吉林省长春市高三数学一模试卷
吉林省长春市高三数学一模试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共4题；共8分)
1. （2分）(2016·安庆模拟) 设双曲线的渐近线方程为，则a的值为（）
A . 4
B . 3
C . 2
D . 1
2. （2分）函数y=x2cosx（）的图象是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）下列四个命题，其中m，n，l为直线，α，β为平面
①m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β；
②设l是平面α内任意一条直线，且l∥β⇒α∥β；
③若α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；
④若α∥β，m⊂α⇒m∥β．
其中正确的是（）
A . ①②
B . ②③
C . ②④
D . ①②④
4. （2分）(2018·临川模拟) 已知函数，若方程在上有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共12题；共12分)
5. （1分） (2018高三上·北京月考) 函数的定义域是________．
6. （1分） (2018高三上·黑龙江期中) 已知，则 ________．
7. （1分）幂函数y=（m2﹣m+1）x5m﹣3在x∈（0，+∞）时为减函数，则m的值为________
8. （1分）(2019·普陀模拟) 若直线l经过抛物线C：的焦点且其一个方向向量为，则直线l的方程为________．
9. （1分） (2019高一上·兰州期末) 两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．
10. （1分） (2016高二上·浦城期中) 从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是男生或都是女生的概率等于________．
11. （1分）在二项式（﹣x2）4展开式中含x3项的系数是________．
12. （1分）(2018·河北模拟) 已知，则 ________．
13. （1分） (2018高二上·黑龙江期末) 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于________．
14. （1分）(2019·普陀模拟) 某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的照此推算，此人2019年的年薪为________万元(结果精确到 )
15. （1分）(2017·诸城模拟) 在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=60°， =t （0≤t≤1），且• =﹣1，则t=________．
16. （1分） (2016高三上·上海期中) 函数f（x）= 的反函数f﹣1（x）=________．
三、解答题 (共5题；共60分)
17. （10分）(2017·镇海模拟) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b= sinB，且满足tanA+tanC=
．
（Ⅰ）求角C和边c的大小；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
18. （10分） (2018高二上·江苏月考) 已知椭圆过点，右顶点为点．
（1）若直线与椭圆相交于点两点（不是左、右顶点），且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；
（2）是椭圆的两个动点，若直线的斜率与的斜率互为相反数，试判断直线EF的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由．
19. （10分）如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=AB，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求MC与平面EAC所成的角．
20. （15分） (2016高二上·弋阳期中) 设不等式组所表示的平面区域为Dn ，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点）的个数为f（n）（n∈N*）．
（1）求f（1）、f（2）的值及f（n）的表达式；
（2）设bn=2nf（n），Sn为{bn}的前n项和，求Sn；
（3）记，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围．
21. （15分） (2017高一上·成都期末) 若在定义域内存在实数x0使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立则称函数f（x）有“溜点x0”
（1）
若函数在（0，1）上有“溜点”，求实数m的取值范围；
（2）
若函数f（x）=lg（）在（0，1）上有“溜点”，求实数a的取值范围．
参考答案一、单选题 (共4题；共8分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
二、填空题 (共12题；共12分)
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共5题；共60分) 17-1、
18-1、18-2、
19-1、
20-1、20-2、
20-3、
21-1、
21-2、
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吉林省长春市2020届高三数学一模考试试题文(含解析)
【分析】
分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系.
【详解】因为 a
(1)3 3
(1)0 3
1
，
1
33
30
1
，
log
1 3
3
log1 1
3
0
，
所以 0 a 1,b 1, c 0 ，∴ c a b ，
故选：C. 【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用集合间的关系推出 p、q 之间的关系.
【详解】{x | x 1} Ý {x | x 2} ，则 p 是 q的必要不充分条件,
故选：B.
【点睛】 p 成立的对象构成的集合为 A ， q成立的对象构成的集合为 B ： p 是 q的充分不必要条件则有： A Ü B ；
故选：D. 【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意 图，这样在判断的时候能更加直观.
9.函数 y 2 sin( x ) ( 0,| | ) 的图象（部分图象如图所示） ，则其解析式为( ) 2
A.
f
(x)
2
sin(2x
)
6
C. f (x) 2sin(4x ) 6
∴ A B {x | x 3, 或 x ≤ -2}
故选：B. 【点睛】本题考查集合间的基本运算，难度容易，求解的时候注意等号是否能取到的问题.
3.已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， S5 15 ， a4 5 ，则 S9 ( )
A. 45
B. 63
C. 54
2023届吉林省长春市第二中学高三上学期第一次调研测试数学试题(解析版)
2023届吉林省长春市第二中学高三上学期第一次调研测试数学试题一、单选题1．若集合{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，则（ ） A ．M N ⊆ B ．{}4M N =C ．M N ⊇D ．{}26|MN x x =-<<【答案】B【分析】利用集合的交并运算求M N ⋂、M N ⋃，注意,M N 是否存在包含关系，即可得答案. 【详解】因为{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤， 所以{}4M N =，{}|26M N x x =-<≤，,M N 相互没有包含关系.故选：B2．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[0,2)x ∈时，()23,012,12x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<<⎩，则5()2f -=（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．12D ．14【答案】D【分析】根据题意，化简得到551()(3)()222f f f -=-+=，代入即可求解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[0,2)x ∈时，()23,012,12x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<<⎩，则2551111()(3)()3()222224f f f -=-+==⨯-=.故选：D.3．若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ）A ．2425B ．725-C ．2425-D ．725【答案】B【分析】结合已知条件，利用sin α+cos α与2sin αcos α的关系即可求值.【详解】)33cos cos sin cos sin455πααααα⎛⎫-=+=⇒+ ⎪⎝⎭1871sin2sin22525αα⇒+=⇒=-. 故选：B.4．玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）A ．21600cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm【答案】D【分析】根据弧长公式由条件求出扇形的圆心角和半径，再由面积公式求出扇面面积. 【详解】如图，设AOB α∠=，cm OB r =，由题图及弧长公式可得()80,40160,r r αα=⎧⎨+=⎩解得2,40.r α=⎧⎨=⎩ 设扇形COD 、扇形AOB 的面积分别为1S ，2S ，则该玉雕壁画的扇面面积1211160(4040)804022S S S =-=⨯⨯+-⨯⨯=()24800cm ．故选：D.5．用有机溶剂萃取水溶液中的溶质是化学中进行物质分离与提纯的一种重要方法.根据能斯特分配定律，一次萃取后，溶质在有机溶剂和水中的物质的量浓度(单位：mol/L )之比为常数K ，并称K 为该溶质在水和有机溶剂中的分配常数.现用一定体积的有机溶剂进行n 次萃取，每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的1010K+倍，溶质在水溶液中原始的物质的量浓度为 1.0mol/L ，该溶质在水和有机溶剂中的分配常数为20，则至少经过几次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于5 1.010mol/L -⨯？（ ）(假设萃取过程中水溶液的体积不变.参考数据：ln3 1.099≈，ln10 2.303≈.)A ．9次B ．10次C ．11次D ．12次【答案】C【分析】审题确定常数，分配常数20K =，根据每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的1010K+倍，建立函数模型与不等关系，利用参考数据求解即可. 【详解】由题意知，20K =，则101103K =+， 设经过n 次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于5 1.010mol/L -⨯，则51()103n -<，解得513log 10n ->， 由换底公式得5513ln105ln105 2.303log 1010.481ln 3 1.099ln3--⨯===≈. 则至少经过11次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于5 1.010mol/L -⨯.故选：C.【点睛】解决实际应用问题的一般步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.6．若π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，则下列结论正确的是（ ） A ．π2αβ+=B ．π22βα+=C ．π22αβ-= D ．π2αβ-=【答案】C【分析】由π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，及二倍角的余弦公式可得cos (1sin )sin cos αβαβ+=，根据两角差的正弦公式可得()cos sin ααβ=-，由诱导公式及αβ，的范围，结合正弦函数的单调性即可求解. 【详解】解：∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴cos 0α≠.由1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，可得22cos (1sin )2sin cos cos αβααβ+=， 即cos (1sin )sin cos αβαβ+=.∴()cos sin cos cos sin sin ααβαβαβ=-=-，∴()πsin sin 2αβα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴ππ22αβ-<-<，且ππ022α<-<.由于函数sin y x =在ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增，∴π2αβα-=-，即π22αβ-=.故选:C.7．设函数()f x 的定义域为R ，且()2f x +是奇函数，()21f x +是偶函数，则一定有（ ） A ．()40f = B ．()10f -= C ．()30f = D ．()50f =【答案】A【分析】推导出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，也关于点()2,0对称，进一步可推导出函数()f x 为周期函数，确定该函数的周期，逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为函数()21f x +为偶函数，则()()1212f x f x -=+，令2t x =，则()()11f t f t -=+，即()()11f x f x -=+，则()()2f x f x =-， 因为函数()2f x +为奇函数，则()()22f x f x -=-+，所以，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，也关于点()2,0对称， 则()()22f f =-，可得()20f =，所以，()()()24f x f x f x =-+=+，故函数()f x 为周期函数，且周期为4， 对于A 选项，()()()4020f f f ===，A 对；对于BCD 选项，()()()131f f f -==-，()()51f f =，但()1f 的值无法确定，BCD 均错. 故选：A.8．已知函数()()3log 99xf x x =+-，设910a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，9101e b f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11e ln 10c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．c<a<b【答案】D【分析】令()()()31=log 331x xF x f x -=+++，可得()F x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，由题可得110a F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，910e b F -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11ln 10c F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，构造函数()e 1xg x x =--及()()=ln 10t x x x x -+>，利用导函数判断,,a b c 的大小可得答案.【详解】∵()()3log 99xf x x =+-，∴()()()()()13331log 991log 911log 331x x x xf x x x +-+=+-+=+-+=++ 令()()()31=log 331,R x xF x f x x -=+++∈，()()()3log 331x x F x F x -∴-=++=，()F x 为偶函数， 令33x x y -=+，设120x x >>， 则()121212121212333333331x x x x x x x x x x y y +--+-=⎛-+--⎫-= ⎪⎝⎭， 因为120x x ->，120x x +>，1231x x +>，所以()121212103333x x x x x x ++⎛⎫⎝-->⎪⎭， 所以12y y >，所以33x x y -=+在()0,∞+是增函数，又3log y x =为增函数，所以()()3log 331x xF x -=++在()0,∞+上为增函数，所以911101010a f F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9991010101e e e b f F F ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11e 11ln =ln 1010c f F ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由()e 1xg x x =--，得()e 1x g x '=-，当0x >时()0g x '>；当0x <时()0g x '<， 所以()()00g x g ≥=，当且仅当0x =时取等号，所以()e 10xx x >+≠，故91091e11010->-+=， ∴b a >，令()()=ln 10t x x x x -+>，()()11=10xt x x x x-'-=>， 当1x >时()0t x '<；当01x <<时()0t x '>，所以()()10t x t ≤=，当且仅当1x =时取等号，()ln 11x x x ∴<-≠，11111ln1101010∴<-=， a c ∴>.综上.b a c >> 故选：D【点睛】本题考查了比较大小的问题，比较大小的方法有： （1）根据单调性比较大小； （2）作差法比较大小； （3）作商法比较大小； （4）中间量法比较大小.二、多选题9．下列命题是真命题的有（ ）A ．1lg 2lg 3lg534-+=B ．命题“0,21x x ∀>>”的否定为“0,21x x ∃≤≤”C ．“αβ=”是“sin sin αβ=”成立的充分不必要条件D ．若幂函数()()f x x R αα=∈经过点1,28⎛⎫⎪⎝⎭，则3α=-【答案】AC【分析】A 选项利用对数的四则运算即可求出；B 项根据全称命题的否定直接判断；C 项根据充分不必要条件的概念进行判断；根据幂函数求参数.【详解】对A ： 33111lg 2lg 3lg 5lg 2lg lg 5lg 25lg10003444⎛⎫-+=-+=÷⨯== ⎪⎝⎭，故A 正确；对B ：命题“0,21x x ∀>>”的否定为“0,21x x ∃>≤”，故B 错误； 对C ：αβ=⇒sin sin αβ=，但是sin sin αβ=⇒αβ=，例如：51sin sin662ππ==，但566ππ≠，所以“αβ=”是“sin sin αβ=”成立的充分不必要条件，故C 正确；对D ：因为幂函数()()f x x R αα=∈经过点1,28⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以128α⎛⎫= ⎪⎝⎭，即322α-=，所以133α=-≠-，故D 错误.故选：AC.10．（多选）已知a ＜b ＜0，则下列不等式正确的是（ ） A ．a 2＞ab B ．ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ） C ．2a b +＞D ．a +cos b ＞b +cos a【答案】ABC【分析】利用不等式的性质判断A ，利用对数函数的单调性判断B ，利用基本不等式判断C ，利用构造函数判断D.【详解】A:∵a ＜b ＜0，∴a 2＞ab ，∴A 正确，B:∵a ＜b ＜0，1﹣a ＞1﹣b ，∴ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ），∴B 正确，C:∵a ＜b ＜0，∴2a b--∴2a b +＞∴C 正确， D:设f （x ）＝x ﹣cos x ，则()f x '＝1+sin x ≥0，∴f （x ）在R 上为增函数，∵a ＜b ＜0，∴a ﹣cos a ＜b ﹣cos b ，a +cos b ＜b +cos a ，∴D 错误． 故选：ABC ．11．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()10αβ+=- ）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-=D ．cos cos αβ= 【答案】BC【解析】先根据4sin 25α=，判断角α的范围，再根据cos2α求cos α； 根据平方关系，判断sin cos αα-的值；利用公式cos()cos[()2]βααβα-=+-求值，并根据角的范围判断角βα-的值；利用公式()cos βα+和()cos βα-，联合求cos cos αβ. 【详解】①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 55αααα=-=-⇒=⇒=，故A 错误；②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=，由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos αα-=B 正确； ③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()0αβ+=<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()αβ+=所以34cos()cos[()2]1051052βααβα⎛⎛⎫-=+-=--+-⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-，所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=由③知，cos()cos cos sin sin βααβαβ-=+=两式联立得：cos cos αβ=D 错误． 故选：BC【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值4sin 25α=，确定22παπ≤≤，且cos()0αβ+=<，进一步确定5342ππαβ≤+≤，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.12．已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤=⎨+>⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】ABC【分析】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象，根据图象有3个交点确定出123,,x x x 的关系，所以可将方程转化为()3315(ln 21)n x x -+=-，然后构造函数()()()ln 21g x x x =+-并分析()g x 的单调性确定出其值域，由此可求解出n 的取值范围，则n 的值可确定. 【详解】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象如下图所示：当1x ≤时，()2333y x =-++≤，当1x >时，ln 11y x =+>，所以由图象可知：()1,3m ∈时关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解，又()221223236,ln 625x x x x x ++=⨯-=+-=--，所以()()()121223323ln 2)5651(16n x x x x x x x -+=+++-=-， 又因为()1,3m ∈，所以()3ln 11,3x +∈，所以()231,e x ∈ ，设()()()()()2ln 211,e g x x x x =+-∈，所以()1ln 3g x x x'=-+，显然()g x '在()21,e 上单调递增，所以()()120g x g ''>=>，所以()g x 在()21,e 上单调递增，所以()()()()21,e g x g g ∈，即()()20,4e 4g x ∈-，所以()1250,4e 4n -∈-，所以n 可取1,2,3 故选：ABC.三、填空题13．已知 tan 2θ=， 则sin 2cos 3sin θθθ-=__________【答案】12-##-0.5【分析】分子分母同除以cos θ，弦化切，即可.【详解】把式子sin 2cos 3sin θθθ-的分子分母同除以cos θ，sin sin tan cos 2cos 3sin 2cos 3sin 23tan cos cos θθθθθθθθθθθ==--- 已知 tan 2θ=，所以sin tan 212cos 3sin 23tan 2322θθθθθ===----⨯.故答案为: 12-.14．已知()1123,82f x x f m ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，则m =___________.【答案】14##0.25【分析】利用换元法，令112x t -=，求出函数解析式，再由()8f m =可求出m 的值.【详解】()1123,82f x x f m ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，∴设112x t -=，解得22x t =+，()47f t t ∴=+， ()478f m m ∴=+=，解得14m =. 故答案为：14.15．若直线:l y kx b =+是曲线e x y =的切线，切点为()11,M x y ，也是曲线2(1)y x =+的切线，切点为()22,N x y ，则122x x -=__________． 【答案】1【分析】根据导数的几何意义，求得各个切线的斜率，求得直线方程，利用对应相等即可得解. 【详解】由直线:l y kx b =+是曲线e x y =的切线，切点为()11,M x y ，则直线l 的方程是()111e e x xy x x -=-，即()111e e 1.x x y x x =+-由直线:l y kx b =+是曲线2(1)y x =+的切线，切点为()22,N x y ，直线l 的方程为()()()2222121y x x x x -+=+⋅-，即()222211y x x x =+-+．所以()()112212e 21,e 11xx x x x ⎧=+⎪⎨-=-+⎪⎩，所以()()22122111,x x x +-=-+， 因为()12e 210xx =+>，所以()1212211,21x x x x -=--=． 故答案为：116．若函数()2sin f x x x a =--在(),ππ-上存在唯一的零点1x ，函数()2cos g x x x ax a =+-+在(),ππ-上存在唯一的零点2x ，且12x x <，则实数a 的取值范围为_____________．【答案】(]2,1ππ-- 【分析】根据0fx可求得()f x 单调递增，得到()()()10f f x f ππ-<=<，可解得22a ππ-<<；由()()g x f x '=可知()g x 单调性，结合12x x <可确定()()00g g ππ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩，由此解得1a π≤-；取交集即可得到a 的范围. 【详解】()2cos 0f x x '=->恒成立，f x 单调递增，又()f x 在(),ππ-上存在唯一的零点1x ，()()()10f f x f ππ∴-<=<， 即202a a ππ--<<-，解得：22a ππ-<<；()()2sin g x x x a f x '=--=，又()10f x =，∴当()1,x x π∈-时，()0g x '<；当()1,x x π∈时，()0g x '>；()g x ∴在()1,x π-上单调递减，在()1,πx 上单调递增，又()20g x =，12x x <，()0g π∴-≤，()0g π>，即221010a a a a ππππ⎧-++≤⎨--+>⎩，解得：1a π≤-；综上所述：实数a 的取值范围为(]2,1ππ--. 故答案为：(]2,1ππ--.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数零点求解参数范围的问题，解题关键是能够结合零点求得()(),f x g x 单调性，从而确定()(),f x g x 在区间端点处的符号，由此构造不等式组求得参数范围.四、解答题17．已知函数()2sin cos()4f x x x π=-. （1）化函数为()sin()f x A x b ωϕ=++的形式；（2）设(0)2πα∈，，且3()285f απ+=，求tan()4πα+.【答案】（1）()sin(2)4f x x π=-；（2）7.【解析】（1）先利用两角差的余弦公式，化简整理得到()2cos sin )f x x x x =+，再利用二倍角公式和辅助角法求解.（2）由3()285f απ+=根据（1）的结果，取得sin ,cos αα，再利用两角和的正切公式求解.【详解】（1）()2sin (cos cos sin sin )44f x x x x ππ=+2cos sin )x x x +，11cos2sin 2)22x x -+2cos21)x x -+2cos2)x x -， sin(2)4x π=-，∴()sin(2).4f x x π=-（2）3()sin[2()]sin 282845f απαππα+=+-==，由(0)2πα∈，可知，4cos 5α=，3tan 4α=，∴3tan tan144tan()7341tan tan 144παπαπα+++===--. 【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，5913S S =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2n an b =，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(1)2n a n =；(2)124433n n n +++-.【分析】（1）由953S S =，应用等差数列前n 项和、等差中项公式得510a =，结合已知求基本量，进而写出{}n a 的通项公式；（2）由（1）得24nn c n =+，应用分组求和，结合等差等比前n 项和公式求n T .【详解】（1）由题设953S S =，则19159()5()322a a a a ++=⨯，即533530a a ==， 所以510a =，而36a =，易得2d =，则12a =， 故1(1)2n a a n d n =+-=.（2）由（1）知：224n nn b ==，则24n n c n =+，所以1122(1)4(14)442(12...)(44...4)221433n n nn n n T n n n ++-=+++++++=⨯+=++--. 19．已知函数()22ln f x ax x bx c =--在1x =处取得极值3c -，其中a 、b 、c 为常数．(1)试确定a 、b 的值；(2)若存在0x >，不等式()22f x c ≥有解，求a 的取值范围．【答案】(1)6a =-，3b =-； (2)312c -≤≤.【分析】（1）分析可得()()1013f f c ⎧'=⎪⎨=-⎪⎩，即可求得a 、b 的值，再利用导数分析函数()f x 的单调性，结合极值的定义验证即可；（2）利用导数求出函数()f x 的最大值，根据题意可得出()2max 2c f x ≤，即可解得实数c 的取值范围.【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()2ln 2f x ax x ax bx '=+-， 由题意可得()()12013f a b f b c c ⎧=-=⎪⎨=--=-'⎪⎩，解得63a b =-⎧⎨=-⎩，此时，()226ln 3f x x x x c =-+-，则()12ln f x x x '=-，当01x <<时，0f x，此时函数()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 此时，函数()f x 在1x =处取得极大值，合乎题意， 综上所述，6a =-，3b =-.（2）解：由（1）可知，函数()f x 在1x =处取得极大值，亦为最大值，即()()max 13f x f c ==-，因为存在0x >，不等式()22f x c ≥有解，则()2max 23c f x c ≤=-，即2230c c +-≤，解得312c -≤≤.20．甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立． (1)求比赛结束，甲得6分的概率；(2)设比赛结束，乙得X 分，求随机变量X 的概率分布列与数学期望． 【答案】(1)2027(2)分布列见解析，9827【分析】（1）“比赛结束，甲得6分”等价于“乙以0:2败给甲或乙以1:2败给甲”，由此即可求出其概率；（2）由题意知：打2局，乙输2X =；打3局，乙输4X =，打2或3局，乙赢6X =，分别求出其概率，则可写出分布列，计算出数学期望. 【详解】（1）记事件A ：“比赛结束，甲得6分”， 则事件A 即为乙以0:2败给甲或乙以1:2败给甲，所以21221224820()+C +=333392727P A ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭． （2）由题意得，X 可取2,4,6，则224(2)39P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 121228(4)C 33327P X ==⨯⨯⨯=， 21212117(6)C 333327P X ⎛⎫==⨯⨯⨯+= ⎪⎝⎭，即X 的分布列为X的数学期望为48798()2469272727E X =⨯+⨯+⨯=． 21．已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b +=>>C 的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为 (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:10l x my --=与x轴交于点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，过点P 与x 轴垂直的直线与椭圆C 的另一个交点为N ，求MNQ △面积的最大值． 【答案】(1)221164x y += (2)154【分析】（1）利用222a b c =+、ce a =与142bc ⨯=22,a b ，代入椭圆方程即可. （2）联立直线l 与椭圆C 的方程得到122154y y m =-+，再利用切割法得到MNQ PQN PMN S S S =-△△△，化简得到12215||4MNQm Smy y m ==+，进而利用基本不等式求得MNQ △面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c，则c e a ==，即2222234c a b a a -==， 所以22314b a -=，即2a b =，又C 的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为 所以142bc ⨯=bc =，综上解得2216,4a b ==， 所以椭圆C 的方程为221164x y +=． （2）易得(1,0)M ，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()11,N x y -，联立直线l 与椭圆C 的方程2211164x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2242150m y my ++-=，则121222215,44m y y y y m m +=-=-++． 又12111112,2122PQNPMN S y x x S y x =⨯⨯-=⨯⨯-△△， 易知21x x -与11x -同号，所以()()()1211121111MNQ PQN PMN S S S y x x x y x x x =-=⨯---=⨯---△△△ 1212121y x y my my y =⨯-=⨯=215||1515444||||m m m m ==≤=++， 当且仅当4||||m m =，即2m =±时等号成立， 所以MNQ △面积的最大值为154． 22．已知()()1ln af x a x x x=-++(1)若a<0，讨论函数()f x 的单调性； (2)()()ln a g x f x x x =+-有两个不同的零点1x ，()2120x x x <<，若12202x x g λλ+⎛⎫'> ⎪+⎝⎭恒成立，求λ的范围．【答案】(1)单调性见解析 (2)(][),22,λ∈-∞-+∞【分析】（1）求导可得()()()21x a x f x x +-'=，再根据a -与0,1的关系分类讨论即可；（2）由题()ln g x a x x =+，，设()120,1x t x =∈根据零点关系可得21ln x x a t -=，再代入1222x x g λλ+⎛⎫' ⎪+⎝⎭化简可得()()21ln 02t t t λλ+-+<+恒成立，设()()()21ln 2t ht t t λλ+-=++，再求导分析单调性与最值即可【详解】（1）()f x 定义域为()0,∞+()()()()()222211111x a x a x a x a f x a x x x x +--+-'=-+-== ⅰ）01a <-<即10a -<<时，()01f x a x '<⇒-<<，()00f x x a '>⇒<<-或1x >ⅱ）1a -=即1a =-时，()0,x ∈+∞，()0f x '≥恒成立 ⅲ）1a ->即1a <-，()01f x x a '<⇒<<-，()001f x x '>⇒<<或x a >-综上：10a -<<时，(),1x a ∈-，()f x 单调递减；()0,a -、()1,+∞，()f x 单调递增1a =-时，()0,x ∈+∞，()f x 单调递增1a <-时，()1,x a ∈-，()f x 单调递减；()0,1、(),a -+∞，()f x 单调递增（2）()ln g x a x x =+，由题1122ln 0ln 0a x x a x x +=⎧⎨+=⎩，120x x <<则()1221ln ln a x x x x -=-，设()120,1x t x =∈ ∴212112ln ln ln x x x xa x x t--==-()1a g x x'=+ ∴122112122221122ln 2x x x x g a x x t x x λλλλλλ+-++⎛⎫'=+=⋅+ ⎪+++⎝⎭ ()()()21102ln t t tλλ+-=+>+恒成立()0,1t ∈，∴ln 0t < ∴()()21ln 02t t t λλ+-+<+恒成立设()()()21ln 2t h t t t λλ+-=++，∴()0h t <恒成立()()()()()()()()22222224122241222t t t t h t t t t t t t λλλλλλλ⎛⎫-- ⎪++-+⎝⎭'=-==+++ ⅰ）24λ≥时，204t λ-<，∴()0h t '>，∴()h t 在()0,1上单调递增 ∴()()10h t h <=恒成立， ∴(][),22,λ∈-∞-+∞合题ⅱ）24λ<，20,4t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0h t '>，∴()h t 在20,4λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '<， ∴()h t 在2,14λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减∴2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()10h t h >=，不满足()0h t <恒成立综上：(][),22,λ∈-∞-+∞【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了双零点与恒成立问题的综合，需要根据题意消去参数a ，令()120,1x t x =∈，再化简所求式关于t 的解析式，再构造函数分析最值.属于难题。
长春市高考数学一模试卷(理科)C卷
长春市高考数学一模试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设复数z满足=i，则|z|=（）A . 1B .C .D . 22. （2分）(2016·襄阳模拟) “0≤a≤4”是“命题‘∀x∈R，不等式x2+ax+a＞0成立’为真命题”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2017高一下·池州期末) 当a=3时，如图的程序段输出的结果是（）A . 9B . 3D . 64. （2分）(2017·潍坊模拟) 函数f（x）= 的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A . a＞1B . a≤﹣C . a≥1或a＜﹣D . a＞1或a≤﹣5. （2分）已知则（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高三下·武威开学考) 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（）B . 11πC . 12πD . 13π7. （2分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(-,0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为（0，2），则双曲线的方程为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高一上·武汉期末) f（x）=Asin（ωx+ωπ）（A＞0，ω＞0）在上单调，则ω的最大值为（）A .B .C . 1D .9. （2分） (2017高一上·焦作期末) 如图为一个几何体的三视图，三视图中的两个不同的正方形的边长分别为1和2，则该几何体的体积为（）A . 6B . 7C . 8D . 910. （2分）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60º，且A1A=3，则A1C的长为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017·浙江模拟) 已知F为抛物线4y2=x的焦点，点A，B都是抛物线上的点且位于x轴的两侧，若• =15（O为原点），则△ABO和△AFO的面积之和的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·哈尔滨月考) 直线与相切,实数的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若数a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为________14. （1分）从边长为1的正方形的中心和顶点这五个点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是________.15. （1分） (2019高三上·上海月考) 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 .若，则的值是________.16. （1分）有一支队伍长L米，以一定的速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L米，则传令兵所走的路程为________．三、解答题 (共5题；共45分)17. （5分）(2018·绵阳模拟) 已知数列的前项和满足： .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，数列的前项和为，试问当为何值时，最小？并求出最小值.18. （15分） (2019高二上·杭州期中) 如图，已知直三棱柱，，E是棱上动点，F是AB中点，，．（1）求证：平面；（2）当是棱中点时，求与平面所成的角；（3）当时，求二面角的大小．19. （5分）(2017·济宁模拟) 甲、乙、丙三人玩抽红包游戏，现将装有5元、3元、2元的红包各3个，放入一不透明的暗箱中并搅拌均匀，供3人随机抽取．（Ⅰ）若甲随机从中抽取3个红包，求甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元的概率．（Ⅱ）若甲、乙、丙按下列规则抽取：①每人每次只抽取一个红包，抽取后不放回；②甲第一个抽取，甲抽完后乙再抽取，丙抽完后甲再抽取…，依次轮流；③一旦有人抽到装有5元的红包，游戏立即结束．求甲抽到的红包的个数X的分布列及数学期望．20. （10分） (2017高二上·海淀期中) 已知圆与直线交于，两点，点为线段的中点，为坐标原点．（1）如果直线的斜率为，求实数的值．（2）如果，且，求圆的方程．21. （10分）(2018·鄂伦春模拟) 已知函数的图象在与轴的交点处的切线方程为 .（1）求的解析式；（2）若对恒成立，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共45分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、。
2024吉林省长春市五校联考高三数学试卷(含答案)
2024届高三联合模拟考试数学试题东北师大附中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的考生号､姓名､考场号填写在答题卡上，2.回答选择时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}22log 2,2x A xy x B y y −==−==∣∣，则A B ⋂=（ ）A.()0,2B.[]0,2C.()0,∞+D.(],2∞− 2.已知复数iz 1i=−，则z 的虚部为（ ） A.12−B.1i 2− C.12 D.1i 2 3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A.16 B.13 C.12 D.234.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知28,AB BC PAD ==和QBC 均为等边三角形，若二面角P AD B −−和Q BC A −−的大小均为120︒，则该刍薨的体积为（ ）A.303B.203 9932D.4843+ 5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）种 A.8 B.10 C.16 D.20 6.已知π3cos sin 6αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫− ⎪⎝⎭的值是（ ） A.3 B.14− C.14 37.已知点F 为地物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（ ）A.22B.4C.322+D.6 8.已的1113sin ,cos ,ln 3332a b c ===，则（ ） A.c a b << B.c b a << C.b c a << D.b a c <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 满足*1121,,N 1n n a na n a n +==∈+，则下列结论成立的有（ ） A.42a =B.数列{}n na 是等比数列C.数列{}n a 为递增数列D.数列{}6n a −的前n 项和n S 的最小值为6S10.已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2,M 为空间中动点，N 为CD 中点，则下列结论中正确的是（ ）A.若M 为线段AN 上的动点，则1D M 与11B C 所成为的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.若M 为侧面11ADD A 上的动点，且满足MN ∥平面1AD C ，则点M 2C.若M 为侧面11DCC D 上的动点，且2213MB =，则点M 的轨迹的长度为23π9D.若M 为侧面11ADD A 上的动点，则存在点M 满足23MB MN +=11.已知()()()()1ln ,e 1xf x x xg x x =+=+（其中e 2.71828=为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A.()f x '为函数()f x 的导函数，则方程()()2560f x f x ⎡⎤−'+=⎣⎦'有3个不等的实数解 B.()()()0,,x f x g x ∞∃∈+=C.若对任意0x >，不等式()()2ln ex g a x g x x −+≤−恒成立，则实数a 的最大值为-1D.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()21ln 21t x x +的最大值为1e三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.622x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的常数项为__________.13.已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=−，向量c 与3a b +共线，则||b c +的最小值为__________. 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左，右焦点分别为12,,F F P 为C 右支上一点，21122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为M ，直线PM 交x 轴于点,3N PM MN =，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为13：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为34，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为25. （1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X ，求X 的分布列及期望， 16.（本小题15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,cos cos 2cos 0a C c A b B =+−=. （1）求B ；（2）若2AC CD =，且3BD =c . 17.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面是边长为2的正方形，且6PB BC =，点,O Q 分别为棱,CD PB 的中点，且DQ ⊥平面PBC .（1）证明：OQ ∥平面PAD ； （2）求二面角P AD Q −−的大小. 18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两焦点()()121,0,1,0F F −，且椭圆C 过33,P ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交椭圆C 于,M N 两点（,M N 与,A B 均不重合），记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，且1220k k −=，设AMN ，BMN 的面积分别为12,S S ，求12S S −的取值范围18.（本小题17分） 已知()2e2e xx f x a x =−（其中e 2.71828=为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， （2）当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由； （3）()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.五校联合考试数学答案一､单选题1-8ACADB BCD二､多选题9.ABD 10.BC 11.AC三､填空题12.60 13.211414.75四､解答题15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A ， 则()3234510P A =⨯=. （2）随机变量X 的可能取值为1，2.()()323113221171,2.534320534320P X P X ==⨯+⨯===⨯+⨯=所以X 的分布列为：X 1 2P1320 720()137272.202020E X =+⨯= 16.解：（1）1,cos cos 2cos cos cos 2cos 0a C c A b B a C c A b B =∴+−=+−=.()sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos 0.A C C A B B A C B B ∴+−=+−=又()1ππ,sin sin 0,cos 23A B C A C B B B ++=∴+=≠∴=∴=.（2）2AC CD =，设CD x =，则2AC x =，在ABC 中2222141cos ,1422c x B c x c c +−==∴+−=.在ABC 与BCD 中，22222142cos ,cos ,63042x c x BCA BCD x c x x∠∠+−−==∴−−=.2321321330,0c c c c c ±+∴−−=∴=>∴=. 17.解：（1）取PA 中点G ，连接,GQ GD ∴点Q 为PB 中点，GQ ∴∥1,2AB GQ AB =. 底面是边长为2的正方形，O 为CD 中点，DO ∴∥1,2AB DO AB =. GQ ∴∥,OD GQ OD =∴四边形GQOD 是平行四边形.OQ ∴∥DG . OQ ⊄平面,PAD GD ⊂平面,PAD OQ ∴∥平面PAD .（2）DQ ⊥平面,PBC BC ⊂平面PBC DQ BC ∴⊥.又底面是边长为2的正方形，,,DC BC DQ DC D BC ∴⊥⋂=∴⊥平面DCQ .OQ ⊂平面,DCQ BC OQ ∴⊥.又CQ ⊂平面,DCQ BC CQ ∴⊥. 26,6,2,2PB QB BC QC =∴==∴=底面是边长为2的正方形，22,2DB DQ DQ CQ ∴=∴==，O 为CD 中点，OQ DC ∴⊥.又,,BC OQ DC BC C OQ ⊥⋂=∴⊥平面ABCD .取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −， 则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2O Q A B D P −−−−所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1AP AD AQ =−=−=−， 设平面PAD 法向量为(),,m x y z =，则()4200,1,020m AP x z m m AD x ⎧⋅=−+=⎪∴=⎨⋅=−=⎪⎩ 设平面QAD 法向量为(),,n x y z =，则()200,1,120n AQ x y z n n AD x ⎧⋅=−++=⎪∴=−⎨⋅=−=⎪⎩ 2cos ,2m n m n m n⋅>==⋅ 又二面角P AD Q −−范围为()0,π，所以二面角P AD Q −−的大小为π4. 18.解：（1）由题意可得：2222213314c a b c ab ⎧⎪=⎪−=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,31a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）依题意，()()2,0,2,0A B −，设()()1122,,,M x y N x y ，直线BM 斜率为BM k .若直线MN 的斜率为0，则点,M N 关于y 轴对称，必有120k k +=，不合题意.所以直线MN 的斜率必不为0，设其方程为()2x ty m m =+≠±，与椭圆C 的方程联立223412,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得()2223463120t y tmy m +++−=，所以()22Δ48340t m=+−>，且12221226,34312.34tm y y t m y y t ⎧+=−⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩因为()11,M x y 是椭圆上一点，满足 2211143x y +=，所以2121111221111314322444BM x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−， 则12324BM k k k =−=，即238BM k k −⋅=.因为()()1221222BM y y k k x x ⋅=−−()()()()121222121212222(2)y y y y ty m ty m t y y t m y y m ==+−+−+−++−()()()()()22222222223123432334,4(2)42831262(2)3434m m m t m m t m t m m m t t −−++====−−−−−−+−++ 所以23m =−，此时22432Δ4834483099t t ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故直线MN 恒过x 轴上一定点2,03D ⎛⎫−⎪⎝⎭. 因此()12222122264,343431232.34334tm t y y t t m y y t t ⎧+=−=⎪++⎪⎨−⎪==−++⎪⎩，所以12S S −=12121212222323y y y y ⎛⎫⎛⎫−−−−−−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()22212121222833243342283399433334t t y y y y y y t ++−=−=+−==+()2228314334934t t =−++令2122118340,,34439x S S x x t ⎛⎤=∈−=−+ ⎥+⎝⎦ 当211344t =+即0t =时，12S S −86212834860,399S S x x ⎛∴−=−+ ⎝⎦19.解：（1）当0a =时，()()()2,21x x f x xe f x x e =−=+'−.()14.f e =−∴'曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 ()41242.y e x e ex e =−−−=−+（2）当12a =时，()2122x xf x e xe =−，定义域为(),∞∞−+ ()()()22122,x x x x f x e x e e e x '=−+=−−令()e 22xF x x =−−，则()2xF x e '=−，当()(),ln2,0x F x ∞∈−'<；当()()ln2,,0x F x ∞∈+'>； 所以()F x 在(),ln2∞−递减，在()ln2,∞+上递增，()min ()ln222ln222ln20F x F ==−−=−< ()()2110,260F F e e−=>=−> 存在()11,ln2x ∈−使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，()1,x x ∞∈−时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增； ()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减； ()1,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值. （3）()()()222121xx x x f x ae x e e ae x '=−+=−−，由()()21111,0,00a x f x f a aa a a+∀∈+≤+=+=≤R ，得0a <，令()e 1xg x a x =−−，则()g x 在R 上递减，0x <时，()()()e 0,1,e ,0,e 11x x xa a g x a x a x ∈∈∴=−−>−−，则()()1110g a a a ∴−>−−−=又()110g ae −−=<，()01,1x a ∃∈−−使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =−−=且当()0,x x ∞∈−时，()0g x >即()0f x '>； 当()00,x x ∞∈+时，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x ∞−递增，在()0,x ∞+递减，()002max 00()2x x f x f x ae x e ∴==−，由()000001e 10,exx x g x a x a +=−−==， 由max 1()0f x a+≤得()000000e 1e 201x x x x x e x +−+≤+即()()00011101x x x −++≤+， 由010x +<得20011,21x x −≤∴−<−，001,e x x a +=∴设()1(21)e x x h x x +=−≤<−，则()0xxh x e −=>'， 可知()h x 在)2,1⎡−⎣上递增，()((()()221221210h x h e h x h e −−≥−==<−=实数a 的取值范围是()212e ⎡⎣.。
2022年吉林省长春市高考文科数学一模试卷及答案解析
2022年吉林省长春市高考文科数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），则|z﹣i|＝（）A．√2B．2C．2√2D．82．（5分）命题“∃x0∈R，e x0−1≥x0”的否定是（）A．∃x0∈R，e x0−1＜x0B．∃x0∈R，e x0−1≤x0C．∀x∈R，e x﹣1≤x D．∀x∈R，e x﹣1＜x3．（5分）已知集合A＝{x|x2≤4，x∈Z}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{0，1，4}C．{0，1}D．{0，4}4．（5分）我国冰雪健儿自1992年实现冬奥奖牌数0的突破，到北京冬奥会结束，共获得77块奖牌．现将1992年以米我国冬奥会获得奖牌数量统计如表：年份199219941998200220062010201420182022奖牌数338811119915则1992年以来我国获得奖牌数的中位数为（）A．8B．9C．10D．115．（5分）下列函数是偶函数，且在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（）A．y＝x﹣2B．y＝|x|+2C．y＝2|x|D．y＝x3﹣1 6．（5分）已知数列{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，若a3a15＝8a9，b9＝a9，则b7+b11＝（）A．4B．8C．12D．167．（5分）函数f(x)={x2−2x，x≥01−e x，x＜0，则f（f（1））＝（）A．﹣1B．0C．1−1e D．1+e8．（5分）已知直线l1：x﹣my+1＝0过定点A，直线l2：mx+y﹣m+3＝0过定点B，l1与l2相交于点P，则|P A|2+|PB|2＝（）A．10B．13C．16D．209．（5分）已知f（x）＝ax+a+cos x（a∈R），则在曲线y＝f（x）上一点（0，2）处的切线方程为（）A ．x ﹣y +2＝0B ．x +y ﹣2＝0C ．2x ﹣y +2＝0D ．2x +y ﹣2＝010．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），点P 为双曲线C 右支上一点，点M 的坐标为（0，c ），若|PM |+|PF 1|的最小值为2√2c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√5211．（5分）某同学在学校组织的通用技术实践课上制作了一件工艺品，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后中间剩余部分（球心与正方体中心重合），若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的表面积为（ ） A ．20πB ．16πC ．12πD ．8π12．（5分）已知x 2+y 2＝1，x ∈R ，y ∈R ，且xy ≠0，则（ ） A ．|x +y |≥√2 B ．|xy|＞12C ．log 2|x |+log 2|y |≤﹣1D ．1|x|+1|y|＜2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量a →=（3，4），b →=（2，1），则(a →−b →)⋅b →= ．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{x −y −2≤02x +y ≤0x +1≥0，则x +y 的最小值是 ．15．（5分）已知F 1、F 2为椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点，点P 是椭圆上第一象限内的点，且PF 1⊥PF 2，则|PF 2|＝ ．16．（5分）已知数列{a n }的通项公式为a n ＝|19﹣2n |，n ∈N *，则其前20项的和为 ． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
长春市高考数学一模试卷(理科) A卷
长春市高考数学一模试卷（理科） A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·绍兴期末) 集合P={x∈R||x|≥3，Q={y|y=2x﹣1，x∈R}，则P∪Q=（）A . （﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）B . （﹣∞，﹣3]∪（﹣1，+∞）C . （﹣∞，1）∪[3，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪[3，+∞）2. （2分）(2019·江南模拟) 复数满足，则（）A .B . 3C .D . 53. （2分）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·孝义模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A .B .C .D .5. （2分）(2019·淄博模拟) （）A .B .C .D .6. （2分）(2017·扶沟模拟) 如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·石家庄期末) 若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A . 0B . 1C .D . 28. （2分）已知等比数列的前n项和为，且，，则=（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一上·温州期末) 已知函数f（x）=sin（2x+φ1），g（x）=cos（4x+φ2），|φ1|≤ ，|φ2|≤ ．命题 ①：若直线x=φ是函数f（x）和g（x）的对称轴，则直线x= kπ+φ（k∈Z）是函数g（x）的对称轴；命题 ②：若点P（φ，0）是函数f（x）和g（x）的对称中心，则点Q（+φ，0）（k∈Z）是函数f（x）的中心对称．（）A . 命题①② 都正确B . 命题①② 都不正确C . 命题 ①正确，命题 ②不正确D . 命题 ①不正确，命题 ②正确10. （2分）已知抛物线的准线与双曲线两条渐近线分别交于A，B两点，且，则双曲线的离心率e为（）A . 2B .C .D .11. （2分） (2019高二上·杭州期中) 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数（）A .B .C . 或D .12. （2分）已知f（x）= 的值域为R，那么a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣]B . （﹣1，）C . [﹣，）D . （0，）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·南通开学考) 已知向量 =（k，3）， =（1，4）， =（2，1），且，则实数k=________．14. （1分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a=________ ．15. （1分） (2016高三上·黑龙江期中) （x﹣1）（2x+1）5展开式中x3的系数为________．16. （1分）如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ（0°＜θ＜90°）的平面所截，截面是一个椭圆，当θ为30°时，这个椭圆的离心率为________ ．三、解答题 (共7题；共45分)17. （10分） (2018高二上·玉溪期中) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB．（1）求角C的大小；（2）若c= ，a2+b2=10，求△ABC的面积．18. （10分） (2016高三上·苏州期中) 某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A，B，C 三个测试项目．假定张某通过项目A的概率为，通过项目B，C的概率均为a（0＜a＜1），且这三个测试项目能否通过相互独立．（1）用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，求X的概率分布和数学期望E（X）（用a表示）；（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a的取值范围．19. （5分） (2017·铜仁模拟) 如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC= ，BC=BB1=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．20. （5分）(2017·上海模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），点P（2，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为△ABM的重心，求直线l的方程．21. （5分） (2016高二上·淮南期中) 已知函数g（x）= +lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣﹣lnx（m∈R）．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）设h（x）= ，若在[1，e]上至少存在一个x0 ，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．22. （5分） (2018高二下·晋江期末) 选修4-4：坐标系与参数方程已知过点的直线的参数方程是（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程式为 .（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，且，求实数的值．23. （5分） (2017高二下·石家庄期末) 已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[ ，1]，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共45分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、。
2019届吉林省长春市普通高中高三一模考试试题卷数学(理科)试题Word版含答案
2019届吉林省长春市普通高中高三一模考试试题卷数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则()()122i i -+-=（ ） A ．5i B ．5i - C ．5 D ．-5 2．集合{},,a b c 的子集的个数为（ ） A ．4 B ．7 C ．8 D ．163．右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论： ①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升． 其中正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．等差数列{}n a 中，已知611||||a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．95．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（ ）A ．95，94B ．92，86C ．99，86D ．95，916．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y =上，则角α的取值集合是（ ）A ．{|2,}3k k Z πααπ=-∈ B ．2{|2,}3k k Z πααπ=+∈ C ．2{|,}3k k Z πααπ=-∈ D ．{|,}3k k Z πααπ=-∈ 7．已知0,0x y >>，且4x y xy +=，则x y +的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．12 D ．168．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）A ．4立方丈B ．5立方丈C ． 6立方丈D ．12立方丈9．已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，6,AB BC ==且四棱锥O ABCD -的体积为R 等于（ ）A ．4B ． D 10．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A ．求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和B ．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和C ．求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D ．求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和11．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线上任一点，过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则||OH =（ ） A ．1 B ．2 C ． 4 D ．1212．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，当[0,]2x π∈时，()f x =()()()1g x x f x π=--在区间3[,3]2ππ-上所有零点之和为（ ） A ．π B ．2π C ． 3π D ．4π 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知角,αβ满足22ππαβ-<-<，0αβπ<+<，则3αβ-的取值范围是 ．14．已知平面内三个不共线向量,,a b c 两两夹角相等，且||||1a b ==，||3c =，则||a b c ++= ．15．在ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1(si n )c o s s i n c o s 2b C A A C-=，且a =ABC 面积的最大值为 ．16．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为 ．三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S n +=+-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2log 1)n n b a =-（，求证：122334111111n n b b b b b b b b +++++<． 18．长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[]0,1000内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000,3000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X 的分布列与数学期望． 19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设1,60PA ABC =∠=，三棱锥E ACD -的体积为8，求二面角D AE C --的余弦值．20．已知椭圆C 的两个焦点为()()121,0,1,0F F -，且经过点E ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（点A 位于x 轴上方），若11AF F B λ=，且23λ≤<，求直线l 的斜率k 的取值范围．21．已知函数()xf x e =，()()lng x x a b =++．（Ⅰ）若函数()f x 与()g x 的图像在点()0,1处有相同的切线，求,a b 的值； （Ⅱ）当0b =时，()()0f x g x ->恒成立，求整数a 的最大值；（Ⅲ）证明：23ln 2(ln 3ln 2)(ln 4ln 3)+-+-[ln(1)ln ]1n en n e +++-<-． （二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为()1,2，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 圆心，3为半径． （Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求||||PA PB ⋅．23．选修4-5：不等式选讲设不等式||1||1||2x x +--<的解集为A ． （Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）若,,a b c A ∈，求证：1||1abcab c->-．2019届吉林省长春市普通高中高三一模考试试题卷数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. C3. D4. C5.B6. D7. B8. B9. A10. C 11. A12. D简答与提示：8. 【命题意图】本题考查中华传统文化及三视图.【试题解析】B 由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.9. 【命题意图】本题主要考查球的相关知识.【试题解析】A 由题意可知球心到平面ABCD 的距离 2，矩形ABCD 所在圆的半径为32，从而球的半径4=R .故选A.10. 【命题意图】本题主要考查算法和等差数列的前n 项和. 【试题解析】C 由题意可知1594033=++++S ，为求首项为1，公差为4的等 差数列的前1009项和.故选C.11. 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.【试题解析】A 不妨在双曲线右支上取点P ，延长21,PF FH ，交于点Q ，由角分线性质可知1||||,=PF PQ 根据双曲线的定义，12||||||2-=PF PF ，从而2||2=QF ，在12∆FQF 中，OH 为其中位线，故||1=OH .故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的奇偶性、周期性和对称性及零点的相关知识.【试题解析】D 由题意知()f x 为奇函数，周期为2π，其图象关于(,0)π对称，()g x 的零点可视为1(),π==-y f x y x 图象交点的横坐标，由1π=-y x 关于(,0)π对称，从而在3[,3]2ππ-上有4个零点关于(,0)π对称，进而所有零点之和为4π. 故选D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. (,2)ππ-14. 215. 16.简答与提示：13. 【命题意图】本题考查不等式的性质. 【试题解析】由不等式22ππαβ-<-<，0+αβπ<<，则3()2()αβαβαβ-=++-，因此3αβ-取值范围是(,2)ππ-.14. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】由题意可知，c b a ,,的夹角为︒1201==可得b a +与c 反向， 且1||=+，从而2=+.15. 【命题意图】本题考查解三角形的相关知识. 【试题解析】由题意可知1cos sin 2=b A B ，cos sin sin 2==A B A b a，得tan 3π==A A ，由余弦定理2212=+-b c bc ，由基本不等式12bc ≤，从而ABC ∆面积的最大值为b c =时取到最大值.16. 【命题意图】本题考查圆锥的体积最值问题.【试题解析】设圆锥的底面圆半径为(03)<<r r1133π==V r 2(09)=<<t r t ，有13=V 2329,3183(6)'=-=-+=--y t t y t t t t ，当06<<t 时函数为增函数，当69<<t 时函数为减函数，从而当6=t时体积取最大值. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列前n 项和与通项的应用，还有裂项求和的应用等.【试题解析】（1）由11222(1)2(2)n n nn S n S n n +-⎧=+-⎪⎨=+-- ⎪⎩≥，则21nn a =+(2)n ≥. 当1n =时，113a S ==，综上21nn a =+.（2）由22log (1)log 2nn n b a n =-==.12233411111...n n bb b b b b b b +++++1111...122334(1)n n =++++⨯⨯⨯+1111111(1)()()...()223341n n =-+-+-++-+1111n =-<+. 得证.18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解，以及分布列的相关知识，同时考查学生的数据处理能力. 【试题解析】解：（1）根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000. （2）X 的可能取值为0，20，40，602611(0)15P X C ===11322662(20)155C C P X C ====12232651(40)153C C P X C +==== 132631(60)155C P X C ====则X 的分布列为即1003EX =19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE 在PBD △中，////PE DE PB OE BO DOOE ACE PB ACE PB ACE =⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面（2）24P ABCD P ACD E ACD V V V ---===，设菱形ABCD 的边长为a 211(2)133P ABCD ABCDV SPA -=⋅=⨯⨯=，则a 取BC 中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴， 建立如图所示坐标系.D，(0,0,0)A，1)2E，3(2C1(0,)2AE=，3(2AC=，1(1,n=，2(1,0,0)n=1212||cos||||1n nn nθ⋅===⋅+即二面角D AE C--20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 由椭圆定义122||||4=+=a EF EF，有2,1,===a c b从而22143+=x y.(2) 设直线:(1)(0)=+>l y k x k，有22(1)143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y k xx y，整理得2236(4)90+--=y yk k，设1122(,),(,)A x yB x y，有21212122,()(1)λλλ-=-=+-y y y y y y，222(1)414,23434λλλλ-=+-=++k k，由于23λ≤<，所以114223λλ≤+-<，21442343≤<+k，解得02<≤k.21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，利用导数比较大小等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（1）由题意可知，()f x 和()g x 在(0,1)处有相同的切线， 即在(0,1)处(1)(1)f g =且(1)(1)f g ''=， 解得1,1a b ==.（2）现证明1x e x +≥，设()1x F x e x =--， 令()10x F x e '=-=，即0x =，因此()(0)0min F x F ==，即()0F x ≥恒成立， 即1x e x +≥， 同理可证ln 1x x -≤.由题意，当2a ≤时，1x e x +≥且ln(2)1x x ++≤， 即1ln(2)x e x x ++≥≥， 即2a =时，()()0f x g x ->成立.当3≥a 时，0ln <e a ，即ln()+xe x a ≥不恒成立.因此整数a 的最大值为2.（3）由ln(2)x e x >+，令1n x n-+=， 即11ln(2)n nn en-+-+>+，即11ln (2)n n n en -+-+>+ 由此可知，当1n =时，0ln 2e >， 当2n =时，12(ln3ln2)e ->-， 当3n =时，23(ln4ln3)e ->-， ……当n n =时，1[ln(1)ln ]-+>+-n n e n n . 综上：012123...ln2(ln3ln2)(ln4ln3)...[ln(1)ln ]---+++++>+-+-+++-n ne e e e n n0121231 (1)1ln 2(ln 3ln 2)(ln 4ln 3)...[ln(1)ln ]---+>++++->+-+-+++-n ne e e e en n .即23ln 2(ln3ln 2)(ln 4ln3)...[ln(1)ln ]1+-+-+++-<-nen n e . 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线的参数方程的几何意义等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 （Ⅰ）直线l的参数方程为1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (， 圆的极坐标方程为θρsin 6=.（Ⅱ）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +-=， 127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅=23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】（1）由已知，令2(1)()|1||1|2(11)2(1)x f x x x x x x ⎧⎪=+--= -<<⎨⎪- ⎩≥≤-由|()|2<f x 得{|11}=-<<A x x .（2）要证1||1abcab c->-，只需证|1|||abc ab c ->-，只需证2222221a b c a b c +>+，只需证222221(1)a b c a b ->-只需证222(1)(1)0a b c -->，由,,a b c A ∈，则222(1)(1)0a b c -->恒成立.长春市普通高中2018届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. C3. D4. C5.B6. D7. B 8. B9. A10. C 11. A 12. D简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】A (12)(2)5-+-=i i i . 故选A. 2. 【命题意图】本题考查集合的子集.【试题解析】C 集合有3个元素，所以子集个数共有328=个.故选C. 3. 【命题意图】本题考查函数的应用.【试题解析】D 通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D. 4. 【命题意图】本题考查等差数列及其前n 项和.【试题解析】C 由题意知6111150,0,2<>=-a a a d ，有2[(8)64]2=--n d S n ，所以当8=n 时前n 项和取最小值.故选C.5. 【命题意图】本题主要考查茎叶图.【试题解析】B 由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B. 6. 【命题意图】本题主要考查角的终边所在集合问题.【试题解析】D 终边落在直线=y 上的角的取值集合为 {|,}3Z πααπ=-∈k k 或者2{|,}3Z πααπ=+∈k k .故选D. 7. 【命题意图】本题考查基本不等式的应用.【试题解析】B 414141,()()59+=+=++=++≥x yx y x y y x y x y x，当且仅当3,6==x y 时取等号.故选B.8. 【命题意图】本题考查中华传统文化及三视图.【试题解析】B 由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.9. 【命题意图】本题主要考查球的相关知识.【试题解析】A 由题意可知球心到平面ABCD 的距离 2，矩形ABCD 所在圆的半径为32，从而球的半径4=R .故选A.10. 【命题意图】本题主要考查算法和等差数列的前n 项和.【试题解析】C 由题意可知1594033=++++S ，为求首项为1，公差为4的等 差数列的前1009项和.故选C.11. 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.【试题解析】A 不妨在双曲线右支上取点P ，延长21,PF FH ，交于点Q ，由角分 线性质可知1||||,=PF PQ 根据双曲线的定义，12||||||2-=PF PF ，从而2||2=QF ， 在12∆FQF 中，OH 为其中位线，故||1=OH .故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的奇偶性、周期性和对称性及零点的相关知识.【试题解析】D 由题意知()f x 为奇函数，周期为2π，其图象关于(,0)π对称，()g x 的零点可视为1(),π==-y f x y x 图象交点的横坐标，由1π=-y x 关于(,0)π对称，从而在3[,3]2ππ-上有4个零点关于(,0)π对称，进而所有零点之和为4π. 故选D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. (,2)ππ- 14. 215.16.简答与提示：13. 【命题意图】本题考查不等式的性质.【试题解析】由不等式22ππαβ-<-<，0+αβπ<<，则3()2()αβαβαβ-=++-，因此3αβ-取值范围是(,2)ππ-.14. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】由题意可知，,,的夹角为︒1201==可得+与反向， 且1||=+，2=++.15. 【命题意图】本题考查解三角形的相关知识.【试题解析】由题意可知1cos sin 2=b A B ，cos sin sin 2==A B A b a ，得tan 3π==A A ，由余弦定理2212=+-b c bc ，由基本不等式12bc ≤，从而 ABC ∆面积的最大值为b c =时取到最大值.16. 【命题意图】本题考查圆锥的体积最值问题.【试题解析】设圆锥的底面圆半径为(03)<<r r锥的体积为1133π=V r 2(09)=<<t r t ，有13=V 2329,3183(6)'=-=-+=--y t t y t t t t ，当06<<t 时函数 为增函数，当69<<t 时函数为减函数，从而当6=t时体积取最大值.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列前n 项和与通项的应用，还有裂项求和的应用等.【试题解析】（1）由11222(1)2(2)n n nn S n S n n +-⎧=+-⎪⎨=+-- ⎪⎩≥，则21nn a =+(2)n ≥.当1n =时，113a S ==，综上21nn a =+. （6分）（2）由22log (1)log 2nn n b a n =-==.12233411111...n n bb b b b b b b +++++1111...122334(1)n n =++++⨯⨯⨯+1111111(1)()()...()223341n n =-+-+-++-+1111n =-<+. 得证. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解，以及分布列的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：（1）根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000. （4分） （2）X 的可能取值为0，20，40，602611(0)15P X C === 11322662(20)155C C P X C ====12232651(40)153C C P X C +==== 132631(60)155C P X C ====则X 的分布列为即1003EX =（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE 在PBD △中，////PE DE PB OE BO DO OE ACE PB ACE PB ACE =⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面 （4分）（2）24P ABCD P ACD E ACD V V V ---===，设菱形ABCD 的边长为a211(2)133P ABCD ABCDV SPA -=⋅=⨯⨯=，则a 取BC 中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴， 建立如图所示坐标系.D ，(0,0,0)A，1)2E，3(2C1(0,)2AE=，3(2AC=， 1(1,n =，2(1,0,0)n =1212||cos ||||1n n n n θ⋅===⋅+即二面角D AE C --. （12分）20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 由椭圆定义122||||4=+=a EF EF ，有2,1,===a c b从而 22143+=x y . （4分）(2) 设直线:(1)(0)=+>l y k x k ，有22(1)143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y ，整理得2236(4)90+--=y y k k ，设1122(,),(,)A x y B x y ，有21212122,()(1)λλλ-=-=+-y y y y y y ，222(1)414,23434λλλλ-=+-=++k k ，由于23λ≤<，所以114223λλ≤+-<，21442343≤<+k ，解得0<≤k .（12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，利用导数比较大小等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（1）由题意可知，()f x 和()g x 在(0,1)处有相同的切线， 即在(0,1)处(1)(1)f g =且(1)(1)f g ''=， 解得1,1a b ==. （4分）（2）现证明1xe x +≥，设()1x F x e x =--，令()10x F x e '=-=，即0x =，因此()(0)0min F x F ==，即()0F x ≥恒成立，即1xe x +≥，同理可证ln 1x x -≤.由题意，当2a ≤时，1xe x +≥且ln(2)1x x ++≤，即1ln(2)x e x x ++≥≥， 即2a =时，()()0f x g x ->成立.当3≥a 时，0ln <e a ，即ln()+x e x a ≥不恒成立.因此整数a 的最大值为2. （9分）（3）由ln(2)x e x >+，令1n x n-+=， 即11ln(2)n nn en -+-+>+，即11ln (2)n n n e n-+-+>+ 由此可知，当1n =时，0ln 2e >， 当2n =时，12(ln3ln2)e ->-， 当3n =时，23(ln4ln3)e ->-， ……当n n =时，1[ln(1)ln ]-+>+-n n e n n . 综上：012123...ln2(ln3ln2)(ln4ln3)...[ln(1)ln ]---+++++>+-+-+++-n ne e e e n n 0121231 (1)1ln 2(ln 3ln 2)(ln 4ln 3)...[ln(1)ln ]---+>++++->+-+-+++-n ne e e e en n .即23ln 2(ln3ln 2)(ln 4ln3)...[ln(1)ln ]1+-+-+++-<-n en n e . （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线的参数方程的几何意义等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 （Ⅰ）直线l的参数方程为1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (， 圆的极坐标方程为θρsin 6=. （5分）（Ⅱ）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +-=， 127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅=（10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】（1）由已知，令2(1)()|1||1|2(11)2(1)x f x x x x x x ⎧⎪=+--= -<<⎨⎪- ⎩≥≤-由|()|2<f x 得{|11}=-<<A x x .（5分）（2）要证1||1abcab c->-，只需证|1|||abc ab c ->-，只需证2222221a b c a b c +>+，只需证222221(1)a b c a b ->-只需证222(1)(1)0a b c -->，由,,a b c A ∈，则222(1)(1)0a b c -->恒成立.（10分）。
2022年吉林省长春市高考文科数学一模试卷及答案解析
2022年吉林省长春市高考文科数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{2，3，5}，B ＝{2，3，6}，若x ∈A ，且x ∉B ，则x 的值为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．62．已知平面向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，|b →|＝1，则|a →−2b →|＝（ ） A ．2B ．4C ．1D ．√63．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，a 3+a 4＝12，则公比q ＝（ ） A ．±4 B ．4 C ．±2 D ．24．曲线y =2x−1x+1在(1，12)处的切线斜率为（ ） A ．14B ．34C ．1D ．545．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．√3π2B ．√3π3C ．π6D ．√3π66．函数y ＝sin （3x −π4）的一个零点是（ ） A ．−π12B ．−7π12C ．7π12D ．11π127．已知向量BA →=（12，√32），BC →=（√32，12），则∠ABC ＝（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°8．已知函数f(x)=a +12x+1为奇函数，则f （1）＝（ ） A ．−23B ．﹣1C ．−16D ．139．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝1，c cos A +a cos C ＝2b cos B ，△ABC 的面积S =√3，则b 等于（ ）A ．3B ．√13C ．4D ．√1510．△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM →=12MC →，若BM →=λBA →+μBC →，则λ﹣μ的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．2311．已知数列{a n }满足a 2＝4，n （n ﹣1）a n +1＝（n ﹣1）a n ﹣na n ﹣1（n ＞1且n ∈N *），数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A ．20S 21＝a 20+80 B ．20S 21＝a 20+40C ．S 21＝20a 20+80D ．S 21＝20a 20+4012．已知函数f （x ）={−lnx ，0＜x ≤11x ，x ＞1，若0＜a ＜b 且满足f （a ）＝f （b ），则af （b ）+bf（a ）的取值范围是（ ） A ．（1，1e +1）B ．（﹣∞，1e+1]C ．（1，1e+1]D ．（0，1e+1）二、填空题：本题共4小题，每小题0分，共20分.13．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于 ． 14．若sinθ+√3cosθ=2，θ∈(0，π2)，则θ＝ ．15．设函数f （x ）＝2|x |+x 2，若f （a +1）﹣8＜0，则实数a 的取值范围是 ． 16．若x 的不等式e x （x 2﹣2x +2）≤ae x +x 在[0，+∞）有解，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选做题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设等差数列{a n }的公差不为0，a 2＝1，且a 2，a 3，a 6成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求使S n ＞35成立的n 的最小值．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，△ADP 为等边三角形．（1）求证：AD ⊥PB ；（2）若AB ＝2，BP =√6，求点C 到平面PBD 的距离．19．某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照[120，140），[140，160），[160，180），[180，200]进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）． （Ⅰ）估计这批苹果的重量的平均数；（Ⅱ）该果园准备把这批苹果销售给一家超市，根据市场行情，有两种销售方案： 方案一：所有苹果混在一起，价格为1元千克；方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为1.2元/千克，重量小于160克的苹果的价格为0.8元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费． 分别估计并比较两种方案下果园销售10000个苹果的收入．20．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的长半轴长为2，且经过点M （1，32）；过点P （2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，满足PA →•PB →=PM →2，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx ．（1）当a ＝﹣1时，求函数f （x ）的单调区间； （2）若函数f （x ）的最小值为﹣e 2，求参数a 的值． 四、解答题（共2小题，满分0分）22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =1+cosφy =sinφ（φ为参数），以O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+π3）＝3√3．（1）求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）射线OM：θ=π3与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求△CPQ的面积．23．已知函数f（x）＝|2x﹣m|．（1）当m＝1时，求函数g（x）＝f（x）+|2x+5|的最小值；（2）若f（x）≤1的解集为[1，2]，且a+3b＝m（a＞0，b＞0），求a2+9b2的最小值．2022年吉林省长春市高考文科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{2，3，5}，B ＝{2，3，6}，若x ∈A ，且x ∉B ，则x 的值为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．6【解答】解：∵x ∈{2，3，5}，∴x ＝2或x ＝3或x ＝5． ∵x ∉{2，3，6}，∴x ≠2且x ≠3且x ≠6， ∴x ＝5． 故选：C ．2．已知平面向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，|b →|＝1，则|a →−2b →|＝（ ）A ．2B ．4C ．1D ．√6【解答】解：∵|a →−2b →|=√(a →−2b →)2=√|a →|2−4|a →||b →|cos π3+4|b →|2=2．故选：A ．3．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，a 3+a 4＝12，则公比q ＝（ ） A ．±4B ．4C ．±2D ．2【解答】解：依题意，数列{a n }是正项等比数列，S 2＝a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝（a 1+a 2）•q 2＝12，所以q =√a 2+a 4S2=2，故选：D ．4．曲线y =2x−1x+1在(1，12)处的切线斜率为（ ） A ．14B ．34C ．1D ．54【解答】解：由y =2x−1x+1，得y ′=2(x+1)−(2x−1)(x+1)2=3(x+1)2，∴y′|x=1=34，即曲线y =2x−1x+1在(1，12)处的切线斜率为34．故选：B ．5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．√3π2B ．√3π3C ．π6D ．√3π6【解答】解：由三视图知几何体为圆锥的一半，且圆锥的底面圆半径为1，高为√3， ∴几何体的体积V =12×13×π×12×√3=√36π， 故选：D ．6．函数y ＝sin （3x −π4）的一个零点是（ ） A ．−π12B ．−7π12C ．7π12D ．11π12【解答】解：令函数y ＝sin （3x −π4）＝0 则3x −π4的终边落在X 轴上 即3x −π4=k π（k ∈Z ） 则x =13kπ+π12（k ∈Z ） 当k ＝﹣3时，x =−7π12 故选：B ．7．已知向量BA →=（12，√32），BC →=（√32，12），则∠ABC ＝（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【解答】解：BA →⋅BC →=√34+√34=√32，|BA →|=|BC →|=1； ∴cos∠ABC =BA →⋅BC →|BA →||BC →|=√32；又0°≤∠ABC ≤180°； ∴∠ABC ＝30°． 故选：A ．8．已知函数f(x)=a +12x+1为奇函数，则f （1）＝（ ） A ．−23B ．﹣1C ．−16D ．13【解答】解：函数的定义域为R ， ∵f （x ）是奇函数， ∴f （0）＝0，即f （0）＝a +11+1=0，即a =−12， 则f （1）=−12+12+1=−12+13=−16， 故选：C ．9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝1，c cos A +a cos C ＝2b cos B ，△ABC 的面积S =√3，则b 等于（ ） A ．3B ．√13C ．4D ．√15【解答】解：∵c cos A +a cos C ＝2b cos B ，∴由正弦定理，得2sin B cos B ＝sin C cos A +sin A cos C ＝sin （A +C ）＝sin B ，即2sin B cos B ＝sin B ， 又sin B ≠0， ∴cos B =12，∴由B ∈（0，π），可得B =π3，∵△ABC 的面积S =12ac sin B =12×c ×1×√32=√3，解得：c ＝4， ∴b =√a 2+c 2−2accosB =√1+16−2×1×4×12=√13． 故选：B ．10．△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM →=12MC →，若BM →=λBA →+μBC →，则λ﹣μ的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．23【解答】解：AM →=12MC →， 所以AM →=13AC →，所以BM →=BA →+AM →=BA →+13AC →=BA →+13(BC →−BA →)=23BA →+13BC →， 若BM →=λBA →+μBC →， 则λ=23，μ=13，λ﹣μ=13．故选：C ．11．已知数列{a n }满足a 2＝4，n （n ﹣1）a n +1＝（n ﹣1）a n ﹣na n ﹣1（n ＞1且n ∈N *），数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A ．20S 21＝a 20+80 B ．20S 21＝a 20+40C ．S 21＝20a 20+80D ．S 21＝20a 20+40【解答】解：数列{a n }满足a 2＝4，n （n ﹣1）a n +1＝（n ﹣1）a n ﹣na n ﹣1（n ＞1且n ∈N *），整理得：a n+1=a n n −an−1n−1，所以S n ＝a 1+a 2+a 3+...+a n =a 1+a 2+a 22−a 11+a 33−a 22+...+a n−2n−2−a n−3n−3+an−1n−1−a n−2n−2=a 2+a n−1n−1=4+an−1n−1， 故当n ＝21时，S 21=4+a2020，整理得：20S 21＝a 20+80． 故选：A ．12．已知函数f （x ）={−lnx ，0＜x ≤11x，x ＞1，若0＜a ＜b 且满足f （a ）＝f （b ），则af （b ）+bf（a ）的取值范围是（ ） A ．（1，1e +1）B ．（﹣∞，1e+1]C ．（1，1e+1]D ．（0，1e+1）【解答】解：∵函数f （x ）={−lnx ，0＜x ≤11x ，x ＞1，若0＜a ＜b 且满足f （a ）＝f （b ），则−lna =1b 且由0＜−lna ＜1得1e ＜a ＜1又af(b)+bf(a)=a ⋅1b+b(−lna)=−alna +1(1e＜a ＜1) 令g （x ）＝﹣xlnx +1，（1e ＜x ＜1）则g ′（x ）＝﹣lnx ﹣1 令g ′（x ）＝0，则x =1e当1e＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，g （x ）为减函数，∴g （x ）∈（1，1e+1）故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题0分，共20分.13．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于 48 ． 【解答】解：∵直棱柱的底面周长为12，高为4， ∴这个棱柱的侧面积为12×4＝48， 故答案为：48．14．若sinθ+√3cosθ=2，θ∈(0，π2)，则θ＝ π6．【解答】解：因为sin θ+√3cos θ ＝2（12sin θ+√32cos θ）＝2（cos π3sin θ+sin π3cos θ） ＝2sin （θ+π3）＝2， 所以sin （θ+π3）＝1，由θ∈（0，π2），可得θ+π3∈（π3，5π6），所以θ+π3=π2， 所以θ=π6． 故答案为：π6．15．设函数f （x ）＝2|x |+x 2，若f （a +1）﹣8＜0，则实数a 的取值范围是 （﹣3，1） ． 【解答】解：∵f （﹣x ）＝2|﹣x |+（﹣x ）2＝2|x |+x 2＝f （x ），∴f （x ）是偶函数，当x ≥0时，f （x ）为增函数，则由f（a+1）﹣8＜0得f（a+1）＜8＝f（2），即等价为f（|a+1|）＜f（2），则|a+1|＜2得﹣2＜a+1＜2，得﹣3＜a＜1，即实数a的取值范围是（﹣3，1），故答案为：（﹣3，1）．16．若x的不等式e x（x2﹣2x+2）≤ae x+x在[0，+∞）有解，则实数a的取值范围是[1−1 e，+∞）．【解答】解：不等式e x（x2﹣2x+2）≤ae x+x可化为a≥x2﹣2x+2−xe x，设f（x）＝x2﹣2x+2−xe x，x∈[0，+∞），所以f′（x）＝2x﹣2−1−xe x=（x﹣1）（2+1e x），当x∈[0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＝1时，f′（x）＝0，f（x）取得极小值，也是函数的最小值，所以f min（x）＝f（1）＝1−1 e，所以实数a的取值范围是[1−1e，+∞）．故答案为：[1−1e，+∞）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选做题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设等差数列{a n}的公差不为0，a2＝1，且a2，a3，a6成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求使S n＞35成立的n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a32=a2⋅a6，即（1+d）2＝1+4d，解得d＝2，或d＝0（舍去），所以{a n}的通项公式为a n＝a2+（n﹣2）d＝2n﹣3；（Ⅱ）因为a n ＝2n ﹣3， 所以S n =n(a 1+a n )2=n(a 2+a n−1)2=n 2−2n ， 依题意有n 2﹣2n ＞35， 解得n ＞7，使S n ＞35成立的n 的最小值为8．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，△ADP 为等边三角形．（1）求证：AD ⊥PB ；（2）若AB ＝2，BP =√6，求点C 到平面PBD 的距离．【解答】解：（1）证明：取AD 中点O ，连接PO ，BO ，∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，△ADP 为等边三角形， ∴PO ⊥AD ，BO ⊥AD ，∵PO ∩BO ＝O ，∴AD ⊥平面POB ， ∵PB ⊂平面POB ，∴AD ⊥PB ；（2）∵AB ＝2，∴PO ＝BO =√22−12=√3， ∵BP =√6，∴PO 2+BO 2＝PB 2，∴PO ⊥BO ， ∵PO ⊥AD ，AD ∩BO ＝O ，∴PO ⊥平面ABCD ， 设点C 到平面PBD 的距离为h ， ∵S △BDC =12×2×2×sin60°=√3， S △PBD =12×√6×22−(√62)2=√152， V P ﹣BDC ＝V C ﹣BDP ， ∴13×S △BDC ×PO =13×S △PBD ×ℎ，∴点C 到平面PBD 的距离为h =13×√3×√313×√152=2√155．19．某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照[120，140），[140，160），[160，180），[180，200]进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．（Ⅰ）估计这批苹果的重量的平均数；（Ⅱ）该果园准备把这批苹果销售给一家超市，根据市场行情，有两种销售方案：方案一：所有苹果混在一起，价格为1元千克；方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为1.2元/千克，重量小于160克的苹果的价格为0.8元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费．分别估计并比较两种方案下果园销售10000个苹果的收入．【解答】解：（Ⅰ）由频率和为1知，（0.016+0.015+a+0.009）×20＝1，解得a＝0.01；50个苹果重量的平均数x=0.2×130+0.3×150+0.32×170+0.18×190＝159.6；估计这批苹果的重量的平均数为159.6（克）．（Ⅱ）若采用方案一，估计销售收入约为159.6×10000×11000=1596（元）；若采用方案二，重量小于160克的苹果总重量约为（10000×0.2×130+10000×0.3×150）×11000=710（千克），所以重量不小于160克的苹果总重量约为（10000×0.32×170+10000×0.18×190）×11000=886（千克）；由此估计销售收入约为710×0.8+886×1.2﹣50＝1581.2（元）；所以方案一的销售收入更高．20．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的长半轴长为2，且经过点M （1，32）；过点P （2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，满足PA →•PB →=PM →2，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的长半轴长为2，且经过点M （1，32），∴设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，a ＞b ＞0，由题意得{a =21a2+94b2=1，解得b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）∵过点P （2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， ∴若存在直线l 满足题意，则直线l 的斜率必存在， 设直线l 的方程为：y ＝k （x ﹣2）+1，由{x 24+y 23=1y =k(x −2)+1，得（3+4k 2）x 2﹣8k （2k ﹣1）x +16k 2﹣16k ﹣8＝0， ∵直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ， 设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），∴Δ＝[﹣8k （2k ﹣1）]2﹣4（3+4k 2）（16k 2﹣16k ﹣8）＞0， 整理，得32（6k +3）＞0，解得k ＞−12， 又x 1+x 2=8k(2k−1)3+4k2，x 1x 2=16k 2−16k−83+4k2，∵PA →⋅PB →=PM →2，即（x 1﹣2）（x 2﹣2）+（y 1﹣1）（y 2﹣1）=54， ∴（x 1﹣2）（x 2﹣2）（1+k 2）＝|PM |2=54， ∴[x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4]（1+k 2）=54， ∴[16k 2−16k−83+4k 2−2⋅8k(2k−1)3+4k 2+4]（1+k 2）=4+4k 23+4k2=54，解得k =±12，∵k ＞−12，∴k =12， ∴存在直线l 满足条件，其方程为y =12x ． 21．已知函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx ．（1）当a ＝﹣1时，求函数f （x ）的单调区间； （2）若函数f （x ）的最小值为﹣e 2，求参数a 的值．【解答】解：（1）当a ＝﹣1时，f （x ）＝x 2+x ﹣lnx （x ＞0）求导得：………………………（1分）f′(x)=2x +1−1x =2x 2+x−1x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 令2x 2+x ﹣1＝（2x ﹣1）（x +1）＝0，则x 1＝﹣1（舍）；x 2=12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） ∴当x ∈(0，12)，f '（x ）＜0，f （x ）在区间(0，12)单调递减； 当x ∈(12，+∞)，f '（x ）＞0，f （x ）在区间(12，+∞)单调递增；∴函数f （x ）的单调减区间为(0，12)，单调增区间为(12，+∞)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （2）f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx （x ＞0）求导得：f′(x)=2x −a −1x =2x 2−ax−1x⋯⋯（5分） 令h （x ）＝2x 2﹣ax ﹣1，则Δ＝a 2+8＞0，且h （x ）开口向上，h （0）＝﹣1………（6分）∴存在x 0＞0，使得h （x 0）＝0…………………………………………………………（7分） 当x ∈（0，x 0），f '（x ）＜0，f （x ）在区间（0，x 0）单调递减；当x ∈（x 0，+∞），f '（x ）＞0，f （x ）在区间（x 0，+∞）单调递增；……………………（8分）f(x)min =f(x 0)=−e 2，即x 02−ax 0−lnx 0=−e 2，2x 02−ax 0−1=0⋯⋯⋯⋯（9分）两式相减得：x 02+lnx 0−1−e 2=0，令t （x ）＝x 2+lnx ﹣1﹣e 2（x ＞0），……（10分） t′(x)=2x +1x＞0(x ＞0)，∴函数t （x ）在区间（0，+∞）单调递增，且t （e ）＝0， ∴x 0＝e ，∴e 2﹣ae ﹣lne ＝﹣e 2，a =2e −1e ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）四、解答题（共2小题，满分0分）22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =1+cosφy =sinφ（φ为参数），以O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+π3）＝3√3． （1）求圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）射线OM ：θ=π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求△CPQ 的面积． 【解答】解：（1）∵cos 2φ+sin 2φ＝1，又∵圆C 的参数方程为{x =1+cosφy =sinφ（φ为参数），∴（x ﹣1）2+y 2＝1，∴ρ2﹣2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ，∵直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+π3）＝3√3． ∴直线l 的直角坐标方程为√3x +y −3√3=0． （2）设（ρ1，θ1）为点P 的极坐标， 由{ρ1=2cosθ1θ1=π3，解得{ρ1=1θ1=π3，即P （1，π3），设（ρ2，θ2）为点Q 的极坐标，由{ρ2(sinθ2+√3cosθ2)=3√3θ2=π3，解得{ρ2=3θ2=π3，即Q(3，π3)， ∵θ1＝θ2，∴|PQ |＝|ρ1﹣ρ2|＝2，点C 到OM 的距离为√32， 故△CPQ 的面积为12×2×√32=√32． 23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣m |．（1）当m ＝1时，求函数g （x ）＝f （x ）+|2x +5|的最小值；（2）若f （x ）≤1的解集为[1，2]，且a +3b ＝m （a ＞0，b ＞0），求a 2+9b 2的最小值． 【解答】解：（1）当m ＝1时，g （x ）＝|2x ﹣1|+|2x +5|，所以g （x ）≥|（2x ﹣1）﹣（2x +5）|＝6，当−52≤x ≤12时等号成立， ∴函数g （x ）的最小值为6； （2）由|2x ﹣m |≤1得m−12≤x ≤m+12，因为f （x ）≤1的解集为[1，2]，∴{m−12=1m+12=2，解得m ＝3，∴a +3b ＝3，∵a ＞0，b ＞0，∴6a ⋅b =2(a ⋅3b)≤2(a+3b 2)2=2⋅94=92（当且仅当a =3b =32时取等号）， ∴a 2+9b 2=(a +3b)2−6ab ≥32−92=92（当且仅当a =32，b =12时取等号）， ∴a 2+9b 2的最小值为92．。
吉林省长市普通高中高三数学一模考试试题 文
长春市普通高中2018届高三质量监测(一)数学试题卷(文科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,2,4A =，{}14,B x x x Z =??，则A B =( )A ．{}2B ．{}1,2C ．{}2,4D ．{}1,2,42.设i 为虚数单位，则()()11i i -++=( )A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-3.已知圆22460x y x y +-+=的圆心坐标为(),a b ，则22a b +=( )A ．8B ．16C ．12D ．134.等差数列{}n a 中，已知6110a a +=，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( )A ．6B ．7 C.8 D ．95.已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A ．92，94B ．92，86 C.99，86 D ．95，916.顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在y 轴上的角a 的集合是( ) A ．2,2k k Z p a a p 禳镲=+?睚镲铪 B ．2,2k k Z p a a p 禳镲=-?睚镲铪C.,2k k Z p a a p 禳镲=+?睚镲铪 D ．,2k k Z p a a 禳镲=?睚镲铪7.下图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班的成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升.其中正确结论的个数为( )A．0 B．1 C.2 D．38.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈)，那么该刍甍的体积为( )A．4立方丈 B．5立方丈 C.6立方丈 D．12立方丈9.已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，6AB=，BC=锥O ABCD-的体积为R等于( )A．4 B．10.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )A ．求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和B ．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和C.求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D.求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和11.已知O 为坐标原点，设1F ，2F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则OH =( )A ．1B ．2 C.4 D ．1212.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x p +=-，当0,2x p 轾Î犏犏臌时，()f x ，则函数()()()1g x x f x p =--在区间3,32p p 轾-犏犏臌上所有零点之和为( ) A ．p B ．2p C.3p D ．4p第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,2a =，()2,1b =-，则a 与b 的夹角为 ．14.函数()()2ln 34f x x x =--的单调增区间为 ．15.已知点(),P x y 位于y 轴，y x =，2y x =-三条直线所围成的封闭区域内(包括边界)，则2x y +的最大值为 ．16.在ABC △中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1cos sin 2b A B =，且a =6bc +=，则ABC △的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，530S =，2616a a +=.(1)求等差数列{}n a 的通项公式；(2)求12111nS S S +++…. 18.长春市“名师云课”活动自开展以为获得广大家长以及学子的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给广大学子，现对某一时段云课的点击量进行统计：(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数.(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[]0,1000内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(]1000,3000内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中任意取出2节课进行剪辑，求剪辑时间为40分钟的概率.19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ^平面ABCD，E 为PD 的中点.(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设1PA =，AD ，PC PD =，求三棱锥P ACE -的体积.20.已知椭圆C 的两个焦点为()11,0F -，()21,0F ，且经过点E . (1)求椭圆C 的方程；(2)过1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点(点A 位于x 轴上方)，若112AF F B =，求直线l 的斜率k 的值.21.已知函数()x f x e a =-.(1)若函数()f x 的图象与直线:1l y x =-，求a 的值；(2)若()ln 0f x x ->恒成立，求整数a 的最大值.22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为()1,2，点M 的极坐标为3,2p 骣琪琪桫，若直线l 过点P ，且倾斜角为6p ，圆C 以M 为圆心，3为半径.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ×.23.设不等式112x x +--<的解集为A .(1)求集合A ；(2)若,,a b c R Î，求证：11abcab c ->-.长春市普通高中2018届高三质量监测(一)数学试题卷(文科)参考答案一、选择题1-5:BDDCB 6-10:CDBAC 11、12：AD二、填空题 13.2p 14.()4,+?15.3 16.三、解答题17.(1)由题可知315302616a a d ì=ïí+=ïî，从而有12a d ==，2n a n =. (2)由(1)知()1n S n n =+，1111n S n n =-+，从而 12111111111122311n n S S S n n n +++=-+-++=-=++……. 18.解：(1)根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000.(2)在(1)中选出的6节课中，设点击量在区间[]0,1000内的一节课为1A ，点击量在区间(]1000,3000内的三节课为123,,B B B ，点击量超过3000的两节课为12,C C ，从中选出两节课的方式有11A B ，12A B ，13A B ，11A C ，12A C ，12B B ，13B B ，11B C ，12B C ，23B C ，21B C ，23B C ，31B C ，32B C ，12C C ，共15种，其中剪辑时间为40分钟的情况有11A C ，12A C ，12B B ，13B B ，23B C ，共5种，则剪辑时间为40分钟的概率为51153=. 19.解：(1)连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，在PBD △中，PE DE PB OE BO DO OE ACE PB ACE PB ACE üü=ïïÞýï=ïþïï剔ýïËïïïþ∥平面∥平面平面.(2)11111121244343P ACE P ACD P ABCD ABCD V V V S PA ---骣琪===鬃=状?琪桫平行四边形.20.解：(1)由椭圆定义1224a EF EF =+=，有2a =，1c =，b ，从而22143x y +=. (2)设直线():1l y k x =+，有()221143y k x x y ì=+ïïíï+=ïî，整理得2236490y y k k 骣琪+--=琪桫，设()11,A x y ，()22,B x y ，有122y y =-，()212122y y y y =+，2348k +=，k =?k .21.解：(1)由题意可知，()f x 和1y x =-相切， ()'1f x =，则0x =，即()01f =-，解得2a =.(2)现证明1x e x ?，设()1x F x e x =--，令()'10x F x e =-=，即0x =. 因此()()min 00F x F ==，即()0F x ³恒成立，即1x e x ?，同理可证ln 1x x ?. 由题意，当2a £时，21ln x e x x -??.即2a =时，()()0f x g x ->成立，不3a ³时，存在x 使3ln x e x -<，即3ln x e x -?不恒成立， 因此整数a 的最大值为2.22.解：(1)直线l的参数方程为1122x y tìï=ïíï=+ïî(t 为参数)，圆的极坐标方程为6sin r q =.(2)把1122x y t ìï=ïíï=+ïî代入()2239x y +-=，得)2170t t +-=， ∴127t t =-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ， 则1PA t =，2PB t =，∴7PA PB ?.23.解：(1)由已知，令()2,1112,112,1x f x x x x x x ì³ïï=+--=-<<íï-?ïî，由()2f x <得{}11A x x =-<<.(2)要证11abc ab c->-，只需证1abc ab c ->-， 只需证2222221a b c a b c +>+，只需证()2222211a b c a b ->-， 只需证()()222110a b c -->，由,,a b c A Î，则()()222110a b c -->恒成立.。
吉林省长春市2021届高三数学第一次质量监测一模试题理.docx
吉林省长春市2021届高三数学第一次质量监测(一模)试题理一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合A = (x||%|<3,xeZ},J B = {x|x 2-2%>0),则集合A 3的元素个数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个A.周期为2刀的奇函数 C.周期为"的奇函数3. 在 AABC 中，A> B 是 sin A 〉sin 3 的 A,充分不必要条件B,必要不充分条件 B.周期为2〃的偶函数D.周期为〃的偶函数C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 张老师居住的一条街上，行驶着甲、乙两路公交车，这两路公交车的数目相同，并且都是每隔 十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到 学校，这两条公交线路对他是一样的，都可以到达学校，甲路公交车的到站时间是6:09,6:19, 6:29,6:39,…，乙路公交车的到站时间是6:00, 6:10, 6:20, 6:30，…，则张老师乘坐上 甲路公交车的概率是A. 10%B. 50%C. 60%5. 长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的 航行速度v l 的大小| v 11= 10km/h ,水流的速度v 2的大小I v 21= 4km/h,设V ］和峋所成角为。
(0< 0 <石)，若游船 要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos 6*等于^/21 2 3 4A. ------------B. ------------C. -------------D. ---------------5 5 5 5则四面体A-3CD 的外接球体积为 4〃 8刀 32TTA. ---------B. —C.D. ---------3 33712.函数 y = sin| 2x+— | 是 D. 90%v iA河流两岸示意图6.已知函数/*(%) = (x —l)sin(;rx),则函数在［-1,3］上的大致图象为7.将长、宽分别为也和1的长方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到四面体A-BCD,2/9 8.已知抛物线y 2=2px （p>Q ）,过其焦点F 的直线/与抛物线分别交于A 、B 两点（点A 在第一象限），且AB = 4FB,则直线/的倾斜角为TCTCTC2〃A. —B. —C. —D. --------------------------------------------------6 4 3 39. 对于函数f （x ） = x\x\ +x + l,下列结论中正确的是 A.y （x ）为奇函数B./（x ）在定义域上是单调递减函数C.f 3）的图象关于点（0,1）对称D.y （x ）在区间（0,松。