北师大版七年级下册三角形全等的证明练习题以及答案

最新七年级下册三角形全等的证明
1、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分角BAD，CE垂直AB 于E，
且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BE
A

B
D

C
E
1
2

]
\
2、已知，如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE。求证：
AF=CE。

，
,

F
E
A C @ B
3、已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝AE。求证：BE＝
CD。

（

A
\
D
C

B
4、如图，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，请你从下面三个条件
中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。
① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF
]

)
：

F
E
D C

B
5、如图，△ABC中，AB=AC，过A作GE∥BC，角平分线BD、CF交
于点H，它们的延长线分别交GE于E、G，试在图中找出三对全等三
角形，并对其中一对给出证明。

、
*
《

F
E
D

B
￥

H
6、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝Ｂ
Ｅ。
（１）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出
证明。
你添加的条件是：________ ___
》
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：

______________（不再添加其他线段，不再标注或使用其
他字母，不必写出证明过程）

|
(
7、已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上一

点。求证：EB=ED。
D

A E C
B

;
'
8、已知：如图，AB、CD交于O点，CE已知：如图，△ABC和△A＇
B＇C＇中，∠BAC=∠B＇A＇C＇，∠B=∠B＇，AD、A＇D＇分别是∠
BAC、∠B＇A＇C＇的平分线，且AD=A＇D＇。求证：△ABC≌△A’B’C’。

]

A
B
C
D
E
F
O

A
B C D
E
F

A
B C D A' B'
C'
D'
1
2
3 4
11、已知：如图，AB=CD，AD=BC，O是AC中点，OE⊥AB于E，OF
⊥D于F。求证：OE=OF。
$

A B C D E
F
O

*
;
12、已知：如图，AC⊥OB，BD⊥OA，AC与BD交于E点，若OA=OB，
求证：AE=BE。

O
B

C
D

"
/
13、已知：如图，

AB
A
B

C
D
E
F

C
B
A

E
【
D

图1
N

A
B
C

!
E

M
N
图2

C
B
E

[
D
N

M
图3

B
C
D

[
E
F
G

A
B

C
D
E
%

#
24、如图，已知∠BAC=90º,AD⊥BC, ∠1=∠2,EF⊥BC, FM⊥AC,说明
FM=FD的理由

*
#
25、（1）如图，在正方形一边上取中点，并沿虚线剪开，用两块图
形拼一拼，能否拼出平行四边形、梯形或三角形画图解释你的判断.

(1)
F
D
E
C
B
A

(2)

G
F

E
D
CBA

（2）如图（2）E为正方形ABCD边BC的中点，F为DC的中点，BF
与AE有何关系请解释你的结论。

)

$
26、如图DCBA、、、四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个作

为条件，其余一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明．
①DACE,②CDAB,③ BFAE，④ FBGEAG

?
…
27、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠
ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH
与BE相交于点G。(1) BF=AC (2) CE=12BF (3)CE与BC的大小关系如何。

。
28、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同
一直线上，连结BD，AE，并延长AE交BD于F．求证：

（1）△ACE≌△BCD（2）直线AE与BD互相垂直
A
B
C
D
E
F
29、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥
DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。

F
D
A

合集下载

北师大版数学七年级下全等三角形证明题：

初中数学试卷
灿若寒星整理制作
全等三角形证明题：
1、已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,AC=DB,AE=DF,EA⊥AD,FD⊥AD,垂足分别是A、D.
求证:BE∥CF
2、求证：全等三角形的对应角平分线相等．
3、已知:如图,AB⊥CD,垂足为D,AD=BD．
求证:AC=BC．
4、已知：四边形ABCD中, AC、BD交于O点, AO=OC , BA⊥AC ,
DC⊥AC．垂足分别为A , C．
AD=BC
求证：
5、已知：如图，在AB、AC上各取一点，E、D，使AE=AD，连结BD，CE，BD与CE交于O，连结AO，∠1=∠2，
求证：∠B=∠C
6、已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.
求证:BD=CE
7、已知:如图,∠1=∠2,BE=CF,AC=DE,E、C在直线BF上．
求证:∠A=∠D
8、已知：如图, A、E、F、B在一条直线上, AC=BD , AE=BF , CF=DE．
求证：AD=BC．
9、如果两个三角形有两个角和第三个角的平分线对应相等,那么这两个三角
形全等．
10、已知：如图,AD＝AE,AB＝AC,BD、CE相交于O.
求证：OD＝OE．。

北师大版七年级下册数学第四章三角形含答案(综合题)

北师大版七年级下册数学第四章三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，一定全等的两个三角形是（）A.①与②B.①与③C.②与③D.以上答案都不对2、如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（）A.两点之间线段最短B.垂线段最短．C.两定确定一条直线D.三角形具有稳定性3、如图，△ABC≌△AED，点 E 在线段 BC 上，∠1=48º，则∠AED 的度数是（）A.66°B.65°C.62°D.60°4、下列命题中，真命题是（）A.周长相等的锐角三角形都全等B.周长相等的直角三角形都全等C.周长相等的钝角三角形都全等D.周长相等的等腰直角三角形都全等5、如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②四边形CGMH是矩形；③△EGM≌△MHA；④S△ABC +S△CDE≥S△ACE；⑤图中的相似三角形有10对．正确结论是（）A.①②③④B.①②③⑤C.①③④D.①③⑤6、下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A.∠A：∠B：∠C=3：4：5B.∠A ∠B= ∠CC.∠B=50°，∠C=40°D.a=5，b=12，c=137、以下列各组线段长为边，能组成三角形的是( )A.1cm，2cm，3cmB.2cm，3cm，8cmC.5cm，12cm，6cm D.4cm，6cm，9cm8、如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（）A. B. C. D.9、若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（）A.30°B.50°C.40°D.70°10、如图，中，于D，下列条件中：① ；②；③ ；④ ；⑤，⑥ ，一定能确定为直角三角形的条件的个数是（）A.1B.2C.3D.411、如图，，，，，则A.27°B.54°C.30°D.55°12、如图，在△ABC中，∠C=40 ° ，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于（）.A.140°B.210°C.220°D.320°13、已知m是整数，以4m＋5、2m－1、20－m这三个数作为同一个三角形三边的长，则满足条件的三角形个数有（）A.0个B.1个C.2个D.无数个14、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，点E在边AD上，AE＝1，过E、D两点的圆的圆心O在边AD的上方，直线BO交AD于点F，作DG⊥BO，垂足为G.当△ABF与△DFG全等时，⊙O的半径为（）A. B. C. D.15、如图所示，在中，，于，，则线段的长是（）A.3B.4C.8D.1二、填空题(共10题，共计30分)16、下列关于两个三角形全等的说法：①面积相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤腰相等的两个等腰三角形一定全等．其中说法正确的是________．（填写序号）17、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠ADE＝________°．18、如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点D在线段BE上．若，∠2＝30°，∠3＝55°则∠1＝________.19、已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，则x的取值范围是________ ．20、如图，中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有哪几对________21、如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是________．①BE＝CD；②∠BOD＝60º；③△BOD∽△COE．22、已知，如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD，若∠D=25°，则∠B的度数为________.23、若等腰三角形的两边长为3cm和7cm，则该等腰三角形的周长为________ cm.24、如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________ cm2.25、三角形的一边是5，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．27、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8。

【部编北师大版七年级数学下册】《探索三角形全等的条件》同步测试

《探索三角形全等的条件》同步测试一、选择题1. 如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，能用SAS判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°2.如图，AB=AC，添加下列条件，能用SAS判断△ABE≌△ACD的是（）A．∠B=∠C B．∠AEB=∠ADC C．AE=AD D．BE=DC3. 如图，已知E，F是AC上的两点，AE=CF，DF=BE，∠AFD=∠CEB，则下列不成立的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BC=DF D．DF∥BE4.如图，在△ABD中，AC⊥BD，点C是BD的中点，则下列结论错误的是（）A.AB=ADB.AB=BDC. ∠B=∠DD.AC平分∠BAD5.如图，FE=BC，DE=AB，∠B=∠E=40°，∠F=70°，则∠A=（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°6.在下列条件中，不能说明△ABC ≌△A ’B ’C ，，的是( )A.∠A ＝∠A ’，∠C ＝∠C ’，AC ＝A ’C ’ B .∠A ＝∠A ’，AB ＝A ’B ’，BC ＝B ’C ’ C.∠B ＝∠B ’，∠C ＝∠C ’，AB ＝A ’B ’ D .AB ＝A ’B ’， BC ＝B ’ C ’AC ＝A ’C ’ 7.在下列说法中，正确的有（）个．①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角，一边对应相等的两个三角形全等；④两边，一角对应相等的两个三角形全等.A.1B.2C.3D.4 8.下列说法正确的是（）A.两个周长相等的长方形全等B.两个周长相等的三角形全等 C .两个面积相等的长方形全等 D .两个周长相等的圆全等 9. 使两个直角三角形全等的条件是（） A . 一锐角对应相等 B . 两锐角对应相等 C . 一条边对应相等 D . 两条边对应相等10.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°11. 如图，△ABC ≌△CDA ,且AD ＝CB ，下列结论错误的是（） A.∠B ＝∠D B.∠CAB ＝∠ACD C.BC ＝CD D.AC ＝CAD12.已知:如图,AC =CD ,∠B =∠E =90°, AC ⊥CD ,则不正确的结论是 ( )A.∠A与∠D互为余角B.∠A=∠2C.△ABC≌△CEDD.∠1=∠213. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACBA BCD14.如图，已知AB∥CD，AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有（）A.1对B.2对C.3对D.4对15.已知：如图，点A，E，F，D在同一条直线上，AE＝DF，AB=CD，BF⊥AD，CE⊥AD，垂足分别为F，E，则△ABF≌△DCE的依据是（）A. SSSB. SASC. ASAD. HL二、填空题16．如图，MN与PQ相交于点O，MO=OP，QO=ON，∠M=65°，∠Q=30°，则∠P= ，∠N= .17．如图，已知AB＝AC=12 cm，AE=AF=7 cm，CE=10 cm，△ABF的周长是.18．如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使能用SAS说明△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为______．(答案不唯一，只需填一个)A BC DEF第15题图FEA19．如图, 已知：AB=AC , D是BC边的中点, 则∠1＋∠C=_____度．20．如图所示的方格中，连接AB，AC，则∠1+∠2＝____ ____度．三、解答题21．（2014•常州）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．22．（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．23．已知：如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F，BE=AC，DE=DC，BE和AC垂直吗？说明理由．24．如图，已知AB=AC，E，D分别是AB，AC的中点，且AF•⊥BD交BD的延长线于F，AG⊥CE交CE的延长线于G，试判断AF和AG的关系是否相等，并说明理由．FEA25．如图所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BD =CD ，那么BE 与CF 相等吗？为什么？第24题图D CFEB AGDFACEB第25题图答案与解析一、选择题1. 答案：B解析：∵AB=AD（已知），AC=AC（公共边）∴只需要BAC=∠DAC∴△ABE≌△ACD故选B.分析：本题考察了全等三角形的判定方法中的SAS，较为简单.2. 答案：C解析：∵AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角）∴只需要AE=AD∴△ABE≌△ACD故选C.分析：本题考察了全等三角形的判定方法中的SAS，较为简单.3. 答案：C解析：∵AE＝CF（已知），∴AE+EF＝EF+CF∴AF＝EC∵∠AFD=∠CEB∴△AFD≌△CEB（SAS）∴∠A=∠CAD=CBBC=DA∵∠AFD=∠CEB∴DF∥BE故选C.分析：本题综合考察了三角形的多个知识点，考察学生灵活运用所学知识处理问题的能力，是一道综合性很强的题目.4.答案：B解析：∵AC⊥BD，点C是BD的中点∴AB=AD（线段中垂线的性质）∴∠B=∠D（等边对等角）∴∠BAC=∠DAC（等腰三角形三线合一）∴AC平分∠BAD选B .分析：本题综合考察了三角形的多个知识点，考察学生灵活运用所学知识处理问题的能力，是一道综合性很强的题目.5. 答案：D解析：∵∠E=40°，∠F=70°∴∠D =70°∵FE=BCDE=AB∠B=∠E=40°∴△ABC≌△DEF（SAS）∴∠A=∠D =70°选D .分析：本题综合考察了三角形全等的判定，全等三角形的性质和三角形的内角和，考察学生灵活运用所学知识处理问题的能力，是一道综合性很强的题目.6. 答案：B解析：对于B，如果∠A＝∠A’＝90°，全等，但题目中没告诉是否为90°，故不一定全等.故选B .分析：本题综合考察了三角形全等的判定，考察学生灵活运用所学知识处理问题的能力，是一道综合性很强的题目.7. 答案：B解析：对于①，只能得到相似；对于②，运用SSS可以得到全等；对于③可以运用ASA 或AAS判定全等；对于④，当SAS时全等，但当SSA时不一定全等.故选B .分析：本题综合考察了三角形全等的判定，考察学生灵活运用所学知识处理问题的能力，是一道综合性很强的题目.8. 答案：D解析：对于两个图形，只有知道两个圆的半径相等，则这两个圆就全等，其余选项，皆不能得到全等，故选D .分析：本题综合考察了全等图形的判定，结合了上一节内容，考察学生灵活处理问题的能力.9. 答案：D解析：对于两个直角三角形，已经知道有一组角对应相等了，因此，运用HL定理可以判定两个直角三角形全等，选D .分析：本题综合考察了全等三角形的判定中的HL定理，内容简单.10.答案：B解析：由翻折得△PDE ≌△CDE ∴∠PDE ＝∠CDE ＝48°∵D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点， ∴D E ∥AB∴∠APD ＝∠PDE ＝48° ∴选B.分析：本题综合考察了全等三角形的性质，三角形的中位线定理和平行线的性质，考察知识点较多，是一道不错的题目.11.答案：C解析： ∵△ABC ≌△CDA ,且AD ＝CB ∴∠B ＝∠D ∠CAB ＝∠ACD AC ＝CA ∴选C.分析：本题综合考察了全等三角形的性质，考察知识点较多，是一道不错的题目. 12.答案：D 解析： ∵AC ⊥CD∴∠ACD =90° ∵∠1+∠2+∠ACD ＝180° ∴∠1+∠2=90° ∴选D.分析：本题综合考察了三角形全等的判定和全等三角形的性质，根据不同的视角，可以考察不同的知识点，是一道不错的题目.13. 答案：A 解析： ∵AC ＝AD BC ＝BD （已知） AB ＝AB∴△ABC ≌Rt △ABD （SSS ） ∴∠CAB =∠DAB ∠CBA =∠DBA ∴选A.分析：本题综合考察了三角形全等的判定和全等三角形的性质，是一道综合性很好的题目.14.答案：C解析：由原题所给条件，可以得到有以下三对三角形全等（1）△ABE≌△DCF（2）△ABF≌△DCE（3）△FBE≌△ECF故有3对，选C.分析：本题综合考察了三角形全等的多种判定方法，是一道综合性很好的题目.15. 答案：D解析：∵AE＝DF（已知），∴AE+EF＝EF+DF∴AF＝ED∵AB=CD，BF⊥AD，CE⊥AD∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）分析：本题考查了全等三角形的判定方法中的HL判定定理.二、填空题16．答案：65°| 30°解析：∵MO=OP，QO=ON（已知），∠MO Q=∠PO N（对项角相等）∴△MOQ≌△PON（SAS）∴∠P=∠M=65°，∠N=∠Q=30°分析：本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的性质，是一道综合性较好的题目. 17．答案：29cm解析：∵AB=AC，AE=AF=7（已知），∠A=∠A（公共角）∴△ABC≌△ACE（SAS）∴BF=CE=10 cm，∴△ABF的周长＝AB+BF+FA＝12+7+10＝29(cm)分析：本题考查了全等三角形的判定和三角形周长的计算，是一道较好的题目. 18．答案：AC=CD解析：∵∠BCE=∠ACD（已知），∴∠BCE +∠ACE =∠ACE +∠ACD ∴∠BCA =∠ECD ∵BC =EC ，AC =CD ∴△ABC ≌△DEC （SAS ）分析：本题考查了全等三角形的判定和角的计算，是一道较好的题目. 19．答案：90．解析：∵AB =AC , D 是BC 边的中点（已知）， ∴∠B ＝∠C ， AD ⊥BC ∴∠1＋∠B ＝90° ∴∠1+∠C ＝90度分析：本题考查了等腰三角形的性质和角的计算，是一道较好的题目. 20．答案：90．解析：∵由题知小方格边长相等（已知），∴AC 与AB 所在的两个直角三角形全等 ∵AC 是其所在直角三角形的斜边 ∴两个锐角互余 ∴易得∠1+∠2＝90度分析：本题考查了全等三角形的判定方法SAS ，以及数形结合，是一道较好的题目.三、解答题21．答案：答案见解析解析：∵C 是AB 的中点（已知）， ∴AC =CB （线段中点的定义）． ∵CD ∥BE （已知），∴∠ACD =∠B （两直线平行，同位角相等）．在△ACD 和△CBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.,BE CD CBE ACD CB AC ∴△ACD ≌△CBE （SAS ）．分析：本题考查了线段中点的性质以及全等三角形的判定方法，综合性比较强. 22．答案：答案见解析解析：∵∠BAC =∠DAE ， ∴∠BAC -BAE =∠DAE -∠BAE ，即∠BAD =∠CAE ，在△ABD 和△AEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.,AE AB EAC BAD AC AD∴△ABD ≌△AEC （SAS ）．分析：本题考查了角的和差计算以及全等三角形的判定方法，是一道综合性比较强的题目.需要在审题时细心研究，不急不躁.23．答案：BE ⊥AC .解析：在Rt △BDE 和 Rt △ACD 中， ⎩⎨⎧==DC DE AC BE ∴Rt △BDE ≌ Rt △ACD (HL )．∴∠BDE =∠CAD .∵AD 是△ABC 的高，∴∠CAD +∠C =90°.∴∠BDE +∠C =90°.∴∠BFD =90°.∴BE ⊥AC .分析：本题考查了余角的性质，垂直的判定以及全等三角形的判定方法，是一道综合性比较强的题目.需要在审题时细心研究，不急不躁.24．答案：AF =AG.解析：∵AB =AC ，E ，D 分别是AB ，AC 的中点，∴ AD =AE . ∴在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.,,AE AD CAE BAD AC AB∴△ABD ≌△ACE (SAS )．∴∠ABD ≌∠ACE .在△ABF 和△ACG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.,,AC AB ACG ABF G F∴△ABF ≌△ACG (AAS )．∴AF =AG .分析：本题考查了线段中点的性质应用以及多种全等三角形的判定方法，是一道综合性比较强的题目.需要在审题时细心研究，不急不躁.25．答案：BE =CF解析：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ， ∴ DE =DF .∴在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，⎩⎨⎧==.,DF DE CD BD ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ）.∴BE =CF .分析：本题考查了角平线的性质和全等三角形的判定方法。

【同步练习】北师大版2019年七年级数学下册探索三角形全等的条件同步练习(含答案)

北师大版七年级数学下册探索三角形全等的条件同步练习一、选择题1.如图，在△ABC和△DEF中，已有条件AB=DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEF．不能添加的一组条件是（）A.∠B=∠E,BC=EFB.∠A=∠D,BC=EFC.∠A=∠D,∠B=∠ED.BC=EF,AC=DF2.如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（）A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C3.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠EB．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠DD．∠B=∠E，∠A=∠D4.如图，AE=AF，AB=AC，EC与BF交于点O，∠A=60°，∠B=25°，则∠EOB的度数为（）A．60°B．70°C．75°D．85°5.如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠CB．AD=CBC．BE=DFD．AD∥BC6.已知△AB1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：1①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A.①正确,②错误B.①错误,②正确C.①,②都错误D.①,②都正确7.如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个D．4个8.如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE9.如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）A．330°B．315°C．310°D．320°10.如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题11.如图示,点B在AE上,∠CBE=∠DBE,要使ΔABC≌ΔABD, 还需添加一个条件是__________.（填上你认为适当的一个条件即可）12.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是．13.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，E、F分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三角形对．14.．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是15.如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由可得△AFC≌△AEB．16.如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC与B′C′边上的高．（只需填写一个你认为适当的条件）17.如图EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（填序号）．18.在平面直角坐标系中,点A（2,0），B（0,4），作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为 .三、解答题19.如图，在△AEC中，点D是EC上的一点，且AE=AD，AB=AC，∠1=∠2．求证：BD=EC．20.如图,在△ABC,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于F.求证：AF平分∠BAC.21.如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．22.如图,已知在四边形ABCD中,E是AC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4.求证：∠5=∠6．23.如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．24.已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.25.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．答案1.B.2.B3.C4.B5.B6.D7.B8.D9.B10.D11.答案为：BC=BD；12.答案为：AE=AB．13.答案为414.答案为：ASA15.答案为：SAS．16.添加∠C=∠C´，可以利用AAS判定其全等；还可添加AC=A′C′，∠CAD=∠C′A′D′等．17.答案为：①②③．18.答案为：（-2,0），（-2,4），（2,4）；19.证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD=EC．20.证明：∵BD⊥AC,CE⊥AB∴∠ADB＝∠AEC＝90∵∠BAD＝∠CAE,AB＝AC∴△ABD≌△ACE （AAS）∴AE＝AD∵AF＝AF∴△ADF≌△AEF （HL）∴∠BAF＝∠CAF21.证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）．22.证明：∵，∴△ADC≌△ABC（ASA）．∴DC=BC．又∵，∴△CED≌△CEB（SAS）．∴∠5=∠6．23.证明：如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH，在△ABC与△EHC中，∴△ABC≌△EHC（ASA），∴AB=HE，∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°∴∠HDE=∠B=∠H，∴DE=HE．∵AB=HE，∴AB=DE．24.解：（1）在△ABC中,∠BAC=90°，∴∠BAD＝90°-∠EAC。

北师大新版七年级下册《第4章三角形》2含解析版答案

北师大新版七年级下册《第4章三角形》一、选择题（共11小题）1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°2．如图，点C在AB的延长线上，∠A＝35°，∠DBC＝110°，则∠D的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．95°3．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠24．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD6．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断△FCE与△EDF全等（）A．∠A＝∠DFE B．BF＝CF C．DF∥AC D．∠C＝∠EDF7．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB8．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对9．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC10．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°11．如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC ≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F二、填空题（共12小题）12．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有对全等三角形．13．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：．14．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）15．如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是．16．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件，使△ABD ≌△CDB．（只需写一个）18．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF．19．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB ＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝．20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）21．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是（填出一个即可）．22．如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．23．如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件，使得△ABO≌△CDO．三、解答题（共7小题）24．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC与△DEC全等．25．如图，∠B＝∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．26．已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．27．如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）28．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：△BED≌△CFD．29．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE，求证：△ABD ≌△AEC．30．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由．北师大新版七年级下册《第4章三角形》参考答案与试题解析一、选择题（共11小题）1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，∴∠BDF＝∠C+∠E＝90°+30°＝120°，∵△BDF中，∠B＝45°，∠BDF＝120°，∴∠BFD＝180°﹣45°﹣120°＝15°．故选：A．2．如图，点C在AB的延长线上，∠A＝35°，∠DBC＝110°，则∠D的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．95°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠D＝∠DBC﹣∠A＝110°﹣35＝75°．故选：C．3．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行选择即可．【解答】解：A、当BE＝FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C、当AE＝CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BF＝ED，∴BE＝DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；D、当∠1＝∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；故选：C．4．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选：C．5．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC＝∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB＝CD、∠ACB＝∠DBC、∠A＝∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC＝BD后则不能．【解答】解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．6．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断△FCE与△EDF全等（）A．∠A＝∠DFE B．BF＝CF C．DF∥AC D．∠C＝∠EDF 【分析】根据三角形中位线的性质，可得∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，根据SAS，可判断B、C；根据三角形中位线的性质，可得∠CFE＝∠DEF，根据AAS，可判断D．【解答】解：A、∠A与∠DEF没关系，故A错误；B、BF＝CF，F是BC中点，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DF∥AC，DE∥BC，∴∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，在△CEF和△DFE中，∴△CEF≌△DFE（ASA），故B正确；C、点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠CFE＝∠DEF，∵DF∥AC，∴∠CEF＝∠DFE在△CEF和△DFE中，∴△CEF≌△DFE（ASA），故C正确；D、点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠CFE＝∠DEF，，∴△CEF≌△DFE（AAS），故D正确；故选：A．7．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．【解答】解：根据题意知，BC边为公共边．A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、由BO＝CO可以推知∠ACB＝∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选：D．8．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据已知条件“AB＝AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，∴CD＝BD，∠BDO＝∠CDO＝90°，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB；故选：D．9．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC【分析】由条件可得∠A＝∠D，结合AE＝DF，则还需要一边或一角，再结合选项可求得答案．【解答】解：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵AE＝DF，∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC＝BD，∴当AB＝CD时，可得AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD，故选：A．10．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC ≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；D、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：C．11．如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC ≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出答．【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，∴添加AC∥DF，得出∠ACB＝∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；当添加∠A＝∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；但添加AC＝DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确；故选：C．二、填空题（共12小题）12．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有 3 对全等三角形．【分析】由OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，得到PE＝PF，∠1＝∠2，证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出AP＝BP，于是证得△AOP≌△BOP，和R t△AOP ≌R t△BOP．【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，∴PE＝PF，∠1＝∠2，在△AOP与△BOP中，，∴△AOP≌△BOP，∴AP＝BP，在△EOP与△FOP中，，∴△EOP≌△FOP，在R t△AEP与R t△BFP中，，∴R t△AEP≌R t△BFP，∴图中有3对全等三角形，故答案为：3．13．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：△ADF≌△CBE．【分析】由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠DAC＝∠BCA，∵BE∥DF，∴∠DFC＝∠BEA，∴∠AFD＝∠BEC，在△ADF与CBE中，，∴△ADF≌△CBE（AAS），故答案为：△ADF≌△CBE．14．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是BC＝EF或∠BAC＝∠EDF．（只填一个即可）【分析】BC＝EF或∠BAC＝∠EDF，若BC＝EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC＝∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．【解答】解：若添加BC＝EF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；若添加∠BAC＝∠EDF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：BC＝EF或∠BAC＝∠EDF15．如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是DC＝BC或∠DAC＝∠BAC．【分析】添加DC＝BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC＝∠BAC，利用SAS 即可得到两三角形全等．【解答】解：添加条件为DC＝BC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；若添加条件为∠DAC＝∠BAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）．故答案为：DC＝BC或∠DAC＝∠BAC16．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是∠ABD ＝∠CBD或AD＝CD．．（只需写一个，不添加辅助线）【分析】由已知AB＝BC，及公共边BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个S 了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．【解答】解：答案不唯一．①∠ABD＝∠CBD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SAS）；②AD＝CD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件AB＝CD，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）【分析】先根据平行线的性质得∠ABD＝∠CDB，加上公共边BD，所以根据“SAS”判断△ABD≌△CDB时，可添加AB＝CD．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，而BD＝DB，∴当添加AB＝CD时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CDB．故答案为AB＝CD．18．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，请添加一个条件AC＝DF（或∠B＝∠DEF或AB∥DE），使△ABC≌△DEF．【分析】可选择利用SSS或SAS进行全等的判定，答案不唯一，写出一个符合条件的即可．【解答】解：①添加AC＝DF．∵BE＝CF，∴BC＝EF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．②添加∠B＝∠DEF．∵BE＝CF，∴BC＝EF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．③添加AB∥DE．∵BE＝CF，∴BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：AC＝DF（或∠B＝∠DEF或AB∥DE）．19．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB ＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝25°．【分析】由∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，可求得∠ACE的度数，又由三角形外角的性质，可得∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F，继而求得答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵∠EDF＝90°，∠E＝30°，∴∠F＝90°﹣∠E＝60°，∵∠ACE＝∠CDF+∠F，∠BCE＝40°，∴∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F＝45°+40°﹣60°＝25°．故答案为：25°．20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是BD＝CE．（只填一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD＝CE，根据SAS推出即可；也可以∠BAD＝∠CAE等．【解答】解：BD＝CE，理由是：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），故答案为：BD＝CE．21．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是AB＝CD（答案不唯一）（填出一个即可）．【分析】添加条件是AB＝CD，根据AAS推出两三角形全等即可．【解答】解：AB＝CD，理由是：∵在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△DOC（AAS），故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．22．如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AB＝DE（只需写一个，不添加辅助线）．【分析】求出BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】解：AB＝DE，理由是：∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，∴BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AB＝DE．23．如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件∠A＝∠C，使得△ABO≌△CDO．【分析】首先根据对顶角相等，可得∠AOB＝∠COD；然后根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，要使得△ABO≌△CDO，则只需∠A＝∠C即可．【解答】解：∵∠AOB、∠COD是对顶角，∴∠AOB＝∠COD，又∵AB＝CD，∴要使得△ABO≌△CDO，则只需添加条件：∠A＝∠C．（答案不唯一）故答案为：∠A＝∠C．（答案不唯一）三、解答题（共7小题）24．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC与△DEC全等．【分析】根据同角的余角相等可得到∠3＝∠5，结合条件可得到∠1＝∠D，再加上BC＝CE，可证得结论．【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠5，在△ACD中，∠ACD＝90°，∴∠2+∠D＝90°，∵∠BAE＝∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．25．如图，∠B＝∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．【分析】已知这两个三角形的一个边与一个角相等，所以再添加一个对应角相等即可．【解答】解：添加∠BAC＝∠DAC．理由如下：在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）．26．已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．【分析】根据中点定义求出AC＝CB，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD＝∠B，然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE．【解答】证明：∵C是AB的中点（已知），∴AC＝CB（线段中点的定义）．∵CD∥BE（已知），∴∠ACD＝∠B（两直线平行，同位角相等）．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）．27．如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）【分析】先求出BC＝EF，添加条件AC＝DF，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】AC＝DF．证明：∵BF＝EC，∴BF﹣CF＝EC﹣CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）．28．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：△BED≌△CFD．【分析】首先根据AB＝AC可得∠B＝∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED＝∠CFD＝90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）．29．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE，求证：△ABD ≌△AEC．【分析】根据∠BAC＝∠DAE，可得∠BAD＝∠CAE，再根据全等的条件可得出结论．【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△AEC（SAS）．30．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由．【分析】根据∠BCE＝∠ACD＝90°，可得∠3＝∠5，又根据∠BAE＝∠1+∠2＝90°，∠2+∠D＝90°，可得∠1＝∠D，继而根据AAS可判定△ABC≌△DEC．【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠5，在△ACD中，∠ACD＝90°，∴∠2+∠D＝90°，∵∠BAE＝∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．。

北师大版七年级下册数学《全等三角形》难题(讲义)

例2在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( )A．1<AB<9 B．3<AB<13 C．5<AB<13 D．9<AB<13例3一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上(1)求证：AB⊥ED(2)若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明例5如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51°，求∠DFE的度数1．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC，B′C′边上的高，且AB=A′B′，AD=A′D ′，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件(只需要填写一个你认为适当的条件)2．如图，0A=0B，OC=OD，∠O=60°,∠C=25°,则∠BED等于4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a的度数为5．如图，已知0A=OB，OC=0D，下列结论中：①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠0，正确的是( ) A．①②B。

②③C．①③D．①②③6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠l=∠2=∠3，则DE的长等于( )．A：DC B．BC C．AB D．AE+AC7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有( )对A．5 B．6 C．7 D．88.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数11．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC=12．如图，已知AE平分∠BAC，BE上AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED=13．如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，给出三个论断：①DE=FE；②AE=CE；③FC∥AB，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出三个命题，其中正确命题的个数是14．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD的取值范围是15．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是( )A．1 B.2 C．3 D．417．考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有( )．A．4个B．3个C．2个D．1个18．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且1()2AE AB AD=+,求∠ABC+∠ADC的度数。

北师大版七年级下全等三角形专题训练

全等三角形复习【复习巩固】1.判断三角形全等的条件有：2.角边角和角角边的区别：3.判断三角形全等的一般思路：【分组练习】一.分别指出对应顶点，对应角，对应边。

再完成练习1.如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能说明△ABC≌△DEF,这个条件是( )A.∠A=∠D =EFC.∠ACB=∠F =DF变式1：如图，点A、C、D、B 四点共线，且AC=DB，∠A=∠B，∠E=∠F．求证：DE=CF．变式2：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．2.如图,已知∠ABC=∠BAD,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( )=BD B.∠CAB=∠DBA C.∠C=∠D =AD变式1：如图,AC与BD相交于点E,AD=BC,∠DAB=∠CBA.试说明:AC=BD.变式2：如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是（只填一个）．3．如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL变式1：如图，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS变式2：如图，∠1=∠2．（1）当BC=BD时，△ABC≌△ABD的依据是；（2）当∠3=∠4时，△ABC≌△ABD的依据是．变式3：在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC变式4：已知AB=AD给出下列条件：（1）AB=AC（2）∠CDA=∠BDADCFEBAG（3）∠CAD=∠BAD （4）∠B=∠D，若再添一个条件后，能使△ABD≌△ACD的共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.如图,点E,F在AC上,AD=BC,DF=BE,要使△ADF≌△CBE,还需要添加的一个条件是( )A.∠A=∠CB.∠D=∠B ∥BC ∥BE变式1：如图，已知AB∥CD，AE=CF，则下列条件中不一定能使△ABE≌△CDF的是（）A．AB=CD B．BE∥DF C．∠B=∠D D．BE=DF:变式2：如图，已知AE=DB，BC=EF，AC=DF，求证：（1）AC∥DF；（2）CB∥EF．5.如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )A.∠B=∠C =AE =CE =CD变式1：如图，已知AB＝AC=12 cm，AD=AE=7 cm，CD=10 cm，△ABE的周长是 .变式2：如图，AD=AE，∠C=∠B，∠CDB=55°，则∠AEB= ．变式3：如图,已知AB=AE,AC=AD,下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是( ):=ED B.∠BAD=∠EACC.∠B=∠ED.∠BAC=∠EAD变式4：如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,且CD=BE,△ADC与△AEB全等吗请说明理由.变式5：如图，已知AB=AC，E，D分别是AB，AC的中点，且AF•⊥BD交BD的延长线于F，AG⊥CE交CE的延长线于G，试判断AF和AG的关系是否相等，并说明理由．6.如图,AA',BB'表示两根长度相同的木条,若O是AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则容器的内径A'B'为( )cm cm cm cm7．如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD变式1：如图，AB∥CD，AD∥BC；则图中的全等三角形共有（）A．5对 B．4对 C．3对 D．2对7题变式1 变式2变式2：如图，AD=BC，DC=AB，AE=CF，找出图中的一对全等三角形，并说明你的理由。

北师大版七年级数学下册几何常见模型练习题(有答案)

全等三角形判定的三种类型已知一边一角型一次全等型1．已知，如图△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC．2．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF．求证：AD是△ABC的中线．两次全等型3．如图，已知，在四边形ABCD中，E是AC上一点，∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA．求证：∠DEC ＝∠BEC．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于F交BC于E．（1）求证：∠ABD＝∠CAE．（2）求证：∠ADB＝∠CDE．（3）直接写出BD、AE、ED之间满足的数量关系．已知两边型一次全等型5．如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，点C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．两次全等型6．如图所示，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点，求证：AE＝CE．7．如图：已知AE交BD于点C，∠DAC＝∠EBC＝∠BAC，AB＝AC．试说明：DC与BE有怎样的数量关系．已知两角型一次全等型8．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB＝OC．三角形中的四种常见说理类型说明相等关系1．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF．说明位置关系说明平行关系2．已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边三角形△PCE．求证：AE∥BC．说明垂直关系3．如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，求证：DG⊥EF．说明倍分关系说明角的倍分关系4．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并予以证明．说明线段的倍分关系5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE＝BE．（1）求∠C的度数．（2）求证：AH＝2BD．说明和、差关系6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD＝AC．线段垂直平分线与角平分线的应用类型典例例1．已知：如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）求线段DG的长．利用线段垂直平分线的性质求线段的长1．如图，已知AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．利用线段垂直平分线的性质求角的度数2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD．（1）若△ADC的周长为16，AB＝12，求△ABC的周长；（2）若AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠DAB＝2：5，求∠ADC的度数．利用线段垂直平分线的性质解决实际问题3．某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？利用线段垂直平分线的性质说明线段的数量关系4．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线OM上，两直角边分别与OA，OB交于点C，D．（1）证明：PC＝PD．（2）若OP＝4，求OC+OD的长度．利用线段垂直平分线的性质说明线段的位置关系5．如图所示，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M，求证：AM ⊥EF．全等三角形判定的三种类型1．证明：如右图所示，∵BD＝DC，∴∠3＝∠4，又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC．2．证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠F＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD，∴BD＝CD，∴AD是△ABC的中线．3．证明：在△ACD和△ACB中，，∴△ACD≌△ACB，（ASA）∴BC＝CD，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（ASA），∴∠DEC＝∠BEC．4．（1）证明：∵AE⊥BD，∴∠AFB＝∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠BAF＝90°，∠BAF+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE．（2）证明：过C作CM⊥AC，交AE的延长线于M，则∠ACM＝90°＝∠BAC，∴CM∥AB，∴∠MCE＝∠ABC＝∠ACB，∵∠BAF＝∠ADB，∠ADB+∠F AD＝90°，∠ABD+∠BAF＝90°，∴∠ABD＝∠CAM，在△ABD和△CAM中，，∴△ABD≌△CAM（ASA），∴∠ADB＝∠M，AD＝CM，BD＝AM，∵D为AC中点，∴AD＝DC＝CM，在△CDE和△CME中，，∴△CDE≌△CME（SAS），∴∠M＝∠CDE，∴∠ADB＝∠CDE．（3）解：结论：BD＝AE+DE．理由：∵△CDE≌△CME，∴ME＝DE，∵AM＝AE+ME＝AE+DE，∵BD＝AM，∴BD＝AE+DE．5．（1）证明：∵BF＝CE，∴BF+FC＝FC+CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）解：结论：AB∥DE，AC∥DF．理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF．6．证明：在△ABD与△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，在△ABE与△CBE中，△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE．7．解：DC＝BE，∵∠EBC＝∠BAC，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠ABE＝∠EBC+∠ABC，∴∠ACD＝∠ABE，在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（ASA），∴DC＝BE．8．证明：∵∠BDC＝∠CEB＝90°，∴CD⊥AB，BE⊥AC，∵AO平分∠BAC，∴OD＝OE，在△BDO和△CEO中∴△BDO≌△CEO（ASA），∴OB＝OC．三角形中的四种常见说理类型1．证明：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠F AD，在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF．2、证明：∵△ABC与△PCE为等边三角形，∴AC＝BC，EC＝PC，∠BCA＝∠PCE＝60°，∴∠BCP＝∠ACE，在△BCP和△ACE中，，∴△CBP≌△CAE（SAS），∴∠CAE＝∠B＝60゜＝∠ACB，∴AE∥BC．3．证明：连ED，DF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BED和△CDF中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴DE＝DF，∵G是EF的中点，∴DG⊥EF．4．解：∠DBC＝∠BAC．设∠C＝β，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣2β，∠BAD＝∠ABC+∠C＝2β，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣2β，∴∠DBC＝90°﹣β，∴∠DBC＝∠BAC．5．（1）解：∵AE＝BE，BE⊥AC，∴∠BAE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣∠BAE）＝（180°﹣45°）＝67.5°；（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠1+∠C＝90°，∵BE⊥AC，∴∠2+∠C＝90°，∴∠1＝∠2，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH＝BC，∴AH＝2BD．6．证明：如图，在AC上截取AE＝AB，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴DE＝BD，∠AED＝∠ABC，∵∠AED＝∠C+∠CDE，∠ABC＝2∠C，∴∠CDE＝∠C，∴CE＝DE，∵AE+CE＝AC，∴AB+BD＝AC．线段垂直平分线与角平分线的应用类型例1．（1）证明：连接AD、BD，∵AD是∠BCA的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵DG是AB边的垂直平分线，∴AD＝DB，在Rt△AED和Rt△DFB中，，∴Rt△AED≌Rt△BFD（HL），∴AE＝BF；（2）由（1）得：CE＝CF＝＝7，∴AE＝EC﹣AC＝1，∵∠ECD＝∠EDC＝45°，∴DE＝CE＝7，由题意可得：AG＝BG＝5，∴AD2＝AE2+DE2＝50，∴DG2＝AD2﹣AG2＝25，∴DG＝5．1．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+BD+AD＝AC+AB，由题意得，，解得．∴AB和AC的长分别为8.5cm，5.5cm．2．解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，又∵△ADC的周长为16，∴AD+CD+AC＝16，即BD+CD+AC＝BC+AC＝16，又AB＝12，∴AB+BC+AC＝16+12＝28，则△ABC的周长为28；（2）∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠ABD，∵∠CAD：∠DAB＝2：5，设一份为x，即∠CAD＝2x，∠DAB＝∠ABD＝5x，又∠C＝90°，∴∠ABD+∠BAC＝90°，即2x+5x+5x＝90°，解得：x＝7.5°，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADC＝∠DAB+∠ABD＝5x+5x＝10x＝75°．3．解：如图，这所中学建在P点位置（点P为△ABC的外心）．连结AB、BC、AC，作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则点P到点A、B、C的距离相等．4．证明：（1）如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEC＝∠PFD＝90°．∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°．而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF在△PCE和△PDF中∴△PCE≌△PDF（AAS）∴PC＝PD；（2）∵∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，∴△POE与△POF为等腰直角三角形，∴OE＝PE＝PF＝OF，∵OP＝4，∴OE＝2，由（1）知△PCE≌△PDF ∴CE＝DF ∴OC+OD＝OE+OF＝2OE＝4．5．证明：∵DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵AD为三角形ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，而AD＝AD，∴△AED≌△AFD∴ED＝DF，AE＝AF∴△AEF为等腰三角形，AM为∠BAC的平分线∴AM是△AEF的高，即AM⊥EF．。

北师大版数学七年级下册解答题专题训练50题含答案

北师大版数学七年级下册解答题专题训练50题含答案51．如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，∠B ＝∠E ，∠A ＝∠D ，BF ＝CE ．求证：∠ABC ∠∠DEF ．【答案】见解析【分析】首先求出BC ＝EF ，进而利用全等三角形的判定定理AA S 证明两个三角形全等．【详解】证明：∠BF ＝EC ， ∠BF +CF ＝EC +CF ， ∠BC ＝EF ，在∠ABC 和∠DEF 中， B E BC A D EF ∠=∠⎧⎪⎨⎪==∠⎩∠， ∠∠ABC ∠∠DEF （AA S ）．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，熟练运用全等三角形的判定定理进行解答． 52．先化简，再求值．已知x 2﹣5x ﹣14=0，求（x ﹣1）（2x ﹣1）﹣（x+1）2+1的值．【答案】15【详解】试题分析：先根据整式的乘法计算，然后合并同类项，再整体代入化简即可．试题解析：解：（x ﹣1）（2x ﹣1）﹣（x+1）2+1 =2x 2﹣3x+1﹣x 2﹣2x ﹣1+1 =x 2﹣5x+1当x 2﹣5x ﹣14=0时，即x 2﹣5x=14，则原式=14+1=15．考点：整式的乘法，完全平方公式53．（1）先化简，再求值：(2x ＋3)(2x －3)－2x(x ＋1)－ (x －1)2，其中x=－1 （2）已知，．求的值．【答案】（1）-9；（2）11．【详解】试题分析：（1）首先运用平方差公式、乘法分配原则及完全平方公式进行乘法运算，去掉括号，然后合并同类项，再把x 的值代入求值即可．=；（2）把所给代数式进行幂的乘方、同底数幂的乘法运算，再把所给条件代入即可求值．试题解析：（1）原式=4x 2-9-2x 2-2x -x 2+2x -1 =x 2-10当x=-1时，原式=1-10=-9．(2)()()()33332423363·m n m n m n m n m n a b a b a b a b a b +-⋅⋅⋅=+- 333323()()?m n m n a b a b =+-当，时，原式=33+2-32×2=11．考点：1．整式的混合运算—化简求值；2．幂的乘方；3．同底数幂的乘法． 54．计算：（1）（2）22(2)()(3)5x y x y x y y +-+--，【答案】（1）9．（2）-2x 2+2xy ．【详解】试题分析：（1）平方差公式展开后去括号合并同类项即可；（2）利用完全平方公式、多项式乘以多项式展开后去括号合并同类项即可．试题解析：（1）原式=；原式=2222224433522x xy y x xy xy y y x xy =++-+-+-=-+考点：整式的乘法．55．探究规律：我们有可以直接应用的结论：若两条直线平行，那么在一条直线上任取一点，无论这点在直线的什么位置，这点到另一条直线的距离均相等．例如：如图1，两直线m n ∥，两点H 、T 在m 上，HE n ⊥于E ，TF n ⊥于F ，则HE TF =．如图2，已知直线m n ∥，A 、B 为直线n 上的两点，C 、D 为直线m 上的两点．(1)请写出图中面积相等的各对三角形：__________．(2)如果A 、B 、C 为三个定点，点D 在m 上移动，那么无论D 点移动到任何位置总有：_______与ABC 的面积相等；理由是：___________．【答案】(1)ABC 和ABD △，DCA △和DCB △，ACO △和DBO (2) ABD △ 同底等高的两个三角形，面积相等【分析】（1）写出面积相等的各对三角形，我们拿ABC 与ABD △为例：两个三角形用公共边AB 为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等，其它对分析类似；（2）根据同底等高的两个三角形的面积相等，可以得出结论．【详解】（1）有三对分别是：ABC 和ABD △，DCA △和DCB △，ACO △和DBO ，分析如下：ABC 和ABD △，两个三角形用公共边AB 为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等；DCA △和DCB △，两个三角形以CD 为底，高相等，即面积相等；ACO △和DBO ，根据DCA △和DCB △面积相等，两个三角形同时减去CDO ，得ACO△和DBO 面积相等．故答案为：ABC 和ABD △，DCA △和DCB △，ACO △和DBO ；（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点D 在m 上移动，那么无论D 点移动到任何位置总有：ABD △与ABC 的面积相等，理由是：同底等高的两个三角形，面积相等；分析如下：ABD △与ABC 同底，点D 在m 上移动，那么无论D 点移动到任何位置，点D 到另一条直线的距离相等，使得这两个三角形是：同底等高的两个三角形，面积相等．故答案为：ABD △，同底等高的两个三角形，面积相等【点睛】本题考查平行线间的距离处处相等，解题的关键是读懂题意，答案全面． 56．如图，AB∠CD ，EM 是∠AMF 的平分线，NF 是∠CNE 的平分线，EN ，MF 交于点O.（1）若∠AMF=50°，∠CNE=40°，∠E= °，∠F= °，∠MON= °；（2）指出∠E，∠F与∠MON之间存在的等量关系，并证明．57．已知（x －y ）·（x －y ）3·（x －y ）m =（x －y ）12，求（4m 2+2m+1）－2（2m 2－m －5）的值．【答案】43【详解】试题解析：313412()()()()()()m m m x y x y x y x y x y x y +++⋅⋅===－－－－－－， 4128m m ∴+==，．22(421)2(25),m m m m ++--- 22421(4210),m m m m =++---224214210,411.m m m m m =++-++=+当8m =时，原式481143.=⨯+= 58．计算：(1)022*********(23)()()(4)24---+⨯-； (2) 432105222()(2)a a a a a -+-÷；点睛：本题主要考查整式的混合运算、负整数指数幂和零指数幂的知识点，熟练掌握实数以内的各种运算按法则，是解题的关键．59．已知：如图，BC ，AD 分别垂直于OA ，OB ，BC 和AD 相交于点E ，且OE 平分∠AOB ，已知CE ＝3 cm ，∠A ＝30°，试求EB 的长．【答案】6 cm.【详解】【分析】由角平分线的性质可得CE=DE ，然后利用ASA 证明∠ACE∠∠BDE ，进而可得AE=BE ，根据直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半可求得AE 长，继而可得BE 长.【详解】∠BC ，AD 分别垂直于OA ，OB ，OE 平分∠AOB ，∠CE ＝DE ，在∠ACE 和∠BDE 中， 90AEC BEDCE DEACE BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∠∠ACE∠∠BDE(ASA)， ∠AE ＝BE，∠CE ＝3 cm ，∠A ＝30°， ∠AE ＝2CE ＝2×3＝6(cm)， ∠EB ＝6 cm.【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等，结合图形熟练应用相关的性质和定理是解题的关键. 60．我们规定一种运算：a b ad bc c d=-．例如242534235=⨯-⨯=-，35935x x -=+．按照这个规定，当x 取何值时12021x x x x ++=-+．61．先化简，再求值：()()()()2233322x y x x y x y x y +++-+-，其中x =1，y =-2 【答案】2232110x xy y ++，1【分析】先根据整式的运算法则把所给代数式化简，再把x 和y 的值代入计算．【详解】解：原式=4x 2+12xy +9y 2+3x 2+9xy -4x 2+y 2 =3x 2+21xy +10y 2 当x =1，y =-2时原式=3-42+40=1．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算． 62．如图所示，11//,,44AB CD EAF EAB ECF ECD ∠=∠∠=∠.求证：34AFC AEC ∠=∠【答案】详见解析【分析】连接AC ，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），求出∠AEC=4（x°+y°），∠AFC═3（x°+y°），即可得出答案．【详解】证明：连接AC ，63．如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点.BF CE ⊥于点F ，交CD 于点G ，AH CE ⊥的延长线于点H ，交CD 的延长线于点M .（1）求证：AE CG =；（2）求证：222ABCBF AH S+=.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）是一线三等角模型，一线三等角必有全等，第一问很容易求出来；（2）利用第一问的结论和勾股定理，第二问也很容易求出来. 【详解】证明：（1）∠AC BC =，D 为AB 中点 ∠CD 平分ACB ∠∠45BCD ACD CAB ∠=∠=∠=︒ ∠90CBF BCF ACE BCF ∠+∠=∠+∠=︒ ∠CBF ACE ∠=∠ 在ACE △和CBG 中ACE CBG AC CBCAE BCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠()ACE CBG ASA ≅ ∠AE CG =（2）在ACH 和CBF 中ACH CBF AHC CFB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ACH CBF AAS ≅ ∠CH BF = ∠222CH AH AC += ∠222BF AH AC += ∠AC CB = ∠22ACBAC AC CB S == 所以222ACBBF AH S+=【点睛】掌握一线三等角模型是解题的关键.64．化简求值：已知x ，y 满足：x 2+y 2﹣4x +6y +13＝0．求代数式[（3x ﹣y ）2﹣4（2x +y ）（x ﹣y ）﹣（x ﹣3y ）（x +3y ）]÷（﹣12y ）的值．【答案】﹣28y +4x ，92．【分析】先把已知方程转化成两个非负数的和，利用分负数的性质求出x 、y 的值，再根据65．如图，已知点B ，C ，F ，E 在同一直线上，12∠=∠，BC EF =，//AB DE .求证：ABC DEF ∆≅∆.【答案】见解析【分析】由//AB DE 可得∠B=∠E ，然后根据“ASA”即可证明ABC DEF ∆≅∆．【详解】∠//AB DE ， ∠∠B=∠E ，在∠ABC 和∠DEF 中， ∠∠B=∠E ，BC EF =，12∠=∠，∠ABC DEF ∆≅∆．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）是解题的关键．66．如图，等边ABC 中，AO 是BAC ∠的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边CDE ，连接BE ．（1）求证：AD BE =；（2）已知8AC =，求点C 到BE 之间的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）4.【分析】（1）由条件结合等边三角形的性质通过“边角边”可证明∠ACD∠∠BCE ，可得AD=BE ；（2）由（1）的结论可知C 到BE 的距离和C 到AD 的距离相等，可求得C 到BE 的距离．【详解】（1）证明：∠∠ABC 和∠CDE 为等边三角形，∠CD=CE ，AC=BC ，∠ACB=∠DCE=60°，∠∠ACD=∠BCE ，在∠ACD 和∠BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACD∠∠BCE （SAS ），∠AD=BE ；（2）解：由（1）可知∠ACD∠∠BCE ，∠S △ACD =S △BCE ，设C 到BE 的距离为h ，则67．知识延展：三角形的一边和另一边的反向延长线组成的角叫三角形的外角，如∠ACD是三角形的外角．容易说明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，如图可得：∠ACD=∠A十∠B．请你用所学的知识和延展知识解决如下问题：(1)如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∠CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大小：(2)如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC 的大小；(3)如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠AEC、∠ADC、∠ABC之间是否存在某种等量关系？若存在，请你得出结论，说明理由；若不存在，请说明理由．是EFC的外角，∠+∠AEC∠-∠CFA如下图所示，设BC与是EFC的外角，∠+∠AEC68．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个n 边形()4n ≥木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？【答案】3根木条；()3n -根木条．【分析】要使六边形不变形，即需要在内部放入木条，使其变成多个三角形.寻找规律，从四边形需要一根，五边形需要两根，六边形需要三根，同理则n 边形需要多少很容易得出规律了.【详解】解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；要使一个n 边形木架不变形，至少再钉上()3n -根木条．【点睛】本题考查三角形的基本概念以及探索规律的能力，熟记三角形具有稳定性是解答本题的关键.69．如图，ABC 与DCB △中，AC 与BD 交于点E ，且A D ∠=∠，ABC DCB ∠=∠．(1)求证：AE DE =；(2)当56AEB ∠=︒，求EBC ∠的度数．【答案】(1)见解析=︒5628题目主要考查全等三角形的判定和性质，70．已知∠ABC，点P在射线BA上，请根据“同位角相等，两直线平行”，利用直尺和圆规，过点P作直线PD平行于BC．（保留作图痕迹，不写作法．）【答案】作图见解析.【详解】试题分析：在AB的同侧作∠APD=∠B，则PD∠BC.作图如下：第一步：第二步：第三步：考点：作一个角等于已知角.71．阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值问题．解：∠x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∠（x+3）2≥0，∠（x+3）2﹣6≥﹣6，∠x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）探究：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）代数式﹣x2﹣2x有最（填“大”或“小”）值为；（3）应用：比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小：（4）如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是40m，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）﹣2，1；（2）大，1；（3）x2﹣1＞2x﹣3；（4）当花圃的宽为10m，长为20m 时花圃面积最大，最大面积为200m2【分析】（1）将原式配方即可；（2）将原式配方即可判断；（3）先做差，然后配方，判断配方后的式子大于0即可；（4）设矩形花圃的宽为x m，则长为（40-2x）m，根据矩形的面积公式列出函数关系式，再配方，根据函数的性质求最值．【详解】解：（1）x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1，故答案为：-2，1；（2）∠-x2-2x=-（x2+2x）=-（x2+2x+1-1）=-（x+1）2+1，又∠（x+1）2≥0，∠-（x+1）2≤0，∠-（x+1）2+1≤1，∠-x2-2x的最大值为1，故答案为：大，1；（3）x2-1-（2x-3）=x2-1-2x+3=x2-2x+2=（x-1）2+1，∠（x-1）2≥0，∠（x-1）2+1≥1＞0，∠x 2-1＞2x -3；（4）设矩形花圃的宽为x m ，则长为（40-2x ）m ，∠矩形的面积S =（40-2x ）x =-2x 2+40x =-2（x 2-20x ）=-2（x -10）2+200，∠（x -10）2≥0，∠-（x -10）2≤0，∠-（x -10）2+200≤200，∠当x =10时，S 有最大值200（m 2），此时，40-2x =20（m ），∠当花圃的宽为10m ，长为20m 时花圃面积最大，最大面积为200m 2．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．72．如图，平面直角坐标系中，已知点(1,4)A ，(1,1)B ，()3,2C ．(1)请作出ABC ；(2)请作出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；(3)求ABC 的面积．(3)ABC 的面积为【点睛】本题考查作图-轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．73．如图，DE∠AB于E，DF∠AC于F，若BD=CD，BE=CF.（1）写出图中所有的全等三角形.（2）求证：AD平分∠BAC．（3）在这个图中，找出两个三角形，满足两组边及一组非夹角对应相等，但这两个三角形不全等.【答案】（1）∠BED∠∠CFD，∠AED∠∠AFD；（2）证明见解析；（3）∠ABD和∠ACD.【分析】（1）利用HL可得∠BED∠∠CFD，根据全等三角形的性质可得DE=DF，利用HL 可得∠AED∠∠AFD，即可得答案；（2）根据∠AED∠∠AFD即可得∠EAD=∠FAD，即可的答案；（3）由BD=CD，AD=AD，∠EAD=∠FAD，∠ABD与∠ACD不全等即可得答案.【详解】（1）∠DE∠AB，DF∠AC∠BD=CD，BE=CF，∠∠BED∠∠CFD(HL)，∠DE=DF，又∠AD=AD，∠∠AED∠∠AFD，∠图中所有的全等三角形有∠BED∠∠CFD，∠AED∠∠AFD.（2）∠∠AED∠∠AFD，∠∠EAD=∠FAD ，∠AD 平分∠BAC.（3）∠∠AED∠∠AFD ，∠BED∠∠CFD ，∠S △AED =S △AFD ，S △BED ∠S △CFD ，∠S △ABD =S △AED -S △BED ，S △ACD =S △AFD +S △CFD ，∠∠ABD 与∠ACD 不全等∠BD=CD ，AD=AD ，∠EAD=∠FAD ，∠∠ABD 和∠ACD 满足两组边及一组非夹角对应相等，但这两个三角形不全等.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，全等三角形的对应边相等，对应角相等．注意：AAA 和SSA 不能判定两个三角形全等，两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握判定定理是解题关键. 74．阅读下列材料，并完成相应的任务：杨辉三角我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，给出了二项式()na b +的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．如图所示 ()1n a b += 1()a b a b +=+222()2a b a ab b +=+++=+++33223()33a b a a b ab b…任务：（1）通过观察，图中的（▲）中可填入的数字依为_______、_______、_______；（2）请直接出()4a b +的展开式：()4a b +=_______．（3）根据（2）中的规律，求421的值，写出计算过程．【答案】（1）4、6、4；（2）a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4；（3）214=194481．【分析】（1）从每行的数字个数和数字之和可得规律；；（2）根据杨辉三角规律，写出（a +b ）4的展开式即可；（3）把214变形为（20+1）4，利用（2）的结果计算即可．【详解】（1）通过观察，图中的（▲）中可填入的数字依次为4、6、4；（2）根据题意得：（a +b ）4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4；故答案为：（1）4、6、4；（2）a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4；（3）214=（20+1）4=204+4×203+6×202+4×20+1=160000+32000+2400+80+1=194481．【点睛】此题考查了完全平方公式，数学常识，以及规律型：数字的变化类，弄清杨辉三角中的数字排列规律是解本题的关键．75．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O 按如图方式叠放在一起．（1）如图（1）若∠BOD =35°，则∠AOC= ．如图（2）若∠BOD =35°，则∠AOC= ．（2）猜想∠AOC 与∠BOD 的数量关系，并结合图（1）说明理由．（3）三角尺AOB 不动，将三角尺COD 的OD 边与OA 边重合，然后绕点O 按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD （0°＜∠AOD ＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直．（填空）（3）当 ∠ 时，∠AOD = ．当 ∠ 时，∠AOD = ．当 ∠ 时，∠AOD = ．当 ∠ 时，∠AOD = ．【答案】（1）145，145；（2）详见解析；（3）详见解析.（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可计算出∠AOC 【分析】的度数；根据∠AOC=360°-∠BOD-∠AOB-∠COD可计算出∠AOC的度数;（2）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；（3）分别利用OD∠AB、CD∠OB、CD∠AB、OC∠AB分别求出即可．【详解】解：（1）若∠BOD=35°，∠∠AOB=∠COD=90°，∠∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+90°-35°=145°；如图2，若∠BOD=35°，则∠AOC=360°-∠BOD-∠AOB-∠COD=360°-35°-90°-90°=145°；（2）∠AOC与∠BOD互补．∠∠AOB=∠COD=90°，∠∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．∠∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，∠∠AOC+∠BOD=180°，即∠AOC与∠BOD互补．（3）当AB ∠ OD 时，∠AOD = 30° ．76．在前面学习中，一些乘法公式可以通过几何图形来进行验证，请结合下列两组图形回答问题：图∠说明：左侧图形中阴影部分由右侧阴影部分分割后拼接而成.图∠说明：边长为()a b +的正方形的面积分割成如图所示的四部分.（1）请结合图∠和图∠分别写出学过的两个乘法公式：图∠：____________，图∠：____________；（2）请利用上面的乘法公式计算：∠2201820192017-⨯；∠21001 【答案】（1）()()22a b a b a b +-=-，()2222a b a ab b +=++；（2）∠1；∠1002001. 【分析】（1）由图∠中阴影部分面积不变，即可得出乘法公式；依据图∠中大正方形的面积的表示方法，即可得出乘法公式；（2）∠依据平方差公式进行计算即可；∠依据完全平方公式进行计算即可．【详解】（1）由图∠可得：（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2；由图∠可得：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2．故答案为（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2；（a +b ）2=a 2+2ab +b 2；（2）∠20182﹣2019×2017=20182﹣（2018+1）×（2018﹣1）=20182﹣20182+1=1；∠10012=（1000+1）2=10002+2×1000×1+12=1002001．【点睛】本题考查了平方差公式以及完全平方式的几何背景和应用，正确表示出各部分面积是解题的关键．77．先化简，再求值：()()()()()12211ab ab ab ab ab +--+-÷-⎡⎤⎣⎦，其中32a =，43b =-.78．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．(1)根据下列所示图形写出一个代数恒等式；(2)利用(1)中的结论，求:当(x -100)(200-x)＝1995时，(2x -300)2的值；(3)已知正数a、b、c和m、n、l，满足a+m=b+n=c+l=k，试构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al+bm+cn<k2【答案】（1）4ab=（a+b）2-（a-b）2；（2）2020；（3）见解析【分析】（1）利用面积分割法，可求阴影部分面积，各部分用代数式表示即可；（2）令a=x-100，b=200-x，可得7980=（a+b）2-（a-b）2，代入化简可得7980=1002-（2x-300）2，即可得出结果；（3）利用面积分割法，可构造正方形，使其边长等于a+m=b+n=c+l=k（注意a≠b≠c，m≠n≠l），并且正方形里有边长是a、l；b、m；c、n的长方形，通过画成的图可发现，al+bm+cn＜k2．【详解】解：（1）由图可得，4ab=（a+b）2-（a-b）2；（2）∠(x-100)(200-x)＝1995，∠4(x-100)(200-x)＝7980，,令a=x-100，b=200-x，∠4ab=7980，∠4ab=（a+b）2-（a-b）2，∠7980=（a+b）2-（a-b）2=（x-100+200-x）2-（x-100-200+x）2=1002-（2x-300）2，∠(2x-300)2=1002-7980=2020；（3）构造一个边长为k的正方形，如图所示：显然a+m=b+n=c+l=k，根据图形可知，正方形内部3个矩形的面积和小于正方形的面积，故al+bm+cn＜k2．【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景及公式间的相互转化，利用几何图形推导代数恒等式，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系．79．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE．（1）如图∠，当∠BOC＝40°时，求∠DOE的度数；（2）如图∠，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化，说明理由；（3）当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时，画出图形，直接写出∠DOE的度数（不必写过程）．80．计算：（1）234()()()a a a -⋅-⋅-；（2）724()()x x x -⋅-⋅；（3）345()()()a b b a a b -⋅-⋅-；（4）214222n n ++⨯-⨯．【答案】（1）原式9a =；（2）原式13x =-；（3）原式12()a b =-；（4）原式232n +=⨯．【详解】试题分析：按照同底数幂的运算法则进行运算即可.试题解析：（1）原式()()2349a a a a =-⋅-⋅=．（2）原式72413x x x x =-⋅⋅=-．（3）原式()()()()34512a b a b a b a b =-⋅-⋅-=-．（4）原式2212222n n ++=⨯-⨯ 4222n n ++=- ()22221n +=- 232n +=⨯． 81．如图所示，分别延长ABC ∆的中线,BD CE 到点,F G ，使,E DF BD G CE ==. 求证：三点,,G A F 在一条直线上．【答案】详见解析【分析】易证∠AEG∠∠BEC ，∠ADF∠∠CDB ，根据全等三角形对应角、对应边相等的性质，可得∠F=∠CBD ，∠G=∠BCE ，继而可得AF∠BC ，AG∠BC ，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行即可得出结论．【详解】证明：在∠AEG 和∠BEC 中，EG=EC AEG=BEC AE=BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∠∠AEG∠∠BEC ，（SAS ）∠∠BCE=∠G ，∠AG∠BC ，在∠ADF 和∠CDB 中，DF=DB ADF=CDB AD=CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∠∠ADF∠∠CDB ，（SAS ）∠∠DBC=∠F ，∠AF∠BC ，∠AF ，AG 都经过点A ，∠G 、A 、F 在一条直线上【点睛】本题考查全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证∠AEG∠∠BEC 和∠AEG∠∠BEC 是解题的关键．也考查了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．82．如图，∠ABC 的三个顶点均在格点处．(1)过点B 画AC 的垂线BD ；(2)过点A 画BC 的平行线AE ．（请用黑水笔描清楚）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)过点B 作格点直角三角形与以AC 为斜边的直角格点三角形全等，即可画得；(2)过点A 画正方形的对角线，即可画得．（1）解：画图如下：（2）解：画图如下：【点睛】本题考查了格点作图，平行线与垂线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．83．计算：(1)()()222236ab a c ab --÷ (2)2202020192021-⨯（用简便方法计算）(3)()()228x y x y y x +-+-(4)()()()()()3323233b a b a a b a b a b a ⎡⎤--++--÷-⎣⎦．84．如图，已知直线EF分别与直线AB,CD相交于点O,M，射线OP在∠AOE的内部，且OP∠EF，垂足为O，∠AOP=30°．（1）若∠CME=120°，问AB和CD平行吗？为什么？（2）若直线AB∠CD,求∠EMD的度数．【答案】（1）平行，理由见解析；（2）60°.【分析】（1）结论：AB∠CD ，想办法证明∠AOE=∠CME=120°即可．（2）利用平行线的性质解决问题即可．【详解】（1）结论：AB∠CD ．理由：∠OP∠OE ，∠∠POE=90°，∠∠AOP=30°，∠∠AOE=120°，∠∠AME=120°，∠∠AOE=∠CME ，∠AB∠CD ．（2）∠AB∠CD ，∠∠EMD=∠EOB ，∠∠EOB=180°-∠1OE=60°，∠∠EMD=60°．【点睛】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 85．已知：a b 1+=，ab 2=-，且a b >，求22a b +，22a b -的值．【答案】3．【分析】利用完全平方公式计算即可求出所求．【详解】把a b 1+=两边平方得：2(a b)1+=，即22a b 2ab 1++=，将ab 2=-代入得：22a b 41+-=，即22a b 5+=；222(a b)a b 2ab 549∴-=+-=+=，a b >，即a b 0->，a b 3∴-=，则()()22a b a b a b 3-=+-=．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．86．计算：（1）()1201220182-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （2）()2366x y xy xy -÷87．如图，DE ∠AC ，BF ∠AC ，E ，F 是垂足，DE =BF ，AE =CF ．请写出DC 与AB 之间的关系，并证明你的结论．【答案】DC =AB 且 DC ∠AB ，证明见解析【分析】通过证明DCE BAF ∆≅∆可得结论.【详解】DC =AB 且 DC ∠AB ，证明如下：∵AE =CF ∠AE+EF =CF+EF 即AF =CE∵DE ∠AC ，BF ∠AC ∠∠DEC =900，∠BF A =900 ，从而∠DEC =∠BF A在DCE ∆与BAF ∆中DE BF DEC BFA CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()DCE BAF SAS ∆≅∆∠DC =AB,C A ∠=∠ 则DC ∠AB故DC =AB 且 DC ∠AB.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．88．如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D G ，是BA 延长线上一点，AH 平分GAC ∠．且AH ∠BC ，E 是AC 上一点，连接BE 并延长交AH 于点F ．(1)求证：AB AC ＝；(2)猜想并证明，当E 在AC 何处时，2AF BD ＝．【答案】(1)见解析(2)当E 在AC 的中点时，2AF BD ＝，证明见解析【分析】（1）AH ∠BC ，得到GAH ABC ∠=∠，HAC C ∠=∠；而AH 是角平分线，GAH HAC ∠=∠，从而证明ABC C ∠=∠，证得ABC ∆为等腰三角形，从而得到结论AB AC =．（2）ABC ∆为等腰三角形，AD BC ⊥，则2BC BD =，要得到题目中的结论2AF BD ＝，只有当BC AF =时即可，要证明BC AF =，可以通过构造全等三角形AEF CEB ∆≅∆，而此时AE CE =，此时E 为AC 中点，才有以上结论成立．【详解】（1）证明：∠AH 平分GAC ∠，∠GAF FAC ∠∠＝，∠AH BC ∥，∠GAF ABC ∠∠＝，FAC C ∠∠＝，∠ABC C ∠∠＝，∠AB AC ＝．（2）当E 在AC 的中点时，2AF BD ＝理由：∠AB AC ＝，AD BC ⊥，∠BD DC ＝，∠AF BC ∥，∠FAE C ∠∠＝∠AEF CEB ∠∠＝，AE EC ＝在AEF ∆和CEB ∆中，FAE C AE ECAEF CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠()AEF CEB ASA ∆≅∆，∠2AF BC BD ＝＝．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．89．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线．求证：2AB AC AD +>智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD 至E ，使DE AD =，∠AD 是BC 边上的中线，∠BD CD =在BDE ∆和CDA ∆中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠BDE CDA ∆∆≌（依据一），∠BE CA =在ABE ∆中，AB BE AE +>（依据二）， ∠2AB AC AD +>．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD ，使DE AD =，构造了一对全等三角形，将AB ，AC ，AD 转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务：(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：___________；依据2：___________．(2)如图3，610AB AC ==，，则AD 的取值范围是___________；(3)如图4，在图3的基础上，分别以AB 和AC 为边作等腰直角三角形，在Rt ABE ∆中，90BAE ∠=︒，AB AE =；Rt ACF ∆中，90CAF =︒∠，AC AF =．连接EF ．试探究EF 与AD 的数量关系，并说明理由．【答案】(1)SAS ，三角形任意两边之和大于第三边(2)28AD <<(3)2EF AD =，见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系解答即可；（2）延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ，证明BDE CDA ∆∆≌，得出BE CA =，再利用三角形三边关系可得出答案；（3）延长AD 至点M ，使DM AD =，连接CM ，证明()SAS ABD MCD ≌，得到AB MC ABD DCM =∠=∠，，推出AE CM AB CM =，∥，由180BAC ACM ︒∠+∠=，90BAE CAF ∠=∠=︒，推出EAF ACM ∠=∠，证明()SAS EAF MCA ≌，得到AM EF =，即可得到2EF AD =．【详解】（1）依据1：SAS ；依据2：三角形任意两边之和大于第三边；故答案为：SAS ，三角形任意两边之和大于第三边；（2）解：如图，延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ，∠AD 是BC 边上的中线，∠BD CD =在BDE ∆和CDA ∆中BD CDBDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠BDE CDA ∆∆≌（SAS ），∠BE CA =在ABE ∆中，AB BE AE +>，∠2AC AB AD AB AC -<<+，即1062610AD -<<+，∠28AD <<；故答案为：28AD <<；（3）EF 与AD 的数量关系为2EF AD =．理由如下：如图2，延长AD 至点M ，使DM AD =，连接CM ，∠AD 是中线，∠BD CD =，在ABD △和MCD △中，AD MD ADB MDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()SAS ABD MCD ≌，∠AB MC ABD DCM =∠=∠，，∠AE CM AB CM =，∥，∠180BAC ACM ︒∠+∠=，∠90BAE CAF ∠=∠=︒，∠180EAF BAC ∠+∠=︒，∠EAF ACM ∠=∠，又∠AF AC =，∠()SAS EAF MCA ≌，∠AM EF =，∠2AM AD =，∠2EF AD =．【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，不等式的性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．90．【问题发现】如图1，D 是△ABC 边AB 延长线上一点，求证:∠A+∠C=∠CBD ．小白同学的想法是，过点B 作 BE∠AC ，从而将∠A 和∠C 转移到∠CBD 处，使这三个角有公共顶点B ，请你按照小白的想法，完成解答；【问题解决】在上述问题的前提，,如图3，从点B 引一条射线与∠ACB 的角平分线交于点F ，且∠CBF=∠DBF ，探究∠A 与∠F 的数量关系．在小白想法的提示下，小黑同学也想通过作平行线将∠A 或∠F 的位置进行转移，使两角有公共顶点,，请你根据小黑的想法或者学过的知识解决此问题．91．如图∠AOB＝120°，把三角板60°的角的顶点放在O处．转动三角板（其中OC边始终在∠AOB内部），OE始终平分∠AOD．（1）【特殊发现】如图1，若OC边与OA边重合时，求出∠COE与∠BOD的度数．（2）【类比探究】如图2，当三角板绕O点旋转的过程中（其中OC边始终在∠AOB内部），∠COE与∠BOD的度数比是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由．（3）【拓展延伸】如图3，在转动三角板的过程中（其中OC边始终在∠AOB内部），若OP 平分∠COB，请画出图形，直接写出∠EOP的度数（无须证明）.92．如图，在△ABC中，CE为三角形的角平分线，AD∠CE于点F交BC于点D(1) 若∠BAC＝96°，∠B＝28°，直接写出∠BAD＝__________°(2) 若∠ACB＝2∠B∠ 求证：AB＝2CF∠ 若EF＝2，CF＝5，直接写出BDCD＝__________966234-=AH∠BC，交CE的延长线于DFC=90ASA），为直线m上两点．93．如图，直线m n，A B，为直线n上两点，C P，，，点P在直线m上移动，那么不论点P移动到何处，总有_____（1）如果固定点A B C与ABC的面积相等，理由是_________________．（2）如果P处在如图所示位置，请写出另外两对面积相等的三角形：∠_________________；∠_________________．△与PBC；∠OAC与OBP【答案】（1）PAB，同底等高；（2）∠PAC【分析】（1）根据m∠n证得m、n之间的距离处处相等，利用同底等高证得∠ABP与∠ABC 的面积相等；（2）利用（1）的等量减去等量∠AOB的方法即可得到答案.【详解】（1）∠m∠n，∠m与n之间的距离处处相等，∠根据同底等高得到∠ABP与∠ABC的面积相等，故答案为：PAB，同底等高；（2）∠∠PAB与∠ABC的面积相等，∠S△PAB-S△AOB=S△ABC-S△AOB，∠S△OAC=S△OBP；△与PBC的面积相等，根据同底等高得：PAC△与PBC，OAC与OBP.故答案为：PAC【点睛】此题考查平行线的性质：平行线间的距离处处相等，由此得到三角形面积间的等量关系.94．如图，在等腰Rt∠ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CBA ＝∠CAB ，AC ＝BC ．点D 在CB 的延长线上，BD ＝CB ．DF∠BC ，点E 在BC 的延长线上，EC ＝FD ．（1）如图1，若点E 、A 、F 三点共线，求证：∠FAB ＝∠FBA ；（2）如图2，若线段EF 与BA 的延长线交于点M ，求证：EM ＝FM ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）连接BF ，求出∠ACE∠∠BDF ，推出∠EAC ＝∠FBD ，再由∠FAB ＝180°﹣∠EAC ﹣∠CAB ，∠FBA ＝180°﹣∠FBD ﹣∠CBA ，由已知∠CAB ＝∠ABC 即可得结论；（2）如图2，连接FB ，EA ，延长BM ，分别过点E ，F 作BM 的垂线，垂足分别为P ，Q ，由（1）得∠ACE∠∠BDF ，AE ＝BF ，∠EAP ＝∠FBQ ，可推出∠EAP∠∠FBQ ，则PE ＝FQ ，再由∠EMP∠∠FMQC 即可得结论./【详解】证明：（1）连接BF ，∠AC ＝BC ，BC ＝BD ，∠AC ＝BD ，∠DF∠BC ，∠∠ACB ＝∠D ＝∠ACE ＝90°，在∠ACE 和∠BDF 中，∠ EC FD ACE D AC BD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，∠∠ACE∠∠BDF （SAS ），∠∠EAC ＝∠FBD ，∠∠FAB ＝180°﹣∠EAC ﹣∠CAB ，∠FBA ＝180°﹣∠FBD ﹣∠CBA ，∠∠CAB ＝∠ABC ，∠∠FAB ＝∠FBA ；（2）如图2，连接FB ，EA ，延长BM ，分别过点E ，F 作BM 的垂线，垂足分别为P ，Q ，同理得：∠EAC∠∠FBD ，∠AE ＝BF ，同理可知：∠EAP ＝∠FBQ ，在∠EAP 和∠FBQ 中，EPA FQB EAP FBQ EA FB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝， ∠∠EAP∠∠FBQ （AAS ），∠PE ＝FQ ，在∠EMP 和∠FMQ 中，EPM FQM EMP FMQ EP FQ ＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∠∠EMP∠∠FMQ （AAS ），∠EM ＝FM ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形.95．（1）2ab •（﹣14b 3）（2）利用整式乘法公式计算：（m +n ﹣3）（m +n +3）（3）先化简，再求值：（2xy ）2﹣4xy （xy ﹣1）+（8x 2y +4x ）÷4x ，其中x ＝﹣2，y ＝﹣12。