人教版数学八年级上册-全等三角形全章复习与巩固
全等三角形全章复习与巩固（基础）
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、全等三角形的判定与性质
要点二、全等三角形的证明思路
要点三、角平分线的性质
1.角的平分线的性质定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角的平分线的判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线
三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
SASHLSSSAASSASASAAASASAAAS找夹角
已知两边找直角
找另一边
边为角的对边找任一角
找夹角的另一边
已知一边一角
边为角的邻边找夹边的另一角
找边的对角
找夹边
已知两角
找任一边
一般三角形 直角三角形
判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等
斜边、直角边定理（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）
备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等
4.与角平分线有关的辅助线
在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；
在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
一.选择题
1. 如图所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.2.5
2.（2015春•平顶山期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示
意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A． SAS B． ASA C． AAS D． SSS
3. 如图，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于 （ ）
A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC
4. 在下列结论中, 正确的是( )
A.全等三角形的高相等 B.顶角相等的两个等腰三角形全等
C. 一角对应相等的两个直角三角形全等 D.一边对应相等的两个等边三角形全等
5. 如图，点C、D分别在∠AOB的边OA、OB上，若在线段CD上求一点P，使它到OA，OB
的距离相等，则P点是（ ）．
A. 线段CD的中点 B. OA与OB的中垂线的交点
C. OA与CD的中垂线的交点 D. CD与∠AOB的平分线的交点
6．在△ABC与△DEF中，给出下列四组条件：（1）AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；（2）AB＝DE，
∠B＝∠E，BC＝EF；（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；（4）AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其
中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）组．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
7. 如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条
边所对的角的关系是（ ）
A. 相等 B.不相等 C.互补 D.相等或互补
8. △ABC中，∠BAC＝90° AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝2∠C，∠DAE的度数是( )
A.45° B.20° C.、30° D.15°
二.填空题
9. 已知'''ABCABC△≌△，若△ABC的面积为10 2cm，则'''ABC△的面积为________
2
cm
，若'''ABC△的周长为16cm，则△ABC的周长为________cm．
10. △ABC和△ADC中，下列三个论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC．将两个论
断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．
11.（2015春•成都校级期末）如图，在∠ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，CD=2cm，
则BD的长是 ．
12. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”
来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一
定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的
是_____.
13. 如右图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝a，CD＝b，则
△ADB的面积为______________ ．
14．如图，已知AB⊥BD, AB∥ED，AB＝ED，要说明ΔABC≌ΔEDC，若以“SAS”为依据，还
要添加的条件为______________；若添加条件AC＝EC，则可以用_______公理（或定理）
判定全等.
15. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.
16. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE
的周长为_________.
三.解答题
17. 已知：如图，CB＝DE，∠B＝∠E，∠BAE＝∠CAD．
求证：∠ACD＝∠ADC．
18．已知：△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD∥BC交AB
于D．
求证： AC＝AD
19. 已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD．
求证：BE=CF．
20.（2015•北京校级模拟）感受理解
如图①，∠ABC是等边三角形，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，
则线段FE与FD之间的数量关系是
自主学习
事实上，在解决几何线段相等问题中，当条件中遇到角平分线时，经常采用下面构造全等三
角形的解决思路
如：在图②中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取
OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定（SAS），容易构造出全等三角形∠OBC和∠OAC，从而
得到线段CA与CB相等
学以致用
参考上述学到的知识，解答下列问题：
如图③，∠ABC不是等边三角形，但∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE
相交于点F．求证：FE=FD．
部编人教版八年级数学上册《12第十二章 全等三角形【全章】》精品PPT优质课件
（B ）
A.∠DAB B.∠DBA C.∠DBC D.∠CAD
5.如图,△ABC≌△AED,AB是△ABC的最大边，AE 是△AED的最大边, ∠BAC 与∠ EAD是对应角,且 ∠BAC=25°，∠B= 35°,AB=3cm,BC=1cm,求出 ∠E, ∠ ADE的度数和线段DE,AE 的长度.
1.有公共边
A
B
D
C
A
D B
C
AD
B
C
2.有公共点
D
A
A O
AD
A
E
D
B
C B
O B
CD
E CB
C
总结归纳 1. 有公共边，则公共边为对应边； 2. 有公共角（对顶角），则公共角(对顶角)为对应角； 3.最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；
最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；
4. 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角.
你能指出上面两 个全等三角形的 对应顶点、对应 边、对应角吗？
思考：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的
两个三角形全等吗？
A
M
E
D
A
B
FC
N
A
B
C
A
B
C
B
E
D
D
C
归纳总结
全等变化 一个图形经过平移、翻折、旋转后,位__置_ 变化了,
但＿形＿状＿和＿大＿小＿都没有改变,即平移、翻折、旋 转前后的两个图形＿全_等＿. 全等三角形的性质
一个正确的结论并证明. 解：结论：EF∥NM
想一想：你还能得出 其他结论吗？
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.
八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理
八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理在学习新知识的同时，既要及时跟上老师步伐，也要及时复习巩固，知识点要及时总结，这是做其他练习必备的前提，下面为大家总结了全等三角形知识点梳理，仔细阅读哦。
一、知识网络二、基础知识梳理(一)、基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形;即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;3、全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等。
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上(二)灵活运用定理证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角;去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。
运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
(1)已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)(2)已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)(3)已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)三、疑点、易错点1、对全等三角形书写的错误在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
人教版初中数学课标版八年级上册第十二章12.2 三角形全等的判定教学设计-最新教学文档
《三角形全等的判定（三）》教学设计一、教学背景分析1.教材内容分析本节是人教版第十二章《全等三角形》的重要内容，三角形是最基本、常见的几何图形之一，在日常生活中有着广泛的应用。
在知识结构上,等腰三角形，直角三角形,线段的垂直平分线,角的平分线等内容都要通过证明两个三角形全等来加以解决;在能力培养上,无论是逻辑思维能力，推理论证能力,还是分析问题解决问题的能力，都可在全等三角形的教学中得以提高。
知识点本身，证明全等三角形是证明线段相等和角相等的重要手段，本节作为证明两个三角形全等的依据之一，因此成为重中之重。
2.学情分析初一学生处于学习几何推理论证的初步阶段，从这章开始，学生应逐步学会几何证明，几何题的推理表达对学生来说难度较大，同时，以前学生学习几何都是一些简单的图形，从这章开始出现了几个图形的变换或叠加，学生在解题过程中，找全等条件是一个难点。
学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学结论的思想较弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺。
二、教学目标1.知识与技能（1）掌握尺规作图：用“ASA”做一个三角形全等于已知三角形；（2）探究并掌握两个三角形全等的条件“ASA”“AAS”，并且学会应用ASA,AAS证明两个三角形全等。
2.数学思考通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力.3.解决问题（1）初步了解利用“ASA”“AAS”条件判定三角形全等在生活中的应用.（2）培养学生的逆向思维能力、转化能力、数学建模能力.4.情感与态度通过探究三角形全等条件的活动，培养学生敢于面对困难、克服困难的能力；通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维.第 1 页三、教学重点难点1.重点：理解、掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”2.难点：探究出“ASA”“AAS”方法；分析问题，寻找判定两个三角形全等的条件（学生已熟练“SSS”“SAS”方法，四种方法容易混淆）四、教学方法原则：“教与学、知识与能力的统一”、“使每个学生都得到充分发展”1.教法采用引导发现法、主动探究法、讲授教学法.2.学法指导学生“动手操作，合作交流，自主探究”．3.教学策略采用导学案、多媒体辅助教学、利用黑板板演及时反馈相关信息，从而降低学生学习的难度.五、教学过程设计1.设计理念数学教学中的主要矛盾即：学生、教师、教学内容和教学目标四要素之间的矛盾，而学生的实际水平和教学目标之间的差异是教学过程中存在的根本原因，数学教学活用：“五环”：先学集疑、导学整理、拓展提升。
初中数学人教八年级上册(2023年更新)第十二章 全等三角形全等三角形 教案
全等三角形的判定复题课教学目标：熟练运用适当的方法判定两三角形全等通过探究与交流培养学生几何逻辑思维能力让学生感受和发现数学中的几何图形直观美教学重点：能够判定两个三角形的全等教学难点：能够利用条件熟练的应用适当的方法迅速的解题教学过程：教学环节、内容、步骤师生互动策划备注（活动目的）教师活动学生活动引入展导知识梳理：引导学生复习全等三角形的判定方法1、通常用于判定两三角形全等的一般方法有方法有种,分别简记为____，______，____ ，____2、对于直角三角形(即Rt△),除了一般方法外：当两直角三角形有一组斜边和直角边分别相等时，两三角形______，简记______。
3、全等三角形的______相等，______相等。
回顾旧知，为后面的学习埋下伏笔主题展导1.合作探究2.学生展评证明全等三角形全等的基本思路：一、挖掘“隐含条件”判全等引导学生总结：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件思考：（1）已知两边：SSS, SAS, HL（2）已知两角：ASA, AAS（3）已知一边一角：SAS, ASA,AAS, HL1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗?说说理由2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB若∠B=20°,CD=5cm，则∠C= ＿＿,BE=＿＿，说说理由.3.如图（3），AC与BD相交于O,若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD= ＿＿. 说说理由.学生通过自己探讨获得新知，使学生成为学习的主体，使学生学会学习，交流与合作。
3. 教师指导4. 反馈练习5.拓展延伸二、熟练转化“间接条件”判全等引导学生总结：等量加等量和相等，等量减等量差相等，都是用来间接找边和角相等的方法！5,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点,试说明:BF=CF.能力提升：如图,在△ABC中, AC=BC,∠ACB=90°, ∠CAB的角平分线AE交边CB于E点，过E点作EF⊥AB于F,已知AB等于10㎝，求△EFB的周长？课后闯关: 略4.如图在△ABC、△ADE中∠B=∠D，AC=AE, 且∠CAE=∠BAD，1.独立思考2.小组讨论3.展示成果1.独立思考2.小组讨论3.展示成果略在教师的指导下主动构建知识的过程。
八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理
八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理
八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理
在学习新知识的同时，既要及时跟上老师步伐，也要及时复习巩固，知识点要及时总结，这是做其他练习必备的前提，下面为大家总结了全等三角形知识点梳理，仔细阅读哦。
一、知识网络
二、基础知识梳理
(一)、基本概念
1、“全等”的理解全等的图形必须满足：(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形;
即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质
(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;
3、全等三角形的判定方法
(1)三边对应相等的两个三角形全等。
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
应的位置上。
切记不要弄错。
2、对全等三角形判定方法理解错误;
3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。
四、典例赏析
你会做吗?
有了上文为大家总结的全等三角形知识点梳理，大家及时提前复习，在考试中一定能取得好成绩。
初中数学人教八年级上册(2023年更新)第十二章 全等三角形“边边边”判定三角形全等教案
全等三角形的判定（SSS）教学设计三维目标：1.掌握“边边边”条件的内容，能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等。
2.经历探索三角形全等的条件的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程。
3.通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质以及发现问题的能力。
教学重点：探究三角形全等的条件教学难点：“边边边”判定方法和应用教学过程一、复习巩固引新知1、什么是全等三角形？2、全等三角形有什么性质？__________________________________________________________________________3.已知△ABC ≌△DEF，找出其中相等的边与角。
二、研讨探究得新知如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△DEF吗?1、探究1：给一个条件：给两个条件：归纳1：在两个三角形中，如果只有一个或两个元素对应相等，这两个三角形_____.给三个条件：2、探究2：先任意画出一个△ABC ，再画出一个△A ′B ′C ′ ,使A ′B ′= AB ,B ′C ′ =BC, A ′ C ′ =AC.把画好的△A ′B ′C ′剪下，放到△ABC 上，他们全等吗？作法：（1）画B ′C ′=BC ；（2）分别以B',C'为圆心，线段AB,AC 长为半径画圆，两弧相交于点A'；（3）连接线段A'B',A 'C '。
发现： 。
归纳2：在两个三角形中，如果 ，那么 .（可简写成“边边边”或 “SSS”）几何语言：三、典例精析 例1 如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．四、针对训练如图, C 是BF 的中点，AB =DC,AC=DF 。
求证:△ABC ≌ △DCF 。
F五、用尺规作一个角等于已知角 作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ， OB 于点C 、D ；（2）画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；（3）以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D ′；（4）过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB 。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形考试复习试题(含答案) (45)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形考试复习试题（含答案)已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，抛物线的对称轴上有一点P，且点P在x轴下方，线段PB 绕点P顺时针旋转90°，点B的对应点B′恰好落在抛物线上，求点P的坐标．（3）如图②，直线A、E两点，点D为线段AE 上一点，连接BD，有一动点Q从B点出发，沿线段BD以每秒1个单位的速度运动到D，再沿DE以每秒2个单位的速度运动到E，问：是否存在点D，使点Q从点B到E的运动时间最少？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a=1，b=﹣2；（2）P（1，﹣1）（3）D（3，）．【解析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；（2）先求得抛物线的对称轴为x=1．过点B′作B′M⊥对称轴，垂足为M．然后证明△BNP≌△PMB，依据全等三角形的性质可知BN=PM=3，PN=MB′．设P（1，m），则点B′的坐标为（1﹣m，m﹣2），最后将点B′的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（3）过点E作EF∥x轴，作点DF∥y轴，则∠EFD=90°．先求得点G的坐标，则可得到OG=，在Rt△AGO中，利用特殊锐角三角函数值可求得∠A 的度数，则∠FED=30°，依据函数30°直角三角形的性质可得到DF=DE．则动点Q沿DE以每秒2个单位的速度运动到E与它一每秒1个单位的速度运动东F所用时间相等．故此当BD+DF最短时，所用时间最短，依据两点之间线段最短可知当B，D，F在一条直线上时，所用时间最短，此时BE⊥BF，则点D 的横坐标为3，然后由函数解析式再求得点D的纵坐标即可．解：（1）将点A和点B的坐标代入得：，解得：a=1，b=﹣2．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），∴抛物线的对称轴为x=1．如图所示：过点B′作B′M⊥对称轴，垂足为M．∵∠BPB′=90°，∴∠BPN+∠B′PM=90°．∵∠BPN+∠PBN=90°，∴∠PNB=∠B′PM．在△BPN和△PB′M中∠PBN＝∠B′PM，∠BNP＝∠PM B′，PB=PB′，∴△BNP≌△PMB．∴BN=PM=3，PN=MB′．设P（1，m），则点B′的坐标为（1﹣m，m﹣2）．将点B′的坐标代入抛物线的解析式得：（1﹣m）2﹣2（1﹣m）﹣3=m﹣2，解得：m1=﹣1，m2=2．∵点P在x轴的下方，∴m=﹣1．∴P（1，﹣1）．（3）存在．如图所示：过点E作EF∥x轴，作点DF∥y轴，则∠EFD=90°．将x=0代入直线AE的解析式得y=，∴OG=．∴tan∠GAO=．∴∠FEA=∠GAO=30°．∴DF=DE．∴动点Q沿DE以每秒2个单位的速度运动到E与它一每秒1个单位的速度运动东F所用时间相等．∴当BD+DF最短时，所用时间最短．∴当B，D，F在一条直线上时，所用时间最短．∴点D的横坐标为3．将x=3代入直线AE的解析式得：y=．∴D（3，）．“点睛”本题考查了二次函数图象的基本性质，最值问题及全等三角形性质，三角函数等知识点，对存在性问题进请说明理由难度适中，适合学生巩固知识．42．如图，正六边形ABCDEF的对角线AE与BF相交于点M.（1）求证：△ABM≌△FEM；（2）已知AM=2，求BF的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）6【解析】试题分析：（1）由ASA定理证明△ABM≌△FEM即可；（2）由30°角所对直角边等于斜边的一半，得到BM的长，再由全等三角形的性质得到AM的长，从而求出BF的长．试题解析：解：（1）≌六边形ABCDEF是正六边形，≌AB=AF，≌BAF=120°，≌≌ABM=≌AFB=30°，同理≌FAE=≌FEA=30°，≌≌BAM=90°，≌EFM=90°，≌≌ABM=≌AEF，≌BAM=≌EFM，在△ABM和△FEM中，BAM EFMAB EFABM FEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，，≌△ABM≌△FEM（ASA）．（2）≌在Rt△ABM中，≌ABM=30°，≌BM=2AM=4．≌△ABM≌△FEM，≌AM=FM=2,BF=BM＋FM=4＋2=6．43．（感知）如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，易知：△ADC≌△BEA．（探究）如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD=BE，△ADC与△BEA还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．（拓展）如图③，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD=BE，若AF=32CF=2BE，S△ABF=6，则S△BCD的大小为．【答案】探究：△ADC与△BEA全等，理由见解析；拓展：S△BCD=13 【解析】试题分析：探究：利用平角的定义得出∠DAC=∠EBA即可得出结论；拓展：先判断出△ADC≌△BEA，进而得出S△ADC=S△BEA，再利用同高的两三角形的面积的比等于底的比求出△ABE，△BCF的面积，即可得出结论．试题解析：探究：△ADC与△BEA全等，理由：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∴∠DAC=180°﹣∠BAC=120°，∠EBA=180°﹣∠ABC=120°，∴∠DAC=∠EBA，∵AD=BE，∴△ADC≌△BEA；拓展：∵∠1=∠2，∴AF=BF，∠DAC=∠EBA，∵AD=BE，AC=AB，∴△ADC≌△BEA（SAS），∴S△ADC=S△BEA，∵AF=2BE，AF=BF，∴BF=2BE，∴S△ABE=12S△ABF=3（同高的两三角形的面积比是底的比），∴S△ADC=3，∵AF=32 CF，∴S△BFC=23S△ABF=4（同高的两三角形的面积比是底的比），∴S△BCD=S△BCF+S△ABF+S△ADC=13，故答案为13．44．如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连结AG，分别交BD、CD于点E、F，连结CE．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CE=2EF时，EG与EF的等量关系是．【答案】（1）证明见解析；（2）FG=3EF．理由见解析.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；在△ADE和△CDE中，∴△ADE≌△CDE，∴∠DAE=∠DCE．（2）解：结论：FG=3EF．理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠G，由题意知：△ADE≌△CDE∴∠DAE=∠DCE，则∠DCE=∠G，∵∠CEF=∠GEC，∴△ECF∽△EGC，∴=，∵EC=2EF，∴=，∴EG=2EC=4EF，∴FG=EG﹣EF=4EF﹣EF=3EF．45．如图，等边三角形ABC中，点D、E、F、分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC动点，△DMN为等边三角形（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．八、解答题【答案】（1）EN=MF ； （2）成立，理由件解析；（3）MF 与EN 相等的结论仍然成立，理由件解析．【解析】分析：（1）连接DE 、DF ，根据等边三角形的性质得到∠MDF=∠NDE ，证明△DMF ≌△DNE ，根据全等三角形的性质证明；（2）与（1）的方法相同；（3）根据题意画出图形，证明△DMF ≌△DNE ，根据全等三角形的性质证明．本题解析：（1）EN 与MF 相等，证明：连接DE 、DF ，∵△ABC 和△DMN 为等边三角形，∴DM=DN ，∠MDN=60°，∵点D 、E 、F 、分别为边AB ，AC ，BC 的中点，∴△DEF 是等边三角形，∴∠MDF=∠NDE ，在△DMF 和△DNE 中，DM DN MDF NDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMF ≌△DNE ，∴EN=MF ；（2）成立，证明：连结DE ，DF ，EF ．∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC ．∵D ，E ，F 是三边的中点，∴DE ，DF ，EF 为三角形的中位线．∴DE=DF=EF ，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°， ∴∠MDF=∠NDE ．在△DMF 和△DNE 中，DF DE MDF NDE DM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DMF ≌△DNE ，∴MF=NE ；（3）画出图形如图③所示：MF 与EN 相等的结论仍然成立．由（2）得，△DMF ≌△DNE ，∴MF=NE ．点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定与性质定理、等边三角形的性质是解题的关键.46．如图，正方形ABGD 中，边长为12，DE ⊥DC 交AB 于点E ，DF 平分∠EDC 交BC 于点F ，连接EF ．求证：EF=CF ；（2）当13AE AD 时，求EF 的长． 【答案】见解析【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；（2）设EF=x ，根据勾股定理解答即可．试题解析：（1）证明：∵正方形ABGD ，又∵DE ⊥DC ，∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG ，∴∠ADE=∠GDC ．又∵∠A=∠DGC ，且AD=GD ，在△ADE 与△GDC 中，ADE GDC AD DG A DGC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△GDC （ASA ）．∴DE=DC ，且AE=GC ．在△EDF 和△CDF 中，DE DC EDF D CDF DF DF =⎧⎪∠=∠=∠⎨⎪=⎩∴△EDF ≌△CDF （SAS ）．∴EF=CF ；（2）解：∵13AE AD = ∴AE=GC=4．设EF=x ，则BF=16﹣CF=16﹣x ，BE=12﹣4=8． 由勾股定理，得x 2=（16﹣x ）2+82．解之，得x=10，即EF=10．47．如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A 、D 、G 在同一直线上，且3AD =，1DE =，连接AC 、CG 、AE ，并延长AE 交CG 于点H ．（1）求证：DAE DCG ∠=∠．（2）求线段HE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）5HE =【解析】试题分析：（1）在DAE 和DCG 中，利用边角边证明全等，由全等三角形的性质得出DAE DCG ∠=∠；（2）由（1）中DAE DCG ∠=∠和DEA HEC ∠=∠，推出AED CEH ∽∠，再根据 相似三角形对应边成比例得AD AE ED CH CE EH ==，求出AD,CE 值，由勾股定理求得AE 的值，即可解决问题．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，∴在DAE 和DCG 中，90DA DC ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴DAE ≌()DCG SAS ，∴DAE DCG ∠=∠，（2）∵DAE DCG ∠=∠，又∵DEA HEC ∠=∠（对顶角相等），∴AED CEH ∽∠， ∴AD AE ED CH CE EH==， ∵3AD =，1DE =，∴312CE =-=，在Rt ADE 中，AE === ∴AE ED CE HE =，即12HE=，∴HE =． 48．如图一，∠ACB=90°，点D 在AC 上，DE ⊥AB 垂足为E ，交BC 的延长线于F ，DE=EB ，EG=EB ，（1）求证：AG=DF ；（2）过点G 作GH ⊥AD ，垂足为H ，与DE 的延长线交于点M ，如图二，找出图中与AB 相等的线段，并证明．【答案】（1）证明见解析； （2）AB=DM ，证明见解析.【解析】分析:（1）根据已知条件得到DE=EB=EB ，∠EGD=∠EGD=∠EDB=∠EBD=45°，进而证得∠AGD=∠FDB=135°，根据三角形内角和证得∠A=∠F ，由三角形外角定理证得∠ADG=∠FBD ，根据三角形的判定证得△ADG ≌△FDB ，由全等三角形的判定即可证得结论；（2）根据已知条件得到△AED ≌△FEB ，由全等三角形的性质得到AE=EM ，即可得到结论．本题解析:（1）∵DE=EB ，EG=EB ，DE ⊥AB ，∴DE=EB=EG ，∴∠EGD=∠EDG=∠EDB=∠EBD=45°，∴∠AGD=∠FDB=135°，∵∠ACB=90°，∠AED=90°，∠ADE=∠FDC ，∴∠A=∠F ，∴∠ADG=∠FBD ，在△ADG 和△FDB 中ADG FBD DG DB AGD FDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADG ≌△FDB ，∴AG=DF ；（2）∵DE=EB ，EG=EB ，∴DE=EB=EG ，∵DE ⊥AB ，在△AED 和△FEB 中，A M AED MEG ED EG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△MEB ，∴AE=EM ，∴AE+EB=EM+DE ，即AB=DM ．点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键.49．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90，点D 在BC 延长线上，连接AD ，过B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，交AC 于点F ，连接CE .（1）求证： CF =CD ；（2）求证：DA DE DB DC ⋅=⋅；（3）探究线段AE ，BE ，CE 之间满足的等量关系，并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）AE ，BE ，CE 之间满足的等量关系BE AE -=【解析】试题分析：（1）由垂直的定义得到∠ACB=90°，根据全等三角形的判定定理ASA可证明△BCF≌△ACD，然后根据全等三角形的性质可证明；（2）根据相似三角形的判定证得△BED∽△ACD，然后根据相似三角形的性质可证明；（3）在BE上截取BG=AE，连接CG，然后根据三角形全等的判定可证明△GCE是等腰直角三角形，由此可得到结果.试题解析：（1）证明：∵∠BCA=∠ACD = 90°∴∠FBC+∠D=∠CAD +∠D = 90°∴∠FBC =∠CAD∵AC=BC∴△BCF≌△ACD（ASA）∴CF=CD（2）证明：∵∠FBC =∠CAD∠D=∠D∴△BED∽△ACD∴BD：AD=ED：CD⋅=⋅∴DA DE DB DC（3）AE，BE，CE之间满足的等量关系BE AE-=理由：在BE上截取BG=AE，连接CG，∵∠FBC =∠CAD BC=AC∴△BCG≌△ACE∴GC=EC 且∠BCG=∠ACE∴∠GCE=∠ACD= 90°∴△GCE为等腰直角三角形∴GC CE∴BE AE GE-==点睛：此题主要考查三角形的相关性质，解题时灵活应用三角形全等的判定与性质和相似三角形的判定与性质，即可证明，然后结合等腰直角三角形的性质即可得到结论.50．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD.求证：∠B=∠E.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：根据AB//CD得出∠DCA=∠CAB，结合AB=CE，AC=CD得出∠CAB∠∠DCE，从而得出答案.试题解析：∠AB//CD，∠∠DCA=∠CAB 又∠AB=CE，AC=CD，∠∠CAB∠∠DCE ∠∠B=∠E.考点：（1）平行线的性质；（2）三角形全等的判定与性质。
最新人教部编版八年级数学上册《第十二章 全等三角形【全章】》精品PPT优质课件
追问1 请同学们将问题2 的两个三角形分别 标为△ABC、△DEF，观察这两个三角形有何对 应关系？
点A 与点D、点B 与点E、 点C 与点F 重合，称为对应顶点；
边AB 与DE、边BC 与EF、 边AC 与DF 重合，称为对应边；
∠A 与∠D、∠B 与∠E、 ∠C 与∠F 重合，称为对应角.
追问2 你能用符号表示出这两个全等三角形吗？
练习6 如图，已知△ABE≌△ACD， ∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边 和对应角.若BD=2cm，DE=3cm，你能求出DC的 长吗？
解：AB = AC，AE = AD， BE =CD，∠BAE =∠CAD. DC = BE = BD+DE = 5cm.
随堂演练 基础巩固 1.判断题：
△ABC和△DEF全等， 记作：“△ABC ≌△DEF”， 读作：“△ABC 全等于△DEF”．
问题4 请同学们拿出问题2 准备的素材，按 照教材第32 页图12.1-2 进行平移、翻折、旋转， 变换前后的两个三角形还全等吗？
（1） △ABC ≌△DEF
（2） △ABC ≌△DBC
（3）△ABC ≌△ADE
（2）判断线段EH 与NG 的大小关系，并说明理由．
E
（1）平行；理由略.
H
（2）相等．
M
F
G
N
练习5 如图，△OCA≌△OBD，C和B，A 和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边 和角.若∠A=20°，∠AOC=75°，你能求出∠B 的度数吗？
解：OC=OB，OA=OD，CA=BD， ∠COA=∠BOD，∠C=∠B，∠A=∠D. ∠B=∠C=180°-∠A-∠AOC=85°.
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17《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
17《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.已知三角形的三边长分别是3，8，x ,若x 的值为偶数，则x 的值有 ( )．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【答案】D【解析】x 的取值范围：511x <<，又x 为偶数，所以x 的值可以是6, 8, 10，故x 的值有3个.【总结升华】不要忽略“x 为偶数”这一条件.举一反三：【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成 个不同的三角形.当x 为 时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因为x 为整数，故x 可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11).2.如图，O 是△ABC 内一点，连接OB 和OC ．(1)你能说明OB+OC ＜AB+AC 的理由吗?(2)若AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，你能写出OB+OC 的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO 交AC 于点E ，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE 中，AB+AE ＞BE ；在△EOC 中，OE+EC ＞OC ，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC ＞BE+OC ．由图可知，AE+EC ＝AC ，BE ＝OB+OE ．所以AB+AC+OE ＞OB+OC+OE ，即OB+OC ＜AB+AC ．(2)因为OB+OC ＞BC ，所以OB+OC ＞7．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．类型二、三角形中的重要线段3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型三、与三角形有关的角4.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．举一反三：【变式】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。
《三角形的证明》全章复习与巩固--巩固练习(提高)
《三角形的证明》全章复习与巩固（提高）【巩固练习】一.选择题1．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（）A． 3米 B． 4米C． 5米 D．6米2.（2016秋•仙游县期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．每一个内角都大于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°3. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。
其中结论正确的是（）A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)4. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A、4cmB、6cmC、8 cmD、10cm5.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A、30°B、36°C、45°D、70°6.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可以是（）CA、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′7.（2015•永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8. 在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A、三边中线的交点B、三条角平分线的交点C、三边上高的交点D、三边中垂线的交点二、填空题9. 如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是__________ ．3510.用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，第一步为假设“”11. 如图，在Rt△ABC中．∠C=90°，BC=6，AC=8，点D在AC上，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB边的点C′处，则△ADC′的面积是_________.12. 如图，长方体的长为5，宽为3，高为12，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是________.13. 已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是___________.14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= cm．15.（2015•辽阳）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于．16. 如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB.三、解答题17.（2016秋•江都区校级期中）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF 相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．18. 如图，在长方形ABCD 中，DC=5cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△AED 折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30cm 2，求折叠△AED 的面积．19. 如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM ， △CBN 是等边三角形，直线AN ，MC 交于点E,直线BM 、CN 交与F 点.(1)求证：AN=BM ；(2)求证： △CEF 为等边三角形；(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）20.阅读下题及其证明过程：已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE. 证明：在△AEB 和△AEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB ∴△AEB ≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】解：因为是一块正方形的绿地，所以∠C=90°，由勾股定理得，AB=25米，计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走31﹣25=6米．故选D．2. 【答案】A；【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．故选：A．3. 【答案】D；【解析】解：∵EA⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAB=∠ABC=90°Rt△EAD与Rt△ABC∵D为AB中点，∴AB=2AD又EA=AB=2BC∴AD=BC∴Rt△EAD≌Rt△ABC∴DE=AC，∠C=∠ADE，∠E=∠FAD又∠EAF+∠DAF=90°∴∠EAF+∠E=90°∴∠EFA=180°-90°=90°，即DE⊥AC，∠EAF+∠DAF=90°，∠C+∠DAF=90°∴∠C=∠EAF，∠C=∠ADE∴∠EAF=∠ADE,故选D．4. 【答案】B；【解析】∵AD平分∠CAB交BC于点D∴CAD=∠EAD∵E⊥AB∴∠AED=∠C=90∵AD=AD∴△ACD≌△AED．（AAS）∴AC=AE，CD=DE∵∠C=90°，AC=BC∴∠B=45°∴DE=CE【解析】解：∵AB=AC，AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB，设∠A=x°，则∠ABD=∠A=x°，∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x°∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∴x+2x+2x=180，∴x=36，∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．6. 【答案】B；【解析】添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；添加B选项中条件无法判定两个三角形全等；添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；添加D选项以后是ASA证明三角形全等．故选B．7. 【答案】D；【解析】解：如图，∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外），∴以OA为腰的等腰三角形有3个；作OA的垂直平分线，交x轴于一点，∴以OA为底的等腰三角形有1个，综上所述，符合条件的点P共有4个，故选：D．8. 【答案】D；【解析】三角形三边中垂线的运用.二.填空题9. 【答案】125°；【解析】解：∵AB=AC，∠B=35°，∴∠C=35°，∠A=110°，∵DE⊥BC，∴∠ADE=360°-110°-35°-90°=125°，∵125°＞110°＞90°＞35°，∴四边形中，最大角的度数为：125°．故选C．10.【答案】三角形的三个内角都小于60°；【解析】第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．11.【答案】6；12.【答案】13；13.【答案】20；【解析】根据题意得，x-4=0，y-8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．14.【答案】7；【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠B=90°∴∠EAC=∠B∵AB=AC∴△ABD≌△ACE（AAS）∴AD=CE，BD=AE∴DE=AD+AE=CE+BD=7cm．故填7．15.【答案】8；【解析】解：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，∴AB=2DE=2×5=10，∴在Rt△ABD中，BD===8．故答案为：8．16.【答案】AH=CB或EH=BE或AE=CE;【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°-∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°-∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°-∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=BE；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．故填空答案：AH=CB或EH=BE或AE=CE．三.解答题17.【解析】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°．在△BDF与△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（AAS）．∴DF=DE，∴AD是∠BAC的平分线．18.【解析】解：由折叠的对称性，得AD=AF，DE=EF．由S△ABF=BF•AB=30，AB=5，得BF=12．在Rt△ABF中，由勾股定理，得．所以AD=13．设DE=x，则EC=5﹣x，EF=x，FC=1，在Rt△ECF中，EC2+FC2=EF2，即（5﹣x）2+12=x2．解得．故．19.【解析】（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACN=∠MCB=120°，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）证明：由（1）得△ACN≌△MCB，∴∠1=∠2，又∠ACM=∠BCN=∠MCN=60°，CN=CM∴△ECN≌△FCB，∴EC=FC．∴△ECF是等边三角形.图1C BA图2B M（3）AN=MB 成立，△ECF 是等边三角形不成立.20.【解析】解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下：在△BEC 中， ∵BE=CE∴∠EBC=∠ECB 又∵∠ABE=∠ACE ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC ．在△AEB 和△AEC 中，AE=AE ，BE=CE ，AB=AC ∴△AEB ≌△AEC （SSS ） ∴∠BAE=∠CAE ．。