高等流体力学_第一讲
相对于本科“水力学” 相对于本科“水力学”或“流体力学”，在相关问题上进行更深入的理论分析 流体力学” 和论述，以满足现代水力工程对流体力学的要求，有助于提高理论修养， 和论述，以满足现代水力工程对流体力学的要求，有助于提高理论修养，深入理解现代 流体力学的内容。是水力工程以及学科各硕士专业的学位课。 流体力学的内容。是水力工程以及学科各硕士专业的学位课。
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
3
课程简介 讲授内容
第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 数学基础知识、 数学基础知识、流体力学的基本概念 流体运动基本方程与小雷诺数下N-S方程的基本解 流体运动基本方程与小雷诺数下 方程的基本解 大雷诺数问题、 大雷诺数问题、势流理论与边界层的解析解 紊流运动基础 扩散理论基础 剪切流中的离散 地下水中的弥撒
2）正交坐标系下弧元素表示 ） 拉梅（ 拉梅（Lame）系数；单位矢量；弧元素；面积元素；体积元素 ）系数；单位矢量；弧元素；面积元素；
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6
数学基础知识
（1）拉梅系数（Lame Coefficient） ）拉梅系数（ ）
Hi =
（2）单位矢量 ）
2、流体运动的基本方程； 、流体运动的基本方程； 4、粘性流体运动； 、粘性流体运动； 6、涡旋运动 、
环境流体力学导论（ 环境流体力学导论（共8章） 章
1、流体运动的基本概念与基本方程； 、流体运动的基本概念与基本方程； 2、紊流基础（一）； 3、紊流基础（二）； 、紊流基础（ 、紊流基础（ 4、扩散理论； 5、剪切流中的离散； 、扩散理论； 、剪切流中的离散； 6、射流、羽流和浮射流； 7、分层流； 、射流、羽流和浮射流； 、分层流； 8、地下水中的弥散 、
旋度： 旋度：
H 1e1 1 ∂ rot a = H 1 H 2 H 3 ∂q1 H 1a1
高等流体(水）力学讲稿
H 2 e2 ∂ ∂q2 H 2a2
H 3 e3 ∂ ∂q3 H 3 a3
11
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数学基础知识
4、哈密顿（Hamilton）（或那勃拉 、哈密顿（ ）（或那勃拉 ）（或那勃拉Nabla）算子 ）
及：
ai = a′j e′ ⋅ ei = α ji a′j j
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14
数学基础知识
（3）应力量 ） 1）应力定义： ）应力定义：
∆F lim = σn = n⋅ (eiσijej ) = n⋅ Σ ∆S→0 ∆S
2）应力张量分量变换关系： ）应力张量分量变换关系：
′ m Σ = eiσ ij e j = e′σ lm e′ l
即有
′ σ lm = ( e ′ ⋅ e i )σ ij ( e j ⋅ e ′ ) = α li α mj σ ij l m
同理可得： 同理可得：
′ ′ σ ij = ( e ′ ⋅ e i )σ lm ( e j ⋅ e ′ ) = α li α mj σ lm l m
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= e i ⋅ e ′ = α 21 j α 31
11
12
α 22 α 32
α 23 α 33
13
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13
数学基础知识
（1）标量的坐标变换 ） 对点P在旧 新坐标系中的位置（ 在旧、 ）（x’ 对点 在旧、新坐标系中的位置（x1,x2,x3）（ 1,x’2,x’3）， 则有： 则有：
2、直角坐标下的计算 、
梯度： 梯度：
grad ϕ =
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
散度： 散度：
∂a x ∂a y ∂a z div a = + + ∂x ∂y ∂z
旋度： 旋度：
i ∂ rot a = ∂x ax
j ∂ ∂y ay
k ∂ ∂z az
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′ ϕ ( P ) = ϕ ( x1 , x 2 , x 3 ) = ϕ ( x1′, x ′ , x 3 ) 2
（2）矢量的坐标变换关系 ）
′ 2 ′ j a(P) = ai ( x1 , x2 , x3 )ei = a′j ( x1 , x′ , x3 )e′
各分量间满足： 各分量间满足：
a′j = ai ei ⋅ e′ = α ji ai j
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2
课程简介
三、内容
环境流体力学——董志勇（共8章） 董志勇（ 环境流体力学 董志勇 章
1、绪论； 、绪论； 2、迁移扩散理论； 、迁移扩散理论； 3、剪切流离散； 、剪切流离散； 4、射流、羽流和浮射流； 、射流、羽流和浮射流； 5、水质模型； 、水质模型； 6、地下水污染模型； 、地下水污染模型； 7、分层流； 、分层流； 8、生态水力学引论。 、生态水力学引论。
旋度（ ）：向量场中围绕一点的封闭曲线的环量与该 旋度（curl or rotation）：向量场中围绕一点的封闭曲线的环量与该 ）： 封闭曲线所张的面积比值的极限； 封闭曲线所张的面积比值的极限；
rot a = ∆S →0 lim
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∆S
9
数学基础知识
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15
数学基础知识
3、张量的定义 、 保证物理量在不同坐标系表示下量不变， 保证物理量在不同坐标系表示下量不变，坐标转换应具有 相同的数学结构，将具有此类特性的量称为张量（ 相同的数学结构，将具有此类特性的量称为张量（Tensor）。 ）。 设A的分量表示为 的分量表示为
∂x i ∂x i ∂x i + + ∂q1 ∂q 2 ∂q3
(i = 1,2,3)
ei =
（3）弧元素 ）
1 ∂r H i ∂q i ∂q
( i = 1, 2,3)
( i = 1, 2,3)
ds i = H i dq i
（4）面积元素 ）
dσ 1 = H 2 H 3 dq 2 dq 3 ; dσ 2 = H 3 H 1 dq 3 dq 1 ; dσ 3 = H 1 H 2 dq 1 dq 2
5
数学基础知识
一、正交曲线坐标系
1、直角坐标系、柱坐标系与球坐标系 、直角坐标系、 1）坐标线与坐标面 ） 2）坐标系间的转化 ） 2、一般正交坐标系的表示 、
1）正交坐标系与直角坐标系的表示 ）
qi = qi ( x , y , z ) x j = x j (q1 , q2 , q3 )
i = 1,2,3 j = 1,2,3
2、坐标变换关系——坐标变换系数 ij 、坐标变换关系 坐标变换系数α 坐标变换系数 旋转变换的新旧新两个坐标系（ ），其基向 旋转变换的新旧新两个坐标系（ox1x2x3）和（ox’1x’2x’3），其基向 量分别为：则两坐标轴的方向余玄为： 量分别为：则两坐标轴的方向余玄为： α α α
α ji
射流、 第八讲 射流、羽流和浮射流
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4
课程简介
四、英文参考教材： 英文参考教材：
1、环境流体力学（Environmental Fluid Mechanics 、环境流体力学（ -- Theories and Applications) 2、高等环境流体力学（MIT开放教案 、高等环境流体力学（ 开放教案——MIT OcwWeb） 开放教案 ） Advanced Fluid Dynamics of the Environment, Fall 2002
grad ϕ = n
∂ϕ ∂n
散度（ ）：向量场中围绕点 散度（divergence）：向量场中围绕点 的封闭曲面的通量与该封闭 ）：向量场中围绕点p的封闭曲面的通量与该封闭 曲面所围体积之比的极限值； 曲面所围体积之比的极限值；
div a = ∆V → 0 lim
∫∫ a ⋅ n ds
S
∆V
∫ a ⋅ dl
高等流体(水）力学讲稿
10
数学基础知识
3、正交曲线坐标下的计算 、
梯度：ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂ϕ e1 + e2 + e3 H 1 ∂q1 H 2 ∂q2 H 3 ∂q3
散度： 散度：
∂H 2 H 3 a1 ∂H 3 H 1a 2 ∂H 1 H 2 a 3 1 div a = + + ∂q H1 H 2 H 3 ∂q 2 ∂q3 1
A
A ′j j
... j n
i 1 i 2 ... i n
五、教、学与评价探讨
课程特点： 课程特点： 1）要求数学知识多；方程、公式多，推演论证繁琐；解题 ）要求数学知识多；方程、公式多，推演论证繁琐； 难度大。 难度大。 2）学时少（32），所留自学时间也少，而教学内容多。 ），所留自学时间也少 ）学时少（ ），所留自学时间也少，而教学内容多。
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2、高等水力学？环境流体力学导论——余常昭编著 、高等水力学？环境流体力学导论 余常昭编著
1980年开始作为清华大学环境系和水利系研究生课的教材，1991年清华大学 年开始作为清华大学环境系和水利系研究生课的教材， 年开始作为清华大学环境系和水利系研究生课的教材 年清华大学 出版社出版。利用流体力学理论以研究、解决环境问题——污染源的扩散与弥散。 污染源的扩散与弥散。 出版社出版。利用流体力学理论以研究、解决环境问题 污染源的扩散与弥散
课程简介
一、课程名称: 课程名称
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课程简介 讲授内容
第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 数学基础知识、 数学基础知识、流体力学的基本概念 流体运动基本方程与小雷诺数下N-S方程的基本解 流体运动基本方程与小雷诺数下 方程的基本解 大雷诺数问题、 大雷诺数问题、势流理论与边界层的解析解 紊流运动基础 扩散理论基础 剪切流中的离散 地下水中的弥撒
2）正交坐标系下弧元素表示 ） 拉梅（ 拉梅（Lame）系数；单位矢量；弧元素；面积元素；体积元素 ）系数；单位矢量；弧元素；面积元素；
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数学基础知识
（1）拉梅系数（Lame Coefficient） ）拉梅系数（ ）
Hi =
（2）单位矢量 ）
2、流体运动的基本方程； 、流体运动的基本方程； 4、粘性流体运动； 、粘性流体运动； 6、涡旋运动 、
环境流体力学导论（ 环境流体力学导论（共8章） 章
1、流体运动的基本概念与基本方程； 、流体运动的基本概念与基本方程； 2、紊流基础（一）； 3、紊流基础（二）； 、紊流基础（ 、紊流基础（ 4、扩散理论； 5、剪切流中的离散； 、扩散理论； 、剪切流中的离散； 6、射流、羽流和浮射流； 7、分层流； 、射流、羽流和浮射流； 、分层流； 8、地下水中的弥散 、
旋度： 旋度：
H 1e1 1 ∂ rot a = H 1 H 2 H 3 ∂q1 H 1a1
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H 2 e2 ∂ ∂q2 H 2a2
H 3 e3 ∂ ∂q3 H 3 a3
11
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数学基础知识
4、哈密顿（Hamilton）（或那勃拉 、哈密顿（ ）（或那勃拉 ）（或那勃拉Nabla）算子 ）
及：
ai = a′j e′ ⋅ ei = α ji a′j j
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数学基础知识
（3）应力量 ） 1）应力定义： ）应力定义：
∆F lim = σn = n⋅ (eiσijej ) = n⋅ Σ ∆S→0 ∆S
2）应力张量分量变换关系： ）应力张量分量变换关系：
′ m Σ = eiσ ij e j = e′σ lm e′ l
即有
′ σ lm = ( e ′ ⋅ e i )σ ij ( e j ⋅ e ′ ) = α li α mj σ ij l m
同理可得： 同理可得：
′ ′ σ ij = ( e ′ ⋅ e i )σ lm ( e j ⋅ e ′ ) = α li α mj σ lm l m
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= e i ⋅ e ′ = α 21 j α 31
11
12
α 22 α 32
α 23 α 33
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数学基础知识
（1）标量的坐标变换 ） 对点P在旧 新坐标系中的位置（ 在旧、 ）（x’ 对点 在旧、新坐标系中的位置（x1,x2,x3）（ 1,x’2,x’3）， 则有： 则有：
2、直角坐标下的计算 、
梯度： 梯度：
grad ϕ =
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
散度： 散度：
∂a x ∂a y ∂a z div a = + + ∂x ∂y ∂z
旋度： 旋度：
i ∂ rot a = ∂x ax
j ∂ ∂y ay
k ∂ ∂z az
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′ ϕ ( P ) = ϕ ( x1 , x 2 , x 3 ) = ϕ ( x1′, x ′ , x 3 ) 2
（2）矢量的坐标变换关系 ）
′ 2 ′ j a(P) = ai ( x1 , x2 , x3 )ei = a′j ( x1 , x′ , x3 )e′
各分量间满足： 各分量间满足：
a′j = ai ei ⋅ e′ = α ji ai j
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课程简介
三、内容
环境流体力学——董志勇（共8章） 董志勇（ 环境流体力学 董志勇 章
1、绪论； 、绪论； 2、迁移扩散理论； 、迁移扩散理论； 3、剪切流离散； 、剪切流离散； 4、射流、羽流和浮射流； 、射流、羽流和浮射流； 5、水质模型； 、水质模型； 6、地下水污染模型； 、地下水污染模型； 7、分层流； 、分层流； 8、生态水力学引论。 、生态水力学引论。
旋度（ ）：向量场中围绕一点的封闭曲线的环量与该 旋度（curl or rotation）：向量场中围绕一点的封闭曲线的环量与该 ）： 封闭曲线所张的面积比值的极限； 封闭曲线所张的面积比值的极限；
rot a = ∆S →0 lim
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∆S
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数学基础知识
3、张量的定义 、 保证物理量在不同坐标系表示下量不变， 保证物理量在不同坐标系表示下量不变，坐标转换应具有 相同的数学结构，将具有此类特性的量称为张量（ 相同的数学结构，将具有此类特性的量称为张量（Tensor）。 ）。 设A的分量表示为 的分量表示为
∂x i ∂x i ∂x i + + ∂q1 ∂q 2 ∂q3
(i = 1,2,3)
ei =
（3）弧元素 ）
1 ∂r H i ∂q i ∂q
( i = 1, 2,3)
( i = 1, 2,3)
ds i = H i dq i
（4）面积元素 ）
dσ 1 = H 2 H 3 dq 2 dq 3 ; dσ 2 = H 3 H 1 dq 3 dq 1 ; dσ 3 = H 1 H 2 dq 1 dq 2
5
数学基础知识
一、正交曲线坐标系
1、直角坐标系、柱坐标系与球坐标系 、直角坐标系、 1）坐标线与坐标面 ） 2）坐标系间的转化 ） 2、一般正交坐标系的表示 、
1）正交坐标系与直角坐标系的表示 ）
qi = qi ( x , y , z ) x j = x j (q1 , q2 , q3 )
i = 1,2,3 j = 1,2,3
2、坐标变换关系——坐标变换系数 ij 、坐标变换关系 坐标变换系数α 坐标变换系数 旋转变换的新旧新两个坐标系（ ），其基向 旋转变换的新旧新两个坐标系（ox1x2x3）和（ox’1x’2x’3），其基向 量分别为：则两坐标轴的方向余玄为： 量分别为：则两坐标轴的方向余玄为： α α α
α ji
射流、 第八讲 射流、羽流和浮射流
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课程简介
四、英文参考教材： 英文参考教材：
1、环境流体力学（Environmental Fluid Mechanics 、环境流体力学（ -- Theories and Applications) 2、高等环境流体力学（MIT开放教案 、高等环境流体力学（ 开放教案——MIT OcwWeb） 开放教案 ） Advanced Fluid Dynamics of the Environment, Fall 2002
grad ϕ = n
∂ϕ ∂n
散度（ ）：向量场中围绕点 散度（divergence）：向量场中围绕点 的封闭曲面的通量与该封闭 ）：向量场中围绕点p的封闭曲面的通量与该封闭 曲面所围体积之比的极限值； 曲面所围体积之比的极限值；
div a = ∆V → 0 lim
∫∫ a ⋅ n ds
S
∆V
∫ a ⋅ dl
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数学基础知识
3、正交曲线坐标下的计算 、
梯度：ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂ϕ e1 + e2 + e3 H 1 ∂q1 H 2 ∂q2 H 3 ∂q3
散度： 散度：
∂H 2 H 3 a1 ∂H 3 H 1a 2 ∂H 1 H 2 a 3 1 div a = + + ∂q H1 H 2 H 3 ∂q 2 ∂q3 1
A
A ′j j
... j n
i 1 i 2 ... i n
五、教、学与评价探讨
课程特点： 课程特点： 1）要求数学知识多；方程、公式多，推演论证繁琐；解题 ）要求数学知识多；方程、公式多，推演论证繁琐； 难度大。 难度大。 2）学时少（32），所留自学时间也少，而教学内容多。 ），所留自学时间也少 ）学时少（ ），所留自学时间也少，而教学内容多。
北京工业大学市政学科部——马长明 高等流体(水）力学讲稿
2、高等水力学？环境流体力学导论——余常昭编著 、高等水力学？环境流体力学导论 余常昭编著
1980年开始作为清华大学环境系和水利系研究生课的教材，1991年清华大学 年开始作为清华大学环境系和水利系研究生课的教材， 年开始作为清华大学环境系和水利系研究生课的教材 年清华大学 出版社出版。利用流体力学理论以研究、解决环境问题——污染源的扩散与弥散。 污染源的扩散与弥散。 出版社出版。利用流体力学理论以研究、解决环境问题 污染源的扩散与弥散
课程简介
一、课程名称: 课程名称
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高等流体力学课件
静止流体满足力的平衡条件，即合力为零。
流体静力学的基本概念
流体静力学是研究流体平衡和压力分布的学 科。
压力分布
静止流体的压力分布与重力场和其他外力场 有关，可以通过静力学方程求解。
流体动力学
总结词
流体动力学的基本概念、一维流动、层流与湍流
一维流动
一维流动是指流体沿着一条线的流动，可以用于 描述长距离管道内的流动或某些对称的流动。
水利工程
机械工程
流体动力学在水力发电、水利枢纽设计、 灌溉系统优化等方面具有广泛应用，为水 利工程提供了重要的技术支持。
流体动力学在机械工程领域的应用也十分 广泛，如内燃机、通风 system等的设计和 优化。
流体在自然界中的应用
气候变化
流体动力学在气候变化研究中发挥着重要作用，如风场、洋流等 对气候的影响研究。
详细描述
连续性方程是流体动力学的基本方程之一，它表达了单位时间内流经某一封闭 曲面微元体的流体质量的增加等于该微元体所受质量源的净增量，用于描述流 体运动的连续性。
动量方程
总结词
描述流体动量守恒的方程
详细描述
动量方程是流体动力学的基本方程之一，它表达了流体动量的变化率等于作用在 流体上的外力之和，包括重力、压力、摩擦力等。
方法
02
常用的线性稳定性分析方法包括特征值分析、傅里叶分析和庞
加莱截面法等。
应用
03
线性稳定性分析在气象、海洋、航空航天等领域有广泛应用，
用于预测和控制流体运动的稳定性。
非线性稳定性分析
定义
非线性稳定性分析是研究流体运动在较大扰 动下的响应，需要考虑非线性效应对流体运 动的影响。
方法
非线性稳定性分析需要求解非线性偏微分方程，常 用的方法包括数值模拟和近似解析法。
流体静力学的基本概念
流体静力学是研究流体平衡和压力分布的学 科。
压力分布
静止流体的压力分布与重力场和其他外力场 有关，可以通过静力学方程求解。
流体动力学
总结词
流体动力学的基本概念、一维流动、层流与湍流
一维流动
一维流动是指流体沿着一条线的流动，可以用于 描述长距离管道内的流动或某些对称的流动。
水利工程
机械工程
流体动力学在水力发电、水利枢纽设计、 灌溉系统优化等方面具有广泛应用，为水 利工程提供了重要的技术支持。
流体动力学在机械工程领域的应用也十分 广泛，如内燃机、通风 system等的设计和 优化。
流体在自然界中的应用
气候变化
流体动力学在气候变化研究中发挥着重要作用，如风场、洋流等 对气候的影响研究。
详细描述
连续性方程是流体动力学的基本方程之一，它表达了单位时间内流经某一封闭 曲面微元体的流体质量的增加等于该微元体所受质量源的净增量，用于描述流 体运动的连续性。
动量方程
总结词
描述流体动量守恒的方程
详细描述
动量方程是流体动力学的基本方程之一，它表达了流体动量的变化率等于作用在 流体上的外力之和，包括重力、压力、摩擦力等。
方法
02
常用的线性稳定性分析方法包括特征值分析、傅里叶分析和庞
加莱截面法等。
应用
03
线性稳定性分析在气象、海洋、航空航天等领域有广泛应用，
用于预测和控制流体运动的稳定性。
非线性稳定性分析
定义
非线性稳定性分析是研究流体运动在较大扰 动下的响应，需要考虑非线性效应对流体运 动的影响。
方法
非线性稳定性分析需要求解非线性偏微分方程，常 用的方法包括数值模拟和近似解析法。
高等流体力学(粘性流体力学部分)课件
及变形率的关系式代入公式，
uy ux x y ux uz xz z x uz uy yz y z
2 C 将 12 3
2 ux uy uz ux 2 3 x x y z 2 ux uy uz uy yy 2 3 y x y z 2 ux uy uz uz zz 2
（3）当没有变形时，各切应力分量都等于零，法向应力
简化成体积平均应力 则
xx C11 xx C12 yy C13 zz C14 xy C15 xz C16 yz C17
yy C21 xx C22 yy C23 zz C24 xy C25 xz C26 yz C27
yz C 61 xx C 62 yy C 63 zz C 64 xy C 65 xz C 66 yz C 67
利用流体各向同性的性质，将未知的系数减少到5个。 公式成为：
xx C11 xx C12 yy C12 zz C17
yy C12 xx C11 yy C12 zz C27
x z l 2l 3 xx m 2m 3 yy n 2n 3 zz
' '
l m
2
' '
3
l 3m 2 xy l 2n 3 l 3n 2 xz m 2n 3 m 3n 2 yz
y z l 1l 3 xx m1m 3 yy n 1n 3 zz
对牛顿流体，应用牛顿内摩擦定律：
xy
得 则
dux 1 u (C11 C12 ) 2 y dy
uy ux x y ux uz xz z x uz uy yz y z
2 C 将 12 3
2 ux uy uz ux 2 3 x x y z 2 ux uy uz uy yy 2 3 y x y z 2 ux uy uz uz zz 2
（3）当没有变形时，各切应力分量都等于零，法向应力
简化成体积平均应力 则
xx C11 xx C12 yy C13 zz C14 xy C15 xz C16 yz C17
yy C21 xx C22 yy C23 zz C24 xy C25 xz C26 yz C27
yz C 61 xx C 62 yy C 63 zz C 64 xy C 65 xz C 66 yz C 67
利用流体各向同性的性质，将未知的系数减少到5个。 公式成为：
xx C11 xx C12 yy C12 zz C17
yy C12 xx C11 yy C12 zz C27
x z l 2l 3 xx m 2m 3 yy n 2n 3 zz
' '
l m
2
' '
3
l 3m 2 xy l 2n 3 l 3n 2 xz m 2n 3 m 3n 2 yz
y z l 1l 3 xx m1m 3 yy n 1n 3 zz
对牛顿流体，应用牛顿内摩擦定律：
xy
得 则
dux 1 u (C11 C12 ) 2 y dy
高等流体力学课件 高等流体力学(1)
自由指标和哑指标
ti ijn j
aij bikckj d eij kk
在方程同一项中重复出现的指标称为哑指标，哑指标在作 求和运算后就消失了，因此改变哑指标的字母不改变表达 式的内容。
在方程同一项中只出现一次的指标称自由指标，在同一 方程的所有项中出现的自由指标必须相同。
为避免混淆，同一项中相同指标出现的次数不能多于2。
散度的性质： diva 0 为无源场，无源场的性质见P14。自己看书。
4.旋度
矢量 a 沿任意曲线L的线积分，即 a 沿任意曲线L的环量：
a • dr axdx aydy azdz
L
L
a • dr
设张于L上的曲面为S，则定义 lim L
为矢量 a
S0 S
的旋度矢量 rota 在法线 n 上的投影，
12月31日,1月8日：粘性不可压缩流体的流动
12月31日（第13周）
N-S方程的精确解
1月8日（第14周）
小雷诺数流动的近似解
1月15日（第15周）
大雷诺数下的边界层理论
绪论
人类生活在流体环境中，人们对一些流体运动 现象却缺乏认识，比如：
1. 高尔夫球 ：表面光滑还是粗糙？ 2. 汽车阻力 ：来自前部还是后部？ 3. 机翼升力 ：来自下部还是上部？
(1) v w； (2) v w； (3) v v；
(4) e1 v； (5) e2 v； (6) r v, r xi yj zk 是位置矢量。
解:
v w vi wi
v1w1 v2 w2
v3w3
1 3 2 1 5 1 4
i jk v w 1 2 5 i (2 1 1 5) j(3 5 11) k (11 2 3)
高等流体力学
ti ijn j
aij bikckj d eij kk
在方程同一项中重复出现的指标称为哑指标，哑指标在作 求和运算后就消失了，因此改变哑指标的字母不改变表达 式的内容。
在方程同一项中只出现一次的指标称自由指标，在同一 方程的所有项中出现的自由指标必须相同。
为避免混淆，同一项中相同指标出现的次数不能多于2。
散度的性质： diva 0 为无源场，无源场的性质见P14。自己看书。
4.旋度
矢量 a 沿任意曲线L的线积分，即 a 沿任意曲线L的环量：
a • dr axdx aydy azdz
L
L
a • dr
设张于L上的曲面为S，则定义 lim L
为矢量 a
S0 S
的旋度矢量 rota 在法线 n 上的投影，
12月31日,1月8日：粘性不可压缩流体的流动
12月31日（第13周）
N-S方程的精确解
1月8日（第14周）
小雷诺数流动的近似解
1月15日（第15周）
大雷诺数下的边界层理论
绪论
人类生活在流体环境中，人们对一些流体运动 现象却缺乏认识，比如：
1. 高尔夫球 ：表面光滑还是粗糙？ 2. 汽车阻力 ：来自前部还是后部？ 3. 机翼升力 ：来自下部还是上部？
(1) v w； (2) v w； (3) v v；
(4) e1 v； (5) e2 v； (6) r v, r xi yj zk 是位置矢量。
解:
v w vi wi
v1w1 v2 w2
v3w3
1 3 2 1 5 1 4
i jk v w 1 2 5 i (2 1 1 5) j(3 5 11) k (11 2 3)
高等流体力学
西安交通大学高等流体力学课件
第一章流体力学基本概念1.1 连续介质假说推导流体力学基本方程的两条途径统计方法把流体看作由运动的分子组成，认为宏观现象起源于分子运动，运用力学定律和概率论预测流体的宏观性质。
对于偏离平衡态不远的流体可推导出质量、动量和能量方程，给出输运系数（μ，κ）的表达式。
对于单原子气体已有成熟理论，对多原子气体和液体理论尚不完整。
连续介质方法把流体看作连续介质，而忽略分子的存在，假设场变量（速度、密度、压强等）在连续介质的每一点都有唯一确定的值，连续介质遵守质量、动量和能量守恒定律。
从而推导出场变量的微分方程组。
流体力学采用连续介质的方法1.1 连续介质假说连续介质方法失效场合火箭穿越大气层边缘，此时微观特征尺度接近宏观特征尺度；研究激波结构，此时宏观特征尺度接近微观特征尺度。
1.1 连续介质假说流体质点由确定流体分子组成的流体团，流体由流体质点连续无间隙地组成，流体质点的体积在微观上充分大，在宏观上充分小。
流体质点是流体力学研究的最小单元。
当讨论流体速度、密度等变量时，实际上是指流体质点的速度和密度。
(,,,)u u x y z t =r r (,,,)x y z t ρρ=r r 欧拉参考系当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。
着眼于空间点，在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化。
独立变量x , y , z , t1.2 欧拉和拉格朗日参考系000(,,,)r r x y z t =r r 拉格朗日参考系着眼于流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动，即它的位置随时间变化，式中x 0, y 0, z 0 是 t =t 0 时刻流体质点空间位置的坐标。
独立变量x 0, y 0, z 0, t 。
x, y, z 不再是独立变量，x - x 0 = u ( t - t 0), y - y 0 = v (t - t 0),z - z 0 = w (t - t 0), T =T (x 0, y 0, z 0, t ), ρ=ρ(x 0, y 0, z 0, t )。
高等流体力学课件 第一章 流体力学的基本概念
J 0
x y z x0 x0 x0 J x y z 0 y0 y0 y0 x y z z0 z0 z0
有限大的正数
rr r0 , r
互为反函数。
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
三、两个参考系间的相互转换
2.两个参考系间的相互转换
若已知流线经过点 (x0,y0,z0) ,则参数方程的初始条件可定为，
《高等流体力学》电子课件
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
一、拉格朗日参考系
1.流动的描述
着眼于流体质点。 描述每个流体质点自始至终的运动，即位置随时间的变化。
r r r r(x 0,y0,z0,t) 式中x0 , y0 , z0 是t =t0 时刻流体质点的空间坐标，用来区分不同的流体质点。
二、流线
1.定义
某时刻，流场中的一条曲线，曲线上各点的速度矢量方向和曲线在 该点的切线方向相同。
2.流线方程的微分方程
d r d i x d j y d k z u u i v j w k
i dru dx u
j dy v
k dz0 w
2.流动物理量随时间的变化
加速度：
ai
ui t
uj
ui xj
其他物理量：
d dt
t uj
xj
dp dt
p t
uj
p xj
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
三、两个参考系间的相互转换
1.两个参考系间相互联系——雅可比行列式
0 初始时刻流体微团体积 T时刻变形后流体微团体积
1.流动的描述
着眼于空间点。 描述流过每个空间点上的流体质点的运动。
流体力学讲义第一讲-1
0
s
旋度代表某一点的旋转角速度或旋转量，定义了一个向量场， 叫旋度场
在直角坐标系中表达式：
rotv i(vz vy ) j(vz vx ) k(vy vx ) y z x z x y
引进哈密顿算子：
i jk v
x y z vx vy vz
B 张量
一、张量的阶
与坐标变换联系在一起，3n个元素组成的整体。 n=0称为零阶张量（标量） n=1称为一阶张量（向量） n=2称为二阶张量
二、张量的分类 1、笛卡儿张量：在笛卡儿坐标中定义的张量。 2、普遍张量：在一般曲线坐标中定义的张量。
三、符号记 1、求和法则（同一项中有相同的角标出现两次，则该
s
w
nQ
P
l
n
p
nPP
wlnQ
n
p
wl
grad
Vgrad
所以：
lim 1 nds grad vs
v0
若定义一个向量场 F x, y, z ，则向量微分算子与它作用后分别
的通量。若diva>0，称该点有源；若diva<0，称该点有汇。
|diva|称为源或汇的强度。若diva＝0（处处），称该物理
场为无源场，否则为有源场。
散度的基本运算公式：
n
a
⑴ (ca) c a （ c 常数）
M
S
（2) (a b) a b （3) (a) a a
曲面积分
a
S
n
Q adS an d S an d S
高等流体力学1混沌-3
清华大学研究生课程第一章流体中的混沌（3）1.2 环型圆管内的对流ColdgHotConvection in a torus物理问题：竖直放置的环型圆管内充满液体，环境温度下热上冷。
开始流体静止，只有上下温差到一定值后，液体才会在管内流动。
环形圆管外，上下两处温差为，环境温度为线性分布12T ()0101/cos E T T T z a T T φ=−=+2T 2T cos /z aφ=−T 0－T 1g环形圆管内，上下两处的温差为，左右两处的温差23管内温度分布为T 0－T 2z023cos sin T T T T φφ=++四个温度中，T 0－T 3T 0+T 3和是已知的环境温度，和是待求2T 3T 1T 0T aT 0无对流时，管内外温度一样的管内温度。
φq30,T =12T T =T 0＋T 2管道一维流的速度(),q q t φ===假定流动不可压缩，连续方程0/∂∂φq ()()t q t φV e 任务是建立速度和温度、的三个方程q 2T 3T ⎛⎞动量方程∂V()22qμμμ粘性项B i 重力项Boussinesq 近似()001zT T g ρρα=−−−⎡⎤⎣⎦g e 周向投影得到d t a∂a0ρφ0ρ这表明：在一维流的假设下，原来静止的流体，在圆环内左右没有温差时，仍保持静止。
问题：另外的两个常微分方程来自何处？忽略粘性流体运动时能耗散所产生的热量，并假定通过管壁的热传导速率正比于液体温度与壁外环境温度的差，能量方程近似为a t ∂∂φ01cos E T T T φ=+023cos sin T T T T φφ=++利用能量方程改写为分解成令，后两个方程改写成T T T −=214d t a d ta a 得到了速度和温度、的三个方程q T T344d d T T T K T q t a =−+3143d d T T T T K T q q t a a =−+−引入无量纲量aK K aK 2K aK 2T tK =τTT q T q得到d τd τdτd d X X Y σστ=−+d d YrX Y XZ τ=−−1cRa a +相当于Lorenz 方程组b =1的特殊情况，包括线性稳定性分析在内的分析与(三个奇点的位置)00C X Y Z ===()(),1,1C C X Y b r Z r +−==±−=−(br ++++−=λλλσσ2110第一平衡点的特征方程为特征值为)()()[]第二、三平衡点的特征方程为()()()λσλσλσ321210++++++−=b r b b r r =1r =247368r 1叉型分岔，r 24.7368时特征值非零虚部越过纵轴为Hopf 分岔。
高等流体力学PPT课件
1 ur
2
aij ijkk
uD S r
表示由于流体微团变形而产生的 M 点相对于M点 的速度变化。
uR
1 ur
2
表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 对于M 点的速度变化。
M 点相
26
26
欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
欧拉参考系：
u t x,y,z
u
u(x,
y,
z,
t)
某一空间点上的流体速度随时间的变化，称当地导 数或局部导数。
拉格朗日参考系：u u(x0, y0, z0,t)
u
t
x0 , y0 ,z0
流体质点速度随时间的变化，即加速度。
在欧拉参考系下用 Du 表示流体质点的速度变化。
25
速度分解定理，应变率张量和旋转率张量
速度分解定理
ui
ui x j
xj
1 2
ui x j
u j xi
1 2
ui x j
u j xi
xj
sij x j aij x j S r A r
Sr 1 ur
2
u uD uR
aij x j ijk x jk r
物质导数
以矢量和张量下标形式表示的物质导数
D
Dt
t
uk
xk
D
Dt
t
u
t
u
算符
u
ui vj wk
i
x
j
y
k
z
u v w x y z
13
13
物质导数物理意义
D Dt t uk xk
D 物质导数，质点导数，随体导数；
Dt
欧拉参考系中的时间导数，称局部导数或就地导数，表示空
2
aij ijkk
uD S r
表示由于流体微团变形而产生的 M 点相对于M点 的速度变化。
uR
1 ur
2
表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 对于M 点的速度变化。
M 点相
26
26
欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
欧拉参考系：
u t x,y,z
u
u(x,
y,
z,
t)
某一空间点上的流体速度随时间的变化，称当地导 数或局部导数。
拉格朗日参考系：u u(x0, y0, z0,t)
u
t
x0 , y0 ,z0
流体质点速度随时间的变化，即加速度。
在欧拉参考系下用 Du 表示流体质点的速度变化。
25
速度分解定理，应变率张量和旋转率张量
速度分解定理
ui
ui x j
xj
1 2
ui x j
u j xi
1 2
ui x j
u j xi
xj
sij x j aij x j S r A r
Sr 1 ur
2
u uD uR
aij x j ijk x jk r
物质导数
以矢量和张量下标形式表示的物质导数
D
Dt
t
uk
xk
D
Dt
t
u
t
u
算符
u
ui vj wk
i
x
j
y
k
z
u v w x y z
13
13
物质导数物理意义
D Dt t uk xk
D 物质导数，质点导数，随体导数；
Dt
欧拉参考系中的时间导数，称局部导数或就地导数，表示空
【计算流体力学】第1讲-基本方程
1) 围绕(x,y,z)点取一控制体;
任意点 (x, y, z)
x
x
控制体示意图
2) 根据基本定律（质量、动量、能量守恒）, 给出控制体内总量（积分量）的变化规律； （总质量、总动量、总能量的变化规律： 积分型方程）
3) 令控制体尺度趋近于0， 得到(x,y,z)点物理量的微分型方程
特点： 控制体不动 （Euler描述）
波音777
波音787
5
CFD 面临的挑战及主要任务：
➢复杂流动的数学模型
湍流的计算模型； 转捩的预测模型； 燃烧及化学反应模型； 噪声模型……
➢ 高精度高效算法
高精度激波捕捉法； 间断有限元法; 大规模代数方程组高效解法 ……
➢ 复杂外形、复杂网格处理方法
自适应网格； 直角网格，浸入边界法； 无网格法； 粒子算法；
微观充分大， 宏观充分小
控制体太小， 有微观波动
103 106 109 1012
1021
1030
控制体内的平均密度随体积变化规律
V (m3)
(x, y, z)
体积为V的 控制体
流动描述方法
描述流体信息：密度、速度、压力、温度等
Euler描述
Lagrange描述
给出每个时刻每个 空间点上的物理量
f f (x, y, z,t) （场）
“切的方向不同，表面上的力也不同”
pn 切3次就够了：垂直x轴, 垂直y轴，垂直z轴各切一次
r px
( pxx ,
pxy ,
pxz )T
r py
( pyx ,
pyy ,
pyz )T
r pz
( pzx ,
pzy ,
pzz )T
《高等工程流体力学》课件
明确学习和掌握流体力学的预期成果和学术目标。
课程大纲
概述课程重点和每个章节的内容概要，为学习提供指引。
流体力学基础知识
打下坚实的基础，掌握流体的基本性质、流动的描述方法和流体静力学的重要概念。
1
流体的基本性质
深入了解液体和气体的特性，包括密度、
流动的描述方法
2
粘度和表面张力。
学习流体力学中的常见描述方法，如拉
《高等工程流体力学》PPT课 件
欢迎来到《高等工程流体力学》PPT课件，本课程将帮助您深入了解流体力学 的基础知识、流体动力学和应用与案例分析。让我们开始吧！
课程介绍
探索流体力学的世界，从课程背景、目标和大纲开始，为您提供全面的课程导引。
课程背景
介绍流体力学作为工程学科的重要性和应用领域。
课程目标
格朗日和欧拉描述。
3
流体静力学
探索液体和气体的静力学特性，包括压 力分布和浮力原理。
流体动力学
进入流体的动态世界，研究流体的动量方程、能量方程和连续性方程。
流体的动量方程
了解流体的质量、惯性和力之间 的关系，并探讨动量守恒定律。
流体的能量方程
研究流体中的能量传输，包括势 能和动能的转换。
流体的连续性方程
识别并解决在流体力学中可能遇到的常见问题和挑战。
了解质量守恒定律，并学习如何 应用连续性方程解决流体流动问 题。
应用与案例分析
将学到的理论知识应用于实际工程中，深入分析实际案例及潜在问题与解决方案。
流源等领域中的广泛应用。
工程实例分析
通过实例研究，深入分析流体力学在具体工程中的应用和解决方案。
潜在问题与解决方案
课程大纲
概述课程重点和每个章节的内容概要，为学习提供指引。
流体力学基础知识
打下坚实的基础，掌握流体的基本性质、流动的描述方法和流体静力学的重要概念。
1
流体的基本性质
深入了解液体和气体的特性，包括密度、
流动的描述方法
2
粘度和表面张力。
学习流体力学中的常见描述方法，如拉
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课程目标
格朗日和欧拉描述。
3
流体静力学
探索液体和气体的静力学特性，包括压 力分布和浮力原理。
流体动力学
进入流体的动态世界，研究流体的动量方程、能量方程和连续性方程。
流体的动量方程
了解流体的质量、惯性和力之间 的关系，并探讨动量守恒定律。
流体的能量方程
研究流体中的能量传输，包括势 能和动能的转换。
流体的连续性方程
识别并解决在流体力学中可能遇到的常见问题和挑战。
了解质量守恒定律，并学习如何 应用连续性方程解决流体流动问 题。
应用与案例分析
将学到的理论知识应用于实际工程中，深入分析实际案例及潜在问题与解决方案。
流源等领域中的广泛应用。
工程实例分析
通过实例研究，深入分析流体力学在具体工程中的应用和解决方案。
潜在问题与解决方案