2020考研数学三真题及答案解析【完整版】
2020考研数学三真题及解析（完整版）一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.设lim(),limsin ()sin x x f x a f x ab x a x a→∞→∞--=--则A.sin b a B.cos b a C.sin ()b f a D.cos ()b f a 答案：B解析：sin ()sin [()]limlimcos cos .x a x a f x af x a b a x a x aξ→→--==--（其中ξ介于()f x 与a 之间）∴选B2.()()11ln |1|()12x x e x f x e x -+=--第二类间断点个数A.1B.2C.3D.4答案：C 解析：0,2,1,1x x x x ====-为间断点111110000ln |1|ln |1|ln |1|lim ()lim limlim (1)(2)222x x x x x x e x e x e x e f x e x x x ----→→→→+++===-=----0x =为可去间断点1122ln |1|lim ()lim(1)(2)x x x x e x f x e x -→→+==∞--2x =为第二类间断点1111ln |1|lim ()lim 0(1)(2)x x x x e x f x e x ---→→+==--1111ln |1|lim ()lim (1)(2)x xx x e x f x e x ++-→→+==∞--1x =为第二类间断点1111ln |1|lim ()lim(1)(2)x x x x e x f x e x -→-→-+==∞--1x =-为第二类间断点3.设奇函数()f x 在(,)-∞+∞上具有连续导数，则A.[]0cos ()'()xf t f t dt +⎰是奇函数B.[]0cos ()'()xf t f t dt +⎰是偶函数C.[]0cos '()()xf t f t dt +⎰是奇函数D.[]0cos '()()xf t f t dt +⎰是偶函数答案：A 解析：()[cos ()()]d xF x f t f t t'=+⎰()cos ()()F x f x f x ''=+由()f x 为奇函数知，()f x '为偶函数.cos ()f x 为偶函数.故()F x '为偶函数.()F x 为奇数∴选A4.设幂级数1(2)nnn na x ∞=-∑的收敛区间为（-2，6），则21(1)nnn a x ∞=+∑的收敛区间为A.（-2，6）B.（-3，1）C.（-5，3）D.（-17，15）答案：B 解析：由于1111(1)11limlim 4n n n n n n n a a na a R ρ++→∞→∞+====12121lim4.4n n na R a ρρ+→∞===∴=22R '∴==，故所求收敛域为（-3，1），∴选B.5.设4阶矩阵()ij A a =不可逆，12a 的代数余子式1212340,,,,A αααα≠为矩阵A 的列向量组，*A 为A 的伴随矩阵，则*0A x =的通解为A.112233x k k k ααα=++B.112234x k k k ααα=++C.112334x k k k ααα=++D.122334x k k k ααα=++答案：C 解析：∵A 不可逆∴|A |=0∵120A ≠∴()3r A =∴*()1r A =∴*0A x =的基础解系有3个线性无关的解向量.∵*||0A A A E ==∴A 的每一列都是*0A x =的解又∵120A ≠∴134,,ααα线性无关∴*0A x =的通解为112334x k k k ααα=++，故选C.6.设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于-1的特征向量，则1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的可逆矩阵P 为A.1323(,,)αααα+-B.1223(,,)αααα+-C.1332(,,)αααα+-D.1232(,,)αααα+-答案：D解析：1122,A A αααα==33A αα=-1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭ P ∴的1，3两列为1的线性无关的特征向量122,ααα+P 的第2列为A 的属于-1的特征向量3.α-1232(,,)P αααα∴=+-∴选D7.设,,A B C 为三个随机事件,且1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =,()P AC =1()12P BC =,则,,A B C 中恰有一个事件发生的概率为A.34 B.23C.12D.512答案：D 解析：()()()[()]P ABC P ABUC P A P A BUC ==-()()()()()()111004126P A P AB AC P A P AB P AC P ABC =-+=+-+=--+=()()()[()]()()()()111004126P BAC P B AUC P B P B AUC P B P BA P BC P ABC ==-=--+=--+=()()()[()]()()()()111104121212P CBA P CBUA P C P CU BUA P C P CB P CA P ABC ==-=--+=--+=()()()()1115661212P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++=++=8.设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布10,0;1,4;2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，随机变量中服从标准正态分布且与X 独立的是A.()5X Y +B.()5X Y -C.()3X Y +D.()3X Y -答案：C解析：[]12(),)333D X Y DX DY X Y ⎤+=++⎥⎣⎦[]123352133()03()~(0,1).3DX DY E X Y X Y N =++=-=⎤+=⎥⎣⎦+二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定的位置上9.设arctan[sin()],z xy x y =++则(0,)d |z π=________.解析：d d d zz z x y x x∂∂=+∂∂2(0,π)1[cos()],π11[sin()]z z y x y x xy x y x ∂∂=++=-∂+++∂2(0,π)1[cos()],11[sin()]z zx x y y xy x y y ∂∂=++=-∂+++∂∴(0,π)(π1)d d zx y x ∂=--∂10.曲线2e 0xyx y ++=在点（0，-1）处的切线方程为________.解析：21(22)0xy y e y xy ''+++=①将0,1x y ==-代入①得1.y k '==11(0)1.y x y x ∴+=-=-即11.Q 表示产量，成本()10013C Q Q =+，单价p ，需求量800() 2.3Q P P =-+则工厂取得利润最大时的产量为______.解析：()L QP C Q =-8003100132800161002Q QQ QQ Q ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭=--+22160016(2)()0(2)8Q L Q Q Q -+'==+∴=12.设平面区域21(,),0121x D x y y x x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬+⎩⎭，则D 绕y 轴旋转所成旋转体体积为______.解析：11222102x dy x dyππ+⎰⎰1122102121312014141ln 32411ln 23821ln 23y dy dyy y y πππππππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰13.行列式01101111011a a a a --=--________.解析：2224201101101101111011011000011110111111000021214.0a a a a a a a aaa a a a a aa aaaa a a aa a a----=----+-+-==----=--=-14.随机变量X 的概率分布1{},1,2,32kP X k k Y ===…，表示X 被3除的余数，则()E Y =______.解析：{0}{3,1,2.}P Y P X k k ====L 3101{1}{31,0,1,2.}2k k P Y P X k k ∞+====+==∑L 321{2}{32,0,1,2.}2k k P Y P X k k ∞+====+==∑L 313211()1222k k k k E Y ∞∞++===⋅+⋅∑∑111111221188=+--87=三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,a b 为常数，11e nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭与a b n ，当n →∞时为等价无穷小，求,a b .15.【解】1ln 11ln 112111e 11lim lim [e e]1lim e[e 1]11lim e ln 11111lim e 1211lim e 2nn an n n an a n n a n a n a n n n b b n n b n n b n n n b n n n b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭→∞→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭→∞→∞→∞-→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭==-=⋅⋅-⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭10a ∴-=1e 112a b ⎛⎫∴=⋅-= ⎪⎝⎭e 2b =-16.求二元函数33(,)8f x y x y xy =+-的极值解析：.求一阶导可得22324fx y x fy x y∂=-∂∂=-∂令100601012f x x x f y y y∂⎧⎧==⎪⎪=⎧∂⎪⎪⎨⎨⎨∂=⎩⎪⎪==⎪∂⎪⎩⎩可得求二阶导可得2222226148f f fx y x x y y∂∂∂==-=∂∂∂当0,00. 1.0x y A B C -====-=时.20AC B -<故不是极值.当11612x y ==时1. 1. 4.A B C ==-=2110.10,612AC B A ⎛⎫->=> ⎪⎝⎭故且极小值极小值33111111,8661261212216f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.若250,(0)1,(0)1y y y f f ''''++===-，则（1）求()f x （2）()d n n a f x x π+∞=⎰,求1nni a =∑解析：（1）250y y y '''++=的特征方程为2250r r ++=∴1212r i⋅=-±∴12()e (cos 2sin 2)xy x c x c x -=+1212()e (cos 2sin 2)e (2sin 22cos 2)x x y x c x c x c x c x --'=-++-+∵(0)1,(0)1y y '==-∴121,0c c ==∴()ecos 2xy x x-=（2）()d e cos 2d x n n n a f x x x xππ+∞+∞-==⎰⎰cos 2d e cos 2e e d cos 2e2e sin 2d e 2sin 2d e e 2sin 2e 2e cos 2d 5e 1e 5x x x n n n n x n n xn n xx n n n n n n x x x x x x x x x a a ππππππππππππ+∞+∞+∞---+∞--+∞--+∞+∞-----=-=-⋅+=--=-+=-+-+∴=-∴=-⎰⎰⎰⎰⎰211[e e e ]51e [1e ]51e 11e 5e 1nn i i n n a ππππππππ---=----=-+++-=-⋅--=-⋅-∑…18.(,)(,)d d Df x y x f x y x y =+⎰⎰其中221(,)0x y D x y y ⎧⎫+≤⎪⎪=⎨⎬≥⎪⎪⎩⎭求(,)d Dxf x y σ⎰⎰解析：积分区域D如图：(,)(,)d d Df x y x f x y x y =⎰⎰两边积分得(,)d d d (,)d d d d D DD D f x y x y x y f x y x y x x y =+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰100d 2d D x y x y=⎰⎰⎰2012(1)d 2x x =-⎰31220(1)d x x =-⎰42031πsin cos d 422x t t t π==⋅⋅⎰3π16=d d 0Dx x y =⎰⎰所以3π(,)d d 16D f x y x y =⎰⎰3π(,)16f x y x =从而23π(,)d d d d d 16D D Dxf x y x y x y x x y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰23πd d 16Dx x y =⎰⎰12003πd d 16x y =⎰13π16x x =⎰22203πsin sin cos d 16x t t t t π=⎰22203πsin (1sin )d 16t t t π=-⎰3π1π31π1622422⎛⎫=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭3π256=19.()f x 在[0,2]上具有连续导数，max{|()|},[0,2]M f x x =∈（1）证[0,2]|()|M f ξξ'∃∈≤（2）若[0,2]|()|0x f x M M '∀∈≤=则解析：证明：（1）由max{|()|}[0,2]M f x x =∈，知存在[0,2]c ∈，使|()|f c M =，若[0,1]c ∈由拉格朗日中值定理得至少存在一点(0,)c ξ∈，使()(0)()()f c f f c f c c ξ-'==从而|()||()|f c M f M c cξ'==≥若(1,2]c ∈，同理存在(,2)c ξ∈使(2)()()()22f f c f c f c c ξ--'==--从而|()||()|22f c M f M c c ξ'==≥--综上，存在(0,2)ξ∈，使|()|f M ξ'≥.（2）若0M >，则0,2.c ≠由(0)(2)0f f ==及罗尔定理知，存在(0,2)η∈，使()0,f η'=当(0,]c η∈时，00()(0)()d |()||()(0)||()|d ,cc f c f f x x M f c f c f f x x Mc '-='==-≤<⎰⎰又2(2)()()d c f f c f x x'-=⎰2|()||(2)()||()|(2)c M f c f f c f x dx M c '==-≤≤-⎰于是2(2)2M Mc M c M <+-=矛盾.故0.M =20.设二次型22121122(,)44f x x x x x x =++经正交变换1122x y Q x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为二次型22121122(,)4g y y ay y y by =++，其中a b ≥.（1）求,a b 的值.（2）求正交矩阵Q .解析：（1）设1-22==-242a A B b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由题意可知T 1.Q AQ Q AQ B -==∴A 合同相似于B∴144a ba b ab +=+⎧≥⎨=⎩∴ 4.1a b ==（2）212||524E A λλλλλ--==--∴A 的特征值为0，5当0λ=时，解(0)0E A x -=.得基础解为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当5λ=时，解(5)0E A x -=得基础解为212α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦又B 的特征值也为0，5当0λ=时，解(0)0E B x -=得1212βα⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦当5λ=时，解(5)0E B x -=得2121βα⎡⎤==⎢⎥⎣⎦对12,αα单位化111222||||αγααγα====令112221[,],[,]Q Q γγγγ==则T T 11220005Q AQ Q BQ ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦故T T 2112Q Q AQ Q B=可令T 1243553455Q Q Q =⎤⎥⎥=⎥⎥⎦⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦21.设A 为2阶矩阵，(,)P A αα=，其中α是非零向量且不是A 的特征向量.（1）证明P 为可逆矩阵（2）若260A A ααα+-=，求1P AP -，并判断A 是否相似于对角矩阵.解析：(1)0.A ααλα≠≠且故.A αα与线性无关则(,)2r A αα=则P 可逆.21(,)(,)06()1106.11AP A A A A x A P AP ααααα-==⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎛⎫= ⎪-⎝⎭故(2)由260A A ααα+-=设2(6)0(3)(2)0A A E A E A E αα+-=+-=由20(6)0A A E x α≠+-=得有非零解故|(3)(2)|0A E A E +-=得|3|0|2|0A E A E +=-=或若|(3)|0(2)02A E A E A ααα+≠-==则有故与题意矛盾|3|0|2|0A E A E +=-=故同理可得于是A 的特征值为123 2.λλ=-=A 有2个不同特征值故A α相似对角化22.二维随机变量(,)X Y在{(,)0D x y y =<<上服从均匀分布11000X Y Z X Y ->⎧=⎨-≤⎩ ，21000X Y Z X Y +>⎧=⎨+≤⎩ （1）求12(,)Z Z 联合分布（2）12Z Z ρ解析：（1）(,)x y服从均匀分布则2,0(,)0,y f x y π⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他则121{0,0}{,}4P Z Z P X Y X Y ===≤≤-=121{0,1}{,}2P Z Z P X Y Y X ===≤>-=12{1,0}{,}0P Z Z P X Y X Y ===>≤-=121{1,1}{;}4P Z Z P X Y X Y ===>>-=（2）12,Z Z的相关系数ρ=1113116444.3316=-⋅==23.设某种元件的使用寿命T 的分布函数为1e,0,()0,.mt t F t θ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪-≥=⎨⎪⎩其他其中m θ,为参数且大于零.（1）求概率{}P T t >与{|}P T S t T S >+>，其中0,0S t >>.（2）任取n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为12,,n t t t …，若m 已知，求θ的最大似然估计值ˆθ.解析：（1）{}1()m t P T t F t e θ⎛⎫- ⎪⎝⎭>=-={}{}mt P T s t T s P T t e θ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+>=>=(2)1.,0()()0t m m m m t e t f t F t else θθ⎛⎫- ⎪--⎝⎭⎧⎪≥'==⎨⎪⎩ 似然函数()1()n i i L f t θθ==∏，()11100n m m i i t m n mn n i m t t e t else θθ-=---⎧∑⎪≥=⎨⎪⎩ 当120,0,,0n t t t ≥≥≥ 时()111()nm mi i t m n mn n L m t t e θθθ-=---∑= 取对数11ln ()ln ln (1)ln n nm mi i i i L n m mn m t t θθθ-===-++-∑∑求导数(1)1ln ()n m m i i d L mn m t d θθθθ-+==-+∑令ln ()0d L d θθ=解得θ所以θ的最大似然估计值θ。
2020考研数学三综合测试卷及解答
lim = f (x) − f (0)
x→0+
x
l= im 1− cos x x→0+ x x
0 ，则 f+′(0) = 0 ，
lim f (x= ) − f (0)
x→0−
x
l= im xg(x)
x→0+
0 ，则 f−′(0) = 0 ，
因为 f= +′(0) f= −′(0) 0 ，所以 f (x) 在 x = 0 处可导，应选（D）。
（12）微分方程 y ''− 4 y = e2x + x 的特解形式为 _______________ .
（13）设 f (x, y, z) = ez yz2 ，其中 z = z(x, y) 是由 x + y + z + xyz =0 确定的隐函数，则
fz′(0,1, −1) =
.
∫ ∫ 1
（14）积分 dx
x x→0
2
由极限的保号性，存在δ＞0 ，当 0＜＜x
δ
时，
f (x) −1 x2 ＜0 ，即
f
(x)＜1 =
f (0) ，
故 x = 0 为 f (x) 的极大点，应选（D）。
（5）设 f (x) ，g(x)(a＜x＜ b) 为大于零的可导函数，且 f ′(x)g(x) − f (x)g′(x)＜0 ，则当 a＜x＜ b
(−1)n n2
| an +α
|
（
）.
（A）发散
（B）条件收敛 （C）绝对收敛
【解】 应选（C）.
（D）敛散性与α 有关
= (−1)n | an | n2 + α
∑ ∑ ∑ | an |
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。
而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。
各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。
数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。
二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。
其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． 1.设()lim ,x a f x a b x a →-=-则sin ()sin limx a f x ax a→--（ ） A. sin b a B.cos b a C.sin ()b f a D. cos ()b f a2. 函数11ln 1()(1)(2)x x e xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为（ ）A.1B.2C. 3D.4 3. 设奇函数()f x 在(,)-∞+∞具有连续导数，则（ ）A.0[cos ()()]xf t f t dt '+⎰是奇函数 B. 0[cos ()()]xf t f t dt '+⎰是偶函数 C. 0[cos ()()]xf t f t dt '+⎰是奇函数 D. 0[cos ()()]xf t f t dt '+⎰是偶函数4.设幂级数当1(2)nnn na x ∞=-∑的收敛区间为(2,6)-，则21(1)nn n a x ∞=+∑的收敛区间为（ ）A. (2,6)-B. (3,1)-C. (5,3)-D. (17,15)-5. 设4阶方阵()ij A A =不可逆，12a 的代数余子式120A ≠，1234,,,αααα为矩阵A 的列向量组，则*0A X =的通解为（ ）A.112233x k k k ααα=++B.112234x k k k ααα=++C.112334x k k k ααα=++D.122334x k k k ααα=++6. A 为3阶方阵，12,αα为属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于-1的特征向量，满足1111P AP -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的可逆矩阵P 为（ ）A. ()1323,,αααα+-B.()1223,,αααα+- C. ()1332,,αααα+- D. ()1232,,αααα+-7. 设A,B,C 为三个随机事件，且1()()(),()0,4P A P B P C P AB ====()()P AC P BC = 112=，则A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为（ ） A.34 B. 23 C.12 D.5128. 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布1(0,0;1,4;)2N -，下列随机变量服从标准正态分布且与X 独立的是（ ）)X Y + B. )X Y - C. )X Y + D. )X Y - 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题．．纸．指定位置上．9. 设()[],sin arctan y x xy z ++=则()=π,0d z . 10.设曲线20xyx y e++=在点(0,1)-处的切线方程为 .11.设Q 表示产量，成本()10013C Q Q =+,单价P ，需求量800)23QP P =-+，则工厂取得利润最大时的产量为 . 12. 设平面区域21(,),0121x D x y y x x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬+⎩⎭，则D 绕y 轴旋转所形成旋转体体积为 .13. 行列式=----aa aa11011110110 . 14. 随机变量X 的分布律为1(),1,2,,2kP X k k Y ===L 为X 被3除的余数， 则EY = .三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． 15.（本题满分10分）.设,a b 为常数，且当n →∞时，1(1)ne n+-与abn 为等价无穷小，求,a b 的值 16.（本题满分10分）求函数33(,)8f x y x y xy =+-的极值. 17.（本题满分10分）若函数()f x 满足()2()5()0,f x f x f x '''++=且有(0) 1.(0)1f f '==-， （I ）求()f x ；（II ）设+()n na f x dx π∞=⎰，求1n n a ∞=∑.18. （本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y y =+≤≥， ()()Df xy x f xy dxdy =⎰⎰，计算()Dxf xy dxdy ⎰⎰.19.（本题满分10分）设函数()x f 在[0,2]上具有连续导数,()()020f f ==，(0,2)max{|()|}x M f x ∈=.证明：（1）()0,2,ξ∃∈使得()f M ξ'≥ （2）若()()0,2,x f x M '∀∈≤,则0M =. 20.（本题满分11分）设二次型()22121122,44f x x x x x x =++经正交变换1122x y Q x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为二次型()22121122,4g y y ay y y by =++，其中a b ≥ （I ）求,a b 的值；（II ）求正交矩阵Q .21.（本题满分11分）设A 为2阶矩阵，(,)=P αA α，α是非零向量且不是A 的特征向量。
2020年全国硕士研究生招生考试数学三试题
2020年全国硕士研究生招生考试数学（三）（科目代码：301）考生注意事项1、答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位，考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2、选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号和选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答案无效。
3、填（书）写必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4、考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
（以下信息考生必须认貞•填写）一、选择题(1-8小题,每小题4分，共32分,下列毎题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求的・) 4•己知帚级数—的收敛区间为(-2,6),则亡也+1严的收敛区间为 0*1"■1 4:(-2,6) 7?: (-3,1) C ：(-5,3) 5•设四阶矩阵人=(夠)不可逆,处的代数余了式仏#0,6,5,64为矩阵人的列向应组才为S 的伴随矩阵, 则A\ = 0的通解为(A ：x = k 1a l 4■炼a? 4 畑&$B:x = fc 1a l +A 2a 2 + C:x = k x a { +^a 3 + A 3a 4 = A )a 2 + 4-/c 3a 4 6••设71为三阶矩阵为人的朋于待征值1的线性无关的特征向屁心为人的属于特征值-1的特征向SI, 则满足P'MP=(o -°1 o)的可逆矩阵P 为A- (m +03,0^2,C ： (m + a. ■ g m) 为三个随机事件P(A) = P(B) =P(C)=押(4B) =0屮(旳=P(BC)=為 则ABC 中恰有一个事件发牛的概率为A ：4B ：3&设二维随机变虽(&V)服从N (0;0;1;4;二. 填空题(9-14小题,每小题4分，共24分)9 •设 2 = arctan [zy + sin (x +y)],则必 I ⑴声)= _______10 •曲线z + y + e 2- = 0点(0,-1)处的切线方程为 _________________11 •设产最为Q,单价为PJ •商成本函数为Q(Q) =100 + 13^需求函数为Q(P)=卡豊-2,则厂商取的最大利 润时的产屁为 _______12•设平面区域》= {(讪|守討尹03W1},则D 绕妙轴旋转所成旋转体的体积为 _________________a 0 -1 113•行列式：；1 ： -1 1 a 01 -1 0 a14 •随机变就X 的分布律为P(X = k) = *北=1,2…芒为X 被3除的余数，则E(r )= ____________ 三、解答題（15〜23小题，共94分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15 •（車题满分10分）1 •设臥型二=力则血沁上沁= x — a *-♦«» x — aAzb^naBzbmaa 2•函数/(工)=(:二络；二{)的第二类间断点个数为 4:1/?:2 3•设奇函数/(巧在(-oc ?+oo)上有连续导数，则A ：O 呵⑴+/f «)]rft 是奇函数C:[ (CO6f(0 +/«)]A 是奇函数C:hainf(a) C:3小f [co 时⑴十尸⑴皿是偶函数 D ・・[dfQW(t)M 是偶函数D:6cxw/(a) 0:4 D: (-17,15) B:(a,+ a 2,Q2,-a 3)D ： (ai 4g-gQ2) 则卜•列服从标准正态分布且与X 独立的是 A:^(X + Y) 〃：单(x-y ) 5 5c ：¥(x 十 y) D:乎(X-F)设讯为常数，且当“TOO时与吕为等价无穷小，求戰的值.16•（本题满分10分）求函数=X + 8y'—和的极值17 •（本题满分10分）设函数妙=心满足""+ + 5“ = 0,且/（0） = 1，尸（0） = -1⑴求/（）⑵设心=f f（x）dx.求f a,J n-118•（本题满分10分）设区域D = ｛（禺训护+『W1,沙（）｝,连续函数/（珂）满足f = "VI - 严 + xjj f（x,y）dxdy计算#可匕肋血dy19 •（本題满分10分）设函数忌）在区间【0,2］上具有连续导数,/（0）=/（2）=0,Af= rnax |/（x）|,证明:X* |0.2］⑴存在侶（0,2）,使得|f（Q|2M;⑵若对丁•任意肚（0,2）”SWM,则M = 0 20.（点題满分11分）设：次型=疔一4工］帀十经过正交变换（；）=Q（［）化为••次型g（如J/2）=ay/十4yij/2十勿2“其中a 2： 6.（1）求ad的值（2）求正交矩阵Q21 •（本题満分11分）设S为二阶矩阵屮其中a是非零向就,且不是,1的特征向此（1）证明〃是可逆矩阵；⑵若，a十4“ 一6a = 0,求i AP,并判断4是否相似于对角矩阵.22 •（本题满分11分）设二维随机变©（X,y）在区域D=｛（^）|0<!/<v Z i^〉上服从均匀分布，且% h xso1（ 0, X-Y^O⑴求二维随机变量⑵厶）的概率分布；⑵求z：,N的相关系数23 •(本题滴分11分)设某种原件的使用寿命T的分布函数为F(t) = < 1 - e " , t0, 其他»其中仇m为参数_&大于零.⑴求概率P(T>t)与P(T>s + £|TA必其中s>0,t>0;⑵任取几个这种元件做寿命试验，测得他们的寿命分别为",・・・•若m已知，求0的鼓大似然佔计值0・。
考研数学三真题及答案
6、设二次型 f x , x , x 在正交变换 x Py 下的标准形为 2 y2 y2 y2 ，其中 P e , e , e ，
133
1
2
3
123
若 Q e1, e3, e2 ，则 f x1, x3 , x3 在正交变换 x Qy 下的标准形为（ ）
(n +1)! nn (n+1)
= limç
n
÷n = 1 <1 ，所以(D)是收敛的。
n (n +1) n! n ç1+ n÷ e
1 1 ç 1÷ 1
1 ç 1÷
对于(B)选项， n1
n
ln
1
n
，
ln
ç1+
n
÷
，所以
n
n ln ç1+ n÷
11 ，根据 p 级数的
nn
5
f 1 2
11. 若函数 z z(x, y) 由方程 ex2 y3z xyz 1确定，则 dz (0,0)
【答案】 1 dx 2dy
3
zz 【解析】这道题目主要考查的是隐函数求偏导数。对于这道题目求全微分，分别求出 ,
xy
ex2
y3z
1
3
z x
【答案】2
【解析】对于这道题目主要是考查变上限积分求导数。
(1)
1
f (t)dt 1
0
x2
x2
(x) 0 xf (t)dt x0 f (t)dt
(x) x2 f (t)dt xf x 2 2x 0
(1)
1
0f
2021考研复习2020年(数学三)全国硕士研究生招生考试真题(1)
真题讲解
2020年全国硕士研究生招生考试（数学三）参考答案及解析l.D
sin f(x)—sin a 解析lim � = l im X今a x -a X今a 2.C
2sin . f(x)—a /（x)—a co s 2 2 x -a = bcos f (a) e x -I ln (l + x ) 解析：f(x)=，则可疑点为x=I,x=—1, x=O, x=2, (e x -l)(x-2)
e-1 厮／（x)＝－OO ，lim十／（x)= -oo, li il)f(x) x) = oo , l im /( x )＝—=lim f(x), x ➔l r➔-l x ➔2 X分0+－2 x 分o-
故选C
3.A
解析cosf(x)和f'(x)均为偶函数，则I。
J co s f(t)+ f'(t)}it 为奇函数4.B
解析f
na11(x -2)”的收敛区间为(—2,6)所以收敛半径为4⇒f a11(x+l)2
"的收敛半径为n=l n=l 2,所以收敛区间为(-3,1)
s.c
解析：由千A 是不可逆的，所以r(A)< 4,又由于A 12* 0,所以r (A)之3,故r(A)=3,所以r(A*)=l,所以A*x=O 的基础解系中有3个向量，又因为A 12
* 0,所以a 1'a 3'免线性无关，所以解为x= k 1a 1 +k 2a 3 +k 丸，故选C.
6.D
解析：由千也，a 2是A 的属千l 的特征向量，a 3是A 的属千—l 的特征向量，故—a 3也是A 的属于—l 的特征向量，a 1+a 2是A 的属千l 的特征向量，故选D.
7.D。
2023年考研数学(三)真题及答案解析
－＋Ｚα－ＤＰＹＸ＝ｋ）－０－ＤＰＩＸ＝０｝
－１＋Ｅ（Ｘ－１Ｄ－０－Ｄ１＝２，，选（Ｃ）
法２：随机变量ｘ服从参数为１泊松分布，即 Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝－ｅ１（ｋ＝０，１，２．…．
期望Ｅ（Ｘ）＝１．
５
Ｅ（ｘ－Ｅ（ｘ））＝Ｅ（Ｘ－１）＝１ｅ＇＋０－ｅ１＋１１＋＋（ｋ－）－１＋－
Ｘ？｜，若Ｅ（Ｇ）＝ａ，则ａ＝
（Ａ）． （Ｂ）２
（Ｃ）√元．
（Ｄ）√２π．
二、填空题（１１￣１６小题，每小题５分，共３０分．）
（１１） ｌｉｍｘ２（２－ｘｓｉｎ１－ｃｏｓ÷）＝＿．
（１２）已知函数ｆ（ｘ，ｙ）满足（ｄｆ（ｚ，ｙ）＝ａｙ－ｙｄｚ，ｆ（１，１）＝４，则ｆ（３，３）＝＿＿＿．
（１３）２ｍ！－＿＿．
Ａ？＝－２， 当△＝ａ２－４ｂ＝０时，特征方程有两个相同的实根，
若Ｃ？≠０，则微分方程的解ｙ＝Ｃｅ３２＋Ｃ？ｘｅ在（－０，＋０）无界；
Ａａ＝±４－ｃ， 当△＝ａ２－４ｂ＜０时，特征方程的根为，
则通解为ｙ＝ｅ３（ｃ４－ｃｘ＋ＣＧｓｍ４－ｘ，
此时，要使微分方程的解在（－，＋０ｏ）有界，则ａ＝０，再由△＝ａ２－４ｂ＜０，知
ｂ＞０．
２ａ与之 （４）已知ａ。＜ｂ（ｎ＝１，２，…），若级数
均收敛，则“级数） 绝对
收敛”是“级数 绝对收敛”的（ ）
（Ａ）充分必要条件 （Ｃ）必要不充分条件
【答案】（Ａ）
（Ｂ）充分不必要条件
（Ｄ）既不充分也不必要条件
【解析】由条件知）∑（ｂ，－ａ）为收敛的正项级数，进而绝对收敛；
设 ２ 绝对收敛，则由ｐ｜＝ｂ－ａ？＋ａ｜ｓｂ－ａ｜＋１ａ｜与比较判别法，得】
2023年考研数学真题卷及答案(数学三)
2023年全国硕士研究生招生考试（数学三）试题及答案解析1.已知函数,ln sin f x y y x y ，则A. 0,1fx 不存在，0,1f y 存在.B. 0,1fx 存在，0,1f y 不存在.C. 0,1fx ，0,1f y均存在.D. 0,1fx ，0,1f y均不存在.x 0,2.函数f (x )(x 1)cos x ,x 0的一个原函数为 x ),x 0,A.F (x )(x 1)cos x sin x ,x 0. x ) 1,x 0,B.F (x )(x 1)cos x sin x ,x 0. x ),x 0,C.F (x )(x 1)sin x cos x ,x 0. x ) 1,x 0,D.F (x )(x 1)sin x cos x ,x 0.上有界，则B.a 0,b 0.D.a 0,b 0.3.若微分方程y ay by 0的解在 ，A.a 0,b 0.C.a 0,b 0.4.已知a n b nn 1n 1,2, ，若级数n 1an与n 1bn均收敛，则“n 1an绝对收敛”是“bn绝B.充分不必要条件.D.既不充分也不必要条件.对收敛”的A.充分必要条件.C.必要不充分条件.5.设,A B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵， M 为矩阵M 的伴随矩阵，则=A E OB A..A B B A O B A B..B A A B O A B C..B A B A OA B D..A B A B OB A 6二次型f x 1,x 2,x 3 x 1 x 22x 1 x 324 x 2 x 32的规范形为A.y 12y 22B.y 12y 22C.y 12y 224y 32D.y 12y 22y 322311 12 2 15 09 17.已知向量α1 ,α2 ,β1 ,β2 ，若γ既可由α1,α2线性表示，也可由β1,β2线性表示，则γ 34 3A.k,k R50 3 B.k1 ,k R1 2 1 C.k,k R1 D.k 58,k R8.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则EA.1eB.12C.X EX2eD.19.设X 1,X 2, ,X n 为来自总体N1,2的简单随机样本，Y 1,Y 2, ,Ym为来自总体N 2,2 2 的简单随机样本，且两样本相互独立，记111111n m n m i i n m n m i 1i 1X X i ,Y Y i ,S 12 X i X 2,S 22Y i Y1 1 2,则A. 2122,S F n m S B. 21221,1S F n m S C. 21222,S F n m S D. 212221,1S F n m S 10.设X 1,X 2为来自总体N,2的简单随机样本，其中 0 是未知参数.记a X 1 X 2,若E,则aA.2B.2二、填空题1111.l x x x i mx 22 x sin cos _______.2πx d y y d x x y 12.已知函数f (x ,y )满足d f (x ,y ),f 1,1 24则f .!=2nx 2nn 013. .14.设某公司在t 时刻的资产为f (t )，从0时刻到t 时刻的平均资产等于f (t )tt ，假设f (t )连续且f (0)=0，则f (t )=1231230,20x ax x x ax 15.已知线性方程组 x ax 1 bx 2 2,有解，其中a ,b 为常数，若a110a211a 4，则1a 112aa b 0.16.设随机变量X 与Y 相互独立，且X B 1,p ,Y B 2,p ,p 0,1 ,则X +Y 与X Y .的相关系数为三、解答题17.已知可导函数y =y (x )满足ae x y 2 y ln(1 x )cos y b 0,且y (0) 0,y '(0) 0.(1)求a ,b 的值；(2)判断x 0是否为y (x )的极值点.18.已知平面区域D ={(x,y )|0 y x 1}.(1)求D 的面积；(2)求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.D1|d x d y .19.已知平面区域D {(x ,y )|(x 1)2 y 2 1}.计算二重积分 |20.（12分）设函数f (x )在[-a ,a ]上具有2阶连续导数，证明：1a（1）若f (0)=0，则存在 a ,a ,使得f ''( )2[f (a ) f ( a )];（2）若f(x )在（-a ,a ）内取得极值，则存在 a ,a 使得1.2f ''a2f (a ) f ( a )12x 1x 2x 3x 1x 2x 3x21.设矩阵A 满足对任意x 1,x 2,x 3均有A2 . x x3 x 2 x 3（1）求A ;（2）求可逆矩阵P 与对角矩阵 ，使得P 1AP Λ.xx22.设随机变量变量X 的概率密度为f x 1 e e 2, x ,令Y e x.（1）求X 的分布函数；（2）求Y 的概率密度；（3）Y的期望是否存在？2023年全国硕士研究生入学统一考试数学三答案一、选择题1.A2.D3.C4.A5.D6.B7.D8.C9.D10.A空题11、二、填23π12、113、e x2+2e −x14、f （t ）=2（1-t ）-2e t 15、816、p （p-1）将y (0) 0代入ae x2yy y1 1xcos y ln(1 x )(sin y )y 0得a 0 1 0，所以a 1b 1 1xcos y ln(1 x )sin y y 0（2）由e x2yy y1两边对x 求导，得：（1）将(0,0)代入得a b 01e x 2 y 22yy y(1 1x )2cos y 11xsin ysin y y ln(1 x ) 2sin yy cos y y 01 x代入，得1 y (0) 1 0，y (0) 2 0，x 0为极大值.17【解析】2141tan ttan t xsec t (1)24se tan c tsec 2tdt 4t dt2csc tdt1)21(2)11 1x 2 x 2dx 112 1 1x 2 x dx 4)dx (1 18【解析】D 1 {(x ,y ∣)x 2 y 2 1,(x 1)2 y 2 1 )x 2 y 2 1,(x 1)2 y 2 1D 2 (x ,y∣D 1D 2d x d y1 1d x d y原式=161310829D 12cos2d 1 1 r r d r 1πd x d y 2 6d 1 r r d r 2其中 19【解析】π2π022259182D 2DD 1D 1d x d y 2cos1 1 1 r 1 r d r1 π d x d yd x d yd x d y d所以4439π原式=.1 x 22f【解析】（1）f (x ) f (0) f (0)x 1 22f 112f a 2,f ( a ) f (0)( a ) a 2,其中 1 a ,0 ，则f (a ) f(0)a2 0,a .12 1 2 f ( a ) f (a )ff a 212 1 2 ff 2f (a )a f ( a ) f , 1, 2 a ,a ,由介值定理可知平均值 即证（2）x 0 0设f (x )在x =x 0处取得极值即x 0 ( a a ),f22x 0( )ff (x ) f x 0 f x x 0 x x 020代入x a ,x a21f f ( a ) f x 0 a x 02(1), 1 a ,x 02n 1f f (a ) f x 0a x 02(2), 2 x 0,a(2)-(1)得222100()()22f f f a f a a x a x222100|()()|22f f f a f a a x a x2200()()22f f a x a x 2200()2f a x a x 220()222f a x220()f a x2()2f a ，12 ()max f f f 其中,,a a 21()|()()|2f f a f a a. 21.【解析】12123311111011x x x xx x2(1)由题可知，A 11.2011 111A (2)|A E | (2 )(2)( 1) 01232,1,2A 中1 A 中对应的线性无关特征向量1(4,3,1).T 2 A 中对应的线性无关特征向量21,0,12T3 A 中对应的线性无关特征向量3(0,1,1)123,,p 1212P AP22.【解析】xf (t )dt ( x )(1)F (x ) txt e 2dte121 1xt d e te1t x1 e 11 1e x(2) 当0y 时22111()(ln )(1)(1)Y X y f y f y y y y y 210(1)()0 Y y y f y其它 (3) 20d (1)EY y y y，2(1)y y 1y ，所以期望不存在.。
2020年考研数学三真题
（20）设二次型
f
(x1 ，x2 )
=x12
− 4x1x2
+
4 x22
经正交变换
x1 x2
=
Q
y1 y2
化为二次型
g( y1 ，y2 ) =ay12 + 4 y1 y2 + by22 ，其中 a b .
（I）求 a ，b 的值；
（II）求正交矩阵 Q .
2020 数学（三）真题 第 3 页 共 4 页
0
∫ (C)
x
[cos
f
′(t) +
f
(t)]dt 是奇函数
0
∫ (D)
x
[cos
f
′(t) +
f
(t)]dt 是偶函数
0
∞
∞
∑ ∑ （4）设幂级数 nan (x − 2)n 的收敛区间为 (−2 ，6) ，则 an (x +1)2n 的收敛区间为
n=1
n=1
(A) (−2 ，6)
(B) (−3，1)
2020 数学（三）真题 第 4 页 共 4 页
D
（ 19 ） 已 知 f (x) 在 区 间 [0 ，2] 上 具 有 连 续 导 数 ， 已 知 f= (0) f= (2) M ， 且
M = max {| f (x) |}.证明： x∈[ 0 ，2 ]
（I）存在 ξ ∈ (0 ，2) ，使得| f ′(ξ ) | M ；
（II）若对任意的 x ∈ (0 ，2) ，| f ′(x) | M ，则 M = 0 .
（10）曲线 x + y + e2xy =0 在点 (0 ，−1) 处的切线方程为____.
2024考研数学三真题及参考答案
2024年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题考试时间：180分钟，满分：150分一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知函数f (x) = lim ，则( )【答案】D（2）积分+k πsin x dx ( )【答案】Bπ（3）交换积分次序∫π2dx i1n x f (x, y)dy 则( )6【答案】A（4）已知ln(2 + x) = a n x n ,则na2n = ( )（A）−（B）−（C）（D）【答案】A（5）设二次型在正交变换下的标准型为f (x1, x2, x3 ) = y12−2y22+ 3y32，则( )【答案】C（行列式为-6，迹为2）（6）【答案】C（7）【答案】C(a = 0, a = )（8）E[(X −Ex)3 ] = ( )【答案】0（9）【答案】B (p2 > p1> )（10）设随机变量X, Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z = X −Y ,则下列随机变量与Z 同分布的是( )（A）X + Y （B）（C）2X （D）X【答案】D二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上.（11）【答案】3（12）=【答案】ln 3 −n→∞1 + nx n（13）函数f (x , y ) = 2x 3 − 9x 2 − 6y 4 +12x + 24y 的极值点是 【答案】 (1,1) （14）【答案】 （15）【答案】 （16）【答案】50162 3三、解答题：17～22 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.（17）（本题满分 10 分）1 1 已知区域D 是第一象限内的有界区域，它由xy = , xy = 3, y = x , y = 3x 围成， 3 3计算(1+ x − y )dxdy D【答案】 ln 3（18）（本题满分 12 分）∂2 z ∂ 2 z 已知z = z (x , y ) 由方程z + e x + y ln(1+ z 2 ) = 0确定，求 ∂ 2x + ∂ 2 y (0,0)【答案】 −1− 2ln 2（19）（本题满分 12 分）已知t > 0 ，曲线 y = xe −2x 与x = t , x = 2t 及x 轴所围的面积为S (t ) ，求S (t ) 的最大值ln 2 3【答案】 + 16 64（20）（本题满分 12 分）设函数f (x ) 有 2 阶导数，f ′(0) = f ′(1) ， f ′′(x ) ≤ 1（1）当x ∈ (0,1) 时，f (x ) − f (0)(1− x ) − f (1)x ≤ （2） ∫01f (x )dx − ≤【答案】（1）泰勒公式展开（2）分部积分或泰勒公式（21）（本题满分 12 分）【答案】（1） Ax = α 是Bx = β的解 （2） a = 1（22）（本题满分 12 分）设总体X 服从[0,θ] 上的均匀分布，X 1, X 2, , X n 为总体的简单随机样本，记X(n) = max{X1, X2, , Xn} ，Tc= cX(n)（1）求c ，使得E(Tc) = θ（2）记h(c) = E(Tc−θ)2 = θ,求c ，使得h(c) 最小【答案】（1）c = （2）c =参考答案一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。