北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合检测题及答案

1 第一章单元测试卷 (时间：100分钟满分：120分) 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列性质中菱形不一定具有的性质是(C) A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直

C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形

2. 下列命题中，真命题是(D) A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形

C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形

3. 菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为(C)

A．2 B.3 C．1 D.12

4. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成(C) A．22.5°角 B．30°角 C．45°角 D．60°角

,第5题图) ,第6题图) ,第7题图) 5. 如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是(C) A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形

C．可能是轴对称图形 D．当AC＝BD时它是矩形

6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6 cm，8 cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是(B)

A.485 cm B.245 cm C.125 cm D．53 cm 7. 如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是(D) A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形

B．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形

C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形

D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形

8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为(C) A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8 2

,第8题图) ,第9题图) ,第10题图) 9. 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是(D)

A.12 B.33 C．1－33 D.2－1

10. 如图，点E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，点P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ＋PR的值为(D)

A.22 B.12 C.32 D.2

二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分) 11. 已知菱形的周长是20 cm，一条对角线长为8 cm，则菱形的另一条对角线长为6cm. 12. 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB＝BC(答案不唯一)，使其成为正方形．(只填一个即可) 13. 如图，点E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝30°.

,第13题图) ,第15题图) ,第16题图) 14. 直角三角形斜边上的高与中线分别是5 cm和6 cm，则它的面积是30cm2. 15. 如图，矩形ABCD的对角线BD的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OA，已知AB＝5，BC＝12，则四边形ABEO的周长为20. 16. 如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4…在射线OM上，依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝2n＋1. 三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分) 17. 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的点，求证：AE＝CE. 3

证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE.在△ABE和△CBE中，AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，，∴△ABE≌△CBE(SAS)，∴AE＝CE

18. 如图，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4，周长为40 cm，求菱形的高及面积．

解：∵BD∶AC＝3∶4，∴设BD＝3x，AC＝4x，∴BO＝3x2，AO＝2x，又∵AB2＝BO2＋AO2，∴AB＝52x，∵菱形的周长是40 cm，∴AB＝40÷4＝10(cm)，即52x＝10，∴x＝4，∴BD＝12 cm，AC＝16 cm，∴S菱形ABCD＝12BD·AC＝12×12×16＝96(cm2)，又∵S菱形ABCD＝AB·h，∴h＝9610＝9.6(cm)，菱形的高是9.6 cm，面积是96 cm2

19. 如图，在矩形ABCD中，点E为AD边上一点，EF⊥CE，交AB于点F，若DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF，求AE的长．

解：∵EF⊥EC，∴∠1＋∠3＝90°.∵在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.又∵EF＝EC，∴△EFA≌△CED(AAS)，∴AE＝CD.设AE＝x，则DC＝x.由矩形的周长为16得2x＋2＝8，∴x＝3，即AE的长为3

四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分) 20. 如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB. (1)求证：平行四边形ABCD是矩形； (2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形． 4

解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形 (2)AB＝AD(或AC⊥BD答案不唯一)．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形(或：∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形)

21. 如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E. (1)求证：△DCA≌△EAC； (2)只需添加一个条件，即AD＝BC(答案不唯一)，可使四边形ABCD为矩形，请加以证明．

解：(1)在△DCA和△EAC中，DC＝EA，AD＝CE，AC＝CA，∴△DCA≌△EAC(SSS) (2)添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形．理由：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，由(1)知△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°，∴四边形ABCD为矩形

22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE的延长线上，且AF＝CE＝AE. (1)求证：四边形ACEF是平行四边形； (2)当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．

解：(1)由题意知∠FDC＝∠DCA＝90°，∴EF∥CA，∴∠AEF＝∠EAC.∵AF＝CE＝AE，∴∠F＝∠AEF＝∠EAC＝∠ECA.又∵AE＝EA，∴△AEC≌△EAF，∴EF＝CA，∴四边形ACEF是平行四边形 (2)当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．理由：∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴

AC＝12AB.∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE.∵AE＝CE，∴AE＝BE＝CE＝12AB，∴AC＝CE，由(1)得四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形

五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分) 5

23. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF. (1)求证：BE＝BF； (2)若∠ABE＝20°，求∠BFE的度数； (3)若AB＝6，AD＝8，求AE的长．

解：(1)由题意得∠BEF＝∠DEF.∵四边形ABCD为矩形，∴DE∥BF，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF (2)∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABF＝90°；而∠ABE＝20°，∴∠EBF＝90°－20°＝70°；又∵∠BEF＝∠BFE，∴∠BFE的度数为55° (3)由题意知

BE＝DE；设AE＝x，则BE＝DE＝8－x，由勾股定理得(8－x)2＝62＋x2，解得x＝74，即AE的

长为74

24. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF. (1)求证：AE＝DF； (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

解：(1)∵∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF (2)能，理由：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即60－4t＝2t，解得t＝10，∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形 (3)①当∠DEF＝90°时，由(1)知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE

＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝12AE＝t，又AD＝60－4t，即60－4t＝t，解得t＝12；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得t＝152；③若∠EFD＝90°，则E与B重合，

D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t＝152 s或12 s时，△DEF为直角三角形

25. 已知正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，连接AE，BF相交于点H，且AE⊥BF.

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(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测卷(答案解析)(4)

一、选择题1．在一个四边形ABCD 中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线AC 与BD 需要满足的条件是（）A ．垂直B ．相等C ．垂直且相等D ．不再需要条件 2．如图，顺次连接四边形ABCD 各边的中点得到四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为菱形，应添加的条件是( )A ．AB ∥DCB ．AB ＝DC C ．AC ⊥BD D ．AC ＝BD3．如图，边长为,a b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（）A ．140B ．70C ．35D ．244．下列命题是假命题的是（）A ．有一组邻边相等的矩形是正方形B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C ．对角线相等的平行四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形 5．菱形ABCD 中，60D ∠=︒．点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且BE CF =．若2EF =，则AEF 的面积为（）．A ．3B ．33C ．23D 36．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA OC =，OB OD =．若要使四边形ABCD 为矩形，则可以添加的条件是（）A ．60AOB ∠=︒ B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．AB BC = 7．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG ⊥CE 于点G ，CD =AE ．若BD =6，CD =5，则△DCG 的面积是（）A ．10B ．5C ．103D ．538．如图，正方形ABCD 的边长为3，点P 为对角线AC 上任意一点，PE BC ⊥，PQ AB ⊥，垂足分别是E ，Q ，则PE PQ +的值是（）A ．32B ．3C 32D ．329．给出下列命题，其中错误命题的个数是（）①四条边相等的四边形是正方形；②四边形具有不稳定性；③有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④一组对边平行的四边形是平行四边形．A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，16BC =，F 是线段DE 上一点，连接AF 、CF ，4DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度是（）A ．6B ．8C ．10D ．1211．如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②AD=2AE ；③ACD OGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG ：⑥若1OGF S ∆=，则正方形ABCD 的面积是642+，其中正确的结论个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．如图，菱形ABCD 的边长是5，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（）A ．221B ．421C ．12D ．24二、填空题13．如图，以AB 为边作边长为8的正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ ＝8，若点P 从点A 出发，沿A →B →C →D 的线路，向D 点运动，点Q 只能在线段AD 上运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长为_____．14．如图，两个长宽分别为7cm 、3cm 的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是________．15．D 为等腰Rt △ABC 斜边BC 上一点（不与B 、C 重合），DE ⊥BC 于点D ，交直线BA 于点E ，作∠EDF ＝45°，DF 交AC 于F ，连接EF ，BD ＝nDC ，当n ＝__________时，△DEF 为等腰直角三角形．16．如图，点E 是矩形ABCD 内任一点，若4AB =，7BC =．则图中阴影部分的面积为__________．17．如图，正方形ABCD 中，AB=2，AC ，BD 交于点O ．若E ，F 分别是边AB ，BC 上的动点，且OE OF ⊥，则△OFF 周长的最小值是________________；18．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE AC ⊥于点E ，DF 平分ADC ∠，交EB 的延长线于点F ，3BC =，6CD =，则BE BF=_________．19．如图，正方形ABCD 的边长为8，点E 为边BC 的中点，点P 在对角线BD 上移动，则PE +PC 的最小值是_____．20．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，且60CFE ∠=︒．将四边形BCFE 沿EF 翻折，得到B C FE ''，点C '恰好落在AD 边上，B C ''交AB 于点G ，则GE 的长是_______．三、解答题21．如图1，点E 为正方形ABCD 内一点，90AEB =︒∠，现将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，得到CBE '△（点A 的对应点为点C ），延长AE 交CE '于点F ．（1）如图1，求证：四边形BEFE '是正方形；（2）连接DE ．①如图2，若DA DE =，求证：F 为CE '的中点；②如图3，若15AB =，3CF =，试求DE 的长．22．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD ，BC 的中点，G ，H 分别是BD 、AC 的中点，依次连接E ，G ，F ，H ．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）当AB=CD 时，EF 与GH 有怎样的位置关系？请说明理由；（3）若AB=CD ，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF= °．23．如图，在△ABC 中，已知AB=AC ，∠BAC=90°，BC=12cm ，直线CM ⊥BC ，动点D 从点C 开始以每秒4cm 的速度运动到B 点，动点E 也同时从点C 开始沿射线CM 方向以每秒2cm 的速度运动．（1）问动点D 运动多少秒时，△ABD ≌△ACE ，并说明理由；（2）设动点D 运动时间为x 秒，请用含x 的代数式来表示△ABD 的面积S ；（3）动点D 运动多少秒时，△ABD 与△ACE 的面积比为4：1．24．已知：如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，E 、F 分别是线段BM 、CM 的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）当AB ：AD 的值为多少时，四边形MENF 是正方形？请说明理由．25．如图，在ABC 中，已知105BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG CE 于点G ，且42AC =（1）求AB 的长；（2）求证：CG EG ．26．已知：如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且CE BF =，连接DE 、CF ，两线相交于点P ，过点E 作EG DE ⊥，且EG DE =，连接FG ．（1）若5DE =，求FG 的长．（2）若点E 、F 分别是BC 、AB 延长线上的点，其它条件不变，试判断FG 与CE 的关系，并予以证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH 为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH ＝90°，又EF 为三角形ABD 的中位线，根据中位线定理得到EF 与DB 平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO＝90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC 平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD＝90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．【详解】解：如图，∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝90°，又∵点E、F、分别是AD、AB边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH＝∠OMH＝90°，又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH＝∠COB＝90°，即AC⊥BD．故选：A．【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．2．D解析：D【分析】连AC，BD，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=12AC；HG∥AC，HG=12AC，即有四边形EFGH为平行四边形，当AB∥DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形；当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形．【详解】解：连AC ，BD ，如图，∵E 、F 、G 、H 为四边形ABCD 各中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC ；HG ∥AC ，HG=12AC ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，要使四边形EFGH 为菱形，则EF=EH ，而EH=12AC ， ∴AC=BD ．当AB ∥DC 和AB=DC ，只能判断四边形EFGH 为平行四边形，故A 、B 选项错误；当AC ⊥BD ，只能判断四边形EFGH 为矩形，故C 选项错误；当AC=BD ，可判断四边形EFGH 为菱形，故D 选项正确．故选D ．【点睛】本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．3．B解析：B【分析】由矩形的周长和面积得出7a b +=，10ab =，再把多项式分解因式，然后代入计算即可．【详解】根据题意得：1472a b +==，10ab =， ∴22a b ab +()10770ab a b =+=⨯=；故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、分解因式、矩形的周长和面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．4．B解析：B【分析】根据特殊平行四边形的判定与性质可以对各选项的正误作出判断．【详解】由平行四边形的性质及特殊平行四边形的判定可以得到：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，故A正确；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误；（3）对角线相等的平行四边形是矩形，故C正确；（4）有三个角是直角的四边形是矩形，故D正确．故选B．【点睛】本题考查特殊平行四边形的应用，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．5．D解析：D【分析】先证明△ABE≌△ACF，推出AF＝AE，∠EAF＝60°，得到△AEF是等边三角形，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠D=∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵AC是菱形的对角线，∴∠ACF1=∠DCB＝60°，2∴∠B=∠ACF，∵AB=AC，BE=CF，∴△ABE≌△ACF，∴AF＝AE，∠BAE=∠CAF，∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC，即∠EAF＝∠BAC=60°，∴△AEF是等边三角形，∵EF＝2，∴S△AEF=×22=故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是证明全等三角形得到△AEF是等边三角形，牢记等边三角形面积公式是解题关键．6．B解析：B【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定定理和矩形的判定定理逐一分析即可．【详解】∵在四边形ABCD 中， OA OC =，OB OD =∴四边形ABCD 是平行四边形若添加60AOB ∠=︒，无法判断，故A 不符合题意；若添加AC BD =，则四边形ABCD 是矩形，故B 符合题意；若添加AC BD ⊥，则四边形ABCD 是菱形，故C 不符合题意；若添加AB BC =，则四边形ABCD 是菱形，故D 不符合题意；故选B ．【点睛】此题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握平行四边形的判定定理、矩形的判定定理和菱形的判定定理是解决此题的关键．7．B解析：B【分析】作EF ⊥BC 于F 点，首先结合直角三角形中“斜中半”定理可求得△ABD 中AB 的长度，从而结合勾股定理求出AD 的长度，再根据中位线定理可得EF 的长度，然后进一步判定△EDC 为等腰三角形，并根据“三线合一”的性质推出12DCG EDC S S =△△，最后根据12EDC S CD EF =△求解即可．【详解】∵AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，∴△ABD 为直角三角形，E 为斜边AB 上的中点，∴AE=BE=DE ，∵CD =AE ，CD =5，∴AB=2AE =10，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得：AD =∴AD =8，作EF ⊥BC 于F 点，则EF 为△ABD 的中位线， ∴142EF AD ==，又∵CD=ED ，DG ⊥CE 于点G ， ∴△EDC 为等腰三角形，12DCG EDC S S =△△， ∵11541022EDC S CD EF ==⨯⨯=△， ∴11052DCG S =⨯=△，故选：B．【点睛】本题主要考查直角三角形中“斜中半”定理，中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质综合问题，灵活运用“斜中半”定理求出三角形的边长是解题关键．8．B解析：B【分析】证明四边形PQBE是矩形得PE=QB，证明△PEC是等腰直角三角形得PQ=BE便可求得结果【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∠BCD=45°∴∠ABC=90°，∠ACB=12∵PE⊥BC，PQ⊥AB，∴四边形PQBE是矩形，∴PQ=BE∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠PCE=45°，又∠PEC=90°∴△PEC是等腰直角三角形∴PE=CE∴PE+PQ=CE+BE=BC=3．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的判定，关键是证明PE=CE，PQ=BE．9．C解析：C【分析】利用正方形的判定、直角三角形全等的判定、平行四边形的判定定理对每个选项依次判定解答．【详解】①四条边相等的四边形是菱形，故①错误；②四边形具有不稳定性，故②正确；③两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，两个锐角对应相等，因此构成了AAA ，不能判定全等，故③错误；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故④错误；综上，错误的命题有①③④共3个．故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定、平行四边形的判定及直角三角形全等的判定．10．D解析：D【分析】先证得DE 是△ABC 的中位线，求出DE=8，及EF=6，再根据90AFC ∠=︒证得AC=2EF 求出答案．【详解】∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE=12BC=8， ∵4DE DF =，∴DF=2，EF=6，∵90AFC ∠=︒，AE=CE ，∴AC=2EF=12，故选：D ．【点睛】此题考查三角形中位线的判定及性质定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟练掌握各定理并运用解决问题是解题的关键．11．B解析：B【分析】由题意易得AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，△ADE ≌△FDE ，则有BE =，进而可得四边形AEFG 是平行四边形，然后根据等腰直角三角形的性质及线段的等量关系可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，∵折叠正方形ABCD ，∴△ADE ≌△FDE ，∴∠ADE=∠FDE=22.5°，AD=DF ，AE=FE ，∠EFD=∠DAE=90°，故①正确；∴△EFB 是等腰直角三角形，∴BE =， ∴AD AB AE ==+，故②错误；由图可直接判定③错误；∵∠EFB=∠AOB=90°，∴OA ∥EF ，由折叠的性质可得：∠GFO=∠DAO=45°，∴∠GFO=∠ABO=45°，∴GF ∥AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∵AE=AF ，∴四边形AEFG 是菱形，故④正确；∵∠GFO=45°，∠AOB=90°，∴△GOF 是等腰直角三角形， ∴EF GF ==，∴2BE OG =，故⑤正确； ∵2112OGF S OG ∆==， ∴OG =∴2BE EF AE ===， ∴2AB =，∴()22212ABCD S AB ===+正方形⑥错误；∴正确的有三个；故选B ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 12．A解析：A【分析】连接AC 、BD ，由菱形的性质得出5AB =，122OB OD BD ===，OA OC =，AC BD ⊥，由勾股定理求出OA ，得出AC =性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．【详解】解：连接AC 、BD ，如图所示：菱形ABCD 的边长是5，O 是两条对角线的交点，4BD =，5AB ∴=，122OB OD BD ===，OA OC =，AC BD ⊥，22225221OA AB OB ∴=--2221AC OA ∴== ∴菱形ABCD 的面积11221442122AC BD =⨯=⨯= O 是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积12=菱形ABCD 的面积221；故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，中心对称，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．二、填空题13．4π+8【分析】根据题意将问题分类讨论三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹一个可以用中垂线来理解【详解】解：（1）当P 在AB 上Q 在AD 上时AO ＝由圆的定义可以知O 的轨迹为E 解析：4π+8【分析】根据题意将问题分类讨论，三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹，一个可以用中垂线来理解【详解】解：（1）当P 在AB 上，Q 在AD 上时，AO ＝142PQ =，由圆的定义可以知O 的轨迹为EF 这段14圆弧（2）同理当P 在CD 上，Q 在AD 上时，DO ＝142PQ =，由圆的定义可以知O 的轨迹为EG 这段14圆弧（3）Q 在AD 上，P 在BC 上，可知PQ ∥AB ，O 的运动轨迹为FG 这条线段综上分析：O 的运动路径长为：4π+8．故答案：4π+8【点睛】本题考查了轨迹以及正方形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 14．【分析】由两个长宽分别为的矩形如图叠放在一起可证得阴影部分是菱形然后设则利用勾股定理可得方程：则可求得的长继而求得答案【详解】解：如图：根据题意得：四边形是平行四边形两个矩形等高即四边形是菱形设则在解析：2877cm ．【分析】由两个长宽分别为7cm 、3cm 的矩形如图叠放在一起，可证得阴影部分是菱形，然后设BF xcm =，则 DFxcm ，7()AF AD DF x cm ，利用勾股定理可得方程： 2223(7)x x ，则可求得BE 的长，继而求得答案．【详解】解：如图：根据题意得：//AD BC ，//BF DE ，∴四边形ABCD 是平行四边形，两个矩形等高，即DH AB =，BEDF S BE AB BF DH ，BE BF ∴=，∴四边形BEDF 是菱形，BF DF ∴=，设BF xcm =，则DFxcm ，7()AF AD DF x cm ，在Rt ABF ∆中，222AB AF BF +=， 2223(7)x x ，解得：297x ， 297BE cm ， 2877BEDF S BE ABcm 菱形．故答案为：2877cm ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握方程思想的应用是解此题的关键．15．或1【分析】分两种情况①当∠DEF ＝90°时由题意得出EF ∥BC 作FG ⊥BC 于G 证出△CFG △BDE 是等腰直角三角形四边形EFGD 是正方形得出BD=DE=EF=DG=FG=CG 继而可得结果；②当∠E解析：12或1 【分析】分两种情况①当∠DEF ＝90°时，由题意得出EF ∥BC ，作FG ⊥BC 于G ，证出△CFG 、△BDE 是等腰直角三角形，四边形EFGD 是正方形，得出BD=DE=EF=DG=FG=CG ，继而可得结果；②当∠EFD ＝90°时，求出∠DEF ＝45°，得出E 与A 重合，D 是BC 的中点，BD=CD ，即可得出结果.【详解】解：分两种情况：①当∠DEF ＝90°时，如图1所示：∵DE ⊥BC ，∴∠BDE ＝90°＝∠DEF ，∴EF ∥BC ，作FG ⊥BC 于G ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴△CFG 、△BDE 是等腰直角三角形，四边形EFGD 是正方形，∴BD=DE=EF=DG=FG=CG ，∴BD=12CD, ∴n=12； ②当∠EFD ＝90°时，如图2所示：∵∠EDF ＝45°，∴∠DEF ＝45°，此时E 与A 重合，D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∴n=1.综上所述：n=12或1, 故答案为：12或1 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、正方形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键. 16．【分析】根据三角形面积公式可知图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AD=BC=7设两个阴影部分三角形的底为ADBC 高分别为h1h2则h1+h2=AB ∴解析：14【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=7，设两个阴影部分三角形的底为AD ，BC ，高分别为h 1，h 2，则h 1+h 2=AB ，∴S △ADE +S △BCE =12AD•h 1+12BC•h 2=12AD （h 1+h 2）=12AD•AB ， ∴147142S =⨯⨯=阴影；故答案为：14．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．17．2+【分析】根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO ∠AOB=90°对角线平分一组对角可得∠OAE=∠OBF 再根据AE=BF 然后利用SAS 证明△AOE 和△BOF 全等根据全等三角形对应角相等可得解析：【分析】根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO ，∠AOB=90°，对角线平分一组对角可得∠OAE=∠OBF ，再根据AE=BF ，然后利用“SAS”证明△AOE 和△BOF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠BOF ，可得∠EOF=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：在正方形ABCD 中，AO=BO ，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，∵点E 、F 的速度相等，∴AE=BF ，在△AOE 和△BOF 中，OA BO OAE OBF AE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△BOF （SAS ），∴∠AOE=∠BOF ，∴∠AOE+∠BOE=90°，∴∠BOF+∠BOE=90°，∴∠EOF=90°，在Rt △BEF 中，设AE=x ，则BF=x ，BE=2-x ，∴， ∴当x=1时，EF ．由勾股定理得，OE=OF=2EF =1． ∴△OEF 周长的最小值．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，以及勾股定理等知识，熟记正方形的性质，找出三角形全等的条件是解题的关键． 18．【分析】由矩形的性质可得结合角平分线的定义可求得可证明结合矩形的性质可得根据三角形的面积公式得到于是得到结论【详解】解：四边形为矩形设与相交于点平分又又故答案为：【点睛】本题主要考查矩形的性质掌握矩解析：25【分析】由矩形的性质可得2COB CDO ∠=∠，EBO BDF F ∠=∠+∠，结合角平分线的定义可求得F BDF ∠=∠，可证明BF BD =，结合矩形的性质可得AC BF =，根据三角形的面积公式得到BE ，于是得到结论．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，设DF 与AC 相交于点M ，AC BD ∴=，90ADC ∠=︒，OA OD =，6AB CD ==，3AD BC ==， DF 平分ADC ∠，ADG AGD ∴∠=∠，又CDB CAB ∠=∠，CMF CAB DGA ∠=∠+∠，CMF ADG CDB ∴∠=∠+∠，又90BDF ADG CDB ∠+∠+∠=︒，90BDF CMF ∴∠+∠=︒，90CMF F ∠+∠=︒，BDF F ∴∠=∠，BF BD ∴=，AC BF ∴=，6AB CD ==，3AD BC ==， 226335BF AC ∴==+=，1122ABC S AC BE AB BC ∆==， 355BE ∴==，∴25535BE BF ==，故答案为：25．【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的四个角都是直角、对角线互相平分且相等是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．19．4【分析】要求PE+PC 的最小值PEPC 不能直接求可考虑通过作辅助线转化PEPC 的值从而找出其最小值求解【详解】解：如图连接AE ∵点C 关于BD 的对称点为点A ∴PE+PC ＝PE+AP 根据两点之间线段最解析：45【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：如图，连接AE，∵点C关于BD的对称点为点A，∴PE+PC＝PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为8，E是BC边的中点，∴BE＝4，∴AE22=+=，4845故答案为：45．【点睛】此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．20．【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°AB＝AD＝3由折叠的性质得出FC′＝FC∠C′FE＝∠CFE＝60°∠FC′B′＝∠C＝90°B′E＝BE∠B′＝∠B＝90°求出∠DC′F解析：843-【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得出FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B＝90°，求出∠DC′F＝30°，得出FC′＝FC＝2DF，求出DF＝2，33，则C′A＝3，AG＝3 6，设EB＝x，则GE＝2x，得出方程，解方程即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得：FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B ＝90°，∴∠DFC′＝180°-60°-60°=60°，∴∠DC′F＝30°，∴FC′＝FC ＝2DF ，∵DF ＋CF ＝CD ＝6，∴DF ＋2DF ＝6，解得：DF ＝2，∴∴C′A ＝∵∠AC′G=180°-30°-90°=60°，∠AGC′=90°-60°=30°，∴-6，设EB ＝E′B=x ，∵∠B′GE ＝∠AGC′＝30°，∴GE ＝2x ，则＋3x ＝6，解得：x ＝∴GE ＝故答案是：【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，由90EBE '∠=︒，可证四边形BEFE '是矩形．由BE BE '=，可证四边形BEFE '是正方形；（2）如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ．由DA DE =，得12AH AE =．可证DHA AEB △≌△．可得AH BE FE =='，由旋转性质知，CE AE '=即可；（3）设正方形BEFE '的边长为x ．在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，由勾股定理222CE BE BC '+='可求BE '，由DHA AEB △≌△，可求CE AE DH ='=3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．在Rt DHE △中，得DE ==【详解】（1）证明：由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，又AE ∵延长与CE 于F 点，90FEB AEB ∠∠︒∴==．∵Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，90EBE ∠∴='︒，∴四边形BEFE '是矩形．又∵BE BE '=，∴四边形BEFE '是正方形．（2）证明：如图，过点 D 作DHEA ⊥，垂足为H ．由DA DE =，得12AH AE =． 90HDA DAH EAB DAH ∠∠∠∠︒+=+=，HDA EAB ∴∠=∠．又90DHA AEB ∠∠==︒，AD AB =，DHA AEB ∴△≌△．AH BE FE =='∴，由旋转性质知，CE AE '=，故12FE AH CE =''=，即CF FE '=．（3）解：设正方形BEFE '的边长为x ．在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，222(3)15x x ∴++=，解得9x =（舍去12x =-）．如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ，同（2）知DHA AEB △≌△，DH AE ∴=，AH BE BE '==．CE AE DH =='∴3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．在Rt DHE △中，得22317DE DH HE =+=．【点睛】本题考查正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理应用是解题关键．22．（1）见解析；（2）GH ⊥EF ，见解析；（3）25【分析】（1）首先运用三角形中位线定理可得到EG ∥AB ，EG=12AB ，HF ∥AB ，EG=12AB ，即可得到四边形EGFH 是平行四边形；（2）再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明平行四边形EGFH 是菱形，即可证明GH ⊥EF ；（3）由EH ∥CD ，得到∠BDC=∠BPH=70°，由EG ∥AB ，得到∠EGD=∠ABD=20°，再利用三角形的外角性质和菱形的性质即可求解．【详解】证明：（1）∵E 、G 分别是AD 、BD 的中点，∴EG ∥AB ，且12GE AB =，同理可证：HF ∥AB ，且12HF AB =， ∴EG ∥HF ，且EG=HF ，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）GH ⊥EF ，理由如下：∵G 、F 分别是BD 、BC 的中点， ∴12GF CD =，由（1）知12GE AB =，又∵AB=CD ，∴GE=GF ，又∵四边形EGFH 是平行四边形，∴四边形EGFH 是菱形，∴GH ⊥EF ；（3）∵E 、H 分别是AD 、AC 的中点，∴EH ∥CD ，∴∠BDC=∠BPH=70°，∵EG ∥AB ，∴∠EGD=∠ABD=20°，∴∠GEP=∠BPH-∠EGD=50°，∵四边形EGFH 是菱形，∴∠GEF=∠HEF=12∠GEP =25°．故答案为：25．【点睛】本题考查了中点四边形，菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的判定和性质是解题的关键．23．（1）动点D 运动2秒时，△ABD ≌△ACE ；理由见解析；（2）1236S x =-+；（3）动点D 运动1秒时，△ABD 与△ACE 的面积比为4:1．【分析】（1）设动点D 运动t 秒时△ABD ≌△ACE ，先根据等腰直角三角形得：∠ACE=∠B ，再加上AB=AC 所以只要满足BD=CE ，△ABD ≌△ACE 列式可求得t 的值；（2）作高线AF ，根据等腰直角三角形三线合一可知：AF 是斜边的中线，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得AF=6，代入面积公式可求出代数式；（3）作高线AG ，先证明四边形AFCG 是矩形，求出AG=6，由△ABD 与△ACE 的面积比为4:1列式可得出结论．【详解】(1)如图1，设动点D 运动t 秒时，△ABD ≌△ACE由题意得：CD=4t,CE=2t,则BD=12-4t,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∵CM ⊥BC,∴∠BCM=90°,∴∠ACE=90°-45°=45°,∴∠ACE=∠B,∴当BD=CE 时,△ABD ≌△ACE,即12-4t=2t,t=2,动点D 运动2秒时,△ABD ≌△ACE;(2)如图2,过A 作AF ⊥BC 于F,∵AB=AC,∠BAC=90°，∴AF 是等腰直角三角形的中线,∴AF=6,由题意得：CD=4x,则BD=12-4x ， 1112-4)6123622ABD S S BD AF x x ∆==⋅=⨯=-+（； (3)设动点D 运动x 秒时,△ABD 与△ACE 的面积比为4:1 如图2,再过A 作AG ⊥CM 于G,∵∠AFC=∠BCM=∠AGC=90°，∴四边形AFCG 为矩形，∴AG=CF=6,∵△ABD 与△ACE 的面积比为4:1,1·4211·2ABDACEBD AF S S CE AG ==△△ ∴4BD CE= ∴BD=4CE,即12-4x=8x ，x=1．答：动点D 运动1秒时,△ABD 与△ACE 的面积比为4:1．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定及性质以及动点问题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；在动点问题中，明确路程=时间⨯速度，根据时间准确表示动点D 和E 的路程BD 、CE 的代数式，根据题中的等量关系列等式即可．24．（1）见解析；（2）当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形，理由见解析【分析】（1）求出AB =DC ，∠A =∠D =90°，AM =DM ，根据全等三角形的判定定理推出即可；（2）求出∠EMF =90°，根据正方形的判定推出即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =DC ，∠A =∠D =90°，∵M 为AD 中点，∴AM =DM ，在△ABM 和△DCM ，AM DM A D AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△DCM （SAS ）；（2）解：当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形，理由：当四边形MENF 是正方形时，则∠EMF =90°，∵△ABM ≌△DCM ，∴∠AMB =∠DMC =45°，∴△ABM 、△DCM 为等腰直角三角形，∴AM =DM =AB ，∴AD =2AB ，即当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．25．（1）8；（2）见解析【分析】（1）证明△ADC 是等腰直角三角形，求出AD 和CD ，根据∠BAC 的度数求出∠BAD ，根据直角三角形的性质可得AB ；（2）连接DE ，求出DE 的长，再根据三线合一的性质证明即可．【详解】解：（1）∵AD 是BC 边上的高线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，∵∠ACB =45°，∴△ADC 是等腰直角三角形，∴AD =CD=2AC =4，∠DAC =45°，∵∠BAC =105°，∴∠BAD =∠BAC -∠DAC =60°，∴∠ABD =30°，∴AB =2AD =8；（2）连接DE ，∵CE 是AB 边上中线，∴E 是AB 中点，在Rt △ABD 中，E 是斜边AB 中点，∴DE =12AB =4， ∵DC =4，∴DE =DC ，∵DG ⊥CE ，∴CG =EG ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，30度的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，属于基本定理，解题的关键是利用好“中点”这样的条件．26．（1）FG=3；（2）GF EC =，//GF EC ，理由见解析【分析】（1）首先证明四边形GECF 是平行四边形得FG=CE ，再依据勾股定理求出CE 的长即可得到结论；（2）证明四边形GECF 是平行四边形即可得到结论．【详解】（1）解：四边形ABCD 是正方形BC CD ∴=90B BCD ∠=∠=︒BF CE =BCF CDE ∴∆≅∆DE CF ∴=，BCF CDE ∠=∠90BCF DCP ∠+∠=︒90CDF DCP ∴∠+∠=︒90CPD ︒∴∠=即DE CF ⊥//CF EG ∴EG DECF EG ∴=∴四边形GECF 是平行四边形FG EC ∴=5DE =4CD =90DCE ∠=︒3CE ∴=3FG ∴=（2）GF EC =，//GF EC理由：延长FC 交DE 于点M ．四边形ABCD 是正方形BC CD ∴=90ABC DCB ∠=∠=︒90CBF DCE ∴∠=∠=︒BF CE =BCF CDE ∴∆≅∆CF DE ∴=BCF CDE ∠=∠90BCF DCM ∠+∠=︒90CDE DCM ∴∠+∠=︒CM DE ∴⊥DE EG ⊥EG DE =//CF EG ∴CF BG =∴四边形EGFC 是平行四边形GF EC//【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题(含答案) (1)

第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、在菱形中，对角线，相交于点，则图中全等的直角三角形共有( )A. 对B. 对C. 对D. 对2、下列四个命题中，真命题是（）．A. 四边都相等的四边形是正方形B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形C. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形3、如果要证明平行四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明（）．A. 与互相垂直平分B. 且C. 且D. 且4、下列说法中错误的是（）.A. 对角线垂直的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 四条边相等的四边形是正方形D. 四个角相等的四边形是矩形5、如图，在矩形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，则图中的全等三角形共有（）.A. 对B. 对C. 对D. 对6、在中，，是边上一点，交于点，交于点，若要使四边形是菱形，只需添加条件( ).A.B.C.D.7、过矩形的四个顶点作对角线、的平行线分別交于、、、四点，则四边形是（ ).A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形8、下列命题中，真命题是（）A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形D. 两条对角线相等的四边形是矩形9、用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④等腰三角形⑤等边三角形，一定能拼成的图形是A. ①②④B. ①②③C. ①②⑤D. ①④⑤10、设、表示两个集合，我们规定“”表示与的公共部分，并称之为与的交集．例如：若正数，整数，则正整数．若矩形，菱形，则所对应的集合是（）A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 平行四边形11、如图所示，已知四边形的对角线、相交于点，则下列能判断它是正方形的条件是（）A. ，B. ，，C.D. ，12、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（）A.B.C.D.13、如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A.B.C.D.14、如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点、分别在、上，且，则（）A.B.C.D.15、如图所示，设表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、边长为的正方形，对角线的长为______.17、有一组相等的四边形是菱形.18、1.正方形的定义有一组邻边且一个角是的平行四边形叫做正方形。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测(答案解析)(4)

一、选择题1．如图，依据尺规作图的痕迹，则α∠是（）A ．54°B ．36°C ．28°D ．72°2．如图，正方形ABCD ，对角线,AC BD 相交于点O ，过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G ，过点C 作CF DG ⊥，垂足为F ，交BD 于点E ，则:ADG BCE S S 的比为（）A ．(21):1+B ．(221):1-C ．2∶1D ．5∶23．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，过A 点作AE 垂直BC ，交BC 于点E ，则BE CE的值为（）A ．512B ．725C ．718D ．5244．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG ⊥CE 于点G ，CD =AE ．若BD =6，CD =5，则△DCG 的面积是（）A．10 B．5 C．103D．535．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得到的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．以上都不对6．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE BC⊥，PQ AB⊥，垂足分别是E，Q，则PE PQ+的值是（）A．32B．3 C．322D．327．如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A B C D A----方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为,x PCD∆的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形ABCD的面积为（）A．12 B．24 C．20 D．488．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足是E，若线段AE＝4，则四边形ABCD的面积为（）A ．12B ．16C ．20D ．249．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB 、点F 是AD 的中点，作CE ⊥AB 垂足E 在线段AB 上，连接 EF 、CF ，则下列结论：①2BCD DCF ∠=∠；②EF ＝CF ； ③S △BCE ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，AB AF ⊥，EF AF ⊥，BE 与AF 交于点C ，点D 是BC 的中点，2AEB B ∠=∠．若8BC =，7EF =，则AF 的长是（）A ．6B ．7C ．3D ．511．如图，矩形ABCD 的两条对角线的一个交角为60︒，两条对角线的长度之和为24cm ，则这个矩形的一条短边的长为（）A ．6cmB ．12cmC ．24cmD ．48cm12．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，若122EFC '∠=︒，那么ABE ∠的度数为（）A ．24︒B ．32︒C ．30D ．26︒二、填空题13．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，如果EF ＝5，那么菱形ABCD 的周长_____．14．如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，P 是AC 上的一个动点，过点P 分别作AB 和BC 的垂线，垂足分别是点F 和E ，若菱形的周长是12cm ，面积是6cm 2，则PE +PF 的值是_____cm ．15．如图，长方形台球桌面ABCD 上有两个球P 、Q ．//PQ AB ，球P 连续撞击台球桌边AB ，BC 反射后，撞到球Q ．已知点M 、N 是球在AB ，BC 边的撞击点，4PQ =，30MPQ ∠=︒，且点P 到AB 边的距离为3，则MP 的长为__________，四边形PMNQ 的周长为________16．如图，BD 为矩形ABCD 的对角线，点E 在BC 上，连接AE ，2，EC=7，∠C=2∠DAE ，则BD=__．17．请你写出一个原命题与它的逆命题都是真命题的命题____________________ ． 18．如图所示，在正方形ABCD 中，E 是AC 上的一点，且AB ＝AE ，则∠BEC 的度数是_____度．19．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，60B ∠=︒，AD ，CE 都是ABC 的中线，点M 是CE 的中点，若1CM =，则CD =______．20．菱形ABCD 周长为52cm ，它的一条对角线长为10cm ，则另一条对角线长为__________cm ．三、解答题21．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点．过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：AEF ≌DEB ；（2）证明四边形ADCF 是菱形．22．已知点(0,4)A 、(4,0)B -分别为面直角坐标中y 、x 轴上一点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转至OC ，连接AC 、BC ．（1）如图1，若60AOC ∠=︒，求ACB ∠的度数；（2）若60AOC ∠=︒，AOB ∠的平分线OD 交BC 于D ，如图2，求证：OD BD CD +=；（3）若30AOC ∠=︒，过A 作AE AC ⊥交BC 于E ，如图3，求BE 的长． 23．如图，四边形ABCD 是平行四边形，//DE BF ，且分别交对角线AC 于点E ，F ，连接,BE DF ．若BE DE =，求证：四边形EBFD 是菱形．24．如图1．在平面直角坐标系中，一次函数323y x =-+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A 和点C ，过点A 作AB x ⊥轴，垂足为点A ；过点C 作CB y ⊥轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B ．（1）线段AC 的长为______，ACO ∠=______度．（2）将图2中的ABC 折叠，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图②，求线段AD 的长；（3）点M 是直线AC 上一个动点（不与点A 、点C 重合）．过点M 的另一条直线MN 与y 轴相交于点N ．是否存在点M ，使AOC △与MCN △全等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．25．综合与探究如图是一个正方形纸片ABCO ，如果将正方形纸片ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形CDEF ，ED 交AB 于点G ，ED 的延长线交0A 于点H ，连接CH 、CG ．（1）求证：CG 平分∠DCB ；（2）直接写出线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；（3）连接BD ，AD ，AE ，BE ，试探究在旋转过程中，四边形AEBD 能否成为矩形？请说明理由．26．综合与实践问题情境：如图1，已知点O是正方形ABCD的两条对角线的交点，以点O为直角顶点的直角三角形BC=．OEF的两边OE，OF分别过点B，C，且OF OC=，30∠=︒，2E（1）OC的长度为________；操作证明：∆按如图放置，若OE，OF分别与AB，BC （2）如图2，在（1）的条件下，将OEF相交于点M，N．请判断OM和ON有怎样的数量关系，并证明结论；探究发现：∆按如图放置，若点B恰好在EF上，求证：（3）如图3，在（1）的条件下，将OEF=．EM EB【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=72°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∠DAC=36°．∴∠EAF=12∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°-36°=54°，∴∠α=54°．故选：A．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 2．A解析：A【分析】由题意先证得DE DC =和()DOG COE ASA ∆≅∆，设2AD DC a ==，进而可用含a 的式子表示出线段AG 和BE 的长，要求:ADG BCE S S ∆∆的比值即求AG 和BE 的比值，代入即可求解．【详解】解：正方形ABCD ，AD DC ∴=，45ODC OCD OAD ∠=∠=∠=︒，90DOC BOC ∠=∠=︒，OD OC =， DF 平分ODC ∠，22.5EDF CDF ∴∠=∠=︒，CF DG ⊥，67.5DEF DCF ∴∠=∠=︒，67.54522.5OCE ∴∠=︒-︒=︒，DE DC =，OCE ODG ∴∠=，又OD OC =，90DOC BOC ∠=∠=︒，()DOG COE ASA ∴∆≅∆，OG OE ∴=，设2AD DC a ==，则有OA OB =，2DE a =，BD =，2)BE BD DE a ∴=-=，2AG AO OG a =+=， 12ADG S AG OD ∆=，12BCE S BE OC ∆=，OD OC =，::2:2)1):1ADG BCE S S AG BE a a ∆∆∴===，故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．3．C解析：C【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC 的长，再根据面积法即可得到AE 的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE 的长，进而得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴CO ＝12AC ＝3，BO ＝12BD ＝4，AO ⊥BO ，∴BC5，∵S 菱形ABCD ＝12AC•BD ＝BC×AE ， ∴AE ＝16825⨯⨯＝245．在Rt △ABE 中，BE75 ， ∴CE ＝BC ﹣BE ＝5﹣75＝185， ∴775==18185BE CE 的值为718，故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形性质：四条边都相等、对角线互相垂直平分．4．B解析：B【分析】作EF ⊥BC 于F 点，首先结合直角三角形中“斜中半”定理可求得△ABD 中AB 的长度，从而结合勾股定理求出AD 的长度，再根据中位线定理可得EF 的长度，然后进一步判定△EDC 为等腰三角形，并根据“三线合一”的性质推出12DCG EDC S S =△△，最后根据12EDC S CD EF =△求解即可．【详解】∵AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，∴△ABD 为直角三角形，E 为斜边AB 上的中点，∴AE=BE=DE ，∵CD =AE ，CD =5，∴AB=2AE =10，在Rt △ABD中，由勾股定理可得：AD =∴AD =8，作EF ⊥BC 于F 点，则EF 为△ABD 的中位线， ∴142EF AD ==，又∵CD=ED ，DG ⊥CE 于点G ，∴△EDC 为等腰三角形，12DCG EDC S S =△△， ∵11541022EDC S CD EF ==⨯⨯=△， ∴11052DCG S =⨯=△，故选：B ．【点睛】本题主要考查直角三角形中“斜中半”定理，中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质综合问题，灵活运用“斜中半”定理求出三角形的边长是解题关键．5．B解析：B【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形；【详解】如图，AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，连接点E 、F 、G 、H ，∵点E 、F 、G 、H ，分别为各边的中点，∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，EH ∥BD ，FG ∥BD ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，EF ∥AC ，EH ∥BD ，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON 是矩形，∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH 是矩形；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定方法，正确掌握知识点是解题的关键．6．B解析：B【分析】证明四边形PQBE是矩形得PE=QB，证明△PEC是等腰直角三角形得PQ=BE便可求得结果【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∠BCD=45°∴∠ABC=90°，∠ACB=12∵PE⊥BC，PQ⊥AB，∴四边形PQBE是矩形，∴PQ=BE∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠PCE=45°，又∠PEC=90°∴△PEC是等腰直角三角形∴PE=CE∴PE+PQ=CE+BE=BC=3．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的判定，关键是证明PE=CE，PQ=BE．7．B解析：B【分析】根据题意结合图象得出AB、BC的长度，再求出面积即可．【详解】由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积不变，结合图象可知AB=6，当点P 从点B 运动到点C 时，△PCD 的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC=4， ∴长方形ABCD 的面积为：AB•BC=6×4=24．故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质和动点问题的函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．8．B解析：B【分析】延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，构造出全等三角形，()ABE ADF AAS ≅，即可得到四边形ABCD 的面积就等于正方形AECF 的面积．【详解】解：如图，延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，∵AE BC ⊥，∴90AEC AEB ∠=∠=︒，∵AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∵90C ∠=︒，∴四边形AECF 是矩形，∴90EAF ∠=︒，∵BAD EAF ∠=∠，∴BAD EAD EAF EAD ∠-∠=∠-∠，即BAE DAF ∠=∠，在ABE △和ADF 中，BAE DAF AEB AFD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADF AAS ≅，∴AE AF =，∴四边形AECF 是正方形，∵ABE ADF S S ，∴216ABCD AECF S S AE ===．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．9．C解析：C【分析】由在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，证明AF=FD=CD ，继而证得①2BCD DCF ∠=∠；然后延长EF ，交CD 延长线于M ，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），可得EF MF =，再证明90ECM ∠=︒，从而可判断②；由,CBE CEF S S =可得：13CBE ABCD S S =，可得：2,3BE AB =与已知不符，从而可判断③；设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，再分别表示∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-，∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒-从而可判断④．【详解】解：①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠BCD 2DCF =∠，故①正确；②延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF ，∴EF=CF ，故②正确；③∵EF=FM ，EFC CFM S S ∴=，若,CBE CEF SS = 则13CBE ABCD S S = 11,23BE EC AB EC ∴= 32,BE AB ∴=2,3BE AB ∴= 与已知条件不符，故CBE CEFS S =不一定成立，故③错误； ④设∠FEC=x ，,EF CF =∴∠FCE=x ，∴∠DCF=∠DFC=90x ︒-，∠EFC=1802x ︒-，∴∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-，∵∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒-∴∠DFE=3∠AEF ，故④正确．故选：C ．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题关键．10．C解析：C【分析】根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】∵AB⊥AF，∴∠FAB=90°，∵点D是BC的中点，∴AD=BD=12BC=4，∴∠DAB=∠B，∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B，∵∠AEB=2∠B，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，∴AE=AD=4，∵，EF⊥AF，∴==3，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．11．A解析：A【分析】根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角形OAB，求出AB=OA，代入求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=24，∴AC=BD=12cm，∴OA=OB=6cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=6cm，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出等边三角形OAB和求出OA的长．12．D解析：D【分析】由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，∠BEF=∠DEF，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和∠BEF互补，这样可得出∠BEF的度数，进而可求得∠AEB的度数，则∠ABE可在Rt△ABE 中求得．【详解】解：由折叠的性质知，∠BEF=∠DEF，∠EBC′、∠BC′F都是直角，∴BE∥C′F，∴∠EFC′+∠BEF=180°，又∵∠EFC′=122°，∴∠BEF=∠DEF=58°，∴∠AEB=180°-∠BEF-∠DEF=64°，在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠AEB=26°．故选D．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．二、填空题13．40【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2EF然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解【详解】解：∵EF分别是ACBC的中点∴EF是△ABC的中位线∴AB＝2EF＝解析：40【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2EF，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．【详解】解：∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴AB＝2EF＝2×5＝10，∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40．故答案为：40．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．14．2【分析】连接BP根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝S△ABP＋S△BPC＝AB•PE＋BC•PE把相应的值代入即可【详解】解：连接BP ∵四边形ABCD 是菱形解析：2【分析】连接BP ，根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝12ABCD S 菱形，S △ABP ＋S △BPC ＝12AB•PE ＋12BC•PE 把相应的值代入即可．【详解】解：连接BP ，∵ 四边形ABCD 是菱形，且周长是12cm ，面积是6cm 2∴AB ＝BC ＝14×12＝3（cm ）， ∵AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴ S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝12ABCD S 菱形＝3（cm 2）， ∴S △ABP ＋S △BPC ＝12AB•PE ＋12BC•PE ＝3（cm 2）， ∴12×3×PE ＋12×3×PF ＝3， ∴PE ＋PF ＝3×23＝2（cm ），故答案为：2．【点睛】此题考查菱形的性质，S △ABP ＋S △BPC ＝S △ABC ＝12ABCDS 菱形是解题的关键．注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用． 15．16【分析】作PE ⊥AB 于E 则PE=3延长PQMN 交于点Q 证出Q 与Q 关于BC 对称MP=2PE=6由轴对称的性质得出NQ=NQ 证出∠Q=30°=∠MPQ 得出MQ=MP=6即可得出答案【详解】解：作PE解析：16【分析】作PE ⊥AB 于E ，则PE=3，延长PQ 、MN 交于点Q ，证出Q 与Q'关于BC 对称，MP=2PE=6，由轴对称的性质得出NQ'=NQ ，证出∠Q'=30°=∠MPQ ，得出MQ'=MP=6，即可得出答案．【详解】解：作PE⊥AB于E，则PE=3，延长PQ、MN交于点Q，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AB⊥BC，∵PQ//AB，∴PQ⊥BC，∠EMP=∠MPQ=30°，∠Q'=∠BMN，∴Q与Q'关于BC对称，MP=2PE=6，∴NQ'=NQ，由题意得：∠BMN=∠EMP=30°，∴∠Q'=30°=∠MPQ，∴MQ'=MP=6，∴四边形PMNQ的周长=MP+PQ+NQ+MN=MP+PQ+NQ'+MN=MP+PQ+MQ'=6+4+6=16；故答案为：6，16．【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键．16．13【分析】直接利用矩形的性质结合等腰直角三角形的性质得出ABBE的长再利用勾股定理得出BD的长【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠C=90°AD∥BC∵∠C=2∠DAE∴∠DAE=45解析：13【分析】直接利用矩形的性质结合等腰直角三角形的性质得出AB，BE的长，再利用勾股定理得出BD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=90°，AD∥BC，∵∠C=2∠DAE，∴∠DAE=45°，∴AB=BE，∵2，∴AB=BE=5，∵EC=7，∴AD=BC=12，∴．故填：13．【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理、等腰直角三角形的性质，正确得出AB ，BE 的长是解题关键．17．对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）【分析】命题由题设和结论两部分组成题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项；题设成立结论也成立的叫真命题而题设成立结论不成立的为假命题把一个命题的题设解析：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；题设成立，结论也成立的叫真命题，而题设成立，结论不成立的为假命题，把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题．【详解】解：如命题：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，真命题，逆命题是矩形的对角线互相平分且相等，真命题，故答案为：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）.【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.18．5【分析】根据正方形的性质AC 平分∠BAD 可得∠BAE ＝45°再根据AB ＝AE 由等腰三角形的性质即可求出∠BEC 的度数【详解】解：在正方形ABCD 中AC 平分∠BAD ∴∠BAE ＝45°而AB ＝AE ∴∠解析：5．【分析】根据正方形的性质，AC 平分∠BAD ，可得∠BAE ＝45°，再根据AB ＝AE ，由等腰三角形的性质即可求出∠BEC 的度数．【详解】解：在正方形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝45°,而AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝180452︒-︒＝67.5°，又∵∠AEB +∠BEC ＝180°，∴∠BEC ＝180°﹣67.5°＝112.5°，故答案为112.5．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质．熟记正方形的对角线平分线一组对角，并且将这组对角分成四个45°的角是解决此题的关键．19．1【分析】证明△BCE 是等边三角形求出BE=CE=BC=2由D 是BC 的中点可得结论【详解】解：在中∵是的中线∴∵∴是等边三角形∴∵点是的中点且∴∵是边上的中线∴故答案为：1【点睛】此题主要考查了等边解析：1【分析】证明△BCE 是等边三角形，求出BE =CE =BC =2，由D 是BC 的中点可得结论．【详解】解：在ABC 中，90C ∠=︒，∵CE 是ABC 的中线， ∴12==CE BE AB ∵60B ∠=︒， ∴BCE ∆是等边三角形∴BC CE =∵点M 是CE 的中点，且1CM =，∴22CE CM BC ===∵AD 是BC 边上的中线， ∴112122CD BC ==⨯= 故答案为：1．【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和三角形中线的性质，证明BCE ∆是等边三角形是解答此题的关键．20．24【分析】根据菱形的性质先求菱形的边长利用勾股定理求另一条对角线的长度【详解】如图菱形ABCD 中BD=10∴AC ⊥BD ∵菱形的周长为52BD=10∴AB=52÷4=13BO=5∴AO=∴AC=则这解析：24【分析】根据菱形的性质，先求菱形的边长，利用勾股定理求另一条对角线的长度．【详解】如图，菱形ABCD 中，BD=10，∴AC ⊥BD ，∵菱形的周长为52，BD=10，∴AB=52÷4=13，BO=5，∴AO=2213512∴AC=24．则这个菱形的另一条对角线长为24cm ．故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形对角线互相垂直平分、菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AO 的值是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用平行线的性质，补充一组对应角相等即可；（2）利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】（1）∵//BC AF ，∴AFE DBE ∠=∠，∵E 是AD 中点，AD 是BC 边上的中线，∴AE DE =，BD CD =，在AFE △和DBE 中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFE △≌DBE （AAS ）．（2）由（1）知AFE △≌DEB ，则AF DB =，∵DB DC =，∴AF CD =，∵//BC AF ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，E 是AD 中点， ∴12AD DC BC ==， ∴四边形ADCF 是菱形．【点睛】本题考查了三角形的全等，菱形的判定，熟练掌握判定三角形全等原理和菱形的判定定理是解题的关键．22．（1）45︒；（2）见解析；（3）4．【分析】（1）将线段OA 绕O 点顺时针旋转至OC ，60AOC ∠=︒，OA=OC=4，可证△AOC 为等边三角形，由OB=OC=4，可求∠OBC=∠BCO=15°，可求∠ACB=∠ACO-∠BCO=45°即可；（2）在BC 上取点H 使45COH ∠=︒，由AOB ∠的平分线OD ，可得∠BOD=∠DOA=45°，可求∠DOH=60°，OB=OC=4，利用等边对等角∠DBO=∠HCO ，又∠BOD=∠HOC=45°，可证△BOD ≌△COH(ASA)，由性质OD=OH ，BD CH =，可证△DOH 等边三角形即可退出结论；（3）以AE 为边作AEF ACO △≌△，连FB 由OC EF =；=4AF OA OB ==，90FAO BOA ∠=∠=︒，可得正方形AFBO ，由30AFE AOC OBE ∠=∠=∠=︒，可求60EFB EBF ∠=∠=︒可证EFB △是等边三角形即可．【详解】（1）∵将线段OA 绕O 点顺时针旋转至OC ，60AOC ∠=︒，(0,4)A ，∴OA=OC=4，∴△AOC 为等边三角形，∴∠ACO=60°，∵(4,0)B -，∴OB=OC=4，∴∠OBC=∠BCO=12（180°-90°-60°）=15°， ∴∠ACB=∠ACO-∠BCO=60°-15°=45°，∴∠ACB =45︒；（2）在BC 上取点H 使45COH ∠=︒，∵AOB ∠的平分线OD 交BC 于D ，∴∠BOD=∠DOA=45°，∵∠AOC=60°，∴∠BOC=90°+60°=150°，∴∠DOH=150°-∠BOD -∠COD=90°-45°-45°=60°，∵OB=OC=4，∴∠DBO=∠HCO ，∠BOD=∠HOC=45°，∴△BOD ≌△COH(ASA)，∴OD=OH ，BD CH =， ∴DOH 是等边三角形，OD DH ∴=，OD BD CD ∴+=；（3）以AE 为边作AEF ACO △≌△，连FB ，OC EF ∴=；=4AF OA OB ==，90FAO BOA ∠=∠=︒，∴正方形AFBO ，30AFE AOC OBE ∴∠=∠=∠=︒，60EFB EBF ∴∠=∠=︒，EFB ∴△是等边三角形，∴4BE BF OB ===．【点睛】本题考查旋转，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形全等，正方形判定与性质，掌握旋转的性质，会利用旋转和夹角60°证等边三角形，等边三角形的判定方法与性质，等腰三角形的判定方法与性质，角平分线的性质，三角形全等判断方法与性质，正方形判定与性质是解题关键．23．见解析【分析】根据平行四边形的性质，可以得到AD=CB ，AD ∥CB ，从而可以得到∠DAE=∠BCF ，再根据DE ∥BF 和等角的补角相等，从而可以得到∠AED=∠CFB ，然后即可证明△ADE 和△CBF 全等，从而可以得到DE=BF ，再根据DE ∥BF ，即可得到四边形EBFD 是平行四边形，再根据BE=DE ，即可得到四边形EBFD 为菱形．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE=∠BCF ，∵DE ∥BF ，∴∠DEF=∠BFE ，∴∠AED=∠CFB ，在△ADE 和△CBF 中，DAE BCF AED CFB AD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴DE=BF ，又∵DE ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BE=DE ，∴四边形EBFD 为菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．24．（1）4；30．（2）AD =3；（3）M 点的坐标为（-2，−【分析】（1）先确定出OA =2，OC AC =4，可得出答案；（2）利用折叠的性质得出BD -AD ，最后用勾股定理即可得出结论；（3）分不同的情况画出图形，根据全等三角形的性质可求出点M 的坐标．【详解】解：（1）∵一次函数y =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，∴令0x =，则y =0y =，则2x =，∴A （2，0），C （0，∴OA =2，OC∵AB ⊥x 轴，CB ⊥y 轴，∠AOC =90°，∴四边形OABC 是矩形，∴AB =OC =8，BC =OA =4，在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，4AC ===， ∴∠ACO =30°．故答案为：4；30．（2）由（1）知，BC =2，AB由折叠知，CD =AD ，在Rt △BCD 中，BD =AB -AD AD ，根据勾股定理得，CD 2=BC 2+BD 2，即：AD 2=4+（AD ）2，∴AD （3）①如图1，MN ⊥y 轴，若△AOC ≌△MNC ，则CN =CO ，∴M 点的纵坐标为43，代入y =-3x +23得，x =-2，∴M (−2，43)．②如图2，MN ⊥AC ，MP ⊥y 轴，∵2323MCN AOC S S ∆∆⨯=== ∴CN =AC =4， ∴2323PM ⨯== ∴M 33y 3x 3得，y 3或y 3 ∴M 3−333）．综合以上可得M 点的坐标为（-2，33−333【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．25．（1）见解析；（2）HG=OH+BG ；（3）能，理由见解析【分析】（1）根据旋转和正方形的性质可得出CD=CB ，∠CDG=∠CBG=90，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ，即∠DCG=∠BCG ，由此即可得出CG 平分∠DCB ；（2）由（1）的Rt △CDG ≌Rt △CBG 可得出BG=DG ，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CHO ≌Rt △CHD ，即OH=HD ，再根据线段间的关系即可得出HG=HD+DG=OH+BG ；（3）根据（2）的结论即可找出当G 点为AB 中点时，四边形AEBD 为矩形．【详解】证明：（1）正方形ABCO 绕点C 旋转得到正方形CDEF ．,90CD CB CDG CBG ︒∴=∠=∠=，在直角三角形CDGC 和直角三角形CBG 中．CD CB CG CG =⎧⎨=⎩， CDG CBG ∴≅，DCG BCG ∴∠=∠，即CG 平分∠DCB ．（2）HG=OH+BG ．由（1）证得：Rt △CDG ≌Rt △CBG ，∴BG=DG ，在Rt △CHO 和Rt △CHD 中，CH CH CO CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CHO ≌Rt △CHD （HL ），∴OH=HD ，∴HG=HD+DG=OH+BG ；（3）如图，当点G 为AB 中点时，四边形AEBD 为距形，因为点G 为AB 中点，所以BG=GA=12AB ， ∵CDG CBG ∆≅∆， ∴1122DG BG AB DE ===，所以BG=GA=DG=GE ，所以四边形AEBD 是平行四边形，因为AB=DE ，所以四边形AEBD 是矩形．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定、旋转的性质、全等三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ；（2）找出BG=DG 、OH=HD ；（3）掌握矩形的判定方法．26．（1）2；（2）OM ON =，证明详见解析；（3）详见解析【分析】（1）由题意可得OC=OB ，OC ⊥OB ，再根据勾股定理即可得到答案；（2）连接OB ，OC ，证明BOM CON ∆∆≌，即可得出答案；（3）根据题意可推出OBF ∆为等边三角形，可得60OBF F ∠=∠=︒，2BF OF ==，再根据45OBC ∠=︒，可得45OBM ∠=︒，从而可推出，EBM EMB ∠=∠，即可得证．【详解】解：（1）∵点O 是正方形ABCD 的两条对角线的交点，以点O 为直角顶点的直角三角形OEF 的两边OE ，OF 分别过点B ，C ，∴OC=OB ，OC ⊥OB ，∵BC=2，∴OC 2=BC 2-OB 2，2OC 2=BC 2，2OC 2=4，即OC=2；（2）OM ON =；证明：如图，连接OB ，OC ，∵点O 是正方形ABCD 的两条对角线的交点，∴OB OC =，45OBM OCN ∠=∠=︒，∵90BOF MOB BOF NOC ∠+∠=∠+∠=︒，∴MOB NOC ∠=∠，在BOM ∆和CON ∆中OBM OCN OB OC MOB NOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BOM CON ASA ∆∆≌，∴OM ON =；（3）连接OB ，OC ，∵OF OC =，OB OC =，∴OB OF =，∵在Rt OEF ∆中，30E ∠=︒，∴60F ∠=︒，∴OBF ∆为等边三角形，∴60OBF F ∠=∠=︒，2BF OF ==又∵45OBC ∠=︒，∴45OBM ∠=︒，∵180180456075EBM OBM OBF ∠=-∠-∠=--︒︒=︒︒︒，∴180180753075EMB EBM E ∠=-∠-∠=-︒-︒=︒︒︒，∴EBM EMB ∠=∠，∴EM EB =．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握知识点是解题关键．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测题(含答案解析)(4)

一、选择题1．如图，矩形ABCD 被两条对角线分成4个小三角形OAB ∆、OAD ∆、OBC ∆和OCD ∆，若这4个小三角形的周长之和为68，对角线10AC =，则矩形ABCD 的周长是（）A ．14B ．18C ．21D ．28 2．如图，O 是菱形ABCD 的对角线,AC BD 的交点，E ，F 分别是,OA OC 的中点给出下列结论：①ADE EOD S S =；②四边形BFDE 也是菱形；③四边形ABCD 的面积大小等于EF BD ⋅；④ADE EDO ∠=∠；⑤是轴对称图形．其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是边CB 延长线上一点，F 为AB 边上一点，BE ＝BF ，连接EF 并延长交线段AD 于点G ，连接CF 交BD 于点M ，连接CG 交BD 于点N ．则下列结论：①AE ＝CF ；②∠BFM ＝∠BMF ；③∠CGF ﹣∠BAE ＝45°；④当∠BAE ＝15°时，MN ＝433．其中正确的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG ⊥CE 于点G ，CD =AE ．若BD =6，CD =5，则△DCG 的面积是（）A ．10B ．5C ．103D ．535．如图，已知正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，若将正方形AEFG 绕点A 旋转，则在旋转过程中，点,C E 之间的最小距离为（）A ．3B ．421-C ．321-D ．42 6．如图，以ABC 的每一条边为边作三个正方形．正方形ABIH 的顶点H 恰好在ED 边上，记DHK △的面积为1S ，AHE 的面积为2S ，ABC 的面积为3S ，四边形CJIK 的面积为4S ，四边形BFGJ 的面积为5S ．若12534S S S S S ++=+，则3S 与4S 的大小关系式成立的是( )A ．34S S >B ．34S S =C ．34S S <D ．无法判断 7．如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上点F 处．若6AB =，10AD =，则EC 的长为（）A ．2B ．83C ．3D ．1038．如图，在长方形ABCD 中，动点P 从A 出发，以相同的速度，沿A B C D A ----方向运动到点A 处停止．设点P 运动的路程为,x PCD ∆的面积为y ，如果y 与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD 的面积为（）A ．12B ．24C ．20D ．489．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，DC '与AB 交于点E ，连结BC '，若2BD BC ='=，3AD =，则点D 到AC '的距离为（）A ．33B ．3217C ．7D ．13 10．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC =8，BD =6，则菱形的周长等于（）A ．40B ．7C ．24D ．2011．下列四个命题中真命题是（）A ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B ．对角线垂直且相等的四边形是菱形C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D ．四边都相等的四边形是正方形 12．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B 沿AE 折叠，使点B 落在点'B 处，当'CEB ∆为直角三角形时，BE 的长为（）A ．3B ．32C ．2或3D ．3或32二、填空题13．如图，以AB 为边作边长为8的正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ ＝8，若点P 从点A 出发，沿A →B →C →D 的线路，向D 点运动，点Q 只能在线段AD 上运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长为_____．14．如图，菱形ABCD 的边长为10，对角线BD 的长为16，点E ，F 分别是边AD ，CD 的中点，连接EF 并延长与BC 的延长线相交于点G ，则EG 的长为________．15．在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的对角线交于原点O ，点A 的坐标为()23,2-，点B 的坐标为()1,3--，则点D 的坐标为______．16．如图，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若∠EFB ＝60°，则∠CFD ＝_____．17．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG ，DF ．若13AG =，6CF =，则四边形BDFG 的周长为______．18．如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB=60°．连接对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形AC C 1D 1，使∠D 1AC=60°；连接AC 1，再以A C 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，使∠D 2AC 1=60°；……按此规律所作的第n 个菱形的边长为___________．19．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC +∠DCB =90°，且BC =2AD ，分别以DC ，BC ，AB 为边向外作正方形，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3．若S 2=64，S 1=9，则S 3的值为_____．20．如图，把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点G 处，68DFG ∠=︒，则BEF ∠的度数为_________．三、解答题21．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，30B，CE 垂直于AB 于点E ，D 是AB的中点．（1）求证：AE ED =；（2）若2AC =，求DE 的长．22．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是BC 的中点，连接DO 并延长，交AB 延长线于点E ，连接BD ，EC ．（1）求证：四边形BECD 是平行四边形；（2）若50A ∠=︒，则当ADE ∠=____°时，四边形BECD 是菱形．23．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在射线BC 上（与B 、C 两点不重合），以AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与直线CF 相交于点G ．（1）若点D 在线段BC 上，如图（1），判断：线段BC 与线段CG 的数量关系，位置关系；（2）如图（2），①若点D 在线段BC 的延长线上，（1）中判断线段BC 与线段CG 的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；②当G 为CF 中点，BC ＝2时，求线段AD 的长．24．如图，在ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F ．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？（3）四边形DBFE能否是正方形？如果能，ABC应满足什么条件？如果不能，说明理由．25．如图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点O，M，N，A，B均在格点上，请按要求完成下列问题：（1）在图①中，仅用无刻度直尺在网格中画出∠MON的平分线OP，并简要说明画图的依据；（2）在图②中，仅用无刻度直尺在网格中画一个Rt△ABC，使点C在格点上，并简要说明画图的依据．26．已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE＝∠CBP，BE＝BP．≌；.求证：（1）CPB AEB（2）PB⊥BE（3）请你连接PE，猜想线段PB与线段PE的数量关系，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】四个小三角形的周长是两条对角线长的2倍与矩形周长的和，由此可求矩形周长．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD ，四个小三角形的周长=2AC+2BD+AD+DC+BC+BA ，即40+矩形周长=68，所以矩形周长为28．故选：D.【点睛】本题考查了矩形的性质和矩形的周长，抓住矩形的对角线相等和四个小三角形的周长=4倍的对角线长+矩形的周长是解决本题的关键．2．C解析：C【分析】①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．④不正确，根据已知可求得∠FDO ＝∠EDO ，而无法求得∠ADE ＝∠EDO ．⑤正确，由已知可证得△DEO ≌△DFO ，从而可推出结论正确．【详解】解：①正确∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点．∴AE ＝OE ．∵S △ADE 12=⨯AE ×OD 12=⨯OE ×OD ＝S △EOD ∴S △ADE ＝S △EOD ．②正确 ∵四边形ABCD 是菱形，E ，F 分别是OA ，OC 的中点．∴EF ⊥OD ，OE ＝OF ．∵OD ＝OB ．∴四边形BFDE 是菱形．③正确∵菱形ABCD 的面积12=AC ×BD ．∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点．∴EF 12=AC ． ∴菱形ABCD 的面积＝EF ×BD ．④不正确由已知可求得∠FDO ＝∠EDO ，而无法求得∠ADE ＝∠EDO ．⑤正确∵EF ⊥OD ，OE ＝OF ，OD ＝OD ．∴△DEO ≌△DFO ．∴△DEF 是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选：C ．【点睛】此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．3．B解析：B【分析】①根据已知条件证明△ABE ≌△CBF ，即可判断；②由△ABE ≌△CBF 和已知条件证明四边形DGEB 是平行四边形，再证明△FBC ≌△GDC ，当且仅当∠FCG=45°时，∠BFM=∠BMF ，即可判断；③结合①②证明∠FMB=∠CGF ，进而可以判断；④当∠BAE=15°时，∠BCM=∠GCD=∠BAE=15°，可得△CMN 是等边三角形，作CH ⊥BD 于点H ，根据正方形边长为4，即可求出MN 的值，进而可以判断.【详解】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBF ＝90°，在△ABE 和△CBF 中，BE BF ABE CBF AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ），∴AE ＝CF ，故①正确；②∵△ABE ≌△CBF ，∴∠BCF ＝∠BAE ，∵∠GEC ＝∠DBC ＝∠ADB ＝45°，∴∠BMF ＝∠FCB +∠DBC ＝∠FCB +45°，∵∠GEC ＝∠DBC ，∴EG ∥DB ，∵DG ∥BE ，∴四边形DGEB 是平行四边形，∴BE ＝DG ，在△FBC 和△GDC 中，BF DG FBC GDC BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBC ≌△GDC （SAS ），∴∠BCF ＝∠DCG ，∴∠BFM ＝∠FCD ＝∠DCG +∠FCG ＝∠BCF +∠FCG ， ∴当且仅当∠FCG ＝45°时，∠BFM ＝∠BMF ，故②错误； ③∵GE ∥BD ，∴∠FMB ＝∠GFC ，∵△FBC ≌△GDC ，∴CF ＝CG ，∴∠GFC ＝∠CGF ，∴∠FMB ＝∠CGF ，∴∠CGF ﹣∠BAE ＝∠FMB ﹣∠BCM ＝∠MBC ＝45°，故③正确； ④当∠BAE ＝15°时，∠BCM ＝∠GCD ＝∠BAE ＝15°， ∴∠FCG ＝90°﹣∠BCM ﹣∠GCD ＝60°，∵BD ∥EG ，∴∠GFC ＝∠NMC ，∠FGC ＝∠MNC ，∵∠GFC ＝∠FGC ，∴∠NMC ＝∠MNC ，∴CM ＝CN ，∠MCN ＝60°，∴△CMN 是等边三角形，作CH ⊥BD 于点H ，如图，∴CH ＝12BD ＝122244+＝2， ∴CM 223×2＝463， ∴MN ＝CM 46，故④错误．所以其中正确有①③，2个．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形、平行四边形的性质和判定，在有中点和直角三角形的前提条件下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等.4．B解析：B【分析】作EF ⊥BC 于F 点，首先结合直角三角形中“斜中半”定理可求得△ABD 中AB 的长度，从而结合勾股定理求出AD 的长度，再根据中位线定理可得EF 的长度，然后进一步判定△EDC 为等腰三角形，并根据“三线合一”的性质推出12DCG EDC S S =△△，最后根据12EDC S CD EF =△求解即可．【详解】∵AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，∴△ABD 为直角三角形，E 为斜边AB 上的中点，∴AE=BE=DE ，∵CD =AE ，CD =5，∴AB=2AE =10，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得：22AD AB BD =-， ∴AD =8，作EF ⊥BC 于F 点，则EF 为△ABD 的中位线，∴142EF AD ==，又∵CD=ED ，DG ⊥CE 于点G ， ∴△EDC 为等腰三角形，12DCG EDC S S =△△， ∵11541022EDC S CD EF ==⨯⨯=△， ∴11052DCG S =⨯=△，故选：B ．本题主要考查直角三角形中“斜中半”定理，中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质综合问题，灵活运用“斜中半”定理求出三角形的边长是解题关键．5．B解析：B【分析】连接CE 、AC ，根据正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，可以求出AC 的长，又因为CE≥AC -AE ，所以当A 、E 、C 三点共线时取等号，即可求值；【详解】如图，连接CE 、AC ，已知正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，∴ AB=BC=4，AE=1，由勾股定理得：222AC AB BC =+ ， ∴224442AC =+=∵ CE≥AC -AE ，∴CE≥421-，∴CE 的最小值为421-，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及三角形的三边关系，正确掌握知识点是解题的关键．6．B解析：B【分析】设,,AC b BC a AB c ===，则有22125,BCJ ACKH S S S b S S a ++=+=四边形，234+BCJ ACKH S S S Sc ++=四边形，进而可得△ABC 是直角三角形，然后由正方形的性质可证△ABJ ≌△BIK ，最后根据等积法可求解．【详解】解：∵四边形ACDE 、ABIH 、BCGF 都是正方形，∴AB=AH=BI ，AC=AE ，∠ABI=∠BIK=90°，∠GCB=90°，设,,AC b BC a AB c ===，则有22125,BCJ ACKH S S S b S S a ++=+=四边形，234+BCJ ACKH S S S Sc ++=四边形， ∵12534S S S S S ++=+，∴222+=a b c ， ∴△ABC 是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴A 、C 、G 三点共线，∵∠JAB+∠ABC=90°，∠KBI+∠ABC=90°，∴∠JAB=∠KBI ，∵∠ABJ=∠BIK=90°，∴△ABJ ≌△BIK （ASA ），ABJ BIK SS ∴=， ∵34,+ABJ BCJ BIK BCJ S S S S S S =+=，∴34S S =；故选B ．【点睛】本题主要考查正方形的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质及勾股定理是解题的关键．7．B解析：B【分析】由翻折可知：AD=AF=10．DE=EF ，设EC=x ，则DE=EF=6-x ．在Rt △ECF 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=6，∴∠B=∠BCD=90°，由翻折可知：AD=AF=10，DE=EF ，设EC=x ，则DE=EF=6-x ．在Rt △ABF 中，8BF ===， ∴CF=BC-BF=10-8=2，在Rt △EFC 中，EF 2=CE 2+CF 2，∴（6-x ）2=x 2+22，∴x=83， ∴EC=83．故选：B ．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．8．B解析：B【分析】根据题意结合图象得出AB 、BC 的长度，再求出面积即可．【详解】由题意可知，当点P 从点A 运动到点B 时，△PCD 的面积不变，结合图象可知AB=6，当点P 从点B 运动到点C 时，△PCD 的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC=4， ∴长方形ABCD 的面积为：AB•BC=6×4=24．故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质和动点问题的函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．9．B解析：B【分析】过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，则四边形ADFG 是矩形，计算AC '的长，后利用三角形ADC 'M 面积的不同计算方法计算即可.【详解】如图，过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，∵把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，∴DC=DC '，∠ADC=∠A DC '，∵D 是BC 边上的中点，∴DC=BD ，∵2BD BC ='=，∴DC '=2BD BC ='=，∴BDC '是等边三角形，∴∠ADC=∠A DC '=∠B DC '=∠DC 'B=60°，∴BG ∥AD ，∵DF ⊥BC'，AG ⊥BC'，∴四边形ADFG 是矩形，∴BF=FC'=1，FG=AD=3，=，∴GC '=2，∴AC '=，设点D 到AC '的距离为h ， ∴1122AC h AD DF '=，∴11322h =⨯，∴h=7，故选B.【点睛】本题考查了三角形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质，矩形的判定，三角形面积不同表示方法是解题的关键.10．D解析：D【分析】根据菱形的性质可求得BO 、AO 的长，AC ⊥BD ，根据勾股定理可求出AB ，进而可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC =CD =DA ，132==BO BD ，142AO AC ==，AC ⊥BD ，则在Rt △ABO 中，根据勾股定理得：5AB =，∴菱形ABCD 的周长=4×5=20．故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 11．C解析：C【分析】根据正方形、菱形、矩形的判定分别判断得出即可．【详解】A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题；B、对角线垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题；C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是真命题；D、四边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题；故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理．12．D解析：D【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴5∵∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时,只能得到∠EB′C=90°,∴点A. B′、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′,AB=AB′=3，∴CB′=5−3=2，设BE=x,则EB′=x，CE=4−x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=(4−x)2,解得x=3，2∴BE=3；2②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3.综上所述,BE的长为32或3.故选D.【点睛】此题主要考查矩形的折叠问题，解题的关键是根据题意分情况讨论.二、填空题13．4π+8【分析】根据题意将问题分类讨论三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹一个可以用中垂线来理解【详解】解：（1）当P在AB上Q在AD上时AO＝由圆的定义可以知O的轨迹为E解析：4π+8【分析】根据题意将问题分类讨论，三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹，一个可以用中垂线来理解【详解】解：（1）当P在AB上，Q在AD上时，AO＝142PQ=，由圆的定义可以知O的轨迹为EF这段14圆弧（2）同理当P在CD上，Q在AD上时，DO＝142PQ=，由圆的定义可以知O的轨迹为EG这段14圆弧（3）Q在AD上，P在BC上，可知PQ∥AB，O的运动轨迹为FG这条线段综上分析：O的运动路径长为：4π+8．故答案：4π+8【点睛】本题考查了轨迹以及正方形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．14．12【分析】连接AC交BD于点O先证EF是△ACD的中位线得EF∥AC再证四边形CAEG是平行四边形得AC＝EG然后由勾股定理求出OA＝OC＝6即可解决问题【详解】解：连接AC交BD于点O如图所示：解析：12【分析】连接AC，交BD于点O，先证EF是△ACD的中位线，得EF∥AC，再证四边形CAEG是平行四边形，得AC＝EG，然后由勾股定理求出OA＝OC＝6，即可解决问题．【详解】解：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵菱形ABCD的边长为10，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA＝10，∵点E、F分别是边AD，CD的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF∥AC，∴AC∥EG∴四边形CAEG是平行四边形，∴AC＝EG，∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝16，∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC，在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，∴OA＝OC22=-=6，108∴AC＝2OA＝12，∴EG＝AC＝12；故答案为：12．本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．15．【分析】根据题意原点O 为菱形对称中心则点B 与点D 关于原点对称即可得到答案【详解】解：根据题意∵菱形的对角线交于原点∴原点O 为菱形对称中心∴点B 与点D 关于原点O 对称∵点的坐标为∴点D 的坐标为故答案为：解析：(．【分析】根据题意，原点O 为菱形ABCD 对称中心，则点B 与点D 关于原点对称，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵菱形ABCD 的对角线交于原点O ，∴原点O 为菱形ABCD 对称中心，∴点B 与点D 关于原点O 对称，∵点B 的坐标为(1,-，∴点D 的坐标为(．故答案为：(．【点睛】本题考查了菱形的性质，以及中心对称图形的性质，解题的关键是掌握菱形是中心对称图形，从而进行解题． 16．【分析】根据轴对称和矩形性质得；结合∠EFB ＝60°经计算即可得到答案【详解】∵矩形ABCD 沿DE 折叠使A 点落在BC 上的F 处∴∵∠EFB ＝60°∴故答案为：【点睛】本题考查了轴对称矩形的性质；解题的解析：30【分析】根据轴对称和矩形性质，得90EFD A ∠=∠=；结合∠EFB ＝60°，经计算即可得到答案．【详解】∵矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处∴90EFD A ∠=∠=∵∠EFB ＝60°∴180180609030CFD EFB EFD ∠=-∠-∠=--=故答案为：30．【点睛】本题考查了轴对称、矩形的性质；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形的性质，从而完成17．20【分析】首先可判断四边形BGFD 是平行四边形再由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得BD=FD 则可判断四边形BGFD 是菱形设GF=x 则AF=13-xAC=2x 在Rt △AFC 中利用勾股定理可求出x 的解析：20【分析】首先可判断四边形BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD ，则可判断四边形BGFD 是菱形，设GF=x ，则AF=13-x ，AC=2x ，在Rt △AFC 中利用勾股定理可求出x 的值．【详解】∵AG ∥BD ，BD=FG ，∴四边形BGFD 是平行四边形，∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG ，又∵点D 是AC 中点，∴BD=DF= 12AC ， ∴四边形BGFD 是菱形，设GF=x ，则AF=13-x ，AC=2x ，在Rt △AFC 中，由勾股定理可得：()()2236132x x +-=解得：5x =即GF=5∴四边形BDFG 的周长=4GF=20．故答案为：20．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD 是菱形． 18．【分析】根据已知和菱形的性质可分别求得ACAC1AC2的长从而得到规律根据规律求得第n 个菱形的边长【详解】解：连接DB 与AC 交于点M ∵四边形ABCD 是菱形∴AD ＝ABAC ⊥DB ∵∠DAB ＝60°∴△解析：1n -【分析】根据已知和菱形的性质可分别求得AC ，AC 1，AC 2的长，从而得到规律，根据规律求得第n 个菱形的边长．【详解】解：连接DB ，与AC 交于点M ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ．AC ⊥DB ，∵∠DAB ＝60°，∴△ADB 是等边三角形，∴DB ＝AD ＝1，∴BM ＝12， ∴AM 11-43 ∴AC 3同理可得AC 13＝23，AC 23AC 1＝333，按此规律所作的第n 个菱形的边长为13n -，故答案为)13n -．【点睛】此题主要考查菱形的性质以及学生探索规律的能力，熟练掌握菱形的性质是关键． 19．7【分析】由已知可以得到＋代入各字母值计算可以得到解答【详解】解：如图过A 作AE ∥DC 交BC 于E 点则由题意可知∠ABC+∠AEB=90°且BE=AD=BCAE=DC ∴三角形ABE 是直角三角形∴即∴故解析：7【分析】由已知可以得到＋31214S S S +=，代入各字母值计算可以得到解答．【详解】解：如图，过A 作AE ∥DC 交BC 于E 点，则由题意可知∠ABC+∠AEB=90°，且BE=AD=12BC ，AE=DC ， ∴三角形ABE 是直角三角形，∴222AB AE BE +=，即 22214AB DC BC +=， ∴3123211116497444S S S S S S +=∴=-=⨯-=，，故答案为7．【点睛】本题考查平行四边形、正方形面积与勾股定理的综合应用，由已知得到三个正方形面积的关系式是解题关键．20．56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠使点B 与点D 重合点A 落在点G 处∴∠G=∠A=90°∠GDE=∠B=90°∵∠DFG=6解析：56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可．【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点G 处， ∴∠G=∠A=90°，∠GDE=∠B=90°，∵∠DFG=68°，∴∠GDF=∠G-∠DFG=90°-68°=22°，∴∠ADE=∠GDE-∠GDF=90°-22°=68°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-68°=22°，∴∠DEC=90°-∠EDC=90°-22°=68°，由折叠可得：∠FEB=∠FED ， ∴180180685622DEC BEF -∠-=︒︒︒∠==︒，故答案为：56．【点睛】此题考查翻折问题，关键是根据折叠前后图形全等和长方形性质解答．三、解答题21．（1）见解析；（2）１．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质解得CD=BD ，得到30DCB B ==︒∠∠，继而得到60ADC A ∠=∠=︒再根据等腰三角形的判定推出AC=CD ，最后根据等腰三角形的性质解题；（2）先解得30ACE ∠=︒，根据含30°角的直角三角形的性质解得AE 的长，即可解题．【详解】（1）证明：在ABC 中，90ACB ︒∠=，D 是AB 的中点，12CD AD BD AB ∴=== DCB B ∴∠=∠30,90B ACB ∠=︒∠=︒30,180903060DCB A ∴∠=︒∠=︒-︒-︒=︒60ADC B DCB ∴∠=∠+∠=︒A ADC ∴∠=∠AC DC ∴=CE 垂直AB 于点EAE ED ∴=；（2）CE AB ⊥90AEC ∴∠=︒60A ∠=︒30ACE ∴∠=︒12AE AC ∴= 2,AC AE DE ==1DE AE ∴==．【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线、含30°角的直角三角形、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．22．（1）见解析；（2）90【分析】（1）由AAS 证明△△BOE COD ≅，得出OE=OD ，即可得出结论；（2）先根据三角形内角和定理得到40AED ∠=︒，在根据平行线的性质定理得到50CBE A ∠=∠=︒，求得90BOE ∠=︒，然后根据菱形的判定定理即可得到结论；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB=CD ，∴OEB ODC ∠=∠，∵O 是BC 的中点，∴BO=CO ，在△BOE 和△COD 中，OEB ODC BOE COD BO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BOE CODAAS ≅， ∴OE=OD ，∴四边形BECD 是平行四边形；（2）当90ADE ∠=︒时，四边形BECD 是菱形，理由如下：∵50A ∠=︒，90ADE ∠=︒，∴40AED ∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴50CBE A ∠=∠=︒，∴90BOE ∠=︒，∴BC DE ⊥，∴四边形BECD 是菱形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定，准确分析计算是解题的关键． 23．（1）BC ＝BG ，BC ⊥BG ；（2）①（1）中结论仍然成立，理由见解析；【分析】（1）由题意易得∠ACB ＝∠B ＝45°，AD ＝AF ，∠DAF ＝90°，则有∠BAD ＝∠CAF ，进而可证△ABD ≌△ACF ，然后问题可求解；（2）①由题意易得∠ACB ＝∠B ＝45°，AD ＝AF ，∠DAF ＝90°，则有∠BAD ＝∠CAF ，进而可证△ABD ≌△ACF ，则问题可求解；②过点A 作AM ⊥BD 于M ，由题意易得AM ＝12BC ＝1，CG ＝2，由①△ABD ≌△ACF ，则有BD ＝CF ，进而可得BD ＝CF ＝4，DM ＝BD ﹣AM ＝3，最后根据勾股定理可求解．【详解】解：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ACB ＝∠B ＝45°，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝AF ，∠DAF ＝90°，∴∠CAF ＝90°﹣∠CAD ，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝90°﹣∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CAF ，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴∠ACF＝∠B＝45°，∴∠B CG＝90°，∴BC⊥CG，∠G＝90°﹣∠B＝45°＝∠B，∴BC＝BG，故答案为：BC＝BG，BC⊥BG；（2）①（1）中结论仍然成立，理由：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠CAF＝90°+∠CAD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴∠ACF＝∠B＝45°，∴∠B CG＝90°，∴BC⊥CG，∠G＝90°﹣∠B＝45°＝∠B，∴BC＝BG；②如图，过点A作AM⊥BD于M，∵BC＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴AM＝1BC＝1，2∵BC＝CG，∴CG＝2，由①△ABD≌△ACF，∴BD＝CF，∵点G是CF的中点，∴CF＝2CG＝4，∴BD＝CF＝4，∴DM＝BD﹣AM＝3，在Rt△AMD中，根据勾股定理得，AD．【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键．24．（1）证明见解析；（2）AB＝BC，理由见解析；（3）能，∠ABC＝90°，AB＝BC，理由见解析．【分析】（1）根据三角形的中位线得出DE∥BF，根据平行四边形的判定得出即可；（2）由三角形中位线定理和中点定义可得DE=BD，根据菱形的判定得出即可；（3）由正方形的判定可得．【详解】解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BF，∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形；（2）AB＝BC，理由是：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝12BC，BD＝12AB ，∵AB＝BC，∴DE＝BD，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形，即当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形；（3）∠ABC＝90°，AB＝BC，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝12BC，BD＝12AB∵AB＝BC，∴DE＝BD，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形，∵∠ABC ＝90°，∴菱形DBFE 是正方形，即当∠ABC ＝90°，AB ＝BC 时，四边形DBFE 是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些判定定理进行推理是解决本题的关键．25．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）利用菱形以及平行线的性质即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，射线OP 即为所求的∠MON 的平分线．作图依据是：可判定△MOP ≌△NOP ，于是有∠MOP ＝∠NOP ．（2）如图2，△ABC 即为所求作的直角三角形，其中∠ACB ＝90°．作图依据是：①菱形的对角线互相垂直，即BC ⊥EF ；②可判定AC ∥EF ，则AC ⊥BC ，所以∠ACB ＝90°．【点睛】本题考查作图−应用与设计、菱形的性质等知识，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用所学知识解决问题．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2PE PB =，理由见解析．【分析】（1）利用SAS 即可证得两个三角形全等；（2）根据∠ABC =90°，即∠CBP +∠ABP =90°，利用等量代换即可证得∠PBE =90°，即可证得；（3）由PB ⊥BE 和BE ＝BP 可得△PBE 是等腰直角三角形，所以2PE PB =．【详解】（1）证明：∵正方形ABCD 中，AB =BC ，在△CPB 和△AEB 中， AB CB ABE CBP BE BP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CPB ≌△AEB (SAS )；（2）∵正方形ABCD 中，∠ABC =90°，即∠CBP +∠ABP =90°，又∵∠CBP =∠ABE ，∴∠ABP+∠ABE=90°，即∠PBE=90°，∴PB⊥BE．（3）∵PB⊥BE和BE＝BP∴△PBE是等腰直角三角形，∴2．PE PB【点睛】解答本题要充分利用正方形的特殊性质，同时考查了全等三角形的判定和性质．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测题(有答案解析)(3)

一、选择题1．如图，依据尺规作图的痕迹，则α∠是（）A ．54°B ．36°C ．28°D ．72°2．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE=5，折痕为PQ ，则PQ 的长为（）A ．12B ．13C ．14D ．153．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折，若112,AEF ∠=︒则1∠等于（）A ．43B ．44C ．45︒D ．46︒ 4．如图所示，△ABC 是等边三角形，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个结论正确的是( )①点 P 在∠A 的平分线上； ②AS=AR ； ③QP //AR ； ④△BRP ≌△QSP ．A ．全部正确B ．①②正确C ．①②③正确D ．①③正确 5．如图，边长为22+的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（）A ．0.5B ．22C ．1D ．26．如图，在长方形ABCD 中，AF BD ⊥，垂足为E ，AF 交BC 于点F ，连接DF ，且DF 平分BDC ∠．下列结论中：①ABD CDB ≅；②ADE BDF S S =△△；③90ABD CDF ∠+∠=︒；④AD DF =．其中正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 7．下列命题正确的是（）A ．有一个角是直角的四边形是矩形；B ．有三个角是直角的四边形是矩形；C ．对角线相等的四边形是矩形；D ．对角线互相平分的四边形是矩形；8．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 是AB 的中点，E 是BC 的中点，EF ⊥CD 于点F ，则EF 的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．1259．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，DC '与AB 交于点E ，连结BC '，若2BD BC ='=，3AD =，则点D 到AC '的距离为（）A ．332B ．3217C ．7D ．1310．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（） A ．AB ＝CD B ．AD ＝BC C ．AB ＝BC D ．AC ＝BD 11．□ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，可推出□ABCD 是菱形，那么这个条件可以是（）A ．AB=CDB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．AB ⊥BD 12．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，若122EFC '∠=︒，那么ABE ∠的度数为（）A ．24︒B ．32︒C ．30D ．26︒二、填空题13．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，8AB =，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为______．14．在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的对角线交于原点O ，点A 的坐标为()23,2-，点B 的坐标为(1,3--，则点D 的坐标为______．15．如图，矩形ABOC 的顶点B 、C 分别在x 轴、y 轴上，顶点A 在第一象限，点B 的坐标为（3，0），将线段OC 绕点O 顺时针旋转60°至线段OD ，若反比例函数k y x= （k ≠0）的图象进过A 、D 两点，则k 值为_____．16．如图，ABC 和ABD △都是直角三角形，C ，D 是直角顶点，60,45BAC BAD ∠=︒∠=︒．取AB 的中点O ，连结,OC OD ，则COD ∠的度数是__________．17．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（0，3），点B 的坐标是（﹣4，0），以AB 为边作正方形ABCD ，连接OD ，DB ．则△DOB 的面积是_____．18．如图，在矩形ABCD 纸片中，点E 是BC 边的中点，沿直线AE 折叠，点B 落在矩形内部的点B '处，连接AB '并延长交CD 于点F ．已知4CF =，5DF =，则AD 的长为__________．19．如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 在边CD 上．以点A 为中心，把ADE 顺时针旋转90︒至ABF 的位置．若1DE =，则FC =_________．20．如图，在正方形ABCD 中，已知2AB =，点,E G 分别是边,AD CD 的中点，点F 是边BC 上的动点，连接EF ，将正方形ABCD 沿EF 折叠，,A B 的对应点分别为,A B ''，则线段GB '的最小值是_____．三、解答题21．如图1，点E 为正方形ABCD 内一点，90AEB =︒∠，现将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，得到CBE '△（点A 的对应点为点C ），延长AE 交CE '于点F ．（1）如图1，求证：四边形BEFE '是正方形；（2）连接DE ．①如图2，若DA DE =，求证：F 为CE '的中点；②如图3，若15AB =，3CF =，试求DE 的长．22．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE CF =，AE 与BF 相交于点O ．（1）求证：ABE BCF △△≌；（2）求证：AE BF ⊥；（3）若2BE =，30BAE ∠=︒，求线段AO 的长．23．如图一，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =1，BC =5，对角线AC ，BD 相交于O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．（所需图形须在备用图中画出）（1）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；（2）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形；（3）在旋转过程中，当EF ⊥BD ，旋转的角度小于180°时，求出此时绕点O 顺时针旋转的度数．24．长方形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，10OA =，6OC =．（1）如图，在AB 上取一点M ，使得CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B ′点，求B ′点的坐标．（2）求折痕CM 所在直线的解析式．（3）在x 轴上是否能找到一点P ，使B CP '△的面积为13？若存在，直接写出点P 的坐标？若不存在，请说明理由．25．如图，在ABC中，90B，CE垂直于AB于点E，D是AB∠=，30ACB︒的中点．=；（1）求证：AE EDAC=，求DE的长．（2）若226．如图，在Rt∆ABC中，∠ACB＝90°，AC的垂直平分线交AB于点E，连接CE，BF//CE 交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）当∠A满足什么条件时，四边形BCEF是菱形？回答并证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=72°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∠DAC=36°．∴∠EAF=12∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°-36°=54°，∴∠α=54°．故选：A．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．2．B解析：B【解析】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△ADE∴13=.【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 3．B解析：B【分析】根据矩形的对边平行，可得∠AEF+∠BFE=180°，继而求得∠BFE=68°，再利用折叠的性质和平角的定义求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AEF+∠BFE=180°，∵112AEF ∠=︒，∴∠BFE=68°，∴∠1=180°-2∠BFE=44°，故选B ．【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，平行线的性质，平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．A解析：A【分析】因为△ABC 为等边三角形，根据已知条件可推出Rt △ARP ≌Rt △ASP ，则AR ＝AS ，故②正确，∠BAP ＝∠CAP ，所以AP 是等边三角形的顶角的平分线，故①正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，AP 也是BC 边上的高和中线，即点P 是BC 的中点，因为AQ ＝PQ ，所以点Q 是AC 的中点，所以PQ 是边AB 对的中位线，有PQ ∥AB ，故③正确，又可推出△BRP ≌△QSP ，故④正确．【详解】解：∵PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S∴∠ARP ＝∠ASP ＝90°∵PR ＝PS ，AP ＝AP∴Rt △ARP ≌Rt △ASP∴AR ＝AS ，故②正确，∠BAP ＝∠CAP∴AP 是等边三角形的顶角的平分线，故①正确∴AP 是BC 边上的高和中线，即点P 是BC 的中点∵AQ ＝PQ∴点Q 是AC 的中点∴PQ 是边AB 对的中位线∴PQ ∥AB ，故③正确∵Q 是AC 的中点，∴QC=QP ，∵∠C=60°，∴△QPC 是等边三角形，∴PB=PC=PQ ，∵PR ＝PS ，∠BRP ＝∠QSP ＝90°，∴△BRP ≌△QSP ，故④正确∴全部正确．故选：A ．【点睛】本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，熟练掌握上述性质和判定方法是解题的关键．5．D解析：D【分析】设正八边形的边长为x ，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可．【详解】解：设正八边形的边长为x ，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为2x ， ∵正方形的边长为2+，∴由题意可得：222x+x x +=+解得：x =∴故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程是解题的关键． 6．C解析：C【分析】由长方形的性质可得：,,90,AB CD AD BC BAD BCD ==∠=∠=︒从而可判断①；由面积公式可得,ADF BDC S S =再利用角平分线的性质证明,Rt DFE Rt DFC ≌再利用面积差可判断②；由90ABD DBC ∠+∠=︒，结合90ABD CDF ∠+∠=︒，证明,DBC CDF ∠=∠ 再证明30,DBC EDF CDF ∠=∠=∠=︒ 可得AF 是BD 的垂直平分线，可得,AB AD = 则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，可判断③；由,AF BD ⊥ 结合AD DF =，可证明BD 是AF 的垂直平分线，可得,BA BF = 从而可证明45ABE ADB ∠=∠=︒，可得,AB AD = 则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，可判断④．【详解】解：长方形ABCD ，,,90,AB CD AD BC BAD BCD ∴==∠=∠=︒(),ABD CDB SAS ∴≌ 故①符合题意； 11,,22ADF BDC SAD CD S BC CD == ,ADF BDC SS ∴= ,,ADE ADF DEF BDF BCD DCFS S S S S S =-=- DF 平分BDC ∠，,90,AF BD BCD ⊥∠=︒,FE FC ∴= ,DF DF =(),Rt DFE Rt DFC HL ∴≌,DEF DCF SS ∴= ,ADE BDF S S ∴= 故②符合题意；长方形ABCD ，90ABD DBC ∴∠+∠=︒，若90ABD CDF ∠+∠=︒，,DBC CDF ∴∠=∠,Rt DFE Rt DFC ≌,EDF CDF ∴∠=∠ ,DE DC =30,DBC EDF CDF ∴∠=∠=∠=︒2,BD DC ∴=E ∴是BD 的中点，AF ∴是BD 的垂直平分线，,AB AD ∴=则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，故③不符合题意；,AF BD ⊥若AD DF =，,AE EF ∴=BD ∴是AF 的垂直平分线，,BA BF ∴=90ABC ∠=°，45BAF BFA ∴∠=∠=︒，45ABE ADB ∴∠=∠=︒，,AB AD ∴=则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，故④不符合题意；故选：.C【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定，角平分线的性质，垂直平分线的定义与判定，等腰三角形的判定与性质，含30的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据矩形的判定定理逐一进行判定即可．【详解】A 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；B 、有三个角是直角的四边形是矩形，能判定是矩形；C 、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；D 、两条对角线互相平分四边形是平行四边形，故此选项不能判定是矩形．故选B ．【点睛】此题考查矩形的判定与性质，解题关键在于掌握矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．8．D解析：D【分析】根据勾股定理得出AB ，进而利用直角三角形的性质得出：BD=DC=AD=5，利用三角形面积公式解答即可．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴10AB =，∵D 是AB 的中点，∴BD=DC=AD=5，1116812222BDC BAC SS ==⨯⨯⨯=，连接DE ，∵E 是BC 的中点，∴162DEC BDC S S ==，∵115622DEC S DC EF EF ==⨯⨯= ∴125EF = 故选：D ．【点睛】本题主要考查的是勾股定理，直角三角形斜边上的中线，关键是根据勾股定理解出AB ，进而利用直角三角形的性质解答．9．B解析：B【分析】过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，则四边形ADFG 是矩形，计算AC '的长，后利用三角形ADC 'M 面积的不同计算方法计算即可.【详解】如图，过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，∵把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，∴DC=DC '，∠ADC=∠A DC '，∵D 是BC 边上的中点，∴DC=BD ，∵2BD BC ='=，∴DC '=2BD BC ='=，∴BDC '是等边三角形，∴∠ADC=∠A DC '=∠B DC '=∠DC 'B=60°，∴BG ∥AD ，∵DF ⊥BC'，AG ⊥BC'，∴四边形ADFG 是矩形，∴BF=FC'=1，FG=AD=3，=，∴GC '=2，∴AC '=，设点D 到AC '的距离为h ， ∴1122AC h AD DF '=，∴11322h =⨯，∴h=7，故选B.【点睛】本题考查了三角形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质，矩形的判定，三角形面积不同表示方法是解题的关键.10．D解析：D【分析】由四边形ABCD 的对角线互相平分，可得四边形ABCD 是平行四边形，再添加AC=BD ，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD 是矩形．【详解】∵四边形ABCD 的对角线互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，A 、AB=CD 是平行四边形的性质，并不能得出四边形ABCD 是矩形；B 、AD=BC 是平行四边形的性质，不能推出四边形ABCD 是矩形；C 、AB=BC 时，四边形ABCD 是菱形，而不是矩形；D 、AC=BD 时，由对角线相等的平行四边形是矩形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．11．C解析：C【分析】根据菱形的定义和判定定理逐项作出判断即可．【详解】解：A. AB=CD，无法判断四边形ABCD是菱形，不合题意；B. AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断□ABCD是矩形，不合题意；C. AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断□ABCD是菱形，符合题意；D. AB⊥BD，可以得到∠B=90°，根据有一个角是直角的平行四边形叫矩形可以判断□ABCD 是矩形，不合题意．故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定，熟知菱形的定义和判定定理是解题的关键．12．D解析：D【分析】由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，∠BEF=∠DEF，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和∠BEF互补，这样可得出∠BEF的度数，进而可求得∠AEB的度数，则∠ABE可在Rt△ABE 中求得．【详解】解：由折叠的性质知，∠BEF=∠DEF，∠EBC′、∠BC′F都是直角，∴BE∥C′F，∴∠EFC′+∠BEF=180°，又∵∠EFC′=122°，∴∠BEF=∠DEF=58°，∴∠AEB=180°-∠BEF-∠DEF=64°，在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠AEB=26°．故选D．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．二、填空题13．【分析】设PQ与AC交于点O作OP′⊥BC于P′首先求出OP′当P与P′重合时PQ的值最小PQ的最小值=2OP′【详解】解：设PQ与AC交于点O作OP′⊥BC于P′如图所示：在Rt△ABC中∠ACB解析：【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′．【详解】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴BC=2AB=16，AC=3AB=83，∵四边形PAQC是平行四边形，∴OA=OC=43，∵OP′⊥BC，∠ACB=30°，∴OP'=1OC=23，2当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，∴PQ的最小值=2OP′=43，故答案为：43．【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，判断出PQ的值最小时的情况是解题的关键．14．【分析】根据题意原点O为菱形对称中心则点B与点D关于原点对称即可得到答案【详解】解：根据题意∵菱形的对角线交于原点∴原点O为菱形对称中心∴点B与点D关于原点O对称∵点的坐标为∴点D的坐标为故答案为：解析：(3．【分析】根据题意，原点O为菱形ABCD对称中心，则点B与点D关于原点对称，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵菱形ABCD的对角线交于原点O，∴原点O为菱形ABCD对称中心，∴点B与点D关于原点O对称，∵点B的坐标为(1,3--，∴点D的坐标为(3．故答案为：()1,3．【点睛】本题考查了菱形的性质，以及中心对称图形的性质，解题的关键是掌握菱形是中心对称图形，从而进行解题．15．4【分析】过点D作DH⊥x轴于H四边形ABOC是矩形由性质有AB＝CO∠COB＝90°将OC绕点O顺时针旋转60°OC＝OD∠COD＝60°可得∠DOH＝30°设DH＝x点D（xx）点A（2x）反比解析：43【分析】过点D作DH⊥x轴于H，四边形ABOC是矩形，由性质有AB＝CO，∠COB＝90°，将OC绕点O顺时针旋转60°，OC＝OD，∠COD＝60°，可得∠DOH＝30°，设DH＝x，点D（3x，x），点A（3，2x），反比例函数kyx=（k≠0）的图象经过A、D两点，构造方程求出即可．【详解】解：如图，过点D作DH⊥x轴于H，∵四边形ABOC是矩形，∴AB＝CO，∠COB＝90°，∵将线段OC绕点O顺时针旋转60°至线段OD，∴OC＝OD，∠COD＝60°，∴∠DOH＝30°，∴OD＝2DH，OH3，设DH＝x，∴点D3，x），点A32x），∵反比例函数kyx=（k≠0）的图象经过A、D两点，∴3×x3x，∴x＝2，∴点D（2），∴k＝＝故答案为：【点睛】本题考查反比例函数解析式问题，关键利用矩形的性质与旋转找到AB＝CO＝OD，∠DOH＝30°，DH＝x，会用x表示点D，x），点A，2x），利用A、D在反比例函数kyx（k≠0）的图象上，构造方程使问题得以解决．16．30°【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到∠AOD=90°证明△AOC是等边三角形得到∠AOC从而计算出∠COD【详解】解：∵CD是直角顶点∴∠ACB=∠ADB=90°又∵∠BAC=60°∠BA解析：30°【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到∠AOD=90°，证明△AOC是等边三角形，得到∠AOC，从而计算出∠COD．【详解】解：∵C、D是直角顶点，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵∠BAC=60°，∠BAD=45°，∴∠ABC=30°，∠ABD=45°，∴△ABD是等腰三角形，AC=12AB，又∵O是AB中点，∴OD⊥AB，OC=OA=12AB=AC，∠AOD=90°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠COD=30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．17．14【分析】过点D作轴垂足为E先证明从而得到AE＝OB＝4最后依据的面积＝OB•OE求解即可【详解】解：过点D作DE⊥y轴垂足为E∵A的坐标是点B的坐标是∴OA＝3OB＝4∵ABCD为正方形∴AB＝解析：14【分析】过点D 作DE y ⊥轴，垂足为E ．先证明ABO DAE ≌，从而得到AE ＝OB ＝4，最后依据OBD的面积＝12OB•OE 求解即可．【详解】解：过点D 作DE ⊥y 轴，垂足为E ．∵A 的坐标是()0,3，点B 的坐标是()4,0-，∴OA ＝3，OB ＝4．∵ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠DAB ＝90°．∵90DAE BAO ∠+∠=︒，90BAO ABO ∠+∠=︒，∴DAE ABO ∠∠＝．在ABO 和DAE △中E AOB DAE ABO AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABO DAE AAS ≌．∴AE ＝OB ＝4． ∴437OE AE AO =+=+=．∴OBD 的面积＝12OB•OE ＝12×4×7＝14．故答案为：14．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定，求得OE 的长是解题的关键．18．【分析】连接EF 根据矩形的性质可得AB=CD=9∠B=∠C=∠D=90°根据折叠的性质可得=∠B=90°利用HL 证出Rt △≌Rt △FCE 从而求出即可求出AF 最后利用勾股定理即可求出结论【详解】解：连解析：12【分析】连接EF ，根据矩形的性质可得AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质可得9AB AB '==，B E BE '=，AB E '∠=∠B=90°，利用HL 证出Rt △FB E '≌Rt △FCE ，从而求出B F '，即可求出AF ，最后利用勾股定理即可求出结论．【详解】解：连接EF ，∵4CF =，5DF =，∴CD=CF ＋DF=9∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°由折叠的性质可得9AB AB '==，B E BE '=，AB E '∠=∠B=90°∴FB E '∠=90°=∠C∵点E 为BC 的中点∴BE=CE∴B E CE '=在Rt △FB E '和Rt △FCE 中B E CE EF EF '=⎧⎨=⎩∴Rt △FB E '≌Rt △FCE∴4B F CF '==∴AF=AB '＋B F '=13在Rt △AFD 中，22AF DF -故答案为：12．【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、利用HL 判定两个三角形全等和勾股定理是解题关键． 19．4【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明CBF 三点在一条直线上又知BF ＝DE ＝1可得FC 的长【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC ＝∠D ＝90°AD ＝AB 由旋转性质可得：∠ABF ＝∠D ＝解析：4【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明C 、B 、F 三点在一条直线上，又知BF ＝DE ＝1，可得FC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝∠D ＝90°，AD ＝AB ，由旋转性质可得：∠ABF ＝∠D ＝90°，BF ＝DE ＝1，∴∠ABF ＋∠ABC ＝180°，∴C 、B 、F 三点在一条直线上，∴FC ＝BC ＋BF ＝3＋1＝4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了正方形及旋转变换的性质，掌握正方形的性质并由旋转的性质得出BF ＝DE 是解答本题的关键．20．【分析】如图连接EGEB′求出EGEB′的长可以判定点B′在EG 的延长线上时GB′的值最小最小值=即可解决问题【详解】解：如图连接EGEB′∵四边形ABCD 是正方形∴∠A=∠D=90°AD=DC=A 解析：52- 【分析】如图，连接EG ，EB ′．求出EG ，EB ′的长，可以判定点B ′在EG 的延长线上时，GB ′的值最小，最小值=52-，即可解决问题．【详解】解：如图，连接EG ，EB ′，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A =∠D =90°，AD =DC =AB =2，∵AE =DE =1，DG =GC =1，∴EG 22DE DG +2211+2，由翻折的性质可知，∠A ′=∠A =90°，A ′E =AE =1，A ′B ′=AB =2，∴EB 22'''A E A B +2212+5∴当点B ′在EG 的延长线上时，GB ′的值最小，最小值52-52-．【点睛】本题考查正方形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题21．（1）见解析；（2）①见解析；②317【分析】（1）由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，由90EBE '∠=︒，可证四边形BEFE '是矩形．由BE BE '=，可证四边形BEFE '是正方形；（2）如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ．由DA DE =，得12AH AE =．可证DHA AEB △≌△．可得AH BE FE =='，由旋转性质知，CE AE '=即可；（3）设正方形BEFE '的边长为x ．在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，由勾股定理222CE BE BC '+='可求BE '，由DHA AEB △≌△，可求CE AE DH ='=3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．在Rt DHE △中，得22317DE DH HE =+=．【详解】（1）证明：由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，又AE ∵延长与CE 于F 点，90FEB AEB ∠∠︒∴==．∵Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，90EBE ∠∴='︒，∴四边形BEFE '是矩形．又∵BE BE '=，∴四边形BEFE '是正方形．（2）证明：如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ．由DA DE =，得12AH AE =．90HDA DAH EAB DAH ∠∠∠∠︒+=+=，HDA EAB ∴∠=∠．又90DHA AEB ∠∠==︒，AD AB =，DHA AEB ∴△≌△．AH BE FE =='∴，由旋转性质知，CE AE '=，故12FE AH CE =''=，即CF FE '=．（3）解：设正方形BEFE '的边长为x ．在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，222(3)15x x ∴++=，解得9x =（舍去12x =-）．如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ，同（2）知DHA AEB △≌△，DH AE ∴=，AH BE BE '==．CE AE DH =='∴3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．在Rt DHE △中，得22317DE DH HE =+=．【点睛】本题考查正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理应用是解题关键．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3AO =．【分析】（1）由正方形的性质可得AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，然后利用“边角边”证明△ABE 和△BCF 全等；（2）由全等三角形对应角相等可得∠BAE ＝∠CBF ，然后求出∠BAE ＋∠ABF ＝∠ABC ＝90°，判断出AE ⊥BF ；（3）由30度角所对的直角边是斜边的一半，可得AE=2BE=4，同理可得OE=1，即可求得AO 的长．【详解】（1）证明：∵ABCD 是正方形，∴AB BC =，且90ABE BCF ∠=∠=︒，∵BE CF =，∴ABE BCF △△≌（SAS ）；（2）证明：由（1）知∠BAE ＝∠CBF ，∵90CBF ABF ABC ∠+∠=∠=︒∴90BAE ABF ∠+∠=︒，∴∠AOB=90︒，∴AE BF ⊥；（3）∵2BE =，30BAE ∠=︒，∴24AE BE ==，由（1）知，BAE CBF ∠=∠，且30BAE ∠=︒，∴30CBF ∠=︒，∴112EO BE ==， ∴3AO AE EO =-=．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE ≌△BCF 是解题的关键． 23．（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）45°．【分析】（1）根据平行四边形的对边平行可得AD ∥BC ，对角线互相平分可得OA=OC ，再根据两直线平行，内错角相等求出∠FAO=∠ECO ，然后利用“角边角”证明△AOF 和△COE 全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AF=CE ；（2）根据垂直的定义可得∠BAO=90°，然后求出∠BAO=∠AOF ，再根据内错角相等，两直线平行可得AB ∥EF ，然后根据平行四边形的对边平行求出AF ∥BE ，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；（3）根据（1）的结论可得AF=CE ，再求出DF ∥BE ，DF=BE ，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形BEDF 平行四边形，再求出对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得EF ⊥BD 时，四边形BEDF 是菱形；根据勾股定理列式求出AC=2，再根据平行四边形的对角线互相平分求出AO=1，然后求出∠AOB=45°，再根据旋转的定义求出旋转角即可．【详解】解：（1）如图一∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO =CO ，AD ∥BC ，∴∠FAO =∠ECO ，又∵∠AOF =∠COE ，∴△AOF ≌△COE （ASA ），∴AF =EC ，∴在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等．（2）如备用图一：证明：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°．∵∠AOF=90°，∴∠BAC=∠AOF，∴AB∥EF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．（3）如备用图二：在Rt△ABC中，AC22BC AB-．∵AO=OC，∴AO=1=AB．∵∠BAO=90°，∴∠AOB=45°∵EF⊥BD，∴∠BOF=90°，∴∠AOF=45°，即AC绕点O顺时针旋转45°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.24．（1）B′点的坐标为(8,0)；（2）163y x=-+；（3）存在，点P的坐标为37,03⎛⎫⎪⎝⎭或11,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）折叠的性质得到CB′=CB=10，B′M=BM，在Rt△OCB′中，利用勾股定理易得OB′=8，即可得到B′点的坐标；（2）设AM=t，则BM=B′M=6-t，而AB′=OA-OB′=2，在Rt△AB′M中，利用勾股定理求出t 的值，确定M点的坐标，然后利用待定系数法求直线CM的解析式即可；（3）由△B′CP的面积11|8|61322PB OC x'=⨯=-⨯=，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCO 为矩形，∴10CB OA ==，6AB OC ==，∵CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B ′点，∴10CB CB '==，B M BM '=，在Rt OCB '△中，6OC =，10CB '=，∴8OB '=，∴B ′点的坐标为(8,0)；（2）设AM t =，则6BM B M t ='=-，而2AB OA OB '=-'=，在Rt AB M '△中，222B M B A AM '='+，即222(6)2t t -=+，解得83t =，∴M 点的坐标为810,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线CM 的解析式为y kx b =+，把(0,6)C 和810,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得，68103b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得136k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线CM 的解析式为163y x =-+；（3）存在，理由：设点P 的坐标为(,0)x ，则B CP '△的面积11|8|61322PB OC x '=⨯=-⨯=，解得373x =或113，故点P 的坐标为37,03⎛⎫⎪⎝⎭或11,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是一次函数和几何的综合运用，涉及到一次函数的性质、图形的翻折、勾股定理的运用、面积的计算等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键．25．（1）见解析；（2）１．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质解得CD=BD ，得到30DCB B ==︒∠∠，继而得到60ADC A ∠=∠=︒再根据等腰三角形的判定推出AC=CD ，最后根据等腰三角形的性质解题；（2）先解得30ACE ∠=︒，根据含30°角的直角三角形的性质解得AE 的长，即可解题．【详解】（1）证明：在ABC 中，90ACB ︒∠=，D 是AB 的中点，12CD AD BD AB ∴=== DCB B ∴∠=∠30,90B ACB ∠=︒∠=︒30,180903060DCB A ∴∠=︒∠=︒-︒-︒=︒60ADC B DCB ∴∠=∠+∠=︒A ADC ∴∠=∠AC DC ∴=CE 垂直AB 于点EAE ED ∴=；（2）CE AB ⊥90AEC ∴∠=︒60A ∠=︒30ACE ∴∠=︒12AE AC ∴= 2,AC AE DE ==1DE AE ∴==．【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线、含30°角的直角三角形、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．26．（1）证明见解析；（2）30A ∠=︒，证明见解析【分析】（1）先根据垂直平分线和直角证得DF//BC ，再结合BF//CE ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；（2）根据有一组临边相等的平行四边形是菱形，所以需添加的条件能证明有一组临边相等据此作答．【详解】解：（1）证明：∵DF 垂直平分AC ，90ACB ∠=︒，∴DF//BC ，又∵BF//CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形；（2）当30A ∠=︒时，四边形BCEF 是菱形，理由是：∵DF 垂直平分AC ，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴EA=EC ，1903060∠=︒-︒=︒，∴230A ∠=∠=︒，即3903060∠=︒-︒=︒，∴∆BCE 是等边三角形，∴BC=EC ，由（1）得四边形BCEF 是平行四边形，∴四边形BCEF 是菱形．【点睛】本题考查菱形的判定定理，平行四边形的判定定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握判定定理，并能结合题意选择合适的定理证明是解题关键．。

(北师大版)成都市九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测(有答案解析)

一、选择题1．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于点G ，给出下列结论：①BE=DF ；②∠DAF=15°；③AC 垂直平分EF ；④BE+DF=EF ；其中结论正确的共有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 2．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 3．下列命题是假命题的是（）A ．有一组邻边相等的矩形是正方形B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C ．对角线相等的平行四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形 4．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是边CB 延长线上一点，F 为AB 边上一点，BE ＝BF ，连接EF 并延长交线段AD 于点G ，连接CF 交BD 于点M ，连接CG 交BD 于点N ．则下列结论：①AE ＝CF ；②∠BFM ＝∠BMF ；③∠CGF ﹣∠BAE ＝45°；④当∠BAE ＝15°时，MN ＝433．其中正确的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．45．下列命题中，正确的是（）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．平行四边形的对角线平分且相等D ．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形6．如图，在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，E 为BC 的中点，连接,,,AE DE P Q分别是,AE DE 上的点，且PE DQ =．设EPQ ∆的面积为y ，PE 的长为x ，则y 关于x 的函数关系式的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在正方形ABCD 中，E F 、分别在CD AD 、边上，且CE DF =，连接BE CF 、相交于G 点．则下列结论：①BE CF =；②BCG DFGE S S ∆=四边形；③2CG BG GE =⋅；④当E 为CD 中点时，连接DG ，则45FGD ∠=︒；正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若25CBF ︒∠=，则AED =∠A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°9．下列四个命题中真命题是（）A ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B ．对角线垂直且相等的四边形是菱形C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D ．四边都相等的四边形是正方形 10．如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（）A ．nB ．n －1C ．（14）n －1D ．14n 11．如图，矩形ABCD 的两条对角线的一个交角为60︒，两条对角线的长度之和为24cm ，则这个矩形的一条短边的长为（）A ．6cmB ．12cmC ．24cmD ．48cm12．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠ABC ＝60°，M 为AD 中点，P 为对角线BD 上一动点，连接PA 和PM ，则PA ＋PM 的最小值是( )A ．3B ．23C ．33D ．6二、填空题13．在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，D 为斜边AC 中点，8AC =，则BD =______． 14．如图，四边形ABCD 是正方形，AB ＝1，以AB 为对角线作第二个正方形AEBF ，以EB 为对角线作第三个正方形EGBH ，以此类推，则第n 个正方形的面积是_______ ．15．如图，将一个装有水的杯子斜放在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC ＝6厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，水面宽度BE ＝12厘米，此时杯子的倾斜角α等于_____度．16．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在DA 的延长线上，BE BF ⊥交CD 于点F ，连接EF ．DEF ∠的角平分线与BD 交于点H ，连接FH ．过点D 分别作DQ EH ⊥于点Q 、DP FH ⊥于点P ，连接PQ PQ ．若1PQ CF ==，则DF =______．17．如图，已知菱形OABC 的顶点O （0，0），B （2，2），每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为_____．18．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若4,30BC BAC ︒=∠=，则线段PM 的最大值是__________．19．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G ．若BC ＝4，DE ＝AF ＝1，则GF 的长为_____．20．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，若BE ＝EO ，则AD 的长是____．三、解答题21．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是AB 的中点，点E 是直线BC 上一点（不与点B ，C 重合），连接CD ，DE ．（1）如图1．①若∠CDE =90°，求证：∠A =∠E ．②若BD 平分∠CDE ，且∠E =24°，求∠A 的度数．（2）设∠A =α(α＞45°)，∠DEC =β，若CD =CE ，求β关于α的函数关系式，并说明理由． 22．如图，BD 是△ABC 的角平分线，过点作DE //BC 交AB 于点E ，DF //AB 交BC 于点F ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，CD ＝6，求菱形BEDF 的边长．23．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，ABO 是等边三角形，4AB =，求ABCD 的面积．24．（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边上，且∠EAF =45°，求证：EF =BE +DF ；（2）如图2，四边形ABCD 中，AD //BC ，∠D =90°，AD =DC =10，BC =6，点E 在CD 上，∠BAE =45°，在（1）的基础上求DE 长．25．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ．点F 是DE 的中点，连接CF ．（1）求证：CF AF =；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰直角三角形． 26．如图，正方形ABCD 的边AB 在数轴上，数轴上点A 表示的数为-1，正方形ABCD 的面积为16.（1）数轴上点B表示的数为；（2）将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后的正方形记为''''A B C D ，移动后的正方形''''A B C D与原正方形ABCD重叠部分的面积记为S.① 当S =4时，画出图形，并求出数轴上点'A表示的数；② 设正方形ABCD的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段'AA的中点，点F在线段'BB上，且. 经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，求出t的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，由勾股定理就可以表示出BE与EF，再通过比较可以得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE AFAB AD⎧⎨⎩＝＝∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF．故①正确；∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°故②正确；∵BC=CD，∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．故③正确；设EC=x，由勾股定理，得，x，x∴AC=x2∴x∴x x x-=∴BE+DF=)1x=EF故④错误；故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．2．C解析：C【分析】由菱形的性质可得这条对角线与菱形的两边组成等边三角形，从而求得锐角的度数等于60°．【详解】解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于60°，故选C．【点睛】此题主要考查菱形的性质：四边相等．3．B解析：B【分析】根据特殊平行四边形的判定与性质可以对各选项的正误作出判断．【详解】由平行四边形的性质及特殊平行四边形的判定可以得到：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，故A 正确；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B 错误；（3）对角线相等的平行四边形是矩形，故C 正确；（4）有三个角是直角的四边形是矩形，故D 正确．故选B ．【点睛】本题考查特殊平行四边形的应用，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键． 4．B解析：B【分析】①根据已知条件证明△ABE ≌△CBF ，即可判断；②由△ABE ≌△CBF 和已知条件证明四边形DGEB 是平行四边形，再证明△FBC ≌△GDC ，当且仅当∠FCG=45°时，∠BFM=∠BMF ，即可判断；③结合①②证明∠FMB=∠CGF ，进而可以判断；④当∠BAE=15°时，∠BCM=∠GCD=∠BAE=15°，可得△CMN 是等边三角形，作CH ⊥BD 于点H ，根据正方形边长为4，即可求出MN 的值，进而可以判断.【详解】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBF ＝90°，在△ABE 和△CBF 中，BE BF ABE CBF AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ），∴AE ＝CF ，故①正确；②∵△ABE ≌△CBF ，∴∠BCF ＝∠BAE ，∵∠GEC ＝∠DBC ＝∠ADB ＝45°，∴∠BMF ＝∠FCB +∠DBC ＝∠FCB +45°，∵∠GEC ＝∠DBC ，∴EG ∥DB ，∵DG ∥BE ，∴四边形DGEB 是平行四边形，∴BE ＝DG ，在△FBC 和△GDC 中，BF DG FBC GDC BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBC ≌△GDC （SAS ），∴∠BCF ＝∠DCG ，∴∠BFM ＝∠FCD ＝∠DCG +∠FCG ＝∠BCF +∠FCG ， ∴当且仅当∠FCG ＝45°时，∠BFM ＝∠BMF ，故②错误； ③∵GE ∥BD ，∴∠FMB ＝∠GFC ，∵△FBC ≌△GDC ，∴CF ＝CG ，∴∠GFC ＝∠CGF ，∴∠FMB ＝∠CGF ，∴∠CGF ﹣∠BAE ＝∠FMB ﹣∠BCM ＝∠MBC ＝45°，故③正确； ④当∠BAE ＝15°时，∠BCM ＝∠GCD ＝∠BAE ＝15°， ∴∠FCG ＝90°﹣∠BCM ﹣∠GCD ＝60°，∵BD ∥EG ，∴∠GFC ＝∠NMC ，∠FGC ＝∠MNC ，∵∠GFC ＝∠FGC ，∴∠NMC ＝∠MNC ，∴CM ＝CN ，∠MCN ＝60°，∴△CMN 是等边三角形，作CH ⊥BD 于点H ，如图，∴CH ＝12BD ＝122244+＝2， ∴CM 223×246， ∴MN ＝CM 46，故④错误．所以其中正确有①③，2个．故选：B ．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形、平行四边形的性质和判定，在有中点和直角三角形的前提条件下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等.5．D解析：D【分析】根据矩形、菱形的判定和平行四边形的性质判断即可．【详解】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；C 、平行四边形的对角线平分，原命题是假命题，不符合题意；D 、顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，是真命题，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．C解析：C【分析】过点P 作PH ED ⊥于点H ，用勾股定理求出AE=DE=4，可得ADE ∆为等边三角形，用x 表示出PE 和EQ 的长，在Rt PEH 中利用三角函数用含x 的式子表示出PH 的长，再利用12S EQ PH =⋅△PEQ 可列出y 与x 的函数关系，在结合二次函数性质即可解答．【详解】∵4BC =，E 为BC 的中点，∴2BE =．在Rt ABE ∆中，23,2AB BE ==，则4AE =，同理可得4ED AE AD ===，故ADE ∆为等边三角形，则60AED ︒∠=，∵PE QD x ==，∴4QE x =-，如图，在PQE ∆中，过点P 作PH ED ⊥于点H ．3·sin ?sin 60PH PE AED x x =∠=︒=，∴()211422y PH EQ x x x==⨯⨯-=+因此该函数的图象为开口向下的抛物线，当224b x a =-==时，y 有最大值．故选C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数解直角三角形，二次函数的性质，解题关键是用含x 的式子表示出PQE ∆的底和高，列出y 与x 的函数关系． 7．D解析：D【分析】证明△BCE ≌△CDF 可判断①；利用△BCE ≌△CDF 可得S △BCE =S △CDF ，从而可判断②；证明△BCG ∽△CEG 得CG GE BG CG=，可判断③；过D 作DM ⊥FG 于M ，证明MD=MG 即可判断④，从而可得结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形∴BC=CD ，∠BCE=∠CDF又CE=DF∴△BCE ≌△CDF∴BE CF =，故①正确；②∵△BCE ≌△CDF∴S △BCE =S △CDF ，∴S △BCE -S △CGE =S △CDF -S △CG ， ∴BCG DFGE S S ∆=四边形；③∵△BCE ≌△CDF∴∠CBE=∠FCD∵∠BCG+90GCE ∠=︒，∴∠90BCG CBG +∠=︒∴∠90BGC =︒又∵∠BGC=∠CGE=90°，∠GBC=∠GCE∴△BCG ∽△CEG∴CG GE BG CG=, ∴2CG BG GE =⋅，故③正确；④过D 作DM ⊥FG 于M ，如图所示，设DF=a ，则AD=2a∵CE=DF ∴225BE BC CE a =+= 利用面积法可得1122BC CE BE CG = ∴255CG a = 同理可得，255DM a = ∴225FM DF DM =-= ∴255a ∴MD=MG∵∠DMG=90° ∴45FGD ∠=︒，故④正确∴正确的结论有4个，故选：D ．【点睛】此题主要考查了运用正方形的有关性质进行讲明和求解，熟练掌握正方形的性质是解答此题的关键．8．C解析：C【分析】先证明△ABE ≌△ADE ，得到∠ADE ＝∠ABE ＝90°﹣25°＝65°，在△ADE 中利用三角形内角和180°可求∠AED 度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，BA ＝DA ，∠BAE ＝∠DAE ＝45°．又AE ＝AE ，∴△ABE ≌△ADE （SAS ）．∴∠ADE ＝∠ABE ＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED ＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选C ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成45°．9．C解析：C【分析】根据正方形、菱形、矩形的判定分别判断得出即可．【详解】A 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题；B 、对角线垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题；C 、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是真命题；D 、四边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题；故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理．10．B解析：B【分析】过中心作阴影另外两边的垂线可构建两个全等三角形（ASA ），由此可知阴影部分的面积是正方形的面积的14，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n 个这样的正方形重叠部分即为（n -1）个阴影部分的和，即可求解．【详解】如图作正方形边的垂线，由ASA 可知同正方形中两三角形全等，利用割补法可知一个阴影部分面积等于正方形面积的14 ，即是12214⨯⨯=， n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：()111n n ⨯-=-．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质．解题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．11．A解析：A【分析】根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角形OAB，求出AB=OA，代入求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=24，∴AC=BD=12cm，∴OA=OB=6cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=6cm，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出等边三角形OAB和求出OA的长．12．C解析：C【分析】首先连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，由在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，易得△ACD是等边三角形，BD垂直平分AC，继而可得CM⊥AD，则可求得CM的值，继而求得PA+PM的最小值．【详解】解：连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD=6，BD 垂直平分AC ，∴△ACD 是等边三角形，PA=PC ，∵M 为AD 中点，∴DM=12AD=3，CM ⊥AD ，∴，∴故选C ．【点睛】此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质．注意准确找到点P 的位置是解此题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．4【分析】直接根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解即可；【详解】∵∠ABC=90°D 为斜边AC 的中线∵AC=8∴故答案为：4【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质正确掌握知识点是解题的关键；解析：4【分析】直接根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解即可；【详解】∵∠ABC=90°，D 为斜边AC 的中线，∵AC=8，∴ 142BD AC ==，故答案为：4．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，正确掌握知识点是解题的关键；14．【分析】由正方形ABCD 的边长为1求出分别算出第二个第三个正方形的面积即可推导得出答案；【详解】∵正方形ABCD 的边长为1∴∴∴∴故答案是：【点睛】本题主要考查了正方形的性质准确分析计算是解题的关键解析：112n - 【分析】由正方形ABCD 的边长为1，求出122AE AF AC ===，1122AH AB ==，分别算出第二个、第三个正方形的面积，即可推导得出答案；【详解】∵正方形ABCD 的边长为1，∴1AB =，AC =∴122AE AF AC ===， 1122AH AB ==，∴1正方形=1ABCD S S =，2正方形1222AEBF S S ==⨯=， 3正方形111224HEGB S S ==⨯=, ⋯， ∴112n n S -=．故答案是：112n - 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，准确分析计算是解题的关键．15．【分析】先由平行线的性质得∠α=∠ABE 再由矩形的性质得∠C=90°AB ∥CD 则∠BEC=∠ABE 求出∠BEC=30°即可得出答案【详解】由题意得：BE ∥桌面∴∠α=∠ABE ∵四边形ABCD 是矩形∴解析：【分析】先由平行线的性质得∠α=∠ABE ，再由矩形的性质得∠C=90°，AB ∥CD ，则∠BEC=∠ABE ，求出∠BEC=30°，即可得出答案．【详解】由题意得：BE ∥桌面，∴∠α=∠ABE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C=90°，AB ∥CD ，∴∠BEC=∠ABE ，∵BC=6，BE=12，∴BC=12BE ， ∴∠BEC=30°，∴∠α=∠ABE=∠BEC=30°，故答案为：30．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，利用含30度角的直角三角形的性质求出∠BEC=30°是解题的关键．16．1+【分析】延长DQ 交EF 于M 延长DP 交EF 于N 先证∆ABE ≌∆CBF∆FPN ≌∆FPD∆EQD ≌∆EQM 设CD=x 则DF=x-1EF=BF=列方程求解即可【详解】解：延长DQ 交EF 于M 延长DP 交E解析：【分析】延长DQ 交EF 于M ，延长DP 交EF 于N ，先证∆ABE ≌∆CBF ，∆FPN ≌∆FPD ，∆EQD ≌∆EQM ，设CD=x ，则DF=x-1，【详解】解：延长DQ 交EF 于M ，延长DP 交EF 于N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=∠BAD=∠BCF=90°，BD 平分∠ADC ，∵BE ⊥BF ，∴∠EBF=90°，∴∠EBF=∠ABC ，∴∠EBF-∠ABF=∠ABC-∠ABF ，∴∠ABE=∠CBF ，在∆ABE 和∆CBF 中，BAE BCF AB CBABE CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆ABE ≌∆CBF ，∴AE=CF ，BE=BF ，∵EQ 平分∠DEF ，OD 平分∠EDF ，EQ 与OD 交于H ，∴FH 平分∠EFD ，∴EP ⊥DP ，∴∠FPN=∠FPD ，在∆FPN 和∆FPD 中，NFP DFP PF PFFPN FPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆FPN ≌∆FPD ，∴PN=PD ，NF=DF ，∵EQ 平分∠DEF ，∴∠DEQ=∠MEQ ，∵EQ ⊥DQ ，∴∠EQD=∠EQM=90°，在∆EQD 和∆EQM 中，DEQ EQ EQ MQEQD EQM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆EQD ≌∆EQM ，∴DQ=MQ ，EM=ED ，∴PQ 是∆DMN 的中位线，∴PQ=12MN=1， ∴MN=2，∴EF+MN=EM+FN=DE+DF=AD+AE+CD-CF=2CD ，设CD=x ，则DF=x-1，∴EF=2BF=22(1)x +，∴22(1)x ++2=2x ，∴2x²+2=4x²-8x+4，∴2x²-8x+2=0，∴x²-4x+1=0，∴(x-2) ²=3，∴1232,32x x =+=-+(舍)，∵CD=2+3，∴DF=1+3，故答案为：1+3【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握有关性质及正确添加辅助线．17．（﹣1﹣1）【分析】根据菱形的性质可得D点坐标根据旋转的性质即可求得旋转后D点的坐标【详解】解：∵菱形OABC的顶点O（00）B（22）∴D点坐标为（11）∵每秒旋转45°则第60秒时得45°×60解析：（﹣1，﹣1）【分析】根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，即可求得旋转后D点的坐标．【详解】解：∵菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），∴D点坐标为（1，1）．∵每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60＝2700°，2700°÷360＝7.5周，∴OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．【点睛】本题考查了菱形及旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．18．【分析】如图连接PC由直角三角形性质和旋转性质可得A′B′=AB=8PC=4根据PM≤PC+CM可得PM≤6由此即可解决问题【详解】解：如图连接PC在Rt△ABC中∵∠A=30°BC=4∴AB=8根解析：6【分析】如图，连接PC，由直角三角形性质和旋转性质可得A′B′=AB=8，PC=4，根据PM≤PC+CM，可得PM≤6，由此即可解决问题．【详解】解：如图，连接PC，在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=4，∴AB=8，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=8，∵P 是 A'B' 的中点，∴A′P=PB′=PC，∴PC=1A′B′=4，2∵CM=BM=2，∵PM≤PC+CM ，即PM≤6，∴PM 的最大值为6（此时P 、C 、M 共线），故答案是：6．【点睛】本题考查旋转变换、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．19．6【分析】先证明△CDF ≌△BCE 得到∠BGC ＝90°利用面积法求出求出CF ＝5即可求出GF 【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形BC ＝4∴∠CDF ＝∠BCE ＝90°AD ＝DC ＝BC ＝4又∵DE ＝AF解析：6【分析】先证明△CDF ≌△BCE ，得到∠BGC ＝90°，利用面积法求出125CG =，求出CF ＝5，即可求出GF ．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，BC ＝4，∴∠CDF ＝∠BCE ＝90°，AD ＝DC ＝BC ＝4，又∵DE ＝AF ＝1，∴CE ＝DF ＝3，∴在△CDF 和△BCE 中， CD BC CDF BCE DF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF ≌△BCE （SAS ），∴∠DCF ＝∠CBE ，∵∠DCF +∠BCF ＝90°，∴∠CBE +∠BCF ＝90°，∴∠BGC ＝90°，∵在Rt △BCE 中，BC ＝4，CE ＝3，∴5BE ==,∴BE •CG ＝BC •CE ， ∴431255BC CE CG BE ⨯===， ∵△CDF ≌△BCE （SAS ），∴CF ＝BE ＝5，∴GF ＝CF ﹣CG ＝5﹣125＝2.6．故答案为：2.6．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，证明△CDF ≌△BCE 是解题关键． 20．【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OCAC=BD 由线段垂直平分线的性质可得OA=AB=OB 可证△OAB 是等边三角形可得∠ABD=60°由直角三角形的性质可求解【详解】解：∵四边形ABCD 是矩解析：【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OC ，AC=BD ，由线段垂直平分线的性质可得OA=AB=OB ，可证△OAB 是等边三角形，可得∠ABD=60°，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB=OD ，OA=OC ，AC=BD ，∴OA=OB ，∵BE=EO ，AE ⊥BD ，∴AB=AO ，∴OA=AB=OB ，即△OAB 是等边三角形，∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，∴故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题21．（1）①见解析；②22°；（2）1=45+2βα︒ 或1=452βα︒- 【分析】（1）①根据斜边中线的性质，可得∠A =∠ACD ，根据同角的余角相等可证；②设∠EDB =∠CDB =x ，则∠DCB =∠DBC =24°+x ，列方程即可求；（2）分点E 在线段BC 上和在BC 延长线上两种情况，通过等腰三角形建立两个角的联系即可．【详解】解:（1）①∵D 是AB 的中点，90ACB ∠=∴DA=DC，DB=DC,∴∠A=∠ACD，∠DCB=∠DBC，∠ACD+∠DCE=90°又∠EDC=90°，∠E+∠DCE=90°，∴∠E=∠ACD，∴∠A=∠E.②由BD平分∠CDE，设∠EDB=∠CDB=x，则∠DCB=∠DBC=24°+x，在△DBC中，24°+x+24°+x+x=180°，解得，x=44°，∵∠A=∠ACD，∴∠A=22°；（2）∵CD=CE，∴∠CDE=∠DEC，情况1：如图1所示，当点E在线段BC上时，图1∠A=∠ACD=α，∠CDE=∠DEC=β，则∠DCE=90°-α在△DEC中，2β+90°-α=180°，所以1=45+2βα︒.情况2：如图2所示，当点E在BC延长线上时，图2∠A=∠ACD=α，∠CDE=∠DEC=β，则∠DCB=90°-α=2β所以1=452βα︒-.综上所述：1=45+2βα︒或1=452βα︒-．【点睛】本题考查了斜边中线的性质，等腰三角形的性质等，解题关键是通过设未知数或参数，建立角之间的联系．22．（1）见解析；（2）26【分析】（1）由题意可证BE＝DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；（2）过点D作DH⊥BC于H，由直角三角形的性质可求解．【详解】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝12∠ABC，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，∴FH＝12DF，DH33，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC2DH＝62DF＝6，∴DF＝6，∴菱形BEDF 的边长为．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的判定定理是本题的关键． 23．【分析】△AOB 是等边三角形，得出AO=AB ，进而得出四边形ABCD 是矩形，求出AC ，再根据勾股定理求出BC ，即可求出面积=AB•BC ．【详解】解：因为平行四边形ABCD ，∴OA OC =，OB OD =，又∵三角形ABO 是等边三角形4OA OB AB ∴===，∴4OA OB OC OD ====，∴2248AC BD OA ===⨯=∴平行四边形ABCD 是矩形∴90ABC ∠=°在Rt ABC 中，由勾股定理得222AB BC AC +=∴BC ===∴S ▱ABCD =AB•BC=【点睛】本题考查了矩形的判定和性质和等边三角形的性质以及勾股定理，运用勾股定理求边长是解题的关键．24．（1）见解析；（2）307【分析】（1）延长EB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ，根据题意易证△ADF ≌△ABG （SAS ），即可得到AG =AF ，∠GAB =∠FAD ．即可证明△GAE ≌△FAE （SAS ），即得到EF =BE +DF ．（2）作AM ⊥BC 点M ，连接BE ，易证四边形AMCD 是正方形，即可得到AD =CD =MC =10，MB =4．再由（1）的结论得BE =MB +DE ，设DE =x ，则EC =10x -，BE =4x +．在Rt △BCE 中，结合勾股定理即可列出关于x 的方程，求出x 即可．【详解】（1）如图，延长EB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ．在△ADF 和△ABG 中，90AD AB ADF ABG DF BG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABG （SAS ）．∴AG =AF ，∠GAB =∠FAD ，∵45EAF ∠=︒，∴45FAD BAE ∠+∠=︒,∴45GAB BAE ∠+∠=︒，即45GAE EAF ∠=∠=︒．在△GAE 和△FAE 中，45AG AF GAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△GAE ≌△FAE （SAS ），∴EG=EF ，即EF=BE+BG=BE+DF ．（2）如图，作AM ⊥BC 点M ，连接BE ，由题意可知四边形AMCD 是正方形，∴AD =CD =MC =10，MB =4．由（1）知BE =MB +DE ．设DE =x ，则EC =10x -，BE =4x +．在Rt △BCE 中，222BC EC BE +=，即()222610=(4)x x +-+，解得：307x =，即DE = 307【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质以及勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键．25．（1）见解析；（2）△ABC ， △ADE ，△ADF ，△AFE【分析】（1）根据90BAC DAE ∠=∠=︒得到BAD CAE ∠=∠再根据已知条件求证ABD ACE ABD ACE ∠=∠≌，再根据题意得∠ABD=∠ACE=45°，进而得到△DCE 为直角三角形，再由点F 是DE 的中点得到CF=AF ；（2）根据等腰直角三角形的性质和定义结合第一问即可得到结果．【详解】（1）证明：∵90BAC DAE ∠=∠=︒∴BAC CAD DAE CAD ∠-∠=∠-∠即BAD CAE ∠=∠∵AB AC =，AD AE =∴ABD ACE △≌△，∴ABD ACE ∠=∠∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠∵90BAC ∠=︒∴90ABC ACB ∠+∠=︒，∴45ABC ACB ∠=∠=︒∴45ABD ACE ∠=∠=︒∴90DCE ACB ACE ∠︒=∠+∠=∵点F 是DE 的中点，90DAE DCE ∠=∠=︒ ∴12AF DE =，12CF DE = ∴CF AF =（2）图中所有的等腰直角三角形是：ABC ，ADE ，ADF ，AFE △；【点睛】此题属于三角形旋转类综合性问题，涉及知识点为三角形全等，直角三角形斜边上的中线为斜边的一半．26．（1）－5；（2）– 4或2；（3）t=4．【分析】(1)、根据正方形的面积得出AB=4，根据点A 所表示的数得出点B 所表示的数；(2)、①、根据题意得出矩形的一边长为4，要使面积为4，则另一边长为1，然后根据向左移动和向右移动两种情况分别画出图形得出答案；②、用含t 的代数式分别表示出点E 和点F 所表示的数，然后根据互为相反数的两个数的和为零列出方程得出答案．【详解】解：(1)、正方形ABCD 的面积为16，∴AB=4，点A 表示的数为-1，∴AO=1，∴BO=5，∴数轴上点B 表示的数为：–5；(2)、①∵正方形ABCD 的面积为16，∴边长为4．当S=4时，分两种情况：（I ）若正方形ABCD 向左平移，如图1，重叠部分中的A ＇B =1，∴AA ＇=3．则点A ＇表示–1–3= – 4．（II ）若正方形ABCD 向右平移，如图2，重叠部分中的AB ＇=1，∴AA ＇=3．则点A ＇表示–1+3= 2，综上所述：点A ＇表示的数为– 4或2．图1 图2②t=4．理由如下：当正方形ABCD 沿数轴负方向运动时，点E 、F 表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意；当点E 、F 所表示的数互为相反数时，正方形ABCD 沿数轴正方向运动，如图3，11222AE AA t t '==⨯=，点A 表示-1， ∴点E 表示的数为1t -+， 1112442BF BB t t '==⨯=，点B 表示-5， ∴点F 表示的数为152t -+，点E 、F 所表示的数互为相反数，11502t t ⎛⎫∴-++-+= ⎪⎝⎭ 解得4t =．【点睛】本题主要考查的就是数轴上的动点问题以及在数轴上两点之间的距离计算，属于中等难度的题型，解答这个问题最关键的就是要明确两点之间的距离方法．在用代数式来表示点所表示的数时，同学们一定要注意向右移动，则用原数加上移动的距离；向左移动，则用原数减去移动的距离．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测(包含答案解析)(1)

一、选择题1．如图，矩形ABCD 被两条对角线分成4个小三角形OAB ∆、OAD ∆、OBC ∆和OCD ∆，若这4个小三角形的周长之和为68，对角线10AC =，则矩形ABCD 的周长是（）A ．14B ．18C ．21D ．282．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于点G ，给出下列结论：①BE=DF ；②∠DAF=15°；③AC 垂直平分EF ；④BE+DF=EF ；其中结论正确的共有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．如图，依据尺规作图的痕迹，则α∠是（）A ．54°B ．36°C ．28°D ．72°4．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠，//AD BC ，90C ∠=︒，5AB =，4CD =，则四边形ABCD 的周长是（）．A ．18B ．20C ．22D ．245．如图，在长方形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，连接ED ，若ED ＝5，EC ＝3，则长方形的周长为（）A ．20B ．22C ．24D ．266．如图，以△ABC 的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF ，GH ，DJ ，如果△ABC 的面积为8，则图中阴影部分的面积为（）A ．28B ．24C ．20D ．167．如图，在长方形ABCD 中，动点P 从A 出发，以相同的速度，沿A B C D A ----方向运动到点A 处停止．设点P 运动的路程为,x PCD ∆的面积为y ，如果y 与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD 的面积为（）A ．12B ．24C ．20D ．488．如图，在菱形ABCD 中，已知3AD =，1DF =，60DAB ∠=︒，15EFG ∠=︒，FG BC ⊥，求AE 的长是（）A ．12+B ．6C ．231-D ．13+ 9．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．两组对角分别相等 10．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，AE ⊥BC ，垂足是E ，若线段AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为（）A ．12B ．16C ．20D ．24 11．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC =8，BD =6，则菱形的周长等于（）A ．40B ．47C ．24D ．2012．如图，矩形ABCD 的两条对角线的一个交角为60︒，两条对角线的长度之和为24cm ，则这个矩形的一条短边的长为（）A ．6cmB ．12cmC ．24cmD ．48cm二、填空题13．在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，D 为斜边AC 中点，8AC =，则BD =______． 14．D 为等腰Rt △ABC 斜边BC 上一点（不与B 、C 重合），DE ⊥BC 于点D ，交直线BA 于点E ，作∠EDF ＝45°，DF 交AC 于F ，连接EF ，BD ＝nDC ，当n ＝__________时，△DEF 为等腰直角三角形．15．如图，点E 是矩形ABCD 内任一点，若4AB =，7BC =．则图中阴影部分的面积为__________．16．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为_______________．17．如下图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB l为边作第三个正方形OB l B2C2，照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为_______．18．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝3，将矩形纸片折叠，边AD、边BC与对角线BD 重合，点A与点C恰好落在同一点处，则矩形纸片ABCD的周长是______．19．如图，将一个长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C点与A点重合，若==，则线段DF的长是_________．2,4AB AD20．如图，把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，使点B与点D重合，点A落在点G处，∠=︒，则BEFDFG68∠的度数为_________．三、解答题21．如图1，点E 为正方形ABCD 内一点，90AEB =︒∠，现将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，得到CBE '△（点A 的对应点为点C ），延长AE 交CE '于点F ．（1）如图1，求证：四边形BEFE '是正方形；（2）连接DE ．①如图2，若DA DE =，求证：F 为CE '的中点；②如图3，若15AB =，3CF =，试求DE 的长．22．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ．点F 是DE 的中点，连接CF ．（1）求证：CF AF =；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰直角三角形． 23．如图，四边形ABCD 是平行四边形，//DE BF ，且分别交对角线AC 于点E ，F ，连接,BE DF ．若BE DE =，求证：四边形EBFD 是菱形．24．如图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点O，M，N，A，B均在格点上，请按要求完成下列问题：（1）在图①中，仅用无刻度直尺在网格中画出∠MON的平分线OP，并简要说明画图的依据；（2）在图②中，仅用无刻度直尺在网格中画一个Rt△ABC，使点C在格点上，并简要说明画图的依据．25．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x 轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．（1）求点E的坐标；（2）求点D的坐标．26．综合与探究如图是一个正方形纸片ABCO，如果将正方形纸片ABCO绕点C逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形CDEF，ED交AB于点G，ED的延长线交0A于点H，连接CH、CG．（1）求证：CG平分∠DCB；（2）直接写出线段HG、OH、BG之间的数量关系；（3）连接BD，AD，AE，BE，试探究在旋转过程中，四边形AEBD能否成为矩形？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】四个小三角形的周长是两条对角线长的2倍与矩形周长的和，由此可求矩形周长．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，四个小三角形的周长=2AC+2BD+AD+DC+BC+BA，即40+矩形周长=68，所以矩形周长为28．故选：D.【点睛】本题考查了矩形的性质和矩形的周长，抓住矩形的对角线相等和四个小三角形的周长=4倍的对角线长+矩形的周长是解决本题的关键．2．B解析：B【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，由勾股定理就可以表示出BE与EF，再通过比较可以得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE AF AB AD ⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF ．故①正确；∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°故②正确；∵BC=CD ，∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．故③正确；设EC=x ，由勾股定理，得，CG=2x ，AG=2x ∴AC=2x ∴x ∴BE=1122x x x -= ∴BE+DF=)1x=EF 故④错误；故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．3．A解析：A【分析】先根据矩形的性质得出AD ∥BC ，故可得出∠DAC 的度数，由角平分线的定义求出∠EAF 的度数，再由EF 是线段AC 的垂直平分线得出∠AEF 的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE 的度数，进而可得出结论．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB=72°．∵由作法可知，AF 是∠DAC 的平分线，∴∠EAF=12∠DAC=36°． ∵由作法可知，EF 是线段AC 的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°-36°=54°，∴∠α=54°．故选：A ．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 4．C解析：C【分析】过点A 做AE BC ⊥交BC 于点E ，根据角平分线和平行线性质，推导得5AD AB ==；通过判定四边形AECD 为矩形，得5EC AD ==，4AE CD ==；再根据勾股定理计算，得BE ，从而得到四边形ABCD 的周长．【详解】如图，过点A 做AE BC ⊥交BC 于点E∵BD 平分ABC ∠∴ABD CBD ∠=∠∵//AD BC∴ADB CBD ∠=∠∴ABD ADB ∠=∠∴5AD AB ==∵AE BC ⊥，90C ∠=︒∴//AE DC∴四边形AECD 为矩形∴5EC AD ==，4AE CD ==又∵AE BC ⊥，即90AEB =︒∠ ∴3BE ==∴四边形ABCD 的周长22AB BE EC CD AD =++++=故选：C ．【点睛】本题考查了平行线、角平分线、等腰三角形、矩形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线、矩形、勾股定理、等腰三角形的性质，从而完成求解． 5．B解析：B【分析】直接利用勾股定理得出DC 的长，再利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质得出BE 的长，进而得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是长方形，∴∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝DC ，∵ED ＝5，EC ＝3，∴DC 4==，则AB ＝4，∵AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∴AB ＝BE ＝4，∴长方形的周长为：2×（4＋4＋3）＝22.故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等，解题关键是把握已知，整合已知得出等腰三角形，依据勾股定理求出线段长．6．B解析：B【分析】过E 作EM ⊥FA 交FA 的延长线于M ，过C 作CN ⊥AB 交AB 的延长线于N ，根据全等三角形的性质得到EM ＝CN ，于是得到S △AEF ＝S △ABC ＝8，同理S △CDJ ＝S △BHG ＝S △ABC ＝8，于是得【详解】解：过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，∴∠M＝∠N＝90°，∠EAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAB＝90°，∴∠EAM=∠CAB∵四边形ACDE、四边形ABGF是正方形，∴AC=AE，AF＝AB，∴∠EAM≌△CAN，∴EM＝CN，∵AF＝AB，∴S△AEF＝12AF•EM，S△ABC＝12AB•CN＝8，∴S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，∴图中阴影部分的面积＝3×8＝24，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，正确的作辅助线是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据题意结合图象得出AB、BC的长度，再求出面积即可．【详解】由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积不变，结合图象可知AB=6，当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC=4，∴长方形ABCD的面积为：AB•BC=6×4=24．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质和动点问题的函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．8．D【分析】首先作FH⊥AB，垂足为H，由四边形ABCD是菱形，可得AD＝AB＝3，即可求得AF的长，又由∠DAB＝60°，即可求得AH与FH的长，然后由∠EFG＝15°，证得△FHE是等腰直角三角形，继而求得答案．【详解】解：如图，作FH⊥AB，垂足为H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝3，∵DF＝1，∴AF＝AD−FD＝2，∵∠DAB＝60°，∴∠AFH＝30°，∴AH＝1，FH3⊥，∵FG BC⊥，∴FG AD又∵∠EFG＝15°，∴∠EFH＝∠AFG−∠AFH−∠EFG＝90°−30°−15°＝45°，∴△FHE是等腰直角三角形，∴HE＝FH3∴AE＝AH＋HE＝13，故选：D．【点睛】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．难度适中，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．9．B解析：B【分析】矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分，互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，据此解答．【详解】A、是菱形的性质，是矩形的性质，故本选项不符合题意；B、是矩形的性质，不是菱形的性质，故本选项符合题意；C 、是菱形的性质，不是矩形的性质，故本选项不符合题意；D 、矩形、菱形的对角都相等，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查矩形的性质，菱形的性质，熟记各自的性质特征是解题的关键．10．B解析：B【分析】延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，构造出全等三角形，()ABE ADF AAS ≅，即可得到四边形ABCD 的面积就等于正方形AECF 的面积．【详解】解：如图，延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，∵AE BC ⊥，∴90AEC AEB ∠=∠=︒，∵AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∵90C ∠=︒，∴四边形AECF 是矩形，∴90EAF ∠=︒，∵BAD EAF ∠=∠，∴BAD EAD EAF EAD ∠-∠=∠-∠，即BAE DAF ∠=∠，在ABE △和ADF 中，BAE DAF AEB AFD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADF AAS ≅，∴AE AF =，∴四边形AECF 是正方形，∵ABE ADF S S ，∴216ABCD AECF S S AE ===．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．11．D解析：D【分析】根据菱形的性质可求得BO 、AO 的长，AC ⊥BD ，根据勾股定理可求出AB ，进而可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =DA ，132==BO BD ，142AO AC ==，AC ⊥BD ，则在Rt △ABO 中，根据勾股定理得：5AB =，∴菱形ABCD 的周长=4×5=20．故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 12．A解析：A【分析】根据矩形的性质求出OA=OB ，AC=BD ，求出AC 的长，求出OA 和OB 的长，推出等边三角形OAB ，求出AB=OA ，代入求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OC=12AC ，OD=OB=12BD ，AC=BD ， ∴OA=OB ，∵AC+BD=24，∴AC=BD=12cm ，∴OA=OB=6cm ，∵OA=OB ，∠AOB=60°，∴△OAB 是等边三角形，∴AB=OA=6cm ，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出等边三角形OAB 和求出OA 的长．二、填空题13．4【分析】直接根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解即可；【详解】∵∠ABC=90°D 为斜边AC 的中线∵AC=8∴故答案为：4【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质正确掌握知识点是解题的关键；解析：4【分析】直接根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解即可；【详解】∵∠ABC=90°，D 为斜边AC 的中线，∵AC=8，∴ 142BD AC ==，故答案为：4．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，正确掌握知识点是解题的关键；14．或1【分析】分两种情况①当∠DEF ＝90°时由题意得出EF ∥BC 作FG ⊥BC 于G 证出△CFG △BDE 是等腰直角三角形四边形EFGD 是正方形得出BD=DE=EF=DG=FG=CG 继而可得结果；②当∠E 解析：12或1 【分析】分两种情况①当∠DEF ＝90°时，由题意得出EF ∥BC ，作FG ⊥BC 于G ，证出△CFG 、△BDE 是等腰直角三角形，四边形EFGD 是正方形，得出BD=DE=EF=DG=FG=CG ，继而可得结果；②当∠EFD ＝90°时，求出∠DEF ＝45°，得出E 与A 重合，D 是BC 的中点，BD=CD ，即可得出结果.【详解】解：分两种情况：①当∠DEF ＝90°时，如图1所示：∵DE ⊥BC ，∴∠BDE ＝90°＝∠DEF ，∴EF ∥BC ，作FG ⊥BC 于G ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴△CFG 、△BDE 是等腰直角三角形，四边形EFGD 是正方形，∴BD=DE=EF=DG=FG=CG ，∴BD=12CD,∴n=12； ②当∠EFD ＝90°时，如图2所示：∵∠EDF ＝45°，∴∠DEF ＝45°，此时E 与A 重合，D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∴n=1.综上所述：n=12或1, 故答案为：12或1 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、正方形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键. 15．【分析】根据三角形面积公式可知图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AD=BC=7设两个阴影部分三角形的底为ADBC 高分别为h1h2则h1+h2=AB ∴解析：14【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=7，设两个阴影部分三角形的底为AD ，BC ，高分别为h 1，h 2，则h 1+h 2=AB ，∴S △ADE +S △BCE =12AD•h 1+12BC•h 2=12AD （h 1+h 2）=12AD•AB ， ∴147142S =⨯⨯=阴影；故答案为：14．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．16．【分析】先证四边形BGDH 为平行四边形再证BG=BH 然后由勾股定理求B Ｇ四边形BGDH 的周长=4BH 即可【详解】由题意得矩形矩形∴四边形是平行四边形∴平行四边形的面积∴四边形是菱形设则在中由勾股定理解析：34011【分析】先证四边形BGDH 为平行四边形，再证BG=BH ，然后由勾股定理求B Ｇ，四边形BGDH 的周长=4BH 即可．【详解】由题意得矩形ABCD ≌矩形BEDF ，90,7,//,//,11A AB BE AD BC BF DE AD ︒∴∠====，∴四边形BGDH 是平行四边形，∴平行四边形BGDH 的面积BG AB BH BE =⋅=⋅，BG BH ∴=，∴四边形BGDH 是菱形，BH DH DG BG ∴===．设BH DH x ==，则11AH x =-．在Rt ABH △中，由勾股定理得2227(11)x x +-=，解得85,11x = 8511BG ∴=， ∴四边形BGDH 的周长340411BG ==．【点睛】本题考查四边形的周长问题，关键是证四边形BGDH 为菱形，用勾股定理求BH ，掌握矩形的性质，菱形的性质与判定，会用勾股定理解决问题．17．【分析】首先求出B1B2B3B4B5B6B7B8B9的坐标找出这些坐标的之间的规律然后根据规律计算出点B2020的坐标【详解】解：∵正方形OABC 边长为1∴OB=∵正方形OBB1C1是正方形OABC解析：10102-【分析】首先求出B 1、B 2、B 3、B 4、B 5、B 6、B 7、B 8、B 9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B 2020的坐标．【详解】解：∵正方形OABC 边长为1，∴，∵正方形OBB 1C 1是正方形OABC 的对角线OB 为边，∴OB1=2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2，B2点坐标为（-2，2），同理可知OB3=4，B3点坐标为（-4，0），B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），B6（8，-8），B7（16，0）B8（16，16），B9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形倍，∵2020÷8=252…4，∴B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，横坐标为负值，纵坐标是负值，∴B2020的坐标为（-21010，-21010）．故答案为：10102-．【点睛】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变倍，此题难度较大．18．6＋2【分析】由题意BD=2AD=利用勾股定理求出AB即可解决问题【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A=90°AD=BC=AB=CD由翻折的性质可知BD=2AD=2∴在中AB=CD===3∴四边解析：6＋【分析】由题意BD=2AD=利用勾股定理求出AB即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°由翻折的性质可知∴在Rt DAB中=3,∴四边形ABCD的周长为故答案为【点睛】本题考查矩形的性质翻折变换,勾股定理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题．19．【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可求得【详解】解：∵长方形纸片∴根据折叠的性质可得设根据勾股定理即解得故答案为：【点睛】本题考查折叠与勾股定理能正确表示直角三角形的三边是解题关键解析：32【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可求得DF ．【详解】解：∵长方形纸片ABCD ，∴2CD AB ==，90C ∠=︒，根据折叠的性质可得'2AD CD AB ===，90AD F C '∠=∠=︒，D F DF '=，设D F DF x '==，4AF AD DF x =-=-，根据勾股定理D F AD AF ''+=，即()2224x x +=-，解得32x =，故答案为：32．【点睛】本题考查折叠与勾股定理．能正确表示直角三角形的三边是解题关键．20．56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠使点B 与点D 重合点A 落在点G 处∴∠G=∠A=90°∠GDE=∠B=90°∵∠DFG=6解析：56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可．【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点G 处， ∴∠G=∠A=90°，∠GDE=∠B=90°，∵∠DFG=68°，∴∠GDF=∠G-∠DFG=90°-68°=22°，∴∠ADE=∠GDE-∠GDF=90°-22°=68°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-68°=22°，∴∠DEC=90°-∠EDC=90°-22°=68°，由折叠可得：∠FEB=∠FED ， ∴180180685622DEC BEF -∠-=︒︒︒∠==︒，故答案为：56．【点睛】此题考查翻折问题，关键是根据折叠前后图形全等和长方形性质解答．三、解答题21．（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，由90EBE '∠=︒，可证四边形BEFE '是矩形．由BE BE '=，可证四边形BEFE '是正方形；（2）如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ．由DA DE =，得12AH AE =．可证DHA AEB △≌△．可得AH BE FE =='，由旋转性质知，CE AE '=即可；（3）设正方形BEFE '的边长为x ．在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，由勾股定理222CE BE BC '+='可求BE '，由DHA AEB △≌△，可求CE AE DH ='=3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．在Rt DHE △中，得DE ==【详解】（1）证明：由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，又AE ∵延长与CE 于F 点，90FEB AEB ∠∠︒∴==．∵Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，90EBE ∠∴='︒，∴四边形BEFE '是矩形．又∵BE BE '=，∴四边形BEFE '是正方形．（2）证明：如图，过点 D 作DHEA ⊥，垂足为H ．由DA DE =，得12AH AE =． 90HDA DAH EAB DAH ∠∠∠∠︒+=+=，HDA EAB ∴∠=∠．又90DHA AEB ∠∠==︒，AD AB =，DHA AEB ∴△≌△．AH BE FE =='∴，由旋转性质知，CE AE '=，故12FE AH CE =''=，即CF FE '=．（3）解：设正方形BEFE '的边长为x ．在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，222(3)15x x ∴++=，解得9x =（舍去12x =-）．如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ，同（2）知DHA AEB △≌△，DH AE ∴=，AH BE BE '==．CE AE DH =='∴3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．在Rt DHE △中，得22317DE DH HE =+=．【点睛】本题考查正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理应用是解题关键．22．（1）见解析；（2）△ABC ， △ADE ，△ADF ，△AFE【分析】（1）根据90BAC DAE ∠=∠=︒得到BAD CAE ∠=∠再根据已知条件求证ABD ACE ABD ACE ∠=∠≌，再根据题意得∠ABD=∠ACE=45°，进而得到△DCE 为直角三角形，再由点F 是DE 的中点得到CF=AF ；（2）根据等腰直角三角形的性质和定义结合第一问即可得到结果．【详解】（1）证明：∵90BAC DAE ∠=∠=︒∴BAC CAD DAE CAD ∠-∠=∠-∠即BAD CAE ∠=∠∵AB AC =，AD AE =∴ABD ACE △≌△，∴ABD ACE ∠=∠∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠∵90BAC ∠=︒∴90ABC ACB ∠+∠=︒，∴45ABC ACB ∠=∠=︒∴45ABD ACE ∠=∠=︒∴90DCE ACB ACE ∠︒=∠+∠=∵点F 是DE 的中点，90DAE DCE ∠=∠=︒ ∴12AF DE =，12CF DE = ∴CF AF =（2）图中所有的等腰直角三角形是：ABC ，ADE ，ADF ，AFE △；【点睛】此题属于三角形旋转类综合性问题，涉及知识点为三角形全等，直角三角形斜边上的中线为斜边的一半．23．见解析【分析】根据平行四边形的性质，可以得到AD=CB ，AD ∥CB ，从而可以得到∠DAE=∠BCF ，再根据DE ∥BF 和等角的补角相等，从而可以得到∠AED=∠CFB ，然后即可证明△ADE 和△CBF 全等，从而可以得到DE=BF ，再根据DE ∥BF ，即可得到四边形EBFD 是平行四边形，再根据BE=DE ，即可得到四边形EBFD 为菱形．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE=∠BCF ，∵DE ∥BF ，∴∠DEF=∠BFE ，∴∠AED=∠CFB ，在△ADE 和△CBF 中，DAE BCF AED CFB AD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴DE=BF ，又∵DE ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BE=DE ，∴四边形EBFD 为菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．24．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）利用菱形以及平行线的性质即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，射线OP 即为所求的∠MON 的平分线．作图依据是：可判定△MOP ≌△NOP ，于是有∠MOP ＝∠NOP ．（2）如图2，△ABC 即为所求作的直角三角形，其中∠ACB ＝90°．作图依据是：①菱形的对角线互相垂直，即BC ⊥EF ；②可判定AC ∥EF ，则AC ⊥BC ，所以∠ACB ＝90°．【点睛】本题考查作图−应用与设计、菱形的性质等知识，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用所学知识解决问题．25．（1）()4,8E ；（2）()0,5D【分析】（1）由折叠的性质得10AO AE ==，利用勾股定理求出BE 长，得到CE 的长，就可以得到点E 的坐标；（2）设OD x =，8CD x =-，由折叠的性质得OD DE x ==，再在Rt CDE △中利用勾股定理列式求出x 的值，就可以得到点D 的坐标．【详解】解：（1）∵折叠，∴10AO AE ==，在Rt ABE △中，22221086BE AE AB =-=-=， ∴1064CE BC BE =-=-=，∴()4,8E ；（2）设OD x =，则8CD x =-，∵折叠，∴OD DE x ==，在Rt CDE △中，222CD CE DE +=，即()22284x x -+=，解得5x =，∴()0,5D ．【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，并结合勾股定理进行边长的求解． 26．（1）见解析；（2）HG=OH+BG ；（3）能，理由见解析【分析】（1）根据旋转和正方形的性质可得出CD=CB ，∠CDG=∠CBG=90，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ，即∠DCG=∠BCG ，由此即可得出CG 平分∠DCB ；（2）由（1）的Rt △CDG ≌Rt △CBG 可得出BG=DG ，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CHO ≌Rt △CHD ，即OH=HD ，再根据线段间的关系即可得出HG=HD+DG=OH+BG ；（3）根据（2）的结论即可找出当G 点为AB 中点时，四边形AEBD 为矩形．【详解】证明：（1）正方形ABCO 绕点C 旋转得到正方形CDEF ． ,90CD CB CDG CBG ︒∴=∠=∠=，在直角三角形CDGC 和直角三角形CBG 中．CD CB CG CG =⎧⎨=⎩， CDG CBG ∴≅，DCG BCG ∴∠=∠，即CG 平分∠DCB ．（2）HG=OH+BG ．由（1）证得：Rt △CDG ≌Rt △CBG ，∴BG=DG ，在Rt △CHO 和Rt △CHD 中，CH CH CO CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CHO ≌Rt △CHD （HL ），∴OH=HD ，∴HG=HD+DG=OH+BG ；（3）如图，当点G 为AB 中点时，四边形AEBD 为距形，因为点G 为AB 中点，所以BG=GA=12AB ，∵CDG CBG ∆≅∆， ∴1122DG BG AB DE ===，所以BG=GA=DG=GE ，所以四边形AEBD 是平行四边形，因为AB=DE ，所以四边形AEBD 是矩形．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定、旋转的性质、全等三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ；（2）找出BG=DG 、OH=HD ；（3）掌握矩形的判定方法．。

北师大版2020九年级数学上册第一章特殊的平行四边形单元综合优生测试题B(附答案详解)

北师大版2020九年级数学上册第一章特殊的平行四边形单元综合优生测试题B （附答案详解）1．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若∠AOB=60°，AB=3，则对角线BD 的长是（）A ．6B ．3C ．5D ．42．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 边AB 、CD 上的点，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使A 、D 分别落在A '和D '处，若150∠=︒，则2∠的度数是( )A ．65︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒3．正方形A 1B 1C 1A 2，A 2B 2C 2A 3，A 3B 3C 3A 4，…，按如图所示的方式放置，点A 1A 2A 3，…和点B 1B 2B 3，…分别在直线y=x +1和x 轴上．则点C 2020的纵坐标是（）A ．22020B ．22019C ．220201-D ．220191-4．在Rt △ABC 中, D 为斜边AB 的中点，且3BC =，AB=5，则线段CD 的长是( )A ．2 B ．1.5 C ．52D ．4 5．如图,在矩形ABCD 中,AF⊥BD 于E,AF 交BC 于点F,连接DF,则图中面积相等但不全等的三角形共有( )6．下列命题中，正确的的是（）A．矩形的对角线互相垂直B．菱形的对角线相等C．矩形的四个角不定相等D．正方形的对角线互相垂直且相等7．如图所示，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，有下面4个结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO=CO；④AB⊥BC．其中正确的结论有几个（）A．4个B．3个C．2个D．1个∠的角平分线交AD于F点，若8．如图，矩形ABCD中，E是BC中点，作AECAD=，则FD的长度为（）3AB=，8A．2B．3C．4D．59．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（）A．AB=AD B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．AC⊥BD 10．如图所示,在矩形纸片ABCD中,点M为AD边的中点,将纸片沿BM,CM折叠,使点A落在A1处,点D落在D1处.若∠1=30°,则∠BMC的度数为____.11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，E ，F 分别为边AB ，CD 上一动点，AE ＝CF ，分别以DE ，BF 为对称轴翻折△ADE ，△BCF ，点A ，C 的对称点分别为P ，Q ．若点P ，Q ，E ，F 恰好在同一直线上，且PQ ＝1，则EF 的长为_____．12．如图，在矩形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，过点P 作//EF BC ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连结PB ， PD .若25PB =，6PD =，图中阴影部分的面积为9，则矩形ABCD 的周长为_______.13．如图，在正方形ABCD 中，画一个最大的正六边形EFGHIJ ，则BGF ∠的度数是________ ．14．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），∠DAM=45°，点F 在射线AM 上，且2AF BE =，CF 与AD 相交于点G ，连接EC ，EF ，EG ，则下列结论：①∠ECF=45°；②AEG ∆的周长为212a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；③222BE DG EG += ；④EAF ∆的面积的最大值218a .其中正确的结论是____.（填写所有正确结论的序号）15．在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，当BD ＝____时，四边形ABCD 是菱形．16．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT 的长为_____．17．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，则高AE 为_______cm ．18．菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则较长的对角线的长度为___________。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2．如图，边长为,a b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（）A ．140B ．70C ．35D ．243．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE AB ⊥，垂足为E ．则下列说法错误的是（）A ．点O 为菱形ABCD 的对称中心B ．2OE =C ．CDB ∆为等边三角形D ．4BD =4．如图，在矩形ABCD 中，点E 在DC 上，将矩形沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．若AB ＝3，BC ＝5，则DE 的长为（）A ．12B ．53C ．25D ．135．如图，正方形ABCD ，对角线,AC BD 相交于点O ，过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G ，过点C 作CF DG ⊥，垂足为F ，交BD 于点E ，则:ADG BCES S 的比为（）A ．(21):1+B ．(221):1-C ．2∶1D ．5∶26．如图，将等边ABC 与正方形DEFG 按图示叠放，其中D ，E 两点分别在AB ，BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC 的面积为（）A ．4B ．23C ．2D ．17．如图，正方形ABCD 的边长为3，点P 为对角线AC 上任意一点，PE BC ⊥，PQ AB ⊥，垂足分别是E ，Q ，则PE PQ +的值是（）A ．32B ．3C ．322D ．328．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，DC '与AB 交于点E ，连结BC '，若2BD BC ='=，3AD =，则点D 到AC '的距离为（）A ．332B ．3217C ．7D ．139．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点,О下列结论正确的是（）A ．COD AOB S S ∆= B ．AC BD =C ．AC BD ⊥D ．ABCD 是轴对称图形 10．如图，AB AF ⊥，EF AF ⊥，BE 与AF 交于点C ，点D 是BC 的中点，2AEB B ∠=∠．若8BC =，7EF =，则AF 的长是（）A ．6B ．7C ．3D ．511．如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，连接BE ，BF ，DE ，DF ，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF 是菱形（）A ．∠1＝∠2B ．BE ＝DFC ．∠EDF ＝60°D ．AB ＝AF 12．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠ABC ＝60°，M 为AD 中点，P 为对角线BD 上一动点，连接PA 和PM ，则PA ＋PM 的最小值是( )A ．3B ．3C ．3D ．6二、填空题13．如图，正方形AOBC 的两边分别在x 轴、y 轴上，点()4,3D -在边AC 上，以点B 为中心，把△BCD 旋转90︒，则旋转后点D 的对应点1D 的坐标是________．14．如图，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若∠EFB ＝60°，则∠CFD ＝_____．15．如图，四边形ABCD 是一张长方形纸片，将该纸片对折，使顶点B 与顶点D 重合，EF 为折痕，若6AB =、8BC =，则图中阴影部分的面积为______.16．如图，长方形ABCD 中，AD ＝8，AB ＝4，BQ ＝5，点P 在AD 边上运动，当BPQ 为等腰三角形时，AP 的长为_____．17．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE AC ⊥于点E ，DF 平分ADC ∠，交EB 的延长线于点F ，3BC =，6CD =，则BE BF=_________．18．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（0，3），点B 的坐标是（﹣4，0），以AB 为边作正方形ABCD ，连接OD ，DB ．则△DOB 的面积是_____．19．如图，长方形ABCD 中，F 是BC 上一点，将ABF ∆沿着AF 翻折，使得翻折后的BF 恰好经过AD 边的中点E ，翻折后的点B 记作点G ．若EF DF =，1FC =，则线段BF 的长度为______．20．已知四边形ABCD 中，AC BD ⊥，且8AC =，10BD =，E 、F 、M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，那么四边形EFMN 的面积等于______．三、解答题21．如图，AD 是ABC 的中线，//AE BC ，且12AE BC =，连接DE ，CE ．（1）求证：AB DE =（2）当ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是矩形？并说明理由．22．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD ，BC 的中点，G ，H 分别是BD 、AC 的中点，依次连接E ，G ，F ，H ．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当AB=CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由；（3）若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF= °．23．如图，长方形ABCD中，AD＝a cm，AB＝b cm，且a、b满足|8－a|＋(b－4)2＝0．（1）长方形ABCD的面积为；（2）动点P在AD所在直线上，从A出发向左运动，速度为2cm/s，动点Q在DC所在直线上，从D出发向上运动，速度为4cm/s．动点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．①当点P在线段AD上运动时，求以D、P、B、Q为顶点的四边形面积；（用含t的式子表示）②求当t为何值时，S△BAP＝S△CQB．24．在四边形ABCD中，AD//BC．∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm．BC＝26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．求：从运动开始，使PQ ＝CD，需要经过的时间是多少？25．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形；（3）（填空）在（2）中再增加条件．则四边形AFBD是正方形．26．综合与实践问题情境：如图1，已知点O是正方形ABCD的两条对角线的交点，以点O为直角顶点的直角三角形BC=．OEF的两边OE，OF分别过点B，C，且OF OC=，30∠=︒，2E（1）OC的长度为________；操作证明：∆按如图放置，若OE，OF分别与AB，BC （2）如图2，在（1）的条件下，将OEF相交于点M，N．请判断OM和ON有怎样的数量关系，并证明结论；探究发现：∆按如图放置，若点B恰好在EF上，求证：（3）如图3，在（1）的条件下，将OEF=．EM EB【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由菱形的性质可得这条对角线与菱形的两边组成等边三角形，从而求得锐角的度数等于60°．【详解】解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于60°，故选C ．【点睛】此题主要考查菱形的性质：四边相等．2．B解析：B【分析】由矩形的周长和面积得出7a b +=，10ab =，再把多项式分解因式，然后代入计算即可．【详解】根据题意得：1472a b +==，10ab =， ∴22a b ab +()10770ab a b =+=⨯=；故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、分解因式、矩形的周长和面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．3．B解析：B【分析】根据菱形的性质，等边三角形的判定，含30度的直角三角形的性质，勾股定理即可判断得出答案．【详解】菱形对角线互相垂直平分，O为对角线BD的中点，也是菱形对角线的交点，所以点O为菱形ABCD的对称中心，故A选项正确；∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∵∠A=60°，∴∠A=∠C =60°，∴△ABD和△CBD是等边三角形，故C选项正确；∴BD=AB=4，故D选项正确；∠OBE=60°，∵OE⊥AB，∴∠BOE=30°，∵O为对角线BD的中点，∴OB=1BD=2，2∴BE=1OB =1，2∴==B选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理等．注意证得△ABD是等边三角形是关键．4．B解析：B【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到DE的长．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt △ABF 中，BF 4，∴CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣4＝1，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x ，在Rt △ECF 中，CE 2+FC 2＝EF 2，∴x 2+12＝（3﹣x ）2，解得x ＝43， ∴DE ＝3﹣x ＝53，故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．5．A解析：A【分析】由题意先证得DE DC =和()DOG COE ASA ∆≅∆，设2AD DC a ==，进而可用含a 的式子表示出线段AG 和BE 的长，要求:ADG BCE S S ∆∆的比值即求AG 和BE 的比值，代入即可求解．【详解】解：正方形ABCD ，AD DC ∴=，45ODC OCD OAD ∠=∠=∠=︒，90DOC BOC ∠=∠=︒，OD OC =， DF 平分ODC ∠，22.5EDF CDF ∴∠=∠=︒，CF DG ⊥，67.5DEF DCF ∴∠=∠=︒，67.54522.5OCE ∴∠=︒-︒=︒，DE DC =，OCE ODG ∴∠=，又OD OC =，90DOC BOC ∠=∠=︒，()DOG COE ASA ∴∆≅∆，OG OE ∴=，设2AD DC a ==，则有OA OB =，2DE a =，BD =，2)BE BD DE a ∴=-=，2AG AO OG a =+=， 12ADG S AG OD ∆=，12BCE S BE OC ∆=，OD OC =，::2:2)1):1ADG BCE S S AG BE a a ∆∆∴===，故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．6．C解析：C【分析】过F作FQ⊥BC于Q，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出BE＝2，∠BED＝60°，∠DEF＝90°，EF＝2，求出∠FEQ，求出CE和FQ，即可求出答案．【详解】过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，∵BD＝BE，DE＝2，∴△BED是等边三角形，且边长为2，∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，∴CE＝BC−BE＝4，∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，∴∠FEC＝180°−60°−90°＝30°，∴QF＝12EF＝1，∴△EFC的面积=12×CE×FQ＝12×4×1＝2，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、正方形的性质等知识点，能求出CE和FQ的长度是解此题的关键．7．B解析：B【分析】证明四边形PQBE是矩形得PE=QB，证明△PEC是等腰直角三角形得PQ=BE便可求得结果【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，∠ACB=12∠BCD=45° ∵PE ⊥BC ，PQ ⊥AB ，∴四边形PQBE 是矩形，∴PQ=BE∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠PCE=45°，又∠PEC=90°∴△PEC 是等腰直角三角形∴PE=CE∴PE+PQ=CE+BE=BC=3．故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的判定，关键是证明PE=CE ，PQ=BE ． 8．B解析：B【分析】过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，则四边形ADFG 是矩形，计算AC '的长，后利用三角形ADC 'M 面积的不同计算方法计算即可.【详解】如图，过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，∵把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，∴DC=DC '，∠ADC=∠A DC '，∵D 是BC 边上的中点，∴DC=BD ，∵2BD BC ='=，∴DC '=2BD BC ='=，∴BDC '是等边三角形，∴∠ADC=∠A DC '=∠B DC '=∠DC 'B=60°，∴BG ∥AD ，∵DF ⊥BC'，AG ⊥BC'，∴四边形ADFG 是矩形，∴BF=FC'=1，FG=AD=3，=，∴GC '=2，∴AC '=，设点D 到AC '的距离为h ， ∴1122AC h AD DF '=，∴11322h =⨯，∴h=7，故选B.【点睛】本题考查了三角形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质，矩形的判定，三角形面积不同表示方法是解题的关键.9．A解析：A【分析】根据平行四边形的定义和性质解题．【详解】解：由平行四边形的性质可知△AOB ≌△COD ，∴A 正确；AC=BD 是矩形的性质，不是一般平行四边形的性质，∴B 不正确；AC ⊥BD 是菱形的性质，∴C 不正确；ABCD 是轴对称图形是矩形或菱形的性质，∴D 不正确；故选A ．【点睛】本题考查平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形的性质和定义是解题关键． 10．C解析：C【分析】根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】∵AB⊥AF，∴∠FAB=90°，∵点D是BC的中点，∴AD=BD=1BC=4，2∴∠DAB=∠B，∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B，∵∠AEB=2∠B，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，∴AE=AD=4，∵，EF⊥AF，∴==3，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．11．B解析：B【分析】由正方形的性质，可判定△CDF≌△CBF，则BF=FD=BE=ED，故四边形BEDF是菱形．【详解】由正方形的性质知，∠ACD=∠ACB=45°，BC=CD，CF=CF，∴△CDF≌△CBF，∴BF=FD，同理，BE=ED，∴当BE=DF，有BF=FD=BE=ED，四边形BEDF是菱形．故选B．【点睛】考查了菱形的判定，解题关键是灵活运用全等三角形的判定和性质，及菱形的判定. 12．C解析：C【分析】首先连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，由在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，易得△ACD是等边三角形，BD垂直平分AC，继而可得CM⊥AD，则可求得CM的值，继而求得PA+PM的最小值．【详解】解：连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD=6，BD垂直平分AC，∴△ACD是等边三角形，PA=PC，∵M为AD中点，∴DM=1AD=3，CM⊥AD，2∴223，CD DM∴3故选C．【点睛】此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质．注意准确找到点P的位置是解此题的关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．(10)或(-18)【分析】画出旋转后的图形根据旋转的性质可知OD1的长和C2D2C2O的长由此判断点D1的坐标【详解】如图所示：根据旋转的性质旋转前后两个图形全等如果△BCD绕点B逆时针旋转90°解析：(1，0)或(-1，8)【分析】画出旋转后的图形，根据旋转的性质可知OD1的长和C2D2，C2O的长，由此判断点D1的坐标.【详解】如图所示：根据旋转的性质，旋转前后两个图形全等，如果△BCD 绕点B 逆时针旋转90°后得△BOD 1，CD= OD 1，BC =BO ，∵四边形AOBC 是正方形，D(-4，3)，∴BC=4，CD =4-3=1，∴OD 1=1∴D 1(1，0)如果△BCD 绕点B 顺时针旋转90°后得△BC 2D 2C 2O=BO+BC 2=4+4=8，C 2D 2=CD=1，点D 2的的坐标为D 2(-1，8).故答案为：(1，0)或(-1，8).【点睛】本题主要考查图形的旋转及旋转的性质和正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.14．【分析】根据轴对称和矩形性质得；结合∠EFB ＝60°经计算即可得到答案【详解】∵矩形ABCD 沿DE 折叠使A 点落在BC 上的F 处∴∵∠EFB ＝60°∴故答案为：【点睛】本题考查了轴对称矩形的性质；解题的解析：30【分析】根据轴对称和矩形性质，得90EFD A ∠=∠=；结合∠EFB ＝60°，经计算即可得到答案．【详解】∵矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处∴90EFD A ∠=∠=∵∠EFB ＝60°∴180180609030CFD EFB EFD ∠=-∠-∠=--=故答案为：30．【点睛】本题考查了轴对称、矩形的性质；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形的性质，从而完成求解．15．【分析】先根据矩形的性质可得设从而可得再根据折叠的性质然后在中利用勾股定理可求出DE 的长最后利用三角形的面积公式即可得【详解】四边形ABCD 是长方形且点F 到AD 的距离等于AB 的长的边DE 上的高为6设解析：754【分析】先根据矩形的性质可得8,90AD BC A ==∠=︒，设DE x =，从而可得8AE x =-，再根据折叠的性质8,6,90A E AE x A D AB A A '''==-==∠=∠=︒，然后在Rt A DE '中，利用勾股定理可求出DE 的长，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】四边形ABCD 是长方形，6AB =，8BC =，8,90AD BC A ∴==∠=︒，且点F 到AD 的距离等于AB 的长，DEF ∴的边DE 上的高为6，设DE x =，则8AE AD DE x =-=-，由折叠的性质得：8,6,90A E AE x A D AB A A '''==-==∠=∠=︒，在Rt A DE '中，222A E A D DE ''+=，即()22286x x -+=，解得254x =，即254DE =，则阴影部分的面积为125756244⨯⨯=，故答案为：754．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．16．3或或2或8【分析】根据矩形的性质可得∠A ＝90°BC ＝AD ＝8然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A ＝90°BC ＝AD ＝8解析：3或52或2或8 【分析】根据矩形的性质可得∠A ＝90°，BC ＝AD ＝8，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，BC ＝AD ＝8，分三种情况：①BP ＝BQ ＝5时，AP ＝22BP AB -＝2254-＝3；②当PB ＝PQ 时，作PM ⊥BC 于M ，则点P 在BQ 的垂直平分线时，如图所示：∴AP ＝12BQ ＝52； ③当QP ＝QB ＝5时，作QE ⊥AD 于E ，如图所示：则四边形ABQE 是矩形，∴AE ＝BQ ＝5，QE ＝AB ＝4， ∴PE 22QP QE -2254-3，∴AP ＝AE ﹣PE ＝5﹣3＝2；④当点P 和点D 重合时，∵CQ=3，CD=4，∴根据勾股定理，PQ=5=BQ ，此时AP=AD=8，综上所述，当BPQ 为等腰三角形时，AP 的长为3或52或2或8；故答案为：3或52或2或8．【点睛】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想和勾股定理是解题关键． 17．【分析】由矩形的性质可得结合角平分线的定义可求得可证明结合矩形的性质可得根据三角形的面积公式得到于是得到结论【详解】解：四边形为矩形设与相交于点平分又又故答案为：【点睛】本题主要考查矩形的性质掌握矩解析：25【分析】由矩形的性质可得2COB CDO ∠=∠，EBO BDF F ∠=∠+∠，结合角平分线的定义可求得F BDF ∠=∠，可证明BF BD =，结合矩形的性质可得AC BF =，根据三角形的面积公式得到BE ，于是得到结论．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，设DF 与AC 相交于点M ，AC BD ∴=，90ADC ∠=︒，OA OD =，6AB CD ==，3AD BC ==， DF 平分ADC ∠，ADG AGD ∴∠=∠，又CDB CAB ∠=∠，CMF CAB DGA ∠=∠+∠，CMF ADG CDB ∴∠=∠+∠，又90BDF ADG CDB ∠+∠+∠=︒，90BDF CMF ∴∠+∠=︒，90CMF F ∠+∠=︒，BDF F ∴∠=∠，BF BD ∴=，AC BF ∴=，6AB CD ==，3AD BC ==，BF AC ∴== 1122ABC S AC BE AB BC ∆==，BE ∴==∴25BE BF ==，故答案为：25．【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的四个角都是直角、对角线互相平分且相等是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．18．14【分析】过点D 作轴垂足为E 先证明从而得到AE ＝OB ＝4最后依据的面积＝OB•OE 求解即可【详解】解：过点D 作DE ⊥y 轴垂足为E ∵A 的坐标是点B 的坐标是∴OA ＝3OB ＝4∵ABCD 为正方形∴AB ＝解析：14【分析】过点D 作DE y ⊥轴，垂足为E ．先证明ABO DAE ≌，从而得到AE ＝OB ＝4，最后依据OBD 的面积＝12OB•OE 求解即可．【详解】解：过点D 作DE ⊥y 轴，垂足为E ．∵A 的坐标是()0,3，点B 的坐标是()4,0-，∴OA ＝3，OB ＝4．∵ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠DAB ＝90°．∵90DAE BAO ∠+∠=︒，90BAO ABO ∠+∠=︒，∴DAE ABO ∠∠＝．在ABO 和DAE △中E AOB DAE ABO AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABO DAE AAS ≌．∴AE ＝OB ＝4．∴437OE AE AO =+=+=．∴OBD 的面积＝12OB•OE ＝12×4×7＝14．故答案为：14．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定，求得OE 的长是解题的关键．19．3【分析】根据等腰三角形的性质得出EP=PD 进而得出AD 的长利用矩形的性质解答即可【详解】解：过F 点作FP ⊥AD 于P ∵EF=DFFP ⊥AD ∴EP=PD ∵FP ⊥AD ∴FP ∥CD ∵四边形ABCD 是矩形∴ 解析：3【分析】根据等腰三角形的性质得出EP=PD ，进而得出AD 的长，利用矩形的性质解答即可．【详解】解：过F 点作FP ⊥AD 于P ，∵EF=DF ，FP ⊥AD ，∴EP=PD ，∵FP ⊥AD ，∴FP ∥CD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴PD ∥FC ，∠PDC=90°，AD=BC ，∴四边形PFCD 是矩形，∴FC=PD=1，∴ED=2PD=2，∵翻折后的BF 恰好经过AD 边的中点E ，∴AD=2AE=4，∴BC=4，∴BF=4-1=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了折叠的性质：叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质．20．20【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形EFGH 是平行四边形再证明EF ⊥EH 证得四边形EFGH 是矩形即可根据矩形的面积公式计算得出答案【详解】∵点EF 分别是边ABBC 的中点∴EF ∥ACEF=AC解析：20【分析】根据三角形的中位线定理，证明四边形EFGH 是平行四边形，再证明EF ⊥EH ，证得四边形EFGH 是矩形，即可根据矩形的面积公式计算得出答案．【详解】∵点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC=4，同理，HG ∥AC ，HG=12AC=4，EH ∥BD ，EH=12BD=5， ∴EF=HG ，EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，EF ∥AC ，∴EF ⊥BD ，∵EH ∥BD ，∴EF ⊥EH ，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH 是矩形，∴四边形EFGH 的面积=4520EF EH ⋅=⨯=,故答案为：20．【点睛】此题考查三角形的中位线性质定理，矩形的判定定理，能证得四边形是矩形是解题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）当ABC 满足AB AC =时，四边形ADCE 是矩形，证明见解析【分析】(1)根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质解答即可；(2)根据矩形的判定解答即可.【详解】（1）AD 是ABC 的中线12BD CD BC ∴== 12AE BC = AE BD ∴=又AE BC∴四边形ABDE 是平行四边形AB DE ∴=（2）当ABC 满足AB AC =时，四边形ADCE 是矩形 12AE BC =，12BD CD BC == AE CD ∴=又AE BC ∥∴四边形ADCE 是平行四边形AB DE =∴当AB AC =时，AC DE =∴四边形ADCE 是矩形【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及矩形的判定.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.22．（1）见解析；（2）GH ⊥EF ，见解析；（3）25【分析】（1）首先运用三角形中位线定理可得到EG ∥AB ，EG=12AB ，HF ∥AB ，EG=12AB ，即可得到四边形EGFH 是平行四边形；（2）再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明平行四边形EGFH 是菱形，即可证明GH ⊥EF ；（3）由EH ∥CD ，得到∠BDC=∠BPH=70°，由EG ∥AB ，得到∠EGD=∠ABD=20°，再利用三角形的外角性质和菱形的性质即可求解．【详解】证明：（1）∵E 、G 分别是AD 、BD 的中点，∴EG ∥AB ，且12GE AB =，同理可证：HF ∥AB ，且12HF AB =， ∴EG ∥HF ，且EG=HF ，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）GH ⊥EF ，理由如下：∵G 、F 分别是BD 、BC 的中点，∴12GF CD =，由（1）知12GE AB =，又∵AB=CD ，∴GE=GF ，又∵四边形EGFH 是平行四边形，∴四边形EGFH 是菱形，∴GH ⊥EF ；（3）∵E 、H 分别是AD 、AC 的中点，∴EH ∥CD ，∴∠BDC=∠BPH=70°，∵EG ∥AB ，∴∠EGD=∠ABD=20°，∴∠GEP=∠BPH-∠EGD=50°，∵四边形EGFH 是菱形，∴∠GEF=∠HEF=12∠GEP =25°．故答案为：25．【点睛】本题考查了中点四边形，菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的判定和性质是解题的关键．23．（1）32cm 2；（2）①四边形的面积为S ＝12t ＋16（cm 2）；②当t ＝43或45时，S △BAP ＝S △CQB ．【分析】 (1) 由|8－a|＋(b －4)2＝0．可求=8=4a b ，，可求长方形ABCD 的面积=AD•AB ＝32(cm 2)；(2)① 当P 在线段AD 上运动时，如图，DP ＝8－2t ，DQ ＝4t ，连BD ，可求S 四边形BPDQ ＝S △BDP ＋S △BDQ ＝12t ＋16(cm 2)；②由S △BAP ＝S △CQB ，可列方程12×2t×4＝12×|4t －4|×8，化去绝对值44t t -=±分类解方程即可．【详解】解：(1) a 、b 满足|8－a|＋(b －4)2＝0．∵()28-0,40a b ≥-≥， ∴8-=04=0a b -，，∴=8=4a b ，，∴AD ＝8cm ，AB ＝4cm ，∴长方形ABCD 的面积=AD•AB ＝32(cm 2)；(2)① 当P 在线段AD 上运动时，如图，DP ＝8－2t ，DQ ＝4t ，连BD ，S 四边形BPDQ ＝S △BDP ＋S △BDQ ，＝12(8－2t)×4＋12×4t×8，＝12t ＋16(cm 2)； ②由S △BAP ＝S △CQB ，得：12×2t×4＝12×|4t －4|×8，即|4t －4|＝t ，44t t -=±，44t t -=或44t t -=-，解得：t ＝43或45，当t ＝43或45时，S △BAP ＝S △CQB ．【点睛】本题考查非负数和的性质，矩形面积，四边形面积，一元一次方程，掌握非负数的性质，利用非负数求出AD，AB，会求矩形面积，以及四边形面积，会利用三角形面积列方程解决问题是解题关键．24．8s或28 3s【分析】设运动时间为t秒，则有AP＝t，CQ＝2t，分PQ//CD和PQ与CD不平行两种情况进行讨论，再根据平行四边形或梯形的性质建立方程即可求解．【详解】解：（1）当PQ//CD时，∵AD//BC，∴四边形PDCQ是平行四边形，∴PD＝CQ，而AP＝t，CQ＝2t，PD＝AD－AP＝24－t，即：2t＝24－t解得： t＝8．（2）当PQ与CD不平行时，而AD//BC，PQ＝CD，∴四边形PDCQ是等腰梯形，作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则四边形ABND、PMND均是矩形，∴AD＝BN＝24，CN＝BC－BN＝2，QM＝CN＝2，PD＝MN，而CQ＝QM＋MN＋NC，∴ 2t＝24－t＋2＋2，解得： t＝283．【点睛】此题考查了平行四边形的性质及等腰梯形的判定与性质，属于动点型问题，关键是分类讨论点P及点Q位置，然后利用方程思想求解t的值．25．（1）见解析（2）见解析（3）∠BAC＝90°【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）利用等腰三角形的性质，结合矩形的判定方法得出答案；（3）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由为：由第一问证得的AF ＝BD，且AF与BD平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形AFBD为平行四边形，若三角形ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD＝BD，且根据三线合一得到AD与BC垂直，可得平行四边形的邻边相等且有一个角为直角，即可判定出四边形AFBD 为正方形．【详解】（1）证明：∵点D 是BC 边的中点，点E 是AD 的中点，∴DE 是△BCF 的中位线，∴DE ∥BF ，∴AD ∥BF ，∵AF ∥BC ，∴四边形AFBD 是平行四边形；（2）证明：（2）∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ．∴∠ADB ＝90°．∵四边形AFBD 是平行四边形，∴四边形AFBD 是矩形；（3）当△ABC 为等腰直角三角形，且∠BAC ＝90°时，四边形AFBD 是正方形，理由如下： ∵四边形AFBD 为平行四边形，又∵等腰直角三角形ABC ，且D 为BC 的中点，∴AD ＝BD ，∠ADB ＝90°，∴四边形AFBD 为正方形．故答案为：∠BAC ＝90°．【点睛】此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各判定定理是解题的关键．26．（1；（2）OM ON =，证明详见解析；（3）详见解析【分析】（1）由题意可得OC=OB ，OC ⊥OB ，再根据勾股定理即可得到答案；（2）连接OB ，OC ，证明BOM CON ∆∆≌，即可得出答案；（3）根据题意可推出OBF ∆为等边三角形，可得60OBF F ∠=∠=︒，BF OF ==45OBC ∠=︒，可得45OBM ∠=︒，从而可推出，EBM EMB ∠=∠，即可得证．【详解】解：（1）∵点O 是正方形ABCD 的两条对角线的交点，以点O 为直角顶点的直角三角形OEF 的两边OE ，OF 分别过点B ，C ，∴OC=OB ，OC ⊥OB ，∵BC=2，∴OC 2=BC 2-OB 2，2OC 2=BC 2，2OC 2=4，即；（2）OM ON =；证明：如图，连接OB ，OC ，∵点O 是正方形ABCD 的两条对角线的交点，∴OB OC =，45OBM OCN ∠=∠=︒，∵90BOF MOB BOF NOC ∠+∠=∠+∠=︒，∴MOB NOC ∠=∠，在BOM ∆和CON ∆中OBM OCN OB OC MOB NOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BOM CON ASA ∆∆≌，∴OM ON =；（3）连接OB ，OC ，∵OF OC =，OB OC =，∴OB OF =，∵在Rt OEF ∆中，30E ∠=︒，∴60F ∠=︒，∴OBF ∆为等边三角形，∴60OBF F ∠=∠=︒，2BF OF ==又∵45OBC ∠=︒，∴45OBM ∠=︒，∵180180456075EBM OBM OBF ∠=-∠-∠=--︒︒=︒︒︒，∴180180753075EMB EBM E ∠=-∠-∠=-︒-︒=︒︒︒，∴EBM EMB ∠=∠，∴EM EB =．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握知识点是解题关键．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测(答案解析)(5)

一、选择题1．在一个四边形ABCD 中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线AC 与BD 需要满足的条件是（）A ．垂直B ．相等C ．垂直且相等D ．不再需要条件2．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次连接ABCD 各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC BD ⊥；②ΔΔABO CBO C C =；③DAO CBO ∠=∠；④DAO BAO ∠=∠，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图所示，△ABC 是等边三角形，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个结论正确的是( )①点 P 在∠A 的平分线上； ②AS=AR ； ③QP //AR ； ④△BRP ≌△QSP ．A ．全部正确B ．①②正确C ．①②③正确D ．①③正确 4．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得到的四边形一定是（） A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．以上都不对 5．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，连接OE ．若OB =6，菱形ABCD 的面积为54，则OE 的长为（）A ．4B ．4.5C ．8D ．96．如图，以△ABC 的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF ，GH ，DJ ，如果△ABC 的面积为8，则图中阴影部分的面积为（）A ．28B ．24C ．20D ．167．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，AE ⊥BC ，垂足是E ，若线段AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为（）A ．12B ．16C ．20D ．248．如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②AD=2AE ；③ACD OGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG ：⑥若1OGF S ∆=，则正方形ABCD 的面积是642+，其中正确的结论个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 9．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC =8，BD =6，则菱形的周长等于（）A ．40B ．47C ．24D ．2010．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（）A ．2B ．2.4C ．2.6D ．311．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，若122EFC '∠=︒，那么ABE ∠的度数为（）A ．24︒B ．32︒C ．30D ．26︒12．如图，菱形ABCD 的边长是5，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（）A ．21B ．21C ．12D ．24二、填空题13．如图，以AB 为边作边长为8的正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ ＝8，若点P 从点A 出发，沿A →B →C →D 的线路，向D 点运动，点Q 只能在线段AD 上运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长为_____．14．如图，在△ABC 中，∠BAC =45°，AB=AC =4，P 为AB 边上一动点，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，则对角线PQ 的最小值为___________．15．如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC ，点C 的坐标为()2,1--点B 坐标为________．16．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC +∠DCB =90°，且BC =2AD ，分别以DC ，BC ，AB 为边向外作正方形，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3．若S 2=64，S 1=9，则S 3的值为_____．17．如图，在矩形ABCD 纸片中，点E 是BC 边的中点，沿直线AE 折叠，点B 落在矩形内部的点B '处，连接AB '并延长交CD 于点F ．已知4CF =，5DF =，则AD 的长为__________．18．如图，CD 是ABC 的边AB 上的中线，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90︒后，点A 的对应点E 恰好落在AC 边上，若2AD =，5BC =，则AC 的长为_________．19．将边长为2的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45︒到FECG 的位置（如图），EF 与AD 相交于点H ，则HD 的长为___________．（结果保留根号）20．如图，在正方形ABCD 中，已知2AB =，点,E G 分别是边,AD CD 的中点，点F 是边BC 上的动点，连接EF ，将正方形ABCD 沿EF 折叠，,A B 的对应点分别为,A B ''，则线段GB '的最小值是_____．三、解答题21．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点．过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：AEF ≌DEB ；（2）证明四边形ADCF 是菱形． 22．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：（问题呈现）（1）如图1，ABC 中分别以,AB AC 为边向外作等腰ABE △和等腰ACD △，使AE AB =，AD AC =,BAE CAD ∠=∠，连结,BD CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由．（问题再探）（2）如图2，ABC 中分别以,AB AC 为边向外作等腰Rt ABE △和等腰Rt ACD △，90EAB CAD ∠=∠=︒，连结,BD CE ，若4,2,45AB BC ABC ==∠=︒，求BD 的长．（问题拓展）（3）如图3，四边形ABCD 中，连结AC ，CD BC =，60BCD ∠=︒，30BAD ∠=︒，15AB =，25AC =，请直接写出AD 的长．23．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE //BC ，过点D 作DE //AB ，DE 与AC ，AE 分别交于点O ，E ，连接EC ．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若AB ＝AO ，OD ＝1，则菱形ADCE 的周长为．24．（1）将一张长方形纸片按如图1所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，求CBD ∠的度数；（2）将一张长方形纸片按如图2所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，若115CBD ∠=︒，求A BE ∠'的度数；（3）将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，若CBD α∠=，求A BE '∠'的度数（用含α的式子表示）25．如图，以锐角△ABC 的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连结BE 、CF ．（1）求证：△FAC ≌△BAE ；（2）图中可以通过旋转△BAE 而得到△FAC ，请你说出旋转中心、旋转方向和旋转角的度数．26．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的边 BC 、AD 上的点，且BE = DF ．（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；（2）若四边形 AECF 是菱形，且 CE = 10，AB = 8，求线段BE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH 为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH＝90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO＝90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC 平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD＝90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．【详解】解：如图，∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝90°，又∵点E、F、分别是AD、AB边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH＝∠OMH＝90°，又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH＝∠COB＝90°，即AC⊥BD．故选：A．【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．2．C解析：C【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①,AC BD ⊥∴新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形ABCD 是平行四边形，,AO OC BO DO ∴==．ΔΔ,ABO CBO C C AB BC =∴=．根据等腰三角形的性质可知,BO AC BD AC ⊥∴⊥．所以新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形ABCD 是平行四边形，CBO ADO ∠∠∴=．,DAO CBO ADO DAO ∠∠∠∠=∴=．AO OD ∴=．,AC BD ∴=∴四边形ABCD 是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④,DAO BAO BO DO ∠∠==，AO BD ∴⊥，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，∴新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：C ．【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 3．A解析：A【分析】因为△ABC 为等边三角形，根据已知条件可推出Rt △ARP ≌Rt △ASP ，则AR ＝AS ，故②正确，∠BAP ＝∠CAP ，所以AP 是等边三角形的顶角的平分线，故①正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，AP 也是BC 边上的高和中线，即点P 是BC 的中点，因为AQ ＝PQ ，所以点Q 是AC 的中点，所以PQ 是边AB 对的中位线，有PQ ∥AB ，故③正确，又可推出△BRP ≌△QSP ，故④正确．【详解】解：∵PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S∴∠ARP ＝∠ASP ＝90°∵PR ＝PS ，AP ＝AP∴Rt △ARP ≌Rt △ASP∴AR ＝AS ，故②正确，∠BAP ＝∠CAP∴AP 是等边三角形的顶角的平分线，故①正确∴AP 是BC 边上的高和中线，即点P 是BC 的中点∵AQ ＝PQ∴点Q 是AC 的中点∴PQ 是边AB 对的中位线∴PQ ∥AB ，故③正确∵Q是AC的中点，∴QC=QP，∵∠C=60°，∴△QPC是等边三角形，∴PB=PC=PQ，∵PR＝PS，∠BRP＝∠QSP＝90°，∴△BRP≌△QSP，故④正确∴全部正确．故选：A．【点睛】本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，熟练掌握上述性质和判定方法是解题的关键．4．B解析：B【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形；【详解】如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H，∵点E、F、G、H，分别为各边的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON是矩形，∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH是矩形；故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定方法，正确掌握知识点是解题的关键．5．B解析：B【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝12BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD═12AC×BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝12AC＝4.5，故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．6．B解析：B【分析】过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，根据全等三角形的性质得到EM＝CN，于是得到S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，于是得到结论．【详解】解：过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，∴∠M＝∠N＝90°，∠EAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAB＝90°，∴∠EAM=∠CAB∵四边形ACDE、四边形ABGF是正方形，∴AC=AE，AF＝AB，∴∠EAM≌△CAN，∴EM＝CN，∵AF＝AB，∴S△AEF＝12AF•EM，S△ABC＝12AB•CN＝8，∴S△AEF＝S△ABC＝8，同理S △CDJ ＝S △BHG ＝S △ABC ＝8，∴图中阴影部分的面积＝3×8＝24，故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，正确的作辅助线是解题的关键． 7．B解析：B【分析】延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，构造出全等三角形，()ABE ADF AAS ≅，即可得到四边形ABCD 的面积就等于正方形AECF 的面积．【详解】解：如图，延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，∵AE BC ⊥，∴90AEC AEB ∠=∠=︒，∵AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∵90C ∠=︒，∴四边形AECF 是矩形，∴90EAF ∠=︒，∵BAD EAF ∠=∠，∴BAD EAD EAF EAD ∠-∠=∠-∠，即BAE DAF ∠=∠，在ABE △和ADF 中，BAE DAF AEB AFD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADF AAS ≅，∴AE AF =，∴四边形AECF 是正方形，∵ABE ADF S S ，∴216ABCD AECF S S AE ===．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．8．B解析：B【分析】由题意易得AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，△ADE ≌△FDE ，则有BE =，进而可得四边形AEFG 是平行四边形，然后根据等腰直角三角形的性质及线段的等量关系可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，∵折叠正方形ABCD ，∴△ADE ≌△FDE ，∴∠ADE=∠FDE=22.5°，AD=DF ，AE=FE ，∠EFD=∠DAE=90°，故①正确；∴△EFB 是等腰直角三角形， ∴BE =， ∴AD AB AE ==+，故②错误；由图可直接判定③错误；∵∠EFB=∠AOB=90°，∴OA ∥EF ，由折叠的性质可得：∠GFO=∠DAO=45°，∴∠GFO=∠ABO=45°，∴GF ∥AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∵AE=AF ，∴四边形AEFG 是菱形，故④正确；∵∠GFO=45°，∠AOB=90°，∴△GOF 是等腰直角三角形， ∴EF GF ==，∴2BE OG =，故⑤正确；∵2112OGF S OG ∆==， ∴2OG =，∴22,2BE EF AE ===，∴222AB =+，∴()222221282ABCD S AB ==+=+正方形，故⑥错误；∴正确的有三个；故选B ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据菱形的性质可求得BO 、AO 的长，AC ⊥BD ，根据勾股定理可求出AB ，进而可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =DA ，132==BO BD ，142AO AC ==，AC ⊥BD ，则在Rt △ABO 中，根据勾股定理得：22345AB =+=，∴菱形ABCD 的周长=4×5=20．故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 10．B解析：B【分析】先求证四边形AFPE 是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP 最短时的长，然后即可求出AM 最短时的长．【详解】解：连接AP ，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=12AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，∴S△ABC=12BC•AP＝12AB•AC，∴12×10AP＝12×6×8，∴AP最短时，AP=245，∴当AM最短时，AM=12AP=125=2.4．故选：B．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．11．D解析：D【分析】由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，∠BEF=∠DEF，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和∠BEF互补，这样可得出∠BEF的度数，进而可求得∠AEB的度数，则∠ABE可在Rt△ABE 中求得．【详解】解：由折叠的性质知，∠BEF=∠DEF，∠EBC′、∠BC′F都是直角，∴BE∥C′F，∴∠EFC′+∠BEF=180°，又∵∠EFC′=122°，∴∠BEF=∠DEF=58°，∴∠AEB=180°-∠BEF-∠DEF=64°，在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠AEB=26°．故选D．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．12．A解析：A【分析】连接AC 、BD ，由菱形的性质得出5AB =，122OB OD BD ===，OA OC =，AC BD ⊥，由勾股定理求出OA ，得出221AC =，求出菱形的面积，再由中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．【详解】解：连接AC 、BD ，如图所示：菱形ABCD 的边长是5，O 是两条对角线的交点，4BD =，5AB ∴=，122OB OD BD ===，OA OC =，AC BD ⊥，22225221OA AB OB ∴=--2221AC OA ∴== ∴菱形ABCD 的面积11221442122AC BD =⨯=⨯= O 是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积12=菱形ABCD 的面积221；故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，中心对称，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．二、填空题13．4π+8【分析】根据题意将问题分类讨论三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹一个可以用中垂线来理解【详解】解：（1）当P 在AB 上Q 在AD 上时AO ＝由圆的定义可以知O 的轨迹为E 解析：4π+8【分析】根据题意将问题分类讨论，三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹，一个可以用中垂线来理解【详解】解：（1）当P 在AB 上，Q 在AD 上时，AO ＝142PQ =，由圆的定义可以知O 的轨迹为EF 这段14圆弧（2）同理当P 在CD 上，Q 在AD 上时，DO ＝142PQ =，由圆的定义可以知O 的轨迹为EG 这段14圆弧（3）Q 在AD 上，P 在BC 上，可知PQ ∥AB ，O 的运动轨迹为FG 这条线段综上分析：O 的运动路径长为：4π+8．故答案：4π+8【点睛】本题考查了轨迹以及正方形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 14．【分析】以PAPC 为邻边作平行四边形PAQC 由平行四边形的性质可知O 是AC 中点PQ 最短也就是PO 最短所以应该过O 作AB 的垂线PO 然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ 的最小值【详解】解：∵四边形A解析：2【分析】以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，由平行四边形的性质可知O 是AC 中点，PQ 最短也就是PO 最短，所以应该过O 作A B 的垂线PO ，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ 的最小值．【详解】解：∵四边形APCQ 是平行四边形，∴AO=CO ，OP=OQ ，∵PQ 最短也就是PO 最短，∴过点O 作OP´⊥AB 于P´，∵∠BAC=45°∴∠AP´O 是等腰直角三角形，∴222,P A P O AO P A P O ''''==+∵AO=12AC=2， ∴OP´=222AO =∴PQ 与AB 垂直时，PQ 最小，最小值为PQ= 2OP´= 22故答案为：2.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线等腰直角三角形.15．【分析】过点作轴于过点作轴过点作交CE 的延长线于先证明得到根据点的坐标定义即可求解【详解】解：如图过点作轴于过点作轴过点作交CE 的延长线于四边形是正方形易求又∴点的坐标为点到轴的距离为点的坐标为故答解析：()3,1-【分析】过点A 作AD y ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴，过点B 作BF CE ⊥交CE 的延长线于F ．先证明AOD COE BCF ∆∆∆≌≌，得到1AD CE BF ===，2OD OE CF ===，根据点的坐标定义即可求解．【详解】解：如图，过点A 作AD y ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴，过点B 作BF CE ⊥交CE 的延长线于F ．()2,1C --，2OE ∴=，1CE =．四边形OABC 是正方形，OA OC BC ∴==．易求AOD COE BCF ∠=∠=∠．又90ODA OEC F ∠=∠=∠=︒∴AOD COE BCF ∆∆∆≌≌，1AD CE BF ∴===，2OD OE CF ===，∴点A 的坐标为()1,2-，211EF =-=，点B 到y 轴的距离为123+=，∴点B 的坐标为()3,1-．故答案为：()3,1-【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，全等三角形的判定与性质，根据题意，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．16．7【分析】由已知可以得到＋代入各字母值计算可以得到解答【详解】解：如图过A 作AE ∥DC 交BC 于E 点则由题意可知∠ABC+∠AEB=90°且BE=AD=BCAE=DC ∴三角形ABE 是直角三角形∴即∴故解析：7【分析】由已知可以得到＋31214S S S +=，代入各字母值计算可以得到解答．【详解】解：如图，过A 作AE ∥DC 交BC 于E 点，则由题意可知∠ABC+∠AEB=90°，且BE=AD=12BC ，AE=DC ， ∴三角形ABE 是直角三角形，∴222AB AE BE +=，即 22214AB DC BC +=， ∴3123211116497444S S S S S S +=∴=-=⨯-=，，故答案为7．【点睛】本题考查平行四边形、正方形面积与勾股定理的综合应用，由已知得到三个正方形面积的关系式是解题关键．17．【分析】连接EF 根据矩形的性质可得AB=CD=9∠B=∠C=∠D=90°根据折叠的性质可得=∠B=90°利用HL 证出Rt △≌Rt △FCE 从而求出即可求出AF 最后利用勾股定理即可求出结论【详解】解：连解析：12【分析】连接EF ，根据矩形的性质可得AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质可得9AB AB '==，B E BE '=，AB E '∠=∠B=90°，利用HL 证出Rt △FB E '≌Rt △FCE ，从而求出B F '，即可求出AF ，最后利用勾股定理即可求出结论．【详解】解：连接EF ，∵4CF =，5DF =，∴CD=CF ＋DF=9∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°由折叠的性质可得9AB AB '==，B E BE '=，AB E '∠=∠B=90°∴FB E '∠=90°=∠C∵点E 为BC 的中点∴BE=CE∴B E CE '=在Rt △FB E '和Rt △FCE 中B E CE EF EF'=⎧⎨=⎩ ∴Rt △FB E '≌Rt △FCE∴4B F CF '==∴AF=AB '＋B F '=13在Rt △AFD 中，22AF DF -故答案为：12．【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、利用HL 判定两个三角形全等和勾股定理是解题关键． 18．3【分析】连接BE 由旋转的性质可得AD=DE ∠ADE=90°可求∠A=45°AE=AD=2AD=DE=BD 可证∠AEB=90°由勾股定理可求EC 的长即可求解【详解】解：如图连接BE ∵CD 是△ABC 的解析：3【分析】连接BE，由旋转的性质可得AD=DE，∠ADE=90°，可求∠A=45°，AE=2AD=2，AD=DE=BD，可证∠AEB=90°，由勾股定理可求EC的长，即可求解．【详解】解：如图，连接BE，∵CD是△ABC的边AB上的中线，∴AD=BD，∵将线段AD绕点D顺时针旋转90°，∴AD=DE，∠ADE=90°，∴∠A=45°，2AD=2，AD=DE=BD，∴∠AEB=90°，∴∠A=∠ABE=45°，∴AE=BE=2，∴22541-=-=，EC BC BE∴AC=AE+EC=3，故答案是：3．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定，勾股定理，求出EC的长是本题的关键．19．【分析】先根据正方形的性质得到CD=2∠CDA=90°再利用旋转的性质得CF=2根据正方形的性质得∠CFE=45°则可判断△DFH为等腰直角三角形从而计算CF-CD即可【详解】解：∵四边形ABCD为解析：22【分析】先根据正方形的性质得到CD=2，∠CDA=90°，再利用旋转的性质得2，根据正方形的性质得∠CFE=45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF-CD即可．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴CD=2，∠CDA=90°，∵边长为2的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴2，∠CFE=45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH=DF=CF-CD=222．故答案为：22．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．20．【分析】如图连接EGEB′求出EGEB′的长可以判定点B′在EG 的延长线上时GB′的值最小最小值=即可解决问题【详解】解：如图连接EGEB′∵四边形ABCD 是正方形∴∠A=∠D=90°AD=DC=A 解析：52- 【分析】如图，连接EG ，EB ′．求出EG ，EB ′的长，可以判定点B ′在EG 的延长线上时，GB ′的值最小，最小值=52-，即可解决问题．【详解】解：如图，连接EG ，EB ′，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A =∠D =90°，AD =DC =AB =2，∵AE =DE =1，DG =GC =1，∴EG 22DE DG +2211+2，由翻折的性质可知，∠A ′=∠A =90°，A ′E =AE =1，A ′B ′=AB =2，∴EB 22'''A E A B +2212+5∴当点B ′在EG 的延长线上时，GB ′的值最小，最小值52-52-．【点睛】本题考查正方形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用平行线的性质，补充一组对应角相等即可；（2）利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】（1）∵//BC AF ，∴AFE DBE ∠=∠，∵E 是AD 中点，AD 是BC 边上的中线，∴AE DE =，BD CD =，在AFE △和DBE 中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFE △≌DBE （AAS ）．（2）由（1）知AFE △≌DEB ，则AF DB =，∵DB DC =，∴AF CD =，∵//BC AF ， ∴四边形ADCF 是平行四边形，∵90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，E 是AD 中点， ∴12AD DC BC ==， ∴四边形ADCF 是菱形．【点睛】本题考查了三角形的全等，菱形的判定，熟练掌握判定三角形全等原理和菱形的判定定理是解题的关键．22．（1）BD CE =，理由见解析；（2）6；（3）20【分析】（1）首先证明EAC BAD ∠=∠，再证明()AEC ABD SAS △≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明；（2）根据等腰直角三角形的性质可得到AE AB =，AC AD =，BAE CAD ∠=∠，证明()EAC BAD SAS △≌△，得到CE BD =，再根据勾股定理计算即可；（3）连接BD ，把△ABD 绕点D 逆时针旋转60︒得到△ECD ，连接AE ，由旋转的性质得到EC=AB=15，△ADE 是等边三角形，由勾股定理可求得AE 的长，即可得解；【详解】解：（1）BD CE =，理由如下：∵BAE CAD ∠=∠，∴EAC BAD ∠=∠，又∵AB AE =，AD AC =，∴()AEC ABD SAS △≌△，∴BD CE =；（2）∵等腰Rt ABE 和等腰Rt ACD ，∴AE AB =，AC AD =，BAE CAD ∠=∠，∴EAC BAD ∠=∠，∴()EAC BAD SAS △≌△，∴CE BD =，∵45ABC EBA ∠=∠=︒，∴90EBC ∠=︒，∵4AB AE ==， ∴224432EB =+=在Rt EBC 中，22(32)26EC =+=，∴6BD =；（3）∵CD BC =，60BCD ∠=︒，∴△BCD 是等边三角形，连接BD ，把△ABD 绕点D 逆时针旋转60°得到△ECD ，连接AE ，则EC=AB=15，△ADE 是等边三角形，∴AE AD =，60DEA ∠=︒，∵30BAD ∠=︒，∴306090CEA ∠=︒+︒=︒，在Rt △AEC 中，2222251540020AE AC CE =--==，∴20AD AE ==．【点睛】本题主要考查了四边形综合，准确结合勾股定理和旋转的性质计算是解题的关键． 23．（1）见解析；（2）5【分析】（1）先证四边形ABDE 为平行四边形，再证得AE ＝CD ，得四边形ADCE 是平行四边形，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得AD ＝CD ，即可得出结论；（2）先由菱形的性质得AD ＝AE ＝CE ＝CD ，AC ⊥DE ，OA ＝OC ，再证OD 是△ABC 的中位线，得AB ＝2OD ＝2，则AO ＝AB ＝2，然后由勾股定理求出AD 的长即可解决问题．【详解】解：（1）证明：∵AE ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABDE 为平行四边形，∴AE ＝BD ，∵AD 是边BC 上的中线，∴BD ＝CD ，∴AE ＝CD ，∴四边形ADCE 是平行四边形，又∵∠BAC ＝90°，AD 是边BC 上的中线，∴AD ＝12BC ＝CD ， ∴平行四边形ADCE 是菱形；（2）解：∵四边形ADCE 是菱形，∴AD ＝AE ＝CE ＝CD ，AC ⊥DE ，OA ＝OC ，∵BD ＝CD ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2OD ＝2，∴AO ＝AB ＝2，∴AD∴菱形ADCE 的周长＝4AD ＝故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识；证得四边形ADCE 为菱形是解题的关键．24．（1）90°；（2）50°；（3）1802α︒-【分析】（1）由折叠的性质知ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠，即可得到1902CBD ABE ∠=∠=︒；（2）由115CBD ∠=︒计算出18011565ABC EBD ∠+∠=︒-︒=︒，根据ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠，即可求出答案；（3）由CBD α∠=求出180ABC EBD α∠+∠=︒-，根据ABC A BC ∠=∠'，EBD E BD '∠=∠计算得出180(2302)6ABA EBE αα''∠+∠=︒-⨯=︒-，再计算36021801802A BE αα''∠=︒--︒=︒-得出答案．【详解】（1）由折叠的性质知ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠， ∴12A BC ABA '∠'=∠，12E BD E BE '∠'=∠， ∴1902CBD ABE ∠=∠=︒．（2）∵115CBD ∠=︒∴18011565ABC EBD ∠+∠=︒-︒=︒，∵ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠，∴652130ABA EBE ''∠+∠=︒⨯=︒，∴18013050A BE ''∠=︒-︒=︒．（3）∵CBD α∠=∴180ABC EBD α∠+∠=︒-∵ABC A BC ∠=∠'，EBD E BD '∠=∠∴180(2302)6ABA EBE αα''∠+∠=︒-⨯=︒-∴36021801802A BE αα''∠=︒--︒=︒-．【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后的对应角相等，角度的和差计算，掌握图形中各角度之间的位置及和差关系是解题的关键．25．（1）见解析；（2）以点A 为旋转中心，顺时针旋转90°得到△FAC ．【分析】（1）由题意利用正方形的性质得出∠FAC=∠BAE ，AF=AB ，AC=AE ，即可得出△FAC ≌△BAE ；（2）由题意根据旋转前后图形的关系得出旋转中心和旋转角的度数即可．【详解】证明：（1）∵四边形ABGF 和四边形ACDE 是正方形，∴AF ＝AB ，AC ＝AE ，∵∠BAF ＝∠CAE ＝90°，∴∠BAF+∠BAC ＝∠CAE+∠BAC 即∠FAC ＝∠BAE ，∵在△FAC 和△BAE 中，AF AB FAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAC ≌△BAE （SAS ），（2）以点A 为旋转中心，顺时针旋转90°得到△FAC ．【点睛】本题主要考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和正方形的性质等知识，根据已知得出∠FAC=∠BAE 是解题的关键．26．（1）见解析；（2）6【分析】（1）证明AF EC =，利用一组对边平行且相等证明平行四边形；（2）根据菱形的性质得到10AE CE ==，再用勾股定理求出BE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，//AD BC ，∵BE DF =，∴AD DF BC BE -=-，即AF EC =，∵//AF EC ，∴四边形AECF 是平行四边形；（2）∵四边形AECF 是菱形，∴10AE CE ==，在Rt ABE △中，6BE ===．【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．。

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