第二章 杆件的内力分析

第二章杆件的内力分析

要想对杆件进行强度、刚度和稳定性方面的分析计算，首先必须知道杆件横截面上的内力，因此，本章主要对此作分析讨论。首先引入了内力的基本概念和求内力的基本方法——截面法，然后讨论了各种变形情况下截面上的内力及求解和内力图的绘制，这是材料力学最基本的知识。

第一节内力与截面法

杆件因受到外力的作用而变形，其内部各部分之间的相互作用力也发生改变。这种由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。内力的大小随外力的改变而变化，它的大小及其在杆件内部的分布方式与杆件的强度、刚度和稳定性密切相关。

为了研究杆件在外力作用下任一截面m-m上的内力，可用一平面假想地把杆件分成两部分，如图2-1a。取其中任一部分为研究对象，弃去另一部分。由于杆件原来处于平衡状态，截开后各部分仍应保持平衡，弃去部分必然有力作用于研究对象的m-m截面上。由连续性假设，在m-m截面上各处都有内力，所以内力实际上是分布于截面上的一个分布力系（图2-1b）。把该

分布内力系向截面上某一点简化后得到内力的主矢和主矩，以后就称之为该截面上的内力。但在工程实际中更有意义的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量，如图2-1c，这六个内力分量分别对应着四种基本变形形式，依其所对应的基本变形，把这六个内力分量分别称为轴力、剪力、扭矩和弯矩。

（1）轴力。沿杆件轴线方向（x轴方向）的内力分量FN，它垂直于杆件的横截面，使杆件

产生轴向变形（伸长或缩短）。

（2）剪力。与截面相切（沿y轴和z轴方向）的内力分量FQy、FQz ，使杆件产生剪切变

形。

（3）扭矩。绕x轴的主矩分量Mx，它是一个力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形。

（4）弯矩。绕y轴和z轴的主矩分量My、Mz，它们也是力偶，使杆件产生弯曲变形。为了求出这些内力分量，只需对所研究部分列出平衡方程就可。这种计算截面上内力的方法通常称为截面法。其步骤可归纳为：

(1) 沿需要计算内力的截面假想地把构件分成两部分，取其中的任一部分作为研究对象, 弃去另一部分。

(2) 用截面上的内力代替弃去部分对研究部分的作用。

(3) 建立研究部分的平衡方程，确定未知的内力。

例2-1求杆件如图2-2a m-m截面上的内力。

解假想沿截面m-m把杆件截开，取AC部分作为研究对象，为使AC段保持平衡，则m-m截面上必有内力F N,F QY，和ＭZ(图2-2b)。

列平衡方程

这里F N为轴力，F QY为剪力，ＭZ为弯矩。

从上可以看出，工程实际中并不是所有杆件都有六个分量，而是对应基本变形，其内力分量往往只有1-2个，因此下面先根据基本变形的情况，来深入研究杆件横截面上的内力。

第二节直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图

工程实际中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆。如起重机吊架的杆件，内燃机中的连杆（图2-3a），钢木结合桁架中的钢压杆（图2-3b）等。虽然实际拉、压杆的形状、加载和联接方式各不相同，但都可以简化为如图2-4所示的计算简图。它们的共同特点是：作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件的主要变形是沿轴线方向的伸长或缩短。

应用截面法，可求得拉（压）杆任意横截面m-m上的内力F N=F（图2-5）。由于外力F的作用线与杆轴线重合，所以FN的作用线也必然与杆轴线重合，故称为轴力。习惯上，把拉伸时的轴力规定为正，压缩时的轴力规定为负。在计算轴力时，通常把未知轴力假设为正。

实际问题中，杆件所受外力较为复杂，杆件各部分的横截面上的轴力也不尽相同。为了表示轴力随横截面位置变化的情况，可用平行于杆件轴线的坐标表示横截面的位置，以垂直于杆件轴线的坐标表示轴力的数值，绘出轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图。

例2-2试绘直杆（图2-6a）在外力作用下的轴力图。已知F1 = 5kN , F2 = 20kN , F3 = 25kN , F4 = 10kN 。

解（1）计算各段轴力。首先求AB段的轴力，沿截面1-1将杆假想地截开，取左段为研究对象，假设1-1截面的轴力为F N1（图2-6b）

列平衡方程F X=0，得

再求BC段的轴力。用2-2截面将杆假想截开，仍取左段为研究对象，假设2-2截面上的轴力为F N2(图2-6）。列平衡方程F X=0，得

同理可求得F N3= 10kN，如图2-6d。对FN3，亦可取左段作为研究对象，其结果是一样的（请读者自行验之），但计算要复杂。因此计算时应取受力比较简单的一段作为分析对象。（2）根据所求得的轴力值，绘制轴力图（图2-6e）。由图中看出|F N|max = 15kN。发生在BC段内各横截面上。

第三节直杆扭转时的内力及内力图

工程实际中，有很多承受扭转的杆件，例如汽车驾驶盘轴、钻探机的钻杆（图2-7a）机器中的传动轴（图2-7b）等，这些杆件受到作用平面垂直于杆件轴线的外力偶矩的作用，致使杆

件的任意两个横截面之间都发生绕轴线的相对转动，这种变形称为扭转变形。以扭转为主要变形的杆件称为轴。其计算简图如图2-8所示。

在研究轴的内力之前，首先来研究轴的外力偶矩。工程中作用于传动轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是给出轴所传递的功率和轴的转速。由理论力学知功率P=dW/dt，而力偶矩的功为dW=Td，故P=d/dt=T，则有T=P/，将方程中的功率单位kW和转速单位r/min转化为国际单位，则可得到它们之间的换算关系为

（2-1a）

式中，T为轴所受的外力偶矩，单位为Nm；P为轴传递的功率，单位为kW；n为轴的转速，单位为r/min。

当功率的单位为马力时，则根据1马力=0.7355kw，可得

(2-1b)

在作用于轴上的所有外力偶矩都求出后，即可用截面法求横截面上的内力。例如，为了求图2-9a圆轴m-m横截面上的内力，可假想地沿m-m截面把圆轴截开，取左段为研究对象，为保持左段平衡，m-m截面上的内力必须为一个内力偶矩Mx（图2-9b）。由对力轴的力偶平衡方程得

Mx-T=0

Mx=T

Mx称为截面m-m上的扭矩。

如果取右段为研究对象如图2-9c仍然可以求得Mx=T，其方向则与左段求出的扭矩方向相反。为了使这两种方法得到的同一截面上的扭矩不仅数值相等，而且正负号相同，对扭矩Mn的正负号规定如下：按右手螺旋法则，四指与扭矩Mn的转向一致，拇指伸出的指向与截面的外法线方向一致时，扭矩Mx为正（图2-10）；反之为负。显然图2-9所示截面上的扭矩为正。在计算扭矩时，通常把未知扭矩假设为正。

除轴的两端外，如果轴的其它地方还有外力偶矩作用，则轴上每一段的扭矩值将不尽相同，这时轴的扭矩应分段计算。与拉伸（压缩）问题中绘制轴力图相仿，可用图线来表示各横截面上扭矩沿轴线的变化情况。这样的图线称为扭矩图。

例2-3一传动轴如图2-11a，其转速n = 200r/min，主动轮A输入的功率P A= 200 kW，三个从动轮输出的功率分别为P B = 90kW，P C = 50kW，P D = 60 kW。试绘轴的扭矩图。

(2) 用截面法计算各段的扭矩。从受载荷情况知道，轴BC、CA、AD三段内各截面上的扭矩不相等。在BC段内，假设用M x1表示截面1-1上的扭矩如图2-11b，由平衡方程可得

同理在CA段(图2-11c)，由平衡方程得

在AD段（图2-11d）

计算结果Mx1及Mx2为正值，表示假设的转向与实际扭向一致；M x3为负值，表示假设的转向与实际转向相反。根据扭矩符号规定，M x1及M x2为正，M x3为负。

（3）作出扭矩图如图2-11e所示。从图中看出,最大扭矩发生于CA段,大小为6.6kNm。

第四节梁弯曲时的内力及内力图

一、概述

工程中存在着大量受弯曲的杆件,如桥式起重机的大梁（图1-6），火车轮轴（图2-12）等。作用于这些杆件的外力通常为垂直于杆轴的横向力，或通过杆轴平面内的外力偶，从而使杆的轴线将弯曲成曲线，这种变形称为弯曲变形。习惯上把以弯曲为主要变形的杆件称为梁。

工程问题中，大多数梁的横截面都有一根对称轴，如图2-13所示的y轴，因而梁有一个包含轴线的纵向对称面。如果作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，则变形后梁的轴线也将在此对称平面内弯曲成为一条曲线（图2-14），这种弯曲称为平面弯曲。本书主要讨论这种情况。

二、支座和载荷的简化

工程实际中支座和载荷是各种各样的，为了便于分析，须对梁的支座和载荷进行简化得出计算简图。梁的支座按对梁在载荷平面内的约束作用不同可简化为三种典型形式：固定铰支座、可动铰支座和固定端。如一般传动轴（图2-15a）的两端为短滑动轴承，在载荷作用下引起轴的弯曲变形，并使两端横截面发生角度很小的偏转。由于支承处的间隙等原因，短滑动轴承并不能约束轴端部横截面绕z轴或y轴的微小偏转。这样就可把短滑动轴承简化成铰支座。又因轴肩与轴承的接触限制了轴线方向的位移，故可以把其中的一个简化为固定铰支座，另一个简化成可动铰支座（图2-15b）。又如止推轴承（图2-16）和桥梁下的不动铰支座等均可简化为固定铰支座。

对于图2-17所示的金属切削车床上的刀架和车刀，由于刀架既能阻止车刀在支承端发生移动，又能阻止在支承端发生转动，因此可以简化为固定端。

作用在梁上的外力，包括载荷与支反力，按其作用的长度与杆件尺寸的相对关系可简化为集中载荷，分布载荷和集中力偶三种类型。这与理论力学中的情况相一致，不再重复。

经过对支座及载荷的简化，最后可得到梁的计算简图。如果梁具有一个固定端，或在梁的两个截面处分别有一个固定铰支座和一个可动铰支座，就可保证此梁不产生刚体运动。且支座反力均可由静力平衡方程完全确定，这种梁称为静定梁。根据支座情况，静定梁可分为三种基本形式：

（1）悬臂梁：一端固定端支座，另一端自由的梁（图2-18a、图2-17b）

（2）简支梁：一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座（图2-18b 、图2-15b ）。

（3）外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁（图2-18c）。

习惯上把简支梁和外伸梁两个铰支座之间的距离称为跨度，用l表示。悬臂梁的跨度是固定端到自由端的距离。

三、剪力和弯矩

确定了梁上的所有载荷与支座反力后，进一步就可研究其横截面上的内力。其方法仍如前面一样，采用截面法。现以图2-19a所示悬臂梁为例，其上作用有载荷F，由平衡方程可求出固定端B处的支座反力FB=F，MB=Fl（图2-19b）。为了求横截面m-m上的内力，假想地沿横截面m-m将梁横截面截成两段，取左段为研究对象（图2-19c），作用于左段上的力

为除载荷F外，在横截面m-m上还有右段对它作用的内力，为了满足y方向的平衡条件，横截面应有一个与横截面相切的沿y方向的内力F Q，且由Fy=0，得

F Q称为m-m截面上的剪力。为了满足力矩平衡方程，截面上应有一个力矩矩，由Mc=0，得

M称为m-m截面上的弯矩。剪力和弯矩即为一般情况下梁弯曲时横截面上的两个内力。

如取右段为研究对象（图2-19d），用相同的方法也可求得m-m截面上的FQ和M，且数值与上述结果相等，只是方向相反。因为剪力和弯矩是左段与右段在截面m-m上相互作用的内力，所以其数值必然是相等的，方向必然是相反的。

为使无论取哪一段为研究对象得到的同一截面上的剪力和弯矩，不仅数值相同，而且符号也一致，可把剪力和弯矩的符号规则与梁的变形联系起来，为此对其正负号作如下规定：凡剪力对所取梁内任一点的力矩是顺时针转向的为正（图２-20a）；反之为负（图2-20b）。凡弯矩使所取梁段产生上凹下凸变形的为正（图2-20c）；反之为负（图2-20d）。按上述关于正负号的规定，如图2-19a所示的悬臂梁m-m横截面上的剪力和弯矩均为正号。同样，一般情况下均把未知剪力和弯矩假设为正。

例2-4求简支梁（图2-21a），跨中截面D上的剪力和弯矩。

解（1）首先求支座反力。由平衡方程

得，

（2）再求D截面上的剪力和弯矩。应用截面法把梁沿D截面截开，取左段为研究对象，可假设FQ的方向和M的转向如图2-21b，由平衡方程

若取后段为研究对象（图2-21c），可得相同结果，请读者自行验之。由上面求解的计算过程，可以总结出求内力大小的如下规律：

（1）梁任一横截面上的剪力，其数值等于该横截面的任一侧（左边或右边）梁上所有外力在梁轴线垂线上的投影的代数和。

（2）梁任一横截面上的弯矩，其数值等于该横截面任一侧（左边或右边）梁上所有外力对截面形心的力矩的代数和。

四、剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图

一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随位置而变化，若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上剪力和弯矩都可表示为x的函数，即

F Q = F Q(x)

M = M(x)

以上两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。

与绘制轴力图和扭矩图一样，也可用图线表示梁的各横截面上的剪力FQ和弯矩M沿梁轴线变化的情况。以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力和弯矩，绘出剪力方程和弯矩方程的图线，这样的图线分别称为剪力图和弯矩图。例2-5 简支梁如图2-22a，在C处受集中载荷F作用，试列出此梁的剪力方程和弯矩

方程，并绘制剪力图和弯矩图。

解（1）求支座反力。由平衡方程易求得

（2）列出剪立方程和弯矩方程。以梁的左端为坐标原点，选取坐标系如图2-22a。集中力F 作用在C点，梁在AC和BC两段内的剪力和弯矩都不能用同一方程来表示，应分段考虑。在AC段内取距左端为x的任意横截面，根据平衡方程可得此横截面上的剪力和弯矩分别为即为AC段内的剪力方程和弯矩方程。同样可求得CB段内的剪力方程和弯矩方程分别为

（3）作剪力图和弯矩图。根据式（1）、（3）绘出剪力图如图2-22b，由剪力图看出，当a

由图可见，在集中力作用处（C截面），其左、右两侧横截面上弯矩相同，而剪力则发生突变，突变值等于该集中力的大小。

例2-6 简支梁（图2-23a）受均布载荷q作用，试列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。

解由平衡方程M B = 0和M A = 0 分别求得支座反力为

根据以上方程式，可分别绘出剪力图如图2-23b和弯矩图如图2-23c。

例2-7 试列出外伸梁（图2-24a）的剪力方程和弯矩方程，并绘出剪力图和弯矩图。

解由平衡方程M B= 0和M A = 0 ，求得支座反力

F A= 13kN，F B= 5kN。

分段列剪力方程

根据剪力方程绘制剪力图如图2-24b。对于弯矩图，情况则较为复杂，下面分段叙述之：CA段弯矩为x1的一次函数，故弯矩图为斜直线。AD段弯矩为x的二次函数，至少需要确定三个截面的弯矩值，才能画出弯矩图，这三个截面一般取在两端和中间的一个特定截面上，因此取x2= 2，M A = －12kNm；x2= 3.5，M =－3.75kNm；x2 = 5，M D = 0。DB段弯矩图亦为二次曲线，亦需确定特定截面的弯矩值，分别取x3 = 5，M D=6kNm；x3 = 5.5，F Q= 0，

M=6.25kNm；x3 = 8，M B=0。绘出弯矩图如图2-24c。这里需要指出，对于二次曲线要注意找出其极值，它一般在两端或F Q =0的截面上，如这里AD段中的12 kNm和DB段中的6.25 kNm。

由图可见，在集中力偶作用处（D截面），其左右两截面上的剪力相同，而弯矩则发生突变，突变值等于该集中力偶的大小。

在以上几个例题中，凡是集中载荷作用的截面上，剪力或弯矩在截面两侧发生突变，似乎没有确定的数值。这是由于在简化载荷时，把分布在相对很小尺寸上的载荷简化成作用于一点的载荷所致。

五载荷集度、剪力和弯矩间的关系

从上面几个例题可以看出，由于载荷不同，梁的剪力图和弯矩图也就不同；在例2-7中曾经指出，在F Q = 0的截面上，弯矩有极值。这些都说明载荷、剪力、弯矩间存在着一定关系，下面来分析这种关系。

轴线为直线的梁（图2-25a），受载荷作用，其中坐标轴x的原点位于梁的左端，y轴向上为正，梁上分布载荷的集度q(x)是x的连续函数，并规定向上为正。为了研究剪力、弯矩沿梁轴的变化情况，用横截面m-m和n-n从梁中截取一微段dx来分析（图2-25b）。有分布载荷q(x)和两端截面上的剪力、弯矩。由于所取的dx为微量，故可把q(x)看成是均布载荷。

在这些力的作用下，微段处于平衡状态。由平衡方程Fy = 0和MC = 0，得

以上三式表示了直梁的q(x)、F Q (x)和M(x)间的微分关系。

根据上述微分关系，可以得到下述的推论。这些推论对正确绘制或校核剪力图和弯矩图有很大的帮助。

（1）在梁的某一段内，若无载荷作用，即q(x)=0，由式（2-2）可知，在该段梁上F Q(x)=常数，剪力图是平行于x轴的直线。再由式（2-3）可得M(x)是x的线性函数，其弯矩图为一倾斜直线。如例2-5所示。

（2）在梁的某一段内，若作用着均布载荷，即q(x)=常数，由式（2-4）可知，F Q(x)为x的线性函数，M(x)为x的二次函数。因此，对于受均布载荷作用的一段梁上，其剪力图为一倾斜直线，而弯矩图为抛物线。如例2-6所示。

在梁的某一段内，若分布载荷q(x)向下，则，这表明弯矩图应为向上凸的

曲线（图2-23c），反之，若分布载荷向上，则弯矩图应为向下凸的曲线。

（３）若在梁的某一截面上F Q(X)=0,即，则在这一截面上弯矩具有一极值（极大或极小）。即弯矩的极值发生于剪力为零的截面上（例2-7）。

在集中力作用截面的左、右两侧，剪力F Q有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化，成为一个折点。弯矩的极值就可能出现于这类截面上（例2-5）。

在集中力偶作用截面的左、右两侧，弯矩发生突然变化（例2-7），这也可能出现弯矩的极值。

例2-8 外伸梁及其所受载荷如图2-26a，试作梁的剪力图和弯矩图。

解（1）由平衡方程求得支座反力为

F A =ql，F B =2ql

(2) 绘剪力图。A截面上有向上的支座反力FA，因此A截面的剪力有突变，突变值为ql。AC段梁上无载荷，剪力为常量，即F Q =ql。C截面有向下的集中力F=ql，剪力有突变,故c 截面右侧的剪力F Q =ql-ql=0。CD段无载荷，所以剪力为常量F Q =0。DB段有均布载荷，剪力图为斜直线,B截面左侧剪力F Q =-ql。B截面有支座反力，剪力有突变，突变值为2ql，故截面右侧剪力F Q =2ql-ql=ql。BE段有均布载荷，剪力图为斜直线，E截面剪力为零。因此可作出剪力图如图2-26b所示。

（3）绘制弯矩图。A截面上弯矩M A =0，AC段上剪力为常量，故弯矩图为斜直线，C截面上的弯矩M= ql2。CD段上剪力为零，故弯矩图为与轴线平行的直线。D截面有集中力偶作用，弯矩有突变，突变值为ql2，故D截面右侧弯矩M= ql2- ql2=0。DB和BE段上有均布载荷q，弯矩图为抛物线，D截面右侧与E截面上的剪力F Q=0，所以D截面和E截面的弯矩有极值，且均为极小值零，B截面上有支座反力，故弯矩图上有折点，大小为ql2 /2。从而可作弯矩图如图2-26c所示。

第五节复杂情况下的内力及内力图

一、曲杆、刚架的内力及内力图

某些构件，如活塞环、链环、拱等一般也都有一纵向对称面，其轴线是一平面曲线，当载荷作用于纵向对称面内时，曲杆将发生弯曲变形。这时横截面上的内力一般有剪力F Q、弯矩M和轴力F N。如果载荷不是作用于纵向对称面内，其横截面上可能还有扭矩M X。下面以四分之一圆周的曲杆（图2-27a）为例来说明内力的计算。

同样还是用截面法，以圆心角?确定的横截面（径向截面）m-m把曲杆截成两部分，取截面以右的部分为研究对象，m-m截面上有内力F N、F Q和M（图2-27b）。取以m-m截面的切线和法线为坐标轴方向，以m-m截面形心为原点的直角坐标系，根据平衡方程，可以得

对于曲杆内力的符号，规定为：引起拉伸变形的轴力F N为正；使轴线曲率增加的弯矩M为正；以剪力F Q对所考虑的一般曲杆内任一点取矩，若力矩为顺时针方向，则剪力F Q为正。按这一符号规则，图2-27a中的F N、F Q和M都为正。

作弯矩图时，将弯矩M画在轴线的法线方向，并画在杆件的受压一侧，无需注明正负号，如图2-27c所示。同样也可以作曲杆的剪力图和轴力图。

由几根直杆在连接处刚性连接而成的平面刚架内力的求解与梁的内力求解原则上相同。一般情况下，在外力的作用下刚架的横截面上同时产生轴力F N，剪力F Q和弯矩M。其内力符号的规定与曲杆相似。

例2-9试绘出如图2-28a所示的刚架内力图。