(完整版)二元一次方程组知识点归纳
二元一次方程组知识点归纳
二元一次方程组知识点归纳二元一次方程组是指含有两个未知数，且未知数项的次数都是1的方程。
将具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
注意，二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。
解二元一次方程组的一般思路是将未知数个数由多化少，逐一解决。
消元法是解二元一次方程组的基本方法。
代入消元法是其中一种方法，即将二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
基本思路是未知数又多变少。
代入法解二元一次方程组的一般步骤是先从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入到另一个方程中，消去未知数，得到一个关于另一个未知数的一元一次方程，解出这个一元一次方程，求出未知数的值，再回代，最后联立起来即可。
加减消元法是另一种消元法，即将两个方程相加或相减，使其中一个未知数的系数相消，从而实现消元。
解二元一次方程组的关键是找到未知数的值，有一组解、无数组解和无解是常见的情况。
例如，对于方程组x+y=5和6x+13y=89，可以用代入法求解，得到x=-24/7，y=59/7，这是方程组的一组解。
而对于方程组x+y=4和2x+2y=10，可以发现方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾，因此此类方程组无解。
1.列方程（组）解应用题的关键是______________。
答：列方程2.下列方程中是二元一次方程的是______________。
答：3x－2y=4z3.二元一次方程5a－11b=21的解个数是______________。
答：有且只有一解4.方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（____，____）。
答：(3.2)5.若│x－2│+（3y+2）2=0，则y的值是______________。
答：-26.方程组4x3y k，2x3y5的解与x与y的值相等，则k等于______________。
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧.docx
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一、基本定义：二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是 1 的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
二、解的情况：二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组 x+y=5 ①6x+13y=89 ②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组 x+y=6①2x+2y=12 ②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组 x+y=4 ①2x+2y=10 ②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
三、二元一次方程的解法：1、一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：1、代入消元法2、加减消元法3、教科书中没有的几种解法(一 )加减 -代入混合使用的方法.例： 13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)把(3) 代入 (1) 得 13(y-1)+14y=41y=2把 y=2 代入 (3) 得 x=1所以 :x=1,y=2特点 :两方程相加减,单个 x 或单个 y,这样就适用接下来的代入消元.(二 )换元法例 3： x:y=1:45x+6y=29令 x=t,y=4t则方程2可写为：5t+6× 4t=2929t=29t=1所以 x=1,y=4四、列方程（组）解应用题（一）、其具体步骤是：⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
七年级数学下册第八章二元一次方程组全部重要知识点(带答案)
七年级数学下册第八章二元一次方程组全部重要知识点单选题1、一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，则这样的两位数共有（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个答案：D分析：设原来的两位数为10a +b ，则新两位数为10b +a ，根据新两位数比原两位数大9，列出方程，找出符合题意的解即可．解：设原来的两位数为10a +b ，根据题意得：10a +b +9＝10b +a ，解得：b ＝a +1，因为可取1到8个数，所以这两位数共有8个，它们分别，12，23，34，45，56，67，78，89，都是个位数字比十位数字大1的两位数．故选：D ．小提示：本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找合适的等量关系，列出方程，再求解，弄清两位数的表示是：10×十位上的数＋个位上的数，注意不要漏数．2、古代《折绳测井》“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？”译文大致是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等分，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等分，井外余绳1尺，问绳子、井深各是多少尺？”如果设绳子x 尺，井深y 尺，根据题意列方程组正确的是（ ）A ．{13x =y +414x =y +1B ．{13x =y −414x =y −1C ．{13x =y −414x =y +1D ．{13x =y +414x =y −1 答案：A分析：用代数式表示井深即可得方程．本题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．解：设绳长x 尺，井深y 尺，根据题意可列方程组为{x 3=y +4x 4=y +1 ，故选：A ．小提示：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．3、若方程组{2x +y =5ax −by =4与{ax +by =8x −y =1 有相同的解，则a ，b 的值为（ ） A ．a =2，b =−3B ．a =3，b =2C ．a =2，b =3D ．a =3，b =−2答案：B分析：两个方程组有相同的解，即有一对x 和y 的值同时满足四个方程，所以可以先求出第一个方程组的解，再把求得的解代入第二个方程组中，得到一个新的关于a 、b 的方程，并解得，求出a 、b ．解：先解{2x +y =5x −y =1， 得{x =2y =1， 把{x =2y =1 代入方程组{ax −by =4ax +by =8， 得{2a −b =42a +b =8， 解得{a =3b =2， 故选：B ．小提示：本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是先根据已知方程组求出未知数的值，再把未知数的值代入另一个方程组中得到新的方程组．4、一套数学题集共有100道题，甲、乙和丙三人分别作答，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的60道．如果将其中只有1人解对的题称作难题，2人解对的题称作中档题，3人都解对的题称作容易题，那么下列判断一定正确的是（ ）A ．容易题和中档题共60道B ．难题比容易题多20道C ．难题比中档题多10道D ．中档题比容易题多15道答案：B分析：设容易题有a 题，中档题有b 题，难题有c 题，根据“三种题型共100道，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的60道”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，用方程①×2-方程②，可求出c-a=20，即难题比容易题多20题，此题得解．解：设容易题有a题，中档题有b题，难题有c题，依题意，得：{a+b+c=100①3a+2b+c=3×60②①×2-②，得：c-a=20，∴难题比容易题多20题．故选：B．小提示：本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．5、如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．图①、图②所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，可在它的右盘中放置( )A．3个球B．4个球C．5个球D．6个球答案：C分析：题目中的方程实际是说明了两个相等关系:设球的质量是x,小正方形的质量是y,小正三角形的质量是z.根据第一个天平得到:5x+2y=x+3z;根据第二个天平得到:3x+3y=2y+2z,把这两个式子组成方程组,解这个关于y,z 的方程组即可.解:设球的质量是x,小正方形的质量是y,小正三角形的质量是z.根据题意得到:{5x+2y=x+3z;3x+3y=2y+2z解得:{y=xz=2x;第三图中左边是:x+2y+z=x+2x+2x=5x,因而需在它的右盘中放置5个球. 答:需在它的右盘中放置5个球.所以C选项是正确的.小提示：解决本题的关键是借助方程关系进行等量代换,进而求出球的数量.6、若实数满足（x+y+2）（x+y ﹣1）=0，则x+y 的值为（ ）A ．1B ．﹣2C ．2或﹣1D ．﹣2或1答案：D解：因为（x +y +2）（x +y ﹣1）=0，所以（x +y +2）=0，或（x +y ﹣1）=0．即x +y =﹣2或x +y =1．故选D ．7、某体育比赛的门票分A 票和B 票两种，A 票每张x 元，B 票每张y 元．已知10张A 票的总价与19张B 票的总价相差320元，则（ ）A ．|10x 19y |=320B ．|10y 19x |=320C ．|10x −19y |=320D ．|19x −10y |=320答案：C分析：根据题中数量关系列出方程即可解题；解：由10张A 票的总价与19张B 票的总价相差320元可知，10x −19y =320或19y −10x =320，∴|10x −19y |=320，故选：C ．小提示：本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键在于能根据实际情况对题目全面分析．8、小明解得方程组{3x +y =●3x −y =10解为{x =2y =★ ，由于不小心上了两滴墨水刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（ ）A ．10和4B ．2和－4C ．－2和4D ．－2和－4答案：B分析：把{x =2y =★，代入3x −y =10，得y =−4，把y =−4，x =2代入3x +y =●，得●=2． 解：把{x =2y =★，代入3x −y =10，得 6−★=10，∴★=−4，即y =−4，把y =−4，x =2代入3x +y =●，得6+(−4)=●，∴●=2，故选：B ．小提示：本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握将解代入原方程组求出有关的数值是解题关键．9、已知方程组{a −2b =63a −b =m中，a ，b 互为相反数，则m 的值是（ ） A ．4B ．−4C ．0D ．8答案：D分析：根据a 与b 互为相反数得到a +b =0，即b =−a ，代入方程组即可求出m 的值．解：因为a ，b 互为相反数，所以a +b =0，即b =−a ，代入方程组得：{3a =64a =m， 解得：{a =2m =8， 故选：D ．小提示：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，也考查了代入消元法解二元一次方程组以及相反数的意义．10、古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思就是说，有一群乌鸦要到树林休息，如果每棵树上落坐有三只乌鸦，则有五个落在地上；如果每棵树上落坐有五只乌鸦，则有一棵树没有乌鸦落坐，请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x 只，树有y 棵，由题意可列方程组（ ）A ．{3y =x −55y −1=xB ．{3y +5=x 5(y −1)=xC ．{3y =x +55y +1=xD ．{3y −5=x 5(y +1)=x答案：B分析：设诗句中谈到的鸦为x 只，树为y 棵，利用“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”分别得出方程3y +5=x ，5(y −1)=x 进而求出即可．解：设乌鸦有x 只，树有y 棵，由题意可列方程组，{3y +5=x 5(y −1)=x， 故选B ．小提示：本题考查了列二元一次方程组，根据题意找到等量关系是解题的关键．填空题11、若关于x ，y 的二元一次方程组{3x +2y =22x +y =m −18的解x 、y 互为相反数，则点P(m ，y)在第_______象限． 答案：四分析：根据x 、y 互为相反数得：x +y =0，与方程组的第一个方程组成新的方程组，解出可得x 、y 的值，代入第二个方程可得m 的值．即得出P 点坐标，最后根据坐标系内点的坐标特征即可得出答案．解：由已知得：x +y ＝0，则{x +y =03x +2y =2， 解得：{x =2y =−2， 将{x =2y =−2代入2x +y =m −18，得：2×2−2=m −18， ∴m ＝20．∴P (20，-2)，∴点P 在第四象限．所以答案是：四．小提示：本题考查了二元一次方程组的解、互为相反数的性质以及坐标系内点的坐标特征．根据题意建立新的方程组是解决问题的关键．12、已知关于x 、y 的二元一次方程组{ax +by =7bx +ay =9的解为{x =2y =3 ，那么关于m 、n 的二元一次方程组{a(m +n)+b(m −n)=7b(m +n)+a(m −n)=9的解为 _____． 答案：{m =52n =−12 分析：首先利用整体代值的数学思想可以得到m +n 与m ﹣n 的值，然后解关于m 、n 的方程组即可求解．解：∵关于x 、y 的二元一次方程组{ax +by =7bx +ay =9的解为{x =2y =3 ， ∴关于m 、n 的二元一次方程组{a(m +n)+b(m −n)=7b(m +n)+a(m −n)=9 中{m +n =2m −n =3， ∴解这个关于m 、n 的方程组得：{m =52n =−12 ． 故答案为{m =52n =−12 ． 小提示：本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想，对于学生的能力要求比较高．13、我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，则6个大桶加6个小桶可以盛酒_________斛． 答案：5分析：设每个大桶可以盛酒x 斛，每个小桶可以盛酒y 斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，将方程①+②相加，即可得出结论．解：设1个大桶可以盛酒x 斛，1个小桶可以盛酒y 斛，则{5x +y =3①x +5y =2②， 由①+②可得6x +6y =5，∴则6个大桶加6个小桶可以盛酒5斛，所以答案是：5．小提示：本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．14、甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”则甲、乙现在的年龄分别是______．答案：42岁，23岁分析：设甲现在x 岁，乙现在y 岁，根据甲、乙年龄之间的关系，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设甲现在x 岁，乙现在y 岁，依题意，得：{y −(x −y )=4x +(x −y )=61， 解得：{x =42y =23． 答：甲现在42岁，乙现在23岁．所以答案是：42岁，23岁．小提示：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．15、有这样一个故事：一只驴子和一只骡子驮着不同袋数的货物一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”，那么驴子原来所驮货物有_____袋．答案：5分析：要求驴子原来所托货物的袋数，就要先设出未知数，再通过理解题意可知本题的等量关系，即驴子减去一袋时的两倍减1（即骡子原来驮的袋数）再减1（我给你一袋，我们才恰好驮的一样多）＝驴子原来所托货物的袋数加上1，根据这个等量关系列方程求解．解：设驴子原来驮x 袋，根据题意，得：2（x ﹣1）﹣1﹣1＝x +1解得：x ＝5．故驴子原来所托货物的袋数是5．故答案为5．小提示：解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．解答题16、数学乐园：解二元一次方程组{a1x+b1y=c1①a2x+b2y=c2②，①×b2−②×b1得：(a1b2−a2b1)x=c1b2−c2b1，当a1b2−a2b1≠0时，x=c1b2−c2b1a1b2−a2b1，同理：y=a1c2−a2c1a1b2−a2b1；符号|a bc d|称之为二阶行列式，规定：|a bc d|=ad−bc，设D=|a1b1a2b2|，D x=|c1b1c2b2|，D y=|a1c1a2c2|，那么方程组的解就是{x=D xDy=D yD(1)求二阶行列式|3456|的值；(2)解不等式：|x x−22−4|≥−2；(3)用二阶行列式解方程组{3x−2y=62x+3y=17；(4)若关于x、y的二元一次方程组{3x−my=62x+3y=17无解，求m的值．答案：(1)|3456|的值是−2(2)不等式的解集为x≤1(3){x=4y=3 (4)m=−4.5分析：（1）根据|a bc d|=ad−bc，即可求出|3456|；（2）根据|a bc d|=ad−bc，得|x x−22−4|≥−2=x×(−4)−2(x−2)≥−2，解出x，即可；（3）根据D=|a1b1a2b2|，D x=|c1b1c2b2|，D y=|a1c1a2c2|，那么方程组的解就是{x=D xDy=D yD，即可求出{3x−2y=62x+3y=17的解；（4）根据{3x−my=62x+3y=17无解，得D=0，即可求出m的值．（1）∵|a bc d|=ad−bc∴|3456|=3×6−4×5=−2∴|3456|的值是−2．（2）∵|a bc d|=ad−bc∴|x x−22−4|=−4x−2(x−2)∴|x x−22−4|≥−2=−4x−2(x−2)≥−2∴−4x−2x+4≥−2∴−6x≥−6∴x≤1∴|x x−22−4|≥−2的解集为x≤1．（3）∵方程组{a1x+b1y=c1①a2x+b2y=c2②∴方程组{3x−2y=62x+3y=17中，a1=3，a2=2，b1=−2，b2=3，c1=6，c2=17∴D=|a1b1a2b2|=|3−223|=9−(−4)=13D x=|c1b1c2b2|=|6−2173|=18+34=52D y=|a1c1a2c2|=|36217|=3×17−12=39x=D xD =5213=4，y=D yD=3913=3∴方程组的解为：{x=4y=3．（4）∵{a1x+b1y=c1①a2x+b2y=c2②∴方程组{3x−my=62x+3y=17中，a1=3，a2=2，b1=−m，b2=3，c1=6，c2=17∴D=|a1b1a2b2|=|3−m23|=9−2(−m)=9+2m∵{3x −my =62x +3y =17无解 ∴D =0∴9+2m =0解得m =−92． 小提示：本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题意新定义算法，根据二阶行列式计算．17、已知关于x 、y 的方程组{mx −12ny =12mx +ny =5的解为{x =2y =3 ，求m 、n 的值． 答案：m =1，n =1．分析：把x 与y 的值代入方程组得出关于m 、n 的二元一次方程组，求得方程组的解即可．∵关于x 、y 的方程组{mx −12ny =12mx +ny =5的解为{x =2y =3 ， ∴{2m −32n =122m +3n =5， 解得：{m =1n =1． 即m =1，n =1．18、小华从家里出发到学校去上学，前15路段小华步行，其余路段小华骑自行车． 已知小华步行的平均速度为60m/min ，骑自行车的平均速度为200m/min ，小华从家里到学校一共用了22min ．(1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m ？ 前15路段小华步行所用时间是多少min ？ 请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答．(2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组．答案：(1)3000m ，10min(2)见解析分析：（1）设小华家里离学校有x m ，前15路段小华步行所用时间是y min ．根据“用两种方式表示出前15路段的路程“、“小华从家里到学校一共用了22min”列出方程组并解答即可；（2）小华从家里到学校去上学步行了多少m ？小华骑自行所用时间是多少min ？利用速度、时间以及路程的关系列出方程组．（1）解：设小华家里离学校有x m ，前15路段小华步行所用时间是y min ． 根据题意得，{15x =60y y +x−60y 200=22 解得{x =3000y =10答：小华家里离学校有3000m ，前15路段小华步行所用时间是10min ． （2）小华从家里到学校去上学步行了多少m ？小华骑自行所用时间是多少min ？设小华从家里到学校去上学步行了s m ，小华骑自行所用时间是多少t min ，根据题意得，{4s =200t s 60+t =22小提示：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．。
二元一次方程组知识点总结及难点提升
1 二元一次方程组1、二元一次方程：方程中含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1．2、二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．3、二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解．4、二元一次方程组的解法：解二元一次方程的基本思想是“消元”。
（1）代入消元法（简称“代入法” ）：代入法的主要步骤：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法（简称“加减法” ）：加减法的主要步骤：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，让二元一次方程组为一元一次方程求解．知识点一：二元一次方程（组）有关概念；二元一次方程(组)的识别；方程(组)的解1、判断下列方程（或方程组）是否为二元一次方程(或二元一次方程组)。
（1）2x-y ＝3； （2） ； （3）；（4）； （5）；2、下列方程是二元一次方程的是（ ）A 、x ＋2B 、x ²＋2y ＝2C 、41=+y xD 、23=+y x3、二元一次方程5a －11b=21 （ ）A ．有且只有一解B ．有无数解C ．无解D ．有且只有两解4、在下列三对数中：①⎩⎨⎧==22y x ；②⎩⎨⎧-=-=91y x ；③⎩⎨⎧-==13y x ， 是方程3x ＋y ＝8的解， 是2 方程2x －y ＝7的解，方程组⎩⎨⎧=-=+7283y x y x 的解是 。
（填序号） 5、由2x －3y －4＝0，可以得到用x 表示y 的式子为 ．6、方程9x －13y ＝12，用含x 的代数式表示y ，则 ；用含y 的代数式表示x ，则 。
7、已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程2x －ay ＝3的一个解，那么a 的值是 。
8、已知⎩⎨⎧=-=32y x 是方程3x －3y ＝m 和5x ＋y ＝n 的公共解，则m ²－3n ＝ 。
七年级数学下册第八章二元一次方程组知识点梳理(带答案)
七年级数学下册第八章二元一次方程组知识点梳理单选题1、已知{x =2y =−1 是关于x ，y 的二元一次方程组{ax +by =−52bx −ay =2的解，则a ＋b 的值为（ ） A ．﹣5B ．﹣1C ．3D ．7答案：B分析：将{x =2y =−1代入方程组，然后利用加减消元法解方程组，从而求解． 解：∵{x =2y =−1 是关于x ，y 的二元一次方程组{ax +by =−52bx −ay =2的解 ∴{2a −b =−54b +a =2，解得：{a =−2b =1 ∴a ＋b =-1故选：B ．小提示：本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解方程组的步骤和计算法则，正确计算是解题关键．2、已知二元一次方程y =kx +1的一个解是{x =1y =2，则k 的值为（ ） A ．−1B ．2C ．1D ．0答案：C分析：使二元一次方程的两边相等的未知数的值是二元一次方程的解，把方程的解代入原方程可得答案.解：∵ 二元一次方程y =kx +1的一个解是{x =1y =2， ∴k +1=2,∴k =1.故选：C.小提示：本题考查的是二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的含义是解题的关键.3、《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长x 尺、绳长y 尺，则可以列方程组是（ ）A ．{x −y =4.5x −12y =1B ．{x −y =4.512y −x =1C ．{y −x =1x −12y =1D ．{y −x =4.512y −x =1 答案：D分析：设长木长x 尺、绳长y 尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木还剩余1尺，”列出方程组，即可求解．解：设长木长x 尺、绳长y 尺，根据题意得：{y −x =4.512y −x =1 ．故选：D小提示：本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．4、2x 3y m+1与3x n y 2是同类项，则m 与n 的值为（ ）A ．{m =1n =3B ．{m =3n =1C ．{m =2n =3D ．{m =3n =2答案：A分析：根据同类项定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，列方程组求解即可．解：2x 3y m+1与3x n y 2是同类项，则{3=n m +1=2， 解得：{m =1n =3． 故选A ．小提示：本题考查同类项，二元一次方程组，掌握所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项是解题关键．5、已知方程组{x +2y =k 2x +y =4的解满足x +y =2，则k 的值为（ ） A ．−2B ．−4C ．2D ．4答案：C分析：将方程组中两方程相加可得3(x +y )=k +4，根据x +y =2可得关于k 的方程，解之可得．{x +2y =k①2x +y =4②①+②得：3(x +y )=k +4∵x +y =2∴k +4=6解得：k =2故选：C ．小提示：本题考查二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．6、《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌，如果设甲有羊x 只，乙有羊y 只，那么可列方程组（ ）A ．{x +9=2(y −9)y +9=xB ．{x +9=2(y −9)y +9=x −9C ．{x +9=2y y +9=x −9D ．{x +9=2y y +9=x 答案：B分析：根据甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样，可以列出相应的方程组，本题得以解决．解：由题意可得{x +9=2(y −9)y +9＝x −9． 故选：B ．小提示：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．7、古代《折绳测井》“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？”译文大致是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等分，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等分，井外余绳1尺，问绳子、井深各是多少尺？”如果设绳子x 尺，井深y 尺，根据题意列方程组正确的是（ ）A ．{13x =y +414x =y +1B ．{13x =y −414x =y −1C ．{13x =y −414x =y +1D ．{13x =y +414x =y −1 答案：A分析：用代数式表示井深即可得方程．本题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．解：设绳长x 尺，井深y 尺，根据题意可列方程组为{x 3=y +4x 4=y +1 ，故选：A ．小提示：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．8、若方程组{2x +y =5ax −by =4与{ax +by =8x −y =1 有相同的解，则a ，b 的值为（ ） A ．a =2，b =−3B ．a =3，b =2C ．a =2，b =3D ．a =3，b =−2答案：B分析：两个方程组有相同的解，即有一对x 和y 的值同时满足四个方程，所以可以先求出第一个方程组的解，再把求得的解代入第二个方程组中，得到一个新的关于a 、b 的方程，并解得，求出a 、b ．解：先解{2x +y =5x −y =1， 得{x =2y =1， 把{x =2y =1 代入方程组{ax −by =4ax +by =8， 得{2a −b =42a +b =8， 解得{a =3b =2， 故选：B ．小提示：本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是先根据已知方程组求出未知数的值，再把未知数的值代入另一个方程组中得到新的方程组．9、一套数学题集共有100道题，甲、乙和丙三人分别作答，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的60道．如果将其中只有1人解对的题称作难题，2人解对的题称作中档题，3人都解对的题称作容易题，那么下列判断一定正确的是（ ）A ．容易题和中档题共60道B ．难题比容易题多20道C．难题比中档题多10道D．中档题比容易题多15道答案：B分析：设容易题有a题，中档题有b题，难题有c题，根据“三种题型共100道，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的60道”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，用方程①×2-方程②，可求出c-a=20，即难题比容易题多20题，此题得解．解：设容易题有a题，中档题有b题，难题有c题，依题意，得：{a+b+c=100①3a+2b+c=3×60②①×2-②，得：c-a=20，∴难题比容易题多20题．故选：B．小提示：本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．10、如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．图①、图②所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，可在它的右盘中放置( )A．3个球B．4个球C．5个球D．6个球答案：C分析：题目中的方程实际是说明了两个相等关系:设球的质量是x,小正方形的质量是y,小正三角形的质量是z.根据第一个天平得到:5x+2y=x+3z;根据第二个天平得到:3x+3y=2y+2z,把这两个式子组成方程组,解这个关于y,z 的方程组即可.解:设球的质量是x,小正方形的质量是y,小正三角形的质量是z.根据题意得到:{5x+2y=x+3z;3x+3y=2y+2z解得:{y=xz=2x;第三图中左边是:x+2y+z=x+2x+2x=5x,因而需在它的右盘中放置5个球.答:需在它的右盘中放置5个球.所以C选项是正确的.小提示：解决本题的关键是借助方程关系进行等量代换,进而求出球的数量.填空题11、某中学为积极开展校园足球运动，计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球价格为120元，一个B品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，请写出一种购买方案：买_______个A品牌足球，买________个B品牌足球．答案： 10 12分析：设买x个A品牌足球，买y个B品牌足球，根据题意列出二元一次方程，根据整数解确定x,y的值即可求解．解：设买x个A品牌足球，买y个B品牌足球，根据题意得，120x+150y=3000，整理得：y=20−45x，∵x，y是正整数，∴x是5的倍数，∴{x=5y=16,{x=10y=12,{x=15y=8,{x=20y=4．所以答案是：10,12（答案不唯一）．小提示：本题考查了二元一次方程的应用，整除，根据题意列出方程是解题的关键．12、《张丘建算经》里有一道题：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何.”译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？请你结合你学过的知识，写出一组能够按要求购买的方案：公鸡买______只，母鸡买_______只，小鸡买_______只.答案：4（答案不唯一）18（答案不唯一）78（答案不唯一）分析：设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了（100−x−y）只小鸡，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x ，y ，（100−x −y ）均为自然数，即可求出结论．解：设买了x 只公鸡，y 只母鸡，则买了（100−x −y ）只小鸡，依题意得：5x ＋3y ＋13（100−x −y ）＝100，即y ＝25−74x ， 又∵x ，y ，（100−x −y ）均为自然数，∴{x ＝0y ＝25100−x −y ＝75 或{x ＝4y ＝18100−x −y ＝78 或{x ＝8y ＝11100−x −y ＝81 或{x ＝12y ＝4100−x −y ＝84， ∴买的公鸡、母鸡、小鸡各0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84只，所以答案是：0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84．小提示：本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．13、若关于x ，y 的二元一次方程组{3x +2y =22x +y =m −18的解x 、y 互为相反数，则点P(m ，y)在第_______象限． 答案：四分析：根据x 、y 互为相反数得：x +y =0，与方程组的第一个方程组成新的方程组，解出可得x 、y 的值，代入第二个方程可得m 的值．即得出P 点坐标，最后根据坐标系内点的坐标特征即可得出答案．解：由已知得：x +y ＝0，则{x +y =03x +2y =2， 解得：{x =2y =−2， 将{x =2y =−2代入2x +y =m −18，得：2×2−2=m −18， ∴m ＝20．∴P (20，-2)，∴点P 在第四象限．所以答案是：四．小提示：本题考查了二元一次方程组的解、互为相反数的性质以及坐标系内点的坐标特征．根据题意建立新的方程组是解决问题的关键．14、已知关于x 、y 的二元一次方程组{ax +by =7bx +ay =9的解为{x =2y =3 ，那么关于m 、n 的二元一次方程组{a(m +n)+b(m −n)=7b(m +n)+a(m −n)=9的解为 _____． 答案：{m =52n =−12分析：首先利用整体代值的数学思想可以得到m +n 与m ﹣n 的值，然后解关于m 、n 的方程组即可求解．解：∵关于x 、y 的二元一次方程组{ax +by =7bx +ay =9的解为{x =2y =3 ， ∴关于m 、n 的二元一次方程组{a(m +n)+b(m −n)=7b(m +n)+a(m −n)=9 中{m +n =2m −n =3， ∴解这个关于m 、n 的方程组得：{m =52n =−12 ． 故答案为{m =52n =−12 ． 小提示：本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想，对于学生的能力要求比较高．15、我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，则6个大桶加6个小桶可以盛酒_________斛． 答案：5分析：设每个大桶可以盛酒x 斛，每个小桶可以盛酒y 斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，将方程①+②相加，即可得出结论．解：设1个大桶可以盛酒x 斛，1个小桶可以盛酒y 斛，则{5x +y =3①x +5y =2②， 由①+②可得6x +6y =5，∴则6个大桶加6个小桶可以盛酒5斛，所以答案是：5．小提示：本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．解答题16、重庆某超市有A ，B 两种产品进行销售，购买50件A 产品，30件B 产品，一共花费1450元，如果购买60件A 产品，10件B 产品，则一共花费1350元．(1)请问A 、B 两种产品的单价为多少元？(2)五一即将来临，超市分别针对A 、B 商品进行打折销售．购买A 种商品数量超过20的每件商品打八折销售；购买B 种品数超过30的每件商品打六折销售．小红去超市购买A ，B 两种产品54件，一共花费了640元，请问小红分别购买A 、B 两种产品多少件？答案：(1)A 种产品的单价为20元、B 种产品的单价为15元(2)小红购买A 种产品为22件、B 种产品的32件或小红购买A 种产品为14件、B 种产品的40件分析：（1）设A 种产品的单价为x 元、B 种产品的单价为y 元，由题意列出方程组，解方程组即可；（2）设购买A 种产品为m 件、B 种产品的n 件，由题意列出方程组，解方程组解可．（1）解：设A 种产品的单价为x 元、B 种产品的单价为y 元，由题意得：{50x +30y =145060x +10y =1350， 解得{x =20y =15． 答：A 种产品的单价为20元、B 种产品的单价为15元．（2）解：设购买A 种产品为m 件、B 种产品的n 件，①购买A 种商品数量超过20件，购买B 种品数超过30件，由题意得：{m +n =5420×0.8m +15×0.6n =640， 解得：{m =22n =32； ②购买A 种商品数量超过20件，购买B 种品数不超过30件，由题意得：{m +n =5420×0.8m +15n =640，解得：{m =−170n =224， 不合题意舍去，③购买A 种商品数量不超过20件，购买B 种品数超过30件，由题意得：{m +n =5420m +15×0.6n =640， 解得：{m =14n =40， 答：小红购买A 种产品为22件、B 种产品的32件或小红购买A 种产品为14件、B 种产品的40件．小提示：此题考查了二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．17、解方程组：{x +y =102x +y =16答案：{x =6y =4分析：利用加减消元法进行求解即可得．解：{x +y =10①2x +y =16②， ②﹣①得：x =6，把x =6代入①得：y =4，则方程组的解为{x =6y =4． 小提示：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18、随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？答案：（1）打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．分析：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意得：{6x+3y＝60050×0.8x+40×0.75y＝5200，解得：{x＝40y＝120．答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．（2）80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．小提示：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．。
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一，基本定义：二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
二，解的状况：二元一次方程组的解有三种状况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24∕7y=59∕7为方程组的解2.有多数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程事实上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有多数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相冲突，所以此类方程组无解。
三，二元一次方程的解法：1,一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：1,代入消元法2,加减消元法3,教科书中没有的几种解法（一）加减•■代入混合运用的方法.例：i3x+14y=41（1）^14x+13y=40（2）解:（2）-⑴得x-y=-1x=y-1（3）把（3）代入⑴得13（y-1）+14y=41y=2把y=2代入⑶得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个X或单个y,这样就适用接下来的代入消元.（二）换元法例3：rx:y=1:4>5x+6y=29令X=1y=41 则方程2可写为：5t+6×4（=2929t=29t=1所以x=1,y=4四，列方程（组）解应用题（一）,其详细步骤是：⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
八年级数学知识点：二元一次方程组
八年级数学知识点：二元一次方程组
八年级数学知识点：二元一次方程组
兴趣可以使人集中注意，如果要让学生感兴趣，教师就要饱含情感。
查字典数学网编辑了八年级数学知识点：二元一次方程组，欢迎阅读!
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
4二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
(1)代入(消元)法(2)加减(消元)法
6、一次函数与二元一次方程(组)的关系：
(1)一次函数与二元一次方程的关系：
直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx- y+b=0的解。
完整版二元一次方程组知识点整理
1知识点1:二元一次方程（组）的定义1、二元一次方程的概念注意：1、（1）方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数⑵含有未知数的项的次数都是1.（3）二元一次方程的左右两边都必须是等式.（三个条件完全满足的就是二元一次方程）2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为 m=1, n=1已知（a - 2） X — by|a| 1= 5是关于X 、y 的二元一次方程，则下列方程为二元一次方程的有【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是（2、二元一次方程组的概念由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组 注意：①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为例：下列方程组中，是二元一次方程组的是其中属于二元一次方程组的个数为（B. 2第五章二元一次方程组 知识点整理卄 3m1、右X-3n 3m5y7是关于X 、 y 二兀一次方程，则m =知识点2: 元一次方程组的解定义含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程即若axm+by n=c 是二元一次方程，则 a 丰0, b 丰0且①2x 5 y ，② x 4 1,③ xy 2，④2x y 3，⑤ x2，⑥1xy 2x y 2，⑦一 y 7x⑧3x2y ，⑨ a b c 12A . 3x-y =02 1B . — + — =1x yC . x 5 —-—y=63 24xy=31。
③方程组中每个方程均为整式方程。
A 、x y 42x 3y 72a 3b B. 5b 4c11 C. D.【巩固练习】1，已知下列方程组:(1)3y 22x3x2,(3)C .般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。
2的解是（4xC .y3mx 2y 1的解，则m 2- n 2的值为4x n y 7 211都是关于X 、y 的方程ax + by = 6的解，则 3知识点3 :二元一次方程组的解法类型题1 根据定义判断 【巩固练习】 y m 1满足方程2x0,则2、下面几个数组中，哪个是方程 7x+2y=19 的一个解（）。
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2、二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
5、消元法解二元一次方程组：(1) 基本思路：未知数又多变少。
(2) 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
6.解法：通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution)，简称代入法。
例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y ③把③带入②，得6(5-y)+13y=89y=59/7把y=59/7带入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解加减消元法：例：解方程组x+y=9①x-y=5②解：①+② 2x=14即 x=7把x=7带入①得7+y=9解得y=-2∴x=7y=-2 为方程组的解7. 二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6① 2x+2y=12② 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
二元一次方程的知识点总结
二元一次方程的知识点总结一、二元一次方程的定义1. 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
-例如：\(x + y=5\)，\(2x - 3y = 8\)等都是二元一次方程。
这里\(x\)和\(y\)是两个未知数，且方程中含\(x\)、\(y\)项的次数都是1。
二、二元一次方程的解1. 定义-使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
-例如对于方程\(x + y = 3\)，\(x = 1\)，\(y = 2\)就是它的一组解，因为当\(x = 1\)，\(y = 2\)时，\(1+2 = 3\)，方程左右两边相等。
2. 二元一次方程有无数组解-以\(x + y = 3\)为例，当\(x = 0\)时，\(y = 3\)；当\(x = 2\)时，\(y = 1\)等等，所以二元一次方程的解有无数个。
三、二元一次方程组1. 定义-把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
-例如\(\begin{cases}x + y = 5\\2x - y = 1\end{cases}\)就是一个二元一次方程组。
2. 二元一次方程组的解-二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
-对于上面的方程组\(\begin{cases}x + y = 5\\2x - y = 1\end{cases}\)，\(x = 2\)，\(y = 3\)是它的解，因为\(x = 2\)，\(y = 3\)既满足\(x + y = 5\)（\(2+3 = 5\)），又满足\(2x - y = 1\)（\(2×2 - 3 = 1\)）。
四、二元一次方程组的解法1. 代入消元法-步骤：-从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
例如对于方程组\(\begin{cases}x + y = 5\\2x - y = 1\end{cases}\)，由\(x + y = 5\)可得\(y = 5 - x\)。
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二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案
1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元
一次方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一
次方程组。
注意 ：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！ 也可以由一个或多个二元一次方程单独组
成。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次
方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解
2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12② 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解 如方程组x+y=4① 2x+2y=10②， 因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①
相矛盾，所以此类方程组无解。
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另
一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
例：解方程组x+y=5①
6x+13y=89②
解：由①得 x=5-y ③
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把y=59/7带入③， x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
基本思路：未知数又多变少。
消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
代入法解二元一次方程组的一般步骤：
1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y ）用含
另一个未知数（例如x ）的代数式表示出来，即写成y=ax+b 的形式，即“变”
2、将y=ax+b 代入到另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程，即“代”。
3、解出这个一元一次方程，求出x 的值，即“解”。
4、把求得的x 值代入y=ax+b 中求出y 的值，即“回代”
5、把x 、y 的值用｛联立起来即“联”
加减消元法：像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
例：解方程组x+y=9①
x-y=5②
解：①+② 2x=14 即 x=7 把x=7带入① 得7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y
=-2 为方程组的解
用加减消元法解二元一次方程组的解
6、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适
当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
7、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加
减”。
8、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”。
9、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即
“回代”。
10、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。
教科书中没有的几种解法
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例1, 13x+14y=41 (1)
14x+13y=40 (2)
解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1 (3)
把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得
x=1 所以:x=1, y=2
特点:两方程相加减,单个x 或单个y,这样就适用接下来的代入消元. (二)换元法
例2， (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n 原方程可写为 m+n=8 m-n=4 解得m=6, n=2 所以x+5=6,
y-4=2 所以x=1, y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（三）另类换元
例3， x:y=1:4 5x+6y=29
令x=t, y=4t 方程2可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4
★重点★
一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）
☆ 内容提要☆
二、 解方程的依据—等式性质 1．a=b←→a+c=b+c 2．a=b←→ac=bc (c≠0) 三、 解法
1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。
2． 元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法 ②加减法
六、 列方程（组）解应用题
列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其具体步骤是：
⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数
）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
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3、一轮船从甲地到乙地顺流航行需4小时，从乙地到甲地逆流航行需6小时，那么一木筏由甲地漂
流到乙地需要多长时间？
题型三、列二元一次方程解决商品问题
4、在“五一”期间，某超市打折促销，已知A 商品7.5折销售，B 商品8折销售，买20件A 商品
与10件B 商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A 商品和10件B 商品共用1090
元。
求A 、B 商品打折前的价格。
题型四、列二元一次方程组解决工程问题
5、某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市
中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队 因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成，问：甲、
乙两队原计划每天各修多少千米？
题型五：列二元一次方程组解决增长问题
6、某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全
校在校生将增加10%，则该校现在有初中生多少人？在校高中生有多少人？。