13、直线与圆的方程的应用(提高)
高三数学(理)二轮复习：专题十三直线与圆的方程.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作专题十三直线与圆的方程(见学生用书P80)(见学生用书P 80)1．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行和垂直的直线系方程可分别设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，Bx －Ay ＋n ＝0．2．点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离公式：d ＝|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2. 两平行直线ax ＋by ＋c 1＝0与ax ＋by ＋c 2＝0间的距离公式：d ＝|c 1－c 2|a 2＋b 2. 3．圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0.4．直线与圆、圆与圆的位置关系的判定常用几何法，即分别比较圆心到直线的距离与半径的大小或圆心距与半径的和(或差)的大小来判定．(见学生用书P 81)考点一 直线的倾斜角考点精析1．牢记倾斜角的取值范围和经过两点的直线的斜率公式，特别要注意倾斜角为π2的直线斜率不存在．2．求解直线的倾斜角和斜率与三角函数的交汇问题时，要注意三角公式的熟练变形和运用，尤其要注意有关角的取值范围．例 1－1(2014·长郡模拟)已知直线的倾斜角为θ，且sin θ＝45，则此直线的斜率是( )A.43 B ．－43C ．±34D ．±43考点：直线的斜率；同角三角函数间的基本关系；直线的倾斜角．分析：由已知中直线的倾斜角为θ，且sin θ＝45，我们分倾斜角θ为锐角和钝角两种情况进行讨论，根据同角三角函数关系，我们求出θ的余弦值和正切值，即可得到直线的斜率．解析：已知直线的倾斜角为θ，且sin θ＝45，当θ为锐角时，cos θ＝35，tan θ＝43；当θ为钝角时，cos θ＝－35，tan θ＝－43.故直线的斜率是±43.答案：D点评：本题考查的知识点是直线的斜率，同角三角函数的基本关系，直线的倾斜角，本题易忽略倾斜角θ可能为钝角的情况，而错选A.规律总结直线的倾斜角与斜率，一般在高考中较少直接考查，但作为直线方程的基础知识，仍然是高考重点考查对象，因此，我们必须熟练掌握它．变式训练【1－1】 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π(2)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．解析：(1)将直线方程变形为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1，∴直线的斜率k ＝－1a 2＋1.∵a 2＋1≥1，∴0<1a 2＋1≤1.∴－1≤k <0，即－1≤tan α<0.∴34π≤α<π，故选B.(2)由图可知满足题目条件的k ≥k BP 或k ≤k AP .由斜率公式，得k AP ＝1－（－3）1－2＝－4， k BP ＝1－（－2）1－（－3）＝34， ∴k ≥34或k ≤－4.答案：(1)B (2)k ≤－4或k ≥34考点二 直线方程考点精析1．根据不同条件求直线的方程时，要注意条件的适用范围．2．对称问题是近几年高考的热点问题，它主要分为中心对称和轴对称两种，求解对称问题时要把握对称的实质，掌握常用的解题方法．例 2－1 已知直线l 1：(k －3)x ＋(5－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．1或4D ．1或2考点：两条直线垂直的判定．分析：由两直线ax ＋by ＋c ＝0与mx ＋ny ＋d ＝0垂直⇔am ＋bn ＝0求解即可．解析：由题意得2(k －3)2－2(5－k )＝0，整理得k 2－5k ＋4＝0，解得k ＝1或k ＝4.答案：C点评：本题考查两直线垂直的条件．规律总结直线方程、两条直线的位置关系、点到直线的距离公式以及对称问题等是研究解析几何的基础，因而也是高考重点考查对象，考查时一般较少直接考查．变式训练【2－1】(2014·四川卷)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是______．解析：由题意可知，动直线x＋my＝0经过定点A(0，0)，动直线mx－y－m＋3＝0即m(x－1)－y＋3＝0，经过点定点B(1，3)，注意到动直线x＋my＝0和动直线mx－y－m＋3＝0始终垂直，又P是两条直线的交点，则有P A⊥PB，∴|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.故|P A|·|PB|≤|P A|2＋|PB|22＝5(当且仅当|P A|＝|PB|时取“＝”)．答案：5考点三圆的方程考点精析1．直线与圆相交的弦长，可利用弦长公式计算，也可利用弦心距、圆半径、半弦长组成的直角三角形结合勾股定理求得．2．圆的参数方程不是唯一的，圆的参数方程不同，其几何意义也会改变，最值问题常用圆的参数方程转化为三角函数问题求解．例3－1(2015·湖北卷)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为________；(2)圆C在点B处的切线在x轴上截距为________．考点：直线的斜率、截距、圆的标准方程及直线方程的求解．分析：(1)结合图形，确定圆C的圆心坐标和半径，从而写出圆的标准方程；(2)如图，先求出点B的坐标，进而求出圆C在点B处的切线方程，再求切线在x轴上的截距．解析：(1)由题意设圆的标准方程为(x－1)2＋(y－r)2＝r2，∵|AB|＝2，∴r＝ 2.∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.(2)如图，连接CB，CT，CA，作CM⊥AB于点M.∵l为切线，∴CB⊥l.∵M是AB的中点，∴BM＝AM＝1.又∵CB＝2，∴∠BCM＝∠MBC＝45°，∴∠DBO＝45°，∴OD＝OB.∵圆心C(1，2)，|AB|＝2，∴A(0，2－1)，B(0，2＋1)．∴|OD|＝|OB|＝2＋1.∴切线l在x轴上的截距为－2－1.答案：(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2(2)－2－1点评：本题考查了圆的标准方程的求法，直线方程求法，考查了数形结合思想应用及运算求解能力．规律总结圆的方程、直线与圆的位置关系问题一直是高考命题的热点问题(特别是直线与圆的位置关系问题)，一般以选择、填空题为主，难度为中等，但区分度较大，题目比较灵活，往往与其他知识交汇在一起命题．变式训练【3－1】(2014·北京卷)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m 的最大值为()A．7 B．6C．5 D．4解析：圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心C(3，4)，半径为1.∵圆心C 到O (0，0)的距离为5，∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6.再由∠APB ＝90°，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得PO ＝12AB ＝m ，故有m ≤6.答案：B【3－2】 (2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM→·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解析：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.专题规律总结直线与直线位置关系的判断方法(1)平行：当两条直线l 1和l 2的斜率存在时，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；如果直线l 1和l 2的斜率都不存在，那么它们都与x 轴垂直，则l 1∥l 2.(2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l 1和l 2的斜率存在时，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；若两条直线l 1，l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直．(3)相交：两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得．【易错提示】 判断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再回代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误．圆的方程的求法(1)几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量：如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直；设圆的半径为r ，弦长为|AB |，弦心距为d ，则r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22等． (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算较简捷．求圆的弦长的方法(1)直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；(2)不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，直线与圆联立消去y 后得到的方程的两根为x 1、x 2，则弦长d ＝1＋k 2|x 1－x 2|；(3)利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．(见学生用书P 83)例 1已知曲线C ：y ＝20－x 22与直线l ：y ＝－x ＋m 仅有一个公共点，求m 的范围．考场错解：曲线C ：y ＝20－x 22可化为x 2＋4y 2＝20，① 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x 2＋4y 2＝20得： 5x 2－8mx ＋4m 2－20＝0，由Δ＝0，得m ＝±5.专家把脉：方程①与原方程并不等价，应加上y ∈[)0，＋∞. 对症下药：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分(如图)．结合图形易求得m 的范围为m ＝5或－25<m <2 5.例 2直线l ：y ＝k (x －5)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A 、B 两点，当k 变动时，弦AB 的中点M 的轨迹方程．考场错解：易知直线恒过定点P (5，0)，再由OM ⊥AP ，得：||OP 2＝||OM 2＋||MP 2，∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25，整理得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254. 专家把脉：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性．对症下药：本题中注意到点M 应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254，此时0≤x <165. 专家会诊：在将方程变形时应时时注意变量的取值范围的变化，必须进行等价变形，这样才不会出错．求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性，求出方程后要对照图象进行检验．(见学生用书P 174)一、选择题1．(2015·北京卷)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：因为圆心为(1，1)，圆过原点，所以圆的半径r＝12＋12＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.故选D.答案：D2．(2013·陕西卷)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：由题意，点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，则满足a2＋b2>1，圆心到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1，所以直线ax＋by＝1与圆O相交．故选B.答案：B3．(2014·四川卷)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|＋|PB|的取值范围是()A．[5，25] B．[10，25]C ．[10，45]D ．[25，45]解析：由题意可知，动直线x ＋my ＝0经过定点A (0，0)，动直线mx －y －m ＋3＝0即m (x －1)－y ＋3＝0，经过定点B (1，3)，∵动直线x ＋my ＝0和动直线mx －y －m ＋3＝0始终垂直， 又P 是两条直线的交点，∴P A ⊥PB ，∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.由基本不等式可得|P A |2＋|PB |2≤(|P A |＋|PB |)2≤2(|P A |2＋|PB |2)，即10≤(|P A |＋|PB |)2≤20， 可得10≤|P A |＋|PB |≤2 5.答案：B4．(2013·湖南卷)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)，若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1C.83D.43解析：建立如图所示的坐标系，可得B (4，0)，C (0，4)，故直线BC 的方程为x ＋y ＝4，△ABC 的重心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0＋43，0＋4＋03. 设P (a ，0)，其中0<a <4，点P 关于直线BC 的对称点P 1(x ，y )，则满足⎩⎨⎧a ＋x 2＋y ＋02＝4，y －0x －a·（－1）＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4－a ， 即P 1(4，4－a )，易得P 关于y 轴的对称点P 2(－a ，0)，由光的反射原理可知P 1，Q ，R ，P 2四点共线，直线QR 的斜率为k ＝4－a －04－（－a ）＝4－a 4＋a ， 故直线QR 的方程为y ＝4－a 4＋a(x ＋a )． 由于直线QR 过△ABC 的重心⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43， 代入化简可得3a 2－4a ＝0，解得a ＝43，或a ＝0(舍去)， 故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，故AP ＝43. 答案：D5．已知p ：直线x －y －1＝0与直线x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当命题p 成立时，直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，故两直线的斜率相等，∴a ＝－1.当q 成立时，a ＝－1，直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，故命题p 成立．综上，p 是q 的充要条件．答案：A6．(2010·雅安三模)将直线y ＝x ＋1绕其与y 轴的交点旋转90°，再按向量a ＝(1，1)进行平移，则平移后的直线方程是( )A ．y ＝－x ＋1B ．y ＝－x ＋3C ．y ＝x －2D ．y ＝x －1解析：将直线y ＝x ＋1绕其与y 轴的交点旋转90°得到直线的方程为y ＝－x ＋1，再按向量a 进行平移得到的直线方程为y －1＝－(x －1)＋1，即y ＝－x ＋3.答案：B7．(2015·桂林模拟)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18C ．(0，8]D ．[8，＋∞)解析：由x 2＋y 2－4x －2y －8＝0化成标准形式为(x －2)2＋(y －1)2＝13，所以圆心坐标为(2，1)．若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)始终平分圆的周长，则直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)必过点(2，1)，所以2a ＋1b ＝1.由1＝2a ＋1b ≥22ab ，得ab ≥8，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时取等号．故ab 的取值范围是[8，＋∞)．答案：D8．(2014·湖南卷)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11解析：由C 1：x 2＋y 2＝1，得圆心C 1(0，0)，半径为1，由圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0，得(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，∴圆心C 2(3，4)，半径为25－m .∵圆C 1与圆C 2外切，∴32＋44＝25－m ＋1，解得m ＝9.答案：C9．(2014·安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：由题意可得，要求的直线的斜率存在，设为k ，则直线方程为y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得|0－0＋3k －1|k 2＋1≤1，即3k 2－23k ＋1≤k 2＋1，解得0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 答案：D10．(2014·江西卷)在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34πC ．(6－25)π D.54π解析：∵AB 为直径，∠AOB ＝90°，∴O 点必在圆C 上，由O 向直线做垂线，垂足为D ，则当D 恰为圆与直线的切点时，此时圆C 的半径最小，即面积最小．此时圆的直径是O 到直线的距离为45，则圆C 的面积为：π×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝4π5. 答案：A11．(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，由对称性可知，反射光线所在直线是过点(－2，－3)关于y 轴的对称点(2，－3)向圆所作的切线，设切线的斜率为k ，则切线的方程为y ＝k (x －2)－3，由圆心(－3，2)到切线的距离等于半径1，得1＝|－5k －5|1＋k 2，解得k ＝－34或k ＝－43，故选D. 答案：D12．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43 解析：(方法1)A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，即△ABC 为等边三角形，∴△ABC 外接圆圆心即为△ABC 的重心．取BC 的中点D ，连接AD ，则AD 是△ABC 的边BC 上的中线，在AD 上取点G 使AG ＝23AD ，则G 是△ABC 的重心．所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，所以|OG |＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.(方法2)易知△ABC 是等边三角形，∴ △ABC 外接圆圆心即为△ABC 的重心．由重心坐标公式得，△ABC 的重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋0＋23，0＋3＋33， 即G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，故|OG |＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213. 故选B.答案：B13．(2013·重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1C ．6－2 2 D.17解析：如图圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A (2，－3)，半径为1，圆C 2的圆心坐标为(3，4)，半径为3，|PM |＋|PN |的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和， 即：（3－2）2＋（4＋3）2－1－3＝52－4.答案：A二、填空题14．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．解析：设圆的半径为r，根据圆与直线相切的关系得，r＝|m＋1|1＋m2＝m2＋2m＋1m2＋1＝1＋2mm2＋1，当m<0时，1＋2mm2＋1无最大值，且1＋2mm2＋1<1；当m＝0时，r＝1；当m>0时，m2＋1≥2m(当且仅当m＝1时取“＝”)，所以r≤1＋1＝ 2.综上可知r最大值为2.所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝215．(2015·湖南卷)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.解析：如图．因为∠AOB ＝120°，所以∠AOD ＝60°.在Rt △AOD 中，OA ＝2OD ＝r ，又因为OD ＝|3×0－4×0＋5|5＝1，所以r ＝2. 答案：2三、解答题16．(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解析：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM→(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM→·MP →＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105， 所以△POM 的面积为165.17．(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解析：(1)联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2， ∴圆心C (3，2)．若k 不存在，不合题意；若k 存在，设切线为：y ＝kx ＋3，可得圆心到切线的距离d ＝r ， 即|3k ＋3－2|1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝－34，则所求切线为y ＝3或y ＝－34x ＋3.(2)设点M (x ，y )，由MA ＝2MO ， 知：x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得：x 2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ， 又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，∴1≤a 2＋（2a －3）2≤3，解得0≤a ≤2.4.。
4.2.3 直线与圆的方程的应用
答:支柱A2P2的长约为5.39 m.
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题型一 题型二
反思在实际问题中,遇到有关直线和圆的问题,通常建立坐标系,利 用坐标法解决.建立适当的直角坐标系应遵循三点:(1)若曲线是轴 对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴;(2)常选特殊点作为直角坐 标系的原点;(3)尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的平面直角 坐标系,会简化运算过程.
1
−
������12
=
������12
+
������12 − 1 = 0, 即CD 的中点 H 在 EF 上.
故 EF 平分 CD.
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题型一 题型二
反思1.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几 何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题;然后通过代数 运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得到几何 问题的结论.
A(6,-2). 设圆的半径为r m,则C(0,-r),
即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.① 将点A的坐标(6,-2)代入①,解得r=10, 所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.②
当水面下降1 m时,设点A'的坐标为(x0,-3)(x0>0),将A'的坐标(x0,-3)
代入方程②,解得 x0= 51.
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题型一 题型二
解:如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原 点建立平面直角坐标系,则点A,B,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6).
人教版高中数学必修二 4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用 学案+课时训练
人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解， 两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0， 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0， 解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)， 半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0， 得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72， 半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。
4.2.3直线与圆的方程的应用
4.2.3直线与圆的方程的应用备课人授课时间课题 4.2.3直线与圆的方程的应用课标要求利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系教学目标知识目标理解直线与圆的位置关系的几何性质技能目标会用“数形结合”的数学思想解决问题．情感态度价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．重点直线与圆的方程的应用．难点直线与圆的方程的应用．第 2 页第 3 页第 4 页解：建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y 轴上，设圆心的坐标是（0，b ），圆的半径为r ，那么圆的方程为：x 2＋（y －b ）2＝r 2因为点P （0,4），B （10,0）在圆上，所以，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+22222210)4(0r b r b ，解得：⎩⎨⎧=-=225.145.10r b 所以，圆的方程为：2225.14)5.10(=++y x把P 2的横坐标x ＝－2代入圆的方程，得2225.14)5.10()2(=++-y ，由题可知y ＞0，解得：y ＝3.86答：支柱A 2P 2的高度约为3.86米。
例5、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对 2河北武中·宏达教育集团教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动又BC＝22cb ，所以，EO'＝21BC即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论，这就是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题。
第二步：通过代数运算，解决代教学小结课后反思第 5 页。
高中数学二 4.2.3 直线与圆的方程的应用 教案
4.2.3 直线与圆的方程的应用教学目标1。
知识与技能：(1）理解直线与圆的位置的种类，重点是利用直线和圆的位置关系解决实际问题；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系,会用“数形结合”的数学思想解决问题；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，会用代数的方法来判断直线与圆的位置关系。
2.过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识.从高考发展的趋势看,高考越来越重视学生的分析问题、解决问题的能力。
因此,要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，涉及到转化思想，数形结合的思想，应用平面解析几何的相关知识。
经历公理的推导过程,体验由特殊到一般、数形结合的数学思想方法.使学生初步学会把一些实际问题转化为直线和圆的位置关系的问题，关键是要使该问题是否满足直线和圆的位置关系以及它们之间的关系，培养学生分析问题、解决问题的能力3。
情感态度价值观：（1）空间教学的核心问题是让学生了解圆的特征，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2)用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣,培养学生勇于探索,善于发现的创新思想。
培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想重点难点1。
教学重点：利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；2。
教学难点：会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系,会用代数的方法来判断直线与圆的位置关系。
教学过程：导入新课如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m，图1在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题，我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.推进新课新知探究提出问题①你能说出直线与圆的位置关系吗？②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法?③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题?④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗?⑤你能利用“坐标法”解决例5吗?活动:学生回忆，教师引导，教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨。
直线与圆的方程的应用43页PPT
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
人教版高中数学直线与圆的方程的应用(共20张PPT)教育课件
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则四个顶点坐标分别为 A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)
第一步:建立坐 标y系，用坐标表 示B有(0关,b的) 量。
第四章 4.2 4.2.2 4.2.3 直线与圆的方程的应用(优秀经典课时作业练习题及答案详解)
[A组学业达标]1．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是()A．相离B．相交C．内切D．外切解析：圆C1的圆心为C1(0,0)，半径长r1＝9；圆C2的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y －4)2＝42，圆心为C2(3,4)，半径长r2＝4，所以|C1C2|＝(3－0)2＋(4－0)2＝5.因为r1－r2＝5，所以|C1C2|＝r1－r2，所以圆C1和圆C2内切．答案：C2．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是()A.10B.10 2C. 5 D．5解析：由题意，知2r＝32＋12＝10，r＝10 2.答案：B3．过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线的方程是() A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0C．5x＋3y－2＝0 D．不存在解析：过两圆交点的直线就是将两圆方程相减得2x＋2y＋4＝0，即x＋y＋2＝0，故选A.答案：A4．若两圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0，x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是() A．(－2,39) B．(0,81)C．(0,79) D．(－1,79)解析：两圆的方程可分别化为(x－1)2＋(y＋5)2＝25，(x－1)2＋(y＋1)2＝m＋2.由两圆相交，得|5－m＋2|＜4＜5＋m＋2，解得－1＜m＜79.答案：D5．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米解析：建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设篷顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)，半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝40.77≈3.5(米)．故选B.答案：B6．若圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝4关于直线l对称，则直线l的方程为________．解析：两圆的圆心分别为O(0,0)，C(－2,2)，由题意，知l为线段OC的垂直平分线或线段OC，故其方程为x－y＋2＝0或x＋y＝0.答案：x－y＋2＝0或x＋y＝07．已知直线x －y ＋a ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或6.答案：0或68．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a ＞0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.答案：19．已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6x ＋2y －40＝0相交于A ，B 两点，求公共弦AB 的长．解析：联立方程，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x ＋2y －40＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴两个圆的交点是A (－2,6)，B (4，－2)， ∴|AB |＝(4＋2)2＋(－2－6)2＝10.[B 组 能力提升]10．已知半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程是( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝6或(x －4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36解析：由题意可设圆的方程为(x －a )2＋(y －6)2＝36，由题意，得a 2＋9＝5，所以a 2＝16，所以a ＝±4，即圆的方程为(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36.答案：D11．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．[1－22，1＋22] B ．[1－2，3] C ．[－1,1＋22]D ．[1－22，3]解析：数形结合，利用图形进行分析．由y ＝3－4x －x 2得(x －2)2＋(y －3)2＝4(0≤x ≤4,1≤y ≤3)，它表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示，当直线与圆相切时有|2－3＋b |12＋12＝2，得b ＝1－22；当直线过点(0,3)时，b ＝3，故选D.答案：D12．已知点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．解析：由已知得C 1(4,2)，r 1＝3，C 2(－2，－1)，r 2＝2，|C 1C 2|＝35＞3＋2，∴两圆外离． ∴|PQ |min ＝|C 1C 2|－r 1－r 2＝35－3－2＝35－5. 答案：35－513．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．解析：设所求圆的方程为(x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－25.故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.答案：x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝014．已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B . (1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解析：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)， 半径为12|OP |＝12(4－0)2＋(6－0)2＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵P A ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，(x －2)2＋(y －3)2＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0.15．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解析：如图，以O 为原点，东西方向为x 轴建立直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)， 圆O 方程x 2＋y 2＝252.直线AB 方程：x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ， 则d ＝|－120|5＝24＜25，所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t ， 则t ＝2252－24228＝12(h)．所以外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5 h ．。
4.2.3 直线与圆的方程的应用
A.x+y-2=0
C.x-y=0
B.y-1=0
D.x+3y-4=0
【解题关键】要使两部分的面积之差最大,应使过点P
的直线与直线OP有怎样的关系?
提示:当过点P的直线与直线OP垂直时,弦长最短,此时
分成的两部分的面积之差最大.
例2．已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，
求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的
2
206.25，
H
又 OC 14.5 4 10.5,
OH = CH - OC 3.86.
B
所以支柱A2P2的高度约是3.86m.
C
【变式练习】
1.某次生产中，一个圆形的零件损坏了，只剩下了如图
所示的一部分．现在陈师傅所在的车间准备重新做一个 这样的零件，为了获得这个圆形零件的半径，陈师傅在 零件上画了一条线段 AB，并作出了 AB 的垂直平分线 MN，而且测得 AB＝8 cm，MN＝2 cm．根据已有数据，试
【即时训练】
一 条 光 线 从 点 (-2,-3) 射 出 , 经 y 轴 反 射 后 与 圆 (x+3) +(y-2) =1 相切 , 则反射光线所在直线的斜率 为 ( D ) B.
3 2 2或 3
2 2
3 5 A. 3 或 5
4 5 C. 4 或 5
3 4 D. 3 或 4
x
A2 O A3
A4
B
在的圆的方程；然后解决这个实际问题——利用圆 的方程求出点P2的坐标，从而求线段A2P2的长，解释 实际意义——圆拱形桥支柱的高A2P2.
解：建立如图所示的 直角坐标系，使圆心 在y轴上，设圆心的 坐标是（0，b），圆 A A1
2.2.3直线与圆方程应用
课Байду номын сангаас练习
1. 求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=9所 截得的弦长.
解 ： 联 立 两 个 方 程 得 (x2x3)y2 2y209
x1
7 5
29
解
得
：
y1
42 5
29 ,
课内练习
x2
7 5
29
y2
42 5
29
d (x1x2)2(y1y2)22529
课堂小结
➢ 理解直线与圆的位置关系的几何性质； ➢ 利用平面直角坐标系解决直线与圆的
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y=
14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m.
例题解析
例2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂
直，求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边
位置关系；
➢ 熟悉直线与方程的关系，并应用其解 决相关问题;
➢ 会用“数形结合”的数学思想解决问 题．
课后作业
课本P97复习题C组 3
例题解析
xOxMa2 c,yOyNb 2d,xE
a, 2
yE
d 2
所 以 ， |O'E| (aca)2(bdd)2
222 222
1 b2 c2 2
又 |BC| b2c2
所以： |O'E|1| BC| 2
课内小结
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表 示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为 代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
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直线与圆的方程的应用(提高) 学习目标 1．能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题； 2．能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题； 3．进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用．
要点梳理 要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤 1．从实际问题中提炼几何图形； 2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题； 3．通过代数运算，解决代数问题； 4．将结果“翻译”成几何结论并作答．
要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲” 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论. 要点诠释： 坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在.
要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点 1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系； 2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围； 3．最后要把代数结果转化成几何结论．
典型例题 类型一：直线与圆的方程的实际应用 1．有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点 【答案】 圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物． 【解析】 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如下图所示．设A（―5，0），则B（5，0）．在坐标平面内任取一点P（x，y），设从A地运货到P地的运费为2a元／km，则从B地运货到P地的运费为a元／km． 若P地居民选择在A地购买此商品，
则，
整理得． 即点P在圆的内部． 也就是说，圆C内的居民应在A地购物． 同理可推得圆C外的居民应在B地购物． 圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物． 【总结升华】? 利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：（1）认真审题，明确题意；（2）建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型；（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4）把代数结果还原为对实际问题的解释． 在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面几何及纯三角的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系．建立适当的直角坐标系应遵循三点：（1）若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；（2）常选特殊点作为直角坐标系的原点；（3）尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．要想学会建立适当的直角坐标系，必须靠平时经验的积累．
【变式1】 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到）.
【答案】 【解析】 建立坐标系如图所示.圆心的坐标是(0，ｂ)，圆的半径是ｒ，那么圆的方程是：
因为P(0,4)、B(10,0)都在圆上，所以 解得，.所以圆的方程为 把代入圆的方程得，所以,即支柱的高度约为.
【变式2】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km处，以40 km/h的速度向西偏北30°方向移动.据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟) 【答案】90分钟 10 h 【解析】 利用坐标法来求解.如图，不妨先建立直角坐标系xOy，其中圆A的半径为250 km，过B(300，0)作倾斜角为150°的直线交圆于点C、D，则该市受台风影响的起始与终结时间分别为C开始至D结束，然后利用圆的有关知识进行求解.
以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动，其轨迹方程为
y=(x-300)(x≤300). 该市受台风影响时，台风中心在圆x2+y2=2502内，设射线与圆交于C、D，则CA=AD=250，∴台风中心到达C点时，开始影响该市，中心移至D点时，影响结束，作AH⊥CD于H，则
AH=AB·sin30°=150，HB=，CH=HD==200，
∴BC=-200，则该市受台风影响的起始时间t1=≈(h)， 即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t2==10(h)即台风对该市的影响持续时间为10 h. 【总结升华】 应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建立适当的坐标系，设出点的坐标.还要搞清里面叙述的术语的含义. 构造圆的方程进行解题(如求函数的最值问题)时，必须充分联想其几何意义，也就是由数思形. 如方程y=1+表示以(0，1)为圆心，1为半径的上半圆，表示原点与曲线f(x，y)=0上动点连线的斜率.
类型二：直线与圆的方程在平面几何中的应用 2．AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P使|PD|=|AB|，求证：直线CP必过一定点 【答案】直线CP过定点（0，―r） 【解析】? 建立适当的直角坐标系，得到直线CP的方程，然后探讨其过定点，此时要联想证明曲线过定点的方法． 证明：以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如下图．设圆的方程为x2+y2=r2， 直径AB位于x轴上，动直径为CD． 令C（x0，y0），则D（―x0，―y0）， ∴P（―x0，―y0―2r）．
∴直线CP的方程为 ?． 即 (y0+r)x―(y+r)x0=0． ∴直线CP过直线：x=0，y+r=0的交点（0，―r），即直线CP过定点（0，―r）． 【总结升华】?利用直线与方程解决平面几何问题时，要充分利用圆的方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等有关知识，正确使用坐标方法，使实际问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的实际含义．
【变式】如图，在圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆D交于E、F， 求证：EF平分CD．
证明：令圆O方程为x2+y2=1． ① EF与CD相交于H，令C（x1，y1），则可得圆C的方程 (x－x1)+(y－y1)2=y12，即x2+y2－2x1x－2y1y+x12=0． ② ①－②得2x1x+2y1y－1－x12=0． ③
③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H＇，其坐标为， 将H＇代入③式，得． 即H＇在EF上，∴EF平分CD．
类型三：直线与圆的方程在代数中的应用
3．已知实数x、y满足x2+y2+4x+3=0，求的最大值与最小值． 【答案】 ? 【解析】? 如图所示，设M（x，y），则点M在圆O：(x+2)2+y2=1上．
令Q（1，2），则设，即kx―y―k+2=0． 过Q作圆O1的两条切线QA、QB，则直线QM夹在两切线QA、QB之间， ∴kAQ≤kQM≤kQB．
又由O1到直线kx―y―k+2=0的距离为1，得，即． ∴的最大值为，最小值为． 【总结升华】? 本例中利用图形的形象直观性，使代数问题得以简捷地解决，如何由“数”联想到“形”呢关键是抓住“数”中的某些结构特征，联想到解析几何中的某些方程、公式，从而挖掘出
“数”的几何意义，实现“数”向“形”的转化．本例中由方程联想得到圆，由等联想到斜率公式． 由此可知，利用直线与圆的方程解决代数问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的形象直观性来分析解决问题，也就是数形结合思想方法的灵活运用． 涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质利用数形结合求解，一般地：（1）形如
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如d=(x－a)2+(y－b)2形式的最值问题，可转化为到定点P（a，b）距离的平方的最值问题．
【变式】设函数和，已知当x∈[－4，0]时，恒有 ， 求实数a的取值范围．
答案与解析 【答案】 【解析】
因为，所以，即， 分别画出和的草图，利用数形结合法， 当直线与半圆相切时取到最大值，由圆心到直线的距离为2，求出， 即得答案．
类型四：直线与圆的方程的综合应用 4．设圆满足： （1）截y轴所得的弦长为2； （2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．
在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线：x―2y=0的距离最小的圆的方程． 【答案】(x―1)2+(y―1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2 【解析】?
满足题设中两个条件的圆有无数个，但所求的圆须满足圆心到直线的距离最小．这样须通过求最小值的方法找出符合题意的圆的圆心坐标． 设圆心为P（a，b），半径为r，则P点到x轴、y轴的距离分别是|b|和|a|．
由题设知：圆P截y轴所得劣弧对的圆心角为90°，故圆P截x轴所得弦长为 ∴r2=2b2． 又圆P截y轴所得的弦长为2， ∴r2=a2+1，从而2b2―a2=1．