利用频率估计概率1
【精品讲义】人教版九年级数学(上)专题25.3 用频率估计概率-(知识点+例题+练习题)含答案
第二十五章 概率初步25.3 用频率估计概率用频率估计概率连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次、20次、30次、40次、50次……分别记录每轮试验中硬币“正面向上”和“反面向上”出现的次数，求出“正面向上”和“反面向上”的频率，分析数据，可探索出频率的变化规律．用频率估计概率（1）从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率． （2）一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn稳定于某个常数p ，那么事件A 发生的概率P （A ）=p ．n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计摸到黄球的概率为A．0.3 B．0.7C．0.4 D．0.6【答案】A【解析】∵通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，∴估计摸到黄球的概率为0.3，故选A．【名师点睛】一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn稳定于某个常数p，那么估计事件A发生的概率P（A）=p．试验得出的频率只是概率的估计值．概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映出的规律并非在每一次试验中都发生．（1）将表格补充完成；（精确到0.01）（2）估计这名同学投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？（3）根据此概率，估计这名同学投篮622次，投中的次数约是多少？【解析】（1）153÷300=0.51，252÷500≈0.50；故答案为：0.51，0.50；（2）估计这名同学投篮一次，投中的概率约是0.5；（3）622×0.5=311（次）．所以估计这名同学投篮622次，投中的次数约是311次．1．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是A．频率等于概率B．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近C．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近D．试验得到的频率和概率不可能相等2．随机事件A出现的频率mn满足A．mn=0 B．mn=1C．mn＞1 D．0<mn<13．两人各抛一枚硬币，则下面说法正确的是A．每次抛出后出现正面或反面是一样的B．抛掷同样的次数，则出现正、反面的频数一样多C．在相同条件下，即使抛掷的次数很多，出现正、反面的频数也不一定相同D．当抛掷次数很多时，出现正、反面的次数就相同了4．一个不透明的口袋里装有除颜色不同外其余都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出1球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球有A．60个B．50个C．40个D．30个5．在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共15个，每个球除颜色外都相同，每次摇匀后随即摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球实验后，发现摸到黑球的频率稳定于0.6，则可估计这个袋中红球的个数约为__________．6．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）上表中的a=__________；（2）“摸到白球”的概率的估计值是__________（精确到0.1）；（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？7．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表：（1）请在图中完成这批彩色弹力球“优等品”频率的折线统计图（2）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少？（精确到0.01）（3）从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率．（4）现从第（3）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为14，求取出了多少个黑球？1．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，它们的形状、大小、质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后放回……如此大量摸球试验后，小新发现从布袋中摸出红球的频率稳定于0.2，摸出黑球的频率稳定于0.5，对此试验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球试验，摸出白球的频率应稳定于0.3；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是A．①②③B．①②C．①③D．②③2．抛掷一枚质地均匀的硬币2000次，正面朝上的次数最有可能为A．500B．800C．1000D．12003．在一个不透明的盒子里装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有________个白球．4．一鱼池里有鲤鱼，鲫鱼，鲢鱼共1000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼，鲫鱼出现的概率约为31%和42%，则这个鱼池里大概有鲤鱼______尾，鲫鱼______尾，鲢鱼______尾.5．某公司对一批某品牌衬衣的质量抽检结果如下表．（1）从这批衬衣中抽1件是次品的概率约为多少？（2）如果销售这批衬衣600件，那么至少要再准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客更换？6．小明抛硬币的过程(每枚硬币只有正面朝上和反面朝上两种情况)见下表，阅读并回答问题：（1）从表中可知，当抛完10次时正面出现3次，正面出现的频率为30%，那么，小明抛完10次时，得到__________次反面，反面出现的频率是__________；（2）当他抛完5000次时，反面出现的次数是__________，反面出现的频率是__________；（3）通过上表我们可以知道，正面出现的频数和反面出现的频数之和等于__________，正面出现的频率和反面出现的频率之和等于__________.1．（2019•湖北襄阳）下列说法错误的是A．必然事件发生的概率是1B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率C．概率很小的事件不可能发生D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得2．（2019•江苏泰州）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近A．20 B．300C．500 D．8003．（2019•绍兴）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.154．（2019•柳州）柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：依据上面的数据可以估计，这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是__________（结果精确到0.01）．5．（2019•长沙）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是__________．（结果保留小数点后一位）6．（2019•雅安）某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制成了如下不完整的统计图．根据统计图：（1）求该校被调查的学生总数及评价为“满意”的人数；（2）补全折线统计图；（3）根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少？1．【答案】C【解析】概率是一个确定的数，频率是一个变化量，当试验次数很大时，频率会稳定在概率附近.由此可得，选项C 正确.故选C ． 2．【答案】D【解析】大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，故频率mn的含义是在n 次试验中发生m 次，即必有0<mn<1．故选D ． 3．【答案】C【解析】抛硬币是一个随机事件，抛一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先无法预料.故选C ． 4．【答案】C【解析】∵小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球， ∴白球与红球的数量之比为1：4， ∵白球有10个，∴红球有10×4=40（个）， 故选C ． 5．【答案】6【解析】黑球个数为：150.69⨯=，红球个数：1596-=.故答案为：6．【名师点睛】本题考查了频数和频率，频率是频数与总数之比，掌握频数频率的定义是解题的关键. 6．【解析】（1）a =290500=0.58，故答案为：0.58； （2）随着实验次数的增加“摸到白球”的频率趋向于0.60，所以其概率的估计值是0.60，故答案为：0.60； （3）由（2）摸到白球的概率估计值为0.60，所以可估计口袋中白球的个数=20×0.6=12(个)，黑球20−12=8(个). 答：黑球8个，白球12个.【名师点睛】本题考查利用频率估计概率，事件A 发生的频率等于事件A 出现的次数除以实验总次数；在实验次数非常大时，事件A 发生的频率约等于事件发生的概率，本题可据此作答；对于（3）可直接用概率公式.7．【解析】（1）如图，（2）()10.9420.9460.9510.9490.9485⨯++++=1 4.7365⨯=0.9472≈0.95． （3）P （摸出一个球是黄球）=551322++=18．（4）设取出了x 个黑球，则放入了x 个黄球，则551322x +++=14，解得x =5．答：取出了5个黑球．【名师点睛】本题考查利用频率估算概率，数量较大、批次较多时用求平均值的方法更接近概率，理解题意灵活运用概率公式是解题关键.1．【答案】B【解析】∵在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，∴①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：1–20%–50%=30%，故此选项正确； ∵摸出黑球的频率稳定于50%，大于其它频率，∴②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错误；故正确的有①②．故选B．【名师点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据频率与概率的关系得出是解题关键．2．【答案】C【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币2000次，正面朝上的次数最有可能为1000次，故选C．【名师点睛】本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．3．【答案】12【解析】∵共试验40次，其中有10次摸到黑球，∴白球所占的比例为：40103 404-=，设盒子中共有白球x个，则344xx=+，解得x=12，经检验，x=12是原方程的根，故答案为：12．【名师点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．4．【答案】310；420；270【解析】根据所给数据可得：鲤鱼：1000×31%=310(尾)；鲫鱼：1000×42%=420(尾)；鲢鱼：1000–310–420=270(尾).故答案为：310；420；270.5．【答案】（1）0.06；（2）36件【解析】（1）抽查总体数m=50+100+200+300+400+500=1550，次品件数n=0+4+16+19+24+30=93，P（抽到次品）=931550=0.06．（2）根据（1）的结论：P（抽到次品）=0.06，则600×0.06=36（件）．答：至少准备36件正品衬衣供顾客调换．6．【答案】（1）7；70%；（2）2502；50.04%；（3）抛掷总次数；1【解析】（1）从表中可知，当抛完10次时正面出现3次，正面出现的频率为30％，那么，小明抛完 10次时，得到7次反面，反面出现的频率是710=0.7=70%； （2）当他抛完5000次时，反面出现的次数是5000–2498=2502，反面出现的频率是2502÷5000=0.5004=50.04%；（3）通过上面我们可以知道，正面出现的频数和反面出现的频数之和等于抛掷总次数，正面出现的频率和反面出现的频率之和等于1.1．【答案】C【解析】A 、必然事件发生的概率是1，正确；B 、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；C 、概率很小的事件也有可能发生，故错误；D 、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，故选C ．2．【答案】C【解析】观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5=500次，故选C ．3．【答案】D【解析】样本中身高不低于180cm 的频率==0.15，所以估计他的身高不低于180cm 的概率是0.15．故选D ．4．【答案】【解析】概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，∴这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95．故答案为：0.95．5．【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，故摸到白球的频率估计值为0.4；故答案为：0.4．6．【解析】（1）由折线统计图知“非常满意”9人，由扇形统计图知“非常满意”占15%，所以被调查学生总数为9÷15%=60（人），所以“满意”的人数为60–（9+21+3）=27（人）；15100（2）如图：（3）所求概率为．=6927035。
利用频率估计概率
讨 论
某班有48人，现需要调查任意“6 某班有48人，现需要调查任意“6个 人中有两个人星座相同”的概率，你能 设计一种试验来估计“6 设计一种试验来估计“6个人中有两个人 星座相同”的概率吗？
分 析
把全班分成6人一组，共8 把全班分成6人一组，共8组，调查 6个人中是否有2人的星座相同，统计全 个人中是否有2 班结果，共计为8 班结果，共计为8次试验，再由每位学生 提供6 提供6位亲友的星座情况，进行第二轮统 计，以此类推，进行48组、共统计56次 计，以此类推，进行48组、共统计56次 试验，计算出6人中2 试验，计算出6人中2人星座相同的频率， 然后估计出概率来。 这次统计合理吗？ 这次统计合理吗？
分 析
⑵能利用频率估计概率的实验方法估 算非规则图形的面积。 设计方案：如图, 设计方案：如图,①设计一 个可测量面积的规则图形将非 规则图形围起来(如正方形, 规则图形围起来(如正方形, 其 面积为S)。 面积为S)。
②往图形中掷点(如蒙上眼往图形中 往图形中掷点( 随意掷石子，掷在图外不作记录) 随意掷石子，掷在图外不作记录)。 ③当掷点数充分大(如1万次)，记录并 当掷点数充分大( 万次) 统计结果，设掷入正方形内m次，其中n 统计结果，设掷入正方形内m次，其中n 次掷图形内。
移植总数(n) 成活率(m) 移植总数(n) 成活率(m) 1500 3500 7000 9000 14000 1335 3203 6335 8073 12628
m 成活的频率( 成活的频率( ) n
0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 由上表可知，幼树移植成活的频率在 ____左右摆动，并且随着统计数据的增加, ____左右摆动，并且随着统计数据的增加, 0.9 这种规律愈加明显，所以估计幼树移植成 活的概率为____. 活的概率为____. 0.9
《用频率估计概率》PPT教学课件1人教版
“正面向上”
次数m
1061 2048 4979 6019 12012
“正面向上”
频率(
m n
)
0.518
0.5069
0.4979
0.5016
0.5005
根据表中数据，画出“正面向上”的频率的变化趋势图
“正面向上”
大量重复试验中，如果频事件率A(发m 生)的频率稳定在常数p附近,
0.5 10000×（1-10%）x-1.
教练记录一名主力前锋练习罚篮的结果如下：
选做：第5,6,7题（3 4号） 抛掷硬币“正面向上”的概率是0. 答：柑橘的售价应定为3元. 想一想：“正面向上”的频率有什么规律？
10000×（1-10%）x-1. “正面向上”的频率m/n
0 2048 4040 1000012000
学习目标
掌握用频率估计概率的方法，并能解 决实际问题
导入新课：养鱼专业户为估计鱼塘里有多少条鱼,先捕捞100条 做上标记，然后放回塘里，当带标记的鱼完全和塘里的鱼混合 后，再捕捞100条，发现其中带标记的鱼有10条，他估计塘里大 约有1000条鱼.他是怎样估算出来的呢？
预习展示
探究频率与概率的关系
概率,
互动探究一
某水果公司以元/kg的成本价购进了10000千克柑橘，如果想获 得9000元的利润，那么售价应定为多少元？（会有10%损坏）
解：设柑橘的售价应定为x元， 10000×（1-10%）x-1.8x10000=9000 解得 x=3.
答：柑橘的售价应定为3元.
互动探究二
一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾， 养殖户通过多次捕获试验后发现：鲤鱼、 鲫鱼出现的频率是25%和35%，则这个水 塘里有鲤鱼 250 尾,鲢鱼 400 尾.
25.3.1利用频率估计概率(第一课时)
25.3.1利用频率估计概率（第一课时）作者：胡春雁来源：《杂文月刊·教育世界》2014年第10期一、教学内容解析：1、内容介绍：《利用频率估计概率》是九年级上册概率这一章的内容，这节内容将研究如何用统计概率求一些现实生活中的概率问题，让学生结合具体情境，通过小组探究试验收集数据，体会用试验的方法，以频率估计概率的应用，进一步体会频率与概率的关系。
在具体教学过程中，需要注意两个问题：一是让学生充分体验试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力；二是“当试验次数很大时，频率稳定在概率附近”并不意味着试验次数越大，频率就越靠近理论概率。
有可能出现这样的情形，增加几次试验，试验数据和理论概率的差距反而扩大了。
2、教学重点和难点重点：通过实验活动丰富对频率与概率关系的认识，知道当实验次数较大时，事件发生的频率具有稳定性，可以用频率的集中趋势估计概率。
难点：收集数据、分析折线图、辩证的理解频率与概率的关系。
二、教学目标解析：1、当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，要用频来估计概率。
2、通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，进一步发展概率观念。
3、通过经历“猜测结果——进行试验——收集数据——分析实验结果”等活动过程，建立正确的概率直觉，进一步发展学生合作交流的意识和能力。
4、在合作学习的过程中培养学生的实践意识，创新意识和辩证思维能力，体会合作学习的乐趣和力量。
三、教学问题诊断分析：本节内容主要是通过大量实验操作，观察分析、总结归纳得出概率的统计定义。
课堂教学中，如何组织好学生的分组试验，怎样调动全体学生的学习积极性，让全体学生参与到教学活动中去，是教师首先要解决的问题。
其次教学上还要注意让学生进一步理解不同的整理方法及不同图表的特点，学会从图表中提取数字特征。
四、教学过程设计：（一）创设情境引入新课：周末小明和小丽都想去看电影，但只有一张电影票，小明提议采用摸扑克牌的方法决定谁去看电影，把扑克牌的红桃A、红桃2和方块A、方块2，把红桃A、红桃2作为一组，把方块A、方块2作为另一组，两人从每组牌中各摸出一张，摸30次，看两张牌的数字之和为3的有多少次，数字之和为4的有多少次，数字之和为3的有次数多，小明去，否则小丽去。
“用频率估计概率”(第一课时)教学设计
（ ）由于学生在此之前所 接触 的求 概率 的随机事件都是等可 １
问题 ２ ：怎样用频率估计概率？
试验 １ ：掷 硬 币 试 验 ．
能事 件 ，对于一些 结果不是 等可能 的随机事 件会依然 采取列举 法 ，这种 情况产生 的原 因是 学生对用 列举法求 概率 的两个 条件
把握不够 ，对事件发生的可能性大小分析不透彻 ．
１ ．抛掷一枚硬 币，正面 向上 的概率是 ，这个概 率能否利 １
（） ２ 频率在一定 程度上可 以反 映出随机事件发生可能性的大 用刚才计算 投篮命 中率 的方法 ，即统计很 多次掷硬币 的结 果来 小 ，但频 率本身是 随机 的 ，在试验前 不能确定 ，无法从 根本上 得 到 呢 ？ 刻 画事件发 生可 能性 的大 小 ，只有 在大量 重复 试验 的条件 下 ， 【 设计意 图】 已知概 率的情况下 引入该试验 ，主要基于 以 在
其 内涵 更 为 深 刻 ．
（） １ 能够通过试验获得事件发生的频率 ，并通过大量重复试 性．知道 大量重复试 验时 ，频率 可作为事件 发生概率 的估 计值． （） ２ 结合生活 实例 ，进一 步明晰频率 与概率 的区别 与联系 ，
事件的概率有确定 的结果 ，学生易 于接受 ，而概率 的统计 定义 验 ，让学生体 会到 随机事件 中蕴含 的客观规 律——频率 的稳定
（） ３ 在经历用试验 的方法探究概率 的过程 中，培养学生 的动
所 谓频率 ，是在相 同条件下进 行重 复试验 时 ，事件发 生 的
次数与试验总 次数的 比值 ，其本 身是 随机的 ，在试 验前 不能够 手 能力 、处理 数据 的能力 ，进 一步增 强统计意 识 、发 展概率 观 确定 ，且 随着试验次数的不同而发生改变．而一个 随机事 件发生 念 ，同时培养学 生实事求 是 的态度 、勇于探索 的精神及 交流与
利用频率估计概率
两 种颜 色 的球共 ２ Ｏ只． 某学 习 小组 做摸 球 试 验 ．将 球搅 匀后 从 中
随 机 摸 出一 个 球记 下 颜 色 ， 把 它放 回袋 中 ， 断 重 复 ． 表 是 活 再 不 下 动 进行 中的一组 统 计数 据．
摸球 的 次 数 ｎ 摸 到 自球 的 次 数 ｍ ｌ０ ０ ５ ８ １０ ５ ９ ６ ２０ ０ １６ ｌ ５０ ０ ２５ ９ ８０ ０ ４４ ８ ｌ０ Ｏ０ ６１ ０
率 约 为 ５ ％． ０
ｔ 、
Ｉ
１ ０
、
・
、 、
、 — — … － ・
Ｇ ｅｔ ｏｋ ｒ ｐｒ ｒ ｅ ｏ ｂ ｒｎｔ ｕ ｂ ｅｓｖｒｎｅ ｒａｗ ｒｓ ｅ ｅ ｏｍ ｄｎｔ ｙ ｔ ｇ ｂ ｔ ｙ ｒ ｅａｃ ． ａ ｆ ｓｅ ｈ ｐ ｅ
— — — — ・ ・ — — — — … — — — — — — － － － － — — — － — － — — — ・ — — — ・ — — — — ・ — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — － — — － — — － — — － — — — … ・ － － － ・ － — － － － — － － ・ ・ － ・ － ・ — — — — — — — — — — — — — － — — — — — － － ・ － － － － － － － － －
（ ） 个 事 件 发 生 的 频 率 在 ２一 概 率 的 附 近 左 右 波 动 ， 验 次 数 试 越 多 ． 件 发 生 的 频 率 就 越 接 近 事 于该 事件发生 的概率 ． 摸到 白 故 球 的概 率 是 ０６ 摸 到 黑 球 的 概 ．，
率 是 ０４ ． ．
人教版九年级上册数学《用频率估计概率》概率初步PPT教学课件(第1课时)
新知探究 跟踪训练
一粒木质中国象棋“兵”,它的正面雕刻一个“兵”字, 它的反面是平的.将它从一定高度下掷,落地反弹后可 能是“兵”字面朝上,也可能是“兵”字面朝下.由于 棋子的两面不均匀,为了估计“兵”字面朝上的概率, 某试验小组做了棋子下掷的试验,试验数据如下表： (1) 请将数据表补充完整；
实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
(3) 这个试验说明了什么问题? 在图钉落地试验中，“钉帽着地”的频率随着试验次 数的增加，稳定在常数56.5%附近.
频率
概率
试验值或使用时的统计 值
理论值
区 别
与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关
与试验人、试验时间、 与试验人、试验时间、
试验地点有关
试验地点无关
联 系
试验次数越多，频率越趋向于概率
(2)根据上表的数据，在下图中标注出对应的点.
正面向上的频率 1 0.5
O 100 200 300 400 抛掷次数
请同学们根据试验所得的数据想一想：“正面向上” 的频率有什么规律？
可以发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上” 的频率在0.5附近摆动. 随着抛掷次数的增加,在0.5附 近摆动的幅度越来越小.
填完表后，从表中可以看出，随着柑橘质量的增加， 柑橘损坏的频率越来越稳定.柑橘总质量为500 kg时的 损坏频率为0.103，于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1 (结果保留小数点后一位).由此可知，柑橘完好的概率 为0.9.
解：根据估计的概率可以知道，在10 000kg柑橘中完好 柑橘的质量为10 000×0.9=9 000(kg)， 完好柑橘的实际成本为 (元/kg) 设每千克柑橘的销价为x元，则应有(x-2.22)×9 000=5 000， 解得 x≈2.8. 因此，出售柑橘时每千克定价大约2.8元可获利润5 000
九年级数学： 用频率估计概率教案(第一课时)
27.3 利用频率估计概率（第1课时）教学目标：1．理解当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．2．掌握用模拟实验求概率的方法及其他们的应用。
重难点、关键：重点：讲清用频率估计概率的条件及方法。
难点与关键：比较用列举法求概率与用频率估计概率的条件与方法。
疑难分析：1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P．3．利用频率估计出的概率是近似值.教学过程：一、复习引入请同学们口答下面几个问题：1.用列举法求概率的条件是什么？2.用列举法求概率的方法是什么？3.A=事件，P(A)的取值范围是什么？4.列表法、树形图法是不是列举法，他在什么时候应用？二.展示学习目标（口述）1.理解用频率估计概率的条件及方法。
2.应用用频率估计概率的方法解决一些实际问题。
三.出示自学提示，布置自学任务阅读课文第99页的内容，根据要求完成下面的实验和问题（课前完成）：1.实验：前后两排学生为一组，每组同学掷一枚硬币50次，记录硬币正面向上的频数，求出正面向上的频率。
2.根据表25-4思考：随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势有何规律？3.你认为在什么情况下采用频率估计概率的办法？4.对一个随机事件A，用频率估计的概率P(A)可能小于0吗？可能大于1吗？5.思考：抛掷硬币“正面向上”的概率为0.5，是不是抛掷10次一定会有5次正面向上？四.教师组织引导学生梳理知识1.完成实验任务。
（1）汇总，填写表格.（2）完成绘图.（3）思考：频率在那个数左右浮动？2.针对提出的问题，各小组回报学习结果。
3.归纳总结。
4.例题选讲例1 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)计算表中各次比赛进球的频率。
用频率估计概率
用频率估计概率
我们知道，抛掷一枚均匀硬币，硬币落地后， 出现“正面朝上”的可能性和“反面朝上”的可 能性是一样的，即“正面朝上”的概率和“反面 朝上”的概率都是 1 .在实际掷硬币时，会出现什
2
么情况？若只抛一次说明不了什么问题，我们不 妨多抛掷几次试试.
做一做
（1）抛掷一枚均匀硬币400次，每隔50次，分别记录 “正面朝上”和“反面朝上”的次数，汇总数据 后，完成下表：
2. 频率和概率都是随机事件可能性大小的定量的刻画， 概率是随机事件自身的固有的性质.当试验次数非常 多时，在大多数情况下，频率与概率会很接近，频 率可以作为概率的估计.
结束
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/17
由于烧制结果不是等可能的，我们常用 “合格品”的频率作为“合格品率”的估计.
某瓷砖厂对最近出炉的一大批某型号瓷砖进行 质量抽检，结果如下：
抽取瓷砖数n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000
合格品数m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924
n
则它在多次的重复观察中出现的次数就越多，因而 其频率就大，所以频率在一定程度上也反映了随机 事件的可能性的大小.
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/17
可以发现，在抛瓶盖试验中，“开口朝上”的
频率
m n
一般会随着抛掷次数的增加，稳定在某个常
数p 附近.这个常数就是“开口朝上”发生的可能性.
试验者 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊
掷硬币次数 正面朝上的次数
4040 12000 24000
2048 6019 12012
用频率估计概率的方法
解:(1)由表格可得,当n很大时,摸到白球的频率将会接近0.6. (2)P(白)= =m0.6, P(黑)=1-P(白n )=0.4.
(3)白球个数=20×0.6=12(个), 黑球个数=20×0.4=8(个).
【规律总结】 频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,它是频率的科学抽象,当试 验次数越来越多时,频率围绕概率摆动的平均幅度会越来越小,即频率靠近概率.
类型二:模拟实验估计概率 例2 王叔叔承包了鱼塘养鱼,到了收获时期,他想知道池塘里大约有多少条鱼,于 是他先捞出1 000条鱼,将它们做上标记,然后放回鱼塘,经过一段时间后,待有标 记的鱼完全混合于鱼群后,从中捕捞出150条鱼,发现有标记的鱼有3条,则 (1)池塘内约有多少条鱼? (2)如果每条鱼重0.5千克,每千克鱼的利润为1元,那么估计它所获得的利润为多 少元?
断重复,共摸球400次,其中88次摸到白球,估计盒中大约有黑球(
(A)28个
(B)30个 (C)36个 (D)42个
)A
2.盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个,为求得盒中黄色乒乓球的个数,某同学
进行了如下实验:每次摸出一个乒乓球记下它的颜色,如此重复360次,摸出白色乒乓球90
次,则黄色乒乓球的个数估计为(
解:(1)由题意得1 000÷ 3=50 000(条), 所以池塘内约有50 000条15鱼0 . (2)50 000×0.5×1=25 000(元), 所以估计所获得的利润为25 000元.
1.一个密闭不透明的盒子里有若干个黑球,在不允许将球倒出来的情况下,为估计黑球的
个数,小刚向其中放入8个白球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不
的比值,再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程5次,得到的白球数与10的比值分别
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频率与概率的异同
• 事件发生的概率是一个定值。 • 而事件发生的频率是波动的，与试验次数有关。 • 当试验次数不大时，事件发生的频率与概率的偏差甚 至会很大。 • 只有通过大量试验，当试验频率趋于稳定，才能用事 件发生的频率来估计概率。
小英和小红在学习概率时，做掷骰子（均匀的正方体） 试验，他们共做了60次试验，试验结果如下：
试验1：历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示
抛掷次数（n)
2048
4040
12000
30000
24000
正面朝上数(m)
频率(m/n)
1061
0.518
2048
0.506
6019
0.501
14984
0.4996
12012
0.5005
频率m/n
1
0.5
抛掷次数n
2048 4040 12000 24000 30000 72088
实验结论:
当抛硬币的次数很多时,出现上面的频率值是稳定的,接近于常数 0.5,在它附近摆动.
材料2：
则估计油菜籽发芽的概率为＿＿＿ 0.9
结 论
当试验次数很大时,一个事件发生 频率也稳定在相应的概率附近.因 此,我们可以通过多次试验,用一个 事件发生的频率来估计这一事件发 生的概率.
巩固练习
当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事件发生的频率与相 应的概率会非常接近.此时,我们可以用一件事件发生的频率来估计这一事 件发生的概率.
了解了一种方法-------用多次试验频率去估计概率 体会了一种思想： 用样本去估计总体 用频率去估计概率
解:由表可知,雪梨损坏的频率越来越稳定,在0.1左 右摆动,可以估计柑橘损坏的概率为0.1,则柑橘完 好的概率为0.9.
某射击运动员在同一条件下练习射击,结果如下表所示
射击次数n 击中靶心次数m
10 20 50 8 19 44
100 92
0.92
200 178
0.89
500 452
0.904
击中靶心频率m/n
0.8 0.95 0.88
(1)计算表中击中靶心的各个频率并填入表中.
(2)这个运动员射击一次,击中靶心的概率多少
附近波动，据此可以估计黑球的个数约是 2100 _______个．
知识应用
如图,长方形内有一不规则区域,现在玩投掷游戏, 如果随机掷中长方形的300次中，有100次是落在不规则 图形内. (1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？ (2)若该长方形的面积为150,试估计不规则图形的面 积.
弄清了一种关系------频率与概率的关系
2、在“抛掷正六面体”的试验中，如果正六面体的 六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、 “5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1” 的频率的变化 接近 趋势是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
1 6
3、小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两 种颜色的塑料球3000个，为了估计两种颜色的球 各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机 摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次 重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.7
朝上的点数 出现的次数 1 7 2 9 3 6 4 8 5 20 6 10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率； (2)小英说：“这次试验中出现5点朝上的概率最大” 小红说：“如果掷600次，6点朝上的次数正好是100 次”小英和小红的说法正确吗？为什么？
注意：不要把试验的频率与概率混淆
∴20000×0.9=18000(kg)
设:每千克柑橘的定价为x元 18000· x-1.5×20000=10000
∴x≈2.2
答:每千克柑橘的定价约为2.2元可获利润5000元
1.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾，一渔民通过多次捕获实验后发现 ：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%， 310 则这个水塘里有鲤鱼_______ 尾,鲢鱼 ______ 270 尾.
点击中考
1.一个不透明的布袋中，装有红、黄、白三种只有 颜色不同的小球，其中红色小球有8个，黄、白色小 球的数目不详.为估计袋中小球的数目，每次将袋中 小球搅匀后摸出一个小球记下颜色，再次搅匀„„ 1 多次试验发现摸到红球的频率是 ，则估计袋中小 6 球的数目是（ D ） A．2 个 B．20个 C．40个 D．48个
§2数: 在实验中,每个对象出现的次数称为频数. 频率: 所考察对象出现的次数与实验的总次数的比叫做
频率
频率=
概率:
频数 总数
事件发生的可能性,也称为事件发生的概率.
m P A n
A可能发生的情况 可能发生的总情况
情境导入：
2种 做抛硬币的实验：当抛一枚硬币时会出现几种结果？_______ 其中正面朝上的概率是多少？0.5 _____无论抛多少次，正面朝上 不变 的概率会不会改变？______ 若抛10次，其中4次正面朝上，则正面朝上的频率是多 0.4 如果有5次正面向上呢？______ 0.5 频率是否会 少？______ 改变？ 会改变 这就是说同次试验的频率和概率是否相同？ 有时相同，有时不相同 _____________________