微分中值定理的证明与应用

微分中值定理的证明与应用

B09030124 孙吉斌

一 中值定理及证明：

1. 极值的概念和可微极值点的必要条件:

定理 ( Fermat ) 设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导，若

点0x 为f 的极值点，则必有 0)(0='x f 罗尔中值定理：若函数f 满足如下条件：

（i ）f 在闭区间[a ，b]上连续；（ii ）f 在开区间（a ，b ）内可导；（iii ）

)()(b f a f =，

则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得f '（ξ）=0。

证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表

示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论

显然成立。

(ii)若m ＜ M ，则因 f (a)=f (b)，使得最大值M 与最小值m 至少有一个

在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件(ii) f 在点ξ处可导，

故由费马定理推知)(ξf '=0.

注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两

端点高度相等，则至少存在一条水平切线。

注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，

但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。

例如： ???????≤≤-≤≤-<=2

x 1,11x 2,01|x |,x F(x)x

易见，F 在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F （2）, 即罗尔定理的三

个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点 ξ, 满足 0)(='ξF

注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例

如：

?????=≠=0

x 0,0x ,sin x f(x)x 142在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，显然?????=-='0x 0,cos sin 2x sin 4x (x)f x 1x 1x 1232在（-1，1）内存在无限多个 n c =)(21z n n ∈π

使得)(n c f '=0。

2、拉格朗日（Lagrange ）中值定理：若函数 ?满足如下条件：i)?在闭区间[b a ,]

上连续；ii ）?在开区间(b a ,)内可导；则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得

a

b a f b f f --=')()()(ξ 证明此定理要构造辅助函数 )(x F ，使得)(x F 满足罗尔定理的条件（i ）-(iii)

且

a

b a f b f x f x F ---

'=')()()()(，从而推得b][a,x a),(x a b f(a)f(b)f(a)f(x)F(x)∈-----= 证明：作辅助函数a)(x a

b f(a)f(b)f(a)f(x)F(x)-----= 显然，F （a ）=F(b)（=0），且F 在[a ，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存

在点

ξ∈(a ，b)，使得0)()()()(=---'='a b a f b f f F ξξ 即 a b a f b f f --=')()()(ξ 注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理)()(b f a f =时的特例

注2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线)(x f y =上至少存在

一点))(,(ξξf P ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ，我们在

证明中引入的辅助函数)(x F ，正是曲线 )(x f y = 与直线AB,)()()()(a x a

b a f b f a f y ---+

=之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB 平行于新х轴（F （a ）=F

（b ））。

注3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同

时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，

也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。

注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价

形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：

),(),)(()()(b a a b f a f b f ∈-'=-ξξ

)1,0(),)](([)()(∈--+'=-θθa b a b a f a f b f

)1,0(,)()()(∈+'=-+θθh h a f a f h a f

注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：f 在

（a,b ）可导可以推出?在（a ，b ）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”

部分去掉，改成“函数)(x f 在（a ，b ）可导且)(x f 在a 右连续在b 左连续”这

样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。

3、拉格朗日中值定理的几个重要推论

推论1 函数)(x f 在区间I 上可导且)( ,0)(x f x f ?≡'为I 上的常值函数.

证明： 任取两点 I x x ∈21,（设21x x <），在区间 [21,x x ] 上应用拉格

朗日中值定理，存在 ξ∈（21,x x ）?I ，使得0))(()()(1212=-'=-x x f x f x f ξ

推论2 函数)(x f 和)(x g 在区间I 上可导且

,)()( ),()(c x g x f x g x f +=?'≡'

.I ∈x

推论3（导数极限定理）设函数f 在点0x 的某邻域U （0x ）内连续，在U °

（0x ）内可导，且极限)(lim 0x f x x '→存在，则f 在点0x 可导，且)(lim )(0

0x f x f x x '='→ 证明：分别按左右导数来证明上式成立

（1） 任取)(00x u x +∈，)(x f 在[x x o ,]上满足拉格朗日中值定理条件，则存

在

ξ),(x x o ∈，使得)()

()(00ξf x x x f x f '=--由于0x ＜ξ＜x ，因此当+→0

x x 时随之有ξ→+0x ，对上式两边取极限，使得

)0()(lim )()(lim )(000

000+'='=--='++→→+x f f x x x f x f x f x x x x ξ （2）同理可得)0()(00-'='x f x f 因为0lim x x →)(x f '=k 存在，所以

)0(0+'x f =)0(0-'x f =k ，从而k x f x f ='='-+

)()(00即k x f =')(0

注1°由推论3可知：在区间I 上的导函数)(x f '在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。

注2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。

推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数f 在闭区间],[b a 上可导, 且

,0)()(<''-+b f a f

.0)( ),,( ='?∈??ξξf b a ( 证 )

二 应用举例:

1可微函数单调性判别法：

1.1 一阶函数与单调性的关系：

(1) 设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗(或↘) ?在),(b a 内 0)(≥'x f ( 或0≤ ).

证 ?)

?) (证0)(≥'+x f .)

(2) 设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗↗( 或↘↘) ? ⅰ> 对),,(b a x ∈? 有0)(≥'x f ( 或)0≤; ⅱ> 在),(b a 内任子区间上.0)(≡/'x f

2 可微极值点判别法: 极值问题: 极值点, 极大值还是极小值, 极值是多少.

2.1 可微极值点的必要条件: Fermat 定理

函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.

2.2 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点.

(充分条件Ⅰ) 设函数)(x f 在点0x 连续, 在邻域) , (00x x δ-和) , (00δ+x x 内可导. 则

ⅰ> 在) , (00x x δ-内,0)(<'x f 在) , (00δ+x x 内0)(>'x f 时, ? 0x 为)(x f 的一个极小值点;

ⅱ> 在) , (00x x δ-内,0)(>'x f 在) , (00δ+x x 内0)(<'x f 时,? 0x 为)(x f 的一个极大值点;

ⅲ> 若)(x f '在上述两个区间内同号, 则0x 不是极值点.

(充分条件Ⅱ) 设点0x 为函数)(x f 的驻点且)(0x f ''存在.则

ⅰ> 当0)(0<''x f 时, 0x 为)(x f 的一个极大值点;

ⅱ> 当0)(0>''x f 时, 0x 为)(x f 的一个极小值点.

证法一 .)(lim )()(lim )(000000

x x x f x x x f x f x f x x x x -'=-'-'=''→→ 当0)(0<''x f 时, 在点0x 的某空心邻域内0

)(x x x f -')( ,0x f '?<与0x x -异号,…… 证法二 用Taylor 公式展开到二阶, 带Peano 型余项.

(充分条件Ⅲ ) 设0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n ,而0)(0)(≠x f n .则 ⅰ> n 为奇数时, 0x 不是极值点; ⅱ> n 为偶数时, 0x 是极值点. 且0)(0)(>x f n 对应极小; 0)(0)(

2.3 利用单调性证明不等式:

原理1: 若f ↗, 则对βα

例4 证明: 对任意实数a 和b , 成立不等式

.

1 ||1||||1

b b a a b a b a +++≤+++ 证 取?>+='≥+= ,0)1(1)( ).0( ,1)(2x x f x x x x f 在) , 0 [∞+内)(x f ↗↗. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即 ||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++. 不等式原理: 设函数)(x f 在区间) , [∞+a 上连续,在区间) , (∞+a 内可导, 且0)(>'x f ; 又 .0)(≥a f 则 a x >时, .0)(>x f (不等式原理的其他形式.)

2.4.1 凸性的定义及判定：

（1）凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续. 若对],[,21b a x x ∈?, 恒有

2)()(22121x f x f x x f +≥??? ??+, (或2)()(22121x f x f x x f +≤??? ??+. )

则称曲线)(x f y =在区间],[b a 上是凹(或凸)的. 若在上式中, 当21x x ≠时, 有严格不等号成立, 则称曲线)(x f y =在区间],[b a 上是严格凹(或严格凸)的. 凹和凸也分别称为

上凸和下凸.

(2) 凸性的几何意义: 倘有切线, 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向.

2.4.2 利用二阶导数判断曲线的凸向:

设函数)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数, 则在),(b a 内

⑴ )( ,0)(x f x f ?<''在),(b a 内严格上凸;

⑵ )( ,0)(x f x f ?>''在),(b a 内严格下凸.

该判别法也俗称为“雨水法则”.

证法一 ( 用Taylor 公式 ) 对),,(,21b a x x ∈? 设2

210x x x +=

, 把)(x f 在点

0x 展开成具Lagrange 型余项的Taylor 公式, 有 ,)(2

)())(()()(201101001x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ 202202002)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+

-'+=ξ. 其中1ξ和2ξ在1x 与2x 之间. 注意到 )(0201x x x x --=-, 就有

[]

20222011021))(())((21)(2)()(x x f x x f x f x f x f -''+-''+=+ξξ, 于是 若有?<'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f <+?< , 即)(x f 严格上凸.

若有?>'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f >+?> , 即)(x f 严格下凸.

证法二 ( 利用Lagrange 中值定理. ) 若,0)(>''x f 则有)(x f '↗↗, 不妨设21x x <,并设2

210x x x += ,分别在区间],[01x x 和],[20x x 上应用Lagrange 中值定理, 有

))(()()( ),,(10110011x x f x f x f x x -'=-?∈?ξξ,

))(()()( ),,(02202202x x f x f x f x x -'=-?∈?ξξ.

有),()( ,2122011ξξξξf f x x x '<'?<<<< 又由 00210>-=-x x x x ，? ))((101x x f -'ξ<))((022x x f -'ξ, ?)()()()(0210x f x f x f x f -<-， 即

??

? ??+=>+22)(2)()(21021x x f x f x f x f ， )(x f 严格下凸. 可类证0)(<''x f 的情况.

凸区间的分离: )(x f ''的正、负值区间分别对应函数)(x f 的下凸和上凸区间.

2.4.3 曲线的拐点: 拐点的定义.

例8 确定函数2

)(x xe x f -=的上凸、下凸区间和拐点.

解 f 的定义域为), , (∞+∞-

),21()(22x e x f x -='- 2)32(2)(2x e x x x f --=''. 令0)(=''x f , 解得 23 , 0 , 23321==-=x x x . 在区间) , 2

3 ( , ) 23 , 0 ( , ) 0 , 23 ( , ) 23 , (∞+--

∞-内f ''的符号依次为 +-+- , , , ， ?. 拐点为: .23 , 23 , ) 0 , 0 ( , 23 , 232323???

? ?????? ??---e e

倘若注意到本题中的)(x f 是奇函数, 可使解答更为简捷.

.

3 函数的最值: 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且仅有有限个可疑点 n x x x ,,,21 . 则

)(m a x ]

,[x f b a x ∈=max } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f ; m i n )(m i n ]

,[=∈x f b a x } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f . 函数最值的几个特例:

ⅰ> 单调函数的最值:

ⅱ> 如果函数)(x f 在区间],[b a 上可导且仅有一个驻点, 则当0x 为极大值点时, 0x 亦为最大值点; 当0x 为极小值点时, 0x 亦为最小值点.

ⅲ> 若函数)(x f 在R 内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点.

ⅳ> 对具有实际意义

则(或小)值点.

3.1 最值应用问题:

例17 A 、B 两村距输电线 和5.1长.3km . 现 两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长BE AE +最小.

解 设x ，并设输电线总长为)(x L .则有

.30 ,5.1)3(1)(222≤≤+-++=+=x x x EB AE x L 01 5.1)3(1

)3(5.1)3()(222222令

===+?+-+--+-='x x x x x x x L ?1)3(5.1)3(222+-=+-x x x x , .09625.1 2=-+?x x

解得 2.1=x 和 6-=x ( 舍去 ).