张量概念及其基本运算课件
张量概念及其基本运算
◆ 张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定 坐标转化关系的有序数组成的集合。
◆ 张量是矢量和矩阵概念的推广。标量是0阶张量，
矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量 好比立体矩阵，更高阶张量则无法用图形表示
◆ 张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示
(6) ijlj li ijlj ijlj (ij ij)lj
张量概念及其基本运算
4.张量的基本运算
A、张量的加减：
张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：
a11 a12 a13
aij a21
a22
a23
a31 a32 a33
凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)， 并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号 相同的诸分量之代数和。 即：
◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称
为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再求和。
张量概念及其基本运算
3.求和约定
关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和， 这就叫做求和约定。 例如：
3
aibi aibi a1b1a2b2a3b3 i1
3
aib j j aib j j ai1b1ai2b2ai3b3 j1
xj求导。
张量概念及其基本运算
◆ 如果在微商中下标符号i是一个自由下标，则 算子 作i 用的结果，将产生一个新的升高一阶
的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号， 则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：
' i
, xi x1
x2
,
x3
ui'i
ui u1u2u3 xi x1 x2 x3
张量概念及其基本运算
3
ai2i ai2ia121a222a323
i1
张量概念及其基本运算
ii23
2 ii (
113
ijij
ijij
i1 j1
11 1 1 12 1 2 13 13
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33
◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。
张量概念及其基本运算
◆ 若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表
示成： M = 3n
◆ 现令 n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物
理量为张量。
当n=0时，零阶张量，M = 1，标量； 当n=1时，一阶张量，M = 3，矢量；
物理量，可是标量加上向量都不能完整地表达所有 的物理量，所以物理学家使用的数学量的概念就 必须扩大，于是张量就出现了。
张量概念及其基本运算
2.下标记号法
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表
示和区别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标
号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。
0
0 1 0
0 0 1
张量概念及其基本运算
的作用与计算示例如下：
ij
(1) ii 112233 3
(2) ijij (11)2 (22)2 (33)2 3
(3) ijjk i11k i22k i33k ik
(4) aijij a1111a2222a3333 aii
(5) aiij a11j a22j a33j aj (即a1,或a2,或a3)
a ijb ijcij
其中各分量（元素）为：
张量概念及其基本运算
aij bij cij
B、张量的乘积
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的
每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量， 它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积 张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：
张量概念及其基本运算
C、张量函数的求导：
◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都
是坐标参数xi的函数。
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数
求导数。
◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标
符号前上方加“ ′”的方式来表示。例如 ，A i j 就表示对一阶张量 A的i 每一个分量对坐标参数
张量概念及其基本运算
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii2a121a222a323
(aii)2(a1 1a22 a3)32
张量概念及其基本运算
★ 关于自由标号：
张量概念及其基本运算
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具 。
◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。
◆在同一方程式中，各张量的自由标号相同，
即同阶且标号字母相同。
◆自由标号的数量确定了张量的阶次。
★
关于Kronecker
delta（
）符号：
ij
ij 是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号
（或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：
ij 1 0,,
当 ij时 ； 或 当 ij时 ；
1
： ij0
aibjk cijk
若 a i a 1 a 2 a 3 bjb 1 b 2 b 3
张量概念及其基本运算
则：
a1b1 aibj a2b1
a3b1
a1b2 a2b2 a3b2
a1b3 a2b3 a3b3
◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配
律和结合律。例如：
( a i j b i) c j k a i c k j b i c k j； 或 ( a i b k j ) c m a i( b j k c m )
张量分析——初学者必看PPT
§A-2 矢量的基本运算
A 张量分析
四、矢量的并乘(并矢)
a ai ei , b b j e j
并乘
ab ai ei b j e j ai b j ei e j
a2b1e2 e1 a2b2 e2 e2 a2b3e2 e3 a3b1e3e1 a3b2 e3e2 a3b3e3e3
ab a1b1e1e1 a1b2 e1e2 a1b3e1e3
§A-3 坐标变换与张量的定义
A 张量分析
x x cos y sin y x sin y cos
x x cos y sin y x sin y cos
约定
S ai xi a j x j
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维
一、求和约定和哑指标
§ A-1 指标符号
双重求和
Aij xi y j
i 1 j 1
3
3
Aij xi y j A11x1 y1 A12 x1 y2 A13 x1 y3 A21x2 y1 A22 x2 y2 A23 x2 y3 A31x3 y1 A32 x3 y2 A33 x3 y3
两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这 相当于矩阵相乘
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
五、张量的双点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 4
A : B ( Aijk ei e j ek )( Brster es et ) Aijk Brst jr ks ei et Aijk B jkt ei et S
A B ( Aijk ei e j ek ) ( Brst er es et ) Aijk Brst ei e j kr es et Aijk Bkst ei e j es et S
张量分析TensorAnalysisppt课件
的切线方向。矢量 r 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）：
xi
gi
r xi
zj xi
ij
注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基 矢量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交；
基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；
基矢量不是常矢量，它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。
利用克罗内克符号，上式可写成：
ds2 ijdxidxj
克罗内克符号的一些常用性质：
ijxi xj
x j xi
j i
ijki kj
D) 置换符号
置换符号eijk=eijk定义为:
1
e ijk
e ijk
1
0
当i,j,k是1，2，3的偶置换(123,231,312) 当i,j,k是1，2，3的奇置换(213,132,321) 当i,j,k的任意二个指标相同
i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
D) 置换符号（续）
置换符号主要可用来展开三阶行列式：
a11 a1 2 a3 1 aa12 a22 a32 a11a22a33a12a23a3 1a13a1 2a32
a13 a23 a33 a11a23a32 a12a1 2a33 a13a1 2a32
量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，它们由以下的变换法则相联系；
AˆiyAjxxyij
逆变矢量用上标表示；因此上标也称为逆变指标。
(3) 协变矢量(一阶协变张量)
一个量被称为协变矢量或一阶协变张量，若它在坐标系 xi 中有三个分 量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，其变换法则相为；
张量基础知识
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
1_3张量运算
张量运算这一节将介绍如何由给定的张量来构造新的张量。
从定义容易验证如果T 是一个阶张量（分量为，当然，它是相对于某个给定的坐标系而言的）而是一个标量（普通的数），那么，aT （其分量由定义）也是一个n 阶张量；如果T 和是两个具有相同阶数（如n ）的张量，那么T n ij k T "a ij k aT "S S +（分量由T ij k ij k S +""定义）也是一个n 阶张量。
这两种运算分别称为张量的数乘及张量的和，对于矢量，数乘意味着矢量的伸长或缩短，而矢量和则满足通常的平行四边形法则。
从这些性质我们马上可以推知位移、速度、加速度都是矢量，那么力呢？它当然也是一个矢量，但是这一点并非数学的结论，而是一个物理的假设（F ma =K K ）！一个有趣的结论是任何一个2阶张量都可以由一个对称张量与一个反对称张量相加得到： ()()22ij jiij jiij S A ij ij T T T T T T +−=+=+T j ik (1)顺便提一句，这两种运算实际上说明这样一个事实：任意两个阶张量的任意线性组合仍是一个n 阶张量，也就是说，所有阶张量的集合构成了一个线性空间。
n n 第三种运算称为张量的缩并，例如一个分量为的3阶张量T ，如果令并对i 求和，那么就得到了一个其第个分量为ijk T i =k k i C T =的1阶张量（即矢量）。
这是因为kiik il im kn lmn lm kn lmn kn lln kn n C T T T T C λλλδλλλ′′===== (2) 当然，你也可以对其他的指标进行缩并，那么就得到了别的不同的矢量，例如和。
类似的，对于二阶张量，就是分量矩阵的迹，我们知道它在坐标变换（相似变换）下是不变的，也就是说它是一个标量。
因此，将一个n 阶张量的两个指标缩并就得到了一个阶的张量。
ijiT ijj T ii T 2n −最后一个张量运算称为张量积，对于任意两个张量T 和（阶数分别设为S n和m ），其张量积T是一个n S ⊗m +阶的张量，其分量由来定义。
张量运算
例三
【形式变换】 (f × ∇ ) × g , (f × ∇ ) · g , (f × ∇ ) ϕ × ∇) × g = ∇ (fc · g ) − fc (∇ × g ) (f × ∇ ) · g = f · (∇ × g ) (f × ∇ ) ϕ = f × ∇ ϕ
第四例应该是第一例
★多个矢量的运算：可按三个矢量的运算法则展开
§ 1.2
三矢量的混合积
平行六面体的体积； 行列式性质：交换一次变 符号
a · (b × c) =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
= b · (c × a) = c · (a × b)
= −a · (c × b) = −b · (a × c) = −c · (b × a) ⇐⇒ 【推论】a, b, c共面 a · (a × c) = 0 ⇐⇒ a · (b × c) = 0 a, a, c一定共面
例一
【求解】 ∇ (f · g ) 【解】 ∇ (f · g ) = ∇ (f · gc ) + ∇ (fc · g ) → (gc · ∇) f + (f × ∇) × gc + (∇ · fc ) g + (g × ∇) × fc = (gc · ∇) f + gc × (∇ × f ) + (fc · ∇) g + fc × (∇ × g ) = ( g · ∇ ) f + ( f · ∇ ) g + g × ( ∇ × f ) + f × (∇ × g ) ∇ × (f × g ) = ∇ × (f × gc ) + ∇ × (fc × g ) → (∇ · gc ) f − (∇ · f ) gc + (∇ · g ) fc − (∇ · fc ) g = (gc · ∇) f − gc (∇ · f ) + fc (∇ · g ) − (fc · ∇) g = ( g · ∇ ) f − ( f · ∇ ) g + f (∇ · g ) − g ( ∇ · f ) , ∇ × (f × g ) , ∇ · (f × g )
张量分析课件-1.7 张量的代数运算
且 T ij S ij U ij ,
1.7.3 标量与张量相乘
若kT=U，则
kT ij U ij ,
且 kT ij U ij ,
张量相减：T－S=T + (－1)S
1.7.4 张量与张量并乘
若T，S 分别是m阶和n阶张量，则TS=U是m+n 阶张量。 U的分量指标的前后顺序和上下位置都与TS 的指标顺序和 上下位置相一致。例如
·
k l rs t ij rs l k t T S Tij g g g g S g g g T S δ g g g g g kl i j t r s kl t r i j s ls k t ij s k t Tij S g g g g g V g g g g g V kl t i j s k t i j s
·
S T T
·
ij kl
l k ij k i k gi g j g k g l Tij δ g g T g g S g g kl j i kj i k i
·
1.7.6 张量的点积
点积：若T，S分别是m阶和n阶张量，则 阶张量。例如： ·
TS U 是m+n－2
·
设S是T的转置。则有 1 A T S 为对称张量； 对称化运算： 2 1 反对称化运算： B T S 为反对称张量。 2
1.7.9 张量的商法则
设有一组数的集合（例如T（i, j, k, l, m）），如 果它满足对于任意一个q阶张量S（例如q=2，二阶张
量Slm）的内积均为一个p阶张量（例如p=3，三阶张量 Uijk），即在任意坐标系内以下等式均成立
t
张量分析课件-2.7 正交相似张量
~e ~ , M Q N QT 则 M i e i i
i 1
3
两个非对称二阶张量A，B 正交相似的必要条件是：它们的 主不变量相等。（证明方法与上述定理的必要性证明相同） 若两个非对称二阶张量A，B的主不变量相等，且 A 与B 可 以在各自的基 gi 与 gi′中化为同一种标准形，即
张量分析 及连续介质力学
2.7 正交相似张量
定义 若有两个二阶张量A，B 之间满足
B Q A QT ,
即
A QT B Q
式中Q 为正交张量，则称 A 与 B 互为正交相似张量。 定理 对称二阶张量N 与M 互为正交相似的充分且必要条 件是它们的3个主不变量相等。
J
N i
J
M ii 1,2 3证明 （1）必要性： N M 即已知 M=Q· N· QT，求证 J i J i 只需证明M 与N 的特征行列式相同。
i 1,
2, 3 。
det Q G N Q detQ det G N detQ det G N det N
gi S gi , g g i S 1
则A 与B 是互为相似张量。
i
若A 与B 不能化为同一种标准形，则A 与B 非互为相似
张量。
N M J J 即已知 i i
i 1,
（ii）M 与N 的特征矢量 eiM 与eiN 都是正交标准化基，满足
N N eiM e M e e j ij i j
因为保内积的变换必定是正交变换，所以必定存在一 个正交张量Q，使
~N eiM Q eiN e i
若记 N i ei ei ,
第一章-矢量和张量
矢量与张量为什么学习张量1. 物理量： 标量 矢量 张量 X2. 客观性：坐标系（观察者） 客观规律的第一要素第一章：矢量 矢量：1.方向性2.合成结果与顺序无关不符合这两点要求的不是矢量。
转动具有大小和方向 但由于不满足交换律（第2要素），因而不是矢量。
线性相关：一组矢量中至少有一个矢量可以用其余的矢量线性组合表示 线性无关： 最大线性无关组 基本运算：1. 点积 abcos θ⋅=a b 机械功 分配律证明： ()⊥⋅+=⋅a a b a b111223311121122332223112233333() ()()b a a a b a b a a a b a b a a a b a ++⋅=++⋅=++⋅=e e e e e e e e e e e e31i i i a b =⋅=∑a b333111i i i i i i i i i i ()a (b c )a b a c ===⋅+=+=+=⋅+⋅∑∑∑a b c a b a c2.叉积 absin θ⨯=a b n有方向的平行四边形面积()⨯+=⨯a a b a b 113223122133123321123()()()b a a b b a a b b a a b ⨯=-⨯=-⨯=-a e e e a e e e a e e e123123123a a ab b b ⨯=e e e a b123123123123123123112233123123()a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c ⨯+==+=⨯+⨯+++e e e e e e e e e a b c a b a c 2. 混合积 ()⋅⨯u v w 六面体体积改变六面体底、高顺序 可证：()()()⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯u v w v w u w u v 3. ()()()⨯⨯=⋅-⋅u v w w u v u v w()(sin )/(sin )()(sin )/(sin )ab a b ab b b θθθθ⊥⊥⨯⨯==⨯⨯==a a b a a b a b b b()sin sin b b αβγαθβθ⊥⊥⊥⊥=++⨯⋅⋅==⋅⋅⋅==-⋅c a b a b b c b ca b a c a cb a()sin sin ()(b b αθβθ⨯⨯=+=⋅-⋅c a b a b b c a a 第二讲：斜角直线坐标系 1. 力的分解 1212P P =+P g g1212P P ⋅=⋅+⋅P v g v g ve2e e如果21 ; 1⊥⋅=v g v g 则 1P ⋅=P v 2.斜角直线坐标系131232x x x =++r g g g i i x∂=∂rg 协变基矢量 i g （自然基矢量） i i j j δ⋅=g g 逆变基矢量i g两种坐标基矢量的作用3311i i i i i i v v ====∑∑v g gi i i iv ;v ⋅=⋅=v g v g① 上下指标的不同意义：协变 逆变 ② 哑指标及其求和约定3311i j i j i j v v ====∑∑v g g 哑指标3311i j i j i j i j i j v v v v ======∑∑v g g g g （求和约定）举例：矢量 矩阵乘法③ 自由指标 （表达式中各项出现且只出现一次，同为上或为下指标） 取值范围内全部成立 可同时换为其它字母而不影响意义 说明逆变基矢量定义表达式的指标记法 逆变基矢量的求解 1.根据定义 123α=⨯g g g112311().α⋅=⨯=g g g g g123231231231132231()()()⨯=⨯⋅⨯=⨯⋅⨯=⨯⋅g g g g g g g g g g g g g g g g g g1232. 根据i ij j g =g g ji i j g =g gij i j ij i jg g =⋅=⋅g g g g度量张量的协、逆变分量j j k j kj i i ik ik g g g δ=⋅=⋅=g g g g1ijij g g -⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦ （可用于求解高于3维的坐标系的逆变基矢量） 度量张量的作用3.()2123det()()ij g g ⎡⎤=⋅⨯=⎣⎦g g g231()⨯⋅=g g g 3. 升降指标i i j i ij j jji i j i ijp p p gp p p g =⋅=⋅==⋅=⋅=P g g g P g g gi j i ij i j i j i i j ij u u u u g u u g u u ⋅=⋅===u v g g i i u u ≠（单位直角坐标系下i i =g g ） 第三讲：曲线坐标系1. 曲线坐标：确定空间中一点所用的参数 ①矢径 11232123312123(,,)(,,)(,,)x x x ξξξξξξξξξ=++r e e e 其中i x 为直角坐标 作用：点到矢量 ②典型的曲线坐标系柱坐标系：x rcos ;y r sin ;z z θθ===球坐标系：x r sin cos ;y r sin sin ;z rcos θϕθϕθ=== ③曲线坐标的必要条件 0ikx det ξ⎛⎫∂≠ ⎪∂⎝⎭z来源：111123112222212333333123x x x dx d xx x dx d dx d x x x ξξξξξξξξξξξξ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦必须有唯一解（点到曲线坐标的一一对应）④ 坐标线 (只连续改变一个曲线坐标所对应的点形成的轨迹，通常是一条曲线) ⑤ 协变基矢量：坐标线沿增加方向的切线）121233i i i i i x x x ξξξξ∂∂∂∂==++∂∂∂∂r g e e e极坐标系下：123123ξξξ≠++r g g g 但123123d d d d ξξξ=++r g g g （曲线坐标的局部性） 112121221cos sin ;r sin r cos ;r θθθθ=+==-+=g e e g g e e g可见：曲线坐标系协变基矢量与位置有关（是曲线坐标的函数），模也不一定是1。
张量的计算
张量的计算张量的计算一、张量的概念张量（tensor），是一个包含多个数字（多维数组）的数学实体，它是一种多维数据的数据抽象。
它可以有任意多个维度，可以表示向量，矩阵，多维数组等形式，可以看作是多维空间中的一个点。
张量的主要组成元素有：1.张量的值：所有多个数字的集合。
2.张量的维度：指明了多个数字的结构形式。
3.张量的大小：表示多个数字的总数，也就是值的长度。
二、张量的基本操作张量计算有一系列基本操作，例如加，减，乘，除，这些操作可以用来对张量进行数学运算，它们可以用于计算机视觉，机器学习，深度学习等领域的复杂算法。
1.张量加法（tensor addition）张量加法是将两个张量中的每个元素进行相加，这里的元素可以是数字、向量、矩阵等。
形式上，可以表示为A + B，其中A、B为两个张量，加号代表的是每个元素之间的加法操作。
2.张量减法（tensor subtraction）张量减法是将两个张量中的每个元素进行相减，形式上，可以表示为A-B，其中A、B为两个张量，减号代表的是每个元素之间的减法操作。
3.张量乘法（tensor multiplication）张量乘法是将两个张量中的每个元素进行相乘，形式上，可以表示为A×B，其中A、B为两个张量，乘号代表的是每个元素之间的乘法操作。
4.张量除法（tensor division）张量除法是将两个张量中的每个元素进行相除，形式上，可以表示为A÷B，其中A、B为两个张量，除号代表的是每个元素之间的除法操作。
5.张量维度变换（tensor reshape）张量维度变换是指将张量的维度变为另一种维度，它可以改变张量的大小，使张量各个维度之间的联系更加明显，从而更好地实现张量运算。
三、张量计算的应用1.机器学习领域：张量计算可以为神经网络模型提供高效的数据处理能力，可以有效解决神经网络中的计算复杂度问题。
2.图像处理领域：张量计算可以用于图像特征提取，可以用于图像分割，分类，检测等，可以有效提升图像处理系统的性能。
张量的基本概念(我觉得说的比较好,关键是通俗)之欧阳音创编
简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。
向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。
而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。
张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。
我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。
张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。
在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。
而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。
要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。
进而发展了张量分析。
现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。
比如泛函分析、纤维从理论等。
代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。
其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。
而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。
线性代数的精髓概念根本涉及不到。
这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。
现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。
这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。
公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。
武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。
应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。