陕西省咸阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学(理)试题 Word版含答案
咸阳市2019~2020学年度第二学期期末教学质量检测高二数学（理科）试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟；2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名，准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰； 4．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．52ii=+（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -- D ．12i -+2．若21010x C C =，则正整数x 的值为（ ）A ．2或8B ．2或6C ．6D ．103．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数r 如下表，其中拟合效果最好的模型是（ ）A ．模型1B ．模型2C ．模型3D ．模型4 4．已知()f x 是可导函数，且()()000lim2x f x f x x x∆→--∆=∆，则()0f x '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2- 5．已知随机变量()1,4XN ，()20.3P X >=，则()0P X <=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8 6．下列求导运算正确的是（ ）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．2sin cos sin x x x x x x'-⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()555log xxx '= D ．()2cos 2sin x x x x '=-7．52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（ ）A ．10-B ．10C ．5-D ．58．抛出4粒骰子（每粒骰子的六个面分别有1~6共六个不同的点数），恰有3粒向上的点数不小于5的概率为（ ） A ．281 B ．481 C ．881 D ．4279．右图是函数()f x 的导函数()y f x ='的图像，则下列说法一定正确的是（ ）A ．3x x =是函数()f x 的极小值点B ．当2x x =或4x x =时，函数()f x 的值为0C ．函数()f x 的图像关于点()0,c 对称D ．函数()f x 在()4,x +∞上是增函数10．如图，一行人从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的体育活动中心参加志愿者活动，则这位行人到体育活动中心可以选择的最短路径条数为（ ）A ．24B ．9C ．12D ．18 11．已知()3216132m f x x x x =+-+在()1,1-上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[]3,3- B ．()3,3- C ．[]5,5- D ．()5,5-12．方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为（ ） A ．甲 B ．丙 C ．戊 D ．庚第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若复数()()12z i i =+-，则共轭复数z 的虚部为________． 14．曲线21xy e-=+在点()0,2处的切线方程为________．15．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．已知顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账，则他们结账方式的组合种数共________种．16．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数，若对任意x R ∈，都有()()1f x f x '<-成立，且()03f =，则不等式()2xxe f x e ->的解集为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知复数()23z a a i =+-，i 为虚数单位，a R ∈．（Ⅰ）若z =a 的值；（Ⅱ）若z 在复平面内对应的点位于第四象限，求a 的取值范围． 18．（本小题满分12分）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈类节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：（Ⅰ）第1次和第2次都抽到舞蹈类节目的概率；（Ⅱ）在第1次抽到舞蹈类节目的条件下，第2次抽到舞蹈类节目的概率． 19．（本小题满分12分）已知函数()331x x x f a =--在1x =-处取得极值．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[]2,1-上的最小值． 20．（本小题满分12分）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内. （Ⅰ）共有多少种不同的放法？（Ⅱ）若每个盒子不空，共有多少种不同的放法？（Ⅲ）若恰有一个盒子不放球，共有多少种不同的放法？ 21．（本小题满分12分）新型冠状病毒属于β属的冠状病毒，人群普遍易感，病毒感染者一般有发热咳嗽等临床表现．基于目前的流行病学调查和研究结果，病毒潜伏期一般为1-14天，大多数为3-7天．为及时有效遏制病毒扩散和蔓延，减少新型冠状病毒感染对公众健康造成的危害，需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检查．某地区对与确诊患者有接触史的1000名人员进行检查，结果统计如下表：（Ⅰ）填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，以为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关？（1）在全国人民的共同努力下，尤其是全体医护人员的辛勤付出下，我国的疫情得到较好控制，现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者（即无相关临床表现但核酸检测或血清特异性免疫球蛋白M 抗体检测阳性者）．根据防控要求，无症状感染者虽然还没有最终确诊患新冠肺炎，但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观察14天．已知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离11天未有临床症状，若该人员居家隔离第k 天出现临床症状的概率为()11112,13,142k k -⎛⎫= ⎪⎝⎭，两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并采取必要治疗，若14天内未出现临床症状则可以解除居家隔离，求该人员在家隔离的天数（含有临床症状表现的当天）ξ的分布列以及数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．22．（本小题满分12分）已知函数()ln ln f x a x x a =-，0a >．（Ⅰ）当1a =时，求证()f x <（Ⅱ）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B 2．A 3．C 4．A 5．B 6．B 7．A 8．C 9．D 10．D 11．C 12．D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．–1 14．22y x =-+ 15．20 16．(),0-∞三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：（Ⅰ）z ==，解得2a =或25a =． （5分） （Ⅱ）z 在复平面内对应的点位于第四象限，230a a >⎧⎨-<∴⎩，得302a <<． （10分） 18．解：（Ⅰ）由于节目总数是6个，其中4个舞蹈类节目，2个语言类节目， 故第1次和第2次都抽到舞蹈类节目的概率是432655⨯=． （6分） （Ⅱ）在第1次抽到舞蹈类节目的条件下，第2次抽到舞蹈类节目的概率是35． （12分） 19．解：（Ⅰ）()233f x x a '=-，函数()f x 在1x =-处取得极值，()1330f a '∴-=-=，得1a =，此时()f x 在()–,1∞-，()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减，∴当1a =时满足条件．故1a =． （6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()f x 在[)2,1--上单调递增，在(]–1,1上单调递减，∴当[]2,1x ∈-时，函数()f x 的最小值是()–2f ，()1f 中的较小者，()23f -=-，()13f =-，故函数()f x 在[]2,1-上的最小值为3-． （12分）20．解：（Ⅰ）每个球都有4种放法，故有44256=种不同的放法． （4分）（Ⅱ）每个盒子不空，共有4424A =种不同的放法． （8分）（Ⅲ）4个不同的小球放入4个不同的盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有2344144C A =种不同的放法． （12分） 21．（Ⅰ）完成的列联表如下：（3分）()22100035024030011046.0310.828460540650350K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关． （6分）（Ⅱ）由题可知，随机变量ξ的可能取值为12，13，14，()1211111222P ξ-⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()121113111111113122248P ξ--⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-⋅=⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ()113141288P ξ==--=，ξ∴的分布列为：数学期望1131031213142888E ξ=⨯+⨯+⨯=． （12分） 22．解：（Ⅰ）当1a =时，()ln f x x =，定义域为()0,+∞，令()ln g x x =()122g x x x-'==， 当4x >时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当04x <<时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，∴当4x =时，()g x 取得最大值，()4ln 420g =-<，()ln 0x g x ∴=<故()f x < （6分）（Ⅱ）()ln ln f x a x x a =-有两个不同的零点，即方程ln ln ax x a=有两个实数根， 令()ln h x x x =，则()21ln xh x x -'=， 当x e >时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 单调递增， 故当x e =时，()h x 取得最大值，()1h e e=， 当x →+∞时，()0h x +→，当0x +→时，()–h x →∞， 方程ln ln ax x a=有2个实数根， ln 10a a e∴<<， 0a >，ln 0a ∴>，得1a >，由ln 1a a e<，可a e ≠得，结合()ln h x xx=的图像可得1a >且a e ≠， 故a 的取值范围为()()1,,e e +∞． （12分）。
河北省唐山市路北区第十一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试卷 Word版含答案
河北省唐山市路北区第十一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试卷I 卷一、选择题（共12题，每题5分）1．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限2．若物体的运动规律是s ＝f (t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度可以表示为( )(1)lim Δt →0f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt ；(2)lim Δt →0 f (t 0)－f (t 0＋Δt )Δt； (3)f ′(t 0)；(4)f ′(t )．A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(3)D ．(2)(4)3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ( )A ．144B ．120C ．72D ．244．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.9775．把一枚硬币任意抛掷三次，事件A 为“至少一次出现反面”，事件B 为“恰有一次出现正面”，则P (B |A )＝( )BA ．38B ．37C ．78D ．476．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ）A.16B.14 C. 13 D. 12 7．已知随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则D (2X ＋1)等于( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．98.甲、乙、丙三个在同一办公室工作，办公室只有一部电话机，经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是12，14，14.在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是( )A.364 B.564 C.764 D.9649. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A. 12B. 16C. 20D. 2410．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.111611.已知曲线x x ae y xln +=在点),1(ae 处的切线方程为b x y +=2，则（ ）A. ,1a e b ==-B. ,1a e b ==C.1,1a e b -== D. 1,1a e b -==-12. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数(1)'()y x f x =-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)fII 卷二、填空题（共4小题，每题5分） 13．复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =___________. 14.83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为________. 15．马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布列如下表：请小牛同学计算 的数学期望．尽管“”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能断定这两个“”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案．16．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．三、解答题（共6题）17．求下列函数的导数：（(本小题满分10分)(1)y＝1－2x2(2)y＝e x sin x18.(本小题满分12分)某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．(1)若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？(2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？19．(本小题满分12分)分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.20．(本小题满分12分)已知某单位有甲、乙、丙三个部门，从员工中抽取7人，进行睡眠时间的调查．若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．21.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx －3在x ＝1处取得极值，且在(0，－3)点处的切线与直线2x ＋y ＝0平行.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g(x )＝xf (x )＋4x 的极值.22、设函数22()ln f x a x x ax =-+，0a > （1）求()f x 的单调区间；（2）求所有实数a ，使21()e f x e -≤≤对[1,]x e ∈恒成立．高二年级数学学科试卷答案一、选择题1．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限答案C2．若物体的运动规律是s ＝f (t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度可以表示为( )(1)lim Δt →0f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt ；(2)lim Δt →0 f (t 0)－f (t 0＋Δt )Δt； (3)f ′(t 0)；(4)f ′(t )．A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(3)D ．(2)(4) 答案 B3、6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ( )A ．144B ．120C ．72D ．24 答案 D解析 先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A 34＝24种放法．故选D.4.已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977答案 C5把一枚硬币任意抛掷三次，事件A 为“至少一次出现反面”，事件B 为“恰有一次出现正面”，则P (B |A )＝( )BA ．38 B ．37 C ．78 D ．47答案 B6..两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ）A.16B.14C.13D.12答案D7．已知随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则D (2X ＋1)等于( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．9A 析 D(2X ＋1)＝D(X)×22＝4D(X)，D(X)＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32，∴D(2X＋1)＝4×32＝6.8、甲、乙、丙三个在同一办公室工作，办公室只有一部电话机，经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是12，14，14.在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是( )A.364 B.564 C.764 D.964答案 D解析 根据题意，三个电话中恰有两个是打给乙，即3次独立重复试验中恰有2次发生，所以所求事件的概率P ＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝964.9.（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A. 12 B. 16 C. 20 D. 24答案 A本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．10、我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A11、已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A. ,1a e b ==-B. ,1a e b ==C.1,1a e b -== D. 1,1a e b -==-答案D12、设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数(1)'()y x f x =-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 答案：D解析：由函数的图象,可知'(2)0,'(2)0f f -==,并且当2x <-时,'()0f x >;当21x -<<时,'()0f x <;当12x <<时,'()0f x <;当2x >时,'()0f x >,故函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f . 二、填空题 13．复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =___________. 答案22 14、.83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为________. 根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项。
河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析
洛阳市2019——2020学年第二学期期中考试高二数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卷上.2.考试结束，将答题卷交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i z i ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. iB. i -C. 1D. 1-【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法法则可得1z i =-，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意()()21111i ii z i i i i +⋅+===--=-， 所以z 的共轭复数1z i =+，则z 的共轭复数的虚部为1. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概念，属于基础题. 2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确．．的是( ) A. 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60°【★答案★】B 【解析】 【分析】“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论. 【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时， 反设是假设三内角都大于60︒. 故选：B.【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.3.对下列三种图像，正确的表述为（）A. 它们都是流程图B. 它们都是结构图C. （1）、（2）是流程图，（3）是结构图D. （1）是流程图，（2）、（3）是结构图【★答案★】C【解析】试题分析：根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图．解：（1）表示的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图．（2）表示学习指数函数的一个流程，所以（2）是流程图．（3）表示的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图．故选C．点评：本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型．4.有线性相关关系的变量,x y有观测数据(,)(1,2, (15)i ix y i=，已知它们之间的线性回归方程是ˆ511y x=+，若15118 iix ==∑，则151iiy ==∑（）A. 17B. 86C. 101D. 255【★答案★】D【解析】【分析】先计算181.215x==，代入回归直线方程，可得5 1.21117y=⨯+=，从而可求得结果.【详解】因为15118 iix ==∑，所以18 1.215x==，代入回归直线方程可求得5 1.21117y=⨯+=，所以1511715255 iiy==⨯=∑，故选D.【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线一定会过样本中心点，利用相关公式求得结果，属于简单题目.5. 分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【★答案★】A 【解析】试题分析：本题考查的分析法和综合法的定义，根据定义分析法是从从求证的结论出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．我们易得★答案★． 解：∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件； ∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件 故选A点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 6.有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线∥平面，则∥”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【★答案★】A 【解析】演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理一般有三段论形式，本题中直线平行于平面，则平行于平面内所有直线是大前提，它是错误的. 考点：演绎推理.7.如图：图O 内切于正三角形ABC ，则3ABCOABOACOBCOBCSSSSS=++=⋅，即11||3||22BC h r BC ⋅⋅=⋅⋅⋅，3h r =，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a 倍”，则实数a =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【★答案★】B 【解析】 【分析】利用等体积，即可得出结论.【详解】解：设正四面体的高为h ，底面积为S ，内切球的半径为r ， 则11433V Sh Sr ==⋅， 4h r ∴=，则4a =. 故选：B.【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础. 8.观察下列各式，1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则99a b +=（ ） A. 47 B. 76 C. 121 D. 123【★答案★】B 【解析】 【分析】根据题目所给等式，归纳出正确结论.【详解】根据题目所给等式可知：667771118,111829a b a b +=+=+=+=，88182947a b +=+=，99294776a b +=+=.故选：B【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 9.若5P a a =++，23Q a a =+++（0a ≥），则P ，Q 的大小关系是（ ）A. P Q <B. P Q =C. P Q >D. P ，Q 的大小由a 的取值确定 【★答案★】A 【解析】∵()()()22222525[252232556P Q a a a a a a a a a a -=+++-++++=+-++（）且22556a a a a +<++ ，∴22P Q <，又,0P Q >，∴P Q <，故选C.10.阅读如图所示的程序框图，若输入2020m =，则输出S 为输出（ ）A. 22020B. 21009C. 21010D. 21011【★答案★】D 【解析】 【分析】运行程序，根据循环结构程序框图计算出输出的结果.【详解】运行程序，2020m =，0,1S i ==，1S =，判断是，3,13i S ==+，判断是，……，2019,0132019i S ==++++，判断是，2021,132021i S ==+++，判断否，输出212021132021*********S +=+++=⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据程序框图计算输出结果，属于基础题.11.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A.928B.1928C.2764D.3764【★答案★】C 【解析】 【分析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得★答案★.【详解】依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,图②中阴影部分的面积是大三角形面积的34, 图③中阴影部分的面积是大三角形面积的916, 归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的2764, 所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为2764. 故选:C【点睛】本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.12.已知复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线【★答案★】B 【解析】 【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】因为复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位）， 在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于22， 而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为32，根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.设复数1z i =+，则22||z z-=___________. 【★答案★】5 【解析】 【分析】利用复数运算化简得到2212z i z-=--，再计算复数模得到★答案★. 【详解】1z i =+，则()()()222211111222i i z i i i i i z -=-+=-+=---=--+， 则2222215z z-=+=.故★答案★为：5.【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.我们知道：在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，通过类比的方法，可求得在空间中，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为___________. 【★答案★】14 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式类比到空间点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，进而可求得点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离.【详解】在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，类比到空间中，则点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，因此，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为22222431114123d +⨯+⨯+==++.故★答案★为：14.【点睛】本题考查类比推理，考查点到平面的距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于基础题. 15.设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 【★答案★】8 【解析】 【分析】化简得到()()()nni f n i =+-，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==-，得到★答案★.【详解】()()()()()()()()22111()()()()()1111111n nn n n n i i i f n i i i i i i i i i -+-=+=+-+-=+-++-+， ()()0(0)2i f i =+-=，()()11(1)0i f i =+-=，()()22(2)2i f i =+-=-， ()()33(3)0i f i =+-=，()()44(4)2i f i =+-=，根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==-，子集个数为328=.故★答案★为：8. 【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键. 16.给出下列命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②用2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好；③根据22⨯列联表中的数据计算得出的2K 的值越大，两类变量相关的可能性就越大； ④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．其中真命题的序号是_______． 【★答案★】②③④ 【解析】 【分析】根据“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义等统计学知识，逐项判断，即可作出正确的判断．【详解】对①，根据线性相关系数r 的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错误；对②，根据用相关指数2R 刻画回归的效果时， 2R 的值越大说明模型的拟合效果就越好，故②正确；对③，2×2列联表中的数据计算得出的2K 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，相关性就越大，故③正确；对④，根据比较模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果就越好，故④正确；对⑤，新产品没有明显差异，抽取时间间隔相同，故属于系统抽样，故⑤错误. 综上所述，正确的是②③④. 故★答案★为：②③④【点睛】本题解题关键是掌握统计学的基本概念和“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围. 【★答案★】（1）2-.（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】（1）直接根据复数的类型得到方程，解得★答案★.（2）直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，代入数据解不等式得到★答案★.【详解】（1）由题意得：225602530,m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-.（2）复数z 对应的点的坐标为()2256,253m m m m +++-， 直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<， 即：22(56)(253)70m m m m +-+-+<+，解得4m >或4m <-， ∴m 的取值范围为(,4)(4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.（1）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y +>，用反证法证明：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【★答案★】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差法即可证明.（2）假设12x y +≥，12yx+≥，从而可得12x y +≥，12y x +≥，两不等式相加即可找出矛盾点，即证.【详解】（1）33222222222()()a b ab a b a a b b a b --+=-+-()()(2)a b a b a b =-++，∵0a b ≥>，∴0a b -≥，0a b +>，20a b +>， 从而：()()()20a b a b a b -++≥，∴332222a b ab a b -≥-.（2）假设12x y +≥，12yx+≥， 则12x y +≥，12y x +≥，所以1122x y y x +++≥+，所以2x y ≥+， 与条件2x y +>矛盾，所以假设不成立，即12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题.19. 为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的22⨯列联表． 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．下面临界值表仅供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【★答案★】（1）表格解析；（2）有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关．【解析】试题分析：解题思路：（1）根据茎叶图中的数据，按不同区间进行填表即可；（2）利用公式求值，结合临界值表进行判断.规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出；利用列联表判定两个变量间的相关性，要正确列出或补充完整列联表，利用公式求值，结合临界值表进行判断.试题解析:（1）甲班乙班合计优秀 6 14 20不优秀14 6 20合计20 20 40（2）=因此，我们有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 考点：1.茎叶图；2.独立性检验. 20.数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a a N n +=+∈ （1）求234,,a a a ，猜想数列{}n a 的通项公式; （2）证明：数列1{}na 是等差数列. 【★答案★】（1）234331,,452a a a ===，32n a n =+；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据*1131,()3nn na a n a a +==∈+N ，分别令1,2,3n =，即可求解234,,a a a 的值，猜想得出数列的通项公式； （2）由*13()3n n na a n a +=+∈N ，得到11113n n a a +=+，利用等差数列的定义，即可得到证明. 【详解】（1）由题意，数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a n a +=+∈N ， 令1n =，可得1213333314a a a ===++； 令2n =，可得2323335a a a ==+； 令3n =，可得343331362a a a ===+； 所以234331,,452a a a ===， 猜想：数列{}n a 的通项公式32n a n =+.（2）由*13()3n nn a a n a +=+∈N ，可得1131133n n n n a a a a ++==+，即11113n n a a +-=（常数）， 又由11a =，所以111a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以13为公差的是等差数列. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及利用等差数列的定义的应用，考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知点()1,2A 是椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，斜率为2直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）若12,k k 分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：12k k +为定值．【★答案★】（1）22142y x +=（2）详见解析【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义和几何性质，建立方程，即可求椭圆C 的方程； （2）设直线BD 的方程为2y x m =+，代入椭圆方程，设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 、AD 的斜率分别为：,AB AD k k ，则12122211AB AD y y x x k k +=--+--，由此导出结果.【详解】（1）由题意，可得e =c a =22，代入A （1，2）得22211a b+=， 又222a b c =+，解得2,2a b c ===，所以椭圆C 的方程22142y x +=． （2）证明：设直线BD 的方程为y =2x +m ，又A 、B 、D 三点不重合，∴0m ≠， 设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由22224y x m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得4x 2+22mx +m 2-4=0 所以△=-8m 2+64＞0，所以22-＜m ＜22．x 1+x 2=-22m ，21244m x x -⋅=设直线AB 、AD 的斜率分别为：k AB 、k AD ， 则k AD +k AB =121212121222222111y y x x m x x x x x x --+-+=+⋅----+=2222222222042142m m m m --+⋅=-=-++ 所以k AD +k AB =0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值．【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解．直线与椭圆的位置关系，直线斜率坐标公式，属于中档题目. 22.已知函数()ln 1f x x ax =-+．（1）若曲线()y f x =在点()1,(1)A f 处的切线l 与直线4330x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()111ln(1)231n n N n *+>++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈+ 【★答案★】（1）14a =（2） 1.a ≥（3）证明见解析【解析】【详解】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()1,(1)A f 处的切线方程，注意这个点的切点；（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：()a f x ≥恒成立max ()a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立min ()a f x ⇔≤；（3）证明不等式，注意应用前几问的结论. 试题解析：（1）函数的定义域为()10,,()f x a x+∞'=-， 所以()11f a '=-，又切线l 与直线4330x y +-=垂直， 所以切线l 斜率为34，从而314a -=，解得14a = ,（2）若0a ≤，则()10,f x a x->'=则()f x 在()0,∞+上是增函数 而()()11,0f a f x =-≤不成立，故0.a >若0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()10f x a x '=->； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()10.f x a x -<'=所以()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在1,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数,所以()f x 的最大值为1ln .f a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭要使()0f x ≤恒成立，只需ln 0a -≤，解得 1.a ≥（3）由（2）知，当1a =时，有()0f x ≤在()0,∞+上恒成立， 且()f x 在(]0,1上是增函数，()10f =所以ln 1x x <-在(]0,1x ∈上恒成立 .令1n x n =+，则1ln1,111n n n n n <-=-+++ 令1,2,3......,n n =则有11211ln,ln ,......,ln .223311n n n <-<-<-++ 以上各式两边分别相加， 得12111lnln ......ln .......231231n n n ⎛⎫+++<-+++ ⎪++⎝⎭ 即1111ln......,1231n n ⎛⎫<-+++ ⎪++⎝⎭故()111ln 1 (231)n n +>++++ 考点：（1）求切线方程；（2）函数在闭区间上恒成立的问题；（3）不等式证明.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析
吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣52．下列求导结果正确的是（）A．（1﹣x2）′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°C．[ln（2x）]′=D．（）′=3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中（）A．推理形式错误B．结论错误C．小前提错误 D．大前提错误4．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为05．由曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．2 D．6．一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t2﹣t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（）A．B．C．D．7．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数8．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或19．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）13．（x+cos2x）dx= ．14．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则．”15．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是．16．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x）且f（x）=x2f′（）+sin x，则f′（）= ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．18．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．19．已知函数f（x）=xlnx（e为无理数，e≈2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）设实数，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值．20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx，（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．22．已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣5【考点】导数的几何意义．【分析】首先判断该点是否在曲线上，①若在曲线上，对该点处求导就是切线斜率，利用点斜式求出切线方程；②若不在曲线上，想法求出切点坐标或斜率．【解答】解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y′=3x2﹣6x，=﹣3，即切线斜率为﹣3．∴y′|x=1∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．故选B．2．下列求导结果正确的是（）A．（1﹣x2）′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°C．[ln（2x）]′=D．（）′=【考点】导数的运算．【分析】按照基本初等函数的求导法则，求出A、B、C、D选项中正确的结果即可．【解答】解：对于A，（1﹣x2）′=﹣2x，∴A式错误；对于B，（cos30°）′=0，∴B式错误；对于C，[ln（2x）]′=×（2x）′=，∴C式错误；对于D， ===，∴D式正确．故选：D．3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中（）A．推理形式错误B．结论错误C．小前提错误 D．大前提错误【考点】演绎推理的基本方法．【分析】根据演绎推理的方法进行判断，首先根据判断大前提的正确与否，若正确则一步一步往下推，若错误，则无需往下推；【解答】解：∵菱形四条边相等，对角线垂直，但对角线不一定相等，∴对于菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等这段推理，首先大前提错误，故选D．4．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为0【考点】反证法与放缩法．【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选 A．5．由曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．2 D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由，可得或∴曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积为：（﹣x+）dx=（﹣x2+x）=．故选B．6．一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t2﹣t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（）A．B．C．D．【考点】定积分的简单应用．【分析】对速度求定积分求出的是物体的运动位移；利用微积分基本定理求出定积分值即位移．【解答】解：s=（t2﹣t+2）dt===．故选A7．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．8．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x 轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．【考点】点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．【解答】解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线y=x2﹣lnx相切，设P（x0，x2﹣lnx）则有k=y′|x=x0=2x﹣．∴2x0﹣=1，∴x=1或x=﹣（舍去）．∴P（1，1），∴d==．故选B．10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；当x=﹣2时，f′（x）=0；当x＜﹣2时，f′（x）＜0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．故选A．11．若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】本题先根据导函数在区间（1，2）上有零点，得到b的取值范围，再利用b的取值范围，求出函数的单调增区间，结合b的取值范围，选择符合题意的选项．【解答】解：∵函数∴∵函数的导函数在区间（1，2）上有零点∴当时，b=x2，x∈（1，2）∴b∈（1，4）令f'（x）＞0 得到即f（x）的单调增区间为（﹣∞，），（）∵b∈（1，4）∴（﹣∞，﹣2）适合题意故选D12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】导数的运算．【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，即x ＜﹣2016，故选：C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）13．（x+cos2x ）dx= 0 ．【考点】定积分．【分析】方法一：由（x+cos2x ）dx=（x 2+sin2x ）=sin π=0；方法二：（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx ，由y=x 为奇函数，y=cos2x 为偶函数，由定积分的性质， xdx=0， cos2xdx=2cos2x=2sin π=0．【解答】解：方法一：由（x+cos2x ）dx=（x 2+sin2x ）=（）2+sin2（）﹣[（﹣）2+sin2（﹣）]=sin π=0，（x+cos2x ）dx=0，故答案为：0；方法二：（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx ，由y=x 为奇函数，y=cos2x 为偶函数，∴由定积分的性质，xdx=0， cos2xdx=2cos2x=2（sin2x ）=2sin π=0，∴（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx=0，14．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．”【考点】类比推理．【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．故答案为：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．15．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t＜3 ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先由函数求f′（x）=﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）=﹣x+4﹣=0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数∴f′（x）=﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）=﹣x+4﹣=0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．16．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x）且f（x）=x2f′（）+sin x，则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，令x=，先求出f′（）的值即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x2f′（）+sin x，∴f′（x）=2xf'（）+cosx令x=，则f′（）=2×f'（）+cos则f′（）=，故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=3，f′=0，f（1）=4可求出a，b，c的值，得到答案．（2）由（1）可知函数f（x）的解析式，然后求导数后令导函数等于0，再根据导函数的正负判断函数在[﹣3，1]上的单调性，最后可求出最值．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f′（x）=3x2+2ax+b当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①当x=时，y=f（x）有极值，则f′=0，可得4a+3b+4=0．②由①、②解得a=2，b=﹣4．由于l上的切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4．∴1+a+b+c=4．∴c=5．（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣4x+5，∴f′（x）=3x2+4x﹣4．令f′（x）=0，得x=﹣2，或x=．∴f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=13．在x=处取得极小值f=．又f（﹣3）=8，f（1）=4．∴f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13，最小值为．18．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数f′（x），易判断x＞1时f′（x）的符号，从而可知f（x）的单调性，根据单调性可得函数的最值；（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则只需证明F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为F（x）的最大值小于0，利用导数可求得F（x）的最大值．【解答】（1）解：∵f（x）=x2+lnx，∴f′（x）=2x+，∵x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2；（2）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则F′（x）=x﹣2x2+===，∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，∴F（x）＜F（1）==﹣＜0，即f（x）＜g（x），∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．19．已知函数f（x）=xlnx（e为无理数，e≈2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）设实数，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e）的值，从而求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+1，f（e）=e又f'（e）=2，∴函数y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：y=2（x﹣e）+e，即y=2x﹣e﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，，时，F'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，F'（x）＞0，f（x）单调递增．当，…..20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f （x）的单调区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5．21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx，（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（2）由已知，求得f（x）=x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x恒成立转化为恒成立．构造函数，只需b≤g（x）min即可，因此又需求g（x）min．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=x﹣xlnx，函数定义域为（0，+∞）．f'（x）=﹣lnx，由﹣lnx=0，得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上是减函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由f（1）=2，得a+1=2，∴a=1，∴f（x）=x2+x﹣xlnx，由f（x）≥bx2+2x，得（1﹣b）x﹣1≥lnx，又∵x＞0，∴恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令，可得，∴g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．=g（1）=0∴g（x）min即b≤0，即b的取值范围是（﹣∞，0]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用函数的导数和最值之间的关系，即可求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）利用函数的单调性，证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣xe x．当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（x）的最大值为f（0）=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＞0时，f（x）＜0，g（x）＜0＜1．当﹣1＜x＜0时，g（x）＜1等价于设f（x）＞x．设h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=﹣xe x﹣1．当x∈（﹣1，0）时，0＜﹣x＜1，＜e x＜1，则0＜﹣xe x＜1，从而当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣1，0]单调递减．当﹣1＜x＜0时，h（x）＞h（0）=0，即g（x）＜1．综上，总有g（x）＜1．。
山东省淄博市高青县2019-2020学年高二下学期收心考试(2月月考)数学(理)试题 Word版含答案
理科数学试卷2017、2一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC 等于( )． A ．32 3 B ．16C ．323或16D ．323或16 32．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＝15－a 5，则S 9等于( )． A ．60B ．45C ．36D ．183．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )．A ．14B ．12C ．18D ．14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )． A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n －15．若a ＞b ＞0，则下列不等式总成立的是( )． A ．b a ＞b ＋1a ＋1B ．a ＋1a ＞b ＋1bC ．a ＋1b ＞b ＋1aD ．2a ＋b a ＋2b ＞ab6．设变量x ，y 满足约束条件133x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩≥-1，≥，≤．则目标函数z ＝4x ＋y 的最大值为( )．A ．4B ．11C ．12D ．147．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( )． A ．b ＝(1，0，0)，n ＝(－2，0，0) B ．b ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1) C ．b ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1) D ．b ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)9．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )． A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°10．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果 x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )．A ．10B ．8C ．6D ．411．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )．A ．63 B ．255C ．155D ．10512．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )．A ． 3B ．2C ． 5D ． 6二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，且3a 2＋3b 2－3c 2＋2ab ＝0，则tan C ＝________． 14．观察下面的数阵，则第20行最左边的数是________．1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25… … … … … …15．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是__________．16．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为__________．三、解答题(本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（12分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，若△ABC 面积为32， c ＝2，A ＝60°，求a 、b 及角C 的值．18．（12分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，S n 是14与(a n ＋1)2的等比中项．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)若b n ＝a n2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．19．（14分）如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD ．(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A -CD -E 的余弦值．20．（14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．2016-2017学年下学期起点考试理科数学答案1．答案：D解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝83×128＝32．∴B ＝60°或120°．从而知C ＝90°或C ＝30°．∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×83sin90°＝323，或S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×83sin30°＝163．2．答案：B解析：a 2＋a 8＝2a 5＝15－a 5，∴a 5＝5，S 9＝9a 5＝45． 3．答案：A 解析：2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋a 1q 2a 1q 2＋a 1q 3＝2＋q 2q 2＋q 3＝1q 2＝14或2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋a 22a 1q 2＋a 2q 2＝1q 2＝14．4．答案：C解析：∵a n ＝2·q n -1，∴a n ＋1＝2q n -1＋1．∵{a n ＋1}是等比数列，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2q n ＋12q n －1＋1＝2+12+n n q q q q ()为常数，仅当q ＝1时，符合题意；∴S n＝2n ，当q ≠1时a n ＋1＋1a n ＋1不为常数．故答案为C ．5．答案：C解析：由a ＞b ＞0⇒0＜1a ＜1b ⇒a ＋1b ＞b ＋1a ．6．答案：B解析：只需画出线性规划区域，如图．可知，z ＝4x ＋y 在A (2，3)处取得最大值11． 7．答案：A解析：当α＝π6＋2k π(k ∈Z )时，cos2α＝cos ⎝⎛⎭⎫4k π＋π3＝cos π3＝12．反之当cos2α＝12时， 有2α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒α＝k π＋π6(k ∈Z )，故应选A ．8．答案：D解析：若l ∥α，则b·n ＝0．将各选项代入，知D 选项正确． 9．答案：A解析：∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0．故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°． 10．答案：B解析：由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8． 11．答案：D解析：建立如图所示空间直角坐标系，得D (0，0，0)，B (2，2，0)，C 1(0，2，1)，B 1(2，2，1)，D 1(0，0，1)，则(2,2,0)DB =，1(0,0,1)DD =，1(2,0,1)BC =-．设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．∴1=2200DB x y DD z ⎧⋅+=⎪⎨⋅==⎪⎩，，n n ∴取n ＝(1，－1，0)． 设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，则111s i n =c o s BC BC BC θ⋅===⋅，n n n． 12．答案：C解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c 2a2＝5，∴e ＝5．13．答案：－2 2解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－13，∴C ＞90°，sin C ＝223，∴tan C ＝sin Ccos C ＝－22．14．答案：362解析：由题得每一行数字个数分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝5，…，a n ＝2n －1，它们成等差数列，则前19行总共有19(a 1＋a n )2＝19(1＋37)2＝361个数，因此第20行最左边的数为362．15．答案：8解析：依题意a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝16，c ＝4，2c ＝8．16．答案：25解析：建立空间直角坐标系如图，则M ⎝⎛⎭⎫1，12，1，N ⎝⎛⎭⎫1，1，12，A (1，0，0)，C (0，1，0)，∴10,,12AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,0,2CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴122cos 554AM CN AM CN AM CN ===，．即直线AM 与CN所成角的余弦值为25．17．解：因为S ＝12bc sin A ＝32，所以12b ·2sin60°＝32，得b ＝1．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以a 2＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，则a ＝3． 又由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin C ＝c sin Aa ＝2×323＝1，∴C ＝90°．18．解：(1)证明：由S n 是14与(a n ＋1)2的等比中项，得S n ＝14(a n ＋1)2．当n ＝1时，a 1＝14(a 1＋1)2，∴a 1＝1．当n ≥2时，S n －1＝14(a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1)，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0．∵a n ＞0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2． ∴数列{a n }是等差数列．(2)解析：数列{a n }首项a 1＝1，公差d ＝2， 通项公式为a n ＝2n －1．则b n ＝2n －12n ，则T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ．①两边同时乘以12，得12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1．②①－②，得231111*********=()2222n n n n T +-⨯⋯＋＋＋＋－－ 1111(1)2113232221222212n n n n n ++--+⨯-＝－－＝－． 解得T n ＝3－2n ＋32n ．19．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得点B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，E (0，1，1)，F (0，0，1)，M ⎝⎛⎭⎫12，1，12． (1)(1,0,1)BF =-，(0,1,1)DE =-， 于是1cos ,22BF DE BF DE BF DE⋅===．∴异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°． (2)证明：由11(,1,)22AM =，(1,0,1)CE =-，(0,2,0)AD =，可得0CE AM ⋅=，0CE AD ⋅=．因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD ． 又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD ．而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE ．(8分)(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则0,0.CE DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令z ＝1，可得u ＝(1，1，1)．又∵由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0，0，1)． ∴cos 〈u ，v 〉＝⋅⋅u v u v＝0＋0＋13×1＝33．∵二面角A -CD -E 为锐角， ∴其余弦值为33． 20．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），由已知得：a ＋c ＝3，a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1．∴b 2＝a 2－c 2＝3． ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得（3＋4k 2）x 2＋8mkx ＋4（m 2－3）＝0，Δ＝64m 2k 2－16（3＋4k 2）（m 2－3）＞0，即3＋4k 2－m 2＞0，则12221228,344(3).34mk x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩又y 1y 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）＝k 2x 1x 2＋mk （x 1＋x 2）＋m 2＝2223(4)34m k k -+，∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D （2，0）， ∴k AD ·k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1．∴y 1y 2＋x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4＝0．∴2222223(4)4(3)1640.343434m k m mkk k k --+++=+++ ∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0．解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k7，且均满足3＋4k 2－m 2＞0．当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k （x －2），直线过定点（2，0），与已知矛盾． 当m 2＝－27k 时，l 的方程为y ＝k （x －27），直线过定点（27，0）．2∴直线l过定点，定点坐标为（7，0）．。
山西省运城市2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试题Word版含解析
山西省运城市2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,,故选D.考点：复数的运算与复数相关的概念.2. 用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（）A. 三个内角都不大于B. 三个内角都大于C. 三个内角至多有一个大于D. 三个内角至多有两个大于【答案】B【解析】试题分析：命题的反面是：三个内角都大于，故选B.考点：反证法.3. 下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数在上是增函数，是指数函数，所以在上是增函数，该结论显然是错误的，其原因是（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 以上都可能【答案】A【解析】分析：分析该演绎推理的大前提、小前提和结论，可以得出正确的答案.详解：根据题意，该演绎推理的大前提是：指数函数在上是增函数，小前提是是指数函数，结论是在上是增函数.其中大前提是错误的，因为时，函数在上是减函数，致使得出的结论错误，故选A.点睛：该题考查的是有关演绎推理的定义问题，在解决问题的过程中，需要先分清大前提、小前提和结论分别是什么，之后结合定义以及对应的结论的正确性得出结果.4. 学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是（）A.B.C.D.【答案】B..................详解：教师和后勤人员都属于学校教职成员，理科教师和文科教师是并列关系，属于教师，故B中结构图正确，A、C、D不正确，故选B.点睛：本题是一道关于结构图设计的题目，解答本题的关键是熟悉结构图的设计规则.5. 已知的取值如下表所示：若从散点图分析，与线性相关，且，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先求出这组数据的横坐标和纵坐标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入回归直线方程求出的值.详解：根据回归直线过均值点，将其代入求得，故选A.点睛：该题考查的是有关回归直线过样本中心点，即均值点的结论，所以求其横纵坐标的平均值，得到样本中心点，代入方程求参数即可.6. 分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（）A. 必要条件B. 充分条件C. 必要条件D. 必要条件或成分条件【答案】B【解析】试题分析：分析法是果索因，基本步骤：要证…只需证…，只需证…,分析法是从求证的不等式出发，找到使不等式成立的充分条件，把证明不等式的问题转化为判定这些充分条件是否具有的问题．因此“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.考点：1.必要条件、充分条件与充要条件的判断；2.分析法和综合法．7. 如图，5个数据，去掉后，下列说法错误的是（）A. 相关系数变大B. 残差平方和变大C. 相关指数变大D. 解释变量与预报变量的相关性变强【答案】B【解析】分析：由散点图可知，去掉后，的线性相关性加强，由相关系数r，相关指数以及残差平方和与相关性的关系得出选项.详解：因为点距离回归直线越近，说明相关系数会越大，对应的残差平方和会越小，相关性就会越强，从散点图可以发现，将去掉之后，明显的所有的点里对应的回归直线就会越近，从而得到B是错误的，故选B.点睛：该题考查的是有关相关系数、相关指数以及残差平方和与相关性强弱的关系，明确对应的结论，该题很容易求得结果.8. 下列说法正确的是（）A. 在统计学中，回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的，，一个点C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D. 在回归分析中，相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果差【答案】C【解析】分析：首先对每个选项一一进行分析，需要明确独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，回归直线可能不过任何一个样本数据点，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟精度越高，相关指数越大，拟合效果越好的结论，就可以正确选出结果.详解：对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，所以A错；对于B，线性回归方程对应的直线可能不过任何一个样本数据点，所以B错误；对于C，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以C正确；对于D，回归分析中，相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果好，所以D错误.故选C.点睛：根据概率统计中变量间的相关关系，线性回归方程以及残差图与相关指数的概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.9. 某程序框图如下图所示，若输出的，则判断框内为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，输出，所以判断框内为，故选C.考点：程序框图.视频10. 下列表述正确的是（）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；A. ②④B. ①③C. ①④D. ①②【答案】D【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案.详解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确；对于②，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确；对于③，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误；对于④，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误；则正确的是①②，故选D.点睛：该题考查的是有关推理的问题，对归纳推理、演绎推理和类比推理的定义要明确，以及清楚哪些方法是直接证明方法，哪些方法是间接证明方法，就可以得结果.11. 已知下表：则的位置是（）A. 第13行第2个数B. 第14行第3个数C. 第13行第3个数D. 第17行第2个数【答案】C【解析】分析：根据数阵，第n行的最后个数为第项，从而求得结果.详解：根据题中所给的条件，可以发现第n行最后一项为，故当时，最后一个数为，所以是第13行第3个数，故选C.点睛：该题考查的是有关数列的问题，需要从数阵中关察，得出其特征，将数列的项顺次往下写，所以关键是清楚第n行的最后一个数是第多少项，也可以从第n行的第一个数去分析，这样都可以求得结果.12. 满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（）A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆【答案】C【解析】因为，所以，因此复数在复平面上对应点的轨迹是圆，选C.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 小明每天起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床褥4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟.要完成这些事情，小明要花费的最少时间为__________．【答案】17【解析】分析：根据统筹安排可得小明在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播最节省时间，进而得到答案.详解：由题意可知，在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播，故小明花费最少时间为分钟，故答案为17分钟.点睛：该题考查的是有关统筹安排的问题，在解题的过程中，需要明确哪些项目是必须独立完成的，哪些是可以边做还可以边做其他任务的，从而求得结果.14. 若复数满足，则的最大值为__________．【答案】2【解析】分析：首先根据题中的条件，结合复数的几何意义，可以明确复数对应点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，取最大值时，就是圆上的点到原点的距离的最大值，结合原的性质，其为圆心到原点的距离加半径求得结果.详解：依题意，设复数，因为，所以有，由复数的几何意义，可知对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，因为表示圆周上的点到原点的距离，所以的最大值为，所以答案为2.点睛：该题考查的是有关复数z的模的问题，利用复数的几何意义，结合题中的条件，最后将其转化为圆上的点到某个点的距离的最值问题，等于圆心到对应点的距离加半径，从而求得结果.15. 学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A、D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是____________．【答案】B【解析】若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．16. 下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量的性质，类比得到复数的性质；③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，其中类比错误的是__________．【答案】②③【解析】分析：①由两者运算规则判断；②由定义判断；③可由两者运算特征进行判断；④由两者加法的几何意义判断.详解：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算，两者用的都是合并同类项的规则，可以类比；②由向量的性质，类比得到复数的性质，两者属性不同，一个是数，一个是既有大小又有方向的量，不具有类比性，故错误；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，由两者的几何意义知，此类比正确；综上，②③是错误的，故答案为②③.点睛：该题考查的是有关类比推理的问题，在解题的过程中，需要对相关的结论要熟悉，再者就是对类比推理要清楚对应的结果是什么，从而判断其正确与否.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 证明：.【答案】见解析【解析】分析：首先观察式子，实质问题是比较大小，题中不等号两侧各有两个根号，所以利用不等式的性质，对其两边进行平方运算然后化简，结合分析法的步骤完成任务.详解：要证：，只要证：，只要证：只要证：，即证：，即证：也就是要证：，该式显然成立，所以得证.点睛：该题考查的是证明不等式的方法，在解题的过程中，可以应用分析法，结合不等式的性质证得结果，也可以移项，将不等式变为，之后对式子进行分子有理化，再应用不等式的性质证明即可.18. 设复数，试求取何值时，（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）对应的点位于复平面的第一象限.【答案】（1）或；（2）；（3）或【解析】分析：首先分析该复数的实部和虚部是什么，之后结合复数是实数、纯虚数以及复数在复平面内对应的点所在的象限，对其实部和虚部进行对应的约束，求得其范围，得出结果即可.详解：（1）当复数的虚部且时，即或时，复数表示实数；（2）当实部等于零且虚部不为零时，复数表示纯虚数，由，得：时，复数表示纯虚数；（3）由，复数对应的点位于复平面的第一象限，解得：或，故当或时，复数对应的点位于复平面的第一象限.点睛：该题考查的是有关复数的概念性的问题，要明确复数是实数的条件为虚部为零，复数为纯虚数的条件为实部为零，且虚部不为零，复数对应的点落在第一象限即为实部和虚部都大于零，最后求得相应的结果即可.19. 已知数列的前项和为，，满足，计算，并猜想的表达式. 【答案】见解析【解析】分析：首先根据题中所给的条件，对赋上相应的值，一一计算，得出结果，首先令，结合求得，之后利用，再结合题中所给的条件，分别对赋值，最后求得的值，然后根据式子的特征，猜想出结果.详解：，即，即，，同理解得：，，可猜想：.点睛：该题考查的是有关数列的项与和之间的关系，利用题中所给的递推关系式，结合有关结论，对n赋值，求得结果，下一步就需要对所求的式子进行分析，判断其对应的关系，之后猜想出相应的结果即可.20. 某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员工的工作满意程度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女工，14名男工）的得分，如下表：女47 36 32 48 34 44 43 47 46 41 43 42 50 43 35 49 男37 35 34 43 46 36 38 40 39 32 48 33 40 34（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平局得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：“满意”的人数“不满意”的人数合计女员工16男员工14合计30（3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：P(K2K) 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001K 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828【答案】（1）240；（2）见解析；（3）见解析【解析】分析：第一问首先从表中查找得分大于45分的人数，求得比值即为概率，应用对应的关系式求得相应的人数；第二问按照条件，将男女员工对应的分数分析比较，进行分类，从而将相应的数据填入表中，得到列联表；第三问利用公式求得观测值，判断出结果即可.详解：（1）从表中可知，30名员工有8名得分大于45分，所以任选一名员工，他（她）的得分大于45分的概率是，所以估计此次调查中，该单位约有名员工的得分大于45分；（2）依题意，完成列联表如下：“满意”的人数“不满意”的人数合计女员工12 4 16男员工 3 11 14合计15 15 30（3）假设：性别与工作是否满意无关，根据表中数据，求得的观测值：查表得能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为性别与工作是否满意有关.点睛：该题考查的是有关统计的问题，一是利用样本数据中满足条件的人数所占的比例估计对应的概率，再用总人数乘以概率得到总体当中满足条件的人数，二是利用分数要求将对应的分类，得到列联表，三是应用公式求得观测值，再与表中的临界值比较得出结果.21. 禽流感一直在威胁我们的生活，某疾病控制中心为了研究禽流感病毒繁殖个数（个）随时间（天）变化的规律，收集数据如下：天数 1 2 3 4 5 6繁殖个数 6 12 25 49 95 190作出散点图可看出样本点分布在一条指数型函数的周围.保留小数点后两位数的参考数据：，，，，，，，，其中（1）求出关于的回归方程（保留小数点后两位数字）；（2）已知，估算第四天的残差.参考公式：【答案】（1）；（2）0.58【解析】分析：第一问首先利用相应的公式，对其式子进行变形，利用线性回归分析取解决非线性回归分析的问题，注意公式的正确使用，二是要明确残差的定义，残差是确切值域估计值的差，所以将变量代入回归方程，求得对应的值，作差即可得结果.详解：（1）因为，令，则，，，，所以关于的回归方程为；（2）当时，，，，所以第四天的残差估计为0.58.点睛：该题考查的是有关回归分析的问题，要明确利用线性回归分析作为桥梁解决非线性回归方程的问题的方法，再者要明确残差的定义，认真运算即可得结果.22. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位建立坐标系.已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）直线上有一点，设直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】分析：第一问首先利用平方关系将参数消掉，将其化为普通方程，将与直线l的极坐标方程对比，代入，即可得其直角坐标方程；第二问将直线的参数方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求得两根积，结合直线参数方程中其几何意义求得结果.详解：（1）曲线的参数方程为（为参数），利用可得普通方程：，由直线的极坐标方程为，可得直角坐标方程为：（2）由于在直线上，可得直线的参数方程：（为参数）代入椭圆方程可得：，，所以点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，应用直线的参数方程中参数的几何意义求其有关线段所满足的条件，要认真分析，细心求解.23. 已知函数（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：第一问利用零点分段法将绝对值符号去掉，将绝对值不等式转化为三个不等式组，最后对其解集取并集求得结果；第二问将对应的不等式解集非空，转化为其函数的最小值满足条件，从而将问题转化为求函数的最值问题，利用绝对值不等式的性质求得其最小值，之后解关于a的不等式即可.详解：（1）由可化为：或或不等式解集为：（2）因为，所以，即的最小值为；要使不等式解集非空，需从而，解得或所以的取值范围为点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，在解题的的过程中，一是利用绝对值表达式，通过x的范围，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集；二是利用绝对值三角不等式，转化求解最小值，然后求解即可.。
2019-2020学年安徽省黄山市高二下学期期末考试数学(理)试题(精品解析)
2019-2020学年安徽省黄山市高二下学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，复数1(z i i =+为虚数单位），则z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由题得1z i =-，即得解. 【详解】由题得1z i =-，它对应的点为(1,1)-， 所以z 的共轭复数对应的点位于第四象限. 故选：D 【点睛】本题主要考查共轭复数和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．已知函数1()f x x=的导函数为()'f x ，若12()()''<f x f x ，则12,x x 的大小关系不可能为（ ） A ．120x x << B ．210x x << C ．120x x << D ．210x x <<【答案】B【解析】根据函数1()f x x =求导的21()f x x'=-，得到()'f x 的单调性，然后再根据12()()''<f x f x ，利用函数的单调性定义求解. 【详解】 因为函数1()f x x=， 所以21()f x x '=-， 所以()'f x 在(),0-∞是增函数，在()0,+∞上是减函数，当()12,0x x ∈-∞，时，因为12()()''<f x f x ，所以12x x <，当()120,x x ∈+∞，时，因为12()()''<f x f x ，所以21x x <， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的导数的求法以及函数单调性定义的应用，还考查了分类讨论的思想，属于基础题. 3．下列说法正确的是（ ）①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高；②在独立性检验时，两个变量的22⨯列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大；③在回归直线方程0.212y x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y 就增加0.2个单位； ④2R 越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好. A ．①②③ B ．②③ C ．①④ D ．①③④【答案】D【解析】根据残差图与回归直线的关系可判断命题①的正误；利用独立性检验的基本思想可判断命题②的正误；利用回归系数的概念可判断命题③的正误；利用相关指数与回归模型拟合效果的关系可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中， 说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高， 命题①正确；对于命题②，在独立性检验时，两个变量的22⨯列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量有关系”成立的可能性就越大， 命题②错误；对于命题③，在回归直线方程0.212y x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y 就增加0.2个单位， 命题③正确；对于命题④，2R 越大，意味着残差平方和越小， 即模型的拟合效果越好，命题④正确. 故选：D. 【点睛】本题考查回归分析中相关命题真假的判断，考查了残差图、独立性检验、回归直线以及相关指数，属于基础题.40=，则0x y ==”，以下假设正确的是（ ）A ．x 、y 都不为0B ．x 、y 不都为0C ．x 、y 都不为0，且x y ≠D ．x 、y 至少有一个为0【答案】B【解析】将原命题的结论否定可得出结果. 【详解】0=，则0x y ==”的结论否定可得出“0x ≠或0y ≠”，即x 、y 不都为0.故选：B. 【点睛】本题考查反证法的应用，属于基础题. 5．正弦函数sin y x =在[0,]3π上的图像与x 轴所围成曲边梯形的面积为（ ）A ．12B ．2 C ．2D ．1【答案】A【解析】由题意，得到曲边梯形的面积为30sin S xdx π=⎰，再根据定积分的运算法则，即可求解.【详解】根据定积分的定义，可得正弦函数sin y x =在[0,]3π上的图像与x 轴所围成曲边梯形的面积为330011sin cos |(coscos 0)(1)322S xdx x πππ==-=--=--=⎰. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了定积分在求曲线形面积的求解，其中解答中熟练定积分的运算法则是解答的关键，着重考查运算能力，属于基础题.6．袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是 A ．37B ．13C ．12D ．25【答案】B【解析】用A 表示甲摸到白球，B 表示乙摸到白球，则()321P AB 767=⨯=，()3P 7A =， ∴()()()P AB 1P |P 3B A A ==. 故选B7．若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A ．90 B ．45C ．120D ．180【答案】D【解析】试题分析：因为22n x ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，故10n =，1022x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为5521102r rrr T C x-+=⋅⋅令5502r-=，得2r ，所以展开式中的常数项是22102180C ⋅=，故选D ．【考点】1、二项式展开式的系数；2、二项展开式的通项公式．8．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（ ） A ．30 B ．36 C ．60 D ．72【答案】C【解析】记事件:A 2位男生连着出场，事件:B 女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为()()()()5555A n A B A n A n B n A B ⎡⎤-⋃=-+-⋂⎣⎦，再利用排列组合可求出答案．【详解】记事件:A 2位男生连着出场，即将2位男生捆绑，与其他3位女生形成4个元素，所以，事件A 的排法种数为()242448n A A A ==，记事件:B 女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件B 的排法种数为()4424n B A ==，事件:A B ⋂女生甲排在第一位，且2位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将2位男生与其他2个女生形成三个元素，所以，事件AB 的排法种数为232312A A =种，因此，出场顺序的排法种数()()()()5555A n A B A n A n B n A B ⎡⎤-⋃=-+-⋂⎣⎦()12048241260=-+-=种，故选C ．【点睛】本题考查排列组合综合问题，题中两个事件出现了重叠，可以利用容斥原理()n A B ⋃=()()()n A n B n A B +-⋂来等价处理，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题．9．求的值时，可采用如下方法：令x =，则x =方，得21x x =+，解得x =，类比以上方法，可求得1111111++++的值等于（ ）ABCD 【答案】B【解析】构造方程，通过解方程的方法求得1111111++++的值.【详解】设1111111x +++=+，则11x x =+，两边同时乘以x 得21x x =+，根据已知条件可知12x +=（负值舍去）. 故选：B 【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题.10．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.则p 0的值为( )．(参考数据：若X ～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4. A ．0.954 4 B ．0.682 6 C ．0.997 4D ．0.977 2【答案】D【解析】由X ～N(800,502)，知μ＝800，σ＝50， 依题设，P(700<x≤900)＝0.954 4， 由正态分布的对称性，可得p 0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900) ＝12＋12P(700<X≤900)＝0.977 2. 11．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23xf x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5xf x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞【答案】A【解析】首先构造函数()()x f x G x e=，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【详解】 令()()x f x G x e =，则()()()23xf x f x G x x e '-'==+， 可设2()3G x x x c =++，(0)(0)1G f ==，1c ∴=所以2()()31x f x G x x x e==++ 解不等式()5xf x e <，即()5x f x e<，所以2315x x ++<解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1- 故选A 【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强． 12．已知数列{}n a 满足()*1n n nna a n N a +=+∈，10a >，则当2n ≥时，下列判断一定正确的是（ ） A ．1n a n <+ B ．211n n n n a a a a +++-<- C ．n a n ≥ D ．1n a n ≥+【答案】C【解析】根据特殊值法，分别令11a =，13a =，即可判断ABD 错误；再由数学归纳法证明C 选项正确. 【详解】因为数列{}n a 满足()*1n n nna a n N a +=+∈，10a >， 若13a =，则21113313a a a =+=+>，不满足1n a n <+，故A 错误； 若11a =，则2112211a a a =+=<+，3223312a a a =+=<+，4334413a a a =+=<+， 不满足1n a n ≥+，故D 错误；又此时43321a a a a -==-，不满足211n n n n a a a a +++-<-，故B 错误； 因为10a >，所以21112a a a =+≥=，当且仅当111a a =，即11a =时，等号成立；构造函数()kf x x x=+，2k ≥，x k ，所以22x k ≥，则()210kf x x '=->在[),x k ∈+∞上显然恒成立， 所以()(),2kf x x k x=+≥在[),x k ∈+∞上单调递增；因此2y x x=+在[)2,x ∈+∞上单调递增，所以32222322a a a =+≥+=， 猜想n a n ≥，对任意2n ≥恒成立； 下面用数学归纳法证明： （1）当2n =时，21112a a a =+≥=，显然成立； （2）假设当()3n k k =≥时，不等式成立，即k a k ≥恒成立； 则1n k =+时，1k n ka a a k +=+， 因为函数()(),2kf x x k x=+≥在[),x k ∈+∞上单调递增； 所以()()1f x f k k ≥=+， 即11k kn a a k ka +=+≥+成立；由（1）（2）可得；n a n ≥，对任意2n ≥恒成立；故C 正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查数列递推式的应用，涉及数学归纳法证明不等式，属于常考题型.二、填空题13．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是56，则在这段时间内吊灯能照明的概率是_______． 【答案】215216【解析】用1减去三个灯泡都不能照明的概率，由此求得吊灯能照明的概率. 【详解】依题意可知在某段时间内每个灯泡不能正常照明的概率都是51166-=，由于线路是并联电路，所以在这段时间内吊灯能照明的概率是3121516216⎛⎫-=⎪⎝⎭.故答案为：215216【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算公式，属于基础题.14．已知随机变量~(6,0.4)X B ，则当21X η=-+时，()D η=_________． 【答案】5.76【解析】根据~(6,0.4)X B ，求得()60.40.6 1.44D X =⨯⨯=，之后应用4D DX η=得到结果. 【详解】因为~(6,0.4)X B ，所以()60.40.6 1.44D X =⨯⨯=， 又因为21X η=-+，所以()44 1.44 5.76D DX η==⨯=， 故答案为：5.76. 【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的方差问题，涉及到的知识点有二项分布的方差，以及方差的性质，属于基础题目.15．已知关于某设备的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如下的统计资料：由上表可得线性回归方程0.08y bx =+，若规定当维修费用12y >时，该设备必须报废，据此模型预报该设备最多可使用_________年（取整数）. 【答案】9【解析】利用样本中心点求得b ，再由12y >求出结果. 【详解】23456 2.2 3.8 5.5 6.574,555x y ++++++++====，所以540.08 1.23b b =⨯+⇒=，所以1.230.08y x =+，由 1.230.0812y x =+>解得11.929.691.23x >≈，所以该设备最多可使用9年. 故答案为：9 【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，属于基础题.16．已知函数3223,01()21,1x x m x f x mx x ⎧-+≤≤=⎨-+>⎩，若函数()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________． 【答案】1(0,)2【解析】利用导数求得()f x 在区间[]0,1上的单调性和最值，对m 分成0,0,0m m m <=>三种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围. 【详解】 当01x ≤≤时，()()'26661fx x x x x =-=-，所以()f x 在区间[]0,1上递减，最大值为()0f m =，最小值为()11f m =-.当0m <时，()f x 在区间[]0,1上没有零点，在区间()1,+∞上递增， 而2110m -⨯+>，所以()f x 在区间()1,+∞上没有零点.所以0m <不符合题意.当0m =时，3223,01()1,1x x x f x x ⎧-≤≤=⎨>⎩，所以()f x 在区间[)0,+∞上有唯一零点()00f =，所以0m =不符合题意.当0m >时，()f x 在区间[]0,1和区间()1,+∞上递减，要使()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则需0102110m m m >⎧⎪-≤⎨⎪-⨯+>⎩，解得102m <<.综上所述，m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：1(0,)2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的:<<< （1∈(1.41，1.42)，(1.73，1.74)，∈(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围验证其正确性(注意不能近似计算．．．．．．．．)； （2）请将此规律推广至一般情形，并加以证明.【答案】（1）答案见解析；（2）若n ∈N<. 【解析】（1）利用题目所给数据，验证正确性.（2）根据①②③，猜想若n ∈N<. 【详解】（1<2.74.，∴<同理可验证②③正确.说明：若用分析法证明（不用近似计算），也认为是对的. （2）一般结论为:若n ∈N<证明如下：<22<，即证 2244n n ++<+1n +， 只需证2(2)21n n n n +<++，即证0<1，显然成立，【点睛】本小题主要考查合情推理，考查不等式的证明方法（分析法），属于中档题.18．某单位组织开展“学习强国”的学习活动，活动第一周甲、乙两个部门员工的学习情况统计如下：（1）根据表中数据判断能否有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；（2）活动第二周，单位为检查学习情况，从乙部门随机抽取2人，发现这两人学习都不活跃，能否认为乙部门第二周学习的活跃率比第一周降低了？说明理由.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：2(0.1) 2.706P K ≥=，2(0.05) 3.841P K ≥=，2(0.01) 6.635P K ≥=.【答案】（1）没有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；（2）活跃率降低了，理由见解析. 【解析】（1）利用2K 公式求得2 3.36K =，由3.36 3.841<，得到结果；（2）设事件B 为“第二周从乙部门随机抽取2人，这两人学习都不活跃”，若第二周保持第一周的活跃情况，利用概率公式求得28240()0.0360.05C P B C =≈<，利用小概率时间在一次试验当中不会发生得到结果.【详解】（1）2270(1883212) 3.3650203040K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为3.36 3.841<，所以没有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；（2）设事件B 为“第二周从乙部门随机抽取2人，这两人学习都不活跃”，若第二周保持第一周的活跃情况，则28240()0.0360.05C P B C =≈<，因为()P B 很小，所以事件B 一般不容易发生，现在发生了，则说明学习不活跃的人数增加了，即活跃率降低了. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立性检验，小概率事件在一次试验当中不会发生，属于简单题目.19．已知函数32()3f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值. （1）求a 和b 的值以及函数()f x 的极大值和极小值;（2）过点(0,16)A 作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程. 【答案】（1）1,0a b ==，极大值2，极小值-2；（2）916y x =+. 【解析】（1）利用1x =±是()f x 的导函数()'f x 的零点，结合根与系数关系求得,a b 的值，再求得()f x 的极大值和极小值.（2）设出切点坐标00(,)x y ，根据斜率列方程，解方程求得0x ，由此求得切线的斜率，进而求得切线方程. 【详解】（1）2()323f x ax bx '=+-，由题意可知1x =±是方程23230ax bx +-=的两根，所以()()2110331113b a a⎧-=+-=⎪⎪⎨⎪-=⨯-=-⎪⎩，解得1,0a b ==，()33f x x x =-， 所以2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增， (1,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在1x =-处取得极大值()12f -=，在1x =处取得极小值12f .（2）易知点(0,16)A 不在曲线()y f x =上，设切点坐标为00(,)x y ，即3000(,3)x x x -，对应的斜率为()'20033f x x =-.则有320000031633x x x x ---=-，解得02x =-， 所以切线的斜率为()()2'23239f -=⨯--=，切线的方程为916y x =+. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数求解有关曲线切线的问题，属于中档题. 20．i 为虚数单位，(,)z a bi a b R =+∈是虚数， 1z z ω=+是实数，且12ω-<<，11zu z-=+. （1）求||z 及a 的取值范围； （2）求2u ω-的最小值. 【答案】（1）||1z =；112a -<<；（2）1. 【解析】（1）化简ω得到22221()a bz a b i z a b a b ω=+=++-++，利用ω是实数，得到220b b a b-=+，解得0b ≠，得到221a b +=，从而求得||1z =，进而求得12z a zω=+=， 根据12ω-<<，得到112a -<<； （2）各年级题意可知2121a u a aω--=++，进一步转化，利用基本不等式求得其最值.【详解】 （1）22221()a b z a b i z a b a b ω=+=++-++，因为ω是实数， 所以220b b a b-=+，又0b ≠，所以221a b +=，所以||1z = 因为12z a z ω=+=，且12ω-<<，所以112a -<<. （2）由题意知111a bi biu a bi a---==+++，所以2222211222(1)(1)1b a au a a a a a aω---=+=+=++++ 12(1)311a a =++-≥+，当且仅当0a =时，等号成立， 所以2u ω-的最小值为1. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的分类，复数的乘法除法运算，基本不等式求最值，属于简单题目.21．2019年10月，工信部颁发了国内首个5G 无线电通信设备进网许可证，标志着5G 基站设备将正式接入公用电信商用网络.某4G 手机生产商拟升级设备生产5G 手机，有两种方案可供选择，方案1：直接引进5G 手机生产设备；方案2：对已有的4G 手机生产设备进行技术改造，升级到5G 手机生产设备.该生产商对未来5G 手机销售市场行情及回报率进行大数据模拟，得到如下统计表：（1）以预期年利润的期望值为依据，求p 的取值范围，讨论该生产商应该选择哪种方案进行设备升级？ （2）设该生产商升级设备后生产的5G 手机年产量为x 万部，通过大数据模拟核算，选择方案1所生产的5G 手机年度总成本210.00020.250y x x =++（亿元），选择方案2所生产的5G 手机年度总成为220.00010.160y x x =++（亿元）.已知0.2p =，当所生产的5G 手机市场行情为畅销、平销和滞销时，每部手机销售单价分别为0.8万元，0.80.001x -（万元），0.80.002x -（万元），根据（1）的决策，求该生产商所生产的5G 手机年利润期望的最大值？并判断这个年利润期望的最大值能否达到预期年利润数值.【答案】（1）103p ≤≤；选择方案见解析（2）最大值40亿元；这个年利润期望的最大值可以达到预期年利润数值【解析】（1）根据概率的性质可得p 的取值范围，根据期望公式求出两种方案下的期望，再通过对p 进行讨论可得答案；（2）根据0.2p =可知选择方案1，利用期望公式求出手机生产商年销售额的期望，接着求出年利润期望值的最大值，再与方案1的预期平均年利润期望值进行比较可得答案. 【详解】（1）由021013101p p p ≤≤⎧⎪≤-≤⎨⎪≤≤⎩，可得p 的取值范围为103p ≤≤.方案1的预期平均年利润期望值为1270(13)40(40)4020E p p p p =⨯+-⨯+⨯-=-亿元.方案2的预期平均年利润期望值为2260(13)30(10)3020E p p p p =⨯+-⨯+⨯-=+亿元.当104p ≤<时，12E E >，该手机生产商应该选择方案1； 当14p =时，12E E =，该手机生产商可以选择方案1，也可以以选择方案2； 当1143p <≤时，12E E <，该手机生产商应该选择方案2； （2）因为10.20,4p ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，该手机生产商将选择方案1，此时生产的5G 手机的年度总成本为210.00020.250y x x =++（亿元）.设市场行情为畅销、平销和滞销时的年销售额分别为1X ，2X ，3X （亿元），那么10.8X x =，220.80.001X x x =-，230.80.002X x x =-.因为0.2p =，所以手机生产商年销售额X 的分布列为所以()()22()0.40.80.40.80.0010.20.80.002E X x x xx x =⨯+⨯-+⨯-20.00080.8x x =-+.210.00020.250y x x =++年利润期望值2221()()0.00080.80.00020.2500.0010.650f x E X y x x x x x x =-=-+---=-+-（亿元）.当300x =时，年利润期望()f x 取得最大值40亿元.方案1的预期平均年利润期望值为40200.236-⨯=（亿元）. 因为4036>，因此这个年利润期望的最大值可以达到预期年利润数值. 【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望公式，属于中档题. 22．已知函数()2224ln f x x ax a x =+-，其中a ∈R（Ⅰ）若0a ≠，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a =，当1≥x 时，()ln 10x x m f x --≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（Ⅰ）首先求出函数的定义域，求出函数的导函数()()()22x a x a f x x-+'=，再对0a >和0a <分类讨论可得；（Ⅱ）令()()2ln 1F x x x m x =--，求得导函数为()ln 12F x x mx '=+-，再令()ln 12G x x mx =+-，对()G x 求导得()12G x m x'=-，对参数m 分类讨论计算可得； 【详解】（Ⅰ）因为()2224ln f x x ax a x =+-，所以()0,x ∈+∞．所以()()()2222224x a x a x ax a f x x x-++-'==． ①当0a >时，由()0f x '>得x a >；由()0f x '<得0x a <<． 故()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．②当0a <时，由()0f x '>得2x a >-；由()0f x '<得02x a <<-． 故()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,-+∞a 上单调递增综上，①当0a >时()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增； ②当0a <时()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,-+∞a 上单调递增． （Ⅱ）若0a =，不等式转化为当1≥x 时，()2ln 10x x m x --≤恒成立． 令()()2ln 1F x x x m x =--，则()ln 12F x x mx '=+-．令()ln 12G x x mx =+-，则()12G x m x'=-．①当0m ≤时，对任意[)1,x ∈+∞，恒有()ln 120F x x mx '=+->，所以()F x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()10F x F ≥=，所以0m ≤不合题意． ②当12m ≥时，因为1≥x ，所以11x ≤，所以120m x-≤，即()0G x '≤， 所以()G x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()1120G x G m ≤=-≤，即()0F x '≤， 所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10F x F ≤=， 所以12m ≥符合题意． ③当102m <<时，令()120G x m x '=->，解得112x m ≤<：令()120G x m x'=-<，解得12x m >． 所以()G x 在11,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．所以()()1120G x G m ≥=->，即()0F x '>， 所以()F x 在11,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当11,2x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()10F x F ≥=， 故102m <<不合题意． 综合①②③可知，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，属于中档题.。
2019-2020学年上海市交大附中高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海市交大附中高二第二学期期末数学试卷一、填空题（共11小题）.1．随机扔一个硬币三次，数字朝上恰好出现一次的概率是．2．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得点B和D的距离为1，则二面角B ﹣AC﹣D的大小为．3．圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是．4．若（x﹣）6展开式中的常数项为60，则实数a的值为．5．某校开设A类选修课5门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有种．6．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，∠APC＝60°，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值为．7．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第行中从左至右第14与第15个数的比为2：3．8．太阳光线照于地面，与地面成角α（0＜α＜）．调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度，则长度为d的木棍在水平地面的影子最长为．9．在一个密封的棱长为1的透明正方体容器内装有部分液体（没有装满），如果任意翻转该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．10．气象意义上，从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据的中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区的有．11．有7个评委各自独立对A、B两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权．若7位评委依次揭晓票选结果，则A选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率是．二、选择题：12．空间中，“直线l平行于平面α上的一条直线”是“直线l∥平面α”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．非充分非必要13．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．++C．﹣﹣+D．﹣+ 14．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（）A．P3＞P2＞P1B．P3＞P2＝P1C．P3＝P2＞P1D．P3＝P2＝P1 15．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R的大球放置在底面半径和高均为R的圆柱内，球与圆柱下底面相切．为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入________个小球．（）A．14B．15C．16D．17三、解答题：16．某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次01234≥5数保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．17．如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别是边AB及BC的中点，将△AED、△BEF 及△DCF折起，使A、B、C三点重合于A1点（1）求三棱锥A1EFD的体积；（2）求A1D与平面DEF所成角的大小．18．（1）已知f（x）＝kx+2，不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），不等式≥1的解集为A．求集合A；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．19．如图为正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1，底面边长AB＝a，高AA1＝h．（1）若a＝h，求异面直线BD1和CF1所成角的大小；（2）计算四面体BCD1F1的体积（用a，h来表示）；（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a和高h满足：2h+a＝K（K为定值），则当底面边长a和高h分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？20．对任意n∈N*，定义（1+）n＝a n+b n，其中a n，b n为正整数．（1）求a3+b3，a4+b4的值；（2）求证：|a n2﹣2b n2|＝1；（3）设c n＝是否存在实数λ＞0，使得（c n﹣λ）（c n+1﹣λ）＜0对任意n∈N*恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题：1．随机扔一个硬币三次，数字朝上恰好出现一次的概率是．解：设数字朝上的次数为X，则X～B（3，），故P（X＝1）＝••（1﹣）2＝，故答案为：．2．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得点B和D的距离为1，则二面角B ﹣AC﹣D的大小为．解：设翻折前AC与BD相交于点O，则OB⊥AC，OD⊥AC，而翻折之后的图形如图所示，∴∠BOD为二面角B﹣AC﹣D的平面角．∵OB＝OD＝，BD＝1，∴△BOD为等腰直角三角形，且∠BOD＝，∴二面角B﹣AC﹣D的大小为．故答案为：．3．圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是15π．解：∵圆锥的底面半径r＝3，高h＝4，∴圆锥的母线l＝5则圆锥的侧面积S＝πrl＝15π故答案为：15π4．若（x﹣）6展开式中的常数项为60，则实数a的值为4．解：根据题意，（x﹣）6展开式的通项为T r+1＝C6r•x6﹣r•（﹣）r＝（﹣1）r•C6r••x6﹣3r，令6﹣3r＝0，可得r＝2，当r＝2时，T3＝（﹣1）2•C62•a＝15a，又由题意，可得15a＝60，则a＝4．故答案为：4．5．某校开设A类选修课5门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有70种．解：分两种情况，1A2B，有C51C42＝30种，2A1B，有C52C41＝40种，共70种，故答案为：70．6．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，∠APC＝60°，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值为．解：过点A作AE⊥PB于点E，连接CE、AC，由题可知，△PAB≌△PCB，∴CE⊥PB，∴∠AEC即为二面角A﹣PB﹣C的平面角．设底面ABCD的边长为a，则AC＝，∵PA＝PC，∠APC＝60°，∴△PAC为等边三角形，PA＝PC＝＝PB，在△PAB中，＝，由等面积法可知，，∴AE＝＝CE，在△ACE中，由余弦定理知，cos∠AEC＝＝．由题可知，二面角A﹣PB﹣C为钝二面角，∴二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值为．故答案为：．7．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第34行中从左至右第14与第15个数的比为2：3．解：∵二项式展开式第r+1项的系数为T r+1＝∁n r，∴第n行的第14个和第15个的二项式系数分别为∁n13与∁n14，∴＝，整理得＝，解得n＝34故答案为348．太阳光线照于地面，与地面成角α（0＜α＜）．调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度，则长度为d的木棍在水平地面的影子最长为．解：根据题意：画出如下图：△ABC中，线段AC所在的直线为水平面，AB＝d，当太阳光线与木棍垂直时，木棍在地面的影子最长为AC＝．故答案为：9．在一个密封的棱长为1的透明正方体容器内装有部分液体（没有装满），如果任意翻转该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是（，）．解：如图，正方体ABCD﹣EFGH，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G﹣EHD的体积，并且＜正方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣＝，答案为（，）．10．气象意义上，从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据的中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区的有①③．解：对于①，甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，则甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26，其连续5天的日平均温度不低于22℃；对于②，乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；当5个数据为19，20，27，27，27时，其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定；对于③，丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22．由此肯定进入夏季的地区有甲、丙两地．故答案为：①③．11．有7个评委各自独立对A、B两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权．若7位评委依次揭晓票选结果，则A选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率是．解：有7个评委各自独立对A、B两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权．7位评委依次揭晓票选结果，基本事件总数n＝27＝128，选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的情况有以下五种：∴A选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先包含的基本事件个数m＝23+22+21+22+21＝20，∴A选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率P＝＝＝．故答案为：．二、选择题：12．空间中，“直线l平行于平面α上的一条直线”是“直线l∥平面α”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．非充分非必要解：直线l∥平面α⇒直线l平行于平面α上的一条直线，反之不成立，可能l⊂α．∴“直线l平行于平面α上的一条直线”是“直线l∥平面α”的必要非充分条件．故选：B．13．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．++C．﹣﹣+D．﹣+解：由题意，＝＝＝＝；故选：A．14．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（）A．P3＞P2＞P1B．P3＞P2＝P1C．P3＝P2＞P1D．P3＝P2＝P1解：∵三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都是α，三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同，可设为S0，则由面积射影公式，得：P1＝S0÷cosα，P2＝S0÷cosα，P3＝S0÷cosα，∴P1＝P2＝P3．故选：D．15．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R的大球放置在底面半径和高均为R的圆柱内，球与圆柱下底面相切．为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入________个小球．（）A．14B．15C．16D．17解：过球心与圆柱底面圆圆心的平面截该几何体的平面图，如图所示，设球的半径R，实心小球的半径r，由题意可得，，∴R＝（3+2）r，∵小球的球心在以E为圆心，EF为半径的圆上，EF＝，周长为2πEF＝π（R+r），∴2rn≤π（R+r），即n＝＝2（1+）π≈15.16故该工艺品最多放15个小球．故选：B．三、解答题：16．某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次01234≥5数保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保，P（A ）的估计值为：＝；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：30+30＝60，P（B ）的估计值为：＝；（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为＝＝1.1925a．17．如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别是边AB及BC的中点，将△AED、△BEF 及△DCF折起，使A、B、C三点重合于A1点（1）求三棱锥A1EFD的体积；（2）求A1D与平面DEF所成角的大小．解：（1）∵A1D⊥A1E，A1D⊥A1F，且A1E∩A1F＝A1，∴A1D⊥平面A1EF，则A1D的长为三棱锥D﹣A1EF的高．∵正方形ABCD的边长为2，E、F分别是边AB及BC的中点，∴A1E＝A1F＝1，则三棱锥A1﹣EFD的体积V＝；（2）取EF中点G，连A1G，DG，∵A1E＝A1F＝1，EA1F＝90°，∴A1G⊥EF且A1G＝．又由（1）知A1D⊥平面A1EF，∴A1D⊥EF，∵A1D∩A1G＝A1，∴EF⊥平面A1DG，∵EF⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面A1DG；在平面A1DG内，过A1作A1H⊥DG于H，得A1H⊥平面DEF，∴∠A1DG为A1D与平面DEF所成角．在直角三角形A1DG中，A1G＝，A1D＝2，∴tan A1DG＝．∴A1D与平面DEF所成角的大小为arctan．18．（1）已知f（x）＝kx+2，不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），不等式≥1的解集为A．求集合A；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．解：（1）∵不等式|f（x）|＜3 的解集为（﹣1，5），∴|f（﹣1）|＝3 且|f（5）|＝3，∴|﹣k+2|＝|5k+2|＝3，解得k＝﹣1，∴f（x）＝﹣x+2，∴不等式；等价于，解得x∈[1，2），即A＝[1，2）．（2）∵ax2+（a﹣2）x﹣2≥0，∴（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＝0 时，不等式解集为（﹣∞，﹣1]；当a＝2 时，不等式解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；当a＜0 时，（﹣ax+2）（x+1）≤0，即此时的一元二次函数开口向上，当﹣2＜a＜0 时，解集为；当a＝﹣2时，x∈{﹣1}；当a＜﹣2 时，不等式的解集为；当a＞0时，（ax﹣1）（x+1）＞0，此时一元二次函数开口向上，当0＜a＜2 时，不等式解集为；当a＞2时，不等式解集为．故综上所述，当a＝0 时，不等式解集为（﹣∞，﹣1）；当a＞0时，不等式解集为；当a＝﹣2时，不等式解集为{﹣1}；当a＜﹣2 时，不等式解集为；当﹣2＜a＜0 时，不等式解集为．19．如图为正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1，底面边长AB＝a，高AA1＝h．（1）若a＝h，求异面直线BD1和CF1所成角的大小；（2）计算四面体BCD1F1的体积（用a，h来表示）；（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a和高h满足：2h+a＝K（K为定值），则当底面边长a和高h分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？解：（1）以底面正六边形的中心O为坐标原点，以AD所在直线为x轴，以AD的垂直平分线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B（，，0），D1（0，a，h），C（，，0），F1（，，h），，，设异面直线BD1和CF1所成角的大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝＝＝，∴异面直线BD1和CF1所成角的大小为arccos；（2）在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，求得，，，则，得CD1⊥D1F1，∴．，，设平面CD1F1的一个法向量为，由，取x＝，得．，∴B到平面CD1F1的距离d＝．∴四面体BCD1F1的体积为V＝＝；（3）正六棱柱的表面积S＝12+6ah＝．正六棱柱的体积V＝．又2h+a＝K，且a＞0，h＞0，∴＝＝．当且仅当2h＝，即a＝，h＝时上式等号成立．20．对任意n∈N*，定义（1+）n＝a n+b n，其中a n，b n为正整数．（1）求a3+b3，a4+b4的值；（2）求证：|a n2﹣2b n2|＝1；（3）设c n＝是否存在实数λ＞0，使得（c n﹣λ）（c n+1﹣λ）＜0对任意n∈N*恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．解：（1）由题，（1+）n＝a n+b n，其中a n，b n为正整数．当n＝3时，（1+）3＝7+5＝a3+b3，∴a3＝7，b3＝5．∴a3+b3＝12．当n＝4时，（1+）4＝17+12＝a4+b4，∴a4＝17，b4＝12．∴a4+b4＝29．（2）证明1：由题，a n，b n为正整数．（1+）n＝a n+b n，①．∴（1﹣）n＝a n﹣b n，②．①×②，得：＝﹣2，∴﹣2＝（﹣1）n，∴|a n2﹣2b n2|＝1．证明2：由二项式定理可得：，所以，，所以＝＝＝，∴|a n2﹣2b n2|＝1．（3）由（2）知|a n2﹣2b n2|＝1，①当n为偶数时，，所以，显然b n会随着n的增大而增大，所以会随着n的增大而减少，并且会越来越接近于1，所以会无限趋近于，且比要大；②当n为奇数时，，，同理可以确定会随着n的增大而增大，会无限趋近于，且比要小；从而可以得出满足（c n﹣λ）（c n+1﹣λ）＜0对任意n∈N*恒成立的λ的值为．。
2019-2020学年陕西省安康市高三下学期第三次联考数学试卷(理科) (解析版)
2019-2020学年陕西省安康市高三第二学期第三次联考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1≤0}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．[0，]B．[0，1]C．[1，2]D．[，+∞）2．若复数z与其共轭复数满足z﹣2＝1+3i，则|z|＝（）A．B．C．2D．3．已知a＞0且a≠1，函数，若f（a）＝3，则f（﹣a）＝（）A．2B．C．D．4．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．将函数f（x）＝sin x﹣cos x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（）A．x＝﹣B．x＝C．x＝﹣D．x＝6．已知α，β是两个不重合的平面，直线m∥α，直线n⊥β，则“α⊥β“是“m∥n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线y2＝6x的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若|AF|+|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．28．若sin（α+）＝，则cos（+2α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣9．梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若•＝2•，则•＝（）A．12B．16C．20D．2410．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生．薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）A．480种B．360种C．240种D．120种11．已知函数f（x）＝，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），给出下列结论：①x1+x2＝﹣1，②x3x4＝1，③0＜x1+x2+x3+x4＜，④0＜x1x2x3x4＜1，其中所有正确命题的编号是（）A．①②B．②③C．②④D．②③④12．设P、A、B、C、D是表面积为36π的球的球面上五点，四边形ABCD为正方形，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为（）A．B．18C．20D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值为．14．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a＝，sin A＝，b＝，则△ABC的面积为．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝sin x﹣cos x+a（a为常数），则曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为．16．已知F1、F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l交C于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥BF1，|AF2|＝|BF2|，则C的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}，{b n}满足a n+b n＝2n+1，且{b n}为等比数列，a1＝1，a4＝﹣7．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求当S n+2n+1≥50时，正整数n的最小值．18．安康市某中学在1月1日举行元旦歌咏比赛，参赛的16名选手得分的茎叶图如图所示．（1）写出这16名选手得分的众数和中位数；（2）若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放100元、70元、40元的奖品，从该6名选手中随机选取2人，设这2人奖品的钱数之和为X，求X的分布列与数学期望．19．如图，几何体ABCDEF中，正方形CDEF所在平面与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD＝DC＝CB，AB∥CD，∠DAB＝60°，H为AB的中点．（1）证明：平面BDF⊥平面CFH；（2）求二面角B﹣HF﹣D的余弦值．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），过F的直线交E于A、C两点，AC的中点坐标为（﹣，）．（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O的直线BD和AC相交且交E于B、D两点，求四边形ABCD面积的最大值．21．已知函数f（x）＝e x﹣a﹣ln（x+a）（a＞0）．（1）证明：函数f′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点．（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为1，求a的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C与曲线交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a2|+|x+2a﹣5|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜6的解集；（2）若不等式f（x）＜5的解集非空，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1≤0}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．[0，]B．[0，1]C．[1，2]D．[，+∞）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|2x2+x﹣1≤0}＝{x|﹣1≤x≤}，B＝{x|x≥0}，故选：A．2．若复数z与其共轭复数满足z﹣2＝1+3i，则|z|＝（）A．B．C．2D．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），代入z﹣2＝1+3i，整理后利用复数相等的条件求得a，b的值，再由复数模的计算公式求解．解：设z＝a+bi（a，b∈R），由z﹣2＝1+3i，得（a+bi）﹣2（a﹣bi）＝3+3i，∴z＝﹣1+i，则|z|＝．故选：A．3．已知a＞0且a≠1，函数，若f（a）＝3，则f（﹣a）＝（）A．2B．C．D．【分析】先根据f（a）＝3求得a，进而求得结论．解：∵f（a）＝log a a+a＝3，∴a＝2，故选：C．4．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【分析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝，得解．解：由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：故选：B．5．将函数f（x）＝sin x﹣cos x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（）A．x＝﹣B．x＝C．x＝﹣D．x＝【分析】由题意函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．解：将函数f（x）＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，可得y＝sin（x﹣）的图象．故g（x）的对称轴方程为x＝2kπ+，k∈Z．故选：A．6．已知α，β是两个不重合的平面，直线m∥α，直线n⊥β，则“α⊥β“是“m∥n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用线面的位置关系即可判断出结论．解：m∥n时，m∥α，n⊥β，则α⊥β；反之不成立．∴α⊥β是m∥n的必要不充分条件．故选：B．7．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线y2＝6x的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若|AF|+|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．2【分析】先由抛物线的定义知|AF|+|BF|＝x A+x B+p＝5，于是可得x A+x B的值，再利用中点坐标公式即可得解．解：由抛物线的定义可知，p＝3，|AF|+|BF|＝x A+x B+p＝5，∴x A+x B＝5﹣3＝6，故选：B．8．若sin（α+）＝，则cos（+2α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由题意利用二倍角公式求得sin2α＝﹣，再利用诱导公式进行化简三角函数式，得到结果．解：∵sin（α+）＝（sinα+cosα）＝，平方求得sin3α＝﹣，则cos（+2α）＝sin2α＝﹣，故选：D．9．梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若•＝2•，则•＝（）A．12B．16C．20D．24【分析】利用向量的数量积，结合向量的基本定理转化求解即可．解：因为•＝2•，所以•﹣•＝•＝•，所以2||＝，可得＝4，故选：C．10．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生．薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）A．480种B．360种C．240种D．120种【分析】根据题意，按当人脸识别方向的人数分2种情况讨论，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①当人脸识别方向有2人时，有种安排方法，②当人脸识别方向有1人时，将其他5人分成6组，安排进行其他4个个方向展开研究，有种安排方法，则一共有120+240＝360种分配方法；故选：B．11．已知函数f（x）＝，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），给出下列结论：①x1+x2＝﹣1，②x3x4＝1，③0＜x1+x2+x3+x4＜，④0＜x1x2x3x4＜1，其中所有正确命题的编号是（）A．①②B．②③C．②④D．②③④【分析】利用函数f（x）的图象和性质，逐个结论验证，选出正确选项．解：函数f（x）＝的图象如右图所示，则x1+x4＝﹣2，故①错误；则log2（x3x4）＝0，∴x3x6＝1，故②正确；则＜x3＜1，∴x1+x4+x3+x4＝x3+﹣2∈（3，），故③正确；∴x1x2x3x4＝﹣x12﹣2x3∈（0，1），故④正确．故选：D．12．设P、A、B、C、D是表面积为36π的球的球面上五点，四边形ABCD为正方形，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为（）A．B．18C．20D．【分析】由球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥的底面距离为x，棱锥的高为h ＝3+x，再把棱锥底面边长用x表示，写出棱锥体积，利用导数求最值．解：设球的半径为r，则4πr2＝36π，即r＝3.设球心到四棱锥的底面距离为x，棱锥的高为h＝3+x，则四棱锥P﹣ABCD的体积V＝，由V′＝0，得x＝1或x＝﹣3．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值为．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z＝x﹣y过点C（1，0）时，故答案为：．14．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a＝，sin A＝，b＝，则△ABC的面积为．【分析】先根据条件求得cos A，结合余弦定理求得c，进而得到结论．解：∵a＜b，∴A＜B，，由余弦定理得，代入a＝，b＝，∴△ABC的面积．故答案为：．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝sin x﹣cos x+a（a为常数），则曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为x+y+2﹣π＝0．【分析】由奇函数的性质可得f（0）＝0，求得a＝1，再求x＞0时，f（x）的解析式，注意运用f（﹣x）＝﹣f（x），求得x＞0时，f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．解：由f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，当x≤0时，f（x）＝sin x﹣cos x+a，当x＞3，即有﹣x＜0，f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣cos（﹣x）+1＝﹣sin x﹣cos x+1，则导数为f′（x）＝cos x﹣sin x，又切点为（π，﹣2），即x+y+6﹣π＝0．故答案为：x+y+2﹣π＝0．16．已知F1、F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l交C于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥BF1，|AF2|＝|BF2|，则C的离心率为．【分析】作出图象，取AB中点E，连接EF2，设F1A＝x，根据双曲线定义可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，进而得到e的值．解：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB设F8A＝x，则由双曲线定义可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝6a，由勾股定理可得（4a）2+（5a）2＝（2c）2，则e＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}，{b n}满足a n+b n＝2n+1，且{b n}为等比数列，a1＝1，a4＝﹣7．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求当S n+2n+1≥50时，正整数n的最小值．【分析】（1）由a1＝1，a1+b1＝3，可得b1＝2．由a4＝﹣7，可得b4．根据等比数列可得通项公式可得公比q，及其b n，进而得出a n．（2）由（1）利用求和公式可得S n，利用S n+2n+1≥50可得结论．解：（1）∵a1＝1，a1+b1＝3，∴b6＝2．∵a4＝﹣7，∴b4＝9﹣a4＝9﹣（﹣7）＝16．∴q3＝＝8，解得q＝2，∴a n＝2n+5﹣2n．∴S n+2n+1≥50可化为n2+2n﹣48≥0，解得n≥6，∴正整数n的最小值为6．18．安康市某中学在1月1日举行元旦歌咏比赛，参赛的16名选手得分的茎叶图如图所示．（1）写出这16名选手得分的众数和中位数；（2）若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放100元、70元、40元的奖品，从该6名选手中随机选取2人，设这2人奖品的钱数之和为X，求X的分布列与数学期望．【分析】（1）根据茎叶图数据得出众数和中位数；（2）根据超几何分布的概率公式计算X的取值对应的概率，得出分布列和数学期望．解：（1）众数为86，中位数为＝87.5．（2）X的可能取值有80，110，140，170，故X的分布列为：X80110140170PE（X）＝80×+110×+140×+170×＝120．19．如图，几何体ABCDEF中，正方形CDEF所在平面与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD＝DC＝CB，AB∥CD，∠DAB＝60°，H为AB的中点．（1）证明：平面BDF⊥平面CFH；（2）求二面角B﹣HF﹣D的余弦值．【分析】（1）先证BD⊥CH，再根据面面垂直的性质定理可得CF⊥BD，进而得到BD ⊥平面CFH，再证明平面BDF⊥平面CFH；（2）建立空间直角坐标系，求出平面DHF及平面BHF的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．解：（1）证明：由已知得∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，∴CH∥AD，∴BD⊥CH，∴CF⊥平面ABCD，则CF⊥BD，∵CH∩CF＝C，∴平面BDF⊥平面CFH；设AD＝2，则，设平面DHF的法向量为，则，同理可求得平面BFH的法向量为，由图可知二面角B﹣HF﹣D为钝角，∴所求二面角的余弦值为．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），过F的直线交E于A、C两点，AC的中点坐标为（﹣，）．（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O的直线BD和AC相交且交E于B、D两点，求四边形ABCD面积的最大值．【分析】（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），分别代入椭圆方程作差，结合平方差公式和直线的斜率公式、中点坐标公式，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）求得直线AC的方程，联立椭圆方程，可得A，C的坐标．设B（x3，y3），D（x4，y4），且直线BD的斜率存在，设方程为y＝kx（k＜k OC＝），联立椭圆方程，可得B，D的横坐标，则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝|AC|•（d1+d2），（d1，d2分别表示B，D 到直线AC的距离），运用点到直线的距离公式和换元法、基本不等式可得所求最大值．解：（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），可得+＝1，+＝2，将x1+x2＝﹣，y1+y2＝代入上式，即k AC•（﹣）＝﹣，又c＝，即有a7﹣b2＝c2＝3，则椭圆E的方程为+＝1；联立解得或，设B（x3，y3），D（x4，y4），且直线BD的斜率存在，设为k，方程为y＝kx（k＜k OC ＝），所以S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝|AC|•（d1+d2），（d6，d2分别表示B，D到直线AC 的距离），＝|1﹣k|•|x3﹣x7|＝|1﹣k|•|x3|＝4•＝4＝8，故S四边形ABCD＝4≤4×＝4，当且仅当t＝，即t＝3，k＝﹣时，四边形ABCD的面积取得最大值4．21．已知函数f（x）＝e x﹣a﹣ln（x+a）（a＞0）．（1）证明：函数f′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点．（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为1，求a的值．【分析】（1）求出原函数的导函数f′（x）＝，可得f′（x）在（0，+∞）上单调递增，再利用导数证明f′（0）＜0，f′（a+1）＝e﹣＞0，可得函数f′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点；（2）由（1）可知，存在唯一的零点x0∈（0，+∞），使得，即，结合（1）求出f（x）的最小值，得＝1，显然x0+a ＝1是方程的解，结合y＝是单调递减函数，可知方程＝1有且仅有唯一解x0+a＝1，把x0＝1﹣a代入即可求得a的值．【解答】（1）证明：∵f（x）＝e x﹣a﹣ln（x+a）（a＞0），∴f′（x）＝，∵e x﹣a在区间（0，+∞）上单调递增，在区间（0，+∞）上单调递减，又f′（0）＝＝，则g（a）在（0，+∞）上单调递减，g（a）＜g（0）＝﹣1，故f′（0）＜8．∴函数f′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点；即．∴当x∈（0，x0）时，f′（x）＜2，f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴＝1，显然x0+a＝1是方程的解．把x0＝2﹣a代入，得e1﹣2a＝8，即a＝．∴所求a的值为．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C与曲线交于A，B两点，求|AB|．【分析】（1）根据条件可知曲线C与极轴所在直线围成图形是一个半径为1的圆和一个直角边分别为1与的直角三角形，然后求出其面积即可；（2）根据条件求出曲线C与曲线的两交点A，B的坐标，然后求出|AB|的长．解：（1）由曲线C的极坐标方程，可知曲线C与极轴所在直线围成图形是一个半径为1的圆和一个直角边分别为1与的直角三角形，（2）由得，其直角坐标为，化直角坐标方程为，∴，∴|AB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a2|+|x+2a﹣5|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜6的解集；（2）若不等式f（x）＜5的解集非空，求实数a的取值范围．【分析】（1）求得f（x）＝|x+1|+|x﹣3|，由绝对值的意义，结合零点分区间法，去绝对值，解不等式即可；（2）原不等式等价为[f（x）]min＜5，运用绝对值不等式的性质，可得其最小值，解二次不等式可得a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣3|，f（x）＜7等价为或或，综上，解集为（﹣2，4）；由|x+a2|+|x+2a﹣5|≥|x+a5﹣x+5﹣2a|＝a2﹣2a+5，则a2﹣2a+8＜5，解得0＜a＜2．则a的取值范围是（0，2）．。
吉林省长春市第二十九中学2019-2020学年高二数学下学期线上检测试题【含答案】
=
2n
-
1.
试题解析：
（1）设{an} 的公差为 d
，则由已知条件得 a1 +2d
=
2,
3a1
+
3´ 2
2
d
=9, 2
化简得 a1
+2d
=
2, a1
+d
=
3 2
,
解得
a1 =1，d
=
1 2
,
n- 1
n+1
故通项公式 an =1+ 2 ，即 an = 2 .
(2)由（1）得
b1
=1，b4
=a15
=
15+1 2
f (x) sin x cosx 3 sin2 x 3
21．函数
2 （ 0 ）的部分图象如图所示.
（1）求 的值；
（2）求
f
(x)
在区间
3
,
3
的最大值与最小值.
数学（文科）试卷（答案）
1.【答案】C
【解析】因为 A B 1, 2，所以选 C.
2.【答案】A
1 【详解】根据题意，易得直线 x 2 y 3＝0 的斜率为 2 ，
12
12
（C）向左平移 个单位 （D）向右平移 个单位
3
3
11．利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的个数是（ ）
（1） y x 4 2 x 4 4
x
x
（2） y sin x 3 2 sin x
sin x 3 2 sin x
3(
x
0，
2
)
（3） y lg x 4 log x 10 2 lg x 4 log x 10 4
2019-2020学年人教A版山东省烟台市高二第一学期期末检测数学试卷 含解析
2019-2020学年高二第一学期期末检测数学试卷一、选择题1．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．设命题p：梯形的对角线相等，则￢p为（）A．梯形的对角线不相等B．有的梯形对角线相等C．有的梯形对角线不相等D．不是梯形的四边形对角线不相等3．下列命题中假命题为（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈[0，π]，x＞sin xC．∃x0∈R，tan x0＝2 D．∃x0∈（0，+∞），log2x0＞14．已知空间向量＝（λ+1，1，λ），＝（6，μ﹣1，4），若∥，则λ+μ＝（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣55．已知椭圆（a＞b＞0），过M的右焦点F（3，0）作直线交椭圆于A，B 两点，若AB中点坐标为（2，1），则椭圆M的方程为（）A．B．C．D．6．在三棱锥P﹣ABC中，M为PA的中点，N在BC上，且BN＝2NC，则（）A．B．C．D．7．如图，已知两条异面直线a，b所成的角为θ，点M，N分别在a，b上，且MN⊥a，MN ⊥b，P，Q分别为直线a，b上位于线段MN同侧的两点，则PQ的长为（）A．B．C．D．8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆x2+y2﹣4x+3＝0交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则2|AP|+|QB|的最小值为（）A．B．C．D．二、多项选择题9．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（）A．B．C．D．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，，E，F，P，Q分别为棱AB，AD，DD1，BB1的中点，则下列结论正确的是（）A．AC⊥BPB．B1D⊥平面EFPQC．BC1∥平面EFPQD．直线A，D和AC所成角的余弦值为11．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D 分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝3|BF|，M为AB中点，则下列结论正确的是（）A．∠CFD＝90°B．△CMD为等腰直角三角形C．直线AB的斜率为D．△AOB的面积为412．已知F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|且△PF1F2的最小内角为30°，则（）A．双曲线的离心率B．双曲线的渐近线方程为C．∠PAF2＝45°D．直线x+2y﹣2＝0与双曲线有两个公共点三、填空题13．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是．14．若“∃x0∈[1，2]，x02﹣ax0﹣1＞0”为真命题，则实数a的取值范围为．15．过椭圆（a＞b＞0）的左焦点F作斜率为的直线l与C交于A，B两点，若|OF|＝|OA|，则椭圆C的离心率为．16．如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为AA1D1上一点，且A1N＝λA1D1．若BD⊥AN，则λ的值为；若M 为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．给出以下条件：①∀x∈R，ax2+ax+1≥0，②方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，③函数f（x）＝+x无极值点．从中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题的详细解答．已知p：实数a满足a2﹣（2m+1）a+m（m+1）≤0，q：实数a 满足，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）短轴长等于，离心率等于的椭圆；（2）与椭圆共焦点，且过点（4，5）的双曲线．19．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，FD⊥平面ABCD，BE∥FD，且DF ＝2BE＝2．（1）求直线AD和平面AEF所成角的大小；（2）求二面角E﹣AF﹣D的平面角的大小．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝AC＝2BC．（1）若PA⊥PB，求证：平面PAB⊥平面PBC；（2）若PA与平面ABC所成的角为60°，求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．21．已知F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|＝8．（1）求抛物线的方程：（2）已知P（x0，﹣1）为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足k PM•k PN ＝﹣2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由．22．已如椭圆（a＞b＞0），四点P1（2，0），，，中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设不经过左焦点F1的直线l交椭圆于A，B两点，若直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列，求直线l的斜率k的取值范围．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解：因为“x＞1”，则“x2＞1”；但是“x2＞1”不一定有“x＞1”，所以“x＞1”，是“x2＞1”成立的充分不必要条件．故选：A．2．设命题p：梯形的对角线相等，则￢p为（）A．梯形的对角线不相等B．有的梯形对角线相等C．有的梯形对角线不相等D．不是梯形的四边形对角线不相等解：全称命题的否定是特称命题，所以命题：梯形的对角线相等的否定形式是：有的梯形对角线不相等．故选：C．3．下列命题中假命题为（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈[0，π]，x＞sin xC．∃x0∈R，tan x0＝2 D．∃x0∈（0，+∞），log2x0＞1解：对于A，根据指数函数值域为（0，+∞），所以∀x∈R，2x﹣1＞0，故A正确；对于B，当x＝0时，x＝sin x，故B错误；对于C，不妨取sin x0＝，cos x0＝，此时tan x0＝2，故C正确；对于D，不妨取x0＝4，则log2x0＝2＞1，故D正确．故选：B．4．已知空间向量＝（λ+1，1，λ），＝（6，μ﹣1，4），若∥，则λ+μ＝（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5解：∵＝（λ+1，1，λ），＝（6，μ﹣1，4），∥，∴，解得λ＝2，μ＝3，∴λ+μ＝2+3＝5．故选：C．5．已知椭圆（a＞b＞0），过M的右焦点F（3，0）作直线交椭圆于A，B 两点，若AB中点坐标为（2，1），则椭圆M的方程为（）A．B．C．D．解：直线AB的斜率k＝＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得：+＝1，+＝1，相减化为：﹣＝0，又c＝3，a2＝b2+c2．联立解得：a2＝18，b2＝9．可得：椭圆M的方程为：＝1．故选：D．6．在三棱锥P﹣ABC中，M为PA的中点，N在BC上，且BN＝2NC，则（）A．B．C．D．解：由M为PA的中点，N在BC上，且BN＝2NC，＝＝＝．故选：A．7．如图，已知两条异面直线a，b所成的角为θ，点M，N分别在a，b上，且MN⊥a，MN ⊥b，P，Q分别为直线a，b上位于线段MN同侧的两点，则PQ的长为（）A．B．C．D．解：设经过b与a平行的平面为α，经过a和MN的平面为β，α∩β＝c，则c∥a．因而b，c所成的角等于θ，且MN⊥c．∵MN⊥b，∴MN⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．在平面β内作PG⊥c，垂足为G，则PG＝MN．根据两个平面垂直的性质定理，PG⊥α．连接QG，则PG⊥QG．在Rt△PQG中，PQ2＝PG2+QG2．在△NQG中，QG2＝NQ2+NG2﹣2NQ•NG•cosθ．又MP＝NG，PG＝MN，因此，PQ＝．故选：A．8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆x2+y2﹣4x+3＝0交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则2|AP|+|QB|的最小值为（）A．B．C．D．解：如图所示：因为圆的方程为x2+y2﹣4x+3＝0即为（x﹣2）2+y2＝1，所以圆心（2，0），半径R＝1，因为2|AP|+|QB|＝2（|AF|﹣R）+（|BF|﹣R），所以2|AP|+|QB|＝2|AF|+|BF|﹣3，因为|AF|＝x A+＝x A+2，|BF|＝x B+＝x B+2，所以2|AP|+|QB|＝2x A+x B+3，设l：x＝my+2，所以，整理得x2﹣（4+8m2）+4＝0，所以x A x B＝4，则2|AP|+|QB|＝2x A+x B+3≥2+3＝4+3，当x A＝，x B＝2时取等号，综上可知2|AP|+|QB|最小值为4+3，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（）A．B．C．D．解：．A.2﹣1﹣1＝0≠1，因此点M与点A，B，C不共面；B．等式化为：＝，因此点M与点A，B，C共面．C.1+≠1，因此点M与点A，B，C不共面；D.+＝1，因此点M与点A，B，C共面．故选：BD．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，，E，F，P，Q分别为棱AB，AD，DD1，BB1的中点，则下列结论正确的是（）A．AC⊥BPB．B1D⊥平面EFPQC．BC1∥平面EFPQD．直线A，D和AC所成角的余弦值为解：如图，对于A，BP在底面上的射影为BD，∵AC⊥BD，∴AC⊥BP，故A正确；对于B，假设B1D⊥平面EFPQ，则B1D⊥PQ，而PQ∥B1D1，则B1D⊥B1D1，而DD1⊥B1D1，假设错误，故B错误；对于C，BC1∥AD1∥FP，FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，则BC1∥平面EFPQ，故C正确；对于D，直线A1D与AC所成角为∠DA1C1，连接A1C1，DC1，求解三角形可得cos∠DA1C1＝，故D正确．故选：ACD．11．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D 分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝3|BF|，M为AB中点，则下列结论正确的是（）A．∠CFD＝90°B．△CMD为等腰直角三角形C．直线AB的斜率为D．△AOB的面积为4解：由题意由抛物线的对称性，焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，由题意可得直线AB的斜率不为0，由题意设直线AB的方程为：x＝my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知C（﹣1，y1），D（﹣1，y2），将直线AB与抛物线联立整理得：y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，A中，∵＝（﹣2，y1）•（﹣2，y2）＝（﹣2）（﹣2）+y1y2＝4﹣4＝0，∴，即∠CFD＝90°，所以A正确；B中，由A正确，不可能CM⊥DM，更不会∠C或∠D为直角，所以B不正确；C中，因为|AF|＝3|BF|，所以＝3，即y1＝﹣3y2，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，∴，解得m2＝，m＝，所以直线AB的斜率为，所以C正确；D中，由题意可得弦长|AB|＝＝＝＝，O到直线AB的距离d＝＝＝，所以S△OAB ＝＝＝，所以D不正确，故选：AC．12．已知F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|且△PF1F2的最小内角为30°，则（）A．双曲线的离心率B．双曲线的渐近线方程为C．∠PAF2＝45°D．直线x+2y﹣2＝0与双曲线有两个公共点解：F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|且△PF1F2的最小内角为30°，如图，三角形△PF1F2是直角三角形，并且，可得：e＝，所以A正确；，可得渐近线方程：y＝x，所以B正确；直线x+2y﹣2＝0与双曲线的渐近线不平行，所以直线与双曲线由2个交点，所以D正确；故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是（0，+∞）．解：若“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．14．若“∃x0∈[1，2]，x02﹣ax0﹣1＞0”为真命题，则实数a的取值范围为（﹣∞，）．解：命题“∃x0∈[1，2]，x02﹣ax0﹣1＞0”是真命题，即有a＜x0﹣在[1，2]的最大值，由x0﹣在[1，2]递增，可得x0＝2取得最大值，可得a＜，故答案为：（﹣∞，）．15．过椭圆（a＞b＞0）的左焦点F作斜率为的直线l与C交于A，B两点，若|OF|＝|OA|，则椭圆C的离心率为．解：过椭圆（a＞b＞0）的左焦点F作斜率为的直线l与C交于A，B 两点，可知tan∠AFO＝，|OF|＝|OA|，所以tan∠AOx＝＝，所以A（，），代入椭圆方程可得：＝1，即，解得e＝．故答案为：．16．如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为AA1D1上一点，且A1N＝λA1D1．若BD⊥AN，则λ的值为；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为．解：①⊥，不妨取AB＝AA1＝AD＝1，∴•＝（﹣）•（+λ）＝•+λ﹣•﹣λ•＝cos60°+λ﹣cos30°﹣λcos60°＝﹣+λ＝0．∴λ＝．②连接A1B，与AB1交于点E．连接A1M，交AN于点F，连接EF．∵BM∥平面AB1N，∴BM∥EF．∵E点为A1B的中点，∴F点为A1M的中点．延长AN交线段DD1的延长线于点P．∵AA1∥DD1，A1F＝FM．∴AA1＝MP＝2D1P．∴＝＝2，∴＝．则λ＝．故答案为：﹣1，．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．给出以下条件：①∀x∈R，ax2+ax+1≥0，②方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，③函数f（x）＝+x无极值点．从中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题的详细解答．已知p：实数a满足a2﹣（2m+1）a+m（m+1）≤0，q：实数a 满足若选①：0≤a≤4；若选②：1＜a＜3；若选③：﹣1≤a≤3 ，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解：p：因为（a﹣m）（a﹣m﹣1）≤0，所以m≤a≤m+1若选①：当a＝0时，符合题意；当a≠0时，得0＜a≤4，所以0≤a≤4，由已知得：[m，m+1]⫋[0，4]，所以，得0≤m≤3．若选②：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴，∴1＜a＜3，由已知得：[m，m+1]⫋（1，3），所以，得1＜m＜2若选③：f'（x）＝x2﹣（a﹣1）x+1，则△＝（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3由已知得：[m，m+1]⫋[﹣1，3]，所以，得﹣1≤m≤2．故答案为：选①：0≤a≤4，得0≤m≤3．若选②：1＜a＜3，得1＜m＜2若选③：﹣1≤a≤3，得﹣1≤m≤2．18．求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）短轴长等于，离心率等于的椭圆；（2）与椭圆共焦点，且过点（4，5）的双曲线．解：（1）由题意可知，，因为a2＝b2+c2，可得a＝2，若焦点在x轴上，椭圆的方程为，若焦点在y轴上，椭圆的标准方程为，（2）椭圆的焦点为（0，±3），可设双曲线方程为，将点（4，5）代入可得整理可得，m2﹣50m+225＝0，解得m＝5或m＝45（不合题意），所以双曲线的标准方程为．19．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，FD⊥平面ABCD，BE∥FD，且DF ＝2BE＝2．（1）求直线AD和平面AEF所成角的大小；（2）求二面角E﹣AF﹣D的平面角的大小．解：（1）因为BE∥FD，所以B，E，F，D四点共面，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，设AC与BD的交点为O，以O为坐标原点，OA，OB以及垂直于平面ABC的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，则，F（0，﹣1，2），E（0，1，1），，，，设＝（x，y，z）为平面AEF的一个法向量，则，令y＝1，得＝（，1，2）设直线AD和平面AEF所成角为θ，则sinθ＝＝＝，所以直线AD和平面AEF所成角为45°．（2）由（1）可知，平面AEF的一个法向量为＝（），设＝（x，y，z）为平面ADF的一个法向量，则，令x＝，得＝（），因为＝0，所以二面角E﹣AF﹣D的平面角为90°．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝AC＝2BC．（1）若PA⊥PB，求证：平面PAB⊥平面PBC；（2）若PA与平面ABC所成的角为60°，求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．解：（1）证明：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC ⊥AC，所以BC⊥平面PAC，由PA⊂平面PAC，所以PA⊥BC，又因为PA⊥PB，PB∩BC＝B，所以PA⊥平面PBC，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC；（2）解：过P作PH⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC，所以PH⊥平面ABC，所以∠PAH＝60，不妨设PA＝2，所以，以C为原点，分别以CA，CB所在的直线为x，y轴，以过C点且平行于PH的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，1，0），，，，，，设＝（x1，y1，z1）为面PAB的一个法向量，则有，即，令，可得＝（3，6，），设＝（x2，y2，z2）为面PBC的一个法向量，则，即，令，得＝（﹣3，0，），所以cos＜＞＝＝﹣，所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．21．已知F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|＝8．（1）求抛物线的方程：（2）已知P（x0，﹣1）为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足k PM•k PN ＝﹣2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由．解：（1）由已知，直线AB的方程为，联立抛物线方程y2＝2px，消y可得，，所以x1+x2＝3p，因为|AB|＝x1+x2+p＝4p＝8，所以2p＝4，即抛物线的方程为y2＝4x．（2）将P（x0，﹣1）代入y2＝4x可得，不妨设直线MN的方程为x＝my+t（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，联立抛物线的方程y2＝4x，消x得y2﹣4my﹣4t＝0，则有y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，△＝16m2+16t，由题意＝＝＝﹣2，化简可得，代入△＝16m2+16t＝＝，此时直线MN的方程为，所以直线MN过定点．22．已如椭圆（a＞b＞0），四点P1（2，0），，，中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设不经过左焦点F1的直线l交椭圆于A，B两点，若直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列，求直线l的斜率k的取值范围．解：（1）由椭圆的对称性，点P3，P4在椭圆上，代入椭圆可得，，若点在椭圆上，则有，联立无解，所以点P1（2，0）在椭圆上，代入椭圆可得，a2＝4，代入中解得，b2＝3，所以椭圆C的方程的为．（2）由（1）可知F1（﹣1，0），设直线AB的方程为，y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，则有，，且△＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝48（4k2+3﹣m2）＞0，由题意可知，＝＝，化简整理可得，（m﹣k）（x1+x2+2）＝0，若m﹣k＝0，则直线AB的方程为y＝k（x+1），过点F1（﹣1，0），不满足题意所以x1+x2+2＝0，即，化简可得，，代入①中得，，整理可得16k4+8k2﹣3＞0，解得，所以直线l的斜率k的取值范围为或．。