江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试卷
泰州市2015届高三上学期期末考试(理)数学试题及答案
江苏省泰州市2015届高三上学期期末考试数学（理）试题解析一、填空题：1.已知{}1,3,4A =，{}3,4,5B =，则A B = ▲ ． 【答案】{}3,4 【解析】【考点】集合运算 2.函数()sin(3)6f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．【答案】23π 【解析】试题分析：函数()sin(3)6f x x π=+ 的最小正周期为22=||3ππω 【考点】三角函数周期3.复数z 满足iz 34i =+（i 是虚数单位），则z = ▲ ． 【答案】43i - 【解析】【考点】复数运算4.函数()f x =的定义域为 ▲ ．【答案】[2,)+∞ 【解析】试题分析：因为2402x x -≥⇒≥，所以定义域为[2,)+∞ 【考点】函数定义域5.执行如下图所示的流程图，则输出的n为▲ ．【答案】4【考点】循环结构流程图6.若数据2,,2,2x的方差为0，则x=▲ ．【答案】2【解析】试题分析：因为方差为0，所以各数相等，即 2.x=【考点】方差7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为▲ ．【答案】1 3【考点】古典概型概率8.等比数列{}n a 中，16320a a +=，3451a a a =，则数列的前6项和为 ▲ ． 【答案】214- 【解析】试题分析：51613201+3202a a q q +=⇒=⇒=-，33454411=1=18a a a a a a =⇒⇒⇒=-，数列的前6项和为618(1())212141()2---=--- 【考点】等比数列求和9.已知函数22sin ,0()cos(),0x x x f x x x x α⎧+≥=⎨-++<⎩是奇函数，则sin α= ▲ ．【答案】1-【考点】奇函数性质10.双曲线12222=-by a x 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ ． 【答案】53【解析】试题分析：因为双曲线12222=-by a x 的右焦点到渐近线的距离为,b 所以5,,35,.2243c a c a c a c b c a c a e a +++==-==== 【考点】双曲线离心率11.若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线． 【答案】②④ 【解析】试题分析：①当αβ⊥时，在平面β内存在与直线m 平行的直线．②若直线m α⊥，则平面αβ、的交线必与直线m 垂直，而在平面β内与平面αβ、的交线平行的直线有无数条，因此在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直．③当直线m 为平面αβ、的交线时，在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线．④当直线m 为平面αβ、的交线，或与交线平行，或垂直于平面β时，显然在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线．当直线m 为平面β斜线时，过直线m 上一点作直线l 垂直平面β，设直线m 在平面β上射影为l '，则平面β内作直线l ''垂直于l '，则必有直线l ''垂直于直线m ，因此在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．【考点】直线与平面平行与垂直关系12.已知实数,,a b c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为 ▲ ．【答案】[]33- 【解析】试题分析：由题意可设：cos ,sin a c b c θθ==则sin sin =2cos 2cos 2b c y a c c c θθθθ==---，因此2cos sin y y θθ=+，|2|y y ≤≤≤ 【考点】三角函数最值13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B C ∠=∠且2227a b c ++=则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．【答案】5【解析】ABC ∆面积11sin 22S bc A b ====由2227a b c ++=S =当2b 时ABC ∆【考点】余弦定理，二次函数最值14.在梯形ABCD 中，2AB DC =，6BC = ，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足4++=0，DA CB DA DP ⋅=⋅ ，Q 为边AD 上的一个动点，则PQ的最小值为 ▲ ．【解析】试题分析：取AB 中点M ，连DM ，则四边形DMBC 为平行四边形，DM//CB,,,6DA CB ADM DM CB 〈〉=∠== .由40AP BP DP ++=得42,2, 2.DP PM DP PM DP === 由DA CB DA DP ⋅=⋅ 得1cos ||||cos 3ADM DA CB DA DP ADM ∠⋅⋅=⋅⇒∠= ，PQ的最小值为sin 2DP ADM ⋅∠=⨯= 【考点】向量数量积 二、解答题15.（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点(3,4)P ． （１）求sin()4πα+的值； （２）若P 关于x 轴的对称点为Q ，求OP OQ ⋅的值．【答案】7- 【解析】（１）∵角α的终边经过点(3,4)P ，∴43sin ,cos 55αα==，……………4分∴43sin()sin coscos sin4445252πππααα+=+=⨯+⨯=7分 （２）∵(3,4)P 关于x 轴的对称点为Q ，∴(3,4)Q -．………………………………9分∴(3,4),(3,4)OP OQ ==- ，∴334(4)7OP OQ ⋅=⨯+⨯-=-． ……………１４分【考点】三角函数定义，向量数量积16.（本题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,AC BD 相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点．（1）求证：直线//OG 平面EFCD ； （2）求证：直线AC ⊥平面ODE ．【答案】（１）∵四边形ABCD 是菱形，∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点，由三角形中位线性质得//OG CD ，再根据线面平行判定定理得直线//OG 平面EFCD ．（２）一方面∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥，另一方面∵ BF CF =，点G 为BC 的中点, ∴FG BC ⊥,由面面垂直性质定理得FG ⊥平面ABCD ，从而FG AC ⊥，又可证四边形EFGO 为平行四边形，即//FG EO ，所以AC EO ⊥，最后由线面垂直判定定理得AC ⊥平面ODE ．试题解析：证明（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC BD O = ，∴点O 是BD 的中点， ∵点G 为BC 的中点 ∴//OG CD ， ………………3分 又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴直线//OG 平面EFCD ．………７分（２）∵ BF CF =，点G 为BC 的中点, ∴FG BC ⊥, ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF 平面ABCD BC =，FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥ ∴FG ⊥平面ABCD ， ………………9分∵AC ⊂平面ABCD ∴FG AC ⊥, ∵1//,2OG AB OG AB =，1//,2EF AB EF AB =，∴//,OG EF OG EF =， ∴四边形EFGO 为平行四边形, ∴//FG EO ， ………………11分 ∵FG AC ⊥，//FG EO ，∴AC EO ⊥， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥， ∵AC EO ⊥，AC DO ⊥，EO DO O = ，EO DO 、在平面ODE 内，∴AC ⊥平面ODE ． ………………1４分 【解析】【考点】线面平行判定定理，线面垂直判定定理，面面垂直性质定理17.（本题满分14分）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km 的半圆和一个以PQ 为斜边的等腰直角三角形PRQ ∆构成，其中O 为PQ 的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD ，按实际需要，四边形ABCD 的两个顶点C D 、分别在线段QR PR 、上，另外两个顶点A B 、在半圆上， ////AB CD PQ ，且AB CD 、间的距离为1km ．设四边形ABCD 的周长为c km ．（1）若C D 、分别为QR PR 、的中点，求AB 长； （2）求周长c 的最大值．【答案】【解析】（１）解：连结RO 并延长分别交AB CD 、于M N 、，连结OB ， ∵C D 、分别为QR PR 、的中点，2PQ =，∴112CD PQ ==， PRQ ∆ 为等腰直角三角形，PQ 为斜边，112RO PQ ∴==， 1122NO RO ==．∵1MN =，∴12MO =．………………3分在Rt BMO ∆中，1BO =，∴BM ==∴2AB BM == ……………6分 （２） 解法１ 设BOM θ∠=，02πθ<<．在Rt BMO ∆中，1BO =，∴sin BM θ=，cos OM θ=．∵1MN =，∴1cos CN RN ON OM θ==-==，∴BC AD ==8分∴2(sin cos c AB CD BC AD θθ=+++=++………………10分≤=（当12πθ=或512π时取等号）∴当12πθ=或512πθ=时，周长c 的最大值为km ． …………………14分 解法２ 以O 为原点，PQ 为y 轴建立平面直角坐标系． 设(,)B m n ，,0m n >，221m n +=，(1,)C m m -，∴2AB n =，2CD m =，BC AD ==8分∴2(c AB CD BC AD m n =+++=++ ………………………10分≤=（当4m =，4n =或4m =，4n =时取等号）∴当m =n =或m =，n =时，周长c 的最大值为km ． ……………１４分【考点】直线与圆位置关系，基本不等式求最值18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 的椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ 时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．【答案】（１）22142x y +=（２）过定点(F ．【解析】解：（1）设00()P x ， ∵直线PQ斜率为2时，PQ =2200()32x x +=，∴202x =…………３分∴22211a b +=，∵2c e a a ===224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………６分（２）以MN为直径的圆过定点(F ．设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=，∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +， 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………９分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+- 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ………………12分∵220042x y-=-，∴220220x x y y y ++-=， 令0y =，2220x y +-=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． ………………16分 【考点】直线与椭圆位置关系19.（本题满分16分）数列}{n a ，}{n b ，}{n c 满足：12n n n b a a +=-，1222n n n c a a ++=+-，*n N ∈． （1）若数列}{n a 是等差数列，求证：数列}{n b 是等差数列；（2）若数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，求证：数列}{n a 从第二项起为等差数列； （3）若数列}{n b 是等差数列，试判断当130b a +=时，数列}{n a 是否成等差数列？证明你的结论．【答案】（１）证明一个数列为等差数列，一般从等差数列定义出发：，其中为等差数列的公差（２）同（1），先根据关系式，解出，再从等差数列定义出发，其中分别为等差数列，的公差（3）探究性问题，可将条件向目标转化，一方面，所以，即，另一方面，所以，整理得，从而，即数列成等差数列．试题解析：证明：（１）设数列的公差为，1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-d }{n a 12n n n b a a +=-1122n n n c a a -+=+-112n n n b c a -+=+1111121222222n n n n n n n n n n b c b c b b c c d d a a +-+-+++---=-=+=+12,d d }{n b }{n c 130b a +=1232a a a -=-12320a a a -+=122=+n n n b b b ++1+23+122+2=22n n n n n n a a a a a a +++---（）1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--1220n n n a a a ++--=}{n a }{n a d∵，∴， ∴数列是公差为的等差数列． ………………４分（３）数列成等差数列． 解法１ 设数列的公差为， ∵， ∴，∴，…，，∴，设，∴，两式相减得：，即，∴，∴，∴， ………………１２分 令，得，∵，∴，∴， 12n n n b a a +=-1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-}{n b d-}{n a }{n b d '12n n n b a a +=-11222nnn n n n b a a ++=-1111222n n n n n n b a a ----=-2112222b a a =-11111122222nn n n n n b b b a a -+-++++=- 211212222n n n n n T b b b b --=+++ 21112222n n n n n T b b b +-=+++ 21112(222)2n n n n n T b d b -+'-=++++- 11124(21)2n n n n T b d b -+'=---+11111124(21)222n n n n n b d b a a -+++'---+=-1111111112224(21)22242()n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++'''=++--=+---1111224()2n n n a b d a b d ++'+-'=--2n =111132133224224()22a b d a b d a b d b ''+-+-'=--=-130b a +=1113322402a b d b a '+-=+=112240a b d '+-=∴，∴，∴数列（）是公差为的等差数列， ………………１４分 ∵，令，，即，∴数列是公差为的等差数列． ………………１６分∵数列是等差数列，∴，∴， ………………１４分 ∵，∴，∴数列是等差数列． ………………１６分 【解析】【考点】等差数列定义20.（本题满分16分） 已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． (1)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；(2) 若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (3)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：12x x 22e >． （取e 为2.8，取ln 2为0.71.4） 【答案】（１）(,0]-∞（２）1-．1()n n a b d +'=--211()()n n n n a a b d b d d +++'''-=--+-=-}{n a 2n ≥d '-12n n n b a a +=-1n =1232a a a -=-12320a a a -+=}{n a d '-}{n b 1220n n n b b b ++--=1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--12320a a a -+=1220n n n a a a ++--=}{n a（3）由题意知，， 两式相加得，两式相减得， 即，∴，即， …………１２分不妨令，记，令，则， ∴在上单调递增，则， ∴，则，∴， 又，∴，即， 令，则时，，∴在上单调递增， 又，∴，即．………………１６分【解析】（１）由题意得对0x ∀>，211()0h x a x x '=+-≥恒成立，即min 211a x x≤+（），∵2110x x +>，∴0a ≤（２）设切点0001(,ln )x x x -，由导数几何意义得20011a x x =+，1111ln x ax x -=2221ln x ax x -=12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+21221112ln ()x x xa x x x x x --=-212112ln1x x a x x x x +=-21211212122112ln 1ln ()()xx x x x x x x x x x x x x +-=++-1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-120x x <<211x t x =>2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+2(1)()0(1)t F t t t -'=>+2(1)()ln 1t F t t t -=-+(1,)+∞2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+2(1)ln 1t t t ->+2211122()ln x x x x x x ->+1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-1212121212122()ln ln ln x x x x x x x x x x +-<=-=2>1>2()ln G x x x =-0x >212()0G x x x'=+>()G x (0,)+∞1ln 210.8512e =+-≈<1G =>>>2122x x e >002ln 1b x x =--，令010t x =>，则2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，问题就转化为利用导数求最值：由1(21)(1)()21t t t t ttϕ+-'=-+-=得当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ在(0,1)上单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)1a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为1-．（3）本题较难，难点在于构造函数.先根据等量关系消去参数a ：由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=，两式相加得12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+，两式相减得21221112ln ()x x xa x x x x x --=-，即212112ln1x x a x x x x +=-，∴21211212122112ln1ln ()()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-，即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，为研究等式右边范围构造函数2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，易得()F t 在(1,)+∞上单调递增，因此当120x x <<时，有2211122()ln0x x x x x x -->+即2211122()ln x x x x x x ->+，所以1212122()ln 2x x x x x x +->，再利用基本不等式进行放缩：1212121212122()2ln ln ln x x x x x x x x x x +<-<==，即1>，再一次构造函数2()ln G x x x=-，易得其在(0,)+∞上单调递增，而1)G G =>>=，即2122x x e >．试题解析：解：（1）()()()h x f x g x =-1ln x ax b x =---,则211()h x a x x'=+-， ∵()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，∴对0x ∀>，都有211()0h x a x x'=+-≥， 即对0x ∀>，都有211a x x ≤+，∵2110x x+>，∴0a ≤， 故实数a 的取值范围是(,0]-∞． ………………4分 (2) 设切点0001(,ln )x x x -，则切线方程为002000111(ln )()()y x x x x x x --=+-， 即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即02000112()(ln 1)y x x x x x =++--，令010t x =>，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---，……７分 令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则1(21)(1)()21t t t t ttϕ+-'=-+-=，当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ在(0,1)上单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)1a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为1-． ………………１０分 （3）由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+，两式相减得21221112ln ()x x xa x x x x x --=-， 即212112ln1x x a x x x x +=-，∴21211212122112ln 1ln ()()xx x x x x x x x x x x x x +-=++-，即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-， …………１２分不妨令120x x <<，记211x t x =>，令2(1)()l n (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+，∴2(1)()ln 1t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴2(1)ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-，又1212121212122()ln ln ln x x x x x x x x x x +-<==，∴2>，即1>， 令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，又1ln 210.8512e =+-≈<，∴1G =>>>，即2122x x e >． ………………１６分【考点】导数几何意义，导数综合应用附加题21.A （本小题满分10分，几何证明选讲）如图，EA 与圆O 相切于点A ，D 是EA 的中点，过点D 引圆O 的割线，与圆O 相交于点,B C ，连结EC ．求证：DEB DCE ∠=∠．【答案】证两角相等，一般利用相似三角形，而证两三角形相似，一般从切割线定理出发寻求对应边成比例：由切割线定理：2DA DB DC =⋅．∵D 是EA 的中点，∴2DE DB DC =⋅∴DE DBDC DE=．∴EDB CDE ∆∆ ∴DEB DCE ∠=∠ 【解析】【考点】切割线定理21.B （本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵1AB -对应的变换把直线l 变为直线:20l x y '+-=，求直线l 的方程．【答案】:2l x = 【解析】试题分析：从求轨迹方法出发：先设直线l 上任意一点(,)x y 在矩阵1AB -对应的变换下为点(,)x y ''再求1101212020102AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1202x x y y '-⎤⎤⎡⎤⎡⎡=⎥⎥⎢⎥⎢⎢'⎣⎦⎣⎣⎦⎦，22x x yy y '=-⎧⎨'=⎩:(2)(2)20l x y y '-+-=，:2l x =试题解析：解：∵1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴11201B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ∴1101212020102AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, ………………５分设直线l 上任意一点(,)x y 在矩阵1AB -对应的变换下为点(,)x y ''1202x x y y '-⎤⎤⎡⎤⎡⎡=⎥⎥⎢⎥⎢⎢'⎣⎦⎣⎣⎦⎦，∴22x x y y y '=-⎧⎨'=⎩ ．代入l '，:(2)(2)20l x y y '-+-=，化简后得：:2l x =． ………………１０分 【考点】矩阵变换21.C （本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲） 己知在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ-=，直线l 与圆M 相交于,A B 两点，求弦AB 的长．【解析】试题分析：由cos ,sin x y ρθρθ==，将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程10x y -+=，由22sin cos 1αα+=消去参数得圆O 的普通方程为224x y +=，根据圆心到直线距离得2d ==，再由垂径定理得AB ==试题解析：圆O ：224x y +=，直线l ：10x y -+=， ………………5分圆心O 到直线l 的距离2d ==，弦长AB == 【考点】极坐标方程化为直角坐标，参数方程化普通方程，直线与圆位置关系21.D （本小题满分10分，不等式选讲） 已知正实数,,a b c 满足3a b c ++=，求证：2223b c aa b c++≥． 【答案】证明：∵正实数,,a b c 满足3a b c ++=，∴3a b c =++≥1abc ≤， ………………5分∴2223b c a a b c ++≥=≥． ………………１０分 【解析】【考点】基本不等式22.(本小题满分10分)如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，2DA DC ==，1DD '=，A C ''与B D ''相交于点O '，点P 在线段BD 上（点P 与点B 不重合）．(1)若异面直线O P '与BC 'DP 的长度; (2)若2DP =，求平面PA C ''与平面DC B '所成角的正弦值．【答案】（１）DP =DP =．（２）3【解析】（１）先建立空间直角坐标系，设(,,0)P t t ，利用空间向量数量积可求两向量夹角：cos 55O P BC O P BC θ''⋅===''⋅，解得23t =或27t =，因此DP =或DP =（２）求二面角，关键求出平面的法向量，设平面DC B '的一个法向量为1111(,,)n x y z = ，根据1100n DC n DB ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得1(1,1,2)n =- ，同理设平面PA C ''的一个法向量为2222(,,)n x y z = ，根据2200n PA n PC ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩ 可得2(1,1,1)n =，因此二面角满足：1212cos n n n n ϕ⋅===⋅∴sin ϕ=．试题解析：（1）以,,DA DC DD '为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由题意，知(0,0,0)D ,(2,0,1)A '，(2,2,0)B ，(0,2,1)C '，(1,1,1)O '.设(,,0)P t t ，∴(1,1,1)O P t t '=--- ，(2,0,1)BC '=-.设异面直线O P'与BC'所成角为θ，则cos55O P BCO P BCθ''⋅===''⋅，化简得：2212040t t-+=,解得：23t=或27t=，DP=DP=………………5分（2）∵DP=33(,,0)22P，(0,2,1)DC'=,(2,2,0)DB=，13(,,1)22PA'=-,31(,,1)22PC'=-，设平面DC B'的一个法向量为1111(,,)n x y z=，∴11n DCn DB⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴111120220y zx y+=⎧⎨+=⎩，即11112z yx y=-⎧⎨=-⎩，取11y=-，1(1,1,2)n=-，设平面PA C''的一个法向量为2222(,,)n x y z=，∴22n PAn PC⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，∴22222213223122x y zx y z⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，即2222z yx y=⎧⎨=⎩，取21y=，2(1,1,1)n=，设平面PA C''与平面DC B'所成角为ϕ，∴1212cos3n nn nϕ⋅===⋅，∴sinϕ=．………………１０分【考点】利用空间向量求线线角及二面角23.(本小题满分10分)记riC为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足212r i C i ≤的二元数组(,)r i 中的r ，其中}{2,3,4,5,6,7,8,9,10i ∈，每一个r i C （=r 0,1,2,…,i ）都等可能出现．求E ξ． 【答案】7724【解析】∵212r i C i ≤， 当2i ≥时， 02112i i iC C i ==≤，11212i i i C C i i -==≤，222(1)122i i i i i C C i --==≤，23552C ≤， ∴当25,*i i N ≤≤∈时，212r i C i ≤的解为0,1,,r i = ． ………………3分 当610,*i i N ≤≤∈，112r r i i i C C r +-≥⇔≤， 由32(1)(2)162i i i i C i --=≤3,4,5i ⇔=可知： 当0,1,2,2,1,r i i i =--时，212r i C i ≤成立， 当3,,3r i =- 时，3212r i i C C i ≥≥（等号不同时成立），即212r i C i >．……………6分…………………………………………8分∴311177(012)(345678)9101616244824E ξ=++⨯++++++⨯+⨯+⨯=． ………………………………………10分【考点】数学期望。
2015届江苏省常州市高三上学期期末调研测试理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015届江苏省常州市高三上学期期末调研测试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：219分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）第II 卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、在平面直角坐标系中，已知圆，圆均与轴相切且圆心，与原点共线，，两点的横坐标之积为6，设圆与圆相交于，两点，直线：，则点与直线上任意一点之间的距离的最小值为 ．2、设等比数列的公比为（），前n 项和为，若，且与的等差中项为，则．3、已知向量，，设向量满足，则的最大值为 ．4、已知函数，则函数的值域为 ．5、曲线在点处的切线方程为 ．6、若实数满足约束条件则目标函数的最小值为 ．7、现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ．8、下图是一个算法流程图，则输出的的值是 ．9、函数的最小正周期为 ．10、函数的定义域为 ．11、已知双曲线的离心率为，则实数a 的值为 ．12、设复数（，i 为虚数单位），若，则的值为 ．13、设集合，，则= ．14、若不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值为 ．二、解答题（题型注释）15、（本小题满分10分）设个正数满足（且）．（1）当时，证明：；（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．16、(本小题满分10分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的五种商品有购买意向.已知该网民购买两种商品的概率均为，购买两种商品的概率均为，购买种商品的概率为.假设该网民是否购买这五种商品相互独立.（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望.17、选修4—5：不等式选讲 已知，证明：.18、选修4—4：坐标系与参数方程 已知两个动点，分别在两条直线和上运动，且它们的横坐标分别为角的正弦，余弦，.记，求动点的轨迹的普通方程.19、选修4—2：矩阵与变换已知矩阵满足：，其中是互不相等的实常数，，是非零的平面列向量，，，求矩阵.20、选修4—1：几何证明选讲已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是的平分线，是下半圆的中点.求证：直线PC 经过点.21、（本小题满分16分）已知为实数，函数，函数．（1）当时，令，求函数的极值；（2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．22、（本小题满分14分）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为（m ），三块种植植物的矩形区域的总面积为（m 2）．（1）求关于的函数关系式； （2）求的最大值．23、（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面 ABCD ， PB=PD ，⊥，⊥，，分别是，的中点，连结．求证：（1）∥平面； （2）⊥平面．24、（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，．（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求△ABC 的面积．25、（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交于点，试探索当变化时，是否存在一条定直线，使得点恒在直线上？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．26、（本小题满分16分）已知数列（，）满足，Array其中，．（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；（2）设集合．①若，，求证：；②是否存在实数，，使，，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由．参考答案1、2、3、4、5、6、17、8、1279、10、11、812、13、14、15、（1）详见解析，（2）（且）．16、（1）的概率分布为：.17、详见解析18、（）．19、20、详见解析21、（1）的极小值为，无极大值．（2）22、（1），．（2）当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为m2．23、（1）详见解析（2）详见解析24、（1）（2）（3）25、（1）（2）点恒在直线上26、（1），（2）①详见解析，②不存在【解析】1、试题分析：设圆，圆，故是关于的方程的两根因此由韦达定理得，所以点在圆上，其到直线距离就是点与直线上任意一点之间的距离的最小值，为考点：直线与圆位置关系2、试题分析：由题意得：，由得，因此考点：等比数列求和3、试题分析：设，则由题意得，即，所以的最大值为直径考点：向量坐标表示4、试题分析：函数的值域与函数的值域相同，而当时，所以函数的值域为考点：函数值域5、试题分析：因为，所以，切线方程为考点：导数几何意义6、试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中直线过点时取最小值1考点：线性规划求最值7、试题分析：从5道试题中随机取2道试题，共有10种基本事件，其中皆不是乙类试题的包含1中基本事件，因此至少有1道试题是乙类试题的概率为考点：古典概型概率8、试题分析：第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，第四次循环：，第五次循环：，第六次循环：，结束循环输出考点：循环结构流程图9、试题分析：，所以最小正周期为．考点：两角和与差的正弦公式，三角函数的周期．10、试题分析：由题意得：，定义域为考点：函数定义域11、试题分析：，所以，解得a=8考点：双曲线离心率12、试题分析：由得：为实数，而，所以又，所以的值为考点：复数概念13、试题分析：=考点：集合的运算14、试题分析：因为，所以由得，令，则，由得时取最小值，又，所以的最大值为考点：利用导数求函数最值，不等式恒成立15、试题分析：（1）由于与积为，所以利用基本不等式进行证明：，，，三式相加得，即（2）本题结构对称，易于归纳出，用数学归纳法证明时的难点在于明确时式子与式子关系：其差为，问题转化为证明，这可利用作差，因式分解得证.试题解析：（1）证明：因为（且）均为正实数，左—右==0，所以，原不等式成立．4分（2）归纳的不等式为：（且）．5分记，当（）时，由（1）知，不等式成立；假设当（且）时，不等式成立，即．则当时，=7分==，因为，，，所以，所以当，不等式成立．9分综上所述，不等式（且）成立．10分考点：数学归纳法16、试题分析：（1）该网民至少购买4种商品包括只购买4种商品和购买5种商品两种情形：购买5种商品的概率为，只购买4种商品有5种情形,其概率为所以该网民至少购买4种商品的概率为.（2）先求只购买0种商品，只购买1种商品，只购买,2种商品这三种情况概率，只购买3种商品的概率用对立事件概率求.试题解析：（1）记“该网民购买i种商品”为事件，则：,, 2分所以该网民至少购买4种商品的概率为.答：该网民至少购买4种商品的概率为. 3分（2）随机变量的可能取值为，,,,,,. 8分的概率分布为：012345故. 10分考点：概率分布，数学期望17、试题分析：由基本不等式得，，再根据不等式性质得：试题解析：因为所以，4分，8分所以. 10分考点：基本不等式证不等式18、试题分析：求轨迹方程，先设动点的坐标，利用建立等量关系，消去参数得轨迹方程，再根据参数范围确定轨迹范围：又所以，.试题解析：设，则2分两式平方相加得．5分又所以，. 8分所以动点轨迹的普通方程为（）．10分考点：消参法求轨迹方程19、试题分析：由特征多项式得，所以，又，所以，所以．，试题解析：由题意，，是方程的两根．因为，所以．①2分又因为，所以，从而5分所以．因为，所以．从而．8分故矩阵. 10分考点：矩阵运算20、试题分析：因为是下半圆的中点，所以,从而是的平分线．又PC也是的平分线，的平分线有且只有一条，所以PC与重合.所以直线PC经过点.试题解析：连结，则．2分因为是圆周角，同弧上的圆心角，所以．5分同理可得，，所以是的平分线．8分又PC也是的平分线，的平分线有且只有一条，所以PC与重合.所以直线PC经过点. 10分考点：等弧对应等角21、试题分析：（1）当时，，定义域为，由得．列表分析得的极小值为，无极大值．（2）恒成立问题及存在问题，一般利用最值进行转化：在上恒成立．由于不易求，因此再进行转化：当时，可化为，令，问题转化为：对任意恒成立；同理当时，可化为，令，问题转化为：对任意的恒成立；以下根据导函数零点情况进行讨论即可.试题解析：（1），，令，得．1分所以的极小值为，无极大值．4分（2）当时，假设存在实数满足条件，则在上恒成立．5分1）当时，可化为，令，问题转化为：对任意恒成立；（*）则，，．令，则．①时，因为，故，所以函数在时单调递减，，即，从而函数在时单调递增，故，所以（*）成立，满足题意；7分②当时，，因为，所以，记，则当时，，故，所以函数在时单调递增，，即，从而函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立；所以当，恒成立时，；9分2）当时，可化为，令，问题转化为：对任意的恒成立；（**）则，，．令，则．①时，，故，所以函数在时单调递增，，即，从而函数在时单调递增，所以，此时（**）成立；11分②当时，ⅰ）若，必有，故函数在上单调递减，所以，即，从而函数在时单调递减，所以，此时（**）不成立；13分ⅱ）若，则，所以当时，，故函数在上单调递减，，即，所以函数在时单调递减，所以，此时（**）不成立；所以当，恒成立时，；15分综上所述，当，恒成立时，，从而实数的取值集合为．16分考点：利用导数求极值，利用导数研究函数单调性22、试题分析：（1）建立实际问题函数解析式，关键读懂题意即可，本题题意明确，图形简单，三块种植植物的矩形区域的总面积可看做一个矩形面积：，根据边长为正得其定义域为（2）这是一个积为定值的函数，可根据基本不等式求最值：当且仅当时等号成立．试题解析：（1）由题设，得，．6分（2）因为，所以，8分当且仅当时等号成立．10分从而．12分答：当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为m2．14分考点：函数解析式，基本不等式求最值23、试题分析：（1）证明线面平行，关键证明线线平行，这可根据三角形中位线性质得到：在△中，因为，分别是，的中点，所以∥．再根据线面平行判定定理进行证明（2）证明线面垂直，需多次利用线线垂直与线面垂直相互转化：先根据面面垂直性质定理转化为线面垂直：由平面PBD⊥平面ABCD，得⊥平面．从而⊥．又因为⊥，所以可得⊥平面．从而⊥．又因为⊥，∥，所以⊥．从而可证⊥平面．试题解析：证明：（1）连结AC，因为ABCD 是平行四边形，所以O为的中点．2分在△中，因为，分别是，的中点，所以∥．4分因为平面，平面，所以∥平面．6分（2）连结．因为是的中点，PB=PD，所以PO⊥BD．又因为平面PBD⊥平面ABCD，平面平面=，平面所以⊥平面．从而⊥．8分又因为⊥，,平面，平面，所以⊥平面．因为平面，所以⊥．10分因为⊥，∥，所以⊥．12分又因为平面，平面，,所以⊥平面．14分考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理24、试题分析：（1）由正弦定理得，又由得，所以化简得，．（2）因为，所以（3）因为，，所以．因此△ABC的面积选用，由，所以可求面积. 试题解析：（1）因为，，所以．2分又由正弦定理，得，，，化简得，．5分（2）因为，所以．所以．8分（3）因为，所以．10分因为，所以．12分因为，，所以．所以△ABC的面积．14分考点：正弦定理，二倍角公式25、试题分析：（1）直线与x轴的交点为椭圆的右焦点，所以由得从而，所以椭圆的标准方程为．（2）探索性问题，先通过特殊情形探索目标：令，则根据对称性知满足题意的定直线只能是．问题转化为证明P,B,D三点共线，可利用斜率相等进行证明：设，，则，从而，再利用直线与椭圆方程联立方程组得关于y的一元二次方程，由韦达定理得与关系，进而得试题解析：（1）由题设，得解得从而，所以椭圆的标准方程为．4分（2）令，则，或者，．当，时，；当，时，，所以，满足题意的定直线只能是．6分下面证明点恒在直线上．设，，由于垂直于轴，所以点的纵坐标为，从而只要证明在直线上．8分由得，，，．①10分∵，13分①式代入上式，得，所以．15分∴点恒在直线上，从而直线、直线与直线三线恒过同一点，所以存在一条定直线：使得点恒在直线上．16分考点：直线与椭圆位置关系26、试题分析：（1）数列递推关系式是一个分段函数，可通过分段点进行连接：，，，根据对勾函数得，或，从而有（2）①当时，数列是一个等差数列，易得，从而，令，得．问题转化为证明有满足条件解，易求得②∴，问题转化为是否存在三个不同的整数（），使得消去a,d得，由于，所以无解试题解析：（1）当时，，，．2分因为，，或，所以．4分（2）①由题意，，．6分令，得．因为，，所以令，则．8分②不存在实数，，使，，同时属于．9分假设存在实数，，使，，同时属于．，∴，从而．11分因为，，同时属于，所以存在三个不同的整数（），使得从而则．13分因为与互质，且与为整数，所以，但，矛盾．所以不存在实数，，使，，都属于．16分考点：数列综合。
南通市2015届高三上学期期末考试数学试题(含答案)
江苏省南通市2015届高三上学期期末考试数学试题数学I一、填空题1.已知集合{2,1}A，{1,2,3}B ，则A B.2.已知复数z 满足341(i z i 为虚数单位)，则z 的模为.3.某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人．现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为.4.函数2()lg(23)f x x x 的定义域为. 5.右图是一个算法流程图，则输出的x 的值是. 6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为.7.底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为.8.在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x 为渐近线，且经过抛物线24yx 焦点的双曲线的方程是.9.在平面直角坐标系xOy 中，记曲线2(m yxxx R ，2)m在1x 处的切线为直线l ．若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为.10.已知函数()sin 26f x x．若()(0)2yf x 是偶函数，则.11.在等差数列{}n a 中，已知首项10a ，公差0d．若1260a a ，23100a a ，则155a a 的最大值为.12.已知函数(0)xyab b 的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b的最小值为.13.如上图，圆O 内接ABC 中，M 是BC 的中点，3AC．若4AO AM ，则AB.开始y<50x ←2x+y 输出x结束YNy ←2x+yx ←1,y ←113yOxACBOM （第12题）（第13题）14.已知函数()f x 是定义在1,上的函数，且1|23|,12,()11(),2,22x x f x f x x 则函数2()3y x f x 在区间(1,2015)上的零点个数为.二、解答题15.在?ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2cos b Cc B a A ．（1）求角A 的大小；（2）若3AB AC，求ABC 的面积．16.如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AC BC ，14CC ，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ；（2）若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M ，求CM 的长．ACBMNC 1B 1A 117.如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b ab的左、右焦点，顶点B 的坐标为0,b ，且12BF F 是边长为2的等边三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，C 两点，记2ABF ，2BCF 的面积分别为1S ，2S ．若122S S ，求直线l 的斜率．18.在长为20m ，宽为16m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点C )，展厅入口位于长方形的长边的中间．在展厅一角B 点处安装监控摄像头，使点B 与圆C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示)．（1）若圆盘半径为25m ，求监控摄像头最小水平视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的视线的夹角．）Oxy BACF 1F 2BC入口16m20m19.若函数()y f x 在0x x 处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()yf x 的极值点．已知函数3()3ln (f x axx xa aR )．（1）当0a 时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间1(,)e e上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围．（注：e 是自然对数的底数）20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若1122n na a (nN *)，则称{}n a 是“紧密数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2134n S nn (nN *)，证明：{}n a 是“紧密数列”；（2）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列．若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围．数学Ⅱ附加题部分注意事项1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效．21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，分别延长AB，CD相交于点M，N为圆O上一点，AN＝AC，证明：∠MDN＝2∠OCA．B．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵273mM的逆矩阵127nMm，求实数m，n．C．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为21,214x ty t（t为参数），曲线与直线l：12y x相交于A，B两点，求线段AB的长．D．选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）已知a，b，c均为正数．求证：111a b cbc ca ab a b c．OACBMDN【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为平行四边形，平面ABE ⊥平面BCDE ，AB ＝AE ，DB ＝DE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90o ．（1）求异面直线AB 与DE 所成角的大小；（2）求二面角B-AE-C 的余弦值．23.设n a 是满足下述条件的自然数的个数：各数位上的数字之和为n (nN *)，且每数位上的数字只能是1或2．（1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值；（2）求证：51n a (nN *)是5的倍数．BAEDCASq12ABE ACE。
江苏省无锡市2015届上学期高三期末考试数学试卷
江苏省无锡市2015届上学期高三期末考试数学试卷一、填空题1.已知复数z 满足()11i z i -=+,则z 的模为 .2.已知集合{}|21,A x x k k ==- Z ,{}|13B x x =-＃,则A B =I .3.已知角a 的终边经过点(),6P x -,且3tan 5a =-,则x 的值为 .4.根据如图所示的流程图，则输出的结果为 .5.将2本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 .6.若一组样本数据8,,10,11,9x 的平均数为10，则该组样本数据的方差为 .7.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x = ，则该双曲线的离心率为 .8.三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . 9.将函数()cos sin y x x x =+ ¡的图像向左平移个()0m m >单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是 . 10.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?o,点,E F 分别在边,BC DC 上，,BE BC CF CD l l ==uuu r uuu r uuu r uuu r.若1AE BF?-uuu r uuu r ，则l = .11.已知正实数,a b 满足2291a b +=，则3aba b+的最大值为.12.已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且满足()*122n n a S n ++= ¥，则满足2100111100010n n S S <<的n 的最大值为 . 13.已知点()0,2A 位圆()22:2200M x y ax ay a +--=>外一点，圆M 上存在点T 使得45MAT?o ，则实数a 的取值范围是. 11a -≤<14.已知函数()y f x =是定义域为¡的偶函数，当0x ³时，()21-,024,13,224xx x f x x ìïï＃ïïï=íï骣ï÷ç-->÷ïç÷ïç桫ïî若关于x 的方程()27()0,16a f x af x a 轾++= 犏臌¡有且仅有8个不同实数根，则实数a 的取值范围是 . 二、解答题15.（本小题满分14分）已知向量3(sin ,),(cos ,1)4a xb x ==-r r.(1)当时，求tan()4x p-的值； (2)设函数()2()f x a b b =+ r r r ，当0,2x p轾犏Î犏臌时，求()f x 的值域.16. （本小题满分14分）如图，过四棱柱1111ABCD A B C D -形木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .(1)请在木块的上表面作出过P 的锯线EF ，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形11BB D D ，试证明：平面BDEF ^平面11AC CA .17. （本小题满分14分）某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足24x P +=（其中0,x a a ＃为正常数）.已知生产该批产品还要投入成本16()P P+万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为20(4)P+元/件. (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 18. （本小题满分16分）已知椭圆22:142x y C +=的上顶点为A ，直线:l y kx m=+交椭圆于,P Q 两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k . (1)若0m =时，求12k k ×的值； (2)若121k k ?-时，证明直线:l y kx m =+过定点.19. （本小题满分16分）在数列{}{}n n a b 、中，已知10a =，21a =，11b =，212b =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足21n n S S n ++=，2123n n n T T T ++=-，其中n 为正整数. (1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式； (2)问是否存在正整数m ，n ，使121n m n T mb T m++->+-成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(),m n ，若不存在，请说明理由.20. （本小题满分16分）设函数()22ln -+f x x x ax b =在点()()0,0x f x 处的切线方程为y x b =-+.(1)求实数a 及0x 的值； (2)求证：对任意实数，函数()f x 有且仅有两个零点.21、A（10分）选修4-1几何证明选讲如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE。
江苏省扬州市2015-2016学年上学期高二(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．2．某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有15件，则样本容量n=75．解：设出样本容量为n，∵由题意知产品的数量之比依次为2：3：5，∴=，∴n=75，3．在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞2的概率是．解：数集（2，4]的长度为2，数集[0，4]的长度为4，∴在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞2的概率为=，4．根据如图所示的伪代码，如果输入x的值为0，则输出结果y为5．解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x=0，满足条件x≥0，y=5．5．若f（x）=5sinx，则=0．解：∵f（x）=5sinx，∴f′（x）=5cosx，∴则′=0．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率．解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=．7．如上图，该程序运行后输出的y值为32．解：模拟该程序的运行过程，如下；n=1，n≤3，n=1+2=3，y=23=8；n≤3，n=3+2=5，y=25=32；n＞3，终止循环，输出y=32．8．一个圆锥筒的底面半径为3cm，其母线长为5cm，则这个圆锥筒的体积为12πcm3．解：圆锥的高h==4，∴圆锥的体积V=×π×32×4=12π．9．若双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，PF1=3，则PF2=7．解：双曲线的a=2，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=4，即有|3﹣|PF2||=4，解得|PF2|=7（﹣1舍去）．10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若l∥α，l⊥β，则α⊥β．其中真命题的序号有①④．（写出所有正确命题的序号）解：由l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，知：在①中，若α∥β，l⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β，故①正确；在②中，若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，故③错误；在④中，若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确．11．已知抛物线y2=4x的准线恰好是双曲线=1的左准线，则双曲线的渐近线方程为y=±x．解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣，双曲线=1的左准线为x=﹣，由题意可得=﹣=﹣，解得a=±2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=4，即有渐近线的方程为y=±x．12．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f（x）＜f′（x），则不等式f（x）≥f（2016）e x﹣2016的解集是[2016，+∞）．解：由f（x）≥f（2016）e x﹣2016，得：≥，令g（x）=，g′（x）=，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，∴g（x）在R递增，∴x≥2016，13．若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为x=﹣4，则该椭圆被直线y=x+1截得的弦长为．解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意，椭圆的焦点在x轴上，且2a=4，=4，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的方程为=1，联立，得7x2+8x﹣8=0，设直线y=x+1与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴该椭圆被直线y=x+1截得的弦长为：|AB|==．14．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=ae x+（b2﹣3）x在x=0处取得极值，则ab 的最大值等于2．解：f′（x）=ae x+b2﹣3；∵f（x）在x=0处取得极值；∴f′（0）=a+b2﹣3=0；∴a=3﹣b2；∴ab=（3﹣b2）b=﹣b3+3b；∵a＞0，b＞0；∴3﹣b2＞0；∴；设g（b）=﹣b3+3b，g′（b）=﹣3b2+3=3（1﹣b2）；∴b∈（0，1）时，g′（b）＞0，b时，g′（b）＜0；∴b=1时，g（b）取最大值2；即ab的最大值为2．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．某班40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在[50，100]之间）（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估算该班级的平均分；（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．解：（1）由题（2a+2a+3a+6a+7a）×10=1，∴20a×10=1，∴a=0.005，（2）该班级的平均分为=76.5；（3）成绩为优秀等级有16人，∴从该班级40名学生中任选一人，此人成绩为优秀等级的概率为=0.416．如图，在四面体ABCD中，AB⊥CD，AB⊥AD．M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．（1）求证：CD∥平面MNQ；（2）求证：平面MNQ⊥平面ACD．证明：（1）因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD，又CD⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，故CD∥平面MNQ．…（7分）（2）因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MN∥AB，又AB⊥CD，AB⊥AD，故MN⊥AD，MN⊥CD．…（9分）因为AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ACD，所以MN⊥平面ACD又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ⊥平面ACD．…（14分）17．已知命题p：“存在x∈R，x2﹣2x+m≤0”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题r：t＜m＜t+1（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是r的必要不充分条件，求t的取值范围．解：（1）若p为真：△=4﹣4m≥0 解得m≤1若q为真：则解得﹣1＜m＜2若“p且q”是真命题，则解得﹣1＜m≤1（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（﹣1，2）即（等号不同时成立）解得﹣1≤t≤118．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（1）当a=﹣2时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为22，求它在该区间上的最小值．解：（1）f（x）的导数为f′（x）=﹣3x2+6x+9，可得切线的斜率为f′（2）=9，切点为（2，20），所以f（x）在x=2处的切线方程为y﹣20=9（x﹣2），即9x﹣y+2=0．（2）令f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，得x=3（舍）或x=﹣1，当x∈（﹣2，﹣1）时，f'（x）＜0，所以f（x）在x∈（﹣2，﹣1）时单调递减，当x∈（﹣1，2）时f'（x）＞0，所以f（x）在x∈（﹣1，2）时单调递增，又f（﹣2）=2+a，f（2）=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=22，解得a=0．故f（x）=﹣x3+3x2+9x，因此f（﹣1）=﹣5，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣5．19．椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；（3）设点P（t，0）是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，∴，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为．（4分）证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由题意P（1，0），Q（2，0），∵．∴，若y1=y2，则k1=k2=0，结论成立．（此处不交代扣1分）若y1≠y2，则x1y2+x2y1=2（y1+y2），∴．（10分）解：（3）当直线l与y轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点，如果存在定点Q满足条件，则有，即QC=QD，∴Q在x轴上，可设Q点的坐标为（x0，0）．当直线l与y轴垂直时，设直线与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为，由，有，解得．∴若存在不同于点P不同的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为．下面证明：对任意直线l，均有．记直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由题意，∵．∴若y1=y2，则k1=k2=0．∴．点B于x轴对称的点B'的坐标为（﹣x2，y2）．∴k Q A=k QB′，∴Q，A，B'三点共线．∴．∴对任意直线l，均有．（16分）20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的方程f（x）﹣g（x）+a=0在区间（，e）上有两个不等的根，求实数a的取值范围；（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞kg（x），求实数k的取值范围．解：（1）函数f（x）=lnx﹣的导数为f′（x）=﹣（x﹣1）=，（x ＞0），由f′（x）＜0，可得x＞，即有f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）由题意可得﹣a=lnx﹣﹣（x﹣1）在（，e）上有两个实根，令h（x）=lnx﹣﹣（x﹣1），h′（x）=﹣（x﹣1）﹣1=，即有h（x）在（，1）递增，（1，e）递减，且h（1）=0，h（）=﹣（1﹣）2﹣＞h（e）=2﹣e﹣（e﹣1）2，由题意可得﹣（1﹣）2﹣＜﹣a＜0，解得0＜a＜（1﹣）2+；（3）由题意可得当x∈（1，x0）时，f（x）的图象恒在直线y=k（x﹣1）的上方，由f′（x）=﹣（x﹣1）=，（x＞0），可得f（x）的增区间为（1，）减区间为（，+∞）；直线y=k（x﹣1）为过定点（1，0）的直线．画出它们的图象，当直线与曲线y=f（x）相切时，切点为（1，0），可得k=f′（1）=1﹣（1﹣1）=1，通过直线绕着定点（1，0）旋转，可得k的取值范围是k≤1．。
江苏省扬州市2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题解析(解析版)
江苏省扬州市2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.命题“210x R x x ∀∈++>，”的否定是▲ 【答案】210x R x x ∃∈++≤， 【解析】试题分析：全称命题的否定为特称命题，并将结论加以否定，所以否定是210x R x x ∃∈++≤， 考点：全称命题与特称命题2.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样的方法抽取容量为n 的样本，样本中A 型号产品有15件，那么样本容量n 为 ▲ ． 【答案】75 【解析】试题分析：由分层抽样可知215=75235n n∴=++考点：分层抽样3.在区间]4,0[上任取一个实数x ，则2x >的概率是▲ ． 【答案】12【解析】试题分析：由几何概型概率公式可知421402P -==- 考点：几何概型4.根据如图所示的伪代码，如果输入x 的值为0，则输出结果y 为▲ ．【答案】5 【解析】试题分析：当0x =时由代码可知1552y x =-+= 考点：程序语句5.若()5sin f x x =，则()2f π'=▲【答案】0 【解析】试题分析：函数的导数为()''5cos 5cos 022f x x f ππ⎛⎫=∴== ⎪⎝⎭考点：函数求导数6.在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为 ▲ ． 【答案】13【解析】试题分析：所求概率为22232163A P A ===考点：古典概型概率7.如右图，该程序运行后输出的y 值为▲ ．【答案】32 【解析】试题分析：程序执行中的数据变化为：1,13,3,8,33,5,32,53n n y n y =>==>==>成立，输出32y = 考点：程序语句8.一个圆锥筒的底面半径为3cm ，其母线长为5cm ，则这个圆锥筒的体积为 ▲ 3cm . 【答案】12π 【解析】试题分析：由底面半径为3cm ，其母线长为5cm 可知棱锥的高为4cm ，所以体积为211341233S Sh ππ==⨯⨯⨯=考点：圆锥体积9.若双曲线22143x y -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线上一点，13PF =，则2PF = ▲ ．【答案】7 【解析】试题分析：由方程可知2424a a =∴= 122247PF PF a PF ∴-==∴= 考点：双曲线定义及方程10.设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题： ①若α∥β，l α⊥，则l β⊥； ②若l ∥m ，l α⊂，m β⊂，则α∥β；③若m α⊥，l m ⊥，则l ∥α； ④若l ∥α，l β⊥，则αβ⊥．其中真命题的序号．．有 ▲ ．(写出所有正确命题的序号．．) 【答案】①④ 【解析】试题分析：①中由面面平行的性质可知结论成立；②中两面,αβ可能平行可能相交；③中直线l 可能在平面α内；④由面面垂直的判定定理和线面平行的性质可知结论正确 考点：线面平行垂直的判定11.已知抛物线2y =的准线恰好是双曲线22214x y a -=的左准线，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．【答案】y x =± 【解析】试题分析：2y =中22pp ==x =，所以双曲线中24a ==，所以方程为22144x y -=，渐近线为y x =±考点：双曲线抛物线方程及性质12.已知可导函数)(x f )(R x ∈的导函数)(x f '满足()f x <)(x f '，则不等式2016()(2016)x f x f e -≥的解集是 ▲ ． 【答案】[)2016,+∞ 【解析】试题分析：()()()()()()''0x x xf x f x fx e f x e f x g x e<∴->∴=中()'0g x >，函数为增函数，不等式2016()(2016)x f x f e-≥变形为()()()()2016201620162016x x f x f ef x f e e e≥∴≥，由函数()g x 单调性可知不等式的解集为[)2016,+∞ 考点：函数导数与单调性解不等式13.若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为4x =-，则该椭圆被直线1y x =+截得的弦长为 ▲ 【答案】247【解析】试题分析：设椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0），由题意，椭圆的焦点在x 轴上，且2a=4，24a c =，解得a=2，c=1，∴23b =，∴椭圆的方程为22143x y +=，与1y x =+联立可得27880x x +-=，设直线y=x+1与椭圆交于A ()11,x y ，B ()22,x y ，则121288,77x x x x +=-=-，∴该椭圆被直线y=x+1247=考点：椭圆的简单性质14.若0,0a b >>，且函数2()(3)xf x ae b x =+-在0x =处取得极值，则ab 的最大值等于 ▲ 【答案】0 【解析】试题分析：()()2'2'2()(3)(3)0(3)0x x f x ae b x f x ae b f a b =+-∴=+-∴=+-=23a b ∴=- ()2333ab b b b b ∴=-=-+，设()()3'23300g b b b g b b b =-+∴=-+≥∴<≤间为(，减区间为)+∞，最大值为0g=考点：函数导数与极值最值二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步15.（本小题满分14分）某班40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在[]50,100之间）（1）求频率分布直方图中a 的值； （2）估算该班级的平均分；（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．【答案】（1）005.0=a （2）76.5（3）0.4考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 16.（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AB CD ⊥，AB AD ⊥．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点． （1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面MNQ ⊥平面ACD ．【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）利用M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，证明MQ ∥CD ，即可证明CD ∥平面MNQ ；（2）证明MN ⊥平面ACD ，即可证明平面MNQ ⊥平面ACD试题解析：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以//MQ CD ， …… 3分 又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，故//CD 平面MNQ ． …… 7分 （2）因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以//MN AB ， 又AB CD ⊥，AB AD ⊥，故MN AD ⊥， MN CD ⊥． …… 9分因为,AD CD D ⋂=，,AD CD ⊂平面ACD ， 所以MN ⊥平面ACD 又MN ⊂平面MNQ ， 所以平面MNQ ⊥平面ACD ． …… 14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．）考点：1.线面平行的判定；2.面面垂直的判定 17.（本小题满分15分）已知命题:p “存在2,20x R x x m ∈-+≤”，命题q ：“曲线22151x y m m+=-+表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:r 1t m t <<+（1）若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围； （2）若q 是r 的必要不充分条件，求t 的取值范围． 【答案】（1）11≤<-m （2）11≤≤-t 【解析】试题分析：（1）若p 为真：△≥0；若q 为真：则⎩⎨⎧>++>-0115m mm ，若“p 且q ”是真命题，求其交集即可得出；（2）由q 是r 的必要不充分条件，则可得（t ，t+1）⊊（-1，2），解出即可得出 试题解析：（1）若p 为真：044≥-=∆m --------1分 解得1≤m --------2分 若q 为真：则⎩⎨⎧>++>-0115m mm ------3分解得21<<-m --------4分若“p 且q ”是真命题，则⎩⎨⎧<<-≤211m m --------6分解得11≤<-m --------7分 （2）由q 是r 的必要不充分条件，则可得)1,(+t t ≠⊂)2,1(- -------11分即⎩⎨⎧≤+-≥211t t （等号不同时成立） -------13分解得11≤≤-t --------15分 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假 18.（本小题满分15分）已知函数32()39f x x x x a =-+++.（1）当2a =-时，求()f x 在2x =处的切线方程；（2）若()f x 在区间[]2,2-上的最大值为22，求它在该区间上的最小值． 【答案】（1）920x y -+=（2）5- 【解析】试题分析：（1）求出f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）求得导数，求得极值点，求出单调区间，可得f （x ）的最值，解方程可得a=0，进而得到最小值 试题解析：（1） ()f x '＝－3x 2＋6x ＋9,切线的斜率为9， 所以()f x 在2x =处的切线方程为209(2)y x -=-，即920x y -+=. --------6分（2）令()f x '＝－3x 2＋6x ＋9=0,得3x =（舍）或1x =-当(2,1)x ∈--时，()0f x '<，所以()f x 在(2,1)x ∈--时单调递减，当(1,2)x ∈-时()0f x '>，所以()f x 在(1,2)x ∈-时单调递增，又(2)f -＝2a +，(2)f ＝22a +，所以(2)f >(2)f -．因此(2)f 和(1)f -分别是()f x 在区间[]2,2-上的最大值和最小值，于是有2222a +=，解得 0a =． --------12分故32()39f x x x x =-++，因此(1)5f -=-即函数()f x 在区间[]2,2-上的最小值为5-． --------15分 考点：函数的最值及其几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程 19.（本小题满分16分）椭圆2222:b y a x E +)0(1>>=b a经过点，且离心率为22，过点P 的动直线l 与椭圆相交于B A ,两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若椭圆E 的右焦点是P ，其右准线与x 轴交于点Q ,直线AQ 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ,求证：120k k +=；(3) 设点(),0P t 是椭圆E 的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1) 2212x y +=（2）详见解析 (3) 2(,0)t【解析】试题分析：（1）由椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>经过点，且离心率为22，利用椭圆简单性质列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆E 的方程；（2）设A ()11,x y ，B ()22,x y ，则222212121,122x x y y +=+=，由此利用点差法能证明120k k +=；（3）当直线l 与y 轴平行时，Q 点的坐标为()0,0x ；当直线l 与y 轴垂直时，Q 点坐标只可能为2,0t ⎛⎫⎪⎝⎭，再证明对任意直线l ，均有QA PA QB PB =即可（3）当直线l 与y 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于D C ,两点，如果存在定点Q 满足条件，则有QC PCQD PD=，即QC QD =，所以Q 在x 轴上，可设Q 点的坐标为()0,0x .当直线l 与y 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于N M ,两点，则N M ,的坐标分别为．由QM PM QN PN =02x t =．所以，若存在不同于点P 不同的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为2(,0)t.--------12分 下面证明：对任意直线l ，均有QA PAQB PB=．记直线AQ 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ，设()()1122,,,A x y B x y ，则222212121122x x y y +=+=，．由题意()20,0P t Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()()()1122122112,,AP BP x t y x t y x y x y t y y ∴--∴-=-．()()()()2222222212211221122112212221+==2222x y x y x y x y x y x y y y y y y y-----=-()()()()22122112211212+t =22=2+x y x y y y y y y y y y ∴---若12=y y ，则120k k ==．()121221122+=+y y x y x y y y t≠若则 ()122112*********++02222x y x y y y y y t k k x x x x ttt t -∴+=+==⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 易知，点B 于x 轴对称的点B '的坐标为),(22y x -.QA QB k k '∴=,,Q A B '∴三点共线．12y QA QA PAQB QB y PB ∴==='．所以对任意直线l ，均有QA PA QB PB=--------16分 考点：1.椭圆方程与性质；2.椭圆与直线位置关系的合理运用 20.（本小题满分16分）已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-，1)(-=x x g（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的方程()()0f x g x a -+=在区间1(,)e e上有两个不等的根，求实数a 的取值范围； （3）若存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有)()(x kg x f >，求实数k 的取值范围．【答案】（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞++，251（2）211022a e <<+（3）(),1-∞ 【解析】试题分析：（1）求出导数，由导数小于0，可得减区间，注意定义域；（2）由题意可得()()21ln 12x a x x --=---在1(,)e e上有两个实根，令()()()21ln 12x h x x x -=---，求出导数，求得单调区间、极值和最值，可得a 的范围；（3）由题意可得当0(1,)x x ∈时，f （x ）的图象恒在直线y=k （x-1）的上方，求出f （x ）的单调区间，画出它们的图象，由直线和曲线相切，求得k ，再由直线旋转可得k 的范围试题解析：(I)()2111x x f x x x x -++'=-+=，()0,x ∈+∞．由0)(<'x f 得⎩⎨⎧<++->0102x x x 解得251+>x ． 故()f x 的单调递减区间是⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞++，251． --------4分 (2)设()()()x f x g x a ϕ=-+211ln 22x x a =-++，()0,x ∈+∞则问题转化为()x ϕ在1(,)e e上有两个不同的零点；因为21()x x x ϕ-'=．故当)1,0(∈x 时，()0x ϕ'>，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ 在)1,0(∈x 递增.，在[)1,+∞上单调递减.；则由题意得：(1)0()01()0e e ϕϕϕ⎧⎪>⎪<⎨⎪⎪<⎩，即22013221122a a e a e ⎧⎪>⎪⎪<-⎨⎪⎪<+⎪⎩故211022a e<<+ --------10分 (3)当1k =时，令)()()(x g x f x F -=2121ln 2+-=x x ，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x -'=．当)1,0(∈x 时，0)(>'x F ，当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<，所以()F x 在)1,0(∈x 递增.，在[)1,+∞上单调递减.0)1()(max ==∴F x F ，∴对任意的),,0(+∞∈x 恒有)()(x g x f ≤，故不存在01x >满足题意． --------12分当1k >时,对于1x >,有()()()f x g x kg x <<,，从而不存在01x >满足题意--------13分当1k <时，令)()()(x kg x f x G -=，()0,x ∈+∞，则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=．由()G 0x '=得，()2110x k x -+-+=．解得10x =<，21x =>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增．从而当()21,x x ∈时，G()G(1)x >0=，即()()1f x k x >-.综上，k 的取值范围是(),1-∞. --------16 考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用：。
2015届江苏省无锡市高三上学期期末考试理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015届江苏省无锡市高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：156分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）第II卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是2、已知点为圆外一点，圆M上存在点T 使得则实数的取值范围是3、已知数列的首项，前项和为，且满足，则满足的的最大值为4、已知正实数满足，则的最大值为5、已知菱形的边长为，,点分别在边上，.若，则6、三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则7、已知角的终边经过点,且,则的值为8、已知集合,,则9、已知复数满足,则的模为10、根据如图所示的流程图，则输出的结果为11、将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则本数学书相邻的概率为12、若一组样本数据的平均数为，则该组样本数据的方差为13、已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为14、将函数的图像向左平移个单位长度后，所得的图像关于轴对称，则的最小值是二、解答题（题型注释）15、已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为.(1)若时，求的值；(2)若时，证明直线过定点.16、如图，过四棱柱形木块上底面内的一点和下底面的对角线将木块锯开，得到截面.(1)请在木块的上表面作出过的锯线，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形，试证明：平面平面.17、已知向量.(1)当时，求的值；(2)设函数，当时，求的值域.18、某公司生产的某批产品的销售量万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足（其中为正常数）.已知生产该批产品还要投入成本万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为元/件.(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？19、在数列中，已知，，，，数列的前项和为，数列的前项和为，且满足，，其中为正整数. (1)求数列的通项公式；(2)问是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对，若不存在，请说明理由.20、设函数在点处的切线方程为.(1)求实数及的值；(2)求证：对任意实数，函数有且仅有两个零点.参考答案1、2、3、94、5、6、7、108、9、110、711、12、213、14、15、(1) (2)详见解析16、(1)如图(2)详见解析17、(1)-7，(2)18、(1) (2)当时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；当时，促销费用投入万元时，该公司的利润最大19、(1) ， (2)20、(1) (2)详见解析【解析】1、试题分析：当时，所以而函数是定义域为的偶函数，所以因此方程在上有两个不同的实根即，解得实数的取值范围考点：函数图像，一元二次方程实根分布2、试题分析：由题意得，，，所以考点：直线与圆位置关系3、试题分析：由，得，两式相减得，又，所以数列为首项，公比为的等比数列，，，的最大值为9考点：等比数列4、试题分析：，当且仅当时，取等号考点：基本不等式求最值5、试题分析：，因为，所以考点：向量数量积6、试题分析：考点：三棱锥体积7、试题分析：考点：三角函数定义8、试题分析：因为为奇数集，所以考点：集合的交集9、试题分析：考点：复数的模10、试题分析：第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，第四次循环：，第五次循环：，第六次循环：，第七次循环：，结束循环输出考点：循环根据流程图11、试题分析：将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，共有种基本事件，其中本数学书相邻包含种基本事件，所以概率为考点：古典概型概率12、试题分析：由题意得，该组样本数据的方差为考点：方差13、试题分析：由题意得考点：双曲线的离心率14、试题分析：，所以向左平移个单位长度后变换为，由题意得因此的最小值是考点：三角函数图像与性质15、试题分析：(1)求斜率关系，通法为从坐标出发：将直线方程代入椭圆方程得：解出从而因此(2)动直线过定点，关键研究出动直线方程中不变的量：由直线特殊情况分析可得m必为常数：由知即因此利用韦达定理代入化简：所以所以直线过定点试题解析：(1)将直线方程代入椭圆方程得：2分解得4分所以6分所以8分(2) 设将直线方程代入椭圆方程得：10分则由知12分化简得将代入化简得所以14分所以直线过定点16分考点：直线与椭圆位置关系16、试题分析：(1)本题实质为确定截面与上底面的交线，这利用面面平行性质定理，可得交线相互平行:即由平面ABCD//平面A1B1C1D1,平面BDFE平面ABCD=BD，平面BDFE平面A1B1C1D1=EF，得EF//BD,又B1B//D1D,从而EF// B1D1(2)证明面面垂直，一般利用其判定定理，即证线面垂直：由BD A1A，BD AC得到BD平面A1C1CA，从而平面BDFE平面A1C1CA试题解析：(1)在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1,A1B1于F,E两点，则EF为所作的锯线. 2分在四棱柱中，侧棱B1B//D1D,B1B=D1D，所以四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1//BD 4分又平面ABCD//平面A1B1C1D1,平面BDFE平面ABCD=BD，平面BDFE平面A1B1C1D1=EF，所以EF//BD,从而EF// B1D17分(2) 证明：由于四边形BB1D1D是矩形，所以BD B1B，又A1A//B1B所以BD A1A 9分又四棱柱的底面为菱形，所以BD AC因为AC A1A=A，AC平面A1C1CA, A1A 平面A1C1CA所以BD平面A1C1CA 12分因为BD平面BDFE所以平面BDFE平面A1C1CA 14分考点：面面平行性质定理，面面垂直判定定理17、试题分析：(1)由向量共线得到等量关系，求出角的正切值，再利用两角差正切公式求解：(2)先根据向量数量积，利用二倍角公式及配角公式得到三角函数关系式，再从角出发研究基本三角函数范围：试题解析：(1), 3分6分(2) 8分11分，的值域为14分考点：向量平行坐标表示，三角函数性质18、试题分析：(1)根据利润等于销售额减去促销费用及投入成本，列出函数关系式：再将代入化简得(2)利用基本不等式求最值，要注意其等号取法，本题需结合定义域进行讨论：当且仅当时，取等号.当时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；当时，函数在上单调递增，促销费用投入万元时，该公司的利润最大试题解析：(1)由题意得：3分将代入化简得5分(2)当且仅当时，取等号8分当时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大9分当时，，此时函数在上单调递增所以当时，函数在上单调递增11分所以时，函数有最大值，即促销费用投入万元时，该公司的利润最大12分综上，当时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；当时，促销费用投入万元时，该公司的利润最大14分考点：函数实际应用，利用基本不等式及导数求最值19、试题分析：(1) 由和项与通项的关系，化简得到数列的递推关系：当时，，两式相减得，从而得到数列为隔项成等差，又，可解得，同理因为，所以所以数列成公比为的等比数列，所以(2)先根据等比数列和项公式得：，代入化简繁分数并部分分离得：，取倒数要明确数的性质：即，从而可解得试题解析：(1) 因为，所以当时，，两式相减得，又也适合，2分当时，，两式相减得，4分所以数列的奇数项成公差为2的等差，偶数项也成公差为2的等差又，可解得6分因为，所以又，所以数列成公比为的等比数列所以8分(2) 因为，所以10分由得12分化简得：14分故，符合条件的有序实数对为16分考点：由数列和项求通项，数列综合应用20、试题分析：(1) 由导数几何意义得：，，又，，解得 (2)先根据导数确定函数走势：在上单调减，在上单调增，有最小值，因为，所以在上一定有一解，在上有且仅有一解；难点在证明存在使，这时需构造一个函数易得，从而，取，从而得证.试题解析：(1) 2分所以在点处的切线方程为其中，4分解得6分(2)当时，在上单调减当时，在上单调增所以有最小值8分又，所以在上一定有一解10分下面证明存在使令，所以当时，在上单调减当时，，取12分所以在上一定有一解14分综上所述，函数在上有且仅有两个零点. 16分考点：导数几何意义，导数应用。
江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试第一次模拟考试数学试题-含答案
江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试第一次模拟考试 数学试题 一、填空题 z 满足()11i z i -=+,则z 的模为 .{}|21,A x x k k ==-∈,{}|13B x x =-≤≤,则A B = .α的终边经过点(),6P x -,且3tan 5α=-,则x 的值为 . 4.根据如图所示的流程图，则输出的结果为 .2本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 .8,,10,11,9x 的平均数为10，则该组样本数据的方差为 .x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =±，则该双曲线的离心率为 .P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . ()3cos sin y x x x =+∈的图像向左平移个()0m m >单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是 .ABCD 的边长为2，120BAD ∠=,点,E F 分别在边,BC DC 上，,BE BC CF CD λλ==.若1AE BF ⋅=-，则λ= .,a b 满足2291a b +=，则3ab a b+的最大值为 . {}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且满足()*122n n a S n ++=∈，则满足2100111100010n n S S <<的n 的最大值为 .()0,2A 位圆()22:2200M x y ax ay a +--=>外一点，圆M 上存在点T 使得45MAT ∠=，则实数a 的取值范围是 .()y f x =是定义域为的偶函数，当0x ≥时，()21-,024,13,224x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪--> ⎪⎪⎝⎭⎩若关于x 的方程()27()0,16a f x af x a ++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有8个不同实数根，则实数a 的取值范围是 .二、解答题15.（本小题满分14分）已知向量3(sin ,),(cos ,1)4a x b x ==-.(1)当时，求tan()4x π-的值；(2)设函数()2()f x a b b =+⋅，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域. 16. （本小题满分14分）如图，过四棱柱1111ABCD A B C D -形木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .(1)请在木块的上表面作出过P 的锯线EF ，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形11BB D D ，试证明：平面BDEF ⊥平面11AC CA .17. （本小题满分14分）某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足24x P +=（其中0,x a a ≤≤为正常数）.已知生产该批产品还要投入成本16()P P +万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为20(4)P+元/件. (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？18. （本小题满分16分）已知椭圆22:142x y C +=的上顶点为A ，直线:l y kx m =+交椭圆于,P Q 两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k .(1)若0m =时，求12k k ⋅的值；(2)若121k k ⋅=-时，证明直线:l y kx m =+过定点.19. （本小题满分16分）在数列{}{}n n a b 、中，已知10a =，21a =，11b =，212b =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足21n n S S n ++=，2123n n n T T T ++=-，其中n 为正整数.(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式；(2)问是否存在正整数m ，n ，使121n m n T m b T m++->+-成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(),m n ，若不存在，请说明理由.20. （本小题满分16分）设函数()22ln -+f x x x ax b =在点()()0,0x f x 处的切线方程为y x b =-+. (1)求实数a 及0x 的值；(2)求证：对任意实数，函数()f x 有且仅有两个零点.附加题21、A （10分）选修4-1 几何证明选讲如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE 。
江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试数学试题含答案
江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试数学试题一、填空题1.已知复数z 满足()11i z i -=+,则z 的模为 .2.已知集合{}|21,A x x k k ==-?Z ,{}|13B x x =-＃,则A B =I .3.已知角a 的终边经过点(),6P x -,且3tan 5a =-,则x 的值为 . 4.根据如图所示的流程图，则输出的结果为 .5.将2本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 .6.若一组样本数据8,,10,11,9x 的平均数为10，则该组样本数据的方差为 .7.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =?，则该双曲线的离心率为 .8.三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . 9.将函数()3cos sin y x x x =+?¡的图像向左平移个()0m m >单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是 .10.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?o ,点,E F 分别在边,BC DC 上，,BE BC CF CD l l ==uuu r uuu r uuu r uuu r .若1AE BF?-uuu r uuu r ，则l = . 11.已知正实数,a b 满足2291a b +=，则3ab a b+的最大值为 . 12.已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且满足()*122n n a S n ++=?¥，则满足2100111100010n n S S <<的n 的最大值为 .13.已知点()0,2A 位圆()22:2200M x y ax ay a +--=>外一点，圆M 上存在点T 使得45MAT ?o ，则实数a 的取值范围是 . 311a -≤<14.已知函数()y f x =是定义域为¡的偶函数，当0x ³时，()21-,024,13,224x x x f x x ìïï＃ïïï=íï骣ï÷ç-->÷ïçï÷ç桫ïî若关于x 的方程()27()0,16a f x af x a 轾++=?犏臌¡有且仅有8个不同实数根，则实数a 的取值范围是 .二、解答题15.（本小题满分14分）已知向量3(sin ,),(cos ,1)4a xb x ==-r r . (1)当时，求tan()4x p -的值； (2)设函数()2()f x a b b =+?r r r ，当0,2x p 轾犏Î犏臌时，求()f x 的值域. 16. （本小题满分14分）如图，过四棱柱1111ABCD A B C D -形木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .(1)请在木块的上表面作出过P 的锯线EF ，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形11BB D D ，试证明：平面BDEF ^平面11AC CA .17. （本小题满分14分）某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足24x P +=（其中0,x a a ＃为正常数）.已知生产该批产品还要投入成本16()P P +万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为20(4)P +元/件. (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？18. （本小题满分16分）已知椭圆22:142x yC+=的上顶点为A，直线:l ykx m=+交椭圆于,P Q两点，设直线,AP AQ的斜率分别为12,k k.(1)若0m=时，求12k k×的值；(2)若121k k?-时，证明直线:l y kx m=+过定点.19. （本小题满分16分）在数列{}{}n na b、中，已知1a=，21a=，11b=，212b=，数列{}n a的前n项和为nS，数列{}n b的前n项和为n T，且满足21n nS S n++=，2123n n nT T T++=-，其中n为正整数.(1)求数列{}{}n na b、的通项公式；(2)问是否存在正整数m，n，使121nmnT mbT m++->+-成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(),m n，若不存在，请说明理由.20. （本小题满分16分）设函数()22ln-+f x x x ax b=在点()()0,0x f x处的切线方程为y x b=-+.(1)求实数a及x的值；(2)求证：对任意实数，函数()f x有且仅有两个零点.21、A（10分）选修4-1几何证明选讲如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE。
2015-2016学年江苏省扬州市高三上学期期中调研测试试题
2015-2016学年江苏省扬州市高三上学期期中调研测试试题一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，则 ______ .2. 已知复数满足（为虚数单位），则 ______ .3. 命题“，”的否定是______ .4. 若，，则 ______ .5. 设，满足约束条件，则的最大值为______．6. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数 ______ .7. 在中，若，，，则的值______．8. 已知函数，则不等式的解集为______．9. 将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），然后把所得图象上的所有点沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则 ______ .10. 已知直线与圆：相交于，两点，若，则圆的半径 ______ .11. 若轴是曲线的一条切线，则 ______ .12. 已知定点，动点在单位圆上运动，以，为邻边作平行四边形，则点到直线距离的取值范围是______．13. 中，，．若椭圆以为长轴，且过点，则椭圆的离心率是______ .14. 实数，，满足，则的最大值为______ .二、解答题（共10小题；共130分）15. 设函数．（1）求的单调增区间；（2）若，求的值域．16. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，求的值．17. 如图，已知椭圆，离心率为．过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点）．点在椭圆上，且．（1）若椭圆的右准线方程为：，求椭圆的方程；（2）设直线、的斜率分别为、，求的值．18. 有一块三角形边角地，如图中，其中百米，百米，．某市为迎接年城庆，欲利用这块地修一个三角形形状的草坪（图中）供市民休闲，其中点在边上，点在边上．规划部门要求的面积占面积的一半，记的周长为（百米）．（1）如果要对草坪进行灌溉，需沿的三边安装水管，求水管总长度的最小值；（2）如果沿的三边修建休闲长廊，求长廊总长度的最大值，并确定此时、的位置．19. 已知直线与圆：相交，截得的弦长为．（1）求圆的方程；（2）过原点作圆的两条切线，与抛物线相交于，两点（异于原点）．证明：直线与圆相切；（3）若抛物线上任意三个不同的点，，，且满足直线和都与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并加以证明．20. 已知函数．（1）解关于字母的不等式；（2）若，求的最小值；（3）若函数有两个零点，，试判断的符号，同时比较与的大小，并说明理由．21. 已知矩阵，属于特征值的一个特征向量为，求．22. 个女生，个男生排成一排，记表示相邻女生的个数，求随机变量的概率分布及数学期望．23. 如图，已知直三棱柱中，，，，．（1）求的长.（2）在线段存在点，使得二面角大小的余弦值为，求的值．24. 已知．（1）若，求的值；（2）若，求证：．答案第一部分1.2.3. ，4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）因为所以，所以的单调增区间为：（2）因为所以所以所以的值域为： .16. （1）因为所以所以整理得：，解得：或；因为，所以 .（2）因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以 .17. （1）因为，解得：所以所以椭圆方程为：（2）法（一）设，，则，因为，在椭圆上所以所以∴因为所以所以因为所以所以法（二）设，则则，下同法（一）18. （1）设百米因为所以因为，所以因为所以因为中，所以，，当且仅当时取（“”）所以（2）由（1）知：，令，所以列表得：极小值且时，；时，，则，在上单调增所以当时，，此时，答：水管总长度的最小值为百米；当点在处，点在线段的中点时，长廊总长度的最大值为百米．19. （1）因为，所以圆心到直线的距离为，因为截得的弦长为所以所以圆的方程为：；（2）设过原点的切线方程为：，即，解得：所以过原点的切线方程为：，不妨设与抛物线的交点为，则，解得：，同理可求：，所以直线：，因为圆心到直线的距离为且所以直线与圆相切；（3）直线与圆相切．证明如下：设，，，则直线，，的方程分别为：：；：；：；因为是圆的切线，，化简得：①因为是圆的切线，同理可得：②则，为方程的两个实根，所以，，因为圆心到直线的距离为：，所以直线与圆相切．20. （1）因为所以，即，解得：．（2）因为，所以，设，则，若，则，所以当时，，当时，，所以在上单调减，在上单调增，故函数有最小值；若，则，所以当时，，当时，，当时，，又是连续函数，所以在上单调减，在上单调增，故函数有最小值；综上可得： .（3）由（2）知，当时，，函数在上单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当时，，不可能有两个零点；若，所以，则，，，则在，分别有一个零点，不妨设，所以，，且，所以，所以，又，所以，又在上单调递减，所以，即．21. 由条件，所以，，解得因为，所以22. 的可能取值有，， .；； .随机变量的概率分布为：所以 .23. （1）以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，，则，，，所以，，因为，所以，即，解得，即的长为．（2）设，又，，，所以，，且，设为平面的法向量，所以，，所以，取，解得，，所以为平面的一个法向量．又知为平面的一个法向量，则因为二面角大小的余弦值为，，解得：，所以 .24. （1），所以 .（2）①时，左边右边，②设时，对一切实数，有，那么，当时，对一切实数，有即时，等式成立．故对一切正整数及一切实数，有 .。