高三高考平面向量题型总结,经典.
1 平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②,,cbba则ca；③,//,//cbbaca// ④若CDAB，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC的取值范围__________ 例2.化简下列向量
（1）PMQPMNNQ （2）)()()(MBPMABCQBCBP （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则；
ba是以a，b为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：
例1.（09 山东）设P是三角形ABC所在平面内一点，BPBABC2，则 A.0PBPA B.0PCPA C.0PBPC D.0PCPBPA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AOADAB ，则.______ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律
（二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PBPAOBOABA （终点向量减始点向量） 2
在平行四边形中，已知以a、b为邻边的平行四边形中，baba,分别为平行四边形的两条对角线，当baba时，此时平行四边形是矩形。
例1.已知8,6ba，且baba，则baba=______ 例2.设点M是BC的中点，点A在线段BC外，BC=16，ACABACAB，则____AM 向量的加减运算：
例1.（08辽宁）已知、OA、B是平面内的三个点，直线AB上有一点C，满足CB→+2AC→=0，则OC→=______ A.2OA→-OB→ B.—OA→+2OB→ C. 32OA→—31OB→ D. —31OA→+32OB→
例2.(15课标全国I）设D是三角形ABC所在平面内一点，CDBC3，则______ A.ACABAD3431 B.ACABAD3431 C.ACABAD3134 D.ACABAD3134 例3.（12全国）在ABC中，AB边上的高为CD,CB→=a, CA→=b,a•b=0, 2,1ba,则AD→=______
例4.（10全国）在ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若CB→=a, CA→=b,2,1ba，则CD→=________ 例5.在ABC中，设D为边BC的中点, E为边AD的中点,若BE→=mAB→+nAC→，则m+n=___ 例6.（15北京理）在ABC中，点NM,满足NCBNMCAM,2，若ACyABxMN，则_________yx
例7.（13江苏）设D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，若BCBEABAD32,21，若DE→=1AB→
+2AC→(1,2为实数)，则1+2=_________ 例8.（12东北四市一摸）在ABC中，设P为边BC的中点，内角CBA,,的对边cba,,，若cAC→+aPA→+bPB→=0，则ABC的形状为________ 3
(三）实数与向量的积： 1.定义：实数与非零向量a的乘积a是一个向量，它的长度是__________.它的方向是_________________________________________________________.当0时，_______ 2.数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。
3.运算律：设a、b是任意向量，,是实数，则实数与向量的积适合以下运算：
4.向量共线的判断：（平行向量的基本定理） ①如果ba，则ba//；若ba//，0b，则存在唯一的实数，使得ba. ②若a、b是两个不共线的非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数,，使________.
③若22122111,eebeea，21,ee不共线，ba//，则在有意义的前提下，2121 例1.（15课标全国II）设向量若a、b是两个不平行的向量，向量ba与ba2平行，则____ 例2.（09湖南）对于非零向量,,ab“0ab”是“//ab”的___ A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
例3.（12四川）设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使||||abab成立的充分条件是 A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 5.单位向量 给定一个向量a，与a同方向且长度为1的向量叫做a的单位向量，即_______________ 重要结论： 已知ABC，O为定点，P为平面内任意一点.
①PA→+PB→+PC→=0_______________________________________________. ②若OP→=31OA→+OB→+OC→，则P为ABC__________________________
③若OP→=OA→+（AB→+AC→），),0(，则P点的轨迹__________________. ④若OP→=OA→+_________,),0(,则P点的轨迹通过ABC的内心 ⑤若__________________________,则P点的轨迹是ABC的外心 ⑥若__________________________,则P点的轨迹是ABC的垂心
例1.（10湖北）在ABC中，点M满足MA→+MB→+MC→=0，若存在实数m，使得AB→+AC→=mAM→，则m=________. 例2.在ABC中，重心为G，若0sin3sin3sin2GCCGBBGAA，则_____cosB 4
例3.在ABC中，重心为G，若033GCGBbGAa，则_____A 三、平面向量的基本定理 (一）平面向量基本定理内容：
如果1e、2e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,，
使__________________,其中1e、2e是一组基底，记作_______._____________叫做向量a关于基底的分解式。平面向量基本定理是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础。 注意：只要是不共线的两个向量都可以作为基底，因为零向量与任一向量都平行，所以零向量一定不能作为基底；基底不唯一；任一向量可以由一组基底来表示，但表示方法是唯一的。
例1.（14福建）在下列向量组中，可以把向量)2,3(a表示出来的是______
A.)2,1(),0,0(21ee B.)2,5(),2,1(21ee C.)10,6(),5,3(21ee D.)3,2(),3,2(21ee 例2.（09安徽）在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，BC的中点，若 AFAEAC，则_____ （二）平面向量基本定理与向量共线条件的综合应用 设BA,是直线l上两点，O是直线外一点，对于直线上任意一点P，存在Rt，使___________________________成立.反之，满足上式的点P在直线l上. 特别地，当P为BA,的中点时，则_________________________.
例1.已知、OA、B是平面内的三个点，线段BA的延长线上有一点C，满足3AC→+CB→=0 则OC→=____ A.3OA→-2OB→ B.—2OA→+3OB→ C. 23OA→—21OB→ D. —21OA→+23OB→
例2.数列na是等差数列，其前n项和为nS，若平面上的三个不共线的向量OA→、OB→、OC→满足OB→=1aOA→+2006
a
OC→，且CBA,,三点共线，则_____2006S 例3.已知向量ji,不共线，且AB→=jmi，AD→jin，若DBA,,三点共线，则实数nm,应满足的条件_____ A. 1nm B. 1nm C. 1mn D. 1mn
例4.（07江西）如图，在ABC中，设O为边BC的中点，过点O的直线交直线AB、AC于不同两点NM,.
若AB→=mAM→，AC→=nAN→，则m+n=___mn的最大值为_______
(完整版)高中数学平面向量知识点总结及常见题型
平面向量一.向量的基本概念与基本运算1①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0｜a｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x2121y y x x2求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC uuu r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a =a； (ii) a +(a )=(a )+a =0 ； (iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：(b a b a求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =a6如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示 1在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r作为基底量的基本定理知，该平面内的任一向量a r 可表示成a xi yj r r r，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r 的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr (2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r，则1212a b x x y y r r若a b rr ，则02121 y y x x3及其各运算的坐标表示和性质三．平面向量的数量积 1已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r ︱·︱b r ︱cos 叫做a r 与b r的数量积（或内积） 规定0a r r2︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影为射影3a r ·b r 等于a r的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积42||a a a a r r r r52222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =r7已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =121x x y y 已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800 ）叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r =222221212121y x y x y y x x当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点. （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD u u u r u u u r. （5）若AB CD u u u r u u u r，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形.（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.（7）若a r 与b r 共线， b r 与c r 共线，则a r 与c r共线. （8）若ma mb r r ，则a b r r.（9）若ma na r r，则m n .（10）若a r 与b r 不共线，则a r 与b r都不是零向量. （11）若||||a b a b r r r r，则//a b r r . （12）若||||a b a b r r r r，则a b r r .题型2.向量的加减运算1.设a r 表示“向东走8km ”, b r 表示“向北走6km ”,则||a b r r.2.化简()()AB MB BO BC OM u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r.3.已知||5OA u u u r ,||3OB u u u r ,则||AB uuu r的最大值和最小值分别为 、 .4.已知AC AB AD u u u r u u u r u u u r 为与的和向量，且,AC a BD b u u u r r u u u r r ，则AB u u u r ，AD u u u r.5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB u u u r u u u r ,则AC u u u r BC uuu r ，AB u u u rBC uuu r .题型3.向量的数乘运算1.计算：（1）3()2()a b a b r r r r （2）2(253)3(232)a b c a b c r r r r r r2.已知(1,4),(3,8)a b r r ，则132a b rr .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b r r ，如下图，请做出向量132a b r r和322a b r r .a rb r题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC u u u r u u u r ，表示AD u u u r. 2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b u u u r u u u r rr ，求AB AD u u u r u u u r 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB u u u r，(2,3)A ，则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ u u u r，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F r ,2(2,3)F r ,3(1,4)F r,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a r，(5,2)b r ，求a b r r ，a b r r ，32a b r r .5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y r与AB u u u r 相等，求,x y 的值. 6.已知(2,3)AB u u u r ，(,)BC m n u u u r ，(1,4)CD u u u r ，则DA u u u r.7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B ，且30AB BC u u u r u u u r r ，求OC uuu r的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e u r u u r u r u u r 和 B.1221326e e e e u r u u r u u r u r 和4 C.122133e e e e u r u u r u u r u r 和 D.221e e e u u r u u r u r 和2.已知(3,4)a r ，能与a r构成基底的是（ ） A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55 D.4(1,)3题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA u u u r ，150xOA o，求OA u u u r 的坐标.2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||OA u u u r ，60xOA o，求OA u u u r 的坐标.题型9.求数量积1.已知||3,||4a b r r ，且a r 与b r 的夹角为60o，求（1）a b r r ，（2）()a a b r r r ， （3）1()2a b b r r r ，（4）(2)(3)a b a b r r r r .2.已知(2,6),(8,10)a b r r ，求（1）||,||a b r r ，（2）a b r r ，（3）(2)a a b rr r ，（4）(2)(3)a b a b r r r r.题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b r r，12a b r r ，求a r 与b r 的夹角.2.已知(2)a b r r，求a r 与b r 的夹角.3.已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC . 题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b r r ，且a r 与b r 的夹角为60o，求（1）||a b r r ，（2）|23|a b r r .2.已知(2,6),(8,10)a b r r ，求（1）||,||a b r r ，（5）||a b r r ，（6）1||2a b rr .3.已知||1||2a b r r ，，|32|3a b r r ，求|3|a b r r .题型12.求单位向量 【与a r 平行的单位向量：||ae a rr r 】1.与(12,5)a r平行的单位向量是 . 2.与1(1,)2m r平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a r，(3,)b m r ，当m 为何值时，（1）//a b r r ？（2）a b r r ？2.已知(1,2)a r，(3,2)b r ，（1）k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r 垂直？ （2）k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r平行？3.已知a r 是非零向量，a b a c r r r r ，且b c r r ，求证：()a b c r rr .题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A ，(2,2)B ，(3,4)C ，求证：,,A B C 三点共线.2.设5),28,3()2AB a b BC a b CD a bu u u r rr u u u r r r u u u r r r ，求证：A B D 、、三点共线.3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b u u u r r r u u u r r r u u u r r r，则一定共线的三点是 .4.已知(1,3)A ，(8,1)B ，若点(21,2)C a a 在直线AB 上，求a 的值.5.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B ，(1,1)C ，是否存在常数t ，使OA tOB OC u u u r u u u r u u u r成立？题型15.判断多边形的形状1.若3AB e u u u r r ，5CD e u u u r r ，且||||AD BC u u u r u u u r,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ，(4,3)B ，(2,4)C ，(0,2)D ，证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A ，(6,3)B ，(0,5)C ，求证：ABC 是直角三角形.4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC u u u r u u u r u u u r,求证：ABC 是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a r，(2,1)b r ，当k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r 平行？2.已知a r，且a b r r ，||2b r ，求b r 的坐标. 3.已知a b r r 与同向，(1,2)b r，则10a b r r ，求a r 的坐标.3.已知(1,2)a r ，(3,1)b r ，(5,4)c r，则c r a r b r .4.已知(5,10)a r ，(3,4)b r ，(5,0)c r，请将用向量,a b r r 表示向量c r .5.已知(,3)a m r，(2,1)b r ，（1）若a r 与b r 的夹角为钝角，求m 的范围；（2）若a r 与b r的夹角为锐角，求m 的范围.6.已知(6,2)a r，(3,)b m r ，当m 为何值时，（1）a r 与b r 的夹角为钝角？（2）a r 与br 的夹角为锐角？7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A ，(3,4)B ，(2,1)D ，且//AB DC ，2AB CD ，求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ，(1,3)B ，(3,4)C ，求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30o 角，求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC 三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(0,0)B ，(,0)C c ，（1）若0AB AC u u u r u u u r，求c 的值；（2）若5c ，求sin A 的值.【备用】1.已知||3,||4,||5a b a b r r r r ，求||a b r r 和向量,a b r r的夹角.2.已知x a b r r r ，2y a b u r r r ，且||||1a b r r ，a b r r ，求,x y r u r的夹角的余弦.1.已知(1,3),(2,1)a b r r ，则(32)(25)a b a b r r r r.4.已知两向量(3,4),(2,1)a b r r，求当a xb a b r r r r 与垂直时的x 的值. 5.已知两向量(1,3),(2,)a b r r，a b r r 与的夹角 为锐角，求 的范围.11 变式：若(,2),(3,5)a b r r ，a b r r 与的夹角 为钝角，求 的取值范围.选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c r r r ，则c r （ ） A.1322a b r r B.1322a b r r C.3122a b r r D.3122a b r r 2.排除法例：已知M 是ABC 的重心，则下列向量与AB u u u r 共线的是（ ）A.AM MB BC u u u u r u u u r u u u rB.3AM AC u u u u r u u u rC.AB BC AC u u u r u u u r u u u rD.AM BM CM u u u u r u u u u r u u u u r。
平面向量概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结五、平面向量1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||A B A B ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0 )；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如下列命题：（1）若a b =，则a b = 。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABC D 是平行四边形。
（4）若ABC D 是平行四边形，则AB DC = 。
（5）若,a b b c == ，则a c = 。
（6）若//,//a b b c ，则//a c。
其中正确的是_______（答：（4）（5））2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
平面向量知识点总结、经典例题及解析、高考题50道及答案
）））））））第五章 平面向量【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示。
2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算。
3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。
【知识梳理】一、 向量的基本概念与线性运算 1 向量的概念：（1）向量：既有大小又有方向的量，记作AB ；向量的大小即向量的模（长度），记作|AB | 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（2）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行（3）单位向量：模为1个单位长度的向量常用e 表示．（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b平行向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a= 大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x（6）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =2 向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法 向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” ．（2）向量的减法 ：求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b的差．向量的减法有三角形法则，b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a 的积的运算，记作λa．①a a⋅=λλ；②当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反； 当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的③数乘向量满足交换律、结合律与分配律3. 两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λ向量b 与非零向量a共线⇔有两个均不是零的实数λ、μ，使得0a b λμ+=．二、平面向量的基本定理与坐标表示 1 平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2. 平面向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标显然0=（0,0），(1,0)i =，(0,1)j =． （2）设OA xi y j =+.则向量OA 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标，即若OA =(x,y)，则A 点的坐标为(x,y)，反之亦成立（O 是坐标原点）． 3 平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±． （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--，1(AB x =（3）若a =(x,y)，则λa =(λx,λy)．（4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=． （5）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅． 三、平面向量的数量积 1 两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积叫做a 与b 的数量积（或内积），即a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ，规定00a ⋅=2 向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 3 向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==4 乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+．5 平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅．②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈．③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±； 特别注意：①结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅．②消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =．③a b ⋅=0不能得到a =0或b =06 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y + 7 向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b⋅<>=⋅=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题8 垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥ba ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x【经典例题】【例1】（2010全国Ⅱ，8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，ECBA CA b =，1,2a b ==，则CD = （ ）（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B ．【解析】由角平分线的性质得2AD DB =,即有22()()33AD CB CA a b =-=-．从而221()333CD CA AD b a b a b =+=+-=+．故选B ．【例2】（2009北京，2）已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ， 那么 （ ） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 【答案】D ．【解析】取a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-， 显然，a 与b 不平行，排除A 、B ．若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--， 即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D ．【例3】（2009湖南卷文）如图，D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( ) A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --= 【答案】A ． 【解析】,,AD DB AD BE DB BE DE FC =∴+=+==得0AD BE CF ++=．或0AD BE CF AD DF CF AF CF ++=++=+=．【例4】（2009宁夏海南卷文）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.16【答案】A ．【解析】向量a b λ+＝（－3λ－1，2λ），2a b -＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3λ－1，2λ）×（－1,2）＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝17-，故选A ． 【例5】（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a , （ ）A ．150° B.120° C.60° D.30° 【答案】B ．【解析】由向量加法的平行四边形法则，知a 、b 可构成菱形的两条相邻边，且a 、b 为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B ．【例6】（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= _________．【答案】43． 【解析】设BC b =、BA a =则12AF b a =- ,12AE b a =- ,AC b a =- 代入条件得2433u u λλ==∴+=． 【例7】（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________． 【答案】(0,－2)．【解析】平行四边形ABCD 中,OB OD OA OC +=+ ∴OD OA OC OB =+-＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2) 即D 点坐标为(0,－2)．【例8】（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为 BC 的中点，点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是___．【答案】2．【解析】由2AB AF =,得cos 2ABAF FAB ∠=,由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠．∵2AB =，∴22DF ⋅=，∴1DF =∴21CF =-．记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+． 又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =． ∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AEBF AEBF AE BF θαβαβαβ+-()=cos cos sin sin =122212AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯--=.本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解．【例9】(2009湖南卷理)在ABC ∆，已知2233AB AC AB AC BC ⋅=⋅=，求角A ，B ，C 的大小． 【答案】2,,663A B C πππ===． 【解析】解：设,,BC a AC b AB c ===由23AB AC AB AC ⋅=⋅得2cos 3bc A bc =，所以3cos 2A = 又(0,),A π∈因此6A π=由233AB AC BC ⋅=得23bc a =，于是23sin sin 3sin 4C B A ⋅=-所以53sin sin()64C C π⋅-=，133sin (cos sin )224C C C ⋅+=，因此 22sin cos 23sin 3,sin 23cos 20C C C C C ⋅+=-=，既sin(2)03C π-=由A=6π知506C π<<，所以3π-，4233C ππ-<，从而20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===． 【课堂练习】一、选择题1.（2012辽宁理）已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b2. (2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A. 平行于x 轴B. 平行于第一、三象限的角平分线C. 平行于y 轴D. 平行于第二、四象限的角平分线3.（2012天津文）在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,AC=2,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ=( )（ ）A ．13 B ．23C ．43D ．2 4.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( )A ．3 B.4 C ．5D ．65.（2012重庆理）设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则a b += （）A B C ．D ．106. （2009浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93B ．77(,)39--C ．77(,)39D ．77(,)93--7．（2012浙江理）设a ,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |8.（2009全国卷Ⅰ理）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -•-的最 小值为( )A.2- 2C.1-D.19.（2012天津理）已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ （ ）A ．12 B ．12± C ．12± D ．32-±10.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =( )A.B. C. 5 D. 2511.（2012大纲理）ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 12.（2008湖南）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC( )A. 反向平行B. 同向平行C. 互相垂直D. 既不平行也不垂直13.（2008广东）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a bD ．1233+a b 14.（2007湖北）设(43)=，a ，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ ）A ．(214)，B ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，15.（2012安徽理）在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ 则点Q 的坐标是 （ ） A ．(72,2)-- B ．(72,2)- C ．(46,2)-- D ．(46,2)-二、填空题16.（2012浙江文）在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________.17.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y + 的最大值是________.18.（2012上海文）在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .19.（2012课标文）已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b |=10,则|b |=_______. 20.（2012湖南文）如图4,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足为P,3AP =且APAC = _____.A DBCP21.（2012湖北文）已知向量(1,0),(1,1)a b ==,则(Ⅰ)与2a b +同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为____________.22.（2012北京文）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________. 23.（2012安徽文）设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+=,若()a c +⊥b ,则a =_____.24.（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD上,若2AB AF =,则AE BF 的值是___.25.（2012安徽理）若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则a b 的最小值是_____三、解答题26. (2009年广东卷文)（已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值 27.（2009上海卷文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- .（1） 若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； （2） 若m ⊥p ，边长c = 2，角C =3π，求ΔABC 的面积 . 28. 已知A 、B 、C 分别为ABC △的三边a 、b 、c 所对的角，向量)sin ,(sin B A m =，)cos ,(cos A B n =，且C n m 2sin =⋅.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)(=-⋅AC AB CA ，求边c 的长.【课后作业】一、选择题1.（2009辽宁卷理）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=( )A.B. C. 4 D. 22.（2009宁夏海南卷理）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )A. 重心 外心 垂心B. 重心 外心 内心C. 外心 重心 垂心D. 外心 重心 内心3.（2008安徽）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则BD =（ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）4.（2008浙江）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是( )A. 1B. 2C.2 D.225.（2007海南、宁夏）已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b（ ） A ．(21)--， B ．(21)-，C ．(10)-，D ．(12)，6.（2007湖南）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ）A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b7. （2007天津）设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中mλα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是 （ ） A ．[-6，1]B ．[48]，C ．（-6，1]D ．[-1，6]8. 在ABC BC AB ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的面积等于（ ） A ．22 B ．42 C ．23 D ．29. 已知平面向量(3,1),(,3),//,a b x a b x ==-则等于 （ ）A ．9B ．1C ．－1D ．－910. 已知a 、b 是不共线的AB a b λ=+AC a b μ=+(,)R λμ∈，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是：（ ）A ．1λμ+=B ．1λμ-=C ．1λμ=-D ．1λμ=二、填空题11. 设向量2,3,19,AB AC AB AC CAB ==+=∠=则_________.12. 若向量,2,2,()a b a b a b a ==-⊥ 满足，则向量b a 与的夹角等于 .13. 已知平面上的向量PA 、PB 满足224PA PB +=,2AB =，设向量2PC PA PB =+，则PC 的最小值是 .14.（2008江苏）a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ． 15. （2007安徽）在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用，，a b c 表示）．16.（2007北京）已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 .17. 已知向量(cos15,sin15)a =，(sin15,cos15)b =--，则a b |+|的值为 .18.（2007广东）若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝ .三、解答题19.（2009湖南卷文）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=（1）若//a b ，求tan θ的值；（2）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。
(精心整理)高中数学平面向量知识点总结及常见题型
平面向量一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB AB ，a；坐标表示法,(y x yj xi a =+=向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行量a ＝0⇔｜a｜＝0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：相等向量经过平移后总可以重合，记为b a=大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a --=a； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：(b a b a-+=-求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λ6平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1)若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2)若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3)若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4)若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5)若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质)(b a b a-+=-三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定0a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影值称为射影3数量积的几何意义：a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； （2）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =121x x y y +已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ（001800≤≤θ）叫做向量a 与bcos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点. （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的. （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =. （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形. （6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量. （7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线. （8）若ma mb =，则a b =. （9）若ma na =，则m n =.（10）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量. （11）若||||a b a b ⋅=⋅，则//a b . （12）若||||a b a b +=-，则a b ⊥. 题型2.向量的加减运算1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += .2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= .3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 .4.已知AC AB AD 为与的和向量，且,AC a BD b ==，则AB = ，AD = .5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB =,则AC = BC ，AB = BC . 题型3.向量的数乘运算1.计算：（1）3()2()a b a b +-+= （2）2(253)3(232)a b c a b c +---+-=2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-，则132a b -= .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b ，如下图，请做出向量132a b +和322a b -.a b题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，表示AD . 2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==，求AB AD 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB =，(2,3)A ，则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ =--，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a =-，(5,2)b =，求a b +，a b -，32a b -.5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等，求,x y 的值.6.已知(2,3)AB =，(,)BC m n =，(1,4)CD =-，则DA = .7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=，求OC 的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e --和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e -和2.已知(3,4)a =，能与a 构成基底的是（ ）A.34(,)55B.43(,)55C.34(,)55--D.4(1,)3--题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA =，150xOA ∠=，求OA 的坐标.2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||43OA =60xOA ∠=，求OA 的坐标.题型9.求数量积1.已知||3,||4a b==，且a与b的夹角为60，求（1）a b⋅，（2）()a a b⋅+，（3）1()2a b b-⋅，（4）(2)(3)a b a b-⋅+.2.已知(2,6),(8,10)a b=-=-，求（1）||,||a b，（2）a b⋅，（3）(2)a a b⋅+，（4）(2)(3)a b a b-⋅+.题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b==，12a b⋅=，求a与b的夹角.2.已知(3,1),(23,2)a b==-，求a与b的夹角.3.已知(1,0)A，(0,1)B，(2,5)C，求cos BAC∠.题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b==，且a与b的夹角为60，求（1）||a b+，（2）|23|a b-.2.已知(2,6),(8,10)a b=-=-，求（1）||,||a b，（5）||a b+，（6）1||2a b-.3.已知||1||2a b ==，，|32|3a b -=，求|3|a b +.题型12.求单位向量 【与a 平行的单位向量：||a e a =±】 1.与(12,5)a =平行的单位向量是 .2.与1(1,)2m =-平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a =，(3,)b m =-，当m 为何值时，（1）//a b ？（2）a b ⊥？2.已知(1,2)a =，(3,2)b =-，（1）k 为何值时，向量ka b +与3a b -垂直？ （2）k 为何值时，向量ka b +与3a b -平行？3.已知a 是非零向量，a b a c ⋅=⋅，且b c ≠，求证：()a b c ⊥-.题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A -，(2,2)B ，(3,4)C ，求证：,,A B C 三点共线.2.设2(5),28,3()2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，求证：A B D 、、三点共线.3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则一定共线的三点是 .4.已知(1,3)A -，(8,1)B -，若点(21,2)C a a -+在直线AB 上，求a 的值.5.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B -，(1,1)C ，是否存在常数t ，使OA tOB OC +=成立？题型15.判断多边形的形状 1.若3AB e =，5CD e =-，且||||AD BC =,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ，(4,3)B ，(2,4)C ，(0,2)D ，证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A -，(6,3)B -，(0,5)C ，求证：ABC ∆是直角三角形.4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=,求证：ABC ∆是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a =，(2,1)b =，当k 为何值时，向量ka b -与3a b +平行？2.已知(3,5)a =，且a b ⊥，||2b =，求b 的坐标.3.已知a b 与同向，(1,2)b =，则10a b ⋅=，求a 的坐标.3.已知(1,2)a =，(3,1)b =，(5,4)c =，则c = a + b .4.已知(5,10)a =，(3,4)b =--，(5,0)c =，请将用向量,a b 表示向量c .5.已知(,3)a m =，(2,1)b =-，（1）若a 与b 的夹角为钝角，求m 的范围；（2）若a 与b 的夹角为锐角，求m 的范围. 6.已知(6,2)a =，(3,)b m =-，当m 为何值时，（1）a 与b 的夹角为钝角？（2）a 与b 的夹角为锐角？7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A -，(3,4)B ，(2,1)D ，且//AB DC，2AB CD =，求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ，(1,3)B -，(3,4)C ，求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(0,0)B ，(,0)C c ，（1）若0AB AC ⋅=，求c 的值；（2）若5c =，求sin A 的值.【备用】1.已知||3,||4,||5a b a b ==+=，求||a b -和向量,a b 的夹角.2.已知x a b =+，2y a b =+，且||||1a b ==，a b ⊥，求,x y 的夹角的余弦.1.已知(1,3),(2,1)a b ==--，则(32)(25)a b a b +⋅-= .4.已知两向量(3,4),(2,1)a b ==-，求当a xb a b +-与垂直时的x 的值.5.已知两向量(1,3),(2,)a b λ==，a b 与的夹角θ为锐角，求λ的范围.变式：若(,2),(3,5)a b λ==-，a b 与的夹角θ为钝角，求λ的取值范围.选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c ==-=--，则c =（ ） A.1322a b -- B.1322a b -+ C.3122a b - D.3122a b -+ 2.排除法例：已知M 是ABC ∆的重心，则下列向量与AB 共线的是（ ）A.AM MB BC ++B.3AM AC +C.AB BC AC ++D.AM BM CM ++。
平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结
平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结XXX的高考数学一轮复题型归纳系列辅导资料中的第五章讲述了平面向量。
本篇文章主要介绍了平面向量的概念及线性运算。
向量可以表示大小和方向，通常用a、b、c表示，或者用有向线段的起点和终点的大写字母表示，如AB（其中A为起点，B为终点）。
向量的大小也称为向量的模，即向量的长度，记作|a|或|AB|。
长度为0的向量称为零向量，记作0，其方向是不确定的。
规定零向量与任何向量a共线（平行），即∥a。
模长为1个单位的向量叫做单位向量。
当|a|0时，很明显，a/|a|是与向量a共线（平行）的单位向量。
大小相等，方向相同的向量称为相等向量，记为a b。
大小相等，方向相反的向量称为相反向量，向量a的相反向量记为a。
方向相同或方向相反的向量称为共线向量（平行向量），因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。
向量的加法是指求两个向量和的运算。
已知向量a、b，在平面内任取一点A，作AB a，BC b，则向量AC叫做向量a和b的和（或和向量），即a b AB BC AC。
向量加法符合三角形法则和平行四边形法则。
若向量a、b不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量a、b共线时，只能用三角形法则。
三角形法则可推广至若干个向量的和。
向量的减法是指向量a与b的相反向量之和，即a b a(b)。
向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数。
向量的数乘运算是指实数与向量的积，记为a，其长度与方向规定如下：①|a||||a|；②当＞0时，a与a的方向相同；当＜0时，a与a的方向相反；当0时，a0，方向不确定。
向量数乘运算的运算律有：设，为实数，则①()a a a；②(a)()a；③(a b)a b。
共线向量基本定理：如果a b(R)，则a∥b；反之，如果XXX且b0时，一定存在唯一实数，使a b。
三点共线定理：平面内三点A,B,C共线的充要条件是，存在实数λ,μ，使OA=λOB+μOC，其中λ+μ=1，O为平面内任一点。
(完整版)高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳.docx
平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。
记作：uuur rAB 或 a 。
uuur r2.向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB |或 | a |。
r r3. 单位向量：长度为 1 的向量。
若e是单位向量，则| e| 1。
r r4.零向量：长度为 0 的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
8.三角形法则：uuur uuur AB BA。
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC AC；AB BC CD DE AE； AB AC CB （指向被减数）9.平行四边形法则：r r r r r r以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b ， a b 。
r r r r r r r r10. 共线定理：a b a / /b 。
当0 时，a与b同向；当0 时，a与b反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.r rx2y 2r 2r r r r r2向量的模：若 a(x, y) ，则| a |， a| a |2， | a b |( a b)r r r rr rcos ra br13.数量积与夹角公式： a b| a | | b | cos；| a || b |r r r r r r r r14.平行与垂直： a / / b a b x1 y2x2 y1； a b a b0x1 x2y1 y2 0题型 1. 基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（ 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是uuur uuurAB CD 。
(完整版)平面向量题型归纳总结
平面向量题型归纳一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB 或a 。
注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？〔向量可以平移〕。
例：A 〔1,2〕，B 〔4,2〕，那么把向量AB 按向量a ＝〔－1,3〕平移后得到的向量是 ：向量的大小〔或长度〕，记作：||AB 或||a 。
3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。
假设e 是单位向量，那么||1e =。
(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；6．平行向量〔也叫共线向量〕：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！〔因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 如图，在平行四边形ABCD 中，以下结论中正确的选项是 〔 〕A.AB CD =B.AB AD BD -=C.AD AB AC +=D.AD BC +=07．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 、AB BA =-。
例：以下命题：〔1〕假设a b =，那么a b =。
〔2〕假设,a b b c ==，那么a c =。
〔6〕假设//,//a b b c ，那么//a c 。
〔3〕假设AB DC =，那么ABCD 是平行四边形。
〔4〕假设ABCD 是平行四边形，那么AB DC =。
其中正确的选项是_______ 题型1、根本概念 1：给出以下命题：①假设|a |＝|b |，那么a =b ；②向量可以比拟大小；③方向不相同的两个向量一定不平行；④假设a =b ，b =c ，那么a =c ；⑤假设a //b ，b //c ，那么a //c ；⑥00a ⋅=；⑦00a ⋅=；其中正确的序号是 。
2024年高考复习数学知识点+题型12+5类平面向量解题技巧
题型125类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）技法01“爪子定理”的应用及解题技巧知识迁移形如AD xAB y AC =+条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,x y ，使得AD xAB y AC =+.则,,B C D 三点共线⇔1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n=+++（全国·高考真题）例1-1.设D 为ABC 所在平面内一点，且3BC CD =，则（）A.1433AD AB AC =-+ B.1334AD AB AC =-C.4133AD AB AC=+D.4133AD AB AC=-解析：由图可想到“爪字形图得：1344AC AB AD =+ ，解得：1433AD AB AC =-+答案：A（2023江苏模拟）例1-2．如图，在ABC 中，13AN NC = ，P 是BN 上的一点，若211AP m AB AC =+，则实数m 的值为（）A.911B.511C.311D.211解：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP m AB n AN=+，且1m n +=，由13AN NC = 可得14AN AC = ，所以14AP m AB n AC =+ ，由已知211AP m AB AC =+ 可得：12841111n n =⇒=，所以311m =答案：C（2022·全国·统考高考真题）1．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ （全国·高考真题）2．在ABC 中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（）A ．2133b c+ B ．5233c b-C ．2133b c-D ．1233b c+（2020·新高考全国1卷·统考高考真题）3．已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =，AD b =，则EF 等于（）A ．()12a b+ B ．()12a b- C ．()12b a- D ．12a b+ （全国·高考真题）4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC -C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC（江苏·高考真题）5．设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =.若12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数），则12λλ+的值是技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧知识迁移如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB=+下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ= 而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，（i ）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA k OBλλλλ=+-=+- 所以(1-)x y k k kλλ+=+=（ii ）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i ）的分析知：存在存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OBλλ'=+- 于是--(1-)-x y k k kλλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关.我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画.因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O 作AB 边的垂线l '，设点P 在l '上的射影为P '，直线l '交直线AB 于点1P ，则1||||||OP k OP '=（k 的符号由点P 的位置确定），因此只需求出||OP '的范围便知x y +的范围（全国·高考真题）例2-1．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP=λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）A ．3B ．CD ．2【系数和】分析：如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时，λμ+最大，此时33AF AB BE EF ABAB AB ABλμ+++====, 故选A .（衡水中学二模）例2-2．边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含短点）上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量(,)AP m AB n AF m n R =+∈，则m n+的取值范围是（）(][][][].1,2.5,6.2,5.3,5A B C D分析:如图，设AP mAB nAF =+ ，由等和线结论，22AG ABm n AB AB+===.此为m n +的最小值；同理，设AP mAB nAF =+ ，由等和线结论，5AHm n AB+==.此为m n +的最大值.综上可知[2,5]m n +∈.例2-3．已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上.若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的取值范围是__________【解析】如图，取AB 中点为D ，2AP AB AC AD ACλμλμ=+=+ 显然，当P 与C 重合时，2λμ+取最小值1.将CD 平行移动至与O 相切处，P 为切点时，2λμ+取最大值.延长PO 交CD 于G ，易知12OG OF FP ===.由等和线及平行截割定理，52,2EF AP FP AE ==.所以2λμ+的最大值为52.故2λμ+的取值范围是51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．27．如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点，设AP ＝αAB＋βAF（α，β∈R ），则α＋β的取值范围是.8．如图在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，13AD DC AB ===，，动点P 在以C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设(,R)AP AD AB αβαβ=+∈，则αβ+的取值范围是9．若点C 在以P 为圆心，6为半径的弧 AB 上，且120APB ∠=，PC = xPA yPB + ，则23x y +的取值范围为（2023·浙江·高三专题练习）10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，AB ∥DC ，2AB =，1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yAC =+，其中x y R ∈，，则4x y -的取值范围是（）A ．32234⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，B ．5232⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，C ．253342⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，D ．17173322⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，技法03极化恒等式的应用及解题技巧知识迁移极化恒等式22()()4a b a b a b +--⋅=恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b==则22()()4AB AD AB AD a b +--⋅=在上述图形中设平行四边形ABCD 对角线交于M 点，则对于三角形来说:2222()()||||44AB AD AB AD DB a b AM +--⋅==-（全国·高考真题）例3-1．设向量,a b 满足||10a b +，||6a b -= a b （）A ．1B ．2C ．3D ．5由极化恒等式可得：2222()()144a b a b a b a b a b +--+--⋅=== ，故选A ．（2023·全国·统考高考真题）例3-2．正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5设CD 中点为O 点，由极化恒等式可得：22134EC ED EO DC ⋅=-= 故选：B.（江苏·高考真题）11．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4⋅=BA CA ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅uur uur的值是.12．如图，在ABC ∆中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点,D E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE == ，点F 为DE 中点，则BF DE的值为.13．在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-技法04奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧知识迁移1.奔驰定理如图，已知P 为ABC 内一点，则有0PBC PAC PABS OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.2.奔驰定理的证明如图：延长OA 与BC 边相交于点D则BOD ABD BOD ABD ACD COD ACD COD AOC AOBS S S S S BD DC S S S S S -===- DC BD OD OB OCBC BC=+ AOC AOBAOC AOB AOC AOBS S OB OC S S S S =+++ BOD COD BOD CODBOA COA BOA BOC AOC AOB COA S S S S S OD OA S S S S S S +====++BOC AOC AOBS OD OAS S ∴=-+ BOC AOC AOBAOC AOB AOC AOB AOC AOBS S S OA OB OCS S S S S S ∴-=++++ 0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∴⋅+⋅+⋅=3.奔驰定理的推论及四心问题推论O 是ABC 内的一点，且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=，则::::BOC COA AOB S S S x y z=△△△有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r .（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点O 在ABC 内部，有以下四个推论：①若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=；②若O 为ABC 的外心，则sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；或OA OB OC== ③若O 为ABC 的内心，则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=；备注：若O 为ABC 的内心，则sin sin sin 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 也对.④若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，或OA OB OB OC OC OA⋅=⋅=⋅ （宁夏·高考真题）例4-1．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（）（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D．外心重心内心因为OA OB OC == ，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++= ，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-= ，所以2NE CN = ，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅= ，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC∆的垂心，故选C.（江苏·高考真题）例4-2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,[)0λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D．垂心【详解】OP OA AP -= ，()||||AB ACAP AB AC λ∴=+令||||AB ACAM AB AC +=，则AM 是以A 为始点，向量||ABAB与||AC AC 为邻边的菱形的对角线对应的向量，即AM →在BAC ∠的平分线上，AP AM λ= ，,AP AM ∴ 共线，故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故选：B（2023·全国·高三专题练习）例4-3．奔驰定理：已知点O 是ABC 内的一点，若,,BOC AOC AOB 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是ABC 的垂心，且230OA OB OC ++=，则cos C =（）A ．31010B ．1010C ．255D ．55【详解】延长CO 交AB 于点P ，O 是ABC 的垂心，OP AB ∴⊥，1211::22S S OC BP OC AP ⎛⎫⎛⎫∴=⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:(tan ):(tan )BP AP OP POB OP POA ==∠∠tan :tan tan():tan()tan :tan COB COA A B A B ππ=∠∠=--=．同理可得13:tan :tan S S A C =，231::tan :tan :tan S S S A B C ∴=．又1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，tan tan tan 0A OA B OB C OC ∴⋅+⋅+⋅=．又230OA OB OC ++= ，tan :tan :tan 1:2:3A B C ∴=．不妨设tan ,tan 2,tan 3A k B k C k ===，其中0k ≠．tan tan tan tan()1tan tan B CA B C B C +=-+=-- ，23123k kk k k+∴=--⋅，解得1k =±．当1k =-时，此时tan 0,tan 0,tan 0A B C <<<，则A ，B ，C 都是钝角，不合题意，舍掉．故1k =，则tan 30C =>，故C 为锐角，∴22sin 3cos sin cos 1CC C C ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得cos 10C =，故选：B．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）14．若O 是ABC 内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心（2023·江苏·高三专题练习）15．在ABC 中，若HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅，则点H 是ABC 的（）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心（2023春·湖南株洲·高三炎陵县第一中学校联考期末）16．如图.P 为ABC 内任意一点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，总有优美等式0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（）A ．若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=B ．若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心C ．若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△D ．若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+ ，则)m n ⎡+∈⎣技法05范围与最值的应用及解题技巧（浙江·高考真题）例5-1．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-= ，则c的最大值是（）A ．1B ．2C ．D ．【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．（四川·高考真题）例5-2．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ，DA ⋅ DB =DB ⋅ DC =DC ⋅ DA =–2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC，则2BM 的最大值是（）A ．434B ．494C ．37634+D ．372334+【详解】试题分析：由已知易得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()((2,0,1,3,3.A B C --设(),,P x y 由已知1AP = ，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()(222+1334x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点(1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎫∴=+=⎪⎭，故选B.（2023·全国·高三专题练习）例5-3．若平面向量a ，b ，c 满足1c = ，1a c ⋅= ，3b c ⋅= ，2a b ×=，则a ，b 夹角的取值范围是（）A ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】设OA a = ，OB b = ，OC c = ，以O 为原点，c方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系，10a c ⋅=> ，30b c ⋅=> ，20a b ⋅=>，a ∴ ，b ，c三者直接各自的夹角都为锐角，1c =，cos ,1a c a c a c ⋅=⋅= ，c s 3o ,b c b c b c ⋅⋅== ，cos ,1a a c ∴= ，,3cos b b c = ，即a 在c 上的投影为1，b 在c 上的投影为3，()1,A m ∴，()3,B n，如图()1,a m ∴=，()3,b n = 32a mn b =∴+=⋅即1mn =-，且cos ,a b a b a b ⋅==⋅则2222222244cos ,99109a b n m m n n m ===+++++ ，由基本不等式得22966n m mn +≥==，21cos ,4a b ∴≤ ，a 与b的夹角为锐角，10cos ,2a b ∴<≤ ，由余弦函数可得：a 与b 夹角的取值范围是ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭，（湖南·高考真题）17．已知,a b 是单位向量，0a b = .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦（湖南·高考真题）18．已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC++的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．9（2023·全国·高三专题练习）19．已知平面向量a OA = ，b OB = ，c OC =，满足241OC AC OA ⋅=- ，241OB CB OC ⋅=- ，则向量4a b - 与2c b -所成夹角的最大值是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测）20．已知平面向量a ，b ，c 满足1a = ，2b = ，2a a b =⋅ ，22c b c =⋅，则22c a c b-+- 的最小值为.（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）21．在平面内，定点,,,A B C O ，满足2OA OB OC === ，且0OA OB OC ++=，则AB =；平面内的动点,P M 满足1AP = ，PM MC =，则2||BM 的最大值是．参考答案：1．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+．故选：B ．2．A【详解】试题分析：，故选A ．3．A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC 的中位线，∴111222EF AC a b ==+ ，故选：A 4．A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．12【详解】依题意，121212()232363DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+，∴121263AB AC AB AC λλ-+=+ ，∴116λ=-，223λ=，故12121632λλ+=-+=.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.6．A【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r ，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-= ，若满足AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r ，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A .【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.7．[3，4]【详解】直线BF 为k ＝1的等和线，当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的，所以α＋β∈[，]＝[3，4].8．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆方程，设(,)P x y ，再根据(,R)AP AD AB αβαβ=+∈，可求出点P 的坐标，再根据P 在圆内，可得关于,αβ的一个不等关系，设t αβ+=，进而可得出答案.【详解】如图所示以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,3,0,1,1,0,1A B C D ，直线BD 的方程为131xy+=，化简得330x y +-=，∴点C 到BD的距离10d =，可得以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆方程为221(1)(1)10x y -+-=，设(,)P x y ，则(,)AP x y =，(0,1)AD = ，(3,0)AB =，(),R AP AD AB αβαβ=+∈，()()()(),0,13,03,x y αββα∴=+=，可得3x β=且y α=，P 的坐标为()3,βα，P 在圆内，()()22131110βα-+-<，设t αβ+=，则t αβ=-，代入上式化简整理得()221910242010t t t ββ-++-+<，若要上述不等式有实数解，则()2219Δ244102010t t t ⎛⎫=+-⨯⨯-+> ⎪⎝⎭，化简得23850t t -+<，解得513t <<，即513αβ<+<，αβ∴+取值范围是51,3⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：51,3⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：利用向量的坐标表示将点P 的坐标用,αβ表示是解决本题的关键.9．⎡⎢⎣⎦【分析】首先根据三点共线的推论得1111,23PA PA PB PB ==，而在11PA B △中，11113,2,120PA PB A PB ︒==∠=，进一步由向量模的公式得11A B =11PA B △中，由等面积法得出||319PD ≤≤，结合623PC x y PD PD +== 即可得解.【详解】令(23)PC x y PD =+，则2323x y PD PA PB x y x y=+++ ，即11232323x y PD PA PB x y x y =+++，其中1111,23PA PA PB PB == .由2312323x yx y x y+=++知点D 在线段11A B 上，如下图:由于在11PA B △中，11113,2,120PA PB A PB ︒==∠=，且点D 在线段11A B 上（含端点11,A B ），因此1PH PD PA ≤≤，其中PH 是边11A B 上的高.()222211111111219A B PB PA PB PA PB PA =-=+-⋅=可得11A B =1111111111sin 22PA B S PA PB A PB A B PH =⋅⋅∠=⋅可得||19PH =.||3PD ≤≤.再由(23)PC x y PD =+ ，可知623PC x y PD PD ⎡+==∈⎢⎣⎦ .故答案为：⎡⎢⎣⎦.10．B【分析】建立直角坐标系，将4x y -由P 点坐标转化后数形结合求解【详解】以A 点为坐标原点，,AB AD方向为x ,y 轴正方向建立直角坐标系，则(0,0),(2,0),(1,1),(0,1)A B C D ，(2,0),(1,1)AB BC ==- ，设(,)P m n ，则2m x y n y =-⎧⎨=⎩，解得2m n x y n+⎧=⎪⎨⎪=⎩，故42z x y m n =-=+，即2n m z =-+，数形结合可得当1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取最小值2，当直线与圆221(1)(1)4x y -+-=12=，z 取得最大值3.故选：B11．78【详解】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--== （）（），2211114123234FD BC BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC == ，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--=== （）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．12．4【详解】试题分析：1111()()()()2223BF DE BD DF DA AE AB DE AB AC ⋅=+⋅+=-+⋅-+111113111()()()()246234623AB AB AC AB AC AB AC AB AC =--+⋅-+=-+⋅-+223113111163646624 4.818381832AB AC AB AC =+-⋅=⨯+⨯-⨯⨯⨯=+-= 考点：向量数量积13．D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=--，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D14．D 【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答.【详解】取线段AB 的中点D ，连接OD ，则2OA OB OD +=，而0OA OB OC ++= ，因此2CO OD =，即,,C O D 三点共线，线段CD 是ABC 的中线，且O 是靠近中点D 的三等分点，所以O 是ABC 的重心.故选：D 15．A 【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断.【详解】因为HA HB HB HC ⋅=⋅，则()0HB HA HC HB CA ⋅-=⋅=uu u r uu u r uuu r uu u r uu r ，所以HB CA ⊥uu u r uu r，即点H 在边CA 的高线所在直线上，同理可得：,HA CB HC AB ⊥⊥uu u r uu r uuu r uu u r，所以点H 为ABC 的三条高线的交点，即点H 是ABC 的垂心.故选：A.16．AB【分析】对于A ：利用重心的性质=PBC S △=PAC PAB S S △△，代入0PBC PAC PABS PA S PB S PC ++=即可；对于B ：利用三角形的面积公式结合0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++= 与0aPA bPB cPC ++=可知点P 到AB BC CA 、、的距离相等.对于C ：利用AB AC 、将PA PB PC、、表示出来，代入0PBC PAC PABS PA S PB S PC ++= ，化简即可表示出PBC PAC PAB S S S 、、△△△的关系式，用PAB S 将ABP ABC S S 、△△表示出来即可得处其比值.对于D ：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将PA mPB nPC =+两边平方，化简可得22+1m n =，结合m n 、的取值范围可得出答案.【详解】对于A ：如图所示：因为D E F 、、分别为CA AB BC 、、的中点，所以2CP PE =，121,233AEC ABC APC AEC ABC S S S S S === ，同理可得13APB ABC S S = 、13BPC ABC S S = ，所以=PBC S △=PAC PAB S S △△，又因为0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=，所以0PA PB PC ++=uu r uu r uu u r r.正确；对于B ：记点P 到AB BC CA 、、的距离分别为123h h h 、、，231111=,,222PBC PAC PAB a h h h S c S S ==⋅⋅⋅△△△，因为0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=，则2311110222a h PAb h PBc h PC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即2310a h PA b h PB c h PC ⋅+⋅+⋅= ，又因为0aPA bPB cPC ++=，所以123==h h h ，所以点P 是ABC 的内心，正确；对于C ：因为2155AP AB AC =+，所以2155PA AB AC =--，所以3155PB PA AB AB AC =+=- ，所以2455PC PA AC AB AC =+=-+，所以2131240555555PBC PAC PAB S AB AC S AB AC S AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得：232114+0555555PBC PAC PAB PBC PAC PAB S S S AB S S S AC ⎛⎫⎛⎫--+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为AB AC、不共线，所以232+=0555114=0555PBC PAC PABPBC PAC PAB S S S S S S ⎧--⎪⎪⎨⎪--+⎪⎩ ，所以=2=2PBC PAB PAC PAB S S S S ⎧⎨⎩ ，所以15ABP PAB PBC PAC PAB ABC S S S S S S =++= △△，错误；对于D ：因为P 是ABC 的外心，π4A =，所以π2BPC ∠=,PA PB PC == ，所以=cos 0PB PC PB PC BPC ⋅⨯⨯∠=，因为PA mPB nPC =+ ，则222222PA m PB mnPB PC n PC =+⋅+ ，化简得：22+1m n =，由题意知m n 、同时为负，记cos sin m n αα=⎧⎨=⎩，3ππ2α<<，则πcos sin sin +4m n ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为5ππ7π444α<+<，所以π1sin 4α⎛⎫-≤+< ⎪⎝⎭所以π2+14α⎛⎫-≤<- ⎪⎝⎭，所以)1m n ⎡+∈-⎣，错误.故答案为：AB.17．A【详解】因为1c a b --= ，()1c a b -+= ，做出图形可知，当且仅当c 与()a b +方向相反且1c a b -+= 时，c1；当且仅当c 与()a b +方向相同且1a b c +-=时，c1.18．B【详解】由题意，AC 为直径，所以24437PA PB PC PO PB PB ++=+≤+≤+=,当且仅当点B 为（-1，0）时，PA PB PC ++取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.19．A【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到22441c a c a -⋅=- ，22441b b c c -⋅=- ，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到cos θ=cos 2θ≥，由此可得θ的最大值.【详解】()2244441OC AC OC OC OA OC OC OA OA⋅=⋅-=-⋅=-，即22441c a c a -⋅=- ，()2224421c a c a c a∴-⋅+=-= ；()2244441OB CB OB OB OC OB OB OC OC⋅=⋅-=-⋅=- ，即22441b b c c -⋅=- ，()2224421b b c c b c∴-⋅+=-= ；设向量4a b - 与2c b -所成夹角为θ，242cos a b c b θ-⋅-∴=()2222211311244444a a b b a b -+-⋅+-+=≥4a b -= 号）；又[]0,πθ∈，max π6θ∴=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计的函数的形式，利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值.20．72【分析】令OA a = ，OB b =，OC c = ，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F，a 与b 的夹角为θ，由题意，计算π3θ=，AB = C 的轨迹为以OD 为直径的圆，利用向量基底表示，将()()222222+=+-- c b BC a AC c 转化为()222243-+-=+ c b CE c a ，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解()222+--c ab c 最小值.【详解】令OA a = ，OB b = ，OC c =，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F ，a 与b的夹角为θ，连接CA 、CB 、CD 、CO 、EF .由1a = ，2b = ，2a a b =⋅ ，得112cos θ=⨯⨯，1cos 2θ=，因为[]0,πθ∈，所以π3θ=，在OAB中，由余弦定理得AB = 又由22c b c =⋅，得02⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭b c c ，即()0OC OC OD OC DC ⋅-=⋅= ，所以点C 的轨迹为以OD 为直径的圆.因为()()222222+=+-- c b BCa AC c 2222112422EC AB EC AB CE AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦uu ur uu u r uu u r uu u r uur uu ur 222114343437222CE EF ⎫⎛⎫=+≥-+≥+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当点C 、E 、F 共线，且点C 在点E 、F 之间时，等号成立.所以22c a c b -+-的最小值为72故答案为：72【点睛】本题解题关键是通过平面向量的几何表示，将问题转化为圆上任意一点到定点距离的最值从而根据几何知识得解.21．494【分析】（1）利用向量线性运算法则和数量积运算法则计算出2O B O C ⋅=-，进而根据AB OB OA =- ，平方后计算出212AB =，从而求出AB =uu u r 设出()cos ,sin P θθ，表达出3sin 2M θ⎫+⎪⎪⎝⎭和2π373sin 34BM θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，利用三角函数有界性求出最大值.【详解】因为2OA OB OC === ，0OA OB OC ++= ，所以()OA OB OC =-+ ，两边平方得：()2222OA OB OC OB OB OC OC =-+=+⋅+ ，即4424OB OC =+⋅+ ，解得：2O B O C ⋅=-，因为AB OB OA =- ，所以222244412AB OB OA OA OB =+-⋅=++= ，因为0AB ≥所以AB =uu u r ；可得到△ABC是等边三角形，且边长为如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直AB 为y轴建立平面直角坐标系，)C，()B ，因为1AP = ，所以设()cos ,sin P θθ，[)0,2πθ∈，由PM MC = 可得：M 是线段PC的中点，则cos 3sin ,22M θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，则222cos 3sin 3733sin cos 22422BM θθθθ++⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭⎝ π373sin 34θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当πsin 13θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，2π373sin 34BM θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 取得最大值，最大值为494.故答案为：494。
高中数学向量知识点总结(经典题型解题方法)
高中数学向量知识点总结（经典题型解题方法）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。
了解空间向量的基本定理，掌握空间向量的数量积的定义及性质。
理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念，握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件。
下面通过以下知识点同学们全面讲解。
知识点归纳1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：ab b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(3平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 4共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．5．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式OP OA t =+ a ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量6空间直线的向量参数表示式：OP OA t =+ a 或()OP OA t OB OA =+- (1)t OA tOB =-+ ，中点公式．1()2OP OA OB =+ 7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α ．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb=+ 推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ②或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③上面①式叫做平面MAB 的向量表达式9空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc=++若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC=++ 10空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<> ；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b⊥ 11．向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<> 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅ ，即a b ⋅= ||||cos ,a b a b ⋅⋅<> ．已知向量AB a = 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影A B '' 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅ ．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<> ．（2）0a b a b ⊥⇔⋅= ．（3）．14．空间向量数量积运算律：2||a a a =⋅（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ．（2）a b b a ⋅=⋅ （交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅ （分配律）经典例题导讲[例1]和a =(3,－4)平行的单位向量是_________；错解：因为a 的模等于5，所以与a 平行的单位向量就是51a ，即(35，－45)错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。
2024年高考数学平面向量的基本定理总结(2篇)
2024年高考数学平面向量的基本定理总结平面向量是高考数学中的重要内容之一，也是一道很多学生所困扰的难题。
2024年高考数学试卷中关于平面向量的命题主要以基本定理为主。
基本定理是矢量分解定理和平行四边形定理的推论，也是解决平面向量问题的基础。
下面我将就2024年高考数学试卷中出现的平面向量基本定理进行总结，以便为考生复习提供参考。
一、平面向量的矢量分解定理平面向量的矢量分解定理是高考数学中使向量具有普通向量性质的基础。
矢量分解定理有两种表达形式：平行四边形法则和三角形法则。
1. 平行四边形法则平行四边形法则是指对于平面内的任意两个向量，它们可以用平行四边形的两条对角线表示。
对于平面中的向量AC和AD，可以有以下公式：AC = AB + BCAD = AE + ED其中AC和AD是两向量之和，AB和AE是两向量的矢量分解，BC 和ED是两向量的矢量共线分解。
2. 三角形法则三角形法则是指对于平面内的任意两个向量，它们可以用构成由这两个向量所在的两条边所组成的三角形的一条边和该边上的向量的和表示。
对于平面中的向量AC和AD，可以有以下公式：AC = AB + BCAD = AE + DE其中AC和AD是两向量之和，AB和AE是两向量的矢量分解，BC 和DE是两向量的矢量共线分解。
二、平面向量的平行四边形定理平面向量的平行四边形定理是基本定理的推论，也是较为重要的定理之一。
平行四边形定理有两个推论，分别是相等条件和平行条件。
1. 相等条件平行四边形定理的相等条件是指对于平行四边形形状的两个向量，它们互为相等向量。
对于平面中的向量AC和BD，如果满足AC = BD，则可以得出以下的结论：ABCD为平行四边形2. 平行条件平行四边形定理的平行条件是指对于平面中的两个向量，如果它们的终点相同，则这两个向量是平行向量。
对于平面中的向量AC和BD，如果满足C = D，则可以得出以下的结论：AC // BD三、基本定理的应用基本定理是解决平面向量问题的基础，通过运用矢量分解定理和平行四边形定理，可以解决各种与平面向量相关的问题，如求向量的模、方向、分解等问题。