2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第10讲抛物线(核心考点讲与练)练习

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高二数学下册(抛物线的性质)教案沪教版教案

上海理工大学附属中学高二数学下册《抛物线的性质》教案沪教版一、教学内容分析本小节的难点是应用抛物线的性质解决一些与抛物线有关的问题，如已知抛物线的某些性质，求抛物线的方程；以及求抛物线的焦点弦长等. 二、教学目标设计1．根据抛物线方程)0(22>=p px y 来研究抛物线的性质，进一步体会用方程研究曲线的基本方法； 2．研究另外三种标准位置的抛物线的性质，学会类比；3．应用抛物线的性质解决一些与抛物线有关的问题，体会数形结合和方程的思想. 三、教学重点及难点抛物线的对称性、顶点、范围、焦点坐标和准线方程；求抛物线的标准方程，应用抛物线定义解决一些与焦点弦长有关的问题. 四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾思考并回答下列问题 1、抛物线的定义； 2、四种标准方程形式；3、抛物线方程)0(22>=p px y 中参数p 的含义. 二、讲授新课我们根据抛物线的标准方程)0(22>=p px y 来研究抛物线的性质. 1、对称性在方程px y 22=中，以y -换y ，方程不变，这表明：如果点),(y x P 在抛物线px y 22=上，那么点P 关于x 轴对称的点),('y x P -也在该抛物线上，即抛物线px y 22=关于x 轴对称，是轴对称图形.请学生讨论抛物线px y 22=是否为中心对称图形？ 2、顶点抛物线与对称轴的交点称为抛物线的顶点.抛物线px y 22=的顶点为坐标原点)0,0(. 3、范围课堂小结并布置作业抛物线的对称性、运用与深化(例题解析、巩固练习)px y 22=（0>p ）抛物线四种标准形问题驱动在方程px y 22=中，因为0>p ，所以0≥x ，这表明除了顶点，抛物线的图像全部落在y 轴的右侧.在第一象限，随着x 的增大，抛物线的图像向右上方无限延伸；在第四象限，随着x 的增大，抛物线的图像向右下方无限延伸.⏹ 请学生讨论抛物线px y 22=在第一象限内向右上方无限延伸时是否存在渐近线？ 4、焦点和准线抛物线px y 22=的焦点在x 轴上，其坐标为)0,2(pF .抛物线px y 22=的准线平行于y 轴，其方程为2p x -=. ⏹ 请学生分别写出抛物线)0(22>-=p px y 、)0(22>=p py x 、 )0(22>-=p py x 的焦点坐标和准线方程.5、例题解析例1 求抛物线231x y =的焦点坐标和准线方程. [说明]本例考查抛物线的标准方程和性质.先让学生说出抛物线231x y =的标准形式，进而求出焦点坐标和准线方程.解：抛物线231x y =的标准方程为y x 32=，23=p ，于是焦点为)43,0(F ，准线方程为43-=y . 例2 教材上P66例1.[说明] 本例考查抛物线的四种标准位置.按照焦点在x 轴上或在y 轴上分情况讨论，培养学生严谨的思维习惯.例3 教材上P67例2.[说明] 本例培养学生的方程思想，将图像的交点个数问题转化为方程的解的个数问题；①既要考虑斜率存在的直线，也要考虑斜率不存在的直线；②形如02=++c bx ax 的方程有惟一解的条件：⎩⎨⎧≠=0,0b a 或⎩⎨⎧=∆≠.0,0a例4 教材上P67例3.[说明]本例培养学生应用抛物线的方程和性质解决一些简单的实际问题.①如何建立直角坐标系？②如何根据条件确定抛物线的方程？三、巩固练习1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点)1,(-m M 到焦点的距离是3，求抛物线的方程、准线方程、焦点坐标以及m 的值.[说明]根据点M 的纵坐标为负值可以确定抛物线开口向下，进而确定抛物线的方程形式.解：设抛物线方程为)0(22>-=p py x ，其准线方程为2p y =. 根据抛物线的定义，有312=+p，所以4=p . 抛物线的方程为y x 82-=，准线方程为2=y ，焦点坐标为)2,0(-F ，将点)1,(-m M 的坐标代入方程y x 82-=，算得22±=m .2、已知),(00y x P 是抛物线px y 22=上的点，F 是该抛物线的焦点，求证：2||0p x PF +=. [说明]利用抛物线的定义，将点P 到焦点的距离转化为到准线的距离，||PF 称为抛物线的焦半径. 证明：过点),(00y x P 作准线2:p x l -=的垂线，垂足为Q ，则),2(0y pQ -.根据抛物线的定义，2)2(||||00px p x PQ PF +=--==.3、若抛物线x y 42=的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程. [说明]根据焦半径公式，焦点弦长可以用两个端点的横坐标之和来表示. 解：抛物线的焦点为)0,1(F .设焦点弦的两个端点分别为),(11y x A 、),(22y x B .由条件，52)2()2(||||||2121=++=+++=+=x x px p x BF AF AB ，所以321=+x x . 如果直线AB 平行于y 轴，那么121==x x ，这与321=+x x 矛盾，所以直线AB 不平行于y 轴. 设焦点弦所在直线方程为)1(-=x k y ，联立方程⎩⎨⎧=-=,4),1(2x y x k y 消去y ，得到0)2(22222=++-k x k x k ，根据韦达定理，3)2(22221=+=+kk x x ，求出2±=k ，于是焦点弦所在直线AB 的方程为022=-±y x . 四、课堂小结1、抛物线)0(22>=p px y 的对称轴，顶点，范围，焦点坐标以及准线方程.2、求抛物线方程时，先判断本题中的抛物线属于四种标准方程形式中的哪一种，然后根据条件确定p 的值.3、如果问题与焦点弦长有关，那么可以用焦半径公式表出弦长，然后应用韦达定理加以解决. 五、课后作业注重对抛物线性质的推导过程，以问题驱动的形式促使学生对抛物线的性质进行较为深入地思考，在讲解对称性时抛出问题“抛物线是中心对称图形吗，为什么？”，让学生从几何图形上判断结果，并从代数方程上进行推导.在讲解抛物线的范围时，引导学生和双曲线进行比较“抛物线有渐近线吗，为什么？”，让学生去讨论.例1考查抛物线的标准方程和性质，例2考查抛物线的四种标准位置，例3培养学生的方程思想，例4培养学生应用抛物线的方程和性质解决一些简单的实际问题.紧扣抛物线的定义，引导学生灵活解决与焦点弦有关的问题，并以此为素材，激发学生发现。

2022上海高二数学满分攻略(沪教版2020第一册)第3章空间向量及其应用(基础30题专练)解析

第３章空间向量及其应用（基础30题专练）一、单选题1．（2019·上海松江·高二期末）若向量(1,2,2)a =-，(2,4,4)b =--，则向量a 与bA ．相交B ．垂直C ．平行D ．以上都不对【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标关系得解. 【详解】122244-==-- ，所以向量a 与b 平行. 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.2．（2017·上海·华师大二附中高二期中）如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的是A ．O ABC -是正三棱锥B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45 D ．二面角D OB A --为45. 【答案】B 【详解】试题分析：由正四面体的性质知ABC 是等边三角形，且OA OB OC 、、两两垂直，所以A 正确；借助正方体思考，把正四面体ABCD 放入正方体，很显然直线OB 与平面ACD 不平行，B 错误.考点：正四面体的性质、转化思想的运用.3．（2018·上海浦东新·高二期末）设直线l 的一个方向向量()6,2,3d =，平面α的一个法向量()1,3,0n =-，则直线l 与平面α的位置关系是. A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．直线l 在平面α内或平行【答案】D 【详解】∵直线l 的一个方向向量()6,2,3d =，平面α的一个法向量()1,3,0n =- ∴6(1)23300d n ⋅=⨯-+⨯+⨯= ∴直线l 在平面α内或平行故选D.4．（2019·上海市北虹高级中学高二期末）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是A ．1122a b c ++B ．11+22a b c - C ．1122a b c -+D ．1122a b c -++【答案】D 【分析】由题意可得B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c +12(b ⃗ −a ),化简得到结果．【详解】由题意可得B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c +12(A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12 (b ⃗ −a )=−12a +12b ⃗ +c ,故选D.【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．5．（2020·上海长宁·高二期末）平面上O 、A 、B 三点不共线，设OA a =，OB b =，则OAB 的面积等于（） A ．√|a |2|b ⃗ |2−(a ⋅b ⃗ )2 B ．√|a |2|b ⃗ |2+(a ⋅b ⃗ )2 C ．12√|a |2|b ⃗ |2−(a ⋅b⃗ )2 D ．12√|a |2|b ⃗ |2+(a ⋅b⃗ )2 【答案】C 【分析】由三角形的面积公式可知1sin ,2OABS a b a b =，结合数量积公式可选出正确答案. 【详解】解：由三角形的面积公式知211sin ,1cos ,22OABSa b a b a b a b ==- ()222222221cos ,2a b a b a b a b a b=-=-⋅.故选：C. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了平面向量的数量积.6．（2021·上海市西南位育中学高二期末）已知空间向量a ，b ，c 和实数λ，则下列说法正确的是（） A ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = B ．若0a λ=，则0λ=或0a = C ．若()()22ab =，则a b =或a b =-D ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =【答案】B 【分析】根据平面向量的基本性质、数量积公式和运算律，逐项排除. 【详解】对于选项A ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故A 错误；对于选项C ，由()()22ab =，得||||a b =，即可得其模相等，但方向不确定，故C 错误；对于选项D ，由a b a c ⋅=⋅，得()0⋅-=a b c ，则0a =或b c =或()a b c ⊥-，故D 错误；对于选项B ，由0a λ=，可得0λ=或0a =，故B 正确，故选：B . 【点睛】注意考查平面向量的基本概念和运算律，注意()0⋅-=a b c 它的运算.二、填空题7．（2019·上海市青浦区第一中学高二期中）已知(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-，则a b +=____．【分析】利用空间向量的坐标运算法则求出a b +，由此能求出结果. 【详解】解：∵(1,4,2),(2,1,3)a b =-=- ∴()=1,3,5a b +--∴()1a b +=-【点睛】本题考查空间向量的坐标运算法则以及利用坐标求模，熟练掌握向量的坐标运算法则是解决此题的关键.8．（2019·上海·复旦附中高二期中）在空间直角坐标系O xyz -中，已知()2,0,0A ，()0,2,0B ，(P ，则向量AP 与BP 的夹角为______.【答案】【分析】根据向量的夹角公式，将向量AP 与BP 代入即可得夹角的余弦值。

2023年上海高二上学期数学同步精讲练第10章空间直线与平面(基础、典型、压轴)(解析版)

第10章空间直线与平面（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.【详解】若直线l 与平面α没有公共点，那直线l 与平面α只能平行，故充分条件成立；若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的充分必要条件.故选：C2．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（） A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件； C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件．【答案】A【分析】空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者．【详解】解：空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者，∴空间四个点中，有三个点共线是这四个点共面的充分不必要条件，故选：A ．二、填空题3．（2021·上海市徐汇中学高二阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱中，既与AB 共面，又与1CC 共面的棱的条数为___________.【答案】5【分析】有两条平行直线确定一个平面，和两条相交直线确定一个平面可得答案，【详解】解：如图，满足条件的有BC ，DC ，1BB ，1AA ，11D C ，故答案为：5.4．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）不共线的三点确定___________个平面.（填数字）【答案】1【分析】由空间几何的公理求解即可【详解】不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个平面故答案为：15．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是_________【答案】异面【分析】根据异面直线的定义，直接判断.【详解】不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是异面.故答案为：异面6．（2021·上海·西外高二期中）空间中两条直线的位置关系有___________.【答案】平行、相交、异面【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答.【详解】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.故答案为：平行、相交、异面.7．（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线1AB与1BC 所成角的大小为___________.【答案】60︒##3π 【分析】连接1,DC BD ，由正方体的结构特征知：11//DC AB 且△1BDC 为等边三角形，即可知异面直线1AB 与1BC 所成角.【详解】连接1,DC BD ，由正方体的结构特征知：11//DC AB ，∴1DC 与1BC 所成角即为异面直线1AB 与1BC 所成角，又△1BDC 为等边三角形，∴1DC 与1BC 所成角60︒，即异面直线1AB 与1BC 所成角为60︒.故答案为：60︒8．（2022·上海虹口·高二期末）在正四面体ABCD 中，直线BC 与AD 所成角的大小为________．【答案】2π 【分析】根据空间位置关系直接证明判断即可.【详解】如图所示，取BC 中点E ，连接AE ，DE ，由已知ABCD 为正四面体，则ABC ，DBC △均为正三角形，所以AE BC ⊥，DE BC ⊥，所以BC ⊥平面ADE ，故BC AD ⊥，即直线BC 与直线AD 的夹角为2π，故答案为：2π. 9．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）过直线外一点有_________条直线与该直线垂直．【答案】无数【分析】根据点和直线、直线和直线的位置关系即可得出结果.【详解】空间中过直线外一点可以作无数条直线与该直线垂直.故答案为：无数10．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）若平面α∥平面β，,a b αβ⊂⊂，则直线a 和b 的位置关系是_____________.【答案】异面或平行【分析】利用分别在两个平行平面内的两个直线没有公共点即可判断作答.【详解】因平面α∥平面β，则平面α与平面β没有公共点，而a α⊂，b β⊂，于是得直线a 和b 没有公共点，所以直线a 和b 是异面直线或者是平行直线.故答案为：异面或平行11．（2020·上海松江·高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________.【答案】a【分析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果.【详解】1BB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a =故答案为a【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.12．（2022·上海·复旦附中高二期中）棱长为1的正方体中，异面直线1A D 与11B C 之间的距离为______．【答案】1【分析】根据题意，证得111A B A D ⊥且1111A B B C ⊥，得到11A B 为异面直线1A D 与11B C 的公垂线，即可求解.【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11A B ⊥平面11ADD D ，11A B ⊥平面11BCC B ，因为1A D ⊂平面11ADD D ，11B C ⊂平面11BCC B ，所以111A B A D ⊥且1111A B B C ⊥，所以11A B 为异面直线1A D 与11B C 的公垂线，又由正方体的棱长为1，可得111A B =，所以异面直线1A D 与11B C 的距离为1.故答案为：1.13．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则异面直线AB 与11D B 之间的距离为___________.【答案】1【分析】作出正方体图像，观察即可得到答案﹒【详解】如图：∵1BB 与AB 、11B D 均垂直，∴1BB 即为两异面直线的距离，故答案为：1三、解答题14．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱锥P ABC - 中，已知PA ⊥ 平面,ABC 3,6PA PB PC BC ==== .求二面角P BC A --的正弦值【答案】33【分析】取BC 的中点D ，连结PD ，AD,根据线面垂直关系可知PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角,根据所给边长关系可求得PDA ∠的正弦值.【详解】取BC 的中点D ，连结PD ，AD∵PB PC = ∴PD BC ⊥∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC ⊥,且BC PAD ⊥面即BC AD ⊥∴PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角∵6PB PC BC ===∴3PD 633==PA sin PDAPD ∠===P BC A --【点睛】本题考查了二面角的求法,关键是找到二面角的平面角,属于基础题.【典型】一、单选题1．（2021·上海·闵行中学高二阶段练习）在空间内，异面直线所成角的取值范围是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.【详解】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是(0,]2π, 故选B.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角,需要学生熟知异面直线的定义以及性质,考查了转化思想,属于基础题.2．（2021·上海·高二专题练习）若a 、b 是异面直线，则下列命题中的假命题为（）A ．过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行B ．过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直C ．唯一存在一个平面α与直线a 、b 等距D ．可能存在平面α与直线a 、b 都垂直【答案】D 【分析】在A 中，把直线b 平移与直线a 相交，确定一个平面内平行于b ；在B 中，反设过直线a 能作平面α、β使得b α⊥、b β⊥，推出矛盾；在C 中，过异面直线a 、b 的公垂线段的中点作与该公垂线垂直的平面可满足条件；在D 中，若存在平面α与直线a 、b 都垂直，则//a b .【详解】在A 中，由于a 、b 是异面直线，把直线b 平移与直线a 相交，可确定一个平面，这个平面与直线b 平行，A 选项正确；在B 中，若过直线a 能作平面α、β使得b α⊥、b β⊥，则//αβ，这与a αβ⋂=矛盾，所以，过直线a 最多只能作一个平面α与直线b 垂直，由a α⊂，可得b a ⊥，当直线a 与b 不垂直时，过直线a 不能作平面与直线b 垂直，B 选项正确；在C 中，由于a 、b 是异面直线，则两直线的公垂线段只有一条，过该公垂线段的中点作平面α与该公垂线垂直，这样的平面α有且只有一个，且这个平面α与直线a 、b 等距，C 选项正确；在D 中，若存在平面α与直线a 、b 都垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得//a b ，D 错误.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，着重考查与异面直线相关的性质，考查推理能力，属于中等题. 3．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）对于两个平面,αβ和两条直线,m n ，下列命题中真命题是 A ．若,m m n α⊥⊥，则//n αB ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥C ．若//,//,m n αβαβ⊥，则m n ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥【答案】D【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断．【详解】A 中n 可能在α内，A 错；B 中m 也可能在β内，B 错；m 与n 可能平行，C 错；,ααβ⊥⊥m ，则m β⊂或//m β，若m β⊂，则由n β⊥得n m ⊥，若//m β，则β内有直线//c m ，而易知c n ⊥，从而m n ⊥，D 正确．故选D ．【点睛】本题考查线面平行与垂直的关系，在说明一个命题是错误时可举一反例．说明命题是正确时必须证明．二、填空题4．（2021·上海市亭林中学高二阶段练习）异面直线a 与b 成60°角，若//c a ，则c 与b 所成的角等于__________【答案】60°【分析】由已知可得c 与b 相交或异面.分两种情况，根据异面直线所成的角的概念结合平行公理即可得出结论.【详解】∵,a b 异面，//c a ，∴c 与b 相交或异面.当c 与b 相交时，根据异面直线a 与b 所成角的概念可知c 与b 所成的角为60°角；当c 与b 异面时，自空间不在,,a b c 上的一点分别作,a b 的平行线//,//m a n b ,∵//c a ，∴//m c ,根据异面直线所成角的定义，相交直线,m n 所成的不超过直角的角既是异面直线a 与b 所成的角，又是异面直线c 与b 所成的角，根据异面直线a 与b 成60°角，故异面直线c 与b 所成的角为60°角.故答案为：60°. 5．（2021·上海南汇中学高二阶段练习）二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是____【答案】60【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a 、b 分别垂直于α、β两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角l αβ--为60，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线a 、b 的夹角为θ∵二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β则两条直线的夹角和二面角相等或互补，∴60οθ=故答案为60【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.三、解答题6．（2019·上海·华师大二附中高二阶段练习）在正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，E 、F 分别是BC 、A 1D 1的中点．（1）求证：四边形B 1EDF 是菱形；（2）作出直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点（写出作图步骤）．【分析】（1）取AD 中点G ，连接FG ，BG ，可证四边形B 1BGF 为平行四边形，四边形BEDG 为平行四边形，得到四边形B 1EDF 为平行四边形，再由△B 1BE ≌△B 1A 1F ，可得B 1E ＝B 1F ，得到四边形B 1EDF 是菱形；（2）连接A 1C 和AC 1，则A 1C 与AC 1的交点O ，即为直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点．【详解】（1）证明：取AD 中点G ，连接FG ，BG ，如图1所示，则B 1B ∥FG ，B 1B ＝FG ，∴四边形B 1BGF 为平行四边形，则BG ∥B 1F ，由ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，且E ，G 分别为BC ，AD 的中点，可得BEDG 为平行四边形，∴BG ∥DE ，BG ＝DE ，则B 1F ∥DE ，且B 1F ＝DE ，∴四边形B 1EDF 为平行四边形，由△B 1BE ≌△B 1A 1F ，可得B 1E ＝B 1F ，∴四边形B 1EDF 是菱形；（2）连接A 1C 和AC 1，则A 1C 与AC 1的交点O ，即为直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点，如图所示．【点睛】本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了空间想象与逻辑推理能力，是中档题．关键是掌握正方体的性质和熟练使用平行公理.【新文化】一、填空题1．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形ABCD 为矩形，ADE 和BCF △都是等腰三角形，2AE ED BF CF AD ====，//EF AB ，若3AB EF =，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为______.【答案】3π 【分析】作平行四边形AGFE ，得到//AE GF ，异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，求出GFC 的边长求角即可.【详解】设1EF =，在AB 上取点G 满足1AG EF ==，如图，故//AG EF 且AG EF =，故四边形AGFE 是平行四边形，故//AE GF异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠或其补角，22GF CF ==， 22222222CG GB BC =+=+=故GFC 为等边三角形故3GFC π∠=故答案为：3π 【压轴】1．（2021·上海·西外高二期中）三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是________．【答案】4(0,]3；【详解】由于,,,AB AP AB AC AB AP A AB ⊥⊥⋂=∴⊥ 平面APC ，1233APC APC V S AB S ∆∆=⋅= ，在APC ∆ 中，4AP AC +=，要使APC ∆ 面积最大，只需0,90AP AC APC =∠=，APC S ∆的最大值为12222⨯⨯=，V 的最大值为142233⨯⨯=，该三棱锥的体积V 的取值范围是4(0,]3.。

第03讲抛物线(解析版)-2022学年高二数学同步精品讲义

第3章圆锥曲线与方程第03讲抛物线课程标准重难点1.理解抛物线的定义2.掌握抛物线的几何意义1.抛物线的定义2.抛物线的焦半径与弦长知识精讲知识点一抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．❶其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．知识点二抛物线的标准方程和几何意义标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点F02p⎛⎫⎪⎝⎭，F02p⎛⎫- ⎪⎝⎭，F02p⎛⎫⎪⎝⎭，F02p⎛⎫-⎪⎝⎭，离心率e＝1准线方程x ＝－2p x ＝2p y ＝－2p y ＝2p 范围x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋2p |PF |＝－x 0＋2p |PF |＝y 0＋2p |PF |＝－y 0＋2p 若定点F 在定直线l 上，则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线．四种不同抛物线方程的异同点共同点(1)原点都在抛物线上；(2)焦点都在坐标轴上；(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14，即24p ＝2p 不同点(1)焦点在x 轴上时，方程的右端为±2px ，左端为y 2；焦点在y 轴上时，方程的右端为±2py ，左端为x 2；(2)开口方向与x 轴(或y 轴)的正半轴相同，即焦点在x 轴(或y 轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x 轴(或y 轴)的负半轴相同，即焦点在x 轴(或y 轴)的负半轴上，方程的右端取负号.知识点三常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p 0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝24p ，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝1cos p α-，|BF |＝1cos p α+，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝22sin Pα(α为弦AB 的倾斜角)；(3)112||||FA FB P+=；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．能力拓展考法01抛物线的定义及应用例1(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()A.12B．1C.32D．2(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．【答案】(1)B(2)4【解析】(1)设P(x P，y P)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2.∴x P＋1＝2，∴x P＝1.代入抛物线方程得|y P|＝2，∴△OFP的面积为S＝12·|OF|·|y P|＝12×1×2＝1.(2)如图，过点B作B Q垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|B Q|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.【跟踪训练】1．(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．【答案】25【解析】由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝2242 ＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为25.2．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．【答案】5【解析】如图，易知抛物线的焦点为F (1，0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到点F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到点F (1,0)的距离之和最小，显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为.【方法总结】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．[提醒]注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋2p 或|PF |＝|y |＋2p.考法02抛物线的标准方程与几何意义例2(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为()A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B.y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x【答案】(1)B (2)C【解析】(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－2p 且过点(－1,1)，故－2p＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)由已知得抛物线的焦点F 02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点M (x 0，y 0)，则AF ＝22p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，AM＝200,22y y p ⎛⎫- ⎪⎝⎭.由已知得，AF ·AM ＝0，即2y －8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M 8,4p ⎛⎫⎪⎝⎭.由|MF |＝5，得5.又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8.故C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .【方法总结】1．求抛物线标准方程的方法(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p )，那么只需求出p 即可．(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定；焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)，这样就减少了不必要的讨论．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．考法03直线与抛物线的位置关系例3设A ，B 为曲线C ：y ＝22x 上两点，A 与B 的横坐标之和为2.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【解析】(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝212x ，y 2＝222x ，x 1＋x 2＝2，故直线AB 的斜率k ＝12121212y y x x x x -+==-.(2)由y ＝22x ，得y ′＝x .设M (x 3，y 3)，由题设知x 3＝1，于是M 112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (1,1＋m )，|MN |＝1||2m +.将y ＝x ＋m 代入y ＝22x ，得x 2－2x －2m ＝0.由Δ＝4＋8m ＞0，得m ＞－12，x 1,2＝.从而|AB ||x 1－x 2|＝.由题设知|AB |＝2|MN |，＝1||2m +，解得m ＝72.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋72.【方法总结】1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．课堂小结1.知识体系(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1.(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．【答案】①x 轴正向②倾斜角③0°④0°α <180°⑤()211221-≠-y y x x x x ⑥tan α⑦k >0⑧90°⑨增大分层提分题组A 基础过关练1．已知抛物线C ：22x py =()0p >的焦点为F ，点(),1A t 在C 上且满足2AF =，则p =（）A ．18B ．14C ．1D ．2【答案】D【解析】由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可知，12,22pp +==故选：D 2．已知点P 到点()0,1F 的距离比它到直线:20l y +=的距离小1，则点P 的轨迹方程为（）A ．24x y =-B ．24x y =C ．24y x =-D ．24y x=【答案】B【解析】由题意，点P 到点()0,1F 的距离等于它到直线1y =-的距离，则点P 的轨迹是以F 为焦点，1y =-为准线的抛物线，则点P 的轨迹方程为24x y =，故选：B .3．设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点．若5PF =，则OPF △的面积为（）A ．1BCD ．2【答案】D【解析】由题意可得点F 的坐标(1,0)，准线方程为1x =-，因为P 为抛物线上一点，5PF =，所以点P 的横坐标为4，当4x =时，24416y =⨯=，所以4y =，所以OPF △的面积为11422⨯⨯=，故选：D4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率k =）A ．准线方程为3x =-B ．焦点坐标3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭C ．点P 的坐标为92⎛ ⎝D ．PF 的长为3【答案】BC【解析】由抛物线方程为26y x =，∴焦点坐标3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x -，A 错B 对；直线AF 的斜率为∴直线AF 的方程为32y x ⎫=-⎪⎭，当32x =-时，y =32A ⎛∴- ⎝，PA l ⊥ ，A 为垂足，∴点P 的纵坐标为P 的坐标为92⎛ ⎝，C 对；根据抛物线的定义可知93||||622PF PA ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，D 错.故选:BC.5．已知方程221(,)mx ny m n R +=∈，则下面四个选项中正确的是（）A ．当0m n >>时，方程表示椭圆，其焦点在y 轴上B ．当0m n =>C ．当0mn <时，方程表示双曲线，其渐近线方程为y x =D ．方程表示的曲线不可能为抛物线【答案】ACD【解析】由221mx ny +=，可得22111x y m n+=，对A ，当0m n >>，则110m n<<，所以方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对B ，当0m n =>B 错误；对C ，当0mn <时，方程表示双曲线，渐近线方程为220mx ny +=，即y x =，故C 正确；对D ，该方程中并不含有一次项，所以其表示的曲线不可能为抛物线，故D 正确；故选：ACD.6．若抛物线22y px =（0p >）的准线经过双曲线222x y -=的一个焦点，则p =______．【答案】4【解析】双曲线222x y -=的左焦点为（﹣2，0），故抛物线22y px =的准线为2x =-，∴22p=，∴4p =，故答案为：4．7．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点0(3,)M y 到F 的距离为6，则0=y ____．【答案】6±；【解析】因为抛物线()220y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点0(3,)M y 到F 的距离为6，所以362p+=，解得6p =，所以抛物线方程为212y x =，所以20123y =⨯，得06y =±，故答案为：6±8．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，位于第一象限的两点A ，B 均在E 上，若||3,||5,||22FA FB AB ===，则直线AB 的倾斜角为________．【答案】4π【解析】如图，过,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为,C D ，过A 作AE BD ⊥于E ，则3,5AF AC BF BD ====，所以2BE =，因为22AB =，所以22sin 222BE EAB AB ∠===，因为(0,)2EAB π∠∈，所以4EAB π∠=，所以直线AB 的倾斜角为244πππ-=，故答案为：4π题组B 能力提升练1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，抛物线216y x =与双曲线C 共焦点，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是等边三角形（O 为原点），则双曲线的标准方程为（）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】A【解析】因为抛物线216y x =的焦点坐标为：(4,0)，所以有2216a b +=，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为：b y x a =±，因为点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是等边三角形，所以有22tan 603bb a a︒=⇒=，而2216a b +=，解得：224,12a b ==，故选：A 2．过抛物线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】抛物线方程为24y x =，∴抛物线的焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-设线段AB 的中点为0(3,)M y ，则M 到准线的距离为：||3(1)4MN =--=，过A 、B 分别作AC 、BD 与l 垂直，垂足分别为C 、D ，根据梯形中位线定理，可得||||2||8AC BD MN +==，再由抛物线的定义知：||||AF AC =，||||BF BD =，||||||||||8AB AF BF AC BD ∴=+=+=．故选：D.3．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为（）A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2【答案】C【解析】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝12|FC|＝32，因此抛物线的方程为y2＝3x，故选：C.4．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线r：2y x=，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线1l从点41,116P⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过r上的点()11,A x y反射后，再经r上另一点()22,B x y反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A ．121y y =-B ．2516AB =C ．PB 平分ABQ ∠D ．延长AO 交直线14x =-于点C ，则C ，B ，Q 三点共线【答案】BCD【解析】设抛物线的焦点为F ，则1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭.因为41,116P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且1//l x 轴，故()1,1A ，故直线10141:143314AF y x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭-.由24133y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得231044y y --=，故1214y y =-，故A 错.又11y =，故214y =-，故11,164B ⎛ ⎝⎭，故1125116216AB =++=，故B 正确.直线:AO y x =，由14y xx =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得11,44C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故C B y y =，所以C ，B ，Q 三点共线，故D 正确.因为412511616AP AB =-==，故APB △为等腰三角形，故=ABP APB ∠∠，而12//l l ，故=PBQ APB ∠∠即=ABP PBQ ∠∠，故PB 平分ABQ ∠，故C 正确.故选：BCD.5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（）A ．PQ 的最小值为4B ．已知曲线C 上的两点S ，T 到点F 的距离之和为10，则线段ST 的中点横坐标是4C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】ABC 【解析】由题意知，12p=，抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，对于A ，当PQ x ⊥轴时，PQ 取得最小值为24p =，所以A 正确；对于B ，曲线C 上的两点S ，T 到点F 的距离之和为10，所以点S ，T 的横坐标之和为1028-=，则线段ST 的中点横坐标为4，所以B 正确；对于C ，设(0,1)M ，则1PM PP PM PF FM +=+≥=,,M P F 三点共线时取等号，所以C正确；对于D ，当直线过点(0,1)M 且与x 轴平行时，直线与抛物线有且只有一个公共点，过点(0,1)M 且与抛物线相切的直线有两条，此时直线与抛物线有且只有一个公共点，所以过点(0,1)M 与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条，所以D 错误，故选：ABC6．已知点M 为圆()()221:21x O y -+-='上的动点，过圆心作直线l 垂直于x 轴交点为A ，点B 为A 关于y 轴的对称轴，动点N 满足到点B 与l 到的距离始终相等，记动点N 到y 轴距离为m ，则m MN +的最小值为__________．【答案】2-【解析】如图所示：，由抛物线的定义可知，动点N 的轨迹为开口向左的抛物线，其焦点坐标为(10)B -，，准线方程为1x =，所以抛物线方程为24y x =-．圆()()221:21x O y -+-='的圆心为()1,2O '，半径为1R =，连接O B '交圆O '于M 点，交抛物线于N 点，此时||MN m +最小，利用两点距离公式得||O B '=所以||MN m +的最小值为22pO B R '--=．故答案为：27．已知抛物线：()220x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，过点P 作l 的垂线交l 于点E ，且60PFE ∠=︒，6PF =，则抛物线C 的方程为________________________.【答案】26x y =【解析】设准线与x 轴的交点为H ，准线为2p x =-，焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由抛物线的定义知PE PF =，又60PFE ∠=︒，所以PFE △为等边三角形，且30FEH ∠=︒，所以6EF PF ==,则132HF EF ==，又因为HF p =，因此3p =，故抛物线C 的方程为26x y =；故答案为：26x y =.8．已知抛物线C ：()220y px p =>，其焦点F 到其准线的距离为12，过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，求：（1）抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）AB .【解析】（1）∵抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到其准线的距离为12，即12p =，∴抛物线C 的方程为2y x =.焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭；（2）过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 的方程为14y x =-，联立214y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得2162410x x -+=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则12243162x x +==，∴1231222AB x x p =++=+=.题组C 培优拔尖练1．已知抛物线216y x =，过点(2,0)M 的直线交抛物线于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若||12AF =，O 为坐标原点，则四边形OAFB 的面积是（）A．B．C．D．2【答案】A【解析】抛物线216y x =的准线方程为4x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线的定义可知，2111412,8,168x x y +===⨯，由抛物线的对称性，不妨令1y =，设直线AB 的方程为2x my =+，由22,16,x my y x =+⎧⎨=⎩得216320y my --=，1232y y =-，∴2y =-，四边形OAFB的面积1211||422S OF y y =⋅-=⨯⨯=A ．2．以下五个关于圆锥曲线的命题中：①平面内到定点A （1，0）和定直线l ：2x=的距离之比为12的点的轨迹方程是22143x y +=；②点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是()3,6A ，则PA PM +的最小值是6；③平面内到两定点距离之比等于常数λ（0λ>）的点的轨迹是圆；④若动点(),M x y24x y =--，则动点M 的轨迹是双曲线；⑤若过点()1,1C 的直线l 交椭圆22143x y+=于不同的两点A ，B ，且C 是AB 的中点，则直线l 的方程是3470x y +-=．其中真命题个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①：设动点(),P x y ，由题意可得：12PA d =12=，整理化简得：223440x x y -+=，即求出的轨迹方程为：223440x x y -+=.故①错误；对于②：设P 到抛物线的准线的距离为d ，则12d PM =+，由抛物线的定义得，d PF =,所以1122PM d PF =-=-，所以12PA PM PA PF +=+-，如图示，当P 运动到Q 点时，P 、A 、F 三点共线，12PA PM PA PF +=+-最小，此时1113162222PA PM FA +=-==-=，故②正确；对于③：当1λ=时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，故③错误；对于④：“若动点(),M x y 24x y =--，则动点M 的轨迹是双曲线”显然不正确，因为不满足双曲线的定义，故④不正确；对于⑤：当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x =1，AB 的中点为（1,0），不符合题意；设直线l 的斜率为k ，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121y y k x x -=-.因为A B 、在椭圆22143x y +=上，所以22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：2222121243x x y y =---，所以2121212134y y x x k x x y y -+==--- 因为()1,1C 是AB 的中点，所以21211,122x x y y++==，所以21213344x x k y y +=-=--，所以直线l 的方程是3470x y +-=.故⑤正确.故选：B3．已知F 是抛物线C ：22y px =()0p >的焦点，直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，满足23PFQ π∠=，记线段PQ 的中点A 到抛物线C 的准线的距离为d ，则dPQ的最大值为（）A ．3BCD ．13【答案】C【解析】设||,||PF m QF n ==，过点P ，Q 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为','P Q ，则','PP m QQ n ==，因为点A 为线段PQ 的中点，所以根据梯形中位线定理得点A 到抛物线C 的准线的距离为|'|'22PP QQ m nd ++==，因为23PFQ π∠=，所以在PFQ △中，由余弦定理得222222||2cos3PQ m n mn m n mn π=+-=++，所以22222222()()1||4()4()41()d m n m n PQ m n mn mn m n mn m n ++===++⎡⎤⎡⎤+-⎣⎦-⎢⎥+⎣⎦，又因为2()4m n mn +≥，所以21()4mn m n ≤+，当且仅当m n =时等号成立，所以22111||34(1)4d PQ ≤=⨯-，故3d PQ ≤.所以d PQ故选：C4．已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，称线段PQ 长度的最小值为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .已知线段1:(122)l x y =--≤≤，21:()20l x y =-≤≤，点P 为平面上一点，且满足12(,)(,)d P l d P l =，若点P 的轨迹为曲线C ，A ，B 是第一象限内曲线C 上两点，点(10)F ，且54AF =，2BF =，则（）A ．曲线C 关于x 轴对称B ．点A 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．点B 的坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．FAB 的面积为1916【答案】BCD【解析】1:(122)l x y =--≤≤为线段SQ ，2l ：120()x y =-≤≤为线段FR ，又12(,)(,)d P l d P l =，①当20-≤≤y 时，由题意可得，点P 在y 轴上；②当2y <-时，1(),d P l PQ =，()2,d P l PR =，此时点P 在y 轴上；③当02y ≤≤时，1(),d P l 为点P 到1x =-的距离，2(),d P l PF =，此时点P 的轨迹是一条抛物线，准线方程为1x =-，所以2p =，故抛物线的标准方程为24y x =；④当2y >时，1(),d P l PS =，2(),d P l PF =，此时点P 在SF 的中垂线上，而2()1,S -，(1,0)F ，中点坐标为(0,1)，所以2111SF k ==---，所以点P 在直线1y x =+上，故选项A 错误；又54AF =，所以514A x +=，解得14A x =，故点A 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，故选项B 正确；因为2BF FT =>，又点B 在1y x =+上，联立方程组2221(1)y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎝⎭⎩，可得35,22x y ==，所以点B 的坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭，故选项C 正确；516231524ABk -==-，故直线AB 的方程为61154y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则直线AB 与1x =的交点坐标为191,10G ⎛⎫⎪⎝⎭，所以119119319112104210216FAB FGA FGB S S S ⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯-+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△，故选项D 正确.故选：BCD.5．已知抛物线C ：28x y =的焦点为F ，过点()0,1P -斜率为k （0k >）的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，AB 的中点Q 到x 轴的距离为3，若M 是直线l 上的一个动点，()3,0E ，则MF ME -的最大值为________．【答案】1【解析】设直线l 的方程为1y kx =-（0k >），()11,A x y ，()22,B x y 联立218y kx x y=-⎧⎨=⎩，得2880x kx -+=，所以128x x k +=，所以1242Q x x x k +==，所以2141Q Q y kx k =-=-，因为AB 的中点Q 到x 轴的距离为3，所以2413k -=，0k >，所以1k =，则直线l 的方程为1y x =-，设点F 关于直线l 的对称点为(,)F a b '，所以2122b a+=-，且21b a-=-，解得3a =，1b =-，所以点F 关于直线l 的对称点为(3,1)F '-，所以||||||||||||||1MF ME MF ME EF -='-'= ，当M 在射线F E '与直线l 的交点时，取等号，故答案为：1．6．已知圆C :()2234x y -+=，点M 在抛物线T ：24y x =上运动，过点M 引直线1l ，2l 与圆C 相切，切点分别为P ，Q ，则PQ 的取值范围为__________.【答案】)4⎡⎣【解析】如图，连接CP ，CQ ，CM ，依题意，,CP MP CQ MQ ⊥⊥，而||||2CP CQ ==，而||||MP MQ =，则CM 垂直平分线段PQ ，于是得四边形MPCQ 的面积为Rt CPM 面积的2倍，从而得11||||2||||22PQ CM CP MP ⋅=⋅⋅，即2||||||||CP MP PQ CM ⋅===设点(,)M t s ，而(3,0)C ，()240s t t =≥，则22222||(3)29(1)88CM t s t t t =-+=-+=-+≥，当且仅当t =1时取“=”，20,||[8,)t CM ∀≥∈+∞，因此得2410||2CM <≤，即214112||CM ≤-<，得||4PQ ≤<，所以PQ 的取值范围为4).故答案为：)4⎡⎣。

2022-2023学年上海高二数学上学期同步知识点讲练高二数学上学期开学摸底考试卷带讲解

高二数学上学期开学摸底考试卷（沪教版2020）（满分150分，完卷时间120分钟）测试范围：必修二+必修三前两章考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、填空题1．若复数z 满足()2z i z =-（i 为虚数单位），则z =______.【分析】计算出z 再计算模长即可.【详解】()222(1)21iz i z z i iz i z i z i =-⇒=-⇒+=⇒=+.故21i z i ===+【点睛】本题主要考查了复数的运算以及模长运算,属于基础题型.2．已知向量6a =，e 为单位向量，当向量a 、e 的夹角等于45°时，则向量a 在向量e 上的数量投影是________．【答案】【分析】根据向量在向量上投影的数量公式求解.【详解】向量a 在向量e 上的数量投影是||cos ,e 6cos 45a a →→→⋅<>=⨯︒=故答案为：3．若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为_______．【答案】16π【详解】由题意可得，圆柱的高为h=4，不妨设底面圆半径为r,所以24r π=，22216()4V r h ππππ=⋅=⋅⋅=.答案：16π4．空间四边形ABCD 中，AB CD =且AB 与CD 所成角为60°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为__________．【答案】30或60︒【分析】设BD 的中点为H ，连接,EH FH ，利用等腰三角形可求EF 与AB 所成角的大小.【详解】设BD 的中点为H ，连接,EH FH ，因为,BE EC BH HD ==，故1//,2EH CD EH CD =，同理//FH AB ，1//,2FH AB FH AB =，故EHF ∠或其补角为AB 与CD 所成角，而AB 与CD 所成角为60︒，故60EHF ∠=︒或120EHF ∠=︒，若60EHF ∠=︒，因为AB CD =，故EH FH =，故EHF 为等边三角形，故60EFH ∠=︒，因为//FH AB ，故EF 与AB 所成角即为EFH ∠或其补角，故EF 与AB 所成角为60︒，若120EHF ∠=︒，则EHF 为等腰三角形，故30EFH ∠=︒，因为//FH AB ，故EF 与AB 所成角即为EFH ∠或其补角，故EF 与AB 所成角为30，故答案为：30或60︒.5．如图，平面OAB ⊥平面α，OA α⊂，OA AB =，120OAB ∠=︒．平面α内一点P 满足PA PB ⊥，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则tan θ的最大值是_________．【答案】612【分析】作出图形，找出直线OP 与平面OAB 所成的角θ，证出PA ⊥平面PBH ，得出PA PH ⊥，得出点P 的轨迹就是平面α内以线段AH 为直径的圆(A 点除外)，转化成与圆有关的最值问题，即可求出结果.【详解】如图，过点B 作BH OA ⊥，交OA 的延长线于点H ，连接PH ，OP ，取AH 的中点为E ，连接PE ，过点P 作PF OA ⊥，垂足为F ，平面OAB ⊥平面α，且平面OAB 平面OA α=，BH ⊂平面OAB ，PF α⊂，BH α∴⊥，PF ⊥平面OAB ，OP ∴在平面OAB 上的射影就是直线OA ，故AOP ∠就是直线OP 与平面OAB 所成的角θ，即AOP θ∠=，AP α⊂，AP BH ∴⊥，又PA PB ⊥，PB BH B =，PB ，BH ⊂平面PBH ， PA ∴⊥平面PBH ，PH ⊂平面PBH ，PA PH ∴⊥，故点P 的轨迹就是平面α内以线段AH 为直径的圆(A 点除外)， OA AB =，且120OAB ∠=，60BAH ∴∠=，设(0)OA a a =>，则AB a ，从而cos602aAH AB =⋅=， 124aPE AH ∴==，如图，当且仅当PE OP ⊥，即OP 是圆E 的切线时，角θ有最大值，tan θ有最大值，tan θ取得最大值为：a PE OP ===．6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若C ＝105°，a ＝A ＝45°，则b ＝_______【答案】4【分析】由题意可得π6B =，结合sin sin a bA B=运算求解．【详解】由题意可得π6B =根据正弦定理：sin sin a bA B =，则sin 4sin a B b A== 故答案为：4．7．如图，A O B '''是用斜二测画法得到的AOB 的直观图，其中2O A ''=，3O B ''=，则AB 的长度为______.【答案】210【分析】在原图形中作出AB ，然后由勾股定理计算．【详解】如图，在原图形中，2OA =，6OB =，AB ==故答案为：8．已知α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=，1cos 2β=，则()cos αβ-=______【分析】根据角度范围，利用同角三角函数关系式，先确定cos α，sin β的值，在用两角余弦和差公式求解即可.【详解】解：α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α，1cos 2β=3cos ,sin 5αβ∴===314cos()cos cos sin sin 525αβαβαβ∴-=⋅+⋅=⨯+=.9．已知向量()3,6a =，()3,4b =-，则a 在b 方向上的投影向量的坐标为______.【答案】912,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】首先求出a b ⋅，再根据平面向量投影的定义cos ||ba b θ⋅计算即可．【详解】解：向量(3,6)a =，(3,4)b =-，所以92415a b ⋅=-=-，(235b =+，则a 在b 方向上的投影的坐标为151912cos (3,4),5555||||||b a b b a b b b θ⋅-⎛⎫⋅=⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭．故答案为：912,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．10．关于z 的实系数一元二次方程20z bz c ++=的一根为1，则c =__________．【答案】4【分析】由实系数一元二次方程的虚数根成对出现得另一根为1，再由根与系数关系得结论．【详解】由题意方程另一根为1，所以(14c ==．故答案为：4．11．在ABC 中，34AC BC ==，，三角形的面积等于AB 的长为___________.【分析】由面积公式求出sin C ，即可得到C ，再利用余弦定理计算可得；【详解】解：因为3AC =，4BC =且三角形的面积等于所以11sin 34sin 22ABCSab C C ==⨯⨯⨯=，所以sin C = 因为()0,C π∈，所以3C π=或23C π=，当3C π=时，由余弦定理22212cos 916234132c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c ；当23C π=时，由余弦定理22212cos 916234372c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以c =12．给出下列命题：①若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； ②若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行； ③若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直； ④若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；其中所有错误命题的序号为________. 【答案】①③【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断．【详解】垂直于同一条直线的两条直线可能相交、可能平行、也可能异面，①错；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；垂直于同一平面的两个平面可能平行也可能相交，③错；垂直于同一平面的两条直线平行，④正确．故答案为：①③．二、单选题13．为了得到函数()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，需对函数()sin g x x =的图像所作的变换可以为（）A ．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移12π个单位 B ．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，再向右平移12π个单位 C ．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，再向左平移4π个单位 D ．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移4π个单位【答案】B【分析】根据图像变换逐项计算后可得正确的选项.【详解】对于A ，先将()sin g x x =的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移12π个单位，所得图像的解析式为11sin sin 312336y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误；对于B ，先将()sin g x x =的图像上所有的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，再向右平移12π个单位，所得图像的解析式为sin 3sin 3124y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；对于C ，先将()sin g x x =的图像上所有的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，再向左平移4π个单位,所得图像的解析式为3sin 3sin 344y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误；对于D ，先将()sin g x x =的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移4π个单位，所得图像的解析式为11sin sin 34312y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 错误；故选：B.14．下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（） A ．sin y x = B ．sin y x =C ．tan y x =D ．cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【详解】对于A ，sin y x =定义域为R ，()sin sin x x -=-，sin y x ∴=为奇函数，A 错误；对于B ，sin y x =定义域为R ，()sin sin sin x x x -=-=，sin y x ∴=为偶函数，B 正确；对于C ，tan y x =定义域为(),22k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，即定义域关于原点对称，()tan tan x x -=-，tan y x ∴=为奇函数，C 错误；对于D ，cos sin 2y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭定义域为R ，()sin sin x x -=-，cos 2y x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭为奇函数，D错误. 故选：B.15．已知l 、m 、n 是空间三条直线，则下列命题正确的是 A ．若l // m ，l // n ，则m // n B ．若l ⊥m ，l ⊥n ，则m // nC ．若点A 、B 不在直线l 上，且到l 的距离相等，则直线AB // lD ．若三条直线l 、m 、n 两两相交，则直线l 、m 、n 共面【答案】A【详解】分析：由公理4可判断A ，利用空间直线之间的位置关系可判断B ，C ，D 的正误，从而得到答案．详解：由公理4可知A 正确；若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m 与n 相交或异面，故B 错误；若点A 、B 不在直线l 上，且到l 的距离相等，则直线AB∥l或AB 与l 异面，故C 错误；若三条直线l ，m ，n 两两相交，且不共点，则直线l ，m ，n 共面，故D 错误．故选A ．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．16．已知1e ，2e 是平面向量的一个基底，设非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+，给出下列两个命题：①1221//a b x y x y ⇔=；②12120a b x x y y ⊥⇔+=，则（） A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对【答案】C【分析】根据题意，结合向量的共线定理与向量的数量积的计算公式，即可求解. 【详解】由题意可知，1e ，2e 都不为零向量，对于①，因//a b ，所以λa b ，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，消去λ，得1221x y x y =，故①正确；对于②，由a b ⊥，得()()111221220a b x e y e x e y e ⋅=++=，即()221211221221120x x e y y e x y x y e e +++⋅=，因1e ，2e 的夹角与模长都未知，所以12120x x y y +=不一定成立，故②错. 故选：C.三、解答题17．已知关于x 的方程()2250x px p -+=∈R 在复数范围内的两根为1x 、2x ．（1）若p =8，求1x 、2x ；（2）若134i x =+，求p 的值．【答案】（1）143x i =+，243x i =-；（2）6p ．【分析】（1）利用求根公式即可求解. （2）将134i x =+代入方程即可求解.【详解】（1）由题意得，2100360p ∆=-=-<，∴86432i x i ±====±，∴143x i =+，243x i =-．（2）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=，所以1832440p p -=-=，解得6p ．18．在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别是AB ，AC ，BC 边上的点，且满足:::1:2AE EB CF FA CP PB ===（如图1），将AEF 沿EF 折起到1A EF 的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连接1A B ，1A P （如图2）(1)求证：1A E ⊥平面BEP ；(2)求二面角1B A P F --的余弦值．【答案】(1)证明见解析，(2)78-【分析】（1）在图1中，由余弦定理求出EF ，根据勾股定理即可得EF AE ⊥，进而在图2中，可得1A E EF ⊥，又平面1A EF ⊥平面BEP ，从而根据面面垂直的性质定理即可证明1A E ⊥平面BEP ；（2）以EB 、EF 、1EA 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出面1FA P 与面1BA P 的一个法向量，然后利用向量法即可求解二面角1B A P F --的余弦值.(1)证明：由题意，在图1中1AE =，2AF =，又60A ∠=︒，所以由余弦定理可得EF = 所以222AE EF AF +=，所以EF AE ⊥，所以在图2中，1A E EF ⊥，因为二面角1A EF B --为直二面角，即平面1A EF ⊥平面BEP ，又平面1A EF平面BEP EF =，1A E ⊂平面1A EF ，所以1A E ⊥平面BEP ；(2)解：分别以EB 、EF 、1EA 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，则(0E ，0，0)，(2B ，0，0)，(1P 0)，1(0A ，0，1)，()F ，1(0,3,1),(1,0,0)A P F F =-=-，1(2,0,1),(1,3,0)BA BP =-=-，设面1FA P 的法向量为(,,)m x y z =，则1300m A F y z m PF x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1y =，得(0m =，1，设面1BA P 的法向量为(,,)n x y z =，则120n BA x z n BP x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1y =，得(3n =，1，，117cos ,8m n m n m n⋅⨯∴<>===，由图可知二面角1B A P F --为钝二面角，所以二面角1B A P F --的余弦值为78-．19．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2,2m a b =，()cos ,cos n B A =且满足cos cm n C⋅=. （1）求C ；（2）若3c =，求当函数()cos24cos sin f B B C B =-取最小值时ABC 的周长；（3）求sin sin A B 的取值范围．【答案】（1）3π；（2）3+3）30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）先由题中条件，得到2cos 2cos cos ca Bb A C+=，再由正弦定理将该式变形整理，求出cos C ，即可得出角C ；（2）先将()f B 化简整理，得到()2132sin 22f B B ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，确定其取最小值时，2B π=，进而可求出各边长，得到三角形的周长；（3）先由（1）得到23B A π=-，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将所求式子化为2sin sin sin sin 3A B A A π⎛⎫=-⎪⎝⎭，化简整理后，利用三角函数的性质，即可求出其范围.【详解】（1）由题意可得2cos 2cos cos cm n a B b A C⋅=+=，根据正弦定理可得sin 2sin cos 2sin cos cos C A B B A C+=，则()sin 2sin cos CA B C +=，所以sin 2sin cos C C C =，又C 为三角形内角，所以()0,C π∈，因此1cos 2C =，所以3C π=；（2）因为()2213cos 24cos sin 12sin 2sin 2sin 22f B B C B B B B ⎛⎫=-=--=-++ ⎪⎝⎭，由3C π=可得203B π<<，因此0sin 1B <≤；所以当且仅当sin 1B =时，()2132sin 22f B B ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭取得最小值，此时2B π=；因为3c =，所以sin cb C==cos a b C ==则ABC 的周长为3a b c ++=+（3）因为3C π=，所以23B A π=-，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此21sin sin sin sin sin sin 32A B A A A A A π⎫⎛⎫=-=+⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭()211112sin 21cos 2sin 24244264A A A A A π⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因此1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以113sin 20,2644A π⎛⎫⎛⎤-+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即sin sin A B 的取值范围是30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】思路点睛：求解三角形的相关问题时，一般先利用正弦定理或余弦定理将题中条件进行转化，求出所需角或边；再结合题中条件，进行求解；有时也会利用三角函数的性质或基本不等式求解最值或范围问题.20．已知函数()1sin 224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R . (1)求()0f 的值；(2)求()f x 的最小正周期；(3)求()f x 的单调减区间.【答案】(2)π；(3)588k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈）【分析】（1）直接代入计算；（2）结合正弦函数的周期求解；（3）由正弦函数的单调性求解．(1)1(0)sin 24f π==； (2)22T ππ==； (3)3222242k x k πππππ+≤+≤+，解得588k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，所以减区间是588k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈）． 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，已知PD ⊥平面ABCD ，且PD AD =，E 为PC 中点．(1)证明：//PA 平面BDE ；(2)证明：平面PCD ⊥平面PBC ．【分析】（1）设AC 与BD 交于O 点，连结EO ，易证//OE PA ，再利用线面平行的判断定理即可证得答案；（2）利用线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面PCD ，再由面面垂直的判断定理即可.(1)连接AC 交BD 于O ，连接OE因为底面ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点，因为在PAC △中，E 是PC 的中点，所以//OE PA ，因为OE ⊂平面,EDB PA ⊄平面EDB ，所以//PA 平面EDB(2)侧棱PD ⊥底面,ABCD BC ⊂底面ABCD ，所以PD BC ⊥，因为底面ABCD 是正方形，所以DC BC ⊥，因为PD 与DC 为平面PCD 内两条相交直线，所以BC ⊥平面PCD ，因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PDC ⊥平面PBC .。

2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第4章数列(典型题专练)解析

第4章数列典型题专练一、单选题1．（2020·上海金山·高一期末）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 分别满足下列各式，其中数列{}n b 必为等差数列的是（） A ．||n n b a = B ．2n n b a =C ．1n nb a =D ．2nn a b =-【答案】D【分析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，选项A,B,C,都不满足1n n b b --=同一常数，所以三个选项都是错误的；对于选项D ，1112222n n n n n n a a a a d b b -----=-+==-, 所以数列{}n b 必为等差数列. 故选D【点睛】本题主要考查等差数列的判定和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2．（2020·上海·高三专题练习）等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于 A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】C试题分析：利用等比数列的性质可得a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10．再利用对数的运算性质即可得出．解：∵数列{a n }是等比数列，a 4=2，a 5=5， ∴a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10． ∴lga 1+lga 2+…+lga 8 =lg （a 1a 2…×a 8） ==4lg10 =4．故选C ．考点：等比数列的前n 项和．3．（2020·上海交大附中高一期中）已知等差数列{}n a 、{}n b ，其前n 项和分别为n S 、n T ，2331n n a n b n +=-，则1111S T = A ．1517B ．2532C ．1D ．2【答案】A【分析】利用等差数列的前n 项和公式以及等差中项的性质得出611116a S Tb =，于此可得出结果．【详解】由等差数列的前n 项和公式以及等差中项的性质得()11111611112a a S a +==，同理可得11611T b =，因此，6611116611263151136117a a S Tb b ⨯+====⨯-，故选A ．【点睛】本题考查等差数列前n 和公式以及等差中项性质的应用，解题关键在于等差数列下标性质的应用，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题． 4．（2020·上海·高二课时练习）共有10项的数列{}n a 的通项()*200710,110200810nn n a n N n -=∈-，则该数列中最大项､最小项的情况是 A ．最大项为1a ､最小项为10a B ．最大项为10a ､最小项为1a C ．最大项为6a ､最小项为5a D ．最大项为4a ､最小项为3a【答案】D【分析】把200710200810nn na -=-化为11200810nn a =--，再根据单调性可得该数列的最大项和最小项.【详解】20071011200810200810n n n na -==---，因为lg1000lg 2008lg10000<<，故3lg 20084<<当2n ≥时，()()111111910200810200810200810200810n n n n n n n a a ----⨯=-=------当23n ≤≤时，120081020080,010n n --->>，故10n n a a --<即1n n a a -<且1n a <对任意的13n ≤≤恒成立. 当5n ≥时，120081020080,010n n ---<<，故10n n a a --<即1n n a a -<且1n a >对任意的4n ≥恒成立. 所以数列{}n a 中的最小项为3a ，最大项为4a . 故选：D.【点睛】本题考查数列的最大项和最小项，注意根据数列的单调性来讨论，本题属于中档题.5．（2020·上海·高三专题练习）已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（） A．( B ．()1,4 C ．()1,2 D ．()1,+∞【答案】A【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出111lim 1n n a S q a →∞==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于11lim n n S a →∞=，则10q -<<或01q <<， ()111n n a q S q-=-，则()11111lim lim11n n n n a q a S qq a →∞→∞-===--，得211q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2112a <<，11a >，解得1a <<②当01q <<，则21011a <-<，得2101a <<，11a >，则2101a <<不成立.综上所述，1a的取值范围是(. 故选A.【点睛】本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题6．（2020·上海市南洋模范中学高三期中）公差不为零的等差数列{}n a 中,125a a a 、、成等比数列,且该数列的前10项和为100，则数列{}n a 的通项公式为n a =_______ 【答案】21n -【分析】设等差数列的公差为d ,0d ≠.由125a a a 、、成等比数列可以得到等式,可以知道首项与公差的关系,再根据等差数列前n 和公式,结合已知该数列的前10项和为100, 可以得到一个等式,可以求出公差和首项,最后写出{}n a 的通项公式.【详解】设等差数列的公差为d ,0d ≠.因为125a a a 、、成等比数列,所以有2251a a a =⋅,因此21111()(4)2a d a a d d a +=⋅+⇒=,因为该数列的前10项和为100,所以有1111001010912212n a d a d a n =+⨯⨯⇒=⇒=⇒=-.故答案为21n -【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比中项的应用,考查了等差数列前n 和公式,考查了数学运算能力.7．（2020·上海·高二课时练习）从等差数列84，80，76，…的第____项开始，以后各项均为负值．【答案】23【分析】根据数列的前几项得出等差数列的首项与公差，求出数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意可知，等差数列84，80，76，…的首项为184a =，公差为80844d =-=-，所以该数列的通项公式为1(1)844(1)884n a a n d n n =+-=--=-，令0n a =，得22n =，所以该数列从第23项开始，以后各项均为负值.故答案为：23【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，属于基础题.8．（2020·上海市嘉定区第一中学高三期中）已知数列{}n a 的通项公式为2n a an n =+，若满足123a a a <<，且当8n ≥时，始终满足1n n a a +≥，则实数a 的取值范围是_________ 【答案】11517a -<-【分析】求出二次函数对称轴，开口向下，再由题意得出对称轴的范围，解出即可．【详解】解：2n a an n =+的对称轴为12x a=-，开口向下，又当8n 时，1n n a a +，123a a a <<，∴5117222a <-，11517a ∴-<-，故答案为：11517a -<-． 9．（2020·上海·高二课时练习）在数列{}n a 中，13a =且对任意大于1的正整数n，点在直线0x y -=上，则n a =________.【答案】3n 2【分析】根据点在直线上，点的坐标满足直线的方程，代入整理，得出首项和公差，写出数列的通项公式，两边平方，即可得解．【详解】解：∵点在直线0x y -=，=∴()1n -=，即a n ＝3n 2 故答案为3n 2【点睛】本题考查等差数列，等差数列的通项和性质，是基础题．10．（2020·上海·高二课时练习）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a 、3a 、9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++的值是______.【答案】1316【分析】根据1a 、3a 、9a 成等比数列得出1a 与d 的等量关系，代入可求得1392410a a a a a a ++++的值.【详解】等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a 、3a 、9a 成等比数列，2319a a a ∴=，即()()211128a d a a d +=+，解得1a d =，()11n a a n d nd ∴=+-=，因此，139********241016a a a d d d a a a d d d ++++==++++.故答案为：1316.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，同时也考查了等比中项性质的应用，考查计算能力，属于基础题.11．（2020·上海·高二课时练习）已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，则其前15项和15S =_____．【答案】690【分析】利用首项与公差结合等差数列的前n 项和公式，分别表示出1020,S S 即可求解出首项与公差，代入前n 项和公式即可求解15S 的值. 【详解】设该等差数列的首项为1a ，公差为d ，则101201109201910310,201220,22S a d S a d ⨯⨯=+==+= 即11931,21961,2a d a d ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得14,6,a d =⎧⎨=⎩ 所以151151415690.2S a d ⨯=+= 故答案为：690【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，属于基础题.12．（2020·上海市嘉定区第一中学高三期中）已知等差数列{}n a 的各项均为正整数，且92020a =，则1a 的最小值是________【答案】4【分析】若等差数列{}n a 的各项均为正整数，则数列{}n a 单增，公差d N ∈，从而表示出19820208a a d d =-=-，根据其增减性，求得最小值.【详解】若等差数列{}n a 的各项均为正整数，则数列{}n a 单增，则公差d N ∈，故19820208a a d d =-=-为正整数，1a 关于d 单减， 202025284=⨯+，则当252d =时，故1a 取得最小值为4，故答案为：413．（2021·上海市进才中学高二阶段练习）在数列{}n a 中，对任意n *∈N ，n a k =，当且仅当122,k k n k N +≤<∈，若满足2481652m m m m m a a a a a ++++≥，则m 的最小值为___________. 【答案】512【分析】不妨设1*22,k k m k N +≤<∈，则12*222,k k m k N ++≤<∈，从而得到2m a ，同理求出4m a ，8m a ，16m a ，利用已知的不等式求解，求出k 的最小值，从而得到m 的最小值．【详解】不妨设1*22,k k m k N +≤<∈，*m N ∈，由题意可得，m a k =，因为12*222,k k m k N ++≤<∈，所以21m a k =+，同理可得，42m a k =+，83m a k =+，164m a k =+，⋯所以24816(1)(2)(3)(4)510m m m m m a a a a a k k k k k k ++++=++++++++=+，因为2481652m m m m m a a a a a ++++≥，所以51052k +≥，解得425k ≥，又*k N ∈，所以k 的最小值整数解为9，故m 的最小值为92512=．故答案为：512．14．（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于________．【答案】2n【分析】由数列{a n ＋1}也是等比数列，建立关于q 的方程，即可求解【详解】因为数列{a n }为等比数列，则12n n a q =－，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则3，2q ＋1，2q 2＋1成等比数列，22)213(2)1(q q +=⨯+，即q 2－2q ＋1＝0，解得：q ＝1，即2n a =，所以2n S n =．故答案为：2n .15．（2020·上海市行知中学高二阶段练习）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．【答案】63n a n =-【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.16．（2020·上海·模拟预测）若无穷数列{}n a 的所有项都是正数，且满足()23n n n *+∈=N ，则1221lim231n n a a a n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪+⎝⎭______．【答案】2【分析】先由作差法求出数列{}n a 的通项公式为()241n a n =+，即可计算出12231na a a n ++++，然后利用常用数列的极限即可计算出1221lim 231n n a a a n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪+⎝⎭的值.【详解】当1n =4=，可得116a =；当2n ≥23n n =+，()()221312n n n n =-+-=+-，上式-()21n =+，得()241n a n =+，116a =也适合()241n a n =+，则()()241n a N n n *=+∈，()411na n n ∴=++.所以，()()()1284481241232312nn n a a a n nn n +++++=++++==++.因此，()12222313lim lim lim 212231n n n n n n a a a n n n n →∞→∞→∞+⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+==+= ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为：2.【点睛】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.17．（2020·上海·高三专题练习）在数列{}n a 中，已知11a =，1n n a a tn +=+（*n N ∈，t 为非零常数），且1a 、2a 、3a 成等比数列，则n a =______.【答案】222n n -+【分析】由1a 、2a 、3a 成等比数列求出非零实数t 的值，再利用累加法可求得n a . 【详解】11a =，1n n a a tn +=+（*n N ∈，t 为非零常数），则211a a t t =+=+，32231a a t t =+=+，由于1a 、2a 、3a 成等比数列，则2213a a a =，即()()21131t t +=⨯+，整理得20t t -=，0t ≠，解得1t =，1n n a a n +∴-=， ()()()()()()121321*********n n n n n a a a a a a a a n -+--∴=+-+-++-=++++-=+222n n -+=.故答案为：222n n -+.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项，同时也考查了利用等比中项的性质求参数，考查计算能力，属于中等题.18．（2021·上海市行知中学高二期中）若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大．【答案】8试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大. 考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题.三、解答题19．（2020·上海市进才中学高一期中）数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负． (1)求数列的公差； (2)求前n 项和S n 的最大值．【答案】（1）4d =-；（2）78【分析】（1）根据670,0a a ><可得d 的范围，再根据d 为整数得到d 的值. （2）根据项的符号特征可得6S 最大．【详解】(1)由已知，得6152350a a d d =+=+>，7162360a a d d =+=+<.解得232356d -<<-. 又d Z ∈，∴4d =-.(2)∵0d <，∴数列{}n a 是递减数列．又∵60a >，70a <，∴当6n =时， n S 取得最大值，为()6656234782S ⨯=⨯+⨯-=. 【点睛】一般地，等差数列的前n 项和n S 的最值可以通过等差数列的通项的符号来确定，如果{}n a 满足0m a <，10m a +>，则n S 有最小值且最小值为m S ；如果{}n a 满足0m a >，10m a +<，则n S 有最大值且最大值为m S .20．（2020·上海市青浦高级中学高一期末）已知数列{}n a 满足156a =，()*11133n n a a n N +=+∈.（1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）1123n na =+. 【分析】（1）利用数列{}n a 的递推公式证明出11212n n a a +--为非零常数，即可证明出数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）确定等比数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的首项和公比，求出数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可求出n a .【详解】（1）()*11133n n a a n N +=+∈，111111111132332362111132222n n n n n n n n a a a a a a a a +⎛⎫-+---⎪⎝⎭∴====----，因此，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由于115112623a -=-=，所以，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13为首项，以13为公比的等比数列，111112333n n na -⎛⎫∴-=⨯=⎪⎝⎭，因此，1123nn a =+. 【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了数列通项的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21．（2020·上海·高二课时练习）若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于多少？【答案】9【分析】利用韦达定理结合0,0p q >>可判断0,0a b >>，根据等比中项、等差中项建立适当的方程即可求解.【详解】由韦达定理得,a b p a b q +=⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故24(2)4,a b b a⋅=-==．当,,2a b -适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a=-．解得1,4a b ==．当4a 是等差中项时，82a a=-．解得4,1a b ==．综上所述，5,4a b p ab q +====，9p q ∴+=. 【点睛】本题主要考查等比中项与等差中项，属于基础题.22．（2020·上海·高二课时练习）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. （1）求证：数列{a n ＋1}是等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）a n ＝2n －1.【分析】（1）利用等比数列的定义可证明数列{a n ＋1}是等比数列；（2）求出数列{a n ＋1}的通项公式，进而可得数列{a n }的通项公式．【详解】（1）∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，∴a n ＋1≠0.∴111n na a +++＝2(n ∈N ＋)．∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）知a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.23．（2020·上海市三林中学高二期末）已知等差数列{}n a 中，第2项为6，前5项和为45．（1）求{}n a 通项公式；（2）若2nn b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）3n a n =；（2）1326n n T +=⋅-．【分析】（1）先设等差数列的公差为d ，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式；（2）根据（1）的结果，得到n b ，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为216a a d =+=，51545452S a d ⨯=+=，所以11629a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,3a d ==，所以()3313n a n n =+-=；（2）由（1）可得，232n nn b a ==⨯，所以数列{}n b 的前n 项和()1321232612nn n S +⨯-==⨯--.【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式，等比数列的求和公式,关键是利用首项和公差表示已知条件，构造方程组求得首项和公差，第二问中关键注意准确使用等比数列的求和公式计算.24．（2022·上海·高三专题练习）已知数列{}n a 中，1n a >，21log 3=a ，且数列中任意相邻两项具有2倍关系.记n a 所有可能取值的集合为n A ，其元素和为()*n S n N ∈．（1）证明2A 为单元素集，并用列举法写出5A ，6A ；（2）由（1）的结果，设*k N ∈，归纳出21k A +，22k A +（只要求写出结果），并求21k S +，指出22k S +与21k S +的倍数关系．【答案】（1）证明见解析，{}5111,4,16A a a a =，{}61112,8,32A a a a =；（2）答案见解析. 【分析】（1）由1n a >，()12log 31,2a =∈，且数列中任意相邻两项具有2倍关系，可得2A 为单元素集，进而可列举出5A ，6A ；（2）由（1）的结果，归纳得21k A +，22k A +，并利用等比数列求和公式计算出21k S +，进而得出22k S +与21k S +的倍数关系．【详解】（1）证明：∵()12log 31,2a =∈，数列中任意相邻两项具有2倍关系，∴2112a a =或12a ．∵1112a <，而1n a >，∴212a a =． ∴{}212A a =为单元素集．由此，得{}311,4A a a =，{}4112,8A a a =，则{}5111,4,16A a a a =，{}61112,8,32A a a a =．（2）由（1）的结果，归纳得{}211111,4,16,,4kk A a a a a +=⋅⋅⋅，{}2211112,8,32,,24k k A a a a a +=⋅⋅⋅⨯．112111111241414164log 333k k kk S a a a a a +++--=+++⋅⋅⋅+==，因为21k A +中的每一个元素的两倍构成的集合等于22k A +，所以22212k k S S ++=．25．（2020·上海·高二课时练习）已知函数()()222f x x n x n =+--的图象与x 轴正半轴的交点为0(),n A a ，1,2,3,n =⋯．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令13(1)2nna a n nb λ-=+-⋅⋅（n 为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n ，都有1n n b b +>？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）n a n =；（2）存在，1-.【分析】（1）把点A 带入()()222f x x n x n =+--即可（2）根据（1）的{}n a 计算出n b 、1n b +，再解不等式即可【详解】（1）设()0f x =，()2220x n x n +--=得12x =-，2x n =．所以n a n = ；（2）()1312n n n n b λ-=+-⋅⋅，若存在0λ≠，满足1n n b b +>恒成立即：()()111312312nn n n n n λλ-+++-⋅⋅>+-⋅⋅，()11312n n λ--⎛⎫>-⋅ ⎪⎝⎭恒成立当n 为奇数时，1312n λλ-⎛⎫>⇒< ⎪⎝⎭当n 为偶数时，13322n λλ-⎛⎫>-⇒>- ⎪⎝⎭所以312λ-<<，故：1λ=- .【点睛】本题考查了数列通项的求法，以及不等式恒成立的问题，不等式恒成立是一个难点，也是高考中的常考点，本题属于较难的题．26．（2022·上海·高三专题练习）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得S n≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．【答案】（1）a n=（﹣）×（﹣2）n（2）存在，见解析【详解】（1）设数列{a n}的公比为q，显然q≠1，由题意得，解得q=﹣2，a3=12，故数列{a n}的通项公式为a n=a3•q n﹣3=12×（﹣2）n﹣3=（﹣）×（﹣2）n．（2）由（1）有a n=（﹣）×（﹣2）n．若存在正整数n，使得S n≥2013，则S n==1﹣（﹣2）n，即1﹣（﹣2）n≥2013，当n为偶数时，2n≤﹣2012，上式不成立；当n为奇数时，1+2n≥2013，即2n≥2012，则n≥11．综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k≥5），且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1（k≥5）}．27．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）已知无穷数列满足()* 1Nn nnqa p a na+=⋅+∈，其中p，q均为非负实数且不同时为0．（1）若12p=，2q，且34120a=，求1a的值；（2）若15a =，0p q ⋅=，求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）1或4；（2）当0p =，2525,2110(N )25,210n n qn q n k S k n qn n k +++-⎧=-⎪⎪=∈⎨+⎪=⎪⎩，当0q =，()51,115,1n n p p S p n p ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩．【分析】（1）根据已知条件得到关于2a 的方程，求得2a ，进而求得1a 的值；（2）由已知可得0,0p q =>或0,0q p =>，分情况利用周期数列和等比数列求和公式进行计算.【详解】(1)∵12p =，2q ，∴1122n n na a a +=⋅+，21240n n n a a a +-+=， ∵34120a =，∴222414010a a -+=，解得252a =或285a =,当252a =时，211540a a -+=，解得11a =或14a =； 285a =时，21116405a a -+=，无解. ∴11a =或14a =；（2）∵0p q ⋅=，且p ，q 均为非负实数且不同时为0． ∴0,0p q =>或0,0q p =>，当0,0p q =>时，()*1N n nqa n a +=∈，由15a =，∴25q a =，325q a a ==，…，()5,21,25n n k a k N qn k +=-⎧⎪=∈⎨=⎪⎩, 2525,2110(N )25,210n n qn q n k S k n qn n k +++-⎧=-⎪⎪=∈⎨+⎪=⎪⎩;当0,0q p =>时，1n n a pa +=,是以15a =为首项，以p 为公比的等比数列，()51,115,1n n p p S p n p ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩.28．（2020·上海·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()4210n n S n a λλ=++≠.（1）求证：数列{}n a 等差数列；（2）当1λ=时，记212310n na nb +⋅=，是否存在正整数p 、()1q p q <<，使得1b 、p b 、q b 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数对(),p q ；若不存在，请说明理由；（3）若数列1k a 、2k a 、3k a 、、nk a 、()11k =是公比为3的等比数列，求最小正整数m ，使得当n m ≥时，32nn k >. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，有且只有一个为()2,3；（3）6. 【分析】（1）由()421n n S n a λ=++得出()11423n n S n a λ++=++，两式相减，推导出()1122n n n a a a n -++=≥，利用等差中项法可证得数列{}n a 是等差数列；（2）由1λ=，得出()4211n n S n a =++，求出1a 、2a ，可求出等差数列{}n a 的通项公式，进而可得出310n nnb =，假设存在正整数p 、()1q p q <<，使得21p q b bb =，化简得出21333qp p q =+，变形得出21333q p p q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对p 的取值进行分类讨论，结合数列的单调性的p 、q 的值；（3）求出1a 、2a ，可求出等差数列{}n a 的通项公式，由题意得出nk a 的表达式，进而可得出1312n n k -+=，设3313112632n n n n n n c k -⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，计算得出10c >，20c <，30c <，40c <，50c <，60c >，设()31163n n n P n -=-≥，利用定义证明数列{}n P 的单调性，由此可证得当6n ≥时，0n c >，进而可证得结论成立.【详解】（1）由题意得()()11423421n n nn S n a S n a λλ++⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，两式相减得()()()121212n n n a n a n +-=+≥，则有()()()123212n n n a n a n --=-≥，所以()()()()114221212n n n n a n a n a n -+-=-+-≥.因为210n ->，所以()1122n n n a a a n -++=≥，故数列{}n a 为等差数列；（2）因为1λ=，()4211n n S n a ∴=++，所以11431S a =+，解得11a =；22451S a =+，即224451a a +=+，解得23a =. 所以数列{}n a 的公差为2，所以21n a n =-，故310n nnb =.假设存在正整数p 、()1q p q <<，使得1b ，p b ，q b 成等比数列，则21333101010p qp q ⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，于是21333q p p q =+（*），所以21333q pp q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当2p =时，21339q q q -=⋅=，则3q =，所以23p q =⎧⎨=⎩是方程（*）的一组解；当3p ≥且*∈p N 时，因为()11212240333p p p p p p+++--=<，所以，数列23p p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭在{}3,p p p N *≥∈上单调递减，所以32123103333p p ⨯-≤-<，此时方程（*）无正整数解. 综上，满足题设的数对(),p q 有且只有一个，为()2,3；（3）由题意得11224345S a S a λλ=+⎧⎨=+⎩，解得123a a λλ=⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的公差212d a a λ=-=，所以()()1121n a a n d n λ=+-=-，故11k a a λ==，所以11133n n n k k a a λ--=⋅=.又因为()21n k n a k λ=-，所以1213n n k --=，即1312n n k -+=.记313313131122632n n n n n n n n c k --⎛⎫-+=-==-+ ⎪⎝⎭，则10c >，20c <，30c <，40c <，50c <，61(2432161)02c =-+>，猜想：当6n ≥时，0n c >.验证如下：记()31163n n n P n -=-≥，则()()()()33323221111123312523213333n n n n nn n n P P n n n n n n n +-+⎡⎤-=-=---=-+--+⎣⎦ ()()()2125221103n n n n n ⎡⎤=-+-++>⎣⎦，所以数列{}n P 单调递增，故621610243n P P ≥=->，所以0n c >，故最小正整数m 的值为6.【点睛】本题考查等差数列的证明，同时也考查了数列中的探索性问题与数列单调性的问题，考查了等比中项性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题. 29．（2022·上海·高三专题练习）在数列{}n a 中，已知12a =，112n n n n a a a a ++=-（n *∈N ）．（1）证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）记12n n n na ab +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使得 1.999n S >的整数n 的最小值；（3）是否存在正整数m 、n 、k ，且m n k <<，使得m a 、n a 、k a 成等差数列？若存在，求出m 、n 、k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）不存在，证明见解析.【分析】（1）证明数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，即转化变形方向为111n a +-与11n a -的关系.首先分离1n a +与n a ，然后两边同取倒数，再同减去1，即可得证；（2）先由(1)结论求出n a ，再化简12n n n na ab +=，根据分式形式，裂项求和得n S ，求解不等式，估值可得整数n 的最小值；（3）假设存在正整数m 、n 、k ，使得m a 、n a 、k a 成等差数列，得到m 、n 、k 的等量关系，根据整数性质，等式左偶右奇不可能成立．【详解】（1）证明：由112n n n n a a a a ++=-，得121n n n a a a +=+，从而11111222n n n n a a a a ++==+， 11111111222n n n a a a +⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭，又111102a -=-≠，故数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）解：由(1)得，111111222n n n a -⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，故221nn n a =-，所以11112112()2(21)(21)2121n n n n n nn n n a a b ++++===-----， 1223111111112222221212121212121n n n n S ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令122 1.99921n +->-，则122001n +>，解得2log 20011n >-，210log 200111<<，29log 2001110∴<-<. 故使得 1.999n S >的整数n 的最小值为10；（3）解：假设存在正整数m 、n 、k ()m n k <<满足题意，则2n m k a a a =+，即2222212121n m kn m k ⋅=+---，即12(21)(21)2(21)(21)2(21)(21)n m k m n k k n m +--=--+-- 两边同除以2m 得，12(21)(21)(21)(21)2(21)(21)n m m k n k k m n m -+---=--+-- (*)由m n k <<得，2k m -≥，21n m -+≥；所以(21)(21)n k --为奇数，而12(21)(21)nm m k -+--、2(21)(21)k m n m ---均为偶数，故(*)式不能成立；即不存在正整数m 、n 、k ，且m n k <<，使得m a 、n a 、k a 成等差数列. 【点睛】数列常见裂项形式：（1=-（2）21111()4122121n n n =---+；（3）1111(2)(1)(1)2(1)(1)n n n n n n n n ⎡⎤=-≥⎢⎥+--+⎣⎦；（4）11211(21)(21)2121n n n n n ++=-----.。

(沪教版2022选修二)2022年上海高二数学同步讲义-第1讲乘法原理和加法原理(学生版)

第1讲乘法原理和加法原理考点定位精讲讲练一、乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有nm 种不同的方法．那末完成这件事共有12nN m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．二、加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有nm 种不同的方法．那末完成这件事共有12nN m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．三、加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那末计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那末计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．考点一：乘法原理例1．（2022·上海·高三专题练习）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出遨游，约定每【注意】应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的连续性；完成一件事有若干类方法，每类方法能独立完成这件事，则符合加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性.人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那末甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（）A．29B．23C．14D．12例2．（2022·上海·高三专题练习）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（）A．14条 B．12条 C．9条 D．7条例3．（2022·上海·高二专题练习）现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（） A．1024种 B．1023种 C．1535种 D．767种例4.．（2022·上海市七宝中学高二期中）在狂欢节上，有六名同学想报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，每一个项目都有人报名，则共有__________种不同的报名方法．例5．（2022·上海市建平中学高二期中）用1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是________（结果用数字作答）例6．（2022·上海·复旦附中高二期中）甲､乙､丙三个人玩“剪刀､石头､布”游戏一次游戏中可以浮现的不同结果数为___________种.例7．（2022·上海·复旦附中高二期中）360的正约数共有___________个.例8．（2022·上海师范大学第二附属中学高二阶段练习）270的不同正约数共有___________个.例9．（2022·上海·复旦附中高二期中）2n个人排成一个n行，n列的方阵，现要从中选出n个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有___________种不同的选法.例10.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．例11.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那末函数解析式为2y x=-，值域为{19}--，的“同族函数”共有（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个例12.关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？【巩固训练】1．如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那末不同的安排方法共有种．2．高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一位男生和一位女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．3．4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起；（2）女生互不相邻；（3）男女生相间；（4）女生按指定顺序罗列． 4．7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有种．5．远洋轮一根旗杆上用红、蓝、白三面旗帜中，一面，二面或者三面表示信号，则最多可组成不同信号有___________种．6．六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？7．三名男歌手和两名女歌手联合举行一场演唱会,演出时要求两名女歌手之间恰有一位男歌手,则共有出场方案种．8．从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x ym n+=中的m和n，则能组成落在矩形区域{()|||11B x y x=<，，且||9}y<内的椭圆个数为（）A．43B．72C．86D．909．从集合{4321012345}----，，，，，，，，，中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（）A．10B．32C．110D．22010．某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（）A．90个 B．99个 C．100个 D．112个考点二：加法原理例1．（2022·上海·高三专题练习）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图；如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那末可以表示的三位数的个数为（）A．46B．44C．42D．40例2．（2022·上海·高二专题练习）如图，在某海岸P 的附近有三个岛屿Q ，R ，S ，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不浮现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.A．24种 B．20种 C．16种 D．12种例3.（2022·上海·复旦附中高二期中）学校组织春游活动，每一个学生可以选择去四个地方：崇明､朱家角､南汇和嘉定，有四位同学恰好分别来自这四个地方，若他们不去家乡，且分别去了不同地方，则四位同学去向的所有可能结果数为___________.例4．（2022·上海交大附中高二期中）已知在矩形ABCD 中，72AB =，56AD =，若将AB 边72等分，过每一个等分点分别作AD 的平行线，若将AD 边56等分，过每一个等分点分别作AB 的平行线，则这些平行线把整个矩形分成为了边长为1的7256⨯个小正方形，于是，被对角线AC 从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有AC 上的点）共有______个．例5．（2022·上海徐汇·高二期末）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________例6.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则nm等于（）A.0B.41C.21D.43例7.用100元钱购买2元、4元或者8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?例8.袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有____种可能．【巩固训练】1．从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？2．高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一位学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．3．一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序挨次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着挨次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有________种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．4．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．6485．用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．6．圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是．7．1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于26的数共有多少个?8．2022的数字和是2+0+0+7=9，问：大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?考点三：综合应用例1.用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）例2.若自然数n使得作竖式加法(1)(2)++++均不产生进位现象．则称n为“可连n n n数”．例如：32是“可连数”，因323334++不产生进位现象；23不是“可连数”，因++产生进位现象．那末，小于1000的“可连数”的个数为（）232425A．27B．36C．39D．48例3.由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？例4.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或者“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A．2000B．4096C．5904D．8320例5.如图，一环形花坛分成A B C D，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48例6.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）例7.分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．例8.某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A 1、B 1、C 1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）例9.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为129，，，的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种．A．72B．108C．144D．192【巩固训练】1．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有种不同的送书方法．2．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（）A.12种B. 24种C. 36种D. 48种3．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那末不同的插法种数为（） A．504 B．210 C．336 D．1204．足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那末一个队打14场共得19分的情况有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种5．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市遨游，要求每一个城市有一人遨游，每人只遨游一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎遨游，则不同的选择方案共有（）A．300种 B．240种 C．144种 D．96种9876543216．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部份（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部份栽种一种且相邻部份不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种．（以数字作答）7．如图所示,问从A到D每次不许走重复的路,共有多少种走法?(注:每次的路线一个地方只能经过一次)8．球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？一、单选题1．（2022·上海·高二专题练习）从集合{}1,2,3,4,,15中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（）个A．98 B．56 C．84 D．492．（2022·上海·高三专题练习）现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（） A．1024种 B．1023种 C．1536种 D．1535种3．从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形的组数是（）A .208B .204 C.200D.196二、填空题4．（2022·上海·高二专题练习）一个三位数，其十位上的数字小于百位上的数字，也小于个位上的数字，如523，769等，这样的三位数共有________个．5．（2022·上海·高二专题练习）请列举出用0，1，2，3，4这5个数字所组成的无重复数字且比3000大的，且相邻的数字的奇偶性不同的所有四位数奇数，它们分别是______. 6．（2022·上海市复兴高级中学高三期中）有4位教师在同一年级的4个班级各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位教师都不能在本班监考，则监考的方法数有_______种. 7．（2022·上海·高二专题练习）在所有的两位数中，个位上的数字小于十位上的数字的两位数有________个.8．（2022·上海交大附中高三开学考试）如图，将网格中的三条线段沿网格线上、下或者左、右平移，组成一个首尾相连的三角形，若最小的正方形边长为1格，则三条线段一共至少需要挪移__________格.9．（2022·上海·高二专题练习）乘积（a 1+a 2+a 3）（b 1+b 2+b 3+b 4）（c 1+c 2+c 3+c 4+c 5）展开后共有_____项．10．（2022·上海中学高二阶段练习）将1，2，3填入33 的方格中，要求每行､每列都没有重复数字，如图是其中一种填法，则不同的填写方法共有___________种.11．（2022·上海宝山·高二期末）640的不同正约数共有______个12．（2022·上海·高三专题练习）一个三位数，个位､十位､百位上的数字挨次为x y z ､､，当且仅当y x >且y z >时，称这样的数为“凸数”(如341)，则从集合{}1,2,3,4,5中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为___________.13．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种．（以数字作答）14．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_____________种．三、解答题15．（2022·上海市奉贤中学高二期中）现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人. (1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？ (2)每一个年级选一位组长，有多少种不同的选法？(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？16．在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？17．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？⑤④③②①。

2022上海高二数学考试满分攻略(沪教新版)第16讲数列的概念与性质及利用递推公式表示数列练习

第16讲数列的概念与性质及利用递推公式表示数列(核心考点讲与练)一、数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列二、数列的表示方法解析法、图像法、列举法、递推法. 三、数列的分类有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列； 1. 有穷数列:项数有限. 2. 无穷数列：项数无限.3. 递增数列:对于任何n N *∈,均有1n n a a +>.4. 递减数列:对于任何n N *∈,均有1n n a a +<.5. 摆动数列:例如: -1,1,-1,1,-1,1, …….6. 常数数列:例如:6,6,6,6,…….四、数列的通项公式定义：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41，1.414，….；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .一、数列的概念与性质na【例1】（2020·上海·高二课时练习）有下列命题： ①数列1，2，3与数列3，2，1是两个不同的数列； ②用集合{1,2,3}中的所有元素只能构造出6个不同的数列；③集合(){}*|2x x n n N =∈可以表示由正偶数按从小到大的次序排列所得到的数列其中假命题有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例2】（2020·上海·高二课时练习）已知数列{}n a 满足()11113131n n n a a a --=+-，若要使{}n a 为k 项的有穷数列，则1a = A ．1113k -- B ．113k- C ．1113k +- D ．2113k +- 【例3】（2020·上海·高二课时练习）下列四个命题： ①任何数列都有通项公式；②给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列； ③给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式； ④数列的通项公式n a 是项数n 的函数其中正确的有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例4】（2021·上海·复旦附中高二期末）已知数列{}n a 的通项公式为211n a a n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（）A ．[]40,25--B ．[]40,0-C ．[]25,25-D ．[]25,0-【例5】（2020·上海·高二课时练习）已知数列{}n a 满足：6(3)3,7,7n n a n n a an ---≤⎧=⎨>⎩*()n N ∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是A ．9(,3)4B ．9[,3)4C ．(1,3)D ．(2,3)【例6】（2020·上海·高二课时练习）数列{}n a 满足*34,[1,10]()20,[11,)n n n a n N n n -∈⎧=∈⎨-+∈+∞⎩，则n a 的最大值为_____.【例7】（2020·上海·高二课时练习）已知数列{}n a 的通项公式为1(2)n a n n =+，那么199是这数列的第_____项.【例8】（2021·上海·曹杨二中高二阶段练习）已知数列{}n a 满足2,6n na n n =+为正整数，则该数列的最大项是___________.【例9】（2020·上海市嘉定区第一中学高二阶段练习）已知()111111234212f n n n=++++++-，则()()1f n f n +-=______．【例10】（2020·上海·高二课时练习）在数列{}n a 中，已知()*cos 2n n a n N π=∈，则{}n a 的前6项分别为______.【例11】（2020·上海·高二课时练习）已知数列{an }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，an ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________.【例12】（2021·上海市进才中学高二阶段练习）已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【例13】（2019·上海·曹杨二中高二阶段练习）在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈，都有211n n n na a a a λ+++-=（λ为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，λ称为比公差，现给出以下命题：①若数列{}n c 满足()*12121,1,3,n n n c c c c c n n N --===+≥∈，则该数列不是比等差数列； ②若数列满足132n n a -=⋅，则该数列是比等差数列，且比公差0λ=；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列； ④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列．其中所有正确的序号是_________；【例14】．（2018·上海市第三女子中学高二期中）若数列{}n a 的前n 项和21.33n n S a =+ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设21n n a n b n n ⎧=⎨+⎩，为奇数，，为偶数求其前n 项和n T ；(3)设*1112n n n n nc H c n N a c =+=-∈，，，求数列{}n H 的最大项与最小项.【例15】（2021·上海·复旦附中高二期末）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*241n n n a a S n N +=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21211n n n n a b S S -++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围；（3）若()211,22,n n na n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()*n N ∈，从数列{}n c 中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列.二、利用递推公式表示数列【例1】（2020·上海·高二课时练习）数列1,1,2,3,5,8,13，…的递推公式是. A ．()*21n n n a a a n N ++=+∈B ．()*211,1n n n a a a n N a ++⎧=+∈⎪⎨=⎪⎩C ．()*2112,1,1n n n a a a n N a a ++⎧=+∈⎪⎨==⎪⎩D ．()*1112,1,1n n n a a a n N a a +-⎧=+∈⎪⎨==⎪⎩【例2】（2020·上海·曹杨二中高二期中）已知集合{}0,2M =，无穷数列{}n a 满足n a M ∈，设310012231003333a a a a t =++++，则实数t 一定不属于（） A ．[)0,1 B ．(]0,1C ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦【例3】（2018·上海市控江中学高二期中）若数列{}n a 满足112a =且1n a +=则2018a 为（） AB C ．0 D ．1【例4】（2021·上海·曹杨二中高二期末）已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个【例5】（2020·上海·高二课时练习）已知数列{}n a 中，()*1111,(1)2,N n n n n a a a a n n --==+-∈，则35a a 的值是______. 【例6】（2020·上海市行知中学高二阶段练习）已知数列{}n a 满足12a =，1(1)n n n n a a a +=+-（*n ∈N ），则42a a 的值为________ 【例7】（2019·上海·上外附中高二期中）已知数列{}n a 满足()*1115,2n n a a a n n N +=-=∈，则na n的最小值为_______. 【例8】（2020·上海·曹杨二中高二期中）若数列{}n a 满足，111nn na a a ++=-，12a =，则数列{}n a 前2022项的积等于________.【例9】（2019·上海市七宝中学高二阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()1202n n n a S S n -+⋅=≥，112S =，设n n b na =，则以下四个命题：（1）1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）{}n b 中最大项是1b ；（3）{}n a 通项公式是()121n a n n =--；（4）lim 0n n a →∞=.其中真命题的序号是______.【例01】（2018·上海市第三女子中学高二期中）已知数列{}n a 的递推公式为()*111211n n a n n n N a a n -+=≥∈=-，，，则通项公式n a =______. 【例11】（2020·上海·高二课时练习）设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()221110n n n n n a na a a +++-+⋅=，则它的通项公式n a =______.【例12】（2021·上海市进才中学高二阶段练习）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第nb 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =________【例13】（2020·上海·高二课时练习）已知数列{}n a 满足：*434121,0,,n n n n a a a a n N --===∈，则2014a =_________.【例14】（2019·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得l T l a a +=对于任意l N *∈都成立，则称数列{}n a 为周期数列，其中T 为数列{}n a 的周期.已知周期数列{}n b 中，11n n n b b b +-=- (2,n n N *≥∈)，且11b =，2b x = (,0x R x ∈≠)，当{}n b 的周期最小时，该数列的前2019项的和是_________；【例15】（2020·上海·高二课时练习）根据下列数列的首项和递推公式，写出数列前5项，并由此归纳出它的通项公式. （1）12a =，132n n a a +=+；（2）11a =，121n n n a a n ++=+.【例16】（2020·上海市南洋模范中学高二阶段练习）对于数列{}n x ，若存在m N ∈*，使得2m k k x x -=对任意121k m ≤≤-()k N ∈*都成立，则称数列{}n x 为“m -折叠数列”. （1）若|25200|n a n =-()n N ∈*，220191n b n n =--()n N ∈*，判断数列{}n a 、{}n b 是否是“m -折叠数列”，如果是，指出m 的值；如果不是，请说明理由；（2）若()n n x q n N =∈*，求所有的实数q ，使得数列{}n x 是3-折叠数列；（3）给定常数p N ∈*，是否存在数列{}n x ，使得对所有m N ∈*，{}n x 都是pm -折叠数列，且{}n x 的各项中恰有1p +个不同的值，证明你的结论.一、单选题1．（2017·上海·上外附中高二期中）已知数列{}n a 中，11a =，以后各项由公式2123n a a a a n ⋅⋅⋅⋯⋅=给出，则35a a +等于（）A ．259B ．2516C ．6116D ．31152．（2020·上海市金山中学高二期中）数列{}n a 的()()111,,,,1n n a a n a b a n +===+，且a b ⊥，则100a =（）A ．10099B ．10099-C ．100D ．100-3．（2019·上海市晋元高级中学高二阶段练习）数列{}n a 中，若12a =，123n n a a +=+，则10a =A ．29B ．2563C ．2569D ．2557二、填空题4．（2020·上海市新场中学高二阶段练习）数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式是___________5．（2019·上海市三林中学高二阶段练习）设数列{}n a 满足12213,5n n na a a a a ++==⎧⎨=-⎩，则2019a =_____6．（2018·上海浦东新·高二期中）数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=，数列{}n a 的递推公式是______.7．（2020·上海市嘉定区第一中学高二阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n =+，n *∈N ，则n a =______．8．（2020·上海市新场中学高二阶段练习）在数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若2*1,n S n n N =+∈，则n a =___________9．（2020·上海·曹杨二中高二期中）已知数列{}n a 的通项公式是231n n a n +=+，若n N >时，恒有12100n a -<成立，则正整数N 的最小值为_________. 10．（2020·上海市三林中学高二期末）数列{}n a 的前n 项和为1a ，2a ，…，()*m a m ∈N ，若对任意正整数n ，有n m n a a q +=（其中q 为常数，0q ≠且1q ≠），则称数列{}n a 是以m 为周期，以q 为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列{}n b 的前7项为1，1，1，1，1，1，2，周期为7，周期公比为3，则数列{}n b 前15项的和等于_________．11．（2020·上海·上外附中高二阶段练习）已知数列{}n a 满足：()3122123n na a a a n N n*++++=∈，设{}n a 前n 项和为n S ，则5S =_____ 12．（2015·上海理工大学附属中学高二期中）数列{}n a 的前n 项和32nn S =+，则其通项公式n a =____________13．（2021·上海市进才中学高二阶段练习）已知数列{}n a 满足：11a =，1sin 12n n πa a +⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，则6a =___________14．（2021·上海市进才中学高二阶段练习）已知数列{}n a 的通项公式为()2n a n λn λR =-∈，且为严格单调递增数列，则实数λ的取值范围是___________15．（2019·上海闵行·高二期中）已知1()1x f x x -=+，数列{}n a 满足112a =，对于任意*n ∈N 都满足2()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20182019a a +=________16．（2019·上海中学高二期末）数列{}n a 满足下列条件：11a =，且对于任意正整数n ，恒有2n n a a n =+，则512a =______.17．（2021·上海交大附中高二期中）高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯（图1），她准备每次走1级或2级楼梯去二楼，并在心中默默计算这样走完25级楼梯大概有多少种不同的走法，可是当她走上去后发现（图2）原来在13级处有一宽度达1.5米的平台，这样原来的走楼梯方案需要调整，请问，对于剩下的15级()123+楼梯按分2段的走法与原来一次性走15级的走法相比较少了______种．18．（2022·上海·格致中学高二期末）若2nn a a n =+，且数列{}n a 是严格递增数列或严格递减数列，则实数a 的取值范围是______．19．（2019·上海中学高二期末）数列{}n a 满足123451,2,3,4,5a a a a a =====，当5n ≥时，1121n n a a a a +=-•••，则是否存在不小于2的正整数m ，使2221212m m a a a a a a =+++••成立？若存在，则在横线处直接填写m 的值；若不存在，就填写“不存在”_______.三、解答题20．（2020·上海·高二课时练习）已知一个数列的通项为()*sin 2n n a n N πα⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，再构成一个数列123456,,a a a a a a ，…，这个数列是否为常数列？证明你的结论．21．（2019·上海市七宝中学高二阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求311nn nac b =-的最大项的值，并指出是第几项.22．（2017·上海市培佳双语学校高二期中）定义n 个数123,,,n x x x x 的“倒均值”()*123n nnD n N x x x x =∈++++.（1）若数列{}n a 的前n 项，12,,n a a a 的“倒均值”146n D n =+. 求{}n a 的通项公式（2）在（1）的条件下，令1n n a b n =+，试研究数列{}n b 的单调性，并给出证明. （3）在（2）的条件下，设函数2()27f x x x =-+，对于数列{}n b ，是否存在实数μ，使得当x μ≥时，()n f x b ≤对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出在最小的实数μ，若不存在，说明理由.23．（2020·上海·曹杨二中高二期中）在数列{}n a 中，10a =，且对任意的*m N ∈，21m a -、2m a 、21m a +构成2m 为公差的等差数列.（1）求证：4a 、5a 、6a 成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323n n n S a a a =+++，试问当n →∞时，数列{}2n S n -是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.24．（2016·上海·曹杨二中高二开学考试）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,对一切*n N ∈,点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在函数()2n a f x x x =+的图像上. （1）证明：当*2,n n N ≥∈时,()1221n n a a n -+=-;（2）求数列{}n a 的通项公式;（3）设n T 为数列1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项的积,若不等式()32n a T f a a +-对一切*n N ∈成立,求实数a 的取值范围.。

2022-2023学年上海高二上学期数学同步精讲练第10章空间直线与平面(单元提升卷)(解析版)

第10章空间直线与平面（单元提升卷）（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、填空题1．已知直线,a b 和平面α，若,a b αα⊥⊥，则a 与b 的位置关系是________ 【答案】//a b 【详解】两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线互相平行，可以用反证法进行证明：设a α⊥于A 点，b α⊥于B 点，假设b 与a 不平行，则过B 作直线'b ，使'b a ，在平面α 内取相交直线,,,,,,,'m n a m n a m a n b a αα⊥⊂∴⊥⊥ ，'b ∴ 与,m n 所成角等于a 与,m n 所成角，即'b m ⊥且'b n ⊥ ，,m n 是平面α内的相交直线，'b α∴⊥ ，这样经过点B 有两条直线b 与'b 与平面α垂直，这是不可能的，所以假设不成立，可得a b ∥，故答案为a b ∥.2．三条不同的直线a 、b 、c ，若//a b ，c 与a 、b 都相交，则a 、b 、c 三条直线能确定的平面的个数是______个．【答案】1【分析】根据平面的基本性质，即可得到a 、b 、c 三条直线能确定唯一的平面，即可得到答案. 【详解】由直线//a b ，可得直线,a b 可以唯一确定一个平面，设该平面为α，设,a c A b c B ⋂=⋂=，可得,A B αα∈∈，因为,A c B c ∈∈，所以c α⊂，所以a 、b 、c 三条直线能确定的平面的个数是1个. 故答案为：1.3．已知角α的大小为150°,且异面直线a b 、分别与角α的两边平行,则异面直线a b 、所成角的大小为_________.【答案】30°【分析】根据异面直线所成角的定义可知.【详解】因为异面直线a b 、分别与角α的两边平行，所以角α（或其补角）为异面直线所成的角，由α的大小为150°知，异面直线a b 、所成角的大小为30° 故答案为30°【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，所成角的范围，属于容易题.4．线段AB 在平面α的同侧，A ，B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________．【答案】4【分析】设AB 的中点为M ，分别过A ，M ，B 向α作垂线，利用梯形中位线可得.【详解】如图，设AB 的中点为M ，分别过A ，M ，B 向α作垂线，垂足分别为A 1，M 1，B 1，则由线面垂直的性质可知，AA 1∥MM 1∥BB 1，且A ，M ，B 共线，所以四边形AA 1B 1B 为直角梯形，AA 1＝3，BB 1＝5，MM 1为其中位线，∴MM 1＝4．故答案为：45．如图，平面ABC ⊥平面ABD ，90ACB ︒∠=，CA CB =，ABD △是正三角形，O 为AB 的中点，则图中直角三角形的个数为______.【答案】6【解析】由面面垂直的性质定理可得：CO ⊥平面ABD ，再逐一判断即可得解. 【详解】解：CA CB =，O 为AB 的中点，CO AB ∴⊥.又平面ABC ⊥平面ABD ，且交线为AB ，CO ∴⊥平面ABD .OD ⊂平面ABD ，CO OD ∴⊥， COD ∴为直角三角形.∴图中的直角三角形有AOC △，COB △，ABC ，AOD △，BOD ，COD △，共6个. 故答案为：6.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，重点考查了空间想象能力，属基础题.6．如果直线l 与平面α所成的角为3π，那么直线l 与平面α内的直线所成的角的取值范围是______；【答案】,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知中一条直线与平面α成3π角，根据“最小角定理”，可得这条直线与平面内的直线所成角中最小值为3π，再根据线线夹角的定义，求出条直线与平面内的直线所成角中最大值，即可求出这条直线与平面内的直线所成角的取值范围．【详解】一条直线与平面α成3π角，则这条直线与平面内的直线所成角中，最小的角为3π，当两直线垂直时，最大值为2π 故这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中确定直线与平面所成的角，是这条直线与平面内的直线所成角的最小值，是解答本题的关键．7．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是______．①αβ⊥，且m α⊂；②m n ∥，且n β⊥；③αβ⊥，且m α∥；④m n ⊥，且n β∥．【答案】②【分析】根据空间中线面、面面垂直的性质定理与判定定理一一判断即可；【详解】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，知：在①中，αβ⊥且m α⊂，则m 与β相交、平行或m β⊂，故①错误；在②中，//m n 且n β⊥，由直线与平面垂直的判定定理得m β⊥，故②正确．在③中，αβ⊥且//m α，则m 与β相交、平行或m β⊂，故③错误；在④中，m n ⊥且βn//，则m 与β相交、平行或m β⊂，故④错误；故答案为：②．8．如图，矩形ABCD 的长AB =2，宽AD =x ，若PA ⊥平面ABCD ，矩形的边CD 上至少有一个点Q ,使得PQ ⊥BQ ，则x 的范围是____________．【答案】0<x≤1试题分析：由PA⊥平面ABCD，PQ⊥BQ，可得BQ⊥AQ，从而问题可转化为以AB为直径的圆与与线段CD有公共点．解：如图所示：连接AQ，因为PA⊥平面ABCD，BQ⊥PQ，BQ⊂平面ABCD，所以BQ⊥AQ，矩形的边CD上至少有一个点Q，可转化为以AB为直径的圆与与线段CD有公共点，所以圆心到CD的距离小于等于半径，即0＜x≤1．故答案0<x≤1考点：空间直线与直线的垂直关系点评：本题考查空间直线与直线的垂直关系，考查推理论证能力．9．如图，水平放置的ABC的斜二测直观图是图中的A B CB C''=，则边AB'''，若3AC''=，2的实际长度为___________【答案】5【分析】由斜二测画法的原理作出A B C'''的原图ABC，即可求解.【详解】由斜二测画法的原理可得：==，且BC ACAC A C''⊥，24==，3BC B C''所以AB5，故答案为：5.10．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的___________条件.【答案】充分非必要【分析】准确把握异面直线的定义“不同在任一平面内的两条直线”，即可得出结果.【详解】若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”⇒“这两条直线没有公共点”；反之“这两条直线没有公共点”不能推出“这两条直线为异面直线”，因为“这两条直线可能平行，可能为异面直线”；所以“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，故答案为：充分非必要.11．如图，已知PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AB =，BC PB ，则二面角P BC A --的大小为________【答案】45°【分析】由PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，可得BC PC ⊥，因此PCA ∠是二面角P BC A --的平面角，利用线面垂直的性质与勾股定理可得PA ，AC ，即可得出二面角P BC A --的大小．【详解】解：PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则PA BC ⊥ 又AC BC ⊥，且,PA AC ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ， BC PC ∴⊥，PCA ∴∠是二面角P BC A --的平面角，AC BC ⊥，2AB =，BC =AC ∴PA AB ⊥，PB ，∴PA又PA AC ⊥，45PCA ∴∠=︒，∴二面角P BC A --为45︒.故答案为：45︒.12．如图，平面α⊥平面β，A α∈，B β∈，AB 与两平面α、β所成的角分别为45°和30°，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A '、B '，若AB ＝12，则A B ''=______．【答案】6【分析】要求A B ''，需要把它放入三角形中,连接AB ',A B '，则A B ''在Rt A AB ''中，分别利用Rt AB B '和Rt ABA '求得AB ',AA '，进而利用勾股定理求解即可.【详解】在Rt AB B '中,45B AB '∠=︒,则sin 45122AB AB '=︒=⨯=在Rt ABA '中,30ABA '∠=︒,则1sin 301262AA AB '=︒=⨯=，所以在Rt A AB ''中,6A B ''==，故答案为：6.二、单选题13．设m ､n 是两条不同的直线，α､β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，则//m βC ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥【答案】C【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，//m α，//n α，则,m n 可能异面，A 选项错误. B 选项，//m α，则m 与β不一定平行，B 选项错误.C 选项，根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，则另一条也垂直该面，C 选项正确.D 选项，//m α，αβ⊥，可能m β⊂，D 选项错误. 故选：C14．在正方形123SG G G 中，E 、F 分别是12G G 及23G G 的中点，D 是EF 的中点．现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个空间四边形，使1G 、2G 、3G 三点重合，重合后的点记为G ，那么，在空间四边形S EFG -中必有（）A ．SG EFG △⊥所在平面B ．SD EFG ⊥所在平面C ．GF SEF ⊥所在平面D ．GD SEF ⊥所在平面【答案】A【分析】注意翻折前后的角度的变与不变，根据线面垂直的判定定理、性质定理以及反证的数学思想方法逐一判断即可.【详解】对于A ，在正方形123SG G G 中，11SG G E ⊥，33SG G F ⊥，所以在四面体S EFG -中，SG GE ，SG GF ，又,GE GF 平面GEF ，GE GF G =，所以SG ⊥平面GEF ，故选项A 正确；对于B ，若SD ⊥平面EFG ，结合选项A ，则//SD SG ，显然矛盾，故选项B 错误；对于C ，因为SG ⊥面EFG ，GF ⊂面EFG ，所以SG GF ，又GF GE ⊥，,GE GS 平面GES ，GE GS G =，所以GF ⊥平面GES ，假设GF ⊥平面SEF ，则平面//GES 平面SEF ，显然矛盾，故选项C 错误；对于D ，因为SG ⊥面EFG ，GD ⊂面EFG ，所以SG GD ⊥，若GD ⊥平面SEF ，SD ⊂平面SEF ，则GD SD ⊥，,,SG GD SD ⊂平面SDG ，故//SD SG ，显然矛盾，故D 错误；故选：A.15．在矩形ABCD 中，1AB =，()0BC a a =>，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =.若边BC 上存在两个不同的点1Q ､2Q ，使得11PQ DQ ⊥，22PQ DQ ⊥.则a 的取值范围是（） A ．()1,+∞B ．[)1,2C ．()2,+∞D ．[]2,4【答案】C 【分析】由已知PA ⊥平面ABCD ，通过线面垂直的性质得到PA DQ ⊥，结合PQ DQ ⊥，再根据线面垂直的判定定理得到DQ ⊥平面PAQ ，所以AQ DQ ⊥，从而将问题转化为求以AD 为直径的圆与边BC 有两个交点，从而求得a 的范围．【详解】如图所示，若PQ DQ ⊥，又有PA ⊥平面ABCD ，得到PA DQ ⊥，则有DQ ⊥平面PAQ ，所以AQ DQ ⊥，则“BC 边上存在两个点12Q Q 、使得1122,PQ DQ PQ DQ ⊥⊥” 就转化为“BC 边上存在两个点12Q Q 、使得11AQ DQ ⊥，22AQ DQ ⊥”，即以AD 为直径的圆与边BC 有两个交点，则圆的圆心到边BC 的距离小于半径，即2ADAB <，其中1AB =，(0)AD BC a a ==>，所以12a<，即2a >，所以a 的取值范围是{}2a a >. 故选：C16．下列说法正确的个数（）（1）三点确定一个平面；（2）一条直线和一个点确定一个平面；（3）两条直线确定一个平面；（4）三角形和梯形一定为平面图形. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】根据点直线与平面的位置关系,即可判断四个选项.【详解】对于(1),当三个点在同一直线上时,三个点不能确定一个平面,所以(1)错误; 对于(2),当点在直线上时,不能确定一个平面,所以(2)不正确; 对于(3),当两条直线异面时,不能确定一个平面,所以(3)不正确; 对于(4),三角形和梯形一定是平面图形,所以(4)正确. 综上可知,正确的为(4) 故选:B【点睛】本题考查了空间中点、直线与平面的位置关系,属于基础题.三、解答题17．已知,,αβγ是三个平面，且,,a b c αβαγβγ===.（1）若a b O ⋂=，求证：a ，b ，c 三线共点.（2）若//a b ，则a 与c ，b 与c 有什么关系？为什么？【答案】（1）见解析；（2）//a c ，//b c ，见解析【解析】（1）根据平面的基本性质，即可证得,,a b c 三线共点，得到答案；（2）根据平面的基本性质和平行线的性质，即可证得////a b c ，得到答案.【详解】（1）由题意，知a b O ⋂=，可得O a ∈，O b ∈，因为a αβ⋂=，可得O β∈，又由b αγ=，可得O γ∈，所以O 为β与γ的公共点. 又c βγ=，所以O c ∈，所以,,a b c 三线共点. （2）由题意，因为//,,a b b βαβ⊄⊂，所以b β//，因为,,c c b βγβγ⊂⋂=⊂，所以//b c ，同理可证//a c . 所以////a b c .【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和平行线的性质的应用，其中解答中熟记平面的基本性质，合理推理与论证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.(1)求异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值；(2)求证：直线1//A B 平面11DCC D .【答案】(2)证明见解析【分析】（1）根据已知11//CC BB ，可将异面直线1A B 和1CC 所成的角转化为直线1A B 和1BB 所成的角，再根据题目的边长关系，即可完成求解；（2）可通过连接1D C ，证明四边形11A BCD 为平行四边形，从而得到11//A B D C ，再利用线面平行的判定定理即可完成证明.(1)因为11//CC BB ，所以11A BB ∠就是异面直线1A B 和1CC 所成的角.又因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以异面直线1A B 和1CC 所成的角为45o ，所以异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值(2)连接1D C ，因为11//A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 为平行四边形，所以11//A B D C ；1A B ⊄平面11DCC D ，1D C ⊂平面11DCC D ；所以直线1//A B 平面11DCC D .即得证.19．如图，长方体中1111ABCD A B C D -中，2DA =，DC =，1DD =,M N 分别为棱,AB BC 的中点.（1）证明：平面1D MN ⊥平面1D DM ；（2）求点D 到平面1D MN 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）先证明MN ⊥平面1D DM ，再利用面面垂直的判定定理，即可得答案；（2）设点D 到平面1D MN 的距离为d ，利用等积法，即11N D DM D D MN V V --=，即可得答案；【详解】（1）在DAM △和MBN △中，2,1AD AM MB BN ====，故AD AMMB BN=，又90DAM MBN ︒∠=∠=，故DAM MBN故DMA MNB ∠=∠，故90DMA NMB MNB NMB ︒∠+∠=∠+∠=，即MN DM ⊥，因为1D D ⊥平面,ABCD MN ⊂平面ABCD ，所以1D D MN ⊥，又MN DM ⊥，DN MN M ⋂=，所以MN ⊥平面1D DM又MN ⊂平面1D MN ，所以平面1D MN ⊥平面1D DM（2）设点D 到平面1D MN 的距离为d ，由（1）得MN ⊥平面1D DM ，故1MN D M ⊥，在Rt DAM △中，DM在1Rt D DM 中，13D M ==，11N D DM D D MN V V --=即1111113232D M MN d D D DM MN ⨯⨯⋅⋅=⨯⨯⋅⋅故11D D DMd D M⋅==即点D 到平面1D MN ．【点睛】本题考查空间几何点线面位置关系、线面垂直的性质和判定、面面垂直的判定、三棱锥体积的求法等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化的思想；考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养．20．如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：EF PAD 平面；(2)若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)45°【分析】（1）取PD 中点G ，连接AG 、FG ，证明四边形AEFG 是平行四边形，可得AG EF ，即可证明EF PAD 平面；（2）过G 作GH AD ⊥，垂足为H ，则GH PA ∥，可得GH ABCD ⊥平面，根据AG EF ，可得AG 与平面ABCD 所成的角等于EF 与平面ABCD 所成的角，从而可得∠GAH 即为所求，从而可得出答案.(1)证明：如图，取PD 中点G ，连接AG 、FG ，∵E 、F 分别为AB 、PC 的中点， ∴12AE AB =，GF DC ∥且12GF DC =，又在矩形ABCD 中，AB CD 且AB ＝CD ，∴AE GF ∥且AE ＝GF ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG EF ，又AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴EF PAD 平面；(2)解：∵AG EF ，∴AG 与平面ABCD 所成的角等于EF 与平面ABCD 所成的角，过G 作GH AD ⊥，垂足为H ，则GH PA ∥，∵PA ⊥平面ABCD ，∴GH ⊥平面ABCD ，∴∠GAH 为AG 与平面ABCD 所成的角，∵∠PDA ＝45°，G 为PD 的中点，∴∠GAH ＝45°，即EF 与平面ABCD 所成的角为45°．21．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，点E 为AD 的中点，将△ABE沿直线BE 折起至平面PBE ⊥平面BCDE （如图2），点M 在线段PD 上，//PB 平面CEM ．(1)求证：MP ＝2DM ；(2)求二面角B －PE －C 的大小；(3)若在棱PB 、PE 上分别取中点F 、G ，试判断点M 与平面CFG 的关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)90°(3)M ∈平面CFG ，理由见解析【分析】（1）设BD EC O ⋂=，连接MO ，由线面平行的性质可得//PB MO ，可得MD OD MP OB=，由//ED BC 可得12OD ED OB BC ==，即可证明；（2）取BE 中点Q ，连接PQ ，通过面面垂直的性质可得PQ ⊥平面BCDE ，进而可得PQ EC ⊥，再由EC BE ⊥可得EC ⊥平面PBE ，即平面PBE ⊥平面PEC ，即得出结果；（3）延长ED 到N ，使ED DN =，连接,,CN PN GN ，证明//FG CN ，可得,,,F C N G 确定平面FCNG ，判断M 是PEN △的重心，可得M ∈平面CFG .(1)解：设BD EC O ⋂=，连接MO ，//PB 平面CEM ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面CEM MO =，//PB MO ∴，MD OD MP OB ∴=， //ED BC ，12OD ED OB BC ∴==， 12MD MP ∴=，即2MP DM =； (2)解：取BE 中点Q ，连接PQ ，PB PE =，PQ BE ∴⊥，又PQ ⊂平面PBE ，平面PBE ⊥平面BCDE ，平面PBE ⋂平面BCDE BE =，PQ ∴⊥平面BCDE ， EC ⊂平面BCDE ，PQ EC ∴⊥，BE EC ==2BC =，满足222BE EC BC +=，EC BE ∴⊥， PQ BE Q ⋂=，,PQ BE ⊂平面PBE ，EC ∴⊥平面PBE ， EC ⊂平面PEC ，∴平面PBE ⊥平面PEC ，∴二面角B PE C --的大小为90；(3)解：延长ED 到N ，使ED DN =，连接,,CN PN GN ， ,F G 分别是,PB PE 的中点，//FG BE ∴，2BC ED =，BC EN ∴=，//BC EN ，∴四边形BCNE 是平行四边形，//BE CN ∴，//FG CN ∴，则,,,F C N G 确定平面FCNG ， PEN 中，PD 是EN 边中线，且:2:1PM MD =， M ∴是PEN △的重心，又GN 为PE 边的中线，则M 在GN 上，∴M ∈平面CFG .。

2021上海新高二暑期数学讲与练第10讲随机现象与样本空间(讲义)解析版

第10讲随机现象与样本空间【知识梳理】1．随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．2．随机试验的特点(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．3．样本空间与事件定义1：一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现（发生）的结果所组成的集合称为一个样本空间，用Ω表示，其中的元素称为基本事件或者样本点。

定义2：一个事件是指满足所述条件的所有基本事件全体。

如果其中某个基本事件发生，就说这个事件发生。

因为样本空间是基本事件的全体，所以事件是样本空间的一个子集。

4．随机事件一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母,,A B C…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.5．必然事件，不可能事件在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．而空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．【例题解析】知识点一：随机现象例1．（2019·河北石家庄市·鹿泉区第一中学高二开学考试）下列说法正确的是A．在一次抽奖活动中，“中奖概率是1100”表示抽奖100次就一定会中奖B．随机掷一枚硬币，落地后正面一定朝上C．同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和一定为6D．在一副没有大、小王的52张扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是1 13【答案】D【分析】根据古典概型有关的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，中奖是随机事件，不代表抽100次就一定会中奖，故A选项错误.对于B选项，正面朝上是随机事件，故B选项错误.对于C选项，朝上点数和可以是212中的一个数字，故C选项错误.对于D选项，根据古典概型概率计算公式可得：所求概率为415213=，故D选项正确.综上所述，本小题选D.【点睛】本小题主要考查古典概型有关知识，考查随机事件，属于基础题.例2．（2020·北京高二期中）以下现象是随机现象的是A．标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾B．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为a b⨯C．走到十字路口，遇到红灯D．三角形内角和为180°【答案】C【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾,是必然事件；B. 长和宽分别为a，b的矩形，其面积为a b⨯，是必然事件；C. 走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；D. 三角形内角和为180°，是必然事件.故选C【点睛】本题主要考查必然事件、随机事件的定义与判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.知识点二：样本空间例1．先后抛掷2枚质地均匀的一角､五角的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是（）A．“至少一枚硬币正面向上”B．“只有一枚硬币正面向上”C．“两枚硬币都是正面向上”D．“两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”【答案】A【详解】“至少一枚硬币正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”、“一角硬币正面向上，五角硬币正面向下”、“一角硬币正面向下，五角硬币正面向上”3个样本点，故A 正确；“只有一枚硬币正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向下”、“一角硬币正面向下，五角硬币正面向上”2个样本点，故B错误；“两枚硬币都是正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”1个样本点，故C错误；“两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向下”、“一角硬币正面向下，五角硬币正面向上”2个样本点，故D错误.故选：A.知识点三：随机事件、必然事件，不可能事件例1．（2020·鸡泽县第一中学高二月考）气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（）A．本市明天将有70%的地区降雨B．本市有天将有70%的时间降雨C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大D．明天出行不带雨具肯定要淋雨【答案】C【分析】根据概率的意义,可判断各选项.【详解】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水时间无关,所以A,B错误.降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误.而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C 正确.故选:C.【点睛】本题考查了概率的概念和意义,属于基础题.例2．（2020·全国高二）已知某厂生产的某批产品的合格率为90%，现从该批次产品中抽出100件产品检查，则下列说法正确的是（）A ．合格产品少于90件B ．合格产品多于90件C ．合格产品正好是90件D ．合格产品可能是90件【答案】D 【分析】根据概率的定义与性质，直接可求解.【详解】某厂生产的某批产品的合格率为90%，现从该批次产品中抽出100件产品检查，在A 中，合格产品可能不少于90件，故A 错误；在B 中，合格产品可能不多于90件，故B 错误；在C 中，合格产品可能不是90件，故C 错误；在D 中，合格产品可能是90件，故D 正确．故选D ．【点睛】本题考查概率的定义与性质的应用，考查理解辨析能力，属于基础题.例3．（2020·全国）下列叙述正确的是（）A ．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B ．若事件A 发生的概率为()P A ，则()01P A ≤≤C ．频率是稳定的，概率是随机的D ．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小【答案】B【分析】由互斥事件及对立事件的关系，频率与概率的关系及随机事件的概率逐一判断即可得解.【详解】解：对于A ，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A 错误；对于B ，事件A 发生的概率为()P A ，则()01P A ≤≤，即B 正确；对于C ，概率是稳定的，频率是随机的，即C 错误；对于D ，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为15，即D 错误，即叙述正确的是选项B ，故选：B. 【点睛】本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件的概率，属基础题.例4．（2020·邵东市第一中学高二月考）下列说法错误的是（）A ．任一事件的概率总在[]0,1内B ．不可能事件的概率一定为0C ．必然事件的概率一定为1D ．概率是随机的，在试验前不能确定【答案】D 【分析】结合概率的定义和性质一一判断选项即可．【详解】解：任一事件的概率总在[]0,1内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．故选：D ．【点睛】本题主要考查概率的定义与性质，属于基础题．例5．（2020·襄阳市第一中学高二月考）袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X ，则表示“放入袋中4回小球”的事件为（）A ．4X =B ．5X =C ．6X =D ．4X ≤【答案】B【分析】“放入袋中4回小球”也即是第5次抽取到了红球，由此求得X 的值.【详解】根据题意可知，如果没有抽到红球，则将黑球放回，然后继续抽取，所以“放入袋中4回小球”也即是前4次都是抽到黑球，第5次抽到了红球，故5X =.故选：B.【点睛】本小题主要考查对离散型随机变量的理解，考查抽样方法的理解，属于基础题.例6．（2020·全国高二）给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x 为某一实数时可使20x <”是不可能事件③“明天全天要下雨”是必然事件④“从100个灯泡（6个是次品）中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用必然事件的概念可以判断①是正确的命题，③是偶然事件，利用不可能事件的概念判断②正确，利用随机事件的概念判断④正确.【详解】对于①，三个球分为两组，有两种情况，12+和30+，所以①是正确的命题；对于②，任意实数x都有20x，所以②是正确的命题；对于③，“明天全天要下雨”是偶然事件，所以③是错误的命题；对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”，发生与否是随机的，所以④是正确的命题．故选：D．【点睛】本题主要考查必然事件和随机事件的概念，考查不可能事件的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.例7．（2020·四川乐山市·高二期末（文））有下列事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②实数的绝对值不小于零；③某彩票中奖的概率为11000，则买1000张这种彩票一定能中奖.其中必然事件是（）A．②B．③C．①②③D．②③【答案】A【分析】根据事件是否必然发生判断选择.【详解】因为在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾；所以①不是必然事件；因为实数的绝对值不小于零；所以②是必然事件；因为某彩票中奖的概率为11000，仅代表可能性，所以买1000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必然事件；故选：A【点睛】本题考查必然事件，考查基本分析判断能力，属基础题.例8．（2020·湖北十堰市·车城高中高二月考（理））6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是（）A．取到产品的件数B．取到正品的件数C ．取到正品的概率D ．取到次品的概率【答案】B 【分析】由随机变量的概念，逐一分析选项即可得答案.【详解】因为随机变量为一个变量，对于A ：取到产品是必然事件，故A 不正确；对于B ：取到正品件数是随机事件，故B 正确；对于C 、D ：概率是数值，不是随机变量，故C 、D 不正确.故选：B【点睛】本题考查随机变量的概念，考查学生对基础概念的掌握程度，属基础题.例9．（2020·安徽省颍上第二中学高二期中（理））下列叙述错误的是（）．A ．若事件A 发生的概率为()P A ，则0()1P A ≤≤B ．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C ．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的D ．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同【答案】C【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断选项A 正确；根据对立事件是互斥事件的子集判定选项B 正确；根据概率具有确定性，是不依赖于试验次数的理论值判断C 错误；根据抽签有先后，对每位抽签者是公平的判断D 正确.【详解】根据概率的定义可得若事件A 发生的概率为()P A ，则0()1P A ≤≤，故A 正确；根据互斥事件和对立事件的定义可得，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，且两个对立事件的概率之和为1，故B 正确；某事件发生的概率不会随着试验次数的变化而变化，故C 错误；5张奖券中有一张有奖，先抽，后抽中奖的可能性相同，与次序无关，故D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查概率及互斥事件概念辨析，解题的关键是掌握互斥与对立事件的关系、概率的概念及随机事件发生的概率等，属于基础题.例10．（2020·全国高二）质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（）A．点数都是偶数B．点数的和是奇数C．点数的和小于13 D．点数的和小于2【答案】C【分析】分别求出所给选项对应事件的概率即可.【详解】由已知，投掷两次骰子共有66=36⨯种不同的结果，点数是偶数包含的基本事件有(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)共9个，所以点数都是偶数的概率为91364=；点数的和是奇数包含的基本事件有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)共18个，所以点数的和是奇数的概率为181362=；点数的和小于13是必然事件，其概率为1；点数的和小于2是不可能事件，其概率为0.故选：C【点睛】本题考查古典概型的概率计算，本题采用列举法，在列举时要注意不重不漏，当然也可以用排列组合的知识来计算，是一道容易题.例11．（2020·湖北荆州市·荆州中学高二月考）分别独立的扔一枚骰子和硬币，并记下骰子向上的点数和硬币朝上的面，则结果中含有“1点或正面向上”的概率为（）A．512B．12C．712D．23【答案】C【分析】列出所有的基本事件，再结果中含有“1点或正面向上”的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求得.【详解】分别独立的扔一枚骰子和硬币,所以的基本事件是：1正面向上，1反面向上，2正面向上，2反面向上，3正面向上，3反面向上，4正面向上，4反面向上，5正面向上，5反面向上，6正面向上，6反面向上.共12个基本事件.含有“1点或正面向上”有1正面向上，1反面向上，2正面向上，3正面向上，4正面向上，5正面向上，6正面向上，共7个基本事件，结果中含有“1点或正面向上”的概率为：7 12.故选：C.【点睛】本题主要考查的是随机事件概率的求解，古典概型的概率求解，利用列举法求解是解题的关键，是基础题.例12．（2018·上海交大附中高二期末）若交大附中共有400名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为__________．【答案】1【解析】分析：根据每年有365天，可判断400名教职工，中至少有两人生日在同一天为必然事件,从而可得结果.详解：假设每一天只有一个人生日，则还有35人，所以至少两个人同日生为必然事件，所以至少有两人生日在同一天的概率为1，故答案为1.点睛：本题考查必然事件的定义以及必然事件的概率，属于简单题.例13．（2019·于都县第二中学（文））7名学生，其中3名男生4名女生.现用抽签法从中抽一人，则抽到的是男生的概率为____.【答案】3 7【分析】根据概率定义，用可能发生的基本事件个数除以事件总数，即可求解.【详解】由题意7名学生，其中3名男生4名女生.抽到一人是男生的概率是37p .故答案为：3 7【点睛】本题考查概率定义，属于基础题.例14．（2020·全国高二）下列事件中，是随机事件的为_________（填所有正确的序号）①实数a ，b 都不为0，则220a b +=；②任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面；③汽车排放尾气会污染环境；④明天早晨不会有雾．【答案】②④【分析】在一定条件下，事件按发生的可能性大小来分类，分为：不可能事件、随机事件、必然事件，根据它们的定义，即可对本题求解.【详解】解：逐一考查所给的事件：①实数a ，b 都不为0，则220a b +=是不可能事件；②任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面是随机事件；③汽车排放尾气会污染环境是必然事件；④明天早晨不会有雾是随机事件．综上可得，随机事件包括：②④．故答案为：②④．【点睛】本题主要考查事件分类的应用，考查理解辨析能力，属于基础题.例15．（2020·张家口市第一中学高二期中）有以下说法:①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是1365;②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1 000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的.根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是___.【答案】①③【解析】根据“概率的意义”求解,买彩票中奖的概率0.001,并不意味着买1 000张彩票一定能中奖,只有当买彩票的数量非常大时,我们可以看成大量买彩票的重复试验,中奖的次数为1?000n ; 昨天气象局的天气预报降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定会下雨.说法②④是错误的，而利用概率知识可知①③是正确的.故答案为①③．例16．（2020·安徽高二学业考试）在装有4个红球和2个白球的盒子中，任意取一球，则事件“取出的球是白球”为____________事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）.【答案】随机.【分析】任意取一球是随机事件.【详解】解：由于是任意取一球，所以是随机事件，故答案为：随机.【点睛】考查随机事件的判断，基础题.【过关检测】一、单选题1．（2020·全国高二）从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是A．3件都是正品B．3件都是次品C．至少有1件次品D．至少有1件正品【答案】D【分析】根据随机事件、不可能事件以及必然事件的定义对选项中的事件逐一判断即可. 【详解】从10件正品， 2件次品，从中任意抽取3件A:3件都是正品是随机事件，B：3件都是次品不可能事件,C:至少有1件次品是随机事件,D：因为只有两件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有一件是正品是必然事件，故选D .【点睛】本题主要考查了随机事件、不可能事件、必然事件的定义与应用，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.2．（2020·全国高二）下列事件中，随机事件的个数为（1）明年1月1日郑州市下雪；（2）明年NBA总决赛将在马刺队与湖人队之间展开；（3）在标准大气压下，水在80摄氏度时沸腾．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】对选项逐个分析，（3）为不可能事件，（1）（2）为随机事件，满足题意．【详解】（1）（2）对应的事件可能发生，也可能不发生，为随机事件，（3）在标准大气压下时，水达到100摄氏度沸腾，达到80摄氏度不可能沸腾，故为不可能事件，故答案为C.【点睛】本题考查了随机事件的判断，考查了学生对概念的掌握情况，属于基础题．3．（2020·全国高二）在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为80%”，这是指（）A ．明天该地区有80%的地方降水，有20%的地方不降水B ．明天该地区降水的可能性为80%C ．气象台的专家中有80%的人认为会降水，另外有20%的专家认为不降水D ．明天该地区有80%的时间降水，其他时间不降水【答案】B【分析】降水概率指的是降水的可能性，根据概率的意义作出判断即可.【详解】“明天降水的概率为80%”指的是“明天该地区降水的可能性是80%”，且明天下雨的可能性比较大，故选：B.【点睛】本题主要考查了概率的意义，掌握概率是反映出现的可能性大小的量是解题的关键，属于基础题.4．（2020·全国高二）下列事件是随机事件的是（）.①当10x ≥时，lg 1x ；②当x ∈R 时，210x -=有解；③当a R ∈时，关于x 的方程20x a +=在实数集内有解；④当 sin sin αβ>时，αβ>.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 【答案】C【分析】根据随机事件的概念进行判断．【详解】①当10x ≥时，lg 1x ，属于必然事件；②当x ∈R 时，²10x -=有解，属于必然事件； ③当a ∈R 时，关于x 的方程²0x a +=需要根据a 的值确定在实数集内是否有解，属于随机事件；④当sin sin αβ>时，可能有αβ>，属于随机事件.故选C.【点睛】本题考查事件的概念．掌握必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题基础．5．（2020·安徽高二月考）从4名男生，2名女生中随机抽取3人，则下列事件中的必然事件是（）A ．至少有2名男生B ．至少有1名男生C ．3人都是男生D ．有2名女生【答案】B【分析】从4名男生，2名女生中随机抽取3人，显然必有1名男生，根据这个事实对四个选项逐一判断.【详解】从4名男生，2名女生中随机抽取3人，有可能2名女生1名男生，选项A 、C 错误；也有可能3人全是男生，选项D 错误，只要选项B 是必然事件.故选:B【点睛】本题考查了对必然事件的理解.解题的关键是对问题的隐含事实的认识.6．（2020·四川乐山市·高二期中（理））下列说法正确的是（）A ．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是12，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况 B ．某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，这说明明天本地有80%的区域下雨C ．概率是客观存在的，与试验次数无关D ．若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖【答案】C【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生.【详解】解：对于A ，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；对于B ，这是一个随机事件，明天本地降水概率为80%表示明天有80%的可能降雨，事先无法预料，错误；对于C，正确；对于D，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误. 故选：C.【点睛】本题考查概率的意义，属于基础题.7．（2020·进贤县第二中学高二月考）某种彩中奖的概率为310000.若购买该种彩票10000张，则下列说法正确的是（）A．一定有1张中奖B．一定有3张中奖C．可能0张中奖D．不可能3张中奖【答案】C【分析】根据概率定义直接判断选择.【详解】因为概率代表可能性，所以购买该种彩票10000张可能0张中奖，也可能有3张中奖，所以A,B,D错误，故选：C【点睛】本题考查概率含义，考查基本分析判断能力，属基础题.8．（2020·南昌县莲塘第三中学高二月考）下列事件中是随机事件的个数有①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，那么第二次生男孩；⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据随机事件就是在指定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断，得到答案.【详解】由题意，随机事件就是在指定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点可能发生，也可能不发生，所以是随机事件，②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定发生的事件，不是随机事件；③某人买彩票中奖，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；④已经有一个女儿，那么第二次生男孩，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾，此事一定不发生，不是随机事件.故选C.【点睛】本题主要考查了随机事件，必然事件、不可能事件的概念及判断，其中熟记随机事件的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．（2020·全国高二）从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是A．3件都是正品B．至少有1件次品C．3件都是次品D．至少有1件正品【答案】D【分析】利用必然事件、随机事件、不可能事件的定义直接求解．【详解】从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，选项A：3件都是正品是随机事件，A错误；选项B：至少有1件次品是随机事件，B错误；选项C：3件都是次品是不可能事件，C错误；选项D：至少有1件正品是必然事件，D正确，故选D．【点睛】本题考查必然事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意必然事件、随机事件、不可能事件的定义的合理运用．10．（2020·沈阳实验中学高二期中（理））掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是（）A．12019B．12C．12020D．20192020【答案】B【分析】根据概率的性质直接得到答案.【详解】根据概率的性质知：每次正面向上的概率为12.故选：B.【点睛】本题考查了概率的性质，属于简单题.11．（2020·全国高二）下列事件是随机事件的是（）①当x >10时，lg 1x ≥； ②当x ∈R ，x 2+x ＝0有解③当a ∈R 关于x 的方程x 2+a ＝0在实数集内有解； ④当sin α>sin β时，α>β（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】C【分析】根据随机事件的定义，结合对数的单调性、一元二次方程根的判别式、正弦函数的性质进行判断即可.【详解】① ：lg 110x x ≥⇒≥，因为当x >10时，一定有lg 1x ≥成立，是必然事件，故本选项不符合题意；② ：x 2+x ＝0 0x ⇒=或1x =-，因此当x ∈R ，x 2+x ＝0一定有解，因此是必然事件，故本选项不符合题意；③ ：只有当0a ≤时，方程20x a +=在实数集内有解，因此是随机事件，故本选项符合题意；④ ：当0,181αβ︒︒==时，显然sin α>sin β成立，但是α>β不成立，因此是随机事件，故本选项符合题意.故选：C【点睛】本题考查了随机事件的判断，考查了对数不等式的解法，考查了三角不等式，属于基础题.12．（2019·江门市第二中学高二月考）有下列事件：①足球运动员点球命中；②在自然数集中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；④在洪水到来时，河流水位下降；⑤任意两个奇数之和必为偶数；⑥任意两个奇数之和为奇数.上述事件中为随机事件的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【分析】根据事件的定义求解.【详解】①足球运动员点球命中，是随机的，故是随机事件；②在自然数集中任取一个数为偶数，是随机的，故是随机事件；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；是必然的，故是必然事件；④在洪水到来时，河流水位下降，是不可能的，故是不可能事件；。

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第10讲抛物线(核心考点讲与练)1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质O (0,0)3．抛物线一些常用结论(1)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径．(2)y 2＝ax 的焦点坐标为,04p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为x ＝－a 4．(3)通径长度为2p （过抛物线焦点的弦中通径最短）；(4) 设抛物线方程：22y px =，过焦点的直线:2p l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（斜率存在且0k ≠），对应倾斜角为θ，与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ．联立方程：2222222y px p k x px p y k x ⎧=⎪⎛⎫⇒-=⎨⎛⎫ ⎪=-⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎩，整理可得：()22222204k p k x k p p x -++=（1）2124p x x =，212y y p =-；（2）1190A FB ∠=︒，90ANB ∠=︒，FN AB ⊥；（3）112||||FA FB p+=为定值；，以11A B 为直径的圆与AB 相切于F ；（5）2212222222121k p p k p p AB x x p p p k k k ++⎛⎫=++=+==+ ⎪⎝⎭22221cos 22121tan sin sin p p p θθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）()221112sin sin 2222sin 2sin AOB O l p p p S d AB OF AB θθθθ-=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=；（7）A ，O ，1B 三点共线；（8）MN 被抛物线平分．考点一：抛物线及其标准方程例1．（2020·上海市行知中学高三开学考试）抛物线24x y =的准线方程为（） A ．1x =B ．1x =-C ．1y =D ．1y =-例2．（2021·上海静安·一模）以坐标原点为中心的椭圆的长轴长等于8，且以抛物线212x y =的焦点为一个焦点，则该椭圆的标准方程是（）A ．2215564x y +=B ．2212864x y +=C ．221167x y +=D ．221716x y +=例3．（2021·上海松江·一模）若抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是___________.例4．（2021·上海嘉定·一模）已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线C ：()22210y x b b-=>的左顶点为A ，若双曲线C 的一条渐近线与直线AM 垂直，则双曲线C 的焦距为____________.例5．（2021·上海金山·一模）已知1P ､2P ､3P ､…､10P 是抛物线28y x =上不同的点，点()2,0F ，若12100FP FP FP +++=，则1210FP FP FP +++=___________例6．（2021·上海浦东新·一模）已知斜率为的直线l 经过抛物线C ：24y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于不同的两点()11,A x y 、()22,B x y .（1）若点A 和B 到抛物线准线的距离分别为32和3，求AB ；（2）若||||2||AF AB BF +=，求k 的值；（3）点(),0M t ，0t >，对任意确定的实数k ，若AMB 是以AB 为斜边的直角三角形，判断符合条件的点M 有几个，并说明理由.例7．（2022·上海市延安中学高二期末）已知抛物线2:6C y x =. （1）若抛物线C 上一点P 的纵坐标为P 到焦点F 的距离；（2）将抛物线C 按照向量(3,2)d =表示的方向和大小平移后得到曲线1C ，求1C 的方程.例8．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知椭圆C ∶22221x y a b+=（a >b >0）与抛物线y 2=4x 共焦点F ，且过点8(1,)3-，设(),P x y 是椭圆上任意一点，A 、B 为椭圆的左、右顶点，点E 满足(9,0)PE x =-．（1）求椭圆C 的方程；（2）判断PE PF是否为定值，并说明理由；（3）设Q 是直线x =9上动点，直线AQ 、BQ 分别交椭圆于M 、N 两点，求|MF | +| NF |的最小值．考点二：抛物线的简单几何性质例1．（2020·上海·高二课时练习）如图，过抛物线22y px =()0p >的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，准线与对称轴交于点M ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线的方程为（）A ．232y x =B ．23y x =C ．292y x =D ．29y x =例2．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）已知点A 的坐标为()0,2，点P 是抛物线24y x =上的点，则使得OPA 是等腰三角形的点P 的个数是（）A ．2B ．4C ．6D ．8例3．（2022·上海市延安中学高二期末）已知F 为抛物2:4y x Γ=的焦点，给出以下三个条件：①点A ､B ､C 均在抛物线Γ上；②0FA FB FC ++=；③A ､B ､C 中存在横坐标大于2的点.则同时满足这三个条件的三角形ABC 有（） A ．0个B ．2个C ．有限个且多于2个D ．无限个例4．（2021·上海市向明中学高三期中）已知抛物线24x y =上一点(,4)A m ，则点A 到抛物线焦点的距离为______________.例5．（2021·上海市建平中学高三期中）过抛物线2:2C y x =的焦点F 线交抛物线C 于点M （M 在x 轴上方），l 为抛物线C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为___________例6．（2021·上海徐汇·高二期末）抛物线22y px =上一点(1,)Q m 到抛物线焦点的距离为5，则实数m =________________．例7．（2022·上海·复旦附中高二期末）给出如下的定义和定理：定义：若直线l 与抛物线Γ有且仅有一个公共点P ，且l 与Γ的对称轴不平行，则称直线l 与抛物线Γ相切，公共点P 称为切点.定理：过抛物线22y px =上一点()00,x y 处的切线方程为00=+y y px px .完成下述问题：如图所示，设E ，F 是抛物线2Γ:2(0)y px p =>上两点.过点E ，F 分别作抛物线Γ的两条切线1l ，2l ，直线1l ，2l 交于点C ，点A ，B 分别在线段EC ，CF 的延长线上，且满足,==EC CA CF FB λλ，其中0λ>.（1）若点E ，F 的纵坐标分别为1y ，2y ，用1y ，2y 和p 表示点C 的坐标. （2）证明：直线AB 与抛物线Γ相切；（3）设直线AB 与抛物线Γ相切于点G ，求EFG ABCS S.例8．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4y x Γ=，点(1,0)C ，A ，B 为Γ上的两点，A 在第一象限，满足4OA OB ⋅=-.（1）求证：直线AB 过定点，并求定点坐标；（2）设P 为Γ上的动点，求||||OP CP 的取值范围；（3）记△AOB 的面积为1S ，△BOC 的面积为2S ，求12S S +的最小值.一、单选题1．（2020·上海·高二课时练习）过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A B ，两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在2．（2021·上海·曹杨二中高三期中）抛物线28y x =的准线方程是 A ．2x =- B ．4x =-C ．2y =-D ．4y =-3．（2018·上海市奉贤区奉城高级中学高二期末）已知A （3，2），点F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，为使PA PF +取得最小值，则点P 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（2，2）C ．(D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（2019·上海师范大学附属外国语中学高二期末）已知动点M 的坐标满足方程12512x y =+-，则动点M 的轨迹为（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．以上都不对二、填空题5．（2022·上海·高三专题练习）抛物线214y x =-的准线方程是________6．（2021·上海市长征中学高二期中）抛物线2y x =，其上一点P 到A (3，-1)与到焦点距离之和为最小，则P 点坐标为________7．（2020·上海市建平中学高二阶段练习）抛物线y 2=6x 的准线方程为_____． 8．（2020·上海市建平中学高二阶段练习）若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是____.9．（2021·上海市长征中学高二期中）已知抛物线22y px =上一点 (1, )M m 到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为____________．10．（2021·上海市长征中学高二期中）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，若直线AF 斜率为P 点的坐标为__________ 11．（2022·上海·高三专题练习）已知抛物线型拱桥的顶点距水面a 米时，量得水面宽为b 米，a ，b 为常量，当水面下降1米后，水面的宽为______米12．（2022·上海·高三专题练习）过点()2,4A -，且顶点在原点､对称轴为坐标轴的抛物线的标准方程为___________.13．（2021·上海·闵行中学高三期中）抛物线22(0)y px p =>过点(4,4)P ，则点P 到抛物线准线的距离为___________．14．（2021·上海虹口·一模）已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，A ，B 为此抛物线上的异于坐标原点O 的两个不同的点，满足12FA FB FO ++=，且0FA FB FO ++=，则p =______.15．（2019·上海市复兴高级中学高二期末）已知点E 是抛物线C :()220y px p =＞的对称轴与准线的交点,点F 是抛物线的焦点，点P 在抛物线上,在△EFP 中，sin sin EFPFEP∠∠的最大值为_________.16．（2022·上海·高三专题练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______.17．（2021·上海·模拟预测）已知椭圆2221x y a+=(0a >)的焦点1F 、2F ，抛物线22y px =的焦点为F ，若123F F FF =，若22z a p ≥-恒成立，则z 的取值范围为__________；18．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）若点F 是抛物线24y x =的焦点，点()1,2,3,4=i P i 在抛物线上，且12340PF P F P F P F +++=，则1234PF P F P F P F +++=__________.三、解答题19．（2021·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到直线l ：3x =-的距离比到点(3,0)F 的距离大2. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）请指出曲线C 的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由.20．（2020·上海市嘉定区第二中学高三期中）如图，抛物线2:(0)M y x bx b =+≠与x 轴交于O ，A 两点，交直线:l y x =于O ，B 两点，经过三点O ，A ，B 作圆C（1）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上；（2）求证：圆C经过除原点外的一个定点；（3）是否存在这样的抛物线M，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？22．（2021·上海闵行·一模）如图，某飞行器研究基地E在指挥中心F的正北方向4千米处，小镇A在E的正西方向8千米处，小镇B在F的正南方向8千米处.已知一新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪音污染，距离该飞行器1千米以内（含边界）为10级噪音，每远离飞行器1千米，噪音污染就会减弱1级，直至0级为无噪音污染（飞行器的大小及高度均忽略不计）.（1）判断该飞行器是否经过线段EF 的中点O ，并判断小镇A 是否会受到该飞行器的噪音污染？（2）小镇B 受该飞行器噪音污染的最强等级为多少级？22．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）过抛物线()220y px p =>上一定点()00,P x y 作两条直线分别交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y ，（1）若横坐标为2p 的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；（2）若()00,P x y 为抛物线的顶点，π2APB ∠=，试证明：过A 、B 两点的直线必过定点()2,0p ；（3）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求120+y y y 的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.23．（2021·上海市吴淞中学高三期中）已知点(1,2)P 在抛物线2:2C y px =上，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A 、B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . （1）求抛物线C 的方程；（2）求直线l 的斜率的取值范围；（3）设O 为原点，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：11+λμ为定值.。

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