立体几何大题

2016年7月9日数学周测试卷

一、解答题（共25小题；共325分）

1. 如图，正方体的棱长为．

（1）在图中找出平面，平面，平面的一个法向量；

（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出（1）中三个法向量的坐标．

2. 如图，在正方体中，求与平面所成角的余弦值．

3. 设，分别是两条异面直线，的方向向量，且，求异面直线和

所成的角．

4. 如图，直三棱柱，，，，点、分别

为和的中点．（锥体体积公式，其中为底面面积，为高）

（1）证明：；

（2）求三棱锥的体积．

5. 三棱锥中，侧面与底面垂直，．

（1）求证：；

（2）设，求与平面所成角的大小．

6. 如图，和所在平面互相垂直，且，

，，分别为，的中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值

7. 如图，四边形为正方形，平面，，．

（1）证明：平面；

（2）求棱锥的体积与棱锥的体积比值．

8. 如图，在中，，，，两点分别在，上，使，

．现将沿折成直二面角，求：

（1）异面直线与的距离；

（2）二面角的大小（用反三角函数表示）．

9. 如图，直三棱柱中，，分别是，的中点．

（1）证明：；

（2）设，，求三棱锥的体积．

10. 如图，正四棱锥的所有棱长均为，，，分别为棱，，的中点．

（1）求证：，并求出直线到平面的距离；

（2）求点到平面的距离．

11. 已知过球面上三点，，的截面到球心的距离等于球半径的一半，且，

．计算球的表面积与体积．

12. 如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，

，．

（1）证明：；

（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小．

13. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，

，分别是棱的中点．

（1）证明：平面；

（2）若二面角为，

① 证明：平面平面；

② 求直线与平面所成角的正弦值．

14. 如图，在四棱柱中，侧棱，，，

，．用向量法解决下列问题：

（1）若的中点为，求与所成的角；

（2）求二面角（锐角）的余弦值．

15. 已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，

分别是线段，的中点．

（1）证明：；

（2）在线段上是否存在点，使得若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．

（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

16. 如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一

点，．

（1）证明：为异面直线与的公垂线；

（2）设异面直线与的夹角为，求二面角的大小．

17. 已知在四棱锥中，，，，，分别为

，的中点．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若，求二面角的大小．

18. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点．

（1）求异面直线和的距离；

（2）若，求二面角的平面角的余弦值．

19. 如图，在等腰梯形中，，．，为中点，点

，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）

（1）求证：

（2）求直线与平面所成角的正弦值

（3）侧棱上是否存在点，使得平面，若存在，求处的值，若不存在，说明理由．

20. 在正三角形中，，，分别是，，边上的点，满足

（如图1）．将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，（如图2）．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的大小；

（3）求二面角的余弦值．

21. 如图，四面体中，是的中点，和均为等边三角形，，

．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求点到平面的距离．

22. 如图，已知，，，，为等边三角形．

（1）求证：．

（2）求的平面角的余弦值．

23. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，

，为的中点，为的中点，以为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：

（1）证明：直线；

（2）求异面直线与所成角的大小；

（3）求点到平面的距离．

24. 如图，已知边长为的菱形中，，．将菱形沿对角

线折起得到三棱锥，设二面角的大小为．

（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；

（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．

25. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，

，．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求二面角的余弦值．

答案

第一部分

1. （1）由正方体可得，，

平面的一个法向量为，平面的一个法向量为；

连接，，，得，平面的一个法向量为．（2）如图，

建立空间直角坐标系，可得，，，．

，，．

2. 以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则，，，

设平面的法向量为，则，，解得，，所以与平面所成角．

所以与平面所成角的余弦值是．

3. 因为，，

所以．

所以和所成的角为．

4. （1）证法一：连接，，由已知，，

三棱柱为直三棱柱，所以为中点．

又因为为的中点，所以．

又，，

因此．

证法二：取中点，连接，．

因为，分别为与的中点，

所以，，

所以，，又，因此平面，而．因此．（2）解法一：连接，如图，

由题意得，，

所以．

又，故

解法二：

5. （1）如图，取中点，连接．

，．

又侧面底面，

底面．

又，．

为直角三角形．

．

（2）如图，取的中点，连接，

则有

由（1）有平面，，再结合，

可知

平面⊥平面，又．

是等腰直角三角形，取的中点，连接，则

又平面平面，且交线是，

平面．

即为与平面所成的角．

，，

故与平面所成的角为．

6. （1）法一：

如图，

过作，垂足为，连，

由可证出，

所以，即．

又，因此面，

又面，所以．

法二：

由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易得

因而

所以

因此，从而，所以．

（2）法一：

在图中，过作，垂足为，连，由平面平面，从而平面，

所以．又，所以平面，从而

因此为二面角的平面角；

在中，可得

由知

因此

从而

即二面角的正弦值为．

法二：

在图中，平面的一个法向量为，设平面的法向量，又

由

得其中一个

设二面角的大小为，且由题意知为锐角，则

因

即二面角的正弦值为．

7. （1）由条件知为直角梯形．

平面，平面平面，交线为．

又四边形为正方形，，平面，可得．

在直角梯形中可得

则．所以平面．

（2）设．由题设知为棱锥的高，

所以棱锥的体积

由（1）知为棱锥的高，而，的面积为，所以棱锥的体积

故棱锥的体积与棱锥的体积比值为．

8. （1）如图1中，

因为，所以．

又因为，从而．

在图2中，

因是直二面角，，

故，从而．

而，故为异面直线与的公垂线．

下面求之长．在图中，由

得

又已知，从而

因，故

即异面直线与的距离为．

（2）方法一：在图2中，过作，交的延长线于，连接．由（1）知，，由三垂线定理知，

故为二面角的平面角．

在底面中，，所以

因此

从而在中，

在，中

因此所求二面角的大小为．

方法二：如图3，

由（1）知，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则

所以

过作，交的延长线于，连接．

设，从而

由，有

即

又由，得

联立①、②，解得

即

得

因为

故，又因，

所以为所求的二面角的平面角．因，有

所以

因此所求二面角的大小为．

9. （1）

连接交于，可得，

又，，

所以．

（2）直棱柱中，，所以，

又，，

所以，

所以三棱锥可以把面作为底面，高就是，底面的面积为

，

所以三棱锥的体积为．

10. （1）因为，分别为棱，的中点，所以．

又，，

所以．

如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，，．

设平面的法向量为，

，，可得，

所以点到平面的距离为．

即直线到平面的距离为．

（2）因为，

所以点到平面的距离为．

11. 如图，设球面的半径为，是的外心，外接圆半径为，则．

在中，，则，

在中，由正弦定理得，，即．

在中，由题意得，得．

球的表面积．

球的体积为．

12. （1）平面，平面，

故平面平面．

又，所以平面．

如图，连接，

因为侧面为菱形，故，

由平面知，

而，

故可得，所以．

（2）平面，平面，

故平面平面．

作，为垂足，则平面．

又直线平面，因而为直线与平面的距离，．因为为的角平分线，故．

作，为垂足，连接，

由题可知，所以．

因此，可知，因此，

故为二面角的平面角．

由

得为的中点，

所以

所以二面角的大小为．

13. （1）如图，取中点，连接，

因为为中点，所以为中位线，

所以且，

所以四边形为平行四边形，．

因为平面，平面，所以平面．

（2）① 连接．

因为，，而为中点，故，，所以为二面角的平面角．

在中，由

可解得

中，由

可解得

在三角形中，，，，由余弦定理，可解得

从而，即，

又，，从而，因此平面．

又平面，所以平面平面；

②连接，由① 知平面．

所以为直线与平面所成的角，由

得为直角，而

可得，故．又，故在中，可得

所以，直线与平面所成角的正弦值为．

14. （1）由，的中点为，所以．如图，以为原点建立空间直角坐标系，

依题意可得，，，，，，，．

，，

因为，

所以，即与所成的角为．

（2）设平面与平面所成的角为，平面的法向量为，平面的法向量为．

，，．

由得解得