高考数学总复习 第七章 不等式 第2节 基本不等式及其应用教案 文(含解析)

第2节 基本不等式及其应用 最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知 识 梳 理

1.基本不等式：ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24

(简记：和定积最大). [微点提醒] 1.ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. 2.ab≤a＋b22≤a2＋b22. 3.21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0).

基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.( ) (2)函数y＝x＋1x的最小值是2.( ) (3)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为4.( ) (4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.( ) 解析 (1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R； 不等式a＋b2≥ab成立的条件是a≥0，b≥0. (2)函数y＝x＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (3)函数f(x)＝sin x＋4sin x没有最小值. (4)x>0且y>0是xy＋yx≥2的充分不必要条件. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(必修5P92练习1T1改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81

解析 因为x＋y＝18，所以xy≤x＋y2＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立. 答案 A

3.(必修5P91例3改编)若x<0，则x＋1x( ) A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2 C.有最小值，且最小值为－2 D.有最大值，且最大值为－2

解析 因为x<0，所以－x>0，－x＋1－x≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2. 答案 D 4.(2019·合肥一中月考)已知f(x)＝x2－2x＋1x，则f(x)在12，3上的最小值为( ) A.12 B.43 C.－1 D.0 解析 f(x)＝x2－2x＋1x＝x＋1x－2≥2－2＝0，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号. 又1∈12，3，所以f(x)在12，3上的最小值为0. 答案 D 5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大. 解析 设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，

所以S＝xy＝12x·(2y)≤12x＋2y22＝2252，当且仅当x＝2y， 即x＝15，y＝152时取等号. 答案 15 152

6.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________. 解析 由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b≥22a·18b

＝2·2a－3b2＝14，当且仅当2a＝18b，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a

＋18b的最小值为14. 答案 14

考点一 利用基本不等式求最值 多维探究 角度1 通过配凑法求最值 【例1－1】 (2019·乐山一中月考)设02x)的最大值为________. 解析 y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]

≤22x＋（3－2x）22＝92， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时，等号成立. ∵34∈0，32，∴函数y＝4x(3－2x)0＜x＜32的最大值为92. 答案 92

角度2 通过常数代换法求最值

【例1－2】若直线xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________． 解析 由题设可得1a＋2b＝1，∵a>0，b>0，

∴2a＋b＝(2a＋b)1a＋2b＝2＋ba＋4ab＋2≥4＋2ba·4ab＝8

当且仅当ba＝4ab，即b＝2a时，等号成立.

故2a＋b的最小值为8. 答案 8 规律方法 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等. (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.

【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则1ab的最小值为( ) A.2 B.12 C.4 D.14

(2)已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为______. 解析 (1)因为a>0，b>0，故2a＋b≥22ab(当且仅当2a＝b时取等号). 又因为2a＋b＝4， ∴22ab≤4⇒0∴1ab≥12，故1ab的最小值为12(当且仅当a＝1，b＝2时等号成立).

(2)因为x<54，所以5－4x>0， 则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3 ≤－2（5－4x）·15－4x＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立. 故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1. 答案 (1)B (2)1 考点二 基本不等式在实际问题中的应用 【例2】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每

升2元，而汽车每小时耗油2＋x2360升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

解 (1)设所用时间为t＝130x(h)， y＝130x×2×2＋x2360＋14×130x，x∈[50，100].

所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝130×18x＋2×130360x，x∈[50，100]

(或y＝2 340x＋1318x，x∈[50，100]). (2)y＝130×18x＋2×130360x≥2610， 当且仅当130×18x＝2×130360x， 即x＝1810时等号成立. 故当x＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 规律方法 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 【训练2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体

验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元.

解析 由题意知t＝23－x－1(1则y＝48＋t2xx－32x－3－t＝16x－t2－3＝16x－13－x＋12－3＝45.5－16（3－x）＋13－x≤45.5－216＝37.5， 当且仅当x＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元. 答案 37.5 考点三 基本不等式的综合应用 【例3】 (1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn为数列{an}的前n项和，则Sn＋10an＋1的最小值为________.

(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.

解析 (1)∵a3＝7，a9＝19，

∴d＝a9－a39－3＝19－76＝2， ∴an＝a3＋(n－3)d＝7＋2(n－3)＝2n＋1， ∴Sn＝n（3＋2n＋1）2＝n(n＋2)， 因此Sn＋10an＋1＝n（n＋2）＋102n＋2＝12



（n＋1）＋9

n＋1

≥12×2（n＋1）·9n＋1＝3， 当且仅当n＝2时取等号.故Sn＋10an＋1的最小值为3. (2)法一 依题意画出图形，如图所示. 易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，

即12csin 60°＋12asin 60°＝12acsin 120°， ∴a＋c＝ac，∴1a＋1c＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)1a＋1c＝5＋ca＋4ac≥9， 当且仅当ca＝4ac，即a＝32，c＝3时取“＝”.