高中数学必修四第三章三角恒等变换知识点总结
高中数学必修四第三章三
角恒等变换知识点总结
Last updated on the afternoon of January 3, 2021
第三章三角恒等变换
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴coscoscossinsin；
⑵coscoscossinsin；
⑶sinsincoscossin；
⑷sinsincoscossin；
⑸
tantantan1tantan
tantantan1tantan
⑹
tantantan1tantan
tantantan1tantan
二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑵
2222
cos2cossin2cos112sin
2
cos21cos2
，21cos2sin2．
⑶22tantan21tan．
三、辅助角公式：
22
sincossinaxbxabx
，
2222
cossinababab其中由，决定
四、三角变换方法：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异
角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变
换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；
②
2
30
4560304515oooooo
；
③()；④()424；
⑤2()()()()44；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三
角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。
（3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三
角函数值，例如常数“1”的代换变形有：
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一
般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式
cos1
常用升幂化为有理式。
（5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名，高次
降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。
三角恒等变换
【人教版】高中数学必修4知识点总结：第三章三角恒等变换【编者按】变换是数学的重要工具，在初中，接触过大量的“只变其形不变其质”的代数变换，本章要学习的三角恒等变换也是“只变其形不变其质”的，可以揭示某些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，是解决数学问题的重要手段。
三角恒等变换的学习，注重考察学生思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。
教材要求：用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，能运用这些公式进行简单的恒等变换。
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式；；其中两角和与差的正切公式的变形：2．二倍角公式升幂公式降幂公式附注：在学习上述公式时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如等；（3）注意倍角的相对性（4）要时时注意角的范围3．三角函数式的化简（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
1）降幂公式2）辅助角公式4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”，即利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
最新人教版高中数学必修4第三章《第三章三角恒等变换》知识长廊
知识长廊浅淡周期函数周期性是三角函数最重要的性质之一，虽然教科书中给了周期函数的定义，但我们对周期函数的有关问题确定是知之甚少，笔者对有关周期函数的有关问题进行简要的概述，以满足读者的求知要求.一个周期函数不一定存在正周期，比如大家熟知的y=sinx ，x ∈（-∞，0］.即便是存在正周期也不见得存在最小正周期，比如常数函数f （x ）=a ，狄利克雷（Dirichlet ）函数，f （x ）=⎩⎨⎧)(0)(1为无理数为有理数x x 等.一个周期是否是函数的最小正周期，一般要用反证法进行严格的证明，比如2π是y=sinx （x ∈R ），y=cosx （x ∈R ）的最小正周期，π是y=tanx （x ∈R ，x≠2π+kπ，k ∈Z ）的最小正周期，2π是y=|sinx|+|cosx|的最小正周期等. 当然，有很多与三角函数有关的函数也不一定是周期函数，例如y=sinx ，x ∈［-100π，100π］，y=sin x 1，y=sin|x|，y=sin x1，y=sin|x|，y=sinx 2，y=x sin 等等. 两个周期函数的和一定是周期函数吗？结论是否定的，比如y=sinx+cos x 2就不是周期函数.而两个周期函数的和如果是周期函数，这个周期函数也不一定存在最小正周期，像y=sin 2x+cos 2x.如果两个周期相同的周期函数相加得到的理应是周期函数，但它的最小正周期也有可能发生变化，比如y=cotx 与y=tanx 的周期是π，而y=cotx-tanx=2cot2x 的周期是2π. 对于确定函数的最小正周期的确是比较困难，教科书也只要求能化为y=Asin （ωx+φ）形式的函数，或者根据函数的图象直观地求出它们的最小正周期.有关最小正周期和非周期函数问题的证明本文将对上文涉及到的问题给以严格的证明.【例1】 证明f （x ）=sinx （x ∈R ）的最小正周期是2π.证明：（1）f （x+2π）=sin （x+2π）=sinx=f （x ）.（2）假设存在0＜T ＜2π使f （x+T ）=f （x ）.即sin （x+T ）=sinx （x ∈R ）.令x=0，则sinT=0；又0＜T ＜2π，则T=π.令x=4π，sin （4π+T ）=sin 4π， 即sin 45π=sin 4π此为矛盾， 由（1）（2）两步可知2π为f （x ）=sinx 的最小正周期.【例2】 证明f （x ）=|sinx|+|cosx|的最小正周期为2π. 证明：（1）f （x+2π）=|sin （x+2π）|+|cos （x+2π）|=|cosx|+|sinx|=f （x ）. （2）假设存在0＜T ＜2π使f （x+T ）=f （x ），即|sin （x+T ）|+|cos （x+T ）|=|sinx|+|cosx|.令x=0，得sinT+cosT=1，即sin （T+4π）=22. 又0＜T ＜2π，4π＜T+4π＜43π，∴sin （T+4π）＞22，此为矛盾. 由（1）（2）两步可知2π为f （x ）=|sinx|+|cosx|的最小正周期. 【例3】 证明f （x ）=sin x 不是周期函数.证明：假设f （x ）=sinx 是周期函数，则存在T≠0使f （x+T ）=f （x ）, 即sin T x +=sin x .令x=0，则sin T =0，则T =kπ （k ∈Z ）.①令x=T ，则sin T 2=sin T =0，∴T 2=nπ （n ∈Z ）.②②÷①得k n =2 （n ∈Z ，k ∈Z ）此为矛盾. ∴f （x ）=sin x 不是周期函数.【例4】 证明f （x ）=sinx+cos 2x 不是周期函数.证明：假设f （x ）=sinx+cos 2x 是周期函数，则存在T≠0使f （x+T ）=f （x ），即 sin （x+T ）+cos 2（x+T ）=sinx+cos 2x.令x=0，cos 2T=1， 则2T=2kπ （k ∈Z ）.①令x=-T ，sin （-T ）+cos 2T=1,即sinT=0，则T=nπ （n ∈Z ）.②①÷②得nk 22=，此为矛盾. 因此f （x ）=sinx+cos 2x 不是周期函数.上述有关最小正周期和非周期函数的证明都是采用了反证法.。
最新人教版高中数学必修4第三章《第三章三角恒等变换》本章概览
第3章三角恒等变换
本章概览
内容提要
本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式以及运用这些公式进行简单的三角恒等变换.
三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习,要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,发展推理能力和运算能力,使学生体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的一些应用.
学法指导
1.重视公式的推导:本章公式比较多,要重视公式的推导过程,体会数学知识形成过程,并据此发现公式间的内在联系,有益于形成完整的公式体系结构.
2.重视公式的记忆:对课本中出现的公式要做到真正理解、记准、记熟、用活,解决问题时究竟使用哪一个公式或哪几个公式,要抓住问题的实质，善于联想,需用公式时信手拈来.
3.重视化归思想的运用:转化与化归思想是本章应用的最重要、最基本的思想方法,它贯穿于本章内容的始终,要认真体会、理解,解题中注意灵活运用.。
人教B版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换 本章小结》_4
小结
巩固知识检查效果
培养归纳与概括能力
巩固知识完善思维结构
突出思维敏捷性和方法的灵活性
巩固知识检查效果
学生总结
教
学
过
程
例已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的最小正周期和其图像的对称中心
(2)求函数f(x)的单调递增区间
（教师启发诱导，详细分析讲解，学生体会如何变角变名，化异求同）
练习1求y= 的值域。
(教师提出问题、学生自主探究、展示交流)
2.
求函数f(x)的的单调递增区间
(教师提出问题、学生自主探究、展示交流)
•先利用二倍角、升降幂公式化简
•再用辅助角公式将函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式
•若无法转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，则考虑转化为某一三角函数的二次函数形式，再用配方法求最值
板书设计：
三角恒等变换高考热点题型总结
例
练习1练习3
单位：朝阳市二高中
课题：三角恒等变换高考热点题型总结
教学内容
设计意图
教
案
分
析
三角恒等变换是高中数学的重要内容，是高考必考内容之一。
近几年高考对三角恒等变换的考察要求有所降低，主要考察的高考热点题型是利用三角的和差倍半公式研究函数y=Asin( )的图像和性质。
总结求解过程要遵循“三看”ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ则：
1.看角，通过角之间的差别和联系，对角进行合理的拆分，从而正确的使用公式；
3.
1）求f(x)的对称轴方程
2）当 ,求x的值
（学生讨论，这类题型的解法步骤如何）
学生总结步骤
高中数学必修四 第三章三角恒等变换 3.2.1三角恒等变换
<
0.
∴tan
������ 2
=
−
1-cos������ 1+cos������
=
−
1-
3 3
1+
3 3
=
−
2-
3
=−
1 2
8-4
3
=
−
1 2
( 6- 2)2 =
22
6.
解法二:
用
tan
������ 2
=
1-cos������ sin������
来处理
∵α 为第四象限角,∴sin α<0.
∴sin α=−
(2)y=sin
x(cos
x-sin
x)+
1 2
=sin
xcos
x-sin2x+
1 2
=
1 2
sin
2x−
1-cos2������ 2
+
1 2
=
1 2
sin
2x+
1 2
cos
2x−
1 2
+
1 2
22
2
= 2 2 sin2������ + 2 cos2������
2
π
= 2 sin 2������ + 4 .
������ 2
的值为
()
A.
6 3
B.
−
6 3
C.
±
6 3
D.
±
3 3
解析:∵α∈(0,π),∴
������ 2
∈
0,
π 2
,
∴cos
������ 2
(完整word版)高中数学必修4三角函数知识点总结归纳
高中数学必修 4 知识点总结第一章三角函数正角 : 按逆时针方向旋转形成的角1、随意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角2、象限角：角的极点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的会合为k 360o k 360o90o , k第二象限角的会合为k 360o90o k360o180o, k第三象限角的会合为k 360o 180o k360o270o , k第四象限角的会合为k 360o270o k360o360o, k终边在 x 轴上的角的会合为k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为k180o90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o, k3、终边相等的角：与角终边同样的角的会合为k 360o, k4、已知是第几象限角，确立n*所在象限的方法：先把各象限均分 n 等n份，再从 x 轴的正半轴的上方起，挨次将各地区标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的地区．n例 4．设角属于第二象限，且cos2cos2，则角属于（）2A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解.C 2k22k,( k Z ), k4k,( k Z ),22当 k2n,( n Z ) 时，在第一象限；当 k2n1,(n Z ) 时，在第三象限；22而 cos cos cos20，在第三象限；2225、1 弧度：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．- 1 -6、半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是l ．ro7、弧度制与角度制的换算公式：2360o ， 1o， 118057.3o ．1808、若扇形的圆心角为为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则弧长 lr，周长 C2r l ，面积 S1 lr 1 r2 ．2 29、设 是一个随意大小的角，的终边上随意一点 的坐标是 x, y ，它与原点的距离是 r rx 2y 20 ，则 siny， cosx， tany x 0 ．r r x10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线： sin ， cos ， tan ． y例 7． 设 MP 和 OM 分别是角17的正弦线和余弦线，则给出的以下P T18不等式： ① MP OM 0 ；② OM 0 MP ； ③ OMMP 0 ；OM Ax④ MP0 OM ，此中正确的选项是_____________________________ 。
高中数学第三章三角恒等变换本章小结课件a必修4a高一必修4数学课件
＝12sin2α－π3＋ 23cos2α－π3＝3－140
3 .
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第二十一页，共二十三页。
三角恒等变换与向量的综合问题，一般都是以向量的形式给 出条件的三角问题，解题规律是，利用向量的知识把向量的条件 化为三角条件，使问题转化为三角函数问题，然后再用三角函数 的知识求解就行了.
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第七页，共二十三页。
②“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外 一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中 的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角范围的变化．
③“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求 出的值是特殊角的值，再求出角之前还需结合函数的单调性确定 角，必要时还要讨论角的范围．
[解] (1)因为 a∥b，所以 2sinθ＝cosθ－2sinθ，
于是 4sinθ＝cosθ，故 tanθ＝14. (2)由|a|＝|b|，知 sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以 1－2sin2θ＋
4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，
即
sin2θ＋cos2θ＝－，共二十三页。
二、三角函数求值的类型 严格来说，三角函数的化简、证明、求值都是三角恒等变形， 在变换技巧上都是相通的，但由于是求值，于是它就有了特殊性， 因此仍然把它单列开来，作为一个专题．如前面章节中讲到的一 样，三角函数求值，主要有三种类型，即 ①“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较 难，但仔细观察这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如 和或差为特殊角，当然还有可能需要诱导公式．解题时，要利用 观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为 特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得到．
高中数学 第三单元 三角恒等变换 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切课件 新人教B版必修4.pptx
1－cos α 2，
1＋cos α 2，
(S )
2
(C )
2
1－cos 1＋cos
αα＝1＋sincoαs
1－cos
＝ α
sin α
α
.
(T )
2
8
题型探究
9
类型一 应用半角公式求值
例1
若π2＜α＜π，且 cos α＝－35，则 sin 2α＝
25 5
.
解析 因为 cos α＝1－2sin2α2，
答案
αα
α
tan2α＝ sin cos
2α＝
sin2·2cos α
2 cos2·2cos
2α＝1＋sincoαs 2
， α
α
αα
tan
2α＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs
α .
cos 2 cos 2·2sin 2
7 答案
梳理 正弦、余弦、正切的半角公式
sin α2＝ ± cos α2＝± tan α2＝±
sin α、cos α 都可以表示成 tan 2α＝t 的“有理式”，将其代入式子中，
从而可以对式子求值.
11
跟踪训练 1
若 tan θ2＋ 1 θ＝m，则 sin θ＝
2 m
.
tan 2
解析 因为 tanθ2＋ 1 θ＝m， tan2
即tanta2θ2n＋θ2 1＝m，所以tanta2θ2n＋θ2 1＝m1 ，
所以 2sin2α2＝1－c2os α＝45，
又因为π4＜2α＜π2，所以
sinα2＝2
5
5 .
解析 10 答案
容易推出下列式子：
高中数学第三章三角恒等变换3
给值求角
1 典例 3 (1)已知 α 为三角形的内角且12cosα＋ 23sinα＝12，则 α＝___2_____． (2)已知 cos(α－β)＝－1123，cos(α＋β)＝1123，且 α－β∈(π2，π)，α＋β∈(32π，2π)， 求角 β 的值． [思路分析] (1)由公式可求出 cos(α－π3)的值，再根据 α 的范围确定 α－π3的值． (2)由条件可发现角与角之间的关系：2β＝(α＋β)－(α－β)，所以应先求出 2β 的值，再求 β 的值．
sin45°sin30°)＝－
6＋ 4
2．
3．满足 cosαcosβ＝ 23－sinαsinβ 的一组 α，β 的值是
A．α＝1132π，β＝34π
B．α＝π2，β＝π3
C．α＝π2，β＝π6
D．α＝π3，β＝π4
( B)
[解析] 由条件 cosαcosβ＝ 23－sinαsinβ 得 cosαcosβ＋sinαsinβ＝ 23，即 cos(α－β)＝ 23，α＝π2，β＝π3满足条件．
3.1 两角和差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
我们知道 cos45°＝ 22，cos30°＝ 23.请同学们思考这样一个问题：cos15°＝ cos(45°－30°)＝cos45°－cos30°成立吗？答案当然是不成立，因为 cos15°的值应该 是一个正值，而 cos45°－cos30°是一个负值，那么 cos15°的值与 cos45°和 cos30° 之间到底存在什么关系呢？
(2)原式＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°＝cos(83°－23°)＝cos60°＝12；