4.2(2)平面直角坐标系
平面直角坐标系两点的中点坐标
平面直角坐标系两点的中点坐标1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个有趣的话题，听起来可能有点学术，但其实很简单！我们要讨论的就是在平面直角坐标系里，两个点的中点坐标。
你可能会问，这有啥好聊的？我跟你说，挺有意思的！想象一下，假如你和朋友约好在某个地方见面，你们分别从不同的地方出发，怎么才能找到最中间的那一点呢？这就是我们要解决的问题啦。
2. 坐标系的基本概念2.1 什么是坐标系？首先，咱得明白什么是平面直角坐标系。
它就像一张大网，横着和竖着各有一条线，形成了一个个小格子。
横的线叫X轴，竖的线叫Y轴。
想象一下，你在一张地图上，坐标就是你找到某个地方的地址。
比如，你的家在（2, 3），那么你只需要先走2步横着，再走3步竖着，就能找到你的小窝啦。
2.2 点的表示而在这个坐标系里，每个点都用一对数字表示，第一个数字表示横坐标，第二个数字表示纵坐标。
就像给点起名字一样，简单明了。
比如，A点在（2, 3），B点在（4, 7），这两个点就像是两位朋友在街上等着，咱们的任务就是找到它们中间的地方。
3. 如何计算中点3.1 中点的公式好了，话不多说，咱们进入正题，如何找到这两个点的中点呢？其实，方法很简单！中点的坐标可以用以下的公式计算：如果A点的坐标是（x1, y1），B点的坐标是（x2, y2），那么中点M的坐标就是：Mleft(frac{x1+x2{2, frac{y1+y2{2right) 。
看吧，难不倒你吧？这就像在做一道简单的加法题，先把横坐标相加，再把纵坐标相加，最后各除以2，嘿，搞定！3.2 举个例子为了让大家更明白，我们来举个具体的例子。
假设A点在（2, 3），B点在（4, 7）。
根据刚才的公式，咱们先算横坐标：2 + 4 = 6，然后再除以2，得3。
接着算纵坐标：3 + 7 = 10，除以2，得5。
最后得出中点M的坐标就是（3, 5）。
是不是很简单？就像吃西瓜一样，爽快又带劲！4. 中点的意义4.1 实际应用那么，找到中点有什么用呢？你可能会想，除了找朋友，咱们还可以用这个知识做啥？其实，很多地方都能派上用场！比如，设计一条跑道，确保两端的跑者能够公平起跑；或者，在建筑设计中，找到两个角落的中心点，方便施工。
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：4.2平面向量基本定理及坐标表示
题型三
共线向量的坐标表示 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求： (1)|a＋3b|； (2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还 是反向？
【解】 (1)因为 a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以 a＋3b＝(7,3)， 故|a＋3b|＝ 72＋32＝ 58. (2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)， 因为 ka－b 与 a＋3b 平行， 1 所以 3(k－2)＋7＝0，即 k＝－3. 此时
第2课时
平面向量基本定理及坐标表示
• (一)考纲点击 •1．了解平面向量基本定理及其意义． •2．掌握平面向量的正交分解及坐标表示． •3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． •4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
• •
•
(二)命题趋势 1．从考查内容看，本节重点考查平面向量的基本定理、向量的 坐标运算及平面向量共线的坐标表示．另外，平面向量坐标运算 的实质是把几何问题转化成代数问题，它是“数”和“形”结合 的桥梁． 2．从考查形式看，本节内容多以选择题、填空题的形式出现， 属低、中档题．
x＋1＝－2， ∴ y＝－5， x＝－3， 解得 y＝－5.
∴D1(－3，－5)． → → (2)若四边形 ACD2B 为平行四边形，则AB＝CD2， → → 而AB＝(4,0)，CD2＝(x－1，y＋5)，
x－1＝4， ∴ y＋5＝0， x＝5， 解得 y＝－5.
题型一 平面向量基本定理的应用 (2014· 苏北四市联考)如图，在四 边形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O， → → → → → 设 AD＝a，AB＝b，若AB＝2DC，则AO＝________(用向量 a 和 b 表示)．
新浙教版初中数学教材完整目录
新浙教版初中数学教材之杨若古兰创作完好目录【七年级上册】第1章有理数1.1 从天然数到有理数浏览材料中国古代在数的发展方面的贡献1.2 数轴1.3 绝对值1.4 有理数的大小比较第2章有理数的运算2.1 有理数的加法2.2 有理数的减法2.3 有理数的乘法2.4 有理数的除法2.5 有理数的乘方2.6 有理数的混合运算2.7 近似数和计算器的使用第3章实数3.1 平方根3.2 实数浏览材料神奇的π3.3 立方根3.4 实数的运算第4章代数式4.1 用字母暗示数4.2 代数式4.3 代数式的值浏览材料数学中的符号4.4 整式4.5 合并同类项4.6 整式的加减第5章一元一次方程5.1 一元一次方程5.2 等式的基赋性质5.3 一元一次方程的解法5.4 一元一次方程的利用浏览材料丢番图课题进修成绩解决的基本步调第6章图形的初步常识6.1 几何图形6.2 线段、射线和直线6.3 线段的大小比较6.4 线段的和差6.5 角与角的度量6.6 角的大小比较6.7 角的和差6.8 余角和补角6.9 订交直线浏览材料初识“几何画板”________________________ _____________【七年级下册】第1章平行线1.1 平行线1.2 同位角、内错角、同旁内角1.3 平行线的判定1.4 平行线的性质浏览材料地球有多大?1.5 图形的平移第2章二元一次方程组2.1 二元一次方程2.2 二元一次方程组2.3 解二元一次方程组2.4 二元一次方程组的简单利用2.5 三元一次方程组及其解法(选学)浏览材料《九章算术》中的“方程”第3章整式的乘除3.1 同底数幂的乘法3.2 单项式的乘法3.3 多项式的乘法3.4 乘法公式3.5 整式的化简3.6 同底数幂的除法3.7 整式的除法浏览材料杨辉三角与两数和的乘方第4章因式分解4.1 因式分解4.2 提取公因式法4.3 用乘法公式分解因式第5章分式5.1 分式5.2 分式的基赋性质5.3 分式的乘除5.4 分式的加减5.5 分式方程浏览材料实验与归纳推理第6章数据与统计图表6.1 数据的收集与清算6.2 条形统计图和折线统计表6.3 扇形统计图6.4 频数与频率6.5 频数分布直方图综合与实践关于“初中生最爱好看的电视节目”的调查________________________ _____________【八年级上册】第1章三角形的初步常识1.1 认识三角形1.2 定义与命题1.3 证实浏览材料费马和他的猜测1.4 全等三角形1.5 全等三角形的判定1.6 尺规作图第2章特殊三角形2.1 图形的轴对称2.2 等腰三角形2.3 等腰三角形的性质定理2.4 等腰三角形的判定定理2.5 逆命题与逆定理2.6 直角三角形2.7 探索勾股定理浏览材料从勾股定理到图形面积关系的拓展2.8 直角三角形全等的判定第3章一元一次不等式3.1 认识不等式3.2 不等式的基赋性质3.3 一元一次不等式3.4 一元一次不等式组浏览材料谁将获得最初一个小组出线名额?第4章图形与坐标4.1 探索确定地位的方法4.2 平面直角坐标系浏览材料笛卡尔4.3 坐标平面内的图形活动第5章一次函数5.1 常量与变量5.2 认识函数5.3 一次函数5.4 一次函数的图象5.5 一次函数的简单利用课题进修如何选择较优方案________________________ _____________【八年级下册】第1章二次根式1.1 二次根式1.2 二次根式的性质1.3 二次根式的运算第2章一元二次方程2.1 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.3 一元二次方程的利用2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)浏览材料一元二次方程的发展小记第3章数据分析初步3.1 平均数3.2 中位数和众数浏览材料神奇的π3.3 方差和尺度差浏览材料数据分析利用举例第4章平行四边形4.1 多边形4.2 平行四边形及其性质4.3 中间对称4.4 平行四边形的判定定理4.5 三角形的中位线4.6 反证法课题进修格点多边形的面积计算第5章特殊平行四边形5.1 矩形5.2 菱形5.3 正方形浏览材料风趣的拼图第6章反比例函数6.1 反比例函数6.2 反比例函数的图象和性质6.3 反比例函数的利用________________________ _____________【九年级上册】第1章二次函数1.1 二次函数1.2 二次函数的图象浏览材料探索函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c与图象的关系1.3 二次函数的性质1.4 二次函数的利用第2章简单事件的概率2.1 事件的可能性2.2 简单事件的概率浏览材料机会均等2.3 用频率估计概率2.4 概率的简单利用第3章圆的基赋性质3.1 圆3.2 图形的扭转3.3 垂径定理3.4 圆心角3.5 圆周角浏览材料生活离不开圆3.6 圆内接四边形3.7 正多边形浏览材料美妙的镶嵌3.8 弧长及扇形的面积课题进修有关正多边形的折纸第4章类似三角形4.1 比例线段4.2 由平行线截得的比例线段4.3 类似三角形4.4 两个三角形类似的判定4.5 类似三角形的性质及利用4.6 类似多边形浏览材料精彩的分形________________________ _____________【九年级下册】第1章解直角三角形1.1 锐角三角函数1.2 有关三角函数的计算1.3 解直角三角形课题进修会徽中的数学第2章直线与圆的地位关系2.1 直线与圆的地位关系2.2 切线长定理2.3 三角形的内切圆第3章投影和三视图3.1 投影3.2 简单几何体的三视图浏览材料立体图的一种画法3.3 由三视图描述几何体3.4 简单几何体的概况睁开图。
浙教版八年级数学上册知识点汇总
八年级（上册）1. 三角形的初步知识1.1. 认识三角形三角形内角和为180 度。
三角形任何两边之和大于第三边。
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线。
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
1.2. 定义与命题定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
命题：判断某一件事情的句子叫命题。
在数学上，命题一般由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论由已知事项得到的事项。
可以写成“如果............... 那么.. ”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论。
正确的命题成为真命题，不正确的命题称为假命题。
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理，定理也可以作为判断其他命题真假的依据。
1.3. 证明要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步步推得结论成立。
这样的推理过程叫做证明。
三角形一边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角。
三角形的外角和等于它不相邻的两个内角的和。
1.4. 全等三角形能够重合的两个图形称为全等图形。
能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
1.5. 三角形全等的判定三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
高考数学一轮复习 4.2 平面向量的基本定理及坐标表示课件 理 新人教A版
解得 x＝4＋
5 5
或 x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2
5 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
第三十四页，共59页。
(2013·北京西城期末)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝ (3,2)．若向量 c 与向量 ka＋b 共线，则实数 k＝________.
第九页，共59页。
问题探究 1：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量 a、b 都能作一组基底 吗？
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能作 基底．
问题探究 2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是 相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起点的向 量O→A的坐标与点 A 的坐标相同．
第三页，共59页。
考情分析
平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代 数问题来解决．特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件 是高考考查的重点，属中低档题目，如 2013 年辽宁卷 3、 重庆卷 10，常与向量的数量积、运算等交汇命题．注重对 转化与化归、函数与方程思想的考查，如 2013 年江苏卷 15、 天津卷 12 等．
则x<0 y>0
且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，
∴xy＝＝12＋＋33tt ，∴12＋＋33tt<>00 ，∴－23<t<－13.
第二十八页，共59页。
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝O→B－O→P＝(3－3t,3－3t)， 若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B. ∵33－－33tt＝＝12 ，无解， ∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.
最新浙教版八年级数学上册课时测试题(全册 共264页 附答案)
最新浙教版八年级数学上册课时测试题（全册共264页附答案）目录1.1 认识三角形（一）1.1 认识三角形(二)1.2 定义与命题（一）1.2 定义与命题（二）1.3 证明（一）1.3 证明（二）1.4 全等三角形1.5 三角形全等的判定（一）1.5 三角形全等的判定（二）1.5 三角形全等的判定（三）1.5 三角形全等的判定（四）1.6 尺规作图第1章自我评价第2章特殊三角形2.1 图形的轴对称2.2 等腰三角形2.3 等腰三角形的性质定理(一)2.3 等腰三角形的性质定理(二)2.4 等腰三角形的判定定理2.5 逆命题和逆定理2.6 直角三角形(一)2.6 直角三角形(二)2.7 探索勾股定理(一)2.7 探索勾股定理(二)2.8 直角三角形全等的判定第2章自我评价3.1 认识不等式3.2 不等式的基本性质3.3 一元一次不等式(一)3.3 一元一次不等式(二)3.3 一元一次不等式(三)3.4 一元一次不等式组第3章自我评价第4章图形与坐标4.1 探索确定位置的方法4.2 平面直角坐标系(一)4.2 平面直角坐标系(二)4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移(一) 4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移(二) 第4章自我评价第5章一次函数5.1 常量与变量5.2 函数(一)5.2 函数(二)5.3 一次函数(一)5.3 一次函数(二)5.4 一次函数的图象(一)5.4 一次函数的图象(二)5.5 一次函数的简单应用(一)5.5 一次函数的简单应用(二)第5章自我评价期末综合自我评价1.1 认识三角形（一）A组1．如图，图中共有__6__个三角形，以AD为边的三角形有△ABD，△ADE，△ADC，以E为顶点的三角形有△ABE，△ADE，△AEC，∠ADB是△ABD的内角，△ADE的三个内角分别是∠ADE，∠AED，∠DAE．(第1题)(第2题)2．在“三角尺拼角实验”中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝__120°__．3．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为__40°__．4．(1)若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(B)A． 14 B． 10 C． 3 D． 2(2)若长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，则x的值可以是(C)A． 4 B． 5 C． 6 D． 9(第5题)5．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的度数为(C) A．54° B．62°C．64° D．74°6．若一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶7，则这个三角形一定是(C)A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不能确定(第7题)7．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5．(1)求CD的取值范围．(2)若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．【解】(1)∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5，∴1<CD<9．(2)∵AE∥BD，∠BDE＝125°，∴∠AEC＝55°，∴∠C＝180°－∠AEC－∠A＝70°．B组8．现有3 cm，4 cm，7 cm, 9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是(B)A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【解】四根木棒任取三根的所有组合为3，4，7；3，4，9；3，7，9和4，7，9，其中3，7，9和4，7，9能组成三角形．9．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(D)A． 2a＋2b－2c B． 2a＋2bC． 2c D． 0【解】∵a＋b>c，∴a＋b－c>0，c－a－b<0，∴|a＋b－c|－|c－a－b|＝a＋b－c＋(c－a－b)＝a＋b－c＋c－a－b＝0．10．各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有多少个？【解】∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；6，6，8；6，7，8；6，8，8；7，7，8；7，8，8；8，8，8．故各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有20个．(第11题)11．在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的A，B，C，D处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器应安装在AC，BD的交点E处，你知道这是为什么吗？【解】如图，另任取一点E′(异于点E)，分别连结AE′，BE′，CE′，DE′．在△BDE′中，DE′＋BE′>DB．在△ACE′中，AE′＋CE′>AC．∴AE′＋BE′＋CE′＋DE′>AC＋BD，即AE＋BE＋CE＋DE最短．数学乐园12．观察并探求下列各问题：(1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__＜__AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)．(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．(第12题)【解】(1)BP＋PC＜AB＋AC．理由：三角形两边的和大于第三边．(2)△BPC的周长＜△ABC的周长．理由如下：如解图①，延长BP交AC于点M．∵PC<PM＋MC，∴BP＋PC<BM＋MC．∵BM<AB＋AM，∴BM＋MC<AB＋BC，∴BP＋PC＜AB＋AC，∴BP＋PC＋BC＜AB＋AC＋BC，即△BPC的周长＜△ABC的周长．（第12题解）(3)四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：如解图②，分别延长BP1，CP2交于点M．由(2)知，BM＋CM＜AB＋AC．又∵P1P2＜P1M＋P2M，∴BP1＋P1P2＋P2C＜BM＋CM＜AB＋AC，∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC<AB＋AC＋BC，即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．1.1 认识三角形(二)A组1．如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高线，下列作法正确的是(A)2．能将三角形的面积分成相等两部分的是(A)A．中线 B．角平分线C ． 高线D ． 以上都不能3．一个正方形和一个等边三角形的位置如图所示，若∠2＝50°，则∠1＝(C ) A ． 50° B ． 60° C ． 70° D ． 80°,(第3题)),(第4题))4．如图，AD 是△ABC 的中线，BC ＝10，则BD 的长为__5__．5．如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，已知∠ABC＝80°，则∠DBC ＝__40°__．,(第5题)) ,(第6题))6．如图，AD 是△ABC 的中线，AB －AC ＝5 cm ，△ABD 的周长为49 cm ，则△ADC 的周长为__44__cm ．(第7题)7．如图，在△ABC 中，AD 是高线，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠C ＝60°，求∠DAE 和∠BOA 的度数．【解】 ∵∠CAB ＝50°，∠C ＝60°， ∴∠ABC ＝180°－50°－60°＝70°． ∵AD 是高线，∴∠ADC ＝90°， ∴∠DAC ＝180°－∠ADC －∠C ＝30°． ∵AE ，BF 是角平分线，∴∠ABF ＝12∠ABC ＝35°，∠EAF ＝12∠CAB ＝25°，∴∠DAE ＝∠DAC －∠EAF ＝5°， ∠AFB ＝180°－∠ABF －∠CAB ＝95°， ∴∠AOF ＝180°－∠AFB －∠EAF ＝60°，∴∠BOA ＝180°－∠AOF ＝120°．B 组8．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD ＝2DC ，S △BDG ＝8，S △AGE ＝3，则S △ABC ＝(B )A ． 25B ． 30C ． 35D ． 40【解】 在△BDG 和△GDC 中，∵BD ＝2DC, 这两个三角形在BC 边上的高线相等，∴S △BDG ＝2S △GDC ，∴S △GDC ＝4． 同理，S △GEC ＝S △AGE ＝3．∴S △BEC ＝S △BDG ＋S △GDC ＋S △GEC ＝8＋4＋3＝15， ∴S △ABC ＝2S △BEC ＝30．(第8题)(第9题)9．如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则S △EDC ∶S △ABC ＝__14__．【解】 设S △ABC ＝S ． ∵AD 是中线， ∴BD ＝CD ，∴S △ACD ＝S △ABD ＝12S △ABC ＝12S ．∵BE 是中线，∴AE ＝CE ，∴S △EDC ＝S △EDA ＝12S △ACD ＝14S ．∴S △EDC ∶S △ABC ＝14S S ＝14．(第10题)10．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，CE 是∠ACB 的平分线，∠A ＝20°，∠B ＝60°，求∠BCD 和∠ECD 的度数．【解】 ∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°． ∵∠B ＝60°，∴∠BCD ＝180°－∠CDB －∠B ＝30°．∵∠A ＝20°，∠B ＝60°，∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∴∠ACB ＝100°． ∵CE 是∠ACB 的平分线， ∴∠BCE ＝12∠ACB ＝50°，∴∠ECD ＝∠BCE －∠BCD ＝20°．(第11题)11．如图，在△ABC 中(AB>BC)，AC ＝2BC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60和40的两部分，求AC 和AB 的长．【解】 ∵AD 是BC 边上的中线，AC ＝2BC ， ∴BD ＝CD ，AC ＝4BD ．设BD ＝CD ＝x ，AB ＝y ，则AC ＝4x ． 分两种情况讨论：①AC ＋CD ＝60，AB ＋BD ＝40，则4x＋x＝60，x＋y＝40，解得x＝12，y＝28，即AC＝4x＝48，AB＝28，BC＝2x＝24，此时符合三角形三边关系定理．②AC＋CD＝40，AB＋BD＝60，则4x＋x＝40，x＋y＝60，解得x＝8，y＝52，即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此时不符合三角形三边关系定理．综上所述，AC＝48，AB＝28．数学乐园12．如图，已知△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C ＝BC，C1A＝CA，顺次连结点A1，B1，C1，A1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连结点A2，B2，C2，A2，得到△A2B2C2……按此规律，要使得到的三角形的面积超过2018，则最少经过__4__次操作．,(第12题))【解】由题意可得规律：第n次操作后得到的三角形的面积变为7n，则7n>2018，可得n最小为4．故最少经过4次操作．1.2 定义与命题（一）A组1．下列语句中，属于定义的是(D)A．两点确定一条直线B．两直线平行，同位角相等C．等角的余角相等D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离2．下列语句中，属于命题的是(C)A．直线AB与CD垂直吗B．过线段AB的中点作AB的垂线C．同位角不相等，两直线不平行D．连结A，B两点3．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设是(D)A．垂直B．两条直线C．同一条直线D．两条直线垂直于同一条直线4．下列语句中，不属于命题的是(C)A．若两角之和为90°，则这两个角互补B．同角的余角相等C．作线段的垂直平分线D．相等的角是对顶角5．把“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角是对顶角，那么它们相等．6．指出下列命题的条件和结论．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3．(3)邻补角的平分线互相垂直．【解】(1)条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；结论：这两条直线平行．(2)条件：∠1＝∠2，∠2＝∠3；结论：∠1＝∠3．(3)条件：两条射线是邻补角的平分线；结论：这两条射线互相垂直．7．把命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)等底等高的两个三角形的面积相等．(2)两直线平行，内错角相等．(3)等角的余角相等．【解】(1)如果两个三角形等底等高，那么它们的面积相等．(2)两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等．(3)如果两个角同为等角的余角，那么这两个角相等．B组8．下列命题正确的是(D)A．若a＞b，b＜c，则a＞cB．若a＞b，则ac＞bcC．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b9．对同一平面内的三条直线，给出下列5个论断：a∥b，b∥c，a⊥b，a∥c，a⊥c．以其中两个论断为条件．一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题．条件：a∥b，b∥c，结论：a∥c．【解】本题答案不唯一．10．定义两种新变换：①f(a，b)＝(a，－b)，如f(1，2)＝(1，－2)；②g(a，b)＝(b，a)，如g(1，2)＝(2，1)．据此得g(f(5，－6))＝(6，5)．【解】∵f(5，－6)＝(5，6)，∴g(f(5，－6))＝g(5，6)＝(6，5)．数学乐园(第11题)11．如图，定义：直线l1与l2交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p，q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，求“距离坐标”是(1，2)的点的个数(第11题解)【解】“距离坐标”是(1，2)的点表示的含义是该点到直线l1，l2的距离分别为1，2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1或a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1或b2上，它们有4个交点，即为如解图所示的点M1，M2，M3，M4．故满足条件的点的个数为4．1.2 定义与命题（二）A 组1．下列命题是真命题的是(A ) A ． 互余的两个角之和是90° B ． 同角的余角互余C ． 等底的两个三角形面积相等D ． 相等的角是直角2．下列命题是假命题的是(C ) A ．三角形两边之和大于第三边 B ．三角形的内角和等于180°C ．等边三角形旋转180°后能与本身重合D ．三角形的中线能平分三角形的面积3．能说明命题“对于任何实数a ，|a|>－a”是假命题的一个反例可以是(A ) A ． a ＝－2 B ． a ＝13C ． a ＝1D ． a ＝ 24．(1)定理是真命题(填“真”或“假”，下同)． “如果ab ＝0，那么a ＝0”是假命题． “如果a ＝0，那么ab ＝0” 是真命题．(2)“如果(a －1)(a －2)＝0，那么a ＝2”是假命题，反例是a ＝1．(第5题)5．如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，这是假命题(填“真”或“假”)． 6．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数． (2)两个负数的差一定是负数．【解】 (1)假命题．反例：6是偶数，但6不是4的倍数．(2)假命题．反例：(－5)－(－8)＝＋3．7．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD∥BC，则AD平分∠EAC．请用推理的方法说明它是真命题．(第7题)【解】∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C．又∵∠B＝∠C，∴∠EAD＝∠CAD，∴AD平分∠EAC．∴该命题是真命题．B组8．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的说法，有下列命题，其中是真命题的是(B)A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对【解】A项，若甲对，即只参加一项的人数大于14人，则两项都参加的人数小于6人，故乙可能对也可能错．B项，若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，此时只参加一项的人数至少为16人，故甲对．C项，若乙错，即两项都参加的人数大于或等于5人，则只参加一项的人数小于或等于15人，故甲可能对也可能错．D项，若甲错，即只参加一项的人数至多为14人，则两项都参加的人数至少为6人，故乙错．综上所述，真命题只有“若乙对，则甲对”．9．有下列命题：①若a＋b＞0且ab＞0，则a＞0且b＞0；②若a＞b且ab＞0，则a＞b＞0；③一个锐角的补角比它的余角小90°．其中属于真命题的是__①__(填序号)．【解】①由ab＞0，可得a，b同号．又∵a＋b＞0，∴a＞0且b＞0，故本项正确．②令a＝－1，b＝－2，则ab＝2＞0，b＜a＜0，故本项错误．③一个锐角的补角比它的余角大90°，故本项错误．(第10题)10．如图，GH，MN分别是∠EGB，∠EMD的平分线，若GH∥MN，则AB∥CD．请用推理的方法说明它是真命题．【解】∵GH∥MN，∴∠EGH＝∠EMN．∵GH，MN分别是∠EGB，∠EMD的平分线，∴∠EGB＝2∠EGH，∠EMD＝2∠EMN，∴∠EGB＝∠EMD，∴AB∥CD．∴该命题是真命题．数学乐园11．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC＝25°．(第11题)(1)∠1＝25°，∠2＝155°．(2)请观察∠1，∠2与∠ABC分别有怎样的关系，并由此归纳一个真命题．【解】(2)∠1＝∠ABC，∠2＋∠ABC＝180°．真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．1.3 证明（一）A组1．如图，下面的推理正确的是(D)。
七年级数学《平面直角坐标系-习题课》教学设计
《平面直角坐标系习题课》教学设计1. 教材内容义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级上册第6章第一小节平面直角坐标系。
2.知识背景分析从《课程标准》看，本章隶属于“空间与图形”领域, 本章共3小节，主要内容包括平面直角坐标系的有关概念、点与坐标（坐标为整数）的对应关系、用作标表示地理位置和用坐标表示平移等。
教科书首先从生活实际中常见的表示位置的方法(如用“几排几号”表示电影院中的座位,用“几行几列”表示教室中学生的座位等)出发,引出有序数对的概念,指出利用有序数对可以确定物体的位置,由此联想到是否可以用有序数对表示平面内点的位置的问题,结合数轴上确定点的位置的方法,引出平面直角坐标系,学习平面直角坐标系的有关概念(如横轴、纵轴、原点、坐标、象限等)，建立点与坐标（坐标为整数）的对应关系。
本节课是在教学了第一小节平面直角坐标系3课时之后的一节习题课。
旨在使学生进一步感受有序数对在确定点的位置中的作用，理解点与坐标的对应关系；在给定的平面直角坐标系中，能熟练的根据点的坐标（坐标为整数）描出点的位置，能由点的位置熟练地写出点的坐标（坐标为整数）。
学生对这部分知识做以全面、系统的梳理，增强解决实际问题的能力，提高学生学习的兴趣性和积极性，为后续学习奠定基础。
3.学情背景分析教学对象是七年级学生。
在学习本章之前，学生已经学习了有理数及其数轴的相关知识，已经明确了任何有理数都可以用数轴上的点来表示的这一关系，且能够熟练地在数轴上表示一个有理数，能够根据数轴上点的位置确定一个有理数的大小。
在进行本节的习题课之前，学生已经了解了有序数对的概念,并初步学会了利用有序数对确定物体的位置,并用有序数对表示平面内点的位置,结合数轴上确定点的位置的方法,还学习了平面直角坐标系的有关概念(如横轴、纵轴、原点、坐标、象限等)，建立点与坐标（坐标为整数）的对应关系。
但对知识之间的逻辑关系缺乏深层理解和整体认识，加之思维以经验性为主，抽象概括、归纳总结等理性思维能力还需要进一步锤炼。
北师大版(2019)数学必修第二册：4.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 教案
两角和与差的正弦、正切公式及其应用【第一课时】【教学目标】1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．2．能利用公式解决简单的化简求值问题．【教学重难点】利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.【教学过程】一、问题导入怎样借助30°，45°的三角函数值求出sin75°，sin15°的值？二、新知探究1．利用公式化简求值【例1】（1）sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝()A．－32B．－12C．12D．32（2）求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值；（3）求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值．[思路探究]（1）化简求值应注意公式的逆用．（2）（3）对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．（1）C[sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin(17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.]（2）解：原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1． （3）sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)· cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0. 【教师小结】 （一）对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去，求值； (3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．（二）在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．2．给值(式)求值【例2】设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，若cos α＝－12，sin β＝－32，求sin(α＋β)的值． [思路探究]应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．[解]因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－12，所以sin α＝32，因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin β＝－32，所以cos β＝12.所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝32×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝32.【教师小结】（1）当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．（3）角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．三、课堂总结1．两角和与差的正弦公式的结构特点(1)公式中的α，β均为任意角．(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．2．两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系3．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式.四、课堂检测1．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B ．7210C ．－210D ．210A [∈cos α＝－45，α为第三象限角，∈sin α＝－35，由两角和的正弦公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos α·sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.]2．函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[]－3，3C ．[－1,1]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B [f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]． 故选B ．]3．sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________.32 [原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝sin(25°＋35°)＝sin 60°＝32.]4．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β.[解] ∈α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，∈sin β＝31010，cos α＝255.∈sin α<sin β，∈α<β，∈－π2<α－β<0， ∈sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∈α－β＝－π4.【第二课时】 【教学目标】1．能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式． 2．掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．【教学重难点】利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.【教学过程】一、问题导入怎样借助30°，45°的三角函数值求出tan75°，tan15°的值？ 二、新知探究 1．利用公式化简求值【例1】求下列各式的值： （1）tan 15°；（2）1－3tan 75°3＋tan 75°；（3）tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.[思路探究]把非特殊角转化为特殊角(如（1）)及公式的逆用(如（2）)与活用(如（3）)，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．[解]（1）tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3. （2）1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1． （3）∈tan(23°＋37°)＝tan 60°＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3，∈tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∈原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.【教师小结】（1）公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．（2）一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．2．条件求值(角)问题【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.（1）求tan(α＋β)的值；（2）求α＋2β的值．[思路探究]先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tanα，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．[解]由条件得cos α＝210，cos β＝255，∈α，β为锐角，∈sin α＝7210，sin β＝55，∈tan α＝7，tan β＝1 2.（1）tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3．（2）tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan(α＋β)＋tan β1－tan(α＋β)·tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，∈α，β为锐角，∈0＜α＋2β＜3π2，∈α＋2β＝3π4.【教师小结】（一）通过先求角的某个三角函数值来求角． （二）选取函数时，应遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．（三）给值求角的一般步骤： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角． 3．公式的变形应用 [探究问题]（1）判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？[提示]根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．（2）在∈ABC 中，tan(A ＋B )与tan C 有何关系？ [提示]根据三角形内角和定理可得A ＋B ＋C ＝π， ∈A ＋B ＝π－C ，∈tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ．【例3】已知∈ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，判断∈ABC 的形状．[思路探究]化简条件→求出tan A ，tan C → 求出角A ，C →判断形状. [解]由tan A ＝tan[π－(B ＋C )] ＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝3－3tan B tan Ctan B tan C －1＝－ 3. 而0°＜A ＜180°， ∈A ＝120°.由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝tan A＋tan B tan A tan B－1＝tan A＋tan B3tan A＋3tan B＝33，而0°＜C＜180°，∈C＝30°，∈B＝30°.∈∈ABC是顶角为120°的等腰三角形．【教师小结】公式T α＋β的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在T α＋β中，如果分子中出现“1”常利用 1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的， 如1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α；3tan α＋31－tan α＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．三、课堂总结1．公式T (α±β)的适用范围和结构特征(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )． (2)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．2．两角和与差的正切公式的变形变形公式如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α tan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan α tan β)； tan α tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋ β)等.四、课堂检测1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( )A ．15B ．－15C ．5D ．－5A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A ．]2．tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)等于( ) A ．33 B ．1 C ． 3D ．6B [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1．]3．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.1 [3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1．]4．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝14，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5的值．[解] ∈α＋π5＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5，∈tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π51＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝25－141＋25×14＝322.。
运筹学课堂PPT4.2目标规划的图解法
x1
,
x2
,
d
j
,
d
j
d1 0
d1
80
(3)
最优解空间：ABCD
(2) C
B
x1
(1) (3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3
(d
3
d
3
)
P4d
4
3x1 12
(1)
x2
4 x2 16
复习：两平行直线间的距离公式
Ax By d d C（目标约束）
y
d d 0
Ax By C
d 0 ( x0 , y0 )
d
正负偏差变量中至少有一个零，如：
A2 B2
x Ax By C
Ax By d d C d 0, d 0
Ax By d C
Ax By C d C（在下半平面）
P2d4
P3d
3
P4 (2d1
d
2
)
x1 30 x2 20 / 3
x2
d1 0
d1 0
d
2
25 /
3
d2 0
d
3
680
d
3
0
d
4
0
d4 0
D
E(35/2,15)
(2)
min Z (0, 0, 680, 25 / 3)
F(30,20/3)
A
B
x1
(1)
(4) (3)
4.2 目标规划的图解法
差变量大于零的区域。
(1) (2) (3)
（平行） (4)
(2)
x1
八上数学平面直角坐标系与三角形结合的问题
平面直角坐标系与三角形是初中数学八年级上册的重要内容，学生在学习过程中常常会遇到一些问题。
本文将分为以下几个部分，分别探讨平面直角坐标系和三角形的基本概念、平面直角坐标系与三角形结合的问题及解决方法等。
一、平面直角坐标系的基本概念1.1 直角坐标系的引入在平面直角坐标系中，我们将平面划分为四个象限，并引入x轴和y 轴，用来表示平面上的点的位置。
其中，x轴和y轴的交点为原点O，横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴。
1.2 点的坐标在平面直角坐标系中，每个点都有唯一确定的坐标，用(x, y)表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
通过坐标，我们可以唯一地确定平面上的一个点。
1.3 距离公式在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过距离公式来求解，距离公式为：AB的距离=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
二、三角形的基本概念2.1 三角形的定义在平面几何中，三条线段两两连接成一个封闭图形，这个封闭图形就是三角形。
三角形是几何图形中的基本概念，其性质和定理在数学中具有重要的地位。
2.2 三角形的分类根据三角形的边和角的性质，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形和锐角三角形等不同类型。
2.3 三角形的面积公式三角形的面积公式为：S=1/2*底*高。
其中，S表示三角形的面积，底表示三角形的底边长，高表示三角形的高。
三、平面直角坐标系与三角形结合的问题3.1 平面直角坐标系与三角形的坐标关系当我们在平面直角坐标系中遇到三角形时，通常需要确定三角形的顶点坐标、中点坐标、重心坐标等。
通过坐标关系，我们可以推导出三角形的各种性质，如边长、角度、面积等。
3.2 平面直角坐标系与三角形的距离关系在平面直角坐标系中，我们可以利用距离公式来求解三角形的边长、高度、中位线等。
通过计算三角形的距离关系，可以更深入地理解三角形的性质，并解决相关问题。
3.3 平面直角坐标系与三角形的重心、外心、内心和垂心在平面直角坐标系中，三角形的重心、外心、内心和垂心都有具体的坐标表示。