(精校版)2020年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版(含答案)
绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若z=1+i，则|z2–2z|=
A．0 B．1 C．2 D．2 2．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=
A．–4 B．–2 C．2 D．4 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正
方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A．514− B．512− C．514+ D．512+ 4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．9 5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)iixyi=得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是 A．yabx=+ B．2yabx=+ C．exyab=+ D．lnyabx=+ 6．函数43()2fxxx=−的图像在点(1(1))f，处的切线方程为 A．21yx=−− B．21yx=−+ C．23yx=− D．21yx=+ 7．设函数
()cos
π()6fxx=+在[]π,π−的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为
A．
10π9 B．7π
6
C．
4π3 D．3π
2
8．25()()xxyxy++的展开式中x3y3的系数为
A．5 B．10 C．15 D．20 9．已知 π()0,，且3cos28cos5−=，则sin= A．53 B．23 C．13 D．
5
9
10．已知,,ABC为球O的球面上的三个点，⊙
1O为ABC△的外接圆，若⊙1
O的面积为4π，
1ABBCACOO===，则球O的表面积为
A．64π B．48π C．36π D．32π 11．已知⊙M：
222220xyxy+−−−=，直线l：220xy++=，P为l上的动点，过点P作⊙M的切
线,PAPB，切点为,AB，当||||PMAB最小时，直线AB的方程为 A．210xy−−= B．210xy+−= C．210xy−+= D．210xy++= 12．若
242log42logabab+=+
，则
A．2ab B．2ab C．
2ab D．2
ab
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件
220,10,10,xyxyy+−
−−
+
则z=x+7y的最大值为 .
14．设,ab为单位向量，且
||1+=ab，则||−=ab
.
15．已知F为双曲线
22
22:1(0,0)xyCabab−=的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x
轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 . 16．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，
3ABAD==，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，
则cos∠FCB= . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分） 设{}na是公比不为1的等比数列，1a为2a，3a的等差中项． （1）求{}na的公比； （2）若11a=，求数列{}nna的前n项和． 18．（12分） 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD=．ABC△是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO=．
（1）证明：PA⊥平面PBC； （2）求二面角BPCE−−的余弦值． 19.（12分） 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 20.（12分） 已知A、B分别为椭圆E：2221xya+=（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，8AGGB=，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 21．（12分）
已知函数2()exfxaxx=+−.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥12x3+1，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos,sinkkxtyt==(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30−+=． （1）当1k=时，1C是什么曲线？ （2）当4k=时，求1C与2C的公共点的直角坐标． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|31|2|1|fxxx=+−−． （1）画出()yfx=的图像； （2）求不等式()(1)fxfx+的解集． 2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案(A卷) 选择题答案 一、选择题 1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 非选择题答案 二、填空题 13．1 14．3 15．2 16．
1
4−
三、解答题 17．解：（1）设
{}
na
的公比为q，由题设得1232,aaa=+ 即
2
1112aaqaq=+.
所以220,qq+−= 解得1q=（舍去），2q=−.
故{}na的公比为2−.
（2）设nS为{}nna的前n项和.由（1）及题设可得，1(2)nna−=−.所以 112(2)(2)nnSn−=+−++−
，
21222(2)(1)(2)(2)nnnSnn−−=−+−++−−+−.
可得2131(2)(2)(2)(2)nnnSn−=+−+−++−−−
1(2)=(2).3nnn−−−−
所以1(31)(2)99nnnS+−=−.
18．解：（1）设DOa=，由题设可得
63,,63POaAOaABa===，
22PAPBPCa===. 因此222PAPBAB+=，从而PAPB⊥.
又222PAPCAC+=，故PAPC⊥.
所以PA⊥平面PBC.
（2）以O为坐标原点，OE的方向为y轴正方向，||OE为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−.
由题设可得312(0,1,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,)222EACP−−.
所以312(,,0),(0,1,)222ECEP=−−=−.
设(,,)xyz=m是平面PCE的法向量，则00EPEC==mm，即20231022yzxy−+=−−=， 可取3(,1,2)3=−m.
由（1）知2(0,1,)2AP=是平面PCB的一个法向量，记AP=n， 则25cos,|||5==nmnm
nm|.
所以二面角BPCE−−的余弦值为255.
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标II)【含答案】
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标II)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
ð1.已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则(A∪B)＝UA.{－2，3}B.{－2，2，3}C.{－2，－1，0，3}D.{－2，－10，2，3}2.若α为第四象限角，则A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单是1600份的概率为0.05。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板(不含天心石)A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为6.数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k ＝A.2B.3C.4D.57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A.EB.FC.GD.H8.设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：的两条渐近线分别交22221(0,0)x y a b a b-=>>于D ，E 两点。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ð（）A.{−2，3}B.{−2，2，3}C.{−2，−1，0，3}D.{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得： 1,0,1,2A B ，则 U 2,3A B ð.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D 【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当6时，cos 2cos 03，选项B 错误；当3时，2cos 2cos 03，选项A 错误；由 在第四象限可得：sin 0,cos 0 ，则sin 22sin cos 0 ，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C 【解析】【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S ，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n ，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S ，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S ，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n 即29729n ，解得9n ，所以32727(9927)34022n S S .故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 距离均为22555d；所以，圆心到直线230x y 的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列{}n a 中，12a ，m n m n a a a ，若155121022k k k a a a ，则k （）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】取1m ，可得出数列 n a 是等比数列，求得数列 n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k N 可求得k 的值.【详解】在等式m n m n a a a 中，令1m ，可得112n n n a a a a ，12n na a，所以，数列 n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a ，1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a，1522k ，则15k ，解得4k .故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H【答案】A 【解析】【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x ，则f (x )（）A.是偶函数，且在1(,)2 单调递增B.是奇函数，且在11(,)22单调递减C.是偶函数，且在1(,)2单调递增D.是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x时，利用函数单调性的性质可判断出 f x 单调递增，排除B ；当1,2x时，利用复合函数单调性可判断出 f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由 ln 21ln 21f x x x 得 f x 定义域为12x x，关于坐标原点对称，又 ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x ，f x 为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x时， ln 21ln 12f x x x ， ln 21y x Q 在11,22 上单调递增， ln 12y x 在11,22上单调递减，f x 在11,22上单调递增，排除B ；当1,2x时， 212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x，2121x∵在1,2上单调递减， ln f 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： f x 在1,2上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 f x 与 f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.10.已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为934的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，22229933434a r a ，球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k 的序列是（）A 11010 B.11011C.10001D.11001【答案】C 【解析】【详解】由i m i a a 知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m ，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】22【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b ，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a，即：2202k a a b k ，解得：22k .故答案为：22．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.【详解】∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636 种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，123i z z ，则12||z z =__________.【答案】23【解析】【分析】令12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，根据复数的相等可求得1cos cos sin sin 2，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】122z z ∵，可设12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ， 122cos cos 2sin sin 3z z i i ，2cos cos 32sin sin 1，两式平方作和得： 422cos cos 2sin sin 4 ，化简得：1cos cos sin sin 2122cos cos 2sin sin z z i224cos cos 4sin sin 88cos cos sin sin 8423 故答案为：23.【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23；（2）323 .【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到 29AC AB AC AB ，利用基本不等式可求得AC AB 的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB ，2221cos 22AC AB BC A AC AB ， 0,A ∵，23A .（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB ，即 29AC AB AC AB .22AC AB AC AB∵（当且仅当AC AB 时取等号）， 22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ，解得：23AC AB （当且仅当AC AB 时取等号），ABC 周长323L AC AB BC ，ABC 周长的最大值为323 .【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ，2011200i i y，2021)80i i x x （，2021)9000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni i i i i n n i i x y x x y y y x（（（（，2=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()ii i i i i i x x y y r x x y y 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000（2）样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()i i i i i i i x x y y r x x y y （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C ，22:12C y x .【解析】【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程.【详解】（1） ,0F c ∵，AB x 轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c ，联立22222221x c x y a b a b c，解得2x c b y a ，则22b AB a，抛物线2C 的方程为24y cx ，联立24x c y cx，解得2x c y c ，4CD c ，43CD AB ∵，即2843b c a，223b ac ，即222320c ac a ，即22320e e ，01e Q ，解得12e ，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c ，3b c ，椭圆1C 的方程为2222143x y c c，联立222224143y cx x y c c，消去y 并整理得22316120x cx c ，解得23x c 或6x c （舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c ，解得3c .因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y ，曲线2C 的标准方程为212y x .【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1010.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP ，由（1）BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案.【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB 1//MN AA 在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF 11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMNEF ∵平面11EB C F平面11EB C F 平面1A AMN（2）连接NP∵//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP //AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA 平面ABC AM ，面1A NMA 平面1111A B C A N //ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形设ABC 边长是6m (0m )可得：ON AP ，6NP AO AB m∵O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m 16sin 6033ON m 故：3ON AP m∵//EF BC AP EP AM BM3333EP 解得：EP m在11B C 截取1B Q EP m ，故2QN m∵1B Q EP 且1//B Q EP四边形1B QPE 是平行四边形，1//B E PQ由（1）11B C 平面1A AMN故QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得： 222226210PQ QN PN m m m 210sin 10210QN m QPN PQ m 直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：1010.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：33()8f x ；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn .【答案】（1）当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x 时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n f x x x x x x x x x ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： 32sin cos f x x x ，则： 224'23sin cos sin f x x x x2222sin 3cos sin x x x 222sin 4cos 1x x 22sin 2cos 12cos 1x x x ，'0f x 在 0,x 上的根为：122,33x x，当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.(2)注意到 22sinsin 2sin sin 2f x x x x x f x ，故函数 f x 是周期为 的函数，结合(1)的结论，计算可得： 00f f ，233333228f ，2233333228f ，据此可得： max 338f x， min 338f x ，即 338f x .(3)结合(2)的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x x x 233333sin sin 2sin 4sin 2n x x x x2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n x x x x x x x x 232333333sin sin 2888n x x 23338n 34n .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2020年全国统一高考数学试卷理科(新课标Ⅲ)(附答案及详细解析)
（t 为参数且 t≠1），C 与坐标
轴交于 A，B 两点． （1）求|AB|； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．设 a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1． （1）证明：ab+bc+ca＜0； （2）用 max{a，b，c}表示 a，b，c 的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
B．3
C．4
D．6
2．（5 分）复数
的虚部是（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
3．（5 分）在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 p1，p2，p3，p4，且 pi＝1，则下面四
种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
（1）求 b； （2）若 f（x）有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：f（x）所有零点的绝对值都不大于 1． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
A．1
B．2
C．4
D．8
12．（5 分）已知 55＜84，134＜85．设 a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．（5 分）若 x，y 满足约束条件
2020年全国高考数学一卷(理)20题解法赏析
２０２０年全国高考数学一卷(理)２０题解法赏析陈志年(安徽省合肥市肥西中学㊀２３１２００)摘㊀要:本文给出２０２０年全国高考数学一卷(理)２０题的多种解法及评析.关键词:解析几何ꎻ直线过定点ꎻ引进参数ꎻ参数的去留.中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００３８－０２收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:陈志年(１９６２.４－)ꎬ男ꎬ安徽人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀２０２０年全国高考数学一卷(理)２０题是一道解析几何题ꎬ其中第二问是证明直线过定点.虽然是一类常见常考的题型ꎬ但是解决起来有一定的难度.难点在于:引进一个参数ꎬ思路简单ꎬ可运算量大ꎬ要求运算流畅㊁准确ꎻ引进多个参数ꎬ最后涉及到参数的消去与保留ꎬ要求思维灵活㊁缜密.下面给出该题的多种解法及评析ꎬ欣赏一题多解的妙趣ꎻ领略难点突破的秘诀.题目㊀已知ＡꎬＢ分别为椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的左右顶点ꎬＧ为Ｅ的上顶点ꎬＡＧң ＧＢң＝８.Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬＰＡ与Ｅ的另一交点为ＣꎬＰＢ与Ｅ的另一交点为Ｄ.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)证明:直线ＣＤ过定点.解㊀(１)由题设得Ａ(－ａꎬ０)ꎬＢ(ａꎬ０)ꎬＧ(０ꎬ１)ꎬ则ＡＧң＝(ａꎬ１)ꎬＧＢң＝(ａꎬ－１).由ＡＧң ＧＢң＝８得ａ２－１＝８ꎬ即ａ＝３.所以Ｅ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.(２)解法１㊀由(１)知Ａ(－３ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)ꎬ设Ｐ(６ꎬｔ)则ＰＡ的方程为ｙ＝ｔ９(ｘ＋３).将ｙ＝ｔ９(ｘ＋３)代入ｘ２９＋ｙ２＝１得(ｔ２＋９)ｘ２＋６ｔ２ｘ＋９ｔ２－８１＝０ꎬ则－３ｘｃ＝９ｔ２－８１ｔ２＋９ꎬ所以ｘｃ＝－３ｔ２＋２７ｔ２＋９ꎬＣ点的坐标为(－３ｔ２＋２７ｔ２＋９ꎬ６ｔｔ２＋９)ꎻ同样求得Ｄ点坐标为(３ｔ２－３ｔ２＋１ꎬ－２ｔｔ２＋１).当ｔ２ʂ３时ꎬ直线ＣＤ的斜率ｋＣＤ＝４ｔ－３ｔ２＋９ꎬ直线ＣＤ的方程为ｙ＋２ｔｔ２＋１＝４ｔ－３ｔ２＋９(ｘ－３ｔ２－３ｔ２＋１)ꎬ即ｙ＝４ｔ－３ｔ２＋９(ｘ－３２)ꎻ当ｔ２＝３时ꎬ直线ＣＤ的方程为ｘ＝３２.综上ꎬ直线ＣＤ过定点(３２ꎬ０).评析㊀本解法两次将直线方程代入椭圆方程得到关于ｘ的一元二次方程ꎬ有一定的运算量ꎬ要求零失误ꎻ利用韦达定理求得Ｃ㊁Ｄ的坐标ꎬ是一个技巧ꎻ写出直线ＣＤ的方程还需要化简整理ꎬ方能得到所要证的结论.解法２㊀由(１)知Ａ(－３ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)ꎬ设Ｐ(６ꎬｔ)ꎬＣ(３ｃｏｓαꎬｓｉｎα)ꎬＤ(３ｃｏｓβꎬｓｉｎβ)ꎬ则ＡＣң＝(３ｃｏｓα＋３ꎬｓｉｎα)ꎬＡＰң＝(９ꎬｔ)ꎬＢＤң＝(３ｃｏｓβ－３ꎬｓｉｎβ)ꎬＢＰң＝(３ꎬｔ).因为ＡＣңʊＡＰңꎬＢＤңʊＢＰңꎬ所以(３ｃｏｓα＋３)ｔ－９ｓｉｎα＝０ꎬ(３ｃｏｓβ－３)ｔ－３ｓｉｎβ＝０.当ｔʂ０时ꎬ则ｔ＝３ｔａｎα２ꎬｔ ｔａｎβ２＝－１ꎬ从而ｔａｎα２ｔａｎβ２＝－１３.若ｃｏｓαʂｃｏｓβꎬ直线ＣＤ的方程为ｙ－ｓｉｎα＝ｓｉｎα－ｓｉｎβ３ｃｏｓα－３ｃｏｓβ(ｘ－３ｃｏｓα)ꎬ即ｙ＝ｓｉｎα－ｓｉｎβ３ｃｏｓα－３ｃｏｓβ(ｘ－３ｓｉｎ(α－β)ｓｉｎα－ｓｉｎβ)ꎬ即ｙ＝ｓｉｎα－ｓｉｎβ３ｃｏｓα－３ｃｏｓβ(ｘ－３ｃｏｓα－β２ｃｏｓα＋β２)ꎬ即ｙ＝ｓｉｎα－ｓｉｎβ３ｃｏｓα－３ｃｏｓβ(ｘ－３(１＋ｔａｎα２ｔａｎβ２)１－ｔａｎα２ｔａｎβ２).将ｔａｎα２ ｔａｎβ２＝８３－１３代入得直线ＣＤ的方程ｙ＝ｓｉｎα－ｓｉｎβ３ｃｏｓα－３ｃｏｓβ(ｘ－３２).若ｃｏｓα＝ｃｏｓβꎬ由ｔａｎα２ ｔａｎβ２＝－１３ꎬ不妨设ｔａｎα２＝３３ꎬｔａｎβ２＝－３３ꎬ所以ｃｏｓα＝ｃｏｓβ＝１２ꎬ直线ＣＤ的方程为ｘ＝３２.当ｔ＝０时ꎬ直线ＣＤ的方程为ｙ＝０.综上ꎬ直线ＣＤ过定点(３２ꎬ０).评析㊀本解法利用椭圆的参数方程设点的坐标ꎬ减少了参数的个数ꎻ整个解答过程中ꎬ利用了多个三角公式ꎬ如:同角三角函数基本关系公式ꎬ两角和与差公式ꎬ二倍角公式及通过角的变换推导的 和差化积 公式等ꎬ可以说三角公式的运用得到了极致.解法３㊀由(１)知Ａ(－３ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０).设Ｐ(６ꎬｔ)ꎬ根据对称性直线ＣＤ所过定点在ｘ轴上.当ｔʂ０时ꎬ设直线ＣＤ的方程为ｍｙ＝ｘ－ｎꎬＣ(ｍｙ１＋ｎꎬｙ１)ꎬＤ(ｍｙ２＋ｎꎬｙ２)ꎬ则ＡＣң＝(ｍｙ１＋ｎ＋３ꎬｙ１)ꎬＡＰң＝(９ꎬｔ)ꎬＢＤң＝(ｍｙ２＋ｎ－３ꎬｙ２)ꎬＢＰң＝(３ꎬｔ).因为ＡＣңʊＡＰңꎬＢＤңʊＢＰңꎬ所以(ｍｙ１＋ｎ＋３)ｔ－９ｙ１＝０ꎬ(ｍｙ２＋ｎ－３)ｔ－３ｙ２＝０.消去ｔ得ｙ２(ｍｙ１＋ｎ＋３)＝３ｙ１(ｍｙ２＋ｎ－３).即２ｍｙ１ｙ２＋３(ｎ－３)ｙ１－(ｎ＋３)ｙ２＝０.把ｘ＝ｍｙ＋ｎ代入ｘ２９＋ｙ２＝１得(ｍ２＋９)ｙ２＋２ｍｎｙ＋ｎ２－９＝０.把ｙ１ｙ２＝ｎ２－９ｍ２＋９代入２ｍｙ１ｙ２＋３(ｎ－３)ｙ１－(ｎ＋３)ｙ２＝０ꎬ得２ｍ(ｎ２－９)ｍ２＋９＋３(ｎ－３)ｙ１－(ｎ＋３)ｙ２＝０ꎬ把２ｍｍ２＋９＝－ｙ１＋ｙ２ｎ代入２ｍ(ｎ２－９)ｍ２＋９＋３(ｎ－３)ｙ１－(ｎ＋３)ｙ２＝０消去ｍ得－(ｎ２－９)(ｙ１＋ｙ２)＋３ｎ(ｎ－３)ｙ１－ｎ(ｎ＋３)ｙ２＝０ꎬ即(２ｎ２－９ｎ＋９)ｙ１－(２ｎ２＋３ｎ－９)ｙ２＝０.所以２ｎ２－９ｎ＋９＝０ꎬ２ｎ２＋３ｎ－９＝０ꎬ从而ｎ＝３２ꎬ直线ＣＤ的方程为ｍｙ＝ｘ－３２.当ｔ＝０时ꎬ直线ＣＤ的方程为ｙ＝０.综上ꎬ直线ＣＤ过定点(３２ꎬ０).评析㊀本解法引进多个参数ꎬ初心是利用韦达定理消去ｙ１和ｙ２保留ｍꎬ实际把ｙ１ｙ２＝ｎ２－９ｍ２＋９代入２ｍｙ１ｙ２＋３(ｎ－３)ｙ１－(ｎ＋３)ｙ２＝０ꎬ结合ｙ１＋ｙ２＝－２ｍｎｍ２＋９ꎬ发现易消去ｍꎬ保留ｙ１和ｙ２ꎬ利用ｙ１和ｙ２的任意性就可求得ｎ.解题过程中得到启发㊁灵感ꎬ适时调整我们的解题思路ꎬ体现了思维的多向性和灵活性.解法４㊀由(１)知Ａ(－３ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)ꎬ设Ｃ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＤ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＰ(６ꎬｔ)ꎬ则ＡＣң＝(ｘ１＋３ꎬｙ１)ꎬＡＰң＝(９ꎬｔ)ꎬＢＤң＝(ｘ２－３ꎬｙ２)ꎬＢＰң＝(３ꎬｔ).因为ＡＣңʊＡＰңꎬＢＤңʊＢＰңꎬ所以(ｘ１＋３)ｔ－９ｙ１＝０ꎬ(ｘ２－３)ｔ－３ｙ２＝０.消去ｔ得３ｙ１(ｘ２－３)＝ｙ２(ｘ１＋３)ꎬ所以９ｙ２１(ｘ２－３)２＝ｙ２２(ｘ１＋３)２.又ｙ２１＝９－ｘ２１９ꎬｙ２２＝９－ｘ２２９ꎬ从而得９(ｘ１－３)(ｘ２－３)＝(ｘ１＋３)(ｘ２＋３)ꎬ即４ｘ１ｘ２－１５(ｘ１＋ｘ２)＋３６＝０.根据对称性直线ＣＤ所过定点在ｘ轴上.当直线ＣＤ的斜率存在时ꎬ设直线ＣＤ的方程为ｙ＝ｋ(ｘ－ｎ)ꎬ把ｙ＝ｋ(ｘ－ｎ)代入ｘ２９＋ｙ２＝１得(９ｋ２＋１)ｘ２－１８ｋ２ｎｘ＋９ｋ２ｎ２－９＝０.把ｘ１＋ｘ２＝１８ｋ２ｎ９ｋ２＋１ꎬｘ１ｘ２＝９ｋ２ｎ２－９９ｋ２＋１代入４ｘ１ｘ２－１５(ｘ１＋ｘ２)＋３６＝０得ｋ２(２ｎ２－１５ｎ＋１８)＝０ꎬ所以２ｎ２－１５ｎ＋１８＝０ꎬ解得ｎ＝３２或ｎ＝６(舍去)ꎬ直线ＣＤ的方程为ｙ＝ｋ(ｘ－３２).当直线ＣＤ的斜率不存在时ꎬ则ｘ１＝ｘ２ꎬ又４ｘ１ｘ２－１５(ｘ１＋ｘ２)＋３６＝０ꎬ所以ｘ１＝ｘ２＝３２或ｘ１＝ｘ２＝６(舍去)ꎬ直线ＣＤ的方程为ｘ＝３２.综上ꎬ直线ＣＤ过定点(３２ꎬ０).评析㊀本解法引进更多的参数ꎬ利用Ｃ㊁Ｄ在椭圆上ꎬ我们首先消去ｙ１和ｙ２ꎬ得到４ｘ１ｘ２－１５(ｘ１＋ｘ２)＋３６＝０ꎬ至此应用韦达定理解答显而易见ꎬ水到渠成.解析几何中ꎬ设而不求㊁加强韦达定理的应用是解答问题的重要方法.㊀㊀㊀参考文献:[１]２０２０年普通高等学校招生全国统一考试数学Ⅰ卷.㊀[责任编辑:李㊀璟]９３。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)-解析版
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={−2,−1,0,1,2,3}，A={−1,0,1},B={1,2},则C U(A⋃B)=()A. {−2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,0,3}D. {−2,−1,0,2,3}2.若α为第四象限角，则()A. cos2α>0B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为()A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√556.数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n，若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k=()A. 2B. 3C. 4D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A. EB. FC. GD. H8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D、E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A. 4B. 8C. 16D. 329.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)()A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减10.已知▵ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为16π，则球O到平面ABC的距离为()A. √3B. 32C. 1 D. √3211.若2x−2y<3−x−3−y，则()A. ln(y−x+1)>0B. ln(y−x+1)<0C. ln|x−y|>0D. ln|x−y|<012.0−1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a1a2…a n…满足a i∈(0,1)(i=1,2,…)，且存在正整数m，使得a i+m=a i(i=1,2,…)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0−1序列a1a2…a n…，C(k)=1m ∑a i a i+k(k=1,2,…,m−1)mi=1是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0−1序列中，满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是()A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量a,b的夹角为45°，ka−b与a垂直，则k=_______．14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=√3+i，则|z1−z2|=______．16.设有下列四个命题：P1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．P4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4②p1∧p2③¬p2∨p3④¬p3∨¬p4三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. ▵ABC 中，sin 2A −sin 2B −sin 2C =sinBsinC ．(1)求A ；(2)若BC =3，求▵ABC 周长的最大值．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑x i =6020i=1，∑y i =120020i=1，∑(x i −x )2=8020i=1，∑(y i −y )2=900020i=1，∑(x i −x )(y i −y )=8020i=10．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，√2≈1.414．19. 已知椭圆C 1:x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与的C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． (1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．20.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC 于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO//平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．21.已知函数f(x)=sin2xsin2x．(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性；(2)证明：|f(x)|≤3√38；(3)设n∈N∗，证明：sin2xsin22xsin24x⋯sin22n x≤3n4n．22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：{x=4cos 2θy=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1ty=t−1t(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+1|．(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的运算，属基础题.先求出A∪B，再求补集．【解答】解：∵A∪B={−1,0,1,2}，∴∁U(A∪B)={−2,3}.故选A．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数在各象限的正负，属于基础题．根据所给角是第四象限角，写出角α的范围，求出2α的范围，进而可判断出三角函数值的正负．【解答】+2kπ<α<2kπ,∴−π+4kπ<2α<4kπ,解：∵−π2∴2α是第三象限或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，∴sin2α<0.故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查对概率的理解，通过条件容易得出第二天需配送的总订单数，进而可求出所需至少人数．【解答】解：因为公司可以完成配货1200份订单，=18名.则至少需要志愿者为1600+500−120050故选B．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列前n项和的性质，属于中档题．由S n,S2n−S n,S3n−S2n成等差数列，可得每一层的环数，通过等差数列前n项和公式可求得三层扇形石板的总数．【解答】解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差d=9，a1=9，由等差数列性质知S n,S2n−S n,S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则9n2=729，得n=9，×9=3402块.则三层共有扇形面石板为S3n=S27=27a1+27×262故选C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离计算，属基础题．由圆与坐标轴相切，可得圆心坐标及半径，再用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：设圆心为(a,a)，则半径为a，圆过点(2,1)，则(2−a)2+(1−a)2=a2，解得a=1或a=5，.所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是d=2√55故选B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的判定及等比数列前n项求和，属基础题．取m=1，知数列是等比数列，再由等比数列前n项和公式可求出k的值．【解答】解：取m=1，则a n+1=a1a n，=2，又a1=2，所以a n+1a n所以{a n}是等比数列，则a n=2n，所以，得k=4.故选C．7.【答案】A【解析】【分析】本题三视图，考查空间想象能力，属基础题．由三视图，通过还原几何体，观察可知对应点．【解答】解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A．8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质及双曲线的渐近线，属于中档题．【解答】x，解：双曲线C的两条渐近线分别为y=±ba由于直线x=a与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点，则易得到|DE|=2b，则S△ODE=ab=8，c2=a2+b2⩾2ab=16，即c⩾4，所以焦距2c⩾8．故选B．9.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题． 【解答】解：函数f(−x)=ln |−2x +1|−ln |−2x −1|=ln |1−2x |−ln |2x +1|=−f(x)， 则f(x)为奇函数，x ∈(−12,12)时，f(x)=ln(2x +1)−ln(1−2x)，单调递增； x ∈(−∞,−12)时，f(x)=ln(−2x −1)−ln(1−2x)=ln 2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减． 故选D ．10.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查点到平面的距离求法，属于中档题． 【解答】解：设△ABC 的外接圆圆心为O 1，设OO 1=d ，圆O 1的半径为r ，球O 的半径为R ， △ABC 的边长为a ，则S △ABC =√34a 2=9√34，可得a =3，于是r =3=√3， 由题意知，球O 的表面积为16π，则R =2，由R 2=r 2+d 2，求得d =1，即O 到平面ABC 的距离为1． 故选C ．11.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查对数函数与指数函数，考查函数的单调性，属于较难题． 【解答】解：2x−3−x<2y−3−y，设f(x)=2x−3−x，则f′(x)=2x ln2+3−x ln3>0，所以函数f(x)在R上单调递增，因为f(x)<f(y)，所以x<y，则y−x+1>1，ln(y−x+1)>0．故选A．12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查新定义类型的问题，属于较难题．【解答】解：对于A选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15，不满足，排除；对于B选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15，不满足，排除；对于C选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0，C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0，C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15，满足；对于D选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>15，不满足，排除；故选C．13.【答案】√22【解析】【分析】本题主要考查平面向量的运算以及向量间的垂直关系，属于基础题．【解答】解：由单位向量a⃗,b⃗ 的夹角为45∘，k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，=0，所以(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=k−√22则k=√2．2．故答案为√2214.【答案】36【解析】【分析】本题考查计数原理，属于基础题．【解答】解：由题意，先将4名同学分成三组，一组两人，其余两组各一人，再将3组分到3个小区，可得不同的安排方法有：C42A33=36．答案：36．15.【答案】2√3【解析】【分析】本题考查复数的运算及复数的模，属于基础题．【解答】解：在复平面内，用向量方法求解，原问题即等价于平面向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |=2，a⃗+b⃗ =(√3,1)，求|a⃗−b⃗ |，由(a⃗+b⃗ )2+(a⃗−b⃗ )2=2|a⃗|2+2|b⃗ |2，可得4+(a⃗−b⃗ )2=16，故|a⃗−b⃗ |=2√3．故答案为2√3．16.【答案】①③④【解析】【分析】本题考查含逻辑联结词的命题真假的判断以及立体几何相关知识，属于中档题．【解答】解：对于p1：可设l1与l2，所得平面为α.若l3与l1相交，则交点A必在平面α内.同理l2与l3的交点B在平面α内，故直线AB在平面α内，即l3在平面α内，故p1为真命题．对于p2:过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故p2为假命题．对于p3:空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故p3为假命题．对于p4:若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故m⊥l，故p4为真命题．综上可知，p1∧p4为真命题，¬p2∨p3为真命题，¬p3∨¬p4为真命题．故答案为①③④．17.【答案】解：(1)在▵ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，由正弦定理得，a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc =−12，因为0<A<π，所以A=2π3．(2)由(1)知，A=2π3，因为BC=3，即a=3，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，所以9=b2+c2+bc=(b+c)2−bc，由基本不等式可得bc≤(b+c)24，所以9=(b+c)2−bc≥34(b+c)2,所以b+c≤2√3(当且仅当b=c=√3时取得等号)，所以▵ABC周长的最大值为3+2√3．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题．(1)直接利用正余弦定理即可求解；(2)利用余弦定理与基本不等式即可求解．18.【答案】解：(1)由题可知，每个样区这种野生动物数量的平均数为120020=60，所以该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000(2)根据公式得r=i −x)(y i−y)ni=1√∑(x i−x)∑(y i−y)i=1i=1=√80×9000=3√2≈0.94(3)为了提高样本的代表性，选用分层抽样法更加合理，因为分层抽样可以按照规定的比例从不同的地块间随机抽样，其代表性较好，抽样误差更小。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖南卷,含答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）选择题：本大题共12小题。
每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=( ）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i （3）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（）（A）13（B）13-（C）19（D）19-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l⊥m，l⊥n，,l lαβ⊄⊄，则（）（A）α∥β且l∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（）（A）-4 （B）-3（C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A）11112310++++L（B）11112!3!10!++++L（C）11112311++++L（D）11112!3!11!++++L（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设a=log36，b=log510，c=log714,则（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b (D)a＞b＞c（9）已知a＞0，x，y满足约束条件()133xx yy a x⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩ ,若z=2x+y的最小值为1，则a=(A) 14(B)12(C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（A）∃xα∈R,f(xα)=0（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C）若xα是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,xα）单调递减（D）若x0是f（x）的极值点，则()'0 f x=（11）设抛物线y2=3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（A）y2=4x或y2=8x （B）y2=2x或y2=8x（C）y2=4x或y2=16x （D）y2=2x或y2=16x（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（A）（0，1）(B)211,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭( C)211,23⎛⎤-⎥⎦⎝ (D)11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
理综2020年全国卷Ⅰ高考试题文档版(含物理答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 P 31 S 32 Cl 35.5 V 51 Fe 56 一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。
共78分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．新冠肺炎疫情警示人们要养成良好的生活习惯，提高公共卫生安全意识。
下列相关叙述错误的是A．戴口罩可以减少病原微生物通过飞沫在人与人之间的传播B．病毒能够在餐具上增殖，用食盐溶液浸泡餐具可以阻止病毒增殖C．高温可破坏病原体蛋白质的空间结构，煮沸处理餐具可杀死病原体D．生活中接触的物体表面可能存在病原微生物，勤洗手可降低感染风险2．种子贮藏中需要控制呼吸作用以减少有机物的消耗。
若作物种子呼吸作用所利用的物质是淀粉分解产生的葡萄糖，下列关于种子呼吸作用的叙述，错误的是A．若产生的CO2与乙醇的分子数相等，则细胞只进行无氧呼吸B．若细胞只进行有氧呼吸，则吸收O2的分子数与释放CO2的相等C．若细胞只进行无氧呼吸且产物是乳酸，则无O2吸收也无CO2释放D．若细胞同时进行有氧和无氧呼吸，则吸收O2的分子数比释放CO2的多3．某研究人员以小鼠为材料进行了与甲状腺相关的实验，下列叙述错误的是A．切除小鼠垂体，会导致甲状腺激素分泌不足，机体产热减少B．给切除垂体的幼年小鼠注射垂体提取液后，其耗氧量会增加C．给成年小鼠注射甲状腺激素后，其神经系统的兴奋性会增强D．给切除垂体的小鼠注射促甲状腺激素释放激素，其代谢可恢复正常4．为达到实验目的，需要选用合适的实验材料进行实验。
2023年高考全国乙卷理科数学试题(含答案详解)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学一、选择题1. 设252i1i iz +=++，则z =（ ） A. 12i −B. 12i +C. 2i −D. 2i +2. 设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =−<<，则{}2x x ≥=（ ） A. ∁U (M ∪N ) B. N ∪∁U M C. ∁U (M ∩N )D. M ∪∁U N3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A. 24B. 26C. 28D. 304. 已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则=a （ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 25. 设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ） A.18 B.16C.14D.126. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A. B. 12−C.12D.7. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种8. 已知圆锥PO O 为底面圆心，P A ，PB 为圆锥的母线，120AOB ∠=︒，若PAB 的面积等于）A.πB.C. 3πD.9. 已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A.15B.5C.D.2510. 已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（ ）A. －1B. 12−C. 0D.1211. 设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）A. ()1,1B. ()1,2-C. ()1,3D. ()1,4−−12. 已知O 的半径为1，直线P A 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC的中点，若PO =PA PD ⋅的最大值为（ ）A.12B.12+C. 1+D. 2二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______.14. 若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.15. 已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =−，则7a =______.16. 设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是______.三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记1,2,,10i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ． （1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥为有显著提高）18. 在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. （1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.19. 如图，在三棱锥−P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD =，点F 在AC 上，BF AO ⊥.（1）证明：//EF 平面ADO ； （2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ； （3）求二面角D AO C −−的正弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=，点()2,0A −在C 上．（1）求C 的方程； （2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．21. 已知函数1()ln(1)f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭. （1）当1a =−时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）是否存在a ，b ，使得曲线1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭关于直线x b =对称，若存在，求a ，b 的值，若不存在，说明理由. （3）若()f x 在()0,∞+存在极值，求a 的取值范围.四、选做题【选修4-4】（10分）22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为ππ2sin 42⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ρθθ，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】（10分）23. 已知()22f x x x =+−. （1）求不等式()6f x x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积.（2023·全国乙卷·理·1·★）设252i1i i z +=++，则z =（ ）（A ）12i −（B ）12i +（C ）2i −（D ）2i+答案：B解析：由题意，2252222i 2i 2i (2i)ii 2i 12i 1i i 11(i )i i iz ++++=====−−=−++−+，所以12i z =+. （2023·全国乙卷·理·2·★）设全集U =R ，集合{|1}M x x =<，{|12}N x x =−<<，则{|2}x x ≥=（ ） （A ）∁U (M ∪N ) （B ）N ∪∁U M （C ）∁U (M ∩N ) （D ）M ∪∁U N 答案：A解析：正面求解不易，直接验证选项，A 项，由题意，{|2}MN x x =<，所以(){|2}U MN x x =≥ð，故选A.（2023·全国乙卷·理·3·★）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）（A ）24（B ）26（C ）28（D ）30答案：D解析：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D −去掉长方体11ONIC LMHB −之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形， 其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯−⨯⨯=.答案详解（2023·全国乙卷·理·4·★★）已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则a =（ ）（A ）2− （B ）1− （C ）1 （D ）2 答案：D解法1：要求a ，可结合偶函数的性质取特值建立方程，由()f x 为偶函数得(1)(1)f f −=，故1e ee 1e 1a a −−−=−− ①， 又111e e e e 11e e 1a a aa −−−−−−==−−−，代入①得1e e e 1e 1a a a −=−−， 所以1e e a −=，从而11a −=，故2a =， 经检验，满足()f x 为偶函数.解法2：也可直接用偶函数的定义来分析，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x −=恒成立，从而e e e 1e 1x x ax ax x x −−−=−−，故e e e 1e 1x x ax ax −−−=−−，所以e e e 1e e 1x ax x axax −−⋅=−−，从而e e e 1e 1ax x xax ax −=−−，故e e ax x x −=， 所以ax x x −=，故(2)0a x −=，此式要对定义域内任意的x 都成立，只能20a −=，所以2a =.（2023·全国乙卷·理·5·★）设O 为平面坐标系的原点，在区域22{(,)|14}x y x y ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于 π4 的概率为（ ）（ ） （A ）18（B ）16（C ）14（D ）12答案：C 解析：因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=， 结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.（2023·全国乙卷·理·6·★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间2(,)63ππ单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图象的两条对称轴，则5()12f π−=（ ） （A） （B ）12− （C ）12（D答案：D解析：条件中有两条对称轴，以及它们之间的单调性，据此可画出草图来分析， 如图，2362T T πππ−=⇒=，所以22Tπω==，故2ω=±， 不妨取2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+， 再求ϕ，代一个最值点即可，由图可知，()sin(2)sin()1663f πππϕϕ=⨯+=+=−，所以232k ππϕπ+=−，从而52()6k k πϕπ=−∈Z ， 故55()sin(22)sin(2)66f x x k x πππ=+−=−，所以5555()sin[2()]sin()sin 1212633f πππππ−=⨯−−=−==.（2023·全国乙卷·理·7·★★）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）（A ）30种 （B ）60种 （C ）120种 （D ）240种 答案：C解析：恰有1种课外读物相同，可先把相同的课外读物选出来，再选不同的， 由题意，先从6种课外读物中选1种，作为甲乙两人相同的课外读物，有16C 种选法，再从余下5种课外读物中选2种，分别安排给甲乙两人，有25A 种选法， 由分步乘法计数原理，满足题意的选法共1265C A 120=种.（2023·全国乙卷· 理· 8·★★★）已知圆锥PO O 为底面圆心，P A ，PB 为圆锥的母线，o 120AOB ∠=，若PAB ∆，则该圆锥的体积为（ ） （A ）π （B （C ）3π （D ） 答案：B解析：求圆锥的体积只差高，我们先翻译条件中的PAB S ∆，由于P A ，PB 和APB ∠都未知，所以不易通过1sin 2PAB S PA PB APB ∆=⋅⋅∠求P A ，再求PO ，故选择AB 为底边来算PAB S ∆，需作高PQ ，而AB 可在AOB ∆中求得，在AOB ∆中，由余弦定理，222AB OA OB =+−2cos 9OA OB AOB ⋅⋅∠=，所以3AB =，取AB 中点Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ AB ⊥，PQ AB ⊥， 所以1133222PAB S AB PQ PQ PQ ∆=⋅=⨯⨯=，又PAB S ∆=，所以32PQ =PQ =，在AOQ ∆中，o 1602AOQ AOB ∠=∠=，所以cos OQ OA AOQ =⋅∠=，故OP ==所以圆柱PO 的体积213V π=⨯.PO ABQ（2023·全国乙卷·理·9·★★★）已知ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD ∆为等边三角形，若二面角C ABD −−为o 150，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）（A ）15（B （C （D ）25答案：C解析：两个等腰三角形有公共的底边，这种情况常取底边中点构造线面垂直， 如图，取AB 中点E ，连接DE ，CE ，由题意，DA DB =，AC BC =，所以AB DE ⊥，AB CE ⊥，故DEC ∠即为二面角C AB D −−的平面角， 且AB ⊥平面CDE ，所以o 150DEC ∠=， 作DO CE ⊥的延长线于O ，则DO ⊂平面CDE ， 所以DO AB ⊥，故DO ⊥平面ABC ，所以DCO ∠即为直线CD 与平面ABC 所成的角，不妨设2AB =，则1CE =，DE = 因为o 150DEC ∠=，所以o 30DEO ∠=，故3cos 2OE DE DEO =⋅∠=，sin OD DE DEO =⋅∠=，52OC OE CE =+=，所以tan OD DCO OC ∠==. DACBEO【反思】两个等腰三角形有公共底边这类图形，常取底边中点，构造两个线线垂直，进而得出线面垂直.（2023·全国乙卷·理·10·★★★★）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合*{cos |}n S a n =∈N ，若{,}S a b =，则ab =（ ）（A ）1− （B ）12− （C ）0 （D ）12答案：B解析：由题意，S 中的元素为1cos a ，2cos a ，3cos a ，…，由于cos y x =周期为2π，恰为公差的3倍，所以cos n a 必以3为周期重复出现，故只需考虑前三个值. 但题干却说{,}S a b =，只有两个元素，为什么呢？这说明前三个值中恰有两个相等，若讨论是哪两个相等来求1a ，则较繁琐，我们直接画单位圆，用余弦函数的定义来看，如图，由三角函数定义可知，在终边不重合的前提下，余弦值相等的两个角终边关于x 轴对称，所以要使1cos a ，2cos a ，3cos a 中有两个相等，则1a ，2a ，3a 的终边只能是如图所示的两种情况，至于三个终边哪个是1a ，不影响答案，只要它们逆时针排列即可， 若为图1，则131cos cos 2a a ==，2cos 1a =−，所以S 中的元素是12和1−，故12ab =−；若为图2，则1cos 1a =，231cos cos 2a a ==−，所以S 中的元素是1和12−，故12ab =−.1图2图（2023·全国乙卷·理·11·★★★）设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可能为线段AB 中点的是（ ）（A ）(1,1) （B ）(1,2)− （C ）(1,3) （D ）(1,4)−− 答案：D解析：涉及弦中点，考虑中点弦斜率积结论，A 项，记(1,1)M ，由中点弦斜率积结论，9AB OM k k ⋅=，因为1OM k =，所以9AB k =，又直线AB 过点M ， 所以AB 的方程为19(1)y x −=−，即98y x =− ①，只要该直线与双曲线有2个交点，那么A 项就正确，可将直线的方程代入双曲线方程，算判别式，将①代入2219y x −=整理得：272144730x x −+=， 21(144)47273144(144273)2880∆=−−⨯⨯=⨯−⨯=−<，所以该直线与双曲线没有两个交点，故A 项错误，同理可判断B 、C 也错误，此处不再赘述； D 项，记(1,4)N −−，则4ON k =，由中点弦斜率积结论，9AB OM k k ⋅=，所以94AB k =， 又直线AB 过点N ，所以AB 的方程为91(1)4y x −=−，整理得：9544y x =− ②， 将②代入2219y x −=整理得：263901690x x +−=， 判别式2290463(169)0∆=−⨯⨯−>，所以该直线与双曲线有两个交点，故D 项正确.（2023·全国乙卷·理·12·★★★★）已知⊙O 半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO PA PD ⋅的最大值为（ ）（A （B （C ）1 （D ）2+答案：A解析：1OA =，1PO PA ===，所以cos cos PA PD PA PD APD PD APD ⋅=⋅∠=∠ ①， 且PAO ∆是等腰直角三角形，所以4APO π∠=，因为D 是BC 的中点，所以OD BC ⊥，求PA PD ⋅要用APD ∠，故可设角为变量，引入CPO ∠为变量，可与直角PDO ∆联系起来，更便于分析， 设CPO θ∠=，则04πθ≤<，有图1和图2两种情况，要讨论吗？观察发现图2的每一种PD ，在图1中都有一个对称的位置，二者PD 相同，但图2的夹角APD ∠更大，所以cos APD ∠更小，数量积也就更小，从而PA PD ⋅的最大值不会在图2取得，故可只考虑图1， 如图1，4APD APO CPO πθ∠=∠−∠=−，代入①得cos()4PA PD PD πθ⋅=− ①，注意到PD 与θ有关，故将它也用θ表示，统一变量， 由图可知，cos PD PO DPC θ=∠=， 代入①得：2cos cos()4PA PDπθθ⋅=−2)cos sin cos θθθθθθ==+ 1)1cos 214sin 2222πθθθ+++=+=，故当8πθ=时，sin(2)14πθ+=，PA PD ⋅取得最大值12+.A PODB C A PODBC1图2图θθ（2023·全国乙卷·理·13·★）已知点A 在抛物线2:2C y px=上，则点A 到C 的准线的距离为_____. 答案：94解析：点A 在抛物线上25212p p ⇒=⋅⇒=， 所以抛物线的准线为54x =−， 故A 到该准线的距离591()44d =−−=.（2023·全国乙卷·理·14·★）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.答案：8解析：作出可行域如下图所示：z =2x −y ，移项得y =2x −z ，联立有3129x y x y −=−⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距−z 最小，则z 最大，代入得z =8（2023·全国乙卷·理·15·★★）已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =−，则7a =_____. 答案：2−解析：已知和要求的都容易用通项公式翻译，故直接翻译它们，34252453611111a a a a a a qa q a q a q a q =⇒=，化简得：11a q = ①， 8921791011188a a a q a q a q =−⇒==− ②，由①可得11a q=，代入②得：158q =−，所以52q =− ③， 结合①③可得6557112a a q a q q q ==⋅==−.（2023·全国乙卷·理·16·★★★★）设(0,1)a ∈若函数()(1)x x f x a a =++在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是_____.答案： 解析：直接分析()f x 的单调性不易，可求导来看， 由题意，()ln (1)ln(1)x x f x a a a a '=+++，因为()f x 在(0,)+∞上，所以()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即ln (1)ln(1)0x x a a a a +++≥，参数a 较多，没法集中，但x 只有两处，且观察发现可同除以x a 把含x 的部分集中起来，所以(1)ln ln(1)0x xa a a a+++≥，故1ln (1)ln(1)0x a a a +++≥ ①， 想让式①恒成立，只需左侧最小值0≥，故分析其单调性， 因为111a+>，11a +>，所以ln(1)0a +>，从而1ln (1)ln(1)x y a a a=+++在(0,)+∞上，故011ln (1)ln(1)ln (1)ln(1)ln ln(1)x a a a a a a a a+++>+++=++，所以①恒成立ln ln(1)0a a ⇔++≥，从而ln[(1)]0a a +≥，故(1)1a a +≥，结合01a <<1a ≤<.（2023·全国乙卷·理·17·★★）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验，选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，(1,2,,10)i y i =⋅⋅⋅，试验结果如下：记(1,2,,10)i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s . （1）求z ，2s ，（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高.（如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 解：（1）由题意，i z 的数据依次为9，6，8，8−，15，11，19，18，20，12， 所以10111()(9688151119182012)111010i i i z x y ==−=++−++++++=∑，10222222222111()[(911)(611)(811)(811)(1511)(1111)(1911)1010i i s z z ==−=−+−+−+−−+−+−+−+∑222(1811)(2011)(1211)]61−+−+−=.（2）由（1）可得z <，所以甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.（2023·全国乙卷·理·18·★★★）在ABC ∆中，已知o 120BAC ∠=，2AB =，1AC =. （1）求sin ABC ∠；（2）若D为BC 上一点，且o 90BAD ∠=，求ADC ∆的面积.解：（1）（已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边，再用正弦定理求角）由余弦定理，22222o 2cos 21221cos1207BC AB AC AB AC BAC =+−⋅⋅∠=+−⨯⨯⨯=，所以BC =，由正弦定理，sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，所以o sinsin AC BAC ABC BC ⋅∠∠===（2）如图，因为o 120BAC ∠=，o 90BAD ∠=，所以o 30CAD ∠=，（求ADC S ∆还差AD ，只要求出ABC ∠，就能在ABD ∆中求AD ，ABC ∠可放到ABC ∆中来求）由余弦定理推论，222cos 2AB BC AC ABC AB BC +−∠===⋅，所以cos AB BD ABC ==∠，AD ==，故o 11sin 1sin 3022ADC S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠=⨯=.（2023·全国乙卷·理·19·★★★★）在三棱锥P ABC −中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==，BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD =，点F 在AC 上，BF AO ⊥. （1）证明：EF ∥平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ； （3）求二面角D AO C −−的大小.PDBAFCOE解：（1）证法1：（由图可猜想DEFO 是平行四边形，故尝试证DE 平行且等于OF . 注意到D ，E ，O 都是所在棱的中点，故若能证出F 是中点，则DE ，OF 都平行且等于AB 的一半，问题就解决了. 那F 的位置由哪个条件决定呢？显然是BF AO ⊥，我们可以设AF AC λ=，利用向量来翻译BF AO ⊥，求出λ） 设AF AC λ=，则()(1)BF BA AF BA AC BA BC BA BA BC λλλλ=+=+=+−=−+， 12AO AB BO BA BC =+=−+，因为BF AO ⊥，所以1((1))()2BF AO BA BC BA BC λλ⋅=−+⋅−+ 22(1)4(1)402BA BC λλλλ=−+=−+=，解得：12λ=，所以F 是AC 的中点， 又D ，E ，O 分别是BP ，AP ，BC 的中点，所以DE 和OF 都平行且等于AB 的一半，故DE 平行且等于OF ， 所以四边形DOFE 是平行四边形，故EF ∥OD ，又EF ⊄平面ADO ，DO ⊂平面ADO ，所以EF ∥平面ADO . 证法2：（分析方法同解法1，证明F 为AC 中点的过程，也可用平面几何的方法）如图1，在ABC ∆中，因为BF AO ⊥，所以o 2190AOB AOB ∠+∠=∠+∠=，故12∠=∠①， 又2AB =，BC =O 为BC 中点，所以BO =tan 1BO AB∠==，tan 3AB BC ∠==所以tan 1tan 3∠=∠，故13∠=∠，结合①可得23∠=∠，所以BF CF =， 连接OF ，因为O 是BC 中点，所以OF BC ⊥，又AB BC ⊥，所以OF ∥AB ， 结合O 为BC 中点可得F 为AC 的中点，接下来同证法1.（2）（要证面面垂直，先找线面垂直，条件中有AO BF ⊥，于是不外乎考虑证AO ⊥面BEF 或证BF ⊥面AOD，怎样选择呢？此时我们再看其他条件，还没用过的条件就是一些长度，长度类条件用于证垂直，想到勾股定理，我们先分析有关线段的长度） 由题意，12DO PC ==，AD ==，AO ，所以222152AO DO AD +==，故AO OD ⊥，（此时结合OD ∥EF 我们发现可以证明AO ⊥面BEF ） 由（1）可得EF ∥OD ，所以AO EF ⊥，又AO BF ⊥，且BF ，EF 是平面BEF 内的相交直线， 所以AO ⊥平面BEF ，因为AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .（3）解法1：（此图让我们感觉面PBC ⊥面ABC ，若这一感觉正确，那建系处理就很方便. 我们先分析看是不是这样的. 假设面PBC ⊥面ABC ，由于AB BC ⊥，于是AB ⊥面PBC ，故AB BD ⊥，但我们只要稍加计算，就会发现222AB BD AD +≠，矛盾，所以我们的感觉是不对的，也就不方便建系. 怎么办呢？那就在两个半平面内找与棱垂直的射线，它们的夹角等于二面角的大小. 事实上，这样的射线已经有了）由题意，AO BF ⊥，由前面的过程可知AO OD ⊥，所以射线OD 与BF 的夹角与所求二面角相等， （OD 与BF 异面，直接求射线OD 和BF 的夹角不易，故考虑通过平移使其共面，到三角形中分析） 因为OD ∥EF ，所以EFB ∠的补角等于射线OD 和BF 的夹角，由题意，AC ==12BF AC ==，12EF PC ==（只要求出BE ，问题就解决了，BE 是ABP ∆的中线，可用向量来算，先到ABD ∆中求cos ABP ∠） 在ABD ∆中，222cos 2AB BD AD ABP AB BD +−∠==⋅，因为1()2BE BA BP =+，所以222113(2)[4622(442BE BA BP BA BP =++⋅=⨯++⨯=，故BE =，在BEF ∆中，222cos 2BF EF BE BFE BF EF +−∠==⋅，所以o 45BFE ∠=，故二面角D AO C −−的大小为o 135.解法2：（得出所求二面角等于射线OD 与BF 夹角的过程同解法1. 要计算此夹角，也可用向量法. 观察图形可发现OA ，OB ，OD 的长度都已知或易求，两两夹角也好求，故选它们为基底，用基底法算OD 和BF 的夹角） 1113122()2()22222BF BC CF OB CA OB CB BA OB OB OA OB OB OA =+=−+=−++=−++−=−+，所以31313()cos 22222OD BF OD OB OA OD OB OD OA DOB BOD ⋅=⋅−+=−⋅+⋅=−∠=∠，又222cos 2OB OD BD BOD OB OD +−∠==⋅，所以3322OD BF ⋅=−=−，从而3cos ,6OD BF OD BF OD BF−⋅<>===⋅，故o ,135OD BF <>=，所以二面角D AO C −−为o 135. 解法3：（本题之所以不便建系，是因为点P 在面ABC 的射影不好找，不易写坐标.那有没有办法突破这一难点呢？有的，我们可以设P 的坐标，用已知条件来建立方程组，直接求解P 的坐标）以B 为原点建立如图2所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，(2,0,0)A ，C ，O ，设(,,)(0)P x yz z >，则(,,)222x y z D，由PB PC ⎧⎪⎨=⎪⎩2222226(6x y z x y z ⎧++=⎪⎨+−+=⎪⎩，解得：y =， 代回两方程中的任意一个可得224x z += ②，（此时发现还有AD =这个条件没用，故翻译它）又AD =，所以222222(2)5[(]244424x y z x y z −++=+−+，将y =代入整理得：22220xz x ++−= ③，联立②③结合0z >解得：1x =−，z =，（到此本题的主要难点就攻克了，接下来是流程化的计算）所以1(2D −，故1(2DO =−，(AO =−， 设平面AOD 的法向量为(,,)xy z =m ，则1022220DO x y z AO x ⎧⋅=+−=⎪⎨⎪⋅=−=⎩m m ，令1x =，则y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩=m 是平面AOD 的一个法向量，由图可知(0,0,1)=n 是平面AOC的一个法向量，所以cos ,⋅<>==⋅m n m n m n ， 由图可知二面角D AO C −−为钝角，故其大小为o 135.BAFC1图2图123O【反思】当建系后有点的坐标不好找时，直接设其坐标，结合已知条件建立方程组，求解坐标，这也是一种好的处理思路.（2023·全国乙卷·理·20·★★★）已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是3，点()2,0A −在C 上．（1）求C 的方程； （2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．答案：（1）22194y x+= （2）证明见详解解析：（1）由题意可得22223b a b c c ea ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.（2）由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+−++=−>，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=−=++，因为()2,0A −，则直线()11:22y AP y x x =++， 令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++ ()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++−++++===++−+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.（2023·全国乙卷·理·21·★★★★）已知函数1()()ln(1)f x a x x=++.（1）当1a =−时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线1()y f x=关于直线x b =对称？若存在，求a ，b 的值；弱不存在，说明理由；（3）若()f x 在(0,)+∞上存在极值，求a 的取值范围.解：（1）当1a =−时，1()(1)ln(1)f x x x =−+，2111()ln(1)(1)1f x x x x x'=−++−⋅+，所以(1)0f =，(1)ln 2f '=−，故所求切线方程为0ln 2(1)y x −=−−，整理得：(ln 2)ln 20x y +−=. （2）由函数的解析式可得()11ln 1f x a x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数的定义域满足1110x x x ++=>，即函数的定义域为()(),10,−∞−⋃+∞， 定义域关于直线12x =−对称，由题意可得12b =−，由对称性可知111222f m f m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+=−−> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取32m =可得()()12f f =−， 即()()11ln 22ln 2a a +=−，则12a a +=−，解得12a =，经检验11,22a b ==−满足题意，故11,22a b ==−.即存在11,22a b ==−满足题意.（3）由函数的解析式可得()()2111ln 11f x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=−+'++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 由()f x 在区间()0,∞+存在极值点，则()f x '在区间()0,∞+上存在变号零点; 令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫−+++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax −++++=， 令()()()2=1ln 1g x ax x x x +−++，()f x 在区间()0,∞+存在极值点，等价于()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，()()()12ln 1,21g x ax x g x a x '=''=−+−+ 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，()g x 在区间()0,∞+上无零点，不合题意; 当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()''0,g x g x >'在区间()0,∞+上单调递增， 所以()()00g x g ''>=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=， 所以()g x 在区间()0,∞+上无零点，不符合题意； 当102a <<时，由()''1201g x a x =−=+可得1=12x a−， 当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '单调递减， 当11,2x a ⎛⎫∈−+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()g x '单调递增，故()g x '的最小值为1112ln 22g a a a ⎛⎫−=−+⎪⎝⎭'， 令()()1ln 01m x x x x =−+<<，则()10x m x x−+'=>， 函数()m x 在定义域内单调递增，()()10m x m <=， 据此可得1ln 0x x −+<恒成立，则1112ln 202g a a a ⎛⎫−=−+<⎪'⎝⎭， 令()()2ln 0h x x x x x =−+>，则()221x x h x x−++'=，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，故()()10h x h ≤=，即2ln x x x ≤−(取等条件为1x =)，所以()()()()()222ln 12112g x ax x ax x x ax x x ⎡⎤=−+>−+−+=−+⎣⎦'，()()()()22122121210g a a a a a ⎡⎤−>−−−+−=⎣⎦'，且注意到()00g '=，根据零点存在性定理可知:()g x '在区间()0,∞+上存在唯一零点0x . 当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()()000g x g <=.令()11ln 2n x x x x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，则()()22211111022x n x x x x−−⎛⎫=−+=≤ ⎪⎝⎭'， 则()n x 单调递减，注意到()10n =， 故当()1,x ∈+∞时，11ln 02x x x ⎛⎫−−< ⎪⎝⎭，从而有11ln 2x x x ⎛⎫<− ⎪⎝⎭， 所以()()()2=1ln 1g x ax x x x +−++()()211>1121ax x x x x ⎡⎤+−+⨯+−⎢⎥+⎣⎦21122a x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，令211022a x ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭得2x =0g >， 所以函数()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数a 得取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【选修4-4】（10分）（2023·全国乙卷·文·22·★★★）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围． 答案：（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +−=∈∈ （2）()(),022,−∞+∞解析：（1）因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=， 整理得()2211x y +−=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======−ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=−∈θθ， 故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +−=∈∈.（2）因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧， 如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m −+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >0m <， 即实数m 的取值范围()(),022,−∞+∞.【选修4-5】（10分）（2023·全国乙卷·文·23·★★）已知()22f x x x=+−（1）求不等式()6x f x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积． 答案：（1）[2,2]−； （2）8.解析：（1）依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x −>⎧⎪=+≤≤⎨⎪−+<⎩，不等式()6f x x ≤−化为：2326x x x >⎧⎨−≤−⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩或0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩， 解2326x x x >⎧⎨−≤−⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩，得20x −≤<， 因此22x −≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]−（2）作出不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+−≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =−+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A −，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩, 解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ， 所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A SBD x x =⨯−=−⨯−−=.。
(精校版)2020年全国卷Ⅰ文数高考试题文档版(含答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}2．若312i i z =++，则||=z A ．0 B ．1CD ．23．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A ．14B ．12C ．14D ．124．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为 A ．15B ．25C ．12D ．455．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+6．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A ．1 B ．2C ．3D ．47．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π28．设3log 42a =，则4a -=A ．116 B ．19C ．18D ．169．执行下面的程序框图，则输出的n =A ．17B ．19C ．21D ．2310．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A ．12B ．24C ．30D ．3211．设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为 A ．72B ．3C ．52D ．212．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C. 110D. 310【答案】D【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A. 14230.1,0.4p p p p ====B. 14230.4,0.1p p p p ====C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （14，0） B. （12，0） C. （1，0） D. （2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4COx COx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ）A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值.【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 10.若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯= 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrr r C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，的其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM ==，故122S =⨯⨯=△ABC， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOCS S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()13322r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：343V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,EF 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. 【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，3cos ,3m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EFA --的平面角为θ，则cos θ=，sin θ∴==因此，二面角1A EF A --. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C mm +=<<∴5a =，bm =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△， ∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：d =， 根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ面积为：1522⨯=；②当P 点(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△， ∴||||8MB NQ ==，为可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c=++，曲线()y f x=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()f x有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b=-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f=，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()()422f x x x x=-=+-，易知()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b=+，由题意，'1()02f=，即21302b⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭则34b=-；（2）由（1）可得33()4f x x x c=-+，'2311()33()()422f x x x x=-=+-，令'()0f x>，得12x>或21x<-；令'()0f x<，得1122x-<<，所以()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，若()f x所有零点中存在一个绝对值大于1的零点x，则(1)0f->或(1)0f<，即14c>或14c<-.当14c>时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=-++=-<，由零点存在性定理知()f x在(4,1)c--上存在唯一一个零点x，即()f x在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c<-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=++=->，由零点存在性定理知()f x在(1,4)c-上存在唯一一个零点x'，即()f x (1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)ABk -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.在祝福语祝你考试成功!。