2018_2019学年九年级数学下册第二十六章反比例函数26.2实际问题与反比例函数知能演练提升
人教版九年级数学下册《第二十六章 反比例函数》简介
《第二十六章反比例函数》简介课程教材研究所本章包括反比例函数的概念、图象及其性质．本章首先从现实世界中具有反比例关系的实例出发，从函数角度描述反比例关系，再次经历用函数研究变化规律的过程，认识反比例函数（k为常数，k≠0）中两个变量x，y之间的依赖关系：在变量y随变量x的变化而变化的过程中，它们的积xy始终保持不变（xy=k）；然后用“描点法”画出反比例函数的图象，观察图象并结合解析式，得出反比例函数的性质；最后运用反比例函数解决简单的实际问题．本章教学时间约需8课时，具体安排如下（仅供参考）：26.反比例函数3课时26.2 实际问题与反比例函数 4课时数学活动小结1课时一、教科书内容和课程学习目标1. 本章知识结构本章知识结构如下图所示：2. 教科书内容反比例函数是《义务教育数学课程标准（2011年版）》“数与代数”领域的内容．其学习基础是函数的概念、函数的表示方法以及反比例关系；我们类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，展开反比函数的概念、图象、性质及其应用．章引言通过生活中常见的路程、速度与时间的关系式s=vt，指出在路程s 一定的前提下，平均速度v与运行时间t的成反比例关系．当从函数角度进行研究时，平均速度v随着运动时间t的变化而变化的规律可以用解析式表示，引出本章学习内容——反比例函数．本章分两节．“26. 1 反比例函数”的内容是反比例函数的概念、图象和性质．本节首先给出“思考”栏目中现实世界和数学中具有反比例关系的三个问题：（1）距离一定时，平均速度v随着运动时间t的关系；（2）矩形面积s一定时，矩形长y与宽x的关系；（3）人均占有土地面积与总人口之间的关系，指出这三个问题中均有三个量，其中一个量不变，另外两个量中一个量随着另一量的变化而变化，而且对于一个量的每一个确定的值，另一个量都有唯一确定的值与它对应，因此上述问题中两个量之间具有函数关系，而且这个函数关系可以用形如的形式表示，从而给出反比例函数的概念：形如（k为常数，k≠0）的函数，并指出反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型．为了巩固反比例函数的概念，教科书例1是由反比例函数的自变量和因变量的值，确定常数k的值，从而得到反比例函数的解析式；根据反比例函数的解析式，我们就可以得到与任意自变量对应的函数值．显然，反比例函数的解析式由常数k唯一确定．根据以往研究函数的经验，对于具体的函数，如一次函数、二次函数等，我们都是在其概念的基础上，由其解析式，通过描点画图，得出其图象，然后通过图象，并结合解析式研究其性质，反比例函数的研究也不例外．对于反比例函数，我们先研究k>0的情形，然后类比k>0的情形，研究k<0的情形．从形状、位置，因变量y如何随自变量x的变化而变化等方面归纳它们的性质．“26. 2 实际问题与反比例函数”的内容是用反比例函数解决简单的实际问题，以及用反比例函数解释现实世界中的一些现象．本节选取了四个不同背景的实际问题：（1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；（2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；（3）在杠杆中，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；（4）电压一定时，输出功率是电阻的反比例函数．通过这些问题的解决，进一步加深对反比例函数的认识．3. 本章学习目标（1）认识反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型．（2）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．（3）能画出反比例函数（k为常数，k≠0）的图象，根据图象和解析式探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况．（4）能用反比例函数解决简单的实际问题．二、编写时考虑的几个问题1. 强调反比例函数是描述具有反比例关系问题的数学模型反比例函数是义务教育阶段学习的最后一类函数，函数是描述变化规律的数学模型．现实世界和数学中具有反比例关系的问题，我们可以用反比例函数描述．章引言中从路程一定的前提下，平均速度与时间的关系，引出反比例函数的内容．“26.1 反比例函数”通过“思考”中的三个具体问题，让学生发现每个问题中的两个变量，询问这两个变量具有什么关系，得出变量之间的表达式，指出它们的表达式具有相同形式，具有这类相同表达式的函数，我们称为反比例函数．“26. 2 实际问题与反比例函数”是现实世界中四个典型的实例，我们先把它们抽象为数学模型——反比例函数，它刻画了问题中的反比例关系，然后运用反比例函数的性质解决它们．在反比例函数概念的学习中，我们再次经历了概念学习的几个过程：（1）概念的引入——通过三个具体实例，反比例关系和函数的概念，引出反比例函数；（2）概念属性的归纳——对教科书中的三个实例进行分析、比较、综合，归纳三个实例的共同特征的形式；（3）概念的明确与表示——指出形如（k 为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，并给出文字语言和数学符号语言的准确表示；（4）概念的辨析——在练习中，以实例为载体分析概念，并恰当使用反例，如“26.1.1 反比例函数”中的练习2和练习3；（5）概念的巩固应用——用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤，如“26.1.1 反比例函数”的例1；（6）概念的“精致”——通过概念的综合应用，如“26.1.2反比例函数的图象和性质”，“26.2实际问题与反比例函数”，进一步认识反比例函数的概念，加深对反比例函数概念的理解．2. 类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究反比例函数函数是初中数学重要的概念，对函数的研究方法一脉相承．它们都是变化规律的数学模型，虽然描述的是不同的变化规律，但都概括得出函数解析式；根据解析式，由自变量的值求出相应的函数值，通过列表表示这些自变量的值和函数值；然后把这些值对应的点在坐标系中表示出来；最后用平滑的曲线把这些点连接起来，得到函数的图象．由它的图象，同时结合其解析式，我们得到其性质：图象的形状、大小、位置和变化规律等等．这是学习每类具体函数时采用的相同研究方法，反比例函数也不例外．在每类函数的学习中，我们都是按照从特殊到一般，从具体到抽象的方式展开．对反比例函数的学习，我们重点研究k>0时的情形，归纳得到它的性质：图象是双曲线；图象分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，y随的x增大而减小．然后类比k>0的情形，研究k<0的情形，得出它们的性质．3. 加强与物理等学科之间的横向联系数学既是科学技术的语言，又是科学技术的工具．反比例函数不仅在现实世界中具有众多原型，而且在现实世界中具有广泛的应用．本章众多问题来源于物理学科，运用反比例函数知识加以解决，了解这些问题的物理背景是解决它们的前提．本章从原八年级下册移至九年级下册，主要考虑是学生必须熟悉物理背景，而相关的物理背景学生在九年级物理课中才接触．实际上，加强不同学科之间的联系，从其他学科引入数学问题，然后运用数学加以解决始终是数学学习的重要方面．本章涉及的主要物理背景包括路程、速度与时间，电流、电阻与电压，电功率、电流和电阻，压力、面积与压强等之间的关系，这些具有反比例关系的物理问题是反比例函数研究的重要内容．实际上，凡是能够抽象为a=bc型数量关系的物理问题，我们都可以从正比例函数和反比例函数的角度去认识它们．4. 数形结合：数缺形时少直观，形少数时难入微函数图象是研究函数性质的直观载体，从图象上可以观察函数的变化规律，整体上把握函数的性质，但是难以深入局部和细节．而解析式可以对函数的性质进行无限“解读”，但很抽象，不直观．我们常常把函数图象和解析式结合起来，研究函数的性质，这体现了数形结合．正像著名数学家华罗庚先生所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，一朝分家万事休”．数形结合的优势正体现在此．反比例函数的图象是双曲线，双曲线非常直观地反映了反比例函数的变化规律，而反比例函数的解析式可以对上述变化规律反映的数量关系进行代数解析．三、对教学的几个建议1. 从变量角度进一步加深对函数的认识初中阶段从变量的角度研究函数，把函数定义为当一个量变化时，另一个量随这个量的变化而变化．函数定义突出了变化与对应思想，其内涵是：两个变量联系紧密，一个变量变化时另一个变量也发生变化；函数值与自变量之间单值对应，自变量的值确定后，函数值唯一确定．我们运用变量描述变化规律，认识函数是重要的数学模型．函数的内涵非常丰富，与数、式、方程等联系非常紧密，我们从函数角度重新认识它们时，可以把它们看作“特殊”的函数，提升对它们的认识．2. 关于反比例函数的增减性、渐近性和对称性等性质的教学要求需要注意的是反比例函数自变量的范围，与正比例函数、一次函数和二次函数相比，其特殊之处在于自变量不能取0，在0这点没有定义．不像直线和抛物线那样在整个自变量的取值范围内，其图象是连续的．反比例函数的图象在0这个点“断开”了，其图象在两个象限．我们在描述其变化规律时，需要对每个象限的图象进行描述，不能在整个自变量范围描述其增减性．另外，在每个象限研究变化规律时，我们只研究增减性．增减性是基本要求，必须掌握．为了拓展学生的知识面，我们设置了“信息技术应用探索反比例函数的性质”的选学内容，借助信息技术软件快速计算、列表和画图方面的优势，研究了反比例函数的图象——双曲线的渐近性和对称性．渐近性：双曲线在其所在象限与坐标轴越来越近，但永远不与它们相交；对称性：关于直线y=±x对称，关于原点中心对称；k取不同值时，双曲线相对于原点的位置不同等等．虽然双曲线具有这些丰富的性质，但不做基本要求，教学时要严格控制．。
人教版九年级数学下册导学案26-2 实际问题与反比例函数(第二课时)【含答案】
人教版九年级数学下册导学案 第二十六章 反比例函数 26.2 实际问题与反比例函数（第二课时）【学习目标】1.掌握反比例函数在其他学科中的运用,提高运用代数方法解决实际问题的能力.2.进一步体会数学与现实生活的紧密性,体会数形结合的数学思想,增强应用意识.【课前预习】1．1888年，海因里希•鲁道夫•赫兹证实了电磁波的存在，这成了后来大部分无线科技的基础．电磁波波长λ（单位：米）、频率f （单位：赫兹）满足函数关系λf ＝3×108，下列说法正确的是（ ）A ．电磁波波长是频率的正比例函数B ．电磁波波长20000米时，对应的频率1500赫兹C ．电磁波波长小于30000米时，频率小于10000赫兹D ．电磁波波长大于50000米时，频率小于6000赫兹2．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p (Pa)是气球体积V (m 3)的反比例函数，且当V =1.5m 3时，p =16000Pa ，当气球内的气压大于40000Pa 时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应( )A ．不小于0.5m 3B ．不大于0.5m 3C ．不小于0.6m 3D ．不大于0.6m 33．如图，将质量为10kg 的铁球放在不计重力的木板OB 上的A 处，木板左端O 处可自由转动，在B 处用力F 竖直向上抬着木板，使其保持水平，已知OA 的长为1m ，OB 的长为xm ，g 取10N/kg ，则F 关于x 的函数解析式为( )A ．100F x =B ．90F x =C ．9F x =D ．10F x= 4．在压力一定的情况下，压强()P pa 与接触面积S （2m ）成反比例，某木块竖直放置与地面的接触面积20.3S m =时，20000P pa =，若把木块横放，其与地面的接触面积为22m ，则它能承受的压强为（ ）A ．1000paB ．2000paC ．3000paD ．4000pa5．某密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度ρ是容积V 的反比例函数.当容积为53m 时，密度是31.4kg /m ，则ρ与V 之间的函数表达式为（ ）A ．7V ρ=B ．7V ρ=C ．7V ρ=D ．17Vρ= 6．随着私家车的增多，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上汽车的行驶速度y （千米/时）与路上每百米拥有车的数量x （辆）的关系如图所示，当8x 时，y 与x 成反比例关系，当车速低于20千米/时时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x 应该满足的范围是（ ）A ．032x <B ．032xC ．32x >D ．32x .7．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积V （3m ）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa 时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）A ．不小于35m 4B ．大于35m 4C ．不小于35m 4D ．小于35m 48．定义新运算：(0)(0)p q q p q p q q⎧>⎪⎪⊕=⎨⎪<⎪⎩，例如：3355⊕=，33(5)5⊕-=，则2(0)y x x =⊕≠的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．9．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N 和0.5m ，则动力F （单位：N ）关于动力臂l （单位：m ）的函数解析式正确的是（ ）A．1200Fl=B．600Fl=C．500Fl=D．0.5Fl=10．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应( )A．不小于4.8ΩB．不大于4.8ΩC．不小于14ΩD．不大于14Ω【学习探究】自主学习阅读课本，完成下列问题1.某打印店要完成一批电脑打字任务，每天完成75页，需8天完成任务.①则每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系？②要求5天完成，每天应完成几页？2.某蓄水池的排水管道每小时排水8 m3，6 h可将满池水全部排空.（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），将满池水排空所需时间为t（h），求Q与t之间的函数关系式. （3）如果准备在5 h内将满池水排空，那么每小时排水量至少为多少？（4）已知排水管的最大排水量为每小时12 m 3，那么最少多长时间可将满池水排空？3.物理中的杠杆定律：阻力⨯阻力臂=动力⨯动力臂.（1）当阻力和阻力臂分别是1200牛和0.5米时动力F 和动力臂L 有何关系？（2）力臂为1.5米时，撬动石头至少要用多大的力？（3）当想使动力F 不超过（2）中所用力的一半时，你如何处理？ 4.在某一电路中，电流I 、电压U 、电阻R 三者之间满足关系R U I = （1）当哪个量一定时，另两个量成反比例函数关系？（2）若I 和R 之间的函数关系图象如图，试猜想这一电路的电压是______伏．互学探究【例1】某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与日销售量y 之间有如下关系：x(元)3 4 5 6 y(个) 20 15 12 10(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x ，y)的对应点；(2)猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；(3)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润?【例2】码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间．(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨／天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系?(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?【例3】小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂,分别为1 200 N和0.5 m,(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系式?当动力臂为1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力?(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,动力臂至少要加长多少?思路点拨:“撬动石头”就意味着达到了“杠杆平衡”,因此可用“杠杆定律”来解决此问题.【例4】一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110～220 Ω,已知电压为220 V,这个用电器的电路图如图所示.(1)输出功率P与电阻R有怎样的函数关系?(2)用电器的输出功率的范围是多少?思路点拨:(1)根据物理知识可得U 2=P ·R ,故当U=220时,P ,R成反比例,故有P=2202R ; (2)根据题意,将数据代入可进一步求解得到答案. 变式训练1.在压力不变的情况下,某物体承受的压强p (Pa)是它的受力面积S (m 2)的反比例函数,其图象如图所示.(1)求p 与S 之间的函数关系式;(2)求当S=0.5 m 2时物体承受的压强p ;(3)当1 000<p<4 000时,求受力面积S 变化的范围.2.一封闭电路中,当电压是6 V 时,回答下列问题:(1)写出电路中的电流I (A)与电阻R (Ω)之间的函数关系式;(2)画出该函数的图象;(3)如果一个用电器的电阻是5 Ω,其最大允许通过的电流为1 A,那么只把这个用电器接在这个封闭电路中,会不会烧坏?试通过计算说明理由.【课后练习】1．今年，某公司推出一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y(元)与付款月数x(x为正整数)之间的函数关系式是()A．y=9668x-3000B．y=9668x+3000C．y=3000xD．y=6688x2．如图，在矩形OABC中，AB=2BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，连接OB，反比例函数kyx（k≠0，x＞0）的图象经过OB的中点D，与BC边交于点E，点E的横坐标是4，则k的值是A．1B．2C．3D．43．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位，kg/m3，与体积V（单位，m3，之间满足函数解析式ρ，kV，k为常数，k≠0，，其图象如图所示，则k的值为（，A．9B．，9C．4D．，44．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的A．7：20B．7：30C．7：45D．7：505．如图所示，已知A，12，y1，，B(2,y2)为反比例函数1yx图像上的两点，动点P(x，0)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（，A．(12，0)B．(1,0)C．(32,0)D．(52,0)6．物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强P与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为P=FS．当一个物体所受压力为定值时，那么该物体所受压强P与受力面积S之间的关系用图象表示大致为（）A．B．C．D．7．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y，℃）和时间x，min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（）A．27分钟B．20分钟C．13分钟D．7分钟8．我们常用“y 随x 的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A 经过路灯C 的正下方沿直线走到点B ，他与路灯C 的距离y 随他与点A 之间的距离x 的变化而变化．下列函数中y 与x 之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（ ）A ．y ＝3xB ．y ＝－x ＋3C ．y ＝－（x －3）2＋3D ．y ＝（x －3）2＋39．已知：力F 所做的功是15焦（功＝力×物体在力的方向上通过的距离），则力F 与物体在力的方向上通过的距离S 之间的函数关系图象大致是下列选项中的（ ）A ．B ．C ．D ．10．一块砖所受的重力为14.7N ，它的长、宽、高分别为20cm 、10cm 、5cm ，将砖平放时对地面的压强是( )A ．735PaB ．753PaC ．73.5PaD ．75.3Pa11．某产品的进价为50元，该产品的日销量y （件）是日销价x （元）的反比例函数，且当售价为每件100元时，每日可售出40件，为获得日利润为1500元，售价应定为________，12．在△ABC 中，BC 边的长为x ，BC 边上的高为y ，△ABC 的面积为2．y 关于x 的函数关系式是________，x 的取值范围是________；13．近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为________．（无需确定x 的取值范围）14．山西拉面，又叫甩面、扯面、抻面，是西北城乡独具地方风味的面食名吃，为山西四大面食之一．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度()y cm 与粗细（横截面面积）()2x cm 之间的变化关系如图所示（双曲线的一支）．如果将这个面团做成粗为20.16cm 的拉面，则做出来的面条的长度为__________cm ．15．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()p kPa 是气体体积3()V m 的反比例函数，其图象如图所示．当气体体积为31m 时，气压是__________kPa ．【课前预习】1．D 2．C 3．A 4．C 5．C 6．B 7．C 8．D 9．B10．A 【课后练习】1．D 2．B 3．A 4．A 5．D 6．C 7．C 8．D 9．B 10．A 11．80元12．4y x = x ＞013．100y x =14．80015．96。
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(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)九年级数学(下)(配人教地区使用)(这是边文，请据需要手工删加)第二十六章反比例函数本章内容属于“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界中存在各种函数，掌握如何应用函数知识解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础．本章的主要内容是反比例函数，教材中从几个学生熟悉的实际问题出发，引入反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识．第一节的内容是反比例函数的概念以及反比例函数的图象和性质．反比例函数y＝kx(k为常数，k≠0)的图象分布在两个象限，当k>0时，图象分布在第一、三象限，y随x的增大(减小)而减小(增大)；当k<0时，图象分布在第二、四象限，y随x的增大(减小)而增大(减小)．第二节的内容是如何利用反比例函数解决现实世界中的实际问题以及如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象．教学中要注重数学思想的渗透，注意做好与已学内容的衔接，还要加强反比例函数与正比例函数的对比．本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工具．教材中给出了大量的具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融会贯通．本章的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握，教学时在这方面要投入更多的精力．1．理解并掌握反比例函数的概念．2．掌握反比例函数的图象和性质．3．能灵活运用反比例函数知识解决实际问题．本章教学约需4课时，具体分配如下：26．1反比例函数3课时26．2实际问题与反比例函数1课时26．1反比例函数26．1.1反比例函数知识与技能1．使学生理解并掌握反比例函数的概念．2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式． 过程与方法能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的建模思想．情感、态度与价值观经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，体会数学学习的重要性，培养学生学习数学的兴趣．重点理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式． 难点理解反比例函数的概念．一、创设情境，讲授新课活动1.问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1 463 km ，乘坐某次列车所用时间t(单位：h )随该列车平均速度v(单位：km /h )的变化而变化；(2)某住宅小区要种植一个面积为1 000 m 2的矩形草坪，草坪的长y 随宽x 的变化而变化； (3)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S(单位：平方千米/人)随全市人口n(单位：人)的变化而变化．解：(1)t ＝1463v ；(2)y ＝1000x； (3)S ＝1.68×104n.其中，v 是自变量，t 是v 的函数； x 是自变量，y 是x 的函数； n 是自变量，S 是n 的函数．上面的函数关系式，都具有y ＝kx的形式，其中k 是非零常数．活动2.下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？ (1)一个游泳池的容积为2 000 m 3，注满游泳池所用的时间t 随注水速度v 的变化而变化； (2)某立方体的体积为1 000 cm 3，立方体的高h 随底面积S 的变化而变化． 解：(1)t ＝2 000v ； (2)h ＝1 000S.概念：如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y ＝kx 的形式，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x 不能为零．活动3.问题1：下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数？y ＝4x ，yx＝3，y ＝6x ＋1，xy ＝123.问题2：已知y 是x 的反比例函数，当x ＝2时，y ＝6.写出y 关于x 的函数关系式．求当x ＝4时，y 的值．师生行为：学生独立思考，然后小组合作交流．教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导．1．解：只有xy ＝123是反比例函数．2．分析：因为y 是x 的反比例函数，所以可设y ＝kx ，再把x ＝2和y ＝6代入上式就可求出常数k 的值．解：设y ＝kx ，因为x ＝2时，y ＝6，所以有6＝k2，解得k ＝12， 因此y ＝12x ，把x ＝4代入y ＝12x ，得y ＝124＝3. 二、例题讲解例1 下列等式中，哪些是反比例函数？(1)y ＝x 3；(2)y ＝－2x ；(3)xy ＝21；(4)y ＝5x ＋2；(5)y ＝－32x ；(6)y ＝1x ＋3；(7)y ＝x －4.解：(2)(3)(5)是反比例函数．例2 函数y ＝－1x ＋2中，自变量x 的取值范围是________．解：x ≠－2.例3 当m 取什么值时，函数y ＝(m －2)x3－m 2是反比例函数？分析：反比例函数y ＝k x (k ≠0)的另一种表达式是y ＝kx －1(k ≠0)，这种写法中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m 2＝－1，特别注意不要遗漏k ≠0这一条件，也要防止出现3－m 2＝1的错误．解：由题意可知⎩⎨⎧m －2≠0，3－m 2＝－1， 解得m ＝－2. 三、巩固练习1．已知y 是x 的反比例函数，并且当x ＝3时，y ＝－8. (1)写出y 与x 之间的函数关系式； (2)当y ＝2时，求x 的值． 答案 (1)y ＝－24x(2)x ＝－12 四、课堂小结反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量之间的关系及变化规律，逐步加深理解．在概念的形成过程中，从感性认识提升到理性认识，建立概念，摆脱其原型成为数学对象．反比例函数具有丰富的数学含义．通过举例、说理、讨论等活动用数学眼光审视某些实际现象．例题非常简单，在例题的处理上注重培养学生形成写出规范的解题步骤的能力，同时拓宽学生的思路．在题目的设计和教学设计上注重了由浅入深的梯度，同时充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用．26．1.2 反比例函数的图象和性质第1课时 反比例函数的图象和性质(1)知识与技能1．会用描点法画反比例函数的图象．2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质．过程与方法体会分类讨论思想、数形结合思想的运用． 情感、态度与价值观1．体会函数的表示方法，领会数形结合的思想方法．2．在动手作图的过程中体会其中的乐趣，养成勤于动手、乐于探索的习惯．重点理解并掌握反比例函数的图象和性质． 难点正确画出图象，通过观察、分析归纳出反比例函数的性质．一、复习回顾，引入新课1．画出函数y ＝3x ＋1的图象．2．求函数y ＝3x ＋1的图象与x 轴、y 轴的交点的坐标．这个过程由学生独立思考、操作、交流、回答，教师可与学生讨论交流，提问学生． 问：什么叫做反比例函数？学生：如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)的形式，那么y 是x 的反比例函数．反比例函数的自变量x 不能为零．让学生猜想反比例函数的图象是什么样的，让学生自己尝试作反比例函数y ＝6x ，y ＝4x ，y ＝－6x ，y ＝－4x的图象．二、例题讲解例1 画出反比例函数y ＝6x 与y ＝－6x的图象．反比例函数是我们第一次遇到的非直线函数图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成的，我们从描出的点的变化趋势可以看出，切记不能用直线连接．师生共析：用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序把描出的点连接起来，就可得到下图．问：观察画出的图象，思考y ＝6x 与y ＝－6x 的图象有什么共同的特征？它们之间有什么关系？(教师在学生思考、回答后指出反比例函数的图象是双曲线，是轴对称图形，各有两条对称轴，它们都不会经过原点)反比例函数y ＝kx 的图象是由两支曲线组成的，当k ＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k ＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限．例2 已知反比例函数y ＝(m －1)xm 2－3的图象在第二、四象限，求m 的值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况．分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即y ＝kx －1(k ≠0)中自变量x 的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k ＜0，则m －1＜0，不要忽视这个条件．解：∵y ＝(m －1)xm 2－3是反比例函数，∴m 2－3＝－1，且m －1≠0. 又∵图象在第二、四象限，∴m －1＜0.解得m ＝±2，且m ＜1，则m ＝－ 2. 在每个象限内，y 随x 的增大而增大．反比例函数y ＝kx 的图象，当k ＞0时，在每一个象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，y 的值随x 值的增大而增大．例3 如图，过反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象上任意两点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，连接OA ，OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1，S 2，比较它们的大小，可得( )A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．大小关系不能确定分析：从反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上任一点P(x ，y)分别向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积S ＝|xy|＝|k|，由此可得S 1＝S 2＝12|k|，故选B .三、巩固练习1．若函数y ＝(2m －1)x 与y ＝3－mx的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是________．答案12＜m＜32．反比例函数y＝－2x，当x＝－2时，y＝________；当x＜－2时，y的取值范围是________；当－2＜x＜0时，y的取值范围是________．答案1y＜1y＞1四、课堂小结师：你对本节知识有哪些认识？教师可让学生随意说出一个反比例函数，然后由一个学生说出它的性质．在活动中，教师应重点关注：1．不同层次的学生对本节课知识的认识程度．2．学生独立面对困难和克服困难的能力．“反比例函数的图象与性质”是反比例函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用．在本节课的教学中，有意识地加强反比例函数与正比例函数之间的对比．借助计算机的动态演示比较两函数的图象，使学生更直观、更清楚地看清两函数的区别，从而使学生加深对两函数性质的理解．观察反比例函数的图象，获取函数相关性质的信息有较大空间，考查学生能否对信息做出灵敏反应，应用时，能否善于分析和决策，灵活运用知识有效地解决问题，关注并追踪这些活动所引起的学生的持久变化．第2课时反比例函数的图象和性质(2)知识与技能1．使学生进一步理解并掌握反比例函数的图象与性质．2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题．过程与方法体会函数不同表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合，逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的性质．情感、态度与价值观体会分类讨论思想、数形结合思想的运用，在动手作图的过程中体会其中的乐趣，养成勤于动手、乐于探索的习惯．重点理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题．难点学会从图象上分析、解决问题．一、复习导入首先复习上节课所学的内容：1．什么是反比例函数？2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？3．作函数图象的步骤：列表、描点、连线．4．反比例函数的图象和性质：(1)反比例函数的图象是由两支曲线组成的(通常称为双曲线)；(2)当k ＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k ＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内；(3)反比例函数的图象与坐标轴不相交，它们都不过原点；(4)反比例函数的图象关于原点对称，是中心对称图形，也是轴对称图形．(5)反比例函数y ＝kx 的图象，当k ＞0时，在每一个象限内，y 的值随x 的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，y 的值随x 的增大而增大．二、例题讲解例1 已知反比例函数的图象经过点A(2，6)．(1)这个函数的图象分布在哪些象限？随自变量的增大如何变化？ (2)点B(3，4)，C(－212，－445)和D(2，5)是否在这个函数的图象上？解：(1)设这个反比例函数的解析式为y ＝kx ，因为它经过点A ，把点A 的坐标(2，6)代入函数解析式，得6＝k2，解得k ＝12，即这个反比例函数的表达式为y ＝12x.因为k>0，所以这个函数的图象在第一、三象限内，y 随x 的增大而减小．(2)把点B ，C 和D 的坐标代入y ＝12x，可知点B 、点C 的坐标满足函数关系式，点D 的坐标不满足函数关系式，所以点B 、点C 在函数y ＝12x的图象上，点D 不在该函数的图象上． 例2 如图是反比例函数y ＝m －5x的图象的一支．根据图象回答下列问题：(1)图象的另一支在哪个象限？常数m 的取值范围是什么？(2)在上图的图象上任取点A(a ，b)和点B(a ′，b ′)，如果a>a ′，那么b 和b ′有怎样的大小关系？师生活动：让学生先观察图象，然后结合反比例函数的图象完成此题．教师应给学生提供充分的交流时间和空间．解：(1)反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限或者分布在第二、四象限，这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．因此这个函数的图象分布在第一、三象限，所以m －5>0，解得m>5.(2)由函数的图象可知，在双曲线的一支上，y 随x 的增大而减小，因为a>a ′，所以b ＜b ′.三、巩固练习1．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则函数y＝kbx的图象在()A．第一、三象限B．第二、四象限C．第三、四象限D．第一、二象限答案B2．已知点(－1，y1)，(2，y2)，(π，y3)在双曲线y＝－k2＋1x上，则下列关系式正确的是()A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2答案B四、课堂小结1．进一步掌握了反比例函数的作图方法．2．学会了利用反比例函数的性质画出反比例函数的图象．本节课通过学习情境的创设改变了学生的学习方法，学生的学习能力、思维品质、探究意识及其态度、情感价值观等有了不同的发展．在这节课的教学中，我比较成功地实施了诱思探究教学，学生的积极性得到充分的调动．在教学过程中，注意引导学生仔细观察反比例函数图象的特征，根据其对称性列表、描点、连线，作图就会画得又快又美观，注意控制时间，充分理解教学意图，敢于放手．26．2实际问题与反比例函数知识与技能1．能灵活运用反比例函数解决一些实际问题．2．分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．过程与方法会用反比例函数知识分析、解决实际问题．情感、态度与价值观渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力．重点会用反比例函数知识分析、解决实际问题．难点分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式．一、复习导入，教授新课问题：市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下挖进多深？(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15 m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15 m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要？(保留两位小数)我们知道圆柱的容积是底面积×高，而现在容积一定为104 m 3，所以S ·d ＝104.变形就可得到底面积S 与其深度d 的函数关系式，即S ＝104d ，所以储存室的底面积S 是其深度d 的反比例函数．根据函数S ＝104d ，我们知道给出一个d 的值就有唯一的S 的值和它相对应，反过来，知道S 的一个值，也可求出d 的值．根据S ＝104d ，得500＝104d ，解得d ＝20，即施工队施工时应该向下挖进20米．根据S ＝104d ，把d ＝15代入此式，得S ＝10415≈666.67(m 2)．当储存室的深为15 m 时，储存室的底面积应改为666. 67 m 2才能满足需要．二、例题讲解例1 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t 之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？解：(1)设轮船上的货物总量为k 吨，根据已知条件得k ＝30×8＝240，所以v 关于t 的函数解析式为v ＝240t. (2)把t ＝5代入v ＝240t，得v ＝2405＝48(吨)． 从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48吨．对于函数v ＝240t ，当t>0时，t 越小，v 越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨．例2 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N 和0.5 m .(1)动力F 与动力臂l 有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？(2)若想使动力F 不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l 至少要加长多少？ 解：(1)根据“杠杆原理”，得Fl ＝1 200×0.5，所以F 关于l 的函数解析式为F ＝600l. 当l ＝1.5 m 时，F ＝6001.5＝400(N )． 对于函数F ＝600l ，当l ＝1.5 m 时，F ＝400 N ，此时杠杆平衡，因此，撬动石头至少需要400 N 的力．(2)对于函数F ＝600l，F 随l 的增大而减小．因此，只要求出F ＝200 N 时对应的l 的值，就能确定动力臂l 至少应加长的量．当F ＝400×12＝200时，由200＝600l得l ＝600200＝3(m )， 3－1.5＝1.5(m )．对于函数F ＝600l ，当l>0时，l 越大，F 越小．因此，若想用力不超过400 N 的一半，则动力臂至少要加长1.5 m .例3 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110 Ω～220 Ω.已知电压为220 V ，这个用电器的电路图如图所示．(1)功率P 与电阻R 有怎样的函数关系？ (2)这个用电器功率的范围是多少？解：(1)根据电学知识，当U ＝220时，得P ＝2202R. ①(2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．把电阻的最小值R ＝110代入①式，得到功率的最大值P ＝2202110＝440(W )；把电阻的最大值R ＝220代入①式，得到功率的最小值P ＝2202220＝220(W )．因此用电器功率的范围为220W ～440W . 三、巩固练习1．京沈高速公路全长658 km ，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需的时间t(h )与行驶的平均速度v(km /h )之间的函数关系式为________．答案 t ＝658v2．一定质量的氧气，它的密度ρ(kg /m 3)是它的体积V(m 3)的反比例函数．当V ＝10 m 3时，ρ＝1.43 kg /m 3.(1)求ρ与V 的函数关系式；(2)求当V ＝2 m 3时氧气的密度ρ.答案 (1)ρ＝mV，当V ＝10 m 3时，ρ＝1.43 kg /m 3，所以m ＝ρV ＝10×1.4＝14.3，所以ρ＝14.3v ；(2)当V ＝2 m 3时，ρ＝14.32＝7.15(kg /m 3)．四、课堂小结本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，抽象出数学模型，逐步形成解决实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象帮助分析问题，渗透数形结合的思想．本节体现了反比例函数是解决实际问题的有效的数学模型的思想．创设问题情境，激发学生探究实际问题的兴趣，引发学生思考，体验数学知识的实用性，让学生经历“问题情境→建立模型→拓展应用”的过程，培养学生善于发现问题、积极参与学习的能力，培养学生的数学应用意识，充分激发学生的潜能．第二十七章相似本章主要学习图形的相似．首先，教材中从生活实例入手，得到相似图形的概念，进一步得到相似多边形，研究了相似多边形的定义和有关性质，为研究相似三角形做了铺垫．其次，从相似多边形引入相似三角形，反映了知识间的一种联系，同时也揭示了相似三角形所要研究的本质就是两个三角形边、角之间的关系．本部分内容的学习，应突出一种对应关系，即找两个相似三角形的对应边和对应角，关键是先找到其对应顶点．相似三角形的性质及其判定定理是否能正确地运用也是本节课的一个重点．教材中首先让学生选择合适的方法进行探索和归纳，然后运用相似三角形的性质，通过计算给出证明，并推导得到相似三角形的周长的比、面积的比与相似比的关系．最后，教材中介绍了图形的位似．位似的两个图形具有一种特殊的位置关系，这种关系是通过位似中心来联系的，位似中心的位置决定了两个位似图形的位置，其关键是抓住对应点的连线都经过位似中心；而相似图形只研究它们的形状和大小，与这两个图形的位置无关．本节的位似只要求学生理解位似图形，利用位似将一个图形放大或缩小．1．能够判断线段是否成比例，理解并掌握比例的几个性质以及平行线分线段成比例定理．2．通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等、对应边成比例．3．了解两个相似三角形的概念，探索两个三角形相似的条件、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比、面积的比与相似比的关系．4．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小．5．通过典型实例观察并认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．本章教学约需11课时，具体分配如下：27．1图形的相似2课时27．2相似三角形7课时27．3位似2课时27．1图形的相似第1课时图形的相似(1)知识与技能从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段，理解成比例线段的概念．过程与方法在成比例线段的探究过程中，让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题．情感、态度与价值观在探究成比例线段的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识．重点认识成比例的线段．难点理解成比例线段的概念．一、问题引入活动1.观察图片，体会形状相同的图形．(多媒体出示)师：同学们，请观察下列几幅图片，你能发现什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？生：这些图形的形状相同，而大小不同．二、新课教授活动2.思考：如图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们的形状相同吗？生：形状不同．师：我们把形状相同，大小不同的图形叫做相似图形．形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的．在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”，因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系．如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ∶CD ＝m ∶n 或写成AB CD ＝mn .其中，线段AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把m n 表示成比值k ，那么ABCD ＝k 或AB ＝k ·CD ，两条线段的比实际上就是两个数的比．活动3.如果把老师手中的教鞭与铅笔分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的长度比是多少？师生活动．1．两条线段的比，就是两条线段长度的比．2．成比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，如a b ＝cd(即ad ＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意：(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，但在计算时要注意统一单位； (2)线段的比是一个没有单位的正数；(3)四条线段a，b，c，d成比例，记作：ab＝cd或a∶b＝c∶d；(4)若四条线段满足ab＝cd，则有ad＝bc；(5)如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么ab＝cd.三、例题讲解例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形形状相同的是()解：C例2一张桌面长a＝1.25 m，宽b＝0.75 m，那么长与宽的比是多少？(1)如果a＝125 cm，b＝75 cm，那么长与宽的比是多少？(2)如果a＝1 250 mm，b＝750 mm，那么长与宽的比是多少？解：ab＝5 3小结：上面分别采用m，cm，mm三种不同的长度单位，求得的ab的值是相等的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致．四、课堂小结1．图形相似的定义：形状相同的图形叫做相似图形．2．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，如ab＝cd(即ad＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．本节课在学习过程中应该注意从生活中形状相同的图形的实例中认识相似图形以及成比例的线段，理解成比例线段的概念．在相似图形的探究过程中，让学生运用“观察——比较——猜想”的方法分析问题，让学生经历探究过程．以学生的自主探究为主线，让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识．教师只在关键处进行点拨，不足处进行补充．鼓励学生大胆猜测、大胆验证，让学生在研究过程中渗透数学思想，有意识地培养学生的解题能力．第2课时图形的相似(2)知识与技能知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等．掌握判断两个多边形是否相似的方法——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似”．过程与方法经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程，体会由特殊到一般的思想方法，感受图形世界的丰富多彩．情感、态度与价值观在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质．。
初中数学_人教版数学九年级下册反比例函数教学设计学情分析教材分析课后反思
《反比例函数》教学设计学习目标1、理解并掌握反比例函数的概念。
2、能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。
3、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想。
学习重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式学习难点：理解反比例函数的概念。
学习准备：1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？2、体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？学习过程：一、探索研讨【活动1】问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位:h）随该列车平均速度v（单位:km/h）的变化而变化；_________________（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；_________________（3）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S(平方千米/人)随全市总人口数n（单位：人）的变化而变化。
_________________上面的函数关系式，都具有_____________的形式，其中_________是常数。
【活动2】下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示吗？（1）一个游泳池的容积为2000m3,注满游泳池所用的时间随注水速度u的变化而变化；_________________（2）某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；_________________（3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积S的变化而变化。
_________________概念：如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成___________的形式，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x____为零。
数学九年级下册全套导学案(pdf版含答案)(1)
人教版数学九年级下册全套导学案26.1.1反比例函数§26.1 反比例函数1.认识反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型.2.经历由实际问题抽象反比例函数的过程，掌握反比例函数的概念.3.能够根据已知条件求反比例函数的解析式.试一试反比例函数的概念1.回答下列问题（1）京沪线铁路全程为1463km ，某次列车的平均速度v（单位：km/ h ）随此次列车的全程运行时间t （单位：h ）的变化而变化.问题中有两个变量与，当一个量变化时，另一个量随着它的变化而变化，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应.因此变量间具有函数关系，它的解析式为 .（2）某住宅小区要种植一块面积为1000m2 的矩形草坪，草坪的长y （单位：m ）随宽x（单位：m ）的变化而变化. 问题中有两个变量与，当一个量变化时，另一个量随着它的变化而变化，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应.因此变量间具有，它的解析式为.（3）已知北京市的总面积为1.68 104 km2 ，人均占有面积S （单位：km2 / 人）随全市总人口n （单位：人）的变化而变化. 问题中有两个变量与，当一个量变化时，另一个量随着它的变化而变化，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应. 因此变量间具有，它的解析式为.答案：1.（1）t，v，t，v，t，v，v1463；（2）x，y，x，y，x，y，函数关系，y t=1000；x1.68 ⨯104 k（3）n，S，n，S，n，S，函数关系，Sk = ；小结：（1） y = ，非零常数； n x（2）x ，y ，x ，不等于 0 的一切实数；（3）分母，无意义；（4）自变量，函数.根据已知条件求反比例函数解析式 1．已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2 时， y = 6 .（1）写出 y 关于 x 的函数解析式；（2）当 x = 4 时，求 y 的值.解：（1）因为 y 是 x 的 ，所以设 .又因为 x = 2 时， y = 6 ，所以有，解得， 因此 y = .（2）把 x = 4 代入，得 y = . 2. 近视眼镜的度数 y （单位：度）与镜片焦距 x （单位：m ）成反比例.已知 200 度近视眼镜的镜片焦距为0.5m ，则 y 与 x 之间的函数解析式是. 答案：1.（1）反比例函数，y= ，6 = x试一试k 12，k=12，2 x；（2）y12，3；2.xy 100.x 题组一1.用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：（1）某厂现有 300 吨煤，这些煤能烧的天数y（单位：天）随平均每天烧的吨数x（吨/天）的变化而变化.那么y 与x 之间的函数关系式是.（2）一个物体重100N，物体对地面的压强p （单位：Pa）随物体与地面的接触面积S（单位：m2 ）的变化而变化.那么p 与S 之间的函数关系式是.2.下列函数：① y做一做2x1；②y4=-；③yx⑤ xy =15；⑥y=2，其中y 是x 的反比例函数的是（填序号）. x 23.在xy + 2 = 0 中，y 是x 的（）A.一次函数B.反比例函数C. 正比例函数D.既不是正比例函数也不是反比例函数答案：1.（1）y300；（2）p x=300；2. ②④⑤；3. B. S题组二1.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强，如下表：体积 x （mL）100 80 60 40 20压强 y（kPa） 60 75 100 150 300则可以反映y 与x 之间的关系的式子是（）3000 6000A. y =3000x做一做B. y 6000xC.y =D. y =x x2.已知y 与x2 成反比例，并且当x = 3 时，y = 4 .（1）写出y 关于x2 的函数解析式；（2）当x = 1.5 时，求y 的值；（3）当y = 4 时，求x 的值.答案：1.D；2.（1）因为y 与x2 成反比例，所以设y =k k. 又因为 x = 3 时， y = 4 ，所以x 2 有4 = ，解得k = 36 ，因此 y =3236；（2）将x=1.5代入y = x36得y 16；（3）将x2 y = 6代入 y = 36得 x = ± 6 .x 1. 若 y = (a +1)xa -2 是反比例函数，则 a 的取值为 .2. 已知函数 y = 能力拓展m + 3 x1-m2-3m是反比例函数，则m2 2m = .3.反比例函数y=k在x = 2 处自变量增加 1，函数值相应地减少了2 x 3小结：（1）反比例函数y = 中 k≠0，自变量 x 的指数为；k x （2） y 与 x 成正比例， x 与 z 成反比例，则 y 与 z 成. 6 ，则 k= .4.若 y 与 x 成正比例， x 与 z 成反比例，且当 z = 2 时， y = -3，则 y 与 z 的函数解析式是 .答案：1. 1；2. 0；3. 4；4. y = -6 ；小结：（1）-1；（2）反比例. x 26.1.2 反比例函数的图像和性质1. 会根据解析式画反比例函数的图像，归纳反比例函数的图像特征和性质.2. 灵活运用反比例函数的图像和性质解决问题.3. 感悟反比例函数的解析式与图像之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法. 反比例函数的图像和性质 1. 通过描点法画出下列反比例函数的图像.（1） y = （2） y = 12 x x解：列表表示几组 x 与 y 的对应值（填空）：x … -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12 … y = 6xy = 12 x图26.1-12. 通过描点法画出下列反比例函数的图像.（1） y = - 6x试一试（2）y =-12 x答案：1. 略；小结（2）一、三，一、三，减小；（3）减小；2. 略；小结：（3）二、四，二、四，上升，增大；（4）二、四，增大.反比例函数的图像和性质的运用1.已知反比例函数的图像经过点A(2,6) .（1）这个函数的图像位于哪些象限？y 随x 的增大如何变化？（2）点B(3,4) ，C(-2试一试1, 4 2k k 14) ， D (2,5) 是否在这个函数图像上？ 5解：（1）因为点 A (2,6) 在 象限，所以这个函数的图像位于 象限，在每一个象限内， y 随 x 的增大而.（2）设这个反比例函数的解析式为 y = ，因为点 A (2,6) 在其图像上，所以点 A 的坐x标满足 y = ，即 ，解得 k=.所以这个反比例函数的解析式为，x因为点满足该解析式，点 不满足该解析式，所以点在这个函数图像上，点 不在这个函数图像上. 2. 下列反比例函数：① y = - 2x②y =③ 7 y =-103x x④ y3 100x（1）图像位于第一、三象限的是 ； （2）图像位于第二、四象限的是 .小结：1. 如果任意一点的坐标满足函数解析式，那么这个点就在其图像上，否则，就不在其图像上.2. 反比例函数图像的位置以及 y 如何随 x 的变化而变化的情况，只与有关.函数 图像位置 图像变化趋势y = kxk > 0 第一、三象限 在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 k < 0第二、四象限在每个象限内， y 随 x 的增大而增大3. 如图 26.1-2，它是反比例函数 y =m - 5 图像的一支.根据图像，回答下列问题：x（1）图像的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？（2）在这个函数图像的某一支上任取点 A (x 1，y 1) 和点 B (x 2，y 2 ) ，如果 x 1 > x 2 ，那么y 1和 y 2 有怎样的大小关系？图 26.1-2解：（1）反比例函数的图像只有两种可能：位于象限，或者位于象限.因为这个函数的图像的一支位于第 象限，所以另一支必位于第象限. 因为这个函数位于象限，所以 m-5，解得.（2）因为 m-5 ，所以在这个函数图像的任一支上，y 都随 x 的增大而，因此当 x 1 > x 2 时，.4. A (-1, y ) ， B (1, y ) ， C (3, y ) 是反比例函数 y = - 1图像上的三点，请你正确排出123xy 1，y 2，y 3 的大小顺序.k 12 答案：1.（1）第一，第一、三，减小；（2） 6 =，12， y =，B 、C ，D ，B 、C ，D ；2.2x（1）②④；（2）①③；小结：2. k 的正负；3，（1）第一、三，第二、四，一，三，一、三， ＞0，m ＞5；（2）＞0，减小， y 1 < y 2 ；4. y 2 < y 3 < y 1 ；小结：（2）原点.反比例函数的几何意义k1. 如图 26.1-3 所示，反比例函数 y =试一试(k ≠ 0) 的图像上任取一点P(x, y) ，过这一点分别x作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足分别为点M 、N ，所得的矩形PMON 的面积为多少？图 26.1-3k解：矩形PMON 的面积S = ，因为y =，所以xy =k ，所以S= ，即过x双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形面积为.k2.如图 26.1-3 所示，反比例函数y =k (k ≠ 0) 的图像上任取一点 E (x , y ) ，过 E 作 xEF ⊥ y 轴于点 F ，连接OE ，所得三角形 EOF 的面积为多少？ 解：三角形 EOF 的面积 S= ，因为 y = ，所以 xy = k ，所以 S=， x即过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，并将该点与原点相连，所得的三角形的面积为 .答案：1. PM ⋅ PN =y ⋅x =xyk k， ， ，k ，k ；2. 1 EF ⋅ OF =1x ⋅ y = 1xy1 1.22 22 2题组一1. 下列图像中是反比例函数图像的是（ ）（A ）（B ）2. 填空学习迁移做一做k （C ）（D ） 5（1）反比例函数 y =的图像在第象限.x（2）反比例函数 y = 的图像如图 26.1-4 所示，则k0；在图像的每一支上，y 随 xx的增大而.图 26.1-43. 对于反比例函数 y =3 ，下列说法正确的是（ ）xA.图像经过点(-1,3)a 2B. 图像位于第二、第四象限C. x > 0 时， y 随 x 的增大而增大D. x < 0 时， y 随 x 的增大而减小4.当a ≠ 0 时，函数 y = ax +1与函数 y = 在同一坐标系中的图象可能是()x答案：1.C ；2.（1）一、三；（2）>，减少；3.D ；4.C.题组二k1. 若点 P 1(-1,m ) P 2 (-2, n ) 在反比例函数 y = x(k > 0) 的图像上，则m n （填“>”“<”或“=”） 2. 已知点 A (x 1, y 1) ， B (x 2 , y 2 ) ， C (x 3, y 3 ) 是函数 y = - xx 1 < 0 < x 2 < x 3 ，则 y 1, y 2 , y 3 的大小关系是3 + 2m图 像 上 的 三 点 ， 且3. 已知 A (-1, y 1) ， B (2, y 2 ) 两点在双曲线 y = （ ）做一做，且y1 >y2 ，则m 的取值范围是xA.m >0B.m 0C.m >-3 2D.m <-3 2答案：1.<；2. y2 <y3 <y1 ；3.D.题组三k1.如图26.1-5 所示，M 为反比例函数y =的图像上的一点，MA⊥y轴，垂足为A，△MAOx的面积为2，则k 的值为.2.如图26.1-6，点A 在函数y =做一做4 4 ( x > 0) 的图象上，且OA = 4 ，过点 A 作 AB ⊥ x 轴于x点 B ，则△ ABO 的周长为．图26.1-5 图26.1-6 3. 如图 26.1-7 所示，A 、B 两点在双曲线 y = ，分别经过 A 、B 两点向坐标轴作垂线段，x已知 S 阴影 = 1，则 S 1+ S 2 等于（ ） A. 3B. 4C. 5D.6图 26.1-7图 26.1-84 4. 如图 26.1-8 所示，函数 y = -x 与函数 y = -x6 的图像相交于 A ，B 两点，过 A ，B 两点 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C ，D ，则四边形 ACBD 的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 答案：1.4；2. 2 + 4 ；3.D ；4.D. 1. 如图 26.1-9，P 是双曲线 y =4( x > 0) 的一个分支上的一点，以点P 为圆心，1 个点位x长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y = 3相切时，点P 的坐标为. 图26.1-9 图26.1-102.如图26.1-10，在平面直角坐标系中，反比例函数y =k( x> 0) 的图像上有一点A(m,4)，x过点 A 作AB⊥x轴于点 B，将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点 C，过点 C 作y 轴的平行线4交反比例函数的图像于点D，CD =.3（1）点D 的横坐标为（用含m 的式子表示）；（2）求反比例函数的解析式.3.如图 26.1-11，四边形ABCO 是平行四边形，OA = 2 ，AB = 6 ，点C 在x 轴的负半轴上，将□ABCO 绕点A 逆时针旋转得到□ADEF，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴k上，若点 D 在反比例函数y =( x< 0) 的图像上，则k 的值为.x图 26.1-11答案：1.（1，4）或（2，2）；2.（1）m+2；（2） CD =4，∴点 D 的坐标为(m + 2, 34) . 3点 A (m ,4) ，点 D (m + 2, 4 ) 在函数 y = k 的图像上，∴4m = 4(m + 2) ，解得 m=1，3 x 3∴k = 4m = 4 .∴反比例函数的解析式为 y = 4；3. 4 x§26.2 实际问题与反比例函数1.运用反比例函数的概念、图像、性质解决实际问题.2.经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识，激发学生学习兴趣.几何问题与反比例函数1.已知矩形面积为36cm 2，相邻的两条边长分别为 x cm 和 y cm ，则 y 与 x 之间的函数图像大致是（ ）A BC D2.市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m 3的圆柱形煤气储存室.（1）储存室的底面积 S （单位： m 2）与其深度d （单位： m ）有怎样的函数关系？（2）公司决定把储存室的底面积 S 定为500m 2，施工队施工时应该向地下掘进多深？ （3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m .相应地，储存室的底面积应改为多少？（结果保留小数点后两位） 解：（1）根据圆柱的体积公式，得，所以 S 关于d 的函数解析式为 ，其中是常量，是变量， S 是d 的函数.（2）由题意，把储存室的底面积 S 定为500m 2，也即 S = 500 ，将其代入 S 关于d 的函数解析式得，解得d =.因此，如果把储存室的底面积 S 定为500m 2，施工时应向地掘进深.（3）由题意，把储存室的深度改为15m ，也即d = 15 ，将其代入 S 关于d 的函数解析式得，解得 S ≈ .因此，如果把储存室的深度改为15m ，储存室的底面积应改为.4104104 答案：1.A ；2.（1） Sd = 10 ， S =，容积， S 、d ，反比例；（2） 500 =，dd3知识建构试一试。
人教版九年级数学下册第二十六章反比例函数大单元教学设计
3.引出反比例函数：通过以上问题，引导学生发现，当两个量的乘积为定值时，这两个量之间的关系就是反比例关系。从而引出反比例函数的定义。
（二）讲授新知
1.反比例函数的定义：y = k/x（k为常数，k≠0）。
3.学会运用数形结合的思想，将反比例函数与实际问题相结合，培养创新意识和实践能力。
4.通过对反比例函数的学习，掌握研究函数的一般方法，为学习其他函数打下基础。
（三）情感态度与价值观
1.增强对数学学科的兴趣和热情，认识到数学在日常生活和科学研究中的重要性。
2.培养勇于探究、积极思考的良好学习习惯，形成主动学习的态度。
2.选做题：
（1）课本习题26.3第1、2题，鼓励学有余力的学生挑战更高难度的题目，提高学生的数学思维；
（2）结合生活实际，自编一道反比例函数的应用题，并与同学分享解题思路。
3.探究性作业：
（1）研究反比例函数图像的对称性，探索其在实际生活中的应用；
（2）以小组为单位，总结反比例函数的解题技巧，形成小组学习报告。
（2）运用情境教学法，创设生活情境，让学生在实际问题中感受反比例函数的应用，提高学生的实际问题解决能力；
（3）利用信息技术手段，如几何画板等，动态展示反比例函数图像的变化，帮助学生形象地理解反比例函数的性质；
（4）组织小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.教学过程：
（1）导入：通过一个简单的实际例子，如“一块固定面积的田地，耕种宽度与长度成反比，如何选择宽度与长度才能使耕种效率最高”，引起学生对反比例函数的兴趣；
2.反比例函数的性质：
反比例函数的图像和性质说课稿
26.2.1反比例函数的图像和性质说课稿68团中学何淑芳尊敬的各位评委，老师们：下午好！今天我说课的内容是人教版九年级数学下册第二十六章第二小节反比例函数的图象和性质第一课时，下面我就从教材的地位和作用、教学目标、教学重难点、教法与学法分析、学情分析、教学过程几个方面进行阐述。
一、教材的地位和作用反比例函数的图像和性质是继一次函数和二次函数之后人教版初中数学里最后学习的、也是相对简单的、但是和生产生活密切相关的内容。
反比例函数的图像和性质是本章教学的重点，也是全章的核心。
它为高中阶段继续学习其他函数知识奠定了坚实的基础，起到了承前启后的作用。
二、教学目标（1）知识与技能：会用描点法画出反比例函数的图象，理解反比例函数的图像是双曲线，掌握反比例函数性质，并能应用其解决简单问题即“以图论性”和“以性定图”。
（2）过程与方法：经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，渗透“数形结合”、“分类讨论”和“类比归纳”的数学思想；培养学生的探究、归纳及概括的能力；初步认识反比例函数图象的特征。
（3）情感态度价值观：在自主探究反比例函数性质的过程中，让学生初步感知反比例函数图象的对称性，体会“事物是有规律地变化着”的观点；培养学生认识客观事物从直观感受到理性定论这一的科学、严谨的态度。
三、教学重难点1、用描点法画函数图像时图象的对称性选点。
2、归纳反比例函数的图象的性质，并能灵活应用四、学情分析九年级的学生已经具备了较强类比的学习能力和归纳总结能力，而且具有丰富小组合作经验，由于学生已经学习了正比例函数的图像和性质，因此对探究图形变化的规律和性质有了一定的基础。
但对于反比例函数图像的不连续性却无法预知，列表取点时可能会出现不对称的现象。
五、教学方法根据本节课的特点，我将采用启发式、讨论法等教学方法，培养学生发现问题、解决问题的能力。
遵循“教师为主导，学生为主体，训练为主线”的教学原则。
六、教学过程(一)、复习引入（1）、反比例函数的定义？表达式？（2）、正比例函数的图像是什么形状的？你是通过哪几个步骤画出来的？（3）、反比例函数的图像又是什么形状的呢？你能通过上述步骤画出来吗？（二）、新课1、同桌合作两大组画y=3/x和y=-3/x的图像，两大组画y=6/x和y=-6/x的图像教师指导取值方法，并强调自变量的取值范围。
人教版初三数学9年级下册 第26章(反比例函数)易错题型(附答案)
A.y=- 4 x
B.y=- 8 x
C.y= 8 x
D.y= 16 x
2.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的面积为 10，反比例函数 y= k （x＞0）与 AB， x
BC 分别交于点 D，E，若 AD=2BD，则 k 的值为（ ）
5
10
20
5
A.
B.
C.
D.
3
3
3
2
易错点 2 反比例函数与一次函数的综合运用时易出错
A.当 x＞0 时，y＞0
B.图象在第二、四象限
C.y 随 x 的增大而减小
D.y 随 x 的增大而增大
5.在函数
y=
y
a2 x
1
（a
为常数）的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且
x1＜
x2＜0＜x3，则函数 y1，y2，y3 的大小关系为（ D ）
A.y2＜y3＜y1
B.y3＜y2＜y1
x
4.直线 y=-x+2 与反比例函数 y= k （k≠0）相交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标为-1，则 k x
的值是（ A ）
A.-3
B.-1
C.1
D.3
26.2 实际问题与反比例函数
易错点 实际问题中，忽略反比例函数自变量的取值范围 1.已知圆柱的侧面积是 100 cm2，若圆柱底面半径为 r（单位：cm），高线长为 h（单位： cm），则 h 关于 r 的函数的图象大致是（ B ）
易错点 忽略反比例函数在不同象限内的增减性
1.若反比例函数 y= k （k＜0）的图象如图所示，则 k 的值可以是（ C ） x
A.-1
2019年春九年级数学下册目录(新版)新人教版
第二十六章反比例函数26.1反比例函数
26.1.1 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时反比例函数的图象和性质
第2课时反比例函数与一次函数的综合应用
26.2实际问题与反比例函数
本章整合
第二十七章相似
27.1图形的相似
27.2相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时相似三角形的判定(1)
第2课时相似三角形的判定(2)
第3课时相似三角形的判定(3)
27.2.2 相似三角形的性质
27.2.3 相似三角形应用举例
27.3位似
本章整合
第二十八章锐角三角函数
28.1锐角三角函数
第1课时锐角的正弦
第2课时锐角的余弦和正切
第3课时特殊角的三角函数值
第4课时利用计算器求三角函数值
28.2解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
28.2.2 应用举例(1)
28.2.2 应用举例(2)
本章整合
第二十九章投影与视图
29.1投影
第1课时投影
第2课时正投影
29.2三视图
第1课时简单几何体的三视图
第2课时复杂几何体的三视图
第3课时从视图到实物
29.3课题学习制作立体模型(略) 本章整合。
初中数学_实际问题与反比例函数教学设计学情分析教材分析课后反思
实际问题与反比例函数教学目标：一、知识与技能1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．2．能综合利用工程中工作量，工作效率，工作时间的关系及反比例函数的性质等知识解决一些实际问题．二、过程与方法1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题的过程．2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．三、情感态度与价值观1．积极参与交流，并积极发表意见．2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．教学重点掌握从实际问题中建构反比例函数模型．教学难点从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．教具准备多媒体课件(课本例2“码头卸货”问题)教学过程一、创设情境，引发思考。
播放汶上视频，引出相关问题。
汶上人民政府为迎接太子灵踪文化节的到来，打算铺设一片广场供游客休闲娱乐，广场的长为60米，宽为50米。
（1）所需地板砖的块数n与每块地板砖的面积S有怎样的函数关系？（2）为了使地面装饰美观，要求每块地板砖的面积不超过100×100cm2，那么至少需要多少块地板砖？设计意图：播放有关汶上的视频，激发学生热爱家乡的情感。
在实际情景中进一步展示生活中两个变量之间的反比例函数关系，激发学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲．师生行为：学生先独立尝试在学案上完成，教师巡视学生完成的情况。
在此活动中，教师应重点关注：①学生动手操作的能力；③学生数形结合的意识；③学生数学建模的意识；④学生能否大胆说出自己的见解，倾听别人的看法．分析：根据长*宽=面积，得出广场的面积。
再根据地板砖的块数=总面积÷每块地板砖的面积。
解：（1）设广场的面积为k 平方米，根据已知条件有 k=50×60=3000，所以n与s 的函数解析式n=（2）s=100×100=10000cm2 =1m2 把 s=1代入得 n=3000这样若每块地板砖的面积为100×100cm2 ，那么需要3000块地板砖。
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26.2 实际问题与反比例函数 知能演练提升
能力提升 1.一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80 km/h的平均速度用了4个小时到达乙地,当他按原路匀速返回时,汽车的速度v(单位:km/h)与时间t(单位:h)的函数解析式是( )
A.v=320t B.v= C.v=20t D.v=
2.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P在BC边上运动,连接DP,过点A作AE⊥DP,垂足为E,设DP=x,AE=y,则能反映y与x之间的函数关系的大致图象是( )
★3.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序:开机加热时每分钟上升10 ℃,加热到100 ℃后停止加热,水温开始下降,此时水温(单位:℃)与开机后用时(单位:min)成反比例关系,直至水温降至30 ℃,饮水机重新开始加热,重复上述过程.若在水温为30 ℃时,接通电源后,水温y(单位:℃)和时间x(单位:min)的关系如图,为了在上午第一节下课时(8:45)能喝到不超过50 ℃的水,则接通电源的时间可以是当天上午的( )
A.7:20 B.7:30 C.7:45 D.7:50 4.如图,边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB∥x轴,BC∥y轴,反比例函数y= 与
y=- 的图象均与正方形ABCD的边相交,则图中阴影部分的面积之和是 . (第3题图) (第4题图) 5.某学生利用一个最大电阻为200 Ω的滑动变阻器及电流表测电源电压,如图所示. (1)该电源电压为 ; (2)电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)之间的函数解析式为 ; (3)当电阻在2~200 Ω之间时,电流应在 范围内,电流随电阻的增大而 ; (4)若限制电流不超过20 A,则电阻应在 之间. 6.某蓄水池的排水管每小时排水8 m3,6 h可将满池水全部排空. (1)蓄水池的容积是多少? (2)如果增加排水管,使每小时的排水量达到Q(单位:m3),那么将满池水排空所需的时间t(单位:h)将如何变化? (3)写出t与Q的函数解析式; (4)如果准备在5 h内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少? (5)已知排水管的最大排水量为每小时12 m3,那么最少多长时间可将满池水全部排空? 7.蓄电池的电压U为定值.使用此电源时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)之间的函数图象如图所示. (1)蓄电池的电压是多少?你能写出这一函数的解析式吗? (2)完成下表,并回答问题:如果以此蓄电池为电源的用电器,限制电流不得超过10 A,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内?
R/Ω 3 4 5 6 7 8 9 10
I/A 4
8.制作一种产品,需先将材料加热达到60 ℃后,再进行操作,设该材料温度为y(单位:℃),从加热开始计算的时间为x(单位:min).据了解,该材料加热时,温度y与时间x成一次函数关系,停止加热进行操作时,温度y与时间x成反比例关系,如图,已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃,加热5 min后的温度达到60 ℃. (1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y关于x的函数解析式; (2)根据工艺要求,当材料的温度低于15 ℃时,需停止操作,那么从开始加热到停止操作共经历了多长时间? 9.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的压强p(单位:kPa)是气球体积V(单位:m3)的反比例函数,其图象如图所示(kPa是一种压强单位). (1)写出这个函数解析式; (2)当气球的体积为0.8 m3时,气球内的压强是多少千帕? (3)当气球内的压强大于144 kPa时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积不小于多少立方米?
创新应用 ★10.某厂从2014年起开始投入技术改进资金,经技术改进后,其产品的生产成本不断降低,具体数据如下表:
年 度 2014 2015 2016 2017 投入技改资金x/万元 2.5 3 4 4.5
产品成本y/(万元/件) 7.2 6 4.5 4 (1)请你认真分析表中数据,从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律,说明确定是这种函数而不是其他函数的理由,并求出它的解析式; (2)按照这种变化规律,若2018年已投入技改资金5万元. ①预计生产成本每件比2017年降低多少万元?
②如果打算在2018年把每件产品成本降低到3.2万元,则还需投入技改资金多少万元?(结果精确
到0.01万元)
参考答案 能力提升 1.B 由题意知vt=80×4,则v= .
2.C 连接AP(如图),S△APD= AD·AB= AE·PD=6,所以xy=12,y= .
又 ≤DP≤5,所以其图象大致为选项C. 3.A 由于开机加热时每分钟上升10 ℃,故从30 ℃到100 ℃需要7 min.设一次函数解析式为y=k1x+b(k1≠0),将(0,30),(7,100)代入y=k1x+b,解得k1=10,b=30,所以y=10x+ ( ≤x≤7).当
y=50时,x=2.设反比例函数y= (k≠0),将(7,100)代入y= ,得k=700.当y=30时,x=7 .所以y=7 7
7 .当y=50时,x=14,如图所示.所以饮水机的一个循环周期为7 min,每一个循环周期内,在
≤x≤ 及 4≤x≤7 时间段内,水温不超过50 ℃,可直接饮用. 对于选项A,7:20~8:45之间有85 min, 85-7 ×3=15,即饮水机位于第4次重复开机后的第15 min,此时水温不超过50 ℃,可直接饮用,符合题意. 综上分析,可知选项B,C,D不符合题意,因此应选A. 4.8 观察题图,看出阴影部分的面积是正方形ABCD的面积的一半.正方形ABCD的面积为16,所以阴影部分的面积之和为8.
5.(1)144 V (2)I= 44 (3)0.72~72 A 减小 (4)7.2~200 Ω 6.解 (1)蓄水池的容积是6×8=48(m3). (2)增加排水管会使时间缩短,将满池水排空所需的时间t会减少.
(3)因为容积V=48 m3,所以解析式为t=4 .
(4)4 ≤5,Q≥9.6(m3),即每小时的排水量至少为9.6 m3. (5)设最少用x h将满池水排空,根据题意,得12x≥4 ,解得x≥4,即最少用4 h可将满池水全部排空. 7.分析 从题图来看,I和R之间是反比例函数关系.电压U就相当于反比例函数中的k.要写出函数的解析式,实际上就是确定k(U),只需要一个条件即可,而题图中已给出了一个点的坐标,所以这个问题就解决了,填表实际上是已知自变量的值求函数值. 解 (1)由题意设函数解析式为I= (R>0). 因为点A(9,4)在该函数图象上,所以U=IR=36(V), 即蓄电池的电压是36 V.
所以所求函数解析式为I= (R>0).
(2)表格中从左到右依次填:12,9,7.2,6, 7,4.5,3.6. 限制电流不超过10 A,即I最大为10 A,代入关系式中得R=3.6 Ω,为最小电阻,所以用电器的可变电阻应控制在R≥ .6 Ω 这个范围内. 8.解 (1)设材料加热时,y关于x的一次函数解析式为y=k1x+b(k1≠0),由题意知,当x=0时,y=15;
当x=5时,y=60.代入y=k1x+b,得 5,5 解得 9, 5 所以y=9x+15,x的取值范围是 ≤x≤5. 设停止加热进行操作时,y关于x的函数解析式为y= (k2≠0), 由题意,当x=5时,y=60,代入函数解析式,得60= 5.所以k2=300,即进行操作时y与x的函数解析式为y= (x≥5).
综上,当 ≤x≤5时,y=9x+15;当x>5时,y= . (2)由题意知,当y=15时,由y= ,得 =15. 所以x=20,即当x=20 min时,材料温度为15 ℃,由反比例函数的性质,当x>20时,y<15,即从开始加热到停止操作共经历了20 min. 9.解 (1)根据题意,设p= (k≠0). ∵A(1.5,64)是其图象上的一点,将A(1.5,64)代入p= ,得64= 5.∴k=96,即p与V之间的函数解析
式为p=9 (V>0).
(2)当V=0.8 m3时,p=9 =120(kPa),∴气球内气体的压强是120 kPa. (3)∵当气球内的压强大于144 kPa时,气球将爆炸,∴p≤ 44,即9 ≤ 44.∴V≥ (m3). ∴为了安全,气球的体积不小于 m3. 创新应用 10.解 (1)若为一次函数,设其解析式为y=k1x+b(k1≠0), 因为当x=2.5时,y=7.2;当x=3时,y=6,
所以 7 5 ,
解得 - 4, 所以一次函数的解析式为y=-2.4x+13.2.把x=4,y=4.5代入此函数解析式得,左边≠右边.故不是一次函数.若为反比例函数,设其解析式为y= (k2≠0),当x=2.5时,y=7.2,可得7.2= 5,得k2=18.所以
反比例函数解析式为y= .
验证:当x=3时,y= =6,符合反比例函数. 同理可验证:当x=4时,y=4.5;当x=4.5时,y=4成立.故可用反比例函数y= 表示其变化规律. (2)①当x=5时,y= 5=3.6. 因为4-3.6=0.4(万元),