平面向量数量积的坐标表示(精品说课稿)
6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计高一下学期数学人教A版
教学设计注意：公式a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉与a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．探究二:平面向量模的坐标表示问题4：若a ＝(x ，y )，，如何计算向量的模|a |呢？ 问题5：若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的模？ 探究三:平面向量夹角的坐标表示问题6：已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用坐标表示a 与b 的夹角呢？与向量的模、夹角相关的几个重要公式：1.向量的模的坐标表示：设a ＝(x ，y )，则|a |＝ .2.两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝ . 3.向量的夹角的坐标表示：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝ .注意：由三角函数值cos θ 求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π自我检测题： 判断正误(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ⊥b ⇔x1x2＋y1y2＝0.( )(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( ) (4)若a ·b>0，则a ，b 的夹角为锐角．( ) (5)若a ·b ＝|a||b|，则a ，b 共线．( ) 自主学习问题反馈 【探究学习】 课堂探究目标：通过探究，理解并能用坐标表示平面向量的数量积，会表示坐两个平面向量的夹角，能用坐标表示平面向量共线和垂直的条件题型一:平面向量的夹角和垂直问题 例1. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，则ABC 是什么形状？证明你的猜想.(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则B. 5-C. 5D. 6已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =解决向量夹角问题的方法先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积a ·以及|a |，|b |，再由θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 2＋y 222直接求出θ例4. 已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8 D ．8 2【链接高考】（2022·全国乙） 已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5点拨：求向量的模的两种方法：(1).字母表示下的运算，利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝ x 2＋y 2【归纳总结】知识总结：(一个意义、四个公式)方法总结：化归与转化、数形结合、分类讨论（三种方法） 易错点总结：两向量的夹角公式容易记错（一个易错点） 【分层作业】A 层：基层巩固（必做）、拓广探索（选做） 基础巩固1.若向量(,2),a x =(1,3),b =- a b •＝3，则x ＝( ) A.3 B.－3 C.53 D.－532.已知(3,1),a =--(1,3),b =那么,a b 的夹角θ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6a 等于。
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(课件)
3、 cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、 a // b x1y2 x2 y1 0
5、 a b x1x2 y1y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
向量的模的公式： a
x12 y12 , b
x22 y22 .
（2）若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则如何计算向量AB
的模？
两点间的距离公式：AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
小组合作探究活动 （3）如何推导出向量夹角公式的坐标表示式？
向量的夹角的公式：
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)， 则
又 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝34π.
变式练习
已知向量 a＝ sin α＋π6 ，3 ，b＝(1,4cosα)，α∈(0，π)． (1) 若 a⊥b，求 tanα的值； (2) 若 a∥b，求α的值．
分析
(1) a b x1x2 y1y2 0
(2) a // b x1y2 x2 y1 0
变式练习
解：(1)
因为
a⊥b，所以
sin
α＋π 6
＋12cosα＝0，
即 23sinα＋12cosα＋12cosα＝0，即 23sinα＋225cosα＝0.
又 cosα≠0，所以 tanα＝－25 3. 3
(2) 若 a∥b，则 4cosαsinα＋π6＝3，
即 4cosα 23sinα＋12cosα＝3，所以 3sin2α＋cos2α＝2，所以 sin2α＋π6＝1. 因为 α∈(0，π)，
若平行，需 sinαcosα＋2＝0，即 sin2α＝－4，
高中数学《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》说课稿
《高中数学《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》说课稿.doc》作为一名老师，时常需要编写说课稿，借助说课稿可以让教学工作更科学化。
那么优秀的说课...将本文的Word文档下载，方便收藏和打印推荐度：点击下载文档https://m./shuokegao/2746658.html下载说明：1. 下载的文档为doc格式，下载后可用word文档或者wps打开进行编辑；2. 若打开文档排版布局出现错乱，请安装最新版本的word/wps 软件；3. 下载时请不要更换浏览器或者清理浏览器缓存，否则会导致无法下载成功；4. 网页上所展示的文章内容和下载后的文档内容是保持一致的，下载前请确认当前文章内容是您所想要下载的内容。
付费下载付费后无需验证码即可下载限时特价：6.00元/篇原价20元免费下载仅需3秒1、微信搜索关注公众号:copy839点击复制2、进入公众号免费获取验证码3、将验证码输入下方框内，确认即可复制联系客服微信支付中，请勿关闭窗口微信支付中，请勿关闭窗口×温馨提示支付成功，请下载文档我知道了咨询客服×常见问题•1、支付成功后，为何无法下载文档？付费后下载不了，请核对下微信账单信息，确保付费成功；已付费成功了还是下载不了，有可能是浏览器兼容性问题。
•2、付费后能否更换浏览器或者清理浏览器缓存后下载？更换浏览器或者清理浏览器缓存会导致下载不成功，请不要更换浏览器和清理浏览器缓存。
•3、如何联系客服？扫描下方二维码关注公众号“网站在线小助理”，及时联系客服解决。
请把【付款记录详情】截图给客服，同时把您购买的文章【网址】发给客服。
客服会在24小时内把文档发送给您。
（客服在线时间为周一至周五9:00-12:30 14:00-18:30）。
平面向量数量积的坐标表示(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
= 2 −
1
4
3
4
1
4
3
4
3
)(
2
+ 2 − = 1 − − = 0，
∴( + ) ⊥ ( − ).
3
)
2
−
3
)
2
3
).
2
课堂小结
设非零向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，与的夹角为θ，则有:
数量积
模
两点间
距离公式
垂直
夹角
坐标表示
∙ = 1 2 + 1 2
|| =
1 2 + 1 2 或|| = 1 2 + 1 2
设1 (1 , 1 )，2 (2 , 2 )，则|1 2 | =
(1 − 2 )2 +(1 2 )2 ⊥ ⇔ ∙ = 0 ⇔ 1 2 + 1 2 = 0
解决向量夹角问题的方法及注意事项
x1x2＋y1y2
a·b
(1)求解方法：由 cos θ＝
＝
直接求出 cos θ.
|a||b|
2
2
2
2
x1＋y1 x2＋y2
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是
0°≤θ≤180°.利用cos θ＝
a·b
判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：
可设(, 2)，因为 ∙ = ( 2, 0) ∙ (, 2) = 2，所以 = 1，(1,2).
所以 ∙ = ( 2, 1) ∙ (1 − 2, 2) = 2.
B
6.(2)已知与同向， = (1,2)， ∙ = 10.
《平面向量数量积的坐标表示》教案(1)
平面向量数量积的坐标表示教学目标：掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：向量数量积的坐标表示的应用.教学过程：Ⅰ.课题引入上一节我们学习了平面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 和b 的坐标表示a ·b 呢?这是我们这一节将要研究的问题.Ⅱ.讲授新课首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：记a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ·j ＋y 1y 1j 2＝x 1x 2＋y 1y 21.平面向量数量积的坐标表示：已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 22.两向量垂直的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0［例1］已知a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)，则a 与b 的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)有a ·b ＝ 3 ＋1＋ 3 ( 3 －1)＝4，｜a ｜＝2，｜b ｜＝2 2 .记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜ ＝22又∵0≤θ≤π， ∴θ＝π4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.［例2］已知a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，求x ，y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且｜x a ＋y b ｜＝1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，有x a ＋y b ＝(3x ＋4y ，4x ＋3y )又(x a ＋y b )⊥a ⇔(x a ＋y b )·a ＝0⇔3(3x ＋4y )＋4(4x ＋3y )＝0即25x ＋24y ＝0 ①又｜x a ＋y b ｜＝1⇔｜x a ＋y b ｜2＝1⇔(3x ＋4y )2＋(4x ＋3y )2＝1整理得：25x 2＋48xy ＋25y 2＝1即x (25x ＋24y )＋24xy ＋25y 2＝1②由①②有24xy ＋25y 2＝1 ③将①变形代入③可得：y ＝±57再代入①得：x ＝2435∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=753524y x［例3］在△ABC 中，AB →＝(1，1)，AC →＝(2，k )，若△ABC 中有一个角为直角，求实数k的值.解：若A ＝90°，则AB →·AC →＝0，∴1×2＋1×k ＝0，即k ＝－2若B ＝90°，则AB →·BC →＝0，又BC →＝AC →－AB →＝(2，k )－(1，1)＝(1，k －1)即得：1＋(k －1)＝0，∴k ＝0若C ＝90°，则AC →·BC →＝0，即2＋k (k －1)＝0，而k 2－k ＋2＝0无实根，所以不存在实数k 使C ＝90°综上所述，k ＝－2或k ＝0时，△ABC 内有一内角是直角.评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.［例4］已知：O 为原点，A (a ，0)，B (0，a )，a 为正常数，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB → (0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值是多少?解：设P (x ，y )，则AP →＝(x －a ，y )，AB →＝(－a ，a )，由AP →＝tAB →可有： ⎩⎨⎧=-=-at y at a x ，解得⎩⎨⎧=-=at y at a x ∴OP →＝(a －at ，at )，又OA →＝(a ，0)，∴OA →·OP →＝a 2－a 2t∵a ＞0，可得－a 2＜0，又0≤t ≤1，∴当t ＝0时，OA ·OP →＝a 2－a 2t ，有最大值a 2.［例5］已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝2，a ，b 夹角为60°，m 为何值时两向量3a ＋5b 与m a －3b 互相垂直？解法：(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m ｜a ｜2－9a ·b ＋5m a ·b －15｜b ｜2＝27m ＋(5m －9)×3×2cos60°－15×4＝42m －87＝0∴m ＝8742 ＝2914时，(3a ＋5b )⊥(m a －3b ). Ⅲ.课堂练习课本P 82练习1～8.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. Ⅴ.课后作业课本P 83习题 6，8，9，10平面向量数量积的坐标表示1．在已知a ＝(x ，y ），b ＝(－y ，x )，则a ，b 之间的关系为 （ ）A.平行B.不平行不垂直C.a ⊥bD.以上均不对2．已知a ＝（－4，3），b ＝(5，6），则3|a |2－4a ·b 为 （ ）A.63B.83C.23D.573．若a ＝（－3，4），b ＝(2，－1），若（a －x b )⊥（a －b )，则x 等于 （ ）A.－23B. 72C.－73D.－744．若a ＝（λ，2），b ＝(－3，5），a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）A.（103 ，+∞）B.［103 ，+∞）C.（－∞，103） D.（－∞，103 ］ 5．已知a ＝（－2，1），b ＝（－2，－3），则a 在b 方向上的投影为 （ ） A.－1313 B. 1313 C.0 D.16．已知向量c 与向量a ＝（ 3 ，－1）和b ＝（1， 3 ）的夹角相等，c 的模为 2 ，则 c ＝ .7．若a ＝（3，4），b ＝(1，2）且a ·b ＝10，则b 在a 上的投影为 .8．设a ＝（x 1，y 1)，b ＝(x `2，y `2)有以下命题：①|a |＝x 12＋y 12 ②b 2＝x 22＋y 22③a ·b ＝x 1x `2＋y 1y `2 ④a ⊥b x 1x `2＋y 1y `2＝0，其中假命题的序号为 .9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4）， （1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.平面向量数量积的坐标表示答案1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．(3＋12，3－12)或(－3＋12，1－32) 7．2 8．② 9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4），（1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.（1）证明：∵AB →＝（1，1），AD →＝（－3，3）∴AB →·AD →＝1×3＋1×(－3)＝0， ∴AB →⊥AD →.（2）解：∵A BC D 为矩形，设C （x ，y ），∴AB →＝DC →，（1，1）＝（x +1，y －4)∴x ＝0，y ＝5，∴C （0，5）.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？解：∵a －b ＝(3－k ，－2－k )∴t ＝|a －b |＝（3－k ）2＋（－2－k ）2＝2k 2－2k ＋13 ＝2（k －12 ）2＋252∴当k ＝12 时，t 取最小值，最小值为522. 11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.解：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2),∴|a |＝|b |＝1，∴x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1 ① 3a －2b ＝3(x 1，y 1)－2(x 2，y 2)＝(3x 1－2x 2，3y 1－2y 2),又|3a －2b |＝3,∴(3x 1－2x 2)2＋(3y 1－2y 2)2＝9,将①代入化简，得x 1x 2＋y 1y 2＝13 ②又3a ＋b ＝3(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(3x 1＋x 2，3y 1＋y 2),∴|3a ＋b |2＝(3x 1＋x 2)2＋(3y 1＋y 2)2＝9(x 12＋y 12)＋(x 22＋y 22)＋6(x 1x 2＋y 1y 2)＝12, 故|3a ＋b |＝2 3 .。
高中课件 平面向量的数量积的坐标表示
复习
1.已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ，
则 a b | a | | b | cos
a b 称为向量 a与b 的数量积（或内积）.
2.数量积 a b 等于a 的长度| a | 与 b 在 a 的方向上的投影 | b | cos 的乘积.
3 aba b0
4
a
a
2
a
cos
ab |a||b|
a b a // b
b a
ab 0 (a 0)
坐 标x12 y12
cos x1x2 y1y2
x12 y12 x22 y22
x1x2 y1y2 x1 y2 x2 y1
0
0
（1）a＝(3，－2)，b＝(1，1)，
则 |a|＝ 13 , |b|＝ 2 .
a b 1
cos
26 26
（2）a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，
则a·b＝_－__1_0___，θ＝___1_8_0_º____
2.已知A（1，2）、B（2，3）、C（-2，5） ，
试判断三角形ABC的形状，并给出证明。
cos a b 4 1
| a || b | 2 4 2
∴ θ ＝60º.
例 3：已知 a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4),
求证：(a b) b 证明：∵ (a b) b
a bb b
＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42 ＝0，
∴ (a b) b
练习： 1.向量 a、b 夹角为θ,
x1x2 y1 y2
例1.
已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)， 求证：ABC是直角三角形.
证明： AB＝(3 – 2，2 – 1)＝(1，1), AC＝(– 1 – 2，4 – 1)＝(– 3，3),
6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.3.5平面向量数量积的坐标表示一、内容和内容解析本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第五课时的内容．由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式.（2）能用公式求向量的数量积、模、夹角．（3）掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.目标解析：（1）利用平面向量正交分解将向量用基底表示，利用数量积的运算律计算，注意到单位向量的数量积为1，推导出向量数量积的坐标表示．（2）利用数量积的坐标公式，将数量积的性质用坐标表示出来，得到模、夹角、垂直的坐标表示.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在平面向量数量积的坐标表示的教学中，从已知向量的坐标推导平面向量数量积的坐标是进行数学推理教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：研究向量数量积运算的坐标表示是本节课的第一个教学问题．解决方案：利用正交分解表示向量，结合数乘向量的运算律推导出结论．2. 教学问题二：用公式求向量的数量积、模、夹角及垂直问题的证明是本节课的第二个教学问题．解决方案：公式变形推导，通过数量积性质的复习，结合数量积的坐标运算推导出结论．基于上述情况，本节课的教学难点定为：平面向量数量积的应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到平面向量数量积的坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中以问题串的形式引导学生探究，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视平面向量数量积的坐标表示，让学生体会数学推理的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图回顾前知引出新知[问题1]平面向量的数量积(内积)的定义？[问题2]两个向量的数量积的性质？[问题3]在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？教师1：提出问题1．学生1：cosa b a bθ⋅=.教师2：提出问题2．学生2：2a a a a a a⋅==⋅或，cos.0a ba b a ba bθ⋅=⊥⇔⋅=．教师3：提出问题3．学生3：由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8.通过复习向量的坐标表示、数量积的运算引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.探索交流解决问题[问题4]已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎样用向量的坐标表示a·b？[问题5]若a＝（x，y），如何计算向量的模|a| ？[问题6]若点A（x1，y1），B（x2，y2），如何计算向量AB的模？[问题7]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a⊥b？教师4：提出问题4．学生4：1122,a x i y jb x i y j=+=+所以1122)()a b x i y j x i y j⋅=++（2212122112x x i x y i j x y i j y y j=+++2121yyxx+=教师5：提出问题5．学生5：|a|＝x2＋y2．教师6：提出问题6学生6：()()221212AB x x y y=-+-（两点间的距离公式）教师7：提出问题7.学生7：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0通过探究让学生理解数量积的坐标表示，培养数学抽象的核心素养.[问题8]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a，b的夹角呢？教师8：提出问题8.学生8：设θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.教师9：一起来梳理总结一下这部分内容.学生9：平面向量数量积的坐标表示：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．平面向量的模与夹角的坐标表示：(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2.(3)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22．(4)两个向量垂直的充要条件：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.典例分析巩固落实1.平面向量数量积的运算例1.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝12MC，BN＝12BC，则AM→·AN→＝________.2.平面向量模长的坐标运算教师10：完成例1.学生10：AM→·AN→＝(AD→＋13AB→)·(AB→＋12AD→)＝0＋12·22＋13·32＋13·0＝5.教师11：完成例2.学生11：设a＝(x，y)，则由|a|＝213，得x2＋y2＝52.①例2.已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |.3.平面向量夹角的坐标运算 例3.已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1).求向量a 与b 夹角的余弦值.4.向量垂直的坐标运算例4. 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3，2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标.[课堂练习]1.已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________．2.已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－4.所以 a ＝(6，4)或a ＝(－6，－4)． 所以a ＋b ＝(8，1)或a ＋b ＝(－4，－7)， 所以|a ＋b |＝65.教师12：完成例3.学生12：设a ，b 的夹角为θ，由a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12×5＝210.教师13：完成例4.学生13：设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2). ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝（1－2）2＋（1＋1）2＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1，1).教师14：布置课堂练习1、2． 学生14：完成课堂练习，并核对答案．课堂小结升华认知[问题9]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．已知a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝()A．5 B．4C．－2 D．－12．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为()A．－1 B．0C．1 D．23．平行四边形ABCD中，AB→＝(1，0)，AC→＝(2，2)，则AD→·BD→等于()A．－4 B．－2C．2 D．44．已知a＝(3，－4)，则|a|＝________.5．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．教师15：提出问题9．学生15：学生16：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：DAD，5，5师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
6.3.5平面向量数量积的坐标表示PPT课件(人教版)
32
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.
①
又∵AD⊥BC，∴A→D·B→C＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，
2 3
[因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，
解得m＝23.]
10
4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为 ________．
63 65
[因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝ 32＋42 ＝5，|b|＝
52＋122＝13，
所以a与b夹角的余弦值为|aa|·|bb|＝5×6313＝6635.]
24
3．已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)． (1)求a－2b及其模的大小； (2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.
25
[解] (1)a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)， |a－2b|＝ 72＋32＝ 58. (2)a·b＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1， ∴c＝a－(a·b)·b ＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)， ∴|c|＝ 1＋62＝ 37.
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长 度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题 的能力．
40
3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可 以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1 ＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
∴θ＝π4.]
平面向量数量积的坐标表示PPT教学课件
22
小结作业
1.a∥b x1 y2 x2 y1 0
a⊥b
本质区别.
x1
x2
y1 y2
0
二者有着
2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝 角），则a·b＞0（＜0），反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系，解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑 用向量方法来解决.
答：不一定；相等。
<>
返回
退出
三、相关概念
（1）向量AB大小称为向量的长度（也叫模），记为 AB （2）长度为0的向量叫零向量，记为0，它的方向是任意的。
（3）长度为1的向量叫单位向量。
思考：把所有单位向量的
起点集中于一点o，问它
o
们终点的轨迹是什么？
答：如图：轨迹是以o为圆 心，半径为1的圆。
我们知道：对于一个向量，只要不改
x
②字母表示：
Ⅰ、用有向线段的起点和终点的大写字母加箭
Ⅱ、手写时写A成B带头箭表头示的，小如写字母，如a：
Ⅲ、印刷时用黑体小写字母表示，如：a
3）向量的大小：
就是向量的长度（或称模）
用有向线段的长度表如示：，|AB|
<>
返回
退出
4）向量与有向线段的区别：
由有向线段的三要素：“起点、方向 、长度”可知，有向线段的起点是确定 的。而由向量的定义可知，对于一个向 量，只要不改变它的大小和方向，是可
cos a b
x1 x2 y1 y2
ab
x12 y12 x2 2 y2 2
理论迁移
例1 已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a·b； (2) (a＋2b)·(a－b)； (3) |a|2－4a·b.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示PPT课件(人教版)
[答一答] 5．已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 与 a⊥b 的坐标表示有何 区别？
提示：若 a∥b⇔x1y2＝x2y1，即 x1y2－x2y1＝0. 若 a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即 x1x2＋y1y2＝0. 两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵 积相反．
(2)已知 a＝(1,2)，b＝(x,4)，且 a·b＝10，则|a－b|＝____5___.
解析：由题意得 a·b＝x＋8＝10，所以 x＝2，所以 a－b＝(－1，－2)，所以|a－b| ＝ 5.
类型三
向量的夹角与垂直问题
[例 3] (1)已知 a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且 a 与 b 的夹角 θ 为锐角，则实数 λ 的取值范围是( A )
±
x－2＋y y2，
x2x＋y2，其中正、负号表示不同的方向．
类型一
平面向量数量积的坐标运算
[例 1] 已知向量 a＝(1,3)，b＝(2,5)，求 a·b，(a＋b)·(2a－b)． [分析] 运用向量数量积坐标运算的法则及相关性质求解．
[解] a·b＝1×2＋3×5＝17. ∵a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，∴2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0 ＋8×1＝8.
知识点二
向量的模与夹角的坐标表示
[填一填] (1)向量模的公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x12＋y21. 两点间的距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝____x_2_－_x_1__2＋___y_2－__y_1__2 __.
(2)向量的夹角公式：设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
尊敬的各位评委各位老师：
大家好，我是高中数学组号考生，今天我说课的题目是《平面向量数量积的坐标表示》。
下面我将从说教材、说学情、说教学目标、说教学过程等几个方面来展开我的说课。
首先来说说教材。
本课是北师大版高中数学必修四第二章第6节课内容，向量是沟通代数和几何的桥梁，为研究几何问题提供了新的工具和方法，同时对更新和完善中学数学知识结构起着重要作用。
向量集数、形于一身，有着极其丰富的实际背景。
上一节学习了向量的数量积，而平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
分析完了教材，再来说说学情。
高二年级的学生，在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，但由于我们的学生认识问题还不够深入，其思维能力和判断分析能力尚在培养形成之中。
鉴于此种情况，教师要充分利用他们的兴趣引导学生进入特定的教学意境，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个生长点。
基于以上教材地位、学情特点以及新课标的要求，我确定了以下三维教学目标：
1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题，这是本课教学的重点。
2、通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，使学生的思维能力得到训练，而向量数量积的坐标表示的应用也是本课教学的难点。
3、通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐。
体会各学科之间是密不可分的。
培养学生认识客观事物的数学本质的能力，意识到数学源于生活。
数学课程标准倡导“合作、自主、探究”的学习方法，教学过程应重视学生的实践活动，引导学生主动地获取知识，全面提高学生的数学素养。
所以，本堂课的教学，我准备采用演示法、情境教学法、讨论分析法等。
在学法上，我将以“把学习的主动权还给学生”为指导思想，采取领会法、合作学习法、研究性学习法等。
为了完成既定的学习目标，解决教学重难点，课堂教学我将按照以下几个环节展开：
环节一：激趣导入，未成曲调先有情
上课伊始，我会以回顾提问的方式开始的我课程，为激发学生兴趣，我设计了如下导语：
请同学们回顾下：⑴a与b的数量积的定义？⑵向量的运算有几种?应怎样计算？
通过回顾平面向量数量积的意义，为探究数量积的坐标表示做好准备。
创设情境激发学生的学习兴趣，出示学习目标使学生了解本课的任务。
环节二：引入新知，高屋建瓴勇探究
在这一环节，首先我让同学们思考并提问：已知两个非零向量a=(x1,y2),b=(x2,y2),怎样用a 与b 的坐标表示数量积a ·b 呢？我让同学以同桌为单位合作探索提出的问题。
并提示学生展开运算，巡视辅导学生，解决遇到的困难，估计学生对正交单位基向量i,j 的运算可能有困难，点拨学：i2=1,j2=1,i ·j=0，随后引导学生共同得出：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
由此还容易探索发现向量的模的坐标表达式：
若a=(x,y)，如何计算向量的模|a|呢？ 接着引导学生探究向量夹角、垂直、坐标表示：设a,b 都是非零向量，a=(x1,y1),b(x2,y2),提问如何判定a ⊥b 或计算a 与b 的夹角<a,b>呢？引导学生在已有知识基础下，得到以下结论：
1、向量夹角的坐标表示
2、a ⊥b<=>a ·b=0
<=>x1x2+y1y2=0
3、a ∥
b <=>X1y2-x2y1=0
a =r 2
22221212
121cos y x y x y y x x +⋅++=θ
因此，在向量数量积的坐标表示基础上可以得到两向量垂直，两向量夹角的坐标表达式，过程中让学生先思考，尝试归纳平面向量数量积的坐标表示，充分发挥学生学习的主动性。
最后是应用与提高，我将和学生公共完成书本上的例题，并让学生思考：通过本题你有什么收获，能否将已学知识融会贯通？学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地让学生体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生善于归纳总结思维品质。
环节三，归纳小结，能探风雅无穷意
在这一环节，为了让同学对向量数量积的坐标表示加深印象，我让学生小组讨论回顾本节课的重点知识点，再让学生在课外动笔写出自己对向量数量积坐标相关公式的感受。
同时将本课内容进行串讲，加深同学们的印象及理解。
一堂成功的数学课，应当是授之以渔。
因此，课堂结束我会布置如下作业：已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b的夹角为钝角,则λ取值范围是多少？将作业分为基本题和提高拓展题两个部分，体现分层教学思想。
基本题面向全体，注重知识反馈，提高拓展题更注重知识的延伸性、连贯性和应用性，有能力的学生可以去探求。
最后，是我的板书设计。
好的板书能给学生美的享受，思想的启迪。
我的板书（配合手势）简洁明了，重点突出，使学生一目了然。
以上就是我说课的全部内容，感谢各位老师的耐心倾听，老师们辛苦了，谢谢！。