人教版数学八年级下册《二次根式的乘除》(第1课时)
谢谢各位同学倾听
PART 01
学习目标
01 二次根式性质知识点回顾
二次根式的性质一 二次根式的性质二
a（a≥0） -a（a<0）
01 探究与思考
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
8 20 12 30 无结果
8 20
12 30 无结果
01 二次根式的乘法法则
注意公式成立条件 在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
这个结果还能化简吗？
01 二次根式的乘法法则变形
注意公式成立条件
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
01 化简二次根式的步骤
PART 02
练一练
02 练一练
02 利用二次根式乘法法则解决实际问题
02 练一练
02 练一练
02 练一练
课后回顾
01 理解二次根式乘法法则
02 通过二次根式乘法法则进行计算
《二次根式的乘除》(第1课 时)
人教版数学八年级下册
超多互动！超多素材！总RNING OBJECTIVES
01 1、理解二次根式乘法法则。
2、利用二次根式乘法法则对其进行化简。
02
重点 A KEY
理解二次根式乘法法则。
03
难点 DIFFICULTY
利用二次根式乘法法则对其进行化简。
人教版八年级数学下册16.2二次根式的乘除(共两个课时)一等奖优秀课件
16.2 二次根式的乘除（1）
复习提问
1.什么叫二次根式？
式子 a(a 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
a 2=a (a≥ 0)
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣ =
-a (a＜0)
自主探究
计算下列式子，并观察它们之间有什么联系？
4 25 =
4 25
16 9 =
问题1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1）
４= ９
2 ____3___；
4= 2 9 ___3____；
（2）
16 = 4 25 ____5___；
16 = 4 25 ___5____；
（3）
36 = 6
36 = 6
49 ____7___； 49 ___7____．
性质的探究 观察上面计算结果，你能发现什么规律？
解：
课本例6：计算 解：
15 5
形成概念
15 ， 6 ，2 a 53a
可以发现这些式子有如下两个特点： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二 次根式．
1.被开方数不含分母
2.被开方数不含开的尽方的因数 或因式
应用概念
1 xy ． 3
解：（1 ） 14 7= 14 7= 72 2=7 2 ；
（2）3 5 2 10=6 5 10=30 2 ；
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y ．
3
3
应用巩固
练习3 计算： （1）3 6 2 10 ；（2） 1 2ax2 ．
8a
初中数学_二次根式的乘除法教学设计学情分析教材分析课后反思
数学八年级下册第九章《二次根式》第三节《二次根式乘除法》第1课时教学设计数学八年级下册第九章《二次根式》第三节《二次根式乘除法》第1课时学情分析一、思想状况分析八年级10班大部分学生的学习目的性明确、学习积极性高，能主动地学习，部分同学有上进心，但主动性不够，需要老师的引导。
八年级10班的学生学习目的不明确，不能积极主动地完成学业，甚至不能完成老师布置的作业。
大部分学生正处在生长发育的高峰期，一方面他们对因青春期生理、心理急剧变化而产生的丰富而深刻的感受和体验，有诸多成长的烦恼；另一方面面对沉重的学习、开放的社会环境带来的各种刺激和诱惑，难免不知所措。
二、学习状况分析八年级是一个产生剧烈变化的时期，更是一个危险的时期，也是一个爬坡的时期，是一个分水岭。
第一类:学习有一定的基础和很浓厚的兴趣.学生成绩稳定.第二类:基础差,但热情高,方法不当第三类：学习有一定的基础，但因各种原因成绩（如懒、上课纪律差易开小差注意力不集中、不想上学的思想作怪等）就是提不上来。
第四类:基础差,没有太大的兴趣,但尽量跟住老师.这些孩子的家长当然也在督促。
第五类:跟不上正常的进度.另外，大部分学生有学习目标，学习态度端正，学习积极性高，有一定的理解能力和分析判断推理能力，但学习自主性不太强，基础较薄弱，通过小学的精心培养，学生们已经养成了良好的学习习惯和行为习惯。
语言文明，思想健康，积极、认真、扎实。
但有的学生对自己的学习没信心，在自动放弃学习。
三、今后措施1、在教学中必须立足基础知识，加强基础知识的教学，要让学生通过历史知识的学习，养成良好的思维习惯，培养学生良好的学习习惯和严谨认真的学习态度，加强规范语言训练，提高答题得分率。
2、运用科学探究的方法，获取相应的知识，培养学生的情感和态度，扎扎实实打好基础，引领学生进入阅读世界、注重文献史料的积累借鉴，引导学生系统、牢固地掌握各课的知识考点，并培养他们运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
二次根式的乘除教学设计
① 16 × 8 ②3 6 ×2 10 生运用新知识的能力，
③ 5a · 1 ay 5
(2) 化简: 20 ; 18 ;
进一步加深对该法则
的认识。 24 ;
54 ; 12a2b2
注意：在本章中，如果没有特别说
明，所有的字母都表示正数。
教材 P7 练习全部
应用拓展
让学生完成一些有难度的题目
使学生全面理解二次
（ 1 ） 4 × 9 =_______ ， 4 9 =______；
通过复习以往知识平 稳的引入本节课要讲 授的知识使学生易于 接受
（2） 16 × 25 =_______，
16 25 =________．
（3） 100 ×
精品资料
______________________________________________________________________________________________________________
老师点评 极性并能加深对该部分知识的认识，在老师讲解的基础上充分发挥
探索新知 学生探索能力，再通过做题老师讲解巩固对知识的认识。这样不仅
巩固练习 使课堂活跃学生学习劲头高而且学习效果也比较好。
应用拓展
归纳小结
三、教学过程设计
问题与情境 复习引入
师生行为
设计意图
【活动一】 问题：请同学们完成下列各题． 1．填空
教学目标 知识与技能：理解二次根式的乘法法则并会逆向应用，灵活掌握并能运用二 次根式乘法法则并进行相关计算
过程与方法：经过观察、比较、总结和应用等数学活动，感受和体验发现的 快乐,并提高应用意识。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，培养学生利用概念解题的严谨性和 科学精神。
八年级数学下册-16.2 二次根式的乘除(1)【教案】
（2） = ×
= × × =3xy
尝
试
应
用
1、计算
（1） ×
（2） ×
2、化简
（1）
（2）
（3）
（4）
教师出示题目，学生独立完成，师生共同评价：
1、（1） ×
= =9
（2） × = =
2、解：（1）
= × =3×4=12
（2）
= × =9×10=90
（3） =
= × =3
（4） =
成
果
例1．计算
（1） ×
（2） ×
例2化简
（1）
（2）
学生通过计算，能对于公式有些感性上的认识，并且能举一些类似的式子.
学生先完成填空，对于公式的推导有更深一步的认识，再通过观察，分析，合作交流，得出公式.
· ＝ （a≥0，b≥0）
学生说出结论并且能分析公式的特点及注意点.
小组内讨论验证，得出结论.
分析、总结，交流
改正：
=
＝ × =2×3=6
（2）不正确．
改正： ×
= ×
= =
= ＝4
作
业
设
计
作业：课本习题16.2第1题
教师布置作业，提出具体要求
学生认定作业，课下独立完成
反过来，仍然成立吗？
积的算术平方根的性质：
（a≥0，b≥0）
思考：（1）a,b的取值有什么特点？
（2）这个公式与二次根式乘法在用法上有什么区别和联系？
注意:1、公式中的非负数的条件；
2、在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解（或因数分解）；
3、 · ＝ 可推广为： · · ＝ ( a≥0，b≥0，c≥0 )
最新人教版数学八年级下 册16.2 二次根式的乘除 课件
11. 能使 (3 − )(�� + 1)= 3 − · + 1成立的所有整数a的和 5
是ห้องสมุดไป่ตู้
.
12. 若 80· 2的值是一个整数,则正整数a的最小值是
10
.
13. 计算或化简:
(1) -
6
5
×
20
=
3
-2 ;
(2) 5 21×2 3= 30 ;
(3) 32 2 3 = 4bc (a>0,b>0,c>0);
(4) 92 + 364 = -3a + (a<0).
14. 计算:
(1) 2 14×(-3 2);
(3) 72 × −2
(1) -12
(2) 84
(3) -5
(4) 2
1
6
(2) 2 6 × 42 × 21;
×
5
12
6;
(4)
2
2
3
×
3
4
× 30.
15. 已知一个长方形花坛与一个圆形花坛的面积相等,长方形花坛的长为
3a
3
(3) 9 =
(a≥0).
5. 使等式
3
+
32 =-m
+ 3成立的条件是
-3≤m≤0
.
6. 计算:
(1) 18 × 125;
(3) -
152
−
(1) 15
(2) 72 a
(3) -2
(4)
132 ;
(2) 3×4 9×2 6(a>0);
(4)
5
3
×
人教版数学八年级下册第十六章《16.2二次根式的乘除》
A D
＞
＜
【变式题】 化简：
归纳 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完
全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.
归纳总结
化简二次根式的步骤： 1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把式各(因或式因(数或)因的数算)术积平的方算根术的平积方；根化为每个因 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式
注意：a,b都必须是非负数.
典例精析
解：
可先用乘法结合律， 再运用二次根式的 乘法法则
问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？ 试回顾如何计算3a2·2a3= 6a5 . 例2 计算:
解:
归纳 当二次根式根号外的因数不为1时，.
归纳总结
二次根式的乘法法则的推广： 多个二次根式相乘时此法则也适用，即
B D 30
二 积的算术平方根的性质 一般的：
这个性质在有的地方 称之为“积的算术平 方根的性质”
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
例4 化简：
(2)中4a2b3含有像4， a2，b2，这样开的 尽方的因数或因式， 把它们开方后移到 根号外.
观察两者有什么关系？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所
发现的规律吗？
猜测：
你能证明这 个猜测吗？
归纳总结
二次根式的乘法法则: 一般地，对于二次根式的乘法是
在本章中，如 果没有特别说明， 所有的字母都表 示正数．
二次根式相乘，_根__指__数___不变，被__开__方__数__相乘. 语言表述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
人教版八年级数学下册二次根式的乘除二次根式的乘法精品课件
（1）14 7 （2）3 5 2 10
（3） 3x
1 3
xy
解：（1）14 7 14 7 72 2 72 2 7 2
（2）3 5 2 10 3 2 510 6 52 2 6 52 2 6 5 2 30 2
x x （3） 3x·
1 3
xy
3x·13 xy
2y
2· y x y
知识讲解
二次根式乘法法则应用：算术平方根的积
例1：计算
（1） 3 5
（2）
1 3
27
解：（1） 3 5 3 5 15
（2）
1 3
27
1 3
27
9 3
人教版八年级数学下册课件-16.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法
7
人教版八年级数学下册课 二件 次-根16式.2的乘二除次二根次式根的式乘的除乘法第精1课品时ppt课二件次根式的乘法
1
人教版八年级数学下册课件-16.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法
目录
CONTENTS
导入
知识讲解
课堂练习
小结
人教版八年级数学下册课件-16.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法
2
人教版八年级数学下册课件-16.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法
导入
一个矩形的长和宽分别是 和 ， 求这个矩形的面积。 这道题我们如何计算？
16 25 _2_0__ .
(3) 25 36 _3_0__;
25 36 _3_0__ .
人教版八年级数学下册课件-16.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法
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人教版八年级数学下册课 二件 次-根16式.2的乘二除次二根次式根的式乘的除乘法第精1课品时ppt课二件次根式的乘法
16.2 二次根式的乘除(第1课时)(1)
全面有效 学习载体 16.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法 一、内容和内容解析 1．内容
二次根式的乘法． 2．内容解析
本节课的内容是在理解二次根式的定义及相关概念的基础上，进一步研究二次根式的运算．二次根式的乘法这一节的知识构造较为简单，并且是在学生学习了平方根，立方根等内容的基础上进行的．因为学生对算术平方根等概念已经有了初步认识，为学生学习打下了基础，在和学生一起学习的过程中，让学生发表自己的见解，发挥学生学习的主动性和积极性．二次根式的乘法是初中数学的重要内容之一，是《课程标准》“数与代数”的重要内容，是对“实数”、代数式”等内容的延伸和补充． 二、目标和目标解析 1．目标
（1）理解a·b＝ab(a≥0，b≥0），ab=a·b(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简． （2）会进行二次根式的乘法运算． 2．目标解析
达成目标（1）的标志是：由具体数据，发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)，并运用它们进行计算；利用逆向思维，得出ab=a·b(a≥0，b≥0)，并运用它们进行解题和化简． 达成目标（2）的标志是：要求学生能够熟练利用二次根式的乘法法则进行二次根式的乘法运算． 三、教学问题诊断分析 在本节教学过程中，性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中相互交错，综合运用.所以，要使学生在认识过程中能够脉络清楚，条理分明，教学时一定要注意逐步有序的展开，在导出二次根式的乘法法则时可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算具体的例子，引导他们做出一般的结论． 全面有效 学习载体 四、教学过程设计 （一）创设情景，提出问题 问题1 一个长方形的长为6cm，宽为3cm，这个长方形的面积是多少？ 长方形的面积为263cm． 问题2 这个结果能否化简？如何化简？ 设计意图：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，体会数学来源于生活，又应用于生活，让学生初步感受二次根式的乘法． （二）合作探究，形成知识 1．填空
【素养目标】人教版数学八年级下册16.2.1 二次根式的乘法教案(表格式)
16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法教学设计课题二次根式的乘法授课人素养目标 1.理解和掌握二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)．经历法则的探究过程，体会合情推理与演绎推理相互补充的辩证关系．2．理解和掌握积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)．体会二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质之间的互逆关系．3．利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行计算和化简，提高学生的运算能力，初步要求计算结果达到求简意识.教学重点会利用积的算术平方根的性质化简，会进行二次根式的乘法运算．教学难点二次根式的乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图利用实际问题引入新课.【情境导入】如图，元元家有一块长方形菜地，长为21 m，宽为 6 m，你能求出菜地的面积吗？【教学建议】让学生相互讨论，教师说明学完本课时就可以解决这个问题，调动积极性.活动二：问题引入，自主探究设计意图引导学生观察总结出二次根式的乘法法则.探究点1二次根式的乘法法则1．计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)4×9＝6，4×9＝6；(2)16×25＝20，16×25＝20；(3)25×36＝30，25×36＝30.答：规律：1.被开方数都是正数；2.左边的两个二次根式的乘积等于右边的一个二次根式，且左边的两个二次根式的被开方数的乘积等于右边的一个二次根式的被开方数．2．你能用字母表示你发现的规律吗？答：二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)．即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．3．利用你发现的规律计算：(1)3×5；(2)13×27；(3)22×3 3.解：(1)3×5＝15；(2)13×27＝13×27＝9＝3；(3)22×33＝2×32×3＝6 6.【教学建议】学生口答问题1的填空，指定学生代表回答规律，教师补充完整．学生讨论问题2，教师板书总结，并提醒a·b＝ab(a≥0，b≥0)可以推广到多个二次根式的情况，如a·b·c＝abc(a≥0，b≥0，c≥0)．提醒学生二次根式的乘法可以类比单项式的乘法，如果有系数，就将系数与系数相乘，二次根式与二次根式相乘．教学步骤师生活动设计意图引导学生逆向思考，发现积的算术平方根的性质. 【对应训练】1．教材P7练习第1题．2．下列各等式中成立的是( D )A．45×25＝8 5B．53×42＝205C．43×32＝7 5 D．53×42＝2063．计算：13×2×6＝2.探究点2积的算术平方根的性质把a·b＝ab(a≥0，b≥0)反过来，可以得到积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)．1．a，b的取值有什么特点？积的算术平方根的性质和二次根式的乘法法则在用法上有什么区别和联系？答：a，b都是非负数．积的算术平方根的性质是二次根式的乘法法则的逆用，可以用来化简二次根式．2．化简：(1)16×81；(2)196；(3)4a2b3.解：(1)16×81＝16×81＝4×9＝36；(2)196＝4×49＝4×49＝2×7＝14；(3)4a2b3＝4·a2·b3＝2·a·b2·b＝2a b2·b＝2ab b.【对应训练】教材P7练习第2题．【教学建议】指定学生代表回答，说明ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为右边是多个二次根式的情况，例如abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．化简196时提示将196分解为开得尽方的数的乘积．提醒学生被开方数4a2b3含4，a2，b2这样的因数或因式，它们被开方后可以移到根号外，是开得尽方的因数或因式.活动三：重点突破，提升探究设计意图巩固对二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的理解. 例1解答教材P7例3.例2解答活动一中的问题．解：21×6＝21×6＝7×3×3×2＝32×14＝32×14＝314.故菜地的面积为314 m2.【对应训练】1．化简（－2）2×8×3的结果是( D )A．224B．－224C．－46D．462．计算：(1)30×223×0.4；(2)2xy2·8xy.解：(1)30×223×0.4＝30×83×0.4＝30×83×0.4＝8×4＝42×2＝42；(2)2xy2·8xy＝2xy2·8xy＝16x2y3＝16·x2·y3＝4xy y.3．教材P7练习第3题．【教学建议】提醒学生：(1)在二次根式相乘的时候就可以考虑因数(式)分解，如由14×7直接可得72×2，而不必先写成98；(2)化简二次根式ab时，先找出ab中最大的能开得尽方的因数(式)，再按公式化简；(3)能开得尽方的一定要开出来；(4)有带分数的先化为假分数.活动四：随堂训练，课堂总结教学步骤【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：二次根式的乘法法则是什么？其逆向公式怎么表示？二次根式的乘法运算与化简要注意什么？【知识结构】师生活动1．化简二次根式初步达到求简意识 (1)对被开方数进行因数或因式分解． (2)分解后把能开得尽方的开出来． 例1 化简二次根式1x －x 3的结果是( D )A .－xB .xC ．－xD ．－－x解析：根据题意，知⎩⎪⎨⎪⎧－x 3≥0，x≠0，∴x ＜0，∴原式＝1x x 2·（－x ）＝1x ·(－x )－x ＝－－x.故选D .注意：在利用积的算术平方根的性质化简时，一定不能忽视被开方数均为非负数的条件，不能犯这样的错误：（－4）×（－9）＝－4×－9.2．根据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，结合已知条件列不等式组确定字母的取值范围例2 等式4－x·x ＋5＝（4－x ）（x ＋5）成立的条件是( C ) A ．x ≥4 B ．x ≥－5 C ．－5≤x ≤4 D ．x ≥－5或x ≤4解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4－x≥0，x ＋5≥0，∴－5≤x ≤4.故选C .例1 设x ，y 是有理数，且x ，y 满足等式x ＋2y －2y ＝17＋42，则x ＋y 的平方根是( A )A ．±1B ．±2C ．±3D ．±4解析：∵x ，y 为有理数，∴x ＋2y 为有理数．又x ＋2y －2y ＝17＋42，∴⎩⎨⎧x ＋2y ＝17，－2y ＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝－4，∴x ＋y ＝5－4＝1.因为1的平方根是±1，所以x ＋y 的平方根是±1.故选A .例2 已知m 为正整数，若189m 是整数，则根据189m ＝3×3×3×7m ＝33×7m 可知【作业布置】1．教材P 10习题16.2第1，5，6，7，12题． 2．相应课时训练．板书设计16.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法1．二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)． 2．积的算术平方根的性质：ab ＝a ·b(a ≥0，b ≥0).教学反思本节课的内容环环相扣，层层递进，最后要综合运用，前面理解不透就很可能导致后面无法下手，所以要特别注意帮助学生夯实基础．教学中可以多引导学生自己发现总结，互相讨论，以便让他们理解更深刻.m有最小值3×7＝21.设n为正整数，若300n是大于1的整数，则n的最小值为3，最大值为75.解析：∵300n＝3×100n＝103n，且为整数，∴n的最小值为3.∵300n是大于1的整数，∴300n越小，300n越小，则n越大．当300n＝2时，300n＝4，∴n＝75.经检验，n＝75是原方程的根．故n的最大值为75.故答案为3，75.。
新版新人教版 八年级数学下册 第十六章：二次根式 16.2 二次根式的乘除 课件 共69张PPT
因数或因式从根号中开出来． 注 意：(1)数的开方，关键是将开得尽方的因数从根号中开出来；
(2) 被开方数如果含有字母，一要考虑二次根式的隐含条件 ( 被开方数是非负 数)，二要考虑整个式子的值的符号.
归类探究
类型之一 二次根式的乘法
3
2 x ；(2) 计算：(1)5 x·
5 3×
27 125.
解：(1)5 x· 2 x3 ＝(5×2)( x· x3) ＝10 x4＝10x2. (2) 5 × 3 27 ＝ 125 5 27 × ＝ 3 125 9 3 ＝ . 25 5
2．二次根式的化简 此内容为本节的重点，也是难点．为此设计了【归类探究】中的例 2，例 3， 例 4； 【当堂测评】中的第 4 题； 【分层作业】中的第 2,3,5,6,9,10,12,15,16 题． ★教学目标★ 1．掌握二次根式的乘法法则； 2．会进行简单的二次根式的乘法运算．
★情景问题引入★ 你能解决下面的问题吗？设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为 a，b，已 知 a＝2 3，b＝ 10，求 S.
类型之四
比较二次根式的大小
比较下面两个数的大小：－2 3和－3 2.
【解析】 可以把根号外面的数移到根号内，再比较被开方数的大小．当 a＞ b≥0 时， a＞ b.
解：2 3＝ 22× 3＝ 22×3＝ 12， 3 2＝ 32× 2＝ 32×2＝ 18. ∵12＜18，∴ 12＜ 18， ∴－ 12＞－ 18，∴－2 3＞－3 2.
【解析】 A. 9－ 4＝3－2＝1，故此选项错误；B 正确；C. 9＝3，故此选 项错误；D.－ －92＝－9，故此选项错误．
2．[2017· 益阳]下列各式化简后的结果为 3 2的是( C ) A. 6 C． 18 B. 12 D. 36