衡水中学2020届高三上学期第四次调研考试 理科数学(含答案)
象限．若 BPM 的面积是 BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．
21．（本题满分 12 分）设抛物线 的方程为 y2 2 px ，其中常数 p 0 ， F 是抛物线 的焦点．
（1）设 A 是点 F 关于顶点 O 的对称点， P 是抛物线 上的动点，求 | PA | 的最大值； | PF |
D． 5 2
9.如图，点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则下列四个结论：
A．
B． C． D．
4．已知 、 都为锐角，且 sin 21 、 cos 21 ，则 ( )
7
14
A． 3
B． 3
C． 6
D． 6
5. 设 a R ， b [0 ， 2 ) ，若对任意实数 x 都有 sin(3x ) sin(ax b) ，则满足条件的有序实数 3
h(x) g(x) 0 在 D 内恒成立，则称 P 点为函数 y h(x) 的“类对称中心点”，则函数 x x0
f
(x)
x2 2e2
lnx 的“类对称中心点”的坐标是
．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（本题满分 10 分）在平面四边形 ABCD 中， A C ， AB 1 ， BC 3 ， CD DA 2 ．
由（Ⅰ）知， G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD 2 CG ． 3
由题设可得 PC 平面 PAB ，DE 平面 PAB ，所以 DE / /PC ，因此 PE 2 PG ，DE 1 PC ．
3
3
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA 6 ，可得 DE 2 ， PG 3 2 ， PE 2 2 ．
@
A．22
B．23
C．26
D．27
12. 设 D (x a)2 (ex 2 a )2 a 2 ．其中 e 2.71828 ，则 D 的最小值为 ( )
16．设定义在 D 上的函数 y h(x) 在点 P(x0 ， h(x0 )) 处的切线方程为 l : y g(x) ，当 x x0 时，若
9
2
由
x2
6 3k
2
0
．可得
k
2 3
，故
k
1 2
20．证明： （1）证明：在 ABD 中， AD 1 ， AB 2 ， BAD 60 ，
由余弦定理可得 BD 3 ，仅而 ADB 90 ，即 BD AD ，
又 平面 AED 平面 ABCD ，
BD 平面 ABCD ，平面 AED 平面 ABCD AD ，BD 平面 AED ，
衡水中学2020届高三年级上学期四调考试 数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请 将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．已知集合 A {x | x(x 1) 0} ， B {x | y ln(x a)} ，若 A B A ，则实数 a 的取值范围为 (
3 sin ADE 5 ，
3 AH AD 5 ，
3 在 RtAHB 中， sin ABH AH 5 ，
AB 6
直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 5 6
21．解：（1） A 是点 F ( p ， 0) 关于顶点 O 的对称点，可得 A( p ， 0) ，
2
2
设过 A 的直线为 y k(x p ) ， k tan ，
2
联立抛物线方程可得 k 2 x2 (k 2 p 2 p)x k 2 p2 0 ， 4
由直线和抛物线相切可得△ (k 2 p 2 p)2 k 4 p2 0 ，解得 k 1，
可取 k 1，可得切线的倾斜角为 45 ，
由抛物线的定义可得 | PA |
1
1 ，而 的最小值为 45 ，
BD 平面 BED ，平面 BED 平面 AED ． （2） EF / / AB ， 直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角， 过点 A 作 AH DE 于点 H ，连接 BH ，
又平面 BED 平面 AED ED ，
由（1）知 AH 平面 BED ， 直线 AB 与平面 BED 所成的角为 ABH ， 在 ADE ， AD 1 ， DE 3 ， AE 6 ，由余弦定理得 cos ADE 2 ，
则 S9 (
)
S3
A．3
B．6
C．9
D．12
8.在 ABC 中，点 P 满足 BP 3PC ，过点 P 的直线与 AB ， AC 所在的直线分别交于点 M ， N ，
若 AM AB ， AN AC( 0, 0) ，则 的最小值为 ( )
A． 2 1 2
B． 3 1 2
C． 3 2
A．1
B．2
C．3
D．4
6. 已知 F 是双曲线 C : x2 y2 1 的一个焦点，点 P 在 C 上， O 为坐标原点．若 | OP || OF | ，则 45
OPF 的面积为 ( )
A． 3 2
B． 5 2
C． 7 2
D． 9 2
7. 已知等差数列{an} 的公差不为零，其前 n 项和为 Sn ，若 S3 ， S9 ， S27 成等比数列，
x2 5x1 ， 易知直线 AB 的方程为： 2x 3y 6 ．
1/3
由
2x 3y
y
kx
6
，可得
x2
6 3k
2
0
．
由
4x2 y
9y2 kx
36
，可得
x1
6， 9k 2 4
9k 2 4 5(3k 2) ， 18k2 25k 8 0 ，解得 k 8 或 k 1 ．
面 ABC 内的正投影为点 D ， D 在平面 PAB 内的正投影为点 E ，连接 PE 并延长交 AB 于点 G ． （1）证明： G 是 AB 的中点； （2）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F （说明作法及理由）BD ，若三棱锥 C ABD 的外接球的半径为 5 ，则 ADB
DE 3 ， BC EF 1 ， AE 6 ， BAD 60 ， G 为 BC 的中点．
（1）求 f (x) 的单调区间；
（1）求证：平面 BED 平面 AED ；
（2）已知函数 y g(x) 和 y ex 的图象在公共点 (x0 ， y0 ) 处有相同的切线，
（2）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值．
（1）求 C ；
（2）若 E 是 BD 的中点，求 CE ．
A． 2
B． 3
C． 2 1
D． 3 1
第Ⅱ卷（共 90 分）
二 、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知函数
f
(x)
log 4
2 x, 2 x
x ,x
0 ，则 0
f
(
f
(1)) 8
．
14．已知 F1 ，F2 分别为椭圆 C :
．
2/3
19．（本题满分
12
分）设椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的右顶点为 A ，上顶点为 B ．已知椭圆的离心
率为 5 ， | AB | 13 ． 3
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线 l : y kx(k 0) 与椭圆交于 P ，Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M ，且点 P ，M 均在第四
| PF | sin(90 ) cos
| PA | 的最大值为 2 ； | PF |
（2）由 y2 4x ，可得 F(1,0) ，设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2 ) ， C(x3 ， y3 ) ， D(x4 ， y4 ) ， G(x, y) ，
x2 25
y2 9
1的左、右焦点，且点
A 是椭圆 C
上一点，点 M
的
坐标为 (2,0) ，若 AM 为 F1AF2 的角平分线，则 | AF2 |
．
15．如图（1），在等腰直角 ABC 中，斜边 AB 4 ， D 为 AB 的中点，将 ACD 沿 CD 折叠得到如
18．（本题满分 12 分）如图，已知正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形， PA 6 ，顶点 P 在平
①三棱锥 A D1PC 的体积不变；② A1P / / 平面 ACD1 ；③ DP BC1 ；④平面 PDB1 平面 ACD1 ． 其中正确的结论的个数是 ( )
1/3
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
10. 过三点 A(1,3) 、 B(4, 2) 、 C(1, 7) 的圆截直线 x ay 2 0 所得弦长的最小值等于 ( )
19．解：（1）设椭圆的焦距为 2c ，
由已知可得 c2 a2
5 9
，又 a2
b2
c2 ，
解得 a 3 ， b 2 ，
椭圆的方程为： x2 y2 1 ， 94
（Ⅱ）设点 P(x1 ， y1) ， M (x2 ， y2 ) ， (x2 x1 0) ．则 Q(x1 ， y1) ．
BPM 的面积是 BPQ 面积的 2 倍，| PM | 2 | PQ | ，从而 x2 x1 2[x1 (x1)] ，
①求 f (x) 在 x x0 处的导数；
②若关于 x 的不等式 g(x) ex 在区间[x0 1 ， x0 1] 上恒成立，求 b 的取值范围．
3/3
ACDCB BCBCB BC
13． -4
14． 5 2
15． 2 3
16． (e, 3) 2
17．解：（1）由题设及余弦定理得： BD2 BC2 CD2 2BC CDcos C =13 12cos C ，①
河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学(文)试题 Word版含解析
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合}{1,2,3M =-，{}22,2N a a =++，且}{3M N ⋂=，则实数a 的值为( )A. 1或-1B. -1C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由A 与B 的交集，得到元素3属于A ，且属于B ，列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，经检验即可得到满足题意a 值． 【详解】∵A ∩B ＝{3}， ∴3∈A 且3∈B ， ∴a +2＝3或a 2+2＝3， 解得：a ＝1或a ＝﹣1，当a ＝1时，a +2＝3，a 2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去； 则a ＝﹣1． 故选B【点睛】此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知AB 是抛物线22y x =一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A. 2B.32C.12D.52【答案】B 【解析】 【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=，因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a =＋＋，那么35a a ＋的值等于（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20【答案】A 【解析】试题分析：由于{}n a 是等比数列，，()2465a a a =，()224354635225,a a a a a a a a ∴++=+=又0n a >35+5a a ∴=.故选A. 考点：等比中项.4.与双曲线221916x y -=有共同的渐近线,且经过点(3,3)-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ( ) A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.【详解】设双曲线方程为22916x y λ-=，将点(3,3)-代入双曲线方程，解得2214,1494x y λ=⇒-=.从而所求双曲线方程的焦点坐标为5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,一条渐近线方程为43y x =， 即4x -3y =0，2916=+，故选B .【点睛】本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r，b r 满足2a AB =u u u rr，C 2a b A =+u u u rrr，则下列结论正确的是（ ）A. 1b =rB. a b ⊥rrC. 1a b ⋅=rrD.()4C a b +⊥B u u u r rr【答案】D 【解析】试题分析：2,2AB a AC a b ==+u u u ru u ur rQ r r ,AC AB b ∴=+u u u r u u u r r ,b AC AB BC ∴=-=u u u r u u u r u u u rr ．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭or r r r r ．()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭o u u u r u u u r ．()4a b BC ∴+⊥u u u r r r ．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直． 【此处有视频，请去附件查看】6.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+【答案】D【详解】A ：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取，可知 ，再取，可知，矛盾，∴C 错误，D ：令，∴，符合题意，故选D.考点：函数的概念7.已知双曲线2221(0)x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为233，P 为双曲线右支上一点，且满足2212415PF PF -=，则12PF F ∆的周长为（ ）A. 25B. 252+C. 254+D.234+【答案】C 【解析】Q 双曲线()22210x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为233，21233a a +∴=，可得3,2a c ==，12223PF PF a -==，①()()22121212PF PF PF PF PFPF -=-+()()12121222345,25a PF PF PF PF PF PF =+=+=+=，② 由①②得1253,53PF PF =+=-，12PF F ∴∆的周长为1212425PF PF F F ++=+，故选C. 8.函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x x x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为A. 等腰锐角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰钝角三角形【解析】 【分析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状． 【详解】函数的导数()'3'cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则3131'3'cos sin 3''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则()'3cos sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，()3sin cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=， 则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC V 是等腰钝角三角形， 故选D ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．9.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（ ）A B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图， 可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC 所示：顶点P 在以BA 和BC 为邻边的平行四边形ABCD 上的射影为CD 的中点O ， 故该锥体的正视图是：A 考点：三视图10.已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A.2019πB.42019πC.22019πD.4038π【答案】C 【解析】 【分析】先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2A =，根据题意即求半个周期的A 倍． 【详解】解：依题意()sin2019coscos2019sincos2019cossin2019sin6633f x x x x x ππππ=+++3sin2019cos2019x x =+,2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2A ∴=，22019T π=， 12||22019min T x x π∴-==，12A x x ∴-的最小值为22019π，故选C ．【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．11.已知椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A C ，，上顶点为B ．过F B C ，，作圆P ，其中圆心P 的坐标为()m n ，．当0m n +>时，椭圆离心率的取值范围为（ ）A. 202⎛ ⎝⎭，B. 102⎛⎫⎪⎝⎭，C. 302⎛ ⎝⎭，D.605⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出线段F A 与AB 的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P ，利用m +n ＞0，与离心率计算公式即可得出． 【详解】如图所示，线段FC 的垂直平分线为：2112bx -=，线段BC 的中点122b ⎛⎫⎪⎝⎭，．∵BC k b =-，∴线段BC 的垂直平分线的斜率1k b=． ∴线段BC 的垂直平分线方程为：1122b y x b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=， 把2112b x m --==代入上述方程可得：2212b b y n b-==．∵0m n +>，2221110b b b ----．化为：21b b -01b <<， 解得212b <． ∴22102c e c b a ⎛- ⎝⎭==，． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档.12.设()()22D 22x x a e aa =-+-++,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为( )A.2 B.3 C.21+D.31+【答案】C 【解析】分析：由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)xC x e 与点(,2)A a a 的距离，而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当,,F A C 三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a ≥，2()(2)2x D x a e a a =-+-++， 由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)xC x e 与点(,2)A a a 的距离，而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1， 由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，由图象可知,,F A C 三点共线时，且QF 为曲线xy e =的垂线，此时D 取得最小值， 即Q 为切点，设(,)mm e ，由011m m e e m -⋅=--，可得21m m e +=，设()2mg m m e=+，则()g m 递增，且(0)1g =，可得切点(0,1)Q ，即有112FQ +==，则D 的最小值为21+，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算） 【答案】778【解析】 【分析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d ，根据题意和等差数列的前n 项和公式列出方程组，求出公差d 即可得到答案．【详解】设第十等人得金1a 斤，第九等人得金2a 斤，以此类推，第一等人得金10a 斤， 则数列{}n a 构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得8910123443a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，即113244463a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得778d =， 所以每一等人比下一等人多得斤金778． 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题．14.已知直线l 经过抛物线2:4x C y =的焦点F ，与抛物线交于A 、B ，且8A B x x +=，点D是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为_____． 【答案】()()22445x y -+-= 【解析】【分析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB的斜率，可得出直线l的方程，再利用当点D到直线l的距离最大时，圆D的面积最大，由此求出点D的坐标，并计算出点D到直线l 的距离，作为圆D的半径，由此可得出圆D的标准方程.【详解】抛物线的标准方程为24x y=，抛物线的焦点坐标为()0,1F，直线AB的斜率()221424A BA B A BA B A Bx xy y x xkx x x x--+====--，所以，直线l的方程为21y x=+，即210x y-+=.当点D到直线l的距离最大时，圆D的面积最大，如下图所示：设点2,4tD t⎛⎫⎪⎝⎭，Q点D在直线l的下方，则22102tt-+>，点D到直线l的距离为()22121544455tt td-+--==，当4t=时，d5此时，点D的坐标为()4,4，因此，圆D的标准方程为()()22445x y-+-=.故答案为()()22445x y-+-=.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-的外接球的半径为5，则A DB '∠=_________.图（1） 图（2）【答案】23π【解析】 【分析】5分析即可解决．【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图． 根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ， 因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ， 所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ， 则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1， 因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ， 即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R 5=∴A 'F 2251R OF =-=-=2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形， ∴OE 2251R DE =-=-=2，∴三角形A 'DF 为等边三角形， ∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=，故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．16.已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，所对的角分别为A ，B ，C ，且满足113a b b c a b c+=++++，且ABC ∆的外接圆的面积为3π，则()()cos24sin 1f x x a c x =+++的最大值的取值范围为__________．【答案】(]12,24 【解析】由ABC ∆的三边分别为a ，b ，c 可得：113a b b c a b c +=++++，3a b c a b c a b b c+++++=++ 1c a a b b c∴+=++ 可知：()()()()c b c a a b a b b c +++=++222ac a c b =+-2221cos 22a cb B ac +-∴==，3B π= 23R ππ=Q ，3R =2sin sin sin a b cR A B C∴=== 23a A ∴=，3c C =)233 23sin sin 23sin sin 23sin cos 322a c A C A A A A π⎤⎛⎫⎫+=+=+-=+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭203A π<<Q 5666A πππ∴<+<36sin 66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭可知3? 6a c <+≤()()()222sin 22f x x a c a c ⎡⎤=--++++⎣⎦1sin 1x Q -≤≤可知当sin 1x =时，()()4max f x a c =+()12424a c ∴<+≤则()()241f x cos x a c sinx =+++的最大值的取值范围为(]1224，点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）令24()1n n b n N a *=∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =+；22n S n n =+（2）1n nT n =+ 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列1,a ,d 的方程组求解{}n a 再求前n 项和公式即可得出． （2）变形()22441111211n nb a n n n ===--++-，利用裂项相消求和【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d , ∵37a =,5726a a +=,∴1127{21026a d a d +=+=,解得13a =,2d =,∴()32121na n n =+-=+;()213222n n n S n n n -=+⨯=+.（2）()22441111211n nb a n n n ===--++-, ∴11111111223111n n T n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查裂项相消求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.如图,在平面四边形ABCD 中,已知AB=BC=CD=2，AD=2(1)2cos A C -的值;(2)记△ABD 与△BCD 的面积分别是S 1与S 2,求2212S S +的最大值,【答案】（1）12；(2)232. 【解析】【详解】试题分析：(1)在∆ABD ，∆BCD 中,分别用余弦定理,列出等式,2cos cos A C -的值;(2)利用(1)的结果,得到2212s s +是关于cos A 的二次函数,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求出BD 的范围,由BD 的范围求出cos A 的范围,再求出2212s s +的最大值.试题解析：（1）在∆ABD 中：222BD =AB +AD -2AB AD cosA ⨯⨯⨯ =12-82cos ;A 在∆BCD 中：222BD =BC 2cos 88cos CD BC CD C C +-⨯⨯⨯=- 所以12-82cos 88cos A C =-12cos cos 2A C -=； （2）由题意22211AB AD sin 8sin ,2s A A ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭22221sin 4sin ;2s CB CD C C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭所以：2222128sin 4sin s s A C +=+ ()()22=81-cos 41cos A C +- 22=12-8cos 4cos A C -221=12-8cos 42cos 2A A ⎫--⎪⎭2=-16cos 42cos 11A A ++2223=-16cos 2A ⎛-+ ⎝⎭224,216BD BD <<∴<<Q ，21282cos 16A ∴<-<，解之得：25cos 28A << 所以当22cos -184A ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()2212max232s s +=. 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.19.已知抛物线C 的方程()220y px p =>，焦点为F ，已知点P 在C 上，且点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1. （1）试求出抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上存在两动点,M N （,M N 在对称轴两侧），满足OM ON ⊥（O 为坐标原点），过点F 作直线交C 于,A B 两点，若//AB MN ，线段MN 上是否存在定点E ，使得·4EM EN AB=恒成立？若存在，请求出E 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1) 24y x =(2)存在，且坐标为()4,0 【解析】 【分析】（1）由P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，结合抛物线定义可得12p=，从而可得结果；（2）设()22121221,,,44y y M y N y y y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合OM ON ⊥，可得直线()124:4MN y x y y =-+，直线()1AB y k x =-：，与C 联立，利用弦长公式求得122211141AB y y k k ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，可得200241·116y EM EN y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，·4EM EN AB =时，20041616y y k -+=，从而可得结果.【详解】（1）因为P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，由题意和抛物线定义，12p=，所以抛物线C 的方程为24y x =，（2）由题意，0MN k ≠，设()22121221,,,44y y M y N y y y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由OM ON ⊥，得1216y y =-，直线124:MN k y y =+，2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭整理可得()1244y x y y =-+， 直线:AB ①若斜率存在，设斜率为(),1k y k x =-，与C 联立得2440ky y k --=，122211141AB y y k k ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭， 若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，()01202211·11EM EN y y y y k k=+-+-()()2120120211y y y y y y k ⎛⎫=+--++ ⎪⎝⎭200241116y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，·4EM EN AB=时，2041616y y k-+=， 解得00y =或04y k=（不是定点，舍去） 则点E 为()4,0经检验，此点满足24y x <，所以在线段MN 上，②若斜率不存在，则4,?4?416AB EM EN ===， 此时点()4,0E 满足题意， 综合上述，定点E 为()4,0.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.20.椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞5P （0，1）做斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y 轴时33AB = （1）求椭圆E 的方程；（2）当k 变化时，在x 轴上是否存在点M （m ，0），使得△AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由．【答案】(Ⅰ) 22194x y +=；(Ⅱ)见解析．【解析】 【分析】（Ⅰ）52249b a =，于是椭圆方程为2222149x y a a +=．有根据题意得到椭圆过点33⎫⎪⎪⎝⎭，将坐标代入方程后求得29a =，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点(),0M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形，则点M 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点．由题意得设出直线AB 的方程，借助二次方程的知识求得线段AB 的中点C 的坐标，进而得到线段AB 的垂直平分线的方程，在求出点M 的坐标后根据基本不等式可求出m 的取值范围．【详解】5所以22513c b a a =-=，整理得2249b a =． 故椭圆的方程为2222149x y a a +=．由已知得椭圆过点33⎫⎪⎪⎝⎭，所以22927144a a+=，解得29a =， 所以椭圆的E 方程为22194x y +=．（Ⅱ）由题意得直线l 的方程为1y kx =+．由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()224918270k x kx ++-=，其中2221849()427()432(31)0k k k ∆=+⨯⨯=+>+． 设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点()00,C x y则1212221827,4949k x x x x k k +=-=-++， 所以12029249x x kx k +-==+， ∴0024149y kx k =+=+，∴点C 的坐标为2294,4949k C k k -⎛⎫⎪++⎝⎭．假设在x 轴存在点(),0M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形， 则点(),0M m 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点． ①当0k ≠时，则过点C 且与l 垂直的直线方程221944949k y x k k k ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭， 令0y =，则得2554499k x m k k k==-=-++．若0k >，则554124929kk kk≤=+⨯， ∴5012m -≤<． 若0k <，则555441299k k k k =-≥-+--，∴5012m <≤．②当0k =时，则有0m =． 综上可得551212m -≤≤． 所以存在点M 满足条件,且m 的取值范围是55,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可．求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点. （1）若直线3x =被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p 的值； （2）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值； （3）设2p =，1l 、2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A 、B ，2l 与抛物线Γ交于点C 、D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，求点G 的轨迹方程.【答案】（1）32p =；（22；（3）23y x =-. 【解析】 【分析】（1）当3x =时，代入抛物线方程，求得y ，可得弦长，解方程可得p ；（2）求得A 的坐标，设出过A 的直线为()2py k x =+，tan k α=，联立抛物线方程，若要使||||PA PF 取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（3）求得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件，结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程【详解】（1）由3x =可得6y p =±，可得266p =，解得32p =； （2）A 是点(2pF ，0)关于顶点O 的对称点，可得(2p A -，0)，设过A 的直线为()2py k x =+，tan k α=，联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得△2242(2)0k p p k p =--=，解得1k =±， 可取1k =，可得切线的倾斜角为45︒， 由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα==︒-，而α的最小值为45︒， ||||PA PF 2； （3）由24y x =，可得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，即有12242x x k +=+，12124()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得23424x x k +=+，344y y k +=-， 点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，可得4(x ，1234)(4y x x x x =+++-，1234)y y y y +++，即为2123424444x x x x x k k =+++-=+①，1234444y y y y y k k=+++=-+②， 联立①②式消元可得222211()22y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为22y x =-【点睛】本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题 22.已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e . 【解析】 【分析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性；(2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增 当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增；当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增.（2）假设存(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立.则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin1504a a π-->， 设()8sin 154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*） 设()()24sin 1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e .【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是： （1）求定义域； （2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间. 当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.。
2020衡水中学高三理科数学模拟试卷.pptx
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（5 分）已知复数
，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（5分）设集合 P＝{x||x|＞3}，Q＝{x|x2＞4}，则下列结论正确的是（ ）
A．∀x∈[0，+∞），f（x﹣2）＞f（x） C．∀x∈R，f（f（x））≤f（x）
B．∀x∈[1，+∞），f（x﹣2）＞f（x） D．∀x∈R，f（f（x））＞f（x）
A．40
B．
C．30
D．
6．（5分）不透明的袋中装有 8 个大小质地相同的小球，其中红色的小球 6 个，白色的小球 2 个，从袋中任取 2 个小球， 则取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小球的概率为（ ）
===============（4.20）理科数学模拟
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2
角三角板（Rt△ACD 与 Rt△BCD）组成的三角形，
如左图所示．其中，∠CAD＝45°，∠BCD＝60°
D．3
现将 Rt△ACD 绕斜边 AC 旋转至△D1AC 处（D1 不在平面 ABC 上）．若 M 为 BC 的中点，则在△ACD 旋转过程中，直线 AD1 与 DM 所成角 θ（ ） A．θ∈（30°，60°）B．θ∈（0°，45°] C．θ∈（0°，60°] D．θ∈（0°，60°） 12．（5 分）设符号 min{x，y，z}表示 x，y，z 中的最小者，已知函数 f（x）＝min{|x﹣2|，x2，|x+2|}则下列结论正确的 是（ ）
河北省衡水中学高三数学上学期第四次调考试卷 理(含解
河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5 D．252．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则•z（）A．B．C．1 D．23．（5分）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A．80种B．90种C．120种D．150种4．（5分）曲线y=1﹣在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣25．（5分）等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（）A．26 B．29 C．215 D．40966．（5分）经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A，B，若AB=4，则这样的直线有几条（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增8．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+a中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）广告费用x（万元）4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 58A．112.1万元B．113.1万元C．111.9万元D．113.9万元9．（5分）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A．B．C．2 D．11．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P的个数为（）A．4 B．6 C．8 D．1212．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．0二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C 上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为．14．（5分）抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差的最大值为．15．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．16．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的．（填入所有可能的图形前的编号）①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④四边形⑤扇形⑥圆．三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n 项和．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m 的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求对角线BD、AC的长．23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5 D．25考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．解答：解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．点评：本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．2．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则•z（）A．B．C．1 D．2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简z，求出，则答案可求．解答：解：∵z==，∴，则•z=﹣i•i=﹣i2=1．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（5分）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A．80种B．90种C．120种D．150种考点：排列、组合的实际应用．专题：应用题；排列组合．分析：分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有25种，再分配，共有A33种果，根据分步计数原理知结果．解答：解：依题意分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有=25，再分配，乘以A33，即得总数150，故选：D．点评：本题考查分步计数原理，首先分组，再进行排列，属于基础题．4．（5分）曲线y=1﹣在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．解答：解：函数的导数为f′（x）=，则在点（﹣1，﹣1）处切线斜率k=f′（﹣1）=2，则对应的切线方程为y+1=2（x+1），即y=2x+1，故选：A．点评：本题主要考查函数切线的求解，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．5．（5分）等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（）A．26 B．29 C．215 D．4096考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：通过f'（0）推出表达式，利用等比数列的性质求出表达式的值即可解答：解：因为函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），f′（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）′，则f'（0）=a1•a2…a8=（a1a8）4=84=4096．故选D．点评：本题考查等比数列的性质，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．6．（5分）经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A，B，若AB=4，则这样的直线有几条（）A．1条B．2条C．3条D．4条考点：双曲线的简单性质；直线的一般式方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，求得a、b的值，根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB 只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，可得符合条件的直线的数目，综合可得答案．解答：解：由题意，a=2，b=1．若AB只与双曲线右支相交时，AB的最小距离是通径，长度为=1，∵AB=4＞1，∴此时有两条直线符合条件；若AB与双曲线的两支都相交时，此时AB的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a=4，距离无最大值，∵AB=4，∴此时有1条直线符合条件；综合可得，有3条直线符合条件；故选C．点评：本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解，可避免由弦长公式进行计算．7．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．解答：解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为π=，得出ω=2，又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选A．点评：本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．8．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+a中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）广告费用x（万元）4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 58A．112.1万元B．113.1万元C．111.9万元D．113.9万元考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为10代入，预报出结果．解答：解：∵==3.5，==43，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，=x+a中的b=10.6，∴43=10.6×3.5+a，∴a=5.9，∴线性回归方程是y=10.6x+5.9，∴广告费用为10万元时销售额为10.6×10+5.9=111.9万元，故选：C．点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，本题解答关键是利用线性回归直线必定经过样本中心点．9．（5分）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆C的离心率e的计算公式即可得出解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A．B．C．2 D．考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心O是△ABC和△A1B1C1的外心连线段的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O1A=1，由球O的体积算出OA=，然后在Rt△O1OA中，用勾股定理算出O1O=2，得三棱柱的高O1O2=4，最后算出底面积S△ABC=，可得此直三棱柱的体积．解答：解：设△ABC和△A1B1C1的外心分别为O1、O2，连接O1O2，可得外接球的球心O为O1O2的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C△ABC中，cosA==﹣∵A∈（0，π），∴A=根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O1A==1∵球O的体积为V==，∴OA=R=Rt△O1OA中，O1O==2，可得O1O2=2O1O=4∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积S△ABC=AB•ACsin=∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为S△ABC×O1O2=故选：B点评：本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于中档题．11．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P的个数为（）A．4 B．6 C．8 D．12考点：椭圆的定义．专题：计算题．分析：由题意可得点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭球与正方体与棱的交点，可求解答：解：∵正方体的棱长为1∴∵|PA|+|PC′|=2∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭球上，∵P在正方体的棱上∴P应是椭圆与正方体的棱的交点结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B′C′，C′D′，CC′，AA′，AB，AD上各有一点满足条件故选B点评：本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题12．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．0考点：函数恒成立问题．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：举例说明①不正确；由函数零点存在性定理结合新定义说明②正确；把f（x）=x2代入定义求得λ的矛盾的值说明③错误．解答：解：由题意得，①不正确，如f（x）=c≠0，取t=﹣1，则f（x﹣1）﹣f（x）=c﹣c=0，即f（x）=c≠0是一个“t函数”；②正确，若f（x）是“是关于函数”，则f+f（x）=0，取x=0，则f+f （0）=0，若f（0）、f 任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0）、f 均不为0，则f（0）、f 异号，由零点存在性定理知，在区间内存在零点；若f（x）=x2是一个“关于t函数”，则（x+λ）2+λx2=0，求得λ=0且λ=﹣1，矛盾．③不正确，∴正确结论的个数是1．故选：A．点评：本题是新定义题，考查了函数的性质，关键是对题意的理解，是中档题．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C 上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为12．考点：两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．解答：解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，∴AB=2m≤12．∴AB的最大值为12．故答案为：12．点评：本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．14．（5分）抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差的最大值为．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：当P，Q，F共线时，P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差取最大值，由此能求出结果．解答：解：如图，由抛物线的定义知：抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离|PM|=|PF|，∴当P，Q，F共线时，P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差取最大值，∵F（1，0），Q（2，2），∴[|PM|﹣|PQ|]max=[|PF|﹣|PQ|]max=|QF|==，故答案为：．点评：本题考查两线段之差的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．15．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a 的值来，然后再由规律求出常数项解答：解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40故答案为40点评：本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出常数项的取法，理解题意，作出正确判断很重要．16．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的②．（填入所有可能的图形前的编号）①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④四边形⑤扇形⑥圆．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：结合选项，正方体的体积否定俯视图可能是四边形，对俯视图可能是圆求出体积判断正误；俯视图可能是扇形求出几何体的体积判断正误；同理俯视图可能是三角形的正误作出判断即可．解答：解：由题意可知，（1）当俯视图是四边形时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，不合题意；（2）当俯视图是圆时，该几何体是圆柱，底面积是S=π×（）2=，高为1，则体积是，不合题意；（3）当俯视是直角三角形时，该几何是直三棱柱，如图，故体积是V=×1×1×1=，这个几何体的俯视图可能是直角三角形．可排除锐角三角形和钝角三角形的情形；（4）当俯视图是扇形时，该几何是圆柱切割而成，其体积是V=π×12×1=，不合题意．综上，则这个几何体的俯视图可能是直角三角形．故答案为：②．点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．考点：正弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）根据正弦定理化简题中等式，得sinAcosC﹣sinC=sinB．由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，代入前面的等式解出cosA=﹣，结合A∈（0，π）可得角A的大小；（2）根据A=且a=1利用正弦定理，算出b=sinB且c=sinC，结合C=﹣B代入△ABC的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到△ABC的周长关于角B的三角函数表达式，再根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得△ABC的周长的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵acosC﹣=b，∴根据正弦定理，得sinAcosC﹣sinC=sinB．又∵△ABC中，sinB=sin（π﹣B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC﹣sinC=sinAcosC+cosAsinC，化简得﹣sinC=cosAsinC，结合sinC＞0可得cosA=﹣∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵A=，a=1，∴根据正弦定理，可得b===sinB，同理可得c=sinC，因此，△ABC的周长l=a+b+c=1+sinB+sinC=1+[sinB+sin（﹣B）]=1+[sinB+（cosB﹣sinB）]=1+（sinB+cosB）=1+sin（B+）．∵B∈（0，），得B+∈（，）∴sin（B+）∈（，1]，可得l=a+b+c=1+sin（B+）∈（2，1+]即△ABC的周长的取值范围为（2，1+]．点评：本题已知三角形的边角关系式，求角A的大小，并在边a=1的情况下求三角形的周长的取值范围．着重考查了正弦定理、三角函数的图象与性质、三角恒等变换和函数的值域与最值等知识，属于中档题．18．（12分）已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n 项和．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）依题意知，{a n}是以3为首项，公差为2的等差数列，从而可求得数列{a n}的通项公式；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2n+1，对b1=4不成立，于是可求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，当n≥2时，利用裂项法可求得=（﹣），从而可求T n．解答：解：（Ⅰ）∵对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，∴{a n}是公差为2的等差数列，又a1=3，∴a n=2n+1；当n=1时，b1=S1=4；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n+1）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]=2n+1，对b1=4不成立．∴数列{b n}的通项公式：b n=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，当n≥2时，==（﹣），∴T n=+[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=+（﹣）=+，当n=1时仍成立．∴T n=+对任意正整数n成立．点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与递推关系的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1⊥CE；（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求．解答：（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（Ⅱ）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（Ⅲ）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出e=，a﹣c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．（2）存在直线l，使得||=||成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m 的取值范围．解答：解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．所以=4﹣1=3．所以椭圆C的标准方程是．（2）解：存在直线l，使得||=||成立．理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．若||=||成立，即||2=||2，等价于．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）•，化简得7m2=12+12k2．将代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，从而，解得或．所以实数m的取值范围是．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．21．（12分）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m 的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，根据函数的单调减区间是（，1），建立导数关系即可，求实数a的值；（2）将f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，利用参数分离法求函数的最值，求实数a的取值范围；（3）求函数的导数，根据函数极值，最值和导数之间的关系，求出函数的最值即可得到结论．解答：解：（1）由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则要使h（x）的单调减区间是则，解得a=3；另一方面当a=3时，由h'（x）＜0解得，即h（x）的单调减区间是．综上所述a=3．（2）由题意得x2﹣ax≥lnx（x＞0），∴．设，则，∵y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，且x=1时，y=0．∴当x∈（0，1）时φ'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时φ'（x）＞0，∴φ（x）在（0，1）内是减函数，在（1，+∞）内是增函数．∴φmin=φ（1）=1∴a≤φmin=1，即a∈（﹣∞，1]．（3）由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则∴方程2x2﹣ax+1=0（x＞0）有两个不相等的实根x1，x2，且又∵，∴，且设，则，∴φ（x）在（1，+∞）内是增函数，∴，即h（x1）﹣h（x2），∴，则m的最大值为．点评：本题主要考查函数的极值，最值和导数之间的关系，考查导数的综合应用，运算量大，综合性较强．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求对角线BD、AC的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：如图，延长DC，AB交于点E，由已知条件推导出∠ECB=60°，∠EBC=90°，∠E=30°，由此利用切割线定理、勾股定理和三角形相似能求出对角线BD、AC的长．解答：解：如图，延长DC，AB交于点E，∵∠BAD=60°，∴∠ECB=60°，∵∠ABC=90°，BC=3，CD=5，∴∠EBC=90°，∴∠E=30°，∴EC=2BC=2×3=6，∴EB=BC=3，∴ED=DC+EC=5+6=11，∵EC×ED=EB×（EB+AB）则6×11=3×（3+AB），解得AB=，∴A C==，∵∠EDB=∠EAC，∠E=∠E，∴△EDB∽△EAC，∴，∴BD===7．点评：本题考查与圆有关的比例线段的求法，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程，利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到t2﹣t﹣1=0，由根与系数的关系，求出+=的值．解答：解：（1）消去参数t，把直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y+1=0，利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2=2y+2x，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，∴；∴+=+====．点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，是中档题．24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．解答：解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（5分）（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…（10分）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。
衡水中学2020届高三上学期第四次调研考试 文科数学(含答案)
衡水中学2020届高三上学期第四次调研试卷数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合M ={-1,2,3}，N ={a +2,a 2+2}，且M ⋂N ={3}，则实数a 的值为()A.1或-1B.-1C.1D.22．AB 是抛物线y 2=2x 的一条焦点弦，|AB |=4，则AB 中点C 的横坐标是()A．2B．12C．32D．523.已知{}n a 是等比数列,且0n a >,243546225a a a a a a ⋅+⋅+⋅=,那么35a a +的值等于()A.5B.10C.15D.204．与双曲线有共同渐近线,且经过点(-3,)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为()A、8B、4C、2D、15.C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A）1b = （B）a b ⊥ （C）1a b ⋅= （D）()4Ca b +⊥B6.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A.(sin 2)sin f x x =B.2(sin 2)f x x x =+C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+7.已知双曲线()22210x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为3P 为双曲线右支上一点，且满足2212PF PF -=12PF F △的周长为（）A.B.2C.4D.4+8.已知函数()f x 为R 上的可导函数，其导函数为'()f x，且π()'sin cos 6f x x x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，在ABC △中，()'()1f A f B ==，则ABC △的形状为()A．等腰锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形9.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图,则该三棱锥的正视图可能是()A.B.C.D.@@10．已知ππ()sin(2019cos(2019)63f x x x =++-的最大值为A ,若存在实数12,x x ,使得对任意的实数x ,总有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12||A x x -的最小值为()A.π2019B.2π2019C.4π2019D.π403811.已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ,左、右顶点分别为,A C ,上顶点为B .过,,F B C 作圆P ,其中圆心P 的坐标为(,)m n .当0m n +>时,椭圆离心率的取值范围为()A. B.1(0,)2C. D.12.设2D a =+．其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为()1+1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．南北朝时,张邱建写了一部算经,即《张邱建算经》,在这本算经中,张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献.例如算经中有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给”,则某一等人比其下一等人多得斤金.(不作近似计算)14．已知直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点F ，与抛物线交于A,B ，且8A B x x +=，点D 是弧AOB（O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为．15．如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-，则A DB '∠=．16.已知三角形ABC 的三边分别为,,a b c ,所对的角分别为,,,A B C 且满足113a b b c a b c+=++++,且三角形ABC 的外接圆的面积为3π,则()()cos 24f x x a c =++sin 1x +的最大值的取值范围为__________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
河北省衡水中学2020届高三数学上学期四调考试试题文(含解析)
河北省衡水中学2020届高三数学上学期四调考试试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．22．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2 B．C．D．3．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．204．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）A．8 B．4 C．2 D．15．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（）A．||＝1 B．⊥C．•＝1 D．（4+）⊥6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）＝sin x B．f（sin2x）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（）A．2B．2+2 C．2+4 D．2+48．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（）A．等腰锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B．C．D．10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（）A．B．C．D．12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1 D．+1二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得斤金．（不作近似计算）14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且x A+x B＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB ＝．16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．（1）求cos A﹣cos C的值；（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1．（1）试求出抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．22．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性．（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，∴a+2＝3，或a2+2＝3，解得a＝1或﹣1，a＝1时不满足集合元素的互异性，a＝1舍去，∴a＝﹣1．故选：B．2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2 B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+1＝4，∴＝，故选：C．3．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．20【解答】解：由等比数列的性质得：a2•a4＝a32，a4•a6＝a52∴a2a4+2a3a5+a4a6＝25可化为（a3+a5）2＝25又∵a n＞0∴a3+a5＝5故选：A．4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）A．8 B．4 C．2 D．1【解答】解：∵与双曲线有共同的渐近线，∴设双曲线方程为，将点代入双曲线方程，解得，⇒从而所求双曲线方程的焦点坐标为（，0），一条渐近线方程为，所以焦点到一条渐近线的距离是＝2，故选：C．5．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（）A．||＝1 B．⊥C．•＝1 D．（4+）⊥【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足＝2，＝2+，又，∴的方向应该为的方向．所以，，所以＝2，＝1×2×cos120°＝﹣1，4＝4×1×2×cos120°＝﹣4，＝4，所以＝0，即（4）＝0，即＝0，所以；故选：D．6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）＝sin x B．f（sin2x）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|【解答】解：A．取x＝0，则sin2x＝0，∴f（0）＝0；取x＝，则sin2x＝0，∴f（0）＝1；∴f（0）＝0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）＝sin x；B．取x＝0，则f（0）＝0；取x＝π，则f（0）＝π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x＝1，则f（2）＝2，取x＝﹣1，则f（2）＝0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1＝t，则f（x2+2x）＝|x+1|，化为f（t2﹣1）＝|t|；令t2﹣1＝x，则t＝±；∴；即存在函数f（x）＝，对任意x∈R，都有f（x2+2x）＝|x+1|；∴该选项正确．故选：D．7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（）A．2B．2+2 C．2+4 D．2+4【解答】解：由题意可得b＝1，c＝，即有e＝＝，可得a＝，c＝2，P为双曲线右支上一点，可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，又|PF1|2﹣|PF2|2＝4，可得|PF1|+|PF2|＝2，则△PF1F2的周长为2+2c＝4+2，故选：C．8．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（）A．等腰锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形【解答】解：函数的导数f′（x）＝f′（）cos x﹣sin x，则f′（）＝f′（）cos﹣sin＝×f′（）﹣＝f′（）﹣，则f′（）＝，则f′（）＝1，则f′（x）＝cos x﹣sin x＝2cos（x+），f（x）＝sin x+cos x＝2cos（x﹣），∵f（A）＝f'（B）＝1，∴f′（B）＝2cos（B+）＝1，即cos（B+）＝，则B+＝，得B＝，f（A）＝2cos（A﹣）＝1，即cos（A﹣）＝，则A﹣＝，则A＝，则C＝π﹣﹣＝，则B＝C，即△ABC是等腰钝角三角形，故选：D．9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选：A．10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意f（x）＝sin2019x cos+cos2019x sin+cos2019x cos+sin2019x sin＝sin2019x+cos2019x＝2sin（2019x+），∴A＝2，T＝，∴|x1﹣x2|min＝＝，∴A|x1﹣x2|的最小值为，故选：C．11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，线段FC的垂直平分线为：x＝，线段BC的中点（，）．∵k BC＝﹣b，∴线段BC的垂直平分线的斜率k＝．∴线段BC的垂直平分线方程为：y﹣＝（x﹣），把x＝＝m代入上述方程可得：y＝＝n．∵m+n＞0，∴＞0．化为：b＞，又0＜b＜1，解得＜b＜1．∴e＝＝c＝∈（0，）．故选：A．12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1 D．+1【解答】解：由题意可得a≥0，D＝+a+2，由表示两点C（x，e x）与点A（a，2）的距离，而A在抛物线y2＝4x（x≥0）上，抛物线的焦点F（1，0），准线为x＝﹣1，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上1，由图象可得当F，A，C三点共线，且QF为曲线y＝e x的法线，D取得最小值，即Q为切点，设为（m，e m），由•e m＝﹣1，可得m+e2m＝1，设g（m）＝m+e2m，则g（m）递增，且g（0）＝1，可得切点Q（0，1），即有|FQ|＝＝，则D的最小值为+1．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得斤金．（不作近似计算）【解答】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{a n}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得，即，解得d＝，所以每一等人比下一等人多得斤金．14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且x A+x B＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5 ．【解答】解：抛物线的标准方程为x2＝4y，抛物线的焦点坐标为F（0，1），直线AB的斜率k＝＝＝（x A+x B）＝＝2，则l的方程为y＝2x+1，即2x﹣y+1＝0，点D到直线l距离最大时，圆D的面积最大，令y′＝＝2，解得x＝4，此时y＝4，即D（4，4）到直线l距离最大，此时d＝＝＝，所以所求圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5，故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB ＝．【解答】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R＝，∴A'F＝＝＝2，所以，BF＝2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，∴OE＝＝＝2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF＝，故∠A'DB＝，故填：．16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为（12，24]【解答】解：由，可得：＝，可得a2+2b2+c2+2ac+3ab+3bc＝3ab+3b2+3ac+3bc，即a2+c2﹣b2＝ac，那么2ac•cos B＝ac，即cos B＝∵0＜B＜π，∴B＝．∵△ABC的外接圆的面积为3π，∴△ABC的外接圆的半径为R＝，∴，a+c＝2R（sin A+sin c）＝6sin（A+）．∵A，∴a+c∈（3，6]，f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1＝﹣2sin2x++4（a+c）sin x+2令g（t）＝﹣2t2+4（a+c）t+2，t∈[﹣1，1]，g（t）在[﹣1，1]单调递增，∴g（t）max＝g（1）＝4（a+c）∈（12，24]则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为（12，24]'故答案为：（12，24]．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；S n＝＝n2+2n．（Ⅱ）＝＝＝，∴T n＝＝＝．18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．（1）求cos A﹣cos C的值；（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．【解答】解：（1）在△ABD中，BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cos A＝12﹣8cos A，在△BDC中，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos C，所以12﹣8cos A＝8﹣8cos C，整理得．（2）由题意知：＝8sin2A，，所以＝8sin2A+4sin2C＝＝＝，由于，所以，故，解得．当cos A＝时，．19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1．（1）试求出抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意和抛物线定义可得＝1，即p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，（2）由题意可知，k MN≠0，设M（y12，y1），N（y22，y2），（y2＞y1），由OM⊥ON，∴y12y22+y1y2＝0，即y1y2＝﹣16，直线MN的斜率k＝＝，∴直线MN的方程为y﹣y1＝（x﹣），即y＝（x﹣4），直线AB，①斜率存在，设斜率为k，则y＝k（x﹣1），与C联立可得ky2﹣4y﹣4k＝0，∴|AB|＝•＝4（1+），设点E存在，并设为E（x0，y0），则|EM|•|EN|＝（y0﹣y1）（y2﹣y0）＝（1+）[﹣y1y2﹣y02+（y1+y2）y0]＝（1+）（16﹣y02+），∵＝4，∴16﹣y02+＝16，解得y0＝0，y0＝（不是定点，舍去），则点E（4，0），经检验，此点满足y2＜4x，所以在线段MN上，②若斜率不存在，则|AB|＝4，|EM|•|EN|＝4×4＝16，此时点E（4，0）满足题意，综上所述，定点为（4，0）20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知椭圆过点，可得，解得a2＝9，b2＝4所以椭圆的E方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0）由消去y得（4+9k2）x2+18kx﹣27＝0，所以．当k≠0时，设过点C且与l垂直的直线方程，将M（m，0）代入得：，若k＞0，则，若k＜0，则所以或，当k＝0时，m＝0综上所述，存在点M满足条件，m取值范围是．21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．【解答】解：（1）由x＝3可得y＝±，可得2＝6，解得p＝；（2）A是点F（，0）关于顶点O的对称点，可得A（﹣，0），设过A的直线为y＝k（x+），k＝tanα，联立抛物线方程可得k2x2+（k2p﹣2p）x+＝0，由直线和抛物线相切可得△＝（k2p﹣2p）2﹣k4p2＝0，解得k＝±1，可取k＝1，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得＝＝，而α的最小值为45°，的最大值为；（3）由y2＝4x，可得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线y2＝4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，即有x1+x2＝2+，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝，由两直线垂直的条件，可将k换为﹣，可得x3+x4＝2+4k2，y3+y4＝﹣4k，点G满足4＝+++，可得4（x，y）＝（x1+x2+x3+x4﹣4，y1+y2+y3+y4），即为4x＝x1+x2+x3+x4﹣4＝4k2+，4y＝y1+y2+y3+y4＝﹣4k+，可得y2＝（k﹣）2＝k2+﹣2＝x﹣2，则G的轨迹方程为y2＝x﹣2．22．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性．（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）f′（x）＝xlnx﹣alnx+a﹣x＝（x﹣a）（lnx﹣1），x∈（0，+∞），①当a≤0时，由f′（x）＞0，解得x＞e，由f′（x）＜0，解得0＜x＜e，∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，②0＜a＜e时，令f′（x）＝0，解得x＝a，或x＝e，由f′（x）＞0，解得0＜x＜a，或x＞e，由f′（x）＜0，解得a＜x＜e，∴f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+∞）上单调递增，③当a＝e时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，④当a＞e时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜e，或x＞a，由f′（x）＜0，解得e＜x＜a，∴f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+∞）上单调递增．（2）假设存在a∈（﹣∞，e]，使得f（x）＞3+sin对x∈[1，+∞）恒成立，则f（1）＝2a﹣＞3+sin，即8a﹣sin﹣15＞0，设g（x）＝8x﹣sin﹣15，则g′（x）＝8﹣cos＞0，则g（x）单调递增，∵g（2）＝0，∴a＞2，当a＝e时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（1），∴a＞2，从而a＝e满足题意，当2＜a＜e时，f（x）在（a，e）上单调递减，在[1，a），（e，+∞）上单调递增，∴，∴，（*），设h（x）＝4ex﹣sin﹣e2﹣12，则h′（x）＝4e﹣cos＞0，则h（x）单调递增，∵h（2）＝8e﹣e2﹣13＞0，∴h（x）的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为（2，+∞），∴2＜a＜e，综上，存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立，且a 的取值范围为（2，e]．。
2020年衡水中学高三冲刺联考理科数学试题(含答案和解析)
2020 届高三冲刺联考理数试卷本试卷共4页忆3题（含选考题）。
全卷满分150分α考试用时120分钟。
注章事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑A写在试题卷、草鵠纸和答題卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答題的作答：用签字笔直按写在答题卡上对应的答题区域内。
写柱试翹卷、草犒维和咎题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答;先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内•写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交©第I卷一•选择题；本题共12小题■每小题5分■在毎小题给出的四个选项中■只有一项是符合题目要求的O1∙设集合A={^∣r x-62r-7<0）,B=⅛∣∣Λ~l∣>2）,ra⅛合AnB=A. {工13VGV7} E —7VzV — 1} C. {玄| —IVHV3} D. {□r∣—3V工V1}2.设复数上满足^ = i（L为虚数单位），则∕z =A. i B< —i C. 1 D e-L3.平行四边形ABCD中，E是AE的中点tBF=2FC,若E?=M AB+nAD，则w + n=A∙⅜κτc⅜D-I4.法国数学家加斯帕尔•蒙日发现占椭圆≤÷^ = 1G>6>O）相切的两条垂直切线的交点轨迹为r2+√ = d z÷6≡,这个阿亦被称为蒙日@1.现将质点F随机投人椭RC≡y + y= 1所对应的蒙日岡内’则质点落在椭圆外部的概率为（附:椭圆£+石=1的面积公式为S=如A嫗 B — C 1 —呃 D 1 —嫗A. §比3 J 丄9 U'1 35・已知斜三角形AliC中，角A、F、C所对的边分别为a、b、_若α = 4,C=60°,6GN∙,且b满足e fi+ δ-10<0（e=2,7L828-）,Irl C=A. 2√3B. √13C.2√2 或庾D.√56•如图，已⅛ΘO^z÷y=2与工轴的正半轴交于点A,与曲线CQ=辰交于第一象限的点B, 则阴影部分的面积为离三大联考•理数第1页（共4页）D∙τ÷τS 1 已知一5CGS (X +^9) = 3Sin Λ*+4COS Jr ■对 xζ R 恒成立'则 SinA 4 + 3^3" r > 3^3—4八 4—3T -I _ 4 + 3^3"A ∙F ~,B ・F -Cp-D• ~10.过双曲线y-√ = 1的右焦点F,作倾斜角为砒的直线Z,交双曲线的渐近线于点A 、B(其 中A 在第一象限)，0为坐标原点，则笑竺=-5ΔΛΛftA 丄B 逕C 丄D 丄入 4 D 3 J 2 U3 11■.如图•正方体ABCD- A l B l C l D I 中，E 是棱AAJ 的中点，若三棱锥⅛E-BBlD 外按球的半径R 等于晋，则正方体ABCD-A l B I C I D l 勺的棱长为A,l C. 2√21/定义矩阵的运算如下：R ,总存在非零常数T ■使得OQ+Q=卩③若存在直线V=M 与力Q)的图象无公共 点,且使的图象位于直线两側，此直线即称为函数力⑺〉的分界编则八工)的分界线的 斜率的取值范围是(e z ,+oo)5④函数ra)=fCr) — SinM 的零点有无数个• A.①③④ B ①②④ C∙②③ D.①④第］!卷本卷包括必考题和选考題两部分。
2020届高三上学期入学测试考试卷（四）数学理科试题
2020届全国名师联盟高三上学期入学测试考试卷（四）理 科 数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设{1}A x x =>，2{20}B x x x =--<，则()R A B =（ ）A ．{1}x x >-B ．{11}x x -<≤C ．{11}x x -<<D ．{12}x x <<2．已知i 为虚数单位，复数z 满足121ii z-=++，则z =（ ） A ．1 B ．3C ．5D ．53．7cos()24πθ+=-，则cos2θ的值为（ ） A ．18B ．716C ．18±D ．13164．如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；班级 姓名 准考证号 考场号 座位号②深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降； ③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州； ④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，且与双曲线的左右两支分別相交，则双曲线的离心率e 的取值范固是（ ） A ．2e <B ．13e <<C ．15e <<D ．5e >6．已知实数x ，y 满足210102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A ．[0,5]B ．411[,]32C ．45[,]32D ．[0,5)7．函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种9．在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=，(1)()AE AC λλ=-∈R ，若5BE CD ⋅=，则λ=（ ）A．13-B．2C．95D．310．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（）A．0.18B．0.32C．0.36D．0.6411．设数列{}n a的前n项和为n S，且11a=，2(1)()nnSa n nn=+-∈*N，则数列1{}3nS n+的前10项的和是（）A．290B．920C．511D．101112．长方体1111ABCD A B C D-中，1AB BC==，12BB=，设点A关于直线1BD的对称点为P，则P 与1C两点之间的距离为（）A．2B．3C．1D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．等比数列{}n a的前n项和为n S，112a=-，若6378SS=，则3a=．14．下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为．15．已知点(0,1)A，抛物线C：2(0)y ax a=>的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，，与抛物线C的准线相交于点N，若:1:2FM MN=，则实数a的值为．16．已知函数11,1()3ln,1x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则当函数()()F x f x ax=-恰有两个不同的零点时，实数a的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分別为a 、b 、c ，若3cos 4A =，2B A =，3b =． （1）求a ；（2）已知点M 在边BC 上，且AM 平分BAC ∠，求ABM ∆的面积．18．（12分）在四棱锥P ABCD -中，23BC BD DC ===，2AD AB PD PB ====． （1）若点E 为PC 的中点，求证：//BE 平面PAD ；（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值．19．（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按[0,5]，[5,10)，(10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；列联表，并判断有多大把握认为“网（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22购迷与性别有关系”．（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，得到数据如下表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：2 2()()()()()()a b c d ad bcKa b c d a c b d+++-=++++．临界值表：20．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点．试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-恒成立？若存在求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数1()ln af x a x x x-=-++．（1）当2a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设2()3x g x e mx =+-，当21a e =+时，对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使212()2()f x e g x +≥，证明：2m e e ≤-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρθ=-． （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）设点(1,P ，直线l 与曲线C 相交于两点A 、B ，求11PA PB+的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()13f x x x a =+++． （1）当1a =-时，解不等式()2f x ≥；（2）若存在0x 满足00()211f x x ++<，求实数a 的取值范围．2020届高三入学调研考试卷理 科 数 学（四）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】18- 14．【答案】20π 16．【答案】11[,)3e三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2a =；（2）176．【解析】（1）由0A π<<，3cos 4A =，得sin 4A =， 所以sin sin 22sin cosB A A A ==32448=⋅=．由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin 2sin b Aa B==．（2）2231cos cos 22cos 12()148B A A ==-=⨯-=， 在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22100c c --=， 解得52c =或2c =-（舍去）， 1157sin 216ABC S bc A ∆==， 因为36552ACM ABMCM AC S S BM AB ∆∆====， 所以551577571111ABM ABC S S ∆∆==⨯=． 18．【答案】（1）见解析；（2）1313． 【解析】（1）取CD 的中点为M ，连结EM ，BM ．由已知得，BCD ∆为等边三角形，BM CD ⊥．∵2AD AB ==，23BD =30ADB ABD ∠=∠=︒， ∴90ADC ∠=︒，∴//BM AD ．又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴//BM 平面PAD ， ∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴//EM PD ．又EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴//EM 平面PAD ， ∵EMBM M =，∴平面//BEM 平面PAD ．∵BE ⊂平面BEM ，∴//BE 平面PAD ．（2）连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，则O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥，∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ， 可求得1PO AO ==，3CO =，以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴正方向，OP 的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,3,0)D -，(3,0,0)C ，(0,0,1)P ，(3,3,0)DC =，(0,3,1)DP =， 平面PBD 的一个法向量为1(1,0,0)=n ．设平面PCD 的法向量为2(,,)x y z =n ，有22DC DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n ，得2200DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即33030x z ⎧=⎪+=，令3y =1x =-，3z =-，∴2(13,3)=--n ． ∴12121213cos ,1313⋅===-⋅n n n n n n ．二面角C PD B --的余弦值是1313． 19．【答案】（1）17.5千元；（2）有97.5%的把握认为；（3）见解析．【解析】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.010.020.04)50.35++⨯=， 后2个小矩形的面积之和为(0.040.03)50.35+⨯=， 所以中位数位于区间(15,20]内．设直方图的面积平分线为15x +，则0.060.50.350.15x =-=，得 2.5x =， 所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元．（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=，所以“网购迷”共有35人．由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人，所以补全的列联表如下：因为22100(45201520)6006.593 5.0246040356591K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，查表得2( 5.024)0.025P K ≥=，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关”．（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12，23． 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ， 据题意，1(2,)2X B ∼，2(2,)3Y B ∼．所以1()212E X =⨯=，24()233E Y =⨯=． 因为X Y ξ=+，则7()()()3E E X E Y ξ=+=，所以ξ的数学期望为73． 20．【答案】（1）2211612x y +=；（2）存在，11(,0)4Q ． 【解析】（1）因为椭圆C 过点(23,3)，所以221231a b +=． 又抛物线的焦点为(2,0)，所以2c =，所以2212314a a +=-， 解得33a =（舍去）或216a =．所以椭圆C 的方程为2211612x y +=．（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-， ①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3)QM m =-，(2,3)QN m =-，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0)M -，(4,0)N ，(4,0)QM m =--，(4,0)QN m =-，由21351616QM QN m ⋅=-=-，解得114m =-或114m =． 由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11(,0)4． 下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-恒成立，当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立．当直线斜率存在或且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由22(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)1616(3)0k x k x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，212216(3)43k x x k -=+． 22212121212(2)(2)2()4y y k x k x k x x k x x k =-⋅-=-++，所以11221111(,)(,)44QM QN x y x y ⋅=-⋅- 222222216(3)1116121135(1)(2)4434431616k k k k k k k -=+-+++=-++． 综上所述，在x 轴上存在定点11(,0)4Q ，使得13516QM QN ⋅=-恒成立． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x----'=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-，当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-；由()0f x '>得01x <<或1x a >-；当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥，∴当2a >时，单调减区间为(1,1)a -，单调增区间为(0,1)，(1,)a -+∞当2a =时，单调增区间是(0,)+∞，没有单调减区间．（2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在2(1,)e 单调递减，在2(,)e +∞单调递增，从而()f x 在[1,)+∞上的最小值为22()3f e e =--．对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使得212()2()f x e g x +≥，即存在2[1,)x ∈+∞，使得2()g x 的值不超过2()2f x e +在区间[1,)+∞上的最小值为23e -．由222323xe e e mx --+≥+-得22xe mx e +≤，∴22xe e m x-≤． 令22()xe e h x x-=，则当[1,)x ∈+∞时，max ()m h x ≤． ∵2222232()2()()()x x x x e x e e x xe e e h x x x---+-'==-，当[1,2]x ∈时，()0h x '<； 当[2,)x ∈+∞时，22()20xxxxxe e e xe e +->-≥，()0h x '<，故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-，从而实数2m e e ≤-．22．【答案】（1）20x +=，220x y ++=；（2）2． 【解析】（1）消去参数得直线l的普通方程为20x +=；因为ρθ=-，所以2sin ρθ=-， 所以曲线C的直角坐标方程是220x y ++=．（2）点(1,P 是直线l 上的点，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得220t --=， 方程判别式0Δ>，可得12t t +=122t t ⋅=-．于是1212112PA PB t t PA PB PA PB t t +-+====⋅． 23．【答案】（1）102x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或；（2）24a <<． 【解析】（1）当1a =-时，()131f x x x =++-，当13x ≥时，不等式等价于1312x x ++-≥，解得12x ≥，∴12x ≥； 当113x -<<时，不等式等价于1312x x +-+≥，解得0x ≤，∴10x -<≤； 当1x ≤-时，不等式等价于1312x x ---+≥，解得12x ≤-，∴1x ≤-， 综上所述，原不等式的解集为102x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或．（2）由00()211f x x ++<，得003131x x a +++<，而000000313333(33)(3)3x x a x x a x x a a +++=+++≥+-+=-， （当且仅当00(33)(3)0x x a ++≤时等号成立，） 由题可知，min (()21)1f x x ++<，即31a -<， 解得实数a 的取值范围是24a <<．。
2020届河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学(文)试题(解析版)
【解析】（1）由 到点 的距离比它到 轴的距离大1，结合抛物线定义可得 ，从而可得结果；（2）设 ，结合 ，可得直线 ，直线 ，与 联立，利用弦长公式求得 若点 存在，设点 坐标为 ，可得 ， 时， ，从而可得结果.
【详解】
（1）因为 到点 的距离比它到 轴的距离大1，由题意和抛物线定义， ，所以抛物线 的方程为 ，
即有 ，则 的最小值为 ，故选C.
点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
二、填空题
13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算）
19．已知抛物线 的方程 ，焦点为 ，已知点 在 上，且点 到点 的距离比它到 轴的距离大1.
（1）试求出抛物线 的方程；
（2）若抛物线 上存在两动点 （ 在对称轴两侧），满足 （ 为坐标原点），过点 作直线交 于 两点，若 ，线段 上是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在，请求出 的坐标，若不存在，请说明理由.
所以每一等人比下一等人多得斤金 ．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义、前n项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题．
14．已知直线 经过抛物线 的焦点 ，与抛物线交于 、 ，且 ，点 是弧 （ 为原点）上一动点，以 为圆心的圆与直线 相切，当圆 的面积最大时，圆 的标准方程为_____．