人教版九年级数学上册《圆》24.3 正多边形和圆
人教版初中九年级上册数学课件 《正多边形和圆形》圆课件
探究四：正多边形和圆的应用
练习：正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是
。
解：因为外角是20°，360÷20=18，则这个多边形是18边形。
【思路点拨】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和 求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握。
探究四：正多边形和圆的应用
活动2 提升型例题
解：如图，三角形的斜边长为a，
∴两条直角边长为，1 a
2
3a 2
∴S空白=1 a 3 a 3 a2
22 4
∵AB=a，
∴OC=，3 a
2
∴S正六边形6= 1 a 3 a 3 3 a2
22
2
∴S阴影=S正六边形﹣S空3白3=a2 3 a2 5 3 a2
2
4
4
S阴影
53 4
a2
5
S空白
3a
探究四：正多边形和圆的应用
例4.如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B
的坐标分别为（1，1），（-1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针
旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分
所形成的正八边形的边长为
。
【思路点拨】如图，首先求出正方形的边长、对角线长；进而求出OA′ 的长；证明△A′MN为等腰直角三角形，求出A′N的长度；同理求出D′M′ 的长度，即可解决问题。
探究一：从旧知识过渡到新知识
活动1 回顾旧知
观察下列图形，从这些图形中找出相应的正多边形。
（1）正六边形；（2）正八边形；（3）等边三角形；（4）正五边形。
探究一：从旧知识过渡到新知识
活动2 整合旧知
正多边形与圆有什么关系呢？
2023-2024学年九年级上数学：正多边形和圆(精讲教师版)
2023-2024学年九年级上数学：第24章圆
24.3
正多边形和圆
正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
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(部编)人教数学九年级上册《正多边形和 正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系》_31
24.3 正多边形和圆一．选择题（共12小题）1．在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（）A．B．5 C．D．52．下列关于圆的叙述准确的有（）①对角互补的四边形是圆内接四边形；②圆的切线垂直于圆的半径；③正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数；④过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，用一张圆形纸片完全覆盖边长为2的正方形ABCD，则该圆形纸片的面积最少为（）A．πB．C．2πD．4π4．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN 边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（）A．0.5 B．0.7 C．﹣1 D．﹣15．如图，点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，分别以点B、D、F为圆心，AF的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（）A．B．C．D．6．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2 B．1 C．D．7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（）A．AE∥BD B．AB=BF C．AF∥CD D．DF=8．如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形ADEH的面积等于20，则阴影部分的面积等于（）A．10 B．20 C．18 D．209．如图，分别把正六边形边AB、EF、CD向两个方向延长，相交于M、N、Q，则阴影部分与空白部分的面积比为（）A．B．C．D．10．如图，正六边形ABCDEF的中心与坐标原点0重合，其中A（﹣2，0）．将六边形ABCDEF绕原点O按顺时针方向旋转2018次，每次旋转60°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（）A．（1，）B．（，1）C．（1，）D．（﹣1，）11．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A．2cm B．cm C．cm D．1cm12．如图，圆O的内接正六边形的边长是12，则边心距是（）A．6 B．12 C．6 D．6二．填空题（共6小题）13．圆内接正三边形的边长为12cm，则边心距是cm．14．正六边形的边长为4cm，它的半径等于cm．15．一个半径为5cm的圆内接正六边形的面积等于．16．如图，有公共顶点A、B的正五边形和正六边形，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为．17．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，则∠OCB 的度数为度．18．如图，有一个正六边形图片，每组平行的对边距离为3米，点A是正六边形的一个顶点，现点A与数轴的原点O重合，工人将图片沿数轴正方向滚动一周，点A恰好落在数轴点A′上，则点A′对应的实数是．三．解答题（共6小题）19．如图，正五边形ABCDE的两条对角线AC，BE相交于点F．（1）求证：AB=EF；（2）若BF=2，求正五边形ABCDE的边长．20．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为；（2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．21．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．22．如图，⊙O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．（1）求圆心O到AF的距离；（2）求正六边形ABCDEF的面积．23．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．24．（1）已知△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN 相交于点Q，BM=C N，证明△ABM≌△BCN，并求出∠BQM的度数．（2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表：正多边形正方形正五边形正六边形…正n边形∠BQM的度数…参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：因为正六边形ABCDEF的中，BE=10，所以这个正六边形外接圆半径是，故选：B．2．【解答】解：对角互补的四边形是圆内接四边形，所以①准确；圆的切线垂直于过切点的半径，所以②错误；正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数，所以③准确；过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，所以④准确．故选：C．3．【解答】解：∵正方形的边长为2，∴正方形的对角线的长为2，∴正方形的外接圆的直径为2，∴正方形的外接圆的面积=2π，故选：C．4．【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是1或﹣1，故选：D．5．【解答】解：连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，∵点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，∴∠AOB=60°，又OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB=1，∠ABO=60°，∴OH==，∴“三叶轮”图案的面积=（﹣×1×）×6=π﹣，故选：B．6．【解答】解：因为圆内接正三角形的面积为，所以圆的半径为，所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°=，故选：B．7．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE=∠ABC=∠C=∠EDC=∠E==108°，BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=×（180°﹣∠C）=36°，∴∠ABD=108°﹣36°=72°，∴∠EAB+∠ABD=180°，∴AE∥BD，故本选项不符合题意；B、连接OA、OB，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB==72°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=（180°﹣72°）=54°，∵FA切⊙O于A，∴∠OAF=90°，∴∠FAB=90°﹣54°=36°，∵∠ABD=72°，∴∠F=72°﹣36°=36°=∠FAB，∴AB=BF，故本选项不符合题意；C、∵∠F=∠CDB=36°，∴AF∥CD，故本选项不符合题意；D、连接AD，过A作AH⊥DF于H，则∠AHF=∠AHD=90°，∵∠EDC=108°，∠CDB=∠EDA=36°，∴∠ADF=108°﹣36°﹣36°=36°=∠F，∴AD=AF，∴FH=DH，当∠F=30°时，AF=2AH，FH=DH=AH，此时DF=AF，∴此时∠F=36°时，DF≠AF，故本选项符合题意；故选：D．8．【解答】解：作出正方形MNQR，如图所示：△AMB中，AM=x，则BM=x，AB=x，正八边形的边长是x．则正方形的边长是（2+）x．根据题意得：x（2+）x=20，解得：x2=10（﹣1）．则阴影部分的面积是：2[x（2+）x﹣2×x2]=2（+1）x2=2（+1）×10（﹣1）=20．故选：B．9．【解答】解：由题意可得：空白部分为正六边形，阴影部分是三个全等的正三角形，它们的边长相等，由正六边形能够分割为6个全等的三角形，则阴影部分与空白部分的面积比为：=．故选：A．10．【解答】解：连接OB、OC、OE、OF，作EH⊥OD于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60°，∵将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，∴点A旋转6次回到点A，2018÷6=336 (2)∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2018次，与点E重合，在Rt△EOH中，OH=OE=1，EH=OH=∴顶点A的坐标为（1，），故选：A．11．【解答】解：∵正六边形的任一内角为120°，∴∠1=30°（如图），∴a=2cos∠1=，∴a=2．故选：A．12．【解答】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，∵此多边形是正六边形，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBG=30°，∴边心距OG=OB?sin∠OBG=12×=6；故选：D．二．填空题（共6小题）13．【解答】解：如图在正三角形ABC中，AB=BC=AC=12，作OH⊥BC于H，连接OB．∵OH⊥BC，∴BH=CH=6，在Rt△OBH中，OH=BH?tan30°=6×=2（cm），故答案为：2．14．【解答】解：∵此多边形为正六边形，∴∠AOB==60°；∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=4cm，故答案为：415．【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是5，因而面积是×5×=cm2，因而正六边形的面积cm2．故答案为cm2．16．【解答】解：正五边形的内角是∠ABC==108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∠ABE=∠E==120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°﹣120°﹣120°﹣36°=84°，故答案为84°．17．【解答】解：∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，∴OA⊥AE，OC⊥CD，∴∠OAE=∠OCD=90°，∵∠BCD=108°，∴OCB=108°﹣90°=18°故答案为18．18．【解答】解：如图作BH⊥OC于H．∵BC=BO，BH⊥OC，∴CH=HO=，在Rt△CBH中，∵cos30°=，∴CH=，由题意OA′=6BC=6，故答案为6．三．解答题（共6小题）19．【解答】解：（1）∵正五边形ABCDE，∴AB=AE，∠BAE=108°，∴∠ABE=∠AEB=36°，同理：∠BAF=∠BCA=36°，∴∠FAE=∠AFE=72°，∴AE=EF，∴AB=EF；（2）设AB=x，由（1）知；∠BAF=∠AEB，∵∠ABF=∠ABE，∴△ABF∽△EBA，∴，即，解得：（舍去），∴五边形ABCDE的边长为1+．20．【解答】解：（1）设此圆的半径为R，则它的内接正方形的边长为R，它的内接正六边形的边长为R，内接正方形和外切正六边形的边长比为R：R=：1；故答案为：：1；（2）BE是⊙O的内接正十二边形的一边，理由：连接OA，OB，OE，在正方形ABCD中，∠AOB=90°，在正六边形AEFCGH中，∠AOE=60°，∴∠BOE=30°，∵n==12，∴BE是正十二边形的边．21．【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长AB=OA=a；正六边形的周长=6AB=6a；∵OM=OA?sin60°=a，正六边形的面积S=6××a×a=a2．22．【解答】解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，∵⊙O的周长等于8πcm，∴半径OC=4cm，∵六边形ABCDE是正六边形，∴∠COD=60°，∴∠COH=30°，∴圆心O到CD的距离=4×cos30°=2，∴圆心O到AF的距离为2cm；（2）正六边形ABCDEF的面积=×4×2×6=24cm2．23．【解答】解：（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠BDE=∠DBF，∠BDC=∠ABD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=24．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=60°；（2）正方形ABCD中，由（1）得，△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=90°，同理正五边形ABCDE中，∠BQM=108°，正六边形ABCDEF中，∠BQM=120°，正n边形ABCD…中，∠BQM=，故答案为：90°；108°；120°；．。
人教版九年级数学上册圆《正多边形和圆(第1课时)》示范公开课教学设计
《正多边形和圆（第1课时）》教学设计1．了解正多边形和圆的关系；掌握正多边形的中心、半径、边心距等概念．2．掌握圆内接正多边形的相关计算及运用．3．学会与人合作、交流，体验数学在生产、生活中的广泛应用．了解正多边形的有关概念，并能进行相关计算．探索正多边形与圆的关系．知识回顾1．正三角形三条边都相等，三个角都相等．2．正方形四条边都相等，四个角都相等．3．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形．4．正多边形是轴对称图形；当边数为偶数时，正多边形也是中心对称图形．5．圆既是轴对称图形又是中心对称图形．新知探究一、探究学习【问题】观察这些图片，你看到了哪些正多边形？【师生活动】学生独立回答，教师给予肯定．教学目标教学重点教学难点教学过程【设计意图】感受生活中的正多边形，体会正多边形的美．【新知】正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．【问题】以正五边形为例，把⊙O 分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE ．如何证明这个五边形是圆内接正五边形呢？【师生活动】教师引导学生作答，然后给出正确答案．【答案】如图，把⊙O 分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE ．证明：∵AB BC CD DE EA ====，∴AB BC CD DE EA ====，3BCE AB CDA ==．∴A B ∠=∠， 同理B C D E ∠=∠=∠=∠．又五边形ABCDE 的顶点都在⊙O 上， ∴五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形．【设计意图】利用正多边形的性质探究正多边形和圆的关系，让学生利用所学知识展开想象，激发学生的好奇心，引入新知．【追问】正n 边形呢？【师生活动】教师组织学生在小组内有序交流，然后给出正确答案．【答案】由上题可知：3BCE AB CDA ==．当正多边形为正n 边形时，只需要将“3”换成“(n －2)”即可求证．【设计意图】通过对特殊问题的学习，让学生积极思考，用类比的方法分析、归纳出一个类型题目的思路．二、新知精讲（一）正多边形的相关概念【新知】圆中的元素和正多边形有什么关系呢？一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．【问题】找出下列正多边形的中心O，并标出正多边形的半径R、边心距r、中心角α．【师生活动】教师组织学生独立作答，然后统一给出正确答案．【答案】解：如图所示．【问题】（1）各边相等的多边形是正多边形吗？（2）各角相等的多边形是正多边形吗？【师生活动】教师组织学生在小组内有序交流，然后给出正确答案．【答案】解：（1）如图，菱形的各边相等，但是各角不相等，所以菱形不是正多边形，即各边相等的多边形不一定是正多边形．（2）如图，矩形的各角相等，但是各边不相等，所以矩形不是正多边形，即各角相等的多边形不一定是正多边形．【追问1】各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？【师生活动】教师引导学生作答，然后给出正确答案． 【答案】解：以四边形为例．已知：四边形ABCD 内接于⊙O ，且AB ＝BC ＝CD ＝DA ． 求证：四边形ABCD 是正四边形． 证明：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ．∵AB BC CD DA ===，∴AB BC CD DA ===． ∴2BCD AB CDA ==． ∴A B ∠=∠．同理，B C D ∠=∠=∠ ． ∴四边形ABCD 是正四边形．证明各边相等的圆内接n 边形是正n 边形时，只需要把“2BCD AB CDA ==”中的“2”换成“(n －2)”即可．【追问2】各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？ 【师生活动】教师引导学生作答，然后给出正确答案．【答案】解：如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，其中A B C D ∠=∠=∠=∠．∵AB ≠AD ，∴各角相等的圆内接四边形不一定是正四边形，即各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形．【设计意图】感受知识间的联系，学会利用所学知识解决新问题． （二）正多边形的相关计算【例1】已知正三角形的半径为R ，求它的边长、边心距和面积． 【师生活动】教师引导学生作答，然后给出正确答案． 【答案】解：由题意，画出示意图如图所示．由题意，得中心角3601203BOC ︒∠==︒，OB ＝OC ＝R ，∴30OBC ∠=︒． 在Rt △OBD 中，边心距12OD R =．根据勾股定理，得BD =，∴边长2BC BD ==．∴2113322ABC BOCSSR ==⨯⋅．【例2】已知半径为R 的圆内接正方形，求该正方形的边长、边心距和面积． 【师生活动】教师引导学生作答，然后给出正确答案． 【答案】解：由题意，画出示意图如图所示．由题意，得中心角360904AOB ︒∠==︒，OA ＝OB ＝R ，∴45OAB ∠=︒，AC ＝OC ．在Rt △OAC 中，根据勾股定理，得边心距OC ＝AC ，边长AB =．∴面积222S R ==）．【归纳】1．正n 边形的角的有关计算：中心角＝360n︒． 2．正n 边形的边心距、周长及面积的计算：如图，设正n 边形的边长为a ，外接圆半径为R ，则边心距r =，周长l na =，面积1122S nar lr ==．【例3】如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m 的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．【师生活动】教师引导学生将实际问题转化为数学问题作答，然后给出正确答案． 【答案】解：如图，连接OB ，OC ，作OP ⊥BC ，垂足为P ．∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠BOC ＝3606︒＝60︒，OB ＝OC ． ∴△BOC 是等边三角形．∴OB ＝BC ＝OC ＝4 m ． ∴地基的周长6424m l =⨯=()． 在Rt △OPC 中，OC ＝BC ＝4 m ，PC ＝12BC ＝2 m ．由勾股定理，可得边心距r ==m ）．地基的面积112441.622S lr ==⨯⨯≈(m 2)．【设计意图】引导学生将所求问题一步步转化为由已知可得出的结论，从而找到解题的入手点和整个解题思路．【问题】正n 边形的内角的度数是多少？中心角的度数如何计算？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？【师生活动】学生先独立思考，然后小组内交流，每组派出代表发言，最后教师引导学生归纳．【答案】解：如图．三角形的内角为60︒，中心角为120︒，外角为120︒； 正方形的内角为90︒，中心角为90︒，外角为90︒； 正六边形的内角为120︒，中心角为60︒，外角为60︒． ……由此推出：正n边形的内角为2180n n -︒()，中心角为360n ︒，外角为360n︒， 即正多边形的中心角和外角相等．【设计意图】通过观察、思考、交流、归纳，锻炼学生分析概括的能力．课堂小结板书设计一、正多边形的相关概念 二、正多边形的相关计算完成教材第108页习题24.3第1～3题．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________课后任务教学反思_______________________________________________________________________________。
人教版数学九年级上册2正多边形和圆课件
探究新知
你能用尺规作出正六边形、正三角形、 正十二边形吗？
F
E
A
O·
D
B
C
以半径长在圆周上截取 六段相等的弧，依次连结各 等分点，则作出正六边形.
先作出正六边形，则可 作正三角形，正十二边形， 正二十四边形………
探究新知
例题
有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形，
求地基的周长和面积（精确到0.1平方米）.
∴∠P=∠Q PQ=2PA
同理∠Q=∠R=∠S=∠T
QR=RS=ST=TP=2PA
又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，
∴五边形PQRST的是O外切正五边形。
AT
E O
S
D R
PART THREE
03 课堂练习 c l a s s e x e r c i s e
解: 由于ABCDEF是正六边形，所以 F
E
它的中心角等于360 60， 6
OBC是等边三角形，从而正 A 六边形的边长等于它的半径.
..O
D
rR
∴亭子的周长 L=6×4=24(m) B
在RtOPC中，OC 4，PC BC 4 2
P
C
22
根据勾股定理，可得边 心距r 42 22 2 3
边心距r R2（ a）2 ， 2
面积S 1 L • 边心距（r） 1 na • 边心距（r）
2
2
探究新知
内接正多边形与外接圆的联系
A
D
B
正多边形
C
外接圆
多边形的边相等 弦相等 多边形的角相等 圆周角相等
探究新知
把正n边形的边数无限增多， 正多边形就接近于圆圆.
由圆怎样得到 正多边形？
正多边形和圆--正多边形的有关概念课时训练课件人教版数学九年级上册
【点拨】
如图，由图形的对称性可得， AM＝MN＝BN＝13AB＝9(厘米)， ∴正六边形的周长为 9×6＝54(厘米)．
2 【2023·青岛】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，
点M在A⌒B上，则∠CME的度数为( )
A．30° B．36° C．45° D．60°
【点拨】
如 图 ， 连 接 OC ， OD ， OE ， 由 正 六 边 形 的 性 质 得 出 ∠ COE ＝ 120°，由圆周角定理求出∠CME＝60°.
(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比． 解：如图①，连接AE，BD. 易知∠FAE＝∠FEA＝30°， ∴∠BAE＝∠BAF－∠FAE＝120°－30°＝90°. 同理可得∠ABD＝∠BDE＝90°， ∴四边形ABDE为矩形．
当 t＝0 s 时，点 P 与 A 重合，点 Q 与 D 重合，四边形 PBQE 即为矩形 ABDE. 连接 OA，BE，则 BE 过点 O，如图①， ∴BE＝2BO＝12 cm. ∴AE＝ 122－62＝6 3(cm)． ∴矩形 ABDE 的面积为 AB·AE＝6×6 3＝36 3(cm2)．
人教版 九年级上
第二十四章 圆
24.3正多边形和圆 正多边形的有关概念课时训练
1 跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的 示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等 边三角形DEF组合而成的，它们重叠部分的图形为正 六边形，若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为 ____5_4___厘米．
在 Rt△ OBD 中，∠OBD＝30°，∴OB＝2OD. ∵OB2＝OD2＋BD2，∴(2OD) S△ABC＝3×12BC×OD＝3×12×2 3×1＝3 3. ∴此正三角形的半径是 2，边心距是 1，面积是 3 3.
广东省肇庆市高要区金利镇朝阳实验学校九年级数学上册人教版教案：24.3正多边形和圆
二、核心素养目标
1.让学生理解正多边形的定义和性质，培养几何直观和空间想象能力；
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学应用意识；
3.通过对正多边形与圆的关系的学习，提升学生的推理能力和几何逻辑思维；
4.引导学生发现正多边形和圆的对称美，培养审美情趣和创新能力；
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正多边形和圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论后的成果分享环节，我发现学生们能够较好地表达自己的观点，但有时候在逻辑性和条理性上还有所欠缺。这提醒我在今后的教学中，除了关注学生的数学知识掌握情况，还需要加强他们的表达能力和逻辑思维训练。
总的来说，这节课的教学让我深刻认识到，作为教师，我需要不断调整和优化教学方法，以适应不同学生的学习需求。同时，我也需要关注学生的全面发展，帮助他们不仅在数学知识上取得进步，在思维能力、沟通能力等方面也能够得到提升。通过这次教学反思，我相信在未来的教学中，我能够更好地指导学生，一起探索数学的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正多边形的性质和正多边形与圆的关系这两个重点。对于难点部分，如正多边形内角和的推导，我会通过举例和图形演示来帮助大家理解。
24.3正多边形和圆知识梳理与同步练习人教版2024—2025学年九年级上册
24.3正多边形和圆知识梳理与同步练习人教版2024—2025学年九年级上册知识点1 正多边形的相关概念（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
（2）正多边形和圆：把一个圆n等分，依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
（3）正多边形是对称图形。
当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（4）与正多边形有关的概念：正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心；正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径；正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。
正n边形的每个中心角都等于360/n，正n边形的每个内角都等于【（n-2）×180】/n.正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一条边的距离。
例题1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化例题2.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 例题3.正n边形是对称图形，它的对称轴有条。
例题4.正n边形的每个内角是，每个中心角是。
例题5.如图，已知正六边形的外接圆半径为4，求这个正六边形的边长、周长、面积．知识点2 正多边形的计算1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心；2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角；3.在正n 变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n 边形分成n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n 边形的半径，底边是正n 边形的边，顶角是正n 边形的中心角；底边上的高是正n 边形的内切圆的半径，它的长是正n 边形的边心距；注：正多边形半径R 和边长a 、边心距r 之间的数量关系式例题 6.司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O ，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A ～H ），过点E 作⊙O 的切线与AG 的延长线交于点M ，连接EG ．（1）相邻两个方位 间所夹的圆心角的度数为 ．（2）求AG 的长．（3）求ME 的长．2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a r R例题7.如图，在正六边形ABCDEF中，P是BC的中点，点Q在CD上，且CQ ＝1，DQ＝3，求∠APQ的度数．例题8.正六边形ABCDEF的边长为4，求对角线AC的长和正六边形的面积．例题9.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．（1）求证：BM＝CM；（2）连接OB、OM，求∠BOM的度数．课堂同步练习1.一个正方形、一个正五边形和一个正六边形组成了如图所示的图形，则∠ABF的度数为（）A．18°B．20°C．22°D．24°2．如图，点A，B，C，D，E，F是圆O上的六等分点，已知圆O的半径是2．则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．3．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（）A．1B．3C．πD．2π4．如图，等边三角形ABC和正方形DEFG均内接于⊙O，若EF＝2，则BC的长为（）A．B．C．D．5．下列说法正确的是（）A．经过三个不同的点可以画一个圆B．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧C．每条边都相等的圆内接多边形是正多边形D．如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等6．如图，正六边形螺帽的边长是a cm，这个扳手开口的距离是3cm，a的值是（）A．B．C．D．17．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为.8．如图，边长为1的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为.（结果保留π）9．如图，已知正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC的度数为°．10．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为．11．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°，∠C度数是．12．在一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形的每一个外角的度数．13．如图，正六边形ABCDEF的半径为5．（1）求对角线AC的长；（2）求这个正六边形的周长与面积．14．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AC，BD交于点F．（1）求证：AB＝AF．（2）若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积（结果精确到0.1，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．15．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F．（1）求∠CAD的度数．（2）已知AB＝2，求DF的长．16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则（1）⊙O的直径长为；（2）△AMN周长的最小值是．。
2正多边形和圆上课(共31张)PPT课件(人教版)
CF
E D
想一想：
正n边形的一个内角的
(n 2)180
度数是______n______;
360
中心角是_____n______;
正多边形的中心角与外角的 大小关系是__相__等____.
A BOE
CF D
中心角与内角互补.
例 有一个亭子,它的地基半径为4 m的正六边形, 求地基的周长和面积(精确到0.1 m2). 解: 如图由于ABCDEF是正六边
知识点3 有关正多边形的作图
怎样画一个正多边形呢？
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三
角形. A
①用量角器度量，使∠AOB=
120° ∠BOC=∠COA=120°．
O
②用量角器或30°角的三角板度
C
B 量，使∠BAO=∠CAO=30°．
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、 正六边形吗？
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个 圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接 正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
A
B
E
O·
C
D
我们以圆的接正五边形为例证明.
如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点
得到正五边形ABCDE.
∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A
A
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
2.如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个
多边形的中心角等于( A )
A.36°
B.18°
C.72°
D.54°
3.如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角
板的角，借助点O(使直角的顶点落在点O处)，把这个
正六边形的面积n等分，那么n的所有可能
九年级上册数学教案《正多边形和圆》
九年级上册数学教案《正多边形和圆》教材分析正多边形是生活中的常见图形，而且正多边形和圆的关系密切，只要把圆分成若干相等的弧，都可以得到这个圆的圆内接正多边形。
本节课还需学生理解正多边形半径和中心、边心距、中心角的概念，进而掌握利用等分圆周的方法画出任意正多边形，体现了正多边形与圆的关系。
学情分析九年级的学生正处于思维能力培养的重要时期，他们已经具备一定的归纳、猜想能力，但个别学生在理解、应用上还须借助老师、同学的帮助，通过教师的指导和同伴的帮助，也会有所收获，教师要给予个别学生关照以及适当的精神激励，让学生逐步树立自尊心与自信心，从而完成自己的学习任务。
教学目标1、了解正多边形和圆的有关概念。
2、理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。
3、利用等分圆周的方法画出任意正多边形，会利用尺规作图的方法画特殊正多边形。
教学重点正多边形和圆中心、正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
教学难点会用量角器等度量工具，等分圆心角，等分圆周，作正多边形，准确作图。
教学方法讲授法、谈话法、讨论法、练习法教学过程一、导入新课1、观察下列图形，它们有什么特点？他们都是各边相等，各角相等的多边形。
2、我们在日常生活中经常能看到这些图形，你还能找到类似的图形吗？正三角形、正方形、正五边形、正六边形……3、正n 边形是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？阐述正多边形的对称性。
（1）正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴。
（2）只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
二、讲解新知1、正多边形和圆的关系非常密切，把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
以圆内接正五边形为例证明。
如图，已知⊙O 。
（1）用量角器把⊙O 五等分，依次连接各等分点，得五边形ABCDE 。
（2）五边形ABCDE 是正五边形吗？为什么？如图，点A 、B 、C 、D 、E 把⊙O 五等分。