2 二重积分的计算(直角坐标)
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高等数学--二重积分的计算
D
∫ ∫ b
d
= a ( f1( x) ⋅ c f2( y)dy )dx
∫ ⋅∫ 得 =
b
a f1( x)dx
d
c f2( y)dy
即等于两个定积分的乘积.
7
二重积分的计算法
X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点: 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
0
0
0
y
∫ ∫ =
a 0
f
( y)⋅
x
a y
dy
=
a
O
(a − y) f ( y)dy
0
•(a,a)
a
x
∫a
= (a − x) f ( x)dx 0
证毕.
21
二重积分的计算法
立体顶部 x2 + z2 = R2
例 求两个底圆半径为立R体,且底这部两x个2 圆+ 柱y2面= 的R2方程
分别为 x2 + y2 = R2及 x2 + z2 = R2 .求所围成的
x2
y +
y
2
⎟⎞ ⎠
=
f ( x, y),
∫ ∫ 故
1
f ( x, y)dy =
0
1 ∂ ⎜⎛ 0 ∂y ⎝
x2
y +
y2
⎞⎟ dy ⎠
=
x2
y +
y2
1 0
=
x
1 2+
; 1
∫ ∫ ∫ 所以 I1 =
1
1
dx f ( x, y)dy =
0
0
高等数学(第三版)课件：二重积分的计算
D
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y
二重积分计算法
0 D
R
x
I 2
2 0
d d 0 1 2
1
1 2
2
1
ln(1 ) ln 2 2 2 2 0
【例3】计算二重积分 e
D
x y
d . 其中D {( x, y ) | | x | | y | 1 }.
分析 首先应画出区域 D的图形,然后根据图形的特点选择适当 的坐标计算。本题可采用直角坐标计算, 即框图中线路1的方法。 注意到 D 既是 X 型区域, 又是Y 型区域，而无论 X 型区域 或 Y 型区域都不能用一个不等式组表出, 均需要把D 分割成 两个X 型区域或两个 Y 型区域的和的形式。 不妨把 D分成 两个X 型区域的和 D D1 D2来计算． 解: 积分区域如图所示.
(1, 1)
y x
x
. D
0
.
1
2
将二重积分转化为先对 y 对后 x 的二次积分，得
D
2 2 x x x2 dxdy dx 1 2 dy 2 1 y x y
x x 9 ( x x )dx 1 2 1 4 4
2
4 2
2
3
注：若本题将二重积分转化为先对x 后对 y 的二次积分,
y 2 ( x)
. .
D
y 1 ( x )
o
a
2 ( x ) 1 ( x )
x b
x
f ( x,
D
y )dxdy dx
a
b
f ( x , y )dy
（2）Y-型区域：
y
c y d D : 1 ( y ) x 2 ( y )
二重积分的计算
d y
d
2 ( y)
1 ( y)
f ( x, y ) d x
c o a
yy 1 ( x)D为计算方便, 可以选择积分次序, 必要时还可以交换积分次序. (2) 若积分域较复杂, 可将它分成 若干个x -型域或y -型域 , 则
bx
D
D2
D1
D
D1 D2 D3
D3
o
x
高等数学（ZYH）
例1 计算 I
x y d , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域. 解法1 将D看作X–型区域, 则
2 x x 2 1 I d x x yd y 2 x y d x 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 8 2
y
y 2 ( x )
D
y 1( x)
则二重积分可化为二次积分
o
y
d y
a
x b x
x 2 ( y)
若二重积分域为y-型
1( y ) x 2 ( y) D ( x, y ) c yd
x 1 ( y)
D
D
则二重积分可化为二次积分
o
y
2 yx y 1
o
1 x 2x
解法2 将D看作Y–型区域, 则
I
2
1
2 2 9 2 2 3 2 1 1 d y x yd x 2 x y d y 2 y 2 y d y y 1 1 8 y
高等数学（ZYH）
D
f ( x, y , z ) d x d y d z
高等数学 第二节 二重积分的计算
4
又解 :
1 ≤ x ≤ 2 D= 1 ≤ y ≤ x
2 x 1 1
y
y=x y =1
x=2
∫∫ x y d x d y = ∫ d x ∫ x y d y
D
9 ⌠ 1 3 1 . = x − x d x = 8 2 ⌡1 2
2
1
2
x
(∫
x
1
1 2 1 3 1 x y d y = xy = x − x) 2 2 2 y=1
1 y 1 x 0 0 0 0
(1,1) y=x
I = ∫ d y ∫ f ( x) f ( y)d x = ∫ d x ∫ f ( y) f ( x) d y
1 1
x
y
d x + 1 f ( x) x f ( y) d y d x 2 I = ∫ f ( x )∫ f ( y ) d y ∫0 ∫0 0 x 1 x f ( y) d y + 1 f ( y) d y d x = ∫ f ( x) ∫ ∫x 0 0 1 1 f ( y ) d y d x = A2 . A2 . = ∫ f ( x ) ∫ ∴ I= 13 0 0 2
≤
∫∫ e
D1
− x2 − y2
2R
x
18
∫∫e
D
−x2 − y2
dx dy ≤ ∫∫e
D2
−x2 − y2
dx dy ≤ ∫∫e
D 1
−x2 − y2
dx dy
又因为
∫∫ e
D2
− x2 − y2
d x dy = ∫
R − x2 R − y2 e dx ⋅ e dy 0 0
高数讲义第二节二重积分的计算(一)
解：先画出积分区域 D ， 并确定 D 的类型
方法一：将 D 看做 Y 型区域
y x2
y x y2
(4 , 2)
2
y
x y2
0 1
x
(1 , 1)
1 y 2 , y2 x y2
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
1 2
x
2
1 0
y
(
d xd
x2
y
x4
)
1 2
dx
1 x2
0
1 2
(1 ( x3
3
x2)dx x5) 1
5
0
1 15
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
解：画积分区域 两曲线的交点
x y2
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
· y M 2 y 2( x )
y
· M 2 y 2( x )
D
D
· M 1 y 1( x )
0a x b x
· M 1 y 1( x )
0 a x bx
类型 I （X 型）：D 由直线 x = a , x = b 与曲线
y 1( x ) 和 y 2( x ) 所围成，即
D { ( x, y ) | a x b, 1( x) y 2( x) }
dx
y
A(x)
0
a
z f ( x, y)
y 1( x )
方法一：将 D 看做 Y 型区域
y x2
y x y2
(4 , 2)
2
y
x y2
0 1
x
(1 , 1)
1 y 2 , y2 x y2
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
1 2
x
2
1 0
y
(
d xd
x2
y
x4
)
1 2
dx
1 x2
0
1 2
(1 ( x3
3
x2)dx x5) 1
5
0
1 15
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
解：画积分区域 两曲线的交点
x y2
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
· y M 2 y 2( x )
y
· M 2 y 2( x )
D
D
· M 1 y 1( x )
0a x b x
· M 1 y 1( x )
0 a x bx
类型 I （X 型）：D 由直线 x = a , x = b 与曲线
y 1( x ) 和 y 2( x ) 所围成，即
D { ( x, y ) | a x b, 1( x) y 2( x) }
dx
y
A(x)
0
a
z f ( x, y)
y 1( x )
二重积分的计算方法
x2
11 ( x y )dy dx 2 ( y x )dy . 1 x 15
1 0
x 1
e
t 2
1 dt , 求0 f ( x )dx.
1 解(一)： f ( x )dx [ xf ( x )] 0 xf ( x )dx 1 0
f (1) xe
1 0
x2
dx [ 1 e x ]1 1 (e 1 1). 0 2 2
2
解(二) I ( e dt )dx
1 x 0 1
t 2
t
2 t t 0
( e dt )dx dt e dx
1 0 1 x
1 0
t 2
1 t 2 e tdt 0
1 1 (e 1). 2
练习设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，并设 f ( x )dx A ，
1 0
求 dx f ( x ) f ( y )dy .
解
2a
y 2ax
y 2ax x 2 x a a 2 y 2
a
2a
a
原式 = dy 2 y 0
a
a a2 y2
f ( x , y )dx
2a 2a
0 dy a
a
2a
2a
a y
2 2
f ( x , y )dx a dyy 2 f ( x , y)dx.
x
f ( x )dx f ( y )dy,
0
故2 I
f ( x )dx
1 0
1
x
f ( y )dy f ( x )dx f ( y )dy
最新二重积分的计算法(1)
D
线 y x2和 x y2所围平面闭区域.
解 两 曲 线 的 交 点
yx2 xy2(0,0) ,(1,1),
x y2 y x2
(x2
D
y)dxdy01dxx2x(x2y)dy
1[x2( xx2)1(xx4)d ]x33 .
0
2
140
例 2
改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy的次序.
D
2
将 DD 1D 2 视为Y–型区域 , 则 o 22 2 x
D :
2yx 8y2 0y2
2
ID f(x,y)dxdy 0 d y
例4 计算 Dx y2 2dx,D d:yx,y2,x y1
解
D
1 x y y
1 y 2
2
y y2
I=
dy
1
1 x 2 dx y
Y—型
2 y 2 ( y 3 y ) dy 9
0
3
0
6
1(1 2). 6e
例7 计算积分
1
I 2 dy
yy
1
e xdx . dy
yy
e xdx
1
1
4
2
1 2
y
y
解 exd不 x 能 用 初 等 函 数 表 示
先 改 变 积 分 次 序 .
1 xy
原式I dx exdy
1 2
x2
1x(eex)dx 1 2
3e 1 e. 82
2
1
1
(3
sin
3)
2
x 1 ) dx
以上各例说明
化二重积分为累次积分时选择积分次 序的重要性，有些题目两种积分次序在计 算上难易程度差别不大，有些题目在计算 上差别很大，甚至有些题目对一种次序能 积出来，而对另一种次序却积不出来
线 y x2和 x y2所围平面闭区域.
解 两 曲 线 的 交 点
yx2 xy2(0,0) ,(1,1),
x y2 y x2
(x2
D
y)dxdy01dxx2x(x2y)dy
1[x2( xx2)1(xx4)d ]x33 .
0
2
140
例 2
改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy的次序.
D
2
将 DD 1D 2 视为Y–型区域 , 则 o 22 2 x
D :
2yx 8y2 0y2
2
ID f(x,y)dxdy 0 d y
例4 计算 Dx y2 2dx,D d:yx,y2,x y1
解
D
1 x y y
1 y 2
2
y y2
I=
dy
1
1 x 2 dx y
Y—型
2 y 2 ( y 3 y ) dy 9
0
3
0
6
1(1 2). 6e
例7 计算积分
1
I 2 dy
yy
1
e xdx . dy
yy
e xdx
1
1
4
2
1 2
y
y
解 exd不 x 能 用 初 等 函 数 表 示
先 改 变 积 分 次 序 .
1 xy
原式I dx exdy
1 2
x2
1x(eex)dx 1 2
3e 1 e. 82
2
1
1
(3
sin
3)
2
x 1 ) dx
以上各例说明
化二重积分为累次积分时选择积分次 序的重要性，有些题目两种积分次序在计 算上难易程度差别不大，有些题目在计算 上差别很大，甚至有些题目对一种次序能 积出来，而对另一种次序却积不出来
重积分的计算
D
x 2 及 y x 所围成的闭区域 。
解 y
x
xyd
D 2
yx
2dx
1
x
1
2 1
xy2 2
|
xydy
x
dx
1
y 1
2 1
(
x3 2
x )dx 2
o1 x 2
x
(
x4 8
x2 4
)| 2
1
9 8
另解：
y
2
y
1
o
xyd
D
2dy
1
2
y
xydx
x2 yx
2 1
yx 2 2
|
2
y
dy
2( 1
4y 2
1
x
y
1 x2 y2dy
1dx
1
1x
1 x2 y2 ( 1 ) d(1 x2 y2)
2
( 1)
2
1dx
1
1x
1 x2 y2
d(1 x2 y2)
3
( 1)
2
11
2 (1 x2 3
y2)2
|
1
x
dx
( 1) 2
23
11 (| x |3 1) dx
1 3
11
(| x |3 1) dx
b 2( x)
m [ f ( x, y) dy ] dx
a 1(x)
f (x, y)d
=
b [
2(x)
f ( x, y) dy ] dx
D
a 1(x)
(2) D : 1( y) x 2( y), (c y d )
y d
二重积分的计算方法例题及解析
二重积分的计算方法例题及解析一、利用直角坐标计算二重积分1. 例题- 计算∬_D(x + y)dσ，其中D是由直线y = x，y = x^2所围成的闭区域。
2. 解析- （1）首先确定积分区域D的范围：- 联立方程<=ft{begin{array}{l}y = x y = x^2end{array}right.，- 解得<=ft{begin{array}{l}x = 0 y = 0end{array}right.和<=ft{begin{array}{l}x = 1 y = 1end{array}right.。
- 所以在x的范围是0≤slant x≤slant1，对于每一个x，y的范围是x^2≤slant y≤slant x。
- （2）然后将二重积分化为累次积分：- ∬_D(x + y)dσ=∫_0^1dx∫_x^2^x(x + y)dy。
- （3）先计算内层积分：- ∫_x^2^x(x + y)dy=∫_x^2^xxdy+∫_x^2^xydy。
- ∫_x^2^xxdy=x<=ft(y)<=ft.rve rt_x^2^x=x(x - x^2)=x^2-x^3。
- ∫_x^2^xydy=(1)/(2)y^2<=ft.rvert_x^2^x=(1)/(2)(x^2-x^4)。
- 所以∫_x^2^x(x + y)dy=x^2-x^3+(1)/(2)(x^2-x^4)=(3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4。
- （4）再计算外层积分：- ∫_0^1((3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4)dx=(3)/(2)×(1)/(3)x^3-(1)/(4)x^4-(1)/(2)×(1)/(5)x^5<=ft.rvert_0^1。
- =(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(10)=(10 - 5 - 2)/(20)=(3)/(20)。
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I
D
f ( x , y )d xdy
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
Q( y ) =
ψ( y )
φ( y)
d
f ( x, y )dx
0
c
y
x=(y)
d
y
I=
d c
.
.
c
Q( y )dy
dy
ψ( y )
φ ( y)
f ( x, y )dx
D
x
x=(y)
Q( y ) =
d c
b
a
f ( x , y )dx
0
I Q( y)dy
c
y
d
y
a
Q( y )
.
b
x
.
D
问题：Q( y)是什么图形？ 是曲边梯形。
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二重积分的计算 (D是矩形区域 z )
I
f ( x , y )d xdy
D
z=f (x,y)
D是矩形区域 [a,b ; c,d] Q( y ) =
2
y x2
4 x
y2 2 1 2 x y d y 2 y 1 2
1
y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1
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sin x 例3. 计算 d xd y, 其中D 是直线 D x 所围成的闭区域. y yx 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, x D 因此取D 为X – 型域 : x o 0 y x D: 0 x sin x x sin x d xd y dx d y D x 0 x 0
y
y
f ( x, y )dx
y
y
1
D:
y x
0 y1
yx 联立 x y
I
得交点 (,)
0
dx
x
1
x
x
f ( x , y )dy
. . .
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例6. 将二重积分换序
I dx
a
ax x
x
f ( x, y)dy
D1
2
D D D
1
D3
D3
机动
o
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x
结束
复习
平行截面面积为已知的立体的体积
已知平行截面面积为 A(x)的立体
V
b
.
dV=A(x)dx
a
A( x )dx
A(x)
a
x
V
b
x
机动
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1.二重积分的计算 (D是矩形区域 ) z
I
d
b
a
f ( x , y )dx
0
I
c
Q( y )dy
b a
c
y
d
d
y
c
dy f ( x , y )dx
. .
a
b
.
D
x
同理，也可以先对 y 积分
I
b
a
dx f ( x, y )dy
c
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d
2. 二重积分的计算（D是曲线梯形区域 ） z
I
D
x 1 ( y)
c d y
d
2 ( y)
1 ( y)
f ( x, y ) d x
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c o
x
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上页
当被积函数 f ( x, y )在D上变号时, 由于
f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) 2 2
22 2 x
D: 0 y2
D
2 2 y x 8 y
I f ( x, y ) d x d y d y
0
2
8 y 2 2y
机动
f ( x, y )d x
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例8 给定 解 D:
y
改变积分的次序
ax x y ax 0 x 2a
第二节 二重积分的计算
一、利用直角坐标 计算二重积分
机动
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一、利用直角坐标计算二重积分 由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f ( x, y ) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域 1 ( x) y 2 ( x) D: a xb 则
y
y 2 ( x)
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例9. 计算
其中D 由
y 4 x , y 3x , x 1 所围成. 2 解: 令 f ( x, y ) x ln( y 1 y )
x
.
I=
d
c
dy
x ( y )
x ( y )
f ( x , y )dx
I=
机动
y ( x )
y ( x )
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f ( x, y )dy
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二重积分计算的两种积分顺序
I
f ( x , y )d xdy
D
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
D: y1(x) y y2(x) axb
2a
y 2ax x 2
x a a2 y2
y ax
D1
y 2ax x
I
D3
y2 2a
D
D D
a a
a
D2
a
a
a
dy y f ( x , y )dx
a a y
x a a y
0
x a a ay
I
D
a a
D
a
dy y f ( x , y )dx
a a y
.
a
D1
dy
x a a y
a
a a y
f ( x , y )d x
x a a y
D2
0
2a
x
注：这种方法要求 f (x, y) 在D2上有定义以至连续
y y2(x)
d
x1 (y) x2(y)
y
c
0
.
D
y1(x)
0 x
D
a
b
x
y ( x )
b
x
I=
d
c
dy
x ( y )
x ( y )
f ( x , y )dx
I = a dxy ( x ) f ( x, y )dy
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例5. 将二重积分换序
I dy
dy y
f ( x, y )dx
2a
还有别的方法吗？
dy
. .
x
a
a
a a y
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f ( x, y )dx
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例8 给定 解 D:
y
改变积分的次序
ax x y ax
0 x 2a
2a
y ax
D
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
D: y1(x) y y2(x) axb
y y2(x)
d
x1 (y) x2(y)
y
c
0
D
y1(x)
0 x
D
a
x
b
x
.
I=
d
c
dyx ( y ) f ( x , y )dx
x ( y )
I=
机动
y ( x )
y ( x )
D: (y) x (y) cyd
Q( y ) =
ψ( y )
φ( y)
d
f ( x, y )dx
0
c
y
x=(y)
d
y
I=
c
Q( y )dy
Q( y )
.
D
x x=(y)
.
问题：Q( y)是什么图形？ 也是曲边梯形 !
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二重积分的计算（D是曲线梯形区域） z
D
f ( x , y )d xdy
z=f (x,y)
D是矩形区域
[a,b ; c,d]
0
c
y
d
y
a
b
x
D
机动
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二重积分的计算 (D是矩形区域)
z
I
D
z f ( x, y ) y y
f ( x , y )d xdy
z=f (x,y)
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
D
f ( x , y )d xdy
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
Q( y ) =
ψ( y )
φ( y)
d
f ( x, y )dx
0
c
y
x=(y)
d
y
I=
d c
.
.
c
Q( y )dy
dy
ψ( y )
φ ( y)
f ( x, y )dx
D
x
x=(y)
Q( y ) =
d c
b
a
f ( x , y )dx
0
I Q( y)dy
c
y
d
y
a
Q( y )
.
b
x
.
D
问题：Q( y)是什么图形？ 是曲边梯形。
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二重积分的计算 (D是矩形区域 z )
I
f ( x , y )d xdy
D
z=f (x,y)
D是矩形区域 [a,b ; c,d] Q( y ) =
2
y x2
4 x
y2 2 1 2 x y d y 2 y 1 2
1
y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1
机动
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sin x 例3. 计算 d xd y, 其中D 是直线 D x 所围成的闭区域. y yx 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, x D 因此取D 为X – 型域 : x o 0 y x D: 0 x sin x x sin x d xd y dx d y D x 0 x 0
y
y
f ( x, y )dx
y
y
1
D:
y x
0 y1
yx 联立 x y
I
得交点 (,)
0
dx
x
1
x
x
f ( x , y )dy
. . .
机动
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例6. 将二重积分换序
I dx
a
ax x
x
f ( x, y)dy
D1
2
D D D
1
D3
D3
机动
o
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x
结束
复习
平行截面面积为已知的立体的体积
已知平行截面面积为 A(x)的立体
V
b
.
dV=A(x)dx
a
A( x )dx
A(x)
a
x
V
b
x
机动
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1.二重积分的计算 (D是矩形区域 ) z
I
d
b
a
f ( x , y )dx
0
I
c
Q( y )dy
b a
c
y
d
d
y
c
dy f ( x , y )dx
. .
a
b
.
D
x
同理，也可以先对 y 积分
I
b
a
dx f ( x, y )dy
c
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d
2. 二重积分的计算（D是曲线梯形区域 ） z
I
D
x 1 ( y)
c d y
d
2 ( y)
1 ( y)
f ( x, y ) d x
机动 目录
c o
x
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当被积函数 f ( x, y )在D上变号时, 由于
f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) 2 2
22 2 x
D: 0 y2
D
2 2 y x 8 y
I f ( x, y ) d x d y d y
0
2
8 y 2 2y
机动
f ( x, y )d x
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例8 给定 解 D:
y
改变积分的次序
ax x y ax 0 x 2a
第二节 二重积分的计算
一、利用直角坐标 计算二重积分
机动
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一、利用直角坐标计算二重积分 由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f ( x, y ) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域 1 ( x) y 2 ( x) D: a xb 则
y
y 2 ( x)
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例9. 计算
其中D 由
y 4 x , y 3x , x 1 所围成. 2 解: 令 f ( x, y ) x ln( y 1 y )
x
.
I=
d
c
dy
x ( y )
x ( y )
f ( x , y )dx
I=
机动
y ( x )
y ( x )
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f ( x, y )dy
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二重积分计算的两种积分顺序
I
f ( x , y )d xdy
D
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
D: y1(x) y y2(x) axb
2a
y 2ax x 2
x a a2 y2
y ax
D1
y 2ax x
I
D3
y2 2a
D
D D
a a
a
D2
a
a
a
dy y f ( x , y )dx
a a y
x a a y
0
x a a ay
I
D
a a
D
a
dy y f ( x , y )dx
a a y
.
a
D1
dy
x a a y
a
a a y
f ( x , y )d x
x a a y
D2
0
2a
x
注：这种方法要求 f (x, y) 在D2上有定义以至连续
y y2(x)
d
x1 (y) x2(y)
y
c
0
.
D
y1(x)
0 x
D
a
b
x
y ( x )
b
x
I=
d
c
dy
x ( y )
x ( y )
f ( x , y )dx
I = a dxy ( x ) f ( x, y )dy
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例5. 将二重积分换序
I dy
dy y
f ( x, y )dx
2a
还有别的方法吗？
dy
. .
x
a
a
a a y
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f ( x, y )dx
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例8 给定 解 D:
y
改变积分的次序
ax x y ax
0 x 2a
2a
y ax
D
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
D: y1(x) y y2(x) axb
y y2(x)
d
x1 (y) x2(y)
y
c
0
D
y1(x)
0 x
D
a
x
b
x
.
I=
d
c
dyx ( y ) f ( x , y )dx
x ( y )
I=
机动
y ( x )
y ( x )
D: (y) x (y) cyd
Q( y ) =
ψ( y )
φ( y)
d
f ( x, y )dx
0
c
y
x=(y)
d
y
I=
c
Q( y )dy
Q( y )
.
D
x x=(y)
.
问题：Q( y)是什么图形？ 也是曲边梯形 !
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二重积分的计算（D是曲线梯形区域） z
D
f ( x , y )d xdy
z=f (x,y)
D是矩形区域
[a,b ; c,d]
0
c
y
d
y
a
b
x
D
机动
目录
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返回
结束
二重积分的计算 (D是矩形区域)
z
I
D
z f ( x, y ) y y
f ( x , y )d xdy
z=f (x,y)
D是矩形区域 [a,b ; c,d]