抽样理论与抽样误差的计算与分析
抽样推断的一般问题抽样误差
抽样平均误差是抽样平均数或抽样成数的标准差，反映了抽样指标与总体指标的平均误差程度。
例如：假设总体包含1、2、3、4、5，五个数字。
则：总体平均数为 =(1+2+3+4+5)/5=3
现在，采用重复抽样从中抽出两个，组成一个样本。可能组成的样本数目：25个。
如：(1+3)/2=2、(1+4)/2=2.5、(2+4)/2=3、(3+5)/2=4…
二、抽样推断的内容
参数估计：参数估计是依据所获得的样本观察资料，对所研究现象总体的水平、结构、规模等数量特征进行估计。
假设检验：假设检验是利用样本的实际资料来检验事先对总体某些数量特征所作的假设是否可信的一种统计分析方法。
三、有关抽样的基本概念
（一）总体和样本
总体：又称全及总体。指所要认识的研究对象全体。总体单位总数用“N”表示。
上式可变形为：Δ=tμ（极限误差是t倍的抽样平均误差）
例题二：某厂生产一种新型灯泡共2000只，随机抽出400只作耐用时间试验，测试结果
平均使用寿命为4800小时，样本标准差为300小时，求抽样推断的平均误差？
解:已知：N=2000n=400σx=300 =4800
则：
计算结果表明：根据部分产品推断全部产品的平均使用寿命时，采用不重复抽样比重复抽样的平均误差要小。
②抽样平均数的标准差仅为总体标准差的
③可通过调整样本单位数来控制抽样平均误差。
例题：假定抽样单位数增加2倍、0.5倍时，抽样平均误差怎样变化？
解：抽样单位数增加2倍，即为原来的3倍
则：
即：当样本单位数增加2倍时，抽样平均误差为原来的0.577倍。
抽样单位数增加0.5倍，即为原来的1.5倍
关于抽样平均误差的概念与计算研究
关于抽样平均误差的概念与计算研究作者：周丽霞来源：《知识文库》2017年第23期1 引言一般来说抽样误差是指样本指标与总体指标之间的绝对误差。
抽样误差是衡量抽样检查准确程度的指标，抽样误差越大，表明样本对总体的代表性越小，抽样调查的结果越不可靠；反之，抽样误差越小，说明样本对总体的代表性越大，抽样调查的结果越准确可靠。
对抽样误差深入研究可以发现，抽样误差分为抽样实际误差和抽样平均误差。
抽样实际误差是指随机抽取的某一样本的样本指标与总体指标的差数。
例如，样本平均数与总体平均数之差，样本成数與总体成数之差。
由于总体指标的未知性，样本指标的随机性（不唯一性），即按照随机原则从同一总体中抽取样本容量相同的样本可以有多重不同的抽取方法，抽取样本的随机性，产生的样本指标也具有随机性，抽样实际误差也是随机的，是不可求的。
为了用样本指标去推算总体指标，就需要计算这些抽样实际误差的平均数，即抽样平均误差。
2 概念提出（一）抽样平均误差的概念抽样平均误差是反映抽样实际误差一般水平的指标，确切地说抽样平均误差是指样本平均数（或成数）的标准差，也可以理解为所有样本指标与总体指标的平均离差。
抽样平均误差一般用希腊字母表示，其中抽样平均数的平均误差用表示，抽样成数的平均误差用表示。
抽样平均误差的作用表现在它能够说明样本指标代表性的大小，抽样平均误差越大，说明样本指标对总体指标的代表性越低；抽样平均误差越小，说明样本指标对总体指标的代表性越高。
虽然某一次的抽样实际误差具有不确定性，但是抽样实际误差是客观存在的，是可以计算的。
（二）抽样平均误差的计算根据抽样平均误差的概念，抽样平均误差用公式可表示如下：抽样平均数的平均误差：抽样成数的平均误差：是所有可能抽取的样本个数。
在实际中，由于、是未知的，也不可能一一列举出所有的样本，计算出每个样本的指标、，因此无法按以上定义公式来计算抽样平均误差。
数理统计证明，抽样平均误差的计算公式如下。
市场调研中的样本抽样方法与误差控制
市场调研中的样本抽样方法与误差控制市场调研是企业进行市场分析、了解消费者需求和竞争对手情况的重要手段。
在市场调研过程中，样本抽样方法和误差控制是至关重要的环节。
本文将详细介绍市场调研中常用的样本抽样方法，并探讨如何控制误差，以确保调研结果的准确性和有效性。
一、样本抽样方法在市场调研中，样本抽样方法是决定调研结果能否代表整个目标人群的关键因素之一。
以下是几种常见的样本抽样方法：1. 简单随机抽样简单随机抽样是最基本的抽样方法之一。
在这种方法中，每个目标人群成员都有相等的机会被选中为样本。
这种抽样方法要求有一个明确的抽样框架，可以通过随机数生成器或其他随机选择方法来实现。
2. 分层抽样分层抽样是将目标人群按照某种特征分成若干层，然后在每一层中进行简单随机抽样的方法。
这种抽样方法可以确保样本的代表性，同时可以减少调研过程中的误差。
3. 系统抽样系统抽样是按照事先确定的规则从目标人群序列中选择样本的方法。
例如，可以每隔固定的时间间隔选取一个样本。
系统抽样的优点是操作简单，适用于目标人群有明确序列的情况。
4. 整群抽样整群抽样是将目标人群划分为若干个群体，然后在每个群体中进行全员调查的抽样方法。
这种抽样方法适用于目标人群的群体间差异很小的情况，可以减小样本调查的工作量和误差。
二、误差控制在市场调研过程中，误差是无法完全避免的。
然而，通过合理的误差控制方法，可以最大程度地减小误差的影响，提高调研结果的可信度。
以下是几种常用的误差控制方法：1. 问卷设计问卷设计是经验丰富的研究人员在调研过程中非常重视的环节。
合理设计问卷可以减小回答者的主观误差，并确保问题的准确性和有效性。
在问卷设计过程中，需要注意问题的清晰度、问题顺序的合理性以及选项的完备性等因素。
2. 访谈者培训如果调研采用面对面的访谈方式进行，那么访谈者的素质和专业能力对结果的准确性至关重要。
访谈者需要接受系统的培训，了解调研目的、方法和注意事项，掌握正确的访谈技巧，以减小主观误差的出现。
统计学原理-第六章 抽样调查(复旦大学第六版)
2．样本总体：简称样本，是从全及总体中随机
抽取出来，代表全及总体部分单 位的集合体。单位数用n表示。
5
二．全及指标和抽样指标
（一）全及指标
X 总体平均数： X N 总体成数：P
2
XF 或X F Q＝
2 2
N1 N N
（X－X） 总体方差： ＝ 总体标准差：＝ （X－X）
（一）考虑顺序的不重复抽样数目
N! A N ( N 1)(N 2) ( N n 1) ( N n)! 4 3 2 1 2 例如A4 12 2 1
n N
（二）考虑顺序的重复抽样数目
B N
n N 2 4
n 2
例如 B 4 16
10
（三）不考虑顺序的不重复抽样数目
Ex X
28
2、一致性 当抽样单位数充分大时，抽样指标和未知 的总体指标之间的绝对离差为任意小的可能性 也趋于必然性。
x X 任意小
3、有效性
即用抽样指标估计总体指标，要求作为优良估 计量方差应该比其他估计量的方差小。
2
x X f
2
f
2
x X f
x
x E ( x)
2
18
说明：根据数理统计理论，在重复抽样条件下， 抽样平均误差与全及总体的标准差成正比例关系。 与抽样总体单位平方根成反比关系。
19
在不重复抽样情况下，抽样平均误差计算公式如下：
x x
N n 250 4－2 ( )＝ （ ） ＝9.13(件) n N 1 2 4－1
2
N
X X F 或 F X X F 或 F
教育与心理统计学 第四章 抽样理论与参数估计考研笔记-精品
第四章抽样理论与参数估计第一节抽样理论的基本知识分层抽样，又叫分层随机抽样，这种抽样方法是按照总体已有的某些特征，承认总体中已有的差异，按差异将总体分为几个不同的部分，每一部分称为一个层，在每一个层中实行简单随机抽样。
它充分利用了总体的已知信息，因而是一种非常适用的抽样方法，其样本代表性及推论的精确性一般优于简单随机抽样。
分层的原则是层与层之间的变异越大越好，各层内的变异要小。
试述分层抽样的原则和方法？分层抽样是按照总体上已有的某些特征，将总体分成几个不同部分，在分别在每一部分中随机抽样。
分层的总的原则是：各层内的变异要小，而层与层之间的变异越大越好。
在具体操作中，没有一成不变的标准，研究人员可根据研究需要依照多个分层标准，视具体情况而定。
⑷两阶段随机抽样两阶段随机抽样首先将总体分成M个部分，每一部分叫做一个"集团"（或"群"），第一步从M个集团中随机抽取m个"集团”作为第一阶段样本，第二步是分别从所选取的m个"集团”中抽取个体（g构成第二阶段样本。
一般而言，两阶段抽样相对于简单随机抽样，标准误要大些，但是，两阶段抽样简便易行，节省经草贼，因而它是大规模调查研究中常被使用的抽样方法。
例如，如果我们要了解全国城市初中二年级学生的身高，第一步我们可以从全国几百个城市中随机抽取几十个城市作为第一阶段的样本。
第二步，在第一阶段随机抽取出来的城市中再随机抽取初中二年级的学生。
（二）非旃抽样非概率抽样不是完全按随机原则选取样本，有方便抽样、判断抽样。
方便抽样是由调查人员自由、方便地选择被调查者的非随机选样。
判断抽样是通过某些条件过滤，然后选择某些被调查者参与调查的抽样法。
当采取非概率抽样的方法选取样本时，研究者要说明采用此种方取样的原因以及对研究结果可能造成的影响。
第二节抽样分布［统计量分布、基本随机变量函数的分布］总体：又称母全体、全域，指具有某种特征的一类事物的全体。
统计学原理第七章 抽样调查
合
计
x A 2 x A ( d ) f ( d )f d σ f f
2
256 72 σ 50 11504 50 53.63 200 200
2
30
第三节 全及指标的推断
一、全及指标的点估计
22
不具有某一标志的单位数用N0表示。 ► 总体成数和标准差与样本成数和标准差的计 算方法相同。只是总体指标用大写字母表示， 样本指标用小写字母表示。例如： ► 具有某一标志的单位数占总体的比重：
N1 P N
总体成数
n1 p n
样本成数
不具有某一标志的单位数占总体的比重：
N0 Q 1 P N
13
► 2.
（二）中心极限定律 ► 1. 独立同分布中心极限定理：证明不论变量 总体服从何种分布，只要它的数学期望和方 差存在，从中抽取容量为n 的样本，则这个 样本的总和或平均数是个随机变量，当n 充 分大时，样本的总和或平均数趋于正态分布.
► 2.
德莫佛-拉普拉斯中心极限定理：证明属性 总体的样本成数和样本方差，在n足够大时， 同样趋于正态分布。
σ N n σ n μx ( ) μx (1 ) n N 1 n N
2 2
总体单位总数
样本单位总数
抽样比例
21
（一）抽样成数的抽样平均误差μp ► 属性总体的标志值是用文字表示的，且标志 只有两个取值，非此即彼，故将属性总体的 标志称为“交替标志”或“是非标志”。 ► 交替标志也可以计算平均数（即成数）和标 准差。为了计算交替标志的平均数和标准差 必须将交替变异的标志过渡到数量标志。 ► 交替标志仍以x表示，设：x =1表示单位具有 某一标志， x = 0表示单位不具有某一标志。 具有某一标志的单位数用N1表示；
《统计学原理》课件第七章抽样调查
第二节 抽样调查的基本概念
全及总体(总体) 样本总体(样本)
几组基 本概念
重复抽样 不重复抽样
大数定律 中心极限定理
4 -7
研究对象
抽 取 方 法
重复考虑顺序 不重复不考虑 顺序
研
究 原
总体分布 样本分布 抽样分布
理
一、全及总体和样本总体
全及总体：也称总体。指所要认识对象的全体。 用N表示有限总体的单位数，称总体容量。
m
lim p n
n
p
ε
1
贝努大数定律对于抽样调查的意义：
从理论上解释了用频率代替概率的理论依据， 即随着抽样单位数n的增加，事件A发生的频率接近 于事件A发生的概率。
4 - 18
大数定律特点
大数定律论证了抽样平均数趋近于总体平均 数的趋势，这为抽样推断提供了重要依据。 但是：
抽样平均数和总体平均数的离差究竟有多大？ 离差的分布状况怎样？ 离差不超过一定范围的概率究竟有多少?
（二）抽样成数的抽样平均误差
重复抽样： 不重复抽样：
p
p1 p
n
p
p1 p 1 n
n N
说明：实际应用中，平均数和成数的标准差一般是 未知的，通常采用如下方式解决 （1）用过去调查的资料 （2）样本方差的资料代替总体方差 （3）用小规模调查资料 （4）用估计材料
4 - 30
【进上例行者】测为试合某(1，格灯)平资品泡均料，厂使如计对用下算10时。这00按批0间个质灯：x产量泡品规的进定时x行ff，间寿灯抽命2泡样12检10使平40测0用均0，寿误随1命差0机5在和7(抽小1合0取时格002)率小%样的时本平以
按照随机原则 从调查对象中抽取一部分单位进行 观察，并运用数理统计的原理，以被抽取的那部分 单位的数量特征为代表，对总体做出数量上的推断 分析
率的抽样误差
练习p241-2为比较槟榔煎剂和阿的平驱绦虫的效果，对45 名绦虫患者进行治疗，其结果如下，问两药疗效是否相同？
槟榔煎剂和阿的平驱绦虫治疗的结果
药物 槟榔煎剂 阿 的 平 合 计 治疗人数 27 18 45 有效人数 22 12 34
总体率的估计-查表法
附表3中X值只列出了X≤的部分 当X＞时，可用n－X值查表，所得可信区 间为总体阴性率可信区间。 再用1减去总体阴性率可信区间，即为总 体阳性率可信区间。
总体率的估计-查表法
[例11-4] 某疗法治疗某病12人，7人有 效，求该疗法有效率的95%可信区间？ 本例，n=12，X=7，有效数X＞n/2。先 以n=12和无效数X=5查表，得总体无效 率95%可信区间为（15%，72%）. 用1减去此区间的上、下限，即得总体有 效率的95%可信区间为（1-72%，115%）=（28%，85%）。
n
率的标准误的计算
例11.1 某市血液中心对2196名无偿献 血者进行HBsAg检查，结果有138人检出 HBsAg阳性，阳性率6.28%，试求HbsAg 阳性率的标准误。 已知n=2196，p=0.0628，1－p=0.9372 sp= 0.0628 × 0.9372 =0.0052=0.52%。
π0=8.72%,n=120,x=16,p=
H0：π=π0=8.72% H1： π＞π0 单侧α=0.05 0.1333 − 0.0872 u= =1.79
0.0872(1 − 0.0872) / 120
16 120
= 13.33%
单侧 u0.05=1.645, u＞u0.05，得p＜0.05。 拒绝H0，接受H1 .
总体率的估计-查表法
在样本率p和（1－p）接近1或0时， 当样本含量n较小（n≤50），如np与n （1－p）均＜5时， 附表3.百分率的可信区间 根据样本含量n和阳性数X，查“百分率 的可信区间”表，求得总体率的可信区 间
第五章 抽样调查
第二种方案：洛阳市所有小学的名单（第一抽样框）， 从中抽取１０所学校（抽样单位是学校）；被抽中 学校的所有班级名单（第二抽样框），每个学校抽 １０个班级，共抽取１００个班级。（抽样单位是 班级）；被抽中班级的所有学生名单（第三抽样 框），每个班级抽２０名学生，共抽取２０００名 学生，（抽样单位是学生）．
18－30 31－50 50以上 小计 总计
200
缺点 虑其中的几种，不可能做出很细的分类
1. 分层不可能兼顾总体的众多属性，只能考 2. 总体分布变化的最新信息不容易得到，因
而配额的合理性很难保证
3. 主观性很大。如一个访问员会本能地避免 访问难以找到的受访者。
四、滚雪球抽样(Snowball Sampling)
（4）依据从随机数表中选出的数码，到抽样 框中寻找它所对应的元素。 练习： 试用简单随机抽样方法在洛阳师范学院抽取 2000名学生。 请思考：操作的难点是什么？
优点：概率抽样的理想类型，简单易行，误差小。 缺点： 1. 需要为总体每个要素编号，当总体所含个 体的数目太多时采用这种方法费时费力； 2. 总体内分类明显时，这种抽样无法按类别 特征自动分配样本数，若想保证样本的代表性，必 须增大样本量，使工作量增大。
院系——专业——班级——学生
抽样框 抽样单位 院系 专业 班级
第一抽样框：所有院系的名单 第二抽样框：抽中院系的所有专 业名单 第三抽样框：抽中专业的所有班 级名单
第四抽样框：抽中班级的所有学 生名单
学生
四、 抽样的原则
随机原则（random principle）：在完全
排除主观上人为选择的前提下，使总体中 每一个单位有相同被抽中的机会。——概 率抽样
统计学第八章 抽样推断
②
和P的使用及使用条件
（1）σ2取最大值；（2）P取接近于0.5的值
（3）可以用样本 s或2 代p替；（4）可以用估计值或实验值代替。
计算例题：
在10000只电池中，随机抽检1%的产品进行检查，检查结果如下：
电流强度 （安培） 4－4.5 4.5－5 5－5.5 5.5－6 6－6.5 6.5－7
2
f
P 2N 0 1 P 2 N1
f
N
P2N0 1 P2 N1 P2Q 1 P2 P
N
N
P2Q Q2P PQP Q PQ P1 P
例（1）：已知某产品的合格率为95%，则其标准差为：
0.951 0.95 21.79%.
2、样本指标（统计量）
根据样本总体各单位的数量标志值或属性计算所得的指 标，称为样本指标。样本指标通常包括：
统计指标 抽样平均数 抽样成数 抽样平均数的标准差 抽样成数的标准差 抽样平均数的方差
抽样成数的方差
未分组资料
x x n
p n1 n
sx
xx 2
n
分组资料
x xf f
sx
x
2
x
f
f
sP p(1p)
s2
2
xx
x
n
sP2 p(1 p)
s2
2
xx f
x
f
四、抽样方法（P151）
（二）抽样极限误差的意义
（三）抽样极限误差的计算
平均数的抽样极限误差
Δx
t
μ x
成数的抽样极限误差
Δp
t
μ p
正态分布图示
68.27%
95.45%
99.73%
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抽样理论与抽样误差的计算与分析在统计学中，抽样理论是研究如何从总体中选取样本，并利用样本数据对总体进行推断和估计的理论基础。
而抽样误差则是通过样本数据所做出的估计与总体真值之间的差异。
本文将就抽样理论与抽样误差的计算与分析展开讨论。
一、抽样理论
1. 简单随机抽样：简单随机抽样是从总体中以等概率抽取样本，每个个体被选中的概率相等。
根据抽样理论，简单随机抽样是保证样本能够代表总体的有效方法。
2. 系统抽样：系统抽样是在总体中随机选取一个起始点，然后以固定间隔选择样本。
系统抽样常用于总体有序排列的情况，比如按时间顺序排列的数据。
3. 分层抽样：分层抽样是将总体划分为若干层，然后从每一层中独立地抽取样本。
这种抽样方法可以确保每个层次的样本数量足够，能够更好地反映总体特征。
4. 整群抽样：整群抽样是将总体划分为若干群，然后随机地选取部分群体作为样本。
这种抽样方法适用于总体结构简单明确而群体内部差异较大的情况。
二、抽样误差的计算与分析
抽样误差是通过样本数据所做出的估计与总体真值之间的差异。
在进行抽样调查时，我们通常通过抽样误差来评估样本数据对总体的代表性和精确性。
1. 抽样误差的计算方法：
（1）标准误差（Standard Error）：标准误差是衡量样本估计值与总体参数的差异程度，常用于对平均值、比例和总量等进行估计。
（2）置信区间（Confidence Interval）：置信区间是通过样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，在一定的置信水平下，总体参数落在该范围内的概率较高。
2. 抽样误差的影响因素：
（1）样本量（Sample Size）：样本量的增加可以减小抽样误差，提高估计值的精确性。
（2）总体大小（Population Size）：当总体大小较大时，抽样误差会减小；反之，总体大小较小时，抽样误差会增大。
（3）总体分布（Population Distribution）：总体分布的偏斜程度越大，抽样误差越大。
（4）变异程度（Variability）：总体内部的变异程度越大，抽样误差越大。
3. 抽样误差的分析方法：
（1）推断统计方法（Inferential Statistics）：利用样本数据对总体进行推断和估计的统计分析方法，可以帮助我们理解抽样误差的范围和影响。
（2）调整因素分析法（Factor Adjustment Analysis）：通过对可能影响抽样误差的因素进行调整分析，准确度量和解释抽样误差的来源和程度。
三、总结
抽样理论与抽样误差是统计学中重要的概念和方法。
合理地选择抽样方法，并进行抽样误差的计算与分析，有助于提高研究的可靠性和准确性。
在实际应用中，我们应根据具体问题和需求选择适当的抽样方法，并合理解释和利用抽样误差的结果，以更好地进行数据分析和决策。