43.5．如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则C 1A ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1，C 1B 1―→＝(0,1,0)，C 1B 1―→＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的法向量为n ＝(x ，y,1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧C 1A ―→·n ＝0C 1B 1―→·n ＝0，解得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫33，1，1， 则d ＝|C 1B 1―→·n|n||＝113＋1＋1＝217. 答案：2176．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，M ，N 分别是棱AD ，AB ，CD ，BC 的中点，则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，1，D 1(0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1.∵E ，F ，M ，N 分别是棱的中点， ∴MN ∥EF ，A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离． 设平面B 1NMD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴n ·D 1B 1―→＝0，且n ·B 1N ―→＝0. 即(x ，y ，z )·(1,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝0. ∴x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0，令x ＝2，则y ＝－2，z ＝1.∴n ＝(2，－2,1)，n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13.∴A 1到平面B 1NMD 1的距离为d ＝|A 1B 1―→·n 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(0，1，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13＝23.答案：237.如图，已知正方形ABCD ，边长为1，过D 作PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别是AB 和BC 的中点．求直线AC 到平面PEF 的距离．解：由题意知直线AC 到平面PEF 的距离即为点A 到平面PEF 的距离，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，1，0，∴PE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，PE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－1.设n ＝(x ，y ，z )是平面PEF 的一个法向量， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE ―→＝0，n ·PE ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2－z ＝0，x 2＋y －z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝32，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，32.又∵AP ―→＝(－1,0,1)， ∴d ＝|AP ―→·n||n|＝－1×1＋0×1＋1×321＋1＋94＝1717.8.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.求点C 到平面AEC 1F 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,4,0)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，E (2,4,1)，C 1(0,4,3)．设n 为平面AEC 1F 的法向量，显然n 不垂直于平面ADF ，故可设n ＝(x ，y,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE ―→＝0，n ·EC 1―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧0·x ＋4·y ＋1＝0，－2·x ＋0·y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋1＝0，－2x ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－14.n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－14，1.又A 1D ―→＝(0,0,3)． ∴C 到平面AEC 1F 的距离为 d ＝|CC 1―→·n||n|＝31＋116＋1＝43311.二、综合能力提升1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则点A 1与对角线BC 1所在的直线间的距离为( )A.62a B ．a C.2aD.a2解析：选A 建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，B (a ，a,0)，C 1(0，a ，a )．∴A 1B ―→＝(0，a ，－a )，BC 1―→＝(－a,0，a )． ∴|A 1B ―→|＝2a ，|BC 1―→|＝2a . ∴点A 1到BC 1的距离d＝|A 1B ―→|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪A 1B ―→·BC 1―→|BC 1―→|2＝2a 2－12a 2＝62a .2．已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，PD ＝AD ＝1，则C 到平面PAB 的距离d ＝( ) A ．1 B. 2 C.22 D.32解析：选C 以D 为原点，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)， ∴AP ―→＝(－1,0,1)，AB ―→＝(0,1,0)，AC ―→＝(－1,1,0)， 设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n AP ―→＝0，n ·AB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，y ＝0，令x ＝1，则z ＝1，∴n ＝(1,0,1)． ∴d ＝|AC ―→·n||n|＝|－1|2＝22.3.四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA＝2，F ，E 分别为AD ，PC 的中点．(1)求证：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．解：(1)证明：以D 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0，1,1)． FP ―→＝(－1,0,2)， FB ―→＝(1,2,0)，DE ―→＝(0,1,1)，∴DE ―→＝12FP ―→＋12FB ―→，∴DE ―→∥平面PFB . 又∵DE ⊄平面PFB ， ∴DE ∥平面PFB . (2)∵DE ∥平面PFB ，∴点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离． 设平面PFB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FB ―→＝0，n ·FP ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0，令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1.∴n ＝(2，－1,1)，又∵FD ―→＝(－1,0,0)， ∴点D 到平面PFB 的距离 d ＝|FD ―→·n||n|＝26＝63.∴点E 到平面PFB的距离为63.4.如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，∠ACB ＝90°.(1)求证：BC ⊥平面PAC ； (2)若二面角D PC A 的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离． 解：(1)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BC ，∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC .(2)设AP ＝h ，取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，∴AE ⊥AB .又PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AE ，PA ⊥AB ，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，P (0,0，h )，C ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0，B (0,2,0)， PC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－h ，DC ―→＝(0,1,0)，设平面PDC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC ―→＝0，n 1·DC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x 1＋12y 1－hz 1＝0，y 1＝0，取x 1＝h ，∴n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫h ，0，32. 由(1)知平面PAC 的一个法向量为BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，0，∴|cos 〈n 1，BC ―→〉|＝32h h 2＋34×3＝55，解得h ＝3， 同理可求得平面PBC 的一个法向量n 2＝(3，3，2)， 所以，点A 到平面PBC 的距离为 d ＝|AP ―→·n 2||n 2|＝234＝32.。
北师大版高中数学选修1-2课时跟踪检测(十二)复数的四则运算
课时跟踪检测（十二）复数的四则运算1．(1＋2i)＋⎝⎛⎭⎫12－32i －⎝⎛⎭⎫－12＋52i 的值为( )A ．－2iB ．2－2iC ．2＋2iD ．2解析：选B 原式＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋12＋⎝⎛⎭⎫2－32－52i ＝2－2i. 2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2等于( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2 解析：选A ∵z i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＝1i＋1＝1－i ， ∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i.3．复数2＋i 1－2i的共轭复数是( ) A ．－35i B.35i C ．－i D ．i解析：选C 依题意2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i 5＝i ，其共轭复数为－i ，选C. 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．512解析：选C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是________．解析：因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )．又因为此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1. 答案：(－∞，－1)6．若复数z ＝2i 1－i ，则|z ＋3i|＝________. 解析：∵z ＝2i 1－i＝2i (1＋i )2＝－1＋i ，∴z ＝－1－i. ∴|z ＋3i|＝|－1＋2i|＝ 5.答案： 57．计算(1)(2＋2i)2(4＋5i)；(2)(1＋i )2＋3(1－i )2＋i. 解：(1)(2＋2i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.(2)(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i. 8．已知复数z ＝3＋b i(b ∈R)，且(1＋3i)·z 为纯虚数．(1)求复数z ；(2)若w ＝z 2＋i，求复数w 的模|w |. 解：(1)因为 z ＝3＋b i ，所以(1＋3i)·z ＝(1＋3i)(3＋b i)＝3(1－b )＋(9＋b )i.因为(1＋3i)·z 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧3(1－b )＝0，9＋b ≠0.解得b ＝1.所以z ＝3＋i. (2)因为 z ＝3＋i ，所以w ＝z 2＋i ＝3＋i 2＋i ＝(3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝7－i 5＝75－15i ，所以|w |＝⎝⎛⎭⎫752＋⎝⎛⎭⎫－152＝ 2.9．已知复数z 满足(z －2)i ＝a ＋i(a ∈R)．(1)求复数z ；(2)a 为何值时，复数z 2对应的点在第一象限？解：(1)由已知得z －2＝a ＋i i ＝1－a i ， ∴z ＝3－a i.(2)由(1)得z 2＝9－a 2－6a i ，∵复数z 2对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧9－a 2>0，－6a >0，解得－3<a <0. 即当－3<a <0时，复数z 2对应的点在第一象限．由Ruize收集整理。
2022秋新教材高中数学课时跟踪检测十二导数的概念及其几何意义新人教A版选择性必修第二册
课时跟踪检测(十二) 导数的概念及其几何意义1．[多选]下列说法中正确的是( )A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在x＝x0处没有切线B．若曲线y＝f(x)在x＝x0处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)存在，则曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率存在D．若曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率不存在，则曲线在该点处的切线方程为x ＝x0解析：选CD f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在x＝x0处可能没有切线，也可能有切线x ＝x0，故A错误；当曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线为直线x＝x0时，f′(x0)不存在，故B 错误；C显然正确；当曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率不存在时，其切线方程为x＝x0，故D正确．2．曲线f(x)＝－在点M(1，－2)处的切线方程为( )A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4解析：选C 因为＝＝，所以当Δx趋于0时，f′(1)＝2，即k＝2.所以直线方程为y ＋2＝2(x－1)，即y＝2x－4.故选C.3．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )A．k1>k2B．k2<k2 C．k1＝k2 D．不确定解析：选D k1＝＝＝2x0＋Δx；k2＝＝＝2x0－Δx.因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．4．已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为( )A．－2 B．－1 C．1 D．2解析：选D ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx，∴lim＝lim＝x＋1.由x＋1＝3，得x＝2，即该切点的横坐标为2.5.如图，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2,0)，且f′(1)＝－2，则f(1)的值为( )A．－1 B．1C．2 D．3解析：选C 曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2,0)，且f′(1)＝－2，所以切线方程为y＝－2(x－2)．因为切点在曲线上也在切线上，所以f(1)＝－2×(1－2)＝2.故选C.6．已知y＝，则y′＝________.解析：∵Δy＝－，∴＝，∴lim＝lim＝lim＝lim＝，即y′＝.答案：7．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是_ ___________．解析：由题意知，Δy＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3(Δx)2＋2Δx.∴y′x＝1＝lim＝2，∴所求直线的斜率k＝2.故直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝08．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．解析：设f(x)＝y＝x2－3x，切点坐标为(x0，y0)，f′(x0)＝lim＝lim＝2x0－3＝1，故x0＝2，y0＝x－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．已知曲线f(x)＝－在x＝4处的切线方程为5x＋16y＋b＝0，求实数a与b的值．解：∵直线5x＋16y＋b＝0的斜率k＝－，∴f′(4)＝－.而f′(4)＝lim＝lim＝lim＝－，∴－＝－，解得a＝1.∴f(x)＝－，f(4)＝－＝－，即切点坐标为.∵点在切线5x＋16y＋b＝0上，∴5×4＋16×＋b＝0，即b＝8，从而a＝1，b＝8.10．已知曲线y＝f(x)＝x3－3x上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求与曲线y＝f(x)相切且以P为切点的直线l的方程；(2)求与曲线y＝f(x)相切且切点异于点P的直线l的方程．解：(1)f′(x)＝lim＝3x2－3，则过点P且以P(1，－2)为切点的直线l的斜率为f′(1)＝0，所以所求直线l的方程为y＝－2.(2)设切点坐标为(x0，x－3x0)(x0≠1)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x－3，所以直线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．又直线l过点P(1，－2)，则－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－.故直线l的斜率为－，于是直线l的方程为y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.1．过正弦曲线y＝sin x上的点的切线与y＝sin x的图象的交点有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个解析：选D 由题意，y＝f(x)＝sin x，则f′＝lim＝lim.当Δx→0时，cos Δx→1，∴f′＝0.∴曲线y＝sin x的切线方程为y＝1，且与y＝sin x的图象有无数个交点．2．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为( )A．(1,0) B．(－1，－4)C．(1，－4) D．(－1，－4)或(1,0)解析：选D 由f(x)＝x3＋x－2，得f′(x)＝lim＝lim＝lim[3x2＋1＋(Δx)2＋3x·Δx]＝3x2＋1.设点P(x0，y0)，则有3x＋1＝4，解得x0＝－1或x0＝1.又点P(x0，y0)在曲线f(x)＝x3＋x－2上，所以y0＝－4或y0＝0，所以点P的坐标为(－1，－4)或(1,0)．故选D.3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则( )A．2f′(2)<f(4)－f(2)<2f′(4)B．2f′(4)<2f′(2)<f(4)－f(2)C．2f′(2)<2f′(4)<f(4)－f(2)D．f(4)－f(2)<2f′(4)<2f′(2)解析：选A 由图可知，经过点(2，f(2))和点(4，f(4))的割线的斜率大于曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率，且小于曲线y＝f(x)在点(4，f(4))处的切线斜率，即f ′(2)<<f′(4)，所以2f′(2)<f(4)－f(2)<2f′(4)．故选A.4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________．解析：设P(x0,2x＋4x0)，则f′(x0)＝lim＝lim ＝4x0＋4.又∵f′(x0)＝16，∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3,30)．答案：(3,30)5．已知曲线f(x)＝－x3＋2x2－3x＋1.(1)求该曲线的斜率为－3的切线方程；(2)当曲线的切线斜率最大时，切点为P，过点P作直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值．解：(1)f′(x)＝lim＝－x2＋4x－3.由－x2＋4x－3＝－3，解得x＝0或x＝4.又f(0)＝1，f(4)＝－.∴所求切线方程为y－1＝－3x或y＋＝－3(x－4)，即3x＋y－1＝0或9x＋3y－35＝0.(2)∵f′(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，∴当x＝2时，切线的斜率取得最大值1，此时点P的坐标为.由题意，设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，∴＋＝1.S△OAB＝ab＝ab2＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即a＝6b时取“＝”．将a＝6b代入＋＝1，解得a＝4，b＝.∴△AOB面积的最小值为.。
高中数学北师大必修2课时跟踪检测：(十二) 柱、锥、台的体积
课时跟踪检测（十二） 柱、锥、台的体积层级一 学业水平达标1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm 3 B ．60 cm 3 C ．64 cm 3D ．125 cm 3解析：选B 长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 cm 3. 2．(重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2π B.13π6 C.7π3D.5π2解析：选B 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.3．如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A ．6 3B ．9 3C ．8 3D ．12解析：选B 由三视图可知直观图是四棱柱，故V ＝3×3×3＝9 3. 4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323cm 3 D.403cm 3 解析：选C 由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．5．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋4B ．2π＋8C ．4π＋4D ．4π＋8解析：选B 由三视图知该几何体的上面是一个半圆柱，下面是一个长方体，则由三视图的尺寸知该几何体的体积为V ＝1×2×4＋12×π×12×4＝8＋2π.6．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________. 解析：设底面半径为r ，则13πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3.答案： 37．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.答案：83π8．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为________．解析：该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3×2×4－3×12×π×12＝24－3π2.答案：24－3π29．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． 解：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ， 则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π， 得r ＝157， 圆锥的高h ＝35·157，V ＝13πr 2h ＝13π×157×35×157＝2537π. 10．如图，棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是棱锥的高．若VM ＝4 cm ，AB ＝4 cm ，VC ＝5 cm ，求锥体的体积．解：∵VM 是棱锥的高， ∴VM ⊥MC . 在Rt △VMC 中， MC ＝VC 2－VM 2＝52－42＝3(cm)，∴AC ＝2MC ＝6(cm)． 在Rt △ABC 中， BC ＝AC 2－AB 2＝62－42＝25(cm)．S 底＝AB ·BC ＝4×25＝85(cm 2)， ∴V 锥＝13S 底h ＝13×85×4＝3253(cm 3)．∴棱锥的体积为3253cm 3.层级二 应试能力达标1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4πD ．8π解析：选B 设圆柱的底面半径为r ， 则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π， 所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.2．如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C ∵V C -A ′B ′C′＝13V 柱＝13，∴V C -AA ′B ′B ＝1－13＝23. 3．(浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 3解析：选B 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，则该几何的体积V ＝V 四棱锥＋V 三棱柱＝4×6×3＋12×4×3×3＝90(cm 3)．4．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为⎝⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积( )A.89πB.827πC.24(2－1)3πD.8(2－1)3π解析：选A 由三视图知原工件为一圆锥，底面半径为1，母线长为3，则高为32－12＝22，设其内接正方体的棱长为x ，则2x 2＝22－x 22，∴x ＝223.∴V 新工件＝x 3＝16227. 又V 原工件＝13π×12×22＝22π3，∴V 新工件V 原工件＝1622722π3＝89π.故选A. 5．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 解析：如图，设点C 到平面PAB 的距离为h ，三角形PAB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E -ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14. 答案：146．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P -A 1MN 的体积是________．解析：由三视图易知几何体ABC -A 1B 1C 1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱， 则VP -A 1MN ＝VA 1-PMN ＝V A -PMN . 又S △PMN ＝12MN ·NP ＝12×12×1＝14，A 到平面PMN 的距离h ＝12，∴V A -PMN ＝13S △PMN ·h ＝13×14×12＝124. 答案：1247．如图，三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1-ABC ，三棱锥B -A 1B 1C ，三棱锥C -A 1B 1C 1的体积之比．解：设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1-ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB -A 1B 1C ＝V 台－VA 1-ABC －VC -A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ，∴所求体积比为1∶2∶4.8．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在其内部有一个高为x cm 的内接圆柱． (1)求圆锥的侧面积．(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值． 解：(1)圆锥的母线长为62＋22＝210(cm)，∴圆锥的侧面积S 1＝π×2×210＝410π(cm 2)． (2)画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm ，由题意，知r 2＝6－x6，∴r ＝6－x3，∴圆柱的侧面积S 2＝2πrx ＝2π3(－x 2＋6x )＝－2π3[(x －3)2－9]， ∴当x ＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm 2.。
2019-2020学年新教材高中数学课时跟踪检测十二数据的直观表示新人教B版必修第
课时跟踪检测（十二）数据的直观表示A级——学考水平达标练1．下列关于茎叶图的叙述正确的是( )A．将数组的数按位数进行比较，将数大小基本不变或变化不大的位作为一个主杆(茎)，将变化大的位的数作为分枝(叶)，列在主杆的后面B．茎叶图只可以分析单组数据，不能对两组数据进行比较C．茎叶图不能表示三位数以上的数据D．画图时茎要按照从小到大的顺序从下向上列出，共茎的叶可随意同行列出解析：选A 由茎叶图的概念易知选A.2．某市4月份日平均气温统计图情况如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是( )A．13,13 B．13,13.5C．13,14 D．16,13解析：选C ∵这组数据中，13出现了10次，出现次数最多，∴众数是13.∵第15个数和第16个数都是14，∴中位数是14.故选C.3．如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知( )甲乙081247322199875433 694445 2AB．乙运动员的成绩好于甲运动员C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D．甲运动员的最低得分为0分解析：选A 由茎叶图可以看出甲的成绩都集中在30～50分，且高分较多．而乙的成绩只有一个高分52分，其他成绩比较低，故甲运动员的成绩好于乙运动员的成绩．4．(多选题)某企业为了解员工给灾区“爱心捐款”的情况，随机抽取部分员工的捐款金额整理绘制成如图所示的直方图，根据图中信息，下列结论正确的是( )A．样本中位数是200元B．样本容量是20C．该企业员工捐款金额的极差是450元D．该企业员工最大捐款金额是500元解析：选BCD 对于A，共2＋8＋5＋4＋1＝20人，中位数为10和11的平均数，故中位数为150元，错误；对于B，共20人，故样本容量为20，正确；对于C，极差为500－50＝450元，正确；对于D，该企业员工最大捐款金额是500元，正确．5．某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20，则a的估计值是( )A．130 B．140C．133 D．137解析：选C由已知频率分布直方图可以判断a∈(130,140)，所以[(140－a)×0.015＋0.01×10]×100＝20，解得a≈133，故选C.甲乙9883372109●96.是89，则污损的数字是________．解析：设污损的叶对应的成绩是x，由茎叶图可得89×5＝83＋83＋87＋x＋99，所以x＝93，故污损的数字是3.答案：37．某班学生A ，B 在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生A 的平均成绩与学生B 的成绩的众数相等，则m ＝________.解析：由题意，得73＋79＋82＋85＋(80＋m )＋83＋92＋938＝84，解得m ＝5.答案：58．某市共有5 000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组 频数 频率 [80,90) ①② [90,100) 0.050 [100,110)0.200 [110,120) 360.300 [120,130)0.275 [130,140) 12③ [140,150]0.050 合计④________．解析：由位于[110,120)的频数为36，频率＝36n＝0.300，得样本容量n ＝120，所以[130,140)的频率为12120＝0.100，故②处应为1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.100－0.050＝0.025，①处应为0.025×120＝3.答案：3 0.025B 级——高考水平高分练1．(多选题)以下是某手机店1～4月份的统计图，分析统计图，四个同学对3、4月份三星手机的销售情况得出了以下四个结论，其中错误的是( )A ．4月份三星手机销售额为65万元B ．4月份三星手机销售额比3月份有所上升C ．4月份三星手机销售额比3月份有所下降D ．3月份与4月份的三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额解析：选ACD 4月份三星手机销售额为65×17%＝11.05万元，故A 错误；3月份三星手机销售额为60×18%＝10.8万元，4月份三星手机销售额为65×17%＝11.05万元，故B 正确，C 、D 错误．2．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x ，则( )A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0＜xC ．m e ＜m 0＜xD ．m 0＜m e ＜x解析：选D 由题目所给的统计图可知，30个数据按大小顺序排列好后，中间两个数为5,6，故中位数为m e ＝5＋62＝5.5.又众数为m 0＝5，平均值x ＝130(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)＝17930，∴m 0＜m e ＜x .3．(多选题)某班三位同学的数学测试成绩及班级平均分的关系图如下所示其中说法正确的是( )A ．王伟同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定B ．张诚同学的数学学习成绩波动较大C ．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平D ．在6次测试中，每一次成绩都是王伟第1，张诚第2，赵磊第3解析：选ABC 从图中看出王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张诚同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高，第6次测试张诚没有赵磊的成绩好．故选ABC.4．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 s 与19 s 之间．将测试结果按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于13 s 且小于14 s ；第二组，成绩大于等于14 s 且小于15 s ；……；第六组，成绩大于等于18 s 且小于等于19 s ．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17 s 的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15 s 且小于17 s 的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可以分析出x 和y 分别为________．解析：从频率分布直方图容易观察出各段中分布人数分别为1,9,18,17,3,2，∴成绩小于17 s 的人数为1＋9＋18＋17＝45，故x ＝4550＝0.9，y ＝18＋17＝35.答案：0.9,355．在每年的春节后，某市政府都会发动公务员参加植树活动，林业部门在植树前，为了保证树苗的质量，将在植树前对树苗进行检测，现从同一种树的甲，乙两批树苗中各抽测了10株树苗，量出它们的高度如下(单位：厘米)：甲：37,21,31,20,29,19,32,23,25,33乙：10,30,47,27,46,14,26,10,44,46(1)你能用适当的统计图表示上面的数据吗？(2)根据你所画的统计图，对甲，乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论．解：(1)在如图所示的茎叶图中，中间的数字表示每株树苗高度的十位数，两边的数字分别表示个位数．(2)统计结论(写出以下任意两个即可)：①甲批树苗比乙批树苗高度整齐；②甲批树苗的高度大多集中在均值附近，乙批树苗的高度分布较为分散；③甲批树苗的平均高度小于乙批树苗的平均高度；④甲批树苗高度的中位数为27 cm，乙批树苗高度的中位数是28.5 cm.。
人教A版必修2数学 课时跟踪检测(十二) 直线与平面垂直的判定
课时跟踪检测（十二）直线与平面垂直的判定层级一学业水平达标1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β解析：选B A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D 中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线()A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能解析：选D在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC 与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面．故选D.3．下列四个命题中，正确的是()①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④解析：选D①②不正确．4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：选C∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.5.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°解析：选A∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝1 2，即∠ABO＝60°.6．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．答案：a，b相交7.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.答案：45°8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD 一定是________．解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又BD⊥PC，PA∩PC ＝P，∴BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.∴平行四边形ABCD为菱形.答案：菱形9.如图，在四面体A-BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG.又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.∵EF＝2，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.10.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值．解：如图，取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC 1D 1于O ，连接AO ，B 1C .由ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，易得B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥D 1C 1，BC1∩D 1C 1＝C 1，BC 1⊂平面ABC 1D 1，D 1C 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C⊥平面ABC 1D 1.∵E ，F 分别为A 1B 1，CD 的中点，∴EF ∥B 1C ，∴EF ⊥平面AC 1，即∠EAO 为直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角．在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12B 1C ＝22， AE ＝A 1E 2＋AA 21＝ ⎝⎛⎭⎫122＋12＝52， ∴sin ∠EAO ＝EO AE ＝105. ∴直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为105. 层级二 应试能力达标1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是 ( )A ．平面DD 1C 1CB ．平面A 1DB 1C ．平面A 1B 1C 1D 1D ．平面A 1DB答案：B2．下面四个命题：①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．其中正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①②D ．③④ 解析：选B 过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.3．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αB ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m解析：选B 根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B 正确．4．如图，在下列四个正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD 1与平面EFG 不垂直的是( )解析：选D 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，M ，N ，Q 均为所在棱的中点，且EFMNQG 是一个平面图形，直线BD 1与平面EFMNQG 垂直，并且选项A 、B 、C 中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项D 直线BD 1与平面EFG 不垂直．故选D.5.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是AD 的中点，F 是BB 1的中点，则直线EF 与平面ABCD 所成角的正切值为________．解析：连接EB ，由BB 1⊥平面ABCD ，知∠FEB 即直线EF 与平面ABCD 所成的角．在Rt △FBE 中，BF ＝1，BE ＝5，则tan ∠FEB ＝55.答案：556.如图所示，将平面四边形ABCD 沿对角线AC 折成空间四边形，当平面四边形ABCD 满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设AC 与BD 交于E ，假设AC ⊥BD ，则AC ⊥DE ，AC ⊥BE .折叠后，AC 与DE ，AC 与BE 依然垂直，所以AC ⊥平面BDE ，所以AC ⊥BD .若四边形ABCD 为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC ⊥BD .答案：AC ⊥BD (或四边形ABCD 为菱形、正方形等)7.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝54，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝10.求证：D′H⊥平面ABCD.证明：由已知得，AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF，得AEAD＝CFCD，故AC∥EF.因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4.由EF∥AC得OHDO＝AEAD＝14，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD.8.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1的中点．(1)求证C1D⊥平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．证明：(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩C1D＝D，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝2，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.。
【高中数学】课时跟踪检测(十二) 不等式及其性质
课时跟踪检测（十二） 不等式及其性质A 级——学考水平达标练 1．若x ∈R ，y ∈R ，则( ) A ．x 2＋y 2>2xy －1B ．x 2＋y 2＝2xy －1C ．x 2＋y 2<2xy －1D ．x 2＋y 2≤2xy －1解析：选A 因为x 2＋y 2－(2xy －1)＝x 2－2xy ＋y 2＋1＝(x －y )2＋1>0，所以x 2＋y 2>2xy －1，故选A.2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b －c B ．(a －b )c 2≥0 C ．ac >bcD.b a ≤b ＋c a ＋c解析：选B 由a ，b ，c ∈R ，且a >b ，可得a －b >0，因为c 2≥0，所以(a －b )c 2≥0. 3．设0<α<π2，0≤β≤π2，则2α－β3的范围是( )A ．0<2α－β3<5π6B ．－π6<2α－β3<5π6C ．0<2α－β3<πD ．－π6<2α－β3<π解析：选D 由已知，得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π.4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1解析：选A 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1， ∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0. 5．已知a >b >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB ．a ＋1a ≥b ＋1bC.b a >b ＋1a ＋1D ．b －1b >a －1a解析：选A 因为a >b >0，所以1b >1a >0， 所以a ＋1b >b ＋1a ，故选A. 6．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．解析：∵x1＋x2－12＝2x－1－x22(1＋x2)＝－(x－1)22(1＋x2)≤0，∴x1＋x2≤12.答案：x1＋x2≤127．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推得1a<1b成立的是________(填序号)．解析：1a<1b⇔b－aab<0，所以①②④能使它成立．答案：①②④8．已知三个不等式①ab>0；②ca>db；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．解析：若ab>0，ca>db成立，不等式ca－db>0两边同乘ab，可得bc－ad>0，即①②⇒③；若bc>ad，ab>0成立，不等式bc－ad>0两边同除以ab可得ca－db>0，即③①⇒②；由②得bc－adab>0，又由③得bc－ad>0，所以ab>0，即②③⇒①.所以可以组成3个正确命题．答案：39．比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.解：∵x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)2(x2＋1)≥0，∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2，当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.综上可知，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时等号成立．10．(1)已知a<b<0，求证：ba<a b；(2)已知a>b，1a<1b，求证：ab>0.证明：(1)由于ba－ab＝b2－a2ab＝(b＋a)(b－a)ab，∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0.∴(b ＋a )(b －a )ab <0. 故b a <ab.(2)∵1a <1b ，∴1a －1b <0，即b －a ab <0，而a >b ，∴b －a <0，∴ab >0. B 级——高考水平高分练1．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件： ①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .则将a ，b ，c ，d 按照从小到大的次序排列为________． 解析：由②得a ＝c ＋d －b 代入③得c ＋d －b ＋d <b ＋c ，∴c <d <b . 由②得b ＝c ＋d －a 代入③得a ＋d <c ＋d －a ＋c ，∴a <c . ∴a <c <d <b . 答案：a <c <d <b 2．已知|a |<1，则11＋a与1－a 的大小关系为________． 解析：由|a |<1，得－1<a <1. ∴1＋a >0,1－a >0.即11＋a 1－a ＝11－a 2∵0<1－a 2≤1，∴11－a 2≥1，∴11＋a≥1－a . 答案：11＋a≥1－a 3．已知1≤a －b ≤2,2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围． 解：令4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，－m ＋n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.又∵1≤a －b ≤2，∴3≤3(a －b )≤6，又∵2≤a ＋b ≤4，∴5≤3(a －b )＋(a ＋b )≤10， 即5≤4a －2b ≤10.故4a －2b 的取值范围为[5,10]． 4．已知a >b >0，c <d <0.求证：3a d <3b c . 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0，∴0<－1c <－1d.又∵a >b >0，∴－a d >－bc >0，∴3－a d > 3－bc ，即－3a d >－3b c ，两边同乘以－1，得3a d <3bc .高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。