大学高等数学高数期中考试试卷及答案
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2009-2010学年第一学期 高等数学（2-1）期中试题
一、 填空题（共6小题，每小题3分，满分共18分）
1．设()31gxx， ,01()2,12xxfxxx, 则))((xgf
2．设 xxy1111，则dxdy
3．设))((xfxfy二阶可导，22dxyd
4．试用“”语言叙述0lim()xxfxA的定义
5．设0)(xf且在点ax0处可导，则)()1(lnlimafnafnn
6. 当x时，1kx与11sin2x 是等价无穷小，则k=
二 选择题 （共4小题，每小题3分，满分12分）
1. 设函数)(xfy在点0x处可微，则下面表达式不正确的是 （ ）.
A. )()(lim00xfxfxx. B. dxxfdyxx)(|00.
C. ))(()()(000xxxfxfxf. D. o()(0)dyyxx.
2. 设函数),((）在xf内连续，其导函数的图形如图[1]所示，则）xf(有（ ）.
A. 一个极小点和一个极大点. B. 两个极小点和一个极大点.
C. 两个极小点和两个极大点. D. 三个极小点和一个极大点.
3．下列命题错误的是（ ）. 图 [1]
A. 在0x某去心邻域内0)(xf，且0)(lim0xfxx，
则)(1lim0xfxx.
B. 若Axfxx)(lim0，则.|||)(|lim0Axfxx
C. 若)(lim),(lim00xgxfxxxx存在，则))()((lim0xgxfxx存在.
2
D. 若))()((lim0xgxfxx存在，则)(lim),(lim00xgxfxxxx分别存在.
4．曲线ln241xyxx的渐近线的条数为 ( ).
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
三、计算题（共6小题，每小题6分，满分36分）
1． 13lim2xxx=1. 2． .812sinlnlim22）（xxx
3．.)1(lim21110eexxxx 4．设tayttaxsin)cos2tan(ln，求22dydydxdx，.
5. 设1)(3xxxf，求)(xf在点20x处的n阶导数值.
6. 设)(xyy是由方程yxxy所确定的函数，0x，0y，求微分dy.
四、应用题（共4小题，每小题6分，满分24分）
1．设2(1),1(),1arctan,1axxfxbxcxx，选取合适的a、b、c使)(xf在点1x处连续、
可导.
2．设函数xxxxxfsin)4(2)(2，指出函数的间断点，并判断其类型.
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3. 求函数22xey的极值、凸凹区间及曲线的拐点坐标。
4. 一气球从离开观察员500米处离开地面铅直上升，其速率为140米/分，当气球高度为
500米时，观察员视线的仰角增加率是多少？
五、证明题（共2题，每小题5分，满分10分）
1.设)(xf在],[ba上连续，且恒为正，证明对于任意的,,),(,2121xxbaxx
必存在一点12[,]xx, 使)()()(21xfxff.
2.证明：当10x时，xxex112.
2010—2011学年第一学期《高等数学（2-1）》期中试题
一、 填空题（每小题3分，满分18分）
1. 设)(xf为可导的偶函数，且5)(0xf，则)(0xf .
2．已知5)1()1()1(lim502595xaxxx，则a .
3. 方程0arctanyyx确定隐函数)(xy，则dxdy .
4. 已知函数)(xf具有任意阶导数，且2)]([)(xfxf，则当n为大于2的正整数时，
)()(xf
n
= .
5. ]ln)1[ln(limnnnn .
6. 设函数2221142)(xxxxxf，则)(xf的可去间断点是 ，跳跃间断
点是 ，无穷间断点是 .
二、 选择题（每小题3分，满分12分）
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1．设0cossin0102)(tanxxxxxexfx，则)(lim0xfx( )
(A) -1； (B) 0； (C) 1； (D) 不存在
2. 若)(xf在0x点可导，则)(xf在0x点（ ）
(A) 必可导； (B) 连续但不一定可导；
(C) 一定不可导； (D) 不连续.
3. 设)(xf可导且)(0xf，则0x时)(xf在0x处的微分)(xdf是
（ ）
(A) 比x低阶的无穷小； (B) 比x高阶的无穷小；
(C) 与x同阶的无穷小； (D) 与x等价的无穷小.
4. 设)(xf在0x的邻域内连续，且21)(lim20xxexf，则)(xf在0x处（ ）
(A) 不可导； (B) 可导且0)0(f；
(C) 取得极大值； (D) 取得极小值.
三、计算题 (每小题7分，满分35分)
1. xxexxtan1lim2sin0.
2. )11ln1(lim1xxx
.
3. xxx231lim;
4. 设teytexttcossin，求22dxyd.
5. 求)71ln()(xxf在0x处带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式.
四、解答题 (每小题8分，满分24分)
1.
设函数0,10,2)sin1()(xexaxbxfax，确定常数a与b，使)(xf在0x处
可导，并求)(xf.
2. 求2)1(2xexy的极值和凹凸区间及曲线的拐点.
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3. 已知一个长方形的长l以2cm/s的速度增加，宽w以3cm/s的速度增加，则当长为
12cm，宽为5cm时，它的对角线的增加率是多少？
五、证明题
1. 设)(xf在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(f，
证明：存在一点)1,0(，使0)()(2ff.（5分）
2.证明：当1x时，xex11. （6分）
2011—2012学年第一学期 高等数学(2-1)期中试题
一、填空题（每空3分，共计18分）
1．设()fa存在，则20()2()()limhfahfafahh .
2. 设曲线方程为2ln1arctanxtyt，则22dydx .
3. 试用” ”语言叙述0lim()xxfxA的定义：
.
4.设3sinyxx，则(10)(0)y .
5. 设()1fa, ()4fa则1()lim[]()nnfanfa= .
6. 若lim()xfx存在，且sin()2lim()xxfxfxx，则lim()xfx .
二、选择题（每小题3分，共计12分)
1. 函数()sinfxxx ( )
(A) 在(,)内无界 (B) 在(,)内有界
(C) 当x时为无穷大 (D) 当x时有有限的极限值
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2. 设0x时，tanxxee 与nx 为同阶无穷小，则n为( )
(A)1； (B) 2； (C) 3； (D)4.
3. 设()fx在0x的某邻域内连续，且0()lim21cosxfxx，则()fx在0x( )
(A) 不可导 (B) 可导且(0)0f (C) 取极大值 (D) 取极小值
4. 曲线2121arctan(1)(2)xxxyexx的渐近线有( )
(A) 一条 (B) 二条 (C) 三条 (D) 四条
三、计算题（每题7分，共计35分）
1. 求320sintanlim(11)(1sin1)xxxxx.
2. 求2lim(arctan)xxx
3. 求2201lim(cot)xxx
4. 设方程(0,0)yxyxxy确定二阶可导函数()yfx，求22dydx.
5. 写出函数2()lnfxxx在1x处带有拉格朗日余项的n阶泰勒展开式(3n).
四、解答题（每题8分，共计24分）
1. 求函数2()xfxxe的极值、凹凸区间及拐点坐标.
2. 设函数32ln(1)0arcsin()6001sin4axaxxxxfxxxexaxxx，，，，
问a为何值时，()fx在0x点连续；a为何值时，0x是()fx的可去间断点.
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3. 一飞机在离地面2km的高度，以200km/h速度水平飞行到某目标上空，以便进行航空摄
影，试求飞机飞至该目标正上方时，摄影机转动的角速度.
五、证明题:
1. （本小题5分）设函数()fx在[0,1]上二阶可导，且(0)(1)0ff.
证明：至少存在一点(0,1)，使得2()()1ff成立.
2. （本小题6分） 证明：当0x时，22(1)ln(1)xxx.
大学期中考试高等数学试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列函数中，属于奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^42. 函数f(x) = 2x^3 - 3x + 1在x=1处的导数是（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列极限中，属于无穷小的是（）A. lim x→0 (sinx/x)B. lim x→0 (1/x)C. lim x→0 (x^2)D. lim x→0 (x^3)4. 函数f(x) = x^2 + 3x + 1在区间[-2, 1]上的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是（）A. dy/dx = y^2B. dy/dx = 2xyC. dy/dx = x^2yD. dy/dx = 2y/x二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的导数为______。
7. lim x→0 (1 - cosx)/x^2 = ______。
8. 函数f(x) = 2x^3 - 3x + 1的极值点为______。
9. 函数f(x) = x^2 + 3x + 1的导数在x=1处的值是______。
10. 分离变量后，微分方程dy/dx = 2xy的解为______。
三、解答题（共50分）11. （10分）求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。
12. （10分）求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的极值。
13. （10分）求极限lim x→0 (sinx/x)。
14. （10分）解微分方程dy/dx = 2xy。
15. （10分）证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) < 0，f(b) > 0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c) = 0。
注意：本试卷共75分，考试时间为120分钟。
高数下期中考试(10-11)试卷及解答
广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 1 页一、填空题（每题3分分）．已知{4,3,4}a =-在向量{2,2,1}b =t e e x,sin cos ==广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 2 页广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 3 页解：两边微分得 )()(21yz d f x z d f dx '+'= 2分2221yz d yy d z f x z d x x d z f dx -'+-'= 5分 整理得 dx f y x f xy f z x dx f y x f xy f zy y x dz 22122222121222)('+''+'+''+= 6分四、计算下列各题（每题7分，共28分）１．计算Dx ⎰⎰，其中Ｄ是由曲线.10y x y x ===及所围成的区域:2031441200:1112(1)31212311)18yD xx dxy y ====+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解２．计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),{(≤≤≤≤=y x y x D．解：曲线1=xy 把区域D 分成三个区域1D 、2D 和3D21,221:1≤≤≤≤y x x D ；x y x D 10,221:2≤≤≤≤；20,210:3≤≤≤≤y x D 2分⎰⎰Ddxdy xy }1,max{＝dxdy xy D ⎰⎰1＋⎰⎰2D dxdy ＋⎰⎰3D dxdy＝212122121221⨯++⎰⎰⎰⎰x xdy dx xydy dx 6分 ＝2ln 419+ 7分 ３．设Ω是曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8=z 围成的空间区域，求广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 4 页⎰⎰⎰+=Ωdv y x I )(22。
解：Ω由z y x 222=+与 8=z 所围成，在柱坐标系下 Ω：82,40,202≤≤≤≤≤≤z ρρπθ 3分⎰⎰⎰=8224202ρπρρρθdz d d I 5分＝π31024五、设),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2xy =，1=x 所围成区域，求),(y x f （6分）五、解：设A dxdy y x f D=⎰⎰),(，则⎰⎰⎰⎰+=DDdxdy A dxdy xy A2分 A xydy dx A x 31210+=⎰⎰⇒81=A 5分 从而 81),(+=xy y x f 6分六、设曲线:C ⎩⎨⎧=++=-+5302222z y x z y x ，求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点。
高等数学期中考试答案
高等数学期中考试答案学校：中国传媒大学 院系： 专业：年级：班级：一. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题共 4小题，每小题 3分，总计 12 分 ） 1、答：A 2、B 310分4二. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 3 小题，每小题 3分，总计 9 分 ）12、⎪⎩⎪⎨⎧<∞+=>=0,0,10,0a a a 答 10分3、三. 解答下列各题（本大题共 2 小题，总计 5 分 ）15分 10分24分8分10分四. 解答下列各题（本大题共 3 小题，总计 9 分 ）1、本小题2分10分28分10分32分 4分8分10分五. 解答下列各题（本大题共 3 小题，总计 11 分 ）1、本小题4分3分5分8分10分2、本小题4分2分4分6分8分 10分3、本小题3分5分7分10分六. 解答下列各题 （本大题 4 分 ）5分10分七. 解答下列各题 （本大题 4 分 ）3分8分 10分八. 解答下列各题（本大题 3 分 ）3分7分10分九. 解答下列各题 （本大题 4 分）3分7分10分十. 解答下列各题 （本大题 7 分 ）4分8分10分十一. 解答下列各题 （本大题 10 分 ）2分5分 8分10分十二. 解答下列各题 （本大题 6 分 ）5分10分十三. 解答下列各题 （本大题 7 分 ）0001cos 2===⎪⎩⎪⎨⎧+=--=y t x tt y t x e x t，时知当解：由第一式两边对t 求导，得t x t t x e t x t sin cos )(')('+-= 解得tt x e t x t cos 1sin )('++= 由第二式，得4分12)('+=t t y =∴dx dy tt x e t t x t y t cos 1sin 12 )(')('+++=tx e t t t sin )cos 1)(12( +++=0=x 时，0=t =∴=0|x dx dy 0|sin )cos 1)(12( =+++=t ttx e t t 2= 8分)0(20::-=-x y 所求切线方程为故即 x y 2= 10分十四. 解答下列各题 （本大题 4 分 ）4分8分10分十五.解答下列各题（本大题5 分）2分6分10分。
(完整版)高等数学(A)06-07下期中试卷参考答案及评分标准
高等数学(A) 06-07-3期中试卷参考答案及评分标准•填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)1 .曲线xyz 1在点(1,1,1)处的切线方程为y 1 M ;x y 2 32.方程xyz x2y2、2所确定的函数z z(x, y)在点(1,0, 1)处的全微分为dz dx 2dy ；交换二次积分的积分次序0i d y21 yf (x, y)dx2 01 dx 1 x f(X,y)dy ;4. 设曲线C : x cost, y sin t, z 、3,0 t ，则c '■■■ x2 y2 z2ds5. 设曲面：x1，则b(x y)ds 加.二.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分)6•设f(z) 2xy i x2那么D] (A) f (z)在原点解析(B)f(Z)在复平面上处处不可导(C) f (z)仅在原点可导(D) f (z)仅在实轴上可导cos7.二次积分df( cos ,sin )d可以写成1 (A) o dy1 (C) °dxy y21f(x, y)dyf(x, y)dx1 / y2(B) 0dy 0 f(x, y)dx1 4 X X2(D)0dx 0 f(x, y)dy&设由3x2y2乙z 1 x2所围成,f(x,y,z)dv C]1 (A) 4 2dx0 』1 4x2 1 x2dy3x2 y2f (x, y,z)dz (B)12 "dxi! 4x2R dy1 x23x2 y2f (x, y,z)dz1 (C) 21 dx2 -h4x2 1 x21 4x2 dy 3x2 y2 f (x, y, z)dz (D) 1 4x2—3x21 x2y2f(x, y, z)dz2x y9.函数f (x,y) x4 y2x2 x2(A )连续且偏导数存在y2y2在(0, 0)点处(B)连续但偏导数不存在24(C )不连续但偏导数存在 (D )不连续且偏导数不存在三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)10.设 f (x,y),g(x,y)有连续的二阶偏导数，令(x) f(x,g(x,x 2))，求dx11.求函数u z 2、. x 2 2y 2在点M 0 1,1,1处沿曲面2方向上的方向导数•.6 ,6 - 1 2 26 3 33 3 3f (i).解dx 1f2 © 2xg 2)(3 分)d 2 dx 21122f 12 (g 1 2xg 2) f 22 © 2xg 2) f 2 (g1124xg 12 4x g 22 2g ?) (5 分)u(M 。
第一学期高等数学期中考试试卷答案
第一学期高等数学期中考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1．已知()()212x x f x f =-+，则()=x f ______________________________．2．设x x x y arcsin 12-+=，则='y ______________________．3．设函数()x y y =由方程42ln 2x y y =+所确定，则=dxdy _______________． 4．设()x f 为可导的奇函数，且()50='x f ，则()=-'0x f ________________．5．函数()22sin x x e x f x +--=在区间()∞+∞-，上的最小值为_____________． 答案：⒈ 3132312-+x x ； ⒉ x x xa r c s i n122--； ⒊ 2212yy x +； ⒋ 5；⒌ 1-．二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。
以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1．数列极限()[]n n n n ln 1ln lim --∞→是________ ． ()A ．1 ； ()B ．1-； ()C ．∞； ()D ．不存在但非∞．2．函数()()x x x x x f ---=322不可导点的个数是______________．()A . 3 ； ()B . 2 ； ()C . 1 ； ()D . 0 ．3．设()x f 可导且()210='x f ，则0→∆x 时，()x f 在0x 点处的微分dy 是____． ()A .比x ∆低阶的无穷小； ()B .比x ∆高阶的无穷小；()C .与x ∆同阶的无穷小； ()D .与x ∆等价的无穷小．4．已知函数()x f 具有任意阶导数，且()()[]2x f x f ='，则当n 为大于2的正整数时，()x f 的n 阶导数()()x f n 为___________．()A .()[]nx f n 2!； ()B . ()[]1+n x f n ； ()C . ()[]n x f 2； ()D .()[]1!+n x f n ． 5．设()()[]2x x f ψ='，其中()x ψ在()∞+∞-，上恒为正值，其导数()x ψ'为单调减少函数，且()00='x ψ，则___________ ．()A ．曲线()x f y =在点()()00x f x ，处有拐点；()B ．0x x =是函数()x f 的极大值点；()C ．曲线()x f y =在()∞+∞-，上是凹的；()D ．()0x f 是()x f 在()∞+∞-，上的最小值．答案：⒈ ()B ；⒉ ()A ；⒊ ()C ；⒋ ()D ；⒌ ()A ．三．（本题满分6分）设0>>a b ，()2a a f ='，求极限()()ab a f b f a b ln ln lim --→． 解：()()()()ab a b a b a f b f a b a f b f a b a b ln ln lim ln ln lim--⋅--=--→→ ()()()()a b a b a b a f b f a b a f b f a b a b a b ln ln lim lim ln ln lim --⋅--=--=→→→ ()3a a a f =⋅'=，四．（本题满分7分）设()A x f x x =→0lim ，极限()x g x x 0lim →不存在，试问极限 ()()[]x g x f x x +→0lim是否存在？并证明之．解：极限()()[]x g x f x x +→0lim 不存在． 反证法：如果极限()()[]x g x f x x +→0lim 存在，由极限()A x f x x =→0lim 存在，可知极限 ()()()()[]()()[]()x f x g x f x f x g x f x x x x x x 000lim lim lim →→→-+=-+ 存在，即极限()x g x x 0lim →存在，这与题设中()x g x x 0lim →不存在矛盾，因此极限()()[]x g x f x x +→0lim 不存在．五．（本题满分7分）设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-=-<-=1arccos 1112x x a x bx x x f ，试确定a 、b 之值，使得函数()x f 在点1-=x 处连续．解：()b f =-1，()()01lim lim 0120101=-==----→--→x x f f x x ，()()()π+=+==+-+-→+-→a x a x f f x x a r c c o s lim lim 010101， 所以，由()()101-=--f f ，得0=b ；由()()101-=+-f f ，得π-=a ．因此，当π-=a ，0=b 时，函数()x f 在点1-=x 处连续．六．（本题满分8分）设函数()x y y =由参数方程⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12所确定，求22dx y d ． 解：tt t t dtdx dt dydx dy 2sin 2sin -=-== ， dtdxdx dy dt d dx dt dx dy dt d dx dy dx d dx y d 122⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛= ()3224c o s s i n 21s i n c o s 21112s i n t t t t t t t t t t t t dt d t -=⋅--='+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ．七．（本题满分8分）求对数螺线θρe =（由极坐标方程给出）在点()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22πθρπ，e 处的切线的直角坐标方程．解：我们将其转换为参数方程()()⎩⎨⎧==θθρθθρsin cos y x ．在本题中，转换后的参变量方程为⎩⎨⎧==θθθθsin cos e y e x ．这时，我们将θ看作参变量，利用参变量方程的求导方法，我们有()()θθθθθθθθθθθs i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s -+=-+==e e d d dydx dy ． 当2πθ=时，1s i n c o s s i nc o s 22-=-+===πθπθθθθθdx dy ，0cos 22==⎪⎭⎫⎝⎛=πθθθπe x ，22sin 2ππθθθπe e y ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=． 因此，所求切线方程为()()012--=-x e y π，即2πe y x =+ ．八．（本题满分8分）求曲线5412--=x x y 的铅直渐近线与水平渐近线．解：由于0541limlim 2=--=∞→∞→x x y x x ； 所以，0=y 是曲线5412--=x x y 的水平渐近线；由于 ∞=--=-→-→541lim lim 211x x y x x ，∞=--=→→541lim lim 255x x y x x 所以，1-=x 与5=x 都是曲线5412--=x x y 的两条铅直渐近线． 九．（本题满分8分）求数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 322的最大项() ，，，321=n ．（已知41.05.1ln ≈） 解：设()xx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=322 ()+∞<≤x 1， 则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅='23ln 232x x x f x，令()0='x f ，得()x f 在()∞+，0内的唯一驻点为 9.423ln 20≈=x 当23ln 21<≤x 时，()0>'x f ；当x <23ln 2时，()0<'x f ． 所以2ln 20=x 是函数()x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=322在区间()+∞<≤x 1上的极大值点，也是最大值点． 由于59.423ln 240<≈=<x ，且()44232163244⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=f ，()()4323503255452f f >⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=， 所以数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 322的最大项为()2438005=f ． 十．（本题满分9分）论证πe 与e π的大小．解：由于ππln e e e =，因此只需讨论π与πln e 的大小．设()x e x x f ln -=，则()xe xf -='1 令()0='x f ，得函数()x e x x f ln -=的驻点e x =0．由于()02>=''xe xf ，所以函数()x e x x f ln -=在点e x =0处取极小值 ()0=-=e e e f由于点e x =0是函数()x e x x f ln -=的唯一极值点，因而也是函数()x e x x f ln -=的最小值点．因此当e x >时，()()0=>e f x f ．因此由e >π，知()0>πf ，即0ln >-ππe ，或ππln e >所以，ππln e e e >，即ee ππ>． 十一．（本题满分9分）设函数()x f 在闭区间[]10，上可微，对闭区间[]10，上的每一点x ，函数()x f 的值都在开区间()10，内，且()1≠'x f ．证明：在开区间()10，内仅有唯一的一点x ，使得()x x f =．解：（存在性）：令()()x x f x F -=，则函数()x F 在闭区间[]10，上连续，且当[]10，∈x 时，由()10<<x f ，所以，()()0000>-=f F ，()()111-=f F ．因此由连续函数的零点定理，知至少存在一点()10，∈x ，使得()()0=-=x x f x F ．即至少存在一点()10，∈x ，使得()x x f =．（唯一性）：若存在两点()1021，，∈x x ，21x x <，使得()11x x f =， ()22x x f =由Lagrange 中值定理，知至少存在一点1021<<<<x x ξ，使得()()()112121212=--=--='x x x x x x x f x f f ξ 这与题设中任意()10，∈x ，()1≠'x f 相矛盾．因此，在开区间()10，内仅有唯一的一点x ，使得()x x f =．。
高等数学期中考试试卷
高等数学期中考试试卷一 .填空题（每小题3分，共15分）1.二元函数 ln()z y x =-+的定义域是 .2. 曲线22280y z x ⎧+=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程是 。
3.(,)limx y →= 。
4. 已知(,)arctan()yf x y xe =，则全微分df = 。
5. 把二次积分221()xy I dy dx +=⎰转化为极坐标形式 .二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 直线412141x y z -++==--与直线158221x y z --+==-的夹角为（ ） A. 6π B.4π C.3π D.2π2. 若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处连续，则在该点处函数(,)z f x y =( ) A.有极限 B. 偏导数存在 C.可微 D. A,B,C 都不正确。
3. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（ ）A . 必有极大值B . 可能有极值，也可能无极值C . 必有极小值D . 必无极值4．设2,1(,)0,1x y f x y x y +≤⎧=⎨+>⎩，{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰的值为（ ）．A ．1B ．12C ．13D ．165．若(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 是由2y x=，0y =和1x =所围成的闭区域，则(,)f x y =（ ）A xyB 18xy +C 2xyD 1xy + 三．计算题（每题10分，共50 分）1. 已知平面π过点0(1,0,1)M -和直线211:201x y z L ---==，求平面π的方程。
2. 设z =，求dz3. 设(,)z f x y xy =-，f 具有二阶连续的偏导数，求2zx y∂∂∂4．设(,,)u f x y z =具有连续的偏导数，函数()y y x =与()z z x =分别由方程0xy e y -=和0z e zx -=所确定，求du dx5. 计算二重积分224d d Dx y x y --⎰⎰，其中22{(,)|9}D x y x y =+≤四、设某工厂生产A 和B 两种产品同时在市场销售，售价分别为1p 和2p ，需求函数分别为11221240225q p p q p p =-=+-+，假设企业生产两种产品的成本为221122C q q q q =++，工厂如何确定两种产品的售价时日利润最大？最大日利润为多少？（10分）五、证明题. （共10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，证明：211()()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰⎰期中考试题参考答案一、1.()22{,0,0,1}x y y x x x y ->≥+<； 2. 22228x y z ++=； 3. 2；4.22()1y y e dx xdy x e++； 5.21200r d e rdr πθ⋅⎰⎰ 二、1. B ； 2. D ； 3. B ； 4. A ； 5. B.三、1.【解】设平面π的一般方程为0Ax By Cz D +++=，由题意知，π过点0(1,0,1)M -，故有0A C D -+= （1） 在已知直线上选取两点12(2,1,1)(4,1,2)M M ，，将其坐标代入平面方程，得 20A B C D +++= （2） 420A B C D +++= （3） 由（1）（2）（3）式解得 3,2,3B A C A D A ==-=- 所以平面的方程为3230x y z +--=2．【解】2222222211()2x y dz d d x y dx dy x y x y x y==⋅⋅+=++++ 3．【解】令,u x y v xy =-=，则(,)z f u v =，1u x ∂=∂，vy x∂=∂，1u y ∂=-∂，v x y ∂=∂。
东南大学高数试卷及答案-07-08-3高等数学B期中考试试卷
共 5 页 第 1 页07-08-3高数B 期中试卷08.4.11一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1.级数1(1)ln 1nn ∞=⎛⎫- ⎝∑ （常数0a >） [ ] (A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性与a 的取值有关2. 下列反常积分发散的是 [ ] (A)31d 1x x x +∞+⎰(B) 21x ⎰ (C )321d ln(1)x x -⎰ (D) 1x +∞⎰ 3. 已知直线1412:235x y z L -++==与2113:324x y z L ---==-，则1L 与2L [ ] (A )相交 (B ) 异面 (C ) 平行但不重合 (D ) 重合4. 设函数21,01()0,10x x f x x ⎧+≤<=⎨-≤<⎩，01()(cos sin )2n n n a S x a n x b n x ππ∞==++∑， x -∞<<+∞，其中11()cos d (0,1,2,)n a f x n x x n π-==⎰，11()sin d (1,2,)n b f x n x x n π-==⎰，则()3S = [ ](A )12(B ) 1 (C ) 0 (D ) 2 二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)5. 若23-a b 垂直于+a b，且=a ，则a 与b 的夹角为 ；6. 曲线222340x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程是 ；7. 曲线22222223520x y z x y z ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩在yOz 面上的投影曲线方程是 ； 8. 设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在4x =处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为 ；9.幂级数210(1)(2)21nn n x n ∞+=--+∑的收敛域为 . 三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分)共 5 页 第 2 页10．求过点(1,2,1)且与直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩及直线201x y z +==--都平行的平面方程.11．求过点(4,6,2)--，与平面62310x y z --+=平行，且与直线113325x y z -+-==-相交的直线方程.12．将函数()2()ln 23f x x x =+-展开为3x -的幂级数，并求收敛域.13. 求幂级数121(1)n n n nx ∞-=-∑的和函数，并指明收敛域.四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量+j k ，准线为22411x y z ⎧-=⎨=⎩的柱面方程.五（15）。
高数期中考试试卷参考解答及评分标准
中国传媒大学09级高等数学A （下）期中考试试卷参考解答及评分标准考试科目： 高等数学A 考试班级：09电气信息类各专业 考试方式： 闭卷 命题教师： 池振明一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题分3小题, 每小题4分, 共12分) 1、设则I =______24__________。
2、设，由二重积分的几何意义知=____361a _______.3、函数),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x 存在是),(y x f 在该点可微的( 必要 )条件.二、选择题（在四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题分3小题, 每小题4分, 共12分) 1、旋转曲面1222=--z y x 是（A ）xoy 平面上的双曲线绕x 轴旋转所得 （B ）xoz 平面上的双曲线绕z 轴旋转所得 （C ）xoy 平面上的椭圆绕x 轴旋转所得（D ）xoz 平面上的椭圆绕x 轴旋转所得 答：（ A ）2、设222cy bxy x u +-=，0,6)1,2()1,2(==yu xu ∂∂∂∂，则22yu∂∂=(A) 4(B) －4 (C) 2(D) －2答（ B ）3、曲线22,ln ,t z t y e x t===在对应于2=t 点处的切线方程是(A) 4412ln 244-=-=-z y e e x(B) 24212ln 244-=-=-z y ee x(C) 212ln 21244y ee x =-+=+(D) 4212ln 2144z y e e x =-+=+答：（C ）三、解答下列各题（本大题共10小题，总计76分） 1、（本小题7分）设某椭球面的对称轴与坐标轴重合，与2=z 交线是半径为1的圆，且过)6,0,0(0P ，求此椭球面的方程。
解：设椭球面为1222222=++cz b y a x（3分）与2=z 交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+24122222z c b y a x因交线是半径为1的圆，故b a =，且1)41(22=-ca （5分）由于过0P 点，得6=c ，331141122==-=c a ，从而3==b a 故椭球面为622222=++z y x（7分）2、（本小题7分）求直线653423:-=-=-z y x l 与平面0:=++z y x π之间的夹角。
高等数学第二学期期中考试试卷及答案(优选.)
卷号：（A ） （ 年 月 日） 机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在 该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ； （B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ； （C ）．10101zy x =-=+； （D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a 且,),(3π=∠b a则_______)()(=+⋅-b a b a 32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。
高等数学期中A考卷及答案 海大
高等数学试卷大题 一二三四五六七八九十成绩一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则f x '(,)32=（ ）(A) 59 (B) 56 (C) 58 (D) 552、设曲面z xy =在点(,,)326处的切平面为S ，则点(,,)124-到S 的距离为（ ） （A ）-14 （B ）14 （C ）14（D ）-143、设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 ( )4、函数y x z 2+=在点（3，5）沿各方向的方向导数的最大值为（ ）(A)5 (B) 0 (C) 3(D) 25、曲线2,ln ),1sin(t z t y t x ==-=在对应于1=t 点处的切线方程是（ ） (A) 1111-==z y x ; (B) 21111-=-=z y x ; (C)2111-==z y x ; (D) 211z y x ==. 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、设u xy yx=+，则∂∂∂2u x y = 。
2、设f x y (,)有连续偏导数，u f e e xy=(,)，则d u = 。
3、设L 是从点A (－1，－1)沿曲线x 2+xy +y 2=3经点E (1，－2)到点B (1，1)曲线段，则曲线积分________.4、设u f x y =(,)在极坐标：x r y r ==cos ,sin θθ下，不依赖于r ，即u =ϕθ()，其中ϕθ()有二阶连续导数，则∂∂∂∂2222u x uy+=________________.5、设,则I =________________。
三、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )曲面S 1x y z =，求该曲面的切平面使其在三个坐标轴上截距之积最大。