河北省衡水中学2021届高三上学期期中考试 数学(文)含答案
2
2
点的纵坐标为 5 ，且满足 S△AOB＝
3
，则
sin
(
3 cos
－sin
)＋ 1
的值
13
4
2
2
22
A. 5 13
12
B.
13
C.－ 12 13
5
D.
13
-1-
8.已知公比不为 1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a2，2a5，3a8 成等差数列，则 3S3 S6
13
13
对称的点，则实数 m 的取值范围是
。
三、解答题(本大题共 6 题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.(本小题满分 10 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1＝1，S9＝81。
(I)求{an}的通项公式；
(II)求 1 1
1
的值。
S1 1 S2 2
方，则求 a 的取值范围
1 A.0<a< e 1
B.a>0
C.a≤e＋1
D.a≤0
12.已知函数 g(x)满足 g(x)＝g'(1)ex－1－g(0)x＋ 1 x2，且存在实数 x0 与使得不等式 2m－1≥g(x0) 2
成立，则 m 的取值范围为
A.(－∞，2] B.(－∞，3] C.[0，＋∞) D.[1，＋∞)
数学(文)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分，时间 120 分钟。
I卷
一、选择题(本题共 12 个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题 5 分，共 60 分。)
1.设集合 A＝{x|x2－1<0}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则 A∩B＝
A.(0，1)
＝
A.－2
1
B.－
2
C.－ 2
D. 2
6.在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 b2＋c2＝a2＋bc。若 sinB·sinC＝sin2A，
则△ABC 的形状是
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
7.如图直角坐标系中，角α(0<α< )、角β(－ <β<0)的终边分别交单位圆于 A，B 两点，若 B
a
an n
3
(n∈N*)。
(I)求{an}的通项公式 an；
(II)数列{bn}满足的
bn＝(3n－1)·2nn
·an，数列{bn}的前
n
项和为
Tn，若不等式(－1)nλ<Tn＋
n 2n1
对一切 n∈N*恒成立，求λ的取值范围。
20.(本小题满分
12
分)已知△ABC
中，角
A，B，C
所对的边分别是
a，b，c，且
S2017 2017
18.(本小题满分 12 分)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2c－2acosB＝b。
(1)求角 A 的大小；
(2)若△ABC 的面积为 3 ，且 c2＋abcosC＋a2＝4，求 a。 4
19.(本小题满分
12
分)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝
9
11
A.
B.
C.
D.
4
12
4
12
9.已知函数 f(x)＝ 5 ＋cos( 1 x－1)，若函数 g(x)＝|－x2＋4x－2|与 f(x)图象的交点为(x，
2x 4
2
m
y)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则 xi i 1
A.2m B.3m C.4m D.m
10.将函数 y＝2sinωx(ω>0)的图象向左平移 (0<φ≤ 2 )个单位长度后，再将所得的图象向下
平移一个单位长度得到函数 y＝g(x)的图象，且 y＝g(x)的图象与直线 y＝1 相邻两个交点的距
离为π，若 g(x)>－1 对任意 x∈(－ ， )恒成立，则φ的取值范围是
12 3
A.[ ， ]
12 2
B.[ ， ]
63
C.[ ， ]
12 3
D.[ ， ]
62
11.已知函数 f(x)＝x2－ax，g(x)＝lnx－ex。在其共同的定义域内，g(x)的图像不可能在 f(x)的上
B.p∨q 为真命题
C. p∨ q 为真命题
D. P∧q 为真命题
4.正项等比数列{an}中的 a1，a4031 是函数 f(x)＝ 1 x3－4x2＋6x－3 的极值点，则 log 3
6a 2016 ＝
A.1
B.2
C.－1
D. 2
5.已知
O
是正方形
ABCD
的中心，若 DO AB
AC
，其中λ，µ∈R，则
B.(－1，2)
C.(1，＋∞)
D.( 1 ，1) 2
2.已知复数 z 满足：(z－i)(1＋2i)＝i3(其中 i 为虚数单位)，复数 z 的虚部等于
1
2
4
3
A.－
B.－
C.
D.
5
5
5
5
3.命题 p：若α为第一象限角，则 sinα<α；命题 q：函数 f(x)＝2x－x2 有两个零点，则
A.p∧q 为真命题
7
，
sin B 2b
4
57
S△ABC＝
，则 b 的值为
。
4
15.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足：a1＝1，a2＝2，Sn＋1＝an＋2－an＋1(n∈N*)，则 Sn
＝
。
-2-
16.已知函数 f(x)＝2lnx( 1 ≤x≤e2)，g(x)＝mx＋1，若 f(x)与 g(x)的图象上存在关于直线 y＝1 e
-3-
-4-
-5--6--7-源自-8-BAAC
2S
3
＝0，其中 S 是△ABC 的面积，C＝ 。
4
(1)求 cosB 的值；
(2)若 S＝24，求 a 的值。
1
21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝mlnx＋(4－2m)x＋ (m∈R)。
x
(1)当 m≥4 时，求函数 f(x)的单调区间；
(2)设 t，s∈[1，3]，不等式|f(t)－f(s)|<(a＋ln3)(2－m)－2ln3 对任意的 m∈(4，6)恒成立，求实
II 卷
二、填空题(本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。)
13.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°， a ＝(2，0)，| b |＝1，则| a ＋2 b |等于
。
14.在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边且 B 为锐角，若 sin A 5c ，sin B
数 a 的取值范围。
22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝kex－x2(其中 k∈R，e 是自然对数的底数)。
(1)若 k＝2，当 x∈(0，＋∞)时，试比较 f(x)与 2 的大小；
(2)若函数 f(x)有两个极值点 x1，x2(x1<x2)，求 k 的取值范围，并证明：0<f(x1)<1。
专题06 动量和动量定理(解析版)
专题06 动量和动量定理1．（2021届广东省东莞市光明中学高三模拟）古时有“守株待兔”的寓言，设兔子的头部受到大小等于自身体重的打击力时即可致死。
若兔子与树桩发生碰撞，作用时间为0.2s ，则被撞死的兔子的奔跑的速度可能是（ ）A ．1m/sB ．1.5m/sC ．2m/sD ．2.5m/s【答案】CD 【解析】取兔子奔跑的速度方向为正方向，根据动量定理得0Ft mv -=-解得Ftv m=其中F mg =，则100.2m/s 2m/s mgtv gt m===⨯= 则被撞死的兔子其奔跑速度大于等于2m/s 即可 故选CD 。
2．（2021届广东省佛山市高三质检）如图是同一型号子弹以相同的初速度射入固定的、两种不同防弹材料时完整的运动径迹示意图。
由此图可判定，与第一次试验比较，第二次试验（ ）A ．子弹克服阻力做功更少B ．子弹与材料产生的总热量更多C ．子弹的动量变化量更大D ．防弹材料所受冲量相等【解析】A ．由于两次子弹的初速度相同，动能相同，则两次试验的动能变化量相同，根据动能定理可知，两次试验子弹克服阻力做功相同，故A 错误；B ．由于两次子弹的初速度相同，动能相同，则根据能量守恒可知，两次试验子弹与材料产生的总热量相同，故B 错误；C ．由于两次子弹的初速度相同，则初动量相等，又两次试验的末动量均为零，则两次试验的子弹的动量变化量相同，故C 错误；D ．由于两次试验的子弹的动量变化量相同，根据动量定理可知，两次试验防弹材料所受冲量相等，故D 正确。
故选D 。
3．（2021届广东省梅州市兴宁市一中高三模拟）如图，在光滑的水平面上，有一静止的小车，甲、乙两人站在小车左、右两端，当他俩同时相向而行时，发现小车向右运动，下列说法中正确的是（ ）A ．乙的速度必定大于甲的速度甲乙B ．乙的动量必定大于甲的动量C ．乙的动能必定大于甲的动能D ．甲、乙、车组成的系统水平方向总动量守恒【答案】BD 【解析】ABD ．甲、乙两人及小车组成的系统不受外力，系统动量守恒，根据动量守恒定律得0m v m v m v ++=甲甲乙乙车车小车向右运动，则说明甲与乙两人的总动量向左，说明乙的动量大于甲的动量，即两人的总动量不为零，但是由于不知两人的质量关系，故无法确定两人的速度大小关系，A 错误BD 正确； C ．根据22k 122p E mv m==乙的动量大于甲的动量，但不知两人的质量关系，动能无法比较，C 错误。
河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题(含答案解析)
河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合3(1)(4)ln log (1)x x M x y x ⎧⎫--==⎨⎬-⎩⎭∣，{}2R 4N yy =>∣ð，则（）A ．2M N∈⋂B ．{[2,2](4,)}M N aa ∞⋃=∈-⋃+∣C ．{(,2)(2,)}N aa ∞∞=∈-⋃+∣D ．()R {[2,1]}M N aa ⋂=∈-∣ð2．若i 1|1|i -=--z z ，则||z z -=（）A ．1BC ．2D ．123．在△ABC 中，O 为重心，D 为BC 边上近C 点四等分点，DO mAB nAC =+uuu r uu u r uuu r，则m＋n ＝（）A ．13B ．13-C ．53D ．53-4．一个灯罩可看作侧面有布料的圆台，在原形态下测得的布料最短宽度为13，将其压扁变为圆环，测得布料最短宽度为5，则灯罩占空间最小为（）A ．175πB ．325π3C ．100πD ．不存在5．若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（）种安排方法A ．335B ．100C ．360D ．3406．已知函数()πsin ,(0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭将其向右平移π3个单位长度后得到()g x ，若()g x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个极大值点，则()f x 一定满足的单调递增区间为（）A ．4π2π,5757⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．4π2π,3939⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3π5π,1313⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5π7π,1919⎡⎤⎢⎣⎦7．已知0.99e 0.01100100e ,ln ,ln ln (0.99)9999a b a c c c -⎛⎫===-≠ ⎪⎝⎭，则（）A ． 1.01b a c >>>B ． 1.01b a c >>>C ． 1.01a b c>>>D ． 1.01a b c >>>8．若已知函数()e x af x +=，()lng x x ka =+，()0,a ∞∃∈+，若函数()()()F x f x g x =-存在零点（参考数据ln 20.70≈），则k 的取值范围充分不必要条件为（）A ．()0.7 1.3e ,eB ．)0.71,e⎡⎣C ．)2.23.1e ,e ⎡⎣D ．()1.32.2e ,e 二、多选题9．在正方体1111ABCD A B C D -中，2,,,AB E F G =分别为棱1,,BB AB BC 中点，H 为1CC 近C 三等分点，P 在面11AA D D 上运动，则（）A ．1BC ∥平面1D FGB ．若(,R)GP GF GH μϕμϕ=+∈uu u r uu u r uuu r，则C 点到平面PBH 的距离与P 点位置有关C ．1BD EG⊥D ．若(,R)GP GF GH μϕμϕ=+∈uu u r uu u r uuu r ，则P 10．若数列{}n a 有2142n n n a a a ++=-，n S 为{}2n a +前n 项积，{}n b 有112n n n n b b b b ++-=，则（）A ．(){}log log 2b a n a ⎡⎤+⎣⎦为等差数列（,0a b >）B ．可能()()21112n n n S a -=-+C ．1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列D ．{}n b 第n 项可能与n 无关11．已知抛物线C ：22x py =，过点P （0，p ）直线{,}l C A B ⋂=，AB 中点为1Q ，过A ，B 两点作抛物线的切线121221,,,l l l l Q l y ⋂=⋂轴＝N ，抛物线准线与2Q P 交于M ，下列说法正确的是（）A ．21Q Q x ⊥轴B ．O 为PN 中点C ．22AQ BQ ⊥D ．M 为2PQ 近2Q 四等分点12．已知奇函数()f x ，x ∈R ，且()()πf x f x =-，当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()cos sin 0f x x f x x '+>，当π2x →时，()2cos f x x →，下列说法正确的是（）A ．()f x 是周期为2π的函数B ．()cos f x x 是最小正周期为2π的函数C ．()cos f x x关于π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称D ．直线y kx =与()cos f x x若有3个交点，则4444,,3553k ππππ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭三、填空题13．6212x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭中常数项是_________．（写出数字）14．若⊙C ：()()221x a y b -+-=，⊙D ：()()22684x y -+-=，M ，N 分别为⊙C ，⊙D上一动点，MN 最小值为4，则34a b +取值范围为_________．15．已知双曲线22221x y a b-=，1F ，2F 分别为双曲线左右焦点，2F 作斜率为a b -的直线交by x a=于点A ，连接1AF 交双曲线于点B ，若21AB AF BF ==，则双曲线的离心率_________．16．已知函数()ln cos f x x kx x =+-，1212(0,,,)x x x x ∀∈∞≠+，使得()()12123f x f x x x ->-，k 的取值范围为_________．四、解答题17．已知O 为△ABC 外心，S 为△ABC 面积，r 为⊙O 半径，且满足()2222342cos cos 23CB AO r A B a S⋅+---=uu r uuu r (1)求∠A 大小；(2)若D 为BC 上近C 三等分点（即13CD BC =），且AD =S 最大值．18．张老师在2022年市统测后统计了1班和3班的数学成绩如下图所示22()()()()()n ad bc K a b b d c d a c -=++++，n a b c d =+++，()20P K k ≥0.0500.0250.0100.0050.0010k 3.8415.0246.6357.87910.828(1)根据卡方独立进行检验，说明是否有99.9%的把握数学成绩与班级有关；(2)现在根据分层抽样原理，从1班和3班中抽取10人，再让数学评价优秀的同学辅导一位数学评价一般的同学，每个人必有一人辅异，求在抽到甲辅导乙的情况下丙辅导丁的概率．(3)以频率估计概率，若从全年级中随机抽取3人，求至少抽到一人数学成绩为优秀的概率．(4)以频率估计概率，若从三班中随机抽取8人，求抽到x 人数学成绩为优秀的分布列（列出通式即可）及期望()E x ，并说明x 取何值时概率最大．19．在△ABC 中，π3BAC ∠=，A 、B 、C 、D 四点共球，R （已知）为球半径，O 为球心，O '为ABC 外接圆圆心，r （未知）为⊙O '半径．(1)求()max A BCD V -和此时O 到面ABC 距离h ；(2)在()max A BCD V -的条件下，面OAB （可以无限延伸）上是否存在一点K ，使得KC ⊥平面OAB ？若存在，求出K 点距OO '距离1d 和K 到面ABC 距离2d ，若不存在请给出理由．20．在高中的数学课上，张老师教会了我们用如下方法求解数列的前n 项和：形如()1212nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的数列，我们可以错位相减的方法对其进行求和；形如()()122121nn nn b +=++的数列，我们可以使用裂项相消的方法对其进行求和．李华同学在思考错位相减和裂项相消后的本质后对其进行如下思考：错位相减：设11(1)n n a a q q -=≠，()()1212111,n nn n n S a a a a q q qS a q q q -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+()()()()11111(1)111n n n n n n q S a q q q a q q q a q --⎡⎤-=+⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-=+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+=-⎣⎦111n n q S a q -=-综上：当中间项可以相消时，可将求解n S 的问题用错位相减化简裂项相消：设1111111(1)11n n n k k k n n n n n n n ++=-==-⇒-=-⇒=+++1n n n b k k 或1n k n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为公比为1的等比数列；①当1n k n =时，111n b n n =-+②当1n k n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为公比为1的等比数列时，()11111,1n n k k b n n n =++=-+；故可为简便计算省去②的讨论，111n n nS k k n +=-=+综上：可将求解n S 的问题用裂项相消转化为求解n k 的问题你看了他的思考后虽觉得这是“废话文学”，但是你立刻脑子里灵光一闪，回到座位上开始写下了这三个问题：(1)用错位相减的方法“温故”张老师课堂上举的例子，求解数列{n a }前n 项和n S ；(2)用裂项相消的方法“知新”张老师课堂上举的例子，求解数列{n a }前n 项和n S ；(3)融会贯通，求证：()21232nn c n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭前n 项和n T 满18n n S T +<．请基于李华同学的思考做出解答，并写出裂项具体过程．21．在平面直角坐标系中，12,F F 分别为(1,0)-，(1,0)，⊙()222:116x y F -+=，E 为⊙2F 上一点，C 为线段2EF 上一点，⊙C 过1F 和E ．(1)求C 点轨迹方程，并判断轨迹形状；(2)过12,F F 两直线12,l l 交C 分别于A 、B 和M 、N ，P ，Q 分别为AB 和MN 中点，求P 、Q 轨迹方程，并判断轨迹形状；(3)在（2）的条件下，若PQ //x 轴，12l l D ⋂=，求D 点轨迹方程，并判断轨迹形状．22．已知函数()11e ln-=-+kx f x x kx x.(1)求证：()0f x ≥；(2)若()0,x ∀∈+∞，都()211e ≥+f x ，求k 满足的取值范围．参考答案：1．B【分析】先求出集合,M N ，然后再逐个分析判断即可.【详解】由33(1)(4)0log (1)log (1)0x x x x --⎧>⎪-⎨⎪-≠⎩，得3(1)(4)log (1)011x x x x --->⎧⎨-≠⎩，解得>4x 或12x <<，所以{4M x x =>或}12x <<，因为{}2R 4N yy =>∣ð，所以{}{}2422N y y y y =≤=-≤≤，对于A ，因为(1,2)M N = ，所以2M N ∉⋂，所以A 错误，对于B ，因为{4M x x =>或}12x <<，{}22N y y =-≤≤，所以[2,2](4,)M N =-+∞ ，所以B 正确，对于C ，因为{}22N y y =-≤≤，所以C 错误，对于D ，因为{4M x x =>或}12x <<，所以R (,1][2,4]M =-∞ ð，因为{}22N y y =-≤≤，所以(){}R [2,1]2M N ⋂=-ðU ，所以D 错误，故选：B 2．A【分析】设i z a b =+，利用复数相等求出a b ，，即可求解.【详解】设i z a b =+，（,R,i a b ∈为虚数单位）.因为i 1|1|i -=--z z ,所以()1i=1a b +--，所以11a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以111i,1i 22z z =+=-，所以||i 1z z -==故选：A 3．B【分析】连接AO 延长交BC 于E 点，则E 点为BC 的中点，连接AD OD 、，利用向量平面基本定理表示DO可得答案.【详解】连接AO 延长交BC 于E 点，则E 点为BC 的中点，连接AD OD 、，所以()23213432=++=-+⨯+=+DB BA AE CB AB AB A DO DA CAO uuu r uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uu r uu u r uu u r uuu r ()()3115431212=--++=-AB AC AB AB AC AB AC uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r ，所以15,1212==-m n ，15112123+=-=-m n .故选：B.4．D【分析】设圆台的上、下底面圆的半径分别为,r R ，母线长为l ，高为h ，由题意可知5R r -=，13l =，则12h =，利用圆台的体积公式求出体积表达式，利用二次函数的性质即可得到答案．【详解】设圆台的上、下底面圆的半径分别为,r R ，母线长为l ，高为h由题意可知5R r -=，13l =，则12h ==则圆台的体积为()()()()2222211ππ124π315255353V h R r Rr r r r r r r ⎡=++=⨯⨯+⎤++=⎣⎦+++2512π25π2r ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当0r >时，V 单调递增，故V 不存在最小值．故选：D ．5．C【分析】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；每种分组再分同学1安排的几位老师辅导解答.【详解】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有22264233C C C 15A ⋅⋅=在把这三组老师安排给三位不同学生辅导的不同安排方案数为：33A 6=，根据分步计数原理可得共有不同安排方案为：2223642333C C C A 15690A ⋅⋅=⨯=如果把甲老师安排去辅导同学1的方法数为：2212425222C C 1C A 30A ⋅⋅⋅=所以把6位老师平均安排给三位学生辅导且甲老师不安排去辅导同学1的方法数为903060-=②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导的方法数为：若1同学只安排了一位辅导老师则11425542C C C A 50⋅=若1同学安排了四位辅导老师则4252C A 10=所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为60③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导的方法数为；若1同学只安排了一位辅导老师则12325532C C C A 100⋅=若1同学只安排了两位辅导老师则21325432C C C A 80⋅=若1同学只安排了三位辅导老师则31225322C C C A 60⋅=所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为6080100240++=综上把6位老师安排给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为2406060360++=故选：C 6．A【分析】根据平移变换得函数()ππsin ,(0)36g x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，由()g x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个极大值点，结合正弦函数图象可得131922ω≤<，再求π6x ω+的范围，结合正弦函数的单调性，由此可判断答案.【详解】解：有题意可得()πππsin ,(0)336g x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=-=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得πππ2ππ,36636x ωωω⎛⎫⎡⎤-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由于()g x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个极大值点，所以9π2ππ13π2362ω≤+<，解得131922ω≤<，当4π2π,5757x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π42[,]6576576x ππππωωω+∈-++而42[,[,)57657622ππππππωω-++⊂-，故A 正确，当4π2π,3939x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π42[,]6396396x ππππωωω+∈-++而426351[,][,)3963967878ππππππωω-++⊂-，故B 不正确，当3π5π,1313x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π35[,]6136136x ππππωωω+∈++，而355298[,[,136136378ππππππωω++⊂，故C 不正确，当5π7π,1919x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π57[,]6196196x ππππωωω+∈++，而5721411[,][,)1961961143ππππππωω++⊂，故D 不正确，故选：A.7．D【分析】变形a ，b ，构造函数e ()ln xf x x x x=-+比较a ，b 的大小，构造函数()ln g x x x=-比较,e b 的大小，利用极值点偏移的方法判断1.01,c 的大小作答.【详解】依题意，0.99e 0.99a =，e 0.01ln 0.99e 10.99ln 0.99b =--=-+-，令e ()ln x f x x x x =-+，22e (1)1(e )(1)()1x x x x x f x x x x ---'=-+=，当01x <<时，e 10x x >>>，即()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减，(0.99)(1)e 1f f >=-，即0.99e 0.99ln 0.99e 10.99-+>-，因此a b >，令()ln g x x x =-，1()1g x x'=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 在(0,1)上单调递减，(0.99)(1)1g g >=，而e 1(0.99)e>1.01b g =-+>，函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，显然11(e)e 1,()1e eg g =-=+，则方程1(),(1,1]e g x k k =∈+有两个不等实根12,x x ，1201x x <<<，有12()()g x g x k ==，ln ln 0.99ln 0.99ln (0.99)()a c c c c g g c =-⇔-=-⇔=，而0.99c ≠，则有1c >，令()()(2)h x g x g x =--，01x <<，2112(1)()()(2)1102(2)x h x g x g x x x x x -'''=+-=-+-=-<--，即函数()h x 在(0,1)上单调递减，当(0,1)x ∈时，()(1)0h x h >=，即()(2)g x g x >-，因此11()(2)g x g x >-，即有211()()(2)g x g x g x =>-，而211,21x x >->，()g x 在(1,)+∞上单调递增，于是得212x x >-，即122x x +>，取10.99x =，2x c =，于是得20.99 1.01c >-=，又()(0.99))1()(e eg g c g g <<=，()g x 在(1,)+∞上单调递增，从而1.01e c <<，所以 1.01a b c >>>，D 正确.故选：D【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.8．C【分析】因为求的是充分不必要条件，而非充要条件，所以采用特殊值法，只要满足()()11f g ≤，则有()()()F x f x g x =-存在零点，求出1e ak a+≥时k 的取值范围，即为一个充分条件，再由选项依次判断即可.【详解】 当0a =时，()e x af x +=的图象恒在()lng x x ka =+上方，∴若满足()()11f g ≤，即1eln1aka +≤+，1e ak a+≥，则()f x 与()g x 的图象必有交点，即()()()F x f x g x =-存在零点.令()1e x h x x+=()0x >，()()12e 1x x h x x +-'=，有当01x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 单调递增.()()21e h x h ∴≥=.即当2e k ≥时，一定存在()10,a =∈+∞，满足()()11f g ≤，即()()()F x f x g x =-存在零点，因此)2e ,k ⎡∈+∞⎣是满足题意k 的取值范围的一个充分条件.由选项可得，只有)2.2 3.1e ,e ⎡⎣是)2e ,⎡+∞⎣的子集，所以)2.2 3.1e ,e ⎡⎣是k 的取值范围的一个充分不必要条件.故选：C .9．BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐一解答即可.【详解】解：根据题意建立如图所示的坐标系：因为正方体的边长为2，所以1(0,0,0)A ，(0,0,1)A ，1(2,0,0)B ，1(2,2,0)C ，1(0,2,0)D ，(2,0,2)B ，(2,2,2)C ，(0,2,2)D ，(2,0,1)E ，(1,0,2)F ，(2,1,2)G ，4(2,2,3H ，对于A ，因为1(0,2,2)BC =-u u u u r ，1(1,2,2)FD =--u u u u r ，(1,1,0)FG =u u u r，设平面1D FG 的法向量为(,,)n x y z = ，则有2200x y z x y -+-=⎧⎨+=⎩，则有23y zy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩，取(2,2,3)n =-r，因为120n BC ⋅=-≠r u u u u r，所以1n BC ⊥ru u u u r不成立，所以1BC ∥平面1D FG 不成立，故错误；对于B ，设00(0,,)P y z ，则00(2,1,2)G y z P =---uu u r ，(1,1,0)GF =--uu u r ，2(0,1,)3GH =-uuu r ，又因为(,R)GP GF GH μϕμϕ=+∈uu u r uu u r uuu r，所以0021223y z μμϕϕ⎧⎪-=-⎪-=-+⎨⎪⎪-=-⎩，所以有002433z y =-+，所以P 点轨迹为如图所示的线段1MD ，在平面11BCC B 内作出与1MD 平行的直线1NC ，易知1MD 与1NC 的距离等于平面11ADD A 与平面11BCC B 的距离为2，因为1NC 与BH 不平行，所以1MD 与BH 不平行，所以点P 到BH 的距离不是定值，所以PBH S 不是定值，又因为P BCH C BPH V V --=,即1121223233PBH S h ⨯⨯⨯⨯=⋅V ，(h 为C 点到平面PBH 的距离)，所以43PHBh S =V 不是定值，所以C 点到平面PBH 的距离与P 点位置有关，故正确；对于C ，因为1(2,2,2)BD =--uuu r ，(0,1,1)EG =uu u r，1220BD EG ⋅=-=uuu u r uu r ，所以1BD EG ⊥uuu r uuu r，即有1BD EG ⊥，故正确；对于D ，由B 可知P 点轨迹为002433z y =-+，令00y =，则043z =；令02z =，则02y =，所以P 3=，故正确.故选：BCD 10．BD【分析】结合递推式2142n n n a a a ++=-，取12a =-，求{}n a 的通项公式判断选项A 错误，求n S 判断B ，由递推式112n n n n b b b b ++-=，取10b =，判断C ，求数列{}n b 的通项公式判断D.【详解】因为2142n n n a a a ++=-，所以()1222n n a a +=++，所以当2,N n n *≥∈时，20n a +≥，若12a =-，则2,N n a n *=-∈，()log 2a n a +不存在，A 错误；因为12a =-时，2,N n a n *=-∈，所以20n a +=，所以0n S =，又()()211012nn a -+=-，所以可能()()21112n nn S a -=-+，B 正确；因为112n n n n b b b b ++-=，取10b =，则0,N n b n *=∈，此时1nb 不存在，C 错误；D 正确；故选：BD.11．AD【分析】设直线l 的斜率为k ，不妨设0p >，直线l 的方程为y kx p =+，()()1122,,,A x y B x y ，与抛物线方程联立求出12x x +，12x x ，12y y +，得()21,+Q pk pk p ，令12=-pk x 求出1y ，求出xy p '=，可得直线1l 的方程、直线2l 的方程，由22122⨯=AQ BQ x x k k p可判断C ；联立直线1l 、直线2l 的方程可得()2,-Q pk p 可判断A ；令0x =由()1110-=-x y y x p得()0,P p 可判断B ；由()0,P p 、M 点的纵坐标为2p-、()2,-Q pk p 可判断D.【详解】由题意直线l 的斜率存在，设为k ，不妨设0p >，()()1122,,,A x y B x y ，则直线l 的方程为y kx p =+，与抛物线方程联立22y kx px py=+⎧⎨=⎩，可得22220x pkx p --=，222480∆=+>p k p ，所以122x x pk +=，2122x x p =-，21222+=+y y pk p ，所以()21,+Q pk pk p ，不妨令1222==x pk x p k所以221222=+-=++y pk p ky pk p由22x y p=得x y p '=，所以直线1l 的方程为()111x y y x x p -=-，直线2l 的方程为()222x y y x x p-=-，所以2221222221-⨯===-≠-AQ BQ x x p k k p p ，故C 错误；由()()111222x y y x x p x y y x x p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得11x pk y kx y =⎧⎨=-⎩，可得((222x pk y k pk pk p k p =⎧⎪⎨=--+-=-⎪⎩，所以()2,-Q pk p ，所以21Q Q x ⊥轴，故A 正确；令0x =所以由()1110-=-x y y x p得212-=-=-+y y k p p(220,-+-N p k p ，而()0,P p，且222200pk p p pk k --+=-+=⇒=，故B 错误；因为()0,P p ，M 点的纵坐标为2p-，()2,-Q pk p ，所以322⎛⎫--= ⎪⎝⎭p p p ，()22---=p p p ，故M 为2PQ 近2Q 四等分点，故D 正确.故选：AD.12．AC【分析】根据奇函数()f x ，x ∈R ，且()()πf x f x =-，可确定函数()f x 的周期，即可判断A ；设()()cos f x g x x=确定函数()g x 的奇偶性与对称性即可判断函数B ，C ；根据()()cos sin 0f x x f x x '+>可判断函数()g x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上的单调性，结合对称性与周期性即可得函数()g x 的大致图象，根据直线y kx =与()cos f x x若有3个交点，列不等式即可求k 的取值范围，即可判断D.【详解】解：因为()()πf x f x =-，所以()f x 的图象关于π2x =对称，又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--，则()()()πf x f x f x +=-=-，则()()()2ππf x f x f x +=-+=，故()f x 是周期为2π的函数，故A 正确；设()()cos f x g x x =，其定义域为ππ2π,2π,Z 22k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，则()()()()()()()ππ0cos cos πcos cos f x f x f x f x g x g x xx x x -+-=+=+=--，所以()g x 关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，即()cos f x x关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；又()()()()()cos cos f x f x g x g x x x---===--，所以()g x 为上的奇函数，结合()()π0g x g x +-=可得()()π0g x g x --+-=，即()()πg x g x -=-故()cos f x x是周期为π的函数，故B 错误；当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()()()2cos sin 0cos f x x f x x g x x '+'=>，故()g x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，由于()g x 关于π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以()g x 在π,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，且当π2x →时，()2cos f x x →，又函数()g x 的周期为π，则可得()g x 大致图象如下：若直线y kx =与()()cos f x g x x =若有3个交点，则03π225π22k k k ⎧⎪>⎪⎪<⎨⎪⎪≥⎪⎩或03π22π22k k k ⎧⎪<⎪⎪-≥⎨⎪⎪-<⎪⎩，解得445π3πk ≤<或44π3πk -<≤-，故4444,,π3π5π3πk ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故D 错误.故选：AC.13．559【分析】将21x x-看作一项，利用展开式的通项，找两项中的常数项即可求解.【详解】261(2)x x-+的展开式的通项公式是26122316661C ()22C (1)C r r r r r s s r sr r T x xx ---+-=-⋅=-，令12230r s --=，则2312r s +=，故32r s =⎧⎨=⎩或60r s =⎧⎨=⎩或04r s =⎧⎨=⎩，所以261(2)x x-+的展开式中常数项为：3322660044636662C (1)C 2C 2C (1)C 4806415559⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯-⨯=++=，故答案为：559.14．[]15,85【分析】先根据MN 的最小值求出7CD =，即()()226849a b -+-=，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于MN 最小值为4，圆C 的半径为1，圆D 的半径为2，故两圆圆心距离4127CD =++=，即()()226849a b -+-=，由柯西不等式得：()()()()()2222268343648a b a b ⎡⎤-+-⋅+≥-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当且仅当6834a b --=，即5168,55a b ==时，等号成立，即()234502549a b +-≤⨯，解得：153485a b ≤+≤.故答案为：[]15,8515【分析】首先求出2AF 的方程，联立两直线方程，即可取出A 点坐标，由21AB AF BF ==，即可得到B 为A 、1F 的中点，得到B 点坐标，再代入双曲线方程，即可求出226c a =，从而求出双曲线的离心率.【详解】解：依题意()2,0F c ，所以2AF ：()ay x c b=--，由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2AF b =，又21AB AF BF ==，所以B 为A 、1F 的中点，所以2,22a c ab c B c ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以22222122a c b c c ab a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝-⎭-=，即44224b a c a -=，即()()222222+4b a b a c a -=，所以2224b a a -=，即225b a =，即2225c a a -=，所以226c a =，则离心率ce a==16．[)4,∞+【分析】不妨设12x x <，把1212()()f x f x x x --＞3化为()()11223f x x f x x <--3，构造函数()()3g x f x x =-，利用()g x 的导数()0g x '≥，求出k 的取值范围．【详解】不妨设1212,(0,),x x x x ∀∈+∞<,∵()()12123f x f x x x ->-，即()()1212)3(f x f x x x <--，()()11223f x x f x x <--3,构造函数()()3g x f x x =-，∴()g x 在(0)+∞，是单调递增函数，∴()()13sin 30g x f x k x x ''=-=++-≥,∴()1sin 3,0,k x x x ∞⎛⎫≥-++∈+ ⎪⎝⎭当0x >时，10x >，[]sin 1,1x ∈-，所以1sin 1x x+>-，所以1sin 34x x ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭，所以k 的取值范围为[)4,∞+故答案为：[)4,∞+17．(1)π3【分析】（1）由向量的运算整理可得221122c b CB AO =-⋅uu r uuu r ，结合正弦定理、余弦定理和面积公式运算求解；（2）根据题意结合向量可得1233AD AB AC =+ ，再结合数量积可得221242999c bc b =++，利用基本不等式可得3bc ≤，再结合面积公式即可得结果.【详解】（1）取,AB AC 的中点,M N ，连接,OM ON ，则,OM AB ON AC ⊥⊥，可得：()cos cos NC AC AB AO AC AO AB AO OA A M A B O AB A A O C O OA =-=⋅-⋅=∠-∠⋅⋅uu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r u u r uuu r uuu r222211112222AB AC c b =-=-uu u r uuu r由()2222342cos cos 23CB AO r A B a S ⋅+---=uu r uuu r ，可得()2222223141cos 1cos 11sin 22322r A B a c b bc A +--+--=⨯，则()()2222232sin 2s 1in sin 2122r A r B a c b b c A --=++，即222223sin 21221a b a b A c b c +-=-+，整理得2222sin b A c a bc +⨯-，由余弦定理222cos sin 23b c a A A bc +-==，可得tan A =∵()0,πA ∈，故π3A =.（2）由题意可得：()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，则22221214433999AD AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，可得：221242999c bc b =++，则2218244bc c b bc -=+≥，当且仅当224c b =，即2c b =时等号成立，即3bc ≤，则11sin 322S bc A =≤⨯故S18．(1)有，理由见解析(2)14(3)78(4)分布列见解析，()2E x =，2x =时，概率最大，理由见解析【分析】（1）计算卡方，与10.828比较后得到结论；（2）先根据分层抽样求出1班和3班抽到的学生分布情况，再根据条件概率求出概率；（3）计算出1班和3班的总人数，以及数学评价优秀的学生总人数，求出相应的频率作为全校数学评价优秀的概率，求出随机抽取3人，抽到0人数学评价优秀的概率，再利用对立事件求概率公式计算出答案；（4）由题意得到18,4x B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而求出分布列，数学期望，并利用不等式组，求出2x =时，概率最大.【详解】（1）22100(10204030)5010.828406050503K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有99.9%的把握数学成绩与班级有关；（2）1班有40+20=60人，3班有10+30=40人，故抽取10人，从1班抽取人数为601066040⨯=+，从3班抽取的人数为401046040⨯=+，由于1班数学评价优秀和一般人数比为4:2，故抽取的6人中有4人数学评价优秀，2人评价一般，而3班数学评价优秀和一般的人数之比为1:3，故抽取的4人中有1人数学评价优秀，3人评价一般，设抽到甲辅导乙为事件A ，抽到丙辅导丁为事件B ，则()4455A 1A 5P A ==，()3355A 1A 20P AB ==，()()()1112054P AB P B A P A ==÷=；（3）1班和3班总人数为100人，其中两班学生数学评价优秀的总人数为104050+=，故频率为5011002=，以频率估计概率，全年级的数学评价优秀的概率为12，从全年级中随机抽取3人，抽到0人数学评价优秀的概率为30311C 128⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以从全年级中随机抽取3人，至少抽到一人数学成绩为优秀的概率为17188-=.（4）由题意得：3班的数学评价优秀概率为101404=，故18,4x B ⎛⎫⎪⎝⎭ ，所以分布列为8811C 144xxx -⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1,2,,8x = ；数学期望()1824E x =⨯=，2x =时，概率最大，理由如下：令8171881111C 1C14444xxx xx x -+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：54x ≥，令8191881111C 1C14444x xx xx x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：94x ≤，故5944x ≤≤，因为N x ∈，所以2x =.19．(1)()max A BCD V -3，此时13h R =，(2)存在K ，满足KC ⊥平面OAB ，理由见解析；1d =，223d R =.【分析】(1)设线段O O '的延长线与球的交点为1D ，则1A BCD D ABC V V --≤，设OAO θ'∠=，表示1D ABC -的体积，通过换元，利用导数求其最大值.(2)取AB 的中点E ，连接OE ，CE ，过C 作KC OE ⊥，根据线面垂直判定定理证明KC ⊥平面OAB ，再通过解三角形求1d ，2d .【详解】（1）当点D 为线段O O '的延长线与球的交点时，点D 到平面ABC 的距离最大，所以1A BCD D ABC D ABC V V V ---=≤，由球的截面性质可得'⊥O O 平面ABC ，设OAO θ'∠=，π02θ≤<，则sin ,cos OO OA AO OA θθ''==，又,OA R AO r '==，所以sin ,cos OO R r R θθ'==，所以sin DO R R θ'=+，在ABC 中，π3BAC ∠=，由正弦定理可得π2sin cos 3BC r θ==，由余弦定理可得222π2cos3AB AC AB AC BC +-⋅=，所以22AB AC AB AC BC ⋅-⋅≤，故223cos AB AC R θ⋅≤，所以ABC 的面积221πsin cos 23S AB AC θ=⋅≤，当且仅当AB AC =时等号成立，所以()()12232111cos sin cos sin 133D ABC V S D O R R R θθθθ-=⋅≤⋅⋅+=⋅⋅+'，设()2cos sin 1y θθ=⋅+，令sin t θ=，则()()211y t t =-⋅+，01t ≤<所以()()2321311y t t t t '=--+=--+，当103t ≤<时，0y >' ，函数()()211y t t =-⋅+在10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，当113t <<时，0'<y ，函数()()211y t t =-⋅+在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当13t =时，函数()()211y t t =-⋅+，01t ≤<取最大值，最大值为3227，所以13D ABC V -≤，所以()max A BCD V -为327R ，此时1sin 3h OO R R θ'===，（2）由(1)点D 与点1D 重合，33AB AC BC R ===，又π3BAC ∠=，取AB 的中点E ，连接OE ，CE ，则,OE AB CE AB ⊥⊥，OE CE E ⋂=，,OE CE ⊂平面OCE ，所以AB ⊥平面OCE ，过C 作KC OE ⊥，垂足为K ，因为KC ⊂平面OCE ，所以AB KC ⊥，AB OE E ⋂=，,AB OE ⊂平面OAB ，所以KC ⊥平面OAB ，由(1)AB BC AC ===，OA OB OC R ===，1133OO OA R '==，所以3OE R ==，CE ==，所以3O E '=，因为π2OO E CKE OEO CEK ''∠=∠=∠=∠，，所以CEK OEO ' ，所以EK CE EO OE ='，所以3EK R =，所以2EK OE =，所以O 为EK 的中点，又EO OO '⊥，所以E 到直线OO '的距离为3EO R '=，过K 作KM OO '⊥，垂足为M ，故点K 到OO '的距离为KM ，所以K 到直线OO '的距离为13d KM EO R '===，因为OO '⊥平面ABC ，O '为垂足，所以点O 到平面ABC 的距离为13OO R '=，过K 作KN CE ⊥，垂足为N ，则//KN OO '，所以KN ⊥平面ABC ，故点K 到平面ABC 的距离为KN ，又223KN OO R '==所以点K 到平面ABC 的距离为223d R =.20．(1)()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；(2)()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；(3)裂项过程见解析，证明见解析.【分析】(1)写出n S 的表达式，两边同乘12，与原式相减，利用等比数列求和公式化简即可；(2)对()1212nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行裂项，结合裂项相消法求和；(3)对()21232nn c n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭进行裂项，利用裂项相消法求和，由此证明结论.【详解】（1）因为()1212nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()123111111357212122222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()12341111113572121222222nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()1123111111322221222222nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以()1111112212222n n n S n -+⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎝⎝-⎪⎪⎭⎭，所以()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；（2）因为()1212nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()111122n nn a A n B An B --⎭⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-++ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎝⎭，则()122nn a An A B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2A =，5B =，故()()111232522n nn a n n -⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎝⎝-⎪⎭⎭所以()()112171111115723252292222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎝-⎭⎭-，所以()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；（3）因为()21232nn c n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，设()()()122111122n nn c Dn En F D n E n F -⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++++++ ⎪⎪⎣⎦-⎝⎭⎝⎭，则()2122nn c Dn E D n F D E ⎛⎫⎡⎤=+-+- ⎦⎝-⎪⎣⎭，则1,4,8D E F ===，所以()()122114861322n nn c n n n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-，即()()12211243422n nn c n n -⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=++++ ⎪⎪⎣⎦⎦⎝⎝-⎣⎭⎭，所以()()()()()()2111222222111111342444445434222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-⎭⎝⎭⎝+--⎭++所以()21613132nn T n n ⎛⎫=++ -⎪⎝⎭，所以()()()22811152513613188182212nnn nn n n n n n S T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<⎝⎭21．(1)C 点轨迹方程为22143x y +=，轨迹形状是以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆.(2)点P 的轨迹方程为：221()2113416x y ++=，其轨迹形状是以1(,0)2-为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆；点Q 的轨迹方程为：221()2113416x y -+=，其轨迹形状是以1(,0)2为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆.(3)点D 的轨迹方程为：22134y x +=，其轨迹形状是焦点在x 轴上，以11(,0),(,0)22-为焦点，以2为长轴长的椭圆.【分析】(1)根据椭圆的定义即可求解；(2)设出直线12,l l 的方程，与曲线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式即可求解；(3)根据（2）的结论，先得出340mt +=，再求出D 点的坐标，结合,m t 的关系式即可求解.【详解】（1）由题意可知：24F E =，1CF CE =，因为12221242CF CF CE CF EF F F +=+==>=，所以C 点的轨迹是以12,F F 为焦点，24a =为长轴长的椭圆，则2223b a c =-=，所以C 点轨迹方程为22143x y +=，轨迹形状是以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆.（2）当直线1l 与x 轴重合时，点(0,0)P ；当直线1l 与x 轴不重合时，设直线1l 的方程为：1x ty =-，1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得：22(34)690t y ty +--=，则122634t y y t +=+，122934y y t -=+，所以212122268()223434t x x t y y t t -+=+-=-=++，则12212242343234P P x x x t y y t y t +-⎧==⎪⎪+⎨+⎪==⎪+⎩，消参可得：221212160x x y ++=，即221()21(0)13416x y x ++=≠，综上所述：点P 的轨迹方程为：221()2113416x y ++=，点P 的轨迹形状是以1(,0)2-为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆；同理当直线2l 与x 轴重合时，点(0,0)Q ；当直线2l 与x 轴不重合时，设直线2l 的方程为：1x my =+，3344(,),(,)M x y N x y ，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得：22(34)690m y my ++-=，则342634my y m -+=+，342934y y m -=+，所以234342268()223434m x x t y y m m -+=++=+=++，则34234242343234Q Qx x x m y y m y m +⎧==⎪⎪+⎨+-⎪==⎪+⎩，消参可得：221212160x x y -+=，即221()21(0)13416x y x -+=≠，综上所述：点Q 的轨迹方程为：221()2113416x y -+=，点Q 的轨迹形状是以1(,0)2为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆；（3）由（2）知：2243(,)3434tP t t -++，2243(,)3434m Q m m -++，因为//PQ x 轴，所以22333434t mt m -=++，即(34)()0mt m t ++=，又因为且12l l D ⋂=，所以340mt +=，也即43m t=-，联立12,l l 可得：11x ty x my =-⎧⎨=+⎩，解得：212D D t x t my t m ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩消参可得：24123(1)y x x ++=+，即22134y x +=，所以点D 的轨迹方程为：22134y x +=，其轨迹形状是焦点在x 轴上，以11(,0),(,0)22-为焦点，以2为长轴长的椭圆.22．(1)证明见解析；(2)(],1-∞-【分析】（1）利用同构，转化为()()1e ln e e kx kx f x x x =-.构造函数1ln ey t t =-，利用导数求出最小值，即可证明；（2）把()211e≥+f x 转化为()()ln 12e ln 1e 2x kx kx x +---+-≥--对()0,x ∀∈+∞恒成立.构造函数()e mg m m =-，利用导数判断出单调性，转化为2ln 1kx x +-≤-对()0,x ∀∈+∞恒成立，分离参数后，构造函数()()ln ,01xh x x x=-->，利用导数求出()min h x ，即可求解.【详解】（1）函数()11e ln -=-+kx f x x kx x 的定义域为()0,∞+.()11e ln-=-+kx f x x kx x 1e ln e kxx kx x =--()1e ln e ekx kx x x =-.令(),0e kxt x t =>，则1ln ey t t =-.因为11e e e t y t t -'=-=，所以当0<e t <时，0'<y ，1ln ey t t =-单减；当t e >时，0'>y ，1ln ey t t =-单增.所以1e ln e=0ey ≥⨯-，即0y ≥，所以()0f x ≥成立.（2）()211e≥+f x 即为121e ln e 1kx x kx x ---+≥+，亦即为ln 12e e ln 1e 2x kx kx x ----+≥+，可化为()()ln 12eln 1e 2x kx kx x +---+-≥--对()0,x ∀∈+∞恒成立.不妨设()e m g m m =-，则()e 1mg m '=-.当0m <时，()0g m '<，()e m g m m =-单减；当0m >时，()0g m '>，()e mg m m =-单增.所以当0ln 1kx x +-<时，有2ln 1kx x +-≤-对()0,x ∀∈+∞恒成立.即l 1n xk x--≤.令()()ln ,01x h x x x =-->，则()2ln xh x x'=.所以当01x <<时，()0h x '<，()h x 单减；当1x >时，()0h x '>，()h x 单增所以()()min 11h x h ==-.即1k ≤-.综上所述：k 的取值范围为(],1-∞-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）利用导数证明不等式．。
河北省衡水中学2021-2021学年上学期期中考试高三数学理科(纯word版)
上学期期中考试高三数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|540}A x N x x =∈+->，集合[0,2]B =，则A B =（ ） A ． {1,2} B ．[0,2] C ． φ D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -=（ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ．53.如图，已知AB a =，AC b =，4BC BD =，3CA CE =，则DE =（ ）A ．3143b a -B ．53124b a -C ．3143a b -D ． 53124a b -4.设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，0.21.1d =，则（ ）A ．a b d c >>>B ．c a d b >>> C. d c a b >>> D ．c d a b >>> 5.已知命题:p 若2a >且2b >，则a b ab +<；命题:0q x ∃>，使(1)21x x -=，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝6.设{}n a 是公差不为0的等差数列，满足22224567a a a a +=+，则{}n a 的前10项和10S =（ ） A ．-10 B ．-5 C. 0 D ．57.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ）A ． 2B ．4 C. 25+．425+8.过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过,A O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为（ ）A ．22179x y -= B ．221412x y -= C. 22188x y -= D ．221124x y -= 9.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4)(0,)-∞-+∞ B ．(0,)+∞ C. (,1)(1,)-∞-+∞ D ．(,1)-∞-10.已知()sin()f x x ωθ=+（其中0ω>，(0,)2πθ∈），12'()'()0f x f x ==，21||x x -的最小值为2π，()()3f x f x π=-，将()f x 的图像向左平移6π个单位得()g x ，则()g x 的单调递减区间是（ ）A ．[,]()2k k k Z πππ+∈B ．2[,]()63k k k Z ππππ++∈C. 5[,]()36k k k Z ππππ++∈ D ．7[,]()1212k k k Z ππππ++∈ 11.焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）A ．2y x =+或2y x =--B ．2y x =+ C. 22y x =+或22y x =-+ D ．22y x =-+12.已知半径为3cm 的球内有一个内接四棱锥S ABCD -，四棱锥S ABCD -的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S ABCD -的体积最大时，它的底面边长等于（ ）A ． 2cmB ．4cm C. D ．24cm 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.用,,a b c 表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ； ②若//a b ，//a c ，则//b c ； ③若//a γ，//b γ，则//a b ； ④若a γ⊥，b γ⊥，则//a b .其中真命题的序号是 ．（请将所有正确命题的序号都填上）14.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为 ． （参考数据：0sin150.2588≈，0sin 7.50.1305≈）15.已知实数,x y 满足2020()0x y x y y y m -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若3z x y =+的最大值为5，则正数m 的值为 ．16.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于0120时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为0120，根据以上性质，函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y =-++++++-的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差0d ≠，若123,,,,,n b b b b a a a a 成等比数列，且11b =，22b =，35b =.（1）求数列{}n b 的通项公式n b ；（2）设3log (21)n n c b =-，求和：12233445212221n n n n n T c c c c c c c c c c c c -+=-+-++-.18. 如图，在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3，且2BD =，36sin 8B =.（1）求sin BAD ∠的值；（2）求cos ADC ∠及ABC ∆外接圆的面积.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，已知2PA AC ==，060PAD DAC ∠=∠=，CE AD ⊥于E .（1）求证：AD PC ⊥；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且3AD =，求二面角C PD A --的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是,E F ，离心率7e =F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，ABE ∆的周长为16. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，圆222:(3)(0)D x y r r -+=>与椭圆C 交于,M N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线,PM PN 与x 轴分别交于,G H 两点，求证：||||OG OH 为定值.21. 已知函数()ln (0)af x x a x=+>.（1）若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围； （2）证明：当2a e≥时，()x f x e ->. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线221:2C x y -=，曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，射线6πθ=与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点（异于极点O ），定点(3,0)M ，求MAB ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a =-，()|1|g x bx =+. （1）当1b =时，若1()()2f xg x +的最小值为3，求实数a 的值； （2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1[,1]2，求实数a 的取值范围.。
衡水中学2021届高三上学期四调理数答案
2+ =ACDCB BCBCB BC 13． -414． 5215．2π 16． 33(e , )2连结CG ，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ，所以 D 是正三角形 ABC 的中心． 由（Ⅰ）知， G 是 AB 的中点，所以 D 在CG 上，故CD = 2CG ．317．解：（1）由题设及余弦定理得： BD 2 = BC 2 + CD 2 - 2BC C =13-12cos C ，① 由题设可得 PC ⊥ 平面 PAB ，DE ⊥ 平面 PAB ，所以 DE / /PC ，因此 PE = 2PG ，DE = 1PC ． BD 2 = AB 2 + DA 2 - 2AB A = 5 +4cos C ．②由①②得cos C = 1，故C = 60︒ . 2 3 3 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA = 6 ，可得 DE = 2 ，PG = 3 2 ， PE = 2 ． （2）由CE = 1 (CD + CB ) ，得CE 2 = 1 (CD 2 + CB 2 + 2CD CB ) ． = 1 (4 + 9 + 2 ⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ 1) = 1924 4 2 4在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF = PF = 2 ．所以CE = 19 ． 2所以四面体 PDEF 的体积V = 1 ⨯ DE ⨯ S 3∆PEF = 1 ⨯ 2 ⨯ 1 ⨯ 2 ⨯ 2 = 4．3 2 318．解：（1）证明： P - ABC 为正三棱锥，且 D 为顶点 P 在平面 ABC 内的正投影， ∴ PD ⊥ 平面 ABC ，则 PD ⊥ AB ，又 E 为 D 在平面 PAB 内的正投影，∴ DE ⊥ 面 PAB ，则 DE ⊥ AB ，19．解：（1）设椭圆的焦距为2c ，PD DE = D ，∴ AB ⊥ 平面 PDE ，连接 PE 并延长交 AB 于点G ，由已知可得 c a 2 = 5，又a 2 = b 2 + c 2 ，9则 AB ⊥ PG ，又 PA = PB ， ∴G 是 AB 的中点；（2）在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F ，F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影． 正三棱锥 P - ABC 的侧面是直角三角形， ∴PB ⊥ PA ， PB ⊥ PC ，又 EF / /PB ，所以 EF ⊥ PA ， EF ⊥ PC ，因此 EF ⊥ 平面 PAC ， 即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影．解得a = 3 ， b = 2 ，x 2 y 2∴椭圆的方程为：1 ， 9 4（Ⅱ）设点 P (x 1 ， y 1 ) ， M (x 2 ， y 2 ) ， (x 2 > x 1 > 0) ．则Q (-x 1 ， - y 1 ) ．的面积是∆BPQ 面积的 2 倍，∴| PM |= 2 | PQ | ，从而 x 2 - x 1 = 2[x 1 - (-x 1 )] ，∴ x 2 = 5x 1 ，易知直线 AB 的方程为： 2x + 3y = 6 ．CD cos DA cos ∆BPM 29k 2+ 4 6 5 53 ⎩ ⎩11⎧2x + 3y = 6 由 ⎨ y = kx，可得 x = 6> 0 ． 23k + 2 ∴直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 56⎧4x 2 + 9 y 2 = 36 由 ⎨ y = kx ，可得 x = 6， 9k 2 + 4⇒ = 5(3k + 2) ，⇒18k 2 + 25k + 8 = 0 ，解得k = - 8 或 k = - 1． 92由 x =6> 0 ．可得k > - 2 ，故k = - 123k + 2 3 220．证明： （1）证明：在∆ABD 中， AD = 1 ， AB = 2 ， ∠BAD = 60︒ ， 由余弦定理可得 BD = 3 ，仅而∠ADB = 90︒ ，即 BD ⊥ AD ， 21．解：（1） A 是点F ( p ， 0) 关于顶点O 的对称点，可得 A (- p， 0) ，又 平面 AED ⊥ 平面 ABCD ，BD ⊂ 平面 ABCD ，平面 AED ⋂平面 ABCD = AD ，∴ B D ⊥ 平面 AED ， 设过 A 的直线为 2 y = k (x + p) 22 ， k = tan α ，2 22k 2 p 2 BD ⊂ 平面 BED ，∴平面 BED ⊥ 平面 AED ． 联立抛物线方程可得k x + (k p - 2 p )x += 0 ，4（2） EF / / AB ，由直线和抛物线相切可得△ = (k 2 p - 2 p )2 - k 4 p 2 = 0 ，解得k = ±1， ∴直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角，过点 A 作 AH ⊥ DE 于点 H ，连接 BH ， 又平面 BED ⋂平面 AED = ED ， 由（1）知 AH ⊥ 平面 BED ，∴直线 AB 与平面 BED 所成的角为∠ABH ，可取k =1，可得切线的倾斜角为 45︒ ， 由抛物线的定义可得| PA | = 1 = 1，而α 的最小值为45︒ ， | PF | sin(90︒- α ) cos α| PA |的最大值为 2 ；| PF |（2）由 y 2 = 4x ，可得 F (1,0) ，设 A (x ， y ) ， B (x ， y ) ， C (x ， y ) ， D (x ， y ) ， G (x , y ) ，11223344在∆ADE ， AD = 1 ， DE = 3 ，AE = ，由余弦定理得cos ∠ADE = 2， 3 设l : y = k (x - 1) ，联立抛物线 y 2 = 4x ，可得k 2 x 2 - (2k 2 + 4)x + k 2 = 0 ， 即 有 x + x = 2 + 4 ， y + y = k (x + x ) - 2k = 4，∴sin ∠ADE = ，3 1 2 k 2 1 2 1 2k1∴ AH = AD ，由两直线垂直的条件，可将k 换为- ，可得kx + x = 2 + 4k 2，y + y = -4k ， 在 Rt ∆AHB 中， sin ∠ABH =AH = 5， AB 63 4 3 4点G 满足4FG = FA + FB + FC + FD ，又 f (x ) = 1 ， f '(x ) = 0 ，可得 4(x ， y ) = (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 - 4 ， y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) ， 即为4x = x + x + x + x - 4 = 4k 2+ 4，1 2 3 4k 2故 x 0 为 f (x ) 的极大值点，由(I ) 知 x 0 = a ．另一方面，由于| a | 1，故a +1 < 4 - a ，4 y = y + y + y + y = -4k + 4，1234k由（Ⅰ）知 f (x ) 在(a -1, a ) 内单调递增，在(a , a +1) 内单调递减， 可得 y 2 = (k - 1 )2 = k 2 + 1- 2 = x - 2 ，故当 x = a 时， f (x ) f （a ） = 1在[a -1， a +1] 上恒成立，k k 2则G 的轨迹方程为 y 2 = x - 2 ．从而 g (x )e x 在[x - 1 ， x + 1] 上恒成立．22（1）解：由 f (x ) = x 3 - 6x 2 - 3a (a - 4)x + b ，可得 f '(x ) = 3x 2 -12x - 3a (a - 4) = 3(x - a )(x - (4 - a )) ，令 f '(x ) = 0 ，解得 x = a ，或 x = 4 - a ．由| a | 1，得a < 4 - a ． 当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 的变化情况如下表：∴f (x ) 的单调递增区间为(-∞, a ) ， (4 - a , +∞) ，单调递减区间为(a , 4 - a ) ；由 f （a ） = a 3 - 6a 2 - 3a (a - 4)a + b = 1 ，得b = 2a 3 - 6a 2 +1， -1 a 1． 令t (x ) = 2x 3 - 6x 2 +1 ， x ∈[-1，1] ， ∴t '(x ) = 6x 2 -12x ，令t '(x ) = 0 ，解得 x = 2 （舍去），或 x = 0 ．t (-1) = -7 ， t （1） = -3 ， t (0) = 1，故t (x ) 的值域为[-7 ，1] ． ∴b 的取值范围是[-7 ，1] ．' ' ⎧⎪g (x) = e x 0（2） (i )g (x ) = e x( f (x ) + f (x )) ，由题意知⎨ 0 ， ⎪g '(x ) = e x 0⎧⎪ f (x )e x 0= e x 0⎩ 0⎧ f (x ) = 1 ∴ ⎨ 0 ，解得⎨ 0． ⎪e x 0 ( f (x ) + f '(x )) = e x 0 ⎩ f '(x 0 ) = 0 ⎩ 0 0∴ f (x ) 在 x = x 0 处的导数等于 0；(ii ) 解： g (x ) e x ， x ∈[x -1 ， x + 1] ，由e x> 0 ，可得 f (x ) 1 ． 0 x(-∞, a )(a , 4 - a )(4 - a , +∞)f '(x ) +-+f (x )。
河北省衡水中学2021届高三上学期期中考试含答案
衡水中学2021届高三上学期期中考试英语试卷及答案第一卷(选择题共90分)第一部分听力(共两节，满分20分)第一节听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题每段对话仅读一遍。
1. What does the woman ask John to do?A. Leave the room for a moment.B. Have a discussion with Pete.C. Get something to eat.2. How are the prices in the restaurant?A. Reasonable.B. High.C. Low.3. What does the man really want to say?A. The lady shouldn't care too much about it.B. He gave the kid fewer candies on purpose.C. The kid has secretly had some of the candies.4. What day is it when the conversation takes place?A. Saturday.B. Monday.C. Sunday.5. How does the man feel?A. Worried.B. Relieved.C. Confused.第二节(共15小题：每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅.读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6、7题。
河北省衡水中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
2021年～2022学年度下学期高一班级期中考试 文数试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）留意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，在改涂在其他答案标号。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a,b 是直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①b a b a ⊥⊥⊥,,βα，则βα⊥；②γβγα⊥⊥，，则βα//；③αβα⊥⊥,b ，则β//b ；④βα//，a =γα ，b =γβ ，则β//a ，期中正确的命题序号是（ ）A.①④B.①③C.①②④D.③④2.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的对角线的长为（ ）A.32B.32C.6D.63.直线l 经过点A （1,2），且与x 轴交点的横坐标的取值范围是（-3,3），则其斜率k 的取值范围是（ ）A.-1<k<51B.k>1或k<21C.k>51或k<1D.k>21或k<-14.已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 与M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则a ，b 的关系是（ ）A.()a b 12-=B.()a b 12+=C.a b 222-=D.a b 222+= 5.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（ ）A.π28B.8πC.π24D.π46.设三棱柱111C B A ABC -的体积为V ，P,Q 分别是侧棱1AA ,1CC 上的点，且PA=1QC ，则四棱锥B-APQC 的体积为A.V 61B.V 41C.V 31D.V 217.如图所示，正四棱锥P-ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成角为A.6π B.4π C.3π D.2π 8.在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，1AA =2AB ，则异面直线11AD B A =所成角的余弦值为（ ）A.51 B.52 C.53 D.54 9.一个四周体的三视图如图所示，则该四周体的表面积是（ ）A.31+B. 32+C.221+D.2210.如图所示的直观图，其平面图形的面积为A.3B.223 C.6 D. 23 11.已知正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于E 点，将ACD ∆沿对角线折起，使得平面ABC ⊥平面ADC （如图），则下列命题中正确的是A.直线AB ⊥直线CD ，且直线AC ⊥直线BDB.直线AB ⊥平面BCD,且直线AC ⊥平面BDEC.平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥BDED.平面ABD ⊥平面BCD,且平面ACD ⊥平面BDE12.如图，动点P 在正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11B BDD 的直线，与正方体表面相交于M,N,设BP=x ，MN=y ，则函数()x f y =的图象大致是（ ）第II 卷（非选择题 共90分）留意事项：第II 卷全部题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。
河北省衡水中学2022届高三上学期七调考试数学(理)试题 Word版含答案
2021〜2022学年度上学期高三班级七调考试 理数试卷 命题人:李桂省本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知全集 U=R ，集合 A={X y=log 2 (-x 2+2x)}，B={ Y y=1+3 }，那么A ∩C U B = ( )A. {X 0＜ x ＜1}B. {X X ＜ 0 }C. {x x ＞ 2 }D. {x 1＜x ＜2}2.在复平面内，复数Z 满足Z （1 + I )= |1+√3I |，则z 的共轭数对应的点 ( ) A .第一象限B .其次象限C .第三象限D .第四象限3.在各项均为正数的等比数列{A N }中，若a m+1 • a m-1 = 2a m (m(m ≥2)，数列{A N }的前N 项积为T N ，若T 2m-1—1=512,则M 的值为（ ） A.4 B. 5C. 6D.74.已知函数f(x) = sin ωx+ 3sin(ωx +2π)(ω＞0) 的最小正周期为π，则f(x)在区间[0, 32π]上的值域为 （ ）A. [0, 23] B. [-21,23] C. [-21,1] D. [-23,21]5.执行如图的程序框图，那么输出S 的值是A. 2B. 21C. -1D. 16.在二项式（√x + 423x• ）n的开放式中，前三项的系数成等差数列，把开放式中全部的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A.61 B. 41 C. 31 D. 125 7.在△ ABC 中，A ，B , C 分别是角A ，B ，C 所对边的边长，若cos A + sin A- B A sin cos 2+=0,则cba +的值是A. 1B. 2√2C. 3√3D. 28.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如右图所示 (单位:cm)，则该几何体的体积为( )A. 120 cm 3B. 80 cm 3C. 100 cm 3D. 60 cm3 9.在△ ABC 中，BC=5，G ，O 分别为AABC 的重心和外心，且OG → •BC→=5，则△ABC 的外形是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种状况都有可能10.平行四边形ABCD 中，AB ·BD = 0，沿BD 将四边形折起成直二面角A — BD — C ，且 2AB 2+|BD |2=4，则三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为（ ）A .2π B . 4πC .4πD .2π11.已知双曲线C 的方程为42x 一42y= 1 , 其左、右焦点分别是F 1、F 2 ,已知点M 坐标为（2，1)，双曲线C 上点 P(x 0,y 0 ) (x 0 ＞0，y 0＞0)满足 111PF MF PF ⋅=FF MF F F 22111•12112F F MF F F ⋅，则S △PMF 1 - S △PMF 2 =( )A -1 B. 1 C. 2 D. 412.定义在 R 上的函数 f (X )满足 f (x + 2) =21f (X )，当 x ∈ [0,2)时，f (x )= ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤---21,210,221|23|12x x x x , 函数G （x)=x 2+3x 2+m , 若∀s ∈ [ - 4，-2)，∃t ∈ [ - 4，-2)，不等式F (S )—G (T )≥0成立，则实数M 的取值范围是 （ ） A. (∞-，-12] B. (∞- ，-4] C. (∞- ，8] D .( ∞- ，231] 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设a = x0 (sin x —1 + 2cos 22π)dx ，则(a-x 1)6• (x 2+2 )的开放式中常数项是( )14.以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测，这样的抽样是分层抽样,②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的确定值越接近于1,③某项测量结果ξ听从正态分布N (1，a 2),P(ξ≤5)=0.81，则P ξ ≤ 3) =0.19,④对于两个分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，推断“X 与Y 有关系” 的把握程度越大。
2021年 衡水中学高三上学期三调考试数学理模拟练习解析版配套精选卷
2021届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学〔理〕试题数学考前须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题1．集合M ={x|2x 2−x −1<0|}，N ={x|2x +a >0|}，U =R ，假设M ∩C U N =ϕ，那么a 的取值范围是A ． a >1B ． a ≥1C ． a <1D ． a ≤12．假设直线y =kx 与双曲线x 29−y 24=1相交，那么k 的取值范围是 A ． (0,23) B ． (−23,0)C ． (−23,23)D ． (−∞,−23)∪(23,+∞)3．在△ABC 中，AB =3，AC =2，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，那么AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = A ． −52B ． 52C ． −54D ． 544．数列{a n }的前n 项和为S n =n 2−n ，正项等比数列{b n }中，b 2=a 3 ，b n+3b n−1=4b n 2(n ≥2,n ∈N +)，那么log 2b n =A ． n −1B ． 2n −1C ． n −2D ． n5．直线ax +y −1=0与圆C:(x −1)2+(y +a)2=1相交于A ，B ，且△ABC 为等腰直角三角形，那么实数a 的值为A ． 17或−1 B ． −1 C ． 1 D ． 1或−16．在ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C的对边，假设a 2+b 2=2014c 2，那么2tanA⋅tanB tanC(tanA+tanB)的值为A ． 2013B ． 1C ． 0D ． 2021此卷只装订不密封 姓名 准考证号 考场号 座位号7．点M(a,b)(ab ≠0)是圆C:x 2+y 2=r 2内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为bx −ay =r 2，那么A ． l ⊥m 且m 与圆C 相切B ． l ∥m 且m 与圆C 相切C ． l ⊥m 且m 与圆C 相离D ． l ∥m 且m 与圆C 相离8．假设圆x 2+y 2−ax +2y +1=0和圆x 2+y 2=1关于直线y =x −1对称，过点C(−a,a)的圆P 与y 轴相切，那么圆心P 的轨迹方程是A ． y 2−4x +4y +8=0B ． y 2+2x −2y +2=0C ． y 2+4x −4y +8=0D ． y 2−2x −y +1=09．平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，点M 在边CD 上，那么MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 A ． √2−1 B ． √3−1C ． 0D ． 210．椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，假设AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈[π6,π4]，那么该椭圆的离心率e 的取值范围是A ． [√22,1] B ． [√22,√3−1] C ． [√22,√32] D ． [√33,√63] 11．点A 是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，那么双曲线的离心率为A ．√5−12B ．√2+12C ． √2+1D ． √5−112．在R 上的函数f(x)满足如下条件：①函数f(x)的图象关于y 轴对称；②对于任意x ∈R ，f(2+x)−f(2−x)=0；③当x ∈[0,2]时，f(x)=x ；④函数f (n)(x)=f(2n−1⋅x)，n ∈N ∗，假设过点(−1,0)的直线l 与函数f (4)(x)的图象在x ∈[0,2]上恰有8个交点，那么直线l 斜率k 的取值范围是A ． (0,811) B ． (0,118) C ． (0,819) D ． (0,198)二、填空题13．在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，sin(2A +π6)=12，b =1，△ABC 的面积为√32，那么b+csinB+sinC 的值为_______________.14．平面上有四点O,A,B,C ，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，那么△ABC 的周长是_______________.15．F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.16．数列{a n}的前n项和S n=2a n−2n+1，假设不等式2n2−n−3<(5−λ)a n对∀n∈N∗恒成立，那么整数λ的最大值为________________.三、解答题17．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，向量m⃗⃗ =(cos3A2,sin3A2)，n⃗=(cos A2,sin A2)，且满足|m⃗⃗ +n⃗ |=√3.(1)求角A的大小；(2)假设b+c=√3a，试判断△ABC 的形状.18．圆C经过原点O(0,0)且与直线y=2x−8相切于点P(4,0)〔Ⅰ〕求圆C的方程；〔Ⅱ〕在圆C上是否存在两点M,N 关于直线y=kx−1对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？假设存在,写出直线MN的方程；假设不存在，请说明理由19．各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N∗，有2S n=2pa n2+pa n−p(p∈R).(1)求常数p的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)记b n=4S nn+3⋅2n，求数列{b n}的前n项和T n.20．椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32，原点到过点A(a,0)，B(0,−b)的直线的距离是4√55.(1)求椭圆C的方程；(2)如果直线y=kx+1(k≠0)交椭圆C于不同的两点E,F，且E,F都在以B 为圆心的圆上，求k的值.21．定点，定直线：，动圆过点，且与直线相切.〔Ⅰ〕求动圆的圆心轨迹的方程；〔Ⅱ〕过点的直线与曲线相交于，两点，分别过点，作曲线的切线，，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值.22．设函数f(x)=lnx−12ax2−bx.(1)当a=b=12时，求函数f(x)的最大值；(2)令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax，(0<x≤3)其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k≤1恒成立，求2实数a的取值范围；(3)当a=0，b=−1，方程2mf(x)=x2有唯一实数解，求正数m 的值.2021届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学〔理〕试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】先化简集合M、N,再求C U N，再根据M∩C U N=ϕ得到a的不等式，即得解. 【详解】由题得M={x|-12<x<1},N={x|x>−a2}，∴C U N={x|x≤−a2}，因为M∩C U N=ϕ，所以−a2≤−1,∴a≥1.故答案为：B【点睛】(1)此题主要考查集合的化简运算，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答此题时要注意取等的问题，最好把等号带进原题检验.2．C【解析】【分析】联立直线和双曲线的方程得到x2=364−9k2>0，即得k的取值范围.【详解】联立直线和双曲线的方程得4x2−9k2x2=36,∴（4-9k2)x2=36,当4−9k2=0时，k=±23，直线和双曲线的渐近线重合，所以直线与双曲线没有公共点.当4−9k2≠0时，k≠±23，x2=364−9k2>0，解之得−23<k<23.故答案为：C 【点睛】此题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 3．C【解析】【分析】如下图，由BD→=12BC→=12(AC→−AB→)，可得AD→=12(AC→+AB→)，代入即可得出．【详解】如下图，∵BD→=12BC→=12(AC→−AB→)，∴AD→=12(AC→+AB→)，∴AD→•BD→=14(AC→−AB→)⋅(AC→+AB→)=14(22−32)=﹣54．故答案为：C【点睛】此题考查了向量的平行四边形法那么、数量积运算性质，考查了计算能力，属于根底题．4．D【解析】【分析】数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，a1=S1=0，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得a n．设正项等比数列{b n}的公比为q＞0，b2=a3=4．b n+3b n﹣1=4b n2〔n≥2，n∈N+〕，化为q2=4，解得q，可得b n．【详解】数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，∴a1=S1=0，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2，n=1时也成立．∴a n=2n﹣2．设正项等比数列{b n}的公比为q＞0，b2=a3=4．b n+3b n﹣1=4b n2〔n≥2，n∈N+〕，∴b1q n+2⋅b1q n−2=4(b1q n−1)2，化为q2=4，解得q=2．∴b1×2=4，解得b1=2．∴b n=2n．那么log2b n=n．故答案为：D【点睛】(1)此题主要考查数列通项的求法，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 假设在数列中存在：S n=f(a n)或S n=f(n)的关系，可以利用项和公式a n={S1(n=1)S n−S n−1(n≥2)，求数列的通项.5．D【解析】【分析】由三角形ABC为等腰直角三角形，得到圆心C到直线的距离d=rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a的值．【详解】∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形，∴圆心C〔1，﹣a〕到直线ax+y﹣1=0的距离d=rsin45°，即√1+a2=√2 2，整理得：1+a2=2，即a2=1，解得：a=﹣1或1，故答案为：D【点睛】此题考查了直角与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，等腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解此题的关键．6．A【解析】【分析】由a2+b2=2021c2，利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2021c2=2abcosC．利用三角函数根本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosA⋅sinBcosBsinCcosC(sinAcosA+sinBcosB)=2sinAsinBcosCsinCsin(A+B)=2abcosCc2即可得出．【详解】∵a2+b2=2021c2，∴a2+b2﹣c2=2021c2=2abcosC．∴2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosA⋅sinBcosBsinCcosC(sinAcosA+sinBcosB)=2sinAsinBcosCsinCsin(A+B)=2abcosCc2=2021．故答案为：A【点睛】此题考查了三角函数根本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等根底知识与基本技能方法，属于难题．7．C【解析】【分析】求圆心到直线的距离，然后与a2+b2＜r2比拟，可以判断直线与圆的位置关系，易得两直线的关系．【详解】以点M为中点的弦所在的直线的斜率是﹣ab，直线m的斜率为ba，∴直线l⊥m，∵点M〔a，b〕是圆x2+y2=r2内一点，∴a2+b2＜r2，∴圆心到bx﹣ay=r2的距离是2√a2+b2＞r，故相离．故答案为：C【点睛】此题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8．C【解析】【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a的值，然后求出过点C 〔﹣a ，a 〕的圆P 与y 轴相切，就是圆心到C 的距离等于圆心到y 轴的距离，即可 求出圆心P 的轨迹方程． 【详解】圆x 2+y 2﹣ax+2y+1=0的圆心〔a2，−1〕，因为圆x 2+y 2﹣ax+2y+1=0与圆x 2+y 2=1关于直线 y=x ﹣1对称，设圆心〔a2，−1〕和〔0,0〕的中点为〔a4，−12〕，所以〔a 4，−12〕满足直线y=x ﹣1方程，解得a=2，过点C 〔﹣2，2〕的圆P 与y 轴相切，圆心P 的坐标为〔x ，y 〕 所以√(x +2)2+(y −2)2=|x| 解得：y 2+4x ﹣4y+8=0， 所以圆心P 的轨迹方程是y 2+4x ﹣4y+8=0， 故答案为：C 【点睛】〔1〕此题主要考查圆关于直线的对称问题，考查动点的轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求轨迹方程的四种主要方法 ： ①待定系数法：通过对条件的分析，发现动点满足某个曲线〔圆、圆锥曲线〕的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点M 的运动是由于点P 的运动引起的，可以先用点M 的坐标表示点P 的坐标，然后代入点P 满足的方程，即得动点M 的轨迹方程.③直接法：直接把的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点M(x,y)的运动主要是由于某个参数φ的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即{x =f(φ)y =g(φ)，再消参.9．D 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算，求出A=120°，再建立坐标系，得到MA →•MB →=x 〔x ﹣2〕+34=x 2﹣2x+34=〔x ﹣1〕2﹣14，设f 〔x 〕=〔x ﹣1〕2﹣14，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得以解决． 【详解】∵平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1， AB →•AD →=﹣1，点M 在边CD 上， ∴|AB →|•|AD →|•cos ∠A=﹣1， ∴cosA=﹣12，∴A=120°，以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴， 建立如下图的坐标系，∴A 〔0，0〕，B 〔2，0〕，D 〔﹣12，√32〕，设M 〔x ，√32〕，那么﹣12≤x≤32，∴MA →=〔﹣x ，﹣√32〕，MB →=〔2﹣x ，﹣√32〕， ∴MA →•MB →=x 〔x ﹣2〕+34=x 2﹣2x+34=〔x ﹣1〕2﹣14，设f 〔x 〕=〔x ﹣1〕2﹣14，那么f 〔x 〕在[﹣12，1〕上单调递减，在[1，32]上单调递增， ∴f 〔x 〕min =f 〔1〕=﹣14，f 〔x 〕max =f 〔﹣12〕=2，那么MA →•MB →的最大值是2， 故答案为：D【点睛】此题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题．10．B 【解析】 【分析】 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1〔a ＞b ＞0〕焦点在x 轴上，四边形AFF 1B 为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF 1|=2a ，∠ABF=α，那么∠AF 1F=α．椭圆的离心率e=2c2a =1sinα+cosα=√2sin(α+π4)，α∈[π6，π4]，√2(√3+1)4≤sin 〔α+π4〕≤1，√22≤√2sin(α+π4)≤√3﹣1，即可求得椭圆离心率e 的取值范围．【详解】椭圆x 2a2+y 2b 2=1〔a ＞b ＞0〕焦点在x 轴上，椭圆上点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为F 1，连接AF ，AF 1，BF ， BF 1，∴四边形AFF 1B 为长方形． 根据椭圆的定义：|AF|+|AF 1|=2a ， ∠ABF=α，那么：∠AF 1F=α． ∴2a=2ccosα+2csinα椭圆的离心率e=2c2a =1sinα+cosα=√2sin(α+π4)，α∈[π6，π4]，∴5π12≤α+π4≤π2，那么：√2(√3+1)4≤sin 〔α+π4〕≤1，∴√22≤√2sin(α+π4)≤√3﹣1， ∴椭圆离心率e 的取值范围：[√22，√3−1]， 故答案为：B【点睛】此题考查椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型．(2) 求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：①利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；②直接根据中的不等关系，建立关于离心率的不等式；③利用函数的思想分析解答.11．C 【解析】 【分析】过P 作准线的垂线，垂足为N ，那么由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得1m =|PN||PA|，设PA 的倾斜角为α，那么当m 取得最大值时，sinα最小，此时直线PA 与抛物线相切，求出P 的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．【详解】过P 作准线的垂线，垂足为N ，那么由抛物线的定义可得|PN|=|PB|， ∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|,∴1m =|PN||PA|， 设PA 的倾斜角为α，那么sinα=1m ，当m 取得最大值时，sinα最小，此时直线PA 与抛物线相切， 设直线PA 的方程为y=kx ﹣1，代入x 2=4y ，可得x 2=4〔kx ﹣1〕， 即x 2﹣4kx+4=0，∴△=16k 2﹣16=0，∴k=±1，∴P 〔2，1〕，∴双曲线的实轴长为PA ﹣PB=2〔√2﹣1〕， ∴双曲线的离心率为2(√2−1)=√2+1．故答案为：C【点睛】此题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m 取得最大值时，sinα最小，此时直线PA 与抛物线相切，是解题的关键．(2) 圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.12．A 【解析】 【分析】根据条件分别判断函数的周期性，奇偶性以及函数在一个周期上的图象，利用函数与图象之间的关系，利用数形结合进行求解即可．【详解】∵函数f 〔x 〕的图象关于y 轴对称，∴函数f 〔x 〕是偶函数，由f 〔2+x 〕﹣f 〔2﹣x 〕=0得f 〔2+x 〕=f 〔2﹣x 〕=f 〔x ﹣2〕， 即f 〔x+4〕=f 〔x 〕，即函数f 〔x 〕是周期为4的周期函数，假设x ∈[﹣2，0]，那么x ∈[0，2]， ∵当x ∈[0，2]时，f 〔x 〕=x ， ∴当﹣x ∈[0，2]时，f 〔﹣x 〕=﹣x ， ∵函数f 〔x 〕是偶函数， ∴f 〔﹣x 〕=﹣x=f 〔x 〕， 即f 〔x 〕=﹣x ，x ∈[﹣2，0]，那么函数f 〔x 〕在一个周期[﹣2，2]上的表达式为f 〔x 〕={x0≤x ≤2−x −2≤x ＜0，∵f 〔n 〕〔x 〕=f 〔2n ﹣1•x 〕，n ∈N *，∴数f 〔4〕〔x 〕=f 〔23•x 〕=f 〔8x 〕，n ∈N *，故f 〔4〕〔x 〕的周期为12，其图象可由f 〔x 〕的图象压缩为原来的18得到， 作出f 〔4〕〔x 〕的图象如图： 易知过M 〔﹣1，0〕的斜率存在，设过点〔﹣1，0〕的直线l 的方程为y=k 〔x+1〕，设h 〔x 〕=k 〔x+1〕， 那么要使f 〔4〕〔x 〕的图象在[0，2]上恰有8个交点， 那么0＜k ＜k MA ， ∵A 〔74，0〕，∴k MA =2−074+1=811，故0＜k ＜811， 应选：A ．【点睛】此题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的性质，结合数形结合是解决此题的关键．综合性较强，难度较大．(2)函数零点问题的处理常用的有方程法、图像法、方程+图像法. 13．2 【解析】 【分析】根据sin(2A +π6)=12解出A=π3，利用三角形的面积公式算出c=2．根据余弦定理a 2=b 2+c 2﹣ 2bccosA 的式子算出c=√3，最后利用正弦定理加以计算，即可得到答案． 【详解】∵sin(2A +π6)=12，A ∈〔0，π〕 ∴2A+π6=5π6，可得A=π3∵b=1，△ABC 的面积为√32，∴S=12bcsinA=√32，即12×1×c ×sinA =√32，解之得c=2由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=1+4﹣2×1×2cos π3=3 ∴a=√3〔舍负〕根据正弦定理，得b+csinB+sinC =asinA =√3sinπ3=2 故答案为：2 【点睛】此题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形等知识，属 于中档题． 14．3√6 【解析】 【分析】先判断三角形为正三角形，再根据正弦定理，问题得以解决． 【详解】平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →+OB →+OC →=0→， ∴O 是△ABC 的重心， ∵OA →•OB →=OB →•OC →，∴OB →•〔OA →﹣OC →〕=OB →•CA →=0， 即：OB →⊥CA →，同理可得：OC →⊥BA →，OA →⊥BC →， 即O 是垂心， 故△ABC 是正三角形，∵OA →•OB →=OB →•OC →=OC →•OA →=﹣1，令外接圆半径R ，那么：R 2cos 〔∠AOB 〕=R 2cos 〔2π3〕=﹣1 即：R=√2 即：a sinA =asinπ3=2R=2√2，即：a=√6， 故周长：3a=3√6， 故答案为：3√6 【点睛】此题考查了平面向量的有关知识以及正弦定理解三角形等有关知识，属于中档题． 15．4√33【解析】 【分析】设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, 由余弦定理可得 4c 2=〔r 1〕2+〔r 2〕2﹣2r 1r 2cos π3，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②，在双曲线中， 化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③，所以1e 12+3e 22=4，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值. 【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，〔a ＞a 1〕，半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2,∵∠F 1PF 2=π3，那么∴由余弦定理可得4c 2=〔r 1〕2+〔r 2〕2﹣2r 1r 2cos π3，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②， 在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③， 所以1e 12+3e 22=4，由柯西不等式得〔1+13〕〔1e 12+3e 22〕≥〔1e 1+√3e 2√3〕2所以1e 1+1e 2≤4√33故答案为：4√33【点睛】此题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决此题的关 键．属于难题． 16．4 【解析】 【分析】由数列递推式求得首项，然后构造出等差数列{an2n }，求出通项后代入不等式2n 2﹣n ﹣3＜〔5﹣λ〕a n ，整理后得到5﹣λ＞2n−32n．然后根据数列b n =2n−32n的单调性求得最值得答案．【详解】当n=1时，S 1=2a 1−22，得a 1=4；当n≥2时，S n−1=2a n −2n ，两式相减得a n =2a n −2a n−1−2n ，得a n =2a n−1+2n ，∴a n 2n −an−12n−1=1．又a 12=2，∴数列{a n2n }是以2为首项，1为公差的等差数列，a n 2n=n +1，即a n =(n +1)⋅2n ． ∵a n ＞0，∴不等式2n 2﹣n ﹣3＜〔5﹣λ〕a n ，等价于5﹣λ＞2n−32n．记b n =2n−32n，n≥2时，b n+1b n=2n−12n+12n−32n=2n−14n−6．∴n≥3时，b n+1b n＜1，(b n )max =b 3=38．∴5﹣λ＞38，即λ＜5−38=378，∴整数λ的最大值为4．故答案为:4【点睛】此题考查了数列通项的求法，考查了等差关系确实定，考查了数列的函数特性，考查了不等式的恒成立问题，是中档题．(2)解答此题的关键有两点,其一是根据a n=2a n−1+2n求数列的通项a n=(n+1)⋅2n,其二是求b n=2n−32n的最大值.17．〔1〕A=60°〔2〕直角三角形【解析】【分析】(1)直接化简|m⃗⃗ +n⃗ |=√3得cosA=12，A=60°.〔2〕联立b2−c2−a22bc=12①，b+c=√3a②，化简得b=2c或c=2b，当b=2c时，可以推理得到△ABC为直角三角形，同理，假设c=2b，那么△ABC也为直角三角形.【详解】(1)∵(m⃗⃗ )2+(n⃗ )2+2m⃗⃗ ⋅n⃗=3，代入m⃗⃗ =(cos3A2,sin3A2)，n⃗=(cos A2,sin A2)，有1+1+2(cos3A2cos A2+sin3A2sin A2)=3，∴(cos3A2cos A2+sin3A2sin A2)=12，即cos(3A2−A2)=12，∴cosA=12，A=60°.(2)∵cosA=12，∴b2−c2−a22bc=12①又∵b+c=√3a②联立①②有，bc=b2+c2−(√3)2，即2b2−5bc−2c2=0，解得b=2c或c=2b，又∵b+c=√3a，假设b=2c，那么a=√3c，∴a2+c2=(√3c)2−c2=4c2=b2，△ABC为直角三角形，同理，假设c=2b，那么△ABC也为直角三角形.【点睛】〔1〕此题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是推理得到b=2c或c=2b.18．〔Ⅰ〕(x−2)2+(y−1)2=5.〔Ⅱ〕见解析.【解析】【分析】〔Ⅰ〕由得圆心经过点P〔4，0〕、且与y=2x﹣8垂直的直线y=−12x+2上，它又在线段OP的中垂线x=2上，求得圆心C〔2，1〕，半径为√5，可得圆C的方程．〔Ⅱ〕假设存在两点M，N关于直线y=kx﹣1对称，那么y=kx﹣1通过圆心C〔2，1〕，求得k=1，设直线MN为y=﹣x+b，代入圆的方程，利用韦达定理及OM→•ON→=0，求得b的值，可得结论．【详解】〔Ⅰ〕法一：由，得圆心在经过点P(4,0)且与y=2x−8垂直的直线y=−12x+2上，它又在线段OP 的中垂线x=2上，所以求得圆心C(2,1)，半径为√5.所以圆C的方程为(x−2)2+(y−1)2=5.(细那么：法一中圆心3分，半径1分，方程2分)法二：设圆C的方程为(x−x0)2+(y−y0)2=r2，可得{x02+y02=r2,y0x0−4=−12,(x0−4)2+y02=r2(00√5=r)解得{x0=2,y0=1,r=√5.,所以圆C的方程为(x−2)2+(y−1)2=5(细那么：方程组中一个方程1分)〔Ⅱ〕假设存在两点M,N关于直线y=kx−1对称，那么y=kx−1通过圆心C(2,1)，求得k=1，所以设直线MN为y=−x+b代入圆的方程得2x2−(2b+2)x+b2−2b=0，设M(x1,−x1+b)，N(x2,−x2+b)，那么OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x1x2−b(x1+x2)+b2=b2−3b=0解得b=0或b=3这时Δ>0，符合题意，所以存在直线MN为y=−x或y=−x+3符合条件(细那么：未判断Δ>0的扣1分).【点睛】此题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键19．〔1〕p =1〔2〕a n =n+12〔3〕 T n =(n −1)⋅2n+1+2【解析】 【分析】(1)令2S n =2pa n 2+pa n −p(p ∈R)中n=1即得p 的值.(2)利用项和公式求数列{a n }的通项公式.(3)先求出b n =4Snn+3⋅2n =n ⋅2n ，再利用错位相减法求数列{b n }的前n 项和T n .【详解】解：(1)由a 1=1及2S n =2pa n 2+pa n −p(n ∈N ∗)，得：2=2p +p −p ，∴p =1.(2)由2S n =2a n 2+a n −1①，得2S n+1=2a n+12+a n+1−1②由②－①，得2a n+1=2(a n+12−a n 2)+(a n+1−a n )，即：2(a n+1+a n )(a n+1−a n )−(a n+1+a n )=0， ∴(a n+1+a n )(2a n+1−2a n −1)=0，由于数列{a n }各项均为正数，∴2a n+1−2a n =1，即a n+1−a n =12，∴数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{a n }的通项公式是a n =1+(n −1)×12=n+12.(3)由a n =n+12，得：S n =n(n+3)4，∴b n =4S n n+3⋅2n =n ⋅2n ，∴T n =1×2+2×22+3×23+⋯+n ⋅2n2T n =1×22+2×23+⋯+(n −1)×2n +n ×2n+1，−T n =2+22+23+⋯+2n−n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ×2n+1=−(n −1)⋅2n+1−2T n =(n −1)⋅2n+1+2.【点睛】〔1〕此题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差数列的通项和求和公式，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 数列{b n ·c n }，其中{b n }是等差数列，{c n }是等比数列，那么采用错位相减法.20．〔1〕x 216+y 24=1〔2〕 k =±√24【解析】 【分析】(1)由题得到a,b 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程.(2)联立直线和椭圆的方程消去y 得到(1+4k 2)x 2+8kx −12=0，可知Δ>0，设E(x 2,y 2)，F(x 3,y 3)，EF 的中点是M(x M ,y M )，求出M 的坐标，再根据k BM =y M +2x M=−1k求出k 的值.【详解】 解：(1)因为ca =√32，a 2−b 2=c 2，所以a =2b ，因为原点到直线AB:xa−y b=1的距离d =√a 2+b 2=4√55，解得a =4，b =2，故所求椭圆C 的方程为x 216+y 24=1.(2)由题意{y =kx +1x 216+y 24=1 消去y ，整理得(1+4k 2)x 2+8kx −12=0，可知Δ>0， 设E(x 2,y 2)，F(x 3,y 3)，EF 的中点是M(x M ,y M )，那么x M =x 2+x 32=−4k 1+4k2，y M =kx M +1=11+4k 2，所以k BM =y M +2x M=−1k，所以x M +ky M +2k =0，即−4k1+4k 2+k 1+4k 2+2k =0，又因为k ≠0，所以k 2=18，所以k =±√24. 【点睛】(1)此题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答此题的关键是利用韦达定理求出点M 的坐标，根据得到k BM ⋅k EF =−1.21．〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕设，由化简即可得结论；〔Ⅱ〕由题意的外接圆直径是线段，设： ，与 联立得，从而得， 时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.试题解析：〔Ⅰ〕设点到直线的距离为，依题意. 设，那么有 . 化简得.所以点的轨迹的方程为. 〔Ⅱ〕设： ， 代入中，得. 设， ， 那么， . 所以 .因为： ，即，所以.所以直线的斜率为，直线的斜率为. 因为，所以，即为直角三角形.所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径. 因为，所以当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.【方法点晴】此题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.此题〔Ⅰ〕就是利用方法①求圆心轨迹方程的.22．〔1〕−34〔2〕a ≥12 〔3〕m =12 【解析】 【分析】(1)利用导数求函数的单调区间即得函数的最大值.(2)由题得a ≥(−12x 02+x 0)max ，x 0∈(0,3].再求右边二次函数的最大值即得a ≥12.(3)转化为x 2−2mlnx −2mx =0有唯一实数解，设g(x)=x 2−2mlnx −2mx ，再研究函数在定义域内有唯一的零点得解.【详解】(1)依题意，知f(x)的定义域为(0,+∞)， 当a =b =12时，f(x)=lnx −14x 2−12x ， f′(x)=1x −12x −12=−(x+2)(x−1)2x，令f′(x)=0，解得x =1.(∵x >0)因为 g(x)=0有唯一解，所以g(x 2)=0，当0<x <1时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增； 当x >1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减， 所以f(x)的极大值为f(1)=−34，此即为最大值.(2)F(x)=lnx +ax，x ∈(0,3]，那么有k =F′(x 0)=x 0−ax 02≤12，在x 0∈(0,3]上恒成立，所以a ≥(−12x 02+x 0)max ，x 0∈(0,3].当x 0=1时，−12x 02+x 0取得最大值12，所以a ≥12.(3)因为方程2mf(x)=x 2有唯一实数解， 所以x 2−2mlnx −2mx =0有唯一实数解， 设g(x)=x 2−2mlnx −2mx ， 那么g′(x)=2x 2−2mx−2mx，令g′(x)=0，x 2−mx −m =0，因为m >0，x >0，所以x 1=m−√m 2+4m2<0(舍去)，x 2=m+√m 2+4m2，当x ∈(0,x 2)时，g′(x)<0，g(x)在(0,x 2)上单调递减； 当x ∈(x 2,+∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x 2,+∞)上单调递增； 当x =x 2时，g′(x 2)=0，g(x)取最小值g(x 2).那么{g(x 2)=0g′(x 2)=0 ，即{x 22−2mlnx 2−2mx 2=0x 22−mx 2−m =0， 所以2mlnx 2+mx 2−m =0，因为m >0，所以2lnx 2+x 2−1=0(*)设函数ℎ(x)=2lnx+x−1，因为当x>0时，ℎ(x)是增函数，所以ℎ(x)=0至多有一解，因为ℎ(1)=0，所以方程(*)的解为x2=1，即m+√m2+4m2=1，解得m=12.【点睛】(1)此题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的零点，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)研究函数的零点问题常用的有方程法、图像法、方程+图像法.。
河北省衡水市衡水中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019-2020学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(理科)一、选择题1.已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A. -4 B. -1C. 1D. 4【答案】C 【解析】 【分析】先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值. 【详解】由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414a -⨯=-，解得1a =.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.2.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2578220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且77b a =，则212b b 等于（ ）A.49B.32C.94D.23【答案】C 【解析】由题意可得：()()2225787777722222320a a a a d a a d a a -+=--++=-=，7730,2a a ≠∴=Q ，则：222127794b b b a ===. 本题选择C 选项.3.对于函数()f x ，若存在区间[,]A m n =使得{|(),}y y f x x A A =∈=则称函数()f x 为“同域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“同城区间”.给出下列四个函数：①()cos2f x x π=；②2()1f x x =-；③2()|1|f x x =-；④2()log (1)f x x =-.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②C. ②③D. ①②④【答案】A 【解析】 ①()cos2f x x π= ，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②()21f x x =-，x∈[-1，0]时，f （x ）∈[-1，0]，所以②存在同域区间；③()21f x x =-，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④()()2log 1f x x =-，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x 是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为①②③．点睛：本题主要考查了对同域函数及同域区间的理解，涉及到二次函数、余弦函数的值域的求解，函数图像的相交等，属于难题.本题在判断邻域时，需要知道通过判断函数f （x ）和函数y=x 图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．4.设θ为两个非零向量,a b r r的夹角，已知对任意实数t ，b ta +r r 的最小值为1，下列说法正确的是（ ）A. 若θ确定，则a r唯一确定 B. 若θ确定，则b r唯一确定 C. 若a r确定，则θ唯一确定D. 若b r确定，则θ唯一确定【答案】B 【解析】 【分析】对式子b ta +r r 平方转化成关于t 的二次函数，再利用最小值为1，得到()221cos 1b θ-=r ，进而判断θ与b r之间的关系．【详解】222222222cos b ta b ta b t a a t a b t b θ+=+⋅+=+⋅⋅+r r r r r r r r r r .因为min1b ta+=r r ，所以()2222222244cos 1cos 14a b a b b aθθ⋅-⋅=-=r r r r r r .所以22sin 1b θ=r ，所以sin 1b θ=r ，即1sin b θ=r .所以θ确定，b r 唯一确定.故选B.【点睛】本题考查向量模的最值、数量积运算、向量夹角等知识，考查与二次函数进行交会，求解时不能被复杂的表达式搞晕，而是要抓住问题的本质，始终把22||,||a b r r 看成实数．5.已知点(),P x y 是直线224y x =-上一动点，PM 与PN 是圆()22:11C x y +-=的两条切线，,M N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( ) A.43B.23C.53D.56【答案】A 【解析】 【分析】利用当CP 与直线224y x =-垂直时，PC 取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出PC 的最小值，然后利用勾股定理计算出PM 、PN 的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形PMCN 面积的最小值． 【详解】如下图所示：由切线的性质可知，CM PM ⊥，CN PN ⊥，且PCM PCN ∆≅∆，2221PM PN PC CMPC ==-=-当PC 取最小值时，PM 、PN 也取得最小值，显然当CP 与直线24y x =-垂直时，PC 取最小值，且该最小值为点()0,1C 到直线224y x=-的距离，即()()min221453221PC--==+-，此时，22min min min541133PM PN PC⎛⎫==-=-=⎪⎝⎭，∴四边形PMCN面积的最小值为min11442212233PM CM⨯⋅=⨯⨯⨯=，故选A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．6.已知函数()sin()(0,0,0)2f x A wx Aπϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则3()4fπ=（）A.22- B.12- C. 1- D. 22【答案】C【解析】【分析】根据图像最低点求得A，根据函数图像上两个特殊点求得,ωϕ的值，由此求得函数()f x解析式，进而求得3π4f⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】根据图像可知，函数图像最低点为7π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，故2A=，所以()2sin()f x xωϕ=+，将点(7π3,,212⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x 解析式得2sin 37π2sin 212ϕωϕ⎧=⎪⎨⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得2π3ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3π3ππ2sin 21443f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.7.已知函数1()4sin cos 2f x x x =-，若()()f x a f x a -=-+恒成立，则实数a 的最小正值为（ ） A. 2π B. πC.2π D.4π 【答案】D 【解析】 【分析】先化简f (x ),分析出f (x )本身的最小正周期T ，再根据()()f x a f x a -=-+分析出用a 表示f (x )的最小正周期，最后根据两者相等，求得a 的最小正值． 【详解】由1()4sin cos 2f x x x =-，则1()2sin 22f x x =-，所以f (x )的最小正周期T=π 因为()()f x a f x a -=-+，则',()(2)x x a f x f x a =+=-+‘，令则，，这f (x )的最小正周期T=4a ,所以4a =π，所以实数a 的最小正值是4π，故答案选D 【点睛】本题主要考察带绝对值三角函数的的周期，同时要会通过函数满足的关系式，分析函数周期8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，12n n a S +=，则数列1{}na 的前20项和为（ ） A.1931223-⨯ B.1971443-⨯ C.1831223-⨯ D.1871443-⨯【答案】D 【解析】12n n a S +=，∴12n n a S -= 相减得()132n n a a n +=≥ 由11a =得出2212,3a a a =≠()21,123,2n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ，1n a =21,111,223n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩011812201111111......1......2333a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 191911113131111222313⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=+⋅-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦= 1871443-⨯ 故选D点睛：已知数列的n a 与n S 的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n 的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.9.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A.31+ B.31C.22D.51- 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥，又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=，即2222a ac c -= 所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212312e -==， 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题. 10.已知函数()sin 3f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π-B. 0C.3π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数2()sin 33sin()(f x a x x a x θθ==++为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+， 即23322a a +=+1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11.若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为()A. (,)e -∞B. (0,]eC. (,2)-∞D. (0,2]【答案】B 【解析】 【分析】利用函数求导函数 f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ），只有一个极值点时f ′（x ）＝0只有一个实数解，有e x ﹣kx ≥0，设新函数设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx ，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】解：函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点， f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ）， 若函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点，f ′（x ）＝0只有一个实数解， 则：e x ﹣kx ≥0， 从而得到：e x ≥kx ， 当k ＝0 时，成立．当k ≠0时，设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx如图：当两函数相切时，k ＝e ，此时得到k 的最大值，但k ＜0时不成立． 故k 的取值范围为：（0，e ] 综上：k 的取值范围为：[0，e ]故选B ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．12.双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°．若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝（ ） A. 1143+B. 1353+C. 163-D.19103-【答案】D 【解析】 【分析】设22BF m =，根据2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o，以及双曲线的性质可得212(33),2(23)AF a AF a ==，再根据勾股定理求得,a c 的关系式，即可求解.【详解】由题意，设22BF m =，如图所示，因为2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o， 由212AF AF a -=，所以132AF m a =-， 由212BF BF a -=，所以122BF m a =-，所以11AF BF AB +=3222m a m a m -+-=， 所以2(31)m a =，所以232(31)2(33)AF a a ==，12(33)22(23)AF a a a =-=， 在直角12F AF ∆中，222124AF AF c +=，即222224(33)4(23)4a a c +=，整理得22(19103)a c -=，所以22219103c e a==-故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．.二、填空题13.已知向量,,1,2a b a b ==v v v v，且210a b +=r r a b ⋅=r r ___________．【答案】12【解析】 【分析】把210a b +=r r1,2a b ==r r 代入，化简即可得结果. 【详解】因为1,2a b ==r r，所以222448410a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=vv v vv v v v12a b ∴⋅=v v ，故答案为12.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=r r r r ，二是1212a b x x y y ⋅=+r r，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=r r g r r g （此时a b r r g 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a r 在b r上的投影是a b b⋅r r r ；（3）,a b r r 向量垂直则0a b ⋅=r r ;(4)求向量ma nb +r r 的模（平方后需求a b ⋅r r ）.14.已知抛物线E ：212y x ＝的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与E 交于A ，B 两点，过A 作AM l ⊥，垂足为M ，AM 的中点为N ，若AM FN ⊥，则AB ＝___________. 【答案】16 【解析】 【分析】由题意画出图形，得到直线AB 的斜率，进一步求得直线AB 的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．【详解】AF AM =Q ，N 为AM 的中点，且FN AM ⊥，30AFN ∴∠=︒，则直线AB 的倾斜角为60︒，斜率为3．由抛物线212y x =，得(3,0)F ，则直线AB 的方程为3(3)y x =-．联立23(3)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得21090x x -+=．则10A B x x +=， ||16A B AB x x p ∴=++=．故答案为：16．【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，属于中档题．15.已知函数21()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为________ 【答案】(1,)-+∞ 【解析】【分析】先求导数，判断函数21()()2x f x x x e -=-的单调性，可得1x >时大致图象，利用数形结合求解.【详解】()10f x mx m -++Q „()(1)1f x m x ∴--„(1)1y m x =--Q 过定点(1,1)-Q 当1x >时，()10f x mx m -++≤有解∴当1x >时,存在()y f x =在(1)1y m x =--的下方，()21()2x f x x e -'=-Q令()0f x '=，解得2x =， 当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，()f x ∴在(1,2)上递减，在(2,)+∞上递增， Q 当2x >时，()0f x >，又(1)1,(2)1,(2)0f f f =-<-=，作函数()y f x =，(1)1y m x =--的大致图象：由图象可知：1m >-时满足条件， 故答案为：(1,)-+∞【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值、图象，直线过定点，数形结合，属于难题.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题17.如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60o 角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设BDE α∠=．（1）当60α=o 时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．【答案】（123；（2）333,82⎛ ⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）根据角度可确定四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形；利用ABC BDE CDF S S S ∆∆∆--即可求得结果；（2）利用正弦定理，用α表示出BE 和CF ，利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式可将BE CF +化简为()312sin 2301α+-+o，利用3090α<<o o 可求得BE CF +的范围；从而将所求面积表示为())33S BE CF α=+，进而得到所求范围. 【详解】（1）当60α=o 时，//DE AC ，//DF AB∴四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形又)2122sin 6032ABC S km ∆=⨯⨯⨯=o ，)21311sin 602BDE CDF S S km ∆∆==⨯⨯⨯=o ∴)23332km =（2）由题意知：3090α<<o o在BDE ∆中，120BED α∠=-o，由正弦定理得：()sin sin 120BE αα=-o在CDF ∆中，120CDF α∠=︒-，CFD α∠= 由正弦定理得：()sin 120sin CF αα-=o()()()()22sin 120sin sin 120sin sin sin 120sin 120sin BE CF αααααααα-+-∴+=+=--o o o o2222231533sin sin sin cos cos 24243131sin cos sin sin cos sin ααααααααααααα⎫++⎪+⎝⎭==⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭()23341112sin 2301313sin 2cos 21sin cos sin αααααα==+=+-+-++o3090α<<ooQ 30230150α∴<-<o o o ()1sin 23012α∴<-≤o ()352122sin 2301α∴≤+<-+o，即52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭()())133sin 6032ABC BDE CDF S S S S BE CF BE CF α∆∆∆∴=--=+=+o 52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Q )33333BE CF +∈⎝⎦即绿化面积()S α的取值范围为：3382⎛⎝⎦ 【点睛】本题考查解三角形知识的实际应用问题，涉及到正弦定理和三角形面积公式的应用、三角恒等变换中的两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式的应用；求解范围类问题的关键是能够构造出关于某一变量的函数，从而利用函数求值域的方法求得结果.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =，11b =，224a b +=.（1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若313T =，求5S .【答案】（1）12n n b -=；（2）5或75.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠，由已知条件求出q ，再写出通项公式；（2）由1313T =，求出q 的值，再求出d 的值，求出5S .【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠有()14d q ++=，即3d q +=.（1）∵()2127d q ++=，结合3d q +=得2q =，∴12n n b -=.（2）∵23113T q q =++=，解得4q =-或3，当4q =-时，7d =，此时55457752S ⨯=+⨯=； 当3q =时，0d =，此时5155S a ==.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S 一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.19.已知圆22:(2)(1)1D x y -+-=，点A 在抛物线2:4C y x =上，O 为坐标原点，直线OA 与圆D 有公共点.（1）求点A 横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA 过圆心D 时，过点A 作抛物线的切线交y 轴于点B ，过点B 引直线l 交抛物线C 于,P Q 两点，过点P 作x 轴的垂线分别与直线,OA OQ 交于,M N ，求证：M 为PN 中点.【答案】（1）)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）见证明【解析】 【分析】（1）设:OA l y kx =，联立抛物线，再利用圆D 与直线相交建立不等式，从而确定点A 横坐标的取值范围；（2）可先找到函数关系式，利用导数确定切线的斜率，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用韦达定理即可证明M 为PN 中点.【详解】解：（1）由题意直线OA 斜率存在且不为零，设:OA l y kx =2244A y kx x y xk =⎧⇒=⎨=⎩ ()2,1D 到:0OA l kx y -=22141031k k k -≤⇒≤≤+， 所以)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）当直线OA 过圆心()2,1D 时，()214,16,16,82A k x A k=== ()2402y x y y x y x'=>⇒=⇒=，所以1614AB x k y -='=， ()18164AB l y x -=-：即144y x =+， 所以()04B ，，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由214:,:2OA OQ l y x l y x y ==得22112,8M N y y y y y ==22441604y mx my y y x=+⎧⇒-+=⎨=⎩，所以1212416,y y y y m m +== ()222211121112124+=2164P N M y y y y y y m y y y y y y y m+=+===，即M 为PN 中点．【点睛】本题主要考查了直线与圆，抛物线的位置关系，切线问题等，综合性强，直线与圆的相关计算常考点到直线的距离公式，必须熟记.20.已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n ==∈N .（1）若10a =，23d π=，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，n T n b b +=，T 是不超过5的正整数，求T 的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S . 【答案】（1）33,22⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）23π或π；（3）3T =或4，3T =时，23n a n π=，33S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；4T =时，2n a n π=，{}0,1,1S =-【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b ，再根据周期性求解；（2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案；（3）分别令1T =，2，3，4，5进行验证，判断T 的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S 【详解】（1）Q 等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==， 所以集合3{S =03}． （2）Q 12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为23n a n π=，此时33,,022S ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭. ②当4T=时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0S =，1，1}-． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为2n a n π=，此时{}0,1,1S =-【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．21.已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+. 【答案】（Ⅰ）()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增.（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得函数的导数1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，结合图象，即可得出证明．【详解】（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知 由11()(1ln )1h x m x x x-'=++-且0m >可知， 当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<， 因此当1x e=时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->， 可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点，因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为22，且过定点2M . （1)求椭圆C 的方程；（2)已知直线1:()3l y kx k R =-∈与椭圆C 交于,A B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ？若存在，求出点P 的坐标和PAB ∆的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 2224155y x += (2)见解析 【解析】【分析】（1）本问考查了椭圆的离心率公式，以及椭圆的方程、性质，通过条件构建关于基本量,,a b c 的方程组，求解即可．（2）本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用条件以弦AB 为直径的圆恒过点P ，将几何关系代数化，利用韦达定理建立方程，判断方程是否有解．【详解】解：（1)由已知22222222522511142c e a a b c a b a b⎧==⎪⎧=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=⎪⎪+=⎩⎪⎩，椭圆C 的方程为2224155y x +=.（2)由221324155y kx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得229(24)12430k x kx +--=.① 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 方程①的两根， 1212221243,9(24)9(24)k x x x x k k ∴+==-++ 设(0,)P p ，则1122(,),(,)PA x y p PB x y p =-=-u u u r u u u r ，22121212121212112()()()()333p PA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p ⋅=+-++=+---+++u u u r u u u r 2222(1845)3624399(24)p k p p k -++-=+ 假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ，则PA PB ⊥u u u r u u u r ，即0PA PB ⋅=u u u r u u u r ，即222(1845)3624390p k p p -++-=对任意k ∈R 恒成立，22184503624390p p p ⎧-=∴⎨+-=⎩此方程组无解，∴不存在定点满足条件． 【点睛】本题的关键是将条件“以弦AB 为直径的圆恒过点P ”，几何关系代数化，和联立方程组得到的韦达定理联系起来，建立关于参数p 的方程．。
河北省衡水中学2021届高三第一学期中考试数学试卷(理科)
第1页（共1页）2020-2021学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。
1．（5分）集合M ＝{x |2x 2﹣x ﹣1＜0}，N ＝{x |2x +a ＞0}，U ＝R ，若M ∩∁U N ＝∅，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤12．（5分）若直线y ＝kx 与双曲线x 29−y 24=1相交，则k 的取值范围是（ ）A ．(0，23)B ．(−23，0)C ．(−23，23)D ．(−∞，−23)∪(23，+∞)3．（5分）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BD →=12BC →，则AD →•BD →的值为（ ） A ．−52B ．52C ．−54D ．544．（5分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣n ，正项等比数列{b n }中，b 2＝a 3，b n +3b n ﹣1＝4b n 2（n ≥2）n ∈N +，则log 2b n ＝（ ） A ．n ﹣1B ．2n ﹣1C ．n ﹣2D ．n5．（5分）已知直线ax +y ﹣1＝0与圆C ：（x ﹣1）2+（y +a ）2＝1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ）A ．17或−1 B ．﹣1 C ．1或﹣1 D ．16．（5分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a 2+b 2＝2014c 2，则2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)的值为（ ） A ．0B ．1C ．2013D ．2014第1页（共1页）7．（5分）已知点M （a ，b ）（ab ≠0）是圆C ：x 2+y 2＝r 2内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为bx ﹣ay ＝r 2，那么（ ） A ．l ⊥m 且m 与圆C 相切 B ．l ∥m 且m 与圆C 相切C ．l ⊥m 且m 与圆C 相离D ．l ∥m 且m 与圆C 相离8．（5分）若圆x 2+y 2﹣ax +2y +1＝0与圆x 2+y 2＝1关于直线y ＝x ﹣1对称，过点C （﹣a ，a ）的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ） A ．y 2﹣4x +4y +8＝0 B ．y 2﹣2x ﹣2y +2＝0 C ．y 2+4x ﹣4y +8＝0D ．y 2﹣2x ﹣y ﹣1＝09．（5分）平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，AB →•AD →=−1，点M 在边CD 上，则MA →•MB →的最大值为（ ） A ．2B ．2√2−1C ．5D ．√3−110．（5分）已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈[π6，π4]，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．[√22，√32] B ．[√22，1） C ．[√22，√3−1] D ．[√33，√63] 11．（5分）已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|P A |＝m |PB |，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．√5−12B ．√2+12C ．√2+1D ．√5−112．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足如下条件：①函数f （x ）的图象关于y 轴对称；②对任意x ∈R ，f （2+x ）﹣f （2﹣x ）＝0；③当x ∈[0，2]时．f （x ）＝x ；④函数f（n ）（x ）＝f （2n ﹣1•x ），n ∈N *，若过点（﹣1，0）的直线l 与函数f （4）（x ）的图象在[0，第1页（共1页）2]上恰有8个交点．则直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A ．（0，811） B ．（0，118） C ．（0，819） D ．（0，198）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。