四川省成都树德中学2020届高三数学上学期零诊考试试题 理(无答案)
高2020级第五期零诊考试
理科数学试题
时间:120分钟 满分:150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．
1．已知,xy均不为0，则xyxy的值组成的集合的元素个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2．设集合2320Mxxx，集合142xNx，则MNU（ ）
A.2xx B.1xx C.1xx D.2xx
3．已知集合Axxa，12Bxx，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a≥2 C．a < 1 D．a > 2
4.若命题2000:3,3,210pxxx，则对命题p的否定是( )
A．23,3,210xxx
B．2,33,,210xxxU
C．2000,33,,210xxxU
D．20003,3,210xxx
5.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b
6.命题:p函数2yxx在1,4上的值域为93,2；命题1122(1):loglog(0)aaqa.下列命
题中，真命题的是( )
A．pq B．pq C．pq D．pq
7．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{ x|x<0或x>6} D．{ x|x<-2或x>5}
8．已知命题p：14≤2x≤12，命题q：x＋1x∈－52，－2，则下列说法正确的是 ( )
A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的充要条件
C．p是q的必要不充分条件 D．p是q的既不充分也不必要条件
9.若函数()(01)xxfxkaaaa且在,上既是奇函数又是增函数，则函数
()()logxkagx
的图象
是
（ ）
10.已知函数()fx是,上的奇函数，且()fx的图像关于直线1x对称。当
1,0)x
时，1()12xfx，则(2016)(2017)ff( )
A.1 B.0 C.1 D.2
11. 已知函数lg (010)()16 (10)2xxfxxx若abc, 且()()()fafbfc
则223cabab的取值范围是( )
A.4,13 B.8,9 C.23,27 D.13,15
12．关于x的方程011222kxx，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．答案填在答题卡上．
13.幂函数2(33)mymmx=-+的图象过点(2,4)，则m ．
14. 设2(0)(),(0)xxfxxx，若4fa ，则实数a
15.已知函数f(x)的值域为[0,4](x∈[－2，2])，函数g(x)＝ax－1，2,2x，
12,2x，
0
2,2x
，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数a的取值范围是________．
16.已知函数3, 0,1()93,1,322xxfxxx当0,1t时，[()]0,1fft，则实数t的取值范
围是________ .
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满12分）
设3()21xfxx的定义域为A，()lg(1)(2)(1)gxxaaxa的定义域为B.
（1）求,AB；
（2）若:,:pxAqxB，p是q充分不必要条件，求实数a的取值范围。
18.（本小题满分12分）
设命题:P关于x的不等式2221(0,1)xaxaaaa的解集为xaxa;命题
2
:lg()Qyaxxa
的定义域为R.如果P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围。
19.（本小题满12分）
设a为实数，函数2()2()||fxxxaxa.
(1)若(0)1f，求a的取值范围；
(2)求()fx的最小值；
20.（本小题满分12分）
函数yfx对任意实数x、y满足fxfyxfy，且当0x时，0fx。
（1）求证：yfx是奇函数；
（2）判断yfx的单调性，并证明；
（3）对任意21,2,22tftxxft恒成立，求x的范围。
21.（本小题满分12分）
定义在上的函数fx，如果满足：对任意，存在常数，都有fxM成立，则
称fx是上的有界函数，其中称为函数fx的上界．
已知函数1112()1,()2412xxxxmfxagxm
（1）当1a时，求函数fx在,0上的值域，并判断函数fx在,0上是否为
有界函数，请说明理由；
（2）若函数fx在0,上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；
（3）若0m，函数gx在0,1上的上界是Tm，求Tm的取值范围．
22.（本小题满分10分）
已知(22)log,()2log(0,1,)xxtaafxgxaatR
(1)当4,1,2tx且()()()Fxgxfx的最小值为2时，求a的值；
(2)当01,1,2ax时，有()()fxgx恒成立，求实数t的取值范围.
【20套试卷合集】成都市树德实验中学2019-2020学年数学高三上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{}32,A x x n n N ==+∈，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B ⋂中的元素个数为（ ） A.5 B.4C.3D.22．复数(2)(12)z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列说法错误的是（ ）A.命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”B.如果命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，则命题q 一定是真命题C.若命题：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥D.“1sin 2θ=”是“6πθ=”的充分不必要条件4.已知函数210()cos 0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 的值域为[1,)-+∞C.()f x 是周期函数D.()f x 是增函数5.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布.A ．21 B.158 C.3116 D.29166．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为：①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是（ ）A ．①② B.②③ C. ①④ D.③④ 7.设函数()sin(2)6f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 的图像关于直线3x π=对称B.()f x 的图像关于点(,0)6π对称C.()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数D.把()f x 的图像向右平移6π个单位，得到一个奇函数的图像8．函数3lg ||x y x =的图象大致是 （ ）9. 执行右面的程序框图,如果输入的n =1,则输出的值满足（ ）A.B.C.D.10.等比数列{}n a 中，公比2q =，1479711a a a a +++=，则数列{}n a 的前99项的和99S =（ ）A.99B.88C.77D.6611.已知1tan()42πα+=，且(,0)2πα∈-，则22sin sin 2cos()4ααπα+=-（ ） A.B.C.12. ABC ∆中，若动点D 满足22+20CA CB AB CD -=，则点D 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ） A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量(1,2)=a ，(1,)m =-b ，若⊥a b ，则m = .14.已知实数,x y 满足条件001x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最小值为 .15. 已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上．若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为____ ____．16. 已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且13AD DB =．记∠ACD α= ，∠BCD β=． （1）求证：sin 3sin AC BC βα=； （2）若,,62AB ππαβ===BC 的长。
四川省成都市2020届高考一诊试卷数学(理科)(含答案)
四川省成都市2020届高考一诊模拟试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，则A∩B=（）A. {x|1＜x＜5}B. {x|x＞1}C. {2，3，4}D. {1，2，3，4，5}2.已知复数z满足iz=1+i，则z的共轭复数=（）A. 1+iB. 1-iC.D. -1-i3.若等边△ABC的边长为4，则•=（）A. 8B. -8C.D. -84.在（2x-1）（x-y）6的展开式中x3y3的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. -205.若等比数列{a n}满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（）A. -2B. 2C. ±2D.6.若实数a，b满足|a|＞|b|，则（）A. e a＞e bB. sin a＞sin bC.D.7.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，点E，F分别为棱BB1，CC1上两点，且BE=BB1，CF=CC1，则（）A. D1E≠AF，且直线D1E，AF异面B. D1E≠AF，且直线D1E，AF相交C. D1E=AF，且直线D1E，AF异面D. D1E=AF，且直线D1E，AF相交8.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m-1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A. m≤2B. m≥4C. 1＜m≤2D. 0＜m≤39.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为（）A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.设圆C：x2+y2-2x-3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则线段PC长度的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.12.设函数f（x）=cos|2x|+|sin x|，下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为π；③f（x）的最小值为0；④f（x）在[0，2π]上有3个零点．其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a3=5，则a n=______．14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为______．15.已知双曲线C：x2-=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与两条渐进线交于A，B两点，若•=0，=λ，则λ=______．16.若函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：消费次第第1次第2次第3次第4次第5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X 的分布列和数学期望E（X）．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）若△ABC的周长为8，求△ABC的面积的取值范围．19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=60°，，．（Ⅰ）证明：平面CDD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D1-AD-C的余弦值．20.设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P，Q，直线PQ恒过点B（4，0）．（Ⅰ）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得|GM|•|GN|为定值？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．21.设函数，，．（Ⅰ）证明：f（x）≤0；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数）与曲线C：（m为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当α=时，求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）若|MA||MB|=2||MA|-|MB||，其中M（，0），求直线l的倾斜角．23.已知函数f（x）=|x+1|+|ax-1|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，证明：a+b≥0．答案和解析1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】n14.【答案】0.415.【答案】116.【答案】[，1）∪{2}∪[e，+∞）17.【答案】解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，∴估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），∴公司这两次服务的平均利润为（元）．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为：X5045403530P0.60.20.10.050.05X数学期望为E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．【解析】（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列．本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵且sin（A+C）=sin B∴，又∵∴，∴，∴，∴，∴．（2）由题意知：a+b+c=8，故b=8-（a+c）∴，∴∴，，∴∴，或（舍），即∴（当a=c时等号成立）综上，△ABC的面积的取值范围为．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】（1）证明：令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，∵，∴D1O⊥DC且又∵底面ABCD为边长为2的菱形，且∠ADC=60°，∴AO=，又∵，∴，∴D1O⊥OA，又∵OA，DC⊆平面ABCD，OA∩DC=O，又∵D1O⊆平面CDD1，∴平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，∵D1O⊥平面ABCD，∴D1O⊥AD，∴AD⊥平面OHD1，∴AD⊥HD1，∴∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，又∵OD=1，∠ODA=60°，∴，∴，∴．【解析】（1）令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，证明D1O⊥DC，D1O⊥OA，然后证明平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，说明∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，通过求解三角形，求解即可．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，由得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，△＞0，可得：，，，==；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，得x3=2-，即M（2-，0），同理，即N（2-，0），设x轴上存在定点G（x0，0），=|（x0-2）2+（x0-2）（）+|=，要使|GM|•|GN|为定值，即x0-2=1，x0=3，故x轴上存在定点G（3，0）使|GM|•|GN|为定值，该定值为1．【解析】（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-cos x在x∈[0，]上单调递增，f′（x）∈[-1，]，所以存在唯一x0∈（0，），f′（x0）=0．当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x0，），f′（x）＞0，f（x）递增．所以f（x）max=max=0，∴f（x）≤0，0≤x≤；（Ⅱ）g′（x）=-sin x+m（x-），g″（x）=-cos x+m，当m≥0时，g′（x）≤0，则g（x）在[0，]上单调递减，所以g（x）min=g（）=，满足题意．当-＜m＜0时，g″（x）在x上单调递增．g''（0）=+m＞0，所以存在唯一x1∈（0，），g″（x1）=0．当x∈（0，x1），g″（x）＜0，则g′（x）递减；当x∈（x1，），g″（x）＞0，则g′（x）递增．而g′（0）=-m＞0，g′（）=0，所以存在唯一x2，g′（x2）=0，当x∈（0，x2），g′（x）＞0，则g（x）递增；x，g′（x）＜0，则g（x）递减．要使g（x）≥恒成立，即，解得m≥，所以≤m＜0，当m≤-时，g″（x）≤0，当x∈[0，]，g′（x）递减，又，g′（x）≥0，所以g（x）在递增．则g（x）≤g（）=与题意矛盾．综上：m的取值范围为[，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；（Ⅱ）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min=g（）=，当-＜m＜0时，与题意矛盾，综合可求出m的取值范围．本题考查利用导数求函数单调区间，求函数最值问题，还涉及函数恒成立问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程为y=x-；由曲线C：（m为参数），消去参数m，可得曲线C的普通方程为y2=2x；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，得．，．由|MA||MB|=2||MA|-|MB||，得|t1t2|=2|t1+t2|，即，解得|cosα|=．∴直线l的倾斜角为或．【解析】（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程；直接把曲线C的参数方程消去参数m，可得曲线C的普通方程；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cosα|=，则直线l的倾斜角可求．本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-1|=．∵f（x）≤4，∴或-1≤x≤1或，∴1＜x≤2或-1≤x≤1或-2≤x＜-1，∴-2≤x≤2，∴不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，则x+1+|ax-1|≤3x+b，∴|ax-1|≤2x+b-1，∴-2x-b+1≤ax-1≤2x+b-1，∴，∵x≥1，∴，∴，∴a+b≥0．【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）中，然后将f（x）写出分段函数的形式，再根据f（x）≤4分别解不等式即可；（Ⅱ）根据当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，可得|ax-1|≤2x+b-1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2024-2025学年四川省成都市高三上学期12月月考数学检测试题(含答案)
2024-2025学年四川省成都市高三上学期12月月考数学检测试题本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．若集合且，则（ ）{0,1,2},{1,2,3},{A B C xx A ===∈∣}x B ∈C =A ．B ．C ．D ．{1,2}{0,1,2,3}{3}{0}2．下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，其中最小的1234,,,r r r r 是（ ）A ．B ．C ．D ．1r 2r 3r 4r 3．等比数列中，若，则的公比为（ ）{}n a 12232,8a a a a +=+={}n aA ．B ．C ．2D ．42±4．若圆与圆相交于A ，B ，则所在直线方22250x y x +--=222440x y x y ++--=AB 程是（ ）A ．B ．C ．D ．4410x y -+=4410x y --=10x y +-=10x y -+=5．已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且()2,X N μσ-()f x (2)()f x f x -=，则（ ）(0)0.1P X ≤=(12)P X ≤≤=A ．0.8B ．0.5C ．0.4D ．0.16．若空间四点A ，B ，C ，D 共面而不共线，则这四点中（ ）A ．必有三点共线 B ．至少有三点共线C ．必有三点不共线D ．不可能有三点共线7．若数列满足，其前n 项和为，则（ ）{}n a 128n n a n=-n S A ．既无最大值，又无最小值 B ．当且仅当时，取得最小值n S 1n =n S C ．当且仅当时，取得最小值D ．8n =n S *7,n n S S ∀∈≥N 8．如图，画在纸面上的抛物线过焦点F 的弦长为9，则沿x 轴将纸面折成平面28y x =AB 角为60度的二面角后，空间中线段的长为（ ）ABA ．BCD 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若，则一定有（ ）0a b >>A B ． C ． D ．2a b +<22a b ab a b +>+b m b a m a+>+(0,0)a ba b λμλμλμ+>>>>+10．已知复数在复平面内对应的向量分别为，1212i,1i,,,,z a z b a b z z =+=+∈R 12,OZ OZ其中O 为原点，则下列结论正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则12OZ OZ ⊥ 0a b +=12OZ OZ ⊥1212z z z z +=-C ．若，则D ．若，则12OZ OZ∥1ab =12OZ OZ∥12z z ∈R11．时钟是伴随我们日常生活的必要物品．下面关于它的说法，正确的有（ ）A ．一天24小时内时针和分针重合22次（第一天零点算第一次重合，第二天零点不再重复算）B ．零点时针和分针算第一次重合，则第六次重合时大约在早上5点27分到5点28分之间C ．设分针长度为10厘米，分别以分针指向表盘读数12和3的方向为y 轴正半轴和x 轴正半轴方向建立平面直角坐标系，以某天零点开始记（单位：分钟），若时钟正常工作，0t =则在这之后，分针终点横坐标（单位：厘米）10cos (0)302t x t ππ⎛⎫=+>⎪⎝⎭D ．设下午5点20分时，时针和分针所成的锐角为，则rad α4sin cos 5ααα<<<三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若，则___________．tan 2α=sin 2α=13．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为___________．12,e e 60︒1e 122e e -14．与函数的解析式和值域相同，定义域不同的函数有32()3({0,1,2})f x x x x =-∈___________个．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题13分）在中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知ABC △．sin cos 0c B C =（1）求角C 的值；（2）若，求的面积．4,a c ==ABC △16．（本题15分）已知函数．()(1)ln 2f x x x ax =+-+（1）当时，求的图象在处的切线方程；1a =()f x (1,(1))f （2）若函数在上单调递增，求实数a 的取值范围．()f x (1,)+∞17．（本题15分）已知三棱锥中，与底面所成角相等，P ABC -PA PB PC 、、ABC ，为中点，E 点在上且截面．90CAB ∠=︒2,AC AB PB D ===BC PB PC ∥EAD（1）求证：平面；PD ⊥ABC （2）求直线到平面的距离．PC EAD 18．（本题17分）已知无穷数列满足．{}n a ()*1120242023,2025n n a a n a +=-∈=N（1）求的通项公式；{}n a （2）树德中学各班将要举行“辞2024旧岁，迎2025新年”的主题活动，要求有一些含学科元素的游戏或节目某班数学科代表想用这个数列，组织如下游戏：让参与同学在数列中随{}n a 机抽取10项，如果在这10项中，至少有k 项的值能被2025整除，则这个同学即中奖并得到小礼物（此构想由信息科代表协助编程完成，即抽取项的序号可由计算机产生随机数，抽取项的值能否被2025整除也由计算机来判断，游戏时同学只需要按一次键即可知道抽取和判断结果），（i ）设随机变量表示抽取项中能被2025整除的项的个数，求；ξ()E ξ（ii ）本着开心迎新年的原则，若要中奖概率大于90%，那么规定是否合理，若合理，3k =请说明理由；若不合理，请给出一个合理的k 取值方案．19．（本题17分）我们可以通过将平面直角坐标三角换元得到平面内一点绕坐标原点O 的坐标旋转公式：如图，平面直角坐标系中，已知点，设，角始边在x 轴非(),P x y OP r =α负半轴，终边与重合，则可得，将绕坐标原点O 逆时针旋转后，POP cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩OP θ点旋转到．(),P x y '''（1）求证：；cos sin sin cos x x y y x y θθθθ'=-⎧⎨'=+⎩（2）已知曲线C 是函数的图象，它是某双曲线绕原1y x x=+22221(0,0)x y a b a b -=>>点O 逆时针旋转后得到的，求C 的离心率；3π（3）已知曲线是由某椭圆绕原点O 逆时针旋转22:1E x y xy +-=22221(0)x y a b a b+=>>后所的斜椭圆，过点作与两坐标轴都不平行的直线交曲线E 于点M 、N ，4πQ 1l过原点O 作直线与直线垂直，直线交曲线E 于点G 、H 是否为2l 1l 2l 21||OH 定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由．数学答案一、单项选择题1．A2．B3．D4．A5．C6．C7．D8．B二、多项选择题9．BD10．ABC11．ABD三、填空题12．13．（或） 14．624590︒2π四、解答题15．解：（1）在中，由及正弦定理，得ABC △sin cos 0c B C =，而，则，sin sin cos 0C B B C +=(0,),sin 0B B π∈>tan C =(0,)C π∈所以．（6分）23C π=（2）在中，由余弦定理得，而，ABC △2222cos c a b ab C =+-23C π=因此，又，解得，228164b b =++0b >2b =所以的面积（13分）ABC △11sin 2422ABC S ab C ==⨯⨯=△16．解：（1）当时，1a =，1()(1)ln 2,(0),()ln ,(1)1,(1)1f x x x x x f x x f f x''=+-+>=+==所以的图象在处的切线方程为：．（7分）()f x 1x =y x =（2），若函数在上单调递增，1()ln 1f x x a x'=++-()f x (1,)+∞则对于恒成立，即对于恒成立，()0f x '≥(1,)x ∈+∞1ln 1a x x≤++(1,)x ∈+∞令，当时，，则函数在上单1()ln 1,(1)g x x x x =++>1x >21()0x g x x-'=>()g x (1,)+∞调递增，所以，故．（15分）()(1)2g x g >=2a ≤17．解：（1）与底面成相等的角，设P 在面上射影为O ，则PA PB PC 、、ABC ABC 有，,PAO PBO PCO PAO PBOPCO ∠=∠=∠∴△≌△≌△且是的外心．PA PB PC ∴==,OA OB OC O ==∴ABC △是直角三角形，且O 是斜边的中点，点和D 点重合，ABC △BC O ∴即面．（7分）PD ⊥ABC （2）法一：由（1）平面．PD ⊥,ABC PD AD ∴⊥又平面（亦可由三垂线定理说明）①．,AD BC AD ⊥∴⊥ ,PBC PB AD ∴⊥且．又，2AB AC == 90,BAC BC ∠=︒∴=2PB PC ==也是等腰直角三角形，，，BPC ∴△90BPC ∠=︒PB PC ∴⊥截面，过的平面与平面交于，PC ∥EAD PC PBC EAD ED ，PC ED ∴∥②，由①②得：平面点到平面的距离即，PB ED ∴⊥PB ⊥,EAD P ∴EAD PE ，且由知E 是中点，2PB AB == PC ED ∥PB ．P 点到平面的距离为1．1212PE ∴=⨯=EAD 平面到平面的距离即为P 点到面的距离，即为1．PC ∥,EAD PC ∴EAD EAD法二：截面，过的平面与平面交于，PC ∥EAD PC PBC EAD ,ED PC ED ∴∥是中点，是中点，．D BC E ∴PB 11122DE PC PB ∴===由（1）平面，又平面，PD ⊥,ABC PD AD ∴⊥,AD BC AD ⊥∴⊥ PBC，且，AD DE ∴⊥12AD BC ==，21111121,2242ADEACDABCS S S EF PD ∴====⨯===△△△设C 点到面的距离为h ，．，EAD ,,1ADE ACD h S h SEF ∴⋅=⋅=△△1h =平面到平面的距离即为C 点到面的距离，即为1．PC ∥,EAD PC ∴EAD EAD方法三：建系，正确即可，此处略．（15分）18．解：（1）由已知：，()112024202420241n n n a a a +-=-=-又．（6分）1112024,1202420242024,20241n n n n n a a a --=∴-=⋅=∴=+ （2）（i ）由二项式定理，，11221(20251)12025202520252025(1)1n n n n n n n n n n a C C C ---=-+=-+-⋯-+-+要能被2025整除，需，则为正奇数．（10分）n a ()*(1)10n n N -+=∈1,3,5,7,n =⋯且是无穷数列，奇数项和偶数项一样多，所以随机抽取一项能被2025整除的概率是，n a 12且每次抽取相互独立，．（13分）11~10,,()10522B E ξξ⎛⎫∴∴=⨯= ⎪⎝⎭（ii ）设中奖概率为P ，则1010101210101111(0)(1)(2)1222P P P P C C ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-==--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以规定合理．（17分）1011045561190%21024++=-=->（注：第（2）（i ）问需完全归纳推理，如二项式定理，数学归纳法或其它方法均可．如果是通过强力计算前几项发现奇数项能被2025整除的规律的，属于不完全归纳，得2分）19．解：（1）证明：经过逆时针旋转到后，角终边与重合，θP 'αθ+OP '所以，cos()cos cos sin sin cos sin x r r r x y αθαθαθθθ'=+=-=-，得证．（4分）sin()sin cos cos sin cos sin y r r r y x αθαθαθθθ'=+=+=+（2）法一：直接求离心率（抓住离心率与渐近线夹角即双曲线开口宽阔程度相关的本质）易知曲线C 的渐近线是与y 轴，它们夹角为，顺时针旋转回去后两渐近线夹角y x =3π仍为，设曲线C 的离心率为e ，则．（10分）3πe ==法二：先求双曲线标准方程，再求离心率（轨迹思想，旋转不改变形状）设曲线C 上一点为，逆时针旋转后的点在的图象上，(,)P x y 3π(),P x y '''1y x x=+由（1）知：，若将以上坐标代入得：11,22x x y y y x ''==+1y x x ''=+'12y x +=+，2111222y x x y x y ⎫⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭化简即得曲线C2211,,3b e a =∴==∴==由于旋转不改变形状，所以曲线C．（10分）（3）法一：先求标准椭圆方程选择一：用第（2）问法二的方法求（略）：选择二：由与交点为和，则，y x =221x y xy +-=(1,1)(1,1)--22a =由与交点为和，则，y x =-221xy xy +-=⎛⎝223b =所以．从而可得椭圆方程为，点Q 旋转后的坐标为，（12分）243c =223122x y +=⎫⎪⎪⎭当直线旋转后斜率不存时，，1l 21|||2||MN OH OH ==+=当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为1l 1l x my =，()()1222,,M x y N x y 、与椭圆方程联立，即，可得，223122x y +=223122x my x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()223320m y ++-=，()12122233y y y y m ∴+==-+（14分）||MN ∴==设直线旋转后为，代入椭圆方程中，2l y mx =-223122x y +=有，（16分）22222222222222,,||131313m m xy OH x y m m m+=∴==+=+++．（17分）()2221312||21m OHm ++==+法二：不求标准椭圆方程，直接从斜椭圆入手．设直线，与斜椭圆联立：()()11222:,,,l y k x M x y N x y ⎛-=- ⎝、22:1E x y xy +-=有，（12分）22,1y k x x y xy ⎧⎛-=-⎪ ⎨⎝⎪+-=⎩())222221321(1)103k k xk k x k -++--+--=，212122122231k k x x x x k k --+==-+||MN∴===（14分）设直线，代入斜椭圆，有，（16分）21:l y xk=-22:1E x y xy+-=2222111x x xk k++=，2222221,||11k kx OHk kk k+∴=∴=++++．（17分）222221112||11k k k kOH k k-+++=+=++。
2020届成都市三诊理科数学试卷(Word版含答案)
64成都市 2017 级三诊 理科数学试题、选择题： （每小题 5分，共 60 分。
） 1．已知集合 A {0,x},B {0 , 2,4} ，若 A B ，则实数 x 的值为（ ） (A)0 或 2 (B)0或 4 (C)2或 4 (D)0 或 2或 4 2．若复数 z 满足 zi ＝2＋ 5i （i 为虚数单位 ），则 z 在复平面上对应的点的坐标为（ ）（A ）（2 ，5） （B ）（2 ， -5） （C ）（-5 ， 2） （D ）（5 ，-2） 3．命题 “x 0∈ R ，x 02－ x 0＋1≤0的否定是 （ ）(A) x 0 R,x 02－x 0＋ 1>0(B) x ∈ R ， x 2－x ＋1≤04．如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（7．在等比数列 {a n }中，已知 a n a n 1 9n，则该数列的公比是（A ) -3 (B)3 (C) ±3 (D)9 8．已知函数 f （x ）＝x 3－3x ，则 “a>-1”是“f （a ）>f （－1）”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ） 既不充分也不必要条件22xy 9．已知 F 1，F 2 是双曲线2 2 a 2b2(A) [ 5, 13] (B)[ 5,3] (C)(C) x 0 R ，x02－x0＋1≥0(D) x ∈ R ，x2－x ＋1>0 的一条渐近线相交于点 A ，且 F 1AF 2 ，则该双曲线离心率的取值范围是（5．已知函数f (x)＝2x 2 x ,则 f log 23 =( (A)2 (B)83(C)310(D) 36．已知实数 x,y 满足 1 0,2 0, y 5, 0(A)4 (B)6 (C)8(D)10则 z ＝ 2x ＋ y 的最大值为（1 a 0,b 0 的左，右焦点，经过点 F2 且与 x 轴垂直的直线与双曲线[3, 13] (D)[ 7,3]π10．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为 20 2m ，圆心角为 4的扇形空地 OPQ 的内部修建一平行四边形观赛场地 ABCD ，如图所示则观赛场地的面积最大值为（ ） （A ）200m 2（ B ） 400（2－ 2）m 2（C ）400（ 3－1）m 2（D ）400（ 2－ 1）m 211．在三棱锥 P —ABC 中, AB BC , P 在底面 ABC 上的投影为 AC 的中点 D ， DP = DC= 1, ①三棱锥 P — A B C 的三条侧棱长均相等； ②∠ PAB 的取值范围是 （4π，2π） ③若三棱锥的四个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的体积为 23π3 6＋ 22其中正确结论的个数是（ ）已知 y 与 x 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为170，利用该回归直线方程预测得 y $117,则 b $的值为 15 ．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ， 若a 1=1.S 5=35, 且 2Sn Sn 1S n 1(n ⋯2且 n N +, 则n n 1 n 1有下列结论： ④若 A B = B C ，E 是线段 PC 上一动点，则 DE+BF 的最小值为 (A)1 (B)2 (C) 3 (D)412．已知函数 f x Asin(1 A 0,01), f 855，且 f （x ） 在区间30,3上的 4最大值为 2．若对任意的 x1， x 2∈ [0， t]，都有 2f x 1 f x 2 成立，则实数 t 的最大值是（ 3π (A) 42π (B)23π二、填空题： （每小题 7（C ）125 分，共 20π (D)213．已知向量 a （1,),b (2,3), 且 a b, 则实数 λ的值为 ▲ 连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表：y $＝b $x ＋a $, 若下一次实验中 x ＝ 14．某实验室对小白鼠体内 x ， y 两项指标进行研究，111 L 的值为 ▲a1a 2 a 2a3a10a1116． 已知点 F 为抛物线 y 2＝2px （p> 0）的焦点， 经过点 F 且倾斜角为 0 2 的直线与抛物线相交于A ，B 两点 OAB ,（ O 为坐标原点 ）的面积为 2sin 2α，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 M ，则|FM|的值 为▲三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2024-2025学年四川省成都市树德中学高三上学期10月月考数学试题及答案
1.已知集合2，0，则A ．{}2x x ≤B ．{}4x x ≤C ．{}04x x <≤D ．{}02x x <≤2.设()1,2a =- ，()4,b k = ，若a b ⊥，则a b +=A ．5B ．C ．20D ．253.设甲：{}n a 为等比数列；乙：{}1n n a a +⋅为等比数列，则A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4.已知tan 3α=-，则3sin sin sin 2（）ααπα-=+A ．34-B ．34C ．310D ．310-5.已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是A ．47（，）-∞B ．33（-，）∞C ．(]0，-∞D ．()0，-∞6.已知抛物线E ：24y x =的焦点为F ，以F 为圆心的圆与E 交于,A B 两点，与E 的准线交于,C D两点，若CD =，则AB =A ．3B ．4C ．6D ．87.在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则A ．函数()e x y f x =⋅的最大值为1B ．函数()e xy f x =⋅的最小值为1C ．函数()e x f x y =的最大值为1D ．函数()exf x y =的最小值为18.已知函数()2ln2x f x x+=-，设()()()220.3log 0.32ln 2，，a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a c b>>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c b a>>二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min ，样本方差为9；骑自行车平均用时15min ，样本方差为1.已知坐公交车所花时间X 与骑自行车所花时间Y 都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计,X Y 分布中的参数，并利用信息技术工具画出X 和Y 的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是A ．()2103，X NB ．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到C ．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车D ．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车10.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对于任意x R ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立．当[)0,2x ∈时，()21x f x =-，下列结论中正确的有A ．()20f =B ．函数()y f x =在()2,4上单调递增C ．直线4x =是函数()y f x =的一条对称轴D ．关于x 的方程()2log 2f x x =+共有4个不等实根11.我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM ）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为1θ，2θ，则下列结论中正确的有附：椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=.A ．圆法中圆的半径为52B ．12tan 3θ=C ．12θθ>D ．12θθ<三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.“十一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，将增派6名警力去,A B 两个景区执勤.要求A 景区至少增派3名警力，B 景区至少增派2名警力，则不同的分配方法的种数为.13.已知圆台的下底面半径为6，上底面半径为3，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为．14.已知函数()()()()123(0)f x a x x x x x x a =--->，设曲线()y f x =在点()(),i i x f x 处切线的斜率为()1,2,3i k i =，若123,,x x x 均不相等，且22k =-，则134k k +的最小值为．四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足)2222sin bc A a c b =+-．(1)求B 的大小；(2)若3b =，ABC ∆，求ABC ∆的周长．16.(15分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点,（E P 为椭圆C 的右顶点，O 为坐标原点，OPE ∆的面(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点(1,0)D -作直线l 与椭圆C 交于,A B ,A 关于原点O 的对称点为C ，若||||BA BC =，求直线AB 的斜率.17.(15分)如图，在四棱锥Q ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，//CD AB ，BC AB ⊥，平面QAD ⊥平面ABCD ，QA QD =，点M 是AD 的中点.(1)证明：QM BD ⊥.(2)点N 是CQ 的中点，22AD AB CD ===，当直线MN 与平面QBC 时，求QM 的长度．18.(17分)已知函数()22ln f x x x a x =-+，()a ∈R .(1)若1a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线；(2)若对任意的()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，有()()()1221120x x x f x x f x ⎡⎤-⋅->⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.19.(17分)2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球最快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有p 的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X .(1)已知13p =，求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；(2)若一条信息有()*1,n n n >∈N 种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为1p ，2p ，…，n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H ；(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y (1,2,3,,,)Y n = ，证明：当n 无限增大时，Y 的数学期望趋近于一个常数.参考公式：01q <<时，lim 0nn q →+∞=，lim 0n n nq →+∞=.树德中学高2022级高三上学期10月阶段性测试数学试题参考答案一．单选题：1-8CAACB DCC 二．多选题：9-11ACD AC AD 三．填空题12-14354181.【答案】C 【详解】由2log 1x ≤，则22log log 2x ≤，所以02x <≤，所以{}{}2log 102A x x x x =≤=<≤，{}04A B x x ⋃=<≤故选：C2.【答案】A 【详解】()1,2a =- ，()4,b k = ，若a b ⊥ ，则有1420a b k ⋅=-⨯+=，解得2k =，则有()()()1,24,23,4a b =-+=+ ，得5a b += .故选：A 3.【答案】A 【详解】充分性：若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则12111n n n n n n a a a a a a q ++--⋅⋅==，所以{}1n n a a +⋅为等比数列，公比为2q ，满足充分性.必要性：若{}1n n a a +⋅为等比数列，公比为2-，则112n n n n a a a a +-⋅=-⋅，即112n n aa +-=-，假设{}n a 为等比数列，此时1212n n a q a +-==-无解，故不满足必要性.所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A 4.【答案】C 【详解】因为tan 3α=-，则33sin sin sin sin cos sin 2ααααπαα--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()2222sin 1sin sin cos tan 3cos cos sin 1tan 10ααααααααα---====++.故选：C.5.【答案】B 【详解】当(]0,2x ∈时，由2230ax x a -+<可得22233x a x x x<=++，由基本不等式可得23x x≤+，当且仅当x =3a <.故选：B.6.【答案】D 【详解】由抛物线方程知：12p=，()1,0F ∴，不妨设点A 在第一象限，如图所示，直线CD 与x 轴交于点E ，由CD =，则2ED EF ==，圆的半径()222125r +=，所以5AF =，由抛物线的定义可得：52A px +=，所以4A x =，又因为点A 在抛物线上，所以()4,4A ，248AB ∴=⨯=．故选：D.7.【答案】C 【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，故()()()()()0e e e x x xy f x f x f x f x ='''=⋅+⋅+>⋅恒成立，故()e xy f x =⋅在R 上单调递增，则A ，B 显然错误，对于C ，D ，()2()e ()e ()()e e x xxx f x f x f x f x y ''--'==，由图像可知(,0)x ∈-∞，e ()()0x f x f x y '-=>'恒成立，故()e xf x y =单调递增，当(0,)x ∈+∞，()()0e xf x f x y '-'=<，()ex f x y =单调递减，所以函数()e xf x y =在0x =处取得极大值，也为最大值，()010ef =，C 正确，D 错误.故选：C8.【答案】C 【详解】解：函数()2ln2x f x x+=-，由202x x+>-，即(2)(2)0x x +-<，2x <解得()2,2x ∈-显然()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数，∴当()0,2x ∈时，()2ln2xf x x+=-在()0,2x ∈单增，()f x ∴在()20，-上为减函数，在()0，2上为增函数()220.30.301=∈，，322222103log 0.3log 0.3log log 232=-=>=所以22103log 0.3log ,232⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3232ln 2ln 4ln 2e =<=，32ln 212⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴b c a >>．故选：C ．二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】ACD 【详解】由题意知，()2~10,3X N ，()2~15,1Y N ,A 正确。
高三试卷数学(理)-四川省成都市树德中学2024届高三上学期10月阶段性测试数学(理)试卷及参考答案
树德中学高2021级高三上学期10月阶段性测试数学(理科)试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A =1,2,3 ，B =4,5 ，M =x x =a +b ,a ∈A ,b ∈B ,则集合M 的元素个数为()A.7B.6C.5D.42．如果复数m 2-3m +m 2-5m +6 i 是纯虚数，则实数m 的值为( )A.0B.2C.0或3D.2或33．已知直线l 1:x -3y +2=0,l 2:3x -ay -1=0，若l 1⊥l 2，则实数a 的值为( )A.1B.12 C.-12D.-14．已知平面α，β，γ，直线a ，b ，c ，下列说法正确的是( )A.若a ⎳α，b ⎳β，a ⎳b ，则α⎳βB.若a ⊥α，α⊥β，则a ⎳βC.若a ⊥α，b ⎳β，α⎳β，则a ⊥bD.若α∩γ=a ，β∩γ=b ，a ⎳b ，则α⎳β5．向量a ，b ，c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若e 为与c 同方向的单位向量，则a +b ⋅e =( )A.1.5 B.2C.-4.5D.-36．已知等比数列a n 各项均为正数，3a 2+2a 3=a 4，a n 的前n 项和为S n ，则S 3a 2=( )A.3B.133C.72D.137．要得到函数f x =sin 2x +π3 的图象，可以将函数g x =sin 2x +π12的图象( )A.向左平移π4个单位 B.向左平移π8个单位C.向右平移π4个单位D.向右平移π8个单位8．设函数f x 的定义域为R ，且f 2x +2 是奇函数，f x +1 是偶函数，则一定有( )A.f -1 =0B.f 3 =0C.f 4 =0D.f 5 =09．阅读下段文字：“已知2为无理数，若(2)2为有理数，则存在无理数a =b =2，使得a b 为有理数；若(2)2为无理数，则取无理数a =(2)2，b =2，此时a b =(2)2 2=(2)2⋅2=(2)2=2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是( )A.(2)2是有理数B.(2)2是无理数C.存在无理数a ，b ，使得a b 为有理数D.对任意无理数a ，b ，都有a b 为无理数10．一个盒子中装有a 个黑球和b 个白球(a ，b 均为不小于2的正整数)，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为A 1，“第一次取得白球”为A 2，“第二次取得黑球”为B 1，“第二次取得白球”为B 2，则( )A.P A 1B 2 =aba +b2B.P A 2B 1 =b a +b ⋅b -1a +b -1C.P B 1A 1)+P (B 2 A 1 <1D.P B 2A 1)+P (B 1 A 2 >111．如图，双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与其右支交于P ，Q 两点，已知PF1 =2PF2 且∠PF 1F 2=∠F 1QP ，则双曲线E 的离心率为( )A.3B.2C.3D.212．已知函数f x =(x -3)3+2x -6，且f 2a -b +f 6-b >0a ,b ∈R ，则( )A.sin a >sin bB.e a >e bC.1a >1bD.a 2024>b 2024二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13．设命题p :2x -1x -1<0，命题q :x 2-2a +1 x +a a +1 ≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_________14．过点(2,2)的直线l 被圆C ：x 2+(y +1)2=16所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l 有条.15．已知多项式f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4满足对任意θ∈R ,f (cos θ)=2cos4θ+cos3θ，则a 1-a 2+a 3-a 4=(用数字作答)．16．若曲线y =axx >0 与曲线y =2ln x 存在公切线，则实数a 的取值范围为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每题满分12分，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，每题满分10分，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分.17．已知等差数列a n 满足a 2=3,S 5=25.(1)求数列an 的通项公式；(2)设b n =1a n +1+a n,T n 为数列b n 的前n 项和，求T n .18．如图，四边形ABCD 与四边形BDEF 均为菱形，∠DAB =∠DBF =60°，FA =FC .(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；(2)求二面角A -FC -B 的余弦值.19．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；(2)为验证抽球试验成功的概率不超过12，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t 表示成功时抽球试验的轮次数，y 表示对应的人数，部分统计数据如下：t 12345y23298604020求y 关于t 的回归方程y =b t +a，并预测成功的总人数(精确到1)；附：经验回归方程系数：b =ni =1x i y i -nx ⋅yn i =1x 2i -nx2 ，a =y -b x；参考数据：5i =1x 2i=1.46 ，x =0.46，x 2=0.212(其中x i =1t i ，x =155i =1x i )．20．已知抛物线C1:y2=x，圆C2:x-42+y2=1．(1)求圆心C2到抛物线C1准线的距离；(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A、B两点，若直线PC2的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，k1·k2=-524，求点P的坐标．21．已知函数f x =e x-kx2，k>0．(1)若k=2，求函数f x 的极值点的个数；(2)是否存在正实数k,使函数f x 的极值为2ek2，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=-1+22ty=1+22t(t为参数)，圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l及圆C的极坐标方程；(2)若直线l与圆C交于A,B两点，求cos∠AOB的值.23．已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)解不等式f(x)≤x+1；(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a,b满足a>0,b>0,a+b=c，求证：a2a+1+b2b+1≥1.树德中学高2021级高三上学期10月阶段性测试数学(理科)试题参考答案题号123456789101112答案DA DCD BBCCDBB13. 0,12 14.915.116.-2e ,0.17.(1)因为数列a n 为等差数列，设公差为d ，则S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=25，所以a 3=5，又a 2=3，所以a 1+2d =5a 1+d =3 ，解得a 1=1，d =2.则a n =1+2n -1 =2n -1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)由(1)知，b n =12n +1+2n -1.所以b n =2n +1-2n -1(2n +1+2n -1)(2n +1-2n -1)=12(2n +1-2n -1)T n =12(3-1+5-3+⋯+2n +1-2n -1)=12(2n +1-1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分18.(1)证明：设AC 交BD 于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，O 为AC 中点，又∵FA =FC ，∴AC ⊥FO ，又FO ∩BD =O ，FO ⊂平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ，∴AC ⊥平面BDEF ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)解：如图，连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，∠DBF =60°，∴△DBF 为等边三角形，又∵O 为BD 中点，∴FO ⊥BD ，又AC ⊥FO ，AC ∩BD =O ，AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴FO ⊥平面ABCD ，分别以OA ，OB ，OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设AB =2，则BD =2，AC =23，又∴△DBF 为等边三角形，∴OF =3，∴点O 0,0,0 ，A 3,0,0 ，B 0,1,0 ，C -3,0,0 ，F 0,0,3 ，∴CF =3,0,3 ，CB =3,1,0 ，设平面BCF 的一个法量n=x ,y ,z ，则CF ⋅n=3x +3z =0CB ⋅n=3x +y =0，令x =1，得n=1,-3,-1 ，∵FO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FO ⊥BD ，又因为AC ⊥BD ，AC ∩FO =O ，所以BD ⊥平面AFC ，则OB=0,1,0 即为平面AFC 的一个法向量，∴cos n ,OB =n ⋅OB n OB=-155，又二面角A -FC -B 的平面角是锐角，∴二面角A -FC -B 的余弦值为155.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分19.(1)由题知，X的取值可能为1，2，3所以P X=1=1C122=14；P X=2=1-1C1221C132=112；P X=3=1-1C1221-1C132=23；所以X的分布列为：X123P1411223所以数学期望为E X=1×14+2×112+3×23=3+2+2412=2912.⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)令x i=1t i，则y=b x+a，由题知：5i=1x i y i=315，y =90，所以b=5i=1x i y i-5x ⋅y5i=1x2i-5x 2=315-5×0.46×901.46-5×0.212=1080.4=270，所以a=90-270×0.46=-34.2，y =270x-34.2，故所求的回归方程为：y =270t-34.2，所以，估计t=6时，y≈11；估计t=7时，y≈4；估计t≥8时，y<0；预测成功的总人数为450+11+4=465.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分20.(1)由已知：C2(4,0)；C1的准线为x=-14．圆心C2到C1准线距离为4--14=174;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)设P y20,y0，A y21,y1，B y22,y2,切线PA:x-y20=m1y-y0由x=m1y+y20-m1y0y2=x得：y2-m1y-y20+m1y0=0由y0+y1=m1得：y1=m1-y0，切线PB:x-y20=m2y-y0,同理可得：y2=m2-y0依题意：C2(4,0)到PA:x-m1y-y20+m1y0=0距离4-y20+m1y0m21+1=1整理得：y20-1m21+8y0-2y30m1+y40-8y20+15=0同理：y20-1m22+8y0-2y30m2+y40-8y20+15=0∴m1+m2=2y30-8y0y20-1y20≠1∵k1=y0y20-4，k2=y1-y2y21-y22=1y1+y2=1m1+m2-2y0=y20-1-6y0∴k1k2=y0y20-4⋅y20-1-6y0=-524,解得：y0=±4故所求P点坐标为16,4或16,-4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21.(1)当k=2时，f(x)=e x-2x2，f (x)=e x⋅x2+e x-2⋅2x=x xe x+2e x-4=x(x+2)e x-4，令g(x)=(x+2)e x-4，则g (x)=(x+3)e x，所以g(x)=(x+2)e x-4在(-∞,-3)单调递减，在(-3,+∞)单调递增．又因为x<-2时，g(x)<0恒成立，g(0)=-2<0,g(1)=3e-4>0，所以g(x)=(x+2)e x-4在(0,1)上有唯一的零点x0．所以当x∈(-∞,0),f (x)>0,f(x)单调递增，当x∈0,x0,f (x)<0,f(x)单调递减，当x∈x0,+∞，f (x)>0,f(x)单调递增，所以函数f(x)有两个极值点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)f (x)=e x x2+e x-k⋅2x=x(x+2)e x-2k，令h(x)=(x+2)e x-2k(k>0)，则x<-2时，h(x)<0．h (x)=(x+3)e x，当x>-3时，h(x)单调递增．h(0)=2-2k，①当k=1时，f (x)≥0在R上恒成立，f(x)无极值，不存在符合题意的k．②当k>1时，h(0)<0,h(k)=(k+2)e k-2k>(k+2)⋅e-2k>0，存在x0∈(0,k)，使得h x0=0，当x∈(-∞,0),f (x)>0,f(x)单调递增，当x∈0,x0,f (x)<0,f(x)单调递减，当x∈x0，+∞，f (x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)的极大值为f(0)=0<2ek2,f(x)的极小值为f x0<f(0)=0<2ek2，故不存在符合题意的k．③当0<k<1时，h(0)>0，存在x0∈(-2,0)，使得h x0=0，当x∈-∞,x0,f (x)>0,f(x)单调递增，当x∈x0,0,f (x)<0,f(x)单调递减，当x∈(0,+∞)，f (x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)的极小值为f(0)=0<2e2k2,f(x)的极大值为f x0，如果存在正实数k使函数f(x)的极值为2ek2，则f x0=e x0-kx20=2ek2，又因为h x0=x0+2e x0-2k=0．所以2kx0+2-kx20=2ek2，所以x30+2ek x0+2=0，所以x30+e x0+1x0+22=0，即x30e+e x0x0+22=0，令H(x)=x3e+e x(x+2)2，则H (x)=3x2e+e x x2+6x+8，因为x∈(-2,0)，所以H (x)>0．所以H(x)在(-2,0)单调递增，又因为H(-1)=0，所以x0=-1，此时k=x0+2e x02=12e，综上所述，k=12e时，存在极值为2ek2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分22.(1)由直线l 的参数方程x =-1+22ty =1+22t，得其普通方程为y =x +2，∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ+2.又∵圆C 的方程为x -2 2+y -1 2=5，将x =ρcos θy =ρsin θ代入并化简得ρ=4cos θ+2sin θ，∴圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ+2sin θ.⋯⋯5分(2)将直线l ：ρsin θ=ρcos θ+2，与圆C ：ρ=4cos θ+2sin θ联立，得4cos θ+2sin θ sin θ-cos θ =2，整理得sin θcos θ=3cos 2θ，∴θ=π2，或tan θ=3.不妨记点A 对应的极角为π2，点B 对应的极角为θ，且tan θ=3.于是，cos ∠AOB =cos π2-θ =sin θ=31010.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分23.(1)f x ≤x +1，即x -1 +x -3 ≤x +1.当x <1时，不等式可化为4-2x ≤x +1，解得：x ≥1,又∵x <1，此时无解；当1≤x ≤3时，不等式可化为2≤x +1，解得：x ≥1,又∵1≤x ≤3，∴1≤x ≤3.当x >3时，不等式可化为2x -4≤x +1，解得：x ≤5,又∵x >3，∴3<x ≤5. 综上所得，1≤x ≤3或3<x ≤5，即1≤x ≤5.∴原不等式的解集为1,5 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)由绝对值不等式性质得，x -1 +x -3 ≥x -1 -x -3 =2，∴c =2，即a +b =2.令a +1=m ,b +1=n ，则m >1,n >1，a =m -1,b =n -1,m +n =4，a 2a +1+b 2b +1=m -1 2m +n -1 2n =m +n +1m +1n -4=4mn ≥4m +n 22=1，等且仅当m =n =2即a =b =1时等号成立.原不等式得证.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分。
(精选3份合集)2020届成都树德中学高考数学模拟试卷
2021届新高考化学模拟试卷一、单选题（本题包括15个小题，每小题4分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．国际能源期刊报道了一种正在开发中的绿色环保“全氢电池”，有望减少废旧电池产生的污染，其工作原理如图所示。
下列说法正确的是A．NaClO4的作用是传导离子和参与电极反应B．吸附层b的电极反应：H2-2e-+2OH-=2H2OC．全氢电池工作时，将酸碱反应的中和能转化为电能D．若离子交换膜是阳离子交换膜，则电池工作一段时间后左池溶液pH基本不变【答案】C【解析】【分析】电子从吸附层a流出，a极为负极，发生的反应为：H2-2e-+2OH-=2H2O，b极为正极，发生的反应为：2H++2e-=H2↑。
【详解】A．由上面的分析可知，NaClO4没有参与反应，只是传导离子，A错误；B．吸附层b的电极反应2H++2e-=H2↑，B错误；C．将正、负电极反应叠加可知，实际发生的是H++OH-=H2O，全氢电池工作时，将酸碱反应的中和能转化为电能，C正确；D．若离子交换膜是阳离子交换膜，则Na+向右移动，左池消耗OH-且生成H2O，pH减小，D错误。
答案选C。
【点睛】B．电解质溶液为酸溶液，电极反应不能出现OH-。
2．化学与人类生活、生产和社会可持续发展密切相关，下列有关说法正确的是A．聚合硫酸铁[Fe2(OH)x(SO4)y]n，是新型絮凝剂，可用来杀灭水中病菌B．家庭用的“84”消毒液与洁厕灵不能同时混合使用，否则会发生中毒事故C．现代科技已经能够拍到氢键的“照片”，直观地证实了水分子间的氢键是一个水分子中氢原子与另一个水分子中的氧原子间形成的化学键D．中国天眼FAST 用到的高性能碳化硅是一种新型的有机高分子材料【答案】BA．聚合硫酸铁能水解生成氢氧化铁胶体，氢氧化铁胶体能吸附水中的悬浮物而净水，但不能杀灭细菌，故A错误；B．二者混合，次氯酸钠与盐酸发生氧化还原反应生成具有毒性的氯气，故B正确；C．氢键不是化学键，是一种特殊的分子间的作用力，故C错误；D．中国天眼FAST用到的碳化硅是一种新型的无机非金属材料，故D错误；故答案为B。
四川省成都市树德中学2020届高三数学二诊模拟考试试题理含解析
四川省成都市树德中学2020届高三数学二诊模拟考试试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数()()ln 1f x x =++的定义域为（ ） A. ()2,+∞ B. ()()1,22,-⋃+∞ C. ()1,2-D.1,2【答案】C 【解析】【详解】函数的定义域应满足20,1 2.10x x x ->⎧∴-<<⎨+>⎩故选C. 2.复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.【详解】解：()()()21212222555i i i i z i i i i +-+====-+--+， 则复数2i z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题. 3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=dA. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】先用公差d 表示出25,a a ，结合等比数列求出d .【详解】252,24a d a d =+=+,因为125,,a a a 成等比数列，所以2(2)2(24)d d +=+，解得4d =.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.4.已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A. ,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B. ,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C. ,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D. ,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A 【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.5.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为34yx ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（ ）A. 221916x y -=B. 221169x y -= C. 22134x y -= D.22143x y -= 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得34ba ，22225c ab =+=，所以4a =，3b =，所求双曲线方程为221169x y -=． 考点：双曲线方程.6.函数()1log1axf x xx+=+（01a<<）的图象的大致形状是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】()()()log11log log101log0.aa aax xxf x x x xxx x⎧--<-+⎪==--<<⎨+⎪>⎩，，，，，故选C．【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【答案】C【解析】【分析】根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有222A=种，剩余的3门全排列，即可求解.【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有222A=种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有336A=种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636⨯⨯=种不同的排法.故选：C.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.执行如图所示的程序框图，当输出的2S=时，则输入的S的值为( )A. -2B. -1C.12- D.12【答案】B【解析】 若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-=====132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-===== 11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意；若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-=====12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-=1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾；综上选B.9.如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A.223 C.21231+ 【答案】D 【解析】 【分析】先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解. 【详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为O'，球心为O，由题意，球的体积为43π，即24433Rππ=可得球O的半径为1，O'的半径为12，利用球的性质可得2O O'==，又由O'到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为12，12=.故选：D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.10.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线24y x=上任意一点，M是线段PF上的点，且PM MF=，则直线OM的斜率的最大值为（）A. 1B.12C.2【答案】A【解析】【分析】设2(,),(,)2yP y M x yp，因为PM MF=，得到200,442y ypx yp=+=，利用直线的斜率公式，得到22244OMykypypy pp==++，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，抛物线24y x=的焦点坐标为(,0)2pF，设2(,),(,)2yP y M x yp，因为PM MF =，即M 线段PF 的中点，所以220001(),222442y y y p p x y p p =+=+=， 所以直线OM的斜率0200022144OM y k y p y p y p p ==≤=++， 当且仅当00y p y p=，即0y p =时等号成立， 所以直线OM 的斜率的最大值为1. 故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 11.下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数）32>；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数()2ln ,03f x x x =->，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到()()f f e π>，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数()ln ,0f x e x x x =->，利用导数求得函数的最大值为()0f e =，进而得到()30f <，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于①中，由239,() 2.2524e ===，可得 2.25e >，根据不等式的性32>成立，所以是正确的； 对于②中，设函数()2ln ,03f x x x =->，则()10f x x'=>，所以函数为单调递增函数，因为e π>，则()()f f e π>又由()221ln 10333f e e =-=-=>，所以()0f π>，即2ln 3π>，所以②不正确；对于③中，设函数()ln ,0f x e x x x =->，则()1e e x f x x x-'=-=， 当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当x e =时，函数取得最大值，最大值为()ln 0f e e e e =-=， 所以()3ln330f e =-<，即ln 33e <，即3ln 3e<，所以是正确的. 故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12.在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，ABC ∆的面积2S =，且满足cos (1cos )a B b A =+，则()()c a b c b a +-+-的取值范围是（ ）A. ()8,8B. (0,8)C. 83⎛ ⎝D.⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理化简得sin()sin A B B -=，解得22A B π=<，进而得到3(,)42C B πππ=-∈，利用正切的倍角公式求得1tan 12C >>-+4sin ab C =，进而化简()()c a b c b a +-+-8(1cos )8tan sin 2CC C =-=，即可求解. 【详解】由题意，在锐角ABC ∆中，满足cos (1cos )a B b A =+，由正弦定理可得sin cos sin sin cos A B B B A =+，即sin cos sin cos sin A B B A B -=， 可得sin()sin A B B -=，所以A B B -=，即22A B π=<，所以(0,)4B π∈，所以33(,)24A B B ππ+=∈，则3(,)42C B πππ=-∈，所以22tan2tan 11tan 2CC C =>-，可得1tan 12C >>-+ 又由ABC ∆的面积1sin 22S ab C ==，所以4sin ab C=，则222()()2c a b c b a c a b ab +-+-=--+2cos 2ab C ab =-+2(1cos )ab C =-21(12sin )82(1cos )88tan 8,8)sin 22sin cos 22CC C C C C --=-=⨯=∈.故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，以及三角形的面积公式和正切的倍角公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量AB =（1，2），AC =（-3，1），则AB BC ⋅=______． 【答案】-6 【解析】 【分析】由BC AC AB =-可求BC ，然后根据向量数量积的坐标表示可求AB •BC . 【详解】∵AB =（1，2），AC =（-3，1），∴BC AC AB =-=（-4，-1）， 则AB •BC =1×（-4）+2×（-1）=-6 故答案为-6【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础试题．14.设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=_________【答案】1 【解析】 【分析】令1x =-，结合函数的奇偶性，求得(1)(1)1f g -+=-，即可求解(1)(1)f g -的值，得到答案.【详解】由题意，函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，令1x =-，可得20(1)(1)(1)(1)(11)21f g f g -+-=-+=-+-=-， 所以(1)(1)1f g -=. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.直线l 是圆1C ：22(1)1x y ++=与圆2C ：22(4)4x y ++=公切线，并且l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相交于A ，B 两点，则AOB ∆的面积为_________【答案】2【解析】 【分析】根据题意画出图形，设,OA a OB b ==，利用三角形相似求得,a b 的值，代入三角形的面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设,OA a OB b ==， 由1AEC ∆与2ADC ∆相似，可得1142a a +=+，解得2a =， 再由AOB ∆与1AEC ∆相似，可得1b =2b = 由三角形的面积公式，可得AOB ∆的面积为11222S ab ==⨯=. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.16.已知函数2()(1)x f x e x =+，令1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=()*n ∈N ，若()2()x n n n n f x e a x b x c =++，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，记数列22n n n a c b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n项和为n S ，则[]20003S =_________ 【答案】5 【解析】 【分析】根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得1n a =，21n b n =+，21n c n n =++，进而得到2212n n n a c b n =-，再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解.【详解】由题意，函数2()(1)x f x e x =+，且1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=()*n ∈N ，可得21()()(43)x f x f x e x x '==++，221()()(67)x f x f x e x x '==++232()()(813)x f x f x e x x '==++，243()()(1021),x f x f x e x x '==++又由()2()x n n n n f x e a x b x c =++，可得{}n a 为常数列，且1n a =，数列{}n b 表示首项为4，公差为2的等差数列，所以22=+n b n ， 其中数列{}n c 满足21324314,6,8,,2n n c c c c c c c c n --=-=-=-=，所以2121321(1)(42)()()()412n n n n n c c c c c c c c n n --+=+-+-++-=+=++，所以22221122(1)(22)n n n a c b n n n n ⨯==-++-+，又由2211111111,,(2)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n>=-<=-≥++--， 所以111131123121n n S n n >+-++-=-++， 且111111111(1)()2,(2)223341n n n n nS <+-+-+-++-=-≥-， 所以数列22n n n a c b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n S ，满足2,(2111)32nn S n n <-<≥-+， 所以2000113(13()3)200120002S -<<-， 即200096233320012000S <--<，又由[]m 表示不超过实数m 的最大整数，所以[]200035S =. 故答案为：5.【点睛】本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法求数列的和的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答題（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答） 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n S n n =-（*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()22,(21)2,(2)11n a n n n n k b n k a a +⎧=-⎪=⎨=⎪--⎩（*k ∈N ），数列{}n b 的前n 项和n T .若211422nn T a b n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭对*n ∈N 恒成立，求实数a ，b 的值.【答案】（1）1(1)n a n n =-≥（2）43a =-，116b =.【解析】 【分析】（1）根据数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系式，即求解数列的通项公式； （2）由（1）可得()()2221111(2)2n n a a n n n n +==---++，利用等比数列的前n 项和公式和裂项法，求得21141163422nn T n ⎛⎫=--⎪+⎝⎭，结合题意，即可求解. 【详解】（1）由题意，当1n =时，由21211S =-，解得10a =；当2n ≥时，可得221222(1)(1)22n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，即1,(2)n a n n =-≥，显然当1n =时上式也适合，所以数列的通项公式为1n a n =-. （2）由（1）可得()()2221111(2)2n n a a n n n n +==---++，所以()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++()02221111112222446222n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111411412226342214nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+-=-- ⎪++⎝⎭-. 因为211422nn T a b n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭对*n ∈N 恒成立，所以43a =-，116b =.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求解，等差数列的前n 项和公式，以及裂项法求和的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，PCD ∆是正三角形，PC AC ⊥，E 是PA 的中点.（1）证明：AC BE⊥；（2）求直线BP与平面BDE所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）26 13【解析】【分析】（1）设F是PD的中点，连接EF、CF，先证明BCFE是平行四边形，再证明AC⊥平面PCD，即AC BE⊥（2）以O为坐标原点，OC的方向为x轴的正方向，建空间直角坐标系，分别计算各个点坐标，计算平面BDE法向量，利用向量的夹角公式得到直线BP与平面BDE所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：设F是PD 的中点，连接EF、CF，E是PA的中点，//EF AD∴，12EF AD=，//AD BC，2AD BC=，//EF BC∴，EF BC=，BCFE∴是平行四边形，//BE CF∴，//AD BC，AB AD⊥，90ABC BAD∴∠=∠=︒，AB BC=，45CAD∠=︒，2AC=，由余弦定理得2222cos2CD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠=，2224AC CD AD∴+==，AC CD∴⊥，PD AC⊥，AC∴⊥平面PCD，AC CF∴⊥，AC BE∴⊥；（2）由（1）得AC ⊥平面PCD ，2CD =，∴平面ABCD ⊥平面PCD ，过点P 作PO CD ⊥，垂足为O ，OP ∴⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O xyz -，则6P ⎛ ⎝⎭，22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22,2B ⎫-⎪⎪⎭，22642E ⎛⎫- ⎝⎭ 262,BP ⎛∴=- ⎝⎭，设(),,m x y z =是平面BDE 的一个法向量，则00m BD m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，32203260x y x z ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，令1x =，则33y z =⎧⎪⎨=⎪⎩(1,3,3m ∴=，26cos ,13m BP m BP m BP⋅∴==∴直线BP 与平面BDE 所成角的正弦值为26.【点睛】本题考查了线面垂直，线线垂直，利用空间直角坐标系解决线面夹角问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.2018年是中国改革开放的第40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[)[)[)20,30,30,40,,70,80,⋯，并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从年龄在[)[)[)20,30,30,40,40,50内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示年龄在[)30,40内的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()()0,1,2,,20P X k k ==⋯.当()P X k =最大时，求k 的值.【答案】（1）分布列见解析；34；（2）7. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的方法判断出年龄在[)[)[)20,3030,4040,50，，内的人数，可得X 的可能取值为0，1，2，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望；（2）设年龄在[)30,50内的人数为Y ，则()20,0.35Y B ~，设()()1P Y k t P Y k ===-,可得若1t >，则7.35k <，()()1P Y k P Y k =-<=；若1t <，则7.35k >，()()1P Y k P Y k =->=，从而可得结果. 【详解】（1）按分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[)20,30内的人数为0.005810.0050.0100.025⨯=++人，年龄在[)30,40内的人数为0.010820.0050.0100.025⨯=++人， 年龄在[)40,50内的人数为0.025850.0050.0100.025⨯=++人. 所以X 的可能取值为0，1，2，所以()3062385014C C P X C ===， ()21623815128C C P X C ===， ()1262383228C C P X C ===，所以X 的分布列为515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=.（2）设在抽取的20名市民中，年龄在[)30,50内的人数为Y ，Y 服从二项分布.由频率分布直方图可知，年龄在[)30,50内的频率为()0.0100.025100.35+⨯=， 所以()20,0.35Y B ~，所以()()()20200.3510.35kkkP Y k C -==- ()0,1,2,,20k =.设()()1P Y k t P Y k ====-()()()()20201211200.3510.350.3510.35kkk k kk C C-----=-()()7211,2,,2013k k k-=，若1t >，则7.35k <，()()1P Y k P Y k =-<=； 若1t <，则7.35k >，()()1P Y k P Y k =->=.所以当7k =时，()P Y k =最大，即当()P Y k =最大时，7k =.【点睛】本题主要考查分层抽样的定义、直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20.已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=＞＞的焦距为12的直线与椭圆交于,A B 两点，若线段AB 的中点为D ，且直线OD 的斜率为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过左焦点F 斜率为k 的直线l 与椭圆交于点,M N ,P 为椭圆上一点，且满足OP MN ⊥，问：211MN OP +是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由. 【答案】(1) 2214x y +=.(2) 211||||MN OP +为定值54.过程见解析. 【解析】分析：（1）焦距说明c =，用点差法可得22 AB OD b k k a⋅=-＝14-.这样可解得,a b ，得椭圆方程；（2）若0k =，这种特殊情形可直接求得211MN OP +，在0k ≠时，直线MN方程为(y k x =，设1122(,),(,)M x y N x y ，把直线方程代入椭圆方程，后可得1212,x x x x +，然后由纺长公式计算出弦长12MN x =-，同时直线OP 方程为1=-y x k，代入椭圆方程可得P 点坐标，从而计算出OP ，最后计算211MN OP +即可. 详解：（1）由题意可知c =()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆可得：22221122222211x y x y a b a b+=+=，，两式相减并整理可得， 2221221112y x y y b y x x x a -+⋅=--+，即22AB OD b k k a⋅=-.又因为12AB k =，12OD k =-，代入上式可得，224a b =.又2222,3a b c c =+=，所以224,1a b ==，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）由题意可知，()F ，当MN 为长轴时，OP 为短半轴，此时21115=+1=||44MN OP +； 否则，可设直线l的方程为(y k x =+，联立(2214x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消y 可得，()22221+41240k xx k ++-=，则有：2121221241+4k x x x x k-+==，所以21124+41+4k MN x k =-= 设直线OP 方程为1y x k =-，联立22141x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，根据对称性，不妨得P ⎛⎫ ⎝，所以OP ==故2222222111+41+445=+=||4+44+44+44k k k MN OP k k k ++，综上所述，211||MN OP +为定值54. 点睛：设直线与椭圆22221x y a b+=相交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)C x y ，则有22AB ODb k k a⋅=-，证明方法是点差法：即把点,A B 坐标代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减，结合斜率公式可得. 21.已知函数()ln ()x e f x x x ax a R =-+∈.（1）若函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若1a =，求()f x 的最大值.【答案】（1）21a e ≤-（2）max ()1f x =- 【解析】 【分析】（1）根据单调递减可知导函数恒小于等于0，采用参变分离的方法分离出a ，并将x 的部分构造成新函数()g x ，分析a 与()g x 最值之间的关系；（2）通过对()f x 的导函数()f x '分析，确定()f x '有唯一零点0x ，则0x 就是()f x 的极大值点也是最大值点，计算0()f x 的值并利用0()0f x '=进行化简，从而确定max ()f x .【详解】（1）由题意知，()1()x x f x e xe a x '=-++ 1(1)0x x e a x=-++≤在[1,)+∞上恒成立，所以1(1)xa x xe ≤+-在[1,)+∞上恒成立. 令1()(1)xg x x e x=+-，则21()(2)0xg x x e x '=++>，所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)21g x g e ==-， 所以21a e ≤-.（2）当1a =时，()ln (0)x f x x x x x e =-+>. 则11()(1)1(1)x x f x x e x e x x '⎛⎫=-++=+- ⎪⎝⎭， 令1()x m x e x=-，则21()0x m x e x '=--<，所以()m x 在(0,)+∞上单调递减. 由于102m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，(1)0m <，所以存在00x >满足()00m x =，即001x e x =. 当()00,x x ∈时，()0m x >，()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0m x <，()0f x '<. 所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.所以()0max 0000()ln x f x fx x x e x ==-+， 因为001x e x =，所以00ln x x =-，所以()00011f x x x =--+=-， 所以max ()1f x =-.【点睛】（1）求函数中字母的范围时，常用的方法有两种：参变分离法、分类讨论法；（2）当导函数不易求零点时，需要将导函数中某些部分拿出作单独分析，以便先确定导函数的单调性从而确定导函数的零点所在区间，再分析整个函数的单调性，最后确定出函数的最值.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ραα=+. （1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:l y kx =与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于,P Q 两点，且||2||OP OQ =，点M 的坐标为(2,0)，求ΔMPQ 的面积.【答案】（1）1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，2C 的直角坐标方程为2214x y +=（2）3【解析】【分析】（1）先把曲线1C 的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得极坐标方程.将2224cos 4sin ραα=+，化为2222cos 4sin 4ραρα+=，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得曲线2C 的普通方程.（2）设直线的极角0θθ=，代入2224cos 4sin ραα=+，得2Q 20413sin ρθ=+，将0θθ=代入4cos p θ=，得04cos P ρθ=，由||2||OP OQ =，得2P Q ρρ=，即()2020164cos 13sin θθ=+，从而求得202sin 3θ=，201cos 3θ=，从而求得,ρρQ P ，再利用()01||sin 2ρρθ∆∆∆=-=⋅⋅-⋅MPQ OMP OMQ P Q S S S OM 求解. 【详解】（1）依题意，曲线221:(x 2)4C y -+=，即2240x y x +-=，故24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=. 因为2224cos 4sin ραα=+，故2222cos 4sin 4ραρα+=， 即2244x y +=，即2214x y +=. （2）将0θθ=代入2224cos 4sin ραα=+，得2Q 20413sin ρθ=+， 将0θθ=代入4cos p θ=，得04cos P ρθ=，由||2||OP OQ =，得2P Q ρρ=，得()2020164cos 13sin θθ=+， 解得202sin 3θ=，则201cos 3θ=. 又002πθ<<，故04cos 33Q P ρρθ====， 故MPQ ∆的面积()01||sin 2MPQ OMP OMQ P Q S S S OM ρρθ∆∆∆=-=⋅⋅-⋅=. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.23.已知函数()12f x x x =-++，记()f x 的最小值为m .（Ⅰ）解不等式()5f x ≤；（Ⅱ）若正实数a ，b 满足11a b +=22232m a b +≥.【答案】（Ⅰ）{|32}-≤≤x x （Ⅱ）见证明【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；(Ⅱ)首先确定m 的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.【详解】（Ⅰ）①当1x >时，()(1)(2)215f x x x x =-++=+≤，即2x ≤，∴12x <≤；②当21x -≤≤时，()(1)(2)35f x x x =-++=≤，∴21x -≤≤；③当2x <-时，()(1)(2)215f x x x x =--+=--≤，即3x ≥-，∴32x -≤<-.综上所述，原不等式的解集为{|32}-≤≤x x . （Ⅱ）∵()12(1)(2)3f x x x x x =-++≥--+=，当且仅当21x -≤≤时，等号成立.∴()f x 的最小值3m =.∴2222]++25≥=， 即22236a b +≥，当且仅当a b =即32a b =时，等号成立.又11a b +=3a =2b =时，等号成立. ∴22232m a b+≥. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
四川省成都市树德中学2020届高三数学三诊模拟考试试题 文
6. 变量 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）．
A. 8B. 9C. 64D. 65
【答案】D
【解析】
【分析】
画出约束条件所表示的可行域，再利用 所表示的几何意义求解即可.
【详解】由约束条件 ，作出 的可行域如图所示，
8. 已知平面 及直线 ， ，则下列说法错误的个数是（ ）．
①若直线 ， 与平面 所成角都是 ，则这两条直线平行；②若直线 ， 与平面 所成角都是 ，则这两条直线不可能垂直；③若直线 ， 垂直，则这两条直线与平面 不可能都垂直；④若直线 ， 平行，则这两条直线中至少有一条与平面 平行．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
由题意知， ，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.
3. 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置 .若初始位置为 ，当秒针从 （注此时 ）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】 时刻， 经过的圆弧角度为 ，则以 轴正方向为始边， 所在射线为终边， 对应的角度为 ，则 对应的角度为 ，
弦长 ，圆的半径为2，所以其所对圆心角为 ，
所以两段弧长之差的绝对值为 .
故选：D
【点睛】此题考查直线与圆位置关系，通过弦长求出圆心角，依据弧长公式求弧长，要求熟记常用相关公式.
5. 若 的取值范围为 ，给出如图所示的程序框图，输入一个数 ，则输出 满足 的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【答案】C
【解析】