上海市宝山区2020届高三下学期二模数学试题 含答案
上海市宝山区2020届高三二模
数学试卷
2020.5
一：填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)
1.已知复数z满足2020(1)24zii+=−(其中，i为虚数单位)，则z=
2.函数arcsin(1)yx=+的定义域是
3.计算行列式的值，0123=
4.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的实轴与虚轴长度相等，则2222:1(0,0)xyCabab−=的渐
近线方程是
5.已知无穷数*2,(3)nnanN=−，则数列na的各项和为
6.一个圆锥的表面积为，母线长为56，则其地面半径为
7.某种微生物的日增长率r，经过n天后其数量由0p变化为p，并且满足方程0rnppe=，实验检测，这
种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r= （精确到1％）
8.已知1()2nxx−的展开式的常数项为第6项，则常数项为
9.某医院ICU从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生
的概率是
10.已知方程210()xtxtR++=的两个虚根是12,xx，若2122xx−=，则t=
1!.已知O是坐标原点，点(1,1)A−，若点(,)Mxy为平面区域212xyxy+上的一个动点，则OAOM的
取值范围是
12.已知平面向量,,abe满足1,1,1,4eaebeab===−−=，则ab的最小值是
二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)
13.抛物线24yx=的准线方程是 （ ）
A.2x=− B. 1x=− C.18y=− D. 116y=−
14.若函数()sincosfxxax=+的图像关于直线4x=对称，则a的值为 （ ）
A.1 B. 1− C.3 D. 3−
15.用数学归纳法证明*135(1)(21)(1),nnnnnN−+−++−−=−成立。那么，“当1n=时，命题成立”
是“对*nN＂时，命题成立”的（ ）
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
16.已知()fx是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,xx都有
2112
12
()()0xfxxfxxx−
−
，则函数()0()00fxxgxxx== （ ）
A.是偶函数，且在(0,)+上单调递减 B.是偶函数，且在(0,)+上单调递增
C.是奇函数，且单调递减 D.是奇函数，且单调递增
三.解答题(本大题共5题，共76分)
17.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，090,22ACBABAC===，D是AB的中点.
(1)若三棱柱111ABCABC−的体积为33，求三棱柱111ABCABC−的高
(2)若12CC=，求二面角111DBCA−−的大小
18.已知函数)()2sin(),()2cos,0,0,fxwxgxwxw=+=，它们的最小正周期为
(1)若()yfx=是奇函数，求()fx和()gx在0,上的公共递减区间D
(2)若()()()hxfxgx=+的一个零点为6x=−，求()hx的最大值
19.据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信
网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.
(1)如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个.(精
确到0.1万个)
(2)如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比
上ー年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个オ能完成计划?(精确到1万个)
20.已知直线:lykxm=+和椭圆22:142xy+=相交于点1122(,),(,)AxyBxy
(1)当直线l过椭圆的左焦点和上顶点时，求直线l的方程
(2)点(2,1)C在上，若0m=，求ABC面积的最大值:
(3)如果原点O到直线l的距离是233证明:ABC为直角三角形.
21.定义:na是无穷数列，若存在正整数k使得对任意*nN，均有()nknnknaaaa++则称na是近
似递增(减)数列，其中k叫近似递增(减)数列na的间隔数
(1)若(1)nnan=+−，na是不是近似递增数列，并说明理由
(2)已知数列na的通项公式为11(2)nnaa−=+−，其前n项的和为nS，若2是近似递
增数列nS的间隔数，求a的取值范围:
(3)已知sin2nnan=−+，证明na是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数
上海市嘉定区2020届高三二模数学卷(含答案)
上海市嘉定区2020届高三二模数学卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合}8,6,4,2{=A ，}3,2,1{=B ，则=B A ∩___________．2．线性方程组⎩⎨⎧=+=-8352y x y x 的增广矩阵为____________．3．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于______________．4．在5)2(-x 的二项展开式中，3x 项的系数为__________．5．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥0210y x y x ，则y x z +=的最大值为___________．6．已知球的主视图的面积是π，则该球的体积等于___________．7．设各项均为正数的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，632=+a a ，则=6S ___________．8．已知函数x x f a log 2)(+=（0>a 且1≠a ）的反函数为)(1x f y -=．若2)3(1=-f ，则=a ________．9．设z C ∈，092=+z ，则=-|4|z ____________．10．从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是_________（结果用数值表示）．11．设P 是双曲线1822=-y x 上的动点，直线⎩⎨⎧=+=θθsin cos 3t y t x (t 为参数)与圆1)3(22=+-y x 相交于A 、B 两点，则PA PB ⋅的最小值是_______________．12．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A bc c b a sin 32222=++，则=A ___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知x R ∈，则“1>x ”是“12<-x ”的（）．.A 充分非必要条件.B 必要非充分条件.C 充要条件.D 既非充分又非必要条件14．下列函数中，既是),0(+∞上的增函数，又是偶函数的是（）．.A xy 1=.B xy 2=.C ||1x y -=.D ||lg x y =15．如图，若正方体1111D C B A ABCD -的侧面11B BCC 内动点P 到棱11B A 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（）．.A 椭圆.B 双曲线.C 抛物线.D 圆1A16．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n S 2是6和n a 的等差中项．若对任意的*n N ∈，都有],[13t s S S nn ∈-，则s t -的最小值为（）．.A 32.B 49.C 21.D 61三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，边长为3，5=PC ，⊥PD 底面ABCD ．（1）求四棱锥ABCD P -的体积；（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a R ∈，函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=．（1）若)(x f （x R ∈）是奇函数，求a 的值；（2）若3)6(=πf ，求方程2)(=x f 在区间],0[π上的解．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员x （*x N ∈）户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高%2x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为⎪⎭⎫⎝⎛-x a 5092（0>a ）万元．（1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a 的最大值．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆)0(12222>>=+Γb a b y a x ：过点)2,0(P ，且它的一个焦点与抛物线x y 82=的焦点相同．直线l 过点)0,1(Q ，且与椭圆Γ相交于A 、B 两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 的一个方向向量为)2,1(=d，求OAB ∆的面积（其中O 为坐标原点）；（3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知m 为正整数，各项均为正整数的无穷数列}{n a 满足：⎪⎩⎪⎨⎧+=+为奇数为偶数n n n nn a m a a a a ,,21，记数列}{n a 的前n 项和为n S ．（1）若81=a ，2=m ，求7S 的值；（2）若5=m ，253=S ，求1a 的值；（3）若11=a ，m 为奇数，求证：“m a n >+1”的充要条件是“n a 为奇数”．参考答案与评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．}2{2．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8512313．π44．405．36．34π7．638．29．510．7411．312．3π二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．B 14．D 15．C 16．B 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）解：因为PD ABCD ⊥平面，所以DC PD ⊥．又因为5,3==PC DC ，所以422=-=DC PC PD ，……………………………………2分所以四棱锥ABCD P -的体积为124333131=⨯⨯⨯=⋅=PD S V ABCD ．……………………………………………………………6分（2）解法1：由题意得AD ∥BC ，所以直线BC 与BP 所成的角就是异面直线AD 与BP 所成的角．………………………………2分PD ABCD PD BC BC PCD BC PCBC CD ⊥⇒⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⊥⎭平面平面………………………5分在Rt PCD ∆中，35tan ==∠BC PC PBC ，35arctan =∠PBC ．所以异面直线AD 与BP 所成角的大小为35arctan ．………………………………………8分解法2：以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得有关点的坐标为)0,0,0(D ，)0,0,3(A ，)0,3,3(B ，)0,3,0(C ，)4,0,0(P ．…………………2分所以)0,0,3(-=AD ，）（4,3,3--=BP ．……………4分设异面直线AD 与BP 所成的角为θ，向量AD 与BP 所成的角为ϕ，因为3434334340)3(0)3(3cos =⨯⨯+-⨯+-⨯-==BP AC ϕ，…………………6分又34343cos cos ==ϕθ，所以34343arccos =θ．即所求异面直线AC 与D C 1所成角的大小为34343arccos．…………………………………8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为)(x f 为奇函数，所以)()(x f x f -=-，…………………………………………2分即)cos 2sin 3()(cos )2sin 322x a x x a x +-=-+-（，即0cos 22=x a ，所以0=a ．……………………………………………………………6分（2）因为3)6(=πf ，即36cos 3sin32=+ππa ，解得2=a ．…………………………2分所以x x x f 2cos 22sin 3)(+=，即11cos 22sin 3)(2+-+=）（x x x f ，即12cos 2sin 3)(++=x x x f ，162sin2)(++=（πx x f ．……………………………4分设2162sin2=++）（πx ，即2162sin =+）（πx ．…………………………………………5分因为],0[π∈x ，则得613,6[62πππ∈+x ，所以662ππ=+x 或65π或613π，解得0=x 或3π=x 或π．……………………………………………………………………8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意得1002%)21(2)100(⨯≥+⨯⨯-x x ，……………………………2分即0502≤-x x ，……………………………………………………………………………4分解得500≤≤x ．又因为*N ∈x ，所以*,500N ∈≤<x x ．…………………………………………………6分（2）从事蔬菜加工的农户年总收入为)5092xa x -（万元，从事蔬菜种植的农户年总收入为%)21(2)100(x x +⨯⨯-万元，根据题意得%)21(2)100()5092x x xa x +⨯⨯-≤-（恒成立，…………………………4分因为*N ∈x ，所以1100254++≤xx a 恒成立．而9110025421100254=+⨯≥++xx x x ，………………………………………………6分当且仅当25=x （*N ∈）时，等号成立．所以9≤a ，因此a 的最大值为9．………………………………………………………8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）由题意知2,2==c b ，则得8222=+=c b a ，………………………………3分所以椭圆Γ的方程为14822=+y x ．……………………………………………………4分（2）由题意知直线l 的点方向式方程为211-=-y x ，即22-=x y ．…………2分设),(),,(2211y x B y x A ，由⎪⎩⎪⎨⎧-==+2214822x y y x 得01692=-x x ，解得01=x 或9162=x ．…………………………4分于是OAB ∆的面积为916916|2|21=⨯-⨯=S ，即所求OAB ∆的面积为916．…………6分（3）假设存在点)0,(m M ，使得MB MA ⋅为定值．设),(),,(2211y x B y x A ．①当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为)1(-=x k y ．由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(14822x k y y x 得0824)212222=-+-+k x k x k （，由一元二次方程根与系数的关系得2221222121)4(2,214k k x x k k x x +-=+=+，因为),11y m x MA -=（，),22y m x MB -=（，所以)1)(1()()(212212121--+--=+--=⋅x x k m x m x y y m x m x MB MA ）（）（22212212))(()1(k m x x k m x x k ++++-+=22222222214)(21)4(2)1(k m kk k m k k k +++⨯+-+-⨯+=222221)542()8(kk m m m +--+-=．……………………………………………3分若MB MA ⋅为定值，则得2542822--=-m m m ，解得411=m ，此时167-=⋅MB MA ；……………………………………………………………………………4分②当直线l 的斜率不存在时，不妨设)214,411(),214,411(B A -，当点M 的坐标为）（0411时，167-=⋅MB MA ．………………………………………………………………………5分综上，在x 轴上存在点），（0411M ，使得MB MA ⋅为定值167-．……………………………6分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）由题意得7,5,3,1,2,4765432======a a a a a a ，………………3分所以307=S ．………………………………………………………………………………4分（2）①若1a 是奇数，则512+=a a 是偶数，252123+==a a a ，由253=S ，得2525)5(111=++++a a a ，解得71=a ，符合题意；…………2分②若1a 是偶数，不妨设k a 21=（*N ∈k ），则k a a ==212．若k 是偶数，则2223k a a ==，由253=S ，得2522=++kk k ，此方程无整数解；……………………………………………4分若k 是奇数，则53+=k a ，由253=S ，得25)5(2=+++k k k ，解得5=k ，符合题意，此时101=a ．综上，71=a 或101=a ．………………………………………………………………6分（3）充分性：由已知n a Z +∈，所以当n a 为奇数时，1n n a a m m +=+>．……………………2分必要性：猜想：当n a 为奇数时，m a n ≤；n a 为偶数时，m a n 2≤．……………………4分用数学归纳法证明：（i）当1=n ，2时，1a 为奇数，m a ≤=11；2a 为偶数，m m a 212≤+=．（ii）假设当k n =时，猜想成立．即k a 为奇数时，m a k ≤；k a 为偶数时，m a k 2≤．若k a 为奇数，则m a a k k +=+1且1+k a 为偶数；由m a k ≤，得m a k 21≤+；若k a 为偶数，则21kk a a =+，由m a k 2≤，得m a k ≤+1．此时，若1+k a 为奇数，则m a k ≤+1；若1+k a 为偶数，则m m a k 21≤≤+．综上，1+k a 为奇数，m a k ≤+1；1+k a 为偶数，m a k 21≤+．即当1+=k n 时，猜想也成立．根据（i）和（ii），猜想成立．……………………………………………………………………6分因为当n a 为偶数时，m a a nn ≤=+21，所以当m a n >+1时，n a 为奇数．……………………8分。
上海市嘉定区2020届高三下学期二模考试数学试题 Word版含解析
嘉定区2019学年高三第二次质量调研测试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1.已知集合{2,4,6,8},{1,2,3}A B ==，则A B =______．【答案】{2}. 【解析】 【分析】利用集合的运算直接求交集 【详解】AB ={2,4,6,8}1,2,3}{2}=.故答案为：{2}【点睛】考查了集合的运算求两集合的交集，属于容易题.2.线性方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_________．【答案】125318-⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】 【分析】直接根据线性方程组的增广矩阵的含义求解. 【详解】线性方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为125318-⎛⎫⎪⎝⎭,故答案为: 125318-⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】考查了线性方程组的增广矩阵的含义,属于容易题.3.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________. 【答案】4π 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案. 【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为224S rl =π=π⨯1⨯2=π.【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4.在5(2)x 的二项展开式中，3x 项的系数为_______． 【答案】40. 【解析】 【分析】直接用二项展开式的通项公式求解.【详解】515()(2)r r rr T C x -+=-，故3x 的系数为225(2)40C -=．故答案为：40【点睛】考查了二项式定理，利用通项公式求特定项的系数，属于容易题.5.若实数,x y 满足0120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为_______．【答案】3. 【解析】 【分析】画出可行域，求出线性目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如图所示：令z x y =+，则y x z =-+，易知截距越大，z 越大，直线:0l x y += ，平移直线至(2,1)B 时，max 213Z =+=. 故答案为：3【点睛】考查了线性目标函数在线性约束条件下的最大值问题，属于容易题. 6.已知球的主视图的面积是π，则该球的体积等于_________． 【答案】43π. 【解析】 【分析】先根据球的主视图的面积是π，求出球的半径，再求球的体积.【详解】设球半径为r ，由3244133r S r r V ππππ==⇒=⇒==． 故答案为：43π【点睛】考查了三视图的概念，球的体积公式，属于容易题.7.设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为123,1,6n S a a a =+=，则6S =______． 【答案】63. 【解析】 【分析】先由1231,6a a a =+=,求出等比数列的公比q ，再和等比数列的前n 项和公式求出6S 详解】由1231,6a a a =+=，得26(0)2q q q q +=>⇒=()661126312S -⇒==-．故答案为: 63【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于容易题.8.已知函数()2log a f x x =+（0a >且1a ≠）的反函数为1()y f x -=．若1(3)2f -=，则a =_____．【答案】2. 【解析】 【分析】 由1(3)2f-=，得(2)3f =，再代入解析式，求出a【详解】1(3)2(2)332log 22a f f a -=⇒=⇒=+⇒=．故答案为：2【点睛】本题考查了原函数与反函数间的关系，属于容易题. 9.设2,90z z ∈+=C ，则|4|z -=________．【答案】5. 【解析】 【分析】先由290z +=，求出z ，再代入式子|4|z -求模.【详解】由2903z z i +=⇒=±，则|4||34|5z i -=±-=． 故答案为：5【点睛】本题考查了在复数范围内解一元二次方程，及求复数的模，属于容易题.10.从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是_______（结果用数值表示）． 【答案】47. 【解析】 【分析】从4对夫妇中随机抽取3人,故总数是38C ，3人中任何两人都不是夫妻可先从4对夫妇中选 3对夫妻出来，有34C 种选择，再从每对夫妻2人中选1人,有111222C C C 种，再算出所求概率.【详解】从4对夫妇中随机抽取3人,故总数是n =38C ,3人中任何两人都不是夫妻可先从4对夫妇中选3对夫妻出来， 有34C 种选择，再从每对夫妻2人中选1人,有111222C C C 种，即有3342m C =⋅种，故所求概率P =m n 33438247C C ⋅==. 故答案为：47【点睛】本题是组合与古典概型的综合题，属于基础题.11.设P 是双曲线2218y x -=的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与圆22(3)1x y -+=相交于A B 、两点，则PA PB ⋅的最小值是_________． 【答案】3. 【解析】 【分析】先分析直线与圆的方程，得到直线过圆心(3,0)C ，再将PA PB ⋅变为()()C CA P PC CB +⋅+22PC CA =-，转化为动点P 到C距离的最小值.【详解】设圆心为(3,0)C ，并且直线过(3,0)C ，则()()C CA P PC CB +⋅+22PC CA =-又21CA =，2PC=2PC ，又min 2PC =,则PA PB ⋅21PC =-22213≥-=．故答案为：3【点睛】本题是直线参数方程、直线与圆位置关系、向量、圆锥曲线的综合问题，分析出直线过圆心，向量式转化化简是突破点，难点.12.在ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若222sin a b c A ++=，则A =______．【答案】3π. 【解析】 【分析】先用余弦定理对式子进行化简，再用辅助角公式转化为正弦型函数，然后利用正弦型函数的有界性求解.【详解】()22222222cos sin a b c b c bc A b c A ++=+-++=⇒222sin 6bc A b c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，而22sin 62b c A bc π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭212bc bc ≥=,sin 16A π⎛⎫⇒+≥ ⎪⎝⎭sin 163A A ππ⎛⎫⇒+=⇒= ⎪⎝⎭．故答案为：3π【点睛】本题考查了余弦定理，两角和与差公式，均值定理，属于中档题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.已知x ∈R ，则“1x >”是“|2|1x -<”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先对“|2|1x -<”等价变形，再利用集合法判断充要条件.【详解】由|2|113x x -<⇒<<，则(1,)p =+∞，(1,3)q =，则p ⊂≠q ，故p 为q 必要非充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了用集合法判断充要条件，属于容易题.14.下列函数中，既是(0,)+∞上的增函数，又是偶函数的是（ ）． A. 1y x=B. 2xy =C. 1||y x =-D.lg ||y x =【答案】D 【解析】 【分析】对选项的函数的单调性和奇偶性作判断.【详解】对A 奇函数；对B 非奇非偶函数；对C ：是偶函数，在(0,)+∞是减函数. 故选：D【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，属于容易题.15.如图，若正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BCC B 内动点P 到棱11A B 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（ ）．A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】C 【解析】 【分析】侧面11BCC B 内动点P 到棱11A B 的距离等于它到棱BC 的距离,转化成动点P 到定直线BC 和定点1B 的距离相等，判断P 点轨迹为抛物线.【详解】P 到棱11A B 的距离即P 到1B 的距离,即点P 到定直线和定点距离相等（注意：点不在直线上）轨迹为抛物线，故此题选C ．【点睛】本题将圆锥曲线与立体几何融合，主要考查转化与化归思想，利用圆锥曲线的定义判断轨迹类型.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．若对任意的*n ∈N ，都有13[,]n nS s t S -∈，则t s -的最小值为（ ）． A.23 B.94C.12D.16【答案】B 【解析】 【分析】先根据等差中项的概念列出关系式，再利用n a 与n S 之间的关系，得到关于n S 的递推关系式， 求得n S 的表达式，再计算n S 的取值范围，再计算13n nS S -的取值范围解出题目.【详解】由2n S 是6和n a 的等差中项，得46n n S a=+，令1n =得12S = ，又1n n n a S S -=-， 得146n n n S S S -=+-136n n S S -⇒=-1313232n n S S -⎛⎫⎛⎫⇒-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则32n S ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是首项为13122S -=，公比为13-的等比数列, 得1311223n n S -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 若n 为奇数，3,22n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；若n 为偶数，43,32n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭． 而1()3n n nf S S S =-是关于n S 的单调递增函数，并且41334f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11(2)2f =，故t s -最小值是11139244-=，故此题选B ． 【点睛】本题考查了用n a 与n S 之间的关系，由递推关系式求通项公式，以及求指数型函数和双勾函数的值域，属于综合应用题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，边长为3，5PC =，PD ⊥底面ABCD ．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】（1）12；（2）5arctan 3. 【解析】 【分析】（1）直接利用锥的体积公式求四棱锥的体积.（2）平移直线，找到异面直线AD 与BP 所成角，并计算角的大小. 【详解】解：（1）在Rt PCD ∆中,3,5CD PC ==,则4PD =， 则P ABCD V -13ABCD S PD =⋅⋅2134123=⨯⨯=．（2）由//BC AD ，所以PBC ∠即为异面直线AD 与BP 所成角（或其补角）， 由BC CD ⊥，BC PD ⊥，且PD CD D ⋂=，得BC ⊥面PCD ，又PC ⊆面PCD ， 所以BC PC ⊥，在Rt PCB ∆中，55tan arctan 33PBC PBC ∠=⇒∠=． 【点睛】本题考查了棱锥的体积公式和异面直线所成的角,属于容易题.18.设常数a R ∈，函数2()2cos f x x a x =+．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值； （2）若36f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求方程()2f x =在区间[0,]π上的解． 【答案】（1）0a =；（2）0,,3x ππ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】（1）()f x 为奇函数,可得(0)0f =，解出a ，再代回验证看是否符合题意.（2）根据36f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出a ，再解方程. 【详解】（1）当()f x 为奇函数时，必有(0)00f a =⇒=,当0a =时，()2f x x =是奇函数，符合题意，故0a =.（2）由题233cos 3263624a f a a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2()22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 由1()2sin 2226266f x x x k ππππ⎛⎫=⇒+=⇒+=+ ⎪⎝⎭或52266x k πππ+=+，x k π⇒=或()3x k k Z ππ=+∈，所以在区间[0,]π上的解为0,,3x ππ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查了奇函数的概念与性质，三解恒等变换，属中档题.19.某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员()*x x ∈N户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2%x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为92(0)50a x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元． （1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a 的最大值． 【答案】（1）050x ≤≤；（2）9. 【解析】 【分析】（1）根据题意，表示出动员x 户农民从事蔬菜加工后农民的总年收入，动员前农民的总年收入，再解不等式.（2）转化成恒成立问题，再分离变量，转化成函数的最值问题.【详解】解：（1）动员x 户农民从事蔬菜加工后，农民总年收入为(100)2(12%)x x -⨯+， 由题得(100)2(12%)x x -⨯+200050x ≥⇒≤≤． （2）由题92(100)2(12%)50x a x x x ⎛⎫-≤-⨯+ ⎪⎝⎭恒成立，其中050x ≤≤， 即1004125x a x ≤++恒成立，又因为100411925x x ++≥+=， 当且仅当25x =时等号成立，所以max 9a =．【点睛】本题是应用问题，应理解题意，列出关系式，还考查了解一元二次不等式，和恒成立问题的处理方法，以及利用均值不等式求最值.20.已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(0,2)P ，且它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同．直线l 过点(1,0)Q ，且与椭圆Γ相交于AB 、两点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 的一个方向向量为(1,2)d =，求OAB 的面积（其中O 为坐标原点）；（3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22184x y +=；（2）169；（3）定点11,04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，定值716-. 【解析】【分析】（1）直接根据椭圆过点(0,2)P ，求出b ，再根据椭圆的一个焦点是抛物线抛物线28y x =的焦点(2,0)，求得c ，再求出b ，得到椭圆Γ的方程.（2）先求出直线方程，与椭圆Γ的方程联立，求出交点，再求出OAB 的面积.（3）先设x 轴上是存在点M (,0)a 使得MA MB ⋅为定值，设出直线，,A B 的坐标，表示出 MA MB ⋅，再分析怎样使MA MB ⋅为定值.【详解】解：（1）椭圆过点(0,2)P ，代入得2b =，抛物线28y x =的焦点为(2,0)， 得224a b =+，得28a =，故椭圆方程为22184x y +=． （2）:22l y x =-，将直线与椭圆联立2222184y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1614,99A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,2)B -， 如图所示：故116|2|||29OAB S =-169=．（3）当直线斜率不为0时，设：:1l x my =+，(,0)M a ，()11,A x y ，()22,B x y ， 将l 与椭圆联立得()222270m y my ++-=，则有12222m y y m -+=+，12272y y m -=+， 则()()1212MA MB x a x a y y ⋅=--+12(1)(1)my a my a =+-+-12y y +()()2212121(1)(1)m y y a m y y a =++-++-()2222721(1)(1)22m m a m a m m --=+⋅+-⋅+-++()222282452m a a a m -+--=-+ ()222(841122)m a a m -+-+=+2241182a a m -=--+ 由于该式不管m 取何值均为定值，故4110a -=，得114a =，定值为716-． 当直线斜率为0时，A，(B -，111174416MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 综上，定点11,04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，定值716-． 【点睛】本题考查了圆锥曲线的定义和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，处理直线与圆锥曲线位置关系的基本思路和方法：设而不解；联立方程组，根与系数的关系，还考查了定点，定值问题.21.已知m 为正整数，各项均为正整数的数列{}n a 满足：1,?2,?n n n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若18,2a m ==，求7S 的值； （2）若35,25m S ==，求1a 的值；（3）若11,a m =为奇数，求证：“1n a m +>”的充要条件是“n a 为奇数”．【答案】（1）730S =；（2）17a =或110a =；（3）见解析.【解析】【分析】（1）利用递推公式直接代入求值.（2）分类讨论当1a 为奇数和偶数的情况，再讨论2a 为奇数和偶数的情况，求得1a 的值.（3）先证充分性（易证得），再证必要性，用数学归纳法证明.【详解】解：（1）18a =，2m =，则前7项为8，4，2，1，3，5，7，故730S =．（2）由题1,25,?n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数设k 是整数．①若1a 为奇数,可设121a k =-，k N +∈,则224a k =+是偶数，得32a k =+， 则12355254a a a k k ++=+=⇒=，此时17a =，符合题意②若1a 为偶数,可设12a k =，k N +∈,则2a k =，当2a 是偶数时，可设2,k m m N +=∈，得14,a m =22a m =，3a m =，则123725a a a m ++==，此时m 不存在．当2a 是奇数时，可设21,k m m N +=-∈，得142a m =-，221a m =-，324a m =+，则1238125a a a m ++=+=，得3m = ，得110a =．综合①②可得，17a =或110a =．（3）充分性：若n a 为奇数，则1n n a a m m +=+>；必要性：先利用数学归纳法证：n a m ≤（n a 为奇数）；2n a m ≤（n a 为偶数）． ①11a m =≤，212a m m =+≤，312m a m +=≤成立； ②假设n k =时，k a m ≤（k a 为奇数）；2k a m ≤（k a 为偶数）．③当1n k =+时，当k a 是偶数，12k k a a m +=≤；当k a 是奇数，12k k a a m m +=+≤，此时1k a +是偶数．综上，由数学归纳法得n a m ≤（n a 为奇数）；2n a m ≤（n a 为偶数）．从而若1n a m +>时，必有1n a +是偶数．进而若n a 是偶数，则122n n a a m +=>矛盾，故n a 只能为奇数．【点睛】本题是递推关系为分段函数类型，注意分析并使用分类讨论，还考查了充要条件的证明，复杂的且关于自然数的递推不等式的证明可用数学归纳法证明.。
上海市宝山区达标名校2020年高考五月调研数学试卷含解析
上海市宝山区达标名校2020年高考五月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）． A ．103B ．62C ．233D ．33．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定4．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．835．已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)= A ．12B 3C ．12-D ．3 6．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为32，则双曲线的渐近线方程为（）A．y = B．y =C ．y x =±D ．2y x =±7．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( )A ．3B ．2C．3D ．28．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．3y x =± C ．2y x =±D ．12y x =±10．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里B ．72里C ．48里D ．24里12．将函数2()22cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市青浦区2020届高三下学期第二次学业质量调研(二模)数学试题答案
时，
，即
，所以
；
当
时，
，即
若
，则
，所以由（*）可得
，与
若
，则
，所以由（*）可得
所以
与
同号，这与
矛盾；
若
，则
，由（*）可得
.
（*）， 矛盾； ，
猜想：满足
的数列 是：
．
…………………………………………………14分
经验证，左式
，
右式
.
………………………………………………………………………………………16分 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件.
定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分 14分）本题共 2小题，第（1）小题 6分，第（2）小题 8分.
高三数学 202005
解：（1）因为在正四棱柱
中，
平面
， 是垂足，
所以
是 与平面
所成的角，
设
，又正四棱柱
中，
，
，
，
，
∴
与平面
所成的角的大小为
（2）解一：如图所示：连接 ，
，
是异面直线 与
，
，
所成角，
青浦区 2019学年第二学期高三年级第二次质量调研测试
数学参考答案及评分标准
2020.05
说明： 1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标
准的精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当
考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难 度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果 有较严重的概念性错误，就不给分．
上海市嘉定(长宁)区2020届高三数学第二次质量调研(二模)试题(含解析)
嘉定（长宁）区高2020届三第二次质量调研（二模）数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.已知集合，则__________．【答案】【解析】【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x|2＜x＜5，x∈R}；∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.已知复数满足（是虚数单位），则__________．【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由i＝3+4i ，得，∴|z|＝||．故答案为：5．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.若线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则__________．【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出结果．【详解】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值而线性方程组的增广矩阵为，可直接写出线性方程组为即把x＝1，y＝1，代入得，解得＝3．故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．4.在的二项展开式中，常数项的值为______________．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出【详解】解：在的二项展开式中，通项公式为：T r+1x4﹣r x4﹣2r，令4﹣2r＝0，解得r＝2．∴常数项6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知一个圆锥的主视图(如图所示)是边长分别为的三角形，则该圆锥的侧面积为_________.【答案】【解析】【分析】根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π再代入侧面积公式可得．【详解】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π，侧面积为5×4π＝10π，故答案为：10π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，考查了计算能力，属基础题．6.已知实数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得A（0，﹣1）．化z＝x+2y为y x，由图可知，当直线y x过A（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝0+2×（﹣1）＝﹣2．故答案为：﹣2．点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.设函数(其中为常数)的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解为__________．【答案】【解析】【分析】求出原函数的反函数，代入已知点的坐标求得a，则方程f﹣1（x）＝2的解可求．【详解】解：由y＝f（x），得x﹣a＝y2（y≥0），∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝x2+a（x≥0）．把点（0，1）代入，可得a＝1．∴f﹣1（x）＝x2+1（x≥0）．由f﹣1（x）＝2，得x2+1＝2，即x＝1．故答案为：x＝1．【点睛】本题考查函数的反函数的求法，关键是明确反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．8.学校从名男同学和名女同学中任选人参加志愿者服务活动，则选出的人中至少有名女同学的概率为____________(结果用数值表示)【答案】【解析】【分析】基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．【详解】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.已知直线（为参数）与抛物线相交于两点，若线段中点的坐标为，线段的长为__________．【答案】【解析】【分析】化简直线的参数方程为普通方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出m，通过弦长公式求解即可．【详解】解：直线（t为参数），可得直线的方程y＝k（x﹣1），k＝tanα，把直线的方程代入抛物线方程可得：ky2﹣4y﹣4k＝0，直线（t为参数）与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，设A（，），B（，），线段AB中点的坐标为（m，2），可得+＝4，解得k＝1，y2﹣4y﹣4＝0，＝﹣4，线段AB的长：•8．故答案为：8．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查计算能力．10.在中，已知，为线段上的一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】利用A，P，D三点共线可求出m，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．【详解】解∵∵A，P，D三点共线，∴，即m．∴，又∵．∴，即CA•CB＝8．∴∴．故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．11.已知有穷数列共有项，记数列的所有项和为，第二项及以后所有项和为第项及以后所有项和为，若是首项为，公差为的等差数列的前项和，则当时，__________．【答案】【解析】【分析】设数列{}的前n项和为T n，则S（n）＝T m﹣T n，又知道S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当1≤n＜m时，即可得到的表达式．【详解】解：S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，所以S（n）＝n n2，则＝S（n）﹣S（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣2n﹣1，故填：﹣2n﹣1．【点睛】本题考查了数列通项的求法，等差数列的前n项和公式，属于基础题．12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若对于属于都有，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，先得到[﹣1，3]一个周期内f（x）的图象，求出该周期内使f（x）≥1﹣log23成立的x的范围，从而推出的范围，再分t的范围讨论即可．【详解】解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，所以当0≤x≤1时，f（x）＝log2（x+1），当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，此时f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1），又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），所以f（x）以x＝1为对称轴．且当x∈[﹣1，1]时f（x）单调递增，当x∈[1，3]时f（x）单调递减．当x∈[﹣1，3]时，令f（x）＝1﹣log23，得x，或x，所以在[﹣1，3]内当f（x）＞1﹣log23时，x∈[，]．设g（x），若对于x属于[0，1]都有，因为g（0）∈[，]．故g（x）∈[，]．①当0时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）∈[t，]⊆[，]．得t≥0，无解．②0≤t≤1时，，此时g（t）最大，g（1）最小，即g（x）∈[t﹣1，]⊆[，]．得t∈[0，1]．③当1＜t≤2时，即，此时g（0）最小，g（t）最大，即g（x）∈[，]⊆[，]．得t∈（1，2]，④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）∈[，t]⊆[，]．解得，t∈（2，3]，综上t∈[0，3]．故填：[0，3]．【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识．属于难题．二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)13.已知,则“”是“”的．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式简化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.【详解】解：“”⇔0＜x＜1．∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了不等式的解法、充分必要性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14..产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的年至年第季度我国工业产能利用率的折线图（％）．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年第二季度与年第二季度相比较:环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如二季度与年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是( )A. 年第三季度环比有所提高B. 年第一季度同比有所提高C. 年第三季度同比有所提高D. 年第一季度环比有所提高【答案】C【解析】【分析】根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．【详解】解：2020年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2020年第三季度环比有所下降，故A错误；2020年第一季度利用率为74.2%，2020年第一季度利用率为72.9%，故2020年第一季度同比有所下降，故B错误；2020年底三季度利用率率为73.2%，2020年第三季度利用率为76.8%，故2020年第三季度同比有所提高，故C正确；2020年第四季度利用率为78%，2020年第一季度利用率为76.5%，故2020年第一季度环比有所下降，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．15.已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆两点，点在点与点之间。
上海市黄浦区2020届高三二模数学卷(含答案)
yxO PA BC Q 上海市黄浦区2020届高三二模数学卷2020年5月一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．若集合{1,2,3,4,5}A =，2{|60}B x x x =−−<，则A B ∩=.2．函数22cos 2y x =+的最小正周期为．3．某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选户.4．若直线1:350l ax y +−=与2:210l x y +−=互相垂直，则实数a的值为.5．如果sin 3α=−，α为第三象限角，则3πsin()2α+=.6．若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为.7．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为.8．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[2,0]−，则(1)f −=.9．当,x y 满足270101x y x y x +−−−，， 时，|2|x y a − 恒成立，则实数a 的取值范围是.10．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为．11．已知a R ∈，函数22(0)()1(0)a x f x xx x+> = +≤ ，若存在不相等的实数123,,x x x ，使得11()f x x =22()f x x =33()2f x x =−，则a 的取值范围是．12．点A 是曲线y =(2)y ≤上的任意一点，(0,2)P −,(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ．则下列结论：（1）||||AP AQ −为定值；（2）||QB ||BC +为定值5；（3）||||||PA ABBC ++为定值5+.其中正确结论的序号是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．“函数()()f x x R ∈存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（）..A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件14．设12,z z 是复数,则下列命题中的假命题是（）..A 若12||0z z −=,则12z z =.B 若12z z =,则12z z =.C 若||||21z z =,则2112··z z z z =.D 若12||||z z =,则2122z z =15.已知e f ,是互相垂直的单位向量，向量n a 满足：n e a n ⋅= ，21n f a n ⋅=+ ，n b 是向量f 与n a夹角的正切值，则数列{}n b 是（）..A 单调递增数列且1lim 2n n b →∞=.B 单调递减数列且1lim 2n n b →∞=.C 单调递增数列且lim 2n n b →∞=.D 单调递减数列且lim 2n n b →∞=16．如图，直线l ⊥平面α,垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，, A D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC l ⊥，则下列判断：①点O 到棱BC 中点E1+；②正四面体ABCD 在平面α上的射影面积的最大值为（）..A ①②都正确.B ①②都错误.C ①正确，②错误.D ①错误，②正确三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱椎P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，90,BAC ∠=D E F 、、分别是棱AB BC CP 、、的中点，1AB BC ==,2PA =．（1）求异面直线PB 与DF 所成的角；（2）求点P 到平面DEF 的距离．图①图②18．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设1122(,),(,)A x y B x y 是函数21log 21xy x =+−的图像上任意两点，点00(,)M x y 满足OM = 1()2OA OB + ．（1）若012x =，求证：0y 为定值；（2）若212x x =，且01y >，求1x 的取值范围，并比较1y 与2y 的大小．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园.如图①所示，矩形ABCD 的AB 边与BC 边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O 为AB 中点，扇形的圆弧端点,E F 分别在AD 与BC 上，圆弧的中点G 在CD 上．（1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域1111A B C D 为花卉展览区．如图②所示，矩形1111A B C D 的四条边与矩形ABCD 的对应边平行，点11,A B 分别在,OE OF 上，点11,C D 在扇形的弧上.某同学猜想：当矩形1111A B C D 面积最大时，两矩形1111A B C D 与ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展览区1111A B C D 面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）.20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知点,A B 分别是椭圆2222 :1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 且点A 是圆:Γ222((0)x y r r +=>的圆心．动直线:l y kx =与椭圆交于,P Q 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，()OS OP R λλ+=∈，且当λ取最小值时直线l 与圆Γ相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆Γ分别交于,G H 两点，点G 在线段PQ 上，且||||QG PH =，求r 的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．若数列{}n a 与函数()f x 满足：①{}n a 的任意两项均不相等，且()f x 的定义域为R ；②数列{}n a 的前n 的项的和()n n S f a =对任意的*n N ∈都成立，则称{}n a 与()f x 具有“共生关系”.（1）若*2()n n a n N =∈,试写出一个与数列{}n a 具有“共生关系”的函数()f x 的解析式；（2）若()f x ax b =+与数列{}n a 具有“共生关系”，求实数对(,)a b 所构成的集合,并写出n a 关于,,a b n 的表达式；（3）若2()f x x cx h =++,求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{}n a ，使得{}n a 与()f x 具有‘共生关系’”的充要条件是“点(,)c h 在射线11()216xy =≤上”.参考答案与评分标准一、填空题：（1~6题每题4分；7~12题每题5分）1.{1,2}；2.π；3.56；4.6−；5.13；6.；7.221520x y −=；3；9.[4+)∞，；10.2735；11.(,4)−∞−；12.①②.二、选择题：（每题5分）13.B ；14.D ；15.A ；16.C.三、解答题：（共76分）17．（1）如图，分别以,,AB AC AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0)(0,1,0)(0,0,2)A B C P ,,，11(,0,0),(0,,1)22D F ,故11(1,0,2),(,,1),22BP DF =−=− ……2分所以cos ,BP DF <>= …………4分可得,6BP DF <>= ，故异面直线PB 与DF所成的角为.…………6分（另法:先证明,DF EF DE EF ⊥，然后在直角DEF △中，可求得所成角为5arctan5）.（2）同（1）建立空间直角坐标系，则111(0,,0),(,,1),222DE DF − ………7分设(,,1)n x y = 是平面DEF 的一个法向量，则00n DE n DF ⋅= ⋅=，，可得102111022y x y= −++= ，，解得20x y = = ，，所以(2,0,1)n = ，………11分又1(0,,1)2PF =−，P 到平面DEF 的距离5||5||PF n d n ⋅==．.…………14分18．（1）由1()2OM OA OB =+ ，可知01211()22x x x =+=，即121x x +=，…………2分1212012222121211111()(log log )(1log 2221212(1)(1)+x x x x y y y x x x x =+=+++=−−−−，故12022111(1log 22+x x y x x =为定值.…………………6分（2）由122x x =，01y >，可得1122112log log 1112x x x x +>−−，…………………7分它等价于1111121111110,2120,0,122333102222112x x x x x x x x x x x << >⇔<<⇔−+ << −+< ⋅>−− 解得1x的取值范围是1)2.…………………11分此时由111111120112(1)(12)x x x x x x x −−=<−−−−，可知111120112x x x x <<−−，故112211112log log 21212+x x x x <+−−，即12y y <.…………………14分19．（1）设2 EOF θ∠=，则BFO θ∠=，在直角OBF △中，，124,402BO AB OF BC ====，3sin 5OB OF θ==，3arcsin 5θ=，…………………3分可得扇形的面积21133402arcsin 1600arcsin 1030255S =⋅⋅=≈平方米，所以扇形花园的面积约为1030平方米.………………6分（2）在图2中，连1OC ，设11(0)FOC OC r ααθ∠=<<=,，则在11OB C △中，由111sin sin B C OC αθ=，可得11sin sin r B C αθ=，又112sin()C D r θα=−，34sin cos 55θθ==，所以矩形1111A B C D 的面积21111sin 2sin()sin r S B C C D r αθαθ=⋅=⋅−…………………9分22210sin (sin cos cos sin )(6sin cos 8sin )33r r αθαθαααα−=−216004(3sin 24cos 24)arcsin )4]335r ααα+−=+−，当且仅当4π2arcsin 52α+=，即1π4(arcsin )2252θα=−=时，2S 取最大值，2S 的最大值为16003，所以花卉展览区1111A B C D 面积的最大值为16003平方米.………12分当1111A B C D 的面积最大时，2θα=，此时11112sin()64862sin ,sin 5405sin C D r CD r B C BC θαθαθ−===== ，从而两矩形长和宽之比相等，所以两矩形的形状相同，即该同学的猜想是正确的.…………………14分20.解：（1）由题意知，a =6,3=可得1b =，…………………3分故椭圆方程为2212x y +=.…………………4分（2）设π,sin )([0,2P ααα∈，则cos ,sin )S αλα，………………6分代入直线AB1y =，可得(cos sin )1λαα+=，故1cos sin λαα==+，故当且仅当α取π4时，λ取最小值.………8分此时点P 的坐标为22，直线l的方程为0x =，故63r =.…………10分（3）由||||QG PH =，可得||||PQ GH =，将y kx =代入椭圆C 的方程，可得22(12)2k x +=，即x =||PQ =又A 到直线l ，故||GH =，，…………………13分可得22222222222(1)422(1)+2112112k k k k r k k k k +++==+−++++，令2222112[1,2)11k z k k +==−∈++，则212(2[23)r z z=+−∈,，故r 的取值范围是.…………………16分21.解：（1）由2nn a =，可知12(12)222212n n n n S a +−==−=−−，所以与数列{}n a 具有“共生关系”函数()f x 的解析式可以是()22f x x =−.……4分（2）由题意得n n S aa b =+，令1n =，可得11a aa b =+，即1(1)a a b −=，①若10a b =≠,，此式不成立，不合题意；若10a b ==,，由22S a =，可得10a =，又33S a =，可得20a =，与{}n a 任意两项均不相等产生矛盾，故此时也不合题意.………5分②若1a ≠，可得11b a a=−，若0b =，则由111a S aa ==与1222a a S aa +==，可得120a a ==，不合题意.若0b ≠，0a =，则n S b =，当2n ≥时，0n a =，不合题意.…………6分若0b ≠，0,1a ≠，则n S b =，由n n S aa b =+，+1+1n n S aa b =+，可得1+1+1n n n n n a S S aa aa +−−，即11n n a a a a +=−，此时数列{}n a 是首项为1b a−，公比为1a a −的等比数列，又{}n a 的任意两项均不相等，故11a a ≠±−，可知12a ≠，……8分所以实数对(,)ab 所构成的集合为1{(,)|0,1,,2a b a ≠且0,R}b a b ≠∈其中,，且11(11(1)n n n n b a baa a a a −−=⋅=−−−.……10分（3）(必要性)法一:若{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列,且它与()f x 具有“共生关系”,则由2n n n S a ca h =++，2+1+1+1n n n S a ca h =++，可知221+1+1+1+11()()()n n n n n n n n n n n a S S a a c a a a a a a c ++=−=−+−=−++，……11分故11[2(21)]a nd d a n d c +=+−+，即2112(2)a nd d n da d cd +=+−+恒成立，故2112,2d d ada d cd = =−+ ，解得12c d ==，……13分又由211112n a S a a h ==++，可得21102n a a h −+>，由1404h ∆=−≥，可知116h ≤.所以点(,)c h 在射线11()216x y =≤上.……14分法二：若{}n a 是等差数列，且它与()f x 具有“共生关系”,设(0)n a dn m d =+≠，则由2n n n S a ca h =++,可知2(1)()()2n n dmn dn m c dn m h ++=++++，……11分所以2222((2)()22d dn m n d n md cd n m cm h ++=+++++恒成立，故2212220d d d m md cd m cm h =+=+=++，，，可得211,022c d m m h ==++=且有实根，……13分即1404h ∆=−≥，可知116h ≤.所以点(,)c h 在射线11()216x y =≤上.……14分(充分性)若点(,)c h 在射线11()216x y =≤上，则11,216c h =≤，又方程211112a a a h =++等价于211102a a h −+=，1404h ∆=−≥，且1a =1a =，它显然是正数且满足1(1)S f =，……16分令+112n n a a −=,则22+1+111(1)()()()22n n n n f n f n a a a a +−=+−++1+1+1+111()(+)(2)22n n n n n n a a a a a a =−+==，故当2n ≥时，12(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]n n S a aa f f f f f f n f n =+++=+−+−++−− ()f n =，这里的无穷数列{}n a ，公差为12的无穷等差数列，其每一项都是正数.所以存在每项都是正数的无穷等差数列{}n a ，使得{}n a 与()f x 具有“共生关系”..……18分另法：直接证明首项为1+1164、公差为12的等差数列满足条件②，即可.。
上海市静安区2020届高三下学期质量调研二模数学试题Word版含答案
上海市静安区2016学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷 2017.04本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知集合{}0ln |>=x x A ，{}32|<=xx B ，则=B A ________．2．若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≥,092,,0y x x y x 则y x z 3+=的最大值等于________．3．已知7)(xa x -展开式中3x 的系数为84，则正实数a 的值为 .4．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．5．设)(x f 为R 上的奇函数．当0≥x 时，b x x f x++=22)( (b 为常数)，则)1(-f 的值为________．6．设Q P ,分别为直线⎩⎨⎧-==t y t x 26,（t 为参数）和曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θθsin 52,cos 51y x （θ为参数）的点，则PQ 的最小值为 ．7．各项均不为零的数列}{n a 的前n 项和为n S ． 对任意*N ∈n ，)2,(11++-=n n n n a a a m 都是直线kx y =的法向量．若n n S ∞→lim 存在，则实数k 的取值范围是________．8．已知正四棱锥ABCD P -的棱长都相等，侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是________． 9．设0>a ，若对于任意的0>x ，都有x xa 211≤-，则a 的取值范围是________． 10．若适合不等式5342≤-++-x k x x 的x 的最大值为3，则实数k 的值为_______． 11．已知x x x f +-=11)(，数列}{n a 满足211=a ，对于任意*N ∈n 都满足)(2n n a f a =+，且0>n a ，若1820a a =，则20172016a a +的值为_________．二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 12．已知,,a b ∈R 则“33log log a b >”是“b a )21()21(<”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知复数z 满足z z-=+1i1（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）． A ．i B ．－1 C ．1 D ．－i14．当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0k 时，方程()1+=x k x 的根的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．415．曲线C 为：到两定点)0,2(-M 、)0,2(N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹．以下结论正确的个数为（ ）． （1）曲线C 一定经过原点；（2）曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称； （3）MPN ∆的面积不大于8；（4）曲线C 在一个面积为60的矩形范围内．A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 16．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，等腰AOB ∆Rt ，2==OB OA ，点C 是OB 的中点，AOB ∆绕BO 所在的边逆时针旋转一周．（1）求ABC ∆旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积S ； （2）设OA 逆时针旋转至OD ，旋转角为θ，且满足BD AC ⊥，求θ．17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）设函数x x x f 2sin 32cos )(+⎪⎭⎫⎝⎛+=π． （1）求函数)(x f y =的最大值和最小正周期； （2）设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，若31cos =B ，413-=⎪⎭⎫⎝⎛C f ，求A sin ．18．（本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入)(n g 是生产时间n 个月的二次函数kn n n g +=2)(（k 是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元． （1）求前8个月的累计生产净收入)8(g 的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入． 19．（本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分）设点1F 、2F 是平面上左、右两个不同的定点，m F F 221=，动点P 满足：221216)cos 1(||||m PF F PF PF =∠+⋅．（1）求证：动点P 的轨迹Γ为椭圆；（2）抛物线C 满足：①顶点在椭圆Γ的中心；②焦点与椭圆Γ的右焦点重合．设抛物线C 与椭圆Γ的一个交点为A ．问：是否存在正实数m ，使得21F AF ∆的边长为连续自然数．若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，91-=a ，2a 为整数，且对任意*N ∈n 都有5S S n ≥．（1）求}{n a 的通项公式； （2）设341=b ，⎩⎨⎧-+-=+为偶数为奇数n b n a b n n n n ,)2(,,1（*N ∈n ），求}{n b 的前n 项和n T ； （3）在（2）的条件下，若数列}{n c 满足)N ()21()1(*5122∈-++=++n b b c n a n n n n λ．是否存在实数λ，使得数列}{n c 是单调递增数列．若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．静安区2016学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷评分标准与答案一、1．()3log ,12； 2．12； 3．2；4．35； 5．3- 6．55； 7．()()+∞-∞-,01, ； 8．255； 9．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,42 10．8； 11．212-． 二、12．A ； 13．C ； 14．C ； 15．B ．三、16．解：（1）()ππ34122312=-⨯⨯=V ;﹒﹒﹒3分 ()()32223222221+=+⨯⨯=ππS ﹒﹒3分 （2）如图建立空间直角坐标系，得xz()0,0,2A ，()1,0,0C ，()2,0,0B由三角比定义，得()0,sin 2,cos 2θθD ﹒﹒﹒﹒1分则，()1,0,2-=AC ，()2,sin 2,cos 2-=θθBD ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分02cos 4=--=⋅θ，得21cos -=θ，θ[0,2)∈π， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 所以，3432ππθ或=．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 16．解：（1）因为x x x f 2sin 32cos )(+⎪⎭⎫⎝⎛+=π 22cos 13sin2sin 3cos2cos xx x -+-=ππ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分 x 2sin 2321-=， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 所以，函数)(x f y =的最大值为231+，最小正周期π． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 （2）由4132sin 23213-=-=⎪⎭⎫⎝⎛C C f ，得2332sin =C ，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分 解得，2π=C 或π=C （舍去）． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分因此，31cos sin ==B A ． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 18．解：（1）据题意30933)3(2=+=k g ，解得100=k ，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分第5个月的净收入为)5(g 109)4(=-g 万元，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 所以，8521093)5()8(=⨯+=g g 万元．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分（2）[]⎩⎨⎧>--+≤+=）（），（5.)4()5()5()5(5100)(2n g g n g n n n n g即⎩⎨⎧>-≤+=），（），（5201095100)(2n n n n n n g ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分要想投资开始见效，必须且只需⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+->+-22)1(370100500)(n n n n n g即.040068)(2>--+n n n g ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 当5,4,3,2,1=n 时，,04006810022>--++n n n n即200)16(>+n n 不成立；﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 当5>n 时，,040068201092>--+-n n n 即420)41(>+n n ，﹒﹒﹒﹒2分 验算得，9≥n 时，420)41(>+n n ． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 所以，经过9个月投资开始见效． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分19．解：（1）若点21F F P 、、构成三角形则 ||||2||||||cos 21221222121PF PF F F PF PF PF F ⋅-+=∠ ，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 2212212221216)||||2||||||1(||||m PF PF F F PF PF PF PF =⋅-++⋅∴．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 整理得222116|)||(|m PF PF =+，即)024(4||||21>>=+m m m PF PF ．1分若点21F F P 、、不构成三角形，也满足)024(4||||21>>=+m m m PF PF ．1分 所以动点P 的轨迹为椭圆．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分（2）动点P 的轨迹方程为1342222=+m y m x ． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 抛物线的焦点坐标为)0,(m 与椭圆的右焦点2F 重合． 假设存在实数m ，使得21F AF ∆的边长为连续自然数． 因为1212||||42||PF PF m F F +==，不妨设|12||1+=m AF ，)(12||,2||*221N m m AF m F F ∈-==． ﹒﹒﹒﹒﹒2分 由抛物线的定义可知m x m AF A +=-=12||2，解得1-=m x A ，﹒﹒﹒﹒﹒1分 设点A 的坐标为),1(A y m -，⎪⎩⎪⎨⎧=+--=134)1()1(422222m y mm m m y AA ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 整理得032272=+-m m ，解得舍）(71=m 或3=m ．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 所以存在实数3=m ，使得21F AF ∆的边长为连续自然数．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分20．解：（1）设}{n a 的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧≥≤0065a a ，,4959≤≤∴d ﹒ ﹒﹒﹒2分22=∴∈d Z a ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分112-=∴n a n ． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分（2）当n 为偶数时，nn n n b b 2)2(1=-=++． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分① 当n 为奇数时)3(≥n ，)()()(154321n n n b b b b b b b T +++++++=- 1421222-++++=n b3241)41(434121+-=--+=n n ．当1=n 时也符合上式． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分② 当n 为偶数时， 132323211-+=+=+=--n a b T T nn n n n n ﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=∴+.13232,321为偶数，为奇数，n n n T nn n ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 （3）3)41()1(4--+=n n n n c λ由题意得，0)41(80431>--⋅=-+n n n n c c λ对任意*N n ∈都成立，① 当n 为奇数时，n24803⋅->λ， 当1=n 时，53)4803(max 2-=⋅-n ，53->λ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分② 当n 为偶数时，n24803⋅<λ， 当=n 2时，548)4803(min 2=⋅n ，548<λ．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分综上：)548,53(-∈λ．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分。
上海市徐汇区2020届高三二模数学卷(含答案)
1 俯视图
A. 2 5 5
B. 2 5 5
C. 5 5
D. 5 5
16．若数列
an
, bn
的通项公式分别为 an
1 n2020 a ， bn 2
1 n2019 n
，且 an
bn 对任意 n N 恒成立，
则实数 a 的取值范围为（ ）
A. 2,1
B.
2,
3 2
C.
记为 mn . 设 bn ni M n mn ，当正整数 n 满足 3 n 2020 时，比较 bn 与 bn1 的大小，并求出 bn 的最大值．
参考答案及评分标准
一． 填空题：（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分
2020.本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 底面 ABCD ， E 是 PC 的中点，已知 AB 2 ，
（2）[解法一]如图所示，以 A 点为原点， AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，
则 B(2, 0, 0)，C(2, 2 2 ,0)，E(1, 2 , 1)，-------8
z
分
AE (1, 2, 1) ， BC (0, 2 2, 0) .-----------10
P
分
设 AE 与 BC 的夹角为，则
11．如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通
过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从 A 点由图
上海市宝山区2022届高三二模数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．若f（a）=f（2020），则
满足条件的最小的正实数a的值为（ ）A．28B．100C．34D．36
2. 已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，，则下列结论中错误的是
A．若m//n，则B．若，则
C．若相交，则相交D．若相交，则相交
3. 已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（ ）
A．5B．C．D．
4. 函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
5. 已知点的，曲线的方程，曲线的方程，则“点在曲线上“是”点在曲线上“的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
6. 在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7. 双曲线的渐近线方程为，则的离心率为
A．2
B．C．D
．
8. 设复数，则（ ）
A．0B．1C．D．2
9. 已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，则（ ）
A．B．
C．D．
10. 关于函数，下述结论正确的是（ ）
A．的最小值为B
．在上单调递增
C．函数在上有3个零点D．曲线关于直线对称
11. 已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，过点作斜率为的直线l与C的上支交于M，N两点
（点M在第一象限），A为线段的中点，O为坐标原点.若C的离心率为2，则（ ）A．B．
C．可以是直角
D．直线OA的斜率为
12. 如图，棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则（ ）
上海市宝山区2022届高三二模数学试题(1)上海市宝山区2022届高三二模数学试题(1)三、填空题四、解答题
A．三棱锥的体积为定值
B．存在线段，使平面平面
C．为中点时，直线与所成角最小
D．三棱锥的外接球半径的最大值为
13. 已知椭圆的右焦点为F（5，0），点A，B为C上关于原点对称的两点，且，，则C的离心率
上海市虹口区2020届高三下学期二模考试数学试题 Word版含解析
上海市虹口区2020届高三二模数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.函数()3cos21f x x =+的最小值为_______________.【答案】2-【解析】【分析】利用余弦函数的有界性可求得函数()3cos21f x x =+的最小值.【详解】1cos21x -≤≤，23cos214x ∴-≤+≤，所以函数()3cos21f x x =+的最小值为2-.故答案为：2-.【点睛】本题主要考查三角函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.函数()13x f x x -=+的定义域为_______________. 【答案】(]3,1-【解析】【分析】 由根式函数定义域的求法得到103x x -≥+，再转化为()()()310,3x x x +-≤≠-，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为103x x-≥+， 所以()()()310,3x x x +-≤≠-，解得31-<≤x ，所以函数()13x f x x-=+的定义域为(]3,1-. 故答案为：(]3,1- 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.设全集U =R ，若{}|23A x x =-≥，则U A _______________.【答案】()1,5-【解析】【分析】先利用绝对值不等式的解法化简集合A ，然后再根据全集求补集. 【详解】因为{}{|23|5A x x x x =-≥=≥或}1x ≤-，又因为全集U =R ，所以|15U A x x ，故答案为：()1,5-【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及绝对值不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为________ 【答案】18 【解析】【分析】根据每位同学都有两种选法，算出共有选法数，再得到周六没有同学参加活动，即3位同学都选了周日的选法数，代入古典概型概率公式求解.，【详解】每位同学都有两种选法，一共有2228⨯⨯=种选法，周六没有同学参加活动，即3位同学都选了周日，共有1种选法， 所以周六没有同学参加活动的概率为18. 故答案为：18 【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5.已知函数()g x 的图象与函数()()231xf x log =-的图象关于直线 ?y x =对称，则()3g =__________.【答案】2【解析】【分析】根据函数()g x 的图象与函数()()231x f x log =-的图象关于直线 ?y x =对称，则函数()g x 与函数()f x 互为反函数求解.【详解】令()()2313x f x log =-=， 解得2x =，因为函数()g x 的图象与函数()()231x f x log =-的图象关于直线 ?y x =对称， 所以()32g =.故答案为：2【点睛】本题主要考查互为反函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.设复数cos sin i z i αα=（i 为虚数单位），若z =tan2α=________. 【答案】1【解析】【分析】先利用行列式化简复数，再根据复数的模求解.【详解】因()cos cos sin sin i z i i ααααα==+-，又z =所以)()22cos sin 2ααα+-=， 所以22cos 1sin 20αα--=，即cos2sin 20αα-=，所以tan 21α=.故答案为：1【点睛】本题主要考查二阶行列式以及复数的模，三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7.若52ax ⎛ ⎝的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为________.【答案】12-【解析】【分析】先求得52ax ⎛+ ⎝的展开式的通项公式，再求得常数项，然后根据常数项为52-，建立方程求解.【详解】52ax ⎛ ⎝的展开式中的通项公式为：()2551052155r r r r r r r ax T C C a x ---+⎛⎫==， 令51002r -=，得4r =， 所以常数项为455T C a =， 因为常数项为52-， 所以45552T C a ==-， 12a =-. 故答案为：12- 【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =8c =，30A =︒，则 sin C =_______.【解析】【分析】根据b =8c =，30A =︒，由余弦定理解得a ，然后由正弦定理求解.【详解】因为b =8c =，30A =︒，所以由余弦定理得：2222cos 28=+-=a b c bc A ，解得a =由正弦定理得：18sin sin 7c A C a ⨯===.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.已知点()3,2A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅的最大值为____.【答案】16【解析】【分析】由P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，画出可行域，由32OA OP z x y ⋅==-，转化为3122y x z =-，平移直线32y x =，当直线在y 轴上的截距最小时，目标函数取得最大值. 【详解】由P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，画出可行域如图所示阴影部分：32OA OP z x y ⋅==-，转化为：3122y x z =-，平移直线32y x = 当直线经过点()6,1B 时，在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最大值，最大值为16故答案为：16【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10.已知1F 、2F 是椭圆(222:133x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212 ||||MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的长轴长为_______. 【答案】2323+【解析】【分析】由题意设直线为3y x =，代入22213x y a +=，求得2222223,11a a x y a a==++，根据1212 ||||MF MF MF MF +=-，得到212?||OM F F =，将M 的坐标代入求解. 【详解】设直线为3y x =，代入22213x y a += 解得2222223,11a a x y a a ==++， 因为1212 ||||MF MF MF MF +=-，所以212?||||OM F F =， 所以2222234411a a c a a ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭， 又因为2222,3a b c b =+= ，解得23a =+.所以椭圆C 的长轴长为故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB BC CA ====，PB =D 为BC 的中点，且PD =O 的体积为________.【解析】【分析】根据2PA AB BC CA ====，PB =PA AB ⊥，由PB =点D 为BC 的中点，利用勾股定理得到,PA AC PD BC ⊥⊥，从而PA ⊥平面ABC ，BC ⊥平面PAD ，平面PAD ⊥平面PBC ，过A 作AH PD ⊥，球心O 在AH 上，利用P ABC A PBC V V --=，解得AH =，在PBC 中，利用正弦定理得到12sin BC PH BPC =∠，然后在POH 中，由()222R PH AH R =+-求解.【详解】如图所示：因为2PA AB BC CA ====，22PB =所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥， 因为22PB =D 为BC 的中点，且7PD =所以2222PD DB PB PC +==，所以,PA AC PD BC ⊥⊥，所以PA ⊥平面ABC ，BC ⊥平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PBC ，过A 作AH PD ⊥，所以AH ⊥平面PBC ，所以球心O 在AH 上，因为P ABC A PBC V V --=，即11113232PA AB AC AH BC PD ⨯⨯=⨯⨯， 所以2217AH =， 在PBC 中，7sin sin 22sin cos BPC BPD BPD BPD ∠=∠=∠⋅∠=， 由正弦定理得：12sin 7BC PH BPC ==∠ 在POH 中，()222R PH AH R =+-， 解得21R =，所以球O的体积为334421282133327V R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查球有关的外接问题，找到球心的位置是关键，还考查了空间想象，逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题. 12.已知函数()51,18,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程()()f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围________.【答案】8,45⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先作出函数()f x 的图象，设()t f x =，则()f t a =恰有5个不同的实数根，根据函数图象，分0a < ，0a =， 01a <<， 1a = ，815a <≤，845a << ，4a = ，4a >讨论求解. 【详解】作出函数()f x 的图象如图所示：设()t f x =，则()f t a =恰有5个不同的实数根，当0a <时，()f t a =无解，不符合题意，当0a =时，()f t a =有唯一解，0t =，此时，()0f x =，解得0x =有一解，不符合题意， 当01a <<时，()f t a =有三解，1230,01,7t t t <<<>，此时，()1f x t =无解，()2f x t =有三解，()3f x t =无解，共三解，不符合题意，当1a =时，()f t a =有两解，455log 2,7t t ==，此时，()4f x t =有三解，()5f x t =无解，共三解，不符合题意， 当815a <≤时，()f t a =有两解，567log 21,47t t <<≤<，此时，()6f x t =有三解，()7f x t =有一解，共四解，不符合题意， 当845a <<时，()f t a =有两解，589log 21,14t t <<<<，此时，()8f x t =有三解，()9f x t =有两解，共五解，不符合题意，当4a =时，()f t a =有唯一解，1t =，此时，()1f x =有两解，不符合题意，当4a >时，()f t a =无解，不符合题意.综上：实数a 的取值范围是8,45⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：8,45⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，利用抛物线的定义得到52M p x +=求解.【详解】因为抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5， 所以52M p x +=， 所以4M x =.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位:2cm ）为（ ）A. 32B. 36C. 40D. 48【答案】A 【解析】 【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，底面是直角三角形，其中一条侧棱垂直于底面，垂足为较大锐角的顶点，然后利用三角形面积公式求解. 【详解】由三视图知该几何体的直观图如图所示：其中PA ⊥平面ABC ， AC BC ⊥， 则,PA BC PA AC A ⊥⋂=， 所以BC ⊥平面APC ， 所以BC PC ⊥所以四个面都是直角三角形 所以该几何体的表面积RtABCRtAPCRtPABRtPBCS S S S S =+++，111134345454322222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题主要考查三视图的应用以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题. 15.已知函数()()1062f x sin x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ）A. 142,3⎛⎤⎥⎝⎦B. 142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,63⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】由函数()()1062f x sin x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点，转化为方程162sin x πω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有两个根，则由11196266πωπππ<+≤求解.【详解】因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以+,6626x ππωππω⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭， 因为函数()()1062f x sin x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点， 即方程162sin x πω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有两个根， 所以11196266πωπππ<+≤， 解得1063ω<≤. 所以实数ω的取值范围为10,63⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质以及函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知,m n N +∈，若存在正整数(),1i j i j <<，使得i ma 、mn 、j na 成等差数列，则mn 的最小值为（ ） A. 16 B. 12C. 8D. 6【答案】C 【解析】 【分析】先由等比数列的基本运算得到通项，根据i ma 、mn 、j na 成等差数列，由等差数列的中项性质得到2222i j mn m n --=+，即211m n+≤，然后根据,m n N +∈讨论求解. 【详解】由11a =，且24323S S S +=， 整理得：342a a =， 所以2q，12n na ，因为i ma 、mn 、j na 成等差数列， 所以11222i j mn m n --=+， 所以2222i j mn m n --=+， 因为正整数(),1i j i j <<， 所以20,21i j -≥-≥，所以22222i j mn m n m n --=+≥+，所以211m n+≤， 当12m ≤≤时，211m n+≤不成立；当4,2m n ==或3,3m n ==时，211m n+≤成立；此时8mn =或9mn =， 当4n ≥时，120,1n m><，2m >，此时8mn >； 所以mn 的最小值为8. 故选：C.【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算以及不等式的性质，还考查了分类讨论的思想和化简变形，推理的能力，属于难题.三、解答题（本大题共5题，共141414161876++++=分） 17.已知四棱锥P ABC -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，且22PA AD AB ===，设E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图.（1）求证：//FH 平面PBD ；（2）求直线FH 与平面PBC 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）15arcsin 15【解析】 【分析】（1）连接CH ，延长交PD 于点K ，连接BK ，根据E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，易得//FH BK ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）建立空间直角坐标，求得FH 的坐标，平面PBC 一个法向量(),,n x y z =，代入公式sin FH n FH n FH nFH nθ⋅⋅==⋅⋅求解.【详解】（1）如图所示：连接CH ，延长交PD 于点K ，连接BK ， 因为设E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点， 所以H 为CK 的中点，所以//FH BK，又FH⊄平面PBD BK⊂平面PBD，所以//FH平面PBD；（2）建立如图所示直角坐标系则()()()()11131 1,0,0,1,2,0,1,1,0,0,0,2,,1,1,,2,0,,,22222B C F P E G H⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()1111,0,2,1,2,2,,,222PB PC FH⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭，设平面PBC一个法向量为：(),,n x y z=，则n PBn PC⎧⋅=⎨⋅=⎩，有20220x zx y z-=⎧⎨+-=⎩，令1z=，()2,0,1n=，设直线FH与平面PBC所成角为θ，所以1152sin153154FH n FH nFH n FH nθ⋅⋅====⋅⋅⋅，因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以15θ=.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.18.已知函数()431x f x a =-+（a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由;（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[]1,5x ∈，不等式()3x uf x 恒成立，求实数u 的最大值【答案】（1）2a =，奇函数，2a ≠，非奇非偶函数；理由见解析（2）3. 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求解.（2）当()f x 为奇函数时，2a =，()4231x f x =-+，将对任意的[]1,5x ∈，不等式()3x u f x 恒成立，转化为对任意的[]1,5x ∈，不等式423133x xx u ⋅≤-+⋅恒成立，令()()4416113232333x xx x x g x ⋅=⋅=⋅-++-++，利用双勾函数的性质求解.【详解】（1）若函数()f x 为奇函数， 则()()f x f x -=-， 即443131x x a a --=-+++，对x ∈R 恒成立，所以24a =， 解得2a =，又()()11,13f a f a =--=-，对任意实数a ，()()11f f ≠-，所以()f x 不可能为偶函数， 所以2a ≠时，函数()f x 是非奇非偶函数. （2）当()f x 为奇函数时，2a =，()4231xf x =-+， 因为对任意的[]1,5x ∈，不等式()3xuf x 恒成立， 所以对任意的[]1,5x ∈，不等式423133xxx u ⋅≤-+⋅恒成立，令()()232441613331xxx x g x =⋅=⋅-++-++， 令[]14,2443xt +∈=，因为462y t t+⋅-=，在[]4,244是增函数， 所以当4t =时，min 3y =，即()min 3g x =， 所以3u ≤，所以实数u 的最大值是3.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R 的圆内做一个关于圆心对称的“H 型”图形，“H ”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的32倍，设O 为圆心，2AOB α∠=，“H ”型图形的面积为S .（1）将AB 、AD 用R 、α表示，并将S 表示成α的函数；（2）为了突出“H ”型图形，设计时应使S 尽可能大，则当α为何值时，S 最大？并求出S 的最大值. 【答案】（1）2sin AB R α=，2cos sin 3AD R R αα=-；22162sin cos sin 33,0,3S R αααπα=-⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）12arctan 423πα=-时，2max 81316S R -=⎝⎭. 【解析】 【分析】 （1）设OM 交CD 于N ，根据2AOB α∠=，易得2sin AB R α=2cos sin 3AD OM ON R R αα=-=-，0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再由矩形的面积公式求解.（2）利用二倍角公式和辅助角公式转化函数为()2281316sin 292,tan 39S R R αϕϕ-==+，再利用正弦函数的值域求解. 【详解】（1）如图所示：设OM 交CD 于N ， 因为2AOB α∠=， 所以,0,2MOB παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭， 所以22sin ,cos ,sin 33BM R OM R ON BM R ααα====， 所以2sin AB R α=，2cos sin 3AD OM ON R R αα=-=-，因为0AD >，所以30tan 32α<<<0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 2221622sin cos sin ,033,33S AB AD AB AD R ααπαα=⨯⨯+⨯⨯=-⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）22162sin cos sin 33S R ααα⎛⎫ ⎪⎝-⎭=， 22162sin cos sin 33R ααα=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，2822sin 2cos 2333R αα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()2281316sin 292tan 39,R R αϕϕ=+-=， 因为0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,3παϕϕϕ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 所以22παϕ+=，即12arctan 423πα=-时，S 取得最大值2max 81316S R ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数的平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.设双曲线222:1x C y a-=的左顶点为D ，且以点D 为圆心的圆()()222:20D x y r r ++=>与双曲线C 分别相交于点A 、B ，如图所示.（1）求双曲线C 的方程；（2）求DA DB ⋅的最小值，并求出此时圆D 的方程；（3）设点P 为双曲线C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与x 轴相交于点M 、N ，求证：||||OM ON ⋅为定值（其中O 为坐标原点）.【答案】（1）2214x y -=；（2）13-，()221291x y ++=；（3）4. 【解析】 【分析】（1）由圆心为()2,0-，为双曲线的左顶点，解得2a =，得到双曲线C 的方程.（2）设()()11111,,,,0A x y B x y y ->，利用数量积运算得到2111345,24DA DB x x x ⋅=++<-，再利用二次函数的性质求解.（3）设()00,P x y ，得到直线PA 的方程为：()011101y y y y x x x x --=--，令0y =，得100101M x y x y x y y -=-，同理100101N x y x y x y y +=+，然后代入||||OM ON ⋅求解.【详解】（1）因为圆()()222:20D x y r r ++=>的圆心为()2,0-，且为左顶点， 所以2a =，所以双曲线C 的方程2214x y -=.（2）设()()11111,,,,0A x y B x y y ->， 因为点A 在双曲线上，所以221114x y =-，所以()()2111111132,2,45,24DA DB x y x y x x x ⋅=+⋅+-=++<-， 所以当183x =-，DA DB ⋅取得最小值13-，此时1y =，又点A 在圆上，所以2287112399r ⎛⎫-++=⎪⎝⎭=，所以圆D 的方程()221291x y ++=. （3）设()00,P x y ，则直线PA 的方程为：()011101y y y y x x x x --=--，令0y =，得100101M x y x y x y y -=-，同理100101N x y x y x y y +=+，又点A ，P 在双曲线上，所以()()222200114,411x y x y =+=+，所以()()()()2222222210100122222201001111004411||||444y y x y x y OM ON y y y y y y y y y y ---++⋅====---，所以||||OM ON ⋅为定值.【点睛】本题主要考查双曲线的方程和几何性质，圆的方程以及定值等问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.21.已知项数为*,(2)m m m ∈≥N 的数列{}n a 满足条件：①()*1,2,,n a n m ∈=N ；②12n a a a <<<；若数列{}n b 满足()12* (1,2,,)1n n m a a a a b n m m +++-=∈=-N ，则称{}n b 为数列{}n a 的“关联数列.（1）数列1，5，9，13，17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”，若不存在，请说明理由；（2）若数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，证明：()111,2,,1n n a a m n m +-≥-=-；（3）已知数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，且11a =，2049m a =，求数列{}n a 项数m 的最小值与最大值.【答案】（1）存在关联数列：11，10，9，8，7，理由见详解；（2）证明见详解；（3）m 的最小值与最大值分别为2和33.【解析】【分析】（1）根据“关联数列”定义求解判断. （2）根据“关联数列”定义结合数列的单调性讨论即可.（3）根据数列{}n a 和求“关联数列”{}n b 的项的特征结合单调性分析出()212048m -≤，根据11204811m m a a b b N m m *--=∈--=求解. 【详解】（1）因为***12345145545911,10,9515151b N b N b N ---==∈==∈==∈---， **45451345178,7,5151b N b N --==∈==∈-- 所以数列1，5，9，13，17存在“关联数列”11，10，9，8，7. （2）因为数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，所以12n a a a <<<， 所以1101n n n n a a b b m ++--=<-， 所以{}n b 为递减数列，又因为n b N *∈，所以111n n n n a a b b N m *++--=-∈， 所以111n n a a m +-≥-， 所以()111,2,,1n n a a m n m +-≥-=-；（3）因为数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，所以任意1i j m ≤<≤，1j i i j a a b b m --=-， 因为12,...m i b b b b N *∈>>>，所以i j b N b *-∈， 11204811m m a a b b N m m *--=∈--=， 由（2）知11n n a a m +-≥-，又()1213212...1m m m a a a a a a m a a -=++-+≥----，所以()212048m -≤，解得46m ≤，因为20481N m *∈-， 所以233m ≤≤，所以m 的最小值与最大值分别为2和33.【点睛】本题主要考查数列新定义相关问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.。