“三角形的面积计算”教学研究
- 1 - 从忘记“÷2”说起 ——关于“三角形的面积计算”的教学研究 华中科技大学附属小学 冯胜 杨道吉 摘要：本研究从学生在计算三角形面积时，出现忘记“÷2”的现象入手，比较数学知识的形成过程以及学生的已经经验，思考学生数学学习的障碍，探寻三角形的面积计算的有效教学策略。 关键词：典型错误，教材分析，教学建议，实验结果
在教学中，我们会发现有些学生在计算三角形面积时，会直接用“底×高”。如果我们让学生检查，他们会很快发现自己忘记“÷2”，并很快订正。通常，我们把这样的错误看作是学生“粗心”造成的，真的是粗心吗？为什么有些学生经过反复训练后，还在出现此类错误呢？ 面对这样的现象，笔者认为我们不能简单地站在“成人视角”去理解，而应更多以“儿童视角”来分析产生此类错误的原因，以便我们运用更适合儿童心理的教学方法，尽量避免孩子们在认识上“少走弯路”。 基于这样的认识，笔者开展了有关“三角形的面积计算”的教学研究，准备从学生作业错例分析入手，结合对教学内容的再次思考，探寻学生错误的真实原因，提出较为合理的教学建议。 一、三角形面积计算的典型错误和错因分析 （一）测试的问题及意图 在设计测试的问题时，我们将三角形的面积计算的数学运用分为了三个层次。 序号 测试问题 设计意图
1 计算下面三角形的面积。（单位：厘米） 三角形面积计算公式的正向运用层次。
2 一个三角形的面积是24平方厘米，高是4.8厘三角形面积计算公式的逆
4.2
3 - 2 -
米。这个三角形的底是多少？ 向运用层次。 3 有块三角形的菜地，底是35m，比高多13m，如果每20平方分米有一棵大白菜。这块菜地共有多少棵大白菜？
该问题中三角形的面积计算是解决最终问题的过渡性问题，属于三角形面积计算的情境运用层次。 （二）测试的对象和过程 2013年11月，我们选择了使用人教版课标教材小学数学五年级上册的F小学五年级3个教学班。其中2个班的学生作为对照班在没有使用本研究的教学建议学习“三角形面积计算”后完成测试，另一个班的学生作为实验班在使用本研究的教学建议学习“三角形面积计算”后完成测试。 测试后我们对学生的解题情况进行初步整理，在整理的基础上选择了部分学生单独进行访谈，测试与访谈在同一天完成。 （三）测试的结果与分析 1．三角形的面积计算运用的整体掌握情况 我们将对照班的78名学生的测试卷的三个问题从正确率、错误率以及“算法”错误率三个方面进行了初步的数据统计，其中“算法错误”指运用三角形面积计算公式时，列式造成的错误。（“错误率”的计算方法：三角形面积计算列式错误人数÷被测学生人数×100%）。有关统计数据如下。 F小学五年级部分学生“三角形的面积计算”测试数据分析（1） 正确率 错误率 “算法”错误率 问题1 84.6% 15.4% 10.3% 问题2 78.2% 21.8% 20.5% 问题3 38.5% 61.5% 24.4%
由上表可知：学生对三角形的面积计算运用的掌握情况是有层次的。其中“算法”错误有下面两类典型错误。 序号 典型错误 错误原因
1 学生直接用“底×高”来计算三角形的面积。
百分比 项目 问题 - 3 -
2 学生求三角形的底时，直接用“三角形的面积÷高”。 针对以上错误，还进行了学生进行了访谈。在访谈时，多数学生看到自己出现的第一类错误，随即就说“老师，我忘记除以2了”。当我们追问：“你为什么会忘记除以2呢？”，学生答到“和平行四边形的面积计算方法弄混了”。继续针对学生出现的第二类错误访谈“你为什么这样做？”，学生说到“原来，求长方形和平行四边形的，也是这样算的”。由此可见，学生对三角形的面积计算公式的运用，很容易受已有对长方形和平行四边形的面积计算公式的影响。 2．三角形的面积计算在不同背景中运用的掌握情况 为进一步探索学生在不同背景中，三角形面积计算公式正向和逆向运用的相互影响关系。我们关注了测试答卷中以下三类情况，学生答题过程中“算法”错误统计，如下表。 F小学五年级部分学生“三角形的面积计算”测试数据分析（2）
“算法”错误人数 “算法”错误率 问题1解答正确，问题3“算法”错误 12 15.4% 问题1解答正确，问题2“算法”错误 9 11.5% 问题1和问题3解答正确，问题2“算法”错误 4 5.2%
从上表可知：（1）部分学生虽然能直接正向运用三角形面积计算公式，但在具体情况中正向运用时错误较多。出现该现象的原因是具体情境中运用公式时，易受情境信息和干扰因素等影响。（2）部分学生对三角形的面积计算的逆向运用掌握情况低于正向运用。（3）当学生不同背景中，能克服干扰因素和复杂背景正确的正向运用三角形的面积计算公式时，三角形的面积计算公式的逆向运用掌握也较高。
也许我们会有这样的疑问：为什么教学过程中学生操作了，教师演示了，还有学生出错呢？真的是学生无法跨越这道坎吗？下面是笔者观察到的教学片断，也许会引起我们一些新思考。 【教学现象】 （1）每个组准备了一些三角形，请同学们摆一摆，拼一拼，看能不能拼成我们学过的平面图形（学生合作探究）。
项 目 数 据 背 景 - 4 -
（2）交流汇报，每个小组选代表到黑板上演示。 （3）小结：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 （4）自主探究：三角形与所拼成的平行四边形有什么关系？ （5）合作探究：通过“转化”“找关系”，你能推导出三角形面积计算公式吗？ （6）板书：三角形的面积=底×高÷ 2 S=ah÷2 【分析与思考】 在这个教学片断中，学生充分经历了三角形面积计算公式的推导过程吗？我认为学生只是被动的按教师的设计机械地完成了一系列的操作，没有充分经历计算公式的探究过程。在这一过程中，学生只是“操作工”，对于“为什么会想用两个完全一样的三角形来拼？”、“还有其他推导方法吗？”等问题学生没有主动地思考，更谈不上猜想和创造。这样肤浅的操作导致学生没有深刻的理解，记忆也不深刻的。这样看来，学生作业时会忘记“÷2”也是情有可原。
二、三角形面积计算的教学内容和教材分析 从以上测试，我们发现部分学生习惯于将“平行四边形的面积计算公式直接运用于三角形的面积计算”中的现象。为此，我们将平行四边形和三角形的面积计算公式的推导过程、面积计算公式的数学结构以及公式的变式运用等三个方面来对比分析，再次思考学生错误的真实障碍。具体分析如下。 平行四边形和三角形的面积计算学习内容的对比分析
平行四边形的面积计算 三角形的面积计算
计算公式的推导过程
将平行四边形用割补法转化成为与它面积相等长方形，因为长方形的长与平行四边形的底相等，长方形的宽与平行四边形的高相等，而长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。（如图1） 将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形（或长方形），因为平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以可以推出三角形的面积=底×高÷ 2（如图2） （其他方法不一一说明）
图 形 内
容 项 目 - 5 -
计算公式的数学结构 平行四边形的面积计算公式为S=ah，表示面积等于对应底和高的乘积，也就是两个变量的乘积。 三角形的面积计算公式为S=12 ah，表示面积等于对应底和高的乘积的二分之一，是两个变量乘
积的12 。 计算公式的变式运用 a=S÷h或h=S÷a a=2S÷h或h=2S÷a
图1 图2 从以上对比中，我们可以发现： 1. 在平行四边形的面积计算公式推导过程中，我们将平行四边形转化成长方形，虽然转化前后图形的形状发生了变化，但前后两个图形的面积没有发生改变。这样的图形面积计算公式的推导方法，称为等积变换。但在三角形的面积计算公式推导过程中，将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，进而推导三角形的面积计算公式。像这样通过图形的拼组推导面积计算公式的方法，称为图形重组。我们可以发现，三角形的面积计算公式的推导过程与平行四边形的有明显的差异。 2．从两个计算公式的数学结构来看，由于S=12 ah前面有系数“12 ”，公式本身也比前者复杂。因此，在计算公式的逆运用时，需要先将系数“12 ”转化成1，即2S=ah。而学生在长方形或平行四边形的面积计算公式逆运用时，都直接是将面积除以一个变量，如a=S÷b。回顾这些学生原有面积计算的经历，发现像三角形的面积计算公式这样的数学结构还是学生第一次接触。 综上分析，我们可以知道三角形面积计算公式的推导过程、数学结构等方面都比平行四边形的复杂，对于学生的数学经历是一次跨越。 - 6 -
三、“三角形面积计算”的教学建议和实验结果 通过对平行四边形和三角形面积计算的多角度比较、分析，找到了学生数学学习的障碍，更为我们解决问题找到了方向。下面笔者对如何帮助学生理解三角形的面积计算公式以及克服已有学习经验的负迁移，提出几点建议。 （一）完善结论的推导过程，丰富数学体验。 在以上分析过程中，我们可以知道要帮助学生在解决问题中克服忘记“÷2”的习惯，应该有效帮助学生理解为什么“÷2”，也就是理解三角形面积计算公式的推导过程。 那么这一过程核心问题是什么？探究的起点在哪里？三角形的面积计算公式推导过程较平行四边形的复杂，其原因是需要用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。如果不是学生提前已知或预习，这样的联想对于学生还是有一定难度的，因此，“为什么会想用两个完全一样的三角形来拼？”是核心问题。学生的探究起点在哪里呢？在探究平行四边形面积时，学生是沿平行四边形的高剪开，通过割补转化成为长方形。在探究三角形面积时，学生很自然也会联想到沿三角形的高剪开，此时剪下后两个直角三角形无法拼出规则图形，但利用同伴剪下后的直角三角形拼成了一个平行四边边（长方形），这样的探究经验应该充分迁移。根据这样的思考，设计了如下教学思路。 【改进思路】 （1）寻找思路 ①唤醒旧知：复习三角形分类，底和高的相关知识。 ②提出猜测：三角形的面积计算公式。 ③寻找转化思路：我们可以将三角形转化成会求面积的图形。我们会求哪些图形的面积呢？（生：平行四边形、长方形和正方形） （2）第一次探究（剪拼） ①学生动手操作。（此时每个学生只有一个锐角三角形，且同桌之间的三角形是完全一样的。） ②反馈剪拼方法。 第一层次：学生通过动手操作，发现将这个三角形沿高剪开后很难转化。 第二层次：用沿高剪开后的直角三角形和同桌剪下的直角三角形拼成一个平行四边形（或长方形）。 师：虽然不能求出原来三角形的面积，但给了我们一个提示，像这样两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形（或长方形）。
五年级数学上册 第四单元 探索活动：三角形的面积教案 北师大版 教案
三角形的面积教学内容：北师大版五年级上图形的面积〔一〕----三角形的面积教学目标：1．探索并掌握三角形面积公式，能正确计算三角形的面积，并能应用公式解决简单的实际问题。
2．培养学生应用已有知识解决新问题的能力。
3使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，开展学生的空间观念和初步的推理能力。
4．让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。
教学重点：探索并掌握三角形面积计算公式，能正确计算三角形的面积。
教学难点：在转化中发现图形内在联系与推导说理。
教学关键：让学生经历操作、合作交流、归纳发现和抽象公式的过程。
教具准备：课件、平行四边形纸片、两个完全一样的三角形各三组、剪刀等。
学具准备：每个小组至少准备完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两个，一个平行四边形，剪刀。
教学过程：一、创设情境，提醒课题师：我们学校一年级有一批小朋友参加少先队组织，学校做50条红领巾，要我们帮助算算要用多少布，同学们愿意帮学校解决这个问题？师：同学们，红领巾是什么形状的？〔三角形〕你会算三角形的面积吗？这节课我们一起研究、探索这个问题。
〔板书：三角形面积的计算〕[设计意图：利用学生熟悉的红领巾实物，以与帮学校计算要用多少布这样的事例，激起了学生想知道怎样去求三角形面积的欲望，从而将“教〞的目标转化为学生“学〞的目标。
] 二、探索交流、归纳新知师：上节课我们学习平行四边形面积的计算方法，我们是通过什么方法探究平行四边形面积？平行四边形的面积公式是什么呢？〔板书：平行四边形面积=底×高〕1．寻找思路：师：你想用什么方法探索三角形面积的计算方法？〔学生答复各种方法〕①用数方格的方法求出三角形的面积。
〔1〕提问：①三角形按角分可分为哪三类？②观察方格图上标的1厘米表示什么？每个小方格代表1平方厘米，为什么？〔2〕提出要求：分三组数，每组数一个三角形。
先指出三角形的底和高各是多少厘米？再数出它们的面积分别是多少平方厘米？图中每个方格代表1平方厘米。
平行四边形三角形和梯形的面积公式教学研究”校本教研活动方案
“平行四边形、三角形和梯形的面积公式教学研究”校本教研活动方案(一)朱乐平一、活动目标1．经历阅读、思考、解答并与同伴交流关于平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式教学的相关资料与问题。
2．明确化归法的含义。
能够分清平行四边形、三角形与梯形的面积这三个公式教学时，教学目标上的相同与不同点。
3．能了解平行四边形面积计算公式教学的不同引入方法，并对不同的引入方法的优点与不足进行分析。
4．能够明确如何引导学生探索平行四边形面积计算公式。
二、活动时间教研活动可以分成两个时间段，第一段是交流本方案中的问题60分钟。
然后是一个老师上课，上平行四边形面积计算公式这节课40分钟，评课再50分钟。
共2个半小时，可以在同一个半天中，也可以分开。
可以根据学校教研活动的时间和教研组老师的情况，选择下面“活动前准备”中的一些问题进行解答与交流。
三、活动前准备先让全组数学教师解答下面的问题，并准备在小组或全数学组交流。
(注：以下带有*号表示问题有一定的难度。
)(一)⒈你认为“平行四边形的面积、三角形的面积和梯形的面积计算公式”这三块教学内容，小学生应该先学哪一块内容？为什么？现行的小学数学教材中，学生学习这三块内容的顺序是怎样的？⒉平行四边形、三角形和梯形这三个图形的面积公式推导时，都运用了化归的方法(也有人叫它是转化的方法)。
(1)请你写一写什么叫化归法？如果你不能直接写出化归法的含义，那么，请你试着先举出运用化归法解决数学问题的例子，然后再试着写一写什么叫做化归法。
(2)请你阅读下面的文章，阅读完后，请在数与代数和图形与几何的领域中各举一个运用化归法解决问题的例子。
如果问，数学家与其他科学家在解决问题时，在思维方法上有什么特别的地方？可能的回答是：数学家的思维方式更善于运用化归法。
有人曾对“化归法”作过生动的比拟。
“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧水，你应当怎样去做？”。
正确的回答是：“在水壶中放进水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。
塞翁失马
《三角形的面积》教学与反思一、教学设计与实施面积公式是小学数学教学的一个重点内容。
它是人们研究量与量之间的关系时发现的一些联系，是理论联系实际的良好体现。
三角形面积的计算公式推导方法与平行四边形面积计算公式的推导方法有相似之处，都是将图形转化成已经会计算面积的图形，探索研究图形与已学图形之间的联系，利用知识迁移法和探究法找出面积的计算方法。
体现了数学的转化思想。
由于学生有了研究图形面积的经验，本节课我采用了自主学习、小组合作学习的方式。
首先，让学生回忆以前学过的长方形、正方形、平行四边形的面积公式。
导入后，出示本节的学习目标。
而后根据预习要求，让学生拿出准备好的两个全等的三角形纸片，拼成一个平行四边形，量出它的高和边长，并用前面学过的平行四边形的面积公式求出其面积，然后让小组长组织本组学生商量讨论如何求出一个三角形的面积？对于组内不能解决的问题，先记下来。
这个环节老师要参与到某小组的讨论中。
接下来就是全班交流，就是让各个小组记下来的问题交给其他小组讨论解决，老师适时点拨，解决问题。
到现在为止，三角形的面积公式就推导出来了。
最后，出示一些练习题巩固公式的掌握情况。
二、教学反思本节课的教学活动是在学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础上，创设活动情景，激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，让学生参与到课堂中来，鼓励、帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能。
学生成为学习的“真正的主人”，教师成为学习的组织者、引导者和合作者。
整个教学活动让学生在实践中学会新知，让每一个学生都能在数学学习中得到不同程度的提高。
《蚊子和狮子》教学与反思一、教学设计与设施文言文教学是初中语文的一个教学难点，学生学习文言文有一种畏惧心理。
如何让学生学懂学会，又能完成教学任务呢？我认为，把教学的触角伸到文中所提供的场景或文章作者所处的时代，让学生置身于特定的环境中，进行现场还原，自主学习、合作探究，不失为一种有效的方法。
三角形面积评课稿三角形的面积优秀评课
三角形面积评课稿三角形的面积优秀评课三角形的面积评课稿(1)《三角形的面积》评课稿听了林老师的《三角形的面积》这节课，深有感受，下面谈谈我对这节课的感受：《三角形的面积》这节课的内容是在平行四边形面积计算的基础上进行教学的，主要是引导学生通过三角形面积公式的推导去理解和掌握三角形面积计算公式。
根据新课程新理念的要求教学应该由原来教师单纯的教转变为引导学生学会学习。
在教学中教师注重学生自己动手操作，从操作中掌握方法，发现问题，解决问题。
一、动手操作，拼一拼摆一摆，创造性的使用教材在教学中，林老师让学生动手操作，本节课有两个环节给予了学生充分的动手操作时间。
一个是直角三角形的面积的计算探究，另一个是验证锐角三角形和钝角三角形的面积是否也可以利用前面探究的方法计算。
对于第一个动手环节，既要尝试着转化成已学过的图形，又要在转化后观察原来的图形与转化后的图形之间的关系，并思考如何算出面积，其负载的使命相对较重，因此在这个环节林老师给予了学生更长的时间。
事实上，由于对学生的相信，学生的探究比较有效，不仅很好地完成了探究的预期任务，而且在汇报交流所表现出来的自信心、展示成果的准确和表达的逻辑性都充分体现了学生比较全面的数学能力。
二、引导学生发现问题、思考问题，培养合作精神在这节课中，探讨长方形（平行四边形）面积公式与三角形面积公式有什么不同，三角形面积公式中的“除以2”是怎么来的？在探讨这个问题时，采用小组讨论，让学生说一说，在讨论中发现问题，解决问题，小组讨论既可以培养学生的合作精神，又可以活跃课堂气氛。
知识很重要，但方法比知识更重要。
在林老师的课堂中，林老师习惯于利用一切可能的机会与学生一起提炼其中的思想、方法。
例如在直角三角形面积计算方法的探究环节，当学生通过充分的探究算出直角三角形的面积并汇报交流后，林老师没有马上进入下一个环节的教学，而是慎重其事地及时进行了方法梳理：我们一起来看一下我们怎样算出面积的？首先，我们遇到的是一个直角三角形，我们无法直接算出它的面积，于是，同学们想到用拼的方法把它转化成…… 这样处理的目的，一是为学生进行锐角三角形、钝角三角形面积探究做方法上的准备，二是给学生渗透一种习惯，那就是要养成总结方法的习惯。
挖知识源流,助文化互融--以基于数学史的“三角形的面积”教学为例
教学月刊·小学版2021/6数学JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN挖知识源流，助文化互融——以基于数学史的“三角形的面积”教学为例□刘树霞郑玲玲【摘要】基于数学史的数学文化的教学绝非易事。
以“三角形的面积”为例，说明基于数学史的数学文化的教学，应以数学史的梳理为基础，以数学史文化内涵的挖掘和教学应用为重点，以教学目标的达成为指向。
这样才能更好地体现数学史在数学教学中的科学价值、应用价值、审美价值、文化价值。
【关键词】数学史；数学文化；知识源流；文化互融一、引言对数学文化的关注肇始于数学界对数学与文化关系的讨论，数学文化进入数学教育领域引发了“数学文化热”思潮，进而促进了数学学科自身的科学价值与人文价值的融合，对中国数学教育教学改革具有重要的启蒙意义。
[1]目前，很多教师借助基于数学史的数学文化进行教学，以期让学生感受数学的科学价值、应用价值、审美价值和文化价值。
但基于数学史的数学文化的教学绝非易事，因为这不仅要关注数学发展的历史，更要符合学生的认知基础和认知规律[2]，同时教材的内容编排并未重视历史脉络的显性呈现或隐性渗透。
笔者以“三角形的面积”为例，介绍基于数学史的数学文化教学实践。
二、历史材料及其运用三角形的面积计算公式，自古埃及开始经历了漫长的发展和演变过程，表1呈现了不同时空中与三角形面积计算有关的历史素材。
表1历史上三角形的面积计算方法《莱茵德纸草书》《九章算术》用一数乘另一数的一半，但不能确定另一数表示的是边还是高等腰三角形的面积计算方法：半广以乘正从（zòng ）（广：三角形底边长，正从：三角形底边上的高）来源相关史料刘徽《九章算术注》欧几里得《几何原本》海伦—秦九韶公式其他方法术曰：半广以乘正从。
半广知，以盈补虚为直田也。
亦可半正从以乘广。
即利用出入相补（以盈补虚）原理，将三角形转化为长方形进行面积计算，得到三角形的面积公式是半广以乘正从，半正从以乘广第一卷命题37和命题38论证同底等高、等底等高的三角形面积相等。
小学五年级数学(人教版)《三角形的面积(第1课时)》-教学设计、课后练习、学习任务单
教学设计积。
15分钟二、操作探究（一）利用两个三角形探究三角形的面积计算公式1.明确用“转化”的方法研究。
师：你们打算怎么研究？预设：像研究平行四边形的面积那样，把三角形转化成学过的图形来研究。
配合课件演示，引导学生回忆平行四边形的面积计算公式的推导过程。
2.思考转化图形的方法。
师：想一想，怎样把三角形转化成学过的图形？预设：试着用两个三角形拼成学过的图形。
下面请你们动手试一试，看看能不能推导出三角形的面积计算公式？3.独立探究。
出示活动建议。
①选择三角形，转化成学过的图形，并贴在纸上。
②找一找原来的三角形和转化后的图形之间有哪些等量关系。
③试着推导出三角形的面积计算公式。
4. 汇报交流。
（1）通过错例交流，明确用两个一样的三角形才能拼成学过的图形。
（2）用两个一样的直角三角形拼成学过的图形。
预设1：两个一样的直角三角形拼成长方形，观察发现三角形的底和长方形的长相等，三角形的高和长方形的宽相等，长方形面积等于2个三角形的面积，长方形面积＝长×宽，所以三角形面积＝底×高÷2。
预设2：用两个一样的直角三角形拼成一个平行四边形。
组织学生观察拼摆方法，并经历推导出三角形的面积计算公式的过程。
师小结：都用两个完全一样的直角三角形拼成学过的图形，拼的方法不同，拼成的图形也不同，但都得到同样的结论。
（3）用两个一样的锐角三角形拼成一个平行四边形，推导公式。
（4）用两个一样的钝角三角形拼成一个平行四边形，推导公式。
5.归纳小结。
呈现以上四种拼摆转化的方法，组织学生观察，看看有什么发现？预设1：只要是2个一样的三角形，就可以拼成长方形或平行四边形。
预设2：长方形是特殊的平行四边形，所以用两个一样的三角形就可以拼成平行四边形。
预设3：发现三角形的底和平行四边形的底相等，三角形的高和平行四边形的高相等。
三角形的面积等于平行四边形面积的一半，因为平行四边形面积＝底×高，由此推出三角形面积＝底×高÷2。
探索函参中三角形面积计算模型-南安教师进修学校
南安市初中毕业班数学科中心教研组教学研讨活动教学观摩课教学设计授课教师：实验中学陈彬彬老师授课班级：初三年四班课题：函参数的三角形面积授课地点：南安西溪中学授课时间：2012 年 3 月28日一. 教学背景为充分发挥南安市初中数学骨干教师的专业引领作用，进一步加强对初中毕业班数学教学研究与指导，促进提高南安市初中毕业班数学科教学质量， 2012年3月28日（星期三）上午，在西溪中学召开南安市初中毕业班数学科中心教研组教学研讨活动。
时值九年级学生进行中考复习，根据南安市进修学校安排，笔者借用西溪中学初三年四班学生向全市16个初中教研片龙头校的初三年数学备课组长开设一节专题复习课.二. 学情分析西溪中学初三年四班学生是南安名师、西溪中学副校长亲自执教的学生，已经完成函数、平面直角坐标系和三角形知识的复习，也进行中考压轴题的规模练习，具有良好数学素养. 但笔者借班上课，学情不熟悉，采用“学案”稿形式，以便认识学生，用习题调研学情，以“课堂练习”为机动题，或在课堂上完成，或作为课外作业.三. 教学目标鉴于近几年泉州市中考出现函参数的函数压轴题频率比较高，笔者拟以“学案”稿为导学，开设一节“函参数的三角形面积”复习课，以期培养学生学会引入参数解决函数问题中变化的三角形面积，帮助学生体会数学建模、数形结合、转化思想，进一步提高学生自主探索和合作交流能力；以期提供总复习“课前巧妙构思、精心预设，课中有效互动、动态生成，课后拓展延伸、反思提升”的“复习三部曲”上课案例供同行们研讨.四. 教学重点、难点构造三角形的“铅垂高(h )”，引入参数，在函数视角下计算三角形的面积.五. 教学过程1.课题引入，激疑置趣：三角形的面积怎样计算？（问题简单，吸引学生注意力！）如果把三角形放在平面直角坐标系的抛物线上，如何计算三角形的面积？ 2.全员参与，探索模型：问题1：如图，抛物线245y x x =--+与x 轴的交点A （1，0），C （－5，0）．与y 轴交于点B ，抛物线的顶点为D.（1） 求点B 、D 的坐标；（2） 试求△BCD 的面积；你有几种方法？☆第（1）小题入口宽，意在让全体学生参与活动；第（2）小题意在调查学生解决三角形面积的思维情况.如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 4.引入参数，应用模型：问题2：抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线的解析式（答案：324)1(221++-=+--=x x x y ）和直线AB 的解析式（答案：32+-=x y ）；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △P AB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.5.反馈练习，学以致用：课堂练习：如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．在直线．．AC ．．上方的．．．抛物线215222y x x =-+-上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．6.小结提炼，知识建构：师：请你谈谈如何引入参数，如何运用“三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”新方法计算平面直角坐标系上的三角形面积？AxCOyABD1 1O xyAB C4 1 2-师：请同学整理上述问题1、2的完整答案，完成课堂练习．学有余力的同学可以尝试完成下面2道题：1.如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．在抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．2.如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=9cm ，CD=12 cm ，BC=15 cm ．点P 由点C 出发沿CA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由AB 出发沿AD 方向匀速运动，速度为1cm/s ， 且与AC 交于Q 点，连接PE ，PF ．当点P 与点Q 相遇时，所有运动停止．若设运动时间为t （s ）． ⑴求AB 、AC 的长度；⑵设△PEF 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；六. 教学反思我们这一次会议的主题是“转变教学方式，提高学习能力、构建高效课堂”，尤其是初三毕业班总复习科目多、时间紧、任务重，如何进行有效复习是我们教师面临的课题，笔者课前巧妙构思，紧紧扣住中考压轴题，精心设计几道同一类的函参数三角形面积的问题，采用专题复习形式，以数学模型建构知识结构，以一题多解打开学生思路，以类题同法概括解题方法，以分层分类拓展学生思维，在课堂中以生为本，师生、生生有效互动，知识生长点动态生成，课后通过作业拓展延伸，让学生在反思中提升能力，至于分类讨论因为时间关系，安排在课后作业探讨。
研起点沿脉络延思维——以《三角形的面积》为例
研起点沿脉络延思维——以《三角形的面积》为例发布时间：2022-08-09T18:23:15.317Z 来源：《基础教育参考》2022年8月作者：江彩霞[导读] 有联系地教学，结构性地教学，是构建高效数学课堂的重要特征，也是让学生有意义地学习数学的关键。
研究学生的学习起点，注重与之前所学知识的联系，找寻适当的学习方法，是展开教学的首要条件。
沿着知识脉络，有的放矢地进行教学，并适时的延伸，构建有孕伏味的课堂。
江彩霞厦门市集美区灌口中心小学 361023摘要：有联系地教学，结构性地教学，是构建高效数学课堂的重要特征，也是让学生有意义地学习数学的关键。
研究学生的学习起点，注重与之前所学知识的联系，找寻适当的学习方法，是展开教学的首要条件。
沿着知识脉络，有的放矢地进行教学，并适时的延伸，构建有孕伏味的课堂。
关键词：联系，脉络，延伸，建构。
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128 （2022）08-139-02教师要瞻前顾后，前后呼应地处理好课堂时教学内容与整体知识的关系，引导学生在数学知识间感觉整体，推动学生对数学知识的有效建构。
教师适时地设计“脚手架”为学生搭起从“旧知”到“新知”的平台，需要准确把握知识的“生长点”和“延伸点”，有助于学生将知识串点成线，聚线成面。
下文，笔者以《三角形的面积》一课为例，谈谈如何把握知识间的联系，促进知识建构。
一、研起点，寻方法。
三角形的面积》是以学生已学过的长方形、正方形面积计算为基础，以平行四边形面积计算为主要内容进行教学。
三角形各部分的名字和特征，学生都已认识并掌握。
本节课的面积计算方法推导过程对学生来说难度不大，而如何利用已经学过的方法进行探究，值得我们思考。
学生经历了利用“割补法”将一个平行四边形转化成长方形的过程。
由于学习平行四边形时是利用一个平行四边形进行转化的，受到这样的知识“负迁移”，如果学生一开始接触的也是一个三角形，大部分会想到采用沿高剪的方法进行探究。
发展思维:小学数学核心素养的核心体现——以三角形的面积教学为例
发展思维 :小学数学核心素养的核心体现——以 "三角形的面积 "教学为例摘要：如今素质教育要求培养学生的核心素养，它是基于社会发展以及学生终身发展提出的关键能力。
在新课标的教育要求之下，学生对于数学学习应愈加深入，能切实提高自身能力应用到现实生活之中，学生不仅要掌握理论知识同时也可以形成良好的学习习惯，可以解决现实生活中的问题。
以促进学生个体的全面发展作为教学的主要目的，本文主要探讨了在三角形的面积这一课程中如何培养学生的核心素养，促进学生的思维发展，提出了以下几点建议，以供参考。
关键词：发展思维小学数学核心素养1.当前小学数学教学的现状当前受到传统教育教学模式的影响，教师一味采取灌输式的教学模式，从而忽略了对于学生核心素养的培养。
学生在数学学习的过程之中往往是被动的，这与新课标的教育要求常常是不相符合的，教师为了使教学任务可以顺利的开展，忽略了学生知识内化的过程。
以三角形的面积作为案例来讲，往往因为教学时间不够直接取消了实验、猜想、观察等探究性的教学活动，口头讲解为学生灌输知识点，学生被动学习无法更好的理解。
除此之外，包括公式、解题步骤等等教师都是要求学生背诵和记忆，而数学应该是悟出来的，不是背出来的，这对于学生核心素养的培养是十分不利的。
2.数学发展思维的应用2.1创设生活情境如今，在小学时期，学生由于身心发展特点以及年龄阶段的影响，对于所有事物都抱有着好奇心和探索欲，教师在教学时也应抓住这一教育心理，从而将数学教学融入到学生的生活和学习中去。
教师可以借助生活事件创设生活情境，将原本抽象的数学知识变得具象化，这时学生再进行学习时就会比较简单，以三角形的面积作为教学案例来讲，为了激发出学生学习的欲望，教师可以借助生活中的物品举例，在生活中有哪些常见的物品是三角形的？如路标、警示牌，你知道它有多大吗？学生通过对实际物品的测量逐渐学会迁移知识，解决生活中的问题，而且这样的教学形式也激发了学生对于数学学习的好奇心，使学生可以在遇见一些小问题时逐渐学会自己思考并运用所学知识来进行解决。
数学教案-三角形面积计算公式的推导-教学教案
教学内容：人教版9册三角形面积公式推导部分教学目的：1、通过让学生主动探索三角形面积计算公式，经历三角形面积公式的探索过程，进一步感受转化的数学思想和方法。
2、使学生理解三角形面积计算公式，能正确地计算三角形的面积。
3、通过操作、观察、比较，培养学生问题意识、概括能力和推理能力，发展学生的空间观念。
教学过程：一、阅读质疑。
先请同学们自己阅读以下材料，然后以小组为单位交流一下你们都学会了哪些知识，可以提出什么问题，并把问题随手记录下来。
1厘米学生阅读后首先回顾了平行四边形、长方形地面积公式及推导过程。
然后学生提出了质疑，主要问题有：（1）数方格怎么求三角形的面积？（2）不数方格怎么求三角形的面积？有没有一个通用公式？（3）能把三角形也转化成我们学过的图形求面积吗？（4）转化成的这些图形跟三角形有什么关系吗？（析：孔子曾说：“疑是思之始，学之端”。
这里老师打破了学生等待老师提问的常规，要求学生把阅读材料作为学习主题，通过阅读提出问题，真正体现了“以生为本”。
）二、点拨激思1.数方格的问题学生根据学习材料可以解答用数方格的方法求三角形的面积。
老师接着问：有一个很大的三角形池塘，你来用数方格求它的面积。
学生小声笑了起来。
为什么笑？老师问到。
学生说数方格太麻烦了，池塘也不好划分方格。
嗯，看来数方格求面积是有一定局限性的，今天我们就来研究三角形的面积。
（析：一石激起千层浪，学生由数方格方法的局限性这一认识的困惑与冲突，有效地引发了学生探究面积计算公式的生长点，使学生有了探究发现的空间。
）2.转化的问题你想把三角形转化成什么图形？学生会转化成平行四边形、长方形、正方形。
梯形行吗？这时学生会有两种答案，有的说行，有的说不行，为什么不行？老师追问，学生在讨论中达成共识:必须转化成学过的，可以计算面积的图形。
师：三角形怎样才能转化成这些图形？请同学们利用手中学具，通过拼一拼，折一折，剪一剪，利用转化成这些图形来解决下面的几个问题。