一元二次函数最大值
一元二次函数知识点
一、二次函数概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的取值范围是全体实数．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式()2y a x h k=-+的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.三、二次函数图象的平移2. 平移规律“左加右减，上加下减”二次函数解析式的确定：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.。
二次函数在闭区间上的最值 (经典)
二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x ba =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈bam n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉ba m n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n ()若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n ()当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
5 一次函数与二次函数-函数的最值--李惟峰
5.函数的最值对于一次函数,)(b kx x f y +==当k>0时，y 随着x 的增大而增大，则在给定的b x a ≤≤上，有最大值f (b)，最小值f （a ）．当k<0时，y 随着x 的增大而减小，则在给定的b x a ≤≤上，有最大值f(a)，最小值f(b)．对于二次函数),0()(2=/++==a c bx ax x f y 取最值的情况如下．1．若自变量为任意实数，则有两种情况：(1)当abx a 2,0-=>时，有 ⋅-⋅=ab ac y 442最小值(2)当abx a 2,0-=<时，有⋅-=ab ac y 442最大值2．若自变量x 的取值范围为).(n m n x m =/≤≤时，则要结合二次函数的对称轴与给定范围的三种位置来分析：(1)对于a>0．①当abn m 2-≤<时，因对称轴的左侧y 是随x 的增大而减小的，即单调递减，所以最大值为f(m)，最小值为f(n)；②当n a b m <-<2时，因范围过了抛物线的对称轴，所以最小值为),2(abf -而最大值为)()(n f m f 、的较大者；③当n m ab<≤-2时，因对称轴的右侧y 是随x 的增大而增大的．即单调递增，所以最大值为f(n)，最小值为f （m ）． (2)对于a<0．①当a bn m 2-≤<时，对称轴的左侧是单调递增的，所以最大值为f(n)，最小值f (m)； ②当n a b m <-<2时，最大值为),2(a bf -最小值为f(m)、f(n)的较小者；③当n m ab<≤2-时，对称轴的右侧是单调递减的，所以最大值为f(m)，最小值为f(n)． 例1 设),0)(1(1)(>-+=a x aax x f 求f(x)在10≤≤x 时的最小值g （a ）．分析 函数f (x)是一次函数，而⋅-=a a k 1由于aa 1-不知是大于O ，还是小于0，故需对其进行分段讨论，解 原函数化为⋅+-=ax a a x f 1)1()( 当a>l 时，,01>-aa 则函数f(x)为单调递增，这时f(x)在≤≤x 01上的最小值应在0=x 处取到，即;1)0(af =当O<a<l 时，,01<-aa 则函数f(x)为单调递减，这时f(x)在≤01≤x 上的最小值应在x=l 处取到，即;)1(a f =当1=a 时，ax f 1)(=是常量函数， 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅≥=).10(),1(1)(a aa aa g例2 已知函数4)2.(2)3()(2--+-=x a x a x f 的最大值小于,21a 的取值范围， 解 4)2(2)3()(2--+-=x a x a x f⋅-+-+----=3168)32)(3(22a a a a a x a因为f(x)有最大值，且最大值小于,21故有 ⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<-,23168,032i a a a a解得.527<<a 例3 设m 是不小于-1的实数，使得关于X 的方程+-+x m x )2(220332=+-m m 有两个不相等的实数根⋅21x x 、(1)若,62221=+x x 求m 的值；(2)求22212111x mx x mx -+-的最大值． （全国初中数学竞赛）解 因为方程有两个不相等的实数根，所以)33(4)2(422+---=∆m m m44+-=m,0>则 ,1<m 结合题设知 .11<≤-m(1) 因为 2221x x +212212)(x x x x -+=)33(2)2(422+---=m m m ,101022+-=m m所以 ,6101022=+-m m 即 ,041022=+-m m解得 ⋅±=2175m 由于 ,11<≤-m 所以 ⋅-=2175m (2)因为 22212111x mx x mx -+- )1)(1()]1()1([21122221x x x x x x m ---+-=212121212221)(1)]([x x x x x x x x x x m ++-+-+=)33()42(1)]42)(33()10102[(222+-+-+-+-++-=m m m m m m m m m m m m m m m --+-=223)2882( ,)1()13)(1(22-+--=m m m m m m可设 )13(22+-=m m y,25)23(22--=m由y 在-1≤m<l 上是递减的，所以当1-=m 时，原式有最大值为10.例4 设p 是实数，二次函数P Px x y --=22的图象与x 轴有两个不同的交点).0,()0,(21x B x A 、(1)求证：;032221>++P x Px(2)若A 、B 两点之间的距离不超过｜2p-3 ｜，求p 的最大值．（全国初中数学联赛）解 (1)因为二次函数与x 轴有两个不同的交点，则,044)(4)2(22>+=---=∆P P P P所以 P x Px 32221++P P Px Px 32221+++= P x x P 4)(221++=P P P 4)2(2+= .0442>+=P P(2)因为 ||||21x x AB -=212214)(x x x x -+=,442P P +=由题意得 |,32|44-≤+P P P 两边平方得 ,91244422+-≤+P P P P所以 ,169≤P 即p 的最大值为⋅169 例5 a 、b 是正数，并且抛物线b ax x y 221++=和++=bx x y 222a 都与x 轴有公共点，求22b a+ 的最小值， 解 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧≥-=∆≥-=∆,044,082221a b b a 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥.,822a b b a又因为a 、b 都为正数，所以有,646424a b a ≥≥ 即 .4≥a同理有 ,42≥≥a b即 .2≥b因此 ,2,4min min ==b a故 .20416)(22=+=+n m r b a例6 已知a 、b 为实数，求b a b ab a 2.22--++的最小值．解 设,222b a b ab a y --++=整理成关于a 的一元二次方程为.02)1(22=--+-+y b b a b a因为a 为实数，即方程有实根，则,0)2(4)1(22≥----=∆y b b b整理得 .014632≤---y b b上式表示函数 14632---=y b b u 有非正值，于是函数的判别式应大于或等于O ，即,0)14(3436≥+⨯+y解得 .1-≥y当1-=y 时，得,1=b 从而求得.0=a所以当1,0==b a 时,有最小值-1．说明 注意列式子中含有ab 项，所以通常可考虑换元．令,v u a +=,v u b -=则可消去ab 项，转化为u 、v 的式子，即)(2)()())(()(22zJ u v u v u zJ u v u v u y --+--+-+++=v u v u +-+=33221)21()21(322-++-=v u,1-≥当且仅当21=u 且21-=v 时，有最小值-1． 例7 求函数x x y 21-+=的最大值，解 令,21x t -=则,0,212≥-=t t x 于是有t t y +-=212),0(21212≥++-=t t t对称轴为t=l ，由函数的图象知，当t=l 时，即x=0时，y 有最大值1．评注 形如e dx c b ax y +++=的函数，通常设,0≥+=e dx t 化原函数为关于t 的一元二次函数形式，再配方求最值．例8 求函数|]211[1|)(+-=x x x f 的最大值，并求此时的x 值，其中[a]表示不超过a 的最大整数． 解 设211,]211[+=+ x n x 的小数部分为a(O≤a<1)，则有 ,211α+=+n x由题意得⋅-=-⋅=+-=|21||1||]211[1|)(αn x x x x f 又因为 ,212121<-≤-α所以 ⋅≤21)(x f故当a=0，即122-=k e x (k∈Z)时，f(x)的最大值为⋅21例9 已知1)(2-+=ax x x f 在区间[0，3]上有最小值-2，求a 的值，分析 因函数的对称轴为,2ax -=区间[0，3]和对称轴的位置关系不知，故应根据图象，分三种情况加以讨论．解 由题意，对称轴为⋅-=2a x (1)当02⋅≤-a时，即a≥0时，区间[0，3]在对称轴的右侧，则f(x)的最小值为 ,1)0(-=f不合题意，舍去．(2)当320<-<a时，即06<<-a 时，则f(x)的最小值为 ,21)2()()2(2-=--+-=-aa a f解得 .2±=a因为,06<<-a 所以取.2-=a(3)当32≥-a时，即6-≤a 时，区间在对称轴的左侧，则f(x)的最小值为 ,2139)3(-=-+=a f解得 ,310-=a 又因为,6-≤a 故舍去．综上所述，得.2-=a 例10 若函数21321)(2+-=x x f 在区间[a ，b]上的最小值为2a ，最大值为2b.求a 、b 的值， 解 函数的对称轴为x-0，下面分三种情况加以讨论：(1)若b a <≤0时，即函数f(x)在区间[a ，b]上单调递减，有⎩⎨⎧==,2)(,2)(a b f b a f即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-,221321,22132122a b b a解得 ⎩⎨⎧⋅==.3,1b a(2)若a<O<b 时，则由函数图象知，f(x)在[a ，0]上单调递增，在[O ，b]上单调递减，即区间过了对称轴，因此f(x)在0=x 处有最大值2b,即,2132=b 得 ⋅=413b而函数的最小值在a x =或b x =处取得，又由于a<O ，并且,03239213)413(21)(2>=+-=b f故函数的最小值在a x =处取得，即,2)(a a f =则有,2132122+-=a a解得 172--=a 或172+-=a （舍去）．从而 ⎪⎩⎪⎨⎧⋅=--=413,172b a (3)当a<b≤O 时，即f(x)在区间[a, b]上单调递增，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-.221321,22132122b b a a 由于a 、b 是方程x x 2213212=+-的两个根，又因为两根之积为负数，即两根异号，这与 0≤<b a 矛盾，故不存在，综合上述，得⎩⎨⎧==,3,1b a 或⎪⎩⎪⎨⎧⋅=--=413,172b a 例11 已知函数,1)1(2)2(22+--+=x a x a y 其中自变量x 为正整数，a 也是正整数，求x 为何值时，函数值最小．解 由题意，得,2)1(1)21)(2(2222+--++--+=a a a a x a y其对称轴为 ,212+-=a a x 即 ⋅++-=23)2(a a x 因为a 为正整数，故,1230≤+<a ,12122-≤+-<-a a a a因此，函数的最小值只可能在x 取21,1,22+---a a a a 时达到．(1)当1212-=+-a a a 时，即,1=a 此时1=x 时函数取得最小值． (2)当12122-<+-<-a a a a 时，即a>l ，由于x 为正整数，而212+-a a 为小数，故212+-=a a x 不能达到最小值．当2-=a x 时，则;1)2)(1(2)2)(2(22+----+=a a a a y i当1-=a x 时，则.1)1)(1(2)1)(2(222+----+=a a a a y故 .421a y y -=-(i)当,04>-a 即,.41<<a 且a 为正整数时，x 取,1-a y 有最小值;2y (ii)当,04=-a 即4=a 时，有,21y y =此时x 取2或3，y 有最小值； (iii)当,04<-a 即4>a 时，且a 为正整数时，x 取y a ,2-有最小值⋅1y 综上可得，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅-=<<-==)4(2),4(32),41(1),1(1a a a a a a x 或（其中a 为正整数）时，函数值最小．习 题 51 如果,22||≤x 求函数12++-=x x y 的最小值， 2 设x 、y 、z 为三个非负实数，且满足.132,523=-+⋅=++z y x z y x 求x y x u 73-+=的最大值和最小值．3 二次函数x a x y )1(22++=的图象永远在二次函数b x x y -+=2的图象的上方，求点（a ，b ）所处的范围．4 求函数132)(+-+=x x x f 的值域．5 已知二次函数42)3(22++++=a x a x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为α、β，当实数α变动时，求22)1()1(-+-βα的最小值．6 已知,1222=+y x 求252y x +的最大值和最小值.7 求143322++++=x x x x y 的最大值，8 已知函数),0(12)(2=/+-=a ax ax x f 求f(x)在闭区间[-1，2]上的最值． 9 已知不等式b x x a ≤+-≤642的解为a≤x≤b，求a 与b 的值．10 已知函数)(x f y =表示 1-x 与|34|2+-x x 两者中较大的一个，求在50≤≤x 内函数x x f -)(的取值范围．11 把一张边长为a 的正方形纸ABCD 折起来，使B 点落在AD 上，问B 点落在AD 什么位置上时，使折起来的面积最小，并求出这最小面积的值．12 设x 、y 都是正整数，且使⋅=++-y x x 110116求y 的最大值．13 已知函数.42)4()(2+--+=k x k x x f(1)若对于任意0)(],1,1[>-∈x f k 恒成立，求x 的取值范围； (2)若对于任意0)(],1,1[>-∈x f x 恒成立，求k 的取值范围．参考答案。
行测数量关系答题技巧：巧用一元二次函数求极值
行测数量关系答题技巧：巧用一元二次函数求极值为大家提供行测数量关系答题技巧：巧用一元二次函数求极值，一起来看看吧！希望大家能够多多练习，熟能生巧！行测数量关系答题技巧：巧用一元二次函数求极值在行测数量关系考试中，有一类求极值的题目类似于以前上学时的应用题一样，解题时需要列方程求解其最大值或最小值，下面就为大家介绍一下相关内容。
【例题1】某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4元出售，可卖出20万株，若苗木单价每提高0.4元，就会少卖10000株。
那么，在最佳定价的情况下，该公司最大收入是多少万元?解析：这道例题所求为最大收入，即为极值问题。
总收入应为销售单价与销售量的乘积，在并不知道最佳定价为多少的情况下，可以考虑设未知数列方程，因为销售量与定价存在着一定的关系(单价在4元基础上每提高0.4元，销售量则会在20万株的基础上降低10000株)，所以可以设单价在4元的基础上提高了 x 个0.4元，行测数量关系怎样分析解题路径数量关系是行测五个专项中分值最高的，但也是难度最大的，所以很多考生虽然很想在数量关系上有所突破，但都会被它的难度所阻碍，其实如果想要在数量关系上有所提升，除了掌握常考题型和常用的解题方法之外，还需要学习的就是分析解题路径，接下来，就通过几道题目来学习一下如何分析解题路径。
例题1：某钢铁厂生产一种特种钢材，由于原材料价格上涨，今年这种特种钢材的成本比去年上升了20%。
为了推销该种钢材，钢铁厂仍然以去年的价格出售，这种钢材每吨的盈利下降40%，不过销售量比去年增加了80%，那么今年生产该种钢材的总盈利比去年增加了多少?A.4%B.8%C.11%D.16%【解析】题干中提到了成本、价格、每吨的盈利以及销量多个名词，所以很多同学看到题目后都不知道怎么通过这几个名词去求解总盈利的增长率，我们一起来分析解题路径，求的是总盈利的增长率，所以我们需要今年的总盈利和去年的总盈利，而总盈利=每吨的盈利销量，和题干中的成本以及价格无关，接下来就可以用特值思想进行求解了，因为名词比较多，可以采用列表的形式，列表如下：行测数量关系模拟题及答案(一) 1、姐弟两人同时看上了同一款小猪佩奇的书包，但是两个人的压岁钱都不够买此款书包。
二次函数的最大值与最小值
y x=1
1
0
x
-2
例2、求下列函数的最大值与最小值
(1) y x2 3x 2 (3 x 1)
解： y ( x 3)2 2 9
2
4
x3 2
y
( x 3)2 4 1
2
4
-3
1
3 3 ,1
0x
2
设每个涨价x元， 那么 （1）销售价可以表示为 （50+x）元（x≥ 0，且
为整数）
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元
（3）销售量可以表示为 (500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-1 y=(50+x-40)(500-10x) =-10 x2 +400x+5000 =-10[ （x-20）2 -900] =- 10（x-20）2 +9000 (0 ≤ x≤50 ,且为整数 )
答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
例1、求下列二次函数的最大值或最小值
(1) y x 2 2x 3
解： y ( x 1)2 4
xR
y x=1 4
01
x
当 x=1时，ymax 4
(2) y 2x 2 4x
解：y 2( x1)2 2
xR
二次函数: y ax2 bx c ( a0 )
a( x
b 2a
)
2
4ac 4a
b2
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
求最大值的函数公式
求最大值的函数公式在数学中，我们经常会遇到需要求函数的最大值的情况。
寻找函数的极值点是一项重要的数学任务，因为这能够帮助我们确定函数在特定区间内的最大值或最小值。
在本文中，我们将探讨如何找到函数的最大值，并且给出一些常见的求最大值的函数公式。
函数的最大值给定一个函数f(x)，我们想找到函数在特定区间内的最大值。
通常情况下，我们首先找出函数的导数，并令导数等于零，求解得到导数为零的点，即极值点。
经过验证，我们可以确定极值点中哪些是最大值。
求最大值的函数公式以下是一些常见的求最大值的函数公式：1. 一元二次函数一元二次函数的标准形式为f(x)=ax2+bx+c，其中a eq0。
这种函数的最大值可以通过计算顶点坐标来确定。
顶点的横坐标为$x = -\\frac{b}{2a}$，代入函数得到最大值$f(-\\frac{b}{2a}) = -\\frac{b^2 - 4ac}{4a}$。
2. 指数函数指数函数f(x)=a x（其中a>1）的最大值为正无穷，不存在有限最大值。
3. 对数函数对数函数$f(x) = \\log_a x$（其中a>1）的最大值为x=1，最大值为$\\log_a1 = 0$。
4. 三角函数正弦函数$f(x) = \\sin x$和余弦函数$f(x) = \\cos x$的最大值为1和最小值为-1。
5. 高阶多项式函数对于更复杂的高阶多项式函数，求最大值的方法仍然是计算导数，找出导数为零的点，并验证得到真正的最大值。
在数学中，求最大值是一个重要的问题。
通过合适的方法和技巧，我们可以找到函数在特定区间内的最大值，并在实际问题中应用这些知识。
希望本文能够帮助读者更好地理解求最大值的函数公式。
一元二次函数的图像及性质
§ 3.4一元二次函数的图象和性质复习目标1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。
知识回顾1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。
② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(ab --∞上是减函数，在),2(+∞-a b上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。
【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
例题精解一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x 以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：x … -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 …y … 25 0 23- -2 23- 0 25 …【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
一元二次函数知识点高一
一元二次函数知识点高一一、定义与图像特征一元二次函数是指形式为y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
一元二次函数的图像通常呈现抛物线的形状，开口方向由a的正负值决定。
1. 当a>0时，抛物线开口向上；2. 当a<0时，抛物线开口向下；3. 抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h为对称轴的横坐标，k为抛物线的最小值或最大值。
二、零点与根的求解一元二次函数的零点又称为根。
根的求解可通过下列方法进行：1. 因式分解：将一元二次函数表示为两个一次因子的乘积，然后令每个因子等于零，解方程得到根；2. 完全平方式：如果一元二次函数可以表示为(x±a)²形式，则可通过解方程(x±a)²=0来求得根；3. 利用一元二次函数求根公式：一元二次函数的根可通过求解一元二次方程ax²+bx+c=0来得到，其中，x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
三、最值与对称性1. 最值：对于开口向上的抛物线，最小值等于抛物线的顶点纵坐标k；对于开口向下的抛物线，最大值等于抛物线的顶点纵坐标k。
2. 对称性：一元二次函数关于对称轴x=h对称。
因此，若点(x, y)在抛物线上，则点(2h-x, y)也在抛物线上。
四、函数的变化规律一元二次函数随着自变量的变化呈现不同的特点：1. 当a>0时，抛物线开口向上，随着x的增大，函数值上升；随着x的减小，函数值下降。
函数的增减性为先减后增。
2. 当a<0时，抛物线开口向下，随着x的增大，函数值下降；随着x的减小，函数值上升。
函数的增减性为先增后减。
3. 抛物线与y轴的交点称为纵截距，当x=0时，纵截距为c。
五、二次函数的平移与伸缩一元二次函数可通过平移和伸缩来改变其图像位置和形状：1. 平移：将函数图像沿横轴或纵轴方向移动，可通过函数式中的加减操作实现。
如y=x²+3中，加3使整体上移。
一元二次函数及应用
一元二次函数及应用
思考：小张家在农村，他建一个矩形养猪 场，现已备足可以砌20m长砖墙的材料， 如何设计，才能使得猪场的面积最大呢？ 这些实际生活中的问题就需要数学 知识来加以解决，在解决此问题前我们 首先学习一元二次函数的性质。 。
一、一元二次函数的性质
给定a、b、c⋲R,且a≠0,把函数 y=ax²+bx+c叫做一元二次函数，它的 定义域是实数集R，图像是一条抛物 线。 一元二次函数y=ax²+bx+c具有如下的性 质： b （1）图像具有对称轴x= − 2a b ，4ac−b2 （2）图像的顶点坐标（− ） 2a 4a
下面我们来帮助小张解决猪圈的设计 方案. 设矩形的长为xm，则宽为0.5（20-2x） (m),得矩形的面积为 S=x（10-x）=-x²+10x （0<x<10） 因为a=-1<0，因此函数有最大值。将 a=-1,b=10，c=0代入公式，得到矩 形的边长等于5m的正方形时，其面 积最大达到25㎡.
课堂巩固
解下列一元二次不等式： 解下列一元二次不等式：
（1）x²-x-6≥0； （2）-x²+4x-4>0; （3）x²+6x-7<0; （4）x²-x-12≥0.
三、区间
设a、b是两个实数，而且a<b: （1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭 闭 区间，表示为[a、b]； 区间 （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区 开区 间，表示为（a、b）； （3）满足不等式a<x≤b的实数x的集合叫做半 半 开半闭区间，表示为（a、b]； 开半闭区间 （4）满足不等式a≤x<b的实数x的集合叫做半 半 闭半开区间，表示为[a、b)。 闭半开区间 这里的实数a与b叫做相应区间的端点 相应区间的端点。 相应区间的端点
一元二次函数知识点
一元二次函数知识点一元二次函数是数学中的重要概念，能够描述很多实际问题，并被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍一元二次函数的基本定义、图像特征、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
首先，我们来看一元二次函数的定义。
一元二次函数是指形如y =ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a不为0。
其中，x为自变量，y为因变量，a、b、c是函数的系数。
一元二次函数的图像呈现出抛物线的形状，称为抛物线函数。
接下来，我们来探讨一元二次函数的图像特征。
对于一元二次函数y = ax^2 + bx + c而言，首先我们可以根据a的正负来确定抛物线的开口方向。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
此外，通过对x的取值范围的分析，可以确定抛物线的轴对称线在y轴左（右）侧，进而确定抛物线的对称中心。
对称中心的横坐标为-x轴系数b/2a。
图像的顶点就是抛物线的最高（最低）点，其纵坐标为函数的值，在对称中心对应的自变量下代入函数表达式即可求得。
一元二次函数还有一些重要的性质。
首先是零点的性质。
一元二次函数的零点是指函数的值为0的自变量取值。
对于一元二次函数y =ax^2 + bx + c，可以使用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/2a来求解。
其中，b^2-4ac被称为判别式，根据判别式的值可以判断一元二次函数的零点情况。
当判别式大于0时，函数有两个不相等的实数零点；当判别式等于0时，函数有一个重根零点；当判别式小于0时，函数没有实数零点。
除了零点，一元二次函数还有极值的性质。
当抛物线开口朝上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当抛物线开口朝下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
通过求导数，可以求得函数的导函数，进而求得函数的最值点和最值。
最后，我们来了解一元二次函数的应用。
一元二次函数广泛应用于许多实际问题的建模过程中。
例如，在物理领域中，一元二次函数可以用来描述自由落体运动的轨迹、飞行物体的抛体运动等；在经济领域中，一元二次函数可以用来分析成本、利润、收益等与输出量的关系；在工程领域中，一元二次函数可以用来研究材料的强度、力学结构等。
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一元二次函数最大值
一、引言
一元二次函数是高中数学中的重要内容，它在数学、物理、经济等领
域都有广泛的应用。
其中，求一元二次函数的最大值是一个常见的问题，本文将从数学角度出发，探讨一元二次函数最大值的求解方法。
二、基本概念
在介绍一元二次函数最大值的求解方法之前，我们先来了解一些基本
概念。
一元二次函数的一般式为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$。
其中，$a$、$b$、$c$都是常数，$x$、$y$是变量。
一元二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
当$a>0$时，抛
物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。
三、求解方法
1. 完成平方
对于一元二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以通过完成平方的方法，将其转化为标准式$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=-\frac{b}{2a}$，$k=c-
\frac{b^2}{4a}$。
这样，我们就可以通过观察标准式中的$k$值，来判断一元二次函数的最大值。
当$a>0$时，最大值为$k$；当$a<0$时，最大值为无穷小。
2. 导数法
另一种求解一元二次函数最大值的方法是使用导数。
我们可以对一元二次函数$y=ax^2+bx+c$求导，得到$y'=2ax+b$。
当$y'=0$时，即可求得函数的极值点。
此时，函数的最大值为极值点的纵坐标。
需要注意的是，当$a>0$时，极值点为最小值；当$a<0$时，极值点为最大值。
四、例题解析
现在，我们通过一个例题来进一步理解一元二次函数最大值的求解方法。
例题：求函数$y=2x^2-4x+3$的最大值。
解析：首先，我们可以通过完成平方的方法，将函数转化为标准式。
将$y=2x^2-4x+3$改写为$y=2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{2}$，可以看出，函数的最大值为$\frac{7}{2}$。
另一种方法是使用导数。
对函数$y=2x^2-4x+3$求导，得到$y'=4x-4$。
令$y'=0$，解得$x=1$。
此时，函数的最大值为$y(1)=2$。
五、总结
通过本文的介绍，我们了解了一元二次函数的基本概念，以及求解一
元二次函数最大值的两种方法：完成平方和导数法。
在实际应用中，
我们可以根据具体情况选择合适的方法，来求解一元二次函数的最大值。