2020-2021学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级(上)期中数学试卷解析版

2020-2021学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级（上）期中数学试卷一．选择题（每题4分，共40分）1．下列关于二次函数y＝2x2+3，下列说法正确的是（）A．它的开口方向向下B．它的顶点坐标是（2，3）C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大D．当x＝0时，y有最小值是32．一个不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，这些球除颜色外其余都相同，则从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为（）A．B．C．D．3．函数y＝x2+2x﹣4的顶点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．在某校艺体节的乒乓球比赛中，李东同学顺利进入总决赛，且个人技艺高超，有同学预测“李东夺冠的可能性是80%”，对该同学的说法理解正确的是（）A．李东夺冠的可能性较小B．李东和他的对手比赛10局时，他一定赢8局C．李东夺冠的可能性较大D．李东肯定会赢5．下列抛物线中，与抛物线的形状、大小、开口方向都相等的是（）A．B．C．D．y＝﹣x2+3x﹣56．下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（）A．事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B．体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D．掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5D．x＜﹣1或x＞5 8．在一个不透明的口袋中，装有3个相同的球，它们分别写有数字1，2，3，从中随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为2的概率记为P1，摸出的球上的数字小于4的概率记为P2，摸出的球上的数字为5的概率记为P3，则P1，P2，P3的大小关系是（）A．P1＜P2＜P3B．P3＜P2＜P1C．P2＜P1＜P3D．P3＜P1＜P2 9．某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭．经跟踪测算，该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W＝﹣x2+16x﹣48，则该景点一年中处于关闭状态有（）个月．A．5B．6C．7D．810．已知关于x的二次函数y＝3x2﹣6ax+4a2+2a+2，其中a为实数，当﹣2≤x≤1时，y的最小值为4，满足条件的a的值为（）A．﹣﹣1或﹣1B．﹣或﹣1C．﹣1或﹣D．或﹣1二．填空题（每题5分，共30分）11．（5分）抛物线y＝x2﹣4x+4与坐标轴有个交点．12．（5分）若将抛物线y＝3x2+1向下平移1个单位后，则所得新抛物线的解析式是．13．（5分）书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取2本都是小说的概率是．14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的三个顶点A、B、D均在抛物线y ＝ax2﹣4ax+3（a＜0）上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则AC 长为．15．（5分）如图，直线AB交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，﹣4），点P在抛物线y＝（x ﹣2）（x﹣4）上，则△ABP面积的最小值为．16．（5分）如图，已知点A（3，3），点B（0，2），点A在二次函数y＝x2+bx﹣9的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交二次函数图象于点C，则点C的坐标为．三．简答题（第17，18，19，20题各8分，第21题10分，第22，23题各12分，第24题14分，共80分）17．在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择：①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）．②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用B1，B2表示）．（1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是；（2）若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？19．（8分）平面上有3个点的坐标：A（0，﹣3），B（3，0），C（﹣1，﹣4）．（1）在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线y1＝x﹣3上又在抛物线上y2＝x2﹣2x﹣3上的概率是多少？（2）从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线y2＝x2﹣2x﹣3上的概率．20．（8分）新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．（1）试判断二次函数y＝2x2﹣5x﹣7的图象是否为“定点抛物线”；（2）若“定点抛物线”y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，求k的值．21．（10分）一名男生推铅球，铅球的行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系为，铅球行进路线如图．（1）求出手点离地面的高度．（2）求铅球推出的水平距离．（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4m．22．（12分）某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y＝﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元．（1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？23．（12分）定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x ﹣m）2+k的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B （点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t＝2时，AD＝4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．2020-2021学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每题4分，共40分）1．下列关于二次函数y＝2x2+3，下列说法正确的是（）A．它的开口方向向下B．它的顶点坐标是（2，3）C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大D．当x＝0时，y有最小值是3【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．【解答】解：∵二次函数y＝2x2+3，∴该函数的图象开口向上，故选项A错误；它的顶点坐标为（0，3），故选项B错误；当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项C错误；当x＝0时，y取得最小值3，故选项D正确；故选：D．2．一个不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，这些球除颜色外其余都相同，则从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出袋子中总的球数，再用黄球的个数除以总的球数即可．【解答】解：∵不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，共有9个球，∴从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为＝；故选：B．3．函数y＝x2+2x﹣4的顶点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把二次函数化为顶点式则可求得顶点的坐标，则可求得答案．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣5），∴顶点在第三象限，故选：C．4．在某校艺体节的乒乓球比赛中，李东同学顺利进入总决赛，且个人技艺高超，有同学预测“李东夺冠的可能性是80%”，对该同学的说法理解正确的是（）A．李东夺冠的可能性较小B．李东和他的对手比赛10局时，他一定赢8局C．李东夺冠的可能性较大D．李东肯定会赢【分析】根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，不一定发生也不一定不发生，依次分析可得答案．【解答】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是80%，结合概率的意义，A、李东夺冠的可能性较大，故本选项错误；B、李东和他的对手比赛10局时，他可能赢8局，故本选项错误；C、李东夺冠的可能性较大，故本选项正确；D、李东可能会赢，故本选项错误．故选：C．5．下列抛物线中，与抛物线的形状、大小、开口方向都相等的是（）A．B．C．D．y＝﹣x2+3x﹣5【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以解答本题．【解答】解：∵抛物线的形状是抛物线，开口向下，∴抛物线的形状、大小、开口方向都相等的函数的二次项系数是，故选：B．6．下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（）A．事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B．体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D．掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为【分析】根据随机事件和必然事件对A进行判断；根据概率的意义对B进行判断；根据频率估计概率对C进行判断；根据概率公式对D进行判断．【解答】解：A、事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是必然事件，此选项错误；B、体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票大约有10张中奖，此选项错误；C、在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品，此选项正确；D、掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为，此选项错误；故选：C．7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5D．x＜﹣1或x＞5【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．【解答】解：由图象得：对称轴是x＝2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴x＜﹣1或x＞5．故选：D．8．在一个不透明的口袋中，装有3个相同的球，它们分别写有数字1，2，3，从中随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为2的概率记为P1，摸出的球上的数字小于4的概率记为P2，摸出的球上的数字为5的概率记为P3，则P1，P2，P3的大小关系是（）A．P1＜P2＜P3B．P3＜P2＜P1C．P2＜P1＜P3D．P3＜P1＜P2【分析】由1、2、3这3个小球中，数字为2的只有1个、数字小于4的有3个、数字为5的个数为0，利用概率公式分别计算，再比较大小可得．【解答】解：∵在1、2、3这3个小球中，数字为2的只有1个、数字小于4的有3个、数字为5的个数为0，∴P1＝、P2＝1、P3＝0，则P3＜P1＜P2，故选：D．9．某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭．经跟踪测算，该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W＝﹣x2+16x﹣48，则该景点一年中处于关闭状态有（）个月．A．5B．6C．7D．8【分析】令W＝0，解得x＝4或12，求出不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解即可解决问题．【解答】解：由W＝﹣x2+16x﹣48，令W＝0，则x2﹣16x+48＝0，解得x＝12或4，∴不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解为，4＜x＜12，∴该景点一年中处于关闭状态有5个月．故选：A．10．已知关于x的二次函数y＝3x2﹣6ax+4a2+2a+2，其中a为实数，当﹣2≤x≤1时，y的最小值为4，满足条件的a的值为（）A．﹣﹣1或﹣1B．﹣或﹣1C．﹣1或﹣D．或﹣1【分析】分类讨论：a＜﹣2，﹣2≤a≤1，a＞1，根据函数的增减性，可得答案．【解答】解：当a＜﹣2，x＝﹣2时，y＝12+12a+4a2+2a+2＝4a2+14a+14＝4，解得：a＝﹣1（不合题意舍去），a2＝﹣，当﹣2≤a≤1时，x＝a时，y最小＝3a2﹣6a2+4a2+2a+2＝4，解得：a3＝﹣1﹣（舍），a4＝﹣1+，当a＞1，x＝1时，y最小＝3﹣6a+4a2+2a+2＝4，解得：a5＝a6＝（不合题意舍去），综上所述：a的值为﹣或﹣1，故选：B．二．填空题（每题5分，共30分）11．（5分）抛物线y＝x2﹣4x+4与坐标轴有2个交点．【分析】当x＝0时，求出与y轴的纵坐标；当y＝0时，求出与x轴的交点横坐标，从而求出与坐标轴的交点．【解答】解：当x＝0时，y＝4，则与y轴的交点坐标为（0，4），当y＝0时，x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2．则与x轴的交点坐标为（2，0），∴抛物线y＝x2﹣4x+4与坐标轴有2个交点，故答案为：2．12．（5分）若将抛物线y＝3x2+1向下平移1个单位后，则所得新抛物线的解析式是y＝3x2．【分析】根据向下平移纵坐标减写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式即可．【解答】解：∵抛物线y＝3x2+1向下平移1个单位后的顶点坐标为（0，0），∴所得新抛物线的解析式是y＝3x2．故答案为：y＝3x2．13．（5分）书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取2本都是小说的概率是．【分析】画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）共有20种等可能的结果，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，所以从中随机抽取2本都是小说的概率＝＝．故答案为．14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的三个顶点A、B、D均在抛物线y ＝ax2﹣4ax+3（a＜0）上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则AC 长为4．【分析】先求出对称轴，再根据B、D关于对称轴对称，求出点D坐标，根据正方形的性质AC＝BD即可解决问题．【解答】解：抛物线的对称轴x＝﹣＝2，点B坐标（0，3），∵四边形ABCD是正方形，点A是抛物线顶点，∴B、D关于对称轴对称，AC＝BD，∴点D坐标（4，3）∴AC＝BD＝4．故答案为4．15．（5分）如图，直线AB交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，﹣4），点P在抛物线y＝（x ﹣2）（x﹣4）上，则△ABP面积的最小值为7.5．【分析】根据三角形面积公式可知当点P到直线AB的距离最小时，△ABP面积的最小，求出与直线AB平行且与抛物线相切的直线解析式，即可求得P的坐标，根据待定系数法求得直线AP的解析式，得到与y轴的交点，利用面积公式即可求得结果．【解答】解：∵直线AB交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，﹣4），∴直线AB为y＝﹣2x﹣4，设与AB平行且与抛物线相切的直线解析式为y＝﹣2x+t，与抛物线的解析式联立，消去y得，x2﹣2x+8﹣2t＝0，则△＝（﹣2）2﹣4×1×（8﹣2t）＝0，即t＝，∴x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，代入y＝（x﹣2）（x﹣4）得，y＝，∴P（1，），设直线AP的解析式为y＝kx+b，把A（﹣2，0），P（1，）代入得，解得，∴直线AP为y＝x+1，∴直线AP与y轴的交点为（0，1），∴S△ABP＝×（1+4）×（1+2）＝7.5，故答案为7.5．16．（5分）如图，已知点A（3，3），点B（0，2），点A在二次函数y＝x2+bx﹣9的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交二次函数图象于点C，则点C的坐标为（﹣2，﹣7）．【分析】根据待定系数法求得b，得到二次函数的解析式，过B作BF⊥AC于F，过F 作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，则△ABF为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB，依据全等三角形的性质，即可得出F（2，1），进而得出直线AC的解析式，解方程组即可得到C点坐标．【解答】解：∵点A（3，3）在二次函数y＝x2+bx﹣9的图象上，∴9+3b﹣9＝3，解得b＝1，∴二次函数为y＝x2+x﹣9，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，则△ABF为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB（AAS），设BD＝a，则EF＝a，∵点A（3，3）和点B（0，2），∴DF＝3﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，∵AE+OD＝3，∴3﹣a+2﹣a＝3，解得a＝1，∴F（2，1），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝2x﹣3，解方程组，可得或，∴C（﹣2，﹣7），故答案为：（﹣2，﹣7）．三．简答题（第17，18，19，20题各8分，第21题10分，第22，23题各12分，第24题14分，共80分）17．在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择：①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）．②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用B1，B2表示）．（1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是；（2）若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据题意先画出树状图，得出所有等可能的结果数，再找出张辉和夏明恰好都选择田赛的结果数，然后根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）张辉同学选择清理类岗位的概率为：＝；故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：共有16种等可能的结果数，张辉和夏明恰好选择同一岗位的结果数为4，所以他们恰好选择同一岗位的概率：＝．18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？【分析】（1）把一般式化成顶点式即可确定二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）根据图象与y轴和x轴的相交的特点可求出坐标；（3）根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．【解答】解：（1）∵a＝1＞0，∴图象开口向上，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴是x＝1，顶点坐标是（1，﹣4）；（2）由图象与y轴相交则x＝0，代入得：y＝﹣3，∴与y轴交点坐标是（0，﹣3）；由图象与x轴相交则y＝0，代入得：x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1∴与x轴的交点为（3，0）和（﹣1，0）；（3）∵对称轴x＝1，图象开口向上，∴当x＞1时，y随x增大而增大．19．（8分）平面上有3个点的坐标：A（0，﹣3），B（3，0），C（﹣1，﹣4）．（1）在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线y1＝x﹣3上又在抛物线上y2＝x2﹣2x﹣3上的概率是多少？（2）从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线y2＝x2﹣2x﹣3上的概率．【分析】（1）先根据一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征可判断A、B、C都在直线上，A、B两点在抛物线上，C点不在抛物线上，然后根据概率公式求解；（2）先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两点都落在抛物线y2＝x2﹣2x﹣3上的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）当x＝0时，y1＝x﹣3＝﹣3，y2＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则A点在直线和抛物线上；当x＝3时，y1＝x﹣3＝0，y2＝x2﹣2x﹣3＝0，则B点在直线和抛物线上；当x＝﹣1时，y1＝x﹣3＝﹣4，y2＝x2﹣2x﹣3＝0，则C点在直线上，不在抛物线上，所以在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线y1＝x﹣3上又在抛物线上y2＝x2﹣2x﹣3上的概率＝；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中两点都落在抛物线y2＝x2﹣2x﹣3上的结果数为2，所以两点都落在抛物线y2＝x2﹣2x﹣3上的概率＝＝．20．（8分）新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．（1）试判断二次函数y＝2x2﹣5x﹣7的图象是否为“定点抛物线”；（2）若“定点抛物线”y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，求k的值．【分析】（1）把x＝﹣1代入抛物线解析式，判断y的值是否为0，即可解决问题．（2）因为y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，所以（﹣1，0）是抛物线顶点，所以抛物线解析式为y＝（x+1）2，由此即可解决问题．【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝2+5﹣7＝0，∴抛物线y＝2x2﹣5x﹣7经过点（1，0），∴二次函数图象为“定点抛物线”．（2）∵y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，∴（﹣1，0）是抛物线顶点，∴抛物线解析式为y＝（x+1）2＝x2+2x+1，∴2﹣k＝1，∴k＝1．21．（10分）一名男生推铅球，铅球的行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系为，铅球行进路线如图．（1）求出手点离地面的高度．（2）求铅球推出的水平距离．（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4m．【分析】（1）令x＝0代入即可求出答案．（2）令y＝0代入即可求出答案．（3）令y＝4代入即可求出答案．【解答】解：（1）令x＝0代入，∴y＝．（2），解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去）∴铅球推出的水平距离为10米．（3）把y＝4代入，得，化简得x2﹣8x+28＝0，方程无解，∴铅球的行进高度不能达到4米．22．（12分）某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y＝﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元．（1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？【分析】（1）把y＝70代入y＝﹣5x+150，求出x即可；（2）每月销售量y＝﹣5x+150，乘以每件利润（x﹣10）即可得到每月获得的利润w元的表达式；（3）转化为二次函数求出最大值即可．【解答】解：（1）当y＝70时，70＝﹣5x+150，解得x＝16，则（16﹣10）×70＝420元；（2）w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5x2+200x﹣1500，∵，∴自变量的取值范围为10≤x≤18；（3）w＝﹣5x2+200x﹣1500＝﹣5（x﹣20）2+500∵a＝﹣5＜0，∴当10≤x≤18时，w随x的增大而增大，∴当x＝18时，w有最大值，为480元．答：当销售单价定为18元时，每月可获得最大利润，最大利润为480元．23．（12分）定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x ﹣m）2+k的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B （点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．【分析】（1）根据关联直线的定义可求；（2）由题意可得a＝2，c＝3，设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，可得，可求m和k的值，即可求这条抛物线的表达式；（3）由题意可得A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），可求AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，分BC，AC为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求a的值．【解答】解：（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10∴关联直线为y＝x+3﹣10＝x﹣7（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，∴a＝2，c＝3，可设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，则其关联直线为y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k，∴解得∴抛物线y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1，（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，显然AB2＜BC2且AB2＜AC2，故AB不能成为△ABC的斜边，当AB2+BC2＝AC2时：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，当AB2+AC2＝BC2时：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得，∵抛物线的顶点在第一象限∴a＞0，即24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t＝2时，AD＝4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标（2，4）代入计算可得；（2）由抛物线的对称性得BE＝OA＝t，据此知AB＝10﹣2t，再由x＝t时AD＝﹣t2+t，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；（3）由t＝2得出点A、B、C、D及对角线交点P的坐标，由直线GH平分矩形的面积知直线GH必过点P，根据AB∥CD知线段OD平移后得到的线段是GH，由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是△OBD中位线，据此可得．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣10），∵当t＝2时，AD＝4，∴点D的坐标为（2，4），∴将点D坐标代入解析式得﹣16a＝4，解得：a＝﹣，抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x；（2）由抛物线的对称性得BE＝OA＝t，∴AB＝10﹣2t，当x＝t时，AD＝﹣t2+t，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]＝﹣t2+t+20＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）如图，当t＝2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分；当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分；∴当G，H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形面积平分；当点G，H分别落在线段AB，DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积．∵AB∥CD，∴线段OD平移后得到线段GH．∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P．∴DP＝PB，由平移知，PQ∥OB∴PQ是△ODB的中位线，∴PQ＝OB＝4，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．。

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2020-2021宁波市宁波中学(一中)初三数学上期中模拟试卷及答案

2020-2021宁波市宁波中学（一中）初三数学上期中模拟试卷及答案一、选择题1．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．4.75 B．4.8 C．5 D．42．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣43．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m2，道路的宽为xm，则可列方程为（）A．32×20﹣2x2＝570B．32×20﹣3x2＝570C．（32﹣x）（20﹣2x）＝570D．（32﹣2x）（20﹣x）＝5705．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30°6．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( ) A ．k<4 B ．k≤4 C ．k<4且k≠3 D ．k≤4且k≠3 7．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4)8．若关于x 的方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k 16≤B ．1k 16≤C ．k 16≤且k 0≠D ．1k 16≤且k 0≠ 9．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx ﹣1＝0（a ≠0）有一根为x ＝2019，则一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）＝1必有一根为（） A ．12019B ．2020C ．2019D ．201810．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．11．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（）A ．（x+1）（x+2）=18B ．x 2﹣3x+16=0C ．（x ﹣1）（x ﹣2）=18D ．x 2+3x+16=012．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2二、填空题13．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图11所示，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，则P ，Q 的大小关系是______．14．如图，在扇形CAB 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为__．15．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC =105°，则∠C = __．16．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是；17．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多______步．18．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B＝135°，则∠AOC 的度数为_____．19．如图，AD 为ABC V 的外接圆O e 的直径，如果50BAD ∠=︒，那么ACB =∠__________．20．如图，O e 的半径为2，切线AB 的长为23，点P 是O e 上的动点，则AP 的长的取值范围是_________．三、解答题21．已知关于的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．22．某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出5个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w （元）与售价x （元/个）之间的函数关系式．（2）当售价x （元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w （元）最大？最大利润是多少？23．为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有多少人？扇形统计图中∠α的度数是多少？（2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率．24．已知关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x .（1）若a 为正整数，求a 的值；（2）若1x ，2x 满足221212-16x x x x +=，求a 的值.25．已知抛物线y=-x 2-2x+c 与x 轴的一个交点是(1,0)．（1）C 的值为_______；（2）选取适当的数据补填下表，并在平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图像；x ••• 1- 1••• y ••••••（3）根据所画图像，写出y>0时x 的取值范围是_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】设QP 的中点为F ，圆F 与AB 的切点为D ，连接FD ，连接CF ，CD ，则有FD ⊥AB ；由勾股定理的逆定理知，△ABC 是直角三角形，FC+FD=PQ ，由三角形的三边关系知，FC+FD ＞CD ；只有当点F 在CD 上时，FC+FD=PQ 有最小值，最小值为CD 的长，即当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ=CD 有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8．【详解】如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．∵AB=10，AC=8，BC=6，∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，∴FC+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，∴CD=BC•AC÷AB=4.8．故选B．【点睛】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．2．D解析：D【解析】试题分析：抛物线y=x2+2x﹣3与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1；抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．选项A，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误；选项B，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误；选项C，y的最小值是﹣4，该选项错误；选项D，y 的最小值是﹣4，该选项正确．故答案选D.考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．3．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可得答案.【详解】A.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，B.是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，C.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，D.是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．D解析：D 【解析】【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm ，根据草坪的面积是570m 2，即可列出方程．【详解】解：设道路的宽为xm ，根据题意得：（32-2x ）（20-x ）=570，故选D ．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．5．D解析：D 【解析】试题解析：连接OA ，OB ，AB ，BC ，如图：∵AB=OA=OB ，即△AOB 为等边三角形， ∴∠AOB=60°，∵∠ACB 与∠AOB 所对的弧都为»AB ， ∴∠ACB=12∠AOB=30°，又∠ACB 为△SCB 的外角， ∴∠ACB ＞∠ASB ，即∠ASB ＜30°．故选D6．B解析：B 【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B. 考点：函数图像与x 轴交点的特点.7．A解析：A 【解析】根据2()y a x h k =-+ 的顶点坐标为(,)h k ，易得抛物线y=2（x ﹣3）2+4顶点坐标是（3，4）.故选A.8．B解析：B 【解析】【分析】当0k =时，代入方程验证即可，当0k ≠时，根据方程的判别式△≥0可得关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围，问题即得解决. 【详解】解：当0k =时，40x -+=，此时4x =，有实数根；当0k ≠时，∵方程240kx x -+=有实数根，∴△2(1)440k =--⨯⨯…，解得：116k …，此时116k …且0k ≠；综上，116k …．故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.9．B解析：B 【解析】【分析】对于一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）-1=0，设t=x-1得到at 2+bt-1=0，利用at 2+bt-1=0有一个根为t=2019得到x-1=2019，从而可判断一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）=1必有一根为x=2020．【详解】对于一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）-1=0，设t=x-1，所以at 2+bt-1=0，而关于x 的一元二次方程ax 2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019，所以at 2+bt-1=0有一个根为t=2019，则x-1=2019，解得x=2020，所以一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）=1必有一根为x=2020．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．B解析：B 【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．详解：A ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＜0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向下．故选项错误；B ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a-＞0．故选项正确； C ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a-＞0，和x 轴的正半轴相交．故选项错误； D ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上．故选项错误．故选B ．点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y =ax ﹣a 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．11．C解析：C 【解析】【分析】【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =18．故选C ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．12．C解析：C 【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】 ∵h ＝8，r ＝6，可设圆锥母线长为l ，由勾股定理，l 10，圆锥侧面展开图的面积为：S 侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm 2．故选：C ．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．二、填空题13．P ＞Q 【解析】∵抛物线的开口向下∴a＜0∵∴b＞0∴2a -b ＜0∵∴b+2a=0x=-1时y=a-b+c ＜0∴∴3b -2c ＞0∵抛物线与y 轴的正半轴相交∴c ＞0∴3b+2c＞0∴P=3b -2cQ=b解析：P ＞Q 【解析】∵抛物线的开口向下， ∴a ＜0，∵02ba -> ∴b ＞0， ∴2a-b ＜0，∵02ba -= ∴b+2a=0，x=-1时，y=a-b+c ＜0．∴102b bc --+< ∴3b-2c ＞0，∵抛物线与y 轴的正半轴相交， ∴c ＞0， ∴3b+2c ＞0， ∴P=3b-2c ，Q=b-2a-3b-2c=-2a-2b-2c ，∴Q-P=-2a-2b-2c-3b+2c=-2a-5b=-4b ＜0 ∴P ＞Q ，故答案是：P ＞Q ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．14．135°【解析】分析：如图连接EC 首先证明∠AEC=135°再证明△EAC≌△EAB 即可解决问题详解：如图连接EC∵E 是△ADC 的内心∴∠AEC=90°+∠ADC=135°在△AEC 和△AEB 中∴△解析：135°．【解析】分析：如图，连接EC ．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC ≌△EAB 即可解决问题. 详解：如图，连接EC ．∵E 是△ADC 的内心，∴∠AEC=90°+12∠ADC=135°，在△AEC 和△AEB 中， AE AE EAC EAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△EAB ，∴∠AEB=∠AEC=135°，故答案为135°．点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．15．【解析】【分析】先根据∠AOC 的度数和∠BOC 的度数可得∠AOB 的度数再根据△AOD 中AO=DO 可得∠A 的度数进而得出△ABO 中∠B 的度数可得∠C 的度数【详解】解：∵∠AOC 的度数为105°由旋转可解析：45︒【解析】【分析】先根据∠AOC 的度数和∠BOC 的度数，可得∠AOB 的度数，再根据△AOD 中，AO=DO ，可得∠A 的度数，进而得出△ABO 中∠B 的度数，可得∠C 的度数．【详解】解：∵∠AOC 的度数为105°，由旋转可得∠AOD=∠BOC=40°，∴∠AOB=105°-40°=65°，∵△AOD 中，AO=DO ，∴∠A=12（180°-40°）=70°，∴△ABO中，∠B=180°-70°-65°=45°，由旋转可得，∠C=∠B=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．16．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x第一次降价后价格变为100（1-x）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x）（1-x）即100（1-x）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元．根据题意，得100（1-x）2=64，即（1-x）2=0.64，解得x1=1.8，x2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．17．12【解析】【分析】设长为x步宽为(60-x)步根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得【详解】设长为x步宽为(60-x)步x(60-x)=864解得x1=36x2=24(舍去)∴当x=36时60解析：12【解析】【分析】设长为x步，宽为 (60-x) 步，根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得.【详解】设长为x步，宽为(60-x) 步，x(60-x)=864 ，解得，x1=36，x2=24(舍去)，∴当x=36 时，60-x=24 ，∴长比宽多：36-24=12 (步)，故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 18．【解析】【分析】由圆内接四边形的性质先求得∠D的度数然后依据圆周角定理求解即可【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠B＋∠D＝180°∴∠D＝180°－135°＝45°∴∠AOC＝90°故答解析：90o【解析】【分析】由圆内接四边形的性质先求得∠D的度数，然后依据圆周角定理求解即可.【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－135°＝45°，∴∠AOC＝90°，故答案为90°.【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的基本性质以及圆周角定理.19．40°【解析】【分析】连接BD如图根据圆周角定理得到∠ABD=90°则利用互余计算出∠D=40°然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数【详解】连接BD如图∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径∴∠ABD解析：40°．【解析】【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=40°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．【详解】连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D=90°-∠BAD=90°-50°=40°，∴∠ACB=∠D=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查了圆周角定理．熟练掌握并运用圆周角定理是解决本题的关键.20．【解析】【分析】连接OB 根据切线的性质得到∠OBA=90°根据勾股定理求出OA 根据题意计算即可【详解】连接OB ∵AB 是⊙O 的切线∴∠OBA=90°∴OA==4当点P 在线段AO 上时AP 最小为2当点P 在解析：26AP ≤≤【解析】【分析】连接OB ，根据切线的性质得到∠OBA=90°，根据勾股定理求出OA ，根据题意计算即可．【详解】连接OB ，∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA=90°，∴OA=22AB OB +=4，当点P 在线段AO 上时，AP 最小为2，当点P 在线段AO 的延长线上时，AP 最大为6，∴AP 的长的取值范围是2≤AP≤6，故答案为：2≤AP≤6．【点睛】本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．三、解答题21．（1）；（2）的值是，该方程的另一根为．【解析】试题分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解即可；（2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.试题解析：（1）∵b 2﹣4ac=22﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3，∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得： 111x 21x 2a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：11x 3a =-⎧⎨=-⎩，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．22．（1）2555014000w x x =-+-；（2）当售价定为54元时，每周获得的利润最大，最大利润为1120元．【解析】【分析】（1）根据所得利润=每件利润×销售量，可以列出w与x之间的函数关系式并化简为二次函数一般形式；（2）由市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个的销售任务可以确定x的取值范围，然后结合二次函数图像性质可以解答本题．【详解】解：（1）根据题意，得()()()()240100550403505555014000w x x x x x x=---=--=-+-⎡⎤⎣⎦，因此，利润与售价之间的函数关系式为2555014000w x x=-+-（2）∵销售量不得少于80个，∴100-5（x-50）≥80，∴x≤54，∵x≥50，∴50≤x≤54，2555014000w x x=-+-()2511014000x x=---()2225110555514000x x=--+--25(55)1125x=--+∵a=－5＜0，开口向下，对称轴为直线x=55，∴当50≤x≤54时，w随着x的增大而增大，∴当x=54时，w最大值=()2554551125=1120--+，因此，当售价定为54元时，每周获得的利润最大，最大利润为1120元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，可以写出相应的函数解析式，并确定自变量的取值范围以及可以求出函数的最值．23．（1）本次调查的学生总人数为40人，∠α=108°；（2）补图见解析；（3）书法与乐器组合在一起的概率为16．【解析】【分析】（1）用A科目人数除以其对应的百分比可得总人数，用360°乘以C对应的百分比可得∠α的度数；（2）用总人数乘以C科目的百分比即可得出其人数，从而补全图形；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好是“书法”“乐器”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）本次调查的学生总人数为4÷10%=40人，∠α=360°×（1﹣10%﹣20%﹣40%）=108°；（2）C 科目人数为40×（1﹣10%﹣20%﹣40%）=12人，补全图形如下：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好是书法与乐器组合在一起的结果数为2，所以书法与乐器组合在一起的概率为21126=．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、列表法与树状图法求概率，读懂统计图、熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键.24．（1）1a =，2；（2）1a =-【解析】【分析】(1)根据关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根，得到()22[2(1)]420a a a ∆=----->，于是得到结论；(2)由根与系数的关系可得122(1)x x a +=-，2122x x a a =--，代入22121216x x x x +-=，解方程即可得到结论．【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根， ∴()22[2(1)]420a a a ∆=----->，解得：3a <，∵a 为正整数，∴1a =，2；(2)∵122(1)x x a +=-，2122x x a a =--，∵22121216x x x x +-=， ∴()2121216x x x x +-=，∴()22[2(1)]2163a a a -----=，解得：11a =-，26a =，∵3a <，∴1a =-．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a 的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．25．（1）3；（2）见解析；（3）-3<x< 1．【解析】【分析】（1）直接把（1，0）代入抛物线22y x x c =--+即可得出c 的值；（2）先根据（1）抛物线的解析式得出其顶点坐标，再在顶点两边分别取两点，画出函数图象即可；（3）根据函数图象可直接得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线22y x x c =--+与x 轴的一个交点是（1，0），∴2120,c --+= 解得c=3，∴抛物线的解析式为22 3.y x x =--+故答案为：3.（2）∵抛物线的解析式为22 3.y x x =--+即2(1)4,y x =-++∴其顶点坐标为（-1，4），∴当x=-2时，y=3；当x=0时，y=3；当x=-3时，y=0；当x=1时，y=0．如下表： x •••3- 2- 1- 0 1 ••• y ••• 0 3 4 30 •••（3）由函数图象可知，当y＞0时，-3＜x＜1．故答案为：-3＜x＜1．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，能利用描点法画出函数图象，根据数形结合求解是解答此题的关键．。

2020-2021学年浙江省宁波市鄞州蓝青学校七年级(上)期中数学试卷 (word版含解析)

2020-2021学年浙江省宁波市鄞州蓝青学校七年级（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）﹣2020的相反数是（）A．﹣2020B．2020C．﹣D．2．（3分）在下列各数0，，，π，，，0.1010010001……（两个1之间，依次增加1个0），其中无理数有（）A．6个B．5个C．4个D．3个3．（3分）2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A．1.12×108B．1.12×109C．1.12×1010D．0.112×1010 4．（3分）下列化简正确的是（）A．8x﹣7y＝xy B．a2b﹣2ab2＝﹣ab2C．9a2b﹣4ba2＝5a2b D．5m﹣4m＝15．（3分）下列选项中正确的是（）A．27的立方根是±3B．的平方根是±4C．9的算术平方根是3D．立方根等于平方根的数是16．（3分）已知|x|＝2，y3＝27，且xy＞0，则x+y的值等于（）A．5B．﹣1C．±5D．5或17．（3分）解方程时，去分母、去括号后，正确结果是（）A．4x+1﹣10x+1＝1B．4x+2﹣10x﹣1＝1C．4x+2﹣10x﹣1＝6D．4x+2﹣10x+1＝68．（3分）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（）A．B．C．D．9．（3分）当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2018，则当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值为（）A．2017B．﹣2016C．2018D．﹣201810．（3分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（）A．a B．b C．AD D．AB二、填空题11．（3分）计算的结果等于．12．（3分）单项式的系数是，次数是．13．（3分）若单项式﹣3a2m+1b8与4a3m b5m+n是同类项，则这两个单项式的和为．14．（3分）按下面的程序计算：若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值为．15．（3分）数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：|2a﹣b|﹣|b﹣a|+|b|＝．16．（3分）某校园餐厅把WIF密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是．17．（3分）若xyz＜0，则+++的值为．18．（3分）如图，一个正五边形的五个顶点依次编号为1，2，3，4，5，从某个顶点开始，若顶点编号是奇数，则一次逆时针走2个边长；若顶点编号是偶数，则一次顺时针走1个边长．若从编号2开始走，则第2020次后，所处顶点编号是．三、解答题19．计算（1）（2）﹣23+20．解方程（1）x﹣2（x﹣4）＝3（1﹣x）；（2）1﹣＝．21．先化简，再求值：5x2y﹣[xy2﹣2（2xy2﹣3x2y）+x2y]﹣4xy2，其中x，y满足（x+2）2+|y ﹣3|＝0．22．2015年9月30日杭州西湖景区某公园人流量为7万，每张门票80元，“十一黄金周”景区迎来了旅游高峰期，游客从各个省市来到杭州，该公园统计：十一黄金周期间，游客人数与前一天相比，增加和减少的情况如下表：（记增加为正）．日期1号2号3号4号5号6号7号人数（万人）+5﹣1.2+5.7﹣0.6+1.8﹣2.9﹣2.5（1）10月2号该公园的人流量是多少万人？（2）“十一黄金周”期间，人流量最多和最少分别出现在哪一天？（3）该公园的所有门票收入均要缴纳百分之五的税，求“十一黄金周”期间，该公园的实际收入．23．如图两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在讲台上请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题：（1）每本课本的厚度为cm．（2）若有一摞上述规格的课本x本整齐地叠放在讲台上请用含x的代数式表示出这摞课本的顶部距离地面的高度；（3）当x＝42时，求课本的顶部距离地面的高度．24．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示2和5的两点的距离是，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x是．（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是．25．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．（1）仿照以上方法计算：＝；＝．（2）若，写出满足题意的x的整数值．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．（3）对100连续求根整数，次之后结果为1．（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是．2020-2021学年浙江省宁波市鄞州蓝青学校七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）﹣2020的相反数是（）A．﹣2020B．2020C．﹣D．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：﹣2020的相反数是：2020．故选：B．2．（3分）在下列各数0，，，π，，，0.1010010001……（两个1之间，依次增加1个0），其中无理数有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【分析】由于无理数就是无限不循环小数，由此即可判定选择项．【解答】解：在下列各数0，，，π，，，0.1010010001……（两个1之间，依次增加1个0），其中无理数有，π，0.1010010001……共3个．故选：D．3．（3分）2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A．1.12×108B．1.12×109C．1.12×1010D．0.112×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：1120000000＝1.12×109，故选：B．4．（3分）下列化简正确的是（）A．8x﹣7y＝xy B．a2b﹣2ab2＝﹣ab2C．9a2b﹣4ba2＝5a2b D．5m﹣4m＝1【分析】根据合并同类项的法则判定即可．【解答】解：A.8x与﹣7y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．a2b与2ab2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；C.9a2b﹣4ba2＝5a2b，正确，故本选项符合题意；D.5m﹣4m＝m，故本选项不合题意．故选：C．5．（3分）下列选项中正确的是（）A．27的立方根是±3B．的平方根是±4C．9的算术平方根是3D．立方根等于平方根的数是1【分析】A、根据立方根的即可判定；B、根据算术平方根、平方根的定义即可判定；C、根据算术平方根的定义即可判定；D、根据平方根、立方根的定义求解即可判定．【解答】解：A、27的立方根是3，故选项错误；B、的平方根是±2，故选项错误；C、9的算术平方根是3，故选项正确；D、立方根等于平方根的数是0，故选项错误．故选：C．6．（3分）已知|x|＝2，y3＝27，且xy＞0，则x+y的值等于（）A．5B．﹣1C．±5D．5或1【分析】根据绝对值、立方根的意义，求出x、y的值，再根据乘法的符号法则，确定x、y的值，最后计算x+y的值．【解答】解：∵|x|＝2，y3＝27，∴x＝±2，y＝3又∵xy＞0，∴x＝2，y＝3∴x+y＝5．故选：A．7．（3分）解方程时，去分母、去括号后，正确结果是（）A．4x+1﹣10x+1＝1B．4x+2﹣10x﹣1＝1C．4x+2﹣10x﹣1＝6D．4x+2﹣10x+1＝6【分析】方程去分母，去括号得到结果，即可做出判断．【解答】解：方程去分母得：2（2x+1）﹣（10x+1）＝6，去括号得：4x+2﹣10x﹣1＝6，故选：C．8．（3分）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（）A．B．C．D．【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AD＝AE＝，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE，∴AD＝AE＝，∵点A表示的数是1，且点E在点A左侧，∴点E表示的数为：1﹣．故选：B．9．（3分）当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2018，则当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值为（）A．2017B．﹣2016C．2018D．﹣2018【分析】将x＝1代入px3+qx+1，求出p与q的关系式，然后将x＝﹣1代入px3+qx+1即可求出答案．【解答】解：将x＝1代入px3+qx+1，可得p+q+1＝2018，∴p+q＝2017，将x＝﹣1代入px3+qx+1，可得﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1＝﹣2017+1＝﹣2016，故选：B．10．（3分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（）A．a B．b C．AD D．AB【分析】根据平移的知识和周长的定义，列出算式l＝2AD﹣2b+4AB﹣（2AD+2AB﹣2b），再去括号，合并同类项即可求解．【解答】解：图1中阴影部分的周长＝2AD+2AB﹣2b，图2中阴影部分的周长＝2AD﹣2b+4AB，l＝2AD﹣2b+4AB﹣（2AD+2AB﹣2b）＝2AD﹣2b+4AB﹣2AD﹣2AB+2b＝2AB．故若要知道l的值，只要测量图中线段AB的长．故选：D．二、填空题11．（3分）计算的结果等于．【分析】根据立方根的定义计算即可．【解答】解：＝＝．故答案为：．12．（3分）单项式的系数是﹣，次数是4．【分析】直接利用单项式的次数与系数的定义分析得出答案．【解答】解：单项式的系数是：﹣，次数是：4．故答案为：﹣，4．13．（3分）若单项式﹣3a2m+1b8与4a3m b5m+n是同类项，则这两个单项式的和为a3b8．【分析】直接利用同类项定义得出m，n的值，进而得出答案．【解答】解：∵单项式﹣3a2m+1b8与4a3m b5m+n同类项，∴，解得：．∴﹣3a3b8+4a3b8＝a3b8．故答案为：a3b8．14．（3分）按下面的程序计算：若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值为22或111．【分析】由5x+1＝556，解得x＝111，即开始输入的x为111，最后输出的结果为556；当开始输入的x值满足5x+1＝111，最后输出的结果也为556，可解得x＝22；当开始输入的x值满足5x+1＝22，最后输出的结果也为556，但此时解得的x的值为小数，不合题意．【解答】解：当输入一个正整数，一次输出556时，5x+1＝556，解得：x＝111；当输入一个正整数，两次后输出556时，5x+1＝111，解得：x＝22；当输入一个正整数，三次后输出556时，5x+1＝22，解得：x＝4.2（不合题意）故答案为：22或111．15．（3分）数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：|2a﹣b|﹣|b﹣a|+|b|＝a﹣b．【分析】先根据有理数的大小比较比较大小，再根据绝对值的化简解答即可．【解答】解：∵﹣2＜b＜﹣1＜0＜a＜1，∴2a﹣b＞0，b﹣a＜0，b＜0，∴|2a﹣b|﹣|b﹣a|+|b|＝2a﹣b+b﹣a﹣b＝a﹣b．故答案为：a﹣b．16．（3分）某校园餐厅把WIF密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是143549．【分析】根据题中wif密码规律确定出所求即可．【解答】解：原式＝7×2×10000+7×5×100+7×（2+5）＝143549，故答案为：14354917．（3分）若xyz＜0，则+++的值为0或﹣4．【分析】根据有理数的乘法运算法则判断出x、y、z三个数只有一个负数，不妨设x＜0，然后根据绝对值的性质分别进行化简计算即可得解．【解答】解：∵xyz＜0，∴x、y、z三个数只有一个负数，不妨设x＜0或都是负数则+++＝+++＝﹣1+1+1﹣1＝0或原式＝﹣4．故答案为：0或﹣4．18．（3分）如图，一个正五边形的五个顶点依次编号为1，2，3，4，5，从某个顶点开始，若顶点编号是奇数，则一次逆时针走2个边长；若顶点编号是偶数，则一次顺时针走1个边长．若从编号2开始走，则第2020次后，所处顶点编号是5．【分析】根据题意先确定前几次的移动情况，进而找到规律，根据规律解答即可．【解答】解：根据题意，从编号2开始走，第1次顺时针走1个边长到点3，3是奇数，第2次3逆时针走2个边长到点1，第3次1到点4，第4次4到点5，第5次5到点3，…以此类推，4次一个循环，所以2020÷4＝505，∴第2020次后，所处顶点编号是5．故答案为5．三、解答题19．计算（1）（2）﹣23+【分析】（1）从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．（2）首先计算乘方、开方，然后计算乘法、除法，最后计算加法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（1）＝2+1＝4（2）﹣23+＝﹣8﹣2÷（﹣8）×8＝﹣8+2＝﹣620．解方程（1）x﹣2（x﹣4）＝3（1﹣x）；（2）1﹣＝．【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）去括号得：x﹣2x+8＝3﹣3x，移项合并得：2x＝﹣5，解得：x＝﹣2.5；（2）去分母得：4﹣3x+1＝6+2x，移项合并得：﹣5x＝1，解得：x＝﹣0.2．21．先化简，再求值：5x2y﹣[xy2﹣2（2xy2﹣3x2y）+x2y]﹣4xy2，其中x，y满足（x+2）2+|y ﹣3|＝0．【分析】先去括号，合并同类项，再根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后求解即可．【解答】解：5x2y﹣[xy2﹣2（2xy2﹣3x2y）+x2y]﹣4xy2，＝5x2y﹣[xy2﹣4xy2+6x2y+x2y]﹣4xy2，＝5x2y﹣xy2+4xy2﹣6x2y﹣x2y﹣4xy2，＝（5﹣6﹣1）x2y+（﹣1+4﹣4）xy2，＝﹣2x2y﹣xy2，由题意知，x+2＝0，y﹣3＝0，解得x＝﹣2，y＝3，当x＝﹣2，y＝3时，原式＝﹣2×（﹣2）2×3﹣（﹣2）×32＝﹣24+18＝﹣6．22．2015年9月30日杭州西湖景区某公园人流量为7万，每张门票80元，“十一黄金周”景区迎来了旅游高峰期，游客从各个省市来到杭州，该公园统计：十一黄金周期间，游客人数与前一天相比，增加和减少的情况如下表：（记增加为正）．日期1号2号3号4号5号6号7号人数（万人）+5﹣1.2+5.7﹣0.6+1.8﹣2.9﹣2.5（1）10月2号该公园的人流量是多少万人？（2）“十一黄金周”期间，人流量最多和最少分别出现在哪一天？（3）该公园的所有门票收入均要缴纳百分之五的税，求“十一黄金周”期间，该公园的实际收入．【分析】（1）根据9月30日的人数，由表格即可确定出10月2日的人数；（2）求出10月1﹣7号的人数，即可做出判断；（3）求出8天的人数之和，乘以80，减去所缴纳的税，即可得到结果．【解答】解：（1）7+5﹣1.2＝10.8（万），答：10月2号该公园的人流量是10.8万人；（2）10月1号至7号的人流量为：12万，10.8万，16.5万，15.9万，17.7万，14.8万，12.3万，答：人流量最多的是10月5号和最少的是10月2号；（3）（12+10.8+16.5+15.9+17.7+14.8+12.3）×80×（1﹣5%）＝7600（万元）．答：该公园的实际收入是7600万元．23．如图两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在讲台上请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题：（1）每本课本的厚度为0.5cm．（2）若有一摞上述规格的课本x本整齐地叠放在讲台上请用含x的代数式表示出这摞课本的顶部距离地面的高度；（3）当x＝42时，求课本的顶部距离地面的高度．【分析】（1）利用提供数据88﹣86.5等于3本书的高度，即可求出一本课本的厚度，进而得出课桌的高度；（2）高出地面的距离＝课桌的高度+x本书的高度，把相关数值代入即可；（3）把x＝42代入（2）得到的代数式求值即可．【解答】解：（1）书的厚度为：（88﹣86.5）÷（6﹣3）＝0.5cm；故答案为：0.5；（2）∵x本书的高度为0.5xcm，课桌的高度为85cm，∴高出地面的距离为（85+0.5x）cm；（3）当x＝42时，85+0.5x＝106．答：余下的课本的顶部距离地面的高度106cm．24．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示2和5的两点的距离是3，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是15，数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是45．（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x是1或﹣3．（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是4．【分析】（1）（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．（3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到﹣1，2和3距离的和，当x在﹣1和3之间的2时有最小值．【解答】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|＝3，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是|﹣20﹣（﹣5）|＝15．数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是|15﹣（﹣30）|＝45．（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为1或﹣3．（3）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|表示：数轴上一点到﹣1，2和3距离的和，当x在﹣1和3之间的2时有最小值是4．故答案为：3，15，45；|x+1|，1或﹣3；4．25．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．（1）仿照以上方法计算：＝2；＝5．（2）若，写出满足题意的x的整数值1，2，3．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．（3）对100连续求根整数，3次之后结果为1．（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255．【分析】（1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果；（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，∴5＜＜6，∴＝[2]＝2，[]＝5，故答案为：2，5；（2）∵12＝1，22＝4，且，∴x＝1，2，3，故答案为：1，2，3；（3）第一次：[]＝10，第二次：[]＝3，第三次：[]＝1，故答案为：3；（4）最大的正整数是255，理由是：∵[]＝15，[]＝3，[]＝1，∴对255只需进行3次操作后变为1，∵[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，∴对256只需进行4次操作后变为1，∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．。

浙江精准联盟2024年九年级上学期期中调研数学试卷+答案

2024-2025学年浙江省宁波市精准联盟九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下B．a为实数，|a|＞0C．打开电视，正在播放动画片D．任选三角形的两边，其差小于第三边2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣6的顶点坐标为（）A．（﹣1，6）B．（1，﹣6）C．（1，6）D．（﹣1，﹣6）3．（3分）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（）A．3B．4C．5D．64．（3分）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．80°5．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）x…1 1.1 1.2 1.3 1.4…y…﹣1﹣0.490.040.59 1.16…A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．1.3＜x＜1.46．（3分）为了解学生在假期中的阅读量，语文老师统计了全班学生在假期里的看书数量，统计结果如表：那么假期里该班学生看书数量的平均数与众数分别为（）看书数量/（本）23456人数/（人）661085A．4，5B．5，4C．4，4D．5，57．（3分）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）B．y＝（200+5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x ＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（）A．AB＝4B．b2﹣4ac＞0C．ab＜0D．a﹣b+c＜09．（3分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．10．（3分）已知a1＞a2＞a3＞0，且x1，x2，x3都是大于1的数，若满足a1（x1+1）（x1﹣1）＝1，a2（x2+1）（x2﹣1）＝2，a3（x3+1）（x3﹣1）＝3，则（）A．x3＜x2＜x1B．x1＝x2＝x3C．x3＜x1＜x2D．x1＜x2＜x3二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）抛物线y＝﹣x2+5的开口方向是向．12．（3分）若点A（0，y1），B（1，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为（用“＞”连接）．13．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是．14．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E 从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．15．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接AC，BC，M，N分别是AB，BC的中点，连接MN．若AB＝8，∠ACB＝45°，则MN的最大值为．16．（3分）如图，△ABC是一个含45°角的三角板，∠A＝90°，，将三角板绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后，与点D对应，点B与点E对应，当边DE与原三角板的一边平行时，则点A与点E的距离为．三、解答题（本题有8小题，共72分）17．（8分）（1）已知，求x：y的值．（2）已知线段a＝2，b＝8，求线段a，b的比例中项．18．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上．（1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P；（2）求AC的长．19．（8分）现有三位“抗疫”英雄（依次标记为A，B，C）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料．（1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率；（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率．20．（8分）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为6cm．（1）求截面中弦AB的长；（2）求截面中有水部分弓形的面积．21．（8分）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．22．（10分）为响应吴兴区“千里助力，精准扶贫”活动，某销售平台为青川农户销售农产品，平台销售农产品的总运营成本为4元/千克，在销售过程中要保证农户的售价不低于7元/千克，且不超过15元/千克．如图记录了某三周的销售数据，经调查分析发现，每周的农产品销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）近似满足如图规律的函数关系．（1）试写出y与x符合的函数表达式．（2）若要确保农产品一周的销售量不少于6500千克，问：当农产品售价定为多少时，青川农户可获得最大收入？最大收入为多少？23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，且过点B（﹣1，2），C（3，0）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，当抛物线经过点B时，求m的值；（3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且S△ABC＝2S△ACP，求点P的坐标．2024-2025学年浙江省宁波市精准联盟九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下B．a为实数，|a|＞0C．打开电视，正在播放动画片D．任选三角形的两边，其差小于第三边【分析】根据绝对值的非负性，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．【解答】解：A、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事件，故A不符合题意；B、a为实数，|a|＞0，是随机事件，故B不符合题意；C、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，故C不符合题意；D、任选三角形的两边，其差小于第三边，是必然事件，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了绝对值，绝对值的非负性，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣6的顶点坐标为（）A．（﹣1，6）B．（1，﹣6）C．（1，6）D．（﹣1，﹣6）【分析】根据所给抛物线解析式为顶点式即可得出顶点的坐标．【解答】解：因为抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣6，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣6）．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数表达式中的顶点式是解题的关键．3．（3分）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得∠C＝∠D，∠A＝∠B，则△AOC∽△BOD，由相似三角形的性质得，代入数值即可求解．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠C＝∠D，∠A＝∠B，∴△AOC∽△BOD，∴，∵OA＝6，OC＝3，OD＝2，∴，∴OB＝4．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例时解题关键．4．（3分）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．80°【分析】根据以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，可知A、C、B、D四点共圆，再根据圆周角定理求解即可．【解答】解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示：∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，∴A、C、B、D四点共圆，∵量角器上点D对应的读数是100°，∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°，∴∠BCD＝∠BOD＝40°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）x…1 1.1 1.2 1.3 1.4…y…﹣1﹣0.490.040.59 1.16…A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．1.3＜x＜1.4【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【解答】解：由表格数据可得，当x＝1.1时，y＝﹣0.49，当x＝1.2时，y＝0.04，于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2，故选：B．【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．6．（3分）为了解学生在假期中的阅读量，语文老师统计了全班学生在假期里的看书数量，统计结果如表：那么假期里该班学生看书数量的平均数与众数分别为（）看书数量/（本）23456人数/（人）661085A．4，5B．5，4C．4，4D．5，5【分析】直接根据平均数及众数的定义求解即可．【解答】解：由题意可知，假期里该班学生看书数量的平均数＝＝4（本），∵看书数量为4本的有10人，人数最多，∴众数为4（本），故选：C．【点评】本题考查了众数和加权平均数，解题的关键是熟练掌握平均数的计算公式．7．（3分）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）B．y＝（200+5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x【分析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．【解答】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．故选：A．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式．8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x ＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（）A．AB＝4B．b2﹣4ac＞0C．ab＜0D．a﹣b+c＜0【分析】用抛物线的对称性可确定A点坐标为（﹣3，0），则可对选项A进行判断；利用根的判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对选项B进行判断；由抛物线开口向下得到a＞0，再利用对称轴方程得到b＝2a＞0，则可对选项C进行判断；利用x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0和a＞0可对选项D 进行判断．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），∴A（﹣3，0），∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，所以选项A正确，不合题意；∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以选项B正确，不合题意；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴ab＞0，所以选项C不正确，符合题意；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以D正确，不合题意．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac ＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．9．（3分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4）A．B．C．D．【分析】连接OC，根据直角三角形的性质求出AB，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，得到，进而得到OC为△AOB的中线，得到S△AOC＝S△BOC，推出阴影部分的面积等于S扇形AOC﹣S扇形DOC，计算即可．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，OA＝4，∴AB＝2OA＝8，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴，∴OC为△AOB的中线，∴S△AOC＝S△BOC，∴阴影部分的面积为．故选：A．【点评】本题考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形的面积．正确的分割图形，利用分割法求面积，是解题的关键．10．（3分）已知a1＞a2＞a3＞0，且x1，x2，x3都是大于1的数，若满足a1（x1+1）（x1﹣1）＝1，a2（x2+1）（x2﹣1）＝2，a3（x3+1）（x3﹣1）＝3，则（）A．x3＜x2＜x1B．x1＝x2＝x3C．x3＜x1＜x2D．x1＜x2＜x3【分析】根据a1＞a2＞a3＞0，可得＜＜，又由于x1，x2，x3都是大于1的数，可得（x1+1）（x1﹣1）＞0，a2（x2+1）（x2﹣1）＞0，a3（x3+1）（x3﹣1）＞0，进而得出（x1+1）（x1﹣1）＝，（x2+1）（x2﹣1）＝，（x3+1）（x3﹣1）＝，再根据完全平方公式可得（x1+1）（x1﹣1）＝x12﹣1，（x2+1）（x2﹣1）＝﹣1，（x3+1）（x3﹣1）＝x32﹣1，进而得出答案．【解答】解：∵a1＞a2＞a3＞0，∴＜＜，∵x1，x2，x3都是大于1的数，∴（x1+1）（x1﹣1）＞0，a2（x2+1）（x2﹣1）＞0，a3（x3+1）（x3﹣1）＞0，∵a1（x1+1）（x1﹣1）＝1，a2（x2+1）（x2﹣1）＝2，a3（x3+1）（x3﹣1）＝3，∴（x1+1）（x1﹣1）＝，（x2+1）（x2﹣1）＝，（x3+1）（x3﹣1）＝，∵＜＜，∴（x1+1）（x1﹣1）＜（x2+1）（x2﹣1）＜（x3+1）（x3﹣1），∵（x1+1）（x1﹣1）＝x12﹣1，（x2+1）（x2﹣1）＝﹣1，（x3+1）（x3﹣1）＝x32﹣1，∴x12﹣1＜﹣1＜x32﹣1，∴x12＜＜x32，∵x1，x2，x3都是大于1的数，∴x1＜x2＜x3．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）抛物线y＝﹣x2+5的开口方向是向下．【分析】直接根据二次函数的性质进行解答即可．【解答】解：y＝﹣x2+5中，a＝﹣1＜0，∴抛物线y＝﹣x2+5开口方向向下，故答案为：下．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．12．（3分）若点A（0，y1），B（1，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为y1＞y3＞y2（用“＞”连接）．【分析】根据y＝（x﹣1）2+k可求出函数的对称轴，点B、C在对称轴右侧，函数图形开口向上，y随x增大而增大，可以判断y2，y3的大小，而点A离对称轴最远，故y1的值最大，据此即可判断．【解答】解：∵抛物线的开口向上，且对称轴为直线x＝1，∵B、C点在抛物线右侧，2＜3，∴y3＞y2，∵x＝﹣3离对称轴最远，y值最大，x＝2离对称轴最近，y值最小，∴y1＞y3＞y2．故答案为：y1＞y3＞y2．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中变化时，抛物线的开口方向以及对称轴的位置对的影响是解题的关键．13．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是3﹣3．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝6×＝3﹣3．故答案为：3﹣3．【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．14．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E 从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．【分析】如果以点A、D、E ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D 与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．∴AD：AB＝AE：AC，∴t：6＝（12﹣2t）：12，∴t＝3；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC＝AE：AB，∴t：12＝（12﹣2t）：6，∴t＝4.8．故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．【点评】主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况是解决问题的关键．15．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接AC，BC，M，N分别是AB，BC的中点，连接MN．若AB＝8，∠ACB＝45°，则MN的最大值为4．【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN＝BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，′′∴∠BAC′＝90°．∵∠ACB＝45°，AB＝8，∴∠AC′B＝45°，∴BC′＝＝＝8，∴MN最大＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．16．（3分）如图，△ABC是一个含45°角的三角板，∠A＝90°，，将三角板绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后，点A与点D对应，点B与点E对应，当边DE与原三角板的一边平行时，则点A与点E的距离为或5．【分析】据题意画出图形，分将三角板绕着点C顺时针旋转45°及90°两种情况讨论，进行求解即可．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝90°，BC＝，∠B＝45°∴AB＝AC＝5，由旋转性质可得：，如图所示，将三角板绕着点C顺时针旋转45°后，DE∥BC，此时；如图所示，将三角板绕着点C顺时针旋转90°后，DE∥AC，∵DE∥AC，DE＝AC，∴四边形ACDE是平行四边形，∵∠CDE＝90°，∴四边形ACDE是矩形，∴AE＝CD＝5，故答案为：或5．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质及矩形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，再利用相关性质解题．三、解答题（本题有8小题，共72分）17．（8分）（1）已知，求x：y的值．（2）已知线段a＝2，b＝8，求线段a，b的比例中项．【分析】（1）根据比例的基本性质得到7x＝3x+3y，移项得到4x＝3y，于是得到x：y＝3：4；（2）根据比例中项的定义得到方程c2＝ab，解之可得答案．【解答】解：（1）∵，∴7x＝3x+3y，∴4x＝3y，∴x：y＝3：4；（2）设c为线段a，b的比例中项，则c2＝ab，即c2＝16，由于c＞0，故c＝4．【点评】本题主要考查比例线段，熟练掌握线段的比例中项的定义是解题的关键．18．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上．（1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P；（2）求AC的长．【分析】（1）连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，交点即为过A，B，C三点的圆的圆心P．（2）利用勾股定理计算即可．【解答】解：（1）如图，连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求．（2）由勾股定理得，AC＝＝．【点评】本题考查作图—应用与设计作图、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解答本题的关键．19．（8分）现有三位“抗疫”英雄（依次标记为A，B，C）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料．（1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率；（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵共有三张卡片，分别是A，B，C三个标号，∴班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率为；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果有6种，∴小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率为＝．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（8分）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为6cm．（1）求截面中弦AB的长；（2）求截面中有水部分弓形的面积．【分析】（1）连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，由于弓形的高为6cm可求出OE的长，在Rt△AOE中利用三角函数的定义可求出∠AOE＝60°，解直角三角形求得AE，进一步求得AB；（2）由垂径定理可知，∠AOE＝∠BOE，进而可求出∠AOB的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积．【解答】解：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，∵弓形的高为6cm，截面半径为12cm，∴OE＝OD﹣DE＝12﹣6＝6cm，在Rt△AOE中，OE＝OB＝6cm，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，∴AE＝OA＝×12＝6（cm），∴AB＝2AE＝12cm；（2）∵∠AOE＝60°，∴∠AOB＝2∠AOE＝2×60°＝120°，∴S弓形＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣12×6＝（）（cm2）．【点评】本题考查的是垂径定理、解直角三角形、扇形及三角形的面积，根据题意画出图形是解答此题的关键．21．（8分）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【分析】（1）根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．（2）将a的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【解答】解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．∵对称轴为直线x＝2，∴＝2．解得a＝3；（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x2﹣4x．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．22．（10分）为响应吴兴区“千里助力，精准扶贫”活动，某销售平台为青川农户销售农产品，平台销售农产品的总运营成本为4元/千克，在销售过程中要保证农户的售价不低于7元/千克，且不超过15元/千克．如图记录了某三周的销售数据，经调查分析发现，每周的农产品销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）近似满足如图规律的函数关系．（1）试写出y与x符合的函数表达式．（2）若要确保农产品一周的销售量不少于6500千克，问：当农产品售价定为多少时，青川农户可获得最大收入？最大收入为多少？【分析】（1）由图观察可得y与x之间符合一次函数关系，用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，根据题意得二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）由图可知，x值增加1，y值减小500，故y与x之间符合一次函数关系，设y和x的函数表达式为：y＝kx+b，则，解得，∴y和x的函数表达式为：y＝﹣500x+12000；（2）设这一周青川农户可获得的利润为w元，∵农产品一周的销售量不少于6500千克，∴﹣500x+12000≥6500，解得x≤11，∴7≤x≤11，而w＝y（x﹣4）＝（﹣500x+12000）（x﹣4）＝﹣500（x﹣14）2+50000，∵﹣500＜0，抛物线对称轴为直线x＝14，∴7≤x≤11在对称轴左侧，w随x的增大而增大，∴x＝11时，w有最大值为45500元，故当农产品售价定为11时，青川农户可获得最大收入，最大收入为45500元．【点评】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中应用，明确二次函数的相关性质及正确列出函数关系式，是解题的关键．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．【分析】（1）连接AD，利用圆周角定理推知AD⊥BD，然后由等腰三角形的性质证得结论；（2）根据已知条件得到∠EOD＝50°，结合圆周角定理求得∠DAC＝25°，所以根据直角三角形的性质求得∠ABD的度数，根据等腰三角形的性质即可得解．【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ABD＝90°，∴AD⊥BD，又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：连接OD、OE，∵弧DE＝50°，∴∠EOD＝50°．∴∠DAE＝∠DOE＝25°，∵由（1）知，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝65°．【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，且过点B（﹣1，2），C（3，0）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，当抛物线经过点B时，求m的值；（3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且S△ABC＝2S△ACP，求点P的坐标．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B关于对称轴的对称点B′，求出BB′的长度即可；（3）先求出直线AC的解析式，再过点B作BD⊥y轴交AC于点D，求出点D的坐标，过点P作PE ⊥x轴交AC于点E，设点P（x，﹣x2+x+3），则E（x，﹣x+3），求出PE的长度，求出△ABC的面积，再根据S△ABC＝2S△ACP，求出△ACP的面积，然后得出关于x的方程，解方程求出x的值即可．【解答】解：（1）把B（﹣1，2），C（3，0）代入y＝ax2+bx+3，则，解得，∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）∵y＝﹣x2+x+3，∴对称轴为直线x＝﹣＝，令B点关于对称轴的对称点为B′，∴B′（2，2），∴BB′＝3，∵抛物线向左平移m（m＞0）个单位经过点B，∴m＝3；（3）设直线AC的解析式为y＝kx+n，把A（0，3），C（3，0）代入y＝kx+n得：，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，过点B作BD⊥y轴交AC于点D，如图：则点D的纵坐标为2，把y＝2代入y＝﹣x+3得，﹣x+3＝2，解得x＝1，∴D（1，2），∴BD＝2，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝×1•BD+×2•BD＝1+2＝3，过点P作PE⊥x轴交AC于点E，设点P（x，﹣x2+x+3），则E（x，﹣x+3），∴PE＝﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+x，∵S△ABC＝2S△ACP＝3，∴S△ACP＝，∵S△ACP＝×3•PE＝．∴PE＝1，令﹣x2+x＝1，解得x＝1或2，∴当x＝1时，y＝﹣++3＝3；当x＝2时，y＝﹣×4+×2+3＝2，∴P（1，3）或（2，2）．【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、解析式的求法等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．。

浙江省宁波市镇海区2020-2021学年九年级上学期期中数学试题及参考答案

浙江省宁波市镇海区2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线y＝4x2﹣3的顶点坐标是（）A．(0，3)B．(0，﹣3)C．(﹣3，0)D．(4，﹣3) 2．下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（）A．事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B．体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D．掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为1 33．如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是（）A．B．C．D．4．把函数2(1)2y x=-+的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．22y x=+B．2(1)1y x=-+C．2(2)2y x=-+D．2(1)3y x=--5．如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，若将三角形PBC绕点B旋转到三角形P′BA，则∠P′BP的度数为()A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°6．已知（﹣3，y 1），（﹣2，y 2），（1，y 3）是抛物线y ＝﹣3x 2﹣12x +m 上的点，则（）A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 3＜y 1＜y 2C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 2 7．圆内接四边形ABCD 的四个内角之比可能是（）A ．1:2:3:4B ．1:3:4:5C ．2:3:4:5D ．2:3:5:4 8．已知M （1，2），N （3，﹣3），P （x ，y ）三点可以确定一个圆，则以下P 点坐标不满足要求的是（）A ．（3，5）B ．（﹣3，5）C ．（1，2）D ．（1，﹣2） 9．如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF （面积记为S 1）变形为以点D 为圆心，CD 为半径的扇形（面积记为S 2），则S 1与S 2的关系为（）A ．S 1＝3πS 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1＞S 2 10．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A ．B ．C ．D ．7米二、填空题 11．从1,1,1,2,52--中任取一数作为a ，使抛物线2y ax bx c =++的开口向上的概率为__________．12．已知∠O 的半径为5，若P 到圆心O 的距离是4，则点P 与∠O 的位置关系是________．13．若二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_____． 14．一条弦所对的圆心角的度数为95°，这条弦所对的圆周角的度数为______．15．二次函数1()(6)y x mx m m=--(其中m>0),下列命题：∠该图象过点(6，0)；∠该二次函数顶点在第三象限；∠当x>3时，y 随x 的增大而增大；∠若当x<n 时，都有y 随x 的增大而减小，则132n m ≤+.正确的序号是____________. 16．如图，AB 为∠O 的直径，且AB ＝10，点C 为∠O 上半圆的一点，CE ∠AB 于点E ，∠OCE 的角平分线交∠O 于点D ，弦AC ＝6，那么∠ACD 的面积是_______．三、解答题17．城市小区生活垃圾分为干垃圾、湿垃圾、有害垃圾和可回收垃圾四种不同的类型．（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是湿垃圾的概率是．（2）甲、乙分别投放了一袋垃圾，通过画树状图或列表求恰好是同一类型垃圾的概率．18．如图，∠ABC 内接于∠O ，设∠B ＝α，请用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）．(1)在图∠中画一个度数是2α的圆心角；(2)在图∠中作出∠C 的余角．19．已知二次函数的图象经过点(1,0)A -和点(3,0)B ，且有最小值为2-.（1）求这个函数的解析式、函数的开口方向、对称轴；（2）当0y >时，x 的取值范围.20．已知：如图，在∠O 中，AB ＝CD ，AB 与CD 相交于点M ，(1)求证：AC BD =；(2)求证：AM ＝DM ．21．如图，已知A 、B 、C 是O 上三点，其中2AB BC =，过点B 画BD OC ⊥于点D ．（1）求证：2AB BD =；（2）若1AB CD ==，求图中阴影部分的面积．22．某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p （元/千克）与时间t （天）之间的函数关系为p ＝116(140)4146(4180)2t t t t ⎧+≤≤⎪⎪⎨⎪-+≤≤⎪⎩，且t 为整数，日销售量y （千克）与时间t （天）之间的函数关系如图所示．(1)求日销售量y 与时间t 的函数表达式．(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？23．若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形．如图1，四边形ABCD 中，若AC=BD ，AC∠BD ，则称四边形ABCD 为奇妙四边形．根据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：（1）矩形奇妙四边形（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知∠O 的内接四边形ABCD 是奇妙四边形，若∠O 的半径为6，∠ BCD=60°．求奇妙四边形ABCD 的面积；（3）如图3，已知∠O 的内接四边形ABCD 是奇妙四边形作OM∠BC 于M ．请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论．24．如图，抛物线y ＝﹣213222x x ++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．(1)求点A 、点B 、点C 的坐标；(2)求直线BD 的解析式；(3)当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形；(4)在点P 的运动过程中，是否存在点Q ，使∠BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．B【解析】【分析】根据抛物线2y ax b =+的顶点坐标为(0，b)，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，【详解】解：抛物线243y x =-，∴该抛物线的顶点坐标为()0,3-，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．C【解析】【分析】根据随机事件，必然事件的定义以及概率的意义对各个小题进行判断即可.【详解】解：A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是必然事件，故错误.B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票可能有10张中奖，故错误.C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品,正确.D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为12，故错误. 故选:C.【点睛】考查必然事件，随机事件的定义以及概率的意义，概率=所求情况数与总情况数之比. 3．C【解析】【分析】利用圆周角定理对各选项进行判断．【详解】解：∠∠FEG＝50°，若P点圆心，∠∠FPG＝2∠FEG＝100°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4．C【解析】【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．【详解】把函数2=-+的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为(1)2y x[]22=--+=-+，y x x(1)12(2)2故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特点．5．B【解析】【分析】根据旋转的性质，找出∠PBP′=∠ABC，根据等边三角形的性质，即可解答．【详解】解：如图，根据旋转的性质得，∠PBP′=∠ABC，∠∠ABC是等边三角形，∠∠ABC=60°，∠∠PBP′=60°；故选B．【点睛】本题主要考查了旋转的性质和等边三角形的性质，解决本题的关键是要知道对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角6．B【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．【详解】解：抛物线y ＝−3x 2−12x ＋m 的开口向下，对称轴是直线x ＝122(3)--⨯-＝−2，当x ＜−2时，y 随x 的增大而增大，∠（−3，y 1），（−2，y 2），（1，y 3）是抛物线y ＝−3x 2−12x ＋m 上的点，∠点（1，y 3）关于对称轴x ＝−2的对称点是（−5，y 3），∠−5＜−3＜−2，∠312y y y <<，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．7．D【解析】【详解】试题解析：解：圆的内接四边形的两组对角分别互补，所以两组对角的度数之和的比是1∠1，D 选项中四个角之比是：2∠3∠5∠4，因为2＋5＝3＋4，所以圆内接四边形ABCD 的四个内角之比可能是2∠3∠5∠4，故应选D.考点：圆的内接四边形点评：本题主要考查了圆的内接四边形.根据圆周角的性质可以得到：圆的内接四边形的两组对角分别互补.8．C【解析】【分析】先利用待定系数法求出直线MN 的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案．【详解】解：设直线MN 的解析式为y kx b =+，将点(1,2),(3,3)M N -代入得：233k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得5292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线MN 的解析式为5922y x =-+， A 、当3x =时，5933522y =-⨯+=-≠，则此时点,,M N P 不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；B 、当3x =-时，59(3)12522y =-⨯-+=≠，则此时点,,M N P 不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；C 、当1x =时，591222y =-⨯+=，则此时点,,M N P 在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意；D 、当1x =时，5912222y =-⨯+=≠-，则此时点,,M N P 不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键． 9．D【解析】【分析】由正六边形的长得到EAC 的长，根据扇形面积公式=12×弧长×半径，可得结果．【详解】由题意：EAC 的长度=64⨯=24，∠S 2=12×弧长×半径=12×24×6=72， ∠正六边形ABCDEF 的边长为6，∠ODE ∆为等边三角形，∠ODE=60°，OD=DE=6，过O 作OG∠DE 于G ，如图：∠sin 606OG OD =︒==∠11662S =⨯⨯⨯= ∠S 1＞S 2，故选：D ．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键．10．B【解析】【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=32，设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+32，∠BC=10，∠点B（﹣5，0），∠0=a×（﹣5）2+32，∠a=-350，∠大孔所在抛物线解析式为y=-350x2+32，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，∠EF=14，∠点E的横坐标为-7，∠点E坐标为（-7，-3625），∠-3625=m（x﹣b）2，∠x1，x2，∠MN=4，（）|=4∠m=-925，∠顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-925（x﹣b）2，∠大孔水面宽度为20米，∠当x=-10时，y=-92，∠-92=-925（x﹣b）2，∠x1，x2，∠单个小孔的水面宽度=|）-（），故选：B．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．11．3 5【解析】【分析】使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的条件是a＞0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．【详解】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的有3种结果，∠使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为35，故答案为：3 5 .【点睛】本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键．12．点P在∠O内【解析】【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∠∠O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，∠点P到圆心O的距离小于圆的半径，∠点P在∠O内．故答案为点P在∠O内.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设∠O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d=r ；点P 在圆内⇔d ＜r ． 13．1k >-【解析】【分析】根据二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，可知判别式∠﹥0，列出不等式并解之即可求出k 的取值范围．【详解】∠二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，∠∠=44(1)k -⨯-﹥0，解得：1k >-，故答案为：1k >-．【点睛】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．14．47.5°或132.5°．【解析】【分析】分两种情形讨论：由圆周角定理知，弦所对的优弧上的圆周角是47.5°；由圆内接四边形的对角互补可知，弦所对劣弧上的圆周角=180°-47.5°=13.5°．【详解】解：如图，∠∠AOB=95°； ∠∠C=12∠AOB=1952⨯︒=47.5°；∠四边形ADBC 是∠O 的内接四边形，∠∠D=180°-∠C=180°-47.5°=132.5°；因此弦AB 所对的圆周角度数为47.5°或132.5°．故答案为：47.5°或132.5°．【点睛】本题利用了圆周角定理和圆内接四边形的性质求解，注意弦所对的圆周角有两种情况． 15．∠∠【解析】【分析】先将函数解析式化成交点时后，可得对称轴表达式，及与x 轴交点坐标，由此可以判断增减性.【详解】解：()()1166y x mx m m x x m m ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴对称轴为121613222x x m x m++===+， ∠121,6x x m==，故该函数图象经过()6,0，故正确； ∠0m >，∴()611322m x m m -+=-=+3>， ∴该函数图象顶点不可能在第三象限，故错误； ∠121613222x x m x m++===+3>，则当132x m >+时，y 随着x 的增大而增大，故此项错误；∠当132x m<+时，即132n m ≤+，y 随着x 的增大而减小，故此项正确. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.16．21【解析】【分析】连接OD ，作AG ∠CD 于G ，利用角平分线定义、直径所对的圆周角为直角与余角的性质推得∠ACD为45°，然后由等腰直角三角形的性质求出AG和CG的长，再利用垂径定理得出∠AOD＝90°，于是由等腰直角三角形的性质求出AD的长度，则由勾股定理可求GD的长度，进而求出CD的长，现知∠ACD的底和高，则其面积可求．【详解】解：如图，连接OD，BD，过点A作AG∠CD于G，∠AB为直径，∠∠ACB＝90°，∠∠ABC+∠CAB＝90°，∠CE∠AB，∠∠ACE+∠CAB＝90°，∠∠ACE＝∠ABC，∠OC＝OB，∠∠CBO＝∠BCO，∠∠ACE＝∠BCO，∠CD平分∠ECO，∠∠ECD＝∠OCD，∠∠ACE+∠ECD＝45°，∠AC＝6，∠AG＝CG＝∠∠ACD＝∠BCD＝45°，∠AD＝BD，∠OD∠OA，∠OA＝OD，∠AB＝10，∠AD＝∠DG AG 2222523242，∠CD＝CG +GD ＝，∠∠ACD的面积＝12×CD ×AG ＝1221．故答案为：21．【点睛】本题考查角平分线定义，直径所对圆周角性质，等腰直角三角形性质，垂径定理，勾股定理三角形面积，掌握角平分线定义，直径所对圆周角性质，等腰直角三角形性质，垂径定理，勾股定理三角形面积是解题关键．17．（1）14；（2）14 【解析】【分析】（1）由于共有4种类型的垃圾，其中有1种是湿垃圾，按照概率计算方法求概率即可；（2）按题意列出树状图，由图可知共有16种可能的情况，其中甲、乙两人投放同一类垃圾的4种情况，最后求概率即可．【详解】解：（1）∠共有4种类型的垃圾，其中有1种是湿垃圾，∠甲投放了一袋垃圾，恰好是湿垃圾的概率是＝14．故答案为：14．（2）记这四类垃圾为A ，B ，C ，D ，∠投放同一类垃圾的概率为：P ＝41164．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆心角等于其所对的圆周角的2倍，分别连接OC、OA，可得∠COA ＝2α；（2）连接OA，延长OA交圆于P连接PC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠PCA＝90°，可得∠PCB是∠ACB的余角．(1)如图，连接OA、OC，∠∠ABC和∠AOC是AC所对的圆周角和圆心角，∠B＝α，∠∠AOC=2∠ABC=2α．∠∠AOC即为所求．(2)如图，连接OA，延长OA交圆于P，连接PC，∠AP为直径，∠∠ACP=90°，∠∠ACB+∠PCB=90°，∠∠PCB是∠AC B的余角，∠∠PCB 即为所求．【点睛】本题主要考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角；熟练掌握圆周角定理是解题关键． 19．（1）()21122y x =--，抛物线开口向上，对称轴为：1x =；（2）3x >或1x <-．【解析】【分析】（1）由题意得：函数的对称轴为1x =，此时2y =-，则函数的表达式为：()212y a x =--，即可求解．（2）根据函数图象即可得出结论.【详解】解：（1）∵(1,0)A -和点(3,0)B 是抛物线与x 轴的交点，∴函数的对称轴为1x =，又因为有最小值为2-.∠抛物线的顶点为（1，-2），则函数的表达式为：()212y a x =--，把点A 坐标代入上式得()20112a =---，解得：12a =，则函数的表达式为：()21122y x =-- 102a =>，抛物线的开口向上，对称轴为：1x =；（2）由函数图象可知：当0y >时，x 的取值范围为：3x >或1x <-．【点睛】本题考查的是二次函数基本性质和二次函数与不等式的关系.二次函数的开口方向、对称轴、x 的取值范围都是函数的基本属性，是一道基本题．20．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）由在∠O 中，AB =CD ，根据弦与弧的关系，可证得=AB CD ，继而可证得AC BD =；（2）首先连接AC ，BD ，易证得∠ACM ∠∠DBM ，继而证得AM =DM ．(1)∠在∠O 中，AB ＝CD ，∠=AB CD ，∠=AB BC CD BC --，∠AC BD =；(2)连接AC ，BD ，∠=AB CD ，∠AC ＝BD ，在∠ACM 和∠DBM 中，A D AC DBC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠ACM ∠∠DBM （ASA ），∠AM ＝DM ．【点睛】此题考查了弦与弧的关系、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．21．（1）见解析；（2）23π-【解析】【分析】（1）如图，延长BD 交O 于E ，根据垂径定理得到2BE BD =，2BE BC =，求得AB BE =，于是得到结论；（2）如图，连接OB ，设O 的半径为r ，根据勾股定理列方程得到2r =，根据三角函数的定义得到60BOC ∠=︒，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）如图，延长BD 交O 于E ，BD OC ⊥，2BE BD ∴=，2BE BC =，∠2AB BC =，∴AB BE =，AB BE ∴=，2AB BD ∴=；（2）如图，连接OB ，设O 的半径为r ，2AB =1CD =，BD ∴在Rt OBD △中，222(1)r r =-+，解得：2r =，sin BD BOC OB ∠== 60BOC ∴∠=︒，∴阴影部分的面积260212136023ππ⨯=-=【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，扇形的面积，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．22．(1)y ＝﹣2t +200（1≤t ≤80，t 为整数）(2)第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元【解析】【分析】（1）设日销售量y 与时间t 的函数解析式为y =kt +b （k ≠0），将（1，198）、（80，40）代入，得二元一次方程组，解得k 和b 的值，再代入y =kt +b 即可；（2）设日销售利润为w ，根据日利润等于每千克的利润乘以日销售量可得w =（p -6）y ，分两种情况讨论：∠当1≤t ≤40时，∠当41≤t ≤80时．(1)解：设日销售量y与时间t的函数解析式为y=kt+b（k≠0），将（1，198）、（80，40）代入，得：{k+b=19880k+b=40，解得：2200kb=-⎧⎨=⎩，∠日销售量y与时间t的函数表达式为y=-2t+200（1≤t≤80，t为整数）；(2)解：设日销售利润为w元，则w=（p-6）y，∠当1≤t≤40时，w=（14t+16-6）（-2t+200）=-12（t-30）2+2450，∠-12＜0，∠当t=30时，w有最大值，最大值为2450元；∠当41≤t≤80时，w=（-12t+46-6）（-2t+200）=（t-90）2-100，∠1＞0，∠当t≤90时，w随t的增大而减小，∠当t=41时，w有最大值，最大值=（41-90）2-100=2301，∠2450＞2301，∠第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式，解题关键是根据等量关系写出函数解析式．23．（1）不是；（2）54；（3）12OM AD=.【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和“奇妙四边形”的定义进行判断；（2）连结OB、OD，作OH∠BD于H，如图2，根据垂径定理，得到BH=DH，根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=120°，则利用等腰三角形的性质得∠OBD=30°，在Rt∠OBH中可计算出BH==2BD BH==AC BD==形”的面积等于两条对角线乘积的一半求解；（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE∠AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，则可证明∠BOM∠∠OAE得到OM=AE，于是有12OM AD=．【详解】解：（1）矩形的对角线相等但不垂直，所以矩形不是奇妙四边形；故答案为不是；（2）连结OB、OD，作OH∠BD于H，如图2，则BH=DH，∠∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，∠在等腰∠OBD中，∠OBD=30°，在Rt∠OBH中，∠∠OBH=30°，∠132126OH OB==⨯=，∠BH==∠2BD BH==∠四边形ABCD是奇妙四边形，∠AC BD==AC BD⊥∠112542ABCD BD A S C =⨯==四边形；（3）12OM AD =．理由如下：连结OB 、OC 、OA 、OD ，作OE∠AD 于E ，如图3，∠OE∠AD ，∠在等腰∠AOD 中，12AE DE AD ==，又∠22BOC BAC BOM ∠=∠=∠，∠∠BOM=∠BAC ，同理可得∠AOE=∠ABD ，∠BD∠AC ，∠∠BAC+∠ABD=90°，∠∠BOM+∠AOE=90°，∠∠BOM+∠OBM=90°，∠∠OBM=∠AOE ，在∠BOM 和∠OAE 中90BMOOEA OBM AOEOB AO ⎧∠∠=⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∠()BOM OAE AAS ≌，∠OM=AE ，∠12OM AD =．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题．24．(1)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）(2)y＝12x﹣2(3)当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形(4)存在，（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）【解析】【分析】（1）根据函数解析式列方程即可得到结论；（2）由点C与点D关于x轴对称，得到D（0，﹣2），解方程即可得到结论；（3）如图1所示：根据平行四边形的性质得到QM＝CD，设点Q的坐标为（m，﹣12m2+3 2m+2），则M（m，12m﹣2），列方程即可得到结论；（4）设点Q的坐标为（m，﹣12m2+32m+2），分两种情况：①当∠QBD＝90°时，根据勾股定理列方程求得m＝3，m＝4（不合题意，舍去），②当∠QDB＝90°时，根据勾股定理列方程求得m＝8，m＝﹣1，于是得到结论．(1)解：∠令x＝0得；y＝2，∠C（0，2）．∠令y＝0得：﹣12x2+32x+2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4．∠A（﹣1，0），B（4，0）．(2)解：∠点C与点D关于x轴对称，∠D（0，﹣2）．设直线BD的解析式为y＝kx﹣2．∠将（4，0）代入得：4k﹣2＝0，∠k＝12．∠直线BD的解析式为y＝12x﹣2．(3)解：如图1所示：∵QM DC∥，∴当QM＝CD时，四边形CQMD是平行四边形．设点Q的坐标为（m，﹣12m2+32m+2），则M（m，12m﹣2），∴﹣12m2+32m+2﹣（12m﹣2）＝4，解得：m＝2，m＝0（不合题意，舍去），∠当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；(4)解：存在，设点Q的坐标为（m，﹣12m2+32m+2），∠∠BDQ是以BD为直角边的直角三角形，∠∠当∠QBD＝90°时，由勾股定理得：BQ2+BD2＝DQ2，即（m﹣4）2+（﹣12m2+32m+2）2+20＝m2+（﹣12m2+32m+2+2）2，解得：m＝3，m＝4（不合题意，舍去），∴Q（3，2）；②当∠QDB＝90°时，由勾股定理得：BQ2＝BD2+DQ2，即（m﹣4）2+（﹣12m2+32m+2）2＝20+m2+（﹣12m2+32m+2+2）2，解得：m＝8，m＝﹣1，∴Q（8，﹣18），（﹣1，0），综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．【点睛】此题考查了求抛物线与坐标轴的交点，求一次函数的解析式，平行四边形的性质，解一元二次方程，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，综合掌握各知识点并应用解决问题．。

2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区16校联考九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区16校联考九年级（上）期中数学试卷1. 从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是( )A. 16B. 14C. 13D. 122. 下列说法中不正确的是( )A. 任意两个等边三角形相似B. 有一个锐角是40°的两个直角三角形相似C. 有一个角是30°的两个等腰三角形相似D. 任意两个正方形相似3. 已知、两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺是( )A. 100000：1B. 1000：1C. 1：100000D. 1：10004. 小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为y=−19(x−3)2+k，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为(0,169)，则实心球飞行的水平距离OB的长度为( )A. 7mB. 7.5mC. 8mD. 8.5m5. 已知二次函数y=ax2+bx−c(a≠0)，其中b>0、c>0，则该函数的图象可能为( )A. B.C. D.6. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−1,√3)，以原点O为中心，将点A逆时针旋转150°得到点A′，则点A′坐标为( )A. (0,−2)B. (1,−√3)C. (2,0)D. (√3,−1)7. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点．若−2<x1<−1，则下列四个结论：①3<x2<4；②3a+2b>0；③b2>a+c+4ac；④a>c>b，正确结论的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( )(1)无理数都是无限小数；(2)因式分解ax2−a=a(x+1)(x−1)；(3)棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；(4)弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．A. 14B. 12C. 34D. 19. 如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为( )A. 52B. 125C. √13−32D. √13−210. 如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG、AE.则下列结论：①OG=12AB；②四边形ABDE 是菱形；③S四边形ODGF=S△ABF；其中正确的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③11. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度ℎ(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的函数关系是ℎ=−5t2+20t，当飞行时间t为______s时，小球达到最高点．12. 不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”、“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是______．13. 如图有一抛物线形的拱桥，拱高10米，跨度为40米，则该抛物线的表达式为______．14. 晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为______ 米．15. 如图，AC⊥BC，AC=BC=2，以BC为直径作半圆，圆心为O，以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是______．16. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,9)，则点D的坐标是______．17. 如图，点B，C，E在同一条直线上，且BE=3EC.点A和点D在BC的同侧，∠B=∠AED=∠C．2(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)若BE=3.3，AB=1.8，求CD的长．18. 你同意下面的说法吗？说明你的理由．(1)在掷骰子游戏中，掷得“6”的概率是1的意思是：每掷6次，一定会有1次出现“6”．6(2)九年级(3)班共有59名同学．其中男同学35名，女同学24名．数学老师任意点一名同学回答问题，点到的同学可能是男同学，也可能是女同学，所以点到男同学的概率是50%．(3)一种福利彩票中奖的概率是12，李大爷买回一张这种福利彩票，李大爷的孙子说：“您1000不可能中奖，因为中奖的概率太小了！”19. 计算：(1)2sin245°−6cos60°+3tan45°+4sin60°；)2−(π−1)2．(2)(1+√2)2−√8+2cos45°+(1320. 已知：抛物线的对称轴为x=−1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(−3,0)、C(0,−2)．(1)求这条抛物线的函数表达式．(2)已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作DE//PC交x轴于点E.连接PD、PE.设CD的长为m，△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．21. 如图，为了测量一个池塘的宽DE，在岸边找一个点C，测得CD=15m，在DC的延长线上找一点A，使AC=10m，过A作AB//DE交EC的延长线于点B，测得AB=16m，求池塘的宽DE．22. 暑假期间，某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额−进货成本)(1)若该纪念品的销售单价为45元时，则当天销售量为______件．(2)当该纪念品的销售单价为多少元时，该纪念品的当天销售销售利润是2610元．(3)当该纪念品的销售单价定为多少元时，该纪念品的当天销售销售利润达到最大值？求此最大利润．23. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，且CE⏜=BC⏜，BE分别交CD、AC于点F、G．(1)求证：∠CAB=∠DCB；(2)求证：F是BG的中点．24. 已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．【建立模型】(1)如图1，连接BE，DE.求证：BE=DE；【模型应用】(2)如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G．①判断△FBG的形状并说明理由；②若G为AB的中点，且AB=4，求AF的长．【模型迁移】(3)如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE=BF.请写出GE与DE之间的数量关系，并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲与乙恰好被选中的结果有2种，∴甲与乙恰好被选中的概率为26=13，故选：C．画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲与乙恰好被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2.【答案】C【解析】解：A、任意两个等边三角形相似，说法正确；B、有一个锐角是40°的两个直角三角形相似，说法正确；C、有一个角是30°的两个等腰三角形相似，30°有可能是顶角或底角，故说法错误；D、任意两个正方形相似，说法正确；故选：C．直接利用相似图形的性质分别分析得出答案．此题主要考查了图形的相似，正确把握相似图形的判定方法是解题关键．3.【答案】C【解析】C解：∵10km=700000厘米，∴比例尺=10：1000000=1：100000；故选：C．根据比例尺=图上距离：实际距离，直接求出即可．本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．4.【答案】C【解析】解：把A(0,169)代入y=−19(x−3)2+k得：16 9=−19×9+k，∴k=259，∴y=−19(x−3)2+259，令y=0得−19(x−3)2+259=0，解得x=−2(舍去)或x=8，∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，故选：C．根据出手点A的坐标为(0,169)求出函数关系式，再令y=0可解得答案．本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能用待定系数法求出函数关系式．5.【答案】C【解析】解：∵c>0，∴−c<0，故A，D选项不符合题意；当a>0时，∵b>0，∴对称轴x=−b2a<0，故B选项不符合题意；当a<0时，b>0，∴对称轴x=−b2a>0，故C选项符合题意，故选：C．根据c>0，可知−c<0，可排除A，D选项，当a>0时，可知对称轴<0，可排除B选项，当a<0时，可知对称轴>0，可知C选项符合题意．本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：作AB⊥x轴于点B，∴AB=√3、OB=1，=√3，则tan∠AOB=√31∴∠AOB=60°，∴∠AOy=30°∴将点A逆时针旋转150°得到点A′后，如图所示，OA′=OA=√(√3)2+12=2，∴A′(0,−2)，故选：A．作AB⊥x轴于点B，由AB=√3、OB=1可得∠AOy=30°，从而知将点A顺时针旋转150°得到点A′后如图所示，OA′=OA=√(√3)2+12=2，继而可得答案．本题考查了坐标与图形的变化−旋转，根据点A的坐标求出∠AOB=60°，再根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵对称轴为直线x=1，−2<x1<−1，∴3<x2<4，①正确，=1，∵−b2a∴b=−2a，∴3a+2b=3a−4a=−a，∵a>0，∴3a+2b<0，②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，由题意可知x=−1时，y<0，∴a−b+c<0，∴a+c<b，∵a>0，∴b=−2a<0，∴a+c<0，∴b2−4ac>a+c，∴b2>a+c+4ac，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a>0，c<0，∴a>c，∵a−b+c<0，b=−2a，∴3a+c<0，∴c<−3a，∴b=−2a，∴b>c，所以④错误；故选：B．根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=−1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a−b+c<0，即可判断④．本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．8.【答案】C【解析】解：(1)无理数都是无限小数是真命题，(2)因式分解ax2−a=a(x+1)(x−1)是真命题；(3)棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm是真命题；(4)弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的半径是240π×2÷20π=24cm，圆心角为：180°×20π=150°，故弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°是假命题；24π，故随机抽取一个是真命题的概率是34故选：C．根据各个小题中的说法可以判断是否为真命题，从而可以得到随机抽取一个是真命题的概率．本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个命题的真假．9.【答案】D【解析】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AD=BC=4，∴∠BAP+∠DAM=90°，∵∠ADM=∠BAP，∴∠ADM+∠DAM=90°，∴∠AMD=90°，∵AO=OD=2，∴OM=1AD=2，2∴点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O．∵OB=√AB2+AO2=√32+22=√13，∴BM≥OB−OM=√13−2，∴BM的最小值为√13−2．故选：D．如图，取AD的中点O，连接OB，OM.证明∠AMD=90°，推出OM=12AD=2，点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O.利用勾股定理求出OB，可得结论．本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AB//CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∴∠BAG=∠EDG，∵CD=DE，∴AB=DE，在△ABG和△DEG中，{∠BAG=∠EDG ∠AGB=∠DGE AB=DE，∴△ABG≌△DEG(AAS)，∴AG=DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG=12AB，①正确；∵△ABG≌△DEG，∴AB=DE，∵AB//CE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD=∠BAD=60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB=BD=AD，∴四边形ABDE是菱形，②正确；∵OB=OD，AG=DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG//AB，OG=1AB，2∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积=1△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，4∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，=S△ABF；③正确；∴S四边形ODGF正确的是①②③．故选：D．①正确．只要证明OG是△ACD的中位线即可；②正确．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可AB，证明；③正确．由OB=OD，AG=DG，推出OG是△ABD的中位线，推出OG//AB，OG=12△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF 推出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，推出△GOD的面积=14的面积的4倍，AF：OF=2：1，推出△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，再由△GOD的面积=△AOG 的面积=△BOG的面积，即可推出S四边形ODGF=S△ABF；即可得出结论．本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．11.【答案】2【解析】解：ℎ=−5t2+20t=−5(t−2)2+20，∵−5<0，∴当t=2时，ℎ有最大值，最大值为20，故答案为：2．把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.【答案】12【解析】解：列表如下：由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，所以两次记录的数字之和为3的概率为24=12．故答案为：12．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13.【答案】y=−140x2+x【解析】解：根据题意，抛物线的顶点坐标是(20,10)，∴可设抛物线的解析式为：y=a(x−20)2+10，∵抛物线过(40,0)，根据题意代入得，a(40−20)2+10=8，解得：a=−140，即得抛物线的解析式为y=−140(x−20)2+10=−140x2+x；故答案为：y=−140x2+x．根据题意，抛物线的顶点坐标是(20,10)，并且过(40,0)，利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求它的表达式即可；本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．14.【答案】6.6【解析】解：设小亮离右边的路灯为xm，则离左边的路灯为(12−x)m，再设路灯的高为ℎm，又易证△FHG∽△FDE，△CHG∽△CBA，则∴GH ED =FHFD，GHAB=CHBC即1.8：ℎ=1.5：(1.5+x)；1.8：ℎ=3：(3+12−x)求得x=4ℎ=6.6即路灯高6.6米．首先根据已知条件求证出△FHG∽△FDE，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯DE的高度．本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．15.【答案】512π−√32【解析】解：连接CE，如图，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∵AC//OE，∴∠COE=∠EOB=90°，∵OC=1，CE=2，∴OE=√22−12=√3，cos∠OCE=12，∴∠OCE=60°，∴S阴影部分=S扇形BCE−S△OCE−S扇形BOD=60⋅π⋅22360−12⋅1⋅√3−90⋅π⋅12360=512π−√32．故答案为512π−√32．连接CE，如图，利用平行线的性质得∠COE=∠EOB=90°，再利用勾股定理计算出OE=√3，利用余弦的定义得到∠OCE=60°，然后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形BCE−S△OCE−S进行计算即可．扇形BOD本题考查了扇形面积的计算：求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．16.【答案】(8,1)【解析】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，则PE⊥y轴，PF⊥x轴，∵∠EOF=90°，∴四边形PEOF是矩形，∵PE=PF，PE//OF，∴四边形PEOF为正方形，∴OE=PF=PE=OF=5，∵A(0,9)，∴OA=9，∴AE=9−5=4，∵四边形OACB为矩形，∴BC=OA=9，BC//OA，AC//OB，∠EAC=∠EOB=90°，∴EG//AC，∴四边形AEGC为矩形，四边形OEGB为矩形，∴CG=AE=4，EG=OB，∵PE⊥AO，AO//CB，∴PG⊥CD，∴CD=2CG=8，∴DB=BC−CD=9−8=1，∵PD=5，DG=CG=4，∴PG=3，∴OB=EG=5+3=8，∴D(8,1)．故答案为：(8,1)．设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质及正方形的性质．17.【答案】证明：(1)∵∠AED+∠AEB+∠CED=180°，∠B+∠AEB+∠BAE=180°，∴∠AED+∠AEB+∠CED=∠B+∠AEB+∠BAE．∵∠B=∠AED，∴∠CED=∠BAE．又∵∠B=∠C．∴△ABE∽△ECD；(2)解：∵△ABE∽△ECD，∴CD BE =ABCE，∵BE=32EC，BE=3.3，∴EC=2.2，∴CD 3.3=1.82.2，∴CD=2.7．【解析】(1)先利用三角形的内角和定理及平角说明∠CED=∠BAE，再由已知∠B=∠C得△ABE∽△ECD；(2)先求出EC的长，再由相似三角形的性质得结论．本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握“两角对应相等的两个三角形相似”、“相似三角形的对应边的比等于相似比”是解决本题的关键．18.【答案】解：(1)不同意．概率是16表示重复很多次，平均6次就有1次发生该事件．(2)不同意，因全班共59名同学，男同学35名，故点到男同学的概率是3559．(3)不同意，尽管概率很小，但仍有发生的可能，只是可能性较小．【解析】(1)要正确理解概率的意义，概率是16表示重复很多次，平均6次就有1次发生该事件，它不能说明6次中一定会出现1次；(2)利用概率公式计算．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．(3)不管概率多么的小，他都有中奖的概率．本题考查的是概率公式和概率的意义，我们应该认真理解，多加运用．19.【答案】解：(1)2sin 245°−6cos60°+3tan45°+4sin60°=2×(√22)2−6×12+3×1+4×√32=2×12−3+3+2√2=1−3+3+2√2=1+2√2；(2)(1+√2)2−√8+2cos45°+(13)2−(π−1)2=1+2√2+2−2√2+2×√22+19+π2+2π−1=1+2√2+2−2√2+√2+19+π2+2π−1=199+√2+π2+2π．【解析】(1)根据特殊角的三角函数值，代入计算即可；(2)先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可．本题考查二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20.【答案】解：(1)设y =ax 2+bx +c(a ≠0)，则{−b 2a =−19a −3b +c =0c =−2，解得{a =23b =43c =−2，∴此抛物线的解析式为y =23x 2+43x −2；(2)如图，连接AC 、BC ．因为BC 的长度一定，所以△PBC 周长最小，就是使PC +PB 最小． B 点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴x =−1的交点即为所求的点P ．设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则{−3k +b =0b =−2，解得{k =−23b =−2， ∴此直线的表达式为y =−23x −2，把x =−1代入得y =−43∴P 点的坐标为(−1,−43)；(3)S 存在最大值，理由：如图，∵DE//PC ，即DE//AC ，∴△OED∽△OAC ，∴ODOC =OE OA ，即2−m 2=OE 3， ∴OE =3−32m ，OA =3，AE =32m ，∴S =S △OAC −S △OED −S △AEP −S △PCD=12×3×2−12×(3−32m)×(2−m)−12×32m ×43−12×m ×1=−34m2+32m=−34(m−1)2+34∵−34<0，∴当m=1时，S最大=34．【解析】(1)已知抛物线过C(0,−2)点，那么c=−2；根据对称轴为x=−1，因此−b2a=−1，然后将A点的坐标代入抛物线中，通过联立方程组即可得出抛物线的解析式；(2)本题的关键是确定P点的位置，由于A是B点关于抛物线对称轴的对称点，因此连接AC与抛物线对称轴的交点就是P点．可根据A，C的坐标求出AC所在直线的解析式，然后根据一次函数的解析式求出与抛物线对称轴的交点，即可得出P点的坐标；(3)△PDE的面积=△OAC的面积−△PDC的面积−△ODE的面积−△AEP的面积，△OAC中已知A，C的坐标，可求出△OAC的面积．△PDC中以CD为底边，P的横坐标的绝对值为高，即可表示出△PDC的面积．△ODE中可先用m表示出OD的长，然后根据△ODE与△OAC相似，求出OE的长，根据三角形的面积计算公式可用m表示出△ODE的面积．△PEA中以AE为底边(可用OE的长表示出AE)，P点的纵坐标的绝对值为高，可表示出△PEA的面积．由此可表示出△ODE的面积，即可得出关于S，m的函数关系式．然后根据函数的性质，求出三角形的最大面积以及对应的m的值．本题属于二次函数综合题，本题主要考查了待定系数法求二次函数解式、轴对称中的最短路径问题、三角形的面积公式、二次函数求最大值，相似三角形的判定与性质等的综合应用，解题时注意：若无法直接求出三角形的面积时，可用其他图形的面积经过“和差”的关系来求出其面积．21.【答案】解：∵AB//DE，∴△ABC∽△DEC，∴AB DE =ACDC，即16DE=1015，∴DE=24(m)．答：池塘的宽DE为24m．【解析】利用AB//DE可判断△ABC∽△DEC，然后利用相似比可计算出DE的长．本题考查了相似三角形的应用：利用相似测量河的宽度，通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．22.【答案】解：(1)230；(2)设该纪念品的销售单价为x元(x>40)，则当天的销售量为[280−(x−40)×10]件，依题意，得：(x−30)[280−(x−40)×10]=2610，整理，得：x2−98x+2301=0，整理，得：x1=39(不合题意，舍去)，x2=59．答：当该纪念品的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元；(3)设该纪念品的销售单价为x元(x>40)，则当天的销售量为[280−(x−40)×10]件，设当天销售销售利润为y元，依题意，得：y=(x−30)[280−(x−40)×10]=−10x2+980x−20400=−10(x−49)2+3610，当该纪念品的销售单价定为49元时，该纪念品的当天销售销售利润达到最大值，最大利润为3610元．【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．(1)根据当天销售量=280−10×增加的销售单价，即可求出结论；(2)设该纪念品的销售单价为x元(x>40)，则当天的销售量为[280−(x−40)×10]件，根据当天的销售利润=每件的利润×当天销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；(3)直接利用当天的销售利润=每件的利润×当天销售量，得出函数关系式进而求出最值即可．【解答】解：(1)280−(45−40)×10=230(件)．故答案为230；(2)见答案；(3)见答案．23.【答案】证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAB+∠ACD=90°，∴∠CAB=∠DCB；(2)∵弧CE=弧BC，∴∠CBE=∠CAB，∵∠CAB=∠DCB，∴∠CBE=∠BCD，∴FB=FC，∵∠CGB+∠CBG=∠DCG+∠BCF=90°，∴∠CGB=∠DCG，∴FC=FG，∴FB=FG，∴F是BG的中点．【解析】(1)首先根据圆周角定理及垂直的定义得到∠ACD+∠DCB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，所以∠CAB=∠DCB；(2)由弧CE=弧BC，∠CBE=∠CAB，所以∠CBE=∠BCD，FB=FC，再根据∠CGB+∠CBG=∠DCG+∠BCF=90°，得∠CGB=∠DCG，所以FC=FG，即可得FB=FG．本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，注意直径对的圆周角是直角．24.【答案】(1)证明：∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°，∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE=DE；(2)解：①△FBG为等腰三角形，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=90°，∴∠AGD+∠ADG=90°，由(1)知，△ABE≌△ADE，∴∠ADG=∠EBG，∴∠AGD+∠EBG=90°，∵PB⊥BE，∴∠FBG+∠EBG=90°，∴∠AGD=∠FBG，∵∠AGD=∠FGB，∴∠FBG=∠FGB，∴FG=FB，∴△FBG是等腰三角形；②如图，过点F作FH⊥AB于H，∵四边形ABCD为正方形，点G为AB的中点，AB=4，∴AG=BG=2，AD=4，由①知，FG=FB，∴GH=BH=1，∴AH=AG+GH=3，在Rt△FHG与Rt△DAG中，∵∠FGH=∠DGA，∴tan∠FGH=tan∠DGA，∴FH GH =ADAG=2，∴FH=2GH=2，在Rt△AHF中，AF=√AH2+FH2=√13；(3)GE=(√2−1)DE.理由如下：∵FB⊥BE，∴∠FBE=90°，在Rt△EBF中，BE=BF，∴EF=√2BE，由(1)知，BE=DE，由(2)知，FG=BF，∴GE=EF−FG=√2BE−BF=√2DE−DE=(√2−1)DE．【解析】(1)先判断出AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°，进而判断出△ABE≌△ADE，即可得出结论；(2)①先判断出∠AGD=∠FBG，进而判断出∠FBG=∠FGB，即可得出结论；②过点F作FH⊥AB于H，先求出AG=BG=2，AD=4，进而求出AH=3，进而求出FH=2，最后用勾股定理即可求出答案；(3)先判断出EF=√2BE，由(1)知，BE=DE，由(2)知，FG=BF，即可判断出结论．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，作出辅助线构造出直角三角形是解(2)的关键．。

2020-2021九年级数学上期中试卷及答案(3)

2020-2021九年级数学上期中试卷及答案(3)一、选择题1．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x = 2．方程x 2+x-12=0的两个根为（） A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=3 3．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（）A ．16B ．29C ．13D ．23 4．方程2(2)9x -=的解是（）A ．1251x x ==-，B ．1251x x =-=，C ．12117x x ==-， D ．12117x x =-=， 5．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（） A ．2(3)17x -=B ．2(3)14-=xC ．2(6)44x -=D ．2(3)1x -=6．用配方法解方程210x x +-=，配方后所得方程是（）A ．213()24x -=B ．213()24x +=C ．215()24x +=D ．215()24x -= 7．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（）A ．3B ．5C ．6D ．8 8．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤- 9．如图，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B 按逆时针方向转动一个角度到△A 1BC 1的位置，使得点A 1、B 、C 在同一条直线上，那么旋转角等于（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 10．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4) 11．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．12．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( )A ．()249x +=-B ．()247x +=-C ．()2425x +=D ．()247x += 二、填空题13．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2+2（m +1）x +m 2﹣1=0的两实数根，且满足（x 1﹣x 2）2=16﹣x 1x 2，实数m 的值为________．14．关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a 的取值范围是___________15．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab ＜0；②方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；⑥3a+2c ＜0．其中不正确的有_____．16．关于x 的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a=17．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．18．关于x 的方程的260x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为________．19．若关于 x 的一元二次方程2x 2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________．20．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若直角边AC ＝5，BC ＝12，则此三角形的内切圆半径为________．三、解答题21．为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有多少人？扇形统计图中∠α的度数是多少？（2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率．22．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．23．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？24．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件．现在采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0．5元，其销量减少10件．（1）若涨价x元，则每天的销量为____________件（用含x的代数式表示）；（2）要使每天获得700元的利润，请你帮忙确定售价．25．如图，Rt△ABC中，∠C=90o，BE是它的角平分线，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．（1）试说明：AC 是圆O 的切线；（2）若∠A=30o ，圆O 的半径为4，求图中阴影部分的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【详解】∵二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴抛物线的对称轴为直线x=2，则−2b a =−2b =2，解得：b=−4， ∴x 2+bx=5即为x 2−4x−5=0，则(x−5)(x+1)=0，解得：x 1=5，x 2=−1.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为关于x 的一元二次方程的问题.2．D解析：D【解析】试题分析：将x 2+x ﹣12分解因式成（x+4）（x ﹣3），解x+4=0或x ﹣3=0即可得出结论． x 2+x ﹣12=（x+4）（x ﹣3）=0，则x+4=0，或x ﹣3=0，解得：x 1=﹣4，x 2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法3．C解析：C【解析】解：画树状图如下：一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，∴P （一红一黄）=26=13．故选C ． 4．A解析：A【解析】【分析】此方程已经配方，根据解一元二次方程的步骤解方程即可.【详解】()229x -＝，故x －2＝3或x －2＝－3，解得：x 1＝5，x 2＝－1，故答案选A.【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的基本解法，这是很简单的解方程，难度不大.5．A解析：A【解析】【分析】利用配方法把方程2680x x --=变形即可.【详解】用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．6．C解析：C【解析】【分析】本题根据配方的基本方法进行就可以得到答案.配方首先将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方.【详解】解：2x +x=12x +x+14=1+14215()24x +=. 故选C【点睛】考点：配方的方法.7．A解析：A【解析】【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m ＞0，然后解不等式得到m ＜4，然后对各选项进行判断．【详解】根据题意得：△=16﹣4m ＞0，解得：m ＜4，所以m 可以取3，不能取5、6、8．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．8．D解析：D【解析】【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．故选D ．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．9．D解析：D【解析】根据题意旋转角为∠ABA 1，由∠ABC=60°，∠C=90°，A 、B 、C 1在同一条直线上，得到∠ABA 1=180°-∠A 1BC 1=180°-60°=120°解：旋转角为∠ABA 1，∵∠ABC=60°，∠C=90°，∴∠ABA 1=180°-∠A 1BC 1=180°-60°=120°；故答案为D点评：本题考查了弧长的计算公式：l=n R 180π，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角的度数．10．A解析：A【解析】根据2()y a x h k =-+ 的顶点坐标为(,)h k ，易得抛物线y=2（x ﹣3）2+4顶点坐标是（3，4）.故选A.11．C解析：C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．12．D解析：D【解析】【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】2890x x ++=，289x x +=-，2228494x x ++=-+，所以()247x +=，故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 二、填空题13．1【解析】【分析】【详解】解：由题意有△=2（m+1）2﹣4（m2﹣1）≥0整理得8m+8≥0解得m≥﹣1由两根关系得x1+x2=﹣2（m+1）x1x2=m2﹣1（x1﹣x2）2=16﹣x1x2（x解析：1【解析】【分析】【详解】解：由题意有△=[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，整理得8m+8≥0，解得m≥﹣1，由两根关系，得x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=m2﹣1，（x1﹣x2）2=16﹣x1x2（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0，∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16=0，∴m2+8m﹣9=0，解得m=﹣9或m=1．∵m≥﹣1，∴m=1故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．14．<a<-2【解析】【分析】【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0解得：a＞−设f （x）=ax2-3x-1如图∵实数根都在-1解析：94-<a<-2【解析】【分析】【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0，解得：a＞−9 4设f（x）=ax2-3x-1，如图，∵实数根都在-1和0之间，∴-1＜−32a-＜0，∴a＜−32，且有f（-1）＜0，f（0）＜0，即f （-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f （0）=-1＜0，解得：a ＜-2，∴−94＜a ＜-2，故答案为−94＜a ＜-2． 15．⑤【解析】【分析】①由图象可知a>0b<0则问题可解；②根据图象与x 轴交点问题可解；③由图象可知当x=2时对应的点在x 轴下方x=2时函数值为负；④由图象可知抛物线对称轴为直线x=1当x>1时y 随x 值解析：⑤【解析】【分析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x 轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x 轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y 随x 值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab 之间关系，再代入a ﹣b+c ＝0，问题可解．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，﹣2b a ＞0，c ＜0， ∴b ＜0，∴ab ＜0，说法①正确；②二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，∴方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3，说法②正确；③∵当x ＝2时，函数y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，说法③正确；④∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，说法④正确；⑤∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，∴当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，说法⑤错误；⑥∵当x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b+c ＝0，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1＝﹣2b a， ∴b ＝﹣2a ，∴3a+c ＝0，∵c ＜0，∴3a+2c＜0，说法⑥正确．故答案为⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题．16．-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=-bax1x2=ca整理原式即可得出关于a的方程求出即可试题解析：∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1解析：-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=-，x1x2=，整理原式即可得出关于a的方程求出即可．试题解析：∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，∴x1+x2=，x1x2=，依题意△＞0，即（3a+1）2-8a（a+1）＞0，即a2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，∴x1-x1x2+x2=1-a，∴x1+x2-x1x2=1-a，∴-=1-a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．17．15【解析】试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π故答案为15π考点：圆锥的计算解析：15π【解析】试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．圆锥的侧面积=12•2π•3•5=15π．故答案为15π．考点：圆锥的计算．18．9【解析】【分析】因为一元二次方程有两个相等的实数根所以△=b2-4ac=0根据判别式列出方程求解即可【详解】∵关于x的方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根∴△=b2-4ac=0即（-6）2-4解析：9【解析】【分析】因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以△=b2-4ac=0，根据判别式列出方程求解即可．【详解】∵关于x的方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b2-4ac=0，即（-6）2-4×1×m=0，解得m=9故答案为：9【点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．19．【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根结合根的判别式公式得到关于m的一元一次方程解之即可【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0整理得：1-8m=0解得：m=故解析：1 8【解析】【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0，整理得：1-8m=0，解得：m=18，故答案为：18．【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．20．2【解析】【分析】设ABBCAC与⊙O的切点分别为DFE；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=12（AC+BC-AB）由此可求出r的长【详解】解：如图；在Rt△ABC∠解析：2【解析】【分析】设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、F、E；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长．【详解】解：如图；在Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12；根据勾股定理AB=四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；∴四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，BD=BF，CE=CF；∴CE=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（5+12-13）=2．故答案为2．三、解答题21．（1）本次调查的学生总人数为40人，∠α=108°；（2）补图见解析；（3）书法与乐器组合在一起的概率为16．【解析】【分析】（1）用A科目人数除以其对应的百分比可得总人数，用360°乘以C对应的百分比可得∠α的度数；（2）用总人数乘以C科目的百分比即可得出其人数，从而补全图形；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好是“书法”“乐器”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）本次调查的学生总人数为4÷10%=40人，∠α=360°×（1﹣10%﹣20%﹣40%）=108°；（2）C科目人数为40×（1﹣10%﹣20%﹣40%）=12人，补全图形如下：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好是书法与乐器组合在一起的结果数为2，所以书法与乐器组合在一起的概率为21126=．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、列表法与树状图法求概率，读懂统计图、熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键.22．（1）见解析；（2）BF ＝222．【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC 与三角形ADE 全等，以及AB ＝AC ，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS 得到三角形AEC 与三角形ADB 全等即可；（2）根据∠BAC ＝45°，四边形ADFC 是菱形，得到∠DBA ＝∠BAC ＝45°，再由AB ＝AD ，得到三角形ABD 为等腰直角三角形，求出BD 的长，由BD ﹣DF 求出BF 的长即可．【详解】解：（1）由旋转的性质得：△ABC ≌△ADE ，且AB ＝AC ，∴AE ＝AD ，AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC+∠BAE ＝∠DAE+∠BAE ，即∠CAE ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中，AE AD CAE DAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△ADB （SAS ）；（2）∵四边形ADFC 是菱形，且∠BAC ＝45°，∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°，由（1）得：AB ＝AD ，∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°，∴△ABD 为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝，∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2，∴BF ＝BD ﹣DF ＝﹣2．【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．23．（1）w 与x 的函数关系式为w=-2x 2+120x-1600.（2）销售单价定为30元时,每天销售利润最大,最大销售利润200元.（3）该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润,销售单价定为25元.【解析】试题分析：（1）用每件的利润()20x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即()()()2020280w x y x x =-=--+，然后化为一般式即可；（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()2230200y x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；（3）求函数值为150所对应的自变量的值，即解方程()2230200150x --+=，然后利用销售价不高于每件28元确定x 的值．试题解析：（1）根据题意可得：()20w x y =-⋅, ()()20280x x =--+,221201600x x =-+-，w 与x 之间的函数关系为：221201600w x x =-+-；（2）根据题意可得：()2221201*********w x x x =-+-=--+，∵20-<，∴当30x =时，w 有最大值，w 最大值为200.答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.（3）当150w =时，可得方程()2230200150x --+=.解得1225,35x x ==，∵3528>，∴235x =不符合题意，应舍去.答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元.24．（1）200－20x ；（2）15元．【解析】试题分析：（1）如果设每件商品提高x 元，即可用x 表示出每天的销售量；（2）根据总利润=单价利润×销售量列出关于x 的方程，进而求出未知数的值．试题解析：解：（1）200－20x ；（2）根据题意，得（10－8＋x ）（200－20x ）=700，整理得 x 2－8x ＋15=0，解得 x 1=5，x 2=3，因为要采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，所以取x=5．所以售价为10+5=15（元），答：售价为15元．点睛：此题考查了一元二次方程在实际生活中的应用．解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程．25．（1）见解析；（2）图中阴影部分的面积为8833-π．【解析】【分析】（1）由OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由BE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OE与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到OE⊥AC，即可得证；（2）由∠A的度数求出∠AOE度数，利用30°直角三角形的性质求出OA的长，利用勾股定理求出AE的长，阴影部分面积=直角三角形AOE面积-扇形OED面积，求出即可．【详解】解：（1）∵OB=OE，∴∠BEO=∠EBO，∵BE平分∠CBO，∴∠EBO=∠CBE，∴∠BEO=∠CBE，∴EO∥BC，∵∠C=90°，∴∠AEO=∠C=90°，则AC是圆O的切线；（2）在Rt△AEO中，∠A=30°，OE=4，∴OA=2OE=8，∠AOE=60°，根据勾股定理得：2243,OA OE-=则S阴影=S△AOE-S扇形EOD=216048 44383. 23603ππ⨯⨯⨯=【点睛】此题考查了切线的判定，以及扇形面积的计算，涉及的知识有：等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．。

2020-2021学年浙教版九年级上学期数学期中模拟试卷

2020-2021学年浙教版九年级上学期数学期中模拟试卷一、单选题（共10题；共20分）1.下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）A. B. C. D.2.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A. 3或6B. 1或6C. 1或3D. 4或63.如图,在平面直角坐标系中,☉O的半径为1,则直线y=x- 与☉O的位置关系是( )A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上三种情况都有可能4.在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）A. y1B. y2C. y3D. y45.如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其中对称轴为x=﹣1，且过（﹣3，0），下列说法：①abc ＜0，②2a＜b，③4a+2b+c=0，④若（﹣5，y1），（5，y2）是抛物线上的点，则y1＜y2，其中说法正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个6.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确．．．的是（）A. B. C. D.7.将抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（）A. y＝x2－2x－1B. y＝－x2＋2x－1C. y＝x2＋2x－1D. y＝－x2＋4x＋18.A、B、C、D四名选手参加50米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若A首先抽签，则A抽到1号跑道的概率是（）A. 1B.C.D.9.半圆的圆心角（）A. 大于180°B. 等于180°C. 在90°～180°之间D. 等于90°10.如图，平行四边形ABCD内接于⊙O，则∠ADC=（）A. 45°B. 50°C. 60°D. 75°二、填空题（共5题；共10分）11.袋子中有20个除颜色外完全相同的小球. 在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀. 重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是________。

2020-2021学年九年级数学上学期期中测试卷01(人教版)(含解析)

/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（）
A．180
B．220Biblioteka C．190D．200
7.如图，在平面直角坐标系中，点 A（3，0），点 B（0，2），连结 AB，将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°
得到线段 AC，连接 OC，则线段 OC 的长度为（）
A．4
B．
C．6
D．
8.如图，⊙O 内切于正方形 ABCD，O 为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交 BC，CD 于点 N，M，若
2020-2021 学年九年级数学上学期期中测试卷 01
本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共 23 题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号、考场号、座位号，用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷相对应的位置上，并认真核对；
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
3.将抛物线 y＝5（x﹣1）2+1 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，则所得抛物线的解析式
为（）
A．y＝5（x+2）2+3
B．y＝5（x﹣4）2﹣1
C．y＝5（x﹣4）2+3
D．y＝5（x﹣3）2+4
．
4
16.已知抛物线 y＝x2+（m+1）x﹣m﹣2（m＞0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，不论 m 取何正
数，经过 A、B、C 三点的⊙P 恒过 y 轴上的一个定点，则该定点的坐标是
．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分。把解答过程写答．题．卡．相．应．位．置．上．，解答时应写

2020-2021学年度九年级上学期期中考试数学试卷附解析

2020-2021学年度九年级上学期期中考试数学试卷一、精心选一选（每小题3分，共30分）1．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．45 2．方程（x+1）（x -3）=5的解是A ． x 1=1，x 2=-3B ． x 1=4，x 2=-2C ． x 1=-1，x 2=3D ． x 1=-4，x 2=23.若O 是四边形ABCD 对角线的交点,且OA=OB=OC=OD,则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．正方形D ．菱形4．下列条件中能使平行四边形ABCD 为菱形的是( )①AC①BD ；①①BAD ＝90°；①AB ＝BC ；①AC ＝BD ．A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①5．一元二次方程x 2﹣3x ﹣2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是( ）A ．x 1=﹣1，x 2=2B ．x 1=1，x 2=﹣2C ．x 1+x 2=3D ．x 1x 2=2 6．如图，以点D 为位似中心，作ABC 的一个位似三角形111A B C ，A ，B ，C 的对应点分别为1A ，1B ，1C ，1DA 与DA 的比值为k ，若两个三角形的顶点及点D 均在如图所示的格点上，则k 的值和点1C 的坐标分别为（）A ． 2，(2, 8)B ． 4，(2, 8)C ． 2，(2, 4)D ． 2，(4, 4)7．某市2015年的快递业务量为4．4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快递业务迅猛发展．若该市2017年的快递业务量达到9．7亿件,设2016年与2017年这两年的平均增长率为x,则下列方程正确的是( )A ．4．4(1+x)=9．7B ．4．4(1+2x)=9．7C ．4．4(1+x)2=9．7D ．4．4(1+x)+4．4(1+x)2=9．78．若实数x ，y 满足(x 2＋y 2＋1)(x 2＋y 2－2)＝0，则x 2＋y 2的值是( )A ．1B ．2C ．2或－1D ．－2或－19．已知是方程的一个根，则的值为( ) A ． B ． C ．－1 D ．1 10．如图，已知在ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，BD 是对角线，//AG DB 交CB 延长线于G ．若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是（）a 21=0x x +-22211a a a ---251±-A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形二、细心填一填（每小题3分，共24分）11．若将方程x 2-6x=7化为(x+m)2=b 的形式,则m= ,b= ．12．在一个不透明的口袋中装有仅颜色不同的红、白两种小球，其中红球3个，白球n 个，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率是45，则n ＝___．13．如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴上对应的数分别为﹣4和1，则BC= ．14．如图，已知DAB CAE ∠=∠，请你添加一个适当的条件，使ADE ABC ∽，你添加的条件是________．15．在□ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2①3的两部分，连接BE 、AC 相交于F ，则S ①AEF ①S ①CBF 是．16．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于4的概率是____．17．已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM+PN 的最小值= ．18．若关于x 的方程21350a x x -++=是一元二次方程，则a 应满足________．三、耐心做一做（共66分）19．解方程:()()132x x -= ()()()2321421x x x -=-(3)x 2-2x -3=0; (4)2(x -3)2=x 2-9．20．某公司投资新建了一商场,共有商铺30间．据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出．每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．(1)当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间?年收益是多少万元?(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的收益为275万元?(收益=租金-各种费用)21．如图,O 是菱形ABCD 对角线的交点,DE①AC,CE①BD,连接DE ．求证:(1)四边形OCED 是矩形;(2)OE=BC ．22．小明和小亮用图中的转盘做游戏：分别转动转盘两次，若两次数字之差（大数减小数）大于或等于2，小明得1分，否则小亮得1分．你认为游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改规则，使游戏对双方公平．23．如图，已知四边形ABCD 中，B C ∠=∠，8AB =，10BC =，3CD =，E 是BC 上一点，4BE =．() 1求证：ABE ECD ∽；()2求证：AED B ∠=∠；24．已知m 是方程x 2+x -1=0的根,求式子2m 2+2m+2018的值．25．如图1,在ABC ∆纸片中，90ACB ︒∠= ,学习小组进行如下操作:、如图2,沿BD折叠使点A 落在BC 延长线上的点'A 处,点D 是AC ．上一点,如图3,将图2展平后,再沿EF 折叠使点B 落在点D 处,点,E F 分别在边AB 和BC 上,将图3展平得到图4,连接, , DE DF DB ,请在图4中解决下列问题:()1判断四边形DEBF 的形状, 并证明你的结论;()2若 6 , 8 AC cm BC cm ==,求四边形DEBF 的周长．答案提示1．C 2．B ．3．B 4．A 5．C 6．A ．7．C 8．B 9．D 10．B 11．-3 16 12．12 13．514．①D=①B 或①AED=①C 或AD ：AB=AE ：AC 或AD AC AB AE ⋅=⋅．15．4：25或9①25 16．316 17．5 18．a=19．解:()1去括号,移项,得2320x x --=这里1,3,2a b c ==-=-()()224341217b ac ∆=-=--⨯⨯-=x ∴==12x x ∴== ()2移项，得，3214210x x x ---=（）（）提公因式，得，()()34210x x --=340x ∴-=或210x -=1241,32x x ∴== (3)x 1=3,x 2=-1 (4) x 1=3,x 2=920．解:(1)租出间数为30-(130000-100000)÷5000=24,收益为(13-1)×24-6×0．5=285(万元)．答:能租出24间,年收益是285万元．(2)设每间商铺的年租金定为x 万元,根据题意得(x -1)×[30-(x -10)÷0．5]-[(x -10)÷0．5]×0．5=275,解得x 1=10．5,x 2=15,答:每间商铺的年租金定为10．5万元或15万元．21．证明:(1)①DE①AC,CE①BD,①四边形OCED 是平行四边形．①四边形ABCD 是菱形,①AC①BD ．①①DOC=90°,①平行四边形OCED 是矩形．(2)①四边形ABCD 是菱形,①BC=CD ．①四边形OCED 是矩形, 22．解：列表得，共有16种情况，其中两次数字之差（大数减小数）大于或等于2的有6种情况，23．证明：()1①10BC =，4BE =，①6EC BC BE =-=，①8AB =，3CD =，①:8:64:3AB EC ==，:4:3BE CD =，①::AB EC BE CD =，①B C ∠=∠，①ABE ECD ∽；()2①ABE ECD ∽，①BAE CED ∠=∠，①B BAE AED CED ∠+∠=∠+∠，①AED B ∠=∠；24．解:①m 是方程x 2+x -1=0的根,①m 2+m -1=0,①m 2+m=1,①2m 2+2m+2018=2(m 2+m)+2018=2×1+2018=2020．25．解：()1四边形DEBF 是菱形．证明：沿BD 折叠，点A 落在BC 的延长线上的点'A 处 BD ∴是ABC ∠的平分线．ABD CBD ∴∠=∠沿EF 折叠，点B 落在点D 处EF ∴是线段BD 的垂直平分线．.DE EB FD FB ∴==，.ABD EDB CBD FDB ∴∠=∠∠=∠，.ABD EDB CBD FDB ∴∠=∠=∠=∠////DE BC DF AB ∴，∴四边形DEBF 是平行四边形DE EB =，∴四边形DEBF 是菱形()2在Rt ABC ∆中，10AB ===四边形DEBF 是菱形//FD FB DF AB ∴=， 8CF FD AB∴= 8810FB FD -∴= 即8810FB FB -= 解得409FB = ∴四边形 DEBF 的周长是1609。

浙江省宁波市鄞州区2020届九年级5月中考模拟考试数学试题(解析版)

浙江省宁波市鄞州区2020届九年级5月中考模拟考试数学试题一．选择题（共10小题）1．3的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣2．下列计算正确的是（）A．3﹣2a＝a B．a2•a3＝a6C．（a2）3＝a6D．﹣（a﹣1）＝﹣a﹣13．疫情期间，某地向武汉捐赠口罩1200000只，其中数1200000用科学记数法表示是（）A．12×105B．12×106C．1.2×105D．1.2×1064．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．5．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员10次选拔赛成绩的数据信息，要根据表中的信息选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择的运动员是（）甲乙丙丁平均数（cm）562559562560方差S2（cm2） 3.5 3.515.516.5A．甲B．乙C．丙D．丁6．能说明命题“若a＞b，则3a＞2b“为假命题的反例为（）A．a＝3，b＝2B．a＝﹣2，b＝﹣3C．a＝2，b＝3D．a＝﹣3，b＝﹣2 7．在一条道路上，甲从A地出发到B地，乙从B地出发到A地，乙的速度是80千米/小时，两人同时出发各自到达终点后停止，设行驶过程中甲、乙之间的距离为s千米，甲行驶的时间为t小时，s与t之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙出发1小时与甲在途中相遇B．甲从A地到达B地需行驶3小时C．甲在1.5小时后放慢速度行驶D．乙到达A地时甲离B地还有60干米8．三角形纸片ABC中，∠C＝90°，甲折叠纸片使点A与点B重合，压平得到的折痕长记为m；乙折叠纸片使得CA与CB所在的直线重合，压平得到的折痕长记为n，则m，n 的大小关系是（）A．m≤n B．m＜n C．m≥n D．m＞n9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①2a＞b；②a﹣b+c＞0；③a＜b；④a＞c，其中正确的结论是（）A．①③B．②③C．①④D．①③④10．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，如图正方形ABCD可以制作一副七巧板，现将这副七巧板拼成如图2的“风车”造型（内部有一块空心），连结最外围的风车顶点M、N、P、Q得到一个四边形MNPQ，则正方形ABCD与四边形MNPQ的面积之比为（）A．5：8B．3：5C．8：13D．25：49二．填空题（共6小题）11．二次根式中字母x的取值范围是．12．一个密码箱的密码是六位数，小明没有记住最后一位，最后一位是0到9这10个数字中的一个，则他一次就拨对密码的概率是．13．若圆锥的母线为5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为．14．如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上点D处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部点B的仰角为45°．若旗杆的高度AB为3.5米，则建筑物BC的高度约为米．（精确到1米，可用参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）15．如图，矩形ABCD中，将△BCD绕点B逆时针旋转得△BEF，其中点C的对应点E恰好落在BD上．BF，EF分别交边AD于点G，H．若GH＝4HD，则cos∠DBC的值为．16．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0，k1＜0）的图象上，点B，C在反比例函数y ＝（x＞0，k2＞0）的图象上，AB∥x轴，CD⊥x轴于点D，交AB于点E．若△ABC与△DBC的面积之差为3，＝，则k1的值为．三．解答题（共8小题）17．（1）计算：﹣4sin60°+（﹣3）﹣2﹣20200；（2）解方程：＝．18．如图，在4×4的方格中，点A，B，C为格点．（1）利用无刻度的直尺在图1中画△ABC的中线BE和重心G；（2）在图2中标注△ABC的外心O并画出外接圆及切线CP．19．我国青少年视力情况已经受到全社会的广泛关注．某校随机调研了200名初中七八九年级学生的视力情况，并把调查数据绘制成如图不完整统计图：（1）七年级参与调查的有多少人？若该校有七年级学生400人，请估计七年级近视人数；（2）某同学说“由图2可知，从七年级到九年级，近视率越来越低”，你认为这个说法正确吗？请作出判断，并说明理由．20．如图，▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，连结AE，CF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF为菱形，∠AFC＝120°，BE＝CE＝4，求▱ABCD的面积．21．学校为奖励在家自主学习有突出表现的学生，决定购买笔记本和钢笔作为奖品．已知1本笔记本和4支钢笔共需100元，4本笔记本和6支钢笔共需190元．（1）分别求一本笔记本和一支钢笔的售价；（2）若学校准备购进这两种奖品共90份，并且笔记本的数量不多于钢笔数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．22．[问题]小明在学习时遇到这样一个问题：求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集．他经历了如下思考过程：[回顾]（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1），则不等式ax+b＞的解集是．[探究]将不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0按条件进行转化：当x＝0时，原不等式不成立；当x＞0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＞；当x＜0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＜．（2）构造函数，画出图象：设y3＝x2+3x﹣1，y4＝，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象；双曲线y4＝如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y＝x2+3x﹣1．（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标：观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3＝y4的所有x 的值为．[解决]（4）借助图象，写出解集：结合“探究”中的讨论，观察两个函数的图象可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为．23．如图1，Rt△ABC中，点D，E分别为直角边AC，BC上的点，若满足AD2+BE2＝DE2，则称DE为R△ABC的“完美分割线”．显然，当DE为△ABC的中位线时，DE是△ABC 的一条完美分割线．（1）如图1，AB＝10，cos A＝，AD＝3，若DE为完美分割线，则BE的长是．（2）如图2，对AC边上的点D，在Rt△ABC中的斜边AB上取点P，使得DP＝DA，过点P画PE⊥PD交BC于点E，连结DE，求证：DE是直角△ABC的完美分割线．（3）如图3，在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝5，DE是其完美分割线，点P是斜边AB 的中点，连结PD、PE，求cos∠PDE的值．24．如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E．（1）如图1，连结AD，求证：∠ADC＝∠DEC．（2）若⊙O的半径为5，求CA•CE的最大值．（3）如图2，连结AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，①求y关于x的函数解析式；②若＝，求y的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．3的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣【分析】根据相反数的意义，3的相反数即是在3的前面加负号．【解答】解：根据相反数的概念及意义可知：3的相反数是﹣3．故选：B．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．下列计算正确的是（）A．3﹣2a＝a B．a2•a3＝a6C．（a2）3＝a6D．﹣（a﹣1）＝﹣a﹣1【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、3﹣2a，不是同类项，无法合并，故此选项错误；B、a2•a3＝a5，故此选项错误；C、（a2）3＝a6，正确；D、﹣（a﹣1）＝﹣a+1，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．疫情期间，某地向武汉捐赠口罩1200000只，其中数1200000用科学记数法表示是（）A．12×105B．12×106C．1.2×105D．1.2×106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数，据此判断即可．【解答】解：1200000＝1.2×106．故选：D．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．4．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看，所得到的图形即可．【解答】解：该几何体的俯视图为故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．5．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员10次选拔赛成绩的数据信息，要根据表中的信息选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择的运动员是（）甲乙丙丁平均数（cm）562559562560方差S2（cm2） 3.5 3.515.516.5A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据方差和平均数的意义找出平均数大且方差小的运动员即可．【解答】解：∵甲的方差是3.5，乙的方差是3.5，丙的方差是15.5，丁的方差是16.5，∴S甲2＝S乙2＜S丙2＜S丁2，∴发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔，∵甲的平均数是562，乙的平均数是559，∴成绩好的应是甲，∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲；故选：A．【点评】本题考查了方差和平均数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6．能说明命题“若a＞b，则3a＞2b“为假命题的反例为（）A．a＝3，b＝2B．a＝﹣2，b＝﹣3C．a＝2，b＝3D．a＝﹣3，b＝﹣2【分析】根据有理数的乘法法则、有理数的大小比较法则解答．【解答】解：当a＝﹣2，b＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＝2×（﹣3），即a＞b 时，3a＝2b，∴命题“若a＞b，则3a＞2b“为假命题，故选：B．【点评】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．7．在一条道路上，甲从A地出发到B地，乙从B地出发到A地，乙的速度是80千米/小时，两人同时出发各自到达终点后停止，设行驶过程中甲、乙之间的距离为s千米，甲行驶的时间为t小时，s与t之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙出发1小时与甲在途中相遇B．甲从A地到达B地需行驶3小时C．甲在1.5小时后放慢速度行驶D．乙到达A地时甲离B地还有60干米【分析】根据题意和图象，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图可知，乙出发1小时与甲在途中相遇，故选项A正确；甲的速度为：120÷1﹣80＝40千米/小时，则甲从A地到达B地需行驶120÷40＝3（小时），故选项B正确；当乙达到A地时，甲离B地的距离是：120﹣120÷80×40＝60（千米），故选项D正确；由于m的值不知，故甲在1.5小时后速度是否改变不能确定，故选项C错误；故选：C．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．8．三角形纸片ABC中，∠C＝90°，甲折叠纸片使点A与点B重合，压平得到的折痕长记为m；乙折叠纸片使得CA与CB所在的直线重合，压平得到的折痕长记为n，则m，n 的大小关系是（）A．m≤n B．m＜n C．m≥n D．m＞n【分析】由题意折痕m是线段EF，EF垂直平分线段AB，折痕n是线段CD，CD平分∠ACB，利用图象法解决问题即可．【解答】解：如图，由题意折痕m是线段EF，EF垂直平分线段AB，折痕n是线段CD，CD平分∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴当AC＝CB时，m＝n，当AC≠BC时，观察图形可知，m＜n，综上，m≤n，故选：A．【点评】本题考查翻折变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①2a＞b；②a﹣b+c＞0；③a＜b；④a＞c，其中正确的结论是（）A．①③B．②③C．①④D．①③④【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：抛物线的对称轴在y轴右侧，则a、b同号，而a＞0，则b＞0，而c＞0；①函数的对称性x＝﹣＞﹣1，故2a＞b，故①正确，符合题意；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故②错误，不符合题意；③由②得，a﹣b+c＜0，即a﹣b＜﹣c＜0，即a＜b，故③正确，符合题意；④由①②得：a﹣b+c＜0，即a+c＜b＜2a，故a＞c，故④正确，符合题意；故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．10．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，如图正方形ABCD可以制作一副七巧板，现将这副七巧板拼成如图2的“风车”造型（内部有一块空心），连结最外围的风车顶点M、N、P、Q得到一个四边形MNPQ，则正方形ABCD与四边形MNPQ的面积之比为（）A．5：8B．3：5C．8：13D．25：49【分析】设AC＝4a，解直角三角形求出AB、MQ，再求出两正方形的面积，即可得出答案．【解答】解：设AC＝a+a+a+a＝4a，则AB＝BC＝AC×sin45°＝2 a，所以正方形ABCD的面积是（2 a）2＝8a2；图2中ME＝3a，EQ＝2a，由勾股定理得：MQ＝＝a，所以正方形MNPQ的面积为（a）2＝13a2，所以图中正方形ABCD，MNPQ的面积比为，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理和正方形的性质，能够求出两正方形的边长是解此题的关键．二．填空题（共6小题）11．二次根式中字母x的取值范围是x≥3．【分析】由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．【解答】解：当x﹣3≥0时，二次根式有意义，则x≥3；故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、不等式的解法；熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．12．一个密码箱的密码是六位数，小明没有记住最后一位，最后一位是0到9这10个数字中的一个，则他一次就拨对密码的概率是．【分析】最后一位是0到9这10个数字中的一个，总共有十种情况，其中拨对密码只有一种情况，利用概率公式进行计算即可．【解答】解：他一次就拨对密码的概率是．故答案为：．【点评】考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．13．若圆锥的母线为5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为15π．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：圆锥的侧面积＝•2π•3•5＝15π．故答案为15π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上点D处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部点B的仰角为45°．若旗杆的高度AB为3.5米，则建筑物BC的高度约为18米．（精确到1米，可用参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）【分析】由题意可知△BCD是等腰直角三角形，得出BC＝DC，设BC＝xm，在△ACD 中利用正切函数的定义列出关于x的方程，解方程进而得出BC的长求出答案．【解答】解：∵在△BCD中，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BC＝DC，设BC＝xm，则DC＝xm，AC＝AB+BC＝（3.5+x）m，∵在△ACD中，∠ADC＝50°，∠ACD＝90°，∴tan∠ADC＝tan50°＝＝≈1.2，解得：x≈18，答：建筑物BC的高度约为18m．故答案为：18．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．15．如图，矩形ABCD中，将△BCD绕点B逆时针旋转得△BEF，其中点C的对应点E恰好落在BD上．BF，EF分别交边AD于点G，H．若GH＝4HD，则cos∠DBC的值为．【分析】由旋转的性质可得∠FBE＝∠DBC，BF＝BD，BE＝BC，∠BEF＝∠C＝90°，再由矩形的性质得出∠EDH＝∠DBC，设HD＝x，GH＝4x，设BE＝BC＝y，分别用x 和y表示出BC、BD、DE、DH，根据cos∠DBC＝cos∠EDH，列出比例式，化简得＝，即cos∠DBC＝．【解答】解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转得△BEF，其中点C的对应点E恰好落在BD上．∴∠FBE＝∠DBC，BF＝BD，BE＝BC，∠BEF＝∠C＝90°，∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EDH＝∠DBC，∴∠FBE＝∠DBC＝∠EDH，∴BG＝DG，∵GH＝4HD，∴设HD＝x，GH＝4x，设BE＝BC＝y，则BG＝DG＝5x，∵∠DHE+∠EDH＝90°，∠F+∠FBE＝90°，∠FBE＝∠EDH，∴∠F＝∠DHE，∵∠FHG＝∠DHE，∴∠F＝∠FHG，∴GF＝GH＝4x，∴BF＝BD＝9x，DE＝9x﹣y，∵cos∠DBC＝cos∠EDH，∴＝，∴＝，∴xy＝81x2﹣9xy，∴10xy＝81x2，∴10y＝81x，∴＝，即cos∠DBC＝．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定及余弦函数的定义，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．16．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0，k1＜0）的图象上，点B，C在反比例函数y ＝（x＞0，k2＞0）的图象上，AB∥x轴，CD⊥x轴于点D，交AB于点E．若△ABC 与△DBC的面积之差为3，＝，则k1的值为﹣9．【分析】设CE＝2t，则DE＝3t，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到C（，5t），B（，3t），A（，3t），再根据三角形面积公式得到×（﹣）×2t﹣×5t （﹣）＝3，然后化简后可得到的值．【解答】解：设CE＝2t，则DE＝3t，∵点B，C在反比例函数y＝（x＞0，k2＞0）的图象上，AB∥x轴，CD⊥x轴，∴C（，5t），B（，3t），∴A（，3t），∵△ABC与△DBC的面积之差为3，∴×（﹣）×2t﹣×5t（﹣）＝3，∴k1＝﹣9．故答案为﹣9．【点评】本题考查了反比例函数反比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．三．解答题（共8小题）17．（1）计算：﹣4sin60°+（﹣3）﹣2﹣20200；（2）解方程：＝．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式＝2﹣4×+﹣1＝2﹣2+﹣1＝﹣；（2）去分母得：2x﹣2＝x﹣2，解得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握分式方程的解法及运算法则是解本题的关键．18．如图，在4×4的方格中，点A，B，C为格点．（1）利用无刻度的直尺在图1中画△ABC的中线BE和重心G；（2）在图2中标注△ABC的外心O并画出外接圆及切线CP．【分析】（1）根据中线的概念作图；（2）根据线段垂直平分线的定义作图．【解答】解：（1）如图所示，BE和点G即为所求；（2）如图所示，⊙O和PC即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握三角形的高线、中线以及角平分线的定义．19．我国青少年视力情况已经受到全社会的广泛关注．某校随机调研了200名初中七八九年级学生的视力情况，并把调查数据绘制成如图不完整统计图：（1）七年级参与调查的有多少人？若该校有七年级学生400人，请估计七年级近视人数；（2）某同学说“由图2可知，从七年级到九年级，近视率越来越低”，你认为这个说法正确吗？请作出判断，并说明理由．【分析】（1）根据总数×七年级参与调查的百分数即可得到结论；（2）分别计算出个年级的近视率进行比较即可得到结论．【解答】解：（1）200×（1﹣25%﹣35%）＝80（人），400×＝220（人），答：七年级参与调查的有80人，估计七年级近视人数为220人；（2）这个说法不正确，理由：∵七年级学生的近视率为＝55%，八年级学生近视率为＝60%，九年级学生近视率为＝70%，∵55%＜60%＜70%，∴从七年级到九年级，近视率越来越低越高．【点评】本题考查了条形统计图，扇形统计图，正确的理解题意是解题的关键．20．如图，▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，连结AE，CF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF为菱形，∠AFC＝120°，BE＝CE＝4，求▱ABCD的面积．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，再由BE＝DF 可得AF与EC平行且相等，进而可以证明四边形AECF是平行四边形；（2）根据四边形AECF为菱形，∠AFC＝120°，可以证明△ABE是等边三角形，过点A 作AG⊥BE于点G，根据特殊角三角函数即可求出AG的长，进而求出▱ABCD的面积．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝DF，∴EC＝AF，又∵EC∥AF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）∵四边形AECF为菱形，∴AE＝EC，∠AEC＝∠AFC＝120°，∴∠AEB＝60°，∵BE＝CE＝4，∴AE＝BE＝4，∴△ABE是等边三角形，过点A作AG⊥BE于点G，∴AG＝AB•sin∠B＝2，∵BC＝BE+EC＝8，∴▱ABCD的面积＝BC•AG＝8×2＝16．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．21．学校为奖励在家自主学习有突出表现的学生，决定购买笔记本和钢笔作为奖品．已知1本笔记本和4支钢笔共需100元，4本笔记本和6支钢笔共需190元．（1）分别求一本笔记本和一支钢笔的售价；（2）若学校准备购进这两种奖品共90份，并且笔记本的数量不多于钢笔数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【分析】（1）设一本笔记本的售价为x元，一支钢笔的售价为y元，根据“1本笔记本和4支钢笔共需100元，4本笔记本和6支钢笔共需190元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进m本笔记本，则购进（90﹣m）支钢笔，根据笔记本的数量不多于钢笔数量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设学校购进这两种奖品的总价为w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设一本笔记本的售价为x元，一支钢笔的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：一本笔记本的售价为16元，一支钢笔的售价为21元．（2）设购进m本笔记本，则购进（90﹣m）支钢笔，依题意，得：m≤3（90﹣m），解得：m≤67．设学校购进这两种奖品的总价为w元，则w＝16m+21（90﹣m）＝﹣5m+1890．∵﹣5＜0，∴w值随m值的增大而减小，又∵m≤67，且m为整数，∴当m＝67时，w取得最小值，最小值为1555，∴当购进67本笔记本、23支钢笔时，购买的总价最少，最少费用为1555元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．22．[问题]小明在学习时遇到这样一个问题：求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集．他经历了如下思考过程：[回顾]（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1），则不等式ax+b＞的解集是x＞1或﹣3＜x＜0．[探究]将不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0按条件进行转化：当x＝0时，原不等式不成立；当x＞0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＞；当x＜0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＜．（2）构造函数，画出图象：设y3＝x2+3x﹣1，y4＝，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象；双曲线y4＝如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y＝x2+3x﹣1．（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标：观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3＝y4的所有x 的值为﹣3或﹣1或1．[解决]（4）借助图象，写出解集：结合“探究”中的讨论，观察两个函数的图象可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为x ＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．【分析】（1）利用数形结合的思想，写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可．（2）利用描点法画出二次函数的图象即可．（3）利用图象法可得结论．（4）利用数形结合的思想写出当x＞0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＞的解集，当x＜0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＜的解集即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，观察图形可知：不等式ax+b＞的解集为x＞1或﹣3＜x ＜0．故答案为：x＞1或﹣3＜x＜0．（2）函数y3＝x2+3x﹣1的图形如图所示：（3）观察图象可知，两个函数图象的公共点的横坐标为﹣3，﹣1，1．经过检验可知：点（﹣3，﹣1），点（﹣1，﹣3），点（1，3）是两个函数的交点坐标，满足y3＝y4的所有x的值为﹣3或﹣1或1．故答案为﹣3或﹣1或1．（4）观察图象，当x＞0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＞的解集为x ＞1，当x＜0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＜的解集为x＜﹣3或﹣1＜x ＜0，∴不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．故答案为x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，把不等式问题转化为函数图象问题解决，属于中考压轴题．23．如图1，Rt△ABC中，点D，E分别为直角边AC，BC上的点，若满足AD2+BE2＝DE2，则称DE为R△ABC的“完美分割线”．显然，当DE为△ABC的中位线时，DE是△ABC 的一条完美分割线．（1）如图1，AB＝10，cos A＝，AD＝3，若DE为完美分割线，则BE的长是．（2）如图2，对AC边上的点D，在Rt△ABC中的斜边AB上取点P，使得DP＝DA，过点P画PE⊥PD交BC于点E，连结DE，求证：DE是直角△ABC的完美分割线．（3）如图3，在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝5，DE是其完美分割线，点P是斜边AB 的中点，连结PD、PE，求cos∠PDE的值．【分析】（1）由勾股定理求出BC＝6，设BE＝x，则CE＝6﹣x，则AD2+BE2＝DE2，可得出32+x2＝52+（6﹣x）2，解得：x＝，则答案可求出；（2）证得AD2+BE2＝DP2+EP2＝DE2，则结论得证；（3）延长DP至F，使PF＝PD，连接BF，EF，证明△APD≌△BPF（SAS），得出AD ＝BF，∠A＝∠FBP，则∠EPD＝90°，过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，则∠MPD＝∠NPE ＝90°﹣∠MPE，证明△MPD∽△NPE，得出PE＝2PD，设PD＝a，则PE＝2a，则DE ＝a，则可求出答案．【解答】解：（1）∵AB＝10，cos A＝，∴cos A＝，∴AC＝8，CD＝5，∴＝＝6，设BE＝x，则CE＝6﹣x，在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2＝52+（6﹣x）2，∵DE为完美分割线，∴AD2+BE2＝DE2，∴32+x2＝52+（6﹣x）2，解得：x＝．∴BE＝．故答案为：．（2）证明：如图2，∵DA＝DP，∴∠DAP＝∠DP A，∵PE⊥PD，∴∠DP A+∠EPB＝90°，又∠A＝∠B，∴∠EPB＝∠B，∴EP＝EB，∴AD2+BE2＝DP2+EP2＝DE2，∴DE是直角△ABC的完美分割线．（3）解：延长DP至F，使PF＝PD，连接BF，EF，∵AP＝BP，∠APD＝∠BPF，∴△APD≌△BPF（SAS），∴AD＝BF，∠A＝∠FBP，∴∠EBF＝∠CBA+∠FBP＝∠CBA+∠A＝90°，∵DE是完美分割线，∴DE2＝AD2+BE2＝BF2+BE2＝EF2，即ED＝EF．又PD＝PF，∴∠EPD＝90°，过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，则∠MPD＝∠NPE＝90°﹣∠MPE，∴△MPD∽△NPE，∴，设PD＝a，则PE＝2a，则DE＝＝a，∴cos∠PDE＝＝．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，理解掌握完美分割线这一新定义是解题的关键．24．如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E．（1）如图1，连结AD，求证：∠ADC＝∠DEC．（2）若⊙O的半径为5，求CA•CE的最大值．（3）如图2，连结AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，①求y关于x的函数解析式；②若＝，求y的值．【分析】（1）由平行线的性质及圆周角定理可得出结论；（2）证明△ADC∽△DEC，得出，则可得出答案；（3）：①连接AD，由△ADC∽△DEC，，得出y＝tan∠AEC＝，过点D作DF⊥CE，不妨设EF＝a，则CD＝a，则可得出答案；②得出y＝x代入y＝得，，解得，x1＝2，x2＝，则可求出y的值．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠E，∵∠ADC＝∠ABC，∴∠ADC＝∠E；（2）解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCE，又∠ADC＝∠E，∴△ADC∽△DEC，∴，即CD2＝CA•CE，又∵⊙O的半径为5，∴CA•CE＝CD2≤102＝100．即CA•CE的最大值为100．（3）解：①连接AD，∵△ADC∽△DEC，，∴y＝tan∠AEC＝，过点D作DF⊥CE，不妨设EF＝a，∵∠CED＝∠CBA，∠DCE＝45°，∴CF＝DF＝ax，∴CD＝ax，∴y＝＝．②∵，∴，∴＝9：4，即x：y＝9：4，将y＝x代入y＝得，，解得，x1＝2，x2＝，当x＝2时，y＝，当x＝时，y＝，∴y＝或．【点评】本题是圆的综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．。

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