高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义课件新人教A版必修
(整理)向量加法运算及其几何意义.
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精品文档 2.2.1向量加法运算及其几何意义
一、学习背景：
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是解决几何问题的有力工具．向量引入后，把好多图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何的工具。在本章中，学生学习平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题。
二、教材分析
《普高中课程标准数学教科书（必修（4））》(人教（版）)。第二章2.2平面向量的线性运算的第一节“向量的加法及其几何意义”，教材的第2.1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的一些基本概念，向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，在本单元的教学中起着承前启后的作用，它在实际生活中也有广泛的应用，正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。
三、教学目标
知识目标：1、掌握向量的加法运算，理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。
能力目标：1、通过向量加法的运算，培养数形结合解决问题的能力；
2、通过将向量运算与数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，渗透类比的数学方法。 精品文档
精品文档 情感目标：通过师生、生生互动，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，培养学生勇于探索的精神和合作交流的科学态度。
四、重点与难点
重点：理解向量加法的意义；掌握向量加法三角形法则和平行四边形法则；
难点：理解向量的加法法则及其几何意义．
五、教学方法
启发探究、小组合作式教学和多媒体辅助教学法
六、教学过程
1、创设情境 引入课题
两个数的加法，我们早已学会。例如“1＋2=3”等，那么对于两个向量是否还能象数一样进行加法运算呢？
百度搜索（中国地图）/
比如大陆和台湾通航之前，从台湾到石家庄探亲,得先从台北到香港,再从香港到石家庄,这两次位移之和怎样运算？（教师在地图上一边问一边画箭头）如今通航后，我们可以直接从台湾到达石家庄，这次位移是什么？由此导入新课.
高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义备课素材
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
备课资料
备用习题
1.已知正方形ABCD的边长为1,AB=a,AC=c,BC=b,则|a+b+c|为( )
A.0 B.3 C.2 D.22
2.设a=(AB+CD)+(BC+DA),b是任一非零向量,则下列结论中正确的为…( )
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|.
A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤
3.设向量a,b都不是零向量:
(1)若向量a与b同向,则a+b与a的方向_________,且|a+b|_________|a|+|b|;
(2)若向量a与b反向,且|a|>|b|,则a+b与a的方向__________,且|a+b|_________|a|-|b|.
4.如图17所示,已知正方体ABCD—A1B1C1D1,
设AB=a,AD=b,1AA=c,则1AC=________.(用a、b、c表示)
图17
5.某人在静水中游泳,速度为43 km/h,如果他径直游向对岸,水流速度为4 km/h,则他实际以多大的速度沿何方向游?
6.在中心为O的正八边形A1A2…A8中,a0=18AA,ai=1iiAA(i=1,2,…,7),
bj=OAj(j=1,2,…,8),试化简a2+a5+b2+b5+b7.
7.已知△ABC为直角三角形,∠A=90°,AD⊥BC于D,
求证:|BC|2=|DB+DA|2+|DC+DA|2.
参考答案:
1.D 2.C 3.(1)相同 = (2)相同 = 4.a+b+c
5.如图18所示,设此人在静水中的游泳速度为OB,水流速度为OA,则OC=OA+OB为此人
广东省深圳市高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量
向量加法运算及其几何意义
知识梳理
1、向量加法的定义
求两个向量和的运算叫做向量的加法．
2、求向量和的方法
(1)三角形法则：
已知非零向量a、b，在平面上任取一点A，
作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和或和向量，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC .上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
(2)平行四边形法则：
已知两个不共线向量a，b，作OA＝a，OB＝b，以a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和，如图．这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝0＋a＝a.
3．向量加法的交换律和结合律
(1)向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；(2)向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
常考题型
题型一、求作向量的和
例1、如图，已知a，b，求作向量a＋b.
变式训练
如图，已知a、b、c，求作向量a＋b＋c.
题型二、向量加法运算
例2、化简或计算：
(1)CD＋BC＋AB； (2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.
变式训练
如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列三式：
(1)BC＋CE＋EA； (2)OE＋AB＋EA； (3)AB＋FE＋DC.
题型三、向量加法的应用
例3、轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
变式训练
雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s，现在有风，风使雨滴以433 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．
课堂小测
1、下列等式错误的是( )
A．a＋0＝0＋a＝a
B．AB＋BC＋AC＝0
C．AB＋BA＝0
D．CA＋AC＝MN＋NP＋PM
高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义互动课堂
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
互动课堂
疏导引导
1.向量求和的三角形法则
已知向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和向量，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.这种求两个向量和的方法，叫做向量加法的三角形法则.（如图2-2-1所示）
图2-2-1
疑难疏引 ①由向量求和的三角形法则可知，两个向量的和仍为向量.
②向量求和的三角形法则的本质是两个加数向量的首尾相接，和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.
③当两个向量共线（平行）时，向量加法的三角形法则同样适用.
2.向量加法的运算性质
（1）对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a.
(2)向量加法的交换律：a+b=b+a.
简证如下：
①若a、b不共线，作AB=a,BC=b,则A、B、C三点不共线，AC=a+b.
作AD=b，连结DC，（如图2-2-2），由于AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形.∴DCAB.
∴|DC|=|AB|=|a|,又DC与AB同向，
∴AB=DC，此时有b+a=AD+DC=AC,
即有a+b=b+a.
②当a与b共线且同向时，a+b及b+a都与a同向，且|a+b|=|a|+|b|；|b+a|=|b|+|a|.a+b与b+a同向，故有a+b=b+a.
③当a与b共线且反向时，不妨设|a|＞|b|,a+b与a同向，且|a+b|=|a|-|b|,b+a与a同向，且|b+a|=|a|-|b|.故a+b与b+a同向，因此a+b=b+a.
综合①②③知a+b=b+a.
图2-2-2 图2-2-3
(3)向量加法的结合律：（a+b）+c=a+(b+c).
验证如下：如图2-2-3.（a+b）+c=OB+BC=OC,a+(b+c)= OCACOA.
∴(a+b)+c=a+(b+c).
疑难疏引
向量加法的运算律同实数加法的运算律一致,都满足交换律与结合律.由于向量的加法具有这两个运算律,因此，对于多个向量加法的运算就可以按照任意的次序与组合来进行了.
高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.
1 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课堂导学
三点剖析
1.向量加法运算的意义
【例1】如右图所示，已知三个向量a、b、c，试用三角形法则和平行四边形法则作a+b+c.
思路分析：本题主要利用三角形法则和平行四边形法则求几个向量的和向量，只要按三角形法则和平行四边形法则作出即可.
解：用三角形法则作a+b+c:作OA=a,以A为始点作AB=b,再以B为始点，作BC=c，则OC=OB+BC=a+b+c（如下图（1）所示）
用平行四边形法则作a+b+c:作OA=a，OB=b，OC=c，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则OD=a+b.再以ODOD，OC为邻边作平行四边形ODEC，则OE=OD+OC=a+b+c（如下图（2）所示）
温馨提示
要求作三个向量的和，首先作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则和平行四边形法则.
【例2】 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如下图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）.
思路分析：本题用向量知识解决物理问题.由于速度是矢量，可以用向量表示速度，然后用向量加法运算合成速度即可.但要注意解决实际问题中的向量问题不仅要求出大小，而且要求出方向. 2
解：（1）如右图所示.AD表示船速，AB表示水速，以AD、AB为邻边作ABCD，则AC表示船实际航行的速度.
（2）在Rt△ABC中，|AB|=2，|BC|=5，
∴|AC|=2952||||2222BCAB≈5.4.
∵tan∠CAB=2.5,
由计算器得∠CAB≈70°.
答:船实际航行速度的大小约为5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角约为70°.
高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义知识巧解
1 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
疱工巧解牛
知识•巧学
一、向量的加法
求任意两个向量和的运算，叫做向量的加法，两个向量的和仍是向量.由于向量是自由平移的对两个向量进行求和的过程，可按以下两个法则进行.
1.三角形法则
已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做向量a、b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.
(1)利用向量加法的三角形法则求两个向量的和
如图2-2-1(1)、(2)、(3)中，AB=a，BC=b，则AB+BC=AC.
图2-2-1
图2-2-1的(1)、(2)、(3)中各有两个向量，只要把其中一个向量的起点平移，使之与第二个向量的终点重合，则从第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量，就是两个向量的和向量.
(2)向量加法的三角形法则适用的范围及应用
①三角形法则对于两个向量共线时也适用.对于零向量，课本规定a+0=0+a=a(a≠0)，我们可利用三角形法则，通过几何作图法作出a+0,0+a,a，观察结果，去认识规定的合理性.
图2-2-2
②任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的起点、终点即可，如：AB=AO+OB，如图2-2-2所示，这里的O点具有任意性.
学法一得 对于首尾相连的两个向量的和，等于以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量，这就是向量加法的三角形法则的几何意义.
记忆要诀 不管平面内的点O选在何处，对于首尾相连的两个向量的和向量，它的方向总是由第一个向量的起点指向第二个向量的终点.
二、平行四边形法则
1.以同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线AC就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 2
图2-2-3
2.用向量加法的平行四边形法则求两个向量的和时要注意以下几点：
(1)当两个向量共线时，不能用平行四边形法则求和，因为不可能以两平行向量为邻边作平行四边形，所以，平行四边形法则对于两个向量共线时是不适用的.
高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义课前引导素材 新人教A版
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课前导引
问题导入
一人从A点出发向东走了400 m到达B点；接着向东偏北45°走2200m到达C点；然后再向北走400 m到达D点,选择适当比列尺,用向量表示这个人的位移.
思路分析：如下图,一个单位表示100 m,则这个人的位移是AD.
由物理知识我们知道这个人的位移是由几个分位移AB、BC、CD的合位移，在物理上记作AD=AB+BC+CD.将这个问题抽象成数学知识即：向量AD等于向量AB、向量BC、向量CD的和，记作AD=AB+BC+CD，这就是我们这节课要研究的向量的加法.
知识预览
1．求两个向量和的运算叫做向量的加法
2．向量加法的运算法则有三角形法则和平行四边形法则.
3．对任一向量a和零向量规定0+a=a+0=a.
4．向量加法的交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
2019学年高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
1 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．化简PM→－PN→＋MN→所得的结果是( )
A.MP→ B.NP→
C．0 D.MN→
解析：PM→－PN→＋MN→＝NM→＋MN→＝0.
答案：C
2．在平行四边形ABCD中，AB→＋CA→＋BD→＝( )
A.AB→ B.BD→
C.BC→ D.CD→
解析：AB→＋CA→＋BD→＝(AB→＋BD→)＋CA→＝AD→＋CA→＝CA→＋AD→＝CD→.
答案：D
3．如图，在四边形ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，BC→＝c，则DC→等于(
)
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
解析：DC→＝AC→－AD→＝AB→＋BC→－AD→＝a＋c－b＝a－b＋c.
答案：A 2 4．在边长为1的正三角形ABC中，|AB→－BC→|的值为( )
A．1 B．2 C.32 D.3
解析：作菱形ABCD，
则|AB→－BC→|＝|AB→－AD→|＝|DB→|＝3.
答案：D
5.如图所示，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.AD→＋BE→＋CF→＝0
B.BD→－CF→＋DF→＝0
C.AD→＋CE→－CF→＝0
D.BD→－BE→－FC→＝0
解析：因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，
所以AD→＝DB→，CF→＝ED→，FC→＝DE→，FE→＝DB→，
所以AD→＋BE→＋CF→＝DB→＋BE→＋ED→＝0，故A成立．
BD→－CF→＋DF→＝BD→＋DF→－CF→＝BF→＋FC→＝BC→≠0，故B不成立．
AD→＋CE→－CF→＝AD→＋FE→＝AD→＋DB→＝AB→≠0，故C不成立．
BD→－BE→－FC→＝ED→－DE→＝ED→＋ED→≠0，故D不成立．
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义学案无答案新人教A版必修182
§2.2 平面向量的线性运算
2．2.1 向量加法运算及其几何意义
学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．
知识点一 向量加法的定义及其运算法则
分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3000N，F2＝2000N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．
思考1 从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？
答案 后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线OC→表示的力是OA→与OB→表示的力的合力．体现了向量的加法运算．
思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别运用了什么法则？
答案 三角形法则和平行四边形法则．
梳理 (1)向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 海阔天空专业文档
海阔天空专业文档 2 (2)向量求和的法则
向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面上任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC→就是a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．
知识点二 向量加法的运算律
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义课后集训
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高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义课后集训
编 辑：__________________
时 间：__________________
2.2.1 向量加法运算及其几何意义 教学资料范本
2 / 6 课后集训
基础达标
1.在四边形ABCD中，++等于（ ）
A. B. C.
D.
解析：++=（+）+=+=，故选C.
答案：C
2.在△ABC中，必有++等于（ ）
A.0 B.0 C.任一向量
D.与三角形形状有关
解析：++=+=0.故应选B.
答案：B
3.如右图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则+( )
A. B. C. D.
解析：由于D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴=则+=+=，故应选D.
答案：D
4.已知正方形ABCD的边长为1（如右图），=a,=c,=b,则|a+b+c|等于（ ）
A.0 B.3 C. D.
解析：如右图所示,a+b=c，
∴|a+b+c|=2|c|=.
∴应选D.
答案：D
5.如右图所示,O是四边形ABCD对角线的交点,若a+d=c+b则四边形ABCD形状为（
）
A.等腰梯形 B.菱形 C.平行四边形 D.矩形
解析：c+b=，a+d=d+a=
∴=.∴ABCD为平行四边形.
3 / 6 答案：C
6.（1）++=_______________;