高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.2课时达标训练 新人教A版选修23
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.2 事件的相互独立性课件 新人教A版选修2-3
[双基自测]
1．若事件 A 与 B 相互独立，则下列不相互独立的事件为( )
A．A 与 B
B. A 与 B
C．B 与 B
D．B 与 A
解析：由相互独立性质知 A 与 B ， A 与 B ，B 与 A 也相互独立．
答案：C
2．两人打靶，甲击中的概率为 0.8，乙击中的概率为 0.7，若两人同时射击一目标，
[解析] (1)根据事件的特点易知，事件 M 是否发生对事件 N 发生的概率没有影响， 故 M 与 N 是相互独立事件． (2)由于第 1 次摸到球不放回，因此会对第 2 次摸到球的概率产生影响，但不会造成 “再从中任意取 1 球是黑球”的事件不发生，所以这两个事件既不是互斥事件，又不 是相互独立事件．
由题意知，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间也没有影响，根据相互独立事 件的概率公式得，这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C ) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027. 于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是 1－P( A B C )＝1－0.027＝0.973. 即这段时间内线路正常工作的概率是 0.973.
2．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为 p 和 q，则恰有一株成活的概率为
()
A．pq
B．p＋q
C．p＋q－pq
D．p＋q－2pq
解析：恰有一株成活的概率为 p(1－q)＋(1－p)q＝p－pq＋q－pq＝p＋q－2pq.
答案：D
3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要
2020高中数学 第二章2.2 二项分布及其应用 2.2.2 事件的相互独立性高效演练 新人教A版选修2-3
2.2.2 事件的相互独立性A 级 基础巩固一、选择题1．有以下三个问题：①掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”；②袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M ：“第1次摸到白球”，事件N ：“第2次摸到白球”；③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚为正面”，事件N ：“两枚结果相同”． 这三个问题中，M ，N 是相互独立事件的有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个解析：①中，M ，N 是互斥事件；②中，P (M )＝35，P (N )＝12，即事件M 的结果对事件N 的结果有影响，所以M ，N 不是相互独立事件；③中，P (M )＝12，P (N )＝12，P (MN )＝14，P (MN )＝P (M )·P (N )，因此M ，N 是相互独立事件．答案：C2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为( )A ．1－a －bB ．1－abC ．(1－a )(1－b )D ．1－(1－a )(1－b )解析：设A 表示“第一道工序的产品为正品”，B 表示“第二道工序的产品为正品”，则P (AB )＝P (A )P (B )＝(1－a )(1－b )．答案：C3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y (若指针停在边界上则重新转)，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )甲 乙A.116 B.18 C.316 D.14解析：满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.所以所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1)＝14×14＋14×14＋14×14＝316.答案：C4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16解析：所求概率为23×14＋13×34＝512或P ＝1－23×34－13×14＝512.答案：B5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )A.19B.16C.13D.718解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23，停车一次即为事件ABC ＋ABC ＋ABC 的发生，故概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718.答案：D 二、填空题6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．解析：从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因事件M ，N 相互独立，则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )＝P (M )P (N )＝160200×180240＝35.答案：357．已知P (A )＝0.3，P (B )＝0.5，当事件A 、B 相互独立时，P (A ∪B )＝________，P (A |B )＝________． 解析：因为A ，B 相互独立，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A )·P (B )＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65；P (A |B )＝P (A )＝0.3.答案：0.65 0.38．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析：在同一时刻两颗卫星预报都不准确的概率为(1－0.8)×(1－0.75)＝0.05，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－0.05＝0.95.答案：0.95 三、解答题9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为12，求灯亮的概率．解：因为A ，B 断开且C ，D 至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P ＝P (AB )[1－P (CD )]＝P (A )P (B )[1－P (CD )]＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316.所以灯亮的概率为1－316＝1316.10．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工，绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45，56，23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝29，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×⎝⎛⎭⎪⎫1－56×23＝445，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝190， 所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.B 级 能力提升1．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A 、B 相互独立，所以1－P (— A )P (—B )＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．答案：C2．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥， 又P (A )＝C 12C 14C 25＝45，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A ) ＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝P （AB ）P （A ）＋P （AC ）P （A ）＝34.答案：343．已知A ，B ，C 为三个独立事件，若事件A 发生的概率是12，事件B 发生的概率是23，事件C 发生的概率是34，求下列事件的概率：(1)事件A ，B ，C 只发生两个； (2)事件A ，B ，C 至多发生两个．解：(1)记事件“A ，B ，C 只发生两个”为A 1，则事件A 1包括A ·B ·C ，A ·B ·C ，A ·B ·C 三种彼此互斥的情况．由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P (A 1)＝P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＝112＋18＋14＝1124，所以事件A ，B ，C 只发生两个的概率为1124.(2)记“事件A ，B ，C 至多发生两个”为A 2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A ，B ，C 一个也不发生， 记为A 3，事件A ，B ，C 只发生一个，记为A 4，事件A ，B ，C 只发生两个，记为A 5， 故P (A 2)＝P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＝124＋624＋1124＝34.所以事件A ，B ，C 至多发生两个的概率为34.。
高中数学选修2-3(人教A版)第二章随机变量及其分布2.2知识点总结含同步练习及答案
第二章随机变量及其分布 2.2二项分布及其应用
一、学习任务 1. 了解条件概率的定义及计算公式，并会利用条件概率解决一些简单的实际问题． 2. 能通过实例理解相互独立事件的定义及概率计算公式，并能综合利用互斥事件的概率加法公 式即对立事件的概率乘法公式． 3. 理解独立重复试验的概率及意义，理解事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 公式，并能利用 n 次独立重复试验的模型模拟 n 次独立重复试验． 二、知识清单
（2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 P1 ，则
¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯) P1 = P (¯¯ A A B B ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯) = P (¯¯ A A B B 1 2 = (1 − )2 (1 − )2 2 5
n−k k P (X = k) = Ck , k = 0, 1, 2, ⋯ , n. n p (1 − p)
此时称随机变量 X 服从二项分布（binnomial distribution），记作 X ∼ B(n, p)），并称 p 为 成功概率． 例题： 下列随机变量 X 的分布列不属于二项分布的是（ ） A．投掷一枚均匀的骰子 5 次，X 表示点数 6 出现的次数 B．某射手射中目标的概率为 p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要 的射击次数 C．实力相等的甲、乙两选手举行了 5 局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为 0.3，X 表示下载 n 次数据后电脑被 病毒感染的次数 解：B 选项 A，试验出现的结果只有两个：点数为 6 和点数不为 6 ，且点数为 6 的概率在每一次试验 都为
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.2 独立重复实验与二项分布素材
2．2.2独立重复试验与二项分布要求：1.理解n次独立重复试验的模型．2．理解二项分布．3．能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．总结：1．独立重复试验必须具备的条件(1)每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变；(2)各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立；(3)每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的．2．二项式[(1－p)＋p]n的展开式中，第k＋1项为T k＋1＝C(1－p)n－k p k，可见P(X＝k)就是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项，故此公式称为二项分布公式．一、求n次独立重复试验的概率在n次试验中，有些试验结果为A，有些试验结果为A，所以总结果是几个A同几个A 的一种搭配，要求总结果中事件A恰好发生k次，就是k个A同n－k个A的一种搭配，搭配种类为C k n；其次，每一种搭配发生的概率为p k·(1－p)n－k，所以P(ξ＝k)＝C k n p k(1－p)n－k.例1.某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．【思路点拨】由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(或准确或不准确)，符合独立重复试验模型．【解】(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验．“2次准确”的概率为P＝C25×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×0.25＋C 15×0.8×0.24＝0.00672.所以所求概率为1－P ＝1－0.00672≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.【题后小结】 解答此类题目，首先分析随机变量是否满足独立重复试验概型的条件，再利用P (X ＝k )＝C k n p k·(1－p )n －k计算即可．二、二项分布在n 次独立重复试验中，由公式P (X ＝k )＝C p k(1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )算出每个概率，即而得到其分布列．例2.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1)求随机变量ξ的分布列；(2)设C 表示事件“甲得2分，乙得1分”，求P (C )． 【思路点拨】 (1)用二项分布求分布列； (2)用独立事件和互斥事件求概率．【解】 (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝127，P (ξ＝1)＝C 13×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， 所以ξ的分布列为(2)甲得2甲得2分，其概率P (ξ＝2)＝49，乙得1分，其概率为P ＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518.根据独立事件概率公式P (C )＝49×518＝1081.【思维总结】 写二项分布，首先确定ξ的取值，直接用公式P (ξ＝k )计算概率． 三、求试验次数在独立重复试验中，已知某事件的概率，求其发生的次数．例3. 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立)，求：(1)至少3人同时上网的概率； (2)至少几人同时上网的概率小于0.3? 【思路点拨】 利用独立重复试验解决．【解】 (1)至少3人同时上网，这件事包括3人，4人，5人或6人同时上网，记“至少3人同时上网”为事件A ，则P (A )＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫125·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝2132. (2)由(1)知至少3人同时上网的概率大于0.3， 事件B ：至少4人同时上网，其概率为：P (B )＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫125⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋C 66·⎝ ⎛⎭⎪⎫126⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1132>0.3， 事件C ：至少5人同时上网，其概率为：P (C )＝C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫125⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝764<0.3， 所以至少5人同时上网的概率小于0.3.【题后总结】 本题的这种解法，比直接求解C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫12k·⎝ ⎛⎭⎪⎫126－k <0.3要简单．。
高中数学第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2.2.2课件新人教A版选修2_3
【解析】选C.依题意可知:当A与B相互独立时, 是相互独立的,而B与
A与 B, A与 B
B
A与 B,
不一定相互独立.
2.若事件A,B相互独立,且P(A)=P(B)=
3 4
,则P(AB)= ( )
16 1 6 A,B相互独立 2 ,故 【解析】选 C.因为事件
A .0
B.
1
C.
9
D.
1
P(AB)=
__ A 与 _B A B与 ___ _A B _ _ 与 _ _ _
也相互独立.
【微思考】 1.P(A
A
)=P(A)P(
A
)是否成立?
提示:因为A与 不是相互独立事件,是对立事件,所以
P(A
A
)=P(A)P(
A A
)一定不成立.
2.若A与
B
是相互独立事件,则A与B是否相互独立? 是互斥事件,
【微思考】 1.两个事件相互独立时,满足何种概率关系? 提示:P(AB)=P(A)P(B). 2.在什么条件下,P(B|A)=P(B)成立?
提示:若事件A,B是相互独立的,则有P(B|A)=P(B).
3.两事件相互独立是否说明这两个事件没有任何关系? 提示:两事件A,B相互独立是指事件A是否发生与事件B 是否发生没有关系,并不是事件A,B间没有关系.相反, 若事件A,B相互独立,则常有事件AB≠∅,即事件A,B不
【解题指南】可以依据相互独立事件、互斥事件、对 立事件的概念进行定性分析,也可运用相关概率公式进
行定量计算,作出判断.
【解析】(1)由于事件A为“抽到K”,事件B为“抽到红 牌”,故抽得红牌中有可能抽到红桃K或方块K,即有可
2017年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.2事件的相互独立性习题课件新人教A版选修2_3
解：记“甲射击 1 次，击中目标”为事件 A，“乙射击 1 次， 击中目标”为事件 B，则 A 与 B，A 与 B，A 与 B ，A 与 B 为相互 独立事件，
(1)2 人都射中目标的概率为： P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2 人各射击 1 次，恰有 1 人射中目标”包括两种情况： 一种是甲射中、乙未射中(事件 A B 发生)，另一种是甲未射中、乙 射中(事件 A B 发生)．根据题意，事件 A B 与 A B 互斥，根据互斥 事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概 率为：
(2)D＝ C ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2， P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.
11．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回 答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回 答第一、二、三、四轮问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问 题能否正确回答互不影响：
(3)分别抛掷 2 枚相同的硬币，事件 M：“第 1 枚为正面”，
事件 N：“两枚结果相同”．
这 3 个问题中，M，N 是相互独立事件的有( )
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
解析：(1)中，M，N 是互斥事件；(2)中，P(M)＝35，P(N)＝12.
即事件 M 的结果对事件 N 的结果有影响，所以 M，N 不是相互
P(A B )＋P( A B)＝P(A)·P( B )＋P( A )·P(B) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人 射中”2 种情况，其概率为
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.2 事件的相互独立性 新人教A
解析：根据相互独立事件的概念知，这三个说法都是 正确的．
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．袋内有 3 个白球和 2 个黑球，从中不放回地摸球， 用 A 表示“第一次摸得白球”，用 B 表示“第二次摸得白 球”，则 A 与 B 是( )
A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 解析：根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定
(3)条件概率法：当 P(A)＞0 时，可用 P(B|A)＝P(B) 判断．
[变式训练] 下面所给出的两个事件 A 与 B 相互独立
吗？ ①抛掷一枚骰子，事件 A＝“出现 1 点”，事件 B＝
“出现 2 点”； ②先后抛掷两枚均匀硬币，事件 A＝“第一枚出现正
面”，事件 B＝“第二枚出现反面”；
③在含有 2 红 1 绿三个大小相同的小球的口袋中，任 取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件 A＝“第一次取 到绿球”，B＝“第二次取到绿球”．
解：①事件 A 与 B 是互斥事件，故 A 与 B 不是相互
独立事件．
②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有
影响，所以 A 与 B 相互独立．
③由于每次取球观察颜色后放回，故事件 A 的发生 对事件 B 发生的概率没有影响，所以 A 与 B 相互独立．
义可知，A 与 B 不是相互独立事件．
答案：D
3．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去
北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没
有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为
()
A.5690
B.35
1
1
C.2
D.60
解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14， 15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以， 至少有 1 人去北京旅游的概率为 P＝1－23×34×45＝35.
【配套K12】高中数学第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2.2.3独立重复试验与二项分布优
2.2.3 独立重复试验与二项分布[课时作业] [A 组 基础巩固]1．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，A 发生k 次的概率为( ) A ．1－p kB ．(1－p )k pn －kC ．(1－p )kD ．C kn (1－p )k pn －k解析：A 发生的概率为p ，则A 发生的概率为1－p ，n 次独立重复试验中A 发生k 次的概率为C k n (1－p )k p n －k.答案：D2．某人参加一次考试，4道题中答对3道为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约为( ) A ．0.18 B ．0.28 C ．0.37D ．0.48解析：P ＝C 34×0.43×(1－0.4)＋C 44×0.44＝0.179 2≈0.18. 答案：A3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( ) A ．0.216 B ．0.36 C ．0.432D ．0.648解析：甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p 1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p 2＝C 12×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p ＝p 1＋p 2＝0.648. 答案：D4．若随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为( )A ．5B ．1或2C ．2或3D ．3或4解析：依题意P (ξ＝k )＝C k5×⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.可以求得P (ξ＝0)＝32243，P (ξ＝1)＝80243，P (ξ＝2)＝80243， P (ξ＝3)＝40243，P (ξ＝4)＝10243，P (ξ＝5)＝1243. 故当k ＝1或2时，P (ξ＝k )最大． 答案：B5．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：由1－C 0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n >0.9，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <0.1， ∴n ≥4. 答案：C6．连续掷一枚硬币5次，恰好有3次正面向上的概率为________．解析：正面向上的次数ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，所以P (ξ＝3)＝C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝10×132＝516.答案：5167．设X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝59，则p ＝________.解析：∵X ～B (2，p )， ∴P (X ＝k )＝C k 2p k(1－p )2－k，k ＝0,1,2.∴P (X ≥1)＝1－P (X <1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02p 0(1－p )2＝1－(1－p )2. ∴1－(1－p )2＝59，结合0≤p ≤1，解得p ＝13.答案：138．甲、乙两人投篮命中的概率分别为p 、q ，他们各投两次，若p ＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于736，则q 的值为________．解析：所有可能情形有：甲投中1次，乙投中0次；甲投中2次，乙投中1次或0次． 依题意有：C 12p (1－p )·C 02(1－q )2＋C 22p 2[C 02(1－q )2＋C 12q (1－q )]＝736，解得q ＝23或q ＝103(舍去)． 答案：239．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？(结果保留两位有效数字)解析：1小时内5台机床需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率P 5(0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－145＝⎝ ⎛⎭⎪⎫345,1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率P 5(1)＝C 15×14×⎝⎛⎭⎪⎫1－144，所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为P ＝1－[P 5(0)＋P 5(1)]≈0.37.10．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． 解析：设“甲、乙两人各射击一次目标击中分别记为A 、B ”，则P (A )＝23，P (B )＝34.(1)甲射击4次，全击中目标的概率为C 44P 4(A )[1－P (A )]0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681.所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为 1－1681＝6581. (2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为C 24P 2(A )·[1－P (A )]2＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827.乙恰好击中3次，概率为C 34P 3(B )·[1－P(B )]1＝2764.故所求概率为827×2764＝18.[B 组 能力提升]1．10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( ) A ．(110)2(910)n －kB ．(110)k (910)n －kC ．C k －1n －1(110)k (910)n －k D ．C k －1n －1(110)k －1(910)n －k 解析：由题意知10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，每一次的抽取是相互独立的，得到本实验符合独立重复试验，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球，表示前n －1次取到k －1个红球，第n 次一定是红球．根据独立重复试验的公式得到P ＝C k －1n －1(110)k ·(910)n －k，故选C. 答案：C2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5解析：质点P 移动5次相当于5次独立重复试验，若移动5次后位于点(2,3)处，则恰有2次向右移动，3次向上移动．故所求概率为C 25(12)3(12)2＝C 25(12)5.答案：B3．甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室内只有一部电话机，经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是12，14，14，在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是________．解析：恰有两个打给乙可看成3次独立重复试验中，“打给乙”这一事件发生2次，故其概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142·34＝964.答案：9644．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是________．解析：∵P 4(1)≤P 4(2)，∴C 14·p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2,4(1－p )≤6p ，∴0.4≤p ≤1. 答案：[0.4,1]5．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率． (2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率．解析：(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×13＝427.(2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B ，“这名学生在上学路上遇到k 次红灯”的事件为B k (k ＝0,1,2)．则由题意，得P (B 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P (B 1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281， P (B 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481. 由于事件B 等价于 “这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”， 所以事件B 的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝89.6．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{}a n ：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 第n 次摸到红球，1， 第n 次摸到白球，如果S n 为数列{}a n 的前n 项和，求S 7＝3的概率．解析：由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸到红球，5次摸到白球，而每次摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×(23)2×(13)5＝28729.。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用例题与探究 新人教A版选修23
2.2 二项分布及其应用典题精讲【例1】 掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率.思路分析:首先搞清所求概率是在什么条件下的事件的概率.利用古典概率进行求解.解：设事件A 为“两颗点数之和为7”,事件B 为“一颗点数为1”.两颗点数之和为7的种数为3,其中有一颗为1点的种数为1,故所求概率为P=31. 绿色通道：在等可能性事件的问题中,求条件概率可采用古典概型的方法更容易理解.计算出基本事件的总数,然后算出有利事件数,从而求出概率.变式训练 掷两颗均匀的骰子,已知点数不同,求至少有一个为6的概率.解：在“点数不同”(事件A)的条件下,总的基本事件数为1516C C =30，至少有一个点数为6的(事件B)事件的个数为15C ×2=10,∴P(B|A)=313010=. 【例2】 某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人；来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，问该女生来自北京的概率是多少？思路分析:与例1不同的是此题适合运用条件概率的公式来求解,分清事件A,事件AB.解：A={任选一人是女生}，B={任选一人来自北京}，依题意知道北京的学生有女生8名，这是一个条件概率问题，即计算P （B|A ）.由于P （A ）=10040,P(AB)=1008,则P(B|A)=51100401008)()(==A P AB P . 绿色通道：求条件概率问题要把握在什么前提条件下的概率问题,也就是搞清事件A 、事件B 、以及事件AB 和它们发生的概率，再利用条件概率公式进行求解. 变式训练 根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是308，既刮东风又下雨的概率是307.问该地四月份刮东风与下雨的关系是否密切？以“四月份刮东风”的条件下，“某地四月份下雨”的概率的大小来说明.解:设A 为“某地四月份刮东风”，B 为“某地四月份下雨”，则P(A)= 308,P(B)=307,在“某地四月份刮东风”的条件下，“某地四月份下雨”的概率P(B|A)=87308307)()(==A P AB P . 【例3】 甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为31和41,求:(1)两个人都译出密码的概率; (2)两个人都译不出密码的概率; (3)恰有一人译出密码的概率; (4)至多一人译出密码的概率; (5)至少一人译出密码的概率.思路分析:把甲独立破译记为事件A,乙独立破译记为事件B,A 与B 相互独立, A 与B 也相互独立.解:记A 为甲独立的译出密码,B 为乙独立的译出密码. (1)两个人都译出密码的概率P(AB)=P(A)P(B)=1214131=⨯. (2)两个人都译不出密码的概率为P(AB )=P(A )P(B )=[1-P(A)][1-P(B)]=21)411)(311(=--. (3)恰有一人译出密码分为两类:甲译出乙译不出;乙译出甲译不出,即AB B A + ∴P(AB B A +)=P(B A )+P(AB )=P(A)P(B )+P(A )P(B)=12541)311()411(31=⨯-+-⨯.(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码, ∴1-P(AB)=1-P(A)P （B ）=12111211=-. (5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码, ∴1-P(AB )=21211=-. 绿色通道：求相互独立事件同时发生的概率时,运用公式P(AB)=P(A)P(B).在解决问题时,要搞清事件是否独立,同时要注意把复杂事件分解为若干简单事件来处理,同时还要注意运用对立事件把问题简化.变式训练 甲、乙、丙三人分别独立解一道题,甲做对的概率为21,三人都做对的概率为241,三人全做错的概率为41. (1)分别求乙、丙两人各自做对此题的概率; (2)求甲、乙、丙中恰有一人做对此题的概率.解：(1)设甲、乙、丙三人各自做对此题分别为事件A 、B 、C,则P(A)=21,由题意可知: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=.41)](1)][((1)[211(,241)()(21C P B P C P B P 解得P(B)=31,P(C)=41或P(B)=41,P(C)=31. (2)设甲、乙、丙中恰有一人做对此题为事件D,则P(D)=P(A)P(B )P(C )+P(A )P(B)P(C )+P(A )P(B )P(C)=2411. 【例4】 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率； （2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.思路分析:至少一人命中可考虑对立事件无人命中;恰有两人命中要分为三个互斥事件,具体哪两个命中;甲单独射击目标3次就是独立重复试验问题.解:（1）设A k 表示“第k 人命中目标”，k=1、2、3.这里，A 1，A 2，A 3独立，且P （A 1）=0.7，P （A 2）=0.6，P （A 3）=0.5.从而，至少有一人命中目标的概率为1-P （321A A A ）=1-P （1A ）P （2A ）P （3A ）=1-0.3×0.4×0.5=0.94. 恰有两人命中目标的概率为P(A 1A 23A +A 12A A 3+1A A 2A 3)=P(A 1A 23A )+P(A 12A A 3)+P(1A A 2A 3)=P(A 1)P(A 2)P(3A )+P(A 1)P(2A )P(A 3)+P(1A )P(A 2)P(A 4)=0.7×0.6×0.5+0.7×0.4×0.5+0.3×0.6×0.5=0.44.答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44. (2)设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件“命中目标”发生的概率为0.7，故所求概率为P 3（2）=23C 0.72×0.3=0.441.答：他恰好命中两次的概率为0.441.绿色通道：求较复杂的事件的概率问题要注意: (1)把复杂事件分解为若干简单事件; (2)分别求出每个简单事件的概率.变式训练 甲、乙、丙三人向同一飞机射击,设击中目标的概率分别为0.4、0.5、0.8.如果只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2,如果有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;如果三人都击中,则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率.解：设甲、乙、丙三人分别击中的事件为A 、B 、C,飞机被击落,要看几人击中,若一人击中,为事件A·B ·C +A ·B·C +A ·B ·C ；若有两人击中,则为事件A ·B ·C +A ·B·C+A·B ·C,三人全击中为事件A·B·C.所以飞机被击落的概率P=[)()()(C B A P C B A P C B A P ∙∙+∙∙+∙∙]×0.2+ [)()()(C B A P C B A P C B A P ∙∙+∙∙+∙∙]×0.6+P(A·B·C)=(0.4×0.5×0.2+0.6×0.5×0.2+0.6×0.5×0.8)×0.2+(0.4×0.5×0.2+0.4×0.8×0.5+0.6×0.5×0.8)×0.6+0.4×0.5×0.8=0.492.答:飞机被击落的概率为0.492.【例5】 假定人在一年365天中的任何一天出生的概率相同,某班级有50名同学,其中有两人或两人以上生日是5月1日的概率是多少?思路分析:每个人生日在某一天是等可能的,50人相当于做了50次试验,故可以认为是n 次独立重复试验问题.解:设“一个人的生日为5月1日”为事件A.50个人的生日相当于进行了50次独立重复试验,事件发生的概率为P(A)=3651. 设50人中生于5月1日的人数为X,则P(X=0)=500050)365364()3651(∙C ； P(X=1)=491150)365364()3651(∙C .∴两人以上生日为5月1日的概率P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-491150500050)365364()3651()365364()3651(∙-∙C C ≈0.008 5. 绿色通道：处理一类概率问题时,看能否归结为n 次独立重复试验,关键是试验在相同条件下重复进行,每次事件发生的概率相同,恰好发生k 次的概率可用公式P(X=k)=kk n p C (1-p)n-k来计算.变式训练 设有m 升经过紫外线消毒的自来水,其中含有n 个大肠杆菌,今从其中任取一升水进行检验,问在取出的一升水中含有k 个(k=0,1,2, …,n)个大肠杆菌的概率为多少?解:对于每个大肠杆菌来说只有两个结果:落入或不落入被取的一升水中,并且可认为每个大肠杆菌的落入与否是相互独立的,这样n 个大肠杆菌落入所取的一升水中可看作n 次独立重复试验,每次事件的结果是某一个大肠杆菌落入该升水中(事件A)的概率为P(A)=m1,故所求概率为P(k)=k n k kn mm C --)11()1(. 【例6】 (2005全国高考卷Ⅰ,理20)9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次,求需要补种坑数的分布列.思路分析:把一个坑需要补种看作事件A,则三个坑相当于做了三次重复试验,从而把问题进行了转化.解:因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=81,所以单个坑不需补种的概率为1-8781=. 3个坑都不需补种的概率为33)87()81(⨯⨯C =0.670;恰有1个坑需要补种的概率为2113)87()81(⨯⨯C =0.287;恰有2个坑需要补种的概率为1023)87()81(⨯⨯C =0.041;3个坑都需要补种的概率为0333)87()81(⨯⨯C =0.002.∴需要补种坑数的分布列为X 0 1 2 3 P 0.670 0.287 0.041 0.002绿色通道：有些问题看上去不是n 次独立重复试验问题,但经过转化可以看作独立重复试验,把问题进行了简化,从这里也看到转化思想在数学问题的处理中所发挥的重要作用.有些概率问题可以转化为我们熟悉的模型来处理.变式训练 某企业正常用水(一天24小时用水不超过一定量)的概率为43,则在5天内至少4天用水正常的概率是多少?解:5天内至少4天正常用水包括两种情况: (1)恰有4天正常用水,其概率为P 1=45C p 4(1-p)=5×(43)4×5440541=;(2)5天全部正常用水,其概率为P 2=55C p 5=(43)5=54243. ∴5天内至少4天用水正常的概率为P=P 1+P 2=128814243440555=+.【例7】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响. (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？解:（1）记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验，故P （A 1）=1-P （1A ）=1-（32）4=8165. （2）记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B 2，则P （A 2）=24C ×(32)2×(1-32)4-2=278,P(B 2)=34C ×(43)3×(1-43)4-3=6427.由于甲、乙射击相互独立， 故P(A 2B 2)=P(A 2)P(B 2)=278×6427=81. （3）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为D i （i=1、2、3、4、5），则A 3=D 5D 4)(123D D D ，且P （D i ）=41.由于各事件相互独立，故P （A 3）=P （D 5）P （D 4）P （3D ）P （12D D ）=102445)41411(434141=⨯-⨯⨯⨯.答：甲连续射击4次至少有1次未击中目标的概率为8165.两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为81.乙恰好射击5次后被中止射击的概率为102445.绿色通道：处理“至多”“至少”问题的概率时,可考虑对立事件.在处理复杂问题时要把问题分为若干简单问题,然后分别求出概率,利用互斥事件或相互独立事件的概率公式进行求解.变式训练 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响，求：(1)前三局比赛甲队领先的概率；(2)本场比赛乙队以3∶2取胜的概率.(精确到0.001)解:单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1-0.6=0.4. (1)记“甲队胜三局”为事件A ，“甲队胜两局”为事件B,P(A)=0.63=0.216,P(B)=23C ×0.62×0.4=0.432,∴前三局比赛甲队领先的概率为P(A)+P(B)=0.648.(2)若本场比赛乙队3∶2取胜，则前四局双方应以2∶2战平，且第五局乙队胜. 所以，所求事件的概率为24C ×0.42×0.62×0.4=0.138.【例8】 有10台机床各自独立工作,因修理调配等原因,每台机床停车的概率为0.2,求(1)同时停车台数X 的概率分布;(2)10台机床中恰有一台停车的概率;(3)10台机床中最多一台停车的概率.思路分析:10台独立工作且停车概率相等可看作n 次独立重复试验来处理. 解:(1)由题意知,X 服从参数n=10,p=0.2的二项分布,即X —B(10,0.2). 由二项分布的概率分布，知 P(X=k)=kC 100.2k0.810-k(k=0,1,2,3, …,10).(2)“10台中恰有一台停车”相当于X 的取值为1,即P(X=1)=110C 0.210.810-1≈0.268 4.(3)“10台机床中最多一台停车”是指“有0台停车”或“恰有一台停车”,等价于X 取值为0和1.P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1) =010C 0.200.810+110C 0.210.810-1≈0.375 8.绿色通道：数学中的很多问题都体现了转化思想,把一个问题换一个角度来考虑转化为熟悉问题,使问题迎刃而解.此题转化为了二项分布问题,避免了大量的重复计算. 变式训练 某气象站天气预报的准确率为计算： (1)五次预报中恰有四次准确的概率; (2)五次预报中至少四次准确的概率. (结果保留两位有效数字)解:(1)记“预报一次,结果准确”为事件A,预报五次相当于做5次独立重复试验,五次预报中恰好四次准确的概率为45C ×0.84×(1-0.8)1≈0.41.(2)五次预报中至少四次准确的概率,就是五次预报中恰有四次准确的概率与五次都准确的概率和,即P=45C ×0.84×(1-0.8)1+55C ×0.85×(1-0.8)0≈0.410+0.328≈0.74.问题探究 问题1：日常生活中经常遇到名额分配问题，在人多名额少时，往往采取抽签的方式来确定，抽签有先有后，对各人公平吗？你对这种抽签决定式认同吗？试说出你的理由. 导思：抽签、抓阄问题在日常生活中经常遇到,从概率学的角度看是非常合理的.我们看一种方案是否合理,要从概率角度考查对每人是否公平,若每人的机会均等就是合理的.在这里我们要注意的是探究过程中有一个前提:后抽者不知道前面人的结果.也可以从所有奖券的排列上来考虑.得出一般公式:如果在n 张票中有一张中奖,n 个人依次从中抽取一张,且后人不知先抽人的结果,那么第i 个抽票人抽到奖票的概率为P i =n A A ini n 111=--，即抽到奖的概率与抽票的顺序无关.探究：抽签有先有后,对各人是否公平,要看每个人抽到某签的概率是否相等.如:有5张奖券,只有一张中奖，每个人中奖的概率是否都是51呢? 显然第一个人抽到中奖的概率为51.第二个人抽到中奖的概率可以理解为在第一个未中的前提下第二个中奖的概率为514154=⨯.依次类推,每个人中奖的概率都相等.所以抽签是公平合理的.问题2：在一些俗语中包含着很多概率知识的应用.俗话说:“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”“三人行，必有我师”“真理有时掌握在少数人手里”.试从概率的角度来探究这些俗语的合理性.导思：日常生活中的很多俗语都包含着概率论的知识.对于三个臭皮匠顶一个诸葛亮问题,我们从臭皮匠的能力出发来研究问题,前提是每个人独立的提出决策方案,为使问题简化,可假设每个人的能力相同,这就转化为独立重复试验问题. 探究：从概率角度讲,谁的概率大,谁发生的可能性就大.我们从下面的问题加以探究:若有9个谋士,每人贡献正确建议的概率为0.7,而诸葛亮贡献正确建议的概率为0.9.现为一事征求意见，并按多数人的意见作决策.作出正确决策的概率为P=59C 0.75·0.34+69C 0.76·0.33+79C 0.77·0.32+89C 0.78·0.31+99C 0.79·0.30=0.9012>0.9.由此说明:“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”的说法有一定的科学性.改变每人作出正确判断的概率，也可以说明“真理有时掌握在少数人手里”的合理性.。
高二数学 人教A版选修2-3习题 第2章 随机变量及其分布2.2.2 Word版含答案
选修2-3 第二章 2.2 2.2.2一、选择题1．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A ．29B ．118C ．13D ．23[答案] D[解析] 由P (A ∩B )＝P (B ∩A )得P (A )P (B )＝P (B )·P (A )，即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，∴P (A )＝P (B )．又P (A ∩B )＝19，∴P (A )＝P (B )＝13.∴P (A )＝23.2．三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是( )A ．1532B ．932C ．732D ．1732[答案] A[解析] 记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34.不发生故障的事件为(A 2∪A 3)∩A 1， ∴不发生故障的概率为 P ＝P [(A 2∪A 3)∩A 1] ＝[1－P (A 2)·P (A 3)]·P (A 1) ＝(1－14×14)×12＝1532.故选A ．3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是( )A ．512B ．12C ．712D ．34[答案] C[解析] 由题意P (A )＝12，P (B )＝16，事件A 、B 中至少有一个发生的概率P ＝1－12×56＝712.4．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A ．49B ．29C ．23D ．13[答案] A[解析] 设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (A )＝23，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，则P (B )＝23.故P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×23＝49.5．从甲袋内摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是( )A ．2个球都是白球B ．2个球都不是白球C ．2个球不都是白球D ．2个球中恰好有1个白球 [答案] C[解析] 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P 1＝13×12＝16，∴两个球不都是白球的概率为P ＝1－P 1＝56.6．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A ．12B ．512C ．14D ．16[答案] B[解析] 所求概率为23×14＋13×34＝512或P ＝1－23×34－13×14＝512.二、填空题7．已知P (A )＝0.3，P (B )＝0.5，当事件A 、B 相互独立时，P (A ∪B )＝________，P (A |B )＝________.[答案] 0.65 0.3[解析] ∵A 、B 相互独立，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A )·P (B )＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65. P (A |B )＝P (A )＝0.3.8．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为12，乙生解出它的概率为13，丙生解出它的概率为14. 由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为_______. [答案]1124[解析] 甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A 1，则P (A 1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， 乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A 2，则P (A 2)＝13×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－14＝18， 丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A 3，则P (A 3)＝14×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13＝112. 甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝14＋18＋112＝1124.9．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________ .[答案]516[解析] 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A ， 则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516，即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.三、解答题10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． [解析] (1)设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P(A B)＝14，P(B C)＝112，P(AC)＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P(A)·[1－P(B)]＝14，①P(B)·[1－P(C)]＝112，②P(A)·P(C)＝29.③由①、③得P(B)＝1－98P(C)，代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0.解得P(C)＝23或119(舍去)．将P(C)＝23分别代入③、②可得P(A)＝13、P(B)＝14，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13、14、23.(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则P(D)＝1－P(D)＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.一、选择题1.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是()A．13B．29C．49D．827[答案] A[解析]由已知逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在A 上的概率为P1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.2．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是( )A ．35B ．34C ．12D ．310[答案] C[解析] 解法1：5个球中含3个白球，第一次取到白球后不放回，则第二次是在含2个白球的4个球中任取一球，故取到白球的概率为12.解法2：设A ＝“第一次取到白球”，B ＝“第二次取到白球”，则 P (A )＝35，P (AB )＝C 23C 25＝310，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12.二、填空题3．某班有4位同学住在同一个小区，上学路上要经过1个路口．假设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是13，则最多1名同学遇到红灯的概率是________.[答案]1627[解析] P ＝(23)4＋C 14·(13)·(23)3＝1627. 4．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________.[答案] ⎣⎡⎦⎤－13，13 [解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧P (ξ＝x 3)＋P (ξ＝x 1)＝2P (ξ＝x 2)P (ξ＝x 1)＋P (ξ＝x 2)＋P (ξ＝x 3)＝1， ∴P (ξ＝x 2)＝13，∵P (ξ＝x i )≥0，∴公差d 取值满足－13≤d ≤13.三、解答题5．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6、0.4、0.5、0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率． [解析] 记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)， 则P (A 1)＝0.6，P (A 2)＝0.4，P (A 3)＝0.5， P (A 4)＝0.2.(1)方法一：该选手被淘汰的概率：P ＝P (A 1∪A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)＋P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.方法二：P ＝1－P (A 1A 2A 3A 4)＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.(2)方法一：P ＝P (A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.方法二：P ＝1－P (A 1)－P (A 1A 2A 3A 4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格.(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．[解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415.(2)方法1：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.方法2：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为 P (A B )＝P (A )·P (B )＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－1415＝145. 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P ＝1－P (A B )＝1－145＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.。
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2.2 二项分布及其应用 2.2.2
课时达标训练
1.已知事件A,B发生的概率都大于零,则 ( )
A.如果A,B是互斥事件,那么A与也是互斥事件
B.如果A,B不是相互独立事件,那么它们一定是互斥事件
C.如果A,B是相互独立事件,那么它们一定不是互斥事件
D.如果A+B是必然事件,那么它们一定是对立事件
【解析】选C.相互独立的两个事件彼此没有影响,可以同时发生,因而它们不可能为互斥事件.
2.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为,乙、丙去北京旅游的概率分别为,.假定三人的行动相互之间没
有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为,,,所以他们不去北京旅游的概率分别为,,.
至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游.所以,至少有1人去北京旅游的概率为P=1-×
×=.
3.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,当事件A,B相互独立时,P(A∪B)=________, P(A|B)=________.
【解析】因为A,B相互独立,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0.3+0.5-0.3×0.5=0.65.
P(A|B)=P(A)=0.3.
答案:0.65 0.3
4.某路段上的A,B两处设有交通灯,这两盏灯在1min内开放绿灯的时间分别为25s,35s,且A,B两盏灯开放
绿灯互不影响,某辆车在此路段行驶,则在A,B两处均不停车的概率是________.
【解析】记在A处、B处不停车分别为事件A,B,则A,B相互独立,且P(A)==,
P(B)==,则所求事件的概率
P=P(AB)=P(A)·P(B)=×=.
答案:
【补偿训练】打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一目标,则他们都
中靶的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由题意可得P=×=.
5.一道数学竞赛试题,甲生解出它的概率为,乙生解出它的概率为,丙生解出它的概率为.求甲、乙、
丙三人独立解答此题只有一人解出的概率.
【解析】甲生解出,而乙、丙不能解出为事件A1,
则P(A1)=××=,
乙生解出,而甲、丙不能解出为事件A2,
则P(A2)=××=,
丙生解出,而甲、乙不能解出为事件A3,
则P(A3)=××=.
甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1+A2+A3)=++=.