江苏省徐州市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题

江苏省徐州市铜山区2017-2018学年下学期高二数学(文)期中试题

【全国区级联考】江苏省徐州市铜山区2020-2021学年下学期高二数学（文）期中试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}1,0,1A =-， {0,1,2}B =，则集合A B 中元素个数是____． 2．命题“2,230x R x x ∀∈-->”的否定是____．3．已知复数43i z =+（i 为虚数单位），则z =____．4．命题“若220a b +=，则00a b ==且”的逆否命题是____命题．（从真、假中选一个）.5．已知{}{}11,2,3A ⊆⊆，则这样的集合A 有____个．6．若复数22(2)(32)z a a a a i =--+-+为纯虚数，则实数a =______.7．若命题“∃x ∈R,x 2+2x +a <0”是真命题，则实数a 的取值范围是____． 8．已知,x y R ∈,则“1a =”是“直线1010ax y x ay +-=++=和直线平行”的____条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”中选择一个）.9．设,a b 是不相等的正数，x y ==,x y 的大小关系是___．(用“<”连接）10．已知条件p ：向量(1,),(2,1)a x b ==的数量积0a b ⋅>；条件q ：1x a ≥+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是____．11．已知1cos 32π= 21cos cos 554ππ= 231cos coscos 7778πππ= ……根据以上等式，可猜想出的一般结论是____．12．已知3n n a =，把数列{}n a 的各项排成如下的三角形：记(,)A s t 表示第s 行的第t 个数，则(12,13)A =___．13．设集合{},)M x y y x b ==+（，{,)4N x y y ==（，当M N ⋂中的元素个数是2时，则实数b 的取值范围是________．14．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是__．二、解答题15．已知i 为虚数单位(1)计算：()()235i i +- ;(2)已知()3+42i z i =- ，求复数z16．已知函数()f x =的定义域为集合A ，函数()g x =为集合，（1）求A B ；（2）已知{|(2)()0}C x x x a =++≤，若,求实数a 的取值范围. 17．已知m R ∈，已知命题p ：方程22126x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：“函数()(4)xf x m =-在R 上为单调增函数．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围.18．（1）用分析法证明>；（2.19．先解答（1），再通过类比解答（2）：已知正三角形的边长为a ,求它的内切圆的半径r ；已知正四面体的棱长为a ,求它的内切球的半径r .20．已知数列{}n a 满足12211,4,43()n n n a a a a a n N *++===-∈⑴若数列{}n b 满足1n n n b a a +=-，证明：数列{}n b 是等比数列；]⑵若数列{}n c 满足12111999(21)n n c c c c n a ---⋅⋅⋅=+，①证明：数列{}n c 是等差数列；②若数列{}n d 满足n n n d a c =+且21c >-，证明：数列{}n d 中的每一项均不小于3.参考答案1．4【解析】{}1,0,1,2A B ⋃=-,故有4个元素.2．2,230x R x x ∃∈--≤【解析】全称命题的否定是特称命题,故填:2,230x R x x ∃∈--≤. 3．5【解析】5z ==.4．真【解析】由于220a b +=,所以0a b ,故原命题是真命题,故其逆否命题也是真命题. 5．4【解析】集合A 可以为{}{}{}{}1,1,2,1,3,1,2,3,共有4个.6．1-【解析】分析：纯虚数的表现形式是i a b +中，0a =且0b ≠，根据这个条件，列出关于a 的方程组，从而可得结果.详解：复数()22232i z a a a a =--+-+为纯虚数， 220a a ∴--=且2320a a -+≠，1a ∴=-，故答案为1-.点睛：本题主要考查纯虚数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于简单题. 7．a <1【解析】根据判别式,有22−4a >0,解得a <1.【解析】当两直线平行时210a -=,解得1a =±,但当1a =-时,直线重合,故1a =.所以为充要条件. 9．x y <【解析】由于,a b 为不相等的正数,222a b x y +==,22204y x -==>,所以x y <.10．3a ≤-【解析】对于条件p ,有20,2x x +>>-.由于p 是q 的充分不必要条件,所以12,3a a +≤-≤-. 11．21cos cos cos 2121212n n n n n πππ=+++ 【详解】试题分析：根据题意，分析所给的等式可得：对于第个等式，等式左边为个余弦连乘的形式，且角部分为分式，分子从到，分母为，右式为；将规律表示出来可得答案：21cos cos cos 2121212n n n n n πππ=+++ 考点：归纳推理．12．1343【解析】第一行有1个数,第二行有3个数,第三行有5个数,故每行数目成等差数列.前11行共有11101121212⨯+⨯=个数,故第12行,第13个数为n a 的的第134个数,故()13412,133A =. 【点睛】本小题主要考查归纳推理,考查等差数列的概念与基本的计算,考查观察分析问题的能力,考查归纳推理.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；③检验猜想．有多少项是本题解题的关键.13．(24⎤-⎦{},)M x y y x b ==+（，{,)4N x y y ==（，当M N ⋂中的元素个数是2时， ∴直线y x b =+与半圆()()()2224424x y y -+-=≤≤有2个交点，半圆()()()2224424x y y -+-=≤≤表示：圆心在()2,4，半径为2的圆的下半部分，y x b =+表示斜率为1的平行线，其中b 是直线在y 轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即圆心()2,4到直线y x b =+的距离2d ==，解得2b =-2b =+，由图知b 的取值范围是(2-，∴实数b 的取值范围是(2-，故答案为(2-.【方法点睛】本题主要考查集合的交集、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.14．2c ≥【解析】由()()f x g x ≥,即32ln 1x x c x -+≥+,即32ln 1c x x x ≥-+++.令()()32ln 10h x x x x x =-+++>,()()()21331x x x h x x'-++=-,故函数()h x 在区间()0,1上递增,在()1,+∞上递减,最大值为()12h =,所以2c ≥.【点睛】本小题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立,问题,考查利用导数研究函数的单调性,极值和最值等知识.首先根据()()f x g x ≥,对函数进行分离常数,这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个部分的最值,根据这个最值来求得参数的取值范围. 15．（1）13+13i;（2）1-i.【解析】【试题分析】(1)根据复数乘法运算公式计算出结果.(2)将原方程变为42i 3iz -=+,在将分母实数化来求得z 的值.【试题解析】（1）原式=210-21531313i i i i +-=+ （2）因为3)42i z i +=-（所以()()423421*********i i i i z i i ----====-+ 16．(1)[)-3-1A B ⋂=，;（2）-33a ≤≤. 【解析】【试题分析】(1)根据2230x x -->求得集合A ,根据30x -≥求得集合B ,进而求得两个集合的交集.(2)由于B C C ⋂=,故集合C 是集合B 点的子集.对a 分成2,2,3a a a =三类,讨论集合C 的解集,由此求得a 的取值范围.【试题解析】(1)由得，则{}13A x x x =-或由得，则{}-33B x x =≤≤ 故[)-3-1A B ⋂=，（2）由B C C ⋂=得C B ⊆当2a =时，{}2C C B =⊆，满足当2a <时，[],2C a C B =⊆，若，则3a ≥-，故32a -≤<当2a >时，[]2,C a C B =⊆，若，则3a ≤，故23a <≤综上，实数a 的取值范围是-33a ≤≤.17．2m ≤或34m ≤<【分析】若p 为真命题，则620m m ->->,由此求得m 的范围. 若q 为真命题，则41m ->即3m <.由于“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，故p 与q 一真一假,分别按p 真q 假和p 假q 真两种情况,解不等式组求得m 的取值范围.【详解】若p 为真命题，则620m m ->-> 解得24m <<若q 为真命题，则41m ->即3m <,若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p q 与一真一假.当p 真q 假时，由243m m <<⎧⎨≥⎩得34m ≤< , 当p 假q 真时，由243m m m ≤≥⎧⎨<⎩或得2m ≤ 综上，实数m 的取值范围是2m ≤或34m ≤<【点睛】本题主要考查了已知复合命题的真假求参数的范围，属于中档题.18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）>成立的充分条件，先移项，再平方，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证；（2）本题直接证明难度较大，，进而根据等差数列的定义及通项公式，分析出矛盾，进而得到结论成立.试题解析：（1)>,> ,只要证22>,只要证88+>+,>只要证1512> 上式显然成立,>.（2）.则存在整数,m n ，实数d md =，nd = ,=n m ∴=，)n m =-，)()222n m -=-.因为左边是无理数，右边是有理数，所以产生矛盾..19．（1）6r a =;（2）12r a =.【解析】【试题分析】(1)先求得正三角形的高为2a ,然后利用等面积法求得内切圆的半径.(2)先求,然后利用等体积法求得内切球的半径. 【试题解析】（1）设正三角形为ABC ∆,内切圆的圆心为O .2a =，24ABC S a ∆=由ABC AOB BOC AOC S S S S ∆∆∆∆=++得21114222a ar ar ar =++解得r = （2）设正四面体为-A BCD ,内切球的球心为O .3a =2 由A BCD O ABC O ACD O ABD O BCD V V V V V -----=+++得222221111133333r r r r =+++解得12r a =… 【点睛】本小题主要考查等边三角形内切圆半径的求法,考查正四面体内切球半径的求法.在平面图形中,利用等面积法来求得内切圆的半径.即先求得等边三角形的面积,然后将三角形分成三个小的三角形,利用内切圆半径计算面积,由此求得内切圆半径.同理利用等体积法来求得内切球的半径.20．⑴见解析;⑵见解析.【解析】【试题分析】(1)将已知配凑成()2113n n n n a a a a +++-=-,可知13n n b b +=,即n b 为等比数列.(2)由(1)利用累加法求得数列n a 的通项公式,代入题目所给等式化简得()122n n c c c n nc +++-=,在利用()()1211211n n c c c n n c +++++--=+,两式相减可证得n c 为等差数列,进而求得n c 的表达式,求得n d 的表达式,利用1n n d d +-证得n d 是递增的数列,最小项为13d =,由此得证.【试题解析】⑴由()2113n n n n a a a a +++-=-知13n n b b +=又12130b a a =-=≠所以对*n N ∈，均有13n nb b += 故数列{}n b 是以3为首项，公比为3的等比数列⑵①由⑴知13n n n n a a b +-==，*n N ∈改为：⑵由⑴知当2n ≥时213a a -=2323a a -=…113n n n a a ---=以上各式相加得211333n n a a --=++⋅⋅⋅+即121211133313331333132n n n n n a a ----⋅-=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+==- 当时，也符合上式所以，因为所以① 又② ②-①得即③ 又④ ④-③得即因为，所以数列是等差数列②对于，当时，由⑵知数列是等差数列，所以公差数列{}n c 的通项公式为()()()22221224n c n c c n c =+--=-+- 故()2231242n n n n d a c c n c -=+=+-+-因为21c >-，*n N ∈()()()11222231312142422n n n n d d c n c c n c ++---=+-++-----+ 232312330n n c =+->--≥-=所以数列{}n d 单调递增即数列{}n d 中的最小项为1221243d c c =+-+-=所以数列{}n d 中的每一项均不小于3【点睛】本小题主要考查利用等差数列的定义证明一个数列是等差数列,考查数列单调性的求解策略.要证明一个数列是等差数列,则需要证明1n n a a d --=,也即是要证明从第二项起,每一项和前一项的差为常数.要证明一个数列是等比数列,则需要证明1n n a q a -=,也即是要证明从第二项起,每一项和前一项的商为常数.。

2018年01月23日江苏省徐州市2017～2018学年度第一学期期末考试高二理科数学试题参考答案

高二数学第一学期期末抽测试题参考答案一、填空题：1.28y x = 2.充分不必要 3.6 4.2π 5.2,220x x x ∀∈++R ≥ 6.2 7.3π 8.2e - 9.2-1 11.①④ 12.83 13.4 14.11(,)e 2二、解答题:15.⑴因为PA AD ⊥,平面PAD ⊥底面ABCD ,平面PAD I 底面ABCD AD =,PA ⊂平面PAD ,所以PA ⊥底面ABCD .……………………………………………………4分⑵因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点,所以//EF PD ,……………………………6分而EF ⊄平面PAD ,PD ⊂平面PAD ,所以//EF 平面PAD ；……………………8分因为//AB CD ,22CD AB ED ==,所以四边形ABED 是平行四边形,…………10分所以//BE AD ,而BE ⊄平面PAD ,AD ⊂平面PAD ,所以//BE 平面PAD ；……………………………………………………………………12分而EF ⊂平面BEF ,BE ⊂平面BEF ,EF BE E =I ,所以平面//BEF 平面PAD .……………………………………………………………14分 16.⑴圆C 的圆心坐标为)3,1-,半径为5,圆2C 的圆心坐标为()4,2,半径为2,12527C C ==>+=,故两圆外离. ………………4分⑵经过点()3,1-和()4,2的直线,由直线的两点式方程,得132143y x -+=-+, 整理得7100x y -+=. ……………………………………………………………8分 ⑶经分析,直线m 的斜率存在,故设直线m 的方程为()13y k x-=+,即310kx y k -++=,…………………………………………………………………9分因直线m 被圆2C截得的弦长为且圆2C 的半径为2, 所以圆2C 的圆心到直线m 的距离为1,=解之得0k =或724k =,……13分故直线m 的方程为1y =或724450x y -+=.……14分 17.(理科)⑴以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示空间直角坐标系A xyz -,则()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0A B C ,()()0,2,0,0,0,2D P ……2分因为E 为PD 的中点,所以点E 为()0,1,1,()0,1,1AE =uu u r ,()1,1,0CD =-uu u r,…4分1cos ,2AE CD AE CD AE CD⋅===⋅uu u r uu u ruu u r uu u r uu u r uu u r ,所以,60AE DC =︒uu u r uuu r , (第17题)即异面直线AE 与CD 所成的角为60︒.…………………………………………………7分⑵设平面PCD 的一个法向量(),,x y z =n ,()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-uu u r uu u r,由,PD CD ⊥⊥n n uu u r uu u r ,得2200PD y z CD x y ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩uu u rg uu u rg n n ,令1y =,得1,1x z ==. 所以()1,1,1=n 是平面PCD 的一个法向量.……………………………………………10分()1,0,2BP =-uu r,BP ==n uu rcos ,BP BP BP ⋅==⋅uu r uu r uu rnn n, 故直线BP 与平面PCD.……………………………………14分 18.⑴ⅰ)若12F PF ∠为直角,则P 在以12F F 为直径的圆上,联立2222121x y x y ìïï+=ïíïï+=ïïî,解得点P 的坐标为()0,1±,此时12:1PF PF =；(注：也可由椭圆定义：12PF PF +=及勾股定理,求出：12PF PF ==从而得出12:1PF PF =)……………………………………………………………………4分 ⅱ)若12F F P ∠为直角,则点P 的横坐标为1,代入椭圆方程得纵坐标为, 此时1PF =2PF =,此时12:3PF PF =, 综上,12:1PF PF =或12:3PF PF =.…………………………………………………8分⑵设(),P x y 是椭圆2212x y +=上任意一点,则2212xy =-所以()PM g x == (9)分由椭圆范围可知：x ?,ⅰ)若2t <即t<,()g x 在-上单调增,(m i n PM g t ==11分ⅱ)若2t即t 时,()min 2PM g t ==………13分 ⅲ)若2t >,即t >,()g x 在-上单调减,m i n2P M=；……………………………………………15分综上,min2t tPM tt t⎧<⎪⎪=⎪>⎪⎪⎩………………………………………………16分19.⑴每栏的高和宽分别为()20cmx-,()125cm2y-,其中20x>,25y>.两栏面积之和为：()25220=180002yx--?,整理得,180002520yx=+-.……4分⑵()180001800025252020xS x xy x xx x骣÷ç==+=+÷ç÷ç桫--,()20x>……………………………7分⑶()()()2225203600020xS xx--¢=-,………………………………………………………10分当20140x<<时,()0S x¢<；当140x>时,()0S x¢>；所以函数()S x在()20,140上单调减,在()140,+∞上单调增, ……………………14分当140x=时,()S x取得极小值,也是最小值为()140S,……………………………15分答：当广告牌的高取140cm时,可使广告的面积()S x最小.…………………………16分20.⑴由题意知,()23lnf x x x=-++,所以()()12120xf x xx x-+¢=-+=>.…………………………………………2分令()0f x¢>得10,2x骣÷çÎ÷ç÷ç桫,所以函数()f x的单调增区间是10,2骣÷ç÷ç÷ç桫.…………4分⑵由()12,f x mx mx¢=--+得()11f¢=-,又()11f=,所以曲线()y f x=在点()1,1P处的切线l的方程为2y x=-+,…………………6分因为l与曲线()y f x=有且只有一个公共点,即关于x的方程()21123ln22m x x x x--++=-+有且只有一个解,即()2111ln=02m x x x--++有且只有一个解.………………………………………8分令()()()2111ln02g x m x x x x=--++>,则()()()()()()21111111==0mx m x x mx g x m x x x x x-++--¢=--+>.…………10分①0m ≤时,由()0g x ¢>得01x <<,由()0g x ¢<,得1x >, 所以函数()g x 在()10，上为增函数,在()1,+?上为减函数,又()1=0g ,故0m ≤符合题意；………………………………………………………11分②当01m <<时,由()0g x ¢>,得01x <<或1x m >,由()0g x ¢<,得11x m<<, 所以函数()g x 在()0,1上为增函数,在1(1)m ，上为减函数,在1(,)m+?上为增函数,又()1=0g ,且当x时,()g x ,此时曲线()y g x =与x 轴有两个交点,故01m <<不合题意；…………………………………………………………………12分 ③当1m =时,()0g x ≥¢,()g x 在()0,+∞上为增函数,且()1=0g ,故1m =符合题意；………………………………………………………………………13分④当1m >,由()0g x ¢>,得10x m <<或1x >,由()0g x ¢<,得11x m<<, 所以函数()g x 在1()m 0，上为增函数,在1(,1)m上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,又(1)=0g ,且当0x ®时,()g x ??,此时曲线()y g x =与x 轴有两个交点,故1m >不合题意；…………………………………………………………………………14分综上,实数m 的取值范围0m ≤或1m =. ………………………………………… 16分。

江苏省徐州市2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题(PDF版)答案

2017～2018学年度第二期期中考试高一数学试题参考答案解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. ︒135 ；2. 072=+-y x ；3. 41-；4. 2 ；5. 23-；6. 497.2329-⎪⎭⎫⎝⎛⋅n8.10334-；9.④；10.123 ；11.3；12. 43；13.h 72114. n n +36 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15.解：由53sin =x ，得 25725921sin 212cos 2=⨯-=-=x x …………………………6分又⎪⎭⎫⎝⎛∈=ππ,2,53sin x x ,0cos <∴x 由1cos sin 22=+x x 可得54sin 1cos 2-=--=∴x x 43cos sin tan -==∴x x x …………………………………………10分 71431143tan 11tan )4tan(=++-=-+=+∴x x x π…………………………………………14分16.解：（1）.因为数列{}n a 为等差数列，故设该数列的首项为1a ，公差为d ，则24710522274=+=++=+d d d a a a ，解得2=d ，则3251=-=a ，……………………4分故数列{}n a 的通项公式为12)1(1+=-+=n d n a a n ……………………6分（2）.由（1）知12+=n a n ，则n n a n n b 42221===-，……………………8分∴数列{}n b 表示以41=b 为首项，公比4=q 的等比数列，故q q b b b b b --=++++1)1(10110321 41)41(410--=)14(3410-=……………………14分17解：如图以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．则),1,3(),0,3(),0,0(C B A ).0,2(),0,1(),1,0(F E D ……………………4分由)1,3(),0,0(C A 知直线AC 的方程为：03=-y x ，……………………6分由)0,2(),1,0(F D 知直线DF 的方程为：022=-+y x ，…………………8分由⎩⎨⎧=-+=-02203y x y x 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==5256y x ，故点G 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛52,56…………………10分又点E 的坐标为)0,1(，故2=EG k ，又 21-=DF k ……………………12分所以1-=DF EG k k ．即证得：DF EG ⊥……………………14分 18．解：连接,,,,OG OB BE EF,,,21EO BE EF BC BC OF OE ⊥∴=∴== ,,EF OG FG EG ⊥∴= …………2分（1）在BEO Rt ∆中，,,1θ=∠=AOB BO,sin ,cos θθ==∴BE EO ,cos 2θ==∴EF BC ………………………4分∴OG EF BE BC AD S S S EGF ABCD ⋅+⋅+=+=∆21)(21梯形 ).2,0(,cos sin cos sin 1cos 221sin )cos 22(21πθθθθθθθθ∈++=⨯⨯++=………8分（2）令),2,0(,cos sin πθθθ∈+=t则,21cos sin 2-=t θθ且(],2,1)4sin(2∈+=πθt ………10分 (],2,1,1)1(2121221222∈-+=-+=+-=∴t t t t t t S ………………12分当2=t ，即4πθ=时，,221max +=S ………………………14分即多边形ABCDFGE 面积S 的最大值为,221+平方米.……………………16分19.解：（1）在ABC ∆中，因为C B A 、、成等差数列，所以π=+++=C B A C A B ,2，所以,3π=B ………………………2分（2）在ABC ∆中，由（1）知,3π=B 由正弦定理CcA a sin sin =和A C sin 2sin =可得 a c 2=，由余弦定理有⎩⎨⎧==-+=-+=a c ac c a B ac c a b 242cos 222222…………………4分解之得⎪⎩⎪⎨⎧==334332c a …………………6分∴ABC ∆的面积3322333433221sin 21=⨯⨯⨯==B ac S …………………8分（3）由（1）知32,3ππ=+=C A B22cos 122cos 1cos cos 22C A C A +++=+=()C A 2cos 2cos 211++………………10分 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-++A A 234cos 2cos 211π =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++A A A 2sin 34sin 2cos 34cos 2cos 211ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+A A 2sin 232cos 21211=⎪⎭⎫ ⎝⎛++32cos 211πA ……………14分因为C A -=32π.所⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈35,332,34,02,32,0πππππA A A ……………15分即⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+21,132cos πA ,所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++45,2132cos 211πA所以C A 22cos cos +的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡45,21.……………16分20．（1）.易得3142=a ． ……………4分（2）.n n n n n a a a a S -=-++11214 ①．12211214+++++-=-∴n n n n n a a a a S ②，……………6分由②-①，得nn n n n n n n n a a aa a a a a a ---=+++++++11122112．因为01≠+n a ，所以nn nn n n a a a a a a ---=++++11222．所以211121=---+++++n n n n n n a a a a a a ，即11121=---++++nn nn n n a a a a a a ，……………8分即11=-+n n b b ，所以数列{}n b 是公差为1的等差数列．因为431211=-=a a ab ，所以数列{}n b 的通项公式为41-=n b n ．……………10分（3）.由（2）知，411-=-+n a a a n n n ，所以,143414111-+=+-=+n n n a ann 所以14341-=++n a n a n n 即141)1(41-=-++n a n a n n ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-14n a n 是常数列．由32141=-n a ，所以)14(32-=n a n ．……………12分由)(,,r p m a a a r p m <<成等比数列，则14,14,14---r p m 成等比数列，所以)14)(14()14(2--=-r m p ，所以0)(4168162=++--r m mr p p ，即0)(4242=++--r m mr p p （*）．（*）式即为14242-+-=r r p p m ．……………14分由,014)(14)14()24(1424222222>--=---+-=-⋅-+-=-r r p r p r r p p p r r r p p p mr 所以mr p <2． ……………16分。

江苏省启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 (1)

【题文】（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈. (1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围．【答案】解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f (1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', …………………………2分令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f ,所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(.…………………………4分(2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a…………………………7分 )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-=21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x 设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x x x x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='xx x x x x x x x F 所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F 即2ln 223)()(21-≥-x f x f . …………………………10分(3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=,所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增，当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==.所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，………………………12分令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立， aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ；当02>--k 即2-<k 时，k a a h --=⇒='210)( ①2210<--<k 即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增，存在k a --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.………………………16分【解析】【标题】江苏省启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题【结束】。

2017-2018年江苏省徐州市铜山区高二(下)期中数学试卷(文科)和答案

2017-2018学年江苏省徐州市铜山区高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则集合A∪B中元素个数是．2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣3＞0”的否定是．3．（5分）若复数z=4+3i （i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是命题．（从真、假中选一个）．5．（5分）已知{1}⊆A⊆{1，2，3}，则这样的集合A有个．6．（5分）已知a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，则实数a=．7．（5分）若命题“∃x∈R，x2+2x+a＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．8．（5分）已知x，y∈R，则“a=1“是直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+1=0平行的条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个）9．（5分）设a，b是不相等的正数x=，y=，则x，y的大小关系是．（用“＜”连接）10．（5分）已知条件p：向量=（1，x），=（2，1）的数量积＞0；条件q：x≥a+1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知cos=，cos cos=，cos cos cos=，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是．12．（5分）已知a n=3n，把数列{a n}的各项排成如下的三角形：记A（s，t）表示第s行的第t个数，则A（12，13）=．13．（5分）设集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=4﹣}，当M ∩N中的元素个数是2时，则实数b的取值范围是．14．（5分）函数f（x）=x3﹣2x+c，g（x）=lnx+1，若f（x）≥g（x）恒成立，则实数c的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）已知i为虚数单位（1）计算：（2+3i）（5﹣i）；（2）已知（3+i）z=4﹣2i，求复数z．16．（14分）已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B，（1）求A∩B；（2）已知C={x|（x+2）（x+a）≤0}，若B∩C=C，求实数a的取值范围．17．（14分）已知m∈R，已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：“函数f（x）=（4﹣m）x在R上为单调增函数．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．18．（16分）（1）用分析法证明：；（2）求证：，，不可能是同一等差数列中的三项．19．（16分）先解答（1），再通过类比解答（2）：（1）已知正三角形的边长为a，求它的内切圆的半径r；（2）已知正四面体的棱长为a，求它的内切球的半径r．20．（16分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=4，a n+2=4a n+1﹣3a n（n∈N*）（1）若数列{b n}满足b n=a n+1﹣a n，证明：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{c n}满足99…9=（2a n+1），①证明：数列{c n}是等差数列；②若数列{d n}满足d n=a n+c n且c2＞﹣1，证明：数列{d n}中的每一项均不小于3．2017-2018学年江苏省徐州市铜山区高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则集合A∪B中元素个数是4．【解答】解：集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则集合A∪B={﹣1，0，1，2}，其中元素个数是4．故答案为：4．2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣3＞0”的否定是“∃x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣2x ﹣3＞0”的否定是：命题“∃x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”．故答案为：“∃x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”．3．（5分）若复数z=4+3i （i为虚数单位），则|z|=5．【解答】解：∵复数z=4+3i，∴|z|==5，故答案为：54．（5分）命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是真命题．（从真、假中选一个）．【解答】解：若a2+b2=0，则a=0且b=0为真命题，则逆否命题也是真命题，故答案为：真5．（5分）已知{1}⊆A⊆{1，2，3}，则这样的集合A有4个．【解答】解：根据已知条件知符合条件的A为：A={1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}；∴集合A有4个．故答案为：4．6．（5分）已知a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，则实数a=﹣2．【解答】解：∵a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，∴，即，得a=﹣2，故答案为：﹣2．7．（5分）若命题“∃x∈R，x2+2x+a＜0”是真命题，则实数a的取值范围是a ＜1．【解答】解：命题p：“∃x∈R，x2+2x+a＜0”是真命题，则￢p：“∀x∈R，x2+2x+a≥0”是假命题，∴△＞0，即4﹣4a＞0，解得a＜1；∴实数a的取值范围是a＜1．故答案为：a＜1．8．（5分）已知x，y∈R，则“a=1“是直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+1=0平行的充分必要条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个）【解答】解：若直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+1=0平行，则，解得a=1，因此，“a=1“是直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+1=0平行的充分必要条件，故答案为：充分必要．9．（5分）设a，b是不相等的正数x=，y=，则x，y的大小关系是x＜y．（用“＜”连接）【解答】解：∵a，b＞0，且a≠b．x2﹣y2=﹣=＜0，∴x2＜y2．∴x＜y．故答案为：x＜y．10．（5分）已知条件p：向量=（1，x），=（2，1）的数量积＞0；条件q：x≥a+1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．【解答】解：∵条件p：向量=（1，x），=（2，1）的数量积＞0，∴条件p：=2+x＞0，即x＞﹣2，∵条件q：x≥a+1，p是q的充分不必要条件，∴a+1≤﹣2，解得a≤﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故答案为：（﹣∞，﹣3]．11．（5分）已知cos=，cos cos=，cos cos cos=，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是cos cos…cos=．【解答】解：根据题意，分析所给的等式可得：cos=，可化为cos=cos cos=，可化为cos cos=cos cos cos=，可化为cos cos cos=；则一般的结论为cos cos…cos=；故答案为cos cos…cos=．12．（5分）已知a n=3n，把数列{a n}的各项排成如下的三角形：记A（s，t）表示第s行的第t个数，则A（12，13）=3134．【解答】解：每行最后一项的下标为1，4，9，……，∴每一行最后一项的通项公式为，则第11行的最后一项为=a 121，A（12，13）表示第12行的第13项，此时数列为a121+13=a134=3134，故答案为：313413．（5分）设集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=4﹣}，当M ∩N中的元素个数是2时，则实数b的取值范围是（2﹣2，0]．【解答】解：集合M={（x，y）|y=x+b}表示一组斜率为1的直线，集合N={（x，y）|y=4﹣}={（x，y）|（x﹣2）2+（y﹣4）2=4，2≤y≤4}，它表示圆心为（2，4），半径为2的半圆，如图所示；当M∩N中的元素个数是2时，直线y=x+b与半圆有2个交点；即直线y=x+b过点B（4，4）时，b=0；当直线相切时，圆心C（2，4）到直线x﹣y+b=0的距离为d==2，解得b=2﹣2或b=2+2（不合题意，舍去）；综上，实数b的取值范围是（2﹣2，0]．故答案为：（2﹣2，0]．14．（5分）函数f（x）=x3﹣2x+c，g（x）=lnx+1，若f（x）≥g（x）恒成立，则实数c的取值范围是c≥2．【解答】解：函数g（x）=lnx+1，其定义域为（0，+∞），f（x）=x3﹣2x+c，∵f（x）≥g（x）恒成立，∴x3﹣2x+c≥lnx+1恒成立，即c≥lnx﹣x3+2x+1．令φ（x）=lnx﹣x3+2x+1，则φ′（x）=﹣3x2+2==，令φ'（x）≥0，得x≤1，∴φ（x）在（0，1]上单调递增，令φ'（x）≤0，得x≥1，∴φ（x）在[1，+∞）上单调递减，∴当x=1时，[φ（x）]max=φ（1）=2．∴c≥2．故答案为：c≥2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）已知i为虚数单位（1）计算：（2+3i）（5﹣i）；（2）已知（3+i）z=4﹣2i，求复数z．【解答】解：（1）（2+3i）（5﹣i）=10﹣2i+15i﹣3i2=13+13i；………（6分）（2）因为（3+i）z=4﹣2i，所以z====1﹣i；………………（14分）16．（14分）已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B，（1）求A∩B；（2）已知C={x|（x+2）（x+a）≤0}，若B∩C=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=的定义域为集合A，由x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，∴A={x|x＜﹣1或x＞3}．…………………（2分）由函数g（x）=的定义域为集合B，由3﹣|x|≥0，得﹣3≤x≤3，∴B={x|﹣3≤x≤3}，……………………………………（4分）∴A∩B={x|﹣3≤x≤﹣1}．………………………………………………………………………（6分）（2）∵C={x|（x+2）（x+a）≤0}，B∩C=C，∴C⊆B，…………………………………………………………………（7分）当a=2时，C={﹣2}，满足C⊆B，…………………………………………………（9分）当a＜2时，C={x|a≤x≤2}，若C⊆B，则a≥﹣3，故﹣3≤a＜2，…………………（11分）当a＞2时，C={x|2≤x≤a}，若C⊆B，则a≤3，故2＜a≤3．………………………（13分）综上，实数a的取值范围是[﹣3，3]．……………………………………………（14分）17．（14分）已知m∈R，已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：“函数f（x）=（4﹣m）x在R上为单调增函数．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p是真命题，则6﹣m＞m﹣2＞0解得2＜m＜4………………………………（3分）若q为真命题，则4﹣m＞1，即m＜3…………………………………………………（6分）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假．………………（8分）当p真q假时，由得3≤m＜4…………………………………………（10分）当p假q真时，由，得m≤2…………………………………………（12分）综上，实数m 的取值范围是m≤2或3≤m＜4……………………………………（14分）18．（16分）（1）用分析法证明：；（2）求证：，，不可能是同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）要证＞﹣只要证+＞+，只要证（+）2＞（+）2，只要证8+2＞8+2，只要证＞只要证15＞12上式显然成立故证＞﹣，（2）假设，，是某一个等差数列中的三项，则存在整数m，n满足=+md ①，=+nd ②①×n﹣②×m得：n﹣m=（n﹣m）两边平方得：3n2+5m2﹣2mn=2（n﹣m）2左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数所以，假设不正确．故：，，不可能是同一等差数列中的三项．19．（16分）先解答（1），再通过类比解答（2）：（1）已知正三角形的边长为a，求它的内切圆的半径r；（2）已知正四面体的棱长为a，求它的内切球的半径r．【解答】解：（1）设正三角形为△ABC，内切圆的圆心为O．正三角形的高为=，，………………………………（3分）=S△AOB+S△BOC+S△AOC，得，…………………（6由S△ABC分）解得r=．…………………………………………………………………………（8分）（2）设正四面体为A_BCD，内切球的球心为O．正四面体的高为=a，各面的面积为，………………（11分）由V A=V O﹣ABC+V O﹣ACD+V O﹣ABD+V O﹣﹣BCD，……………………………………………（12分）BCD得：=+，……………（14分）解得r=．………………………………………………………………（16分）20．（16分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=4，a n+2=4a n+1﹣3a n（n∈N*）（1）若数列{b n}满足b n=a n+1﹣a n，证明：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{c n}满足99…9=（2a n+1），①证明：数列{c n}是等差数列；②若数列{d n}满足d n=a n+c n且c2＞﹣1，证明：数列{d n}中的每一项均不小于3．【解答】解：（1）由a n+2=4a n+1﹣3a n（n∈N*）变形为：a n+2﹣a n+1=3（a n+1﹣a n），又b n=a n+1﹣a n，可得b n+1=3b n．又b1=a2﹣a1=3≠0，故数列{b n}是等比数列；以3为首项，公比为3的等比数列．（2）证明：①由（1）知：a n+1﹣a n=3n，n≥2时，a n﹣a n﹣1=3n﹣1．∴a n=1+3+32+……+3n﹣1==．当n=1时，也符合上式∴a n=．∴2a n=1=3n．∵数列{c n}满足99…9=（2a n+1），∴数列{c n}满足99…9=，∴2（c1+c2+……+c n﹣n）=nc n，n≥2时，2（c1+c2+……+c n﹣1﹣n+1）=（n﹣1）c n﹣1，，相减可得：2（c n﹣1）=nc n﹣（n﹣1）c n﹣1∴2（c n+1﹣1）=（n+1）c n+1﹣nc n，相减可得：c n+1+c n﹣1=2c n．∴数列{c n}是等差数列．②由2（c1+c2+……+c n﹣n）=nc n，n=1时，2（c1﹣1）=c1，解得c1=2．等差数列{c n}的公差d=c2﹣2．∴c n=2+（n﹣1）（c2﹣2）=n（c2﹣2）+4﹣c2．∴数列{d n}满足d n=a n+c n=+n（c2﹣2）+4﹣c2．∵c2＞﹣1，∴d n+1﹣d n=+（n+1）（c2﹣2）+4﹣c2﹣﹣n（c2﹣2）﹣4+c2=3n+c2﹣2＞3n﹣3≥3﹣3=0，所以数列{d n}单调递增．即数列{d n}中的最小项为：d1=1+c2﹣2+4﹣c2=3．∴数列数列{d n}中的每一项均不小于3．。

2017-2018年江苏省无锡一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2017-2018学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则z的虚部是．2．（5分）用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2=0，则a=0且b=0”时，反设的内容应为假设．3．（5分）用数字0，1，2，3，7可以组成个没有重复数字的四位奇数（用数字作答）．4．（5分）若=，则x=．5．（5分）若随机变量X的分布列为P（X=k）=（k=1，2，3，4），则P（＜X＜）=．6．（5分）若复数z满足|z+3﹣4i|=1，则|z|的最大值为．7．（5分）某一批花生种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下4粒种子，恰有2粒发芽的概率是（用数字作答）．8．（5分）展开式中只有第六项二项式系数最大，则n=，展开式中的常数项是．9．（5分）已知数列{a n}是首项为3，公比为2的等比数列，则的值为（用数字作答）．10．（5分）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是．11．（5分）若，则=（用数字作答）．12．（5分）“求1+q+q2+…（0＜q＜1）的值时，采用了如下的方式：令1+q+q2+…=x，则有x=1+q（1+q+q2+…）=1+q•x，解得x的值为，即”．用类比的方法可以求得的值为．13．（5分）化简的结果为．14．（5分）一位游戏爱好者设计了一个滚弹珠游戏，在一条直线上依次有2n+1个红色圆圈标记，从左到右分别记为T1，T2，…，T2n+1（n为给定的正整数），设每两个相邻红色圆圈标记的间距为1个单位长度，一个弹珠从中间位置的红色圆圈标记Tn+1处开始，按以下规律在这些红色圆圈标记之间随机滚动n分钟：每分钟滚动两次，每次沿直线随机向左或向右滚动0.5个单位，且向左或向右滚动的可能性相等，则该弹珠第n分钟未处在红色圆圈标记Ti（1≤i≤2n+1）位置的概率为（用含有n，i式子表示）．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知复数，z2=5m+3mi（m∈R）．（1）若z=z1﹣z2为纯虚数，求实数m的值；（2）当m=1时，若，求．16．（14分）已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n的值；（2）求展开式的所有项的系数之和；（3）求展开式中所有的有理项．17．（14分）（1）试用分析法证明：；（2）已知实数a，b，c成等比数列，且公比q≠1，试用反证法证明：1﹣a，1﹣b，1﹣c不可能成为等比数列．18．（16分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．（1）求概率P（X=600）；（2）求X的概率分布及数学期望E（X）．19．（16分）集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}（1）求a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；（2）记a，b，c三个数中相邻自然数的组数为ξ（如集合{3，4，5}中3和4相邻，ξ=2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）．20．（16分）已知数列{a n}满足且a1=0．（1）计算a2，a3，a4的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）求证：．2017-2018学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则z的虚部是﹣2．【解答】解：∵z==，∴z的虚部是﹣2．故答案为：﹣2．2．（5分）用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2=0，则a=0且b=0”时，反设的内容应为假设a≠0或b≠0．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题““若实数a，b满足a2+b2=0，则a=0且b=0”时，要做的假设是：a≠0或b≠0．故答案为：a≠0或b≠03．（5分）用数字0，1，2，3，7可以组成个没有重复数字的四位奇数54（用数字作答）．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①，四位奇数的个位数字必须为1、3、7中的任意1个，有3种情况，②，四位数的千位数字不能为0，需要在剩下3个数字中任选1个，有3种情况，③，在剩下的3个数字中任选2个，安排在百位和十位，有A32=6种情况，则一共有3×3×6=54种情况，即有54个没有重复数字的四位奇数；故答案为：54．4．（5分）若=，则x=1．【解答】解：∵=，∴x=2x﹣1或x+2x﹣1=n，解得x=1或x=．当n是偶数时，x=不成立，故x=1．故答案为：1．5．（5分）若随机变量X的分布列为P（X=k）=（k=1，2，3，4），则P（＜X＜）=0.5．【解答】解：∵随机变量X的分布列为P（X=k）=（k=1，2，3，4），∴=1，解得a=10，∴P（＜X＜）=P（X=2）+P（X=3）==0.5．故答案为：0.5．6．（5分）若复数z满足|z+3﹣4i|=1，则|z|的最大值为6．【解答】解：设z=x+yi，复数z满足|z+3﹣4i|=1，由复数模的几何意义可知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以（﹣3，4）为圆心，以1为半径的圆，∵圆心（﹣3，4）到原点O的距离为，∴|z|的最大值为5+1=6．故答案为：6．7．（5分）某一批花生种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下4粒种子，恰有2粒发芽的概率是（用数字作答）．【解答】解：如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是：．故答案为：．8．（5分）展开式中只有第六项二项式系数最大，则n=10，展开式中的常数项是180．【解答】解：∵展开式中只有第六项二项式系数最大，∴n=10．∴的通项公式：T r+1==2r，解得r=2．∴常数项为：=180．故答案为：10，180．9．（5分）已知数列{a n}是首项为3，公比为2的等比数列，则的值为381（用数字作答）．【解答】解：∵数列{a n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴a n=3•2n﹣1，则=•3﹣•3•2+•3•4﹣•3•8+•3•16﹣•3•32+•3•64=3（﹣•2+•22﹣•23+•24﹣•25+•26﹣•27+•27）=3•（1﹣2）7+3•27=﹣3+3•27=381，故答案为：381．10．（5分）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是．【解答】解：小明有4枚完全相同的硬币，他把4枚硬币叠成一摞，基本事件总数n=24=16，所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对，包含的基本事件的个数m=24﹣2=14，∴所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率：p===．故答案为：．11．（5分）若，则=729（用数字作答）．【解答】解：在中，令x=0，可得a0+a1+a2+a3+…+a6=36①，再令x=﹣2，可得得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a6=1 ②，①和②相乘可得=36=729，故答案为：729．12．（5分）“求1+q+q2+…（0＜q＜1）的值时，采用了如下的方式：令1+q+q2+…=x，则有x=1+q（1+q+q2+…）=1+q•x，解得x的值为，即”．用类比的方法可以求得的值为3．【解答】解：令=x（x＞0）则有x=∴x2=6+x∴x2﹣x﹣6=0解得x=3或x=﹣2，∵x＞0，∴x=3．故答案为：3．13．（5分）化简的结果为11．【解答】解：根据题意，=11+11+11+……+11=11（+++……+）=11；故答案为：11．14．（5分）一位游戏爱好者设计了一个滚弹珠游戏，在一条直线上依次有2n+1个红色圆圈标记，从左到右分别记为T1，T2，…，T2n+1（n为给定的正整数），设每两个相邻红色圆圈标记的间距为1个单位长度，一个弹珠从中间位置的红色圆圈标记Tn+1处开始，按以下规律在这些红色圆圈标记之间随机滚动n分钟：每分钟滚动两次，每次沿直线随机向左或向右滚动0.5个单位，且向左或向右滚动的可能性相等，则该弹珠第n分钟未处在红色圆圈标记Ti（1≤i≤2n+1）位置的概率为（1≤i≤2n+1）（用含有n，i式子表示）．【解答】解：由题意得该弹球将以的概率向左或向右滚动，当弹珠某一分钟末在红色圆圏标记T i（2≤i≤2n）处时，，T i，T i+1的位置，下一分钟末它分别有的概率到达T i﹣1我们规定事件“以的概率向左或向右滚动0.5个单位长度”为一次“随机滚动”，则原问题等价于求该球从T n+1出发经过2n次随机滚动后处在T i位置的概率P i，对某个i（1≤i≤2n+1），设从T n+1出发，经过2n次随机滚动到T i的全过程中，设向右滚动0.5个单位长度和向左滚动0.5个长度分别有k次和2n﹣k次，（0≤k ≤2n，k∈N），则n+1+=i，解得k=i﹣1，即在2n次随机滚动中有i﹣1次向右滚动，2n﹣（i﹣1）次向左滚动，这样的情形共有种，∴该弹珠第n分钟未处在红色圆圈标记Ti（1≤i≤2n+1）位置的概率为：p i=（1≤i≤2n+1）．故答案为：（1≤i≤2n+1）．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知复数，z2=5m+3mi（m∈R）．（1）若z=z1﹣z2为纯虚数，求实数m的值；（2）当m=1时，若，求．【解答】解：（1）由，z2=5m+3mi（m∈R），得z=z1﹣z2=（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i，又z为纯虚数，∴，解得：m=2；（2）当m=1时，z1=（m2+6）+m2i=7+i，z2=5m+3mi=5+3i∴==，∴．16．（14分）已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n的值；（2）求展开式的所有项的系数之和；（3）求展开式中所有的有理项．【解答】解：（1）在的展开式中，第6项为T6=••为常数项，∴=0，∴n=10．（2）在=的展开式中，令x=1，可得展开式的所有项的系数之和为=．（3）二项式的展开式的通项公式为T r+1=••，令为整数，可得r=2，5，8，故有理项分别为T3=••x2=x2，T6=•（﹣）•x0=﹣；T9=••x﹣2=•x﹣2．17．（14分）（1）试用分析法证明：；（2）已知实数a，b，c成等比数列，且公比q≠1，试用反证法证明：1﹣a，1﹣b，1﹣c不可能成为等比数列．【解答】解：（1）要证﹣＜﹣，只要证+＜+，即证（+）2＜（+）2，即证13+2＜13+2即证＜，即证30＜42，显然成立，故﹣＜﹣，（2）证明：假设1﹣a，1﹣b，1﹣c成等比数列，则（1﹣b）2=（1﹣a）（1﹣c）①，∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，②，将②代入①，整理得2b=a+c，∴2aq=a+aq2，q2﹣2q+1=0，从而q=1，这与已知q≠1矛盾，∴1﹣a，1﹣b，1﹣c不可能成等比数列18．（16分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．（1）求概率P（X=600）；（2）求X的概率分布及数学期望E（X）．【解答】解：（1）从3×3表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形．则事件：“X=600”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含种情形，第二类包含种情形．所以P（X=600）==．……（3分）（2）X的所有可能值为300，400，500，600，700．则P（X=300）===，P（X=400）===，P（X=500）==，P（X=700）==．所以X的概率分布列为：……（8分）所以E（X）=300×+400×+500×+600×+700×=500（元）．……（10分）注意：1．只要有P（X=600）==，就得（3分），不一定非常书写很详细；19．（16分）集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}（1）求a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；（2）记a，b，c三个数中相邻自然数的组数为ξ（如集合{3，4，5}中3和4相邻，ξ=2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）．【解答】解：（1）从9个不同的3个元素中任取3个不同元素，为古典概型，记“a，b，c任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A，其基本事件总数为n=，由题意，a，b，c均不相邻，利用插空法得事件A包含基本事件数m=，∴P（A）==．∴a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为．（2）ξ的所有可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：Eξ=0×+1×+2×=．20．（16分）已知数列{a n}满足且a1=0．（1）计算a2，a3，a4的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）求证：．【解答】解（1）∵a1=0，∴a2=﹣a02+a0+1=1，同理a3=2，a4=3，（2）猜想a n=n﹣1．证明：①当n=1时，由a1=0，结论成立；②假设n=k（k∈N*）时结论成立，即a k=k﹣1．当n=k+1时，a k+1=﹣a k2+ka k+1=﹣（k﹣1）2+k（k﹣1）+1=k，这说明当n=k+1时结论成立．由①②可知，a n=n﹣1对任意正整数n都成立．（3）证明：，即为（n+1）n＜n n≤（n+1）n，化为2≤（1+）n＜3，由（1+）n=1+•+•（）2+…+（）n，当n=1时，显然（1+）n=2；当n≥2时，显然（1+）n＞2；由（1+）n=1+•+•（）2+…+（）n=1+1++…+＜1++++…+＜1+1+++…+=2+1﹣+﹣+…+﹣=3﹣＜3，即有2≤（1+）n＜3，则．。

2017-2018学年江苏省无锡一中高二(下)期中数学试卷(理科)

2017-2018学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则z的虚部是．2．（5分）用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2=0，则a=0且b=0”时，反设的内容应为假设．3．（5分）用数字0，1，2，3，7可以组成个没有重复数字的四位奇数（用数字作答）．4．（5分）若=，则x=．5．（5分）若随机变量X的分布列为P（X=k）=（k=1，2，3，4），则P（＜X ＜）=．6．（5分）若复数z满足|z+3﹣4i|=1，则|z|的最大值为．7．（5分）某一批花生种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下4粒种子，恰有2粒发芽的概率是（用数字作答）．8．（5分）展开式中只有第六项二项式系数最大，则n=，展开式中的常数项是．9．（5分）已知数列{a n}是首项为3，公比为2的等比数列，则的值为（用数字作答）．10．（5分）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是．11．（5分）若，则=（用数字作答）．12．（5分）“求1+q+q2+...（0＜q＜1）的值时，采用了如下的方式：令1+q+q2+ (x)则有x=1+q（1+q+q2+…）=1+q•x，解得x的值为，即”．用类比的方法可以求得的值为．13．（5分）化简的结果为．14．（5分）一位游戏爱好者设计了一个滚弹珠游戏，在一条直线上依次有2n+1个红色圆圈标记，从左到右分别记为T1，T2，…，T2n+1（n为给定的正整数），设每两个相邻红色圆圈标记的间距为1个单位长度，一个弹珠从中间位置的红色圆圈标记Tn+1处开始，按以下规律在这些红色圆圈标记之间随机滚动n分钟：每分钟滚动两次，每次沿直线随机向左或向右滚动0.5个单位，且向左或向右滚动的可能性相等，则该弹珠第n分钟未处在红色圆圈标记Ti（1≤i≤2n+1）位置的概率为（用含有n，i式子表示）．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知复数，z2=5m+3mi（m∈R）．（1）若z=z1﹣z2为纯虚数，求实数m的值；（2）当m=1时，若，求．16．（14分）已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n的值；（2）求展开式的所有项的系数之和；（3）求展开式中所有的有理项．17．（14分）（1）试用分析法证明：；（2）已知实数a，b，c成等比数列，且公比q≠1，试用反证法证明：1﹣a，1﹣b，1﹣c不可能成为等比数列．18．（16分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．（1）求概率P（X=600）；（2）求X的概率分布及数学期望E（X）．19．（16分）集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}（1）求a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；（2）记a，b，c三个数中相邻自然数的组数为ξ（如集合{3，4，5}中3和4相邻，ξ=2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）．20．（16分）已知数列{a n}满足且a1=0．（1）计算a2，a3，a4的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）求证：．2017-2018学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则z的虚部是﹣2．【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z的虚部可求．【解答】解：∵z==，∴z的虚部是﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2=0，则a=0且b=0”时，反设的内容应为假设a≠0或b≠0．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题““若实数a，b满足a2+b2=0，则a=0且b=0”时，要做的假设是：a≠0或b≠0．故答案为：a≠0或b≠0【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．3．（5分）用数字0，1，2，3，7可以组成个没有重复数字的四位奇数54（用数字作答）．【分析】根据题意，分3步进行分析：①，四位奇数的个位数字必须为1、3、7中的任意1个，②，四位数的千位数字不能为0，需要在剩下3个数字中任选1个，③，在剩下的3个数字中任选2个，安排在百位和十位，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①，四位奇数的个位数字必须为1、3、7中的任意1个，有3种情况，②，四位数的千位数字不能为0，需要在剩下3个数字中任选1个，有3种情况，③，在剩下的3个数字中任选2个，安排在百位和十位，有A32=6种情况，则一共有3×3×6=54种情况，即有54个没有重复数字的四位奇数；故答案为：54．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4．（5分）若=，则x=1．【分析】利用组合数的性质直接求解．【解答】解：∵=，∴x=2x﹣1或x+2x﹣1=n，解得x=1或x=．当n是偶数时，x=不成立，故x=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，考查组合数公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（5分）若随机变量X的分布列为P（X=k）=（k=1，2，3，4），则P（＜X ＜）=0.5．【分析】由随机变量的分布列求出a=10，从而P（＜X＜）=P（X=2）+P（X=3），由此能求出结果．【解答】解：∵随机变量X的分布列为P（X=k）=（k=1，2，3，4），∴=1，解得a=10，∴P（＜X＜）=P（X=2）+P（X=3）==0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查概率的求法，考查随机变量的分布列的性质、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．（5分）若复数z满足|z+3﹣4i|=1，则|z|的最大值为6．【分析】设z=x+yi，由复数z满足|z+3﹣4i|=1可知，z在以（﹣3，4）为圆心的单位圆上，由此求|z|的最大值．【解答】解：设z=x+yi，复数z满足|z+3﹣4i|=1，由复数模的几何意义可知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以（﹣3，4）为圆心，以1为半径的圆，∵圆心（﹣3，4）到原点O的距离为，∴|z|的最大值为5+1=6．故答案为：6．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的模，是基础题．7．（5分）某一批花生种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下4粒种子，恰有2粒发芽的概率是（用数字作答）．【分析】根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率公式求得结果．【解答】解：如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是：．故答案为：．【点评】本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，属于中档题．8．（5分）展开式中只有第六项二项式系数最大，则n=10，展开式中的常数项是180．【分析】由展开式中只有第六项二项式系数最大，可得n=10．再利用的通项公式即可得出．【解答】解：∵展开式中只有第六项二项式系数最大，∴n=10．∴的通项公式：T r==2r，解得r=2．+1∴常数项为：=180．故答案为：10，180．【点评】本题参考二项式定理的展开式及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（5分）已知数列{a n}是首项为3，公比为2的等比数列，则的值为381（用数字作答）．【分析】根据比数列的通项公式求得a n，再利用二项式定理，求得要求式子的值．【解答】解：∵数列{a n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴a n=3•2n﹣1，则=•3﹣•3•2+•3•4﹣•3•8+•3•16﹣•3•32+•3•64=3（﹣•2+•22﹣•23+•24﹣•25+•26﹣•27+•27）=3•（1﹣2）7+3•27=﹣3+3•27=381，故答案为：381．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10．（5分）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是．【分析】小明有4枚完全相同的硬币，他把4枚硬币叠成一摞，先求出基本事件总数，再求出所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对，包含的基本事件的个数，由此能求出所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率．【解答】解：小明有4枚完全相同的硬币，他把4枚硬币叠成一摞，基本事件总数n=24=16，所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对，包含的基本事件的个数m=24﹣2=14，∴所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率：p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．11．（5分）若，则=729（用数字作答）．【分析】在所给的等式中，分别令x=0，x=﹣2，可得到2个式子，再把这2个式子相乘，即得所求．【解答】解：在中，令x=0，可得a0+a1+a2+a3+…+a6=36①，再令x=﹣2，可得得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a6=1 ②，①和②相乘可得=36=729，故答案为：729．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．12．（5分）“求1+q+q2+...（0＜q＜1）的值时，采用了如下的方式：令1+q+q2+ (x)则有x=1+q（1+q+q2+…）=1+q•x，解得x的值为，即”．用类比的方法可以求得的值为3．【分析】令=x（x＞0）则有x=，从而x2﹣x﹣6=0，据此求出x的值是多少即可．【解答】解：令=x（x＞0）则有x=∴x2=6+x∴x2﹣x﹣6=0解得x=3或x=﹣2，∵x＞0，∴x=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了类比推理的思想和方法，考查运算求解能力，解答此题的关键是类比推理出x=．13．（5分）化简的结果为11．【分析】根据题意，由组合数的公式有=11+11+11+……+11=11（+++……+），进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，=11+11+11+……+11=11（+++……+）=11；故答案为：11．【点评】本题考查组合数公式，关键是掌握组合数公式的性质．14．（5分）一位游戏爱好者设计了一个滚弹珠游戏，在一条直线上依次有2n+1个红色圆圈标记，从左到右分别记为T1，T2，…，T2n+1（n为给定的正整数），设每两个相邻红色圆圈标记的间距为1个单位长度，一个弹珠从中间位置的红色圆圈标记Tn+1处开始，按以下规律在这些红色圆圈标记之间随机滚动n分钟：每分钟滚动两次，每次沿直线随机向左或向右滚动0.5个单位，且向左或向右滚动的可能性相等，则该弹珠第n分钟未处在红色圆圈标记Ti（1≤i≤2n+1）位置的概率为（1≤i≤2n+1）（用含有n，i式子表示）．【分析】规定事件“以的概率向左或向右滚动0.5个单位长度”为一次“随机滚动”，则原问题等价于求该球从T n+1出发经过2n次随机滚动后处在T i位置的概率P i，由此能求出该弹珠第n分钟未处在红色圆圈标记Ti（1≤i≤2n+1）位置的概率．故答案为：（1≤i≤2n+1）．【解答】解：由题意得该弹球将以的概率向左或向右滚动，当弹珠某一分钟末在红色圆圏标记T i（2≤i≤2n）处时，下一分钟末它分别有的概率到达T i﹣1，T i，T i+1的位置，我们规定事件“以的概率向左或向右滚动0.5个单位长度”为一次“随机滚动”，则原问题等价于求该球从T n+1出发经过2n次随机滚动后处在T i位置的概率P i，对某个i（1≤i≤2n+1），设从T n+1出发，经过2n次随机滚动到T i的全过程中，设向右滚动0.5个单位长度和向左滚动0.5个长度分别有k次和2n﹣k次，（0≤k ≤2n，k∈N），则n+1+=i，解得k=i﹣1，即在2n次随机滚动中有i﹣1次向右滚动，2n﹣（i﹣1）次向左滚动，这样的情形共有种，∴该弹珠第n分钟未处在红色圆圈标记Ti（1≤i≤2n+1）位置的概率为：p i=（1≤i≤2n+1）．故答案为：（1≤i≤2n+1）．【点评】本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知复数，z2=5m+3mi（m∈R）．（1）若z=z1﹣z2为纯虚数，求实数m的值；（2）当m=1时，若，求．【分析】（1）化简z=z1﹣z2为a+bi的形式，通过复数是纯虚数，实部为0，虚部不为0，列出方程组求实数m的值；（2）当m=1时，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（1）由，z2=5m+3mi（m∈R），得z=z1﹣z2=（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i，又z为纯虚数，∴，解得：m=2；（2）当m=1时，z1=（m2+6）+m2i=7+i，z2=5m+3mi=5+3i∴==，∴．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是中档16．（14分）已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n的值；（2）求展开式的所有项的系数之和；（3）求展开式中所有的有理项．【分析】（1）在二项展开式的第六项的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n的值．（2）在二项展开式中，令x=1，可得展开式的所有项的系数之和．（3）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0整数，求出r的值，即可求得展开式中所有的有理项．【解答】解：（1）在的展开式中，第6项为T6=••为常数项，∴=0，∴n=10．（2）在=的展开式中，令x=1，可得展开式的所有项的系数之和为=．=••（3）二项式的展开式的通项公式为T r+1，令为整数，可得r=2，5，8，故有理项分别为T3=••x2=x2，T6=•（﹣）•x0=﹣；T9=••x﹣2=•x﹣2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．17．（14分）（1）试用分析法证明：；（2）已知实数a，b，c成等比数列，且公比q≠1，试用反证法证明：1﹣a，1﹣b，1﹣c不可能成为等比数列．【分析】（1）利用分析法证明即可，（2）利用反证法结合等比数列的定义进行证明即可．【解答】解：（1）要证﹣＜﹣，只要证+＜+，即证（+）2＜（+）2，即证13+2＜13+2即证＜，即证30＜42，显然成立，故﹣＜﹣，（2）证明：假设1﹣a，1﹣b，1﹣c成等比数列，则（1﹣b）2=（1﹣a）（1﹣c）①，∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，②，将②代入①，整理得2b=a+c，∴2aq=a+aq2，q2﹣2q+1=0，从而q=1，这与已知q≠1矛盾，∴1﹣a，1﹣b，1﹣c不可能成等比数列【点评】本题主要考查等比数列等比关系的判断，反证法和分析法，考查了推理推理能力，属于中档题18．（16分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．（1）求概率P（X=600）；（2）求X的概率分布及数学期望E（X）．【分析】（1）求出所有事件总数，满足条件的事件个数，然后求解概率．（2）X的所有可能值为300，400，500，600，700．求出概率．得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）从3×3表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形．则事件：“X=600”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含种情形，第二类包含种情形．所以P（X=600）==．……（3分）（2）X的所有可能值为300，400，500，600，700．则P（X=300）===，P（X=400）===，P（X=500）==，P（X=700）==．所以X的概率分布列为：……（8分）所以E（X）=300×+400×+500×+600×+700×=500（元）．……（10分）注意：1．只要有P（X=600）==，就得（3分），不一定非常书写很详细；【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查发现问题解决问题的能力．19．（16分）集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}（1）求a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；（2）记a，b，c三个数中相邻自然数的组数为ξ（如集合{3，4，5}中3和4相邻，ξ=2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）．【分析】（1）根据题设条件，利用古典概型的概率的计算公式能求出a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率．（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）的值，由此能求出ξ的分布列和数学期．【解答】解：（1）从9个不同的3个元素中任取3个不同元素，为古典概型，记“a，b，c任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A，其基本事件总数为n=，由题意，a，b，c均不相邻，利用插空法得事件A包含基本事件数m=，∴P（A）==．∴a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为．（2）ξ的所有可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：Eξ=0×+1×+2×=．【点评】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．20．（16分）已知数列{a n}满足且a1=0．（1）计算a2，a3，a4的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）求证：．【分析】（1）由a n与a n的关系，我们从n=2依次代入整数值，即可求出a2，+1a3，a4；（2）由a1，a2，a3的值与n的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明；（3）原不等式化简变形为2≤（1+）n＜3，再由二项式定理、放缩法和裂项相消求和，即可得证．【解答】解（1）∵a1=0，∴a2=﹣a02+a0+1=1，同理a3=2，a4=3，（2）猜想a n=n﹣1．证明：①当n=1时，由a1=0，结论成立；②假设n=k（k∈N*）时结论成立，即a k=k﹣1．当n=k+1时，a k=﹣a k2+ka k+1=﹣（k﹣1）2+k（k﹣1）+1=k，+1这说明当n=k+1时结论成立．由①②可知，a n=n﹣1对任意正整数n都成立．（3）证明：，即为（n+1）n＜n n≤（n+1）n，化为2≤（1+）n＜3，由（1+）n=1+•+•（）2+…+（）n，当n=1时，显然（1+）n=2；当n≥2时，显然（1+）n＞2；由（1+）n=1+•+•（）2+…+（）n=1+1++…+＜1++++…+＜1+1+++…+=2+1﹣+﹣+…+﹣=3﹣＜3，即有2≤（1+）n＜3，则．【点评】本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．本题（3）的证明，注意运用变形和二项式定理、不等式的放缩法和裂项相消求和．。

江苏省南京市第一中学2017-2018学年度第一学期期中考试试卷高二数学试卷(无答案)

南京一中2017~2018学年度第一学期期中考试试卷高二数学试卷一、填空题：本大题14小题，每小题3分，共42分。

1、对于命题为：则使得p x x x p ⌝<-+>∃.02,0:2 。

2、命题“若00,022===+b a b a 且则”的逆否命题是。

3、抛物线24x y =的准线方程为。

4、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则l 的方程为。

5、若圆086C 1:222221=+--+=+m y x y x y x C ：与圆外切，则m= 。

6、表示椭圆”是“方程135"53"22=++-<<-my m x m 的条件。

7、已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦长为4，则实数a 的值为：。

8、若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x ，则x y 的最大值为。

9、已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的焦距为10，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为。

10、已知圆C 经过A （5,1），B （1,3）两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为。

11、由直线2+=x y 上的点P 向圆C ：1)2()4(22=++-y x 引切线PT （T 为切点），当PT 的长最小时，点P 的坐标是。

12、已知点P 是抛物线x y 42=上的一个动点，则点P 到点（0,2）的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和最小值为。

13、设双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的半焦距为c ，直线l 经过),0(),0,(b a 两点，已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为。

14、在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （0,2-），点B 是圆C ：4)2(22=+-y x 上的点，点M 为AB中点，若直线l ：k kx y 5-=上存在点P ，使得030=∠OPM ，则实数k 的取值范围为。

2017-2018年江苏省徐州五中高二(上)期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年江苏省徐州五中高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是．2．（5分）经过点P（1，2）且与直线3x+4y+9+0垂直的直线方程是．3．（5分）已知正四棱柱的底面边长为2cm，高为1cm，则正四棱柱的侧面积是cm2．4．（5分）圆心是（﹣1，0）且过原点的圆的方程是．5．（5分）已知m为实数，直线l1：mx+y+3=0，l2：（3m﹣2）x+my+2=0，则“m=1”是“l1∥l2”的条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）．6．（5分）设直线y=x与圆C：x2+y2﹣2ay=0相交于A，B两点，若，则圆C的半径为．7．（5分）已知圆柱M的底面半径为3，高为2，圆锥N的底面直径和高相等，若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为．8．（5分）已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β，③若α∥β，m∥α，n∥β，则m||n，④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，其中是真命题的是．（填写所有真命题的序号）9．（5分）圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣5=0与圆C2：x2+y2﹣8x+4y+7=0的公切线有条．10．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥O﹣ABD 的体积为V1，四棱锥O﹣ADD1A1的体积为V2，则的值为．11．（5分）已知命题p：|x﹣2|≤1，命题q：（x﹣a）（x﹣a+4）≤0，若p是q 成立的充分非必要条件，则实数a的取值范围是．12．（5分）关于x的方程有两个不同的实数根，则k的范围为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x=0．若直线y=k （x+2）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围为．14．（5分）已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为．二、解答题：（本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）设命题p：a∈R，a2﹣2a﹣3＞0；命题q：不等式x2+ax+1＞0∀x∈R 恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．16．（14分）如图，在三棱椎P﹣ABC中，D，E，F分别是棱PC、AC、AB的中点，且PA⊥面ABC．（1）求证：PA∥面DEF；（2）求证：面BDE⊥面ABC．17．（14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程．18．（16分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：（2）若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC．19．（16分）已知圆O：x2+y2=1和A（4，2）（1）过点A向圆O引切线l，求切线l的方程．（2）设P为圆A：（x﹣4）2+（y﹣2）2=9上的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B．试探究：平面内是否存在一定点C，使得为定值，若存在，求出此定值，若不存在，说明理由．20．（16分）已知圆M的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣6=0，以坐标原点为圆心的圆N，圆N内切于圆M．（1）求圆N的方程；（2）圆N与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，求•的取值范围；（3）过点M作两条直线分别与圆N相交于A、B两点，且直线MA和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN和AB是否平行？请说明理由．2017-2018学年江苏省徐州五中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是∃x0∈R，≤0．【解答】解：∵命题∀x∈R，2x＞0是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：∃x0∈R，≤0故答案为：∃x0∈R，≤02．（5分）经过点P（1，2）且与直线3x+4y+9+0垂直的直线方程是4x﹣3y+2=0．【解答】解：设经过点P（1，2）且与直线3x+4y+9+0垂直的直线方程为：4x﹣3y+m=0，解得：m=2．直线方程为：4x﹣3y+2=0．故答案为：4x﹣3y+2=0．3．（5分）已知正四棱柱的底面边长为2cm，高为1cm，则正四棱柱的侧面积是8cm2．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为2cm，高为1cm，∴正四棱柱的侧面积S=4×1×2=8（cm2）．故答案为：8．4．（5分）圆心是（﹣1，0）且过原点的圆的方程是（x+1）2+y2=1．【解答】解：圆心为（﹣1，0）且过原点的圆的半径为：r=1．∴所求圆的标准方程为：（x+1）2+y2=1．故答案为：（x+1）2+y2=1．5．（5分）已知m为实数，直线l1：mx+y+3=0，l2：（3m﹣2）x+my+2=0，则“m=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）．【解答】解：当m=1时，方程可化为l1：x+y+3=0，l2：x+y+2=0，显然有“l1∥l2”成立；而若满足“l1∥l2”成立，则必有，解得m=1，或m=2，不能推出m=1，故“m=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要6．（5分）设直线y=x与圆C：x2+y2﹣2ay=0相交于A，B两点，若，则圆C的半径为．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay=0转化为：x2+（y﹣a）2=a2，直线y=x与圆C：x2+y2﹣2ay=0相交于A，B两点，则：C（0，a）到直线x﹣y=0的距离为d=，圆的半径为：r=|a|，则：|AB|=2=2，解得：a2=6，所以：r=|a|=．故答案为：7．（5分）已知圆柱M的底面半径为3，高为2，圆锥N的底面直径和高相等，若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为6．【解答】解：设圆锥N高为h，则圆锥的底面半径为r=，∵圆柱M的底面半径为3，高为2，圆柱M和圆锥N的体积相同，∴，解得h=6．∴圆锥N的高为6．故答案为：6．8．（5分）已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β，③若α∥β，m∥α，n∥β，则m||n，④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，其中是真命题的是①④．（填写所有真命题的序号）【解答】解：由平面α，β，直线m，n，知：在①中，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥n，故①正确；在②中，若m∥α，n∥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若α∥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故③错误；在④中，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确，故答案为：①④．9．（5分）圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣5=0与圆C2：x2+y2﹣8x+4y+7=0的公切线有3条．【解答】解：圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣5=0化为标准方程是（x+2）2+（y﹣2）2=13，其中圆心为C1（﹣2，2），半径为r1=；圆C2：x2+y2﹣8x+4y+7=0化为标准方程是（x﹣4）2+（y+2）2=13，其中圆心为C2（4，﹣2），半径为r2=；∴两圆的圆心距为|C1C2|==2=r1+r2，∴圆C1与圆C2外切，公切线有3条．故答案为：3．10．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥O﹣ABD 的体积为V1，四棱锥O﹣ADD1A1的体积为V2，则的值为．【解答】解：设AB=a，AD=b，A1A=c．则V1===．V2=•==．∴=．故答案为．11．（5分）已知命题p：|x﹣2|≤1，命题q：（x﹣a）（x﹣a+4）≤0，若p是q 成立的充分非必要条件，则实数a的取值范围是[3，5] ．【解答】解：p：|x﹣2|≤1，即1≤x≤3，命题q：（x﹣a）（x﹣a+4）≤0∵p是q成立的充分非必要条件，∴p⇒q，（x﹣a）（x﹣a+4）0的解为x=a，或x=a﹣4，∴，即3≤a≤5，故答案为：[3，5]12．（5分）关于x的方程有两个不同的实数根，则k的范围为．【解答】解：由题意可得，曲线y=的图象和直线y=kx+2有2个不同的交点．而曲线y=即（x﹣1）2+y2=1，表示以点A（1，0）为圆心、半径为1的半圆，直线y=kx+2经过定点B（0，2），如图所示：设圆A与x轴交点为O（0，0），C（2，0），直线BO的斜率k BC=﹣1，设切线BD的斜率为k′，则切线方程为y﹣2=k′x，即k′x﹣y+2=0，再根据圆心A（1，0）到直线BD的距离等于1可得=1，解得k′=﹣，故实数k的取值范围为[﹣1，﹣）．故答案为：[﹣1，﹣）．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x=0．若直线y=k （x+2）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围为[﹣1，1] ．【解答】解：设过P所作的圆的两条切线为PA、PB，切点是A、B，连结CA、CB，则由两切线相互垂直得四边形PACB是边长为2的正方形，∴CP=2，又直线y=k（x+2）上存在一点满足条件，∴圆心C（2，0）到直线y=k（x+2）的距离d≤2，即，解得﹣1≤k≤1．∴k的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．14．（5分）已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为[] ．【解答】解：如图圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a﹣4）∴|PO|min=|MO|﹣1，|PO|max=|MO|+1，∵，∴由，解得：2．故答案为：[]二、解答题：（本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）设命题p：a∈R，a2﹣2a﹣3＞0；命题q：不等式x2+ax+1＞0∀x∈R 恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．【解答】解：由题知p，q一真一假．…（1分）由p真得（a﹣3）（a+1）＞0，a＞3 或a＜﹣1，…（3分）由q真得a2﹣4＜0，﹣2＜a＜2，…（5分）所以得p真q假时即a≤﹣2或或a＞3…（9分）P假q真时即﹣1≤a＜2…（13分）综上知a范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，2）∪（3，+∞）．…（14分）16．（14分）如图，在三棱椎P﹣ABC中，D，E，F分别是棱PC、AC、AB的中点，且PA⊥面ABC．（1）求证：PA∥面DEF；（2）求证：面BDE⊥面ABC．【解答】证明：（1）因为D，E分别为PC，AC的中点，所以DE∥PA．又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF．（2）因为D，E，F分别人棱PC，AC，AB的中点，PA=6，BC=8，所以DE∥PA，DE=PA=3，EF=BC=4．又因为DF=5，故DF2=DE2+EF2，所以∠DEF=90．，即DE⊥EF．又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC．因为AC∩EF=E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC．又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．17．（14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程．【解答】解：（1）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1），3x+y+2=0．（2）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|2=（2﹣0）2+（0+2）2=8，∴．从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．18．（16分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：（2）若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC．【解答】（1）证明：因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC．因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB．又因为CP⊥PB，且PB∩AB=B，AB，PB⊂平面PAB，所以CP⊥平面PAB，又因为PA⊂平面PAB，所以CP⊥PA．（2）证明：在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D．因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC=BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC．又l⊥平面ABC，所以l∥PD．又l⊄平面PBC，PD⊂平面PBC，所以l∥平面PBC．19．（16分）已知圆O：x2+y2=1和A（4，2）（1）过点A向圆O引切线l，求切线l的方程．（2）设P为圆A：（x﹣4）2+（y﹣2）2=9上的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B．试探究：平面内是否存在一定点C，使得为定值，若存在，求出此定值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设切线l方程为y﹣2=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+2=0，由圆心（0，0）到切线的距离等于半径r=1，得：，解得…（4分）∴切线l方程为．…（6分）（2）假设存在这样的点C（a，b），点P的坐标为（x，y），相应的定值为λ，根据题意可得，∴…（8分）即x2+y2﹣1=λ2（x2+y2﹣2ax﹣2by+a2+b2）（*），又点P在圆上∴（x﹣4）2+（y﹣2）2=9，即x2+y2=8x+4y﹣11，代入（*）式得：8x+4y﹣12=λ2[（8﹣2a）x+（4﹣2b）y+（a2+b2﹣11）]…（11分）若系数对应相等，则等式恒成立，∴，解得，…（14分）∴可以找到这样的定点R，使得为定值．如点R的坐标为（2，1）时，比值为；点C的坐标为时，比值为…（16分）20．（16分）已知圆M的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣6=0，以坐标原点为圆心的圆N，圆N内切于圆M．（1）求圆N的方程；（2）圆N与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，求•的取值范围；（3）过点M作两条直线分别与圆N相交于A、B两点，且直线MA和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN和AB是否平行？请说明理由．【解答】解：圆M的方程可整理为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8，故圆心M（1，1），半径R=2．（1）圆N的圆心为（0，0），因为|MN|=＜2，所以点N在圆M内，故圆N只能内切于圆M．设其半径为r．因为圆N内切于圆M，所以有：|MN|=|R﹣r|，即=|2﹣r|，解得r=．或r=3（舍去）；所以圆N的方程为x2+y2=2．（2）由题意可知：E（﹣，0），F（，0）．设D（x，y），由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，得|DO|2=|DE|×|DF|，即：×=x2+y2，整理得：x2﹣y2=1．而（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=（﹣﹣x）（﹣x）+（﹣y）（﹣y）=x2+y2﹣2=2y2﹣1，由于点D在圆N内，故有，由此得y2＜，所以•∈[﹣1，0）．（3）因为直线MA和直线MB的倾斜角互补，故直线MA和直线MB的斜率存在，且互为相反数，设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为﹣k．故直线MA的方程为y﹣1=k（x﹣1），直线MB的方程为y﹣1=﹣k（x﹣1），由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0．因为点M在圆N上，故其横坐标x=1一定是该方程的解，可得x A=，同理可得：x B=，所以k AB====1=k MN．所以，直线AB和MN一定平行．。