概率论数学期望
概率论与数理统计：数学期望的性质
数学期望的性质利用4.1.3中的定理可以得到数学期望的几条重要性质： 性质1 设C 为常数, 则()E C C =.性质2 设C 为常数,X 为随机变量, 则()()E CX CE X =. 证明 设X 的概率密度为()f x ,则()()d E CX Cxf x x +∞-∞=⎰()d C xf x x +∞-∞=⎰().CE X =性质3 设,X Y 为任意两个随机变量,则()()()E X Y E X E Y +=+.证明 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ,边缘概率密度分别为()X f x 和()Y f y ,则()()(,)d d E X Y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞+=+⎰⎰(,)d d xf x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰(,)d d yf x y x y +∞+∞-∞-∞+⎰⎰()d X xf x x +∞-∞=⎰()d Y yf y y +∞-∞+⎰()()E X E Y =+.性质4 设,X Y 为相互独立的随机变量,则()()()E XY E X E Y =.证明 因为X 与Y 相互独立,其联合概率密度与边缘概率密度满足(,)()()X Y f x y f x f y =,所以()(,)d d E XY xyf x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰()()d d X Y xyf x f y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰()d ()d X Y xf x x yf y y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰()()E X E Y =.性质5 若,X Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =； 这一结论推广到有限多个，若12,,,n X X X 相互独立，则1212()()()()n n E X X X E X E X E X =。
例4.22 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为21(1)1,1,(,)40x y x y f x y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，，其他.试验证()()()E XY E X E Y =,但X 和Y 是不独立的.解 因为()(,)d d E XY xyf x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰112111(1)d d 4xy x y x y --=⋅-⎰⎰0=， ()E X =112111(1)d d 4x x y x y --⋅-⎰⎰0=， ()E Y =112111(1)d d 4y x y x y --⋅-⎰⎰19=-，所以()()()E XY E X E Y =.X和Y的边缘概率密度()X f x 和()Y f y 分别为12111(1)d 11,11()(,)d 4200X x y y x x f x f x y y +∞--∞⎧⎧--<<-<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰，，，，其他，，其他， 121111(1)11(1)d ,11()(,)d 23400,Y y y x y x y f y f x y x +∞--∞⎧⎧--<<--<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰，，，，其他，其他，由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠,因而X和Y 不独立.例4.23 设i X ～n i p B ,,2,1),,1( =，i X 的分布律为：其中10<<p ，且n X X X ,,,21 相互独立。
《数学期望与方差》课件
相关系数在统计学、金融等领域有广泛应用，如股票价格与市场指数的相关性分析、回归分析等。
相关系数的应用
数学期望的性质
数学期望具有线性性质、可加性质、可乘性质等，这些性质在概率论和统计学中有重要应用。
05
数学期望与方差的实例分析
总结词
数学期望和方差在投资组合的风险与回报分析中具有重要应用。
总结词
利用数学期望和方差可以对赌博游戏的概率进行分析。
详细描述
在赌博游戏中，玩家需要根据游戏规则和概率计算每种可能结果的数学期望和方差，以评估游戏的风险和潜在收益。通过比较不同赌博游戏的数学期望和方差，玩家可以做出更明智的决策。
数学期望
对于赌博游戏而言，数学期望计算的是长期玩家的平均收益。如果数学期望为正数，则表示长期玩家将获得正收益；如果数学期望为负数，则表示长期玩家将面临亏损。
方差
在赌博游戏中，方差反映了玩家实际收益与预期收益之间的波动范围。较小的方差表示实际收益相对稳定，而较大的方差则表示实际收益可能存在较大的波动。
01
02
03
04
总结词：数学期望和方差可用于预测市场的表现。
THANK YOU
数学期望和方差在某些情况下可以相互转化，如当随机变量服从正态分布时。
变量同时变动的情况，即一个变量增加或减少时，另一个变量也相应地增加或减少的概率。
协方差的概念
协方差 = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]，其中E[X]和E[Y]分别是X和Y的数学期望，X和Y是随机变量。
协方差的计算公式
协方差可以用于分析投资组合的风险，如果两个资产的收益率呈正相关，则它们的协方差为正；如果呈负相关，则协方差为负。
协方差的应用
1
《概率论与数理统计》数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
概率论与数理统计
§4.4 协方差和相关系数
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 协方差
1. 定义
§4.4 协方差和相关系数 协方差
2. 协方差的计算公式
概率论与数理统计
§4.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
授课内容
数学期望的性质
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
1. 定义
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
关于定义的几点说明
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变 而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
3. 不相关的定义
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
4. 不相关性的判定
以下四个条件等价 (1) ρ 0; (2)Cov( X ,Y ) 0; (3) D( X Y ) DX DY;
(4)3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
一维随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 授课内容 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
5 .不相关与相互独立的关系
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 例题
概率论与数理统计--数学期望EX分析解析课堂
21
均匀分布的期望
分布密度
f (x) ?
?? ?
b
1 ?
a
?? 0
a? x? b 其它
数学期望
? ? E( X) ?
??
xf (x)dx ?
b
x dx ? a ? b
??
a b? a
2
22
正态分布的期望
分布密度
X~ N (μ，σ2）
f (x) ?
1
? ( x? ? )2
e 2? 2
2? ?
数学期望
???
E(X) ? x
1
? ( x? ? )2
e 2? 2 dx
?? 2??
t
?
x?
?
?
??
??? (? t ? ? ) ??
1
? t2
e 2 ?? dt
2??
23
指数分布的期望
分布密度
f ( x)
?
??e?? x
?
?0
x? 0 x? 0
数学期望
? ? E(X) ?
??
xf (x)dx ?
?? x? e? ? xdx
(0 ? x ? 1) 其它
求E（XY ）
f2 ( y)
?
?e? ( y?5) , ? ? 0,
( y ? 5) 其它
? ? 解
?? ??
E[XY)] ?
xyf(x, y)dxdy
?? ??
?? ??
? ? ? ?? ?? xyf1(x) f2 ( y)dxdy
? ? ?
1
dx
??
xy?2x?e? ( y?5)dy
? 若级数 pk xk 绝对收敛， 则称此级数为 k
概率论数理统计课件第11讲期望
1 , f ( x) 0,
0
法二 依题意X的概率密度为
0 x 其它
E (Y ) sin x
a
甲仪器测量结果
a
乙仪器测量结果
较好
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。
又如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发 炮弹，其落点距目标的位置如图：
中心
中心
乙较好
甲炮射击结果
乙炮射击结果
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 。
如果分别用随机变量X1，X2表示甲、乙品 牌手表日走时误差，则X1，X2的分布律为：
X1 -2 -1 0 1 2 X2 P -2 -1 0 1 2
P 0.03 0.07 0.8 0.07 0.03
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
可以算得两种手表平均日走时误差即数 学期望分别为E(X1)=0， E(X2)=0 问：能否断定两种手表质量一样好？ 衡量办法：求偏离程度的平均值
例5：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分 别为 4e 4 x , x 0, 2e 2 y , y 0, f X ( x) fY ( y ) 其他, 其他. 0, 0,
求 E(XY)。 解： 因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互独立。
所以，
E[ g ( X , Y )]
i j
有E ( X Y ) ( xi y j ) pij
i j
xi pij y j pij
方差与期望
方差与期望期望公式：方差公式：方差=E(x²)-E(x)²，E(X)是数学期望。
在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
概率论简介：期望值像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能状态平均的结果，便基本上等同“期望值”所期望的数。
期望值可能与每一个结果都不相等。
换句话说，期望值是该变量输出值的加权平均。
期望值并不一定包含于其分布值域，也并不一定等于值域平均值。
赌博是期望值的一种常见应用。
例如，美国的轮盘中常用的轮盘上有38个数字，每一个数字被选中的概率都是相等的。
赌注一般押在其中某一个数字上，如果轮盘的输出值和这个数字相等，那么下赌者可以获得相当于赌注35倍的奖金（原注不包含在内），若输出值和下压数字不同，则赌注就输掉了。
考虑到38种所有的可能结果，然后这里我们的设定的期望目标是“赢钱”，则因此，讨论赢或输两种预想状态的话，以1美元赌注押一个数字上，则获利的期望值为：赢的“概率38分之1，能获得35元”，加上“输1元的情况3 7种”，结果约等于-0。
0526美元。
也就是说，平均起来每赌1美元就会输掉0。
0526美元，即美式轮盘以1美元作赌注的期望值为负0。
0526美元扩展资料：在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。
（标准差、方差越大，离散程度越大）若X的取值比较集中，则方差D（X）较小，若X的取值比较分散，则方差D （X）较大。
因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。
概率论中的期望与方差计算
假设检验
假设检验的基本思想是通过样本信息对总体参数进行检验 常见的假设检验方法有参数检验和非参数检验 参数检验方法包括t检验、Z检验和方差分析等 非参数检验方法包括卡方检验、秩和检验和K-W检验等
方差分析
方差分析的概念：通过比较不同组数据的离散程度，判断其稳定性。
方差分析的应用场景：在统计学中，方差分析常用于检验两组或多组数 据是否有显著性差异。
对于离散随机变量，期望值和方差 的具体计算公式分别为 E(X)=∑xp(x)和D(X)=∑x^2p(x)E(X)^2。
期望与方差的计算实例
第四章
离散型随机变量的期望与方差
定义：离散型随机变量的期望是所有可能取值的概率加权和，方差是各个取值与期望的差的 平方的平均值。
计算公式：期望E(X)=∑x*p(x)，方差D(X)=∑p(x)*(x-E(X))^2。
期望的定义基于概率和随机变量的取值，通过数学运算计算得出。
期望具有线性性质，即对于两个随机变量的和或差，其期望等于各自期望 的和或差。 期望的计算方法包括离散型和连续型两种情况，具体计算方法根据随机变 量的分布类型而有所不同。
期望的性质
无穷可加性：对 于任意个事件， 概率之和等于1
交换律：期望的 交换律满足 E(X+Y)=E(X)+E (Y)
概率论中的期望与 方差计算
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目录
CONTENTS
01 概率论中的期望 02 概率论中的方差 03 期望与方差的关系 04 期望与方差的计算实例
05 期望与方差在统计学中的应用
概率论中的期望
第一章
期望的定义
期望是概率论中的一个重要概念，它表示随机变量取值的平均值。
求概率的期望值
求概率的期望值概率的期望值是数学中的一项重要概念，它用来衡量一个随机事件在多次进行试验中平均会出现的次数。
在概率论和统计学中，期望值通常被用来预测或估计一个随机事件的平均表现。
要计算一个随机事件的期望值，首先需要确定每个可能结果的概率，然后将每个结果与其对应的概率相乘，并将所有结果的乘积相加。
下面我们将通过一些例子来解释概率的期望值的计算方法。
假设有一个袋子，里面装有红色和蓝色两种颜色的球，红色球的数量比蓝色球多。
我们想要计算从袋子中随机抽取一球，抽取到红色球的期望值是多少。
首先，我们需要知道每个可能结果发生的概率。
假设袋中红色球的数量为10个，蓝色球的数量为5个。
那么红色球的概率为10/15，蓝色球的概率为5/15。
接下来，我们将每个结果与其对应的概率相乘，并将所有结果的乘积相加。
所以红色球的期望值为(10/15) * 1 + (5/15) * 0 = 2/3。
从上面的例子可以看出，概率的期望值是一个介于0和1之间的值。
如果一个事件的期望值接近0，那么这个事件在多次试验中出现的次数很少；如果一个事件的期望值接近1，那么这个事件在多次试验中出现的次数很多。
接下来，我们将通过一个更复杂的例子来解释概率的期望值的计算方法。
假设有一个服从正态分布的随机变量X，其均值为μ，方差为σ^2。
我们想要计算X的期望值。
正态分布的概率密度函数为f(x) = (1/(σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中e是自然对数的底。
我们需要计算的是∫(x * f(x))dx的积分，其中积分的范围是从负无穷到正无穷。
通过数学推导，我们可以将上述积分化简为μ，即X的期望值等于均值μ。
从上面的例子可以看出，对于服从正态分布的随机变量，其期望值等于均值。
总结起来，概率的期望值可以通过计算每个可能结果与其对应的概率的乘积，并将所有结果的乘积相加来得到。
对于服从正态分布的随机变量，其期望值等于均值。
概率的期望值在实际生活和科学研究中起着重要的作用。
概率论公式解析贝叶斯公式期望值与方差计算
概率论公式解析贝叶斯公式期望值与方差计算概率论公式解析：贝叶斯公式、期望值与方差计算概率论是数学中的一门重要学科，它研究了随机现象的概率规律。
在概率论中，有几个重要的公式被广泛使用，其中包括贝叶斯公式以及期望值和方差的计算方法。
本文将对这些公式进行解析，并提供相关的计算示例。
贝叶斯公式是概率论中的一个基本公式，它用于在已知一些先验概率的情况下，通过观察到的证据来更新概率的计算。
贝叶斯公式的数学表达式如下：P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)其中，P(A|B)表示在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
举例来说，假设我们有一个盒子，里面装有三个红球和两个蓝球。
现在我们从盒子中随机抽取一个球，并观察到这个球是红色的。
我们想知道这个球来自于盒子A还是盒子B，已知盒子A中有两个红球和一个蓝球，盒子B中有一个红球和一个蓝球。
我们可以使用贝叶斯公式来计算这个概率。
首先，我们定义事件A为球来自于盒子A，事件B为抽取到的球是红色。
根据题目描述的先验概率，我们可以得知P(A) = 1/2，P(B|A) =2/3，P(B) = 3/5。
将这些值代入贝叶斯公式，可以计算出P(A|B) = (2/3 * 1/2) / (3/5) = 5/9。
因此，根据观察到的红色球，我们可以推断出这个球来自盒子A的概率为5/9。
这个例子清楚地展示了贝叶斯公式在概率计算中的重要性和应用。
除了贝叶斯公式，期望值和方差也是概率论中常用的计算方法。
期望值是概率学中的一个重要概念，它描述了随机变量的平均取值，常用符号为E(X)。
期望值的计算方法如下：E(X) = Σ(x * P(X=x))其中，x表示随机变量的取值，P(X=x)表示该取值发生的概率。
举例来说，假设我们有一个骰子，它有六个面，分别标有1到6的数字。
概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点
概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。
在概率论中，常见的分布函数和概率密度函数描述了随机变量的分布规律，而期望和方差则是描述随机变量的中心位置和离散程度的重要指标。
本文将介绍概率论中的常见分布以及期望和方差的概念和计算方法。
一、离散型分布在概率论中，离散型分布描述了随机变量取有限个或可列个数值的概率分布。
以下是几个常见的离散型分布：1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型分布，描述了只有两个可能结果的随机试验，比如抛硬币的结果。
设随机变量X表示试验的结果，取值为1或0，表示成功或失败的情况。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布二项分布描述了一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
设随机变量X表示成功的次数，取值范围为0到n，n为试验的次数，p为每次试验成功的概率。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
3. 泊松分布泊松分布描述了在一定时间或空间内随机事件发生的次数。
设随机变量X表示事件发生的次数，取值范围为0到无穷大。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中λ为事件发生的平均次数。
二、连续型分布在概率论中，连续型分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布。
以下是几个常见的连续型分布：1. 均匀分布均匀分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率相等的情况。
设随机变量X 在[a, b]区间内取值，均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a≤x≤b。
2. 正态分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
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概率论数学期望
数学期望公式是：e(x) = x1*p(x1） + x2*p(x2）+ …… + xn*p(xn) = x1*f1(x1）+ x2*f2(x2）+ …… + xn*fn(xn)
在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）的意思是试验中每次
可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值
的大小。
须要特别注意的就是，期望值并不一定等同于常识中的“希望”——“期望值”也许
与每一个结果都不成正比。
期望值就是该变量输入值的平均数。
期望值并不一定涵盖于变
量的输入值子集里。
大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
历史故事
在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两
个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢
家可以获得法郎的奖励。
当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由
于某些原因中止了比赛，那么如何分配这法郎才比较公平？
用概率论的科学知识，不难获知，甲获得胜利的可能性小，乙获得胜利的可能性大。
因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两
局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得法郎；而乙期望赢得法郎就
得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得法郎奖金。
可知，虽然无法再展开比赛，但依据上述可能性推测，甲乙双方最终胜利的客观希望
分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的×25%=25(法郎)。
这个故事里发生了“希望”这个词，数学希望由此而来。